MENENTUKAN AKAR-AKAR DAN DISKRIMINAN PADA PERSAMAAN KUARTIK
Tugas Akhir Diajukan sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains pada Jurusan Matematika
oleh LAINA 10654004479
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN SYARIF KASIM RIAU P E KA N B A R U 2011
KATA PENGANTAR Alhamdulillah, segala puji bagi Allah SWT yang senantiasa melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas akhir ini dengan judul โMenentukan Akar-akar dan Diskriminan pada Persamaan Kuartikโ tepat pada waktunya. Tugas Akhir ini merupakan salah satu syarat kelulusan tingkat sarjana. Selanjutnya limpahan salawat serta salam kepada junjungan Alam Nabi Besar Muhammad SAW pembawa petunjuk bagi seluruh umat manusia. Penyusunan dan penyelesaian tugas akhir ini penulis tidak terlepas dari bantuan berbagai pihak, baik langsung maupun tidak langsung. Untuk itu sudah sepantasnya penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada kedua orang tua tercinta ayah (Musri) dan Ibu (Azizah) yang tidak pernah lelah dan tiada henti melimpahkan kasih sayang, perhatian, motivasi yang membuat penulis mampu untuk terus dan terus melangkah, pelajaran hidup, juga materi yang tak mungkin bisa terbalaskan. Jasa-jasamu kan selalu ku kenang hingga akhir hayatku dan semoga Allah menjadikan jasa-jasamu sebagai amalan soleh, Amin. Selanjutnya ucapan terimakasih kepada: 1.
Bapak Prof. DR. H. M. Nazir, M.A. selaku Rektor Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
2.
Ibu Dra.Yenita Morena, M.Si. selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
3.
Ibu Yuslenita Muda, M.Sc. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau.
4.
Ibu Fitri Aryani, M.Sc. selaku koordinator sekaligus penguji I Tugas akhir pada Jurusan Matematika yang telah banyak membantu, memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan Tugas Akhir ini.
5.
Bapak M.Soleh, M.Sc. selaku pembimbing Tugas Akhir pada Jurusan Matematika yang telah banyak membantu, mengarahkan, mendukung, dan membimbing penulis dalam penulisan Tugas Akhir ini dari awal proses hingga laporan ini selesai.
ix
6.
Bapak M.Nizam Muhaijir, S.Si. sebagai penguji II yang telah banyak membantu, memberikan kritikan dan saran serta dukungan dalam penulisan Tugas Akhir ini.
7.
Bapak dan Ibu dosen Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim.
8.
Paman, Tante-tante, Adik-adikku, dan buat seluruh keluarga yang telah memberikan doa, perhatian, kasih sayang serta motivasi untukku.
9.
Teman-teman seperjuangan angkatan 2006 di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.
10. Senior-senior dan junior-junior di Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi. 11. Sahabat-sahabat terbaikku Devi, Tifah, Adri, Vira, Desi, Nafi, Jeldi, Parida, Hendri, Yunus, kakak Wina, bang Jamil, bang Bambang, Mukti, dan Maya yang selalu memberikan bantuan, motifasi dan masukan yang sangat berguna dalam penulisan Tugas Akhir ini. 12. Seluruh pihak yang telah memberikan andil dalam proses penulisan Tugas Akhir ini sampai selesai yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Penyusunan dan penulisan Tugas akhir ini penulis telah berusaha semaksimal
mungkin
untuk
menghindari
kesalahan.
Akhirnya
penulis
mengharapkan kepada pembaca Tugas Akhir ini agar memberikan saran dan kritik konstruktif. Semoga Tugas Akhir ini dapat memberikan konstribusi yang bermanfaat. Amin.
Pekanbaru, 28 Juni 2011
Penulis
x
MENENTUKAN AKAR-AKAR DAN DISKRIMINAN PADA PERSAMAAN KUARTIK
LAINA NIM: 10654004479
Tanggal Sidang Periode Wisuda
: 28 Juni 2011 : November 2011
Jurusan Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No.155 Pekanbaru
ABSTRAK Tugas akhir ini membahas tentang menentukan akar-akar dan diskriminan pada persamaan kuartik. Persamaan kuartik merupakan persamaan polinomial dengan derajat tertinggi empat. Akar-akar persamaan kuartik dapat ditentukan dengan formula Ferrari. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa jenis akar-akar tergantung pada nilai diskriminan. Kata Kunci : Diskriminan Polinomial, Formula Ferrari, Persamaan Kuartik, Polinomial.
vii
DAFTAR ISI
LEMBAR PERSETUJUAN ..............................................................
Halaman ii
LEMBAR PENGESAHAN ...............................................................
iii
LEMBAR HAK ATAS KEKAYAAN INTELEKTUAL ...................
iv
LEMBAR PERNYATAAN ..............................................................
v
LEMBAR PERSEMBAHAN ............................................................
vi
ABSTRAK .......................................................................................
vii
ABSTRACT .......................................................................................
viii
KATA PENGANTAR ......................................................................
ix
DAFTAR ISI ....................................................................................
xi
DAFTAR SIMBOL ..........................................................................
xiii
BAB I
BAB II
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .............................................................
I-1
1.2 Rumusan Masalah .........................................................
I-2
1.3 Batasan Masalah ...........................................................
I-2
1.4 Tujuan dan Manfaat Penelitian ......................................
I-2
1.4.1 Tujuan Penelitian .................................................
I-2
1.4.2 Manfaat Penelitian ...............................................
I-3
1.5 Sistematika Penulisan ...................................................
I-3
LANDASAN TEORI 2.1 Persamaan Polinomial ...................................................
II-1
2.2 Diskriminan Polinomial ................................................
II-1
2.3 Persamaan Kubik Nested ..............................................
II-3
2.4 Persamaan Kubik Depressed .........................................
II-3
2.5 Persamaan Bikuadratik ................................................
II-4
2.6 Menentukan Akar-akar Persamaan Kubik dengan Formula Cardano ......................................................... 2.7 Diskriminan Persamaan Kubik ......................................
xi
II-4 II-11
BAB III METODOLOGI PENELITIAN ..........................................
III-1
BAB IV ANALISA DAN PEMBAHASAN 4.1 Akar-akar pada Persamaan Kuartik ..............................
IV-1
4.2 Diskriminan Persamaan Kuartik ...................................
IV-1
BAB V PENUTUP 5.1 Kesimpulan ..................................................................
V-1
5.2 Saran ............................................................................
V-1
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN DAFTAR RIWAYAT HIDUP
xii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Pada ilmu Aljabar dikenal istilah persamaan polinomial, yang mempunyai
bentuk umum : ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐ โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , dengan ๐๐ โ 0 dan ๐๐ โ1 , โฆ , ๐1 , ๐0 konstanta riil. Untuk mendapatkan akar-akar persamaan polinomial biasanya digunakan metode Horner, tetapi ada beberapa persamaan polinomial yang akar-akarnya tidak dapat ditebak sehingga perlu menggunakan metode lain. Ada beberapa persamaan polinomial yang sering muncul dalam matematika diantaranya adalah persamaan kuadrat, persamaan kubik, dan persamaan kuartik. Persamaan kuadrat mempunyai bentuk umum: ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐0 = 0, ๐2 โ ๐ dan ๐2 , ๐1 , ๐0 konstanta riil. Untuk menentukan akar-akar
dengan
persamaan
kuadrat,
salah
satunya
๐ฅ1,2
digunakan
rumus
kuadratik,
yaitu
๐2 ยฑ ๐1 2 โ 4๐2 ๐0 = 2๐2
Jenis-jenis akar dari persamaan kuadrat ditentukan oleh nilai diskriminannya, yang dinotasikan dengan ๐ท, dengan nilai ๐ท adalah: ๐ท = ๐1 2 โ 4๐2 ๐0 Persamaan kubik merupakan persamaan polinomial dengan derajat tertinggi tiga. Bentuk persamaan kubik secara umum adalah: ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐ = 0, dengan ๐3 โ ๐ dan ๐3 , ๐2 , ๐1 , ๐0 konstanta riil. Metode untuk menentukan akar-akar persamaan kubik dikemukakan oleh Gerolamo Cardano dan biasa disebut formula Cardano atau Rumus Kubik. Persamaan kuartik merupakan persamaan polinomial dengan derajat tertinggi
empat.
Bentuk
persamaan
kuartik
secara
umum
adalah
I-1
๐4 ๐ฅ 4 + ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐ = 0, dengan ๐4 โ 0 dan ๐4 , ๐3 , ๐2 , ๐1 , ๐0 konstanta riil. Persamaan kuartik pertama kali dikemukakan oleh Matematikawan Jaina dan Astronom Bhaskara di India Kuno antara tahun 400 dan 200 sesudah masehi. Lodovico Ferrari dikenal sebagai penemu teknik Aljabar untuk menyelesaikan persamaan umum kuartik pada tahun 1540. Oleh karena itu metode untuk menentukan akar-akar persamaan kuartik disebut formula Ferrari. Berdasarkan tugas akhir yang berjudul โMenentukan Akar-akar dan Diskriminan pada Persamaan Kubikโ tulisan Ani Fitri Rohani yang membahas tentang menentukan akar-akar dari persamaan kubik dan menentukan diskriminan ๐ท serta pengaruhnya terhadap akar-akar kubik tersebut, maka penulis mencoba membahas dan mengembangkan derajat pada tugas akhir tersebut, yaitu persamaan kuartik dengan menggunakan formula Ferrari. Berdasarkan latar belakang di atas, maka penulis tertarik
untuk
melanjutkannya dengan memberi judul tugas akhir ini โMENENTUKAN AKARAKAR DAN DISKRIMINAN PADA PERSAMAAN KUARTIKโ
1.2
Rumusan Masalah Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini, yaitu bagaimana
menentukan akar-akar dan diskriminan pada persamaan kuartik.
1.3
Batasan Masalah Dalam menentukan akar-akar persamaan kuartik ini, penulis hanya
membatasi dengan menggunakan formula Ferrari.
1.4
Tujuan dan Manfaat
1.4.1
Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan untuk menentukan akar-akar dan diskriminan pada
persamaan kuartik.
I-2
1.4.2 Manfaat Penelitian Berdasarkan rumusan masalah dan tujuan penelitian yang telah dikemukakan di atas, maka manfaat yang dapat diambil adalah sebagai berikut: 1.
Penulis
mengharapkan
dapat
mengembangkan
wawasan
keilmuan
dalam matematika khususnya mengenai persamaan polinomial. 2.
Penulis dapat mengetahui lebih banyak tentang materi polinomial yang tentunya akan memberikan konstribusi untuk mempermudah dalam menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan polinomial.
1.5
Sistematika Penulisan Sistematika penulisan tugas akhir ini, adalah sebagai berikut :
BAB I
Pendahuluan Berisi tentang latar belakang masalah, perumusan masalah, batasan masalah, tujuan penelitian dan sistematika penulisan.
BAB II
Landasan Teori Berisi teori-teori yang mendukung tentang akar-akar dan diskriminan pada persamaan kuartik yaitu Persamaan Polinomial, Diskriminan Polinomial, Persamaan Kubik Nested, Persamaan Kubik Depressed, dan Persamaan Bikuartik.
BAB III
Metodologi Penelitian Berisi mengenai studi pustaka atau literatur, yaitu dengan membaca buku-buku dan sumber-sumber lain yang berhubungan dengan akarakar dan diskriminan pada persamaan kuartik .
BAB IV
Pembahasan Bab ini berisikan pemaparan dalam menentukan akar-akar persamaan kuartik dan diskriminannya.
I-3
BAB V
Penutup Dalam bab ini akan diberikan kesimpulan dan saran.
I-4
BAB II LANDASAN TEORI
Landasan teori yang akan dibahas yaitu teori-teori pendukung yang terkait dan membantu untuk pembahasan dalam Bab IV, diantaranya Persamaan Polinomial, Diskriminan Polinomial, Persamaan Kubik Nested, Persamaan Kubik Depressed, dan Persamaan Bikuartik. 2.1
Persamaan Polinomial
Definisi 2.1 (Robert, Ellis : 1981 ) Persamaan polinomial adalah persamaan suku banyak dalam x berderajat n, dengan bentuk umum: ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐ โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , ๐๐ โ 0
(2.1)
dengan ๐๐ , ๐๐โ1 , โฆ , ๐1 , ๐0 adalah suatu konstanta dan n bilangan bulat non negatif. Derajat persamaan polinomial dalam x adalah pangkat tertinggi dari x. Pada persamaan polinomial tersebut ๐๐ , ๐๐ โ1 , โฆ , ๐1 berturut-turut disebut koefisien dari ๐ฅ ๐ , ๐ฅ ๐โ1 ,โฆ , ๐ฅ. Suku ๐0 dinamakan suku tetap. Jika ๐๐ = 1, maka persamaan (2.1) disebut polinomial monic.
2.2
Diskriminan Polinomial
Definisi 2.2 (Janson, Svante : 2010) Andaikan : ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , Sebuah polinomial dari derajat ๐ โฅ 1 dengan koefisien bilangan riil, maka diskriminan dari ๐ ๐ฅ yaitu: ๐
๐๐2๐ โ2
๐๐ โ ๐๐
2
2.2
๐,๐ ๐<๐
dengan ๐1 , โฆ , ๐๐ adalah akar-akar dari ๐ ๐ฅ pada perluasan bilangan riil.
II-1
Diskriminan juga dapat didefinisikan sebagai resultan dari ๐ ๐ฅ dan turunannya terhadap ๐ฅ. Diberikan : ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , ๐โฒ ๐ฅ = ๐๐๐ ๐ฅ ๐โ1 + (๐ โ 1)๐(๐โ1) ๐ฅ (๐โ2) + โฏ + ๐1 , maka matriks Sylvester dari ๐ dan ๐โฒ adalah: ๐๐ 0 โฎ 0 ๐๐๐ 0 โฎ 0
๐๐ โ1 ๐๐
๐๐ โ2 ๐๐ โ1
โฏ ๐๐ โ2
๐1 โฆ
๐0 ๐1
0 ๐0
0โฆ ๐0
โฏ (๐ โ 1)๐๐ โ1 ๐
0 (๐ โ 2)๐๐ โ2 (๐ โ 1)๐๐ โ1
๐๐ โฆ (๐ โ 2)๐๐ โ2
๐๐ โ1 1๐1 โฏ
๐๐โ2 0 1๐1
โฏ โฏ 0
๐1 โฏ โฏ
0
โฆ
0
๐๐๐
(๐ โ 1)๐๐โ1
(๐ โ 2)๐๐โ2
โฆ
0 0 โฎ ๐1 0 0 โฎ 1๐1
Definisikan ๐
๐, ๐โฒ = ๐
๐ , ๐ โ1 (๐, ๐โฒ ) adalah determinan dari matriks Sylvester orde 2๐ โ 1 ร 2๐ โ 1 .
Teorema 2.1 (Janson, Svante : 2010) Diberikan : ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , Sebuah polinomial dari derajat ๐ โฅ 1 dengan koefisien bilangan riil, maka diskriminan dari ๐ ๐ฅ adalah: ๐ท ๐ = โ1
1 ๐ ๐ โ1 2
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐๐
2.3
Bukti : Diberikan persamaan polinomial dan turunannya terhadap ๐ฅ: ๐ ๐ฅ = ๐๐ ๐ฅ ๐ + ๐๐ โ1 ๐ฅ ๐โ1 + โฏ + ๐1 ๐ฅ + ๐0 , ๐ ๐ฅ = ๐๐๐โ1 ๐ฅ ๐โ1 + (๐ โ 1)๐๐โ2 ๐ฅ ๐โ2 + โฏ + ๐1 Pada teorema 2.1 diketahui ๐
๐, ๐โฒ . Pada umumnya, derajat ๐โฒ (๐ฅ) = derajat ๐(๐ฅ) โ 1 = ๐ โ 1. Pada kasus ini jika derajat ๐โฒ = ๐, maka: ๐
๐ , ๐โ1 (๐, ๐โฒ ) = ๐๐ ๐โ๐โ2 ๐
๐,๐ ๐, ๐โฒ
II-2
dengan ๐ = ๐ โ 1. dengan demikian berdasarkan definisi 2.2, diperoleh: ๐ท ๐ = โ1
๐ ๐โ1 /2
๐๐ ๐โ๐โ2 ๐
๐, ๐โฒ
๐ท ๐ = โ1
1 ๐ ๐โ1 2
๐๐ ๐โ(๐ โ1)โ2 ๐
๐, ๐โฒ
๐ท ๐ = โ1
1 ๐ ๐โ1 2
๐๐ โ1 ๐
๐, ๐โฒ
๐ท ๐ = โ1
1 ๐ ๐โ1 2
Sehingga
2.3
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐๐
Persamaan Kubik Nested
Diketahui bentuk persamaan kuartik depressed ๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข + ๐พ = 0 Dapat diubah ke dalam bentuk persamaan kubik nested, 5 ๐ผ 3 ๐ผ๐พ ๐ฝ 2 ๐ฆ 3 + ๐ผ๐ฆ 2 + 2๐ผ 2 โ ๐พ ๐ฆ + โ โ = 0. 2 2 2 8
(2.4)
Berdasarkan: Faucette, William : 1996 2.4
Persamaan Kubik Depressed
Diberikan persamaan kubik berikut: ๐3 ๐3 + ๐2 ๐2 + ๐1 ๐ + ๐0 = 0, ๐3 โ 0
(2.5)
Dengan mengganti ๐3 = ๐, ๐2 = ๐, ๐1 = ๐ dan ๐0 = ๐ diperoleh: ๐๐3 + ๐๐2 + ๐๐ + ๐ = 0,
(2.6)
dan substitusikan ๐=๐งโ
๐ , 3๐
(2.7)
diperoleh ๐2 2๐3 ๐๐ ๐๐ง + ๐ โ ๐ง+ ๐+ โ = 0. 2 3๐ 27๐ 3๐ 3
(2.8)
Persamaan (2.8) disebut persamaan kubik depressed.
II-3
2.5
Persamaan Bikuadratik
Diberikan persamaan kuartik: ๐4 ๐ฅ 4 + ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐0 = 0
(2.9)
Jika ๐3 = ๐1 = 0, maka ๐4 ๐ฅ 4 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐ 0 = 0
(2.10)
Persamaan (2.10) disebut persamaan bikuadratik. Supaya mudah untuk diselesaikan, maka dimisalkan ๐ = ๐ฅ 2, sehingga diperoleh persamaan baru ๐4 ๐ 2 + ๐ 2 ๐ + ๐0 = 0
(2.11)
Misalkan ๐+ dan ๐โ menjadi akar persamaan (2.11), maka akar-akar persamaan (2.10) adalah ๐ฅ1 = + ๐+ , ๐ฅ2 = โ ๐+ , ๐ฅ3 = + ๐โ , ๐ฅ4 = โ ๐โ .
2.6
Menentukan Akar-akar Persamaan Kubik dengan Formula Cardano Formula Cardano bisa menjadi cara alternatif untuk menentukan akar-akar
persamaan kubik jika akar-akarnya tidak dapat ditentukan dengan cara memfaktorkan. Pada persamaan (2.6), persamaan tersebut diubah ke dalam bentuk yang lebih sederhana dengan menghilangkan variabel ๐2 . Misalkan ๐ dalam persamaan (2.6) diganti sebagai ๐ =๐งโ๐
(2.12)
Sehingga persamaan (2.6) menjadi ๐ ๐งโ๐
3
+๐ ๐งโ๐
2
+๐ ๐งโ๐ +๐=0
๐ ๐ง 3 โ 3๐๐ง 2 + 3๐ 2 ๐ง โ ๐ 3 + ๐ ๐ง 2 โ 2๐๐ง + ๐ 2 + ๐ ๐ง โ ๐ + ๐ = 0
II-4
๐๐ง 3 + ๐ โ 3๐๐ ๐ง 2 + 3๐๐ 2 โ 2๐๐ + ๐ ๐ง + โ๐๐ 3 + ๐๐ 2 โ ๐๐ + ๐ = 0
๐ง 2 dapat dieliminasi dengan memisalkan: ๐=
๐ , 3๐
dengan demikian nilai ๐ menjadi ๐ =๐งโ
๐ 3๐
(2.13)
dengan ๐ง adalah sembarang variabel, sehingga: ๐ ๐๐ = ๐ ๐ง โ 3๐
3
3
๐ ๐2 ๐3 = ๐ ๐ง3 โ ๐ง2 + 2 ๐ง โ ๐ 3๐ 27๐3 = ๐๐ง 3 โ ๐๐ง 2 +
๐๐2 = ๐ ๐ง โ
๐ 3๐
2
= ๐ ๐ง2 โ
๐2 ๐3 ๐งโ 3๐ 27๐2
2๐ ๐2 ๐ง+ 2 3๐ 9๐
2๐2 ๐3 ๐ง+ 2 3๐ 9๐ ๐๐ = ๐๐ง โ 3๐
= ๐๐ง 2 โ ๐๐ = ๐ ๐ง โ
๐ 3๐
maka persamaan (2.6) akan menjadi ๐๐ง 3 โ ๐๐ง 2 +
๐2 ๐3 2๐2 ๐3 ๐๐ 2 ๐งโ + ๐๐ง โ ๐ง + + ๐๐ง โ +๐=0 2 2 3๐ 27๐ 3๐ 9๐ 3๐
๐๐ง 3 + ๐ โ ๐ ๐ง 2 +
๐2 2๐2 ๐3 ๐3 ๐๐ โ +๐ ๐งโ โ + โ๐ =0 2 2 3๐ 3๐ 27๐ 9๐ 3๐
๐2 ๐3 ๐3 ๐๐ ๐๐ง + ๐ โ ๐งโ โ + โ๐ =0 3๐ 27๐2 9๐2 3๐ 3
3๐๐ โ ๐2 9๐๐๐ โ 27๐๐2 โ 2๐3 ๐๐ง + ๐งโ =0 3๐ 27๐2 3
3๐๐ โ ๐2 9๐๐๐ โ 27๐๐2 โ 2๐3 ๐ง + ๐งโ =0 3๐2 27๐3 3
2.14
dari pesamaan (2.14), misalkan: 3๐๐ โ ๐2 ๐= 3๐2 9๐๐๐ โ 27๐๐2 โ 2๐3 ๐= 27๐3
2.15 (2.16)
II-5
Sehingga persamaan (2.14) menjadi: ๐ง 3 + ๐๐ง = ๐
(2.17)
Persamaan (2.17) akan ditentukan akar-akarnya dengan mengubahnya ke dalam bentuk kuadrat. Misalkan ๐ง pada persamaan (2.17) adalah: ๐ ๐ง=๐คโ 3๐ค
( 2.18)
Persamaan (2.17) menjadi: ๐คโ
๐ 3๐ค
3
+๐ ๐คโ
๐ โ๐ = 0 3๐ค
2.19
๐3 ๐ค โ โ๐=0 (2.20) 27 ๐ค 3 Selanjutnya, persamaan (2.20) diubah ke dalam bentuk kuadrat dengan 3
mengalikan kedua ruas dengan ๐ค 3 menjadi: ๐ค3
2
โ
1 3 ๐ โ ๐ ๐ค3 = 0 27
(2.21)
Misalkan: ๐ค 3 = ๐,
(2.22)
maka persamaan (2.21) menjadi ๐ 2 โ ๐๐ โ
1 3 ๐ =0. 27
(2.23)
dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat untuk menentukan akar-akar persamaan kuadrat, maka akar-akar dari persamaan (2.23) menjadi 1 1 2 1 ๐= ๐ยฑ ๐ + ๐3 2 4 27
(2.24)
Misalkan 1 ๐ = ๐, 3 1 ๐
= ๐, 2 maka persamaan (2.24) dapat ditulis ๐ = ๐
ยฑ ๐
2 + ๐3 .
(2.25) (2.26)
(2.27)
II-6
Berdasarkan persamaan (2.22) maka ๐ค 3 = ๐
ยฑ ๐
2 + ๐3 , atau ๐ค=
3
๐
ยฑ ๐
2 + ๐3 .
(2.28)
Pada persamaan (2.28) belum dapat diketahui akar-akar dari persamaan kubik. Selanjutnya akan ditentukan ketiga faktor dari persamaan (2.6). Jika ๐ dan ๐
pada persamaan (2.25) dan persamaan (2.26) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.17) akan diperoleh ๐ง 3 + 3๐๐ง โ 2๐
= 0
(2.29)
Persamaan (2.29) akan ditentukan ketiga akar-akarnya dengan memisalkan faktorfaktornya. Misalkan ๐ต adalah sebarang konstanta riil yang memenuhi polinomial kubik sempurna ๐ง 3 โ ๐ต3 = ๐ง โ ๐ต ๐ง 2 + ๐ต๐ง + ๐ต2
(2.30)
Persamaan (2.29) dapat difaktorkan dengan cara di atas apabila persamaan (2.29) mempunyai nilai ๐ = 0. Jika nilai ๐ โ 0 maka kedua ruas dari persamaan (2.29) ditambah dengan perkalian suatu konstanta dengan faktor
๐งโ๐ต
misalkan
๐ถ ๐ง โ ๐ต sehingga menjadi ๐ง 3 โ ๐ต3 + ๐ถ ๐ง โ ๐ต = ๐ง โ ๐ต ๐ง 2 + ๐ต๐ง + ๐ต2 + ๐ถ = 0
(2.31)
maka dikelompokkan menurut koefisien menjadi ๐ง 3 + ๐ถ๐ง โ ๐ต3 + ๐ต๐ถ = ๐ง โ ๐ต ๐ง 2 + ๐ต๐ง + ๐ต2 + ๐ถ
=0
(2.32)
Berdasarkan persamaan (2.32) dapat diketahui bahwa ๐ง โ ๐ต dan ๐ง 2 + ๐ต๐ง + ๐ต2 + ๐ถ
adalah masing-masing faktor dari ๐ง 3 + ๐ถ๐ง โ ๐ต3 + ๐ต๐ถ . Apabila ruas
kiri dari persamaan (2.29) ekivalen dengan persamaan (2.32) akan diperoleh ๐ถ = 3๐
(2.33)
๐ต2 + ๐ต๐ถ = 2๐
(2.34)
Misal ๐ต adalah jumlah dari kedua akar-akar persamaan (2.28) akan ditunjukkan ๐ต memenuhi persamaan (2.29) sehingga ๐ต merupakan salah satu faktor dari persamaan (2.29). Berdasarkan persamaan (2.28) akan diperoleh nilai ๐ต
II-7
1
๐ต= ๐
+
๐
2
+
3 ๐3
1
๐
2
+ ๐
โ
+
3 ๐3 ,
(2.35)
maka kuadrat dari ๐ต adalah ๐ต2 =
๐
+ ๐
2 + ๐3
1 3
+ ๐
โ ๐
2 + ๐3
2
= ๐
+
๐
2
= ๐
+
๐
2
+
3 ๐3
+
3 ๐3 +
2
2
+2 ๐
โ ๐
+๐
2
3
2
1 3
1 3
2
๐
2
+ ๐
โ
+
3 ๐3
2
๐
โ
๐
2
+
3 ๐3
โ 2๐.
Pangkat tiga nya adalah 2
3
๐
2
๐ต = โ2๐ + ๐
+
+
3 ๐3
2
๐
2
+ ๐
โ
+
3 ๐3
2
= โ2๐๐ต +
๐
2
๐
+
+
3 ๐3
2
๐
2
+ ๐
โ
1
๐
+
๐
2
+
3 ๐3
ร๐ต
+
3 ๐3
1
+ ๐
โ
๐
2
+
3 ๐3
= โ2๐๐ต + ๐
+ ๐
2 + ๐3 + ๐
โ ๐
2 + ๐3 + ๐
+ ๐
2 + ๐3
1 3
๐
โ ๐
2 + ๐3
2 3
+ ๐
+ ๐
2 + ๐3
2 3
๐
โ
1
๐
2
+
๐3 3
= โ2๐๐ต + 2๐
โ ๐๐ต = โ3๐๐ต + 2๐
(2.36)
Jika persamaan (2.35) dan persamaan (2.36) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.29) maka akan diperoleh: โ3๐๐ต + 2๐
+ 3๐๐ต โ 2๐
= 0 Nilai ๐ต memenuhi persamaan (2.29), ini membuktikan bahwa ๐ง โ ๐ต merupakan faktor dari persamaan (2.29). Jadi ๐ต merupakan salah satu akar dari persamaan (2.29) sehingga dapat ditulis 1
๐ง1 = ๐
+
๐
2
+
3 ๐3
1
+ ๐
โ
๐
2
+
3 ๐3
(2.37)
Selanjutnya lihat kembali persamaan (2.32), untuk faktor lainnya yaitu:
II-8
๐ง 2 + ๐ต๐ง + ๐ต2 + ๐ถ = 0 dapat ditentukan akar-akarrnya dengan menggunakan rumus persamaan kuadrat: 1
๐ง2,3 = 2 โ๐ต ยฑ ๐ต2 โ 4 ๐ต2 + ๐ถ 1
= 2 โ๐ต ยฑ ๐ต2 โ 4๐ต2 โ 12๐ 1
1
1
1
= โ 2 ๐ต ยฑ 2 โ3๐ต2 โ 12๐ = โ 2 ๐ต ยฑ 2 3 ๐ ๐ต2 + 4๐
(2.38)
Persamaan (2.37) dan persamaan (2.38) adalah akar-akar dari persamaan (2.29), bentuk ini masih dapat di sederhanakan dengan menggunakan selisih dari akarakar persamaan (2.28). Misalkan A adalah selisih dari ๐ค1 dan ๐ค2 maka diperoleh 1
๐ด= ๐
+ ๐ด2 =
๐
2
+
3 ๐3
๐
+ ๐
2 + ๐3
1
โ ๐
โ 1 3
๐
2
+
3 ๐3
โ ๐
โ ๐
2 + ๐3
2
= ๐
+
๐
2
+
3 ๐3
= ๐
+ ๐
2 + ๐3
2 3
2
2
โ2 ๐
โ ๐
+๐ + ๐
โ ๐
2 + ๐3
3 2 3
(2.39) 2
1 3
2 3
2
+ ๐
โ
๐
2
+
3 ๐3
+ 2๐
= ๐ต2 + 4๐. Sehingga persamaan (2.38) dapat ditulis 1
1
2
2
๐ง2,3 = โ ๐ต ยฑ
3 ๐๐ด.
(2.40)
๐ท = ๐
2 + ๐3
(2.41)
Definisikan
dengan ๐ท adalah diskriminan dari persamaan polinomial kubik. dari persamaan (2.41), maka persamaan (2.35) dapat dimisalkan menjadi
๐= ๐=
3
3
๐
+ ๐ท
(2.42)
๐
โ ๐ท
(2.43)
Berdasarkan persamaan (2.35) dan persamaan (2.39), diperoleh
II-9
๐ต =๐+๐ ๐ด=๐โ๐ Selanjutnya persamaan (2.37) dapat ditulis ๐ง1 = ๐ + ๐, Sehingga persamaan (2.40), didapat: ๐ง2 = โ
1 2 1
๐+๐ +
1 2
3๐ ๐ โ ๐ ,
1
๐ง3 = โ 2 ๐ + ๐ โ 2 3๐ ๐ โ ๐ . Setelah diperoleh akar-akar persamaan kubik dalam bentuk persamaan (2.17), jika nilai ๐ง di subsitusikan kedalam persamaan (2.13), maka diperoleh ๐ + ๐+๐ , 3๐ ๐ 1 1 ๐2 = โ โ ๐+๐ + 3๐ ๐ โ ๐ 3๐ 2 2 ๐ 1 1 ๐3 = โ โ ๐+๐ โ 3๐ ๐ โ ๐ 3๐ 2 2
๐1 = โ
2.7
(2.44) (2.45) (2.46)
Diskriminan Persamaan Kubik Berdasarkan Sub bab 2.6 telah diketahui akar-akar persamaan kubik, maka
dapat diketahui bagaimana pengaruh diskriminan ๐ท pada akar-akar persamaan kubik 1.
Jika ๐ท > 0, maka akar-akar persamaan kubik memiliki tiga akar-akar yang berlainan, satu diantaranya riil dan dua diantaranya kompleks, sehingga akarakarnya menjadi 1 ๐1 = โ ๐ + ๐ + ๐ 3 1 1 1 ๐2 = โ ๐ + ๐ + ๐ + 3๐ ๐ โ ๐ 3 2 2 1 1 1 ๐3 = โ ๐ โ ๐ + ๐ โ 3๐ ๐ โ ๐ . 3 2 2
2.
Jika ๐ท = 0, maka akar-akar persamaan kubik memiliki tiga akar riil dan dua diantaranya bernilai sama, sehingga akar-akarnya menjadi
II-10
1 ๐1 = โ ๐ + ๐ + ๐ 3 1 1 ๐2 = โ ๐ โ ๐ + ๐ 3 2 1 1 ๐3 = โ ๐ โ ๐ + ๐ . 3 2 3.
Jika ๐ท < 0, maka akar-akar persamaan kubik diubah dahulu ke bentuk polar. Pandang kembali persamaan (2.17)
Dengan menggunakan substitusi trigonometri, misalkan 1 ๐ง = 2 โ๐ ๐๐๐ ๐ 3
(2.47)
Substitusikan persamaan (2.47) ke dalam persamaan (2.17), sehingga menjadi: 3
1 2 โ๐ ๐๐๐ ๐ 3
1 + ๐ 2 โ๐ ๐๐๐ ๐ โ ๐ = 0. 3
Berdasarkan persamaan (2.25) dan persamaan (2.26) diperoleh: 3
1 2 โ๐ ๐๐๐ ๐ 3
1 + 3๐ 2 โ๐ ๐๐๐ ๐ โ 2๐
= 0 3 3 1 1 8 โ๐ ๐๐๐ 3 ๐ โ 6 โ๐ โ๐ cos ๐ โ 2๐
= 0 3 3 3 1 3 1 8 โ๐ ๐๐๐ 3 ๐ โ 6 โ๐ cos ๐ โ 2๐
= 0 3 3 Selanjutnya, dipunyai 4๐๐๐ 3 ๐ โ 3 cos ๐ = ๐๐๐ 3๐
(2.48)
(2.49)
Persamaan (2.49) dapat juga ditulis 1 1 1 4๐๐๐ 3 ๐ โ 3 cos ๐ = ๐๐๐ 3 ๐ = ๐๐๐ ๐ 3 3 3 Sehingga persamaan (2.48) menjadi: 2
โ๐
๐๐๐ ๐ =
3
๐๐๐ ๐ = 2๐
(2.50)
๐
โ๐
(2.51)
3
Berdasarkan persamaan (2.51) diatas dapat ditentukan nilai ๐ ๐ = ๐๐๐ โ1
๐
โ๐
3
II-11
Sementara itu persamaan (2.47) dapat ditentukan akar-akar dari persamaan (2.17) menjadi ๐ 3 Dua akar-akar lainnya dapat diketahui yaitu ๐1 = 2 โ๐๐๐๐
๐ + 2๐ 3 ๐ + 4๐ ๐3 = 2 โ๐๐๐๐ 3 ๐2 = 2 โ๐๐๐๐
(2.52)
(2.53) (2.54)
Berdasarkan persamaan (2.13) dapat diperoleh akar-akar dari bentuk umum persamaan (2.6) menjadi ๐ ๐ โ 3 3๐ ๐ + 2๐ ๐ ๐2 = 2 โ๐๐๐๐ โ 3 3๐ ๐ + 4๐ ๐ ๐3 = 2 โ๐๐๐๐ โ 3 3๐
๐1 = 2 โ๐๐๐๐
Jadi, jika ๐ท < 0, maka akar-akar persamaan kubik mempunyai tiga akar-akar riil yang berlainan.
II-12
BAB III METODELOGI PENELITIAN Metodologi penelitian yang penulis gunakan adalah studi literatur dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1) Menentukan persamaan kuartik. 2) Menentukan akar-akar persamaan kuartik dengan formula Ferrari, pertama mengubah persamaan kuartik ke bentuk monic, kemudian menghasilkan persamaan kuartik depressed, selanjutnya diubah ke bentuk persamaan kubik nested. Untuk mempermudah penyelesaian pada kubik depressed
mengganti
variabel ๐ฆ menjadi variabel ๐ฃ. Selanjutnya setelah didapat nilai ๐ฆ dapat diperoleh akar-akar persamaan kuartik. 3) Menentukan diskriminan persamaan kuartik, setelah didapat akar-akar persamaan kuartik selanjutnya dapat ditentukan diskriminannya menggunakan rumus polinomial yaitu mencari diskriminan dari matriks Sylvester ordo (2๐ โ 1) ร 2๐ โ 1 .
Langkah-langkah metodologi penelitian di atas dapat digambarkan dalam flow chart sebagai berikut:
III-1
MULAI
PERSAMAAN KUARTIK
MENENTUKAN AKAR-AKAR
MENENTUKAN DISKRIMINAN
PERSAMAAN KUARTIK
PERSAMAAN KUARTIK
DENGAN FORMULA FERRARI
MENGUBAH KUARTIK KE MONIC
๐ ,๐ = ๐ ๐๐
KUARTIK DEPRESSED
KUBIK NESTED
KUBIK DEPRESSED
PERSAMAAAN y
๐น ๐ท, ๐ทโฒ = DETERMINAN MATRIKS SYLVESTER ORDO
AKAR-AKAR
๐๐ โ ๐ ร (๐๐ โ ๐)
PERSAMAAN KUARTIK
HASIL
SELESAI Gambar 3.1 Flow chat metode penelitian
III-2
BAB IV PEMBAHASAN
Pada bab ini akan dijelaskan tentang menentukan akar-akar persamaan kuartik dan menentukan diskriminan serta pengaruhnya terhadap akar-akar persamaan kuartik. Bab ini terdiri dari dua Sub bab, yaitu Sub bab pertama berisi tentang menentukan akar-akar pada persamaan kuartik, dan Sub bab kedua berisi tentang diskriminan dan jenis akar-akar persamaan kuartik. 4.1
Akar-akar pada Persamaan Kuartik Persamaan kuartik adalah persamaan polinomial berderajat empat, dengan
bentuk umum dalam variabel ๐ฅ sebagai berikut: ๐4 ๐ฅ 4 + ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐0 = 0
(4.1)
dengan ๐4 , ๐3, ๐2, ๐1, ๐0 adalah konstanta riil, dan ๐4 โ 0 Persamaan (4.1) mempunyai empat akar-akar yang dinotasikan dengan ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 dan ๐ฅ4 . Formula Ferrari bisa menjadi cara alternatif untuk menentukan akar-akar persamaan kuartik. Berikut ini akan diuraikan formula Ferrari untuk menentukan akar-akar persamaan kuartik dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Persamaan 4.1 diubah ke dalam bentuk monic yaitu dengan membagi konstanta riil dengan ๐4 , sehingga menjadi ๐ฅ4 +
๐3 3 ๐2 2 ๐1 ๐0 ๐ฅ + ๐ฅ + ๐ฅ+ =0 ๐4 ๐4 ๐4 ๐4
(4.2)
IV-1
2. Agar menghasilkan persamaan kuartik depressed, variabel ๐ฅ 3 dieliminasi dengan mensubstitusikan bentuk ๐ฅ=๐ขโ
๐3 4๐4
(4.3)
Sehingga persamaan (4.2), menjadi ๐ขโ
4
๐3 4๐4
+
๐3 ๐3 ๐ขโ ๐4 4๐4
3
+
2
๐2 ๐3 ๐ขโ ๐4 4๐4
+
๐1 ๐3 ๐0 ๐ขโ + =0 ๐4 4๐4 ๐4
Selanjutnya, dengan menggunakan perkalian binomial untuk masing-masing suku, di peroleh
๐ข4 โ
๐3 ๐4
๐ข3 +
3๐ 3 2 16๐ 4
๐ขโ 2
๐3 3 64๐ 4
3
6๐ 3 16๐ 4
+
๐ข2 โ 2 ๐2 ๐4
4๐ 3 3 64๐ 4
๐ข2 โ
3๐ข +
๐3 2๐ 4
๐3 4 256๐ 4
๐ขโ
4
๐3 2 16๐ 4
2
+
๐3
๐ข3 โ
๐4
+
๐1
๐ขโ
๐4
3๐ 3 4๐ 4 ๐3 4๐ 4
๐ข2 + +
๐0 ๐4
=0
Kelompokkan variabel dengan derajat yang sama, sehingga:
๐ข4 + ๐0 ๐4
โ3๐ 3 2 8๐ 4
+
๐2 ๐4
๐ข2 +
๐3 3 8๐ 4
โ 3
๐3 ๐2 2๐ 4
2 +
๐1 ๐4
๐ข+
โ3๐ 3 4 256๐ 4
+ 4
๐3 2 ๐2 16๐ 4
3
โ
๐3 ๐1 4๐ 4 2
+
=0
Untuk memudahkan penulisan koefisien ๐ข, misalkan: โ3๐3 2 ๐2 ๐ผ= + , 8๐4 2 ๐4 ๐3 3 ๐3 ๐2 ๐1 ๐ฝ= โ + , 8๐4 2๐4 2 ๐4 ๐พ=
โ3๐3 4 ๐3 2 ๐2 ๐3 ๐1 ๐0 + โ + . 256๐4 4 16๐4 3 4๐4 2 ๐4
IV-2
Sehingga menghasilkan persamaan ๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข + ๐พ = 0
(4.4)
Persamaan (4.4) adalah persamaan kuartik depressed. Untuk ๐ฝ = 0 maka persamaan (4.4) menjadi persamaan bikuartik. Akar-akarnya dapat ditentukan dengan menggunakan substitusi variabel dengan rumus kuadratik. Jika ๐พ = 0 maka persamaannya menjadi ๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข = 0. Salah satu akarnya adalah ๐ข = 0 dan akar-akar lainnya dapat ditentukan dengan membagi persamaan dengan ๐ข, sehingga didapat persamaan kubik depressed ๐ข3 + ๐ผ๐ข + ๐ฝ = 0. Persamaan kubik depressed dapat ditentukan akar-akarnya dengan formula Cardano. 3.
Selanjutnya persamaan kuartik depressed diubah ke bentuk persamaan kubik nested, dengan menggunakan metode yang ditentukan oleh Ferrari, yang dinamakan dengan formula Ferrari
Misalkan: ๐ข2 + ๐ผ
2
๐ข2 + ๐ผ
= ๐ข4 + 2๐ผ๐ข2 + ๐ผ 2 2
โ ๐ข4 โ 2๐ผ๐ข2 = ๐ผ 2
(4.5)
Persamaan (4.5) jika ditambahkan ke dalam persamaan (4.4), diperoleh ๐ข2 + ๐ผ
2
โ ๐ข4 โ 2๐ผ๐ข2 + ๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข + ๐พ = ๐ผ 2 + 0
๐ข2 + ๐ผ
2
โ 2๐ผ๐ข2 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข + ๐พ = ๐ผ 2
๐ข2 + ๐ผ
2
โ ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข + ๐พ = ๐ผ 2
๐ข2 + ๐ผ
2
+ ๐ฝ๐ข + ๐พ = ๐ผ๐ข2 + ๐ผ 2
(4.6)
IV-3
Langkah selanjutnya adalah menambahkan variabel ๐ฆ ke dalam kuadrat sempurna di sisi kiri persamaan (4.6), dan menyesuaikan dengan menambah variabel 2๐ฆ ke dalam koefisien ๐ข2 di sisi kanan persamaan (4.6) ๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ
2
โ ๐ข2 + ๐ผ
2
= (๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฆ๐ข2 + ๐ผ๐ข2 + ๐ผ 2 + ๐ผ๐ฆ + ๐ฆ๐ข2 + ๐ผ๐ฆ + ๐ฆ 2 ) โ (๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ผ๐ข2 + ๐ผ 2 ) = 2๐ผ๐ข2 + 2๐ฆ๐ข2 + 2๐ผ๐ฆ + ๐ฆ 2 โ 2๐ผ๐ข2 = 2๐ฆ ๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ 2 = 2๐ฆ๐ข2 + 2๐ฆ๐ผ + ๐ฆ 2
(4.7)
Diketahui: 0 = ๐ผ + 2๐ฆ ๐ข2 โ 2๐ฆ๐ข2 โ ๐ผ๐ข2
(4.8)
Selanjutnya, persamaan (4.7) dan persamaan (4.8) ditambah bersama-sama masingmasing ruas, menghasilkan ๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ
2
โ ๐ข2 + ๐ผ
2
= ๐ผ + 2๐ฆ ๐ข2 โ ๐ผ๐ข2 + 2๐ฆ๐ผ + ๐ฆ 2
(4.9)
Persamaan (4.9) ditambah ke dalam persamaan (4.6), menghasilkan ๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ
2
+ ๐ฝ๐ข + ๐พ = ๐ผ + 2๐ฆ ๐ข2 + 2๐ฆ๐ผ + ๐ฆ 2 + ๐ผ 2
๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ
2
= ๐ผ + 2๐ฆ ๐ข2 + 2๐ฆ๐ผ + ๐ฆ 2 + ๐ผ 2 โ ๐ฝ๐ข โ ๐พ
๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ
2
= ๐ผ + 2๐ฆ ๐ข2 โ ๐ฝ๐ข + ๐ฆ 2 + 2๐ฆ๐ผ + ๐ผ 2 โ ๐พ
(4.10)
(4.11)
Langkah berikutnya adalah mencari nilai untuk ๐ฆ sedemikian hingga sisi kanan persamaan (4.11) merupakan persamaan kuadrat sempurna. Misalkan: ๐ ๐ข + ๐ก
2
= ๐ 2 ๐ข2 + 2๐ ๐ก ๐ข + ๐ก 2 .
(4.12)
IV-4
Selanjutnya, memisalkan diskriminannya sama dengan nol, diperoleh 2๐ ๐ก
2
โ 4 ๐ 2 ๐ก 2 = 0
(4.13)
Untuk membuat sisi kanan persamaan (4.11) menjadi kuadrat sempurna, maka diskriminan pada sisi kanan persamaan (4.11) harus sama dengan nol, yaitu: โ๐ฝ
2
โ 4 2๐ฆ + ๐ผ ๐ฆ 2 + 2๐ฆ๐ผ + ๐ผ 2 โ ๐พ = 0
๐ฝ 2 โ 4 2๐ฆ 3 + 5๐ผ๐ฆ 2 + 4๐ผ 2 โ 2๐พ ๐ฆ + ๐ผ 3 โ ๐ผ๐พ
=0
๐ฝ2 + 2๐ฆ 3 + 5๐ผ๐ฆ 2 + 4๐ผ 2 โ 2๐พ ๐ฆ + ๐ผ 3 โ ๐ผ๐พ 4
=0
๐ฝ2 =0 4
2๐ฆ 3 + 5๐ผ๐ฆ 2 + 4๐ผ 2 โ 2๐พ ๐ฆ + ๐ผ 3 โ ๐ผ๐พ โ
5 2 ๐ผ 3 ๐ผ๐พ ๐ฝ 2 2 ๐ฆ + ๐ผ๐ฆ + 2๐ผ โ ๐พ ๐ฆ + โ โ =0 2 2 2 8 3
4.14
Persamaan (4.14) dinamakan dengan persamaan kubik nested. 4. Selanjutnya mengubah persamaan kubik nested ke persamaan kubik depressed dengan memisalkan 5 ๐ฆ=๐ฃโ ๐ผ, 6
4.15
sehingga persamaan (4.14) menjadi 5
๐ฃโ6๐ผ
3
5
5
+2๐ผ ๐ฃ โ6๐ผ
2
+ 2๐ผ 2 โ ๐พ
5
๐ฃ โ 6๐ผ +
๐ผ3 2
โ
๐ผ๐พ 2
โ
๐ฝ2 8
= 0.
(4.16)
dengan menggunakan perkalian binomial masing-masing suku, diperoleh
IV-5
5
25
2
12
๐ฃ 3 โ ๐ผ๐ฃ 2 + 2๐ผ 2 โ ๐พ
๐ผ2๐ฃ โ
125 216
5
๐ผ3
6
2
๐ฃโ ๐ผ +
5
5
25
2
3
36
๐ผ 3 + ๐ผ ๐ฃ 2 โ ๐ผ๐ฃ +
โ
๐ผ๐พ 2
โ
๐ฝ2
๐ผ2 +
= 0.
8
(4.17)
dengan mengelompokkan variabel ๐ฃ untuk derajat yang sama, diperoleh ๐ฃ3 + โ
๐ผ2 ๐ผ3 ๐ผ๐พ ๐ฝ 2 โ๐พ ๐ฃ+ โ + โ = 0. 12 108 3 8
(4.18)
Misalkan: ๐=โ
๐ผ2 โ๐พ, 12
๐ผ3 ๐ผ๐พ ๐ฝ 2 ๐=โ + โ , 108 3 8 sehingga persamaan (4.18) menjadi ๐ฃ 3 + ๐๐ฃ + ๐ = 0
(4.19)
Persamaan (4.19) disebut persamaan kubik depressed. 5. Persamaan (4.19) akan ditentukan akar-akarnya dengan mengubah ke dalam bentuk kuadrat. Misalkan ๐ฃ pada persamaan (4.19) adalah: ๐ฃ =๐โ
๐ 3๐
(4.20)
๐ +๐=0 3๐
(4.21)
Persamaan (4.19) menjadi ๐โ
๐ 3๐
3
+๐ ๐โ
Dengan menggunakan perkalian binomial
IV-6
๐3 ๐2 ๐2 ๐ โ ๐๐ โ + + ๐๐ โ +๐ = 0 27๐ 3 3๐ 3๐ 3
Selanjutnya, mengelompokkan variabel ๐ข dengan derajat yang sama, sehingga didapat persamaan ๐3 โ
๐3 ๐2 ๐2 โ ๐๐ + ๐๐ + โ +๐ =0 27๐ 3 3๐ 3๐
๐3 ๐ โ +๐ =0 27๐ 3 3
๐3 โ
๐3 +๐=0 27๐ 3
(4.22)
Persamaan (4.22) diubah ke bentuk kuadrat dengan mengalikan kedua ruas dengan ๐ 3 , menjadi 3
๐ ๐
3
๐3 ๐ 3 โ + ๐ ๐3 = 0 27 ๐ 3
๐3 ๐ โ + ๐๐ 3 = 0 27 6
๐3
2
โ
๐3 + ๐๐ 3 = 0 . 27
(4.23)
Misalkan ๐ 3 = ๐ฟ,
(4.24)
maka persamaan (4.23) menjadi: ๐3 ๐ฟ โ + ๐๐ฟ = 0 , 27 2
IV-7
๐3 ๐ฟ + ๐๐ฟ โ = 0. 27 2
(4.25)
Persamaan (4.25) adalah persamaan kuadratik. Dengan menggunakan rumus kuadratik, persamaan (4.25) dapat ditentukan akar-akarnya, yaitu: โ๐ ยฑ ๐2 + ๐ฟ=
4๐3 27
2
๐ ๐2 ๐3 ๐ฟ=โ ยฑ + 2 4 27
4.26
Berdasarkan persamaan (4.24), maka persamaan (4.26) menjadi 1 1 2 ๐3 ๐3 = โ ๐ ยฑ ๐ + 2 4 27
3
๐=
1 1 2 ๐3 โ ๐ยฑ ๐ + 2 4 27
(4.27)
Berdasarkan persamaan (4.26), maka persamaan (4.27) menjadi ๐=
3
๐ฟ.
Selanjutnya, substitusikan persamaan (4.20) ke dalam persamaan (4.15), sehingga didapat persamaan 5 ๐ ๐ฆ =โ ๐ผ+๐โ , 6 3๐
(4.28)
Persamaan (4.28) merupakan penyelesaian dari persamaan kubik nested.
IV-8
6. Selanjutnya, akar-akar persamaan kuartik dapat ditentukan dengan ๐ฆ pada persamaan (4.28), sekarang dapat diketahui bahwa sisi kanan persamaan (4.12) adalah kuadrat sempurna dalam bentuk: 2
๐ 2 ๐ข2 + 2๐ ๐ก ๐ข + ๐ก 2 =
๐ 2
๐ข+
2๐ ๐ก
,
๐ 2
2
(4.29)
sehingga, 2 2
2
2
๐ผ + 2๐ฆ ๐ข + โ๐ฝ ๐ข + ๐ฆ + 2๐ฆ๐ผ + ๐ผ โ ๐พ =
๐ผ + 2๐ฆ ๐ข +
โ๐ฝ 2
๐ผ +2๐ฆ
(4.30)
Persamaan (4.11) menjadi 2
๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ
2
=
๐ผ + 2๐ฆ ๐ข โ
๐ฝ 2
๐ผ + 2๐ฆ
(4.31)
Persamaan (4.31) memiliki sepasang kuadrat sempurna, sehingga
๐ข2 + ๐ผ + ๐ฆ = ยฑ
๐ผ + 2๐ฆ ๐ข โ
๐ฝ 2
(4.32)
๐ผ + 2๐ฆ
Jika variabel ๐ข dikelompokkan menurut derajatnya, maka diperoleh ๐ข2 + โ๐ ๐ผ + 2๐ฆ ๐ข + ๐ผ + ๐ฆยฑ๐
๐ฝ 2
๐ผ + 2๐ฆ
=0
(4.33)
Persamaan (4.33) adalah persamaan kuadrat dalam bentuk variable ๐ข, solusinya adalah
IV-9
ยฑ๐ ๐ผ + 2๐ฆยฑ๐ก
๐ผ + 2๐ฆ โ 4 ๐ผ + ๐ฆยฑ๐
๐ข=
๐ฝ ๐ผ + 2๐ฆ
2
(4.34)
2
Persamaan (4.34) disederhanakan, sehingga didapat
ยฑ๐ ๐ผ + 2๐ฆยฑ๐ก โ 3๐ผ + 2๐ฆยฑ๐ ๐ข=
2๐ฝ ๐ผ + 2๐ฆ
.
2
(4.35)
Persamaan (4.35) adalah penyelesaian dari persamaan kuartik. Dari persamaan (4.3) dan persamaan (4.35), diperoleh persamaan
๐ฅ+
๐3 = 4๐4
๐ฅ=โ
ยฑ๐ ๐ผ + 2๐ฆยฑ๐ก โ 3๐ผ + 2๐ฆยฑ๐
๐3 + 4๐4
2๐ฝ ๐ผ + 2๐ฆ
2
ยฑ๐ ๐ผ + 2๐ฆยฑ๐ก โ 3๐ผ + 2๐ฆยฑ๐
2๐ฝ ๐ผ + 2๐ฆ
2
(4.36)
Misalkan: ๐ป=
๐ผ + 2๐ฆ
Sehingga persamaan (4.36) menjadi 2๐ฝ ยฑ๐ ๐ปยฑ๐ก โ 3๐ผ + 2๐ฆยฑ๐ ๐ป ๐3 ๐ฅ=โ + 4๐4 2
(4.37)
IV-10
Persamaan (4.37) penyelesaian dari persamaan kuartik. Jika persamaan (4.37) diuraikan, akan diperoleh akar-akar persamaan kuartik dari variable ๐ฅ sebagai berikut:
4.2
2๐ฝ ๐ป + โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐ป ๐3 ๐ฅ1 = โ + 4๐4 2
(4.38)
2๐ฝ ๐ป โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐ป ๐3 ๐ฅ2 = โ + 4๐4 2
(4.39)
2๐ฝ โ๐ป + โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ป ๐3 ๐ฅ3 = โ + 4๐4 2
(4.40)
2๐ฝ โ๐ป โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ป ๐3 ๐ฅ4 = โ + 4๐4 2
(4.41)
Diskriminan Persamaan Kuartik
Diberikan persamaan kuartik dan turunannya ๐ ๐ฅ = ๐4 ๐ฅ 4 + ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐0 ๐โฒ ๐ฅ = 4๐4 ๐ฅ 3 + 3๐3 ๐ฅ 2 + 2๐2 ๐ฅ + ๐1 Berdasarkan persamaan (2.2) dapat ditentukan ๐ท4 = โ1
1 4(4โ1) 2
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐4
= โ1
1 4(4โ1) 2
1 ๐
๐, ๐โฒ , ๐4
= โ1 =
6
1 ๐
๐, ๐โฒ , ๐4
1 ๐
๐, ๐โฒ , ๐4
IV-11
dengan ๐4 0 0 4๐ ๐
๐, ๐โฒ =det 4 0 0 0
๐3 ๐4 0 3๐3 4๐4 0 0
๐2 ๐3 ๐4 2๐2 3๐3 4๐4 0
๐1 ๐2 ๐3 1๐1 2๐2 3๐3 4๐4
๐0 ๐1 ๐2 0 1๐1 2๐2 3๐3
0 ๐0 ๐1 0 0 1๐1 2๐2
0 0 ๐0 0 . 0 0 1๐1
Sehingga, dengan menggunakan maple 13 diperoleh ๐
๐, ๐โฒ = ๐4 256๐0 3 ๐4 3 โ 192๐0 2 ๐1 ๐3 ๐4 2 โ 27๐0 2 ๐3 4 + 144๐0 2 ๐2 ๐3 2 ๐4 โ 128๐0 2 ๐2 2 ๐4 2 + 16๐0 ๐2 2 ๐4 โ 80๐0 ๐1 ๐2 2 ๐3 ๐4 + 18๐0 ๐1 ๐2 ๐3 3 โ 6๐0 ๐1 ๐3 2 ๐4 + 144๐0 ๐1 2 ๐2 ๐4 2 โ 4๐0 ๐2 2 ๐3 2 โ 4๐1 2 ๐2 3 ๐4 โ 44๐1 3 ๐3 3 โ 27๐1 4 ๐4 2 + 18๐1 3 ๐2 ๐3 ๐4 + ๐1 2 ๐2 2 ๐3 2 , Sehingga ๐ท4 =
1
๐ท4 = ๐
4
1 ๐
๐, ๐โฒ . ๐4
๐4 256๐0 3 ๐4 3 โ 192๐0 2 ๐1 ๐3 ๐4 2 โ 27๐0 2 ๐3 4 + 144๐0 2 ๐2 ๐3 2 ๐4 โ
128๐0 2 ๐2 2 ๐4 2 + 16๐0 ๐2 2 ๐4 โ 80๐0 ๐1 ๐2 2 ๐3 ๐4 + 18๐0 ๐1 ๐2 ๐3 3 โ 6๐0 ๐1 ๐3 2 ๐4 + 144๐0 ๐1 2 ๐2 ๐4 2 โ 4๐0 ๐2 2 ๐3 2 โ 4๐1 2 ๐2 3 ๐4 โ 44๐1 3 ๐3 3 โ 27๐1 4 ๐4 2 + 18๐1 3 ๐2 ๐3 ๐4 + ๐1 2 ๐2 2 ๐3 2 ๐ท4 = 256๐0 3 ๐4 3 โ 192๐0 2 ๐1 ๐3 ๐4 2 โ 27๐0 2 ๐3 4 + 144๐0 2 ๐2 ๐3 2 ๐4 โ 128๐0 2 ๐2 2 ๐4 2 + 16๐0 ๐2 2 ๐4 โ 80๐0 ๐1 ๐2 2 ๐3 ๐4 + 18๐0 ๐1 ๐2 ๐3 3 โ 6๐0 ๐1 ๐3 2 ๐4 + 144๐0 ๐1 2 ๐2 ๐4 2 โ 4๐0 ๐2 2 ๐3 2 โ 4๐1 2 ๐2 3 ๐4 โ 44๐1 3 ๐3 3 โ 27๐1 4 ๐4 2 + 18๐1 3 ๐2 ๐3 ๐4 + ๐1 2 ๐2 2 ๐3 2
(4.45)
IV-12
Diskriminan ๐ท4 persamaan kuartik ๐ ๐ฅ = ๐4 ๐ฅ 4 + ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 +๐1 ๐ฅ+๐0 dapat juga ditentukan dengan menggunakan kuartik depressed: โ
๐ข = ๐ข4 + ๐ผ๐ข2 + ๐ฝ๐ข + ๐พ โ
โฒ ๐ข = 4๐ข3 + 2๐ผ๐ข + ๐ฝ Berdasarkan persamaan (2.2) dapat ditentukan ๐ท4 = โ1
1 4(4โ1) 2
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐4
= โ1
1 4(4โ1) 2
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐4
= โ1
=
6
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐4
1 ๐
๐, ๐โฒ ๐4
1 0 0 ๐
๐, ๐โฒ = det 4 0 0 0
0 ๐ผ 1 0 0 1 0 2๐ผ 4 0 0 4 0 0
๐ฝ ๐ผ 0 ๐ฝ 2๐ผ 0 4
๐พ ๐ฝ ๐ผ 0 ๐ฝ 2๐ผ 0
0 ๐พ ๐ฝ 0 0 ๐ฝ 2๐ผ
0 0 ๐พ 0 0 0 ๐ฝ
Sehingga, dengan menggunakan maple 13 diperoleh ๐
๐, ๐โฒ = โ4๐ผ 3 ๐ฝ 2 โ 27๐ฝ 4 + 16๐ผ 4 ๐พ + 144๐ผ๐ฝ 2 ๐พ โ 128๐ผ 2 ๐พ 2 + 256๐พ 3 Oleh karena ๐4 = 1, maka rumus diskriminan ๐ท4 menjadi ๐ท4 = ๐
๐, ๐โฒ ๐ท4 = โ4๐ผ 3 ๐ฝ 2 โ 27๐ฝ 4 + 16๐ผ 4 ๐พ + 144๐ผ๐ฝ 2 ๐พ โ 128๐ผ 2 ๐พ 2 + 256๐พ 3 dengan
IV-13
โ3๐3 2 ๐2 ๐ผ= + , 8๐4 2 ๐4 ๐ฝ=
๐3 3 ๐3 ๐2 ๐1 โ + , 8๐4 2๐4 2 ๐4
๐พ=
โ3๐3 4 ๐3 2 ๐2 ๐3 ๐1 ๐0 + โ + . 256๐4 4 16๐4 3 4๐4 2 ๐4
Jenis akar-akar persamaan kuartik sebagai berikut: Berdasarkan: Compare, Dickson : 1914 1. ๐ท4 < 0, akar-akarnya berbeda, dua riil dan dua imajiner. 2. ๐ท4 > 0, akar-akarnya berbeda, semua riil atau semua imajiner. ๐ผ2 ๐ผ < 0, ๐พ > , akar โ akarnya imajiner 4 ๐พ<
๐ผ2 , akar โ akarnya riil 4
๐ผ โฅ 0, akar โ akarnya imajiner 3. ๐ท4 = 0, setidaknya dua akarnya kembar ๐ผ2 , akar โ akarnya dua riil dan kembar, dua imajiner 4
๐ผ < 0, ๐พ >
๐ผ2 ๐ผ2 โ <๐พ< , akar โ akarnya riil, hanya dua yang kembar 12 4 ๐ผ2 ๐พ= , dua pasang akar โ akarnya riil dan kembar 4 ๐ผ2 ๐พ = โ , akar โ akarnya riil, tiga kembar. 12 ๐ผ > 0, ๐พ > 0, ๐ฝ โ 0, dua akar-akarnya riil dan kembar, dua imajiner ๐พ=
๐ผ2 , ๐ฝ = 0, dua pasang akar โ akarnya imajiner dan kembar 4
IV-14
๐พ = 0, dua akar-akarnya riil dan kembar, dua imajiner ๐ผ = 0, ๐พ > 0, dua akar-akarnya riil dan kembar, dua imajiner ๐พ = 0, empat akar-akarnya riil dan kembar. Contoh 4.1 : Tentukan diskriminan dan akar-akar dari persamaan kuartik berikut ๐ฅ 4 + 6๐ฅ 2 โ 60๐ฅ + 36 = 0 Penyelesaian : Dari persamaan di atas diketahui: ๐4 = 1, ๐3 = 0, ๐2 = 6, ๐1 = โ60, dan ๐0 = 36 Selanjutnya akan dicari nilai ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ dengan rumus: ๐ผ=
โ3๐3 2 ๐2 + , 8๐4 2 ๐4
๐ฝ=
๐3 3 ๐3 ๐2 ๐1 โ + , 8๐4 2๐4 2 ๐4
โ3๐3 4 ๐3 2 ๐2 ๐3 ๐1 ๐0 ๐พ= + โ + . 256๐4 4 16๐4 3 4๐4 2 ๐4 Sehingga diperoleh โ3 0 2 6 ๐ผ= + 8 1 2 1 =0+6 =6 ๐ฝ=
0 3 0(6) โ60 โ + 2 8 1 3 1 1
= 0 โ 0 โ 60
IV-15
= โ60 โ3 0 4 0 2. 6 0.1 36 ๐พ= + โ + 256 1 4 16 1 3 4 1 2 1 = 0 + 0 โ 0 + 36 = 36 Setelah didapat nilai ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ, selanjutnya akan dicari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus diskriminan polinomial (2.2), diperoleh : ๐ท = โ4๐ผ 3 ๐ฝ 2 โ 27๐ฝ 4 + 16๐ผ 4 ๐พ + 144๐ผ๐ฝ 2 ๐พ โ 128๐ผ 2 ๐พ 2 + 256๐พ 3 = โ4 6 6
2
3
36
โ60 2
2
โ 27 โ60
+ 256 36
4
+ 16 6
4
36 + 144 6 โ60
2
36 โ 128
3
= โ3110400 โ 349920000 + 746496 + 111974400 โ 5971968 + 11943936 = โ234337536 Diskriminan ๐ท4 persamaan kuartik โ234337536 < 0 . Berdasarkan pemaparan hasil, maka akar-akar persamaan di atas terdiri dari dua riil dan dua imajiner. Selanjutnya akan dicari akar-akar persamaan kuartik, nilai ๐ dan ๐ akan didapat dengan rumus : ๐ผ2 ๐ =โ โ๐พ, 12 ๐=โ
๐ผ3 ๐ผ๐พ ๐ฝ 2 + โ , 108 3 8
Sehingga ๐=โ
6 2 โ 36 12
IV-16
=โ
36 โ 36 12
= โ3 โ 36 = โ39 ๐=โ
=โ
6 3 6(36) โ60 + โ 108 3 8
2
216 216 3600 + โ 108 3 8
= โ380 dari persamaan 4.27 , diperoleh
3
1 1 2 ๐3 ๐ยฑ ๐ + 2 4 27
3
1 1 โ380 + โ380 2 4
๐=
๐=
=
3
2
โ39 + 27
3
190 + 36100 + โ2197
= 7.20565 dan ๐ฃ = ๐โ
๐ 3๐
= 7.20565 โ
(โ39) 3 7.20565
IV-17
= 1.80413 Berdasarkan persamaan 4.28 , diperoleh 5 ๐ ๐ฆ=โ ๐ผ+๐โ 6 3๐ 5
= โ 6 6 + 7.20565 โ (โ1.80413) = โ5 + 9.00979 = 4.00979 ๐ป= =
๐ผ + 2๐ฆ 6 + 2 4.00979
= 3.74427. Sehingga diperoleh ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 dan ๐ฅ4 pada persamaan 4.38 , 4.39 , 4.40 , 4.41 sebagai berikut: 2๐ฝ ๐ป + โ 3๐ผ + 2๐ฆ + 0 ๐ป ๐ฅ1 = โ + 4.1 2
=0+
2(โ60) 3.74427 + โ 3 6 + 2(4.00979) + 3.74427 2
=
3.74427 + โ 18 + 8.01958 โ 32.0489 2
=
3.74427 + 6.02936 2
= 3.09987
IV-18
2๐ฝ ๐ป โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐ป 0 ๐ฅ2 = โ + 4.1 2
=0+
2(โ60) 3.74427 โ โ 3 6 + 2(4.00979) + 3.74427 2
=
3.74427 โ โ 18 + 8.01958 โ 32.0489 2
=
3.74427 โ 6.02936 2
= 0.64439 2๐ฝ โ๐ป + โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ป 0 ๐ฅ3 = โ + 4.1 2 2(โ60) โ3.74427 + โ 3 6 + 2 4.00979 โ 3.74427 =0+ 2 =
โ3.74427 + โ 18 + 8.01958 + 32.0489 2
=
โ3.74427 + โ58.0685 2
= โ1.87213 โ 3.81013 ๐ผ 2๐ฝ โ๐ป โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ป 0 ๐ฅ4 = โ + 4.1 2
IV-19
2(โ60) โ3.74427 โ โ 3 6 + 2 4.00979 โ 3.74427 =0+ 2 =
โ3.74427 โ โ 18 + 8.01958 + 32.0489 2
=
โ3.74427 โ โ58.0685 2
= โ1.87213 + 3.81013 ๐ผ Diperoleh ๐ฅ1 dan ๐ฅ2 akar-akarnya riil, ๐ฅ3 dan ๐ฅ4 akar-akarnya imajiner. Contoh 4.2 : Tentukan diskriminan dan akar-akar dari persamaan kuartik berikut: ๐ฅ 4 + 6๐ฅ 2 + 8๐ฅ + 21 = 0 Penyelesaian : Dari persamaan di atas diketahui: ๐4 = 1, ๐3 = 0, ๐2 = 6, ๐1 = 8, ๐0 = 21 Kemudian akan dicari nilai ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ dengan rumus: โ3๐3 2 ๐2 ๐ผ= + , 8๐4 2 ๐4 ๐3 3 ๐3 ๐2 ๐1 ๐ฝ= โ + , 8๐4 2๐4 2 ๐4 ๐พ=
โ3๐3 4 ๐3 2 ๐2 ๐3 ๐1 ๐0 + โ + . 256๐4 4 16๐4 3 4๐4 2 ๐4
Sehingga di peroleh ๐ผ=
โ3 0 2 6 + 8 1 2 1
IV-20
=0+6 =6 ๐ฝ=
0 3 0(6) 8 โ + 8 1 3 1 2 1
= 0โ0+8 = 8 ๐พ=
โ3 0 4 0 2. 6 0.1 21 + โ + 4 3 2 256 1 16 1 4 1 1
= 0 + 0 โ 0 + 21 = 21 Setelah didapat nilai ๐ผ, ๐ฝ, ๐พ, selanjutnya akan dicari nilai diskriminan dengan menggunakan rumus diskriminan polinomial (2.2), diperoleh: ๐ท = โ4๐ผ 3 ๐ฝ 2 โ 27๐ฝ 4 + 16๐ผ 4 ๐พ + 144๐ผ๐ฝ 2 ๐พ โ 128๐ผ 2 ๐พ 2 + 256๐พ 3 3
8
21
2
= โ4 6 6
2
2
โ 27 8
+ 256 21
4
+ 16 6
4
21 + 144 6 8
2
21 โ 128
3
= โ55296 โ 110592 + 435456 + 1161216 โ 2032128 + 2370816 Diskriminan ๐ท4 persamaan kuartik 1769427 > 0 . Berdasarkan pemaparan hasil, maka akar-akar persamaan di atas semua imajiner. Dengan syarat jika ๐ผ โฅ 0, maka semua akar-akarnya imajiner. Selanjutnya akan dicari akar-akar persamaan kuartik, nilai ๐ dan ๐ akan didapat dengan rumus : ๐=โ
๐ผ2 โ๐พ, 12
IV-21
๐ผ3 ๐ผ๐พ ๐ฝ 2 ๐=โ + โ , 108 3 8 Sehingga: ๐=โ
=โ
6 2 โ 21 12
36 โ 21 12
= โ3 โ 21 = โ24 ๐=โ
=โ
6 3 6(21) 8 + โ 108 3 8
2
216 126 64 + โ 108 3 8
= 32 dari persamaan 4.27 , diperoleh
3
1 1 2 ๐3 ๐ยฑ ๐ + 2 4 27
3
1 1 32 + 32 2 4
๐=
๐=
=
3
2
+
โ24 27
3
16 + 256 + โ512
= 2.00000 + 2.00000 ๐ผ
IV-22
dan ๐ฃ =๐โ
๐ 3๐
= 2.00000 + 2.00000 ๐ผ โ
(โ24) 3 2.00000 + 2.00000 ๐ผ
= 2.00000 โ 2.00000 ๐ผ Berdasarkan persamaan 4.28 , diperoleh: 5 ๐ ๐ฆ=โ ๐ผ+๐โ 6 3๐ =โ
5 6 + 2.00000 + 2.00000 ๐ผ โ (โ2.00000 + 2.00000 ๐ผ) 6
= โ1.00000 + 0. ๐ผ Selanjutnya: ๐ป= =
๐ผ + 2๐ฆ 6 + 2 โ1.00000 + 0. ๐ผ
= 2.00000 + 0. ๐ผ Sehingga diperoleh ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 dan ๐ฅ4 pada persamaan 4.38 , 4.39 , 4.40 , 4.41 sebagai berikut: 2๐ฝ ๐ป + โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐ป 0 ๐ฅ1 = โ + 4.1 2 2.00000 + 0. ๐ผ + โ 3 6 + 2(โ1.00000 + 0. ๐ผ) + =0+
2(โ60) 2.00000 + 0. ๐ผ
2
IV-23
= 1.00000 + 2.44948 ๐ผ 2๐ฝ ๐ป โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐ป 0 ๐ฅ2 = โ + 4.1 2
=0+
2(โ60) 2.00000 + 0. ๐ผ โ โ 3 6 + 2(โ1.00000 + 0. ๐ผ) + 2.00000 + 0. ๐ผ 2
= 1.00000 โ 2.44948 ๐ผ 2๐ฝ โ๐ป + โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ป 0 ๐ฅ3 = โ + 4.1 2 2(โ60) 2.00000 + 0. ๐ผ + โ 3 6 + 2 โ1.00000 + 0. ๐ผ โ 2.00000 + 0. ๐ผ =0+ 2 = โ1.00000 + 1.41421 ๐ผ 2๐ฝ โ๐ป โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ป 0 ๐ฅ4 = โ + 4.1 2 2(โ60) 2.00000 + 0. ๐ผ โ โ 3 6 + 2 โ1.00000 + 0. ๐ผ โ 2.00000 + 0. ๐ผ =0+ 2 = โ1.00000 โ 1.41421 ๐ผ = โ1.872136644 + 3.810135337 ๐ผ Diperoleh akar-akar ๐ฅ1 , ๐ฅ2 , ๐ฅ3 dan ๐ฅ4 semuanya imajiner.
IV-24
BAB V KESIMPULAN DAN SARAN 5.1. Kesimpulan Berdasarkan pembahasan Bab IV maka diperoleh akar-akar persamaan kuartik ๐4 ๐ฅ 4 + ๐3 ๐ฅ 3 + ๐2 ๐ฅ 2 + ๐1 ๐ฅ + ๐0 = 0 dengan menggunakan formula Ferrari adalah sebagai berikut: 2๐ฝ ๐ + โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐3 ๐ ๐ฅ1 = โ + 4๐4 2 2๐ฝ ๐ โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ + ๐ ๐3 ๐ฅ2 = โ + 4๐4 2 2๐ฝ โ๐ + โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ ๐3 ๐ฅ3 = โ + 4๐4 2 2๐ฝ โ๐ โ โ 3๐ผ + 2๐ฆ โ ๐ ๐3 ๐ฅ4 = โ + 4๐4 2 dan diskriminan persamaan kuartik: ๐ท4 = โ4๐ผ 3 ๐ฝ 2 โ 27๐ฝ 4 + 16๐ผ 4 ๐พ + 144๐ผ๐ฝ 2 ๐พ โ 128๐ผ 2 ๐พ 2 + 256๐พ 3 dengan ๐ผ=
โ3๐3 2 ๐2 + , 8๐4 2 ๐4
๐3 3 ๐3 ๐2 ๐1 ๐ฝ= โ + , 8๐4 2๐4 2 ๐4 โ3๐3 4 ๐3 2 ๐2 ๐3 ๐1 ๐0 ๐พ= + โ + . 256๐4 4 16๐4 3 4๐4 2 ๐4 Jenis-jenis Akar-akar persamaan kuartik ditentukan oleh nilai ๐ท.
V-1
5.2. Saran Pada tugas akhir ini, penulis hanya membahas menentukan akar-akar persamaan kuartik menggunakan formula Ferrari. Oleh karena itu, penulis menyarankan pada pembaca yang ingin melanjutkan tugas akhir ini agar meneliti lebih lanjut menentukan akar-akar persamaan kuintik (polinomial berderajat lima) menggunakan formula yang lain.
V-2
DAFTAR PUSTAKA
Burton, D.M. The History of Mathematics. Edisi 5, halaman 297-311. William K. Barter, Inc. New York. 2003.
Dickson, L.E. Elementary Theory of Equations. John Wiley & Sons, Inc. London. 1914.
Ellis Robert, and Gullick Denny. College Algebra and Trigonometry, Printice-Hall, Inc. New York. 1981. Fanchi, John R โMath refresher for scientists and engineersโ 2006 [Online] Available http://books.google.com/books?id=75mAJPcAWT8C, diakse 7 Juli 2010 Faucette, William Mark โA Geometri Interpretation of the Solution of the General Quartic
Polynomial.
1996
[Online]
Available
http://citcseerx.ist.psu.edu/viewdoc/download?doi=10.1.1.111.5574&rep=repl& type=pdf, diakses 20 September 2010 Janson, Svante โResultant and Discriminant of Polynomialโ Sept. 2007. [Online] Available
http://www.math.uu.se/~svante//papers/sjN5.pdf,
diakses
16
Agustus 2010 Rohani, A.F. โMenentukan Akar-akar dan Diskriminan pada Persamaan Kubikโ. Unri. Pekanbaru. 2007
Vance, E.P. Modern Algebra and Trigonometry, Third Edition. Addison-Wesley publishing Compani, Inc. Amsterdam. 1973.