Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár
Matematika 7. PROGRAM általános iskola 7. osztály nyolcosztályos gimnázium 3. osztály hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás
MÛSZAKI KIADÓ, BUDAPEST
Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens
Az 1. kiadást bírálta: ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár
© Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Dr. Sümegi Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2007 © Mûszaki Könyvkiadó Kft., 2007
ISBN 978-963-16-4221-6 Azonosító szám: MK–4221-6
Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Kft. Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Orgován Katalin Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Trencséni Ágnes Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 7,87 (A/5) ív A kiadvány tömege: 154 gramm 5., átdolgozott kiadás e-mail:
[email protected] www.muszakikiado.hu www. hajdumatek.hu Nyomta és kötötte: a Borsodi Nyomda Kft. Felelôs vezetô: Ducsai György ügyvezetô igazgató
Tartalom ltalnos mdszertani javaslatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Alaptanterv { Kerettanterv { program { helyi tanterv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A taneszkzkrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag s a kvetelm nyek rtelmez s rl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Halmazok, logika, kombinatorika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Szmtan, algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relcik, fggv nyek, sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geometria, m r sek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valszns g, statisztika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . raterv, tanmenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . raterv. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tanmenet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Gondolkozz s szmolj! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Hozzrendel s, fggv ny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Egybevgsg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Skidomok, testek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. sszefoglal feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag feldolgozsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Gondolkozz s szmolj! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs csompontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapcsoldsi lehets gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs ttekint se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Hozzrendel s, fggv ny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs csompontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapcsoldsi lehets gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs ttekint se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Egybevgsg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs csompontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapcsoldsi lehets gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs ttekint se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Algebra. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs csompontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapcsoldsi lehets gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs ttekint se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5. Skidomok, testek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs csompontjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dierencils . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kapcsoldsi lehets gek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A tananyag-feldolgozs ttekint se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. sszefoglal feladatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 5 6 7 7 8 11 13 15 16 16 20 20 22 24 26 29 32 33 33 35 36 37 42 45 46 47 50 51 52 52 58 60 61 62 68 69 70 71 72 87
3
LTAL NOS MDSZERTANI JAVASLATOK
Alaptanterv { Kerettanterv { program { helyi tanterv Oktatsi trvnynk a mdszertani szabadsg mellett biztostja a tanszabadsgot is. A trvny alapjn a tananyag kialaktsa, a kvetelmnyek megfogalmazsa, az osz-
tly sznvonalnak megfelel trgyalsm d kidolgozsa a tanrnak nemcsak joga, hanem ktelessge is. A tananyagot sajt rtkrendnk alapjn, a helyi tanterv ajnl-
sait gyelembe vve gy kell megvlasztanunk, hogy megfeleljen az osztly pillanatnyi tudsszintjnek, s optimlisan segtse el minden egyes tanul fejl dst. A trvny szerint az iskola helyi tantervt a Nemzeti alaptantervet (a tovbbiakban NAT), illetve a Kerettantervet gyelembe vve kellett kidolgoznunk. A NAT s a Kerettanterv jelenlegi vltozata tbb bels ellentmondst tartalmaz, sem pedaggiailag, sem tartalmilag nem alkot egysges, hzagmentes rendszert. Els sorban a minimumkvetelmnyek kidolgozsa elnagyolt. A matematikban el rt kvetelmnyek s a matematikai alapozst is ignyl trstantrgyak kvetelmnyrendszere tbb helyen nem illeszkedik egymshoz. Ezrt sem a NAT, sem a Kerettanterv nem tekinthet alaptantervnek", csupn tantervi alapnak". A helyi tanterv (esetleg a tanknyvszerz ), de els sorban a szaktanr feladata, hogy kikszblje a NAT-ban, illetve a Kerettantervben tallhat hinyossgokat, s tartalmilag, pedaggiailag egysges rendszert dolgozzon ki. Vgeredmnyben az osztly kpessgnek gyelembevtelvel, a helyi tanterv alap jn a szaktanr dnti el, hogy melyik tanulcsoportnak hogyan pti fel a tananyagot. A tananyag vgs sszelltsakor gondoljuk vgig a kvetkez ket: Inkbb kevesebbet tantsunk, de azt alaposan, alkalmazsra kpesen tantsuk meg. Minden anyagrsznl gondoljunk a szvegrtelmez kpessg fejlesztsre. Helyezznk nagyobb hangs lyt a tanultak mindennapi gyakorlati alkalmazsra. Foglalkozzunk a szzalkszmtssal, kamatszmtssal, a statisztikai szmtsokkal s vizsglatokkal, a mrsekkel, a zikban s a kmiban tanult fogalmakkal (vektor, sebessg, id - t diagram, srsg, keversi feladatok). A tanulk legyenek ignyesek a feladatok megoldsnak teljes s pontos kidolgozsban. Tanulink kpesek legyenek rtelmezni a fogalmakat, kvetni a trsak, a tanr s a tanknyv gondolatmenett. Lssk meg a fogalmak kzti sszefggseket. A kzpiskolba kszl tanulinknak fel kell kszlnik a kzpiskolban elvrt deduktv t ls ly ismeretszerzsi folyamatra is. Tudniuk kell, hogy mit jelent egy fogalmat de nilni, meg kell rtenik a de ncik matematikai tartalmt, ltniuk kell a tapasztalatszerzsen alapul sejts, illetve a bizonytott ttel kzti klnbsget. 5
A taneszkzkrl Matematika 7. A (alapszint) tanknyv Tartalmazza azt a tananyagot, amelyet mindenkinek tantanunk kell, s amely a matematika, illetve a trstantrgyak tovbbi tanulshoz elengedhetetlen. Ltnunk kell, hogy az alapszint" a heti 3 matematikarra reduklt ratervhez igazodik, amely nem biztostja azokat az alapokat, s nem fejleszti ki azokat a kpessgeket, amelyeket majd a kzpiskola elvr tanulinktl.
Matematika 7. B (bvtett vltozat) tanknyv Az alapszinten trgyalt tananyag mellett olyan kiegszt anyagrszeket, feladatsorokat tartalmaz, amelyek els sorban sznvonalukban s nem a tananyag mennyisgben haladjk meg az alapszintet. Ezeknek az anyagrszeknek a feldolgozsa felksztheti a tanulkat a kzpiskolai matematikatanulsra. A tanknyvben nyomdatechnikai mdszerrel (szrke sv, ms feladatszmozs) vlasztjuk el a kiegszt " anyagrszeket a trzsanyagtl". A tanknyv b vtett vltozatban megadtuk az alapszint tanknyv megfelel oldalszmait is. Ezrt a kt vltozat akr egy osztlyban is hasznlhat.
Matematika 7. Gyakorl A biztos eszkztuds kialaktshoz tartalmaz feladatsorokat, segtheti a korbban tanultak feleleventst, a hinyossgok ptlst, az j fogalmak s a tanultak begyakorlst.
Matematika 7{8. Feladatgyjtemny Ez a feladatgyjtemny a tehetsggondozst s az emelt szint kpzst segtheti.
Matematika 7. tanknyv feladatainak megoldsa A tanulk nellen rzst segt kiadvny.
Tmazr felmr feladatsorok, matematika 7. osztly A felmr feladatsorok els dleges clja, hogy segtse a szakmai munkakzssgek munkjt a viszonylag egysges kvetelmnyrendszer kidolgozsban. A tanul i pldnyok A s B vltozatban tartalmazzk a feladatsorokat (egyes feladatok kln az alapszint vagy az emelt szint szmra kszltek). A tanri pldnyokban a feladatsorok mellett megtallhatk a javtsi tmutatk s az rtkelsi normk is. Ngy fzetben kszl az alapszint C s D, illetve az emelt szint E s F vltozat, s kln fzetben ezek javtsi tmutatja. Ezeket a vltozatokat csak az iskolk rendelhetik meg, a kereskedelmi forgalomban a tanulk nem vsrolhatjk meg. A C, a D, az E s az F vltozatokban a tmazr feladatsorok mellett gynevezett tjkozd felmr feladatsorokat is kidolgoztunk. Ezekkel (els sorban diagnosztikus cllal) a tovbbhaladshoz nlklzhetetlen eszkztudst mrhetjk fel. 6
A tananyag s a kvetelmnyek rtelmezsrl Ebben a rszben a NAT, illetve a Kerettanterv fejezeteit kvetve tekintjk t a tananyagot s a kvetelmnyeket. A tananyag feldolgozsa cm fejezetben szksg esetn konkrtabban is megfogalmazzuk, hogy az adott anyagrsz trgyalsa sorn mit kell elrnnk.
Halmazok, logika, kombinatorika A tanknyvben, tanmenetjavaslatban a halmaz, logika tmakr nem alkot nll fejezetet, a Feladatgyjtemnyben azonban igen. Ennek oka, hogy a Feladatgyjtemny els dleges clja a jobb kpessg tanulk felksztse a kzpiskolra. Ezen az vfolyamon is igaz az, hogy nem halmazelmletet tantunk, hanem halmazszemlletet fejlesztnk. Tanulink ismerjk az alaphalmaz", igazsghalmaz" fogalmt. Legyenek kpesek halmazokat tulajdonsggal megadni, lltshoz igazsghalmazt keresni (adott alaphalmazok esetn). Legyenek kpesek vizsglni adott (ismert) halmazok egymshoz val viszonyt. Tudjk kpezni a halmaz kiegszt halmazt (komplementert) adott alaphalmaz esetn, alkalmazzk helyesen a halmaz komplementere s az llts tagadsa kzti kapcsolatot. Adott szempontok szerint tudjk kpezni a vges vagy jl ismert vgtelen halmazok rszhalmazait (kapcsolat a kombinatorikval is). Legyenek kpesek kt vagy hrom halmaz kzs rszt s egyestettjt kpezni. Ismerjk a metszet, a logikai s", valamint az uni s a logikai vagy" kapcsolatt. Tudjk ezt alkot mdon alkalmazni az j fogalmak, sszefggsek vizsglatban. A matematikai logiknak is csak nhny elemt trgyaljuk. A szemlletfejleszts ms tmakrk konkrt feladatainak megoldsval trtnik. A tanulk az jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatosan is fogalmazzanak meg igaz s hamis lltsokat, legyenek kpesek lltsok igazsgt eldnteni. rtsk meg, s az j anyagrszek elsajttsban alkot mdon alkalmazzk az s", vagy" kifejezseket. Tudjk a ha, akkor", pontosan akkor, ha" tpus lltsok igazsgt eldnteni. Hasznljk (helyesen) ezeket a kifejezseket. Az jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatban is rtsk meg, s ismert (konkrt) halmazok esetn helyesen hasznljk a minden", van olyan" kifejezseket. Tudjk ezeket tagadni. Tudjanak minden" s van olyan" tpus lltsokat tfogalmazni, igazolni vagy cfolni. Az els dleges cl ilyenkor az ppen trgyalt ismeret, sszefggs megrtse, az eddigi ismeretekbe val beptse, a tbbi tmakrrel val sszeszvse. A logikval kapcsolatos feladatok szhasznlata, a mondatok szerkezete sokszor eltr a mindennapi nyelvt l. Pldul ha azt az lltst (kijelent mondatot), hogy Lacinak van kt n vre" egy trsasgban halljuk, akkor ezt nem rezzk pontatlan kzlsnek. gy rtjk, hogy Lacinak nem egy, nem hrom, hanem pontosan kt n vre van. A matematikban ezt a pontosant" ltalban meg is kell fogalmaznunk. Pldul: A prmszmot az jellemzi, hogy pontosan kt osztja van a termszetes szmok krben. Az sszetett szmokra is igaz, hogy van kt osztjuk, csakhogy annl tbb is. 7
Leginkbb az s" s a vagy" kt szk tbbfle jelentsre kell gyelnnk. Matematikarn is hasznlhatjuk klnbz jelentssel ezeket a kt szkat. Pldul: A 10-nl kisebb termszetes szmok kztt t kett vel oszthat s ngy hrommal oszthat szm van. A 10-nl kisebb termszetes szmok kztt kt olyan szm van (0 s 6), amely kett vel s hrommal oszthat. Mg az els mondatban az s" nvel hats , addig a msodik mondatban logikai s" tulajdonsgokat kapcsol ssze, ilyenkor cskkent hats . A szmtan, algebra s a geometria tmakrk igen sok lehet sget ny jtanak a kombinatorikus szemllet fejlesztsre s a megfogalmazott kvetelmnyek elrsre. Az erre alkalmas feladatok megoldsakor sor kerl az sszes eset megkeressre valamilyen rend szerint. A rendezsi sma lehet fadiagram vagy tblzat. A tblzat szmprjai kzti sszefggs megllaptsa nem kvetelmny. Ugyanakkor a tehetsgesebb, illetve a kzpiskolba kszl tanulinktl elvrhat, hogy kpesek legyenek a kombinatorikai mdszereket alkot mdon alkalmazni a matematika klnbz tmakreiben (szmelmlet, sokszgek vizsglata stb.). Ha heti 3 rban reduklt program szerint tantunk, akkor is adjunk fel feladatokat ezekb l a tmakrkb l, mg akkor is, ha minimumkvetelmny nincsen bel le.
Szmtan, algebra 7. osztlyban e tmakrben zmmel az el z vekben tanultakat fejlesztjk tovbb s szilrdtjuk meg. Ezrt a tants mdjt, a tovbblps (normlalak, algebrai kifejezs, azonossgok) mrtkt s mlysgt er sen befolysolja, hogy hatodik osztlyban mennyit, milyen szinten sajttottak el a tanulk, egy-egy osztlyon bell (esetleg kpessgcsoportok szerinti bontsban) mennyire klnbzik a tudsuk, kpessgk, igyekezetk. A tanknyv, a Gyakorl s a Feladatgyjtemny egyttes hasznlata lehet sget biztost mind a hinyok ptlsra, mind a jobbak, a kzpiskolba igyekv k fejlesztsre. v elejn mrjk fl, hogy kell en biztos-e tanulink szmfogalma: ismerik-e megbzhatan a tzes szmrendszert, kpesek-e a szmokat a mindennapi letben (ms tantrgyakban is) helyesen alkalmazni, tudjk-e a szmokat klnbz alakban felrni: trt- (esetleg vegyesszm), tizedestrt, sszeg-, klnbsg-, szorzat-, hnyadosalak a klnbz alak szmok kzl ki tudjk-e vlasztani az egyenl ket, tudjk-e a szmokat nagysg szerint rendezni, meg tudjk-e adni racionlis szmok hozzvet leges helyt a szmegyenesen, kpesek-e ezt alkalmazni egyenl tlensgek megoldsnak keressben s ellen rzsben. Fontos a racionlis szmokkal kapcsolatos fogalomrendszer tudatostsa: termszetes szm, egsz szm, trtszm pozitv, negatv szm, nempozitv, nemnegatv szm, ellentett, abszol trtk, reciprok. 8
Legks bb a korbbi anyagrszek tismtlse utn a tanulk legyenek tisztban a trt fogalmval: a trt mint az egysg trtrsze, mint kt szm hnyadosa s mint kt szm arnya. Tudjk adott mennyisg trtrszt s adott trtrszb l az egysgnyi mennyisget kiszmtani. Legyenek kpesek a trtek egyszerstsre, b vtsre. A korbban tanultakat kiegsztve, tudatosabb tve (legalbb a kzpiskolba kszl tanulk) sajttsk el a szmelmlet elemeit, tudjk alkalmazni az osztrl, a tbbszrsr l, a szmok trzstnyez kre bontsrl, az oszthatsgi szablyokrl, a legnagyobb kzs osztrl, a legkisebb kzs tbbszrsr l tanultakat. Biztos aritmetikai tuds nlkl bizonytalan lesz a rpl algebrai, fggvnytani, geometriai ismeretrendszer is. Ezrt a mveletfogalom s a mveletvgzs fejlesztsre 7. osztlyban is oda kell gyelnnk, hiszen a korbban megszerzett (esetleg hzagos) tudst csak tervszer gyakorlssal tudjuk megszilrdtani s a tanulk letkornak megfelel begyakorlottsgi szintre emelni. Mrjk fel, hogy tanulink tudjk-e rtelmezni s elvgezni a ngy alapmveletet brmilyen alak racionlis szmok krben ismerik-e a mveleti azonossgokat, kpesek-e azokat alkalmazni a szmtsok sszerstsben, konkrt feladat megoldsakor a tbbfle kiszmtsi md kzl ki tudjk-e vlasztani az egyszerbbet rtik-e a pozitv egsz kitev j hatvny fogalmt, kiszmtsi mdjt tbb mveletet tartalmaz kifejezsben meg tudjk-e llaptani a helyes sorrendet rtik-e az arny fogalmt, kpesek-e azt alkalmazni az egyenes s a fordtott arnyossg, a szzalkszmts krben, ki tudjk-e szmtani a szzalkrtket, az alapot, a szzalklbat a msik kett ismeretben tudnak-e arnyos osztssal kapcsolatos feladatokat megoldani, tudjk-e a tanultakat alkalmazni statisztikai szmtsokban. A fentiek miatt is fontos a folyamatos ismtls megtervezse (hzi feladatok megvlasztsa, ellen rzse nhny perces ra eleji bemelegt ", jtkos feladatok a szbeli szmols gyakorlsra a korbban tanultak rendszeres alkalmazsa, sszeszvse az j anyagrszekkel stb.). Szinte minden anyagrszben lehet sg nylik a szmfogalom, mveletfogalom er stsre, a mveleti tulajdonsgok alkalmazsra, egyszer kapcsolatok aritmetikai vagy algebrai lejegyzsre, egyszer algebrai kifejezsek szmrtknek kiszmtsra, az arnyossgi kvetkeztetsekre, szzalkszmtsra. Amelyik osztlyban a tanulk szmfogalma s szmolsi kpessge megbzhat, fokozatosan megtan thatjuk a zsebszmolgp hasznlatt a racionlis szmkrben. A szmolgp hasznlatnl gondolnunk kell a pontos rtk s a kzelt rtk kzti klnbsgre. A tanulknak mr a korbbi ismeretekre tmaszkodva tudniuk kell egsz s tizedestrt alakban adott szmokat adott nagysgrendre kerekteni, kerektett rtkekkel szmolva rsban vagy zsebszmolgppel vgzett mveletek eredmnyt megbecslni. Gyakran el fordul, hogy a tanulk a kerektett rtkkel val szmols eredmnynek sszes 9
szmjegyt pontosnak tekintik. A kzelt szmts szablyait nem tantjuk, de arra gyelmeztessk ket, hogy az eredmny pontossga igazodjon a legkevsb pontos adathoz. Pldul ha egy tglalap oldalai 13,4 cm s 32,2 cm, akkor a terlete: T = 13,4 32,2 cm2 = 431,48 cm2 Azonban az adatok mindegyikben kt rtkes jegy van, ezrt az eredmnyt is kt rtkes jegyre kvnatos kerektennk: T 430 cm2 Az el bbinl pontosabb megoldst kapunk, ha kiszmtjuk a lehetsges maximlis hibt. A terlet legalbb: T = 13,35 32,15 cm2 = 429,2025 cm2 legfeljebb: T = 13,45 32,25 cm2 = 433,7625 cm2 A szmtsok alapjn: T = (431,5 2,3) cm2
A hatvnyokkal, normlalakkal val szmolst a tanknyv lnyegesen hangs lyozottabban trgyalja, mint ahogyan az az alaptanterv alapjn elvrhat. #gy konkrt pldkon (ha futja az id nkb l s a tanul erejb l), hossz tvon tudjuk el kszteni a hatvnyozs mveleti azonossgait. A normlalakkal szmols lnyegesen megknnytheti a gyakorlati jelleg feladatok (mrtkegysg-tvlts, kmiai, zikai feladatok) megoldst. Tudatoss tehetjk a zsebszmol gpen nagy (vagy kicsi) szmokkal vgzett mveleteket. Ezzel els sorban a kzpiskolba kszl ket, illetve kzpiskolai tagozaton tanulkat kszthetjk fl a ks bbi tananyag megrtsre s befogadsra. A reduklt program szerint a normlalakkal esetleg csak 8. osztlyban foglalkozzunk. S lyos hinyossgokat tapasztalunk a tanulk beszdkszsge, a matematikai gondolatok elmondsa s lersa terletn. Ezrt minl tbb alkalmat biztostsunk a tanulknak a szbeli szereplsre (de ncik, sszefggsek, tletek, megoldsi tervek, bizonytsok nll megfogalmazsa, lejegyzse). A hibkat kvetkezetesen javttassuk, javtsuk. A nemzetkzi s a hazai felmrsek egyarnt azt mutatjk, hogy rendkvl gyenge a tanulk sz vegrtelmez kpessge. Ezrt a szveges feladatok megoldsa sorn gyeljnk arra, hogy tanulink milyen szintre jutottak ezen a tren. Tudnak-e matematikai szveget rtelmezni? Kpesek-e a szveges feladatokban lv problmt megrteni, az adatok kzl a szksgeseket s feleslegeseket megklnbztetni, az adatokat lejegyezni, a kztk lv kapcsolatot megllaptani, ezt a matematika nyelvn megfogalmazni, a megoldst megtervezni, az eredmnyre becslst adni, azt meghatrozni, ellen rizni s rtelmezni a szveg alapjn? Az erre alkalmas feladatok megoldsa sorn vrjuk el a tanulktl: a feladat pontos rtelmezst, az adatok lejegyzst az sszefggsek megfogalmazst a matematika nyelvn a megoldsi terv elksztst, lejegyzst az eredmny megfelel becslst a feladat megoldst, a kivitelezs pontossgt az eredmny szveg alapjn trtn ellen rzst, rtkelst a diszkusszit. Lnyegben j anyag az algebrai kifejezsek trgyalsa, br a szm-szm fggvnyek hozzrendelsi szablyt korbban is kifejezs segtsgvel adtuk meg, ilyen form10
ban jegyeztk le a geometriai (s zikai) sszefggseket, s az egyenletek megoldsa sorn is algebrai kifejezsekkel dolgoztunk. Ebben a tmakrben { a tanr egyni rtkrendjt, a heti raszmot, a csoport sznvonalt s a helyi tantervet gyelembe vve { nagyon eltr kvetelmnyeket fogalmazhatunk meg az egyes osztlyok szmra. A reduklt program minimumszintjn is el kell rnnk, hogy a tanulk kpesek legyenek rtelmezni az egyenletekben, a lineris fggvnyekben s a geometriai sszefggsekben el fordul kifejezseket, tudjk ezeket egyszerbb alakra hozni, s biztosan ki tudjk szmolni a helyettestsi rtkket. Ismerjk az algebrai kifejezsekkel kapcsolatban az egytthat", a vltoz", az egynem", a klnnem" elnevezseket, ismerjk fel az egynem kifejezseket. Jobb kpessg, k zpiskolba kszl tanul inknak, termszetesen meg kell haladniuk ezt a minimlis eszkztudst. Tudniuk kell alkalmazni a racionlis szmokra tanult azonossgokat egyszer algebrai kifejezsek krben is. A tanult azonossgok: az sszeg tagjainak s a szorzat tnyez inek felcserlhet sge (kommutativitsa), trsthatsga (asszociativitsa) sszeg s klnbsg szorzsa (disztributivits) egytag kifejezssel sszeg s klnbsg hozzadsa, kivonsa. A reduklt program szerint a szorzatt alakts nem kvetelmny. Kvetelmny a lineris egyenletek, egyenl tlensgek megoldsa a mrlegelv alkalmazsval (ngy-t lpsben is). 7. osztlyban egyszerbb esetekben az egyenletek, egyenl tlensgek megoldsban s a megolds ellen rzsben elvrjuk a mveleti azonossgok alkalmazst, pldul zrjelek felbontst, trtek kzs nevez re hozst. A reduklt program szerint a nehezebben halad tanulkkal csak kt-hrom lpsben megoldhat egyszer egyenleteket oldassunk meg. A k zpiskolba kszl tanul k legyenek kpesek a szveges feladatok megoldsi tervt egyenlettel, egyenl tlensggel is felrni, az eredmnyre becslst adni, a megoldst megkeresni, a szvegben megfogalmazott problma tkrben ellen rizni, rtelmezni. A reduklt programban csak a legjobbaktl vrhat el az egyenl tlensgre vezet egyszer szveges feladatok tervnek felrsa.
Relcik, fggvnyek, sorozatok A fggvnyszemllet fejlesztse, a kapcsolatok s a vltozsok meg gyelse, szablyok megfogalmazsa, lersa nemcsak ebben a tmakrben trtnik, hanem behlzza a tbbit is. A halmazok, logika ismeretrendszerhez hasonlan sszeszvi az egyes matematikai tmkat. Ebb l az is kvetkezik, hogy 7. osztlyban, alapszinten a fggvnyekkel kapcsolatos biztos eszkztuds igen fontos kvetelmny, fontosabb, mint az egzakt fogalmak kialaktsa s a de ncik megtantsa. Fordtsunk gondot a tapasztalati fggvnyek brzolsra, rtelmezsre, elemzsre, gra konok, tblzatok ksztsre, olvassra. Jegyeztessk le a szveggel megadott egyszer fggvnyeket kplettel, utastssal, gra kusan is. (Kapcsolat a geometrival, zikval, kmival.) Az itt szerzett ismereteket nemcsak a mindennapi letben s a 11
trstantrgyak tanulsa sorn hasznosthatja a tanul (br ez nmagban is fontoss teszi ezt a tmakrt), hanem az igen absztrakt fogalmak kialakulshoz is biztos szemlleti alapot szolgltathat. Szemlletes szinten el ksztheti az elemi fggvnyvizsglat tantst. A tapasztalat alapjn nagyobb gondot kell fordtanunk a szveggel megadott fggvnyekre, az adatok lejegyzsre, a vltozk kifejezsre, ezzel segtve a szveges feladatok egyenlettel trtn megoldst is. Konkrt pldk elemzsvel ksztjk el a fggvny fogalmt. Kplettel, utastssal megadott hozzrendelsekhez tblzatot ksztenek a tanulk, felrjk a tblzattal megadott hozzrendelsek szablyt. Megvizsgljk, hogy az alaphalmaz elemei kzl melyeknek nem lehet kpe a hozzrendelsben. Megklnbztetik az egyrtelm s a tbbrtelm hozzrendelseket, kivlasztjk a fggvnyeket. Azonban a fggvnnyel kapcsolatos fogalomrendszer felmrsekor ilyen el kszts utn sem trekedhetnk a teljessgre. A tmakr gerince a lineris fggvny. Az ltalunk javasolt trgyalsmd szerint 6. osztlyban el ksztjk az egyenes arnyossg mint fggvny fogalmt, felismertetjk, hogy az egyenes arnyossg gra konja az orign tmen egyenes. Szemlletre tmaszkodva felfedeztetjk a gra kon meredeksge s az arnyossgi tnyez kzti kapcsolatot. Ha ez az alapozs (id hiny miatt) 6. osztlyban nem trtnt meg, akkor most kell erre sort kertennk. 7. osztlyban a tanulk ismerjk a lineris fggvny fogalmt. Tudjk, hogy az egyenes arnyossg s a konstansfggvny specilis lineris fggvny. Kplettel, formulval adott lineris fggvnyhez tudjanak tblzatot kszteni, tudjk azt gra kusan brzolni (minimumszinten az sszetartoz rtkprok ltal meghatrozott pontok segtsgvel). rtsk (konkrt pldkkal kapcsolatosan), hogy x ax + b esetn az a fggvny gra konjnak meredeksgt, b az y tengellyel val metszspontjt hatrozza meg. Gra konnal megadott lineris fggvny sszetartoz rtkprjait tudjk tblzatban felrni. Legyenek kpesek a tblzattal, gra konnal adott lineris fggvny hozzrendelsi szablyt (kplett) felrni. A lineris egyenletek gra kus megoldst a Kerettanterv el rja. Ha jut is r id , alapszinten csak 8. osztlyban kveteljk meg ezt tanulinktl. Az alaptanterv szerint nhny rdekes sorozat megismersvel, vizsglatval kell foglalkoznunk. A tanulk legyenek kpesek megkezdett sorozatokat folytatni adott, illetve felismert szably szerint. Ismerjk fel tbbfle szably megfogalmazsnak lehet sgt. A tanultakat legyenek kpesek alkot mdon alkalmazni szmelmleti, geometriai vizsglatokban. A NAT-ban el rt kvetelmnyekhez kpest a 7. osztlyos tanknyv tfogbban s mlyebben trgyalja ezt a tmakrt. Ezrt alapszinten a gra konnal, tblzattal, szveggel adott fggvnyek rtelmezst gyakoroltassuk. A fogalmak tudatostsval elegend 8. osztlyban foglalkoznunk. (A 8. osztlyos tanknyv ismt teljes egszben ttekinti, majd kiegszti a fggvnyekkel, sorozatokkal kapcsolatos ismeretrendszert.) 7!
12
Geometria, mrsek A 7. osztly geometria tananyagra jellemz , hogy nagy rszt az el z vfolyamokon intenzven elksz tettk. Nhny akkor szerzett ismeretet a gyermek letkornak megfelel szinten, szemlletre tmaszkodva igazoltunk" is (pldul a hromszg bels szgeinek sszegt parkettzssal). Az el z vekben tanultakat gy gyjthetjk ssze, hogy feldolgoztatjuk a bevezet feladatsorokat is. Ezek a tanulsi mdszerekre is utalnak, s olyan kapaszkodknak tekinthet k, amelyek abban is segthetnek, hogy a klnbz tuds- s szemlletszint tanulkat eljuttassuk legalbb a tovbbhaladshoz szksges szintre. A kvetelmnyek megfogalmazsban is utalunk a tananyag spirlis" ptkezsre, illetve a 6. s a 7. osztlyos kvetelmnyrendszer kztt meglv nagy tfedsre". Kvetelmny, hogy a tanulk rtsk s helyesen hasznljk az alapvet geometriai fogalmakat, begyakorlottan hajtsk vgre az elemi szerkesztseket, tudjk ezeket alkalmazni. Ismerjk a vektor szemlletes fogalmt, tudjk alkalmazni elmozdulsok megrajzolsban s az eltols rtelmezsben. Legyenek kpesek egymssal prhuzamos vektorok sszegnek s klnbsgnek meghatrozsra konkrt, gyakorlati jelleg feladatokban. (A nem prhuzamos vektorok sszegnek s klnbsgnek megszerkesztst csak akkor vrjuk el, ha a helyi tantervben zikbl ez kvetelmny.) Ismerjk a sokszgekkel kapcsolatos fogalomrendszert s elnevezseket. Tudjk kiszmtani a sokszg kerlett. Biztosan tudjk a szgr l, szgmrsr l, szgfajtkrl tanultakat. Tudjanak szget msolni, felezni, nevezetes szgeket szerkeszteni. 'brkon, alakzatokon ismerjk fl a szgprokat: egylls , fordtott lls szgek (specilisan cs csszgek), trsszgek (specilisan mellkszgek). Ismerjk a krrel kapcsolatos fogalmakat, elnevezseket. Tudjk meghatrozni a kr kerlett. Ismerjk a hromszg fogalmt, tulajdonsgait (a hromszg-egyenl tlensg, a hromszg bels s kls szgeinek sszege, kapcsolat a kls s a bels szgek kztt, kapcsolat az oldalak s szgek kztt), tudjk ezeket alkalmazni szerkesztsi, szmtsos s bizonytsi feladatokban. Tudjk a hromszgeket csoportostani oldalaik s szgeik szerint. Ismerjk a hromszg magassgnak fogalmt. Ismerjk a hromszg egybevgsgnak alapeseteit. Tudjanak hromszget szerkeszteni a tanult egybevgsgi esetek alkalmazsval. Ismerjk a ngyszg, a trapz, a h rtrapz, a paralelogramma, a rombusz, a tglalap, a ngyzet fogalmt, tulajdonsgait, e fogalmak egymshoz val viszonyt. Tudjk a felsorolt ngyszgeket megszerkeszteni a hromszgszerkesztsr l tanultak alkalmazsval. Az egybevgsgi transzformcikrl s a szgprokrl tanultakat tudjk alkot mdon alkalmazni a specilis ngyszgek tulajdonsgainak felismersben, szerkesztsi, szmtsos s bizonytsi feladatok megoldsban. 13
Az sszetettebb szerkesztsek vgrehajtsa nem vrhat el mindenkit l. A tanulk trszemlletnek fejlesztse rdekben minden vben foglalkozzunk a trelemekkel, illetve a testekkel. Ennek a tmakrnek a feldolgozsra mindenkppen biztostsunk elegend id t. A kvetelmnyrendszer most is szerves tovbbfejlesztse az el z vek kvetelmnyeinek. A tanulk ismerjk fel a sokszglapokkal hatrolt testeket, tudjk rtelmezni az ezzel kapcsolatos alapvet fogalmakat (l, lap, cs cs, laptl, testtl), legyenek kpesek e testek tulajdonsgainak vizsglatra. Tudjk rtelmezni, megrajzolni a sokszglapokkal hatrolt testek fell-, ell- s oldalnzett. Ismerjk fl a hasbot, illetve az egyenes krhengert. Ismerjk a hasbbal s a hengerrel kapcsolatos fogalomrendszert, elnevezseket, az egyenes hasb s az egyenes krhenger tulajdonsgait, a specilis hasbokat (tglatest, kocka). Tudjk megszerkeszteni az egyenes hasb s az egyenes krhenger hlzatt. Tovbbra is fontosak azok a kvetelmnyek, amelyek szoros kapcsolatban vannak a mindennapok" geometrijval. A tanulk ismerjk a hossz sg, a tmeg, az rtartalom s az id mrtkegysgeit, tudjk a mrtkegysgeket tvltani. Ismerjk a terlet fogalmt, mrtkegysgeit, tudjk a mrtkegysgeket tvltani tudjk kiszmtani a tglalap, a ngyzet, a deltoid, a paralelogramma, a hromszg, a trapz s a kr terlett. A tanultakat legyenek kpesek alkalmazni tetsz leges ngyszg, tszg, illetve a szablyos sokszgek terletnek kiszmtsban (a szksges adatok szerkesztsvel, megmrsvel). Tudjk kiszmtani az egyenes hasb s az egyenes krhenger felsznt. Ismerjk a trfogat fogalmt, mrtkegysgeit, tudjk a mrtkegysgeket tvltani. Ismerjk s tudjk alkalmazni a trfogat- s az rmrs mrtkegysgei kzti kapcsolatot. Szerezzenek jrtassgot az egyenes hasb s az egyenes krhenger trfogatnak kiszmtsban. Fontos, hogy a racionlis szmokrl, a velk vgzett mveletekr l s az algebrai kifejezsekr l tanultakat biztosan alkalmazzk a tanulk a geometriai szmtsokban, a kerlet-, terlet-, felszn- s trfogatkpletek rtelmezsben, hasznlatban. A felmrsek szerint az elvrt szint alatt marad a terlet-, felszn-, trfogatszmtssal kapcsolatos ismeretek elsajttsa s a trszemllet fejlettsge. Ezrt (s a gyakorlati alkalmazsra nevels miatt is) tartjuk fontosnak, hogy behatan, a tbbi geometriai tmakrhz kapcsoldva foglalkozzunk ezekkel az anyagrszekkel. A geometriai transzformcik fontos szerepet jtszanak a szemllet, a kpi gondolkods fejlesztsben. Kvetelmnyek: Klnbz konkrt geometriai transzformcik kzl a tanulk ismerjk fl az egybevgsgi transzformcikat, a tengelyes s a kzppontos tkrzst, az eltolst s az elforgatst (parkettzs, vizsglatok a derkszg koordinta-rendszerben). Tudjk, hogy az egybevgsgi transzformci tvolsg- s szgtart. 14
Ismerjk a tengelyes tkrzs s a kzppontos tkrzs fogalmt s tulajdonsgait. Tudjk megszerkeszteni adott skidom tengelyes, illetve kzppontos tkrkpt. Ismerjk a tengelyes szimmetria s a kzppontos szimmetria fogalmt, tulajdonsgait. Ismerjk fl a szimmetrikus alakzatokat. A tanultakat legyenek kpesek alkalmazni egyszer szerkesztsekben, sokszgek tulajdonsgainak vizsglatban. A tanuli segdletek feladatanyaga b ven ad lehet sget arra, hogy a geometriai ismereteket a tbbi tmakrrel sszesz hessk. A kvetelmnyekben ez a koncentrci nem jelenik meg, de nlkle a megfogalmazott kvetelmnyek kevsb teljesthet k. Az sszeszvs lehet sge a tbbi tmakrrel klcsns. Pldul sokszor alkalmazhatjuk a derkszg koordinta-rendszert sokszgek el lltsra, vizsglatra, terletk meghatrozsra, geometriai transzformcik vgrehajtsra. Ugyanakkor ezekkel a feladatokkal el kszthetjk pldul a fggvnytranszformci tantst.
Valsznsg, statisztika A tanknyv els fejezetben, a szmtan, algebra ismeretek ismtlshez, rendszerezshez kapcsoldva tallhat kt alfejezet ebb l a tmakrb l. A Matematika 7. Gyakorl 8. fejezete s a Matematika 7{8. Feladatgyjtemny 5.2. Mi a valsznbb? cm alfejezete is ennek a tmakrnek a feldolgozst tmogatja. Egyik legfontosabb oktatsi-nevelsi feladatunk annak a kpessgnek a fejlesztse, hogy a tanulk a matematikarn tanultakat a mindennapi letben is tudjk alkalmazni. Ezrt ebben a tmakrben rjk el, hogy tanulink aktulis statisztikai adatokat tudjanak gyjteni, tblzatba foglalni, tudjanak velk gra kont, diagramot kszteni. A tblzattal, gra konnal adott adatokat tudjk elemezni, rtelmezni. A statisztikai vizsglatok (tblzatok, gra konok, diagramok elemzse, ksztse) a fggvnyek tmakrhz is kapcsoldik. Ezrt a gra konok trgyalsa sorn is trjnk vissza ehhez az anyagrszhez, s aktulis statisztikai adatgyjtssel, vizsglatokkal egsztsk ki az ott tallhat feladatokat. A NAT, illetve a Kerettanterv szerint a matematikai szemllet alaktsnak egyik fontos terlete a valsznsgszmts, ezrt ez a tmakr a korbbiakhoz kpest nagyobb hangs lyt kap a tanknyvben. A tmakr feldolgozsa sorn rjk el, hogy a tanulk tudjanak egyszer valsznsgi ksrleteket vgrehajtani, az esemnyeket lejegyezni, azok valsznsgre (a nagy szmok trvnynek megsejtsvel) becslst adni. Ismerjk a relatv gyakorisg fogalmt, tudjk kiszmtani a meg gyelt esemny relatv gyakorisgt. Legyenek kpesek egyszer esetekben az esemny valsznsgt meghatrozni, azt a relatv gyakorisggal sszehasonltani.
15
RATERV, TANMENET
raterv A matematika heti raszmt az iskolk a helyi tantervkben rgztik. Az egyes
tantrgyakra jut raszmot az oktatsi trvny s a NAT nem rja el ktelez jelleggel. A Kerettanterv minimlis raszmknt heti 3, vi 111 matematikart r el. Ettl az raszmtl az iskola helyi tanterve csak felfel" trhet el. A fentiek alapjn az iskolk egy rszben a 7. osztlyban heti 3, vi 111 matematikara van. A szmukra javasolt raszmokat (az ratervben s a tanmenetben is) res keretbe rtuk. Pldul: 01{24. ra Megjegyezzk, hogy ha ezekben az iskolkban a korbbi vekben is reduklt raszmban tantottk a matematikt, akkor 7. osztlyban meg kell elgednnk a reduklt tananyagot, vagyis a kerettantervi minimumot tartalmaz alapszint tanknyv feldolgozsval. Amennyiben a helyi tantervnk nem biztost kiegszt rt a matematikaoktats szmra, akkor nem tanthatunk annyit s olyan sznvonalon, mint azok az iskolk, amelyeknek 33%-kal magasabb az rakeretk, mint a mink. Csak az lehet a clunk, hogy a tovbblpshez nlklzhetetlen ismereteket, mveleti eljrsokat begyakoroltassuk, s az elvrt alapk szs geket kialaktsuk. Ennek a korosztlynak az elmlt 140 vben Magyarorszgon s Eurpa fejlett orszgaiban ltalban heti 4, esetleg 5 matematikart biztostottak s biztostanak a tantervek. Ez 1985-ig nlunk vi 132, illetve 165 matematikart jelentett, ami az tnapos tantsi ht bevezetse utn heti 4, vi 148 matematikarra mdosult.
Matematikbl az orszgos kompetenciam r sek feladatsorai kisz lestett k" a matematikatantssal kapcsolatos kvetelm nyrendszert, ha tartalmilag nem is b-
vtettk azt. Rugalmas, jl begyakorolt, szokatlan feladathelyzetekben, gyakorlati problmk megoldsra is alkalmazhat ismereteket s kszsgeket vrnak el a tanulktl. Ezeknek a kvetelmnyeknek sem tudunk eleget tenni heti hrom rban. (A kompetenciamrsre felkszt feladatokra a tanmenetben kln felhvjuk a gyelmet.) A matematikai alapozst ignyl trstantrgyak mr a fels tagozaton, ksbb a kzpiskolk matematika-, zika-, kmiaoktatsa felttelezik azt a biztos alapozst, amely csak heti 4 rban valsthat meg. A biztos matematikai ismeretek s kpessgek kulcsfontossg szerepet jtszanak a tanulk tovbbi tanulmnyi sikereiben. Ezrt a kiegszt rakeretbl legalbb heti 1 ra jr" a matematikatanulssal kapcsolatos specilis feladatok megoldsra, a tehetsggondozsra, a versenyre val felksztsre, a felzrkztatsra, a kiegszt anyagrszek megtantsra stb. 16
Az iskolk tbbsgben (klnbz lehetsgeket kiaknzva) a minimlisan elrt 3 rt legalbb 1 rval kiegsztik. Ezekben az iskolkban javasoljuk a tanknyv b vtett vltozatnak feldolgozst. Ugyanis a tanknyv bvtett vltozatnak sszelltsakor 185 napos tantsi vet s vi 144 matematikart vettnk gyelembe. Az ilyen helyi tanterv alapjn dolgoz osztlyok szmra javasolt raszmokat szrkre sznezett keretbe rtuk: 01{34. ra
1. Gondolkozz s szmolj!
01{24. ra
01{34. ra
A termszetes szmokrl, az egsz szmokrl, a trtekrl s a tizedestrtekrl tanultak ismtlse, tjkozds a szmegyenesen a racionlis szmok fogalma racionlis szmok nagysg szerinti sszehasonltsa { Racionlis szmok nemnegatv egsz kitevj hatvnyai, a hatvnyozs tulajdonsgainak vizsglata konkrt szmfeladatokban { Egynl nagyobb szmok normlalakja { Oszt, tbbszrs, oszthatsgi szablyok trzsszmok, sszetett szmok, pozitv egsz szmok trzstnyezkre bontsa legnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs
A ttel" s bizonyts" fogalma. A bizonytsi igny felkeltse. Az oszthatsgi feladatokban alkalmazzuk a halmazokrl tanultakat.
Mveletek gyakorlsa a racionlis szmok halmazban mennyisgek trtrsze mveleti sorrend, zrjelek alkalmazsa { Arny, arnyos oszts { Szzalkszmts, kamatos kamat { Statisztikai szmtsok gra konok, diagramok rtelmezse, ksztse { Valsznsgi ksrletek s szmtsok
Sz veges feladatok megoldsa a szmokrl, m veletekr l, illetve a mrsekr l, a terlet- s a trfogatszmtsrl korbban tanultak alkalmazsa gyakorlati jelleg feladatokban. Fontosak az olyan j tpus" sz veges feladatok, amelyek tblzatok, diagramok rtelmezshez, elemzshez kapcsoldnak. Ezekkel a 8. osztlyos orszgos kompetenciamrsre ksztjk fel a tanulkat.
Gyakorls { 1. dolgozat
2. Hozzrendel s, fggv ny
25{36. ra
35{50. ra
A relci, hozzrendels fogalma, hozzrendelsek tulajdonsgainak vizsglata konkrt feladatokban { A fggvny fogalma, fggvnyek gra konja fggvnytulajdonsgok vizsglata a fggvny gra konjnak elemzse alapjn { Az egyenes arnyossg mint fggvny { A lineris fggvny rtelmezse, a lineris fggvny gra konjnak vizsglata, a gra kon brzolsa specilis lineris fggvnyek: az elsfok fggvny, az egyenes arnyossg, illetve a konstans fggvny { A sorozat mint fggvny, sorozathoz szably keresse, sorozat tetszleges tagjnak kiszmtsa adott szably alapjn { A fordtott arnyossg fogalma, gra konja.
A fggvnyekr l, sorozatokrl tanultak alkalmazsa gyakorlati jelleg , jszer " feladatokban. A 8. osztlyos kompetenciamrsre ksztjk fel a tanulkat, ha az arny, arnyos oszts fogalmt trkpek, nzeti rajzok rtelmezsre, m szerek adatainak leolvassra stb. alkalmazzuk. A mindennapi jelensgek, t rtnsek vizsglata grakon segtsgvel ugyancsak a kompetenciamrs szempontjbl lehet fontos.
Gyakorls { 2. dolgozat
17
3. Egybevgsg
37{52. ra
51{70. ra
A geometriai transzformci fogalma, geometriai transzformcik vizsglata a korbban (az als tagozatban is) tanultak feleleventse jtkos feladatokban az egybevgsg fogalma, a klnbz egybevgsgi transzformcik fogalmnak szemlleti megalapozsa
A kompetenciamrsekben sok olyan feladattal tallkozunk, amelyek megoldsra geometriai jtkokkal" (tkr kkel, pauszpaprral vgzett meggyelsekkel, parkettzssal, skidomok hajtogatsval stb.) kszthetjk fel a tanulinkat.
Az elmozduls megadsa irnytott szakasszal, a vektor fogalma, prhuzamos vektorok eredje
A zikban tanult egyes fogalmak (er , elmozduls, sebessg) rtelmezshez szksges a vektor fogalma, ezrt fontos, hogy 7. osztlyban a matematikban is rtelmezzk ezt a fogalmat. A vektor fogalma a matematikarn is jl alkalmazhat egyes (elmozdulsokkal kapcsolatos) gyakorlati, illetve a trszemlletet fejleszt problmk megoldsban.
Az eltols fogalma, tulajdonsgai, sokszg eltolssal kapott kpnek megszerkesztse { A tengelyes tkrzs fogalma, tulajdonsgai (ismtls), sokszg tengelyes tkrkpnek megszerkesztse tengelyesen szimmetrikus alakzatok { A kzppontos tkrzs fogalma, tulajdonsgai, sokszg kzppontos tkrkpnek megszerkesztse, kzppontosan szimmetrikus alakzatok { Az elforgats fogalma, tulajdonsgai { Szgprok Kiegszt anyag: Az elforduls jellemzse irnytott szggel sokszg elforgatssal kapott kpnek megszerkesztse, forgsszimmetrikus alakzatok Gyakorls { 3. dolgozat { Az els flv lezrsa
4. Algebra
53{72. ra
71{98. ra
A mveleti tulajdonsgokrl korbban tanultak felidzse, tudatostsa { Az algebrai kifejezs, az egytthat, a vltoz fogalma { Algebrai kifejezsek helyettestsi rtkeinek meghatrozsa { Egynem s klnnem algebrai kifejezsek { Egynem algebrai kifejezsek sszevonsa { Egytag kifejezs szorzsa, osztsa egytag kifejezssel { Tbbtag kifejezs szorzsa, osztsa egytag kifejezssel Kiegszt anyag: Tbbtag kifejezs szorzatt alaktsa kiemelssel
Az algebrai kifejezsekr l tanultakat gy gyakoroltassuk be, hogy az egyenletek, egyenl tlensgek talaktsa, a megoldsuk ellen rzse, a sz veges feladatban adott sszefggsek matematikai modelljnek felrsa, illetve a geometriban (zikban) tanult kpletek alkalmazsa ne jelentsen gondot.
Egyenlet egyenltlensg, azonossg, azonos egyenltlensg, alaphalmaz, megoldshalmaz stb. fogalma { Az egyenletek megoldsa a kt oldal egyenl vltoztatsval (a mrlegelv) { Az egyenltlensgek megoldsa a kt oldal egyenl vltoztatsval { Szveges feladatok megoldsa egyenlettel, egyenltlensggel Kiegszt anyag: Trtegytthats egyenletek s egyenltlensgek megoldsa { Egyenletek, egyenltlensgek gra kus megoldsa Gyakorls { 4. dolgozat 18
5. Skidomok, testek
73{99. ra
99{132. ra
A korbban tanult geometriai fogalmak feleleventse { A hromszgekrl tanultak feleleventse, kiegsztse, rendszerezse a hromszgek egybevgsgnak alapesetei, hromszgek szerkesztse { A ngyszgekrl tanultak kiegsztse, rendszerezse a trapz, paralelogramma, szrmaztatsa, tulajdonsgai { A sokszgek terlete, a terlet mrtkegysgei, a tglalap, paralelogramma, deltoid, trapz, hromszg terlete Kiegszt anyag: Paralelogrammk szerkesztse { Tetszleges sokszg terlete { Szablyos sokszgek tulajdonsgainak vizsglata, bels szgeik nagysgnak meghatrozsa, terletk kiszmtsa A krrel kapcsolatos fogalomrendszer feleleventse, rendszerezse a kr kerlete, a kr (krgyr, krcikk) terlete { Sokszglapokkal hatrolt testek { A hasb szrmaztatsa, tulajdonsgai, hlja, felszne { Trfogatmrs, az egyenes hasb trfogata { Az egyenes krhenger szrmaztatsa, tulajdonsgai, felszne, trfogata
Fontos feladat a kpi gondolkods s a trszemllet fejlesztse. Ezrt f lttlenl adjuk a tanulk kezbe a tglatest, kocka lvzmodelljt, ksztsk el s vizsgljk kl nb z hasbok hljt. Konzervdoboz segtsgvel szemlltessk a palst kiterthet sgt". pttessnk pldul jtkkockkbl alakzatokat, rajzoltassuk meg nzeti kpeiket. Tovbbi fontos feladat a terlet{ s trfogatszmtsrl tanultak gyakorlati alkalmazsa. Az ilyen jelleg feladatokkal a 8. osztlyos kompetenciamrsre is felksztjk a tanulkat.
Gyakorls { 5. dolgozat
6. sszefoglal
100{111. ra
133{144. ra
Szmok rsa, olvassa, normlalak { Oszt tbbszrs, oszthatsg { Mveletek a racionlis szmkrben { Gra konok { Arny, arnyossgok, szzalkszmts { Lineris fggvny { Egyenletek, egyenltlensgek { Mrsek, mrtkegysgek { Geometriai szmtsok { Egybevgsg Az v vgi sszefoglalskor gyakoroltassuk a Kislexikon, trgymutat, illetve a tanknyv 6. s 8. oldaln tallhat tblzatok hasznlatt. 6. dolgozat, sszegz tanvzr rtkels A kvetkez oldaltl tallhat tanmenetjavaslatban csak ttekintst nyjtunk a felhasznlhat feladatokrl. Javasoljuk a konkrt osztly szintjnek, sajt koncepcinknak s a helyi tanterv ajnlsainak megfelel feladatok sorszmnak berst a tanmenetbe. Clszer kln-kln szmon tartani azokat a feladatokat, amelyek
a minimumk vetelmnyekhez kapcsoldnak
a tehetsges tanulink fejlesztst szolglhatjk
az elkpzelseinknek megfelel koncentrcit valstjk meg
ms fejezet tananyaghoz tartoznak, de a folyamatos ismtls keretben itt foglalkozunk velk.
A tanmenetjavaslatban a feladatok sorszma eltt feltntetjk a fejezet sorszmt is. Pldul az els fejezet 5. feladatt 1.05., a bvtett rsz 5. feladatt B1.05. jelli.
19
Tanmenet 1. Gondolkozz s szmolj! 1{2. ra
1{2. ra
Mit tanultunk a szmokrl?
Racionlis szmok. A racionlis szmokkal kapcsolatos fogalomrendszer ttekintse az osztly tudsszintjhez igazodva. A racionlis szmok rsa, olvassa, nagysg szerinti sszehasonltsuk, brzolsuk szmegyenesen. Kerekts, pontossg. Helyirtkek rendszere a tzes szmrendszerben: alakirtk, tnyleges rtk. Termszetes szmok s tizedestrt alakban adott szmok brzolsa szmegyenesen, nagysg szerinti sszehasonltsuk. Trtek tizedestrt alakja. Az el z vfolyamokon tanultak ismtlse s kiterjesztse nagyobb helyirtkekre. Kijelentsek logikai rtke. Halmazm veletek. Mrtkegysgek tvltsa. A hinyossgok ptlsra szervezznk korrepetlst.
Tk. 1.01{1.14. Mgy. 1.01{1.44. Fgy. 2.1.04{2.2.13. 3{5. ra
3{5. ra
Hatvnyozs
Hatvny hatvnyok szorzatalakja, szorzatok hatvnyalakja. Szmols 10 (esetleg 0,1) hatvnyaival. Jobb kpessg csoportban: Azonos alap hatvnyok szorzsa, osztsa, szorzat, hnyados hatvnyozsa konkrt szmfeladatokban. Az SI-mrtkegysgek el tagjainak rendszere (Tk. 6. oldal) Mrtkegysgek tvltsa. Trfogatszmts. Kombinatorika.
Tk. 1.15{1.26. Mgy. 1.41{1.52., 1.66{1.85. Fgy. 2.3.01{14., 2.3.20. 6. ra
6{7. ra
1-n l nagyobb szmok normlalakja
A helyirtkek felrsa 10 hatvnyainak segtsgvel. A normlalak rtelmezse. Reduklt vltozatban csak ismerkeds szintjn dolgozzuk fel ezt az anyagrszt. Szmols 10 hatvnyaival. Mrtkvlts. Fizikai mennyisgek.
Tk. 1.27{1.31. Mgy. 1.53{1.61., 1.86{1.87. Fgy. 2.3.15{19. 7{8. ra
8{10. ra
Oszt, tbbszrs, oszthatsgi szablyok
A 6. osztlyban tanult oszthatsgi szablyok feleleventse, j oszthatsgi szablyok (a 8-cal, 125-tel, 3-mal s 9-cel val oszthatsg) megismerse. Halmazok metszete, unija. Ttel, bizonyts.
Tk. 1.32{1.41. Mgy. 1.100{1.101., 1.108{1.125. Fgy. 1.1.01{02., 2.6.01{15. 20
9{10. ra
11{13. ra
Trzsszmok, sszetett szmok. Legnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs
A trzsszm (prmszm) sszetett szm fogalma. Szmok prmtnyezkre bontsa. Eratoszthensz szitja. Halmazok metszete, unija. Ttel, bizonyts.
Tk. 1.42{1.51. Mgy. 1.102{1.107., 1.126{1.137. Fgy. 1.1.14., 1.2.02{10., 2.6.16{23. 11{12. ra
14{16. ra
Racionlis szmok sszevonsa
Az sszevons gyakorlsa a negatv trtek s tizedestrtek krben is. Szveges feladatok. Emelt szinten: A szmelmletben tanultak alkalmazsa trtek egyszerstsben, sszevonsban. Szmok kerektse, becsls. Mrtkegysgek tvltsa. Legnagyobb k z s oszt, legkisebb k z s t bbsz r s.
Tk. 1.52{1.67., B1.01{B1.02. Mgy. 1.138{1.143. Fgy. 2.2.08., 2.2.10{12. Kompetenciamrs: Tk. 1.64{1.66. 13{15. ra
17{20. ra
Racionlis szmok szorzsa, osztsa
A szorzs, oszts gyakorlsa a negatv trtek s tizedestrtek krben is. Szveges feladatok. Mveleti tulajdonsgok. Mennyisgek t rtrsze, trtrszbl egszrsz kiszmtsa. M veletek sorrendje, zrjelek alkalmazsa. Mrtkvlts, geometriai szmtsok (terlet{, felszn{ s trfogatszmts). Sz gmrs. Egyenes s fordtott arnyossg. K rdiagram. Hatvnyozs.
Tk. 1.68{1.96. Mgy. 1.144{1.174., 9.01{9.07. Fgy. 2.2.13{24., 2.3.13{14. Kompetenciamrs: Tk. 1.77{1.78., 1.87., 1.93{1.96. 16. ra
21. ra
Arny, arnyos oszts
Trt, hnyados, arny, trtrsz kapcsolata. Sz veges feladatok.
Tk. 1.97{1.99. Mgy. 1.175{1.178. Fgy. 2.4.01{11. Kompetenciamrs: Tk. 1.97{1.88. 17{18. ra
22{26. ra
Szzal kszmts
A 6. osztlyban tanultak feleleventse, gyakorlsa. Kamatos kamat.
M veletek a racionlis szmok k rben. T rtrsz. Egyenes arnyossg.
Tk. 1.100{1.110. Mgy. 1.179{1.196., 9.32{9.33. Fgy. 2.5.01{22. Kompetenciamrs: Tk. 1.106{1.107.
21
19{20. ra
27{28. ra
Statisztikai szmtsok
Eloszlsok, szmtani tlag, a szrds terjedelme, tblzatok, diagramok, gra konok ksztse, elemzse.
M veletek a racionlis szmok k rben. T rtrsz. Egyenes arnyossg. A szzalkszmts gyakorlati alkalmazsa.
Tk. 1.111{1.118. Mgy. 8.01{8.20., 9.25{9.26. Mindegyik feladat megoldsa fontos a kompetenciamrs szempontjbl. 21. ra
29{30. ra
Valszns gi ks rletek
Gyakorisg, relatv gyakorisg. A nagy szmok trvnynek s a valsznsg fogalmnak megsejtse.
T rtrsz. Kombinatorika. A szzalkszmts gyakorlati alkalmazsa. A valszn sg-szmtssal kapcsolatos fogalmak (esemny, konkrt kimenetel, biztos esemny, lehetetlen esemny, lehetsges, de nem biztos esemny, relatv gyakorisg, valszn sg) kialaktshoz elengedhetetlen, hogy tnylegesen vgeztessnk el valszn sgi ksrleteket, jtkokat.
Tk. 1.119{1.122. Mgy. 8.21{8.30. Kompetenciamrs: Tk. 1.119., 1.122. 22{24. ra
31{34. ra
Gyakorls, az 1. felm r s megratsa
Gyakorls, rendszerezs, ismtls, a hinyok ptlsnak megszervezse. Tk. B1.03{B1.23., 1.123. Kompetenciamrs: Tk. B1.19{B1.20., B1.23., 1.123.
2. Hozzrendels, fggvny 25{26. ra
35{37. ra
Hozzrendel sek vizsglata. Fggv nyek rtelmez se, vizsglata
Halmaz, elem, eleme, rendezett elemprok, relci, alaphalmaz, kphalmaz. A megfeleltetsek megjelentse nyldiagrammal, tblzattal, gra konnal. A fggvny fogalma. Szm-szm fggvny. !rtelmezsi tartomny, fggetlen vltoz, fggvnyrtk, rtkkszlet. Fggvnyek jellsi mdja. A fogalmak elmlytse 8. osztlyban valsulhat meg, most fontos a jelensgek, folyamatok rtelmezse gra konok segtsgvel.
Halmazok, logika. Kombinatorika. M veletek racionlis szmokkal. Szmelmleti fogalmak
osztk szma. Aktulis kiadvnyokban szerepl grakonok rtelmezse, elemzse. Kapcsolat a zikban tanultakkal (t, id , sebessg k zti sszefggs, halmazllapot-vltozsok).
Tk. 2.01{2.07. Mgy. 2.01{2.11. Kompetenciamrs: Tk. 2.05. 22
27{28. ra
38{40. ra
Egyenes arnyossg
Az egyenes arnyossg mint fggvny. Arny, arnyossg, arnyos oszts. Az egyenes arnyossg gra konja.
sszefggsek zikai mennyisgek k z tt. Szzalkszmtssal, oldatok keversvel, mozgssal kapcsolatos sz veges feladatok. Tblzatok ksztse, elemzse.
Tk. 2.08{2.13. Mgy. 2.01{2.03., 2.26{2.28. Fgy. 2.4.12{13., 3.2.01{08. Kompetenciamrs: Tk. 2.10., 2.13. 29{31. ra
41{43. ra
Lineris fggv ny
A lineris fggvny rtelmezse konkrt feladatokkal. Az egyenes arnyossg, az elsfok s nulladfok fggvny mint specilis lineris fggvnyek. Az y = ax + b kplettel adott fggvny paramtereinek jelentse. Lineris fggvny gra konjnak megrajzolsa. Pontok koordintinak meghatrozsa a fggvny gra konjrl. M veletek, m veleti tulajdonsgok. H mrsklet-vltozsok, id -t grakonok.
Tk. 2.14{2.22. Mgy. 2.23{2.30. Fgy. 3.2.04{11. Kompetenciamrs: Tk. 2.16., 2.18., 2.22. 32. ra
44. ra
A sorozat mint fggv ny
A sorozat mint a pozitv termszetes szmok halmazn rtelmezett fggvny. Sorozat elemeinek megadsa szably alapjn, nhny elemvel adott sorozathoz szably felrsa. Nvekv, illetve cskken sorozatok.
Szmols t rtalakban, illetve tizedest rt alakban adott racionlis szmokkal. Az algebrai kifejezsekr l tanultak el ksztse.
Tk. 2.23{2.24. Mgy. 2.38{2.39. 33{34. ra
45{46. ra
Fordtott arnyossg
A fordtott arnyossg mint fggvny. Arny, arnyossgi kvetkeztetsek. A fordtott arnyossg gra konja. Az egyenes arnyossg, a lineris fggvnykapcsolat, illetve a fordtott arnyossg felismerse, megklnbztetse konkrt feladatokban.
sszefggsek zikai mennyisgek k z tt, mozgssal kapcsolatos sz veges feladatok. Terletszmts.
Tk. 2.25{2.29. Mgy. 2.40. Fgy. 2.4.14{19. A kompetenciamrsre felkszts szempontjbl mindegyik feladat feldolgozst javasoljuk. 35{36. ra
47{50. ra
Gyakorls, a 2. felm r s megratsa
Gyakorls, rendszerezs, ismtls, a hinyok ptlsnak megszervezse. Tk. B2.01{B2.12., 2.30. Kompetenciamrs: Tk. B2.06., B2.09{B2.12., 2.30. 23
3. Egybevg sg 37{39. ra
51{53. ra
Ismerked s a pont{pont fggv nyekkel
A geometriai transzformci mint fggvny. Pont hozzrendelse ponthoz adott szably alapjn. Az egybevgsgi transzformci fogalma. A klnbz egybevgsgi transzformcik: tengelyes tkr zs, eltols, k zppontos tkr zs, elforgats felismerse. Vizsglatok tkrrel, pauszpaprral parkettzsok. A mozgssal vgrehajthat transzformcik kivlasztsa. Derksz g koordinta-rendszer. M veletek egsz szmokkal. Alapvet geometriai fogalmak feleleventse. A nagyts-nyjts s a kicsinyts-zsugorts megkl nb ztetse.
Tk. 3.01{3.06. Mgy. 6.01{6.07. Kompetenciamrs: Tk. 6.03{6.05. 40{41. ra
54{56. ra
Az elmozduls megadsa irnytott szakasszal. Eltols
A vektor fogalma, jellsei. Nullvektor. Emelt szinten: Kt vektor sszege (konkrt, szemlletes feladatokhoz kapcsoldan). Az eltols tulajdonsgai. Az eltols modellezse (pldul ttetsz papr segtsgvel), vgrehajtsa prhuzamos egyenesek szerkesztsvel. Mer leges, prhuzamos egyenesek el lltsa.
Tk. 3.07{3.10., B3.01{B3.03., 3.11{3.12. Mgy. 7.05{7.11., 6.08{6.13. Fgy. 4.1.01{03., 4.2.06. Kompetenciamrs: Tk. B3.03. 42{43. ra
57{58. ra
Tengelyes tkrz s, tengelyesen szimmetrikus skidomok
6. osztlyos tananyag ismtlse, rendszerezse, tudatosabb szintre emelse: A tengelyes tkr zs mint a sk t tengely krli 180 -os elforgatsa, a tengelyes tkrzs vgrehajtsa, tulajdonsgai. A krljrsi irny fogalma, a krljrsi irny megfordulsnak meg gyelse (pldul az ra jrsnak meg gyelse tkrben). A tengelyes szimmetria fogalma, tengelyesen tkrs alakzatok ellltsa, vizsglata (paprhajtogatssal, alakzatok kivgsval, tkrrel stb.).
Hromsz gekr l, ngysz gekr l tanultak ismtlse, hromsz gek, ngysz gek szerkesztse, terlete.
Tk. 3.13{3.15. Mgy. 6.14{6.20. Fgy. 3.2.01., 3.2.05., 4.2.07., 4.2.14{18. Kompetenciamrs: Tk. 3.14. A kompetenciamrseken sok olyan feladat szerepel, amelyek felttelezik, hogy a tanulk tnylegesen vizsgldtak a fent emltett eszkzkkel.
24
44{46. ra
59{61. ra
Kz ppontos tkrz s, kz ppontosan szimmetrikus skidomok
A k zppontos tkr zs fogalma, tulajdonsgai. A sk pont krli elforgatsa 180 -kal (ksrletek, meg gyelsek pauszpaprral). A szerkeszts vgrehajtsa. A tengelyes tkrzs s a kzppontos tkrzs sszehasonltsa. K zppontosan szimmetrikus alakzatok.
Derksz g koordinta-rendszer. Szerkesztsek. Hromsz g sz g sszege. Paralelogramma, tglalap, ngyzet, rombusz, szablyos soksz g tulajdonsgainak meggyelse. Tengelyes tkr zs, tengelyes szimmetria. Testek tkr zse skra, tengelyre, pontra.
Tk. 3.16{3.27. Mgy. 6.21{6.23., 6.26{6.29., 6.31. Fgy. 4.2.08., 4.2.10., 4.2.19. Kompetenciamrs: Tk. 3.18., 3.25. 47. ra
62. ra
Szgprok
Az egylls sz gek, a cscssz gek, a vltsz gek, a mellksz gek, a trssz gek fogalma, felismerse.
Eltols, k zppontos tkr zs sz gmrs. A paralelogramma, illetve a trapz bels sz gei k zti kapcsolat.
Tk. 3.28{3.30. Mgy. 6.24{6.25., 6.30. 48. ra
63{65. ra
Az elforduls m r se. Forgats, forgsszimmetrikus alakzatok
Alapszinten: Forgats vgrehajtsa, meg gyels pldul pauszpaprral. Emelt szinten: Az elforduls jellemzse irnytott sz ggel. Forgsszgek. A sk pont k rli elforgatsa tetszleges irnytott sz ggel (ksrletek, meg gyelsek pauszpaprral). Az elforgats tulajdonsgai. A szerkeszts vgrehajtsa. A kzppontos tkrzs mint specilis elforgats. Forgsszimmetrikus alakzatok.
Sz gmrs. Szerkesztsek. K zppontos tkr zs. Paralelogramma, szablyos soksz gek tulajdonsgainak meggyelse.
Tk. B3.04{B3.08. 3.31., B3.09{B3.16. Mgy. 7.15{7.24., 6.19{6.20. Fgy. 4.2.20{23. Kompetenciamrs: Tk. B3.04., 3.31., B3.11{B3.12. 49{50. ra
66{68. ra
sszefoglals, gyakorls
A 3. dolgozat elksztse: Mrtkegysgek, geometriai transzformcik.
A racionlis szmokrl s a fggvnyekr l tanultak ismtlse, a hinyossgok ptlsa.
Tk. 3.32., B3.17{B3.28. Kompetenciamrs: Tk. 3.32., B3.17., B3.19{B3.20.
25
51{52. ra
69{70. ra
3. dolgozat
Az els flvet zr dolgozat megratsa, javtsa. A tpushibk megbeszlse. A hinyossgok ptlsnak megszervezse.
4. Algebra 53. ra
71. ra
Mveleti tulajdonsgok
M veleti tulajdonsgok: kommutativits, asszociativits, disztributivits. Ismtls: Hatvnyok. Alap, kitev. Szorzat hatvnyalakja, hatvny szorzatalakja. Azonos alap hatvnyok szorzsa, osztsa, hatvny hatvnyozsa konkrt feladatokban. M veletek a racionlis szmk rben. M veletek sorrendjnek sszer megvlasztsa.
Tk. 4.01{4.03. Mgy. 1.71{1.80. Fgy. 2.2.04{07., 2.2.17{21. Kompetenciamrs: Tk. 4.03. 54. ra
72{73. ra
Ismerked s az algebrai kifejez sekkel
Algebrai egsz kifejezsek vltoz, egytthat, hatvny, alap, kitev, eljel, mveleti jel, sszeg, szorzat. Fizikai, kmiai, geometriai kpletek rtelmezse. Szm-szm fggvnyek.
Tk. 4.04. Mgy. 3.01{3.08. Fgy. 2.4.09., 2.4.14{15., 2.4.19., 2.7.30. 55{56. ra
74{75. ra
Algebrai kifejez sek helyettest si rt k nek meghatrozsa
A helyettestsi rtk fogalma, kiszmtsa.
M veletek racionlis szmokkal. Hatvnyozs. M veleti sorrend. Terlet, kerlet, felszn, trfogat meghatrozsa ismert adatok helyettestsvel. Keressenek a tanulk zikban, kmiban, geometriban tanult kpleteket. rtelmezzk azokat. Adottt rtkekkel szmtsk ki a helyettestsi rtkket. Szm-szm fggvnyek tblzatnak kit ltse adott szably alapjn.
Tk. 4.05{4.09. Mgy. 3.09{3.13., 3.17{3.18. Fgy. 2.7.01{23. Kompetenciamrs: Tk. 4.08{4.09. 57. ra
76. ra
Egynem, klnnem algebrai kifejez sek
Egynem , kl nnem algebrai kifejezsek fogalma.
Az algebrai egsz kifejezsekkel kapcsolatos ismeretrendszer alkalmazsa.
Tk. 4.10{4.11. Mgy. 3.19{3.21.
26
58{59. ra
77{78. ra
Egynem algebrai kifejez sek sszevonsa
Algebrai egsz kifejezsek sszevonsnak rtelmezse, gyakorlsa. Szveges feladatok adatai kzti kapcsolatok felrsa algebrai kifejezssel.
M veletek a racionlis szmok halmazn. Fizikai, kmiai, geometriai kpletek rtelmezse, alkalmazsa. Szm-szm fggvnyek.
Tk. 4.12{4.16. Mgy. 3.22{3.28. Fgy. 2.7.24{31. Kompetenciamrs: Tk. 4.16. 60. ra
79. ra
Egytag kifejez s szorzsa, osztsa egytag kifejez ssel
Szorzat szorzsa, szorzat osztsa az egytthatk szorzsakor, osztsakor a negatv szmokra, trtekre tanult szablyok alkalmazsa. Azonos alap hatvnyok szorzata, hnyadosa. Szorzat, hnyados hatvnyozsa.
M veletek a racionlis szmok halmazn. M veleti tulajdonsgok. Helyettestsi rtkek meghatrozsa. Kl nb z alap, azonos kitev j hatvnyok szorzata, hnyadosa. Terlet-, felszn-, trfogatszmts.
Tk. 4.17{4.19. Mgy. 3.29{3.37. Fgy. 2.7.32{34., 2.7.40. Kompetenciamrs: Tk. 4.19. 61{62. ra
80{81. ra
Tbbtag kifejez s szorzsa egytag kifejez ssel
sszeg, kl nbsg szorzsa, osztsa. Zrjel hasznlata.
Szorzs, oszts a racionlis szmk rben. M veleti sorrend. Terlet, felszn, trfogat. Sz veges feladatok adatai, paramterei k zti sszefggsek felrsa t bbflekppen.
Tk. 4.20{4.26. Mgy. 3.38{3.44. Fgy. 2.7.35{39., 2.7.41. Kompetenciamrs: Tk. 4.23{4.26.
82{83. ra
Tbbtag kifejez sek szorzatt alaktsa kiemel ssel. Algebrai eg szekkel v gzett mveletek gyakorlsa
A reduklt programban nem tananyag. Erre az anyagrszre 8. osztlyban visszatrnk, ezrt idhiny miatt alapszinten is elhagyhat. Minimumszinten csupn azt kveteljk meg, hogy a tanul kpes legyen egyszer egyenletek mindkt oldalnak talaktsra, a megolds ellenrzsre, illetve a geometriai ( zikai) sszefggsek rtelmezsre, alkalmazsra.
Egytthat, vltoz, hatvny, alap, kitev , hatvnyok felrsa szorzatalakban, m veletek hatvnyokkal. Egynem , kl nnem kifejezsek. sszeg, szorzat szorzsa t bbtag kifejezsek szorzsa egy taggal. Terletszmts.
Tk. B4.01{B4.06., B4.07{B4.12. Mgy. 3.45{3.50. Fgy. 2.7.42{43.
27
63. ra
84. ra
Egyenlet, egyenl tlens g, azonossg, azonos egyenl tlens g
Ismtls: A 6. osztlyban tanultak felidzse. Alaphalmaz, igazsghalmaz.
Szorzs, oszts a racionlis szmk rben. M veleti sorrend. Halmaz, rszhalmaz.
Tk. 4.27{4.29. Mgy. 4.01{4.02. Kompetenciamrs: Tk. 4.28{4.29. 64{65. ra
85{86. ra
Egyenletek megoldsa a m rlegelv alkalmazsval
Ismtls: Egyenletek megoldsa a kt oldal egyenl vltoztatsval. Az algebrai kifejezsekkel vgzett mveletekrl tanultak alkalmazsa egyenletek megoldsban.
M veletek a racionlis szmok halmazn. M veleti sorrend. Egynem kifejezsek sszevonsa, sszeg szorzsa szmmal.
Tk. 4.30{4.34. Mgy. 4.07{4.10. Fgy. 2.8.02., 2.8.07., 2.8.09., 2.8.11., 2.8.23. 66{67. ra
87{88. ra
Egyenl tlens gek megoldsa a k t oldal egyenl vltoztatsval
A mrlegelv alkalmazsa egyenltlensgek megoldsban. A megoldshalmaz brzolsa szmegyenesen.
M veletek a racionlis szmok halmazn. M veleti sorrend. Ellentett, negatv szmok szorzsa, osztsa.
Tk. 4.35{4.37. Mgy. 4.11{4.16. Fgy. 2.8.01., 2.8.03., 2.8.08., 2.8.10.
89{90. ra
Trtegytthats egyenletek s egyenl tlens gek megoldsa
A mrlegelv alkalmazsa trtegytthats egyenletek, egyenltlensgek megoldsban.
M veletek a racionlis szmok halmazn. M veleti sorrend. A t rtek egyszer stsr l, b vtsr l, k z s nevez re hozsrl, sszevonsrl, szorzsrl s osztsrl tanultak alkalmazsa az egyenlet, egyenl tlensg kt oldalnak talaktsban.
Tk. B4.13{B4.20. Mgy. 4.18{4.21. Fgy. 2.8.12{13., 2.8.15{18. 68{70. ra
91{93. ra
Szveges feladatok megoldsa egyenlettel, egyenl tlens ggel
Egyszer , majd sszetett sz veges feladatok megoldsa egyenlettel, egyenltlensggel, illetve egyenlet nlkl { kvetkeztetssel, okoskodssal".
M veletek a racionlis szmok halmazn. M veleti sorrend. Geometriai, zikai, kmiai szmtsok. Arnyossg, arny. Szzalkszmts.
Tk. 4.38{4.42., B4.21. Mgy. 4.22{4.31. Fgy. 2.8.25{28. Kompetenciamrs: Tk. 4.38. a), d), e), 4.42. a), c) 28
94{95. ra
Egyenletek, egyenl tlens gek gra kus megoldsa
Lineris egyenlettel, egyenltlensggel megoldhat szveges feladatok gra kus megoldsa. Lineris egyenletek megoldhatsgnak vizsglata.
Lineris fggvny grakonja. Sz veges feladatok a zika, a kmia trgyakbl, valamint a gyakorlati letb l. Kerlet, terlet.
Tk. B4.22{B4.32. Mgy. 3.38{3.44. Fgy. 2.7.41., 2.8.07{10., 2.8.14. Kompetenciamrs: Tk. B4.23. B4.30., B4.31. b), d), g), B4.32. 71{72. ra
96{98. ra
Gyakorls, 4. felm r s
A mrlegelv alkalmazsa egyenletek, egyenltlensgek megoldsban. Szveges feladatok megoldsa. A hinyossgok ptlsa. Tk. B4.33{B4.43., 4.43. Fgy. 2.9.01{17. Kompetenciamrs: Tk. B4.40. d), e), B4.43 b), 4.43.
5. S kidomok, testek 73{74. ra
99{100. ra
Alapfogalmak, alapt telek (olvasmny) Skidomok, sokszgek
Skidomok, sokszgek konvex s konkv skidomok, sokszgek, a sokszgek tlinak szma, a sokszgek kerlete.
Kombinatorika. Derksz g koordinta-rendszer. Hosszsgmrs. Trgeometriai vizsglatok.
Tk. 5.01{5.06. Mgy. 3.38{3.44. Fgy. 1.1.09., 3.4.02. Kompetenciamrs: Tk. 5.06. 75{76. ra
101{103. ra
Hromszgek
Hromsz gek. Elnevezsek, jellsek, a hromszg magassga. Hromszgek csoportostsa oldalai s szgei szerint. Hromszg-egyenltlensg. A bels s a kls szgek kzti kapcsolat. A bels szgek sszege. Emelt szinten: A kls szgek sszege. Az oldalak s a szgek kzti kapcsolat. Egybevgsgi transzformcik. Sz g, sz gmrs, sz gprok. Egyenlet, egyenl tlensg. Arny, arnyos oszts. Halmaz, rszhalmaz. Osztlyozs. Kombinatorika.
Tk. 5.07{5.17., B5.01{B5.15. Mgy. 7.33{7.43. Fgy. 2.8.30., 4.1.17{19. Kompetenciamrs: Tk. 5.07., 5.13{5.14.
29
77{78. ra
104{106. ra
A hromszg szerkeszt se
Hromsz gek szerkesztse. Az egyrtelm szerkeszthetsg felttelei. Specilis hromszgek egyrtelm szerkeszthetsgnek felttelei. A hromsz gek egybevgsgnak alapesetei. A hromsz g magassgvonalai. Jobb csoportnak: Az alapeseteken tlmen szerkesztsek s bizonytsok. Specilis sz gek szerkesztse.
Tk. 5.18{5.25., B5.16{B5.22. Mgy. 7.44{7.50. Fgy. 4.1.22{23. 79. ra
107. ra
N gyszgek
A ngysz gekrl tanultak rendszerezse. Osztlyozsuk klnbz szempontok szerint (tengelyesen szimmetrikus, kzppontosan szimmetrikus ngyszgek). A ngysz gek bels sz geinek sszege. Tk. 5.26{5.31. Mgy. 7.51{7.63. Fgy. 1.1.11{13., 1.2.17. 80. ra
108{109. ra
Trap z
Trapz. A trapz meghatrozsa, elnevezsek. Specilis trapzok: hrtrapz, paralelogramma, derkszg trapz. Jobb csoportban: A trapz szerkesztse. Halmaz, rszhalmaz. Logika. Tengelyes s k zppontos tkr zs szimmetria. Sz g, sz gmrs, sz gek szerkesztse, sz gprok. Hromsz gek szerkesztse.
Tk. 5.32{5.35., B5.23{B5.31. Fgy. 2.8.31., 4.1.26. Kompetenciamrs: Tk. B5.23{B5.24. 81{82. ra
110{112. ra
Paralelogramma
A paralelogramma szrmaztatsa, meghatrozsa (tbbflekppen), tulajdonsgai. Csoportostsuk klnbz szempontok szerint. Specilis paralelogrammk tulajdonsgainak vizsglata. A paralelogrammk, specilis paralelogrammk (tglalap, ngyzet, rombusz) szerkesztse. Jobb csoportban: $sszetettebb szerkesztsek s bizonytsok. Mit rtnk dencin? Halmaz, rszhalmaz. Logika. Derksz g koordinta-rendszer. Tengelyes s k zppontos tkr zs. A hromsz gszerkeszts alapesetei. Sz g, sz gmrs, sz gek szerkesztse, sz gprok. A ngysz g sz geinek sszege
Tk. 5.36{5.51., B5.32{B5.42. Mgy. 5.14. Fgy. 4.1.20. 4.1.24{25. Kompetenciamrs: Tk. 5.42{5.46.
30
83{85. ra
113{116. ra
A sokszg terlete
A terletszmtsrl tanultak ismtlse: A terlet fogalma, mrtkegysgei a tglalap s a ngyzet terlete. A paralelogramma, deltoid s a trapz terlete. A hromszg magassgvonala, terlete. Jobb csoportban: Tetszleges sokszg terletnek meghatrozsa hromszgekre bontssal. Szablyos soksz gek tulajdonsgainak vizsglata, bels szgeik nagysga, terletk meghatrozsa konkrt feladatokban.
M veletek t rtekkel. Arny, arnyossg. Derksz g koordinta-rendszer. Hromsz gek szerkesztse.
Tk. 5.52{5.72., B5.43{B5.49. Mgy. 5.08{5.42., 7.25{7.32. Fgy. 4.1.26., 2.4.06{08., 2.8.29., 4.1.28{30. Kompetenciamrs: Tk. 5.53., 5.56., 5.63., 5.64. b), 5.71., 5.72. c), B5.46. d) 86{88. ra
117{119. ra
A kr
K rvonal, k rlap, a krrel kapcsolatos fogalomrendszer (sugr, tmr, szel, hr, krv, krszelet, krcikk, krgyr) kzpponti szg. A k r kerlete, terlete. A terletszmts folyamatos ismtlse. Sz gek mrse.
Tk. 5.73{5.91. Mgy. 5.43{5.48. Fgy. 4.1.27., 4.1.47{48., 4.1.52{53. Kompetenciamrs: Tk. 5.80., 5.84{5.86. 89{91. ra
120{123. ra
Sokszglapokkal hatrolt testek A hasb
Soksz glapokkal hatrolt testek ptse, tulajdonsgaik vizsglata. Reduklt szinten nem foglalkozunk kln a sokszglapokkal hatrolt testekkel. A tglatestrl tanultak ismtlsekor tekintjk t a legfontosabb ismereteket. Az egyenes hasb szrmaztatsa, hlja, felszne, elnevezsek. Halmazok, logika. Terletszmts, soksz gek terlete. Testek nzeti kpei.
Tk. 5.92{5.95. 5.96{5.101. Mgy. 3.16. Fgy. 4.3.01{04. Kompetenciamrs: Tk. 5.95., 5.99. 92{94. ra
124{126. ra
Az egyenes hasb t rfogata
A trfogatszmts ismtlse. A trfogat s az rtartalom mrtkegysgei a tglatest s a kocka trfogata. Az egyenes hasb trfogata. Gyakorlati alkalmazsok. Szmok normlalakja. Fizika: s r sg, t meg.
Tk. 5.102{5.115. Mgy. 5.49{5.83. Fgy. 4.3.05{09. Kompetenciamrs: Tk. 5.114. 31
95{97. ra
127{130. ra
Az egyenes krhenger
Az egyenes k rhenger szrmaztatsa, felszne, trfogata. Gyakorlati alkalmazsok.
A terlet-, felszn- s trfogatszmts folyamatos ismtlse. Algebrai kifejezs helyettestsi rtke.
Tk. 5.116{5.123. Mgy. 5.84{5.92. Fgy. 1.1.09., 3.4.02. Kompetenciamrs: Tk. 5.122. i), 5.123. a), b) 98{99. ra
131{132. ra
Gyakorls, az 5. felm r s megratsa
Az esetleges hinyossgok ptlsa. !rtkels, a tpushibk megbeszlse, a felzrkztats megszervezse. Tk. B5.50{B5.68., 5.124. Kompetenciamrs: Tk. B5.58., B5.62{B5.68., 5.124.
6. sszefoglal
100{103. ra
133{136. ra
Szmtan, szmelm let, algebra
Szmok rsa a tzes szmrendszerben. Hatvnyozs. Normlalak. Oszt, tbbszrs, oszthatsg. Mveletek a racionlis szmkrben. Mveleti sorrend, zrjelek hasznlata. Egyszer s sszetett szveges feladatok megoldsa. Algebrai kifejezsek. Egyenlet, azonossg, egyenltlensg, azonos egyenltlensg. A mrlegelv alkalmazsa egyenletek, egyenltlensgek megoldsban. Egyenlettel, egyenltlensggel megoldhat szveges feladatok. Tk. 6.01{6.12., B6.01{B6.11. 104{105. ra
137{138. ra
Fggv nyek
Gra konok. Arny, arnyos oszts. Egyenes s fordtott arnyossg. Szzalkszmts. Lineris fggvny. Egyenletek gra kus megoldsa. Tk. 6.13{6.20., B6.12{B6.22. 106{108. ra
139{141. ra
Geometria, m r s
Egybevgsgi transzformcik. Skidomok, hromszgek, ngyszgek. Szerkesztsk. A sokszgek s a kr kerlete, terlete. A hasbok s a henger felszne, trfogata. Tk. 6.21{6.37., B6.23{B6.36. 109{111. ra
142{144. ra
6. dolgozat
A tanvet zr dolgozat megratsa, javtsa. 32
A TANANYAG FELDOLGOZSA
1. Gondolkozz s szmolj! Az aritmetika fogalomrendszernek kiptse az ltalnos iskola els osztlyban a termszetes szmok tantsval kezddik, s hetedik osztlyban jutunk el a racionlis szmkr fogalmnak kialaktshoz. A fogalom kip lse azt a kvetelmnyt is magban foglalja, hogy a tanul k legyenek kpesek a racionlis szmok k lnbz alakjaival (termszetes szmok, egsz szmok, trtek, tizedestrtek) a ngy alapmveletet a maximlis begyakorlottsg szintjn elvgezni. A hossz idintervallum, a tanul k eltr kpessge, szorgalma, a szocilis httrben s a sz li ignyszintben mutatkoz k lnbsgek nagy val sznsggel azt eredmnyezik, hogy 7. osztlyban v elejn nagy sz rs" tapasztalhat mind a tanul k szmolsi rutinja, mind az egyb matematikai tevkenysge ter letn. Kedveztlen l befolysolhatja tanul ink tudsszintjt az, ha az elz vekben reduklt raszmban tantottuk a matematikt. Ha a helyi tanterv alapjn a kerettantervi minimumhoz igazodtunk, akkor 6. osztly vgre mr tbb mint egy teljes vet veszthett nk az aritmetikai, illetve algebrai ismeretek feldolgozsa tern is. Ezrt tanul ink tbbsge nem rendelkezhet azokkal az alapokkal, amelyek a hetedik osztlyos tananyag elsajttshoz sz ksgesek. A reduklt raszm miatt elssorban a gyakorlsra jutott kevesebb id. Ezltal elssorban a gyengbb kpessg tanul k ker ltek htrnyba, hiszen nekik a gyakorlsra lnyegesen nagyobb sz ksg k lett volna, mint jobb kpessg trsaiknak. Az is elkpzelhet, hogy egyes anyagrszekben { a korbban emltett okok, illetve a helyi tanterv ajnlsai miatt { egsz osztlyok elmaradtak att l a szinttl, amit 6. osztly vgre felttelez a program. (Lsd Matematika 6. Program.) A tanknyv gy p l fel, hogy segtsgvel p tolni lehessen az esetleges hinyossgokat. Pldul az egyes fejezetek bevezet rsze ttekinti azokat a korbban tanult ismereteket, amelyek nlk lzhetetlenek az j anyag feldolgozsa sorn. Indokolt lehet egyes anyagrszek jb li feldolgozsa is, ha 6. osztlyban, a tananyag zsfoltsga miatt, kevs id jutott rjuk, gy mg az sem biztos, hogy a j kpessg tanul k korbban szerzett ismeretei elgg szilrdak s alkalmazsra kpesek. Ezekkel a fejezetekkel az osztly vagy az egyes tanul k szintjtl f ggen k lnbz mlysgben s rszletessggel ajnlatos ismt foglalkozni, gyelembe vve azt is, hogy 6. osztlyban meddig jutottak el. Ebben a fejezetben ismtelj k, rendszerezz k, gyakoroljuk, magasabb absztrakci s szintre emelj k s lnyegesen kibvtj k az elz hat vben tanult aritmetika-, algebratananyagot. Az v eleji ismtls a kvetkez funkci kat tltheti be: 33
A tanul k tudsban, ismeretanyagban meglv hinyossgok feltrkpezse. A feltr munkn tl azt is clszer megvizsglnunk, hogy mi okozta a hinyossgokat. Az okok megkeresse nagy segtsg a problmk kik szblsben. Ilyen okok lehetnek: felejts, helytelen anal gia, megszoks, szakszavak helytelen hasznlata stb. A hinyok ptlsa. A tantervben elrtak tern mutatkoz hinyossgokat felttlen p tolni kell! Gyakorls. A korbban tanult, de mostanra elhalvnyult ismeretek feleleventse, a szmolsi rutin kvnt szintre hozsa, a problmamegold kpessgek fejlesztse. Az jonnan tantand anyagrszek megalapozsa, elksztse (szmelmlet, egyenletek, statisztika, f ggvnyek, kombinatorika, mveleti tulajdonsgok stb.). j ismeretek szerzse. Ez vagy gy val sthat meg, hogy a tanul k meglv ismereteit ms rendszerbe illesztj k, s ezltal j kapcsolatokat trunk fel, vagy gy, hogy a rgi" tananyagot bvtj k jabb ismeretekkel. (Pldul: hatvnyozs { normlalak.) A tananyag rendszerezse. Az intenzv, viszonylag rvid id alatt trtn tismtlsnl a lnyeges jegyek kiemelse, elmlytse, j kapcsolatok feltrsa. E fejezet trgyalsakor a tanknyv feladatain (Tk. 1.01{1.123.) tlmenen megoldathatjuk a Matematika 6. Gyakorl feladatai kz l azokat, amelyeket az elmlt tanvben mg nem oldottak meg a tanul k, valamint a Matematika 7. Gyakorl (Gy.) 1., 4., 8. s 9. fejezetnek, illetve a Matematika 7{8. Feladatgyjtemny (Fgy.) 1.1{2.6. fejezetnek feladatait. A b feladatanyag arra csbthat, hogy a tanmenetben elirnyzottnl sokkal tbb idt fordtsunk erre a fejezetre { a tbbi anyagrsz rovsra. Ez nem kvnatos. A sok feladattal az volt a szerzk clja, hogy lehetsget adjanak a di erencilsra, az otthoni gyakorlsra, a felzrk ztatsra s a folyamatos ismtlsre, illetve k lnbz koncepci j helyi tantervek kidolgozsra. Az v eleji ismtlskor meg nem oldott feladatok a ksbbiek sorn { az ppen aktulis tananyag tantsakor { is megoldathat k, elksztve az j ismeret elsajttst. Heti 4 matematika ra esetn a fejezet feldolgozsra 30{34 rt javaslunk. A reduklt programban, heti 3 matematika ra mellett legfeljebb 22{24 rt sznhatunk ennek az anyagrsznek a feldolgozsra. A korbban lertak miatt azonban ettl eltrhet nk. Ha gy ltjuk, hogy tanul ink a kvnt ismeretekkel s alapkszsgekkel rendelkeznek, akkor felesleges { st kros is lehet { a mveletek unalmas gyakoroltatsa. Ilyenkor vagy a Gyakorl 9. fejezetbl vagy Feladatgyjtemnybl oldassunk meg rdekes, nehezebb feladatokat, vagy egy-kt rval fordtsunk kevesebbet az anyagrsz trgyalsra. Ezt az raszmot pldul az v htralv rszben egyb anyagrszek sznvonalasabb feldolgozsra hasznlhatjuk fel. Egyes osztlyokban a 34 ra is kevs lehet az alapos ismtlsre. Ilyenkor sem ajnlatos sokkal tbbet fordtani erre a fejezetre. Ha gy rezz k, hogy tantvnyaink nem rendelkeznek a tovbbhaladshoz sz ksges minimlis tudssal sem, akkor korrepetlsok szervezst javasoljuk. 34
A tananyag-feldolgozs csompontjai 1. A racionlis szmokkal kapcsolatos fogalomrendszerrl tanultak sszegzse. A raci2.
3. 4. 5.
6. 7. 8.
onlis szmok rsa, olvassa, sszehasonltsa, szmegyenesen val brzolsa ezeknek az ismereteknek maximlis begyakorlsa. Korbban esetleg megkezdt k a hatvnyfogalom kialaktst. Most tovbbfejlesztj k ezt a fogalomrendszert. Az azonos alap hatvnyok szorzst, osztst, szorzat, hnyados, hatvny hatvnyozst is tantjuk. A szablyokat konkrt feladatokhoz kapcsol d an felismertethetj k, de az ltalnostst csak matematikb l tehetsgesebb tanul inkt l vrhatjuk el. Konkrt esetekben, elssorban 10 hatvnyaival szmolva, mr alapszinten is gyakoroltassuk ezeknek az ismereteknek az alkalmazst. A szmok normlalakja j anyagknt ker lt ebbe a fejezetbe. A 10 pozitv egsz kitevj hatvnyainak alapos ismerete nlk lzhetetlen az anyagrsz tantshoz. Reduklt raszm mellett esetleg csak 8. osztlyban tudjuk feldolgozni ezt az anyagrszt. A szmelmlet elemeirl tanultak feleleventse, kiegsztse a tanul csoport kpessgeinek megfelel szinten s mlysgben. Fontos, hogy a kzpiskolba ksz l, illetve a kzpiskolai tagozatra jr tanul k minl alaposabb tudsra tegyenek szert ezen a tren. A racionlis szmokkal vgzett mveletek gyakorlsa, a hinyossgok p tlsa. A becsls s a kerektett rtkkel val szmols tovbbra is komoly gondot jelent a tanul knak. !tismtlst flttlen l javasoljuk. Sok tanul nak gondot okoz a negatv szmokra s a trtekre tanult mveletvgzsi szablyok egy ttes alkalmazsa. Ha 6. osztlyban heti 3 matematika ra volt, akkor most kell az ilyen jelleg feladatok megoldst begyakoroltatnunk. Jobb csoportban a legnagyobb kzs oszt s a legkisebb kzs tbbszrs alkalmazsa a trtekkel val szmolsban. A ngy alapmvelet s a hatvnyozs helyes sorrendjnek megllaptst is elvrjuk minden tanul t l. "j ismeretet jelent a hatvnyozs beillesztse a mveletsorba. Az arnyos oszts fogalma lnyegben j anyagknt kapcsol dik ehhez a rszhez. A szzalkszmts szerepelt a 6. osztly anyagban, de fontossgra val tekintettel itt ismt foglalkoznunk kell vele. "j elemknt kapcsol dik ehhez a rszhez a kamatszmts. A tanultakat alkalmazzuk statisztikai szmtsokban (adatsorok rendezse, megoszlsnak meghatrozsa, oszlop-, szalag-, illetve krdiagramok ksztse). A val sznsgi ksrletek eredmnyeinek rtelmezshez, a relatv gyakorisg, illetve a val sznsg meghatrozshoz a trtrsz fogalmt kell alkalmaznunk. A tanultakat folyamatosan alkalmazzuk egyszer szveges feladatok megoldsban. J alkalom nylik erre a geometriai szmtsok, illetve a szveggel adott f ggvnyek tanulsa sorn.
35
Kapcsoldsi lehetsgek Az v eleji ismtls gerinct az aritmetika, az algebra alkotja, de ezzel kapcsolatban minden tmakrt ismteltethet nk, gyakoroltathatunk.
Halmazok, logika, kombinatorika A halmazok, logika tmakrhz tartoz feladatokkal egyrszt sznesebb, rdekesebb tehetj k a szraz" mveletgyakorlst, msrszt a rendszerszemlletre (halmaz, rszhalmaz, halmaz eleme) s a matematikai szakkifejezsek helyes hasznlatra (s, vagy, legalbb, legfeljebb, pontosan, minden, van olyan stb.) nevelhetj k tanul inkat. A kombinatorika tmakrhz kapcsol d feladatokkal elssorban a matematika irnt rdekld tanul ink szmra tehetj k rdekesebb a hatvnyozs s a szmelmlet tanulst. Fleg a rendezsi elveket kell tisztznunk.
Fggvnyek, sorozatok A szabllyal adott f ggvnyek tblzatnak kitltse, nhny sszetartoz rtkprral adott f ggvnyhez szably keresse, sorozatok vizsglata stb. hatkony eszkz a szmolsi rutin fejlesztsre, ugyanakkor elkszti az algebrai kifejezsek tantst is. A szmelmleti problmk trgyalsa sorn is adhatunk olyan feladatokat, amelyek kapcsol dnak a f ggvnyek, sorozatok anyagrszhez.
Mrtkvlts, mrtkegysgek A mrtkvlts, a mrtkegysgekkel val szmols komoly problmja a matematikatantsnak. A biztos, alkalmazskpes tuds elrse cljb l, az aktulis aritmetikai anyagrszekhez kapcsol dva, folyamatosan gyakoroltassuk ezeket az ismereteket.
Geometriai szmtsok A mveletek gyakorlsa mellett m d nylik a geometriai ismeretek, fleg a ker let-, ter let-, felszn-, trfogatszmtsr l tanultak feleleventsre is. Ezzel elkszthetj k az 5., geometriai fejezet anyagrszeinek tantst.
Statisztika, valsznsg A szzalkszmts gyakorlati alkalmazsaknt foglalkozunk ezekkel az anyagrszekkel. Fleg az adatok tblzatba rendezst, illetve adathalmazok rtkelst kvnjuk meg a tanul kt l. A Matematika 7. Gyakorl 8. fejezetben is tallunk megfelel feladatsorokat e tmakr gyakoroltatshoz. Az orszgos kompetenciamrs feladatainak tekintlyes hnyada foglalkozik a tblzatok, diagramok rtelmezsvel, sszehasonltsval. Ezrt a korbbihoz kpest alaposabban gyakoroltassuk ezeknek a feladatoknak a megoldst. "j tpusak" azok a szveges feladatok, amelyekben a szveg alapjn kell rtelmezni, kiegszteni a diagramokat. 36
A tananyag-feldolgozs ttekintse Mit tanultunk a szmokrl? Feleleventj k a trtalakban, illetve tizedestrt alakban adott racionlis szmok nagysg szerinti rendezst, brzolst szmegyenesen, a reciprok", az ellentett", az abszoltrtk" fogalmt, illetve a szmok kerektsrl tanultakat. Ha a korbbi vekben biztosan elsajttottk ezeket az ismereteket a tanul k, akkor nem kell k ln rt fordtanunk ezeknek a feladatoknak a megoldsra. Folyamatos ismtlsknt, otthoni munkra tmaszkodva eleventhetj k fel a korbban tanultakat. Az gy felszabadul idt a normlalak alapos begyakorlsra fordthatjuk. A Gyakorl bsges feladatanyagot (1.01{1.44.) biztost a hinyossgok p tlsra, a kpessg szerint di erencilt egyni munka s a hossz tv folyamatos ismtls megszervezsre. Bevezetj k a racionlis szm fogalmt, de nem foglalkozunk rszletesen ezzel a fogalomkrrel. Az rtelmezsek megbeszlse j alkalmat ad a denci " fogalmnak tisztzsra is.
Hatvnyozs A 6. osztlyban az osztlyok egy rszben foglalkoztak ezzel a hatvnyozssal, de a tanul k tbbsgnek j anyagnak szmt ez a tmakr. A hatvnyozs azonossgait konkrt kitevk esetben a jobb kpessg tanul ink nll an felfedezhetik" (a kitevk mindig termszetes szmok). A 8., majd a 9. osztlyban visszatr nk a hatvnyokkal vgzett mveletekhez, alapszinten ekkor is elg megkveteln nk az sszef ggsek ismerett s alkalmazst. Ugyanakkor a 10 hatvnyaival val szmolst alapszinten is gyakoroltatnunk kell, hogy majd a normlalakkal tudjanak bnni a tanul k. !tlagosnl jobb csoportban viszont rdemes begyakoroltatnunk a felismert azonossgok alkalmazst (Tk. 1.20{1.25. Gy. 1.66{1.85. Fgy. 2.3.12{14.).
A szmok normlalakja A zsebszmol gpek elterjedsvel a korbbinl fontosabb a normlalak biztos ismerete s hasznlata. Ezrt az 1-nl nagyobb szmok normlalakjt alapszinten clszer mr 7. osztlyban is tantanunk, gy 8. osztlyban alkalmazskpes tudst rhet nk el ezen a tren. Reduklt szinten, ha heti 3 matematika ra van, akkor erre kevs lehetsg nk van. Mivel nagyon sok ismeret szintzist felttelezi ez a fogalom (hatvnyok, mveleti tulajdonsgok, helyirtk, szorzs, oszts 10 hatvnyaival), ezrt mg akkor is nehz, ha a tanul k minden sz ksges elismerettel rendelkeznek. Fontos a normlalakkal val szmols gyakorlati hasznnak megmutatsa (lsd kidolgozott mintapldk), gy kzzelfoghat bb vlik a tanul knak, mert a rgi ismeretekhez tudjk kapcsolni az jat.
37
A normlalakkal val szmolst { fleg, ha a szmok kztt nagysgrendi eltrs van { csak a jobb kpessg tanul knak clszer tantani, ha a 10 hatvnyaival mr biztosan szmolnak.
Oszt, tbbszrs, oszthatsgi szablyok Trzsszmok, sszetett szmok Legnagyobb kzs oszt, legkisebb kzs tbbszrs A korbbi vekben a tanul k megismerkedhettek a szmelmlet elemeivel, a legfontosabb fogalmakkal, nhny oszthat sgi szabllyal, esetleg a szmok prmtnyezs felbontsval is. Ugyanakkor ltnunk kell, hogy a tanul k tbbsgnl { idhiny miatt { nem szilrdulhattak meg ezek a fogalmak. "gy foghatjuk fel, hogy az osztlyok tbbsgben 6. osztlyban csak elksztett k ezeket az ismereteket. Ezrt a 7. osztlyos tanknyv is jra rszletesen foglalkozik a szmelmlettel. Fontos, hogy a kzpiskolba ksz l tanul ink az oszthat sgi szablyokat ne receptszeren sajttsk el, hanem konkrt szmokhoz kapcsol dva fedezzk fel" s bizonytsk" is azokat. Ezzel kialakthatjuk a bizonytsi ignyt, fejleszthetj k tanul ink problmamegold kpessgt, s megtehetj k az els lpseket a kzpiskolban elvrt absztrakci s szint elrse fel. Ugyanakkor a ttelek (pldul az oszthat sgi szablyok, vgtelen sok prmszm van, a szmelmlet alapttele) ltalnos bizonytst 7. osztlyban sem javasoljuk, mg kzpiskolai tagozaton is korainak tartjuk. A szmok prmtnyezkre bontst fkppen a kzpiskolba ksz l tanul inkkal gyakoroltassuk be. Tudjk ezt alkalmazni a legnagyobb kzs oszt s a legkisebb kzs tbbszrs megadsra is. A kvetkezkben pldt mutatunk arra, hogy hogyan lehet egyszeren meghatrozni tbb szm legnagyobb kzs oszt jt s legkisebb kzs tbbszrst. 7500 3750 1875 625 125 25 5 1 2 2 (7500 7200 4500) = 2 3 5 . 38
7200 3600 1800 600 120 24 12 6 3 1 -
4500 2250 1125 375 75 15 5 1 %7500 7200
2 2 3 5 5 2 2 2 3 5 5 4500] = 25 32 54 .
'gy egyrtelmen ltszik, melyek a kzs prmtnyezk, s hogy pldul mirt kell a legkisebb hatvnyuk szorzatt venni a legnagyobb kzs oszt meghatrozsakor.
Az sszevons gyakorlsa a racionlis szmkrben. Kzs oszt s kzs tbbszrs alkalmazsa. A szorzs s az oszts gyakorlsa a racionlis szmkrben E fejezettel egyrszt a m veletek gyakorlsa, msrszt az algebrai kifejezsek s az egyenletek tantsnak az elksztse a clunk. Knnyebb lesz az 5. fejezetben a kifejezsek sszevonsa, szorzatt alaktsa, illetve a zr jelbonts, ha itt konkrt szmokkal alaposan begyakorolhatjuk azt. A racionlis szmok brmely alakjval val mveletvgzs (a ngy alapmvelet) minimumkvetelmny 7. osztlyban, de a tanul k elkpzettsge nagy sz r dst mutathat. Val szn, hogy az tlagos osztlyokban nagyon sok tanul nem rendelkezik a sz ksges szmolsi ismeretekkel, rutinnal, kpessgekkel. A felmrsek azt is megmutattk, hogy tanul inknak mintegy 20%-a mg a 8. osztly vgn is funkcionlis analfabta, vagyis a legegyszerbb szvegek informci tartalmt sem kpes felfogni. Ezrt a mveletek gyakorlsval prhuzamosan 7. osztlyban is sokat kell foglalkoznunk az egyszer szveges feladatok megoldsval. A magyar tanul k szvegrtelmez kpessge nemzetkzi viszonylatban is nagyon gyengnek bizonyult. Ezrt az orszgos kompetenciamrseken a feladatok mintegy harmada szveges feladat. Szokatlan lehet a tanul k szmra a feleletvlasztsos feladat, ezrt minden fejezetben elfordulnak ilyen feladatok (Tk. 1.77., 1.78.). Az ut bbi azrt is szokatlan" s jszer", mert nem tanult ismeretet, hanem a szvegben tallhat informci t kell alkalmazni gyakorlati jelleg feladatban. Emelt szinten is meg kell gyzdn nk arr l, hogy a tanul k mr a korbbi vekben eljutottak-e a megfelel szintre. Ha igen, akkor a mveletek gyakorlsra legfeljebb 1{2 rt kell biztostanunk. "j ismeretknt jelenhet meg a szmelmletben s a hatvnyozsr l tanultak alkalmazsa a trtek egyszerstse, illetve sszevonsa sorn (Lsd a tanknyv bvtett vltozatt). Ezzel komplex m don gyakoroltathatjuk s a tudatosts magasabb szintjn sszeszhetj k" a korbban tanultakat. A szmolsi kpessgek tovbbi fejlesztst a tanul k nll otthoni munkjra tmaszkodva (esetleg tbb hten t is tart ) folyamatos ismtls keretben clszer megoldanunk gy, hogy egy-egy alkalommal ne terhelj k meg tlsgosan a tanul kat. Az gy felszabadult raszmot (mint korbban mr lertuk) a hatvnyozs, a normlalak s a szmelmlet alaposabb megtantsra fordthatjuk.
Mennyisgek trtrsze "j fogalmakat nem tartalmaz ez a fejezet, de { fleg a szveges feladatokban { sok olyan ismeretet elevent fel, amely a szzalkszmts, az egyenletek, a f ggvnyek tmakrnek tanulsa sorn nlk lzhetetlen. Ezrt a 6. osztlyban tanultak gyakorlsa mellett e fejezetek tantst is elkszthetj k az ismtls sorn. Ehhez az anyagrszhez kapcsol dva adjunk feladatot krdiagramok, illetve szalagdiagramok (Tk. 1.87., Gy. 1.154.) rtelmezsre, ksztsre is. 39
Zrjelek hasznlata. A mveletek sorrendje A hatvnyozs beillesztse a mveletsorba s a k lnbz eljel szmok szorzsnak, osztsnak kapcsolata jelent jat az eddigiekhez kpest. A zr jelek hasznlata, a mveletek helyes sorrendjnek megllaptsa minimumkvetelmny. Az ezzel kapcsolatos ismeretek hinyban elkpzelhetetlen az egyenletek, egyenltlensgek megoldsa, az algebrai kifejezsek talaktsa, helyettestsi rtk k kiszmtsa. Ezrt alap- s emelt szinten egyarnt k lns gondot kell fordtanunk ezeknek az ismereteknek a feleleventsre, begyakorlsra. A tanknyvben, a Matematika 7. Gyakorl ban s a Feladatgyjtemnyben tallhat b feladatanyag lehetv teszi, hogy a tanul k pillanatnyi tudsszintjnek megfelel nehzsg feladatokat oldassunk meg. A b feladatanyag lehetv teszi a felzrk ztatst, illetve az otthoni di erencilt egyni munkban megval sul folyamatos ismtls megszervezst is. K ln felhvjuk a gyelmet a korbban tanult geometriai ismeretek, a hosszsg-, rtartalom- s idmrs, illetve a ker let-, a ter let-, a felszn- s a trfogatszmts alkalmazsra (Tk. 1.92{1.96.). Ezeknek a mindennapi gyakorlathoz kapcsol d sszetett feleletvlasztsos feladatoknak a feldolgozsa felksztheti a tanul kat a 8. osztlyos kompetenciamrs hasonl tpus feladatainak rtelmezsre.
Arny, arnyos oszts Az arny 6. osztlyban a szzalklb tantsakor ker lt eltrbe, de a tantsra fordtott id kevs volt arra, hogy a tanul k maradktalanul elsajttsk azt. 'gy sz ksgesnek rezz k, hogy 7. osztlyban { az arnyos osztssal mint j anyaggal kapcsolva { ismt tantsuk. Az arnyos osztsnl trekedn nk kell arra, hogy a tanul k tudjk indokolni: mirt osztjuk a mennyisget az arnyszmok sszegvel. 90 Ft-ot 2 : 3 : 4 ar nyban sz tosztani annyit jelent, hogy az eg szet { azaz a 90 Ft-ot { annyi egyenl r szre kell osztani, hogy az els 2 r szt, a m sodik 3 r szt, a harmadik 4 r szt kaphasson bel le. Ez pedig 9 egyenl r szre val oszt st jelent. A trtr szek rendre: 2 , 3 , 4 . Ezek sszege valban kiadja 9 9 9 9 1 az eg szet, a -et. A 90 Ft r sze 10 Ft. gy 20 Ft-ot, 30 Ft-ot, 40 Ft-ot kapnak az egyes szem lyek. 9 9 Pldul:
A kompetenciamrsben az arny gyakorlati alkalmazsaknt tbb feladat foglalkozik az alaprajzok, trkpek, nzeti rajzok mretarnynak az rtelmezsvel (Tk. 1.97{1.98.).
Szzalkszmts. Kamatos kamat Mr 6. osztlyban foglalkoztunk a szzalkszmtssal, ennek ellenre sok hinyossgot szlel nk tanul inknl ezen a tren. Ezrt alapszinten sok osztlyban indokolt lehet, hogy 1{2 rval tbbet fordtsunk erre az anyagrszre, mint amennyit a tanmenetjavaslat elr, illetve otthoni munkban ismtelten adjunk fel e tmakrhz tartoz , gyakorlati jelleg (a mindennapi lettel, a kmival stb. kapcsolatos) feladatokat. Tanul inkt l kvetelj k meg a szmtsok menetnek indoklst. 40
Fontos, hogy ne kpleteket magoltassunk be, hanem a gondolkodsi tervet, vagyis a kvetkeztetsi smt ismerjk fel a tanul k. Ugyanakkor (jobb kpessg osztlyban) a kvetkeztetsi sma tudatostsa s alkalmazsa mellett tovbb is lphet nk. A szzalkrtket mint az egszrszbl a trtrszt, az alapot mint a trtrszbl az egszrszt hatrozzuk meg. A szzalklb kiszmtsa a szzalkrtk s az alap arnynak kiszmtshoz kapcsol dik. A szzalkszmts fontos gyakorlati alkalmazsaknt foglalkozzunk a kamatszmts elemeivel. A tanknyv feladatai mellett dolgoztassuk fel a gyakorl megfelel feladatait is (Gy. 1.193{1.196., 9.08., 9.28{9.33.).
Statisztikai szmtsok Kvetelmny, hogy tanul ink tudjanak statisztikai adatokat gyjteni, rendszerezni, kategorizlni, tblzatba foglalni. Tudjanak ezekbl az adatokb l grakont, oszlop-, kr- s szalagdiagramot kszteni. Tudjk meghatrozni az adatok szmtani tlagt, sz r dsnak terjedelmt. Br ehhez a munkhoz a tanknyv s a gyakorl bsges feladatanyagot szolgltat (Gy. 8.01{8.20., 9.25{9.26.), mindenkppen gyjtsenek tanul ink friss statisztikai adatokat, elemzseket. A kompetenciamrsben hangslyozottan jelenik meg ez a tmakr mint a szzalkszmts egyik gyakorlati alkalmazsa. A Tk. 116. feladata az oszlopdiagram szerkesztsnek egyik tipikus hibjra hvja fel a gyelmet: ha nem 0-val kezddik a f ggleges tengely beosztsa, akkor a diagram flrevezeten szemllteti az adatok egymshoz viszonytott arnyt. A Tk. 117. feladat az krdiagram elemzse mellett a krdiagram s az oszlopdiagram egymssal val kapcsolatval foglalkozik.
Valsznsgi ksrletek Kvetelmny, hogy tanul ink tudjanak val sznsgi ksrleteket vgrehajtani, esemnyeket lejegyezni, azok val sznsgre becslst adni. Ismerjk a gyakorisg s a relatv gyakorisg fogalmt. Tudjk kiszmtani a meggyelt esemny relatv gyakorisgt. Legyenek kpesek a legegyszerbb esetekben az esemny val sznsgt kiszmtani, azt a relatv gyakorisggal sszehasonltani. A tanknyv 3. pldjban az esemnyek val sznsgt nem hatrozhatjuk meg a kombinatorika alkalmazsval. Ksrleti ton (a nagy szmok trvnyt alkalmazva) tudjuk azt megbecs lni. A mindennapi let val sznsggel kapcsolatos problmi ltalban ilyenek. Ezrt az ilyen jelleg ksrletek tnyleges vgrehajtsa nemcsak a fogalmak tudatostst szolglja, hanem kpess teszik tanul inkat a tanultak gyakorlati alkalmazsra is.
Gyakorl- s fejtr feladatok. Tudsprba A tanknyv bvtett vltozata tovbbi feladatsorokat biztost a tanul k tudsnak elmlytsre. A kompetenciamrsre felksztheti a tanul kat a Tk. B1.23. feladat s a tudspr ba feladatsora. 41
2. Hozzrendels, fggvny Matematikatantsunk egyik legfontosabb tmakre a relcik, s ezen bell a fggvnyek. A tma fontossgt mutatja egyrszt a matematika tantrgyban elfoglalt helye, kapcsolata a matematika egyb tmakreivel, msrszt a tananyag tantsval kapcsolatos nevelsi, kpzsi clok megvalstsnak lehet sge. Nhny lehet sg: Az egybevgsgi transzformci a sk pontjainak a sk pontjaira val egyegyrtelm lekpezse. Az S halmazon rtelmezett biner mvelet az S nem res halmaz S S Descartesszorzatnak S-be val lekpezse. Valamely H halmazon rtelmezett algebrai kifejezs esetn a H elemeihez bizonyos elemeket rendelnk hozz egy (H-tl nem felttlen klnbz ) halmazbl. A sokszgekhez egyrtelm en hozzrendelhetjk a kerletk vagy a terletk mr szmt. A kombinatorikban vges sok elemhez hozzrendelhetjk az elemek sszes lehetsges sorrendjeinek szmt. A nevelsi, a kpzsi clok kzl a kvetkez ket emeljk ki. Kombinatv ltsmd fejlesztse: Halmazok elemei kzti kapcsolatok feltrsban minden lehetsges esetet szmba vettnk-e, s mindegyiket csak egyszer? Ez rendszeressgre nevel, el segti a rendezsi kpessg kialakulst. A kreatv szemlyisgtulajdonsgok kzl a rugalmassgot s az tletgazdagsgot fejlesztik azok a feladatok, amelyekben nhny sszetartoz elemprhoz kell keresni a lekpezs szablyt. Minl tbb, lehet leg min sgileg klnbz szablyt kerestetnk a tanulkkal, annl inkbb fejlesztjk az emltett tulajdonsgokat. A kpi dominancij gondolkodsbl a fogalmi gondolkodsba val tmenetet a grakus brzols nagymrtkben segti. A fggvny fogalma nagyon elvont, gy csak lass rlelsi folyamatban, sok-sok gyakorlati plda megoldsval, a fogalmak egymsra pl rendszernek alapos megtervezsvel alakthat ki. Ez a kialakts als tagozatban meggyelssel, tapasztalatgy jtssel kezd dik. A tanulk adott szmprokhoz, azoknak bizonyos tulajdonsgait meggyelve kapcsolatokat, szablyokat ismernek fel, s az egyszer bbeket meg is fogalmazzk. Ks bb { tanri irnytssal { a fggvnyre jellemz nhny fogalmi jegyet is tisztznak. Ilyen fogalmak: halmaz, elem, sszetartoz rtkpr, kapcsolat, szably stb. Ahogy n a tanulk ismeretanyaga (egyre tbb m velettel, geometriai alakzattal, kplettel, oszthatsgi szabllyal stb. ismerkednek meg), gy valsthat meg a fggvnyfogalom tartalmi b vtse, amely magban foglalja az jabb fogalmak kialaktst (rtelmezsi tartomny, kpelem, rtkkszlet, koordinta, grakon stb.), a lnyeges jellemz jegyek kiemelst (egyrtelm , tbbrtelm stb.) s a fogalomra nem jellemz tartalmi jegyek kisz rst, az els dleges fogalmak kzti kapcsolatok feltrst, s ezltal a magasabb rend fogalmak kialaktst. (Magasabb rend fogalomnak ms fogalmakbl absztrahlt fogalmakat neveznk.) Ilyen magasabb rend fogalom maga a fggvny is, amelynek kialakulshoz a kvetkez kben felsorolt fogalmak meglte szksges: 42
Halmaz, elem, eleme rszhalmaz. Elempr, rendezett elemprok halmaza (Descartes-szorzat). Eredeti elem, kpelem alaphalmaz, kphalmaz. Egyrtelm , tbbrtelm megfeleltets. A megfeleltets szablya. (A megfeleltetseket s ezek fajtit alapfogalomknt kezeljk, nem deniljuk, pldkon keresztl mutatjuk be.) Az eddigi fogalmakat intuitv szinten, pldkon keresztl trgyaljuk, kerljk az ltalnostsokat. Koordintk, jelz szmok koordinta-rendszer. Grakonok. Szm-szm fggvnyek rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, fggetlen vltoz, fggvnyrtk. Specilis szm-szm fggvnyek (egyenes arnyossg, lineris fggvny, fordtott arnyossg, az y = jxj fggvny). Elemi fggvnyvizsglat: nvekeds, fogys, szls rtk, korltossg, folytonossg. (Ezt csak konkrt feladatokban, a grakonrl leolvasva vrhatjuk el.) 8. osztlyban, emelt szinten: a fggvnytranszformcik, esetleg az sszetett fggvny s az inverz fggvny fogalma. (Alapszinten 8. osztlyban sem tananyag.) 8. osztlyban: a sorozat mint a pozitv egsz szmokon rtelmezett fggvny. A felsorolsbl lthat, hogy a fggvny fogalmt nem akkor tekintjk kialakultnak, amikor a tanulk el tudjk mondani szabatosan, hogy mit rtnk fggvnyen, hanem akkor, ha azt be tudjk illeszteni ismereteik korbbi rendszerbe, tudjk alkalmazni ms tmakrknl, s a specilis fggvnyek, illetve elemi fggvnyek vizsglatt ismerik. Ebb l az is kvetkezik, hogy 7. osztlyban nem vrhatunk el a tanulktl ksz" fggvnyfogalmat. Itt a fggvny mint a megfeleltetsek egy fajtja szerepel. Alaposabban trgyaljuk a lineris fggvnyt, az egyenes arnyossgot s a fordtott arnyossgot. A tanknyvben a fggvnyek jel lsre hromfle formult alkalmazunk. Mindhrom jellsi md elfogadott. Azt rdemes hasznlni, amelyik legjobban szolglja cljainkat. Az x 7! 2x + 3 jells fejezi ki legjobban a fggvny lnyegt (az rtelmezsi tartomny valamely x elemhez az rtkkszlet 2x + 3 kifejezssel meghatrozott rtkt rendeljk hozz). Az y = 2x + 3 s az f(x) = 2x + 3 jellsi md a helyettestsi rtkek meghatrozsnl s a grakus brzolsnl hasznlhat eredmnyesebben, mint az els formula. A szm-szm fggvnyek brzolsa, illetve a grakonok elemzse nagy gyakorlati haszonnal br ismeret. A grakon a valsgban lejtszd folyamatot vetti elnk, de nem azonos magval a fggvnnyel. A grakus brzolssal akkor rhetjk el cljainkat, ha az brzols utn bizonyos elemzseket is elvgznk. 7. osztlyban konkrt mennyisgek kzti kapcsolatokat vizsglunk, s az egyes mennyisgek sszetartoz rtkprjainak brzolsa utn kvetkeztethetnk nvekedsre, fogysra, szls rtkre. Ezeket a jellemz ket a grakon geometriai tulajdonsgaibl olvashatjuk le. Bizonyos fok absztrakci s ltalnosts is megvalsthat, amikor maguktl a mennyisgekt l eltekintnk, s csak a kapcsolatra koncentrlunk. 43
Pldul az y = 4x egyenlet kifejezheti egy 4 km h sebessggel halad ember ltal x ra alatt megtett utat ppgy, mint a 4 Ft egysgr termk x kg-jnak az rt. Teht egy formulval tbbfle folyamat vagy trgyak kztt lv sszefggs lerhat. A koordintatengelyek elnevezsnl ne hasznljuk az informcit nem ad vzszintes" s fgg leges" elnevezseket. 7. osztlyban mr bevezethetjk az abszcissza s az ordinta szavakat. Az abszcissza s az ordinta, illetve a fggetlen vltoz s a fggvnyrtk elnevezsek hasznlata azrt is kvetend , mert ks bb, az egyenletek grakus megoldsnl az rtelmezsi tartomnyok azon elemeit (abszcisszit) keressk, amelyek esetn a fggvnyrtkek (ordintk) egyenl k (illetve egyenl tlensgeknl kisebbek vagy nagyobbak). A gyakorlati jelleg feladatokban a megfelel mennyisgek nevt (t, id , h mrsklet, tmeg stb.) clszer feltntetni a tengelyek mellett. A grakon a folytonossg fogalmnak el ksztshez is segtsget adhat. ltalnos iskolban ez gy jelentkezik, hogy sszekthet k-e folytonos vonallal a koordintknak megfelel pontok. Gyakorlati pldknl a szveg rtelmezsb l kvetkeztethetnk a folytonossgra. (Pldul az emberek szma { vgzett munka kapcsolat grakonja nem lesz folytonos vonal.) Folytonossg szempontjbl meg kell klnbztetni a diszkrt pontokbl ll grakont (pldul: teherautk szma { elszlltott anyagmennyisg) az olyan grakontl, amelyik az rtelmezsi tartomnyn folytonos, de a szmegyenes minden pontjt tekintve nem folytonos (pldul: y = x6 fggvny grakonja). Ennek trgyalst csak a jobb kpessg tanulknak ajnljuk, kerlve az ltalnostst. Itt jegyezzk meg, hogy ha az rtelmezsi tartomny a racionlis szmok halmaza { hiszen csak 8. osztlyban jutunk el a vals szmok fogalmhoz {, akkor is folytonos vonallal rajzoltuk meg a grakont. Ennek oka, hogy a racionlis szmok tetsz leges" s r n helyezkednek el a szmegyenesen, azaz mshogy nem is tudnnk brzolni. Eddigi tapasztalataink szerint ez nem jelent problmt a 8. osztlyos tanulknak. A kvetkez kben nhny olyan gyakran el fordul hibra hvjuk fel a gyelmet, amelyek a fggvnyfogalom kialaktst gtoljk. A tanulk sokszor azonostjk a fggvnyt a grakonjval. A dencikban nincs meg a fogalomra jellemz sszes ismrv. (Pldul: Az egyik halmaz elemeihez hozzrendeljk a msik halmaz elemeit.) A fogalom dencija sz k". (A fggvny olyan egy-egyrtelm megfeleltets ) A grakonok gyakorlati hasznt nem hangslyozzuk elgg. (Pldul: Csak a grakon brzolsig jutunk el, az elemzsig mr nem.) Nem tudjk a tanulk egyb ismereteikhez kapcsolni a fggvny fogalmt. (Pldul: Nem ltnak kapcsolatot a geometriai kpletek s a fggvnyek kztt.) Ez azt is jelenti, hogy nincs meg az ismeretek rendszere, csak elszigetelt, nmagukban funkcionl ismeretekkel rendelkeznek a tanulk. A specilis fggvnyeket (egyenes arnyossg, fordtott arnyossg) nem illesztik be a fggvnyek rendszerbe. A megfelel pldk vlogatsa, az alapos elemzs cskkentheti e hibk el fordulst. 44
A tananyag-feldolgozs csompontjai E fejezethez a tanknyv feladatain kvl a Matematika 7. Gyakorl 2.01{2.40. s a Matematika 7{8. Feladatgy jtemny 3.1.01{3.4.31. feladatai tartoznak. 1. Halmaz, elem, eleme alapfogalmak nemcsak a fggvnyfogalomhoz, hanem a matematika minden fogalomrendszerhez nlklzhetetlenek. 2. A hozzrendelst" az ltalnos iskolban szintn alapfogalomnak tekintjk, de a tanknyv pldi el ksztik, hogy ezt a fogalmat az alaphalmaz s a kphalmaz elemeib l kpezhet rendezett elemproknak (vagyis a kt halmaz Descartes-szorzatnak) rszhalmazaknt rtelmezzk. A pldkhoz kapcsoldva megismerik a tanulk a hozzrendels, a kpelem, a kphalmaz, az egyrtelm s t bbrtelm hozzrendels fogalmt. A hozzrendelsek megadsi mdjairl korbban tanultakat meger stjk, illetve b vtjk. 3. A hozzrendelsek vizsglata sorn szerzett tapasztalatokra tmaszkodva rtelmezzk a fggvnyt, s a fggvny fogalomrendszerhez tartoz fogalmakat (fggetlen vltoz, rtelmezsi tartomny, fggvnyrtk, rtkkszlet). Kln kiemeljk a szm-szm fggvny fogalmt. Konkrt pldkhoz kapcsoldva tudatostjuk, hogy a lekpezs szablya nmagban nem rtelmezi a fggvnyt, ismernnk kell az rtelmezsi tartomnyt s a kphalmazt is. 4. A grakus brzolst, a grakonok, tblzatok elemzst kapcsoljuk a matematika egyb tmakreihez. A grakonok elemzsvel tapasztalati szinten el ksztjk az elemi fggvnyvizsglatokat. Az orszgos kompetenciam r sben is sok olyan feladat van, amely folyamatok, jelensgek grakonjnak elemzsvel foglalkozik. Ilyen feladatok a Tk. 2.05., B2.09{
B2.10., B2.12., 2.30/1{2.
5. A specilis fggvnyek korbban tanult ismeretanyagt b vtjk, megmutatjuk a
kapcsolatot a lineris fggvny s az egyenes arnyossg kztt, tisztzzuk az y = ax + b formulban az a s a b szerept. Ellenpldaknt foglalkozhatunk az y = jxj fggvnnyel, brzoltathatjuk a grakonjt (ezzel mr korbban is tallkoztak a tanulk). 6. A 6. osztlyban tanultakat felidzve s elmlytve foglalkozunk a fordtott arnyossggal. Konkrt pldkhoz kapcsoldva brzoltatjuk az y = cx fggvny grakonjt is. 7. Az arnyossgi kvetkeztetsekhez, illetve a lineris fggvnyhez, esetleg az egyenletek grakus megoldshoz tartoz szveges feladatokkal di!erenciltan fejleszthetjk tanulink szvegrtelmez s problmamegold kpessgt. Egyttal felksztjk ket a tanultaknak a mindennapi letben, illetve a trstantrgyakban val alkalmazsra is. Az arnyossgi kvetkeztetsek gyakorlati alkalmazsa lthat a Tk. B2.11. feladatban. Ez a feladattpus mindig el fordul a kompetenciam r sekben. 8. A sorozatokkal mint fggvnyekkel most csak rint legesen foglalkozhatunk. Id hiny esetn 8. osztlyra halaszthatjuk ennek a rsznek a feldolgozst. 45
Kapcsoldsi lehetsgek A fejezet bevezet rszben mr szltunk a fggvny fogalomrendszernek s a matematika egyb tmakreinek a kapcsolatrl.
Halmazok logika A fogalmak s a feladatok rtelmezshez nlklzhetetlenek a halmazelmleti fogalmak. Az rtelmezsi tartomny s az rtkkszlet fogalmnak megtantshoz (jra) tisztznunk kell a rszhalmaz fogalmt.
Kombinatorika
A feltteleknek megfelel sszes megolds megkeresse.
Aritmetika, szmelm let, algebra A racionlis szmokhoz hozzrendelhetjk az ellentettjt, abszoltrtkt, nla adott szmmal nagyobb rtket, kerektett rtkt stb., a termszetes szmokhoz az osztit, oszti szmt, egy adott szmmal val osztsnak maradkt stb. (pldul Tk. 2.04., Gy. 2.07{2.08. feladat). A fggvnyek, sorozatok szablynak meghatrozsa, illetve a szably alkalmazsa (Tk. 2.06., 2.23. Gy. 2.38{2.39. feladat) nemcsak a szmolsi jrtassgokat fejleszti, hanem el kszti az algebrai anyag feldolgozst is (kifejezsek rtelmezse, helyettestsi rtknek megadsa).
Szzal kszmts
A szzalkszmtsokban egyenes arnyossgi kvetkeztetseket hajtunk vgre
(Tk. B2.07{B2.08. Gy. 2.22.). M r s, geometria
A korbban tanult mrtkegysgek s terlet-, felszn-, trfogatkpletek folyamatos ismtlse jl illeszthet a fggvnnyel kapcsolatos ismeretek alkalmazsnak gyakorlshoz Tk. 2.26., 2.29., Gy. 5.21., 5.25., 5.30., 5.40., 5.44.
Statisztika
A grakonok, diagramok ksztse egyarnt kapcsoldik a fggvnyek, illetve a statisztika tmakrhz, ezrt nehzsg nlkl megoldhat a statisztikban tanult ismeretek folyamatos ismtlse. Gy. 2.04.
Fizikai vizsglatok Id -t grakonok elemzse, az egyenletes mozgs, a vltoz mozgs, a sebessg, a sebessgvltozs fogalma h mrsklet-vltozs, halmazllapot-vltozsok a trfogat, tmeg, s r sg kzti sszefggs stb. (Tk. 2.05., 2.08., 2.10., 2.13., 2.16., 2.29., B2.09., B2.10., B2.12. Gy. 2.01{2.03., 2.05{2.06., 2.13., 2.29. feladat). 46
A tananyag-feldolgozs ttekintse Hozzrendel sek vizsglata Ebben a bevezet rszben a korbban mr tanult ismereteket eleventjk fel, el ksztve a fggvnyfogalom kialaktst. (Halmaz, elem, eleme, rszhalmaz alaphalmaz, kphalmaz relci, sszetartoz elemprok, kpelem.) A rendezett elemprok halmazval foglalkozik a tanknyv, de csak konkrt esetekben, megnevezs (Descartes-szorzat), denci nlkl. A pldk alapjn felismerhetik a tanulk, hogy a relci a rendezett elemprok halmaznak valamely nem res rszhalmaza. A relcik klnbz megadsi mdjait rdemes alaposan megvizsglni, hiszen ezeket az ismereteket ks bb felhasznljuk a kapcsolatok elemzsnl. (Tblzat, nyldiagram, Descartes-diagram, elemprok halmaza.) Az egyrtelmsg, tbbrtelm sg vizsglata nagyon fontos, mert az egyrtelm megfeleltetsek kzl kerlnek ki a fggvnyek. A mintapldk olyanok, hogy a fogalom minden jegyt tartalmazzk, s ezek feldolgozsval, alapos elemzsvel elrhetjk azt, hogy a tanulk { nmi tanri segtsggel, de nagy nllsggal { a fggvny minden lnyeges ismrvt kpesek legyenek felfedezni. A reduklt program szerint csak a tovbbhaladshoz nlklzhetetlen ismereteket tekintjk t, s els sorban a grakonok vizsglatval foglalkozunk.
Fggv nyek rtelmez se, vizsglata 7. osztlyban, alapszinten nem tartjuk fontosnak, hogy tmr, pontos dencit tudjanak adni a tanulk, de azt igen, hogy egy megfeleltetsr l el tudjk dnteni, hogy fggvny-e vagy sem. Ha a fggvny dencijt nem is vrjuk el a tanulktl, az elnevezsek (rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, egyrtelm sg) pontos hasznlatt igen. A reduklt programban erre a szintre taln 8. osztlyban juthatnak el a tanulk. A heti 3 tanrban a reduklt vltozat szerint dolgoz osztlyokban csak a legjobbaktl vrhat el, hogy kpesek legyenek elsajttani ezeket a fogalmakat. A feladatokat gy vlogassuk ssze, hogy egyrszt kapcsoldjanak a zikhoz, illetve a mindennapi lethez, msrszt felsznre hozzk a 6. osztlyban tanult ismereteket, ezzel mintegy el ksztve a kvetkez fejezet anyagnak tantst. Alapszinten clszer legalbb kt tovbbi rban foglalkozni a grakonokkal, diagramokkal (Gy. 2.01{2.06., 2.09{2.11. feladat). Flttlenl fordtsunk gondot a grakonok vizsglatra is, hiszen ez kpezi alapjt a ks bbi fggvnyvizsglatnak. Emelt szinten mr elvrhatjuk, hogy a dencikat is megtanuljk s rtelmezni tudjk a tanulk. Ezen a szinten jobban tmaszkodhatunk a tanulk nll otthoni munkjra, ezrt nem szksges 4 tantsi rban foglalkoznunk ezzel a rsszel. Az gy felszabadul id t majd az egyenletek, egyenl tlensgek grakus megoldsra fordthatjuk. 47
Az egyenes arnyossg mint fggv ny Az ltalnos iskolban a fogalomkialakts kvethet tja: az egyszer t l a bonyolult fel, a specilistl az ltalnos fel, a konkrttl az absztrakt fel. Az egyenes arnyossg mint specilis lineris fggvny el ksztheti, megalapozhatja az ltalnosabb, absztraktabb, bonyolultabb fogalom tantst. A kidolgozott mintapldk felptse olyan, hogy tbb, rgebben tanult fogalmat, elnevezst is feleleventhetnk velk (pldul: meredeksg, pozitv szg, negatv szg). A sok gyakorlfeladat azt a clt szolglja, hogy a tanulk az orign thalad adott meredeksg egyeneseket a maximlis begyakorlottsg szintjn tudjk brzolni, s a meredeksg rtelmezse ne jelentsen problmt nekik. (Az y = ax fggvny esetn az x tengelyen 1 egysgnyi pozitv irny haladshoz az y tengely mentn a egysgnyi halads tartozik.) Fontos kiemelni a meredeksg s az sszetartoz rtkprok arnynak egyenl sgt is. Ezt a grakonon is mutassuk meg. Azt is ajnlatos megmutatni, hogy ha a meredeksg trtszm, akkor az el z ekt l eltr mdon is brzolhat a grakon { de vgeredmnyben ugyanazt kapjuk (alapszint tanknyv 74{75. oldal, b vtett tanknyv 80{81. oldal, 3. plda). A meredeksg pozitv vagy negatv volta a fggvny nvekedst vagy cskkenst mutatja (alapszint tanknyv 75. oldal, b vtett tanknyv 81. oldal, 4. plda). Ha m = 0, akkor az y = ax kplet az y = 0 kpletbe megy t, azaz az x tengely egyenlett kapjuk.
A lineris fggv ny Ebben a fejezetben rtelmezzk s vizsgljuk az y = ax + b kplettel adott szmszm fggvnyt. Az els fok s a lineris fggvnyt nem tekintjk azonos rtelm nek. Ez denci krdse. Kapcsoldva a kzpiskolk tanknyveihez, az els fok s a nulladfok (azaz konstans) fggvnyt nevezzk lineris fggvnynek. %gy a fggvnyt ler kifejezsben az a, illetve a b paramter 0 is lehet. Miutn az egyenes arnyossg fejezetnl a meredeksg jelentst kell en tisztztuk, konkrt pldkhoz kapcsolva, a fggvnytranszformci gondolatt felhasznlva jutunk el az egyenes arnyossg fogalmtl a lineris fggvny fogalmig. A feladatok s pldk megoldsakor felismerik a tanulk, hogy az y = ax s az y = ax+b kifejezssel lerhat fggvnyek grakonja egymssal prhuzamos egyenes, s az utbbi grakon a b rtknl metszi az y tengelyt. Konkrt pldkkal azt is meg kell mutatnunk, hogy pldul az y = 2x + 3 s az y = 2x esetn mindkt fggvnynl 1 egysgnyi abszcisszavltozshoz 2 egysgnyi ordintavltozs tartozik, de mg az y = 2x fggvnynl az sszetartoz rtkek arnya 2, addig az y = 2x + 3 fggvnynl ez az arny vltoz. Nhny rtkpr ennek igazolsra: y3 = 3 x1 = 1, y1 = 5, yx1 = 5 x2 = 2, y2 = 7, xy2 = 72 x3 = 3, y3 = 9, x3 1 2 Teht az y = 2x + 3 kapcsolat nem egyenes arnyossg. A b paramter jelentsnek vizsglatnl rdemes hangslyozni, hogy az egyenes arnyossg grakonja mindig az orign halad keresztl (ha az x = 0 az rtelmezsi tartomnynak eleme). Ezrt, ha az egyenes arnyossgot y = ax + 0 alakban rjuk, akkor lthat, hogy az egyenes arnyossg olyan lineris fggvny, amelynl a b = 0. 48
Br a fggvnyek grakus brzolsnl mg k zpiskolai tagozatban is megengedhet az rtktblzat hasznlata { s t a helyettestsi rtkek kiszmtsa a m veletek gyakorlsa szempontjbl hasznos s gy ajnlott is {, az y tengellyel val metszspont, illetve a meredeksg rtelmezse gyorsabb brzolsi mdra ad lehet sget. Ha pontjainak felvtelvel brzoltatjuk az egyeneseket, akkor { a tvedsek kikszblse miatt { clszer hrom pontot meghatroztatni. Kiderl a hiba, ha brmelyik pont nem illeszkedik a msik kett ltal meghatrozott egyenesre.
A sorozat mint fggv ny A tanulk legyenek kpesek megkezdett sorozatokat folytatni adott, illetve felismert szably szerint. Ismerjk fel tbbfle szably megfogalmazsnak lehet sgt. A tanultakat legyenek kpesek alkot mdon alkalmazni szmelmleti, geometriai vizsglatokban. Ha egy-kt rban foglalkozunk a sorozatokkal, akkor nem rhetjk el ezeket a clokat. A matematika minden fejezethez kapcsoldva kapjanak ilyen feladatokat a tanulk. Most az az els dleges cl, hogy tudatostsuk a fogalmat.
Fordtott arnyossg Fordtott arnyossgi kvetkeztetsekkel mr kt-hrom ve tallkoztak a tanulk. Most a fogalom tudatostsa a cl. Az y = x1 fggvnynl vizsgltassuk meg, hogy a 0 mirt nem lehet eleme az rtelmezsi tartomnynak. (Utaljunk a korbban tanultakra, azaz a 0-val val oszts rtelmetlen voltra.) Azt is gyeltessk meg, hogy a grakonon mindez hogyan jelentkezik. Mindenkppen dolgoztassunk fel tbb olyan feladatsort, amelyben fel kell ismerni, hogy egyenes vagy fordtott arnyossgrl van-e sz (Tk. 2.28., 2.29., B2.06.).
Gyakorl- s fejtr feladatok A feladatok egyrszt a meglv ismeretek elmlytst szolgljk, msrszt felksztik a tanulkat a 2. dolgozatra, illetve a 8. osztlyos orszgos kompetenciamrsre. Javasoljuk, hogy sok, de felsznes feladatmegolds helyett inkbb kevesebb feladattal foglalkozzunk, s ezek mindegyikre teljes megoldst adjunk.
Tudsprba A Tk. 30. feladat ngy rszfeladata lefedi azokat a legfontosabb fggvnytani ismereteket, amelyeket 7. osztlyban elvrhatunk a tanulktl. Az 1. feladat azt mri fel, hogy a tanul hogyan kpes rtelmezni a grakonrl leolvashat sszefggseket. Az elemzs szemllethez kt d elemi fggvnyvizsglatot is jelent. A 2. feladatban grakonjval adott egyenes arnyossg, illetve lineris fggvny szablyt kell meghatrozni. A 3. s 4. (klnbz nehzsg ) rszfeladatokban szveggel adott fggvnyeket kell rtelmeznik a tanulknak. 49
3. Egybevgsg Az elz vfolyamokon, mr als tagozatban is, a ksrletezsek s a sokoldal meg gyelsek sorn igen sok lmnyt gy jt ttek a tanulk a k l nb z transzformcikrl, k zt k az egybevgsgi transzformcikrl is. Ezekre a meg gyelsekre tmaszkodhatunk most is, amikor jtkos feladatok megoldsa sorn tudatostjuk a fogalmakat. A geometriai transzformcit specilis f ggvnyknt, vagyis olyan egyrtelm lekpezsknt rtelmezz k, amelynek az rtelmezsi tartomnya s a kphalmaza is ponthalmaz. Ez megllapods krdse. Vannak olyan szakk nyvek, amelyek csak a ponthalmazok egy-egyrtelm lekpezst tekintik geometriai transzformcinak. Mi indokolja az ltalunk elfogadott ltalnosabb rtelmezst? Jobban megfelel a tanulk tudsszintjnek. Ugyanis 7. osztlyban nem foglalkozunk az egy-egyrtelm " lekpezssel. Egyrszt idhiny miatt, msrszt a k lcs n sen egyrtelm sg vizsglata mg magasabb vfolyamokon is komoly gondot okoz a legt bb tanulnak. gy lehetsg nylik az elfajul esetek" vizsglatra is. Ezek (mint ellenpldk) ppen az egy-egyrtelm lekpezs fogalmt is elkszthetik. Ezt a de ncit talljuk a legt bb k zpiskolai tank nyvben is. A geometriai transzformci" { mint pontnak ponthoz t rtn egyrtelm hozzrendelse { fogalmval 6. osztlyban a tengelyes t kr zs rszletes trgyalsa sorn tallkoztak a tanulk. 7. osztlyban tovbbi egybevgsgi transzformcik ker lnek sorra. Az eltolssal s a forgatssal csupn az ismerkeds szintjn (8. osztlyban visszatr nk az egzakt fogalmak kialaktsra s a tulajdonsgok vizsglatra, a szerkesztsek elvgzsre). A k zppontos t kr zssel rszletesen foglalkozunk. A tma feldolgozsa sorn arra t reksz nk, hogy az egyes transzformcik tulajdonsgait vizsglva egyezseket s k l nb zsgeket vetess nk szre, fedeztess nk fel, ezzel fejlesztve a tanulk geometriai szemllett. Sz ksges teht, hogy az jabb transzformcikkal val ismerkedst megelzze a tengelyes t kr zsrl s a tengelyesen szimmetrikus alakzatokrl tanultak feleleventse, r gztse. A tanri bemutatshoz jl hasznlhat az rsvett. A jl szerkesztett, r gztett tengely k r l tfordul" transzparenssel igen jl szemlltethet pldul az, hogy a tengelyes t kr zs nem skmozgs. Hatkony az rsvettvel val modellezs a skmozgsok (eltols, elforgats) bemutatsa sorn is. Az eltolsnl a kt rtegben egymsra helyezett flia k z l a fels egy r gztett vlyban" mozdulhat el, a forgatsnl pedig egy m anyag patent modellezi a r gztett pontot". Fontosnak tartjuk a fogalmak szemlleti megalapozst. A bevezet fejezet mintapldi s feladatsorai ezt a clt szolgljk. A kompetenciamrseknek ehhez az anyagrszhez kapcsold feladataival akkor boldogulhatnak a tanulk, ha kellen fejlett a kpi problmamegold gondolkodsuk, amelyhez nlk l zhetetlenek a tnyleges ksrletezgetsek, meg gyelsek. A vektorral nem csak azrt foglalkozunk, mert sz ksges az eltols rtelmezshez, hanem azrt is, mert a zikban is tallkoznak vele a tanulk. 50
A tananyag-feldolgozs csompontjai 1. Az elz vfolyamokban mr konkrt tapasztalatokat szereztek a tanulk a transzfor-
2.
3.
4.
5.
6.
mcikrl. Ezeket a tapasztalatokat ebben a tanvben sszegy jtj k, rendszerezz k s jabbakkal bvtj k ki. A f ggvnyfogalom tudatostsa utn, az ltalnosabb rtelmezsnek megfelelen, a sk pontjainak egyrtelm lekpezst mint pont-pont f ggvnyt nevezz k geometriai transzformcinak. A fogalom kialaktshoz sz ksges, hogy ellenpldkkal is tallkozzk a tanul. Ezrt tallkozzk egyrszt olyan megfeleltetsekkel, amelyek nem egyrtelm ek, teht nem transzformcik, msrszt ker lj n sor nem egybevgsgi transzformcik vizsglatra is. Jtkos feladatokon kereszt l foglalkozunk az egybevgsgi transzformcikkal. A tananyag spirlis felptsnek ezen a szintjn mg nem lehet clunk a de ncik megfogalmazsnak, a tulajdonsgok felsorolsnak, illetve a szerkesztsek pontos vgrehajtsnak a szmonkrse. Feladatunk a rugalmas kpi gondolkods fejlesztse, a geometriai szemllet alaktsa. Emelt szinten, jobb csoportban alapszinten is: Ha korbban rtelmezt k a vektor fogalmt, akkor ennek felhasznlsval pontosthatjuk az eltols fogalmt is mint olyan ponttranszformcit, amely skmozgs. Ksbb az eltolshoz kapcsoldva a prhuzamos szr sz gprok k z l rtelmezz k az egylls sz geket s a trssz geket. 8. osztlyban az eltolst is jra trgyalja a tank nyv gy, hogy el is mlythetj k a 7. osztlyban tanultakat. Feleleventj k s tudatosabb tessz k (beptj k a fogalomrendszerbe) a tengelyes t kr zsrl s a tengelyesen szimmetrikus skidomokrl tanultakat. Emelt szinten A tengelyes t kr zs tulajdonsgait szerkesztsi s bizonytsi feladatok megoldsban alkalmazzuk. K l n fejezetben vizsgljuk a k zppontos t kr zst. Tudatostjuk, hogy a k zppontos t kr zs specilis forgats. Ehhez kapcsoldva rtelmezz k a fordtott lls sz geket. rtelmezz k a k zppontos szimmetrit. A korbban megismert ngysz gek, szablyos soksz gek k z l ellltjuk s vizsgljuk a k zppontosan szimmetrikusakat. Emelt szint A k zppontos t kr zs s szimmetria tulajdonsgainak alkalmazsaknt szerkesztsi s bizonytsi feladatokat oldunk meg. Vizsgljuk a forgatst s a forgsszimmetrikus alakzatokat. Az alapszint k nyvben csak a ksrletezgets, meg gyels szintjn. A bvtett k nyvben a negatv, illetve pozitv elforduls rtelmezse utn rtelmezz k a forgatst, vizsgljuk a tulajdonsgait. Esetleg foglalkozhatunk az elforgatott kp megszerkesztsvel is.
Az egybevgsgi transzformcik sszefoglalsra s rendszerezsre, az eltr s az azonos tulajdonsgok kiemelsre 8. osztlyban is sor ker l. 51
Kapcsoldsi lehetsgek Halmaz, logika A geometriai transzformci rtelmezsnl, valamint az alakzatok vizsglatnl, rendszerezsnl, az sszef ggsek megfogalmazsnl alkalmazzuk a halmazelmleti s logikai ismereteket s eszk z ket.
Sz mtan, algebra Szmols racionlis szmokkal: koordinta-rendszerben transzformcival kapott alakzatok pontjainak, vektorok vgpontjainak meghatrozsa forgatsok egyms utni elvgzsekor az elforduls mrtknek kiszmtsa stb. (Tk. 3.01., 3.10., 3.16., 3.19., B3.06{B3.08., B3.22. Gy. 6.05., 6.08.) Ter letszmtsok, t rtrsz kiszmtsa, arny (Tk. 3.21{3.24.).
Rel cik, fggvnyek Koordinta-rendszer: Tk. 3.01., 3.10., 3.16., 3.19. A geometriai transzformci is f ggvny. A ponthoz pontot rendels szablyai az egyes feladatoknl sz vegesen, illetve matematikai sszef ggs formjban tallhatk.
A mrs, a geometria egyb tmakrei Alkalmazzuk a hosszsgmrsrl s a sz gmrsrl tanultakat. Az egybevgsgi transzformcikkal val ismerkeds sorn a mr meglv geometriai fogalmakra s az ismert szerkesztsi eljrsokra pt nk. Az egyes transzformcik tulajdonsgait alkalmazva hromsz geket, ngysz geket szerkeszt nk.
A tananyag-feldolgozs ttekintse Ismerkeds a pont-pont fggvnyekkel A Tk. 3.01. feladat s az 1. plda rszfeladatai egymssal sszef ggk, clszer mindegyiket megoldatni, majd a tapasztalatokat egy ttesen megbeszlni s r gzteni. A feladatok segtsgvel felfrisstj k a tanulk koordintageometrival, f ggvnyfogalommal, geometriai transzformcival, tengelyes t kr zssel kapcsolatos ismereteit, elksztj k az eltolsnak s a k zppontos t kr zsnek mint transzformcinak a tantst. Pldt mutatunk olyan transzformcikra (torzts, nagyts), amelyek nem sz gtartk, illetve nem tvolsgtartk. Komplex mdon foglalkozik a k l nb z egybevgsgi transzformcikkal a 2. mintaplda s a fejezetben tallhat t bbi feladat is. 52
Ezeknek a feladatoknak a feldolgozsval szemlleti alapot nyjthatunk az egybevgsgi transzformcik fogalmnak megalapozshoz, s azon tlmenen a kpi gondolkods fejlesztshez. A geometriai transzformcit olyan f ggvnyknt rtelmezz k, amelynek az rtelmezsi tartomnya s a kphalmaza is ponthalmaz. Az egybevgsg tvolsgtart transzformci. Az egybevgsgi transzformcik vizsglatakor t rekedj nk arra, hogy a tanulk ismerjk f l a tengelyes t kr zst, a t kr zs tengelyt az eltolst, az eltolst meghatroz vektort az elforgatst, az elforgats k zppontjt, illetve az elforduls sz gt.
Az elmozdul s megad sa ir nytott szakasszal. A vektor A vektor fogalmt elssorban a zikban tanult vektormennyisgek rtelmezse cljbl vezetj k be. Ugyanakkor majd az eltolst { mint transzformcit { is a vektor segtsgvel tudjuk jellemezni. A deduktv bevezetsi mdot el akartuk ker lni, ezrt gyakorlati letbl vett pldkkal mutatunk r a vektor termszetes voltra. Ebbl a szempontbl a tank nyvi brk, valamint az brk rtelmezshez sz ksges sz veg feldolgozsa a legfontosabb. A feldolgozs sorn vljk nyilvnvalv, hogy a vektor abban k l nb zik a szakasztl, hogy nemcsak hossza, hanem irnya is van. Egymssal prhuzamos vektorok sszeadsval csak a bvtett vltozatban foglalkozunk. A mintaplda megoldsa sorn az els megllaptsunk ne az legyen, hogy kt vektor sszege is vektor, hanem az, hogy kezdpontbl vgpontba jutottunk: a kezd", illetve vg" jelzk nemcsak hosszsgot, hanem irnyt is jeleznek, teht vektort hatroznak meg. Nem kvntuk az ismeretanyagot a skvektor, illetve a trvektor kifejezsekkel bvteni, bonyoltani. E kifejezsek hasznlata nlk l is megoldhatk mindazok a tank nyvi feladatok, amelyek trvektorral kapcsolatosak (Tk. B3.02{B3.03.).
Eltol s Az eltols trgyalshoz 8. osztlyban visszatr nk, ezrt most elssorban az ismerkeds, tapasztalatszerzs legyen a clunk. Idhiny miatt most esetleg el is hagyhat ennek az anyagrsznek a feldolgozsa. Az ltalnos iskolai tanul eddigi tanulmnyai sorn minden egybevgsgi transzformcival megismerkedett, k z l k a tengelyes t kr zssel viszonylag rszletesen. Mr als tagozatban, de fleg a 6. osztlyban a tengelyes t kr zs lnyeges tulajdonsgait konkrt feladatokat megoldva, sok esetben modellezssel, ksrletezgetssel fedezte fel a tanul, fedeztette fel a tanr. Vlemny nk szerint az eltols is olyan transzformci, amelynek megismerse szles k r manipulatv tevkenysget k vetel meg a tanultl, s csak a tapasztalatszerzs tjt bejrva vlik teljesen rthetv az eltolsra adott tank nyvi meghatrozs. 53
Az eltols esetben ugyanis { a tengelyes t kr zshez viszonytva { bonyolultabb a vizsglds. Egy-egy alakzat (pldul irnytott szakasz) mozgatsa esetn azt kell vizsglni, hogy az elmozduls irnya s nagysga miknt befolysolja az alakzat mrett s mozgsnak irnyt. E vizsglds eredmnye: 1. Ha a szakasz brmely kt pontja (pl. a kt vgpontja) egyazon irnyban ugyanakkora utat tesz meg, akkor a szakasz hossza nem vltozik meg, irnya pedig az eredeti szakaszval prhuzamos marad. 2. Ha a szakasz vgpontjai egyazon irnyban mozognak, de ek zben k l nb z nagysg utat tesznek meg, akkor az ltaluk meghatrozott szakasz hosszsga az eredeti szakaszhoz viszonytva megvltozhat, irnya pedig nem lesz felttlen l prhuzamos az eredeti szakasszal. Az nem fordulhat el, hogy egyidej leg mind a vgpontok k z tti tvolsg, mind az ltaluk meghatrozott irny vltozatlan marad. 3. Ha a vgpontok k l nb z irnyban ugyanakkora vagy k l nb z nagysg utat tesznek meg, akkor az e pontok k zti tvolsg megvltozhat, s az ltaluk meghatrozott irny sem lesz felttlen l prhuzamos az eredeti szakasszal. Ez esetben sem fordulhat el az, hogy egyidej leg vltozatlan marad mind a pontok tvolsga, mind a pontok ltal meghatrozott irny. Mindezek a megllaptsok azt jelentik, hogy egy irnytott szakasz s a kpe akkor s csak akkor egyenl, ha a kezd- s a vgpontja azonos irnyban ugyanakkora tvolsgra mozdul el. (Felttelezz k, hogy az irnytott szakasz merev test", a mozgats sorn teht brmely kt pontjnak egymstl mrt tvolsga nem vltozik.) Az 1{3. pontokban emltett tapasztalatok megszerzsre igen alkalmasak azok a feladatok, amelyekben ngyzetrcson vagy hromsz grcson vizsgljuk szakaszok transzformcijt (Tk. 3.01. b) Gy. 6.08{6.11. feladat). A szakaszt esetleg szvszldarabbal modellezhetj k. Mind a ngyzetrcs, mind a hromsz grcs leegyszer sti az irnyok, hosszak megllaptst, sszehasonltst. Nhny tovbbi didaktikai jelleg megjegyzs: Hvjuk fel a gyelmet a pontkoordintk pontos leolvassra. A tves adatok felismerse s korriglsa az ismeretek bvtst eredmnyezi. Ha sz ksges, tovbbi olyan pontprokat is megadhatunk, amelyekkel az 1{3. pontban kifejtettek igazolhatk. A ter letszmts gyakorlsa cljbl kiszmttathatjuk a vizsglt soksz gek ter lett. Ezeknek a feladatoknak a feldolgozst azrt is ajnljuk, mert a tapasztalatszerzs mellett alkalmasak a koordintageometriai ismeretek alkalmazsra, bvtsre, a kombinatv kpessgek fejlesztsre. A feladatok { funkcijuk szerint { hrom csoportba oszthatk: a fogalom megrtst elsegt (Tk. 3.01. b) Gy. 6.08{6.11. feladat) a szerkeszts technikjt elsegt, gyakorl (Tk. B3.12., B3.18. feladat) a geometriai szemlletet fejleszt (Tk. 3.04{3.05., B3.02{B3.03., B3.17. feladat). 54
Tengelyes tkrzs, tengelyesen szimmetrikus skidomok Ebben a rszben { a koncentrikus bvts elvnek megfelelen { nemcsak a tengelyes t kr zsrl tanultakat ismtelj k t, idzz k fel, hanem a mr ismertek alapjn a fogalmakat tovbb mlytj k, az alkalmazsok k rt pedig tovbb szlestj k. Az ltalnos iskolai matematikatanuls egyik alapvet vonsa a prblkozson, ksrletezsen, meg gyelsen alapul ismeretszerzs. Emiatt fennll annak a veszlye, hogy ezt az induktv ismeretszerzsi folyamatot teljes rtk bizonytsnak tekintik a tanulk, vagyis a sejtst bizonytsknt kezelik. Ezrt fontos a bizonyts ignynek kialaktsa. Ezt a clt szolglhatja pldul, ha a tank nyvben felsorolt tulajdonsgok bizonytst is krj k a tehetsgesebb tanulinktl.
Kzppontos tkrzs A Tk. 3.17. feladat feldolgozst hatkonyabb tehetj k, ha k zvetlen l eltte tnylegesen { minden tanult bevonva { le is jtszatjuk a trsasjtkot. (Pldul a padtrsak jtszanak, vagy a tanr jtszik az osztllyal stb.) A tanulk tapasztalat nyomn jutnak el ahhoz a felismershez, hogy a rendszertelen, vaktban val prblkozsnl jval rtkesebb a szintn tapasztalat tjn szerzett ngyes csoportokba oszts", de a biztos nyers stratgijnak a k zppontos t kr zs az alapja. Az elkszt feladatok (Tk. 3.17., 3.17.) megoldsa utn a tanulk eltt inkbb a transzformci megvalstsnak technikja vlik vilgoss, mintsem az, hogy a k zppontos t kr zs specilis (180 -os) elforgats. Ez utbbit a fejezet elejn olvashat szemlltets tanulmnyozsa sorn veszik szre { tanri irnyts segtsgvel { a tanulk, s gy k z s munka nyomn juthatunk el fontos k vetkeztetsekhez. A k zppontos t kr zs az elforgats specilis esete, a t kr z tt alakzat, teht az elforgatott alakzat minden tulajdonsgval (pldul egybevgsg) rendelkezik. Ltezik azonban olyan tulajdonsga (pldul a megfelel szakaszok prhuzamossga), amely az elforgatott alakzatokra ltalban nem jellemz. Teht az elforgatsok halmaznak valdi rszhalmaza a k zppontos t kr zsek halmaza. A szavakban val megfogalmazsa mdot nyjt az igaz llts nem minden esetben val megfordthatsgnak bizonytsra is: ha egy alakzat egy msik alakzat k zppontos t k rkpe, akkor annak elforgatott kpe ha egy alakzat egy msik alakzat elforgatott kpe, akkor annak nem felttlen l a k zppontos t k rkpe. A fejezethez kapcsold gyakorlfeladatok k z l a Tk. 3.20{3.23. feladat megoldsakor, a k zppontos t kr zs vgrehajtsn tlmenen, a hromsz g szerkesztst is ismtelj k, tovbb elkszthetj k a hromsz g ter letrl s a paralelogrammkrl ksbb tanulandkat. A 2. plda feldolgozsval elkszthetj k a k zppontosan szimmetrikus alakzat fogalmt. Konkrt alakzatok sszehasonltsval k l nb ztetj k meg a tengelyes s a k zppontos szimmetrit (ez a tanulk egy rsznek ksbb is gondot fog okozni).
55
Szgp rok Prhuzamos szr sz gek A prhuzamos szr sz gekre vonatkoz megllaptsokat a tank nyv kidolgozott pldjnak megoldsa nyomn fogalmazzuk meg (termszetesen lehetsges ms mdon val feldolgozs is). A sz gek szrai egyirnyak", a sz gek szrai ellenttes irnyak" nem magtl rtetd fogalmak, ezeket valamilyen mdon meg kell hatrozni. A tank nyv csupn rajzzal szemllteti, de nem de nilja ezeket a fogalmakat (ltalban a k zpiskolai k nyvek sem). Emelt szint tanulcsoport esetn felhvhatjuk a tanulk gyelmt arra, hogy a rajz alapjn prbljanak helyes szbeli meghatrozst adni. Ez esetben a szokratikus tantsi eljrs clravezet lehet. Az a tapasztalat, hogy (eleinte) a prblkozsok k zvetlen l vagy k zvetve circulus vitiosushoz vezetnek: a tanulk az egy irnyban, ellenttes irnyban szavakat hasznljk a meghatrozs k zben. A tanr segt mondata (a skot bontsuk egyenessel kt flskra) helyes meghatrozst eredmnyezhet. Pldul: Kt { nem egy egyenesbe es { prhuzamos flegyenest egyirny nak nevez nk, ha a kezdpontjaikon thalad egyenes a kt flegyenest nem vlasztja el. (Az elvlaszts azt jelenti, hogy a flegyenesek nem egyazon flskban haladnak.) Az ellenttes irny flegyenesekre vonatkoz meghatrozs ezek utn mr k nnyebben megalkothat. A helyes meghatrozshoz val eljuts kollektv munka eredmnye. Clja nem csak az ismeret megszerzse. Az alkalmazott { szokratikus { mdszer kialakthatja a fogalmak pontos meghatrozsnak ignyt, fejlesztheti a matematikai intelligencit biztostja a kulturlt vitakszsget, az igazsg fokozatos megk zeltst, s mg j nhny oktatsi s nevelsi cl megvalstst. Fordtott lls sz gek A cs cssz gek s a vltsz gek fogalmt, a vel k kapcsolatos egyenlsget a k zppontos t kr zs alkalmazsaknt vezethetj k be. A fordtott lls sz gek fogalmnak kialaktsakor hangslyoznunk kell, hogy ha egy egyenest 180 -kal elforgatunk, akkor az eredeti egyenes s a kpe prhuzamos egymssal. Ezt a szemlletre tmaszkodva elfogadjuk. Ebbl k zvetlen l k vetkezik, hogy a flegyenes k zppontos t k rkpe egy vele prhuzamos, de ellenttes irny flegyenes. A Tk. 3.28. s 3.29. feladatok feldolgoztatsval rvilgthatunk a sz gproknak a geometriai vizsglatokban bet lt tt szerepre.
Az elfordul s mrse j anyag a pozitv s negatv elforduls s a forgssz g rtelmezse. Ennek tantst csak jobb csoportban javasoljuk, azrt hogy a forgats egzaktabb rtelmezse s vizsglata sorn mr ez ne okozzon gondot a tanulknak. Az irnytott sz g fogalma jl szemlltethet a Jobbra t!", Balra t!" paranccsal.
56
Forgat s, forg sszimmetrikus alakzatok Alapszinten a forgats nem k vetelmny. Elegend, ha pauszpaprra rajzolt bra segtsgvel meg gyelseket vgz nk (lsd a bevezet szemlltetst, illetve a Tk. 3.31. feladatot. Ez elegend ahhoz, hogy teljes kpet kapjanak a tanulk az egybevgsgi transzformcik rendszerrl. Mindenkppen utaljunk vissza arra, hogy a k zppontos t kr zs specilis elforgats. Emelt szinten, jobb kpessg csoportban megmutathatjuk a forgatssal ltrej v kp megszerkesztsnek mdjt, meg gyeltethetj k a forgats mint egybevgsgi transzformci tulajdonsgait (1., 2. plda). Szablyos soksz gek forgatsval, p letdszek, virgok, hpelyhek, flbe vgott gy m lcs k vizsglatval gyeltethetj k meg a forgsszimmetrikat. A Tk. B3.11., B3.12. feladatok megoldshoz fejlett kpi szemlletre van sz ksg (felksz ls a kompetenciamrsre).
Gyakorl- s fejtr feladatok A gyakorlfeladatok olyanok, hogy megoldsukhoz az egybevgsgi transzformcikrl tanultak egszt alkalmazni kell. Ezrt e feladatokhoz kapcsoldva jl megvalsthat a tanultak sszegzse, rendszerezse, sszefoglalsa, de ezeken tlmenen a geometriai ltsmd s a kpi problmamegold kpessg fejlesztse is.
Tud sprba A tudsprbk feldolgoztatsval elkszthetj k a dolgozatot. Lsd 3. felmr dolgozat feladatsort. A tudsprba 7. s 8. feladatval mrhetj k, hogy a tanulk kpesek-e a tanultakat szokatlan feladathelyzetben alkalmazni.
57
4. Algebra Az algebrai kifejezsekkel { teht nem csak konkrt szmokkal { val mveletek elvgzse mindig komoly gondot jelentett a tanulknak. Ennek az az oka, hogy ez a tevkenysg nagyfok absztrakcit felttelez. Ha tanulink nem kpesek e gondolkodsi mveletre vagy nem elgg fejlettek e tren, szinte megoldhatatlan problmval talljk szemben magukat. Az absztrakcira val kpessg nem alakul ki magtl, komoly tanri tervez munkt ignyel. Hossz , nehz munka sorn lesz csak kpes a tanul erre a { matematikban nlk l zhetetlen { tevkenysgre. Ezrt is helyeselhet az a t rekvs, amely az algebra alapjainak lerakst mr als tagozatban megkezdi, s a gyerekekhez k zel ll pldk { konkrtumok { sokasgn kereszt l jut el 7. osztlyban az algebrai kifejezsig, azaz a gondolati absztrakciig. A betjel ls bevezetse nem ncl . Hasznlata nlk l zhetetlen a f ggvnyek, a geometriai szmtsok, az egyenletek, egyenl tlensgek, a zikai, kmiai szmtsok stb. tantsnl. Als tagozatban { kezdetben { a keretjel lst (tglalap, ngyzet, hromsz g, k r stb.) hasznljuk, ezzel is rzkeltetve azt, hogy az egyes keretekbe t bb szm is rhat, ks bb, fokozatosan tr nk t a vltozk betkkel val jel lsre. Ez a fokozatossg t bb vfolyamon kereszt l, lland tartalmi b v lst felttelezve valsulhat meg. Pldul a k vetkez feladatsoron rzkeltethet a fokozatossg, a konkrttl az absztraktig halads folyamata. a) rd fel 2-nek s 3-nak az sszegt! rd fel -nak s 3-nak az sszegt! rd fel -nak s -nek az sszegt! b) Most 13 ves vagyok. Hny v m lva leszek 22 ves? Most ves vagyok. Hny v m lva leszek 38 ves? Most ves vagyok. Hny v m lva leszek ves? c) Egy osztlyban 15 pad van. Ha minden padba 2 tanul l, akkor 1 hely resen marad. Hny tanul van az osztlyban? Egy osztlyban szm pad van. Ha minden padba 3 tanul l, akkor 2 tanulnak nem jut hely. Hny tanul van az osztlyban? Egy osztlyban szm pad van. Ha minden padba szm tanul l, akkor hely resen marad. Hny tanul van az osztlyban? d) rd fel 50 Ft-nak a 20%-t! rd fel Ft-nak a 40%-t! rd fel Ft-nak a %-t! E nhny kiragadott plda is rzkelteti, hogy nagyon sok tmak rt tudunk rinteni az algebrai kifejezsek tantsa sorn. Az is ltszik, hogy egy ilyen nehz" fogalom, megfelel konkrt pldkkal hogyan tehet a tanulk szmra kzzelfoghatv". Fontos a di erencilsi lehet sg az itt felsorolt pldknl, mert nagyon sok tanul nehezen jut el a pldasorozatban lthat 3. fokozatig". Ezek a tanulk sokig megmaradnak a konkrtsg" szintjn. a a
b
a x
y
a
a
x
a
a
58
b
y
A rendszerszemllet { a korbbi tmak r kh z hasonlan { itt is fontos a fogalomalkotshoz, hiszen ezltal alaposabb, tartsabb, alkalmazhatbb, transzferlhatbb ismereteket szerezhetnek a tanulk. Ebb l a szempontbl vizsgljuk meg, hogy az algebrai kifejezsek fogalmnak kialaktshoz milyen egymsra p l , egyszer s sszetett fogalmakat kell a tanulknak elsajttaniuk. Halmaz, elem, eleme. Alapmveletek, elnevezsek ( sszeads, kivons, sszevons, szorzs, oszts,
sszeg, k l nbsg, szorzat, hnyados). A 0 az osztsban. El jel! mveleti jel. Mveleti tulajdonsgok! zrjelek hasznlata! mveleti sorrend. "sszeg szorzsa, osztsa! szorzat szorzsa, osztsa. Hatvnyozs! hatvny, alap, kitev ! mveletek hatvnyokkal. Kifejezs, vltoz, egy tthat! egynem, k l nnem! egytag , t bbtag ! algebrai egsz s t rtkifejezs. Helyettestsi rtk meghatrozsa. #rtelmezsi tartomny. Az egyszer fogalmak k z l t bbet (halmaz, elem, eleme, mveletek, elnevezsek, el jel stb.) mr korbban megtantottunk, de 7. osztlyban { v elejn { ezek alapos ismtlse sz ksges, hogy a fogalomalkotsban tudjuk mihez kapcsolni az j ismereteket. A t bbi { korbban felsorolt { fogalomrl is szereztek mr a tanulk bizonyos alapismereteket, amelyekre most pthet nk.
Reduklt program Heti hrom rban mintegy 8 rval kevesebb id jut az algebrai kifejezsek trgyalsra, mint azokban a csoportokban, amelyek heti ngy rban tanuljk a matematikt. Ezrt itt ebben a tmak rben sem lehet teljessgre t rekedni. Inkbb az algebrai kifejezsek eszk zjellegt kell hangs lyoznunk. Ez azt jelenti, hogy annyit s olyan mlysgben kell megtantanunk e tmak rb l, amennyi az egyb tantrgyakban (zika, kmia, technika stb.), illetve a matematika ms tmak reiben (geometria, egyenletek, f ggvnyek stb.) nlk l zhetetlen. Az algebrai kifejezsek szorzatt bontsval mg el kszts ignyvel sem foglalkozhatunk. Ezt a NAT, illetve a Kerettanterv ennek a korosztlynak nem rja el . A tovbbi tmak r kben is kevesebb id jut a gyakorlsra, az sszetettebb feladatok megoldsra. Ezt a hinyt a k zpiskolba ksz l tanulinknak otthoni munkval vagy k l n foglalkozsokon ptolniuk kell. Az v vgi ismtlsre lnyegben nem marad id . Ezrt a szmtan, algebra, illetve a f ggvnyek tmak rben tanultakat az algebrai kifejezsek feldolgozsval prhuzamosan kell ttekinten nk, s a hinyossgokat di erencilt otthoni munkval (vagy korrepetlsok szervezsvel) ptoltatnunk kell. A tanmenetben apr betvel szedve utalunk, hogy mely ismereteket eleventhetj k fel s ismtelhetj k t. 59
A tananyag-feldolgozs csompontjai 1. Feleleventj k a mveletek fogalmt, gyakoroltatjuk a ngy alapmveletet a racionlis szmok halmazban. Tudatostjuk a mveleti tulajdonsgokat.
2. Elmlytj k a hatvnyozs fogalmt, rtelmezz k az alap, a kitev jelentst, tuda3.
4. 5. 6. 7.
8. 9.
60
tostjuk a mveletek sorrendjt, tovbb feleleventj k a hatvnyokkal vgzett mveletekr l s a szmok normlalakjr l tanultakat. #rtelmezz k az algebrai kifejezsekkel kapcsolatos fogalmakat, elnevezseket (algebrai kifejezs, egy tthat, vltoz! egynem, k l nnem algebrai kifejezsek). Az algebrai kifejezsek helyettes tsi rtkeinek kiszmtsnl gyakoroltatjuk a ngy alapmveletet s a hatvnyozst, a racionlis szmok k l nb z alakjaival. Ha tanulink (szban s rsban) megbzhatan szmolnak, akkor a helyettestsi rtk kiszmtshoz hasznltathatunk szmolgpet. Ezzel nemcsak id t szabadtunk fel az rdemi munkra, hanem ( egyszer" szmolgpek hasznlata esetn) tudatosabb vlik a mveletek helyes sorrendje is. A szmolgppel val szmolst mindig el zze meg az eredmny becslse (kerektett rtkekkel fejben" szmolva). Emelt szinten rtelmezhetj k az algebrai egsz s t rtkifejezsek fogalmt, vizsglhatjuk az algebrai t rtkifejezsek rtelmezsi tartomnyt. #rtelmezz k s gyakoroltatjuk az egynem kifejezsek sszevonst. #rtelmezz k s gyakoroltatjuk az egytag , majd t bbtag kifejezsek szorzst, osztst egytag kifejezssel. Alapszinten s a reduklt programban esetleg megelgedhet nk a t bbtag kifejezsek szmmal val szorzsval. T bbtag kifejezs szorzatt alaktsa kiemelssel. A reduklt programban nem foglalkozunk ezzel az anyagrsszel. Az egyenletek, az egyenl tlensgek megoldsa sorn alkalmazzuk az algebrai kifejezsekr l tanultakat: az egynem kifejezsek sszevonst, a kifejezsek szorzst s szorzatt alaktst, s ezzel a mveletvgzst is gyakoroltatjuk. Jobb kpessg csoportban k l n foglalkozunk a t rtegy tthats egyenletek, egyenl tlensgek megoldsval. Az okozhat nehzsget, hogy algebrai kifejezsekre kell a t rtekre tanult eljrsokat (k z s nevez re hozst, t rtek sszevonst, szorzst, egyszerstst stb.) alkalmazni. Az egyszer sz veges feladatok megoldsnak menett a korbbi vfolyamokon is nagy rszletessggel tantottuk. 7. osztlyban gyakoroltatjuk, elmlytj k a sz veges feladatok megoldsnak algoritmust. K l n sen gyeln nk kell a tervksz tsre, a becslsre s az ellen rzsre. Jobb kpessg csoportban megismerkedhet nk az egyenletek, egyenl tlensgek grakus megoldsval. Vizsglhatjuk a lineris egyenletek megoldhatsgt. Ez alkalmat biztost a lineris f ggvnyr l tanultak integrlsra, j ter leten t rtn alkalmazsra.
Kapcsoldsi lehetsgek M veletek, m veleti tulajdonsgok Ebben a fejezetben a racionlis szmok minden tanult alakjval { ha tantottuk, akkor a normlalakkal is { clszer mveleteket vgeztetni, amihez a helyettestsi rtkek meghatrozsa s az egyenletek megoldsnak az ellen rzse ny jt lehet sget. A mveleti tulajdonsgok, a helyes mveleti sorrend biztos s alkalmazsra kpes tudsa nlk l nem lehet meghatrozni a kifejezsek helyettestsi rtkt, elvgezni a kifejezsek sszevonst, szorzst, szorzatra bontst. Ezrt a kifejezsekkel vgzett mveletek sorn jra s jra tudatostanunk kell a mveleti tulajdonsgokat, a zrjelek hasznlatrl tanultakat s a helyes mveleti sorrendet.
Hatvnyozs A hatvnyozsrl tanultakat is alkalmaznunk kell az algebrai kifejezsek rtelmezshez, helyettestsi rtk k meghatrozshoz. A kifejezsek szorzsra, osztsra, szorzatra bontsra (jobb csoportban) olyan feladatokat is feladhatunk, amelyekben alkalmazni kell az egyenl alap hatvnyok szorzsrl, osztsrl tanultakat.
Geometria A ter let-, ker let-, felszn-, trfogatkpleteket algebrai kifejezsek formjban fogalmazzuk meg, ezrt ezeknek a mennyisgeknek a kiszmtsa lnyegben algebrai kifejezs helyettestsi rtknek meghatrozsa. A tglalap ter letnek szmtsa modellknt szolgl az algebrai kifejezsek szorzsnak, illetve szorzatra bontsnak rtelmezshez. (Tk. 4.08., 4.09., 4.19. Gy. 3.07., 3.13., 3.42.)
Arny, arnyossg, szzalkszmts F leg a sz veges feladatok megoldsa sorn, az adatok k zti kapcsolatok felrsakor gyakoroltathatjuk ezeket az anyagrszeket. (Tk. 4.16., 4.23., 4.41. Fgy. 2.4.19., 2.5.01{22.)
Egyenes arnyossg, lineris fggvny Egyenletek, egyenl tlensgek grakus megoldsakor, illetve a lineris egyenletek megoldhatsgnak vizsglatakor k zvetlen l alkalmazzuk a lineris f ggvnyek brzolsrl tanultakat.
Halmazok, logika Egyenletek, egyenl tlensgek rtelmezshez, megoldshoz hasznljuk a halmazelmleti, logikai fogalmakat (alaphalmaz, igazsghalmaz, nyitott mondat stb.). 61
A tananyag-feldolgozs ttekintse M veleti tulajdonsgok Feleleventj k az algebrai kifejezsek tantshoz elengedhetetlen alapismereteket. A mveletek sorrendje s ennek a sorrendnek a zrjelezssel val megvltoztatsa sok problmt jelent a tanulk z mnek. Amg minden tanul biztos ismeretekkel nem rendelkezik e tmak rben, addig nem javasoljuk a tovbbhaladst, hiszen e nlk l lehetetlen az sszevons, a kiemels vgrehajtsa, a helyettestsi rtkek kiszmtsa, az egyenletek megoldsa. Hasonlan fontos az el jel s a mveleti jel fogalmnak pontos kialaktsa. Az itt jelentkez gondot az el jel kett s funkcijbl eredeztethetj k. Egyrszt a konkrt negatv szmokat (pldul: { 2! { 3! { 1,2 stb.), msrszt egy elem additv inverznek kpzst (szmok ellentettjt) jel lj k vele. Tovbbi problmval talljuk szemben magunkat, ha a {" el jel egy vltoz el tt ll. Ha megkrdezz k tanulinkat, hogy a { " rtke pozitv vagy negatv, nagy valsznsggel a tanulk t bbsge negatvot mond. Pldkkal s a helyettestsi rtkek kiszmtsval kell megmutatnunk, hogy a { " pp gy lehet pozitv, mint negatv, vagy 0. A problma gy kere az, hogy a vltoz magban hordja" az el jelt is. (Pldul: = 5! = { 2! = 0.) A hatvnyok tantsa sem j anyag. 5., 6. osztlyban s 7. osztlyban v elejn rtelmezt k a hatvnyokat, megmutattuk, mit rt nk alapon, kitev n. Ezekre az ismeretekre tmaszkodva alaktjuk tovbb a hatvnyfogalmat. A pozitv egsz kitev j hatvnyok csak kiindul alapjt kpezik a hatvnyfogalomnak, de az a denci, hogy n olyan -tnyez s szorzat, amelynek minden tnyez je , nem vihet t a 0, a negatv s a t rtkitev s hatvnyok denilsra. 7. osztlyban, emelt szinten rtelmezhetj k a 10 nempozitv egsz kitev j hatvnyait. (Alapszinten erre 8. osztlyban ker lhet sor.) Hvjuk fel a gyelmet arra, hogy nem helyes az a denci, amely szerint brmely szm 0-dik hatvnya 1, mert 00 nincs rtelmezve. Sok pldval kell megmutatnunk, hogy denci szerint: Minden 0-tl k l nb z szm 0-dik hatvnya 1. A 0 brmely pozitv hatvnya 0. a
a
a
a
a
a
n
a
Ismerkeds az algebrai kifejezsekkel Az algebrai kifejezs nagyon absztrakt s sok ismeretet ignyl fogalom. Pldul a { 2 3 kifejezs felttelezi, hogy az el jel, a mveleti jel, az egy tthat , a vltoz , a hatvnyalap, hatvnykitev fogalmt ismerik a tanulk. Az egy tthat fogalmnak kialaktst mr als tagozatban el ksztj k akkor, amikor azonos tagok sszegt szorzat alakjban ratjuk fel a gyerekekkel. Pldul: 2 + 2 + 2 = 3 2 (vagy 2 3) x
62
Fels tagozatban ennek egyszer ltalnostsa jelenik meg, amikor + + + helyett 4 -et (vagy 4-et) runk. Ebb l { k l n indokls nlk l { jutunk el oda, hogy nem csak a pozitv egsz szmok lehetnek egy tthatk: 3,5 ! { 21 . Mg pldul a 4 ! 5 3 visszavezethet k azonos tagok sszegre, addig a negatv vagy t rtegy tthats kifejezsek nem. B sgesen legyenek az rn olyan feladatok, ahol prhuzamba lltjuk a kitev s az egy tthat rtelmezst. gy elker lhetj k a k vetkez hibkat, vagy legalbbis cs kkenthetj k gyakorisgukat: 23 = 6 vagy 5 = 5 Az egy tthat sszegeredetnek", illetve a hatvny szorzateredetnek" hangs lyozsa hatkonyabb teszi ez irny munknkat. Pldul: 23 = 2 2 2 = 8 = 6 = 2 3 = 2 + 2 + 2 A hatvnyok el jelnek meghatrozsa is sok problmt jelent a tanulknak. Pldul: ({ )3 = { 3 , de ({ )6 = { 6 Zrjelezssel tehetj k egyrtelmv, hogy hogyan kell szmolnunk. El sz r a hatvnyozst, majd az ellentettkpzst ({ 1-gyel val szorzst) vgezz k el: { 24 = { (2 2 2 2) = { 16 A zrjelben lv kifejezsnek kpezz k a hatvnyt, vagyis el bb kpezz k a szm vagy kifejezs ellentettjt, s ezt hatvnyozzuk. ({ 2)4 = ({ 2) ({ 2) ({ 2) ({ 2) = 16 Ide kvnkozik mg, hogy ebben az egyszer kifejezsben: , hrom 1-es van elrejtve": 1 =11 Ezeknek az 1-eseknek az algebrai kifejezsek egyszerstsnl lesz nagy jelent sg k. A tanmenetben javasolt 2 ra kevs arra, hogy az itt felsorolt ismereteket elsajttsk a tanulk, gondot kell fordtanunk arra, hogy ezek a tmak r minden fejezetnl (s t ks bb egyb fejezeteknl is) megfelel hangs lyt kapjanak, s folyamatos ismtlsknt t bbsz r visszatrj nk rjuk. x
x
x
x
x
x
a
x
b
x
a
x
6
x
x
x
6
x
x
x
x
Algebrai kifejezs helyettestsi rtknek meghatrozsa A ks bbiek sorn gyakori, nagyon fontos anyagrsz. Egyrszt a szmolsi rutint fejlesztj k vele, msrszt a mveletek sorrendjt ismteltethetj k t, s nem utolssorban itt alapozzuk meg azt, hogy az egyenletek ellen rzshez nlk l zhetetlen helyettestsi rtkeket ki tudjk szmolni. Ezrt a tanmenetben javasolt 2 rn t l a tmak rre sznt minden rn szaktsunk id t ennek a gyakorlsra.
Egynem , klnnem algebrai kifejezsek. Egynem kifejezsek sszevonsa Szorosan sszetartozik e kt fejezet. Az egyenletek megoldshoz nlk l zhetetlen ismeretek tallhatk benn k. Javasoljuk, hogy addig, mg tanulink ismerete hinyos vagy 63
pontatlan, ne haladjunk tovbb, hanem a tanmenetjavaslattl eltr en 1{2 rt mg fordtsunk ezen anyagrsz megtantsra, vagy korrepetlson ptoljuk a hinyossgokat. A jobb kpessg tanulktl t bbtnyez s, hatvnyokat is tartalmaz kifejezsek
sszevonst is elvrhatjuk, mg a gyengbbeknl megelgedhet nk az olyan tpus akkal, amelyek a lineris egyenletek megoldshoz sz ksgesek.
Egytag kifejezs szorzsa, osztsa egytag kifejezssel Az egytag, t bbtag kifejezs denilsa nehzkes. A pontos, de bonyolult { s a tanulk szmra nehezen elsajtthat { denci adsa helyett megfelel pldkkal mutassuk meg, hogy mi a k l nbsg az egytag, illetve a t bbtag algebrai kifejezs k z tt. Ugyanis nem mondhatjuk, hogy az egytag algebrai kifejezsben csak szorzs vagy csak oszts szerepel, s sszeads, kivons nem, mert ez gy nem igaz. Pldul: az 5( + ) kifejezs egytag (amelynek az egyik tnyez je kttag ), de az ebb l kaphat 5 + 5 kifejezs mr nem egytag . A tank nyvben nem deniljuk ezeket a fogalmakat. Megfelel pldk sokasgval alaktsuk ki a tanulkban azokat. Az egytag kifejezsek szorzsnak, osztsnak tantsnl fontos e mveletek algoritmusnak elsajttsa. Nevezetesen: el sz r szorozzuk (osztjuk) az egy tthatkat, majd elvgezz k a vltozkkal a kijel lt mveletet. Azt is fontos tisztznunk, hogy csak azonos alap hatvnyok szorzatt tudjuk egyszerbben" felrni, ms esetben csak kijel lj k a vltozk szorzatt (hnyadost). Pldul: 2 3 2 = 6 3 Felhvjuk a gyelmet a di erencils sz ksgessgre s lehet sgeire. Alapszinten, minimumk vetelmnyknt megelgedhet nk olyan kifejezsek szorzsval, osztsval, amelyeket az egyszerbb egyenletek megoldsnl alkalmaznunk kell (pldul: legfeljebb els fok egytnyez s kifejezs szorzsa), mg az emelt szinten tanulk esetn a t bbtnyez s, a hatvnyozs azonossgainak ismerett is megkvn kifejezsek szorzst, osztst is elvrhatjuk. Ennek az anyagrsznek az ismerete nlk l zhetetlen a ks bbi fejezetek tantshoz (pldul t bbtag kifejezs szorzsa egytag val), gy javasoljuk, hogy addig ne haladjunk tovbb, mg a sz ksges ismeretek birtokban nincsenek a tanulk. x
y
x
y
xy
x
x
y:
Tbbtag kifejezsek szorzsa egytag kifejezssel Javasoljuk a ter letmodellek felhasznlst ezen anyagrsz tantsakor. gy rthet bb, maradandbb, s a gyengbb tanulk szmra is k vethet bb a zrjelbonts. Az egyenletek megoldshoz nlk l zhetetlen ismeret, fontos az alapos begyakorlsa. Ha a tanmenetben javasolt kt ra kevs erre, akkor a fejezet vgre tervezett gyakorlrkon t lmen en a folyamatos ismtls sorn is sznjunk id t erre az anyagrszre. Minimlis k vetelmnyknt az els fok sszeg szorzsa szmmal vrhat el. Ez a mvelet nlk l zhetetlen az egyszer lineris egyenletek megoldshoz. T bbtag kifejezs szorzsa t bbtag kifejezssel k zpiskolai tananyag. Emelt szinten esetleg 8. osztlyban foglalkozhatunk vele.
64
Tbbtag kifejezs szorzatt alaktsa kiemelssel Az el z fejezettel szinkronban tantand. A zrjelbonts szablyt" mr megismertk a tanulk, teht ha egy sszeget szorzatt alakttatunk, akkor r gt n ellen riztetj k az eredmny helyessgt. A ter letmodell alkalmazst itt is javasoljuk. Sz ksges di erencilnunk: A tank nyv, a gyakorl s a feladatgyjtemny feladatai lehet v teszik, hogy a k zpiskolba ksz l k szmra a tanulk szintjnek megfelel feladatokat vlogathassunk, mg a t bbiek szmra megelgedhet nk olyan feladatokkal, amelyek az egyszerbb egyenletek megoldshoz sz ksgesek. A reduklt programban nem foglalkozunk ezzel az anyagrsszel.
Algebrai egsz kifejezsekkel vgzett m veletek gyakorlsa A b vtett tank nyvben szerepl fejezet. A folyamatos ismtlshez biztost feladatokat.
Egyenlet, egyenltlensg, azonossg, azonos egyenltlensg Az els szakaszban a 6. osztlyban tanultak ismtlse, a fogalomrendszer tudatostsa s ttekintse a feladatunk. Olyan nyitott mondatknt deniljuk az egyenletet, amelyben algebrai kifejezseket az egyenl sg jelvel kapcsolunk ssze. Ez nem mond ellent a korbbi dencinak, de gy matematikailag jobban kezelhet , hiszen az egyenletek megoldsa sorn a kt oldalon ll algebrai kifejezseken azonos, illetve ekvivalens talaktsokat vgz nk. A megoldsi mdok k z tt olyan eljrsok is el fordulnak, amelyek nem sorolhatk a mrlegelvvel, a lebontogatssal, a prblgatssal val megolds egyikbe sem, hanem az algebrai kifejezsek talaktsa tjn oldjuk meg (pldul az 2 { 9 = 0 egyenlet ( { 9) = 0 egyenlett alakthat, ami utn a szorzat 0 voltt vizsgljuk). Ms esetben a grakus megoldst alkalmazzuk. x
x
x x
Egyenletek megoldsa a kt oldal egyenl vltoztatsval A mrlegelvet 6. osztlyban kt-hrom lpsben megoldhat egyenletek esetben alkalmaztk a tanulk. A legt bb tanul szmra nehzsget jelent a tanultak feleleventse. Ezrt egyenl kar mrleggel most is szemlltetn nk kell az elvgezhet lpseket. Ebben az vben a k vetkez ter leteken lp nk tovbb: Az egyenletekben szerepl kifejezsekben, illetve a megolds lpseiknt el fordulhat az ismeretlenek, illetve a szmok sszevonsa. Tudatostsuk, hogy az egynem kifejezsek sszevonsrl tanultakat alkalmazzuk. A kifejezsek sszevonsa sorn alkalmazzuk a zrjelbontst. Alkalmazzuk a t rtekkel vgzett mveletekr l tanultakat. Az algebrai kifejezseknl tanult minden ismeret gyakoroltathat itt, s t a megoldsoknl nlk l zhetetlenek ezek az ismeretek. Az ellen rzst minden megolds utn k vetelj k meg a tanulktl! 65
Egyenltlensgek megoldsa a kt oldal egyenl vltoztatsval Egyenl tlensgek megoldsa mrlegelvvel t bb mozzanatban k l nb zik az egyenletek megoldstl. Felismertetj k s tudatostjuk, hogy ha az egyenl tlensg mindkt oldalt ugyanazzal a negatv szmmal szorozzuk vagy osztjuk, akkor az egyenl tlensg irnya megvltozik. A megolds ellen rzshez ltalban t bb szmot kell behelyettesteni a tanulknak, illetve alkalmazniuk kell a komponensek vltoztatsrl tanultakat (lsd 3. pldban az ellen rzst). A megolds rtelmezshez clszer szemlltetn nk a megoldshalmazt a szmegyenesen.
Trtegytthats egyenletek s egyenltlensgek megoldsa A b vtett tank nyvben szerepl fejezet. Az el z kt fejezetben is el fordultak egyszer t rtegy tthats egyenletek, egyenl tlensgek. Ennek a fejezetnek a feladatsorai az ott meggyeltek tudatostst, begyakorlst szolgljk. 7. osztlyban mindenkppen kt lpsben vgeztess k el a t rtek k z s nevez re hozst s a kt oldal szorzst a k z s nevez vel (lsd a kidolgozott mintapldkat). Kezdetben a k z s nevez re hozskor zrjellel jel lj k ki, hogy mivel szorozzuk a szmllt (lsd a mintapldk megoldst). Ezzel tudatostjuk a t rtvonal zrjel funkcijt". A zrjel alkalmazsa k l n sen akkor fontos, ha a t rtvonal el tt kivonsjel van (2. s 5. plda).
Szveges feladatok megoldsa egyenlettel, egyenltlensggel A sz veges feladatok gazdag vlasztkban az eddig tanult anyagrszek majdnem mindegyike megtallhat. (Geometriai szmtsok, arny, szzalk, szmelmlet, sorozatok, kombinatorika stb.) Ez egyrszt lehet sget teremt a folyamatos ismtlsre, msrszt meg tudjuk mutatni a matematikai fogalmak k zti sokrt kapcsolatrendszert. A sz veges feladatok mdszeres megoldst mindenkppen javasoljuk, mg akkor is, ha id ignyes, mert ezltal a munka megtervezsre, rendszeressgre, alapossgra,
nellen rzsre szoktatjuk a tanulkat, s fejlesztj k bizonytsi igny ket s tl kpessg ket. Rajz, tblzat, grakon ksztst is szorgalmazzuk, mert ezzel tudjuk az elemz s adatok k zti kapcsolatfeltr munkt megk nnyteni. Az egyenlettel val megolds mellett buzdtani kell a tanulkat az egyenlet nlk li, k vetkeztetssel val megoldsokra is. Tudatostsuk, hogy az ellen rzst mindig a sz veg alapjn kell elvgezni, s sz veges vlaszban kell megfogalmazni a megoldst. Ezzel kiszrhetj k az egyenletmegolds szempontjbl hibtlan, de a feladat tartalma szerint ellentmondsos megoldsokat (pldul ha 13 ves a nagymama, vagy a hromsz g esetn nem teljes l a hromsz gegyenl tlensg). 66
Egyenletek, egyenltlensgek grakus megoldsa A tank nyv b vtett vltozatban szerepl fejezet. Alapszinten, f kppen reduklt raszm mellett csak 8. osztlyban dolgozzuk fel ezt az anyagrszt. Ebben a fejezetben a f ggvnyekr l eddig tanultak alkalmazsra ker l sor. Meghatrozzuk az rtelmezsi tartomnynak azokat az elemeit, amelyek esetn a f ggvnyrtkek egyenl k. A f ggvnyrtkek egyenl sge azt jelenti, hogy a grakonoknak van k z s pontja. Mivel azon abszcisszt keress k, ahol az ordintk megegyeznek, clszer a metszspontot (az tengellyel prhuzamosan) levetteni az tengelyre. Az egyenl tlensgek grakus megoldsnl azt javasoljuk, hogy a metszspontokra helyezett, az tengellyel prhuzamos vonalzl tengely menti pozitv-negatv irnyban val elmozdtsval mutassuk meg, hogy adott esetn melyik grakon pontjai helyezkednek el a msik felett. Az egyenletek s az egyenl tlensgek grakus megoldshoz megfelel reszk z k sz ksgesek, de ltalban gy is csak k zelt megoldsokat tudunk adni. K zelts nk pontosabb lehet, ha a tengelyeken az egysgeket clszeren vlasztjuk meg. A grakus megolds mellett algebrailag is megoldathatjuk az egyenletet. A kt megoldst egy ttal egyms ellen rzsre hasznlhatjuk fel. A tanulkkal, konkrt feladatok megoldsa sorn, ismertess k fel, hogy ha az egyenlet kt oldaln lv kifejezs azonos, akkor a kt egyenes egybeesik, az egyenletnek vgtelen sok megoldsa van. Ha egyetlen k z s pontja sincs a kt grakonnak (prhuzamos egyenesek), akkor nincs megoldsa az egyenletnek. y
y
x
x
x
Egyenletek, egyenltlensgek megoldsnak gyakorlsa A tank nyv b vtett vltozatban szerepl fejezet. Di erencilsra, gyakorlsra, ismtlsre szolgl feladatok. A feladatok nagy szma nem teszi lehet v, hogy minden feladatot megoldassunk. A tanulk ignynek megfelel en felzrkztatsra, tehetsggondozsra vlogassunk a feladatok k z l.
Tudsprba A korbbi fejezetekhez hasonlan itt is csak mintul szolgl a feladatsor. Segtsget ad a tmazr mr lap tervezshez. Vltoztats nlk li megratst nem javasoljuk, mert gy tves informcit kapunk a tanulk tudsszintjr l. A tudsprba feleletvlasztsos feladatainak a megoldatsval a 8. osztlyos kompetenciamrsre is felksztj k tanulinkat.
67
5. Skidomok, testek Ez a fejezet a korbbi vfolyamokon tanult geometriai ismeretek, fogalmak, sszefggsek s szerkesztsi eljrsok feleleventse s kib vtse mellett a paralelogramma, a hromszg s a kr terletnek, illetve az egyenes hasb s az egyenes krhenger felsznnek s trfogatnak a kiszmtsval foglalkozik. A tmakr jellegnek megfelel en, a tananyag felptse sorn komplex m don alkalmazhatjuk szinte az egsz korbban tanult ismeretrendszert. A hromszg, ngyszg oldalair l s szgeir l a legfontosabb sszefggseket mr 6. osztlyban trgyaltuk. Ezeket most jra rszletezzk, kiegsztjk. Mg 6. osztlyban els sorban a tapasztalatra, szemlletre alapoztuk a megllaptsokat, addig most a kzppontos tkrzsr l, eltolsr l, a prhuzamos szgprokr l tanultakat alkalmazva egyes sszefggseket bizonytunk is. A tananyag spirlis felplse ezt lehet v s szksgess is teszi. A spirlis ptkezs azt is biztostja, hogy optimlisan igazodjunk egy-egy osztlyon bell a gyerekek tudsszintjhez, gondolkodsi kpessghez. A 6. osztlyos programban is hangs lyoztuk, hogy a trszemllet s a kpi gondolkozs kpessgnek fejlesztst nem oldhatjuk meg csupn 8. osztlyban (s t abban az letkorban tanul ink mintegy felnl mr nagyon nehezen rhetnnk el nevelsi cljainkat). Ezt a koncepci t kvetve 7. osztlyban is javasoljuk a trgeometriai vizsglatokat. A sks a trgeometria egy fejezetbe foglalsval j l kiaknzhatjuk a lehetsges ltalnostsokat (pldul szgtartomny { lapszgtartomny), illetve a kzenfekv anal gikat (skidomok tdarabolsa { hasbok tdarabolsa). A trgeometriai feladatok megoldsa alkalmat ad a korbban tanult skgeometriai ismeretek elmlytsre, gyakorlsra is. A trszemllet fejlesztse nem val sthat meg tnyleges trbeli tevkenysg (testek ptse s sztbontsa, lvzmodellek vizsglata, trelemek modellezse) nlkl. A 8. osztlyban s a kzpiskolban nehz helyzetbe kerlnek tantvnyaink, ha tapasztalati szinten nem alapozzuk meg ks bbi trgeometriai tanulmnyaikat. A tananyag-feldolgozs mlysgnek, formjnak s a feladatok szintjnek megvlasztsval tekintettel lehetnk pldul arra, hogy milyen a gyerekek 6. osztlyb l hozott tudsa milyen a gondolkodsi, illetve a feladatmegold kpessgk szintje milyen az osztly polarizltsga el relthat lag mekkora rszk megy gimnziumba, szakkzpiskolba, szakiskolba a tantsi rkon milyen munkaformk alakultak ki az el z vekben mennyire biztosak a tbbi tmakr kvetelmnyeiben. Mindezek gyelembevtelvel az adott tanul csoport szmra optimlisan megvlaszthatjuk a tananyag mennyisgt, a feldolgozs mlysgt, s kivlaszthatjuk a megfelel m dszert. Javasoljuk, hogy a szmtsokhoz a tanul k hasznlhassk a zsebszmolgpet. gy tbb feladattal foglalkozhatunk, s tbb id jut a geometriai sszef ggsek meglttatsra. 68
A tananyag-feldolgozs csompontjai 1. A korbban tanult ismeretek s szerkesztsi eljrsok feleleventse az osztly fel2.
3. 4.
5.
kszltsgnek megfelel szinten. Testek, sokszgek s a kr (korbban tanult) tulajdonsgainak vizsglata, felidzse. Sokszgek, testek csoportostsa klnbz szempontok szerint. A sokszg ker lete. A hossz sg mrtkegysgei. sszegyjtjk, kiegsztjk, rendszerezzk azokat a tapasztalatokat, ismereteket, amelyeket az el z vekben (s ebben az vben) a gyerekek a hromszgekr l, ngyszgekr l tanultak. A tulajdonsgok vizsglata sorn szksgszeren feleleventjk a korbban tanult geometriai fogalmakat (pldul a tengelyes, illetve a kzppontos tkrzst s szimmetrit). Vizsgljuk a hromszgek bels szgeinek sszegt, a bels s a kls szgek kzti kapcsolatot. A hromszg egybevg sgnak alapesetei alapjn szerkesztseket vgznk. sszegyjtjk s kiegsztjk azokat a. tapasztalatokat, amelyeket az el z vekben a ngyszgekr l tanultak a tanul k. rtelmezzk a trapz, a h rtrapz, a paralelogramma s a rombusz fogalmt, vizsgljuk a tulajdonsgaikat s a kztk lev kapcsolatot. Az ismeretszerzs, -b vts, -kiegszts m dja (a reduklt raszmban tanul k kivtelvel) most mr nem csak tapasztalatszerzsre pl. Eljutunk a bizonytsig is, persze csak kpessgknek s az id keretnek megfelel szinten. Klnbsget tesznk az alakzatok meghatroz tulajdonsgai s egyb jellemz i kztt. A kzpiskolba kszl s a mr kzpiskols tanul inknak ezt a lpst flttlenl meg kell tennik. Fokozatosan el kell jutniuk az ltalnos iskolban megszokott, a szemlleten alapul induktv ismeretszerzs szintjr l a kzpiskolkban elvrt deduktv trgyalsm dig (denci , ttel, bizonyts). A szerkesztsi feladatok megoldsa sorn most is hangs lyozzuk azokat a lpseket, amelyek segtik a fegyelmezett gondolkods, a pontossg alakulst. Ezek: rtelmezd a feladatot! Keress sszef ggseket! Tervezd meg a szerkeszts lpseit! Vgezd el a szerkesztst! Legynk ignyesek a szerkesztsek szpsgre, pontossgra, trekedjnk arra, hogy a tanul k is rmket leljk az rthet , ttekinthet , eszttikus munkban. Ellenrizd a megoldst! Tovbbra is tudatosan fejlesztjk a gyerekek kifejez kpessgt (anyanyelv s szaknyelv) a meghatrozsok, kvetkeztetsek, bizonytsok megfogalmaztatsval. Megkveteljk a terminol gia s a jellsek helyes hasznlatt. Keress jabb sszef ggseket s ms megoldst! Vizsgld meg a megoldhatsg feltteleit s a megoldsok szmt! Krdezhetjk pldul: Mirt van, illetve mirt nincs megolds? Mirt van tbb 69
6. 7. 8. 9. 10. 11.
megolds? Melyik felttelt hogyan kellene vltoztatni, hogy vltozzon a megoldsok szma? Az ilyen diszkusszi szinte minden szerkesztsi feladatnak fontos s hasznos lpse lehet. A ter let fogalma, mrtkegysgei. A tglalap, a paralelogramma, a deltoid, a trapz s a hromszg ter lete. Tetsz leges sokszg terletnek meghatrozsa a sokszg hromszgekre bontsval. A krrel kapcsolatos fogalomrendszer. A kr kerlete, terlete. Sokszglapokkal hatrolt testek (poliderek) ptse, tulajdonsgaik vizsglata, felsznszmts. A hasb mint specilis polider szrmaztatsa, tulajdonsgainak vizsglata, testhl ja, felszne. Klnbz hasbok hl jnak elksztse. A trfogatszmtsrl tanultak ismtlse. Az egyenes hasb trfogata, a tanultak gyakorlati alkalmazsa. Az egyenes krhenger szrmaztatsa, tulajdonsgai, felszne, trfogata. A tanultak gyakorlati alkalmazsa.
Dierencils A tananyag jellegb l az is kvetkezik, hogy a klnbz sznvonalon ll osztlyok (tanul k) szmra igen eltr m don vlaszthatjuk meg a feldolgozs m dszert, temt s absztrakci s szintjt. A dierencils nem a tananyag mennyisgben s tartalmban, hanem a feldolgozs mlysgben s a feladatok sszetettsgben val sthat meg. Minimumszinten elgedjnk meg azzal, hogy az alapvet sszefggseket a tanul nll an alkalmazni tudja egyszer feladatok megoldsban. (A szakiskolkban ltalban nem vrnak tbbet az ltalnos iskolt l.) A kzpiskolba ksz l, illetve kzpiskolai tagozatra jr tanul inkt l elvrhatjuk, hogy az sszefggseket nll an felismerjk, a denci kat pontosan (rtelmesen s alkalmazskpesen) megtanuljk, az egyszer bizonytsok gondolatmenett elsajttsk, a tanultakat sszetett feladatokban is kpesek legyenek alkalmazni. Az orszgos kompetenciamrseken (8. osztlyban) ehhez a tmakrhz kapcsol d an a trszemlletet s a kpi problmamegold kpessget vizsgljk. Testhl knak, lvz modellek rajzainak, ptett testek vagy a mindennapi letben el fordul testek nzeti rajzainak az rtelmezst, rcssokszgek terletnek meghatrozst vrjk el a tanul kt l. Ezrt ezeket az elvrsokat is minimumkvetelmnyeknek kell tekintennk.
70
Kapcsoldsi lehetsgek Halmazok, logika A fogalmak tisztzshoz, az sszefggsek felkutatsa, az alakzatok vizsglata s rendszerezse sorn j l alkalmazhatjuk a halmazokr l, illetve logikb l tanultakat. Ilyen tpus feladat pldul: lltsok igazsgnak eldntse, tulajdonsggal megadott halmaz elemeinek kivlasztsa Halmaz s rszhalmaz kzti kapcsolat vizsglata.
Kombinatorika Trelemek kzti kapcsolatok feltrsa. Sokszg tl i szmnak meghatrozsa. Megoldhat sg vizsglata, sszes megolds keresse.
Sz mtan, algebra A geometriai szmtsok alkalmasak a szmtan, algebra tmakrhz tartoz teljes ismeretanyag gyakorlsra, az ott tanultak gyakorlati alkalmazsra. Gyakoroltathatjuk a mrtkegysgek tvltst, a normlalak hasznlatt, a tizedestrtekkel, a trtekkel vgzett mveleteket, a hatvnyozst, a mveletek sorrendjr l, zr jelhasznlatr l tanultakat, a szzalkszmtst. Feleleventhetjk az arny, az egyenes s fordtott arnyossg fogalmt. Egyenlettel megoldhat szveges feladatokat oldathatunk meg. Pldul: a hromszgek, ngyszgek bels szgeivel kapcsolatosan a kerlet-, terlet-, felszn- s trfogatszmtssal kapcsolatosan. Az ltalnos sszefggsek megfogalmazsa, klnbz alakban val felrsa, a kpletek alkalmazsa az algebrai kifejezsek sszevonsr l, szorzsr l, szorzatra bontsr l, a helyettestsi rtk kiszmtsr l korbban tanultakat alkalmazzuk.
Rel cik, fggvnyek, sorozatok Sok feladatban alkalmazzuk a derkszg koordinta-rendszert. Vizsgljuk, hogyan fgg a sokszg cs csainak szmt l az tl k szma, az egy cs csb l kiindul tl k ltal meghatrozott hromszgek szma stb. Tetsz leges oldalhossz sg tglalap terletnek, illetve tetsz leges lhossz sg tglatest trfogatnak meghatrozsa sorn egyenes arnyossgi kvetkeztetssel igazoljuk az ltalnos sszefggst. A mrtkegysg tvltsakor felhvhatjuk a gyelmet a mr szm s a mrtkegysg kzti fordtott arnyossgra. A kerlet-, terlet-, felszn-, trfogatkpleteket is hozzrendelsi szablyoknak tekinthetjk, amelyek a klnbz alakzatokhoz egyrtelmen hozzrendelik a krdses mennyisg rtkt. Vizsgltathatjuk, hogyan vltozik a kplet szmrtke, ha vltoznak az adatok? Hogyan kell vltoztatni az adatokat, hogy a szmrtk ne vltozzk? 71
Hasbok vizsglata sorn sszefggst kerestethetnk az alaplap (hromszg, ngyszg, tszg, . . . ) cs csainak szma, valamint a hasb cs csainak, leinek, lapjainak szma kztt.
A tananyag-feldolgozs ttekintse Alapfogalmak, alapttelek Jobb kpessg, rdekl d tanul kkal, beszlgets keretben javasoljuk a feldolgozst (ha jut r id ). Ne krjk szmon ezeket a fogalmakat. Tudatostsuk, hogy 7. osztlyt l kezdve egyre inkbb trekednnk kell a fogalmak pontos rtelmezsre, denilsra s a felismert sszefggsek bizonytsra. A beszlgetsben arra is kitrhetnk, hogy mi a denci " s mi a ttel", mi kztk a klnbsg. Hogyan kell egy fogalmat denilni. A ks bbi fejezetek anyagnak feldolgozsakor, a fogalmak feleleventse sorn pldkat kereshetnk helyes denci kra, elemezhetjk a hibsakat.
Skidomok, sokszgek Ismtlsknt feleleventjk a skidom-sokszg fogalomkrrel kapcsolatos fogalmakat. Vizsgljuk a konvex s konkv skidomokat (sokszgeket). Meghatrozzuk a sokszgek kerlett, tl iknak szmt. A Tk. 5.06. feladat a kocka lvz modelljhez kapcsol d an trgeometriai problmkat vet fel.
H romszgek A kzpiskolba kszl tanul k szmra utalhatunk az 5. osztlyos matematikaknyvben tallhat (rszletez bb) meghatrozsra: A hromszg hrom oldala zr d trttvonalat (hromszgvonalat) alkot, s a hromszg a sknak az a rsze, amelyik ezen a trttvonalon bell van. A hromszg tulajdonsgainak vizsglata lehet sget ad: az eddigi tapasztalatok, ismeretek rendszerezsre az ismeretek rvid, szabatos megfogalmazsra a bizonyts mint (deduktv) ismeretszerzsi m dszer megismersre, alkalmazsra, a bizonytsi igny s a logikus gondolkods fejlesztsre egyb geometriai alapismeretek, alapszerkesztsek feleleventsre a halmazszemllet, kombinatorikus szemllet fejlesztsre. Ha a krlmnyek (osztlyltszm, raszm, a tanul k tudsa, rdekl dse) megengedik, a tananyag feldolgozst kombinatorikus problmval kezdhetjk. Pldul: 72
Hny egyenest hatrozhat meg 1 pont, 2 pont, 3 pont stb.? Ha azt is kiktjk, hogy 3 vagy annl tbb pont esetben egyik hrom sem esik egy egyenesbe, akkor a feladat a kombinatorika nyelvn megfogalmazva gy sz l: Adott n szm elemb l hnyflekppen vlaszthat ki kett ? Megjegyezhetjk, hogy alapttelnek tekintjk a kvetkez t: kt ponton t pontosan egy egyenes h zhat . A Tk. 5.07. feladatban is hasonl kombinatorikus gondolat van. Ha a lehet legtbb metszspont szmt krjk, akkor szintn n elem msodosztly kombinci inak szmt keressk. A feladat b vthet az egyenesek szmnak nvelsvel. A legjobbak val sznleg szreveszik, hogy n egyenes maximlis metszspontjnak a szma: n(n 2{ 1) A lehet legtbb metszspont esetben keletkezik a legtbb skrsz. Ha az egyenesek szma n, akkor a skrszek szma (n + 1)-gyel tbb a metszspontok szmnl: n(n { 1) + n + 1 = n2 { n + 2n + 1 = n(n + 1) + 1 2 2 2 A kapott skrszek szmval kapcsolatban megkrdezhetjk, hogy kzlk hny korltos, s a korltosak milyen sokszgek. Ebb l a gondolatmenetb l is ad dhat a hromszg tanknyvben lert meghatrozsa. A hromszg magassgval ebben a tanvben a terletszmtssal kapcsolatban is foglalkoztunk. Most csak feleleventjk. rdemes itt is megemlteni az oldal s oldalegyenes, a magassg s a magassgegyenes kztti kapcsolatot, illetve klnbz sget. A hromszg tulajdonsgainak sszegyjtse alkalmas a bizonyts mint ismeretszerzsi m dszer megismertetsre, alkalmazsra. A bizonyts sorn a meghatroz tulajdonsgot, az ismert alaptteleket (axi mkat) s a mr eddig bizonytott tteleket felhasznlva jabb sszefggshez jutunk. A hromszg-egyenl tlensg ttele a hromszg meghatrozsval s azzal az axi mval igazolhat , hogy kt pont tvolsga (a kztk lv legrvidebb t) a pontokat sszekt szakasz. A hromszg szgei kzti kapcsolatok kzl a tanknyvben el szr a kls szg s a nem mellette lv kt bels szg sszegnek egyenl sgt bizonytjuk, majd ezt a bizonytott ttelt hasznljuk fel a bels szgek sszegr l sz l ttel bizonytsra. A kt bizonyts sorrendje meg is fordthat . El szr a bels szgek sszegt bizonytjuk, s ezt a ttelt hasznljuk fel a kls szg tulajdonsgnak igazolsra. Pldul:
Ttel
Brmely hromszg bels szgeinek sszege 180 . Bizonyts: Jellje az ABC hromszg bels szgeit , , . A hromszg C cs csn t az AB oldallal prhuzamost h zunk. A szg mellett kt msik szg keletkezett. Ezek kzl az 0 az -nak, a 0 a -nak vlt szge, teht = 0 s = 0 . Mivel 0 + + 0 = 180 , az el bbiek miatt + + = 180 .
C α’ γ
α A
β’
β B
73
Egy msik bizonyts lehet a kvetkez : Tekintsk bizonytottnak, hogy brmely tglalap kt egybevg derkszg hromszgre bonthat . ABC4 = CDA4 ACB^ = CAD^ CAD^ + CAB^ = 90 , ACB^ + ACB^ = 90 . Ezrt a derkszg hromszg kt hegyesszgnek sszege 90 . Az ABC4-ben a C cs csb l mer legest h zunk az AB oldalra, kt derkszg hromszget kapunk. A kt derkszg hromszg kt-kt hegyesszgnek sszege ppen az ABC4 bels szgeinek sszegvel egyenl , ami az el z ek alapjn (90 +90 =) 180 . Ha el szr a hromszg bels szgeinek sszegr l sz l ttelt bizonytjuk, akkor ezzel a kls s bels szgek kapcsolatnak az igazolsa gy trtnhet: + = 180 s + + = 180 , ezrt = + . A hromszg oldalai s szgei kzti kapcsolattal a tanknyv b vtett vltozata foglalkozik.
D
C
A
B C
δ
γ
β
α A
B
ε
A α
δ
C
γ
β
ϕ B
Sokszor kell hangs lyoznunk, hogy egy ttelt csak azzal a ttellel bizonythatunk, amelyet alapttelnek fogadunk el, vagy amelyet mr el z leg bizonytottunk.
A h romszg szerkesztse A szerkesztsi feladatok megoldsa sorn vizsgljuk a kvetkez krdseket: A megadott adatok fggetlenek-e egymst l? Teljeslnek-e azok az sszefggsek, amelyeket a hromszg oldalair l s szgeir l tanultunk? Ha teljeslnek a felttelek, akkor egyrtelmen megszerkeszthet k a hromszgek? Azokban a szerkesztses feladatokban, amelyekben az adatok kzti kapcsolatok nehezebben vehet k szre, hvjuk fel a tanul k gyelmt a megolds lpseire (b vtett tanknyv 5. plda) Az egyrtelmen megszerkeszthet " kifejezs jelentse kti ssze a hromszgszerkeszts alapeseteit s az egybevg sg alapeseteit. Az egybevg sg alapeseteit sokszor felhasznlhatjuk egyb bizonytsok felptsben is, ezrt ezeket az ismereteket j l gyakoroltassuk be. A derkszg s egyenl szr hromszgek szerkesztst a 6. osztlyban rszletesen trgyaltuk. Most azt hangs lyozzuk, hogy ezek szerkesztse is 3 adatb l trtnik, de az adatok kzl egyet vagy kett t mr ismernk. A szerkesztsi feladatok megoldsa sok gyereknek mg magasabb vfolyamokon is gondot jelent. Minimumszinten nem lphetnk t l a hromszgszerkeszts alapese74
tein. Ezrt javasoljuk, hogy ebben a tmakrben gondosan mrlegeljk a dierencils lehet sgeit.
Ngyszgek Sokflekppen osztlyozzuk a ngyszgeket, felhasznlva az el z leg megismert tulajdonsgokat. Tbb oldalr l akarjuk megkzelteni azokat a tulajdonsgokat, amelyekkel egyrtelmen meghatrozhat k a specilis ngyszgek. Nem minden tanul t l vrhatjuk el a meghatroz s nem meghatroz tulajdonsgok kztti klnbsg felismerst. De ha tbbszr is tallkoznak az sszehasonltssal, megknnythetjk a kzpiskolai ismeretek befogadst. Ha az osztly szintje megengedi, akkor pldul a Tk. 5.26. feladat tovbbfejlesztsvel a logikai ismereteket er sthetjk. Az adott alaphalmazb l a B, az C s az F lltsokkal ugyanazok a ngyszgek vlaszt dnak ki. De ezekkel az lltsokkal brmilyen ms ngyszgek halmazb l vlogatva ugyanaz lenne az igazsghalmaz. Ezrt ezek az lltsok egymssal helyettesthet k. Felhvjuk a gyelmet a Gy. 7.64. feladatra. Ebben ttekintjk s elemezzk, hogy egyes ngyszgek hny adatb l szerkeszthet k meg.
Trapz A tanknyv bevezet 5.33. feladata lehet sget ad a paralelogrammk, specilis paralelogrammk s a szimmetrik ismtlsre. A trapz meghatrozsnak leggyakoribb m dja tallhat a tanknyvben. Erre plnek az elnevezsek is. Keressnk egyb meghatroz tulajdonsgokat a szgekkel kapcsolatban. Pldul: A trapz olyan ngyszg, amelyben van kt szomszdos szg, amelyek sszege 180 . Ebb l a meghatrozsb l kiindulva bizonythat , hogy a ngyszgnek van kt prhuzamos oldala. D C Bizonyts: γ δ + = 180 . A kt szg egyik szra kzs, teht trsszgek. A trsszgek szrai pronknt prhuzamosak: ABkDC. A ngyszg bels szgeinek sszegb l vagy kt oldal α β prhuzamossgb l ad dik, hogy a msik kt szg sszege: + = 180 A B A rendszerszemllet kialaktsa cljb l vetessk szre, hogy a h rtrapz tengelyesen szimmetrikus trapz (van cs csaira nem illeszked szimmetriatengelye), a paralelogramma kzppontosan szimmetrikus trapz. A tglalap rendelkezik mindkt tulajdonsggal, teht h rtrapz is s paralelogramma is. Figyeltessk meg, hogy a h rtrapz" elnevezs nem helyettesthet az egyenl szr trapz" elnevezssel, mert ez a tulajdonsga a paralelogrammnak is megvan. Nem 75
helyettesthet a &tengelyesen szimmetrikus trapz elnevezssel sem, mert a (nem ngyzet) rombusz is tengelyesen szimmetrikus trapz. Ezekkel a krdsekkel pldul a Tk. 5.33. feladat feldolgozshoz kapcsol dva foglalkozhatunk. A h rtrapz tulajdonsgait 6. osztlyban trgyaltuk. A trapzok halmazb l a kvetkez tulajdonsgokkal vlaszthat k ki: Az egyik alapjn fekv kt szge egyenl . Az egyik alap felez mer legesre tengelyesen szimmetrikus. 'tl i egyenl k. Krje kr h zhat (ezrt h rtrapz). A tkrssg miatt a szrak felez mer legesei a tkrtengelyen metszik egymst. Ez a metszspont mind a ngy cs cst l egyenl tvolsgra van (OA = OB = OC = OD). Ezrt ha a trapznak van az alapokat felez tkrtengelye, akkor kr h zhat krje. A h rtrapz nem meghatroz tulajdonsga: a szrai egyenl k.
t
D
C γ
δ
β
α
A
B
t
D
C γ
δ
O β
α
A
B
A trapz szerkesztse A tanknyv b vtett vltozatban szerepl fejezet. A hromszg szerkeszthet sgb l kiindulva llaptjuk meg a trapz szerkesztshez szksges adatok szmt. A trapzt egy egyenessel egy paralelogrammra s egy hromszgre bonthatjuk. Az 1. jel paralelogramma szerkesztshez hrom adat szksges, a 2. jel hromszghz mr csak egy jabb adat kell. Ez az
jabb adat a trapz egyik szra (a CB szakasz) vagy a kt alap klnbsge (EB szakasz). Ez a felbonts segt a trapz ngy oldalb l trtn megszerkesztsben.
D
C
1. 2. A
E
B
A paralelogramma sz rmaztat sa, tulajdons gai A tanknyvben a paralelogrammt a szemkzti oldalak prhuzamossgval hatrozzuk meg. A Tk. 5.26. feladattal kapcsolatban mr korbban is felismerhettk a tanul k, hogy a szemkzti oldalak egyenl sge s a kzppontos szimmetria is alkalmas tulajdonsg a paralelogrammknak a ngyszgek kzli kivlasztsra. A paralelogrammt a kt tulajdonsg kzl brmelyikkel meghatrozhatjuk. Ezeket a tulajdonsgokat alapszinten a szemlletre tmaszkodva llaptjuk meg. 76
Emelt szinten tanul k szmra megmutathatjuk, hogy brmelyik meghatroz tulajdonsggal bizonythat a tbbi tulajdonsg. Csak arra kell vigyznunk, hogy a bizonytsnl alkalmazott lltsokat alapttelnek (axi mnak) fogadjuk el vagy mr bizonytott ttelek legyenek. Pldul a felsorolt paralelogramma-tulajdonsgok kzl az els b l kvetkezik a msodik. A paralelogramma szemkzti oldalai prhuzamosak, ezrt a szemkzti oldalai egyenlk. Bizonyts Bizonytott lltsnak, ttelnek fogadjuk el a kvetkez ket: Kt hromszg egybevg , ha egy oldalban s a rajta fekv kt szgben megegyezik. Ha kt egyenl szg egy-egy szra prhuzamos, akkor a msik pr szr is prhuzamos. A kt szg vagy egylls , vagy fordtott lls (cs csszgek, vlt szgek). H zzuk meg az ABCD paralelogramma AC tl jt!
D
A
C
B
1. A kapott kt hromszgben az azonos krvvel jellt szgek egyenl k, mert megfelel szraik prhuzamosak (vlt szgek). A kt hromszg az AC oldalban megegyezik. 2. Az ABC s CDA hromszgek egybevg k. Ebb l kvetkezik, hogy a megfelel oldalak egyenl k AB = DC s BC = AD. Teht a paralelogramma szemkzti oldalai egyenl k. A most bizonytott llts megfordthat . A paralelogramma szemkzti oldalai egyenlk, ezrt a szemkzti oldalak prhuzamosak. A bizonyts lpseinek sorrendje ppen fordtottja az els bizonyts lpseinek. D C 1. Ha a ngyszg szemkzti oldalai egyenl k, akkor az ABC hromszg egybevg a CDA hromszggel. 2. Az egybevg sg miatt az azonos krvvel jellt szgek egyenl k. Egyik pr szruk egy egyenesbe esik, ezrt vlt szgek, a msik pr szruk prhuzamos. A B Teht a paralelogramma szemkzti oldalai prhuzamosak. Ha a paralelogrammt a kzppontos szimmetrival hatrozzuk meg, akkor a kzppontos szimmetria tulajdonsgait bizonytottnak tekintve, a tbbi 6 tulajdonsg egyetlen lpssel igazolhat . A tglalapot gy hatrozhatjuk meg, hogy egyenl szg paralelogramma. Az egyenl szg" tulajdonsggal brmilyen ngyszgek halmazb l is tglalapok vlaszt dnak ki.
77
Emelt szinten ez a tmakr is alkalmas arra, hogy a kzpiskolba kszl , illetve kzpiskolai tagozatra jr tanul k ismerkedjenek a szksges", az elgsges" s a szksges s elgsges" felttelek fogalmval. Az egyenl szg ngyszg biztos, hogy paralelogramma, hiszen a szomszdos szgek sszege 180 , trsszgek, ezrt a szemkzti oldalak prhuzamosak. )gy is mondhatjuk, hogy az egyenl szg" tulajdonsg elgsges, de nem sz ksges felttele annak, hogy a ngyszg szemkzti oldalai prhuzamosak legyenek, hiszen van nem egyenl szg paralelogramma is. A szemkzti oldalak prhuzamossga sz ksges, de nem elgsges felttele annak, hogy a ngyszg egyenl szg legyen. A tglalap tl i felezik egymst, mert paralelogramma, egyenl k, mivel egyms tkrkpei. Ezrt a tglalap kr kr h zhat . Minden derkszg paralelogramma krbe rhat . Minden krbe rhat paralelogramma derkszg. A paralelogrammk halmazban a krbe rhat sg sz ksges s elgsges felttele a derkszgsg, a derkszgsgnek szksges s elgsges felttele a krbe rhat sg. A rombusz leggyakoribb meghatrozsa: egyenl oldal paralelogramma. Elg lenne csak azt mondani, hogy olyan paralelogramma, amelynek kt szomszdos oldala egyenl . Az egyenl oldal " tulajdonsggal nemcsak a paralelogrammk kzl, hanem brmilyen ngyszgek kzl is pontosan a rombuszok vlaszt dnak ki. A paralelogrammk kzli kivlaszts a kvetkez tulajdonsgokkal is trtnhet: 'tl i a paralelogramma szgeit felezik. Szimmetrikus az tl ira. A felsorolt tulajdonsgok brmelyikvel bizonytani lehet a tbbit. A tglalaphoz hasonl an vizsglhatjuk a rombusz kt-kt tulajdonsgt abb l a szempontb l is, hogy azok kzl az egyik sz ksges vagy elgsges, vagy sz ksges s elgsges felttele a msiknak. Pldul: Sz ksges, de nem elgsges felttel: Az tl k felezik egymst. A szemkzti szgek egyenl k. Elgsges, de nem sz ksges felttel: Ngy szimmetriatengelye van. 90 -os elforgatssal nmagval fedsbe hozhat . Sz ksges s elgsges felttel: Mindkt tl jra szimmetrikus. Az tl k felezik a szemkzti szgeket. A rendszerszemllet kialaktst szolglja egyrszt a Tk. 5.42. halmazelmleti eszkztudst alkalmaz feladat, msrszt (az el z feladathoz kapcsol d ) Tk. 5.43{5.46. feladatsor. Az ut bbi feladatokhoz hasonl tpus feladatok el fordulnak az orszgos kompetenciamrsekben is.
78
A paralelogramma szerkesztse Milyen mlysgben, mennyisgben foglalkozunk a paralelogramma szerkesztsvel, fgg att l is, hogy a tanul k kell en begyakoroltk-e a hromszgszerkeszts alapeseteit, s ismerik a paralelogramma-tulajdonsgok kztti sszefggseket. Ha mindkt elvrsnak megfelelnek, akkor a paralelogramma szerkesztse nem j anyag, hanem az el z ek alkalmazsa. Ez az oka annak, hogy a tanknyvben csak kt pldt mutatunk be. Bevssknt egy-egy megszerkesztett paralelogrammn elemezzk a tulajdonsgokat, a gyerekek szerezzenek jrtassgot az sszefggsek lersban, elmondsban. Reduklt program Az osztly kpessgeinek gyelembevtelvel annyit s olyan mlysgben tantunk meg ebb l az anyagrszb l, amennyire id jut. Emelt szint Egyrszt t llpnk a hromszg tanult alapszerkesztseinek kzvetlen alkalmazsn, msrszt nem konkrt adatokkal adjuk meg a feladatot, gy a tanul az ltala felvett adatokkal dolgozik. Ezrt nagyobb hangs lyt kap a diszkusszi . Vizsgljuk, hogy mi a felttele annak, hogy a felvett adatokkal a paralelogramma megszerkeszthet legyen. A feladatok zmben kerletet s ks bb terletet is szmtunk. A szmtsokkal kapcsolatos hibk knnyebben kikszblhet k, ha el z leg megszerkesztettk az alakzatot.
A skidomok terlete A korbbi vekben foglalkoztunk a terlet fogalmval, mrtkegysgeivel, a tglalap s a ngyzet terletnek kiszmtsval. Ezeket az ismereteket konkrt feladatok megoldatsval eleventhetjk fel (Tk. 5.52{5.55.). Az orszgos kompetenciamrseken egyrszt rcssokszgek terletnek meghatrozsval vizsgljk (Tk. 5.53.), hogy a tanul rendelkezik-e a terlet szemlletes fogalmval, msrszt azt nzik, hogy tudja-e szokatlan feladathelyzetben (Tk. 5.56.), a gyakorlatban alkalmazni ezeket az ismereteket. A tanknyv feladatait clszer kiegszteni tnyleges mrsi feladatokkal (udvar, szoba, asztallap terletnek becslse, a szksges adatok megmrse utn a szmtsok elvgzse). A tanultak gyakorlati alkalmazshoz szervezhetnk terepmrst. Tanul ink jelent s rsznek gondot okoz a terlet mrtkegysgeinek tvltsa, a hinyossgokat gondosan megtervezett folyamatos ismtlssel p toltassuk (pldul Gy. 5.08{5.09. feladatsor ilyen clt szolglhat). A tmakrre sznt rk megtervezsnl vegyk azt is gyelembe, hogy a terletszmtst a felszn- s trfogatszmtssal prhuzamosan is gyakoroltatjuk, s t mr korbban is gyakoroltuk a racionlis szmokkal vgzett mveletek, a fggvnyek s az algebrai kifejezsek alkalmazsaknt. Ks bb, 8. osztlyban, Pitagorasz ttelnek gyakorlsa ad j lehet sget a terletszmtsr l tanultak ismtlsre s rgztsre. A tanknyvben (az emlkeztet ben) felsorolt ngy alapttel jelentsnek a tisztzsra s nem a sz szerinti megtantsra clszer a hangs lyt fektetnnk. Az utols (4) alapttel nem minden tanul szmra nyilvnval . Flttlenl rtessk meg, hogy ezt az alapttelt kimondva megllapodunk abban, hogy az tdarabols sorn nem vltozik meg a sokszg ter lete. 79
A tglalap ter letkplett minimumszinten ngyzetlapokkal trtn lefedssel idztessk fel. Az tlagos vagy az tlagosnl jobb kpessg tanul kkal viszont gondoltassuk vgig, hogy tetsz leges { nem csak egsz mr szm { oldal esetn mirt rvnyes a tanult kplet (lsd Tk. 2.30. feladat, illetve a tanknyv magyarzata). Tudatostsuk (csukl san sszeillesztett modellel mutassuk meg), hogy a paralelogramma ter letnek kiszmtshoz kt oldal ismerete nem elegend . Az tdarabolsokat tnylegesen vgeztessk el (a felmrsek eredmnyei azt mutatjk, hogy egyszeri magyarzat alapjn a tanul k tbbsge nem sajttja el ezt az ismeretet). Az brn { a tanknyvben ismertetett tbb lpsb l ll tdarabols helyett { egy kevsb szokvnyos megoldst mutatunk be. 1.
1. 2.
2.
A paralelogramma terletszmtsval prhuzamosan (esetleg dierencilt egyni munkban) megoldathatunk egyszer szerkesztsi s a ker letszmtssal kapcsolatos feladatokat. Ez ut bbit azrt is fontosnak tartjuk, mert a tanul k mintegy egyharmada mg 7. osztlyban is keveri" a kt fogalmat. (A feladatok tbbsge ezrt kri a kerlet kiszmtst is.) A deltoid ter letnek meghatrozsa el tt ismteljk t a deltoid korbban tanult denci jt, vizsgljuk a legfontosabb tulajdonsgait. A deltoid terlett legegyszerbben tglalapp kiegsztssel hatrozhatjuk meg, de ha a tanul k felismerik az tdarabolhat sgot, akkor azt is fogadjuk el. Tudatostsuk, hogy a rombusz specilis paralelogramma s specilis deltoid, gy a terlett ktflekppen is kiszmthatjuk (Gy. 5.16., 5.22{5.25. feladat). A tanknyv a trapz ter letnek kiszmtsra megmutatja a tanul k szmra kzenfekv bb tdarabolst is. Ennek el nye, hogy a trapz kzpvonalnak fogalmt is tudatosthatjuk. Ugyanakkor tudatostanunk kell, hogy az ilyen tdarabols nem vgezhet el minden esetben. Ezrt clszer a kzppontos tkrzst alkalmazva paralelogramma terletre visszavezetni a szmtst. A hromszg magassgval mr korbban is foglalkoztunk (pldul a Tk. 5.68. feladahoz hasonl feladatokban). Ennek ellenre a tompaszg hromszg magassgnak megrajzolsa, megszerkesztse a tanul k egy rsznek gondot jelenthet (lsd Gy. 5.27{5.28. feladat). Hvjuk fel a tanul k gyelmt a tiszta, pontos szerkesztsre, ellen rizzk a krz zemkpessgt". Jobb kpessg csoporttal a kzppontos szimmetrit alkalmazva bizonyttathatjuk, alapszinten megmutatjuk", hogy a paralelogrammt az tl ja kt egybevg hromszgre bontja. Kvetkezskppen a hromszg terlete fele a hromszget kiegszt paralelogramma terletnek. Ennek el nye, hogy az el z leg tanult ismeret szilrdabb vlhat. 80
Ha a tanul csoport elbrja" (s befr" a tanvbe), akkor most klnbz tdarabolsokkal igazolhatjuk a hromszg terletre vonatkoz sszefggst (ezek is kapcsolhat k rgebbi tapasztalatokhoz), s majd a kzppontos tkrzs tanulsakor visszatrhetnk a tanknyvben bemutatott gondolatmenetre.
T = a m2
T = a2 m
A hromszgr l tanultak alkalmazsaknt (els sorban a tanknyv b vtett vltozatban) foglalkozunk tetszleges sokszgek terletnek meghatrozsval, az adatokat mrssel hatrozzk meg a tanul k (Tk. 1. plda). rdemes tudatostanunk, hogy 7. osztlyban az adatokat ltalban (a sokszg megszerkesztse utn) mrssel tudjuk csak meghatrozni 8. osztlyban s kzpiskolban olyan tteleket is tanulunk, amelyek segtsgvel szmtssal hatrozhat k meg a szksges adatok. Ekkor a szerkeszts s a mrs mr nem lesz elfogadhat . A sokszgek tdarabolsval kapcsolatosan elbeszlgethetnk Bolyai Farkas munkssgr l, s megemlthetjk a nevhez fz d kzismert ttelt: Ha kt sokszg ter lete egyenl, akkor az egyik vges szm lpsben tdarabolhat a msikba. Vagyis brmilyen sokszgb l brmilyen alak , vele egyenl terlet sokszghz eljuthatunk gy, hogy vges szm rszre sztvgjuk, s a darabokat valahogyan sszeillesztjk. A b vtett tanknyvben foglalkozunk konkrt szablyos sokszg tulajdonsgainak vizsglatval, meghatrozzuk bels szgeik nagysgt, illetve a terletket. 81
A kr Eleventsk fel az alapvet elnevezseket s fogalmakat: krvonal, krlap, sugr, tmr, h r, szel, krv, krgyr, krszelet, krcikk.
A kr kerlete A kr terlete A krvonal hossznak, illetve a krlap terletnek becslse nemcsak matematikatrtneti szempontb l rdekes. Betekintst ny jt a matematikai analzis ( kzelts", hatrrtk") eszkztrba is. A kr kerletnek s terletnek kiszmtst minden tanul t l elvrhatjuk. A krv hossznak, a krgyr, a krcikk, a krszelet terletnek kiszmtst csak a jobb jegyrt kvetelhetjk meg. Vetessk szre a tanul inkkal, hogy adott krben, a krcikkhez tartoz kzpponti szg, a krv hossza s a krcikk terlete egyenesen arnyos mennyisgek. Gyengbb csoportban, illetve idhiny esetn elhagyhatjuk ez ut bbi ismeretek trgyalst. Felhvjuk a gyelmet a Tk. 5.79. s az 5.83. feladatokra, amelyek megoldsakor nem szokvnyos m don kell alkalmazni a tanultakat.
Sokszglapokkal hat rolt testek Ennek s a kvetkez fejezetnek a trgyalsa sorn ismteljk t az 5. s a 6. osztlyban tanultakat, trjuk fel s p toltassuk az esetleges hinyossgokat. Folyamatos ismtlsknt, kpessg s tudsszint szerint dierencilva dolgoztassuk fel a Matematika 7. Gyakorl 5.49{5.67. feladatsort. Az olyan korltos trrszt, amelyet vges sok sokszglap hatrol, polidernek nevezz k. Az elnevezst s a denci t ltalnos iskolban, alapszinten nem tantjuk, de azt javasoljuk, hogy a hasb fogalmt klnbz testek, ezek kztt poliderek ptsvel, vizsglatval szemlletileg alapozzuk meg (Tk. 5.91{5.94. feladat). A trszemllet fejlesztse cljb l a testmodelleket hzi feladatknt vagy csoportmunkban munkamegosztssal a tanul k ksztsk el. A modellez kszlet sokszgeib l ntapad ragaszt val minl tbb testet lltsanak ssze s vizsgljanak meg. (A kzpiskolban mr nem lesz m d ilyen tapasztalatgyjtsre, pedig egyes szakmkban felttel a j trszemllet.) A vizsglatokban a kvetkezket sszegezhetj k: 1. Milyen felletdarabok hatroljk a testet, csak sokszglapok vagy ms felletdarabok is? (A grbe lap" elnevezs hasznlata szemlletes, de vitathat !) Kiterthet -e a test fellete a skban? Mutassunk vegyesen helyes s hibs hl zatokat! A tanul k dntsk el, hogy melyikb l lehet polidert sszelltani. Nagyon hasznos, ha a tanul k nll an ksztenek hl zatokat, s azokat vizsgljk. Ekzben felvethetnk olyan krdseket, hogy mely lek lesznek prhuzamosak, 82
metsz k, kitr k, mer legesek mely lapok lesznek prhuzamosak, mer legesek, melyek kerlnek egyms mell stb. Megvizsglhatjuk azt is, hogy az egyes polidereket minimlisan hny l mentn kell felvgni", hogy skban kiterthet hl t kapjunk. A modellek megvlasztsval ne er stsk azt az elkpzelst, hogy a geometriai vizsglatok krbe csak olyan testek tartoznak, amelyeket meg tudunk nevezni (pldul: gmb, hasb, kocka, henger). Clszer a testmodellek kz kavicsot, cs darabot stb. is bevlogatnunk. 2. Rgztsk, hogy mit neveznk lapnak, lnek, cs csnak, laptlnak, testtlnak. Hny le, cs csa, lapja van a polidernek? Minden lt kt lap tartalmaz (kznsges polider esetn). Egy cs csban legalbb hny l tallkozik? A kzpiskolban a tanul nak s a tanrnak egyarnt gondot jelent, hogy a tanul k nem ismerik a szaknyelvet, nem tudjk denilni a fogalmakat, ezrt a denci s az elnevezsek megtanulst a kzpiskolba ksz l tanul inkt l kveteljk meg. Nem verbalizmusra, magolsra" gondolunk. Ha a szaknyelvet kvetkezetesen hasznljuk, hasznlatt a tanul t l is megkveteljk, akkor az direkt tanuls" nlkl is elsajtthat . 3. A vizsglatok aktulis clja a hasb (mint specilis polider) denil tulajdonsgainak felismertetse. 4. Feleleventjk s tudatostjuk a felszn fogalmt, pontosabban azt, hogy mit jelent a sokszglapokkal hatrolt testek felszne. Konkrt esetekben, a szksges adatok megmrsvel, hogyan szmthatjuk ki a felsznt. Tetsz leges polider felsznnek meghatrozsa azzal az el nnyel jr, hogy a tanul nem kpletek bemagolsra" s mechanikus alkalmazsra trekszik, hanem a konkrt feladatban a ter letszmtsrl tanultakat alkalmazza. Akkor megnyugtat a tanul tudsa, ha nem azrt tudja kiszmtani a felsznt, mert tudja a kpletet, hanem azrt tud nllan megfogalmazni ltalnos sszef ggseket, mert konkrt esetekben ki tudja szmtani a sokszglapokkal hatrolt testek felsznt. Tisztn kell ltnunk, hogy a terlet-, kerlet-, trfogat- s felsznszmts 7. osztlyban els sorban zikai" s nem geometriai" problma. Nhny kivtelt l eltekintve nem szmtssal adjuk meg a hinyz adatokat, hanem mrssel. Ezrt a hatrok kz szortssal, az rtkes jegyek meghatrozsval stb. gyelembe kell vennnk a mrs pontossgt. Pldul egy ngyzet alak lemez egy oldalt klnbz pontossggal adhatjuk meg: Ha a = 0,4 m, ez azt jelenti, hogy 0,35 m 5 a < 0,45 m. gy a lemez terlete 0,352 m2 s 0,452 m2 kz esik: 0,123 m2 5 T < 0,203 m2 T = (0,16 0,04) m2 . Ha a = 0,40 m, ez azt jelenti, hogy 0,395 m 5 a < 0,405 m a terlete: 0,1563 m2 5 T < 0,1643 m2 T = (0,160 0,004) m2 . Ha a = 0,400 m, ez azt jelenti, hogy 0,3995 m 5 a < 0,4005 m a terlete: 0,1596 m2 5 T < 0,1604 m2 T = (0,1600 0,0004) m2 . 83
Emelt szinten tanul csoportban vagy dierencilt egyni munkban (a megtants ignye nlkl) felismertethetjk tanul inkkal az egyszer polider lapjainak (L), leinek ( ) s cs csainak szma (C) kzti Euler-fle sszefggst: = L+C { 2. Ellenpldval rvilgthatunk arra, hogy ez az sszefggs nem vonatkozik a nemegyszer poliderekre. (Az egyszer polider brmely kt cs csa sszekthet lekb l ll trttvonallal.) Emelt szinten feldolgoztathatjuk a kvetkez feladatsort: 125 darab egysgkockb l felptnk egy tmr kockt. Mekkora a kocka le? (1) Az gy felptett kocka minden cs csr l elvesznk egy egysgkockt. (2) Az gy felptett kocka minden lnek kzepr l elvesznk egy egysgkockt. (3) Az gy felptett kocka minden lapjnak kzepr l elvesznk egy egysgkockt. a) Mennyi a keletkezett test trfogata s felszne? b) Hny cs csa (C), le ( ), lapja (L) van a keletkezett testnek? c) rvnyes-e az Euler-fle sszefggs: = L + C { 2? d) Eljuthatunk-e a keletkezett test egy adott cs csb l brmelyik cs csra az lek mentn haladva? Az Euler-ttelre az ltalnos iskolsok szmra is igen szemlletes bizonytst tallunk pldul Hajs Gyrgy Bevezets a geometriba (Tanknyvkiad, 1960) cm knyvnek 195{196. oldaln. Hls szakkri tma!
A reduklt vltozatban ezzel a rsszel nem foglalkozunk ebben a mlysgben. A trgeometriai ismereteket a hasb szrmaztatsakor feleleventjk.
A has b A has b sz rmaztat sa, h lja, felszne A hasbot specilis poliderknt rtelmezzk. gy a tanul nem kszen kapja a denci t, hanem konkrt hasbokat vizsglva felismeri a jellemz tulajdonsgokat (lsd az el z fejezetben lertakat). Ez a szrmaztats vlemnynk szerint jobban megfelel az ptsk fel a matematikt" alapelvnek. Lehet sget ad a terminol gia elsajttsra s a felszn fogalmnak elmlytsre. A msik lehetsges megkzeltst 8. osztlyban a henger fogalmnak ltalnostshoz kapcsol dva tekintjk t. Fontos, hogy a tanul k a hasbot akkor is felismerjk, ha nem az alaplapjn ll, pldul egy oldallapjn fekv prizma, egy stortet , a vas ti tlts is hasb. Ehhez kezkbe kell adni vagy velk kell elkszttetni a modelleket. Tisztzzuk, hogy a tglatest s a kocka is egyenes hasb. Hvjuk fel a gyelmet a denci pontos megfogalmazsra. Pldul ezt a testet kt egybevg sokszg s paralelogrammk hatroljk, ennek ellenre ez nem hasb. Kveteljk meg a tanul kt l az elnevezsek pontos hasznlatt.
84
Mindenkppen kszttessk el nhny hasb hl jt. A fogalom kialakulshoz, a trszemllet fejl dshez elengedhetetlen a tnyleges trbeli tevkenysg. A felsznszmts j alkalmat biztost a terletszmtsr l tanultak alkalmazsra.
Az egyenes has b trfogata A tovbblpshez tisztznunk kell, hogy a tanul k rtik-e a trfogat fogalmt, elsajttottk-e mrtkegysgeit, emlkeznek-e a trfogat- s az rtartalom-mrtkegysgek kzti sszefggsre, ki tudjk-e szmtani a tglatest s a kocka trfogatt. Motivlhatja a tanul kat, ha a tanknyv feladatain t l, gyakorlati jelleg feladatokat is kapnak (pldul laksuk trfogatnak a kiszmtst). Felmrseink szerint a trfogatszmtssal s rmrssel kapcsolatos elemi ismereteket legfeljebb a tanul k egyharmada tudja megbzhat an. Az emlkeztet t a trfogat fogalmt pontost alapttelek megfogalmazsval kezdi a tanknyv. Ez s az ezt kvet gondolatmenet { a tglatest trfogatnak kiszmtsra { els sorban a jobb kpessg tanul knak sz l, de mg t lk sem clszer ezek megtanulst megkvetelni. Azt azonban lehet leg minden tanul val lttassuk be, hogy a testek tdarabolsval nem vltozik meg a trfogatuk. A tetsz leges egyenes hasb trfogatnak kiszmtsban a terletszmtsnl elsajttott t anal gjt jrjuk vgig: tglatest trfogatnak kiszmtsa paralelogramma alap hasb tdarabolsa tglatestt hromszg alap hasb mint a paralelogramma alap hasb fele sokszg alap hasb darabolsa hromszg alap hasbokra. A trfogatszmts gyakorlsa sorn jra tismteltethetjk a terletszmtsr l tanultakat. A tanknyv s a Matematika 7. Gyakorl elegend feladatot tartalmaz a folyamatos ismtlshez is (Tk. 5.108{5.113. Gy. 5.72{5.83. feladat). A Tk. 1.114. Gy. 5.81., 5.83. feladatsorral az j ismeretek gyakorlst sszekapcsolhatjuk a zikban tanult ismeretek feleleventsvel. Megemltjk, hogy a poliderekre nem rvnyes Bolyai Farkas ttelnek trbeli analgja. Ha kt polidernek egyenl a trfogata, akkor nem biztos, hogy az egyik tdarabolhat a msikba.
Az egyenes krhenger sz rmaztat sa, Az egyenes krhenger felszne Az egyenes henger trfogata A henger fogalmnak kialaktst ne denci val, hanem modellezssel, tapasztalatgyjtssel kezdjk (Tk. 1. plda, 5.115. feladat). Erre tmaszkodva jobb kpessg tanul ink nll an is megfogalmazhatjk a denci t. Az 1. plda a krhenger mint forgstest szrmaztatst kszti el . Korbban vizsgltuk egy egyenest l adott tvolsgra lv pontok halmazt, s vgtelen hengerfellethez jutottunk. Ez a tapasztalat is fontos a henger fogalmnak kialaktshoz. A Tk. 5.115. a) feladatra tmaszkodva jabb szemlletes rtelmezsre nylik alkalom. 85
Ha egy krlapot a skjra mer legesen eltolunk a trben, akkor az eredeti s az eltolt krlap, valamint a hatrol krvonal ltal s rolt" fellet egyenes krhengert zr kzre. A 2. plda a hengerpalst kitertst" szemllteti. Itt emltjk meg, hogy a hengerpalst terletnek kiszmtsa a pldban adott m don igen szemlletes, de matematikai rtelemben nem tekinthetjk bizonytsnak. Ugyanis ppen a kitertst" nem rtelmezzk, csak szemlletnkre tmaszkodva elfogadjuk. Az egyenes henger trfogatnak kiszmtsnl elfogadtatjuk, hogy ugyanaz az sszefggs rvnyes, mint a hasb esetben. Az sszefggs egzakt bizonytshoz az ltalnos iskolban nem rendelkeznk a megfelel ismeretekkel, de a bizonyts elvt megsejtethetjk (lsd az apr bets megjegyzst). Fontos (nem csak a kompetenciamrs szempontjb l!), hogy tanul ink gyakorlati jelleg feladatokban (Tk. 5.118., 5.121., 5.122.) is kpesek legyenek alkalmazni a tanultakat. Ezekkel a feladatokkal a terlet-, felszn-, trfogatszmtsr l, illetve a mrtkegysgek hasznlatr l, a racionlis szmokkal vgzett mveletekr l tanultakon t lmen en pldul a szzalkszmtst is gyakoroltathatjuk.
Fejtr feladatok A tanknyv b vtett vltozatban szerepl fejezet. A Tk. B5.58. feladatsor a trszemlletet fejleszt jtkos feladatokat tartalmaz. A Tk. B5.60{B5.61. gyakorlati jelleg feladatok a zikban tanult ismeretek (sebessg, srsg) alkalmazsra is lehet sget biztostanak. A Tk. B5.62{B5.68. feladatsort (tartalmilag s formailag is) a kompetenciamrsek e tmakrhz kapcsol d feladatainak mintjra ptettk fel.
Tud sprba Kompetencikat is mr , fejleszt rtkelst szolgl feladatsor.
86
6. sszefoglal feladatok gy szervezzk meg az sszefoglalst, hogy legyen alkalmunk az alapvet ismeretek felmrsre s a hinyossgok ptlsnak megszervezsre. Cskkenthet az v vgi ismtls raignye akkor, ha a szmtan, algebra tmakrhz tartoz ismereteket a 4. fejezet trgyalsa sorn folyamatosan, intenz ven gyakoroltattuk, illetve a geometrihoz kapcsold ismereteket az 5. fejezet sszefoglalsakor ttekintettk. A hinyossgok ptlsra legalbb most szervezznk korrepetlst. Megjegyezzk, hogy a 6. fejezet feladatai nem csak az v vgi sszefoglals cljait szolglhatjk. Jl alkalmazhatk ezek a feladatsorok a tmazr dolgozatok elksz tsekor s a folyamatos ismtls sorn is. A feladatokban piros sz nnel szedtk azokat a fogalmakat, amelyek megbeszlsre fel k vnjuk h vni a gyelmet.
Szmtan, szmelmlet, algebra A tmakr sszefoglalsakor { ha ez gondot okoz tanulinknak { folyamatosan ismtelhetjk a mrtkegysgek tvltst. A tmakr ismtlst a tanknyv a kvetkezkppen tagolja: 1. Szmok rsa a tzes szmrendszerben. Normlalak A szmok rsnak gyakorlst kapcsoljuk ssze a racionlis szmok fogalomrendszernek ismtlsvel. Tekintsk t a helyirtkek rendszert (nem a szmonkrs ignyvel) 106 = milli 1012 = billi 1018 = trilli 1024 = kvadrilli 1030 = kvintilli 1036 = szextilli Egyes kultrkrkben mst jelentenek ezek az elnevezsek. Pldul az USA-ban (s Franciaorszgban): 109 = billion 1012 = trillion 1015 = quadrillion 1018 = quintillion 1021 = sextillion A tudomnyok az ttekinthetsg s az egyrtelmsg kedvrt a normlalakot hasznljk az ismertetett elnevezsek helyett. 2. Oszt, tbbszrs, oszthatsg A Tk. 6.03, illetve B6.01, B6.02. feladatok megoldsnak megbeszlsekor krjk a fogalmak rtelmezst, fogalmaztassuk meg az oszthatsgi szablyokat. 3. M veletek a racionlis szmkrben A feladatok megoldshoz kapcsoldva beszljk meg a zrjelek hasznlatt, tudatos tsuk a helyes mveleti sorrendet. Indokoltassuk a feladatok megoldst. 4. Algebrai kifejezsek A helyettes tsi rtkek meghatrozsakor gyakoroltassuk a zsebszmolgp hasznlatt. 87
5. Egyenletek, egyenl tlensgek megoldsa
Tisztzzuk, hogy a tanulk emlkeznek-e a megoldshalmaz, az azonossg, azonos egyenltlensg fogalmra. H vjuk fel a tanulk gyelmt az ellenrzsre. Ehhez most is ajnlott zsebszmolgpet hasznlni.
F ggvnyek Ha kell sllyal trgyaltuk ezt a tmakrt, akkor most 2 ra elegend az tismtlshez. 1. Gra konok 2. Lineris f ggvny Beszljk meg, hogy hogyan olvashat le a kifejezsekbl a grakon meredeksge s az y tengellyel val metszspontja. (Az x 7! ax + b fggvny esetn mi az a s a b jelentse?) 3. Arny, arnyos oszts, arnyossg A tmakrhz kapcsoldva ismteljk t a szzalkszm tst is.
Geometria, mrs A geometriai tananyag ttekintst clszer az 5. fejezet ismtlshez kapcsolni. 1. Egybevgsgi transzformcik A Tk. 6.21. feladattal nem csak a geometriai transzformcikat ismtelhetjk t, hanem kombinlva a Tk. 6.27{6.31. feladatokkal, a kvetkez pontban le rt tmakrt is. 2. A hromszgek csoportostsa, megszerkesztse, ker lete, ter lete A feladatok megoldshoz kapcsoldva beszljk meg a hromszg bels szgeinek sszegrl, a bels s kls szgek viszonyrl, a hromszg-egyenltlensgrl tanultakat. 3. Ngyszgek, specilis ngyszgek, ker let k, ter let k Idztessk fel a specilis ngyszgek rtelmezst, tulajdonsgait, terletk kiszm tsnak mdjt. Szksg esetn gyakoroltassuk a terlet-mrtkegysgek tvltst 4. A kr ker lete, ter lete 5. Az egyenes hasb fogalma, hlja, felszne, trfogata Szksg esetn gyakoroltassuk a terlet-mrtkegysgek tvltst Alkalmazzuk a tanultakat a mindennapi lettel kapcsolatos feladatokban. 6. Az egyenes krhenger fogalma, hlja, felszne, trfogata Alkalmazzuk a tanultakat a mindennapi lettel kapcsolatos feladatokban.
88
