MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti

MAGVD10C0T01

DIDAKTICKÝ TEST Pokyny pro vyplňování záznamového archu

Didaktický test obsahuje 21 úloh.  Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu.  Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. Testový sešit  První část (úlohy 1–10) didaktického testu tvoří úlohy otevřené.  Ve druhé části (úlohy 11–21) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.  Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je‐li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body.

 Pište modrou nebo černou propisovací tužkou.  Výsledky otevřených úloh pište čitelně do vyznačených polí záznamového archu. 7

 Je‐li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení.  Zápisy uvedené mimo vyznačená pole se nenačítají a nebudou vyhodnoceny.

 Nejednoznačný nebo nečitelný zápis bude považován za chybné řešení.

 V úlohách s nabídkou odpovědí vyberte správnou odpověď a vyznačte ji křížkem v příslušném poli záznamového archu. A B C D E

14  Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D E 14

 Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají.  Poznámky zapsané do testového sešitu nebudou předmětem hodnocení.  Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. Maximální bodové hodnocení: 50 bodů

 Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď.

 Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou.

Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

Úlohy vyřešte a výsledky zapisujte do příslušných polí v záznamovém archu.

Úloha 1

max. 2 body

Jsou dána čísla 9 · 10 , 54 · 10 . Ve stejném tvaru (součin co nejmenšího přirozeného čísla a mocniny deseti) uveďte čísla , : 45

1. 2.

Úloha 2

max. 2 body

0 zjednodušte výraz:

Pro 2

4 2

Úloha 3

max. 2 body

Posloupnost

.

je určena vzorcem

1.

Kolik členů posloupnosti je větších než

2.

Vypočtěte limitu

pro

?

∞.

Úloha 4 V

max. 2 body

řešte: log 4

x

1 log 8

Úloha 5

max. 2 body

Je dán čtyřúhelník (viz obrázek). Strana má délku , strana délku , velikosti úhlů a jsou a , vnitřní úhly při vrcholech a jsou pravé. Vyjádřete délku v závislosti na veličinách , a . D



C

d x

 A

B

Úloha 6

max. 2 body

V nádobě tvaru válce o poloměru podstavy 5 cm sahá voda do výšky 20 cm. Ponořením ocelové krychle hladina stoupne o 4 cm. Kolik centimetrů měří hrana krychle? Údaj zaokrouhlete na jedno desetinné místo.

Úloha 7 Ze vztahu y 

max. 2 body x 2 vyjádřete pro přípustné hodnoty x 3

proměnnou .

Úloha 8 Reálná funkce

max. 3 body s reálnou proměnnou

je dána předpisem: 1

1 1.

Určete průsečíky

2.

Sestrojte graf funkce .

a

grafu funkce

3

s osami souřadnic

a .

y

1 1

x

O

Úloha 9 Kružnice 2; 6 .

max. 4 body se středem

je vepsána do čtverce s vrcholy

1.

Proveďte náčrtek.

2.

Určete souřadnice středu , poloměr

4; 0 ,

a rovnici kružnice .

Do záznamového archu uveďte celý postup řešení včetně náčrtku!

2; 2 ,

4; 4 a

Úloha 10

max. 4 body

Během prvních 5 dnů se vyrobilo denně v průměru o čtvrtinu výrobků méně, než se vyrobilo v každém z 10 následujících dnů. Celkem se vyrobilo 2 200 výrobků. Kolik výrobků z tohoto počtu připadá na prvních 5 dnů? Do záznamového archu uveďte celý postup řešení!

Každou z následujících úloh vyřešte, vyhledejte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu.

Úloha 11

max. 3 body

K výrazům 1–3 přiřaďte ekvivalentní vyjádření z nabídky A – E pro libovolné cos

1. 2.

cos

3.

1

sin sin

cos 2

A)

1

B)

1

C)

1

D)

2sin

E)

není uvedeno

.

sin 2

Úloha 12

max. 3 body

V předpisech zobrazení 1–3 doplňte podle obrázku chybějící symboly z nabídky A – E. C D J

B P E

R

I O

F

A H G

1.

Ve středové souměrnosti se středem

2.

V osové souměrnosti s osou

3.

V otočení se středem

o úhel

se úsečka

se úsečka

zobrazí na

zobrazí na úsečku

60° se úsečka

zobrazí na

.

A)

.

B)

.

C) D) E)

Úloha 13

2 body

Bod je vnitřním bodem hrany krychle krychle leží průsečík přímky s rovinou A)

na přímce

B)

na přímce

C)

na přímce

D)

na přímce

E)

na jiné přímce

. Na které přímce určené vrcholy ? H

G

E

F

M D

C B

A

Úloha 14

2 body

Jaká je odchylka A)

90°

B)

60°

C)

45°

D)

30°

E)

přímky : √3

0 a přímky :

Přímky jsou rovnoběžné.

√3?

Úloha 15

2 body

Určete součet nekonečné geometrické řady přirozená čísla platí:

, kde pro všechna

4 2 A)

součet neexistuje

B) C) D) E)

jiná reálná hodnota

Úloha 16

2 body

Pro všechny reálné hodnoty proměnné 2

platí:

8

Který zápis bude po dosazení vypočtených hodnot ,

pravdivý?

2

A) B) C)

2

D)

0

E)

2

0

Úloha 17

2 body

Značka automobilu se skládá ze šesti znaků. První tři znaky jsou některá z písmen ABCDEF a po nich následuje trojčíslí z číslic 0 až 9. (Znaky se mohou ve značce opakovat, takže existuje například značka ABA020.) Jaký maximální počet aut lze takto označit, když žádná dvě auta nesmí mít stejnou značku? A)

1 216

B)

27 000

C)

35 568

D)

157 464

E)

216 000

Úloha 18

2 body

Ve firmě jsou zaměstnanci rozděleni do dvou skupin. V první skupině mají zaměstnanci průměrný měsíční plat 45 000 korun, ve druhé pobírají průměrně 30 000 korun. Průměrný měsíční plat všech zaměstnanců firmy je 32 400 korun. Kolik procent zaměstnanců je zařazeno do druhé skupiny? A)

méně než 75 %

B)

alespoň 75 %, ale méně než 80 %

C)


D)


E)

nejméně 90 %

Úloha 19

2 body

Martin si půjčil částku 42 000 korun. Na konci každého úrokovacího období splatil 6 000 korun. Po pěti splátkách se dlužná částka snížila na 20 000 korun. Kolik procent z dosud zaplacených peněz šlo na platbu úroků? A)

téměř 24 %

B)

téměř 27 %

C)

30 %

D)

asi 33 %

E)

jiný počet

Úloha 20

2 body

Hledáme komplexní číslo, jehož druhá mocnina je rovna číslu i (tj. imaginární jednotce). Na s touto vlastností? kterém z obrázků jsou zobrazena obě komplexní čísla , A)

B) y

y

i

i

1

1

x

O

O

x

C)

D) y

y

i

i

1

O

1

x

O

E) y i

1 O

x

x

Úloha 21

max. 3 body

Přirozené číslo n má na předposledním místě pětku a zbývajících 29 cifer tvoří dvojky. O každém z následujících tvrzení 1–4 rozhodněte, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne). 1.

Číslo n je dělitelné čtyřmi.

2.

Číslo n je dělitelné osmi.

3.

Číslo n je dělitelné devíti.

4.

Číslo n je dělitelné šesti.

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDLI VŠECHNY ODPOVĚDI

ŘEŠENÍ

MAGVD10C0K01

MATEMATIKA – vyšší úroveň obtížnosti

celkem uzavřených otevřených počet úloh včetně podúloh počet svazků

typ úlohy

O (u)

O (u)

úloha

21

11

10

31

18

13

3

3

0

podúloha

správné řešení

1.1

2 · 10

1–0

1.2

15 · 10

1–0

1

2

2

3.1 O (u)

3

O (u)

4

O (u)

5

lim

O (u)

6

O (u)

7

3

(2

|

|

sin

,

√100π

|

1–0

0

1 ,

| · sin

6,798033

, resp.

sin

1

2–1–0

· sin

2–1–0

6,8 cm

2–1–0

2; 0

2–1–0

0;

2 3

1–0

graf funkce

8 8.2

9

1–0

300

0),

8.1

O (u)

2–1–0

499

3.2

O (u)

bodování

0; 2 ;

1

1

náčrtek čtverce, √10; :

2–1–0

3

2

10

MAGVD10C0K01 – 1

4–3–2–1–0

poznámky k hodnocení

typ úlohy

úloha

O (u)

10

SU (p)

SU (p)

11

12

správné řešení

podúloha

600 výrobků 11.1

C

11.2

A

11.3

D

12.1

C

12.2

A

12.3

E

bodování 4–3–2–1–0 Max. 3 body 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Max. 3 body 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b

U

13

A

2–0

U

14

D

2–0

U

15

D

2–0

U

16

B

2–0

U

17

E

2–0

U

18

C

2–0

U

19

B

2–0

U

20

E

2–0

SU (d)

21

21.1

ANO

21.2

NE

21.3

ANO

21.4

ANO

Max. 3 body 4 podúlohy 3 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b.

50 bodů

CELKEM

Vysvětlivky: U – uzavřená úloha U – multiple choice SU (p) – svazek přiřazovacích úloh SU (d) – svazek dichotomických úloh O – otevřená úloha O (u) – úzce otevřená úloha

MAGVD10C0K01 – 2


MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MAGZD10C0T01

DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 20 úloh.  Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu.  Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. Testový sešit  První část (úlohy 1–10) didaktického testu tvoří úlohy otevřené.  Úlohy 11–20 jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.  Počet bodů za správně vyřešenou úlohu je uveden u čísla úlohy vpravo. Je‐li u počtu bodů zkratka max., je možné za řešení úlohy získat i dílčí body.

Pokyny pro vyplňování záznamového archu

 Pište modrou nebo černou propisovací tužkou.  Výsledky otevřených úloh pište čitelně do vyznačeného pole záznamového archu. 7

 Zápisy uvedené mimo vyznačená pole se nenačítají a nebudou vyhodnoceny.

 Nejednoznačný nebo nečitelný zápis bude považován za chybné řešení. Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

 V úlohách s nabídkou odpovědí vyberte správnou možnost a vyznačte ji křížkem v příslušném poli záznamového archu. A B C D E

14  Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A B C D E 14

 Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají.  Poznámky zapsané do testového sešitu nebudou předmětem hodnocení.  Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu. Maximální bodové hodnocení: 50 bodů

 Jakýkoli jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď.


Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

Úlohy 1–10 vyřešte a výsledky zapisujte do příslušných polí v záznamovém archu.

Úloha 1

max. 2 body

Vyznačte na číselné ose obrazy čísel

a .

2 3

0

Úloha 2

L max. 3 body

Zjednodušte výrazy: 1.

2

2.

6 ·

3. pro

1

1

Úloha 3

max. 2 body

Řešte nerovnici: 5 2 5 2 Výsledek zapište intervalem.

Úloha 4

max. 2 body

Z obou následujících vztahů vyjádřete proměnnou : 1. 2.

0,5 2

Úloha 5 Funkce 1.

max. 3 body je dána předpisem

V tabulce doplňte chybějící hodnoty funkce. 1

2.

.

2

Sestrojte graf funkce

pro

0.

1 O

3.

1

Pro kterou hodnotu proměnné

je

?

Úloha 6

max. 4 body

Řešte rovnici s neznámou 1.

log 1000

2.

5 ·5

log

:

4

5

Úloha 7

max. 2 body 5; 2 a

Body

0; 5 jsou sousedními vrcholy čtverce

. Vypočtěte obsah čtverce

.

Úloha 8

max. 2 body

Měřítko mapy (viz obrázek) vyjádřete ve tvaru 1 : . (Tedy 1 cm na mapě představuje ve skutečnosti.) 1 cm

0

7,5 km

cm

Úloha 9

max. 3 body

Kolik kroků ušetříte (zaokrouhlete na desítky), přejdete-li čtvercový pozemek úhlopříčně, místo abyste jej obcházeli po dvou stranách jeho obvodu celkem třemi sty kroky?

Úloha 10

max. 2 body

V kódu je na prvním místě jedno z písmen , , nebo . Na dalších dvou pozicích je libovolné dvojciferné číslo od 11 do 45. (Existují např. kódy 22, 45 apod.) Určete počet všech takto vytvořených kódů.

Každou z následujících úloh vyřešte, vyberte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu.

Úloha 11

max. 4 body

Ke každé rovnici 14 přiřaďte některý z intervalů (A – F), v němž je obsaženo řešení dané rovnice. 1. 2

3

0

3

2. 3

3

3. 2 2

1 2

4. 3

2 6

A) D)

∞; 1 0; 1

1 2

B)

1; 0

E)

1; ∞

C)

F) rovnice nemá řešení

0, 5; 0, 5

Úloha 12

max. 4 body

Vycházejme z následujících předpokladů: Mezi dětmi, které mají k paní hospodářce chodit po jednom, jsou malí a velcí chlapci i malá a velká děvčata. Častěji než chlapci přicházejí děvčata, malé děti chodí více než velké. Pravděpodobnost, že k hospodářce přijde dívka, je 0,6. Pravděpodobnost, že přijde malá dívka, je 0,4. Malí chlapci přicházejí s pravděpodobností 0,3. Jaká je pravděpodobnost, 1.

že k hospodářce přijde chlapec (malý nebo velký),

2.

že k hospodářce přijde velká dívka,

3.

že k hospodářce přijde malé dítě (chlapec nebo dívka),

4.

že k hospodářce nepřijde malá dívka?

Ke každé otázce 1–4 vybírejte správnou odpověď z nabídky A – F. A) 0,2

B) 0,3

C) 0,4

D) 0,5

Úloha 13

E) 0,6

F) 0,7

2 body

Firma si účtuje za vybavení kanceláře žaluziemi celkem 2 650 Kč. Z dodacího listu je patrné, že žaluzie byly o 954 Kč dražší než jejich instalace. Kolik procent z účtované částky tvoří instalace žaluzií? A)

42 %

B)

37,5 %

C)

36 %

D)

32 %

E)

26,5 %

Úloha 14

2 body

Pozemek tvaru půlkruhu je třeba oplotit. Na rovnou část plotu se použije 28 metrů pletiva. Kolik celých metrů pletiva bude nejméně potřeba na zbytek plotu po oblouku? A)

44 metrů

B)

48 metrů

C)

52 metrů

D)

56 metrů

E)

jiný počet

28 m

Úloha 15

L 2 body

Rovnoramenný trojúhelník má při základně úhel velikosti | |? ramen | | | | 10. Jakou délku má základna

|

|

75° a délky C

A)

přibližně 4,9

B)

přibližně 5,2

C)

přibližně 5,5

D)

přibližně 5,8

E)

jinou délku

10

75° A

c

B

Úloha 16

2 body

Jaká je výška nádoby tvaru pravidelného šestibokého hranolu s podstavou o obsahu 0,5 dm2, kterou tři čtvrtlitrové hrnky vody naplní až po okraj? A)

37,5 cm

B)

17 cm

C)

15 cm

D)

11,5 cm

E)

jiný výsledek

Úloha 17

2 body

Koule má poloměr 0,3 m. Kolikrát větší je objem koule s dvojnásobným poloměrem? A)

devětkrát

B)

osmkrát

C)

šestkrát

D)

třikrát

E)

méně než třikrát

Úloha 18

L 2 body

Jsou dány funkce

: :

a :

0,5 2 0,5

Na kterém z obrázků A – E jsou správně sestrojeny grafy obou funkcí? A)

B)

y

y

1 1

1

x

O

O

C)

x

1

D) y

y

1 1

O 1

O

x

1

E) y

1 1

O

x

x

Úloha 19

2 body

Přímka procházející bodem odpovídající rovnici přímky . 2

A) 2

B) C)

0; 2 má směrový vektor

1; 1 . Vyberte

0

0

2

0

D)

2

0

E)

2

0

Úloha 20

max. 3 body

Posloupnost tvoří sedmnáct po sobě jdoucích přirozených lichých čísel seřazených je číslo 23. vzestupně od nejmenšího k největšímu. Prostřední člen O každém z následujících tvrzení rozhodněte, je-li pravdivé (Ano), nebo nepravdivé (Ne). 1. 2.

Rozdíl mezi dvěma sousedními členy je 1. 29

3.

Všechny členy jsou větší než 5.

4.

Součet čtyř nejmenších členů je 40.

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDLI VŠECHNY ODPOVĚDI

ŘEŠENÍ

MAGZD10C0K01

MATEMATIKA – základní úroveň obtížnosti

celkem uzavřených otevřených počet úloh včetně podúloh počet svazků typ úlohy O (u)(1)

O (u)

úloha

20

10

10

34

19

15

3

3

0 správné řešení

podúloha

1 2

0

2

5 8

1–0

2.2

3

1–0

·

1

5

1

7

O (u)

8

O (u)

9

O (u)

10

2 1

graf funkce

1–0 1–0

5.3

4

1–0

6.1

10

2–1–0

6.2

4

2–1–0

6

O (u)

1–0

2 1 2

5.2

1–0

4

5.1

O (u)

2–1–0 2

4.2

O (u)

1–0

5; ∞

3

4.1 O (u)

2–1–0

5 6

2 3

2.1

2.3

O (u)

bodování

|

|

74

√74

2–1–0

1 : 50 000

300

150√2

35 · 4

2–1–0

90

140

MAGZD10C0K01 – 1

3–2–1–0

2–1–0


typ úlohy

SU (p)

SU (p)

úloha

11

12

podúloha

správné řešení

11.1

A

11.2

D

11.3

F

11.4

C

12.1

C

12.2

A

12.3

F

12.4

E

bodování Max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b

U

13

D

2–0

U

14

A

2–0

U

15

B

2–0

U

16

C

2–0

U

17

B

2–0

U

18

E

2–0

U

19

D

2–0

SU (d)

20

20.1

NE

20.2

ANO

20.3

ANO

20.4

ANO

Max. 3 body 4 podúlohy 3 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b.

50 bodů

CELKEM

Vysvětlivky: U – uzavřená úloha U – multiple choice SU (p) – svazek přiřazovacích úloh SU (d) – svazek dichotomických úloh O – otevřená úloha O (u) – úzce otevřená úloha

MAGZD10C0K01 – 2

pozn. k hodnocení


MAMVD12C0T01

DIDAKTICKÝ TEST Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 %

1

2.1

• Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí.

Základní informace k zadání zkoušky

• Didaktický test obsahuje 23 úloh. • Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. • Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu. • U každé úlohy je uveden maximální počet bodů. • Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají. • Odpovědi pište do záznamového archu. • Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení. • Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení. • První část didaktického testu (úlohy 1–12) tvoří úlohy otevřené. • Ve druhé části (úlohy 13–23) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.

2

Pokyny k otevřeným úlohám

Pravidla správného zápisu odpovědí

• Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně.

1 • Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení. • Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny. • Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

2.2

Pokyny k uzavřeným úlohám

• Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku. A

B

C

D

E

17 • Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A

B

C

D

E

17 • Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď. • Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou.

• U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, obtáhněte čáry a křivky následně propisovací tužkou. • Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu.

Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv. 1

1

2

Najděte nejmenší sudé číslo tak, aby součin ∙ 5 mocninou nějakého přirozeného čísla.

max. 2 body ∙ 3 byl třetí

Existují dvě různá komplexní čísla taková, že = 1 a současně ≠ 1. Vypočtěte součet těchto dvou čísel.

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 2

1 bod

max. 2 body 3

Pro ∈ řešte: 2 1 ≤ +2


max. 2 body 4

Pro ∈ řešte: √5 − = −1 −

1 bod 5

Zjednodušte pro ∈ : 2 = + + + ⋯+ 0 1 2


1 bod 6

#

$ V geometrické posloupnosti " ! je # = 64.

Vypočtěte: =

max. 2 body 7

Přímky ', ) jsou rovnoběžné. Platí: ': 12 + 5+ + 6 = 0, ): + 3+ − 12 = 0, kde představuje reálné číslo. Určete vzdálenost přímek ', ).


max. 2 body 8

Kružnice , , se středy -.−4; 20 a 1.3; 90 se vzájemně dotýkají (může jít o vnější nebo vnitřní dotyk). Bod dotyku leží na souřadnicové ose nebo +. Zapište rovnici kružnice ( nebo ,), která vyhovuje uvedeným podmínkám a má nejmenší možný poloměr.


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 9− −10 Středy stěn krychle s hranou tvoří vrcholy pravidelného osmistěnu 345678.

F

E D

B C

A a

(CERMAT)

1 bod 9

Vyjádřete délku lomené čáry 345678 v závislosti na veličině .

max. 2 body 10

Vypočtěte, jakou část objemu krychle vyplní osmistěn, a výsledek vyjádřete zlomkem.


max. 5 bodů 11

Pro ∈ je definován výraz: 9 = log 2 − log 2=! + log 2= − … + −1?=! log 2

11.1

Vyjádřete jediným členem 93.

11.2

Vypočtěte podíl

11.3

Vypočtěte rozdíl 9100 − 999.

@A @B

.

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.


VÝCHOZÍ TEXT A PLÁNEK K ÚLOZE 12 Dvě místa 3 a 4, jejichž skutečná vzdálenost je = 350 m, jsou pozorována z neznámého místa C pod zorným úhlem D = 30°. X

ϕ

A

B

(CERMAT)

max. 4 body 12 12.1

Na plánku (viz záznamový arch) k dané úsečce 34 sestrojte množinu všech bodů C vyhovující uvedené podmínce, a to pouze v jedné polorovině s hraniční přímkou 34.

12.2

V sestrojené množině umístěte bod CF , který má největší vzdálenost od bodu 4, a zdůvodněte jeho umístění.

12.3

S přesností na celé metry určete skutečnou vzdálenost CF 4, uveďte postup výpočtu.

V záznamovém archu používejte při konstrukci rýsovací potřeby a vše obtáhněte propisovací tužkou.


max. 3 body 13

Je dána rovnice s neznámou ∈ a parametrem ∈ : − 1 =

+1 −2

Přiřaďte ke každé z uvedených hodnot parametru (13.1–13.3) odpovídající řešení dané rovnice (A–E): 13.1

=1

______

13.2

= −1

______

13.3

∈ \H−1; 1I

______

A)

Prázdná množina.

B)

Jednoprvková množina.

C)

Množina všech reálných čísel.

D)

Množina všech reálných čísel různých od čísel 1 a −1.

E)

Množina všech reálných čísel různých od čísla 2.


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 V osudí je 6 koulí označených písmeny K, L, M, N, O, P. Koule se postupně vytahují a žádná z nich se do osudí nevrací. (CERMAT)

max. 3 body 14

Přiřaďte ke každému jevu (14.1–14.3) pravděpodobnost (A–E), s níž může nastat:

14.1

Druhá v pořadí bude tažena koule M.

_____

14.2

Mezi prvními třemi taženými koulemi bude koule M.

_____

14.3

Mezi prvními třemi bude tažena koule M, avšak ne první v pořadí.

_____

A) B) C) D) E)

! J A J ! !


VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 15 V grafu jsou uvedeny v letech 1993 až 2009.

změny

125

počtu

obyvatel

Kocourkova

(v

tisících)

NAROZENÍ ZEMŘELÍ

120

tisíce obyvatel

115 110 105 ÚBYTEK

100

PŘÍRŮSTEK

95 90 2009

2005

2001

1997

1993

85

Na počátku r. 2007 měl Kocourkov 5 milionů obyvatel. (CERMAT)

2 body 15

Jaký je celkový procentní přírůstek počtu obyvatel Kocourkova za období tří let 2007–2009? A)

přibližně 23 %

B)

přibližně 7 %

C)

přibližně 2,3 %

D)

přibližně 0,7 %

E)

přibližně 0,23 %


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Po výměně ředitele multikina se zvýšila celková návštěvnost o 15 %. Počet dětských návštěvníků, kteří dříve odebírali desetinu prodaných vstupenek, se díky účasti škol zvýšil o 45 %, naopak počet důchodců, kteří dříve odebírali pětinu prodaných vstupenek, se nezměnil. (CERMAT)

2 body 16

O kolik procent se zvýšil počet ostatních návštěvníků? A)

méně než o 13 %

B)

o 13 %

C)

o 14 %

D)

o 15 %

E)

více než o 15 %


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17 Předpokládejme, že 25 % vzdělaných lidí je bohatých a mezi bohatými je polovina vzdělaných. Předpokládejme dále, že 25 % lidí není ani bohatých ani vzdělaných. (CERMAT)

2 body 17

Kolik procent lidí je vzdělaných a zároveň bohatých? A)

12,5 %

B)

15 %

C)

17,5 %

D)

20 %

E)

Žádný z uvedených výsledků není správný.


2 body 18

Elipsa, jejíž osy jsou rovnoběžné s osami souřadnic , +, se jedné z nich dotýká v bodě C.2; 00 a druhou osu protíná v bodech K! .0; 20 a K .0; 40. Jaká je vzdálenost ohniska od vedlejšího vrcholu elipsy? A)

větší než 3

B)

přesně 3

C)

přesně 2,9

D)

přibližně 2,9

E)

menší než 2,9


VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 19 V kartézské soustavě souřadnic L + je sestrojen graf funkce M.

y

f

1

O

x

1

Hodnoty funkce N jsou převrácenými hodnotami funkce M, tedy platí: 1 N: + = M (CERMAT)

2 body 19

Který z následujících grafů je grafem funkce N? y

A)

1 g O

1

x


B) y

1 g

O

C)

x

1

y

1 g

O

D)

x

1

y

1 g O

E)

1

x

žádný z uvedených grafů


2 body 20

Pro vnitřní úhel O obecného trojúhelníku 345 platí, že hodnoty 1 sin O , tg O , cos O tvoří tři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Jaký je kvocient této posloupnosti? A)

) = √2

B)

) = √3

C)

) = 2√3

D)

)=

E)

Ze zadaných údajů nelze kvocient ) určit.

√


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21 V orientačním závodě je cíl 5 umístěn východně od startu -. Na obrázku jsou zakreslena obě stanoviště U a 6, uvedené vzdálenosti jsou v km.

D 30°

60° S

4

3

P

C

(CERMAT)

2 body 21

S přesností na celé metry uveďte vzdálenost od prvního ke druhému stanovišti, tj. |U6|. A)

1 155 m

B)

1 196 m

C)

1 732 m

D)

2 000 m

E)

jiná vzdálenost


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Pokud se válec naplněný kapalinou nakloní o 60°, polovina objemu válce se vyprázdní.

(CERMAT)

2 body 22

V jakém poměru jsou poloměr W podstavy a výška X válce? A)

W : X = √3 : 2

B)

W : X = √3 : 4

C)

W : X = √3 : 6

D)

W :X = 1 : 2

E)

W :X = 1 : 4


max. 3 body 23

Je dán mnohočlen Y s proměnnou ∈ a koeficienty Z, [, \ ∈ ]: Y = + Z + [ + \ Platí: Y0 = 1; Y1 = 0; Y−1 = 2. Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (23.1–23.3), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): A

23.1

Právě jeden z koeficientů Z, [, \ je nulový.

23.2

Právě jeden koeficient je záporný.

23.3

Platí Y2 = 5.

N

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 21

Maturitní zkouška 2012 – jarní termín Úloha

Správné řešení

Body

12

(max. 4 b. )

S

12.1

max. 2 b. A Větší oblouk

B

bez krajních bodů.

X0 S

12.2

1 A Koncový bod 0 průměru kružnice je průměr.

12.3 13

14

15 16 17 18 19 20 21 22 23

B

0 kružnice,

neboť nejdelší tětivou

700 m

13.1 13.2 13.3

A E B

14.1 14.2 14.3

A E C D D B B C A A C

23.1 23.2 23.3

ANO ANO ANO

CELKEM

1 max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 1 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů

Obsah klíče správných řešení je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv.

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012

2


MAIVD11C0T01

DIDAKTICKÝ TEST

ILUSTRAČNÍ TEST

Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 %

1


2.1

 Výsledky pište čitelně do vyznačených bílých polí.

 Didaktický test obsahuje 21 úloh.  Časový limit pro řešení didaktického testu je 120 minut.  Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu.  U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.  Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají.  Odpovědi pište do záznamového archu.  Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení.  Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení.  První část didaktického testu (úlohy 1–10) tvoří úlohy otevřené.  Ve druhé části (úlohy 11–21) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.

2


1  Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení.  Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny.  Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

2.2


 Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku. A

B

C

D

E

17  Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole. A

B

C

D

E

17 Pravidla správného zápisu odpovědí

 Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně.

 Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď.

 U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, následně obtáhněte čáry propisovací tužkou.


 Hodnoceny budou pouze odpovědi uvedené v záznamovém archu.

Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 21. března 2011, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Marek se snažil zapamatovat čtyřmístný kód. Shledal, že jde o největší číslo, v jehož zápise jsou vedle sebe dvě různá dvoumístná prvočísla, kde ciferný součet každého z nich je 8. (CERMAT)

max. 2 body 1

Zapište Markův kód.

POKYN K ÚLOHÁM 2 A 3 Číselné výrazy vyjádřete jediným členem s mocninou o stejném základu jako v zadání. 1 bod 2

1 bod 3

max. 3 body je dán výraz

.

4

V oboru

4.1

Určete, pro které hodnoty

4.2

Výraz zjednodušte.

/

.

má výraz smysl.

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011

2

max. 2 body 5

Pro veličiny Pro

a

platí

a současně

* + určete hodnotu výrazu

.

.

max. 2 body 6

Pravidelný -úhelník má pětkrát větší počet úhlopříček než počet stran. Určete počet jeho vrcholů ( ).


3

max. 3 body 7

V

je dána funkce

.

7.1

V intervalu 〈

7.2

Určete maximum funkce

〉 určete minimum funkce . v jejím definičním oboru.

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 8 Krajním bodem úsečky

je ,

-. Body

rozdělují úsečku

na třetiny.

V A

X B

(CERMAT)

max. 2 body 8

,

Doplňte chybějící souřadnice bodů

- a V,

-.


4

max. 5 bodů 9

Zápisy dvou přímek (

a

obsahují neznámé reálné číslo .

)

9.1

Pro které hodnoty

jsou přímky

a

9.2

Pro každou dvojici kolmých přímek

na sebe kolmé? a

určete jejich průsečík.

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení úlohy 9.


5

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Lomená čára je složena z výšek nekonečně mnoha podobných pravoúhlých rovnoramenných trojúhelníků. Největší trojúhelník má velikost výšky a přeponu délky .

(CERMAT)

max. 4 body 10.1

Určete druhý úsek

lomené čáry.

10.2

Určete délku

10.3

O kolik větší je součet délek všech lichých úseků než součet délek všech sudých úseků? Výsledek nezaokrouhlujte.

celé lomené čáry, výraz usměrněte.

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení úlohy 10.


6

Každou z následujících úloh vyřešte, vyhledejte správné řešení z nabídky a vyznačte je křížkem v příslušném poli tabulky záznamového archu. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 ,

Uvažujme všechny polopřímky s počátečním bodem -a , -. s úsečkou ; ,

-, které mají společný bod

y

A B 1 O

P

x

1

(CERMAT)

max. 3 body 11

Přiřaďte na vynechaná místa ( ) v zápisech (11.1–11.3) takové hodnoty (A–E), aby bylo pravdivé tvrzení: - roviny vyhovující rovnici Libovolná množina bodů , představuje některou z uvažovaných polopřímek, právě když jsou splněny podmínky (11.1–11.3):

11.1

Pro všechny hodnoty proměnné

11.2

Směrnice

11.3

Pro veličiny

je z intervalu 〈 platí

〈

platí 〉.

).

_____ _____

.

_____

A) B) C) D) E)


7

max. 3 body 12

Přiřaďte ke každé z kuželoseček (12.1–12.3) souřadnice (A–E) jejího středu, u paraboly souřadnice vrcholu:

12.1

_____

12.2

_____

12.3

_____

A)

[

]

B)

[

C)

,

D)

[

E)

jiné řešení

] ]


8

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 Tětiva délky je kolmá k průměru délek obou úseků je .

kružnice

a rozděluje jej na dva úseky. Poměr

k x d

(CERMAT)

2 body 13

Vyjádřete délku tětivy

v závislosti na průměru .

A) B) C) D) E)


9

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 14 8 cm

D

C 4 cm

6 cm

A

B

12 cm

(CERMAT)

2 body 14

Kolik procent obsahu trojúhelníku ACD? A)

%

B)

%

C)

%

D)

%

E)

lichoběžníku

ABCD

tvoří

jiné řešení


10

obsah

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Kvádr úhlopříčka

se čtvercovou podstavou má podstavné hrany délky svírá s podstavou úhel . H

, tělesová

G F

E

v x D

C



a a

A

B

(CERMAT)

2 body 15

Ve kterém zápisu jsou uvedeny oba správné vztahy pro výpočet výšky kvádru a výpočet vzdálenosti vrcholu od tělesové úhlopříčky ? A)

√

,

√

B)

√

,

√

C)

√

,

√

D)

√

,

√

E)

v žádném z uvedených


11

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Vodní hladina nádrže by měla mít rozlohu 4000 m2. Zatím je vytvořen pouze přesný model nádrže. Vejde se do něj 375 litrů vody a vodní hladina má rozlohu 2,5 m2. (CERMAT)

2 body 16

Jaký objem má mít skutečná nádrž? m3

A) B)

m3

C)

m3

D)

m3

E)

jiný objem

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 17 Melodie bude mít 7 tónů, má začínat tónem C a končit tónem G. Třikrát se má použít tón A a dvakrát tón E. (CERMAT)

2 body 17

Kolik různých melodií je možné vytvořit? A) B) C) D)

11

E)

jiný počet


12

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 18 Zkouška se skládá ze tří částí ( ), v každé části je možné získat nejvýše 8 bodů. V tabulce jsou uvedeny výsledky pěti žáků. Jejich průměrný výsledek byl v každé ze tří částí zkoušky stejný.

Žák

Bodové hodnocení části zkoušky

Výsledek

1.

2

2

2

6

2.

2

5

2

9

3.

4

2

3

9

4.

6

5

6

17

5.

6

6

7

19

(CERMAT)

2 body 18

Porovnejte směrodatné odchylky výsledků v jednotlivých částech zkoušky ( ). A) B) C) D)

Směrodatné odchylky se alespoň u dvou částí shodují.

E)

Žádné z uvedených tvrzení (A–D) není pravdivé.

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 19 Pořizovací cena přístroje je Kč. Po uplynutí každého roku se hodnota přístroje snižuje o čtvrtinu hodnoty z předcházejícího roku. Klesne-li hodnota pod % pořizovací ceny, je možné vyměnit přístroj na konci roku za nový. (CERMAT)

2 body 19

Po kolika letech je možné přístroj vyměnit za nový? A)

po 3 letech

B)

po 4 letech

C)

po 5 letech

D)

po 6 letech

E)

po 7 letech nebo později


13

2 body 20

Ze dvou shodných kruhů neznámé velikosti byl vystřižen největší možný čtverec a největší možný rovnostranný trojúhelník. U kterého tvrzení nelze určit pravdivostní hodnotu bez předchozího měření? A)

Trojúhelník má menší obsah než čtverec.

B)

Trojúhelník má

C)

Trojúhelník má o

% menší obvod než čtverec.

D)

Trojúhelník má o

cm2 menší obsah než čtverec.

E)

U každého z uvedených tvrzení A–D je možné určit pravdivostní hodnotu i bez předchozího měření.

krát větší obsah než čtverec.

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 21 V souřadném systému -, -, prvků: {,

je vyznačeno všech šest bodů grafu funkce -, -, -[ ]}.

dané výčtem

y

1 1 x

O

(CERMAT)

max. 3 body 21

Rozhodněte o každém z následujících pravdivé (ANO), či nikoli (NE):

tvrzení,

zda

je

21.1

Hodnota

patří do definičního oboru

21.2

Hodnota

patří do oboru hodnot

21.3

-, změnilo znaménko první Pokud by se pouze u prvku , souřadnice, množina by byla stále funkcí.

A funkce .

funkce .

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011

14

N

KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ – ILUSTRAČNÍ TEST 2011 MATEMATIKA - vyšší úroveň obtížnosti

MAIVD11C0T01

Počet úloh

Celkem

Uzavřených

Otevřených

21

11

10

Správné řešení

Body

1

7153

2–1–0

2

418

1–0

3

7 ∙ 10𝑛

1–0

Úloha

4

max. 3 b. 4.1

1 𝑥 ∈ 𝐑\ −1; − 2

1–0

4.2

2𝑥 − 1 2𝑥 + 1

2–1–0

5

𝑝 3 =− 𝑠 4

2–1–0

6

𝑛 = 13

2–1–0

7

max. 3 b. 7.1

minimum je 𝑓 1 = −7

1–0

7.2

maximum je 𝑓 −1 = 9

2–1–0

𝑎 = −1; 𝑣 = 5

8 9

2–1–0 max. 5 b.

9.1

𝑘1 = 5; 𝑘2 = −3

2–1–0

9.2

3 3 −9 15 ; ; ; 10 10 34 34

3–2–1–0


Úloha

Správné řešení

10 10.1

max. 4 b. 𝑣2 =

2 2

10.2

𝑑 =2+ 2

10.3

rozdíl je 2 − 2

11 11.1 11.2 11.3

A D E

12 12.1 12.2 12.3

C B D

13 14 15 16 17 18 19 20 21 21.1 21.2 21.3 CELKEM

Body

C A B A E B C D NE ANO NE

1–0 2–1–0 1–0 max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 1 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 21. března 2011, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).


MAIVD12C0T01

DIDAKTICKÝ TEST

ILUSTRAČNÍ TEST


1


2.1



2


 Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně.  U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, obtáhněte čáry a křivky následně propisovací tužkou.


1  Je-li požadováno řešení, uveďte kromě výsledku celý postup řešení.  Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny.  Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

2.2



B

C

D

E


B

C

D

E

17  Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď.  Pokud zakřížkujete více než jedno pole, bude vaše odpověď považována za nesprávnou.


Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 23. března 2012, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

1 bod 1

Přirozené číslo zbytek 2.

je dělitelné pěti. Totéž číslo

dává při dělení třemi

Určete nejmenší číslo , které je třeba přičíst k číslu součet dělitelný patnácti.

, aby byl

1 bod 2

Platí: (

)

Zapište v algebraickém tvaru komplexní číslo

.

1 bod 3

Pro komplexní sdružená čísla

platí: √

Zapište v algebraickém tvaru komplexní číslo .


2

1 bod 4

řešte:

Pro (

)(

)

max. 2 body 5

Pro

řešte:


3

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Ve čtyřúhelníku známe délky tří ze čtyř stran (30, 46 a 54). Čtyřúhelník je rozdělen na čtyři menší čtyřúhelníky (deltoidy), z nichž dva jsou shodné. D x x C x x 46 30 z y A

z

54

y

B

(CERMAT)

max. 2 body 6

Vypočtěte délky vyznačených úseků

.


4

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 7–8 Adam přečte celou knihu za o 2 dny dříve.

dnů. Kdyby denně přečetl o 6 stran více, knihu by dočetl (CERMAT)

max. 2 body 7

Vypočtěte, kolik stran má kniha, jestliže

8.

max. 2 body 8

Vyjádřete počet stran ( ) knihy v závislosti na parametru .


5

max. 2 body 9

řešte:

Pro (

)

(

)

(

)

max. 2 body 10

Pro [

je dána uspořádaná trojice: ]

Vypočtěte, pro kterou hodnotu aritmetickou posloupnost.

tvoří


uspořádaná

trojice

6

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 Parabola je určena rovnicí . Kružnice má střed na ose ve vnitřní oblasti | |). Kromě bodu paraboly a prochází vrcholem paraboly (poloměr kružnice je mohou existovat ještě další dva průsečíky kružnice s parabolou. o

P

k A

r

B

S r V

(CERMAT)

max. 5 bodů 11 11.1

Vypočtěte souřadnice průsečíků

11.2

Vyjádřete souřadnice průsečíků podmínky řešitelnosti (

kružnice s parabolou pro

.

v závislosti na poloměru

a určete

).

V záznamovém archu uveďte celý postup řešení.


7

max. 4 body 12

Je dán rovnoramenný trojúhelník pro nějž platí: |

|

|

|

12.1

Proveďte náčrtek situace.

12.2

Vypočtěte výšku

12.3

Vypočtěte obsah trojúhelníku

(

. Uvnitř základny √ ) cm; |

na základnu

|

leží bod

,

√ cm

. .

V záznamovém archu náčrtek obtáhněte propisovací tužkou a uveďte postup řešení úlohy.


8

max. 3 body 13

Je dán trojčlen

s proměnnou

a parametrem

.

Ke každému z následujících dvojčlenů (13.1–13.3) najděte takovou hodnotu parametru (A–E), aby byl daný trojčlen dělitelný dvojčlenem beze zbytku. 13.1

_____

13.2

_____

13.3

_____ A) B) C) D) E)


9

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Balíček deseti karet obsahuje čtyři esa a karty 5, 6, 7, 8, 9 a 10. (CERMAT)

max. 3 body 14

Přiřaďte ke každému jevu (14.1–14.3) pravděpodobnost (A–E), s níž může nastat.

14.1

Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří po sobě jdoucí čísla.

_____

14.2

Ve čtveřici náhodně vybraných karet není žádné eso.

_____

14.3

Čtveřici náhodně vybraných karet tvoří dvě po sobě jdoucí čísla a dvě esa.

_____

A) B) C) D) E)


10

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 15 V Kocourkově se jedenkrát za 5 let vyhlašuje „Kolotoč“. V tento den všichni občané ve věku 61-65 let přestávají pracovat a odcházejí do důchodu a všichni občané ve věku 21–26 let jdou do zaměstnání.

Věková skupina

Počet obyvatel před Kolotočem nepracující

pracující

66 let a více

po Kolotoči důchodci

nepracující

pracující

1 400

61–65 let

400

27–60 let

5 200

21–26 let

200

20 let a méně

1 600

důchodci 1 400 400

5 200 200 1 600

Každý pracující odvádí měsíčně 200 kocourkovských zlaťáků (KZ) na důchody svých spoluobčanů. Všechny vybrané peníze se rozdělí na důchody. (CERMAT)

2 body 15

Jak se změní průměrný měsíční plat důchodce po uskutečnění uvedeného Kolotoče? A)

klesne o 200 KZ

B)

klesne o 100 KZ

C)

nezmění se

D)

vzroste o 100 KZ

E)

změní se o jinou částku


11

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Jedno balení čokolády stojí 20 Kč. Uvnitř každého balení je jedna čokoláda a prémiový kupón. Po předložení tří prémiových kupónů dostane zákazník zdarma jedno další balení čokolády. (CERMAT)

2 body 16

Jaký největší počet čokolád lze postupně získat za 300 Kč? A)

15

B)

20

C)

21

D)

22

E)

jiný počet

2 body 17

Výraz ( hodnoty

) je možné vypočítat pro všechny reálné kromě hodnot:

A)

, kde

B)

, kde

C)

(

)

, kde

D)

(

)

, kde

E)

(

)

, kde


12

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 18 V kartézské soustavě souřadnic

je umístěn graf funkce , jejíž definiční obor je .

y

f

2

O

2

x

(CERMAT)

max. 2 body 18

jsou druhými mocninami hodnot funkce , tedy platí:

Hodnoty funkce ( )

Jaký předpis má funkce ? |

A)

| | |

B) C)

|

|(

)

D)

|

|(

)

E)

|

|


13

2 body 19

Přímka

prochází body [

přímky

v posunutí určeném vektorem ⃗

Jaká je vzdálenost přímek A)

]a

[

]. Přímka (

je obrazem

).

?

větší než

B) C)

nenulová vzdálenost menší než

D) E)

Nelze určit, přímky jsou různoběžné.


14

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 20 Umyvadlo má tvar kulové úseče s výškou voda, musí být nakloněno nejméně o 60°.

cm. Aby z umyvadla vytekla všechna

60°

d v

(CERMAT)

2 body 20

Jaký je vnitřní průměr s přesností na mm? A)

48,0 cm

B)

50,0 cm

C)

52,0 cm

D)

96,0 cm

E)

112,0 cm

nejširší části umyvadla vypočtený


15

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21 Ve Škole čar a kouzel v Bradavicích se každou hodinu mění nastavení chodby, která vede z místa A v přízemí do místa B v pátém patře. Patra mají čtvercový půdorys a jsou od sebe stejně vzdálena.

II

I B

III B

A

A

B

A

(CERMAT)

2 body 21

Při kterém nastavení chodby je cesta mezi místy A a B nejkratší? A)

pouze při nastavení I

B)

pouze při nastavení II

C)

pouze při nastavení III

D)

při nastavení I a II

E)

při nastavení I a III


16

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Obvod trojúhelníku je . Trojúhelník je rozdělen třemi úsečkami rovnoběžnými se stranou na čtyři rovinné útvary (jeden trojúhelník a tři lichoběžníky). Velikosti výšek jsou ve všech útvarech shodné (

).

v

s (CERMAT)

2 body 22

) jednotlivých útvarů tvoří rostoucí posloupnost.

Obvody (

Jaký je rekurentní vztah pro členy této posloupnosti, kde A)

,

B)

,

C)

,

D)

,

E)

*

+?

žádný z uvedených


17

max. 3 body 23

V geometrické posloupnosti (

)

s kvocientem

platí

.

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení (23.1–23.3), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE). A

N

23.1 23.2 23.3

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI.


18

KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ – ILUSTRAČNÍ TEST 2012 Matematika - vyšší úroveň obtížnosti MAIVD12C0T01

Uzavřených 11

Celkem 23

Počet úloh

Správné řešení

Úloha

Otevřených 12

Body

1

𝑘 = 10

1

2

8i

1

3

2−i 2

1

3 2

4

𝑥=

5

1; 2

max. 2 b.

6

𝑥 = 11; 𝑦 = 19; 𝑧 = 35

max. 2 b.

7

144 stran

max. 2 b.

1

𝑝 = 3𝑑2 − 6𝑑; 𝑑 ∈ 𝐍 ∧ 𝑑 > 2

8 9

max. 2 b.

𝑥 = − 10

max. 2 b.

𝑘=6

max. 2 b.

10 11

max. 5 b. 11.1

𝐴 −4; 4 ; 𝐵 4; 4

(max. 2 b.)

11.2

𝐴 −2 2𝑟 − 4; 2𝑟 − 4 ; 𝐵 2 2𝑟 − 4; 2𝑟 − 4 ; 𝑟 ∈ 2; +∞

(max. 3 b.)

12

(max. 4 b. ) C

12.1 A

12.2 12.3

1

𝜑 M

B 𝑣𝑐 =

3 cm

9 cm2


1 max. 2 b. 1

Úloha

Správné řešení

13 13.1 13.2 13.3

D C A

14.1 14.2 14.3

E B A

14

A D B B D C E C

15 16 17 18 19 20 21 22 23 23.1 23.2 23.3

NE ANO ANO

CELKEM

Body max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 1 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 23. března 2012, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

2


MAMZD12C0T01

DIDAKTICKÝ TEST 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám



1 Základní informace k zadání zkoušky

 Didaktický test obsahuje 26 úloh.  Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu.

1

 Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny.

 Povolené pomůcky: psací a rýsovací potřeby, Matematické, fyzikální a chemické tabulky a kalkulátor bez grafického režimu.

 Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

 U každé úlohy je uveden maximální počet bodů.

2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

 Za nesprávnou nebo neuvedenou odpověď se body neodečítají.

 Odpověď, kterou považujete za správnou, zřetelně zakřížkujte v příslušném bílém poli záznamového archu, a to přesně z rohu do rohu dle obrázku.

 Odpovědi pište do záznamového archu.  Poznámky si můžete dělat do testového sešitu, nebudou však předmětem hodnocení.

A

 Nejednoznačný nebo nečitelný zápis odpovědi bude považován za chybné řešení.

B

C

D

E

17  Pokud budete chtít následně zvolit jinou odpověď, zabarvěte pečlivě původně zakřížkované pole a zvolenou odpověď vyznačte křížkem do nového pole.

 První část didaktického testu (úlohy 1–15) tvoří úlohy otevřené.  Ve druhé části (úlohy 16–26) jsou uzavřené úlohy, které obsahují i nabídku odpovědí. U každé úlohy nebo podúlohy je právě jedna odpověď správná.

A

B

C

D

E

17  Jakýkoliv jiný způsob záznamu odpovědí a jejich oprav bude považován za nesprávnou odpověď.

2 Pravidla správného zápisu odpovědí  Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně.


 U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, následně obtáhněte čáry propisovací tužkou.


Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 Obsah testového sešitu je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv. 1

max. 2 body 1

Pro 4

∈

upravte: 1

4 8

2

max. 2 body 2

Pro 8 3

∈ 1

řešte: 1 6


max. 2 body 3

Pro 100

∈

řešte:

0,01


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 46 57;

První dva členy aritmetické posloupnosti jsou

54. (CERMAT)

1 bod .

4

Vypočtěte padesátý člen posloupnosti

5

Vypočtěte součet prvních padesáti členů posloupnosti

6

Kolik prvních členů posloupnosti je třeba sečíst, aby byl součet co největší?

1 bod .

1 bod


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Graf nepřímé úměrnosti s předpisem

, kde

0, prochází bodem

2; 2 .

y

A 1 O

x

1

(CERMAT)

max. 3 body 7 7.1

Vypočtěte konstantu .

7.2

Vypočtěte souřadnici

bodu

; 0,5 a souřadnici

bodu

1;


.

VÝCHOZÍ TEXT A NÁČRTEK K ÚLOHÁM 89 Rovnoběžné přímky , odchylka přímek , je 30°.

protínají přímku

, . Vzdálenost rovnoběžek je 5,

v bodech

Q

P

r

p

q (CERMAT)

1 bod 8

Určete vzdálenost bodu

od přímky .

max. 2 body 9

Vypočtěte vzdálenost bodů , .


1 bod 10

Velikosti dvou vnitřních úhlů trojúhelníku

jsou

2 π 5

1 π. 4

a

Vypočtěte velikost třetího vnitřního úhlu trojúhelníku.

max. 2 body 11

V rovině je dána přímka :

2

1.

Zapište obecnou rovnici přímky , která prochází bodem kolmá k přímce .

0; 0 a je


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 12 Hmotnostní procento zlata ve slitině je přímo úměrné počtu karátů. Slitina obsahující 75 % zlata se označuje 18 karáty. (CERMAT)

1 bod 12

Kolik procent zlata obsahuje 24karátový prsten?


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 13 Cesta do školy je dlouhá 10 km a na kole se ujede za půl hodiny. Stejnou cestou zpět se jede o 10 minut déle. (CERMAT)

max. 2 body 13

O kolik km/h se liší průměrná rychlost na cestě tam a zpět?

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Z pečlivě promíchaného balíku 52 karet bylo odebráno sedm karet. Mezi zbývajícími kartami v balíku zůstává devět srdcových karet. (CERMAT)

max. 2 body 14

Jaká je pravděpodobnost, že v dalším tahu z balíku nebude vytažena srdcová karta?


max. 2 body 15

Kvádr se čtvercovou podstavou má výšku o 3 cm kratší než dvojnásobek výšky kvádru.

cm. Podstavná hrana je

Napište vztah pro výpočet objemu V kvádru v závislosti na proměnné a upravte jej do tvaru mnohočlenu.


max. 2 body 16

Trojúhelník má vrcholy v bodech

1; 1 , 2; 8 ,

6; 2 .

Trojúhelník narýsujte a rozhodněte o každém z následujících tvrzení (16.1–16.4), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): A 16.1

Trojúhelník je rovnoramenný.

16.2

Trojúhelník je ostroúhlý.

16.3

Pata výšky spuštěné z bodu

se shoduje se středem strany

.

16.4

Pata výšky spuštěné z bodu

se shoduje se středem strany

.


N

2 body 17

Trojúhelník

je určen délkami stran

9 cm,

15 cm,

10 cm.

Jakou hodnotu (s přesností na setiny) má kosinus největšího vnitřního úhlu? A)

0,49

B)

0,12

C)

0,24

D)

0,49

E)

0,76


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 18 V oblasti se během dvou let počet obyvatel zvýšil z 24 500 na 26 500. V obou letech byl zaznamenán stejný procentuální přírůstek oproti předchozímu roku (meziroční procentuální přírůstek). (CERMAT)

2 body 18

Jaký meziroční přírůstek byl zaznamenán? A)

méně než 4,0 %

B)

přibližně o 4,0 %

C)


D)


E)

více než o 4,2 %


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 19 Osm šéfů gangu představuje pouhá 2,5 procenta počtu všech členů gangu, ale připadá na ně celá polovina zisku. (CERMAT)

2 body 19

Kolikrát větší je průměrný zisk šéfa gangu oproti průměrnému zisku řadového člena gangu? A)

19krát

B)

20krát

C)

25krát

D)

39krát

E)

80krát


VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 20 Průměrný plat ve skupině deseti pracovníků byl 26 800 Kč. Čtyřem pracovníkům zvýšili plat o stejnou částku, proto se průměrný plat desetičlenné skupiny zvedl o 240 Kč. (CERMAT)

2 body 20

O kolik korun pracovníků? A)

o 240 Kč

B)

o 400 Kč

C)

o 480 Kč

D)

o 960 Kč

E)

o jinou částku

si

polepšil

každý

z platově

zvýhodněných


VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 21 Tenisové míčky jsou natěsno baleny v plechovkách tvaru válce. Prodávají se po dvou, po třech nebo po čtyřech.

První plechovka

Druhá plechovka

Třetí plechovka

(CERMAT)

2 body 21

Ve které plechovce vyplňují míčky A)

v libovolné plechovce

B)

pouze v první plechovce

C)

pouze ve druhé plechovce

D)

pouze ve třetí plechovce

E)

v žádné plechovce

jejího objemu?


2 body 22

Je dána rovnice s neznámou 2

x

∈ :

6

Ve kterém intervalu naleznete oba kořeny rovnice? A)

〈2; 6〉

B)

〈0; 5〉

C)

〈 4; 3〉

D)

〈 6; 3〉

E)

v žádném z uvedených intervalů

2 body 23

Je dána rovnice s neznámou 2 log

log

∈ :

0

Řešením rovnice je: A)

Ø

B)

0

C)

0,1; 10

D)

0;

E)

\0

∞


VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 24 y

1 O

1

x

(CERMAT)

2 body 24

Který ze zobrazených vektorů má souřadnice 2; 1 ? A) B) C) D) E)

žádný z uvedených vektorů


25

Přiřaďte ke každému předpisu funkce název grafu funkce (A–F):

25.1

:

2

25.2

:

25.3

:

_____

25.4

:

_____

–

max. 4 body (25.125.4) odpovídající

_____

2

_____

A)

přímka

B)

parabola

C)

hyperbola

D)

kružnice

E)

graf exponenciální funkce

F)

jiný název


max. 3 body 26

Přiřaďte k výrazům (26.126.3) jejich ekvivalentní vyjádření (AE):

26.1

4

26.2

1

_____ 2

______

2 2

26.3 A)

1

_____

2 2

1

1 2

B)

4

C)

2

2

D)

2

1 2

E)

2

1

žádné z uvedených

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 20

Maturitní zkouška 2012 – jarní termín

KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ Matematika - základní úroveň obtížnosti

Kód testu: MAMZD12C0T01

Počet úloh

Úloha

Celkem 26

Uzavřených 11

Správné řešení

Otevřených 15

Body

1

݊+2 4݊

max. 2 b.

2

‫ = ݔ‬2,5

max. 2 b.

3

݊ = 1 000

max. 2 b.

4

ܽ50 = −90

1

5

‫ݏ‬50 = −825

6

19 členů, resp. 20 členů, resp. 19 nebo 20 členů

7

1 1 (max. 3 b.)

7.1 7.2

݇=4

1

‫ = ݔ‬8; ‫ = ݕ‬4

max. 2 b.

8

5

1

9

10

max. 2 b.

10

7 π (= 63°) 20

11

‫ ݔ‬+ 2‫ = ݕ‬0

12 13

100 %, resp. čisté zlato

o 5 km/h

1 max. 2 b. 1 max. 2 b.

14

4 216 4 =ሶ 0,18 , resp. další možný výklad zadání 22 919 5

max. 2 b.

15

ܸ = (4‫ ݔ‬3 − 12‫ ݔ‬2 + 9‫ )ݔ‬cm3

max. 2 b.


1

Maturitní zkouška 2012 – jarní termín Úloha

2 ܸ = Správné (4‫ ݔ‬3 − 12‫ݔ‬ + 9‫ݔ‬ řešení

16 16.1 16.2 16.3 16.4

ANO NE ANO NE

C B D E A C D A

17 18 19 20 21 22 23 24 25 25.1 25.2 25.3 25.4

B E A C

26.1 26.2 26.3

C D B

26

CELKEM

Body max. 2 b. 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 max. 4 b. 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů

Obsah klíče správných řešení je chráněn autorskými právy. Jakékoli jeho užití, jakož i užití jakékoli jeho části pro komerční účely či pro jejich přímou i nepřímou podporu bez předchozího explicitního písemného souhlasu CERMATu bude ve smyslu obecně závazných právních norem považováno za porušení autorských práv.


2


MAIZD11C0T01

DIDAKTICKÝ TEST

ILUSTRAČNÍ TEST


1


2.1



2


 Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně.  U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, následně obtáhněte čáry propisovací tužkou.


1  Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny.  Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

2.2



B

C

D

E


B

C

D

E



Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 21. března 2011, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

max. 3 body 1

Pro reálné hodnoty , kde

, je dán výraz:

1.1

Vypočtěte hodnotu výrazu pro

.

1.2

Pro kterou hodnotu proměnné

je výraz roven nule?

max. 2 body 2

Kolikrát větší je číslo

než součet čísel

a


2

?

POKYN K ÚLOHÁM 3 A 4 Řešení rovnic zapište ve tvaru zlomku v základním tvaru. 1 bod 3

V oboru

řešte:

1 bod 4

V oboru

řešte:

max. 2 body 5

V oboru

řešte:


3

max. 2 body 6

V oboru

řešte:

VÝCHOZÍ OBRÁZEK K ÚLOZE 7

p

1 O

1

(CERMAT)

max. 2 body 7

Uveďte rovnici přímky v systému souřadnic

(směrnicový nebo obecný tvar) umístěné .


4

max. 2 body 8

Vypočtěte souřadnice funkcí a :

bodu

,

v němž

se

protínají

grafy

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 9 Vzor na dlaždici tvoří čtyři shodné obdélníky a čtverec uprostřed. Obvod každého z obdélníků je cm.

(CERMAT)

max. 2 body 9.1

Jaký je obvod celé dlaždice ( ?

9.2

Jaký je obsah dlaždice ( )?


5

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 10 Okrasná část zahrady má tvar obdélníku, jehož rozměry se liší o jediný metr. Po úhlopříčce ji protíná pěšinka dlouhá metrů. (CERMAT)

max. 3 body 10

Určete délku a šířku okrasné zahrady.


6

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 11 Na plánu jsou vyznačeny údaje pořízené při zaměřování vrtné věže stanovišť a A

ze dvou

45° 1,5 km 100° B

V

(CERMAT)

max. 3 body 11.1

Pod jakým zorným úhlem je možné od paty věže stanoviště a současně?

sledovat obě

11.2

Určete s přesností na celé metry přímou vzdálenost stanoviště od vrtné věže .

max. 2 body 12

Kolik centimetrů měří poloměr koule, jejíž objem je

litr?

(Údaj zaokrouhlete na desetiny.)


7

V následujících úlohách vyznačte správné řešení křížkem v příslušném poli záznamového archu. VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOZE 13 Celkem obyvatel města odpovědělo v referendu na otázku, má-li radnice i nadále podporovat provoz kina a divadla. Jejich odpovědi jsou zaznamenány v následující tabulce. podporovat divadlo

nepodporovat divadlo

podporovat kino nepodporovat kino

(CERMAT)

max. 3 body 13

Rozhodněte o každém z následujících tvrzení, zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): A

13.1

Celkem

účastníků referenda odmítá jak podporu kina, tak i divadla.

13.2

Podpora provozu kina má dvakrát více příznivců než podpora provozu divadla.

13.3

Necelých

13.4

Asi % účastníků referenda by rádo podpořilo pouze jeden z obou provozů.

% účastníků referenda nechce podporovat provoz kina.


8

N

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 14 Zdeněk si potřebuje půjčit částku Kč. Dohodne se s věřitelem, že mu dluh splatí během roku v pěti pravidelných splátkách po Kč. Ke každé splátce má navíc připlatit % aktuálního dluhu. (Tedy při první splátce je to % z Kč, při poslední už jen % ze Kč.) (CERMAT)

2 body 14

Kolik korun celkem připlatí Zdeněk k dlužné částce? A)

Kč

B)

Kč

C)

Kč

D)

Kč

E)

jinou částku

2 body 15

Podle daňového sazebníku platného pro rok 2010 stál výrobek včetně % daně korun. Kolik korun by stál, pokud by byl zatížen pouze 10% daní? (Výsledek je zaokrouhlen na celé koruny.) A)

korun

B)

korun

C)

korun

D)

korun

E)

korun


9

VÝCHOZÍ TEXT A GRAF K ÚLOZE 16

110

55

100

50

90

45

80

40

70

35

60

30

50

25

40

20

30

15

20

10

10

5

0 1988

mil. diváků

Kč

V grafu jsou uvedeny počty filmových diváků v kinech (sledujte hodnoty v milionech vpravo) a průměrné ceny vstupného do kina (sledujte hodnoty vlevo) v době od r. 1988 do r. 2004. Návštěvnost klesala, ale vstupné se průběžně zvyšovalo. Z uvedených dat je možné vypočítat celkovou tržbu kin ze vstupného v libovolném roce.

0 1990

1992

1994

1996

průměrné vstupné

1998

2000

2002

2004

počet diváků

(CERMAT)

2 body 16

Celková roční tržba kin ze vstupného se od roku 1990 do roku 2000: A)

v podstatě nezměnila.

B)

zvýšila jen velmi mírně, nejvýše o

C)

zhruba zdvojnásobila.

D)

zvýšila téměř pětkrát.

E)

zvedla více než o

%.

%.


10

2 body 17

Jak dlouhý stín vrhá člověk vysoký cm na vodorovnou podložku, jestliže světelné paprsky svírají s podložkou úhel ? (Situaci si zobrazte.) A) B) C) D) E)

2 body 18

Určete podmínky výrazu:

A) B) C)

;

D) E)

Žádné z uvedených podmínek nejsou správné.


11

2 body 19

Orientovaná úsečka s počátečním bodem vektoru ⃗ ( .

[

] je umístěním

Který z uvedených bodů je koncovým bodem orientované úsečky? A)

[

]

B)

[

]

C)

[

D)

[

]

E)

[

]

]

2 body

20

Grafem kvadratické ]. s vrcholem [

funkce

je

Jakou hodnotu má druhá souřadnice

vrcholu ?

A) B) C) D) E)


12

parabola

max. 4 body 21

Přiřaďte ke každé úloze (21.1–21.4) správné řešení (A–F):

21.1

Kolik stěn má krychle?

_____

21.2

Kolik hran má osmiboký jehlan?

_____

21.3

Kolik vrcholů má dvanáctiboký hranol?

_____

21.4

Kolik stěn včetně podstav má hranol, který má

hran?

_____

A) B) C) D) E) F)

jiný výsledek

max. 4 body 22

Čtveřice , kde , představuje čtyři po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti, čtveřice , kde , čtyři po sobě jdoucí členy geometrické posloupnosti. Přiřaďte uvedeným členům (22.1–22.4) odpovídající hodnoty (A–F):

22.1

_____

22.2

_____

22.3

_____

22.4

_____

A) B) C) D) E) F)

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011

13

KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ – ILUSTRAČNÍ TEST 2011 MATEMATIKA - základní úroveň obtížnosti

MAIZD11C0T01

Počet úloh

Úloha

Celkem

Uzavřených

Otevřených

22

10

12

Správné řešení

1

Body max. 3 b.

1.1

5 4

1–0

1.2

𝑥 = −2

2–1–0

2

25-krát

2–1–0

3

𝑏=

4

𝑐=−

5

𝑥=

1 9

2–1–0

6

𝑦=

1 2

2–1–0

𝑝 = 2𝑥 + 3𝑦 − 6 = 0

2–1–0

7

2 5

1–0 2 3

𝑃 −1; 2

8 9

10

1–0

2–1–0 max. 2 b.

9.1

o = 60 cm

1–0

9.2

S = 225 cm2

1–0

20 m × 21 m

3–2–1–0


Úloha

Správné řešení

11

Body max. 3 b.

11.1

35°

1–0

11.2

1 849 m

2–1–0

𝑟 = 6,2

2–1–0

12 13 13.1 13.2 13.3 13.4 14 15 16 17 18 19 20 21 21.1 21.2 21.3 21.4 22 22.1 22.2 22.3 22.4 CELKEM

ANO ANO NE ANO B C C E D D A A F E B

A E D B

max. 3 b. 4 podúlohy 3 b. 3 podúlohy 2 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 2–0 max. 4 b. 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 b. 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání, 2011 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 21. března 2011, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).


MAIZD12C0T01

DIDAKTICKÝ TEST

ILUSTRAČNÍ TEST


1


2.1



2


 Odpovědi zaznamenávejte modrou nebo černou propisovací tužkou, která píše dostatečně silně a nepřerušovaně.  U úloh, kde budete rýsovat obyčejnou tužkou, následně obtáhněte čáry propisovací tužkou.


1  Zápisy uvedené mimo vyznačená bílá pole nebudou hodnoceny.  Chybný zápis přeškrtněte a nově zapište správné řešení.

2.2



B

C

D

E


B

C

D

E



Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 23. března 2012, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

1 bod 1

Na číselné ose vyznačte interval 〈

〉 pro

0

.

1

1 bod 2

Najděte nejmenší přirozené číslo 〈 〉, a tento interval

, pro které existuje interval vyznačte na číselné ose.

0

1

max. 2 body 3

Neznámé číslo se nejprve zmenší o třetinu své hodnoty, poté ještě o 40. Po vynásobení výsledku dvěma získáme původní neznámé číslo. Určete neznámé číslo.


2

1 bod 4

Pro

* + proveďte:

1 bod 5

Pro

určete podmínky výrazu:

max. 2 body 6

Vyjádřete jako jedinou mocninu se základem 2 výraz:


3

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Přímka

] a normálovým vektorem ⃗

je určena bodem [

(

).

y

1 O

1

x

(CERMAT)

max. 4 body 7 7.1

Zapište obecnou rovnici přímky .

7.2

V kartézské soustavě souřadnic

narýsujte přímku .


4

max. 2 body 8

Pro

vypočtěte:

9

Pro

řešte:

max. 2 body

( )


5

VÝCHOZÍ TEXT A TABULKA K ÚLOHÁM 10–11 Všech 20 studentů psalo oba dva závěrečné testy A a B. V tabulce jsou uvedeny výsledky testů, chybí pouze počet jedniček a dvojek v testu B. Známky 1

2

3

4

Četnost známek Test A Test B

3

8

Počet žáků

9

0

20

9

2

20

Průměr

Medián

Modus

(CERMAT)

1 bod 10

Určete medián a modus známek z testu A. (V záznamovém archu uveďte, která hodnota představuje medián a která modus.)

11

V obou testech bylo dosaženo stejné průměrné známky.

max. 2 body Vypočtěte průměrnou známku z testu A a počet jedniček v testu B.


6

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 12–13 Vzorec pro -tý člen posloupnosti, kde

, je: (CERMAT)

1 bod 12

Vypočtěte rozdíl:

max. 2 body 13

Vypočtěte, kolikátý člen posloupnosti je jedenáctkrát větší než druhý člen, tj. .


7

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁCH 14–15 Ve čtvercové síti je umístěn rovnoběžník D

A

.

C

B 1 cm

(CERMAT)

1 bod a výsledek uveďte v cm2.

14

Vypočtěte obsah rovnoběžníku

15

max. 2 body V rovnoběžníku určete poměr velikostí obou výšek. Výsledek uveďte v základním tvaru.


8

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 16 Vnitřní úhel trojúhelníku

má velikost

Pro délky stran platí vztah

40°.

. (CERMAT)

max. 2 body 16

Rozhodněte o každém z následujících pravdivé (ANO), či nikoli (NE).

16.1

Nejdelší strana je .

16.2

Největší úhel má velikost 100°.

16.3

Trojúhelník je rovnoramenný.

16.4

Osa strany

17

Trojúhelník

tvrzení, A

zda

je

N

je rovnoběžná se stranou .

2 body má délky stran

3 cm,

5 cm a

7 cm.

Jaký je součet velikostí jeho dvou nejmenších vnitřních úhlů? A)

22°

B)

38°

C)

60°

D)

105°

E)

jiný součet


9

2 body 18

Je dán výraz

.

Pro které reálné hodnoty proměnné

výraz není definován?

A)

pro

B)

pro

C)

pro

D)

pro jiné dvě hodnoty

E)

Výraz je definován pro všechna reálná čísla.

a pro a pro

2 body 19

Jaké je řešení nerovnice

v oboru ?

A) B)

(

)

C)

(

)

D)

(

)

(

E)

(

)

(

) )

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 20 Pan Novák si za večer vydělal o čtvrtinu víc než pan Dung. Pan Dung za večeři utratil 20 % svého výdělku, pan Novák utratil stejnou částku. (CERMAT)

2 body 20

Kolik procent svého večerního výdělku utratil pan Novák? A)

16 %

B)

18 %

C)

20 %

D)

25 %

E)

jiné řešení


10

VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 21 Martin byl s cestovní agenturou na prázdninovém poznávacím zájezdu. Za rok si naprosto stejnou cestu zopakoval soukromě s Terezkou. Jejich putování nakonec trvalo o dva dny déle než s agenturou, neboť denně procestovali v průměru o desetinu kratší trasu než při zájezdu. (CERMAT)

2 body 21

Kolik dní trval zájezd s cestovní agenturou? A)

14

B)

16

C)

18

D)

20

E)

jiný počet dní

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 22 Na šachovnici, která má 5 x 5 polí, je vyznačena hlavní a vedlejší diagonála.

(CERMAT)

2 body 22

Kolika způsoby je možné na polích šachovnice rozmístit tři stejné figury tak, aby byly všechny tři na hlavní, nebo všechny tři na vedlejší diagonále? A)

16

B)

20

C)

30

D)

32

E)

33


11

VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOHÁM 23–24 Z rotačního válce se vyrábí herní figura. Polovina válce je opracována na rotační kužel, který tvoří klobouk figury.

(CERMAT)

2 body 23

Jakou část objemu neopracovaného válce tvoří vyrobená figura? A) B) C) D) E)

2 body 24

Obvod podstavy válce je 30 cm a strana klobouku má délku 12 cm. Jaký je povrch klobouku? A)

1,2 dm2

B)

1,4 dm2

C)

1,5 dm2

D)

1,8 dm2

E)

jiný povrch


12

max. 4 body 25

Přiřaďte ke každé zakreslené síti tělesa (25.1–25.4) odpovídající název tělesa (A–F).

25.1

25.2

25.3

25.4

A)

pravidelný trojboký jehlan

B)

pravidelný čtyřboký jehlan

C)

pravidelný šestiboký jehlan

D)

pravidelný trojboký hranol

E)

pravidelný šestiboký hranol

F)

Nelze, útvar není sítí žádného tělesa.

25.1

_____

25.2

_____

25.3

_____

25.4

_____


13

max. 3 body 26

Přiřaďte ke každému grafu (26.1–26.3) odpovídající předpis (A–E).

26.1

y

1 1 x

O

26.2

y

1 1 x

O

26.3

y 1 O

A)

(

)

B)

(

)(

1

x

)

C)

26.1

_____

D)

26.2

_____

26.3

_____

E)

(

)

ZKONTROLUJTE, ZDA JSTE DO ZÁZNAMOVÉHO ARCHU UVEDL/A VŠECHNY ODPOVĚDI. © Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012

14

KLÍČ SPRÁVNÝCH ŘEŠENÍ – ILUSTRAČNÍ TEST 2012 Matematika - základní úroveň obtížnosti MAIZD12C0T01

Celkem 26

Počet úloh

Uzavřených 11

Správné řešení

Úloha 1

Otevřených 15

Body 1

3

2

1

3

240

max. 2 b.

4

1

1

5

6 , resp. ∈ \ 6

1

2301

6

max. 2 b.

7

(max.4 b.) 7.1

:

2

4

0

7.2

8 9 10

max. 2 b.

max. 2 b.

2

2 3

medián 2; modus 3


max. 2 b. max. 2 b. 1

1

Správné řešení

Body

11

průměrná známka 2,3; počet jedniček 7

max. 2 b.

12

5

1

13 14 15 16

16

Úloha

2

8 cm 5 : 2 , resp. 2 : 5

16.1 16.2 16.3 16.4

ANO NE NE ANO C E E A C B D D

17 18 19 20 21 22 23 24 25 25.1 25.2 25.3 25.4

B C A D

26.1 26.2 26.3

E A B

26

CELKEM

max. 2 b. 1 max. 2 b. max. 2 b. 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 2 2 2 2 2 2 2 2 max. 4 b. 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. max. 3 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 50 bodů

© Centrum pro zjišťování výsledků vzdělávání (CERMAT), 2012 Test i příslušný klíč správných řešení jsou do okamžiku uvolnění testu k volnému užití, tj. do 23. března 2012, určeny výhradně středním školám, a to pro účely zkušebního testování jejich žáků ve škole. Jakékoli zveřejnění či užití obsahu tohoto testu či příslušného klíče správných řešení, jakož i kterékoli jejich části v rozporu s tímto určením, bude považováno za porušení zákona č. 121/2000 Sb. v platném znění (autorský zákon).

2

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

Recommend Documents