Matematika 1. Mgr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Matematika 1 Poˇc´ıtaˇcová cviˇcen´ı Maple

Mgr. Michal Nov´ ak, Ph.D.

´ USTAV MATEMATIKY

Fakulta elektrotechniky a komunikaˇcn´ıch technologi´ı VUT v Brnˇe

1

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Charakteristika souboru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Co se nauˇc´ıte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 4 4

2 Z´ aklady pr´ ace s programem Maple 2.1 Rozhran´ı programu Maple, text, matematika a grafy 2.2 Jak zad´ avat pˇr´ıkazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Jak zad´ avat desetinn´ a ˇc´ısla . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Jak zad´ avat algebraické v´ yrazy . . . . . . . . . . . . 2.5 Zad´ av´ an´ı element´ arn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . 2.6 Co v Maplu nem˚ uˇzeme . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 Co si Maple pamatuje . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Kde hledat pomoc . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

5 5 6 6 6 7 7 8 8

3 Line´ arn´ı algebra 3.1 Matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Z´ aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Operace s maticemi – souˇcet, rozd´ıl a souˇcin . . . 3.1.3 Transponovan´ a a inverzn´ı matice, hodnost matice . 3.1.4 Omezen´ı operac´ı s maticemi . . . . . . . . . . . . . 3.2 Determinanty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Soustavy line´ arn´ıch rovnic . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Prosté hled´ an´ı ˇreˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Gaussova eliminaˇcn´ı metoda . . . . . . . . . . . . . 3.4 Chybov´ a hl´ aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

9 9 9 10 10 11 11 12 12 12 12 13

4 Diferenci´ aln´ı poˇ cet I 4.1 Limita funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2 Z´ aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3 Limita parci´ aln´ı funkce (limity zleva a zprava) . 4.1.4 Limity v nevlastn´ıch bodech . . . . . . . . . . . . 4.1.5 Chybov´ a hl´ aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Derivace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2 Z´ aklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4 Chybov´ a hl´ aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Pr˚ ubˇeh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Definiˇcn´ı obor, obor hodnot, nulové body funkce 4.3.3 Funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, stacion´ arn´ı body . . . 4.3.4 Konk´ avnost, konvexnost funkce, inflexn´ı body . . 4.3.5 Lok´ aln´ı extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.6 Asymptoty grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . 4.3.7 Vykreslen´ı grafu funkce . . . . . . . . . . . . . . 4.3.8 Chybov´ a hl´ aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 17 17 18 18 18 18 18 19 19 20 21

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Matematika 1

5 Integr´ aln´ı poˇ cet funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e 5.1 Neurˇcit´ y integrál . . . . . . . . . . . . . 5.1.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . 5.1.2 Z´ aklady . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3 Substituce . . . . . . . . . . . . . 5.1.4 Rozklad na parci´ aln´ı zlomky . . 5.1.5 Chybov´ a hl´ aˇsen´ı . . . . . . . . . 5.2 Urˇcit´ y integrál . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . 5.2.2 Z´ aklady . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3 Substituce . . . . . . . . . . . . .

2

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24

6 Diferenci´ aln´ı poˇ cet II 6.1 Parciáln´ı derivace . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . . 6.1.2 Parciáln´ı derivace . . . . . . . . . . 6.2 Lok´ aln´ı extrémy funkc´ı dvou promˇenn´ ych 6.2.1 Co je potˇreba zn´ at . . . . . . . . . 6.2.2 Stacion´ arn´ı body . . . . . . . . . . 6.2.3 Typ extrému . . . . . . . . . . . . 6.3 Chybov´ a hl´ aˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

. . . . . . . .

26 26 26 26 27 27 27 28 29

7 Z´ avˇ er

31

8 V´ ysledky cviˇ cen´ı

32


3

Seznam obr´ azk˚ u 1.1 4.1 4.2 4.3 6.1 6.2

Pˇr´ıklad nedokonalosti programu Maple . . . . . . . . . . . . . . Zobrazen´ı grafu funkce bez specifikovan´ ych parametr˚ u. . . . . . Graf, kde jsme zadali parametry. . . . . . . . . . . . . . . . . . V´ıce funkc´ı v jednom grafu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zobrazen´ı trojrozmˇerného grafu bez specifikovan´ ych parametr˚ u. Trojrozmˇern´ y graf se zobrazen´ ymi souˇradn´ ymi osami. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

5 21 21 22 29 29

Matematika 1

4

´ Uvod

1

Tato studijn´ı opora je urˇcena pro poˇc´ıtaˇcov´ a cviˇcen´ı z pˇredmˇetu Matematika 1. Ukazuje, jak´ ym zp˚ usobem lze vyuˇz´ıt program Maple k ˇreˇsen´ı u ´ loh, s nimiˇz se v tomto pˇredmˇetu setk´ av´ ame: poˇc´ıt´ an´ı s maticemi, ˇreˇsen´ı soustav line´ arn´ıch rovnic, ˇreˇsen´ı u ´ loh z diferenciáln´ıho poˇctu jedné a v´ıce promˇenn´ ych a základn´ıch u ´ loh z integr´ aln´ıho poˇctu. Je k dispozici ve dvou formách: jako tento soubor PDF a také jako interaktivn´ı soubor, s n´ımˇz m˚ uˇzete pracovat pˇr´ımo v programu Maple. Obˇe formy jsou obsahovˇe identické a liˇs´ı se pouze ve formátov´ an´ı – tento text vznikl pˇreloˇzen´ım interaktivn´ıho souboru do formátu PDF.

1.1

Charakteristika souboru

Urˇ cen´ı: pro pˇredmˇet BMA1, resp. KMA1 Poˇ zadovan´ e vstupn´ı znalosti: základy pr´ ace s poˇc´ıtaˇcem a operaˇcn´ım systémem Windows, znalosti z pˇredn´ aˇsky Verze programu Maple: soubor byl vytvoˇren v Maple 6, a je tedy moˇzné jej otevˇr´ıt v libovolné vyˇsˇs´ı verzi. Texty nˇekter´ ych chybov´ ych hl´ aˇsen´ı se mohou ve vyˇsˇs´ıch verz´ıch liˇsit. Testov´ ano ve verzi 9.5.

1.2

Co se nauˇ c´ıte

Tento soubor doplˇ nuje skriptum Fuchs, P, Krupkov´ a, V.: Matematika 1, zachov´ av´ a jeho ˇclenˇen´ı i n´ aplˇ n (s v´ yjimkou ˇcásti o ˇrad´ ach a Taylorovˇe polynomu). Je urˇcen student˚ um prvn´ıho roˇcn´ıku, kteˇr´ı se s programem Maple dosud nesetkali. V´ yklad je veden se zˇretelem na uˇzivatele, kter´ y poˇzaduje n´ astroj na ˇreˇsen´ı konkrétn´ıch u ´ loh – naj´ıt limitu funkce, urˇcit derivaci, spoˇc´ıtat integrál a podobnˇe – a nezaj´ım´ a se o obecnˇejˇs´ı souvislosti ani o to, jak´ ym zp˚ usobem program pracuje. Pokroˇcilejˇs´ı uˇzivatel jistˇe postˇrehne mnohé zbyteˇcnosti“ (napˇr. v popisném oznaˇcov´ an´ı promˇenn´ ych, rozfázovan´ ych pˇr´ıkazech apod.) Nauˇc´ıte ” se: • jak vypad´ a rozhran´ı programu Maple, jaké jsou moˇznosti vstup˚ u a v´ ystup˚ u, • jak pracovat s maticemi a determinanty, • jak rozkl´ adat racion´ aln´ı lomené funkce na parci´ aln´ı zlomky, • jak naj´ıt limity funkc´ı (vˇcetnˇe jednostrann´ ych limit a limit v nevlastn´ıch bodech), • jak urˇcit derivace funkc´ı (vˇcetnˇe derivac´ı v bodˇe, derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u, u funkce v´ıce promˇenn´ ych také parci´ aln´ı derivace), • jak vypoˇc´ıtat neurˇcité a urˇcité integrály (vˇcetnˇe integrál˚ u ˇreˇsen´ ych pomoc´ı substituc´ı) a jak m´ıt kontrolu nad v´ ypoˇctem, • jak urˇcit pr˚ ubˇeh funkce jedné promˇenné (vˇcetnˇe vykreslen´ı grafu), • jak naj´ıt lok´ aln´ı extrémy funkce dvou promˇenn´ ych (vˇcetnˇe vykreslen´ı grafu).

Upozornˇ en´ı Pˇri pr´ aci s jakýmkoliv matematickým programem nikdy nezapom´ınejte, ˇze program pouze vykon´ av´ a vaˇse instrukce. Rozhodnut´ı, zda tyto instrukce maj´ı smysl a zda jsou v˚ ubec pˇr´ıpustné, je na V´ as. Stejnˇe tak jste to Vy, kdo mus´ı z´ıskané výsledky spr´ avnˇe interpretovat. 1 ˇ adn´ ? Z´ y poˇc´ıtaˇcov´ y program nen´ı dokonal´ y. Je napˇr. toto graf funkce y = x+1 > restart: plot(1/(x+1),x=-4..4,-4..4);


5

4 3 2 1 –4

–3

–2

–1

0 –1

1

2 x

3

4

–2 –3 –4

Obr´ azek 1.1: Pˇr´ıklad nedokonalosti programu Maple

2

Z´ aklady pr´ ace s programem Maple

C´ıl kapitoly V této kapitole se seznám´ıme s programem Maple a uk´ aˇzeme si, jak´ ym zp˚ usobem mu zad´ avat vstupn´ı u ´ daje a jaké formy v´ ystupu m˚ uˇzeme oˇcek´ avat. Sezn´ am´ıme se také s nˇekter´ ymi omezen´ımi programu.

2.1

Rozhran´ı programu Maple, text, matematika a grafy

Program Maple pracuje se soubory typu *.mws, resp. *.mw, které v sobˇe kombinuj´ı prostý text, vykonatelné pˇr´ıkazy a r˚ uzné formy výstupu. Jednotlivé ˇcásti souboru je moˇzné sdruˇzovat do kapitol. Moˇznosti programu Maple (a t´ım i vzhled panelu n´ astroj˚ u) se liˇs´ı podle toho, zda pracujeme s textem, pˇr´ıkazem nebo v´ ystupem. Nyn´ı máte kurzor v textovém, ˇrádku a vid´ıte proto moˇznosti form´ atov´ an´ı podobné jako napˇr. v programu MS Word. To, ˇze se jedn´ a o textov´ y ˇrádek, pozn´ ate podle toho, ˇze vlevo je text uzavˇren jakoby do hranaté závorky. Na dalˇs´ım ˇrádku je pˇr´ıklad vykonatelného pˇr´ıkazu: ˇrádek zaˇc´ın´ a znaky [> a p´ısmo je ˇcervené a pouˇz´ıv´ a jin´ y font. Po stisknut´ı kl´ avesy Enter se pˇr´ıkaz vykon´ a a z´ısk´ ame modr´ y text - maplovsk´ y v´ ystup. Protoˇze posledn´ı pˇr´ıkaz poˇzaduje dˇelen´ı nulou, z´ısk´ ame i chybové hl´ aˇsen´ı, které Maple zapisuje fialovˇe. Z´ aroveˇ n je vidˇet, ˇze na jeden ˇra ´dek m˚ uˇzeme ps´ at v´ıce pˇr´ıkaz˚ u. > restart: a:=3; b:=4; a*b; a/0; a := 3 b := 4 12 Error, division by zero

Dalˇs´ı moˇznost´ı v´ ystupu je graf. Pokud na graf klikneme prav´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi, vyvol´ a se kontextové menu, ve kterém je moˇzné r˚ uznˇe mˇenit parametry grafu, zp˚ usoby zobrazen´ı a podobnˇe. Trojrozmˇené grafy m˚ uˇzeme dokonce lev´ ym tlaˇc´ıtkem myˇsi chytit a libovolnˇe ot´ aˇcet. Na dalˇs´ım ˇrádku stisknˇete kl´ avesu Enter, aby se pˇr´ıkaz mohl vykonat. Z´ aroveˇ n si vˇsimnˇete, jak se zmˇen´ı panel n´ astroj˚ u. > restart: plot(x^2,x=-3..3,-0.5..3.5, scaling=constrained); > with(plots): plot3d(x^2/4+y^2/9,x=-3..3,y=-3..3);

Matematika 1

6

Nov´ y ˇrádek z´ısk´ ame bud’ automaticky (na konci souboru se po vykon´ an´ı posledn´ıho pˇr´ıkazu vygeneruje dalˇs´ı pˇr´ıkazov´ y ˇrádek), nebo jej m˚ uˇzeme vloˇzit pomoc´ı tlaˇc´ıka [> na panelu n´ astroj˚ u. Po vykon´ an´ı posledn´ıho pˇr´ıkazu v kapitole se automaticky otevˇre dalˇs´ı kapitola a kurzor pˇreskoˇc´ı na jej´ı prvn´ı pˇr´ıkazov´ y ˇrádek. Tlaˇc´ıtkem s p´ısmenem T m˚ uˇzeme pˇr´ıkazov´ y ˇrádek zmˇenit na textov´ y. Kapitoly lze otev´ırat a uzav´ırat kliknut´ım na tlaˇc´ıtko

2.2

+, resp. - vedle jej´ıho názvu.

Jak zad´ avat pˇ r´ıkazy

Pro zad´ av´ an´ı pˇr´ıkaz˚ u existuje nˇekolik moˇznost´ı. M˚ uˇzeme Maple pˇr´ımo nechat spoˇc´ıtat nˇejak´ y pˇr´ıklad, napˇr. > 3*(4+5); 27 nebo – coˇz je mnohem praktiˇctˇejˇs´ı – postupnˇe zad´ avat promˇenné a pracovat s nimi. Pro pˇriˇrazov´ an´ı hodnot promˇenn´ ym slouˇz´ı pˇr´ıkaz := (nikoliv prosté rovn´ıtko =). > restart: a:=3; b:=4: c:=5; a*(b+c); a := 3 c := 5 27 I kdyˇz jsme v pˇredch´ azej´ıc´ım pˇr´ıkladˇe definovali promˇenné a, b i c, hodnota promˇenné b se nezobrazila. V Maplu totiˇz plat´ı, ˇze výsledek pˇr´ıkazu ukonˇceného stˇredn´ıkem se zobraz´ı, ale výsledek pˇr´ıkazu ukonˇceného dvojteˇckou nikoliv. Cviˇ cen´ı Zadejte n´ asleduj´ıc´ı výrazy a poté u kaˇzdého za nˇekteré promˇenné dosad’te: a+b c−a ,

2.3

a+

b−c a

+ bc, (b2 + a3 )4 − c +

1 a2

Jak zad´ avat desetinn´ aˇ c´ısla

ˇ arka má jin´ Maple je anglick´ y program, proto desetinn´ a ˇc´ısla p´ıˇseme s teˇckou, nikoliv s ˇca ´rkou. C´ y v´ yznam. > restart: x:=2.5; y:=1,5; x*y; x := 2.5 y := 1, 5 Error, invalid terms in product

2.4

Jak zad´ avat algebraick´ e v´ yrazy

Veˇskerý matematický text zad´ av´ ame za sebe do jednoho ˇra ´dku s pouˇzit´ım znak˚ u na bˇeˇzné kl´ avesnici. Mus´ıme proto zejména db´ at na vhodné uz´ avorkov´ an´ı. > restart: f*(g+h/(f+k)-(g*(l+m)/h)); f (g +

h g (l + m) − ) f +k h

ˇ Maple si sám v´ ystup zobraz´ı ve vhodné podobˇe. Casto se stáv´ a, ˇze si v´ ystup i zjednoduˇs´ı: > restart: k/l/m; k lm


7

K c´ılenému zjednoduˇsen´ı v´ yraz˚ u slouˇz´ı pˇr´ıkaz simplify(co); ˇcasto se vyuˇzije také pˇr´ıkaz expand(co) pro rozn´ asoben´ı. > restart: > zlomek:=(x+1)^2*(x-3)/(x^2-1): zlomek=simplify(zlomek); > vyraz:=(x+1)^2*(x-3): vyraz=expand(vyraz); (x + 1)2 (x − 3) (x − 3) (x + 1) = 2 x −1 x−1 (x + 1)2 (x − 3) = x3 − x2 − 5 x − 3 Cviˇ cen´ı Ukaˇzte, ˇze plat´ı:

2.5

(x+3) (x−1)2 (x2 +1) x2 +2 x−3

= x3 − x2 + x − 1.

Zad´ av´ an´ı element´ arn´ıch funkc´ı

avat nejbˇeˇznˇejˇs´ı funkce, plyne Element´ arn´ı funkce vˇetˇsinou zad´ av´ ame ve tvaru funkce(argument). Jak zad´ z n´ asleduj´ıc´ıho ˇrádku (tan(x ) znaˇc´ı tg x, cot(x ) oznaˇcuje cotg x ): > restart: > x^2+sqrt(x)+root[3](x)+sin(y)+cos(2*x+Pi/3)+tan(x^2)+cot(sqrt(y))+ln(x)+ > exp(y)-arcsin(y); √ √ x2 + x + x(1/3) + sin(y) + cos(2 x + π3 ) + tan(x2 ) + cot( y) + ln(x) + ey − arcsin(y) Pozn.: Konstantu π je tˇreba zad´ avat s velk´ ym p´ısmenem jako Pi. Maple nezn´ a konstantu e, jej´ı hodnotu z´ısk´ ame pomoc´ı pˇr´ıkazu exp(1). Cviˇ cen´ı Zadejte n´ asleduj´ıc´ı výrazy: b c

a ,e

2.6

b c2

.

√ x2 − x sin(x) ,

cos(3 x2 + π4 ) −

ln(x) x3 ,

a + b (a − b), a − c (a +

bc a+b ),

2 a3 − 3 b 4 +

4ab 3 ,

Co v Maplu nem˚ uˇ zeme

Promˇenné lze znaˇcit podle vlastn´ıho uv´ aˇzen´ı - nˇekdo d´ a pˇrednost popisnému oznaˇcen´ı lok´ aln´ı extrém, jinému bude staˇcit oznaˇcen´ı le. Pro oznaˇcov´ an´ı promˇenných vˇsak plat´ı urˇcit´ a omezen´ı: • v oznaˇcen´ı promˇenné se nemohou vyskytovat mezery > nova promenna:=1; Error, missing operator or ‘;‘

• jako jméno promˇenné nen´ı moˇzné pouˇz´ıt slovo, které oznaˇcuje pˇr´ıkaz. Tak napˇr. pomoc´ı pˇr´ıkazu int poˇc´ıt´ ame integrály, proto: > int:=x; Error, attempting to assign to ‘int‘ which is protected

• promˇenné nen´ı moˇzné oznaˇcovat nˇekolika dalˇs´ımi rezervovan´ ymi“ v´ yrazy (posledn´ı pˇr´ıkaz vytvoˇr´ı ” promˇennou π, kter´ a vˇsak nen´ı konstantou Pi!) > D:=3; Int:=2; pi:=3.14; Error, attempting to assign to ‘D‘ which is protected Error, illegal use of an object as a name

Matematika 1

8

π := 3.14

2.7

Co si Maple pamatuje

Ve chv´ıli, kdy nˇekteré promˇenné pˇriˇrad´ıte hodnotu, Maple tuto hodnotu uloˇz´ı a d´ ale s n´ı pracuje. Na zaˇ ca ´tku jsme promˇenn´ ym a, b a c pˇriˇradili nˇejaké hodnoty. Pˇr´ısluˇsn´ y ˇrádek vypadal takto: > restart: a:=3; b:=4: c:=5; a*(b+c); a := 3 c := 5 27 Proto kdyˇz budeme cht´ıt nyn´ı zapsat v´ yraz > a*b/c;

ab c ,

dostaneme: 12 5

Promˇenou lze zresetovat“ pˇr´ıkazem unassign(’promenna’). ” Vˇsechny promˇenné lze najednou zresetovat pˇr´ıkazem restart. > unassign(’a’); a*b/c; restart: a*b/c; 4 a 5 ab c Problém pamatov´ an´ı si hodnot promˇenn´ ych je snad nejvˇetˇs´ım zdrojem nedorozumnˇen´ı a zv´ yˇsené hladiny adrenalinu pˇri pr´ aci s Maplem. Proto je ˇcasto nejlepˇs´ı vykonat pˇr´ıkaz restart a pak nechat Maple znovu vykonat vˇsechny pˇr´ıkazy.

2.8

Kde hledat pomoc

N´ apovˇeda programu Maple je v angliˇctinˇe. N´ apovˇedu je moˇzné vyvolat bud’ z menu Help poloˇzkou Topic Search (hled´ a se v tématech) nebo Full Text Search (hled´ a se v celém textu). Velmi dobrou pom˚ uckou je také moˇznost vyvol´ an´ı n´ apovˇedy pˇr´ımo z pˇr´ıkazového ˇrádku: pˇresuˇ nte textový kurzor nˇekam na pˇr´ıkaz a stisknˇete CTRL+F1. Zobraz´ı se n´ apovˇeda pˇr´ımo pro dan´ y pˇr´ıkaz. Toho vyuˇzijete zejména ve chv´ıli, kdy si nejste jist´ı syntax´ı (tedy zápisem) daného pˇr´ıkazu. > sin(x,2); Error, (in sin) expecting 1 argument, got 2

Shrnut´ı Vstupn´ı ˇrádky programu Maple jsou dvoj´ıho typu: prost´ y text, kter´ y lze formátovat, a – barevnˇe odliˇsené – pˇr´ıkazy. V´ ystupem je v´ ysledek pˇr´ıkazu (coˇz m˚ uˇze b´ yt i graf) nebo chyba. Vˇsechny pˇr´ıkazy a matematick´ y text zad´ av´ ame prostˇrednictv´ım bˇeˇzn´ ych znak˚ u na kl´ avesnici, napˇr. (x+1)^2/(sqrt(x)+sin(x)). Promˇenné je vhodné nˇejak oznaˇcovat, pˇriˇcemˇz mus´ıme poˇc´ıtat s t´ım, ˇze si Maple oznaˇcen´ı pamatuje (napˇr. a:=3). Tuto pamˇet’ lze kdykoliv vymazat.


3

9

Line´ arn´ı algebra

C´ıl kapitoly V této kapitole si uk´ aˇzeme, jak v Maplu zad´ avat matice a jak s nimi poˇc´ıtat. Nauˇc´ıme se také nˇekolik postup˚ u pro ˇreˇsen´ı soustav line´ arn´ıch rovnic. U soustav line´ arn´ıch rovnic n´ as m˚ uˇze zaj´ımat bud’ pouze fakt, zda ˇreˇsen´ı existuje nebo samotné ˇreˇsen´ı, nebo m˚ uˇzeme cht´ıt do jisté m´ıry imitovat postup ˇreˇsen´ı dané soustavy. O vˇsech tˇechto moˇznostech se proto zm´ın´ıme.

3.1 3.1.1

Matice Z´ aklady

Vˇetˇs´ı ˇcást pr´ ace s maticemi obstar´ av´ a Maple pomoc´ı knihovny linalg. Proto je tˇreba ji nejprve nahr´ at. > restart: with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

Nyn´ı máme nadefinov´ any potˇrebné promˇenné a funkce a m˚ uˇzeme zaˇc´ıt pracovat. Vlastn´ı matici zad´ av´ ame pˇr´ıkazem matrix, jehoˇz argumenty jsou u ´ daje potˇrebné pro vytvoˇren´ı matice a jej´ı naplnˇen´ı správn´ ymi hodnotami – tj. poˇcet ˇrádk˚ u a sloupc˚ u a prvky matice. Pˇr´ıkaz m˚ uˇze m´ıt v´ıce podob uz´ avorkov´ an´ı, napˇr.: > matrix(2,3,[[1,2,3],[4,5,6]]); 1 2 3 4 5 6 Tato matice má dva ˇrádky a tˇri sloupce. V hranat´ ych závork´ ach n´ asleduje v´ yˇcet prvk˚ u matice. Vnitˇrn´ı hranaté závorky (po jednotliv´ ych ˇrádc´ıch) nejsou nutné, avˇsak usnadˇ nuj´ı orientaci. Cviˇ cen´ı Zadejte libovolnou matici o 4 ˇra ´dc´ıch a 5 sloupc´ıch. Ovˇeˇrte r˚ uzné zp˚ usoby uz´ avorkov´ an´ı. Pro dalˇs´ı pr´ aci b´ yv´ a vhodné matici nˇejak oznaˇcit. > A:=matrix(2,3,[[1,2,3],[4,5,6]]); 1 A := 4

2 3 5 6

Oznaˇcen´ı n´ am umoˇzn´ı pracovat d´ ale nejen s matic´ı samotnou ale i s jej´ımi prvky. Chceme-li vypsat hodnotu jednoho konkrétn´ıho prvku, ˇci se na nˇej odk´ azat, pouˇzijeme n´ asleduj´ıc´ı syntax: oznaˇ cen´ ı matice[ˇ ra ´dek,sloupec]. Hodnota prvku v prvn´ım sloupci prvn´ıho ˇrádku matice A je tedy: > A[1,1]; 1 Pokud bychom chtˇeli seˇc´ıst vˇsechny prvky v prvn´ım ˇrádku matice A, staˇc´ı ps´ at > A[1,1]+A[1,2]+A[1,3]; 6 Cviˇ cen´ı Zadejte libovolnou matici a vyn´ asobte vˇsechny prvky v jej´ıch roz´ıch.

Matematika 1

3.1.2

10

Operace s maticemi – souˇ cet, rozd´ıl a souˇ cin

V pˇredchoz´ım odstavci jsme si uk´ azali, jak´ ym zp˚ usobem lze pracovat s jednotliv´ ymi prvky matice. Nyn´ı uk´ aˇzeme, jak pracovat s matic´ı jako s celkem. Nejprve nadefinujeme dvˇe matice, napˇr.: > A:=matrix(2,2,[[1,2],[4,5]]); B:=matrix(2,2,[[-1,-4],[2,3]]); 1 2 A := 4 5 −1 −4 B := 2 3 Pokud chceme zobrazit výsledek nˇejaké operace s maticemi, mus´ıme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz evalm. Tak napˇr. souˇcet matic A a B zobraz´ıme pomoc´ı > evalm(A+B); 0 −2 6 8 Pokud budeme cht´ıt d´ ale s v´ ysledkem nˇejaké operace pracovat, je vhodnˇejˇs´ı opˇet jej nˇejak oznaˇcit. > C:=evalm(A+B); 0 −2 C := 6 8 Podobnˇe jako se souˇctem m˚ uˇzeme pracovat i s rozd´ılem matic. > E:=evalm(A-B); 2 6 E := 2 2 Totéˇz plat´ı pro n´ asoben´ı matice ˇc´ıslem. > F:=evalm(3*A); F :=

3 6 12 15

Pro n´ asoben´ı matic vˇsak mus´ıme pouˇz´ıt operátor &*. > G:=evalm(A&*B); 3 2 F := 6 −1 Cviˇ cen´ı Zadejte matice A, B, C tak, ˇze alespoˇ n jedna z nich nen´ı ˇctvercov´ a, a urˇcete výraz AC + (3B)C. Ukaˇzte na konkrétn´ım pˇr´ıkladˇe, ˇze n´ asoben´ı matic nen´ı komutativn´ı. Jak bude vypadat posloupnost pˇr´ıkaz˚ u na ˇra ´dku, abyste si usnadnili pr´ aci? Pokud nev´ıte, odpovˇed’ naleznete zde. 3.1.3

Transponovan´ a a inverzn´ı matice, hodnost matice

Máme-li nadefinov´ anu nˇejakou matici, pak transponovanou matici zobraz´ıme pˇr´ıkazem transpose(oznaˇ cen´ ı matice). > A:=matrix(2,3,[[1,2,3],[4,5,6]]); B:=transpose(A); 1 2 3 A := 4 5 6


11



 1 4 B :=  2 5  3 6

Pro výpoˇcet inverzn´ı matice pouˇz´ıv´ ame pˇr´ıkaz inverse(oznaˇ cen´ ı matice). > A:=matrix(2,2,[[1,2],[3,4]]); B:=inverse(A); 1 2 A := 3 4 " # −2 1 3 −1 B := 2 2 Cviˇ cen´ı Ovˇeˇrte, ˇze matice B z´ıskan´ a pomoc´ı pˇr´ıkazu inverse(A) je skuteˇcnˇe inverzn´ı matic´ı k matici A. Zadejte libovolné dvˇe matice A, B a poté urˇcete(AB T )−1 Hodnost matice urˇc´ıme pomoc´ı pˇr´ıkazu rank(oznaˇ cen´ ı matice). > A:=matrix(3,3,[[1,2,3],[2,4,6],[-1,2,-5]]); rank(A);   1 2 3 6  A :=  2 4 −1 2 −5 2

3.1.4

Omezen´ı operac´ı s maticemi

Maple pouze vykon´ av´ a pˇr´ıkazy zadané uˇzvatelem. Je proto potˇreba vˇedˇet, za jakých podm´ınek je dan´ a matematick´ a operace pˇr´ıpustn´ a!

3.2

Determinanty

Nejprve uved’me, ˇze chceme pracovat v prostˇred´ı linalg a zadejme matici: > restart: with(linalg): > A:=matrix(3,3,[[1,2,3],[1,3,6],[-1,2,-5]]);   1 2 3 6  A :=  1 3 −1 2 −5

Pro v´ ypoˇcet determinantu pouˇz´ıv´ ame pˇr´ıkaz det(oznaˇ cen´ ı matice). Opˇet jej m˚ uˇzeme pˇriˇradit nˇejaké promˇenné. > determinant:=det(A); determinant := −14 Podobnˇe jako v pˇredch´ azej´ıc´ı kapitole plat´ı, ˇze je potˇreba zn´ at omezen´ı pro pr´ aci s determinanty! Cviˇ cen´ı Jak lze rozhodnout o tom, zda je matice regul´ arn´ı nebo singul´ arn´ı, za pouˇzit´ı pˇr´ıkaz˚ u, které dosud zn´ ate, avˇsak bez pouˇzit´ı pˇr´ıkazu det(oznaˇ cen´ ı matice)? Zadejte dvˇe matice tak, aby bylo moˇzné urˇcit determinant jejich souˇcinu, a poté jej urˇcete. Zadejte dvˇe matice tak, aby nebylo moˇzné urˇcit determinant jejich souˇcinu.

Matematika 1

3.3 3.3.1

12

Soustavy line´ arn´ıch rovnic Co je potˇ reba zn´ at

Pro hled´ an´ı ˇreˇsen´ı soustavy rovnic pomoc´ı Maplu mus´ıte zn´ at z´ aklady zad´ av´ an´ı funkc´ı a umˇet pracovat s maticemi. Je také dobré, pokud um´ıte poˇ c´ıtat determinanty. 3.3.2

Prost´ e hled´ an´ı ˇ reˇ sen´ı

Pˇri hled´ an´ı ˇreˇsen´ı soustavy line´ arn´ıch rovnic máme na v´ ybˇer z nˇekolika moˇznost´ı: Pokud chceme bez dalˇs´ıho pouze naj´ıt ˇreˇsen´ı, m˚ uˇzeme nechat Maple vykonat pˇr´ıkaz solve({vyraz1, vyraz2, atd.},{promenne}). Mus´ıme vˇsak umˇet ˇreˇsen´ı správnˇe interpretovat. Pokud pouˇzijeme pˇr´ıkaz solve, pˇrevedeme absolutn´ı ˇcleny na levou stranu a v´ yslednou levou stranu nˇejak oznaˇc´ıme: > restart: rovnice_1:=x+y+z+4; rovnice_2:=2*x-3*y+4*z-8; rovnice 1 := x + y + z + 4 rovnice 2 := 2 x − 3 y + 4 z − 8 Potom uˇz m˚ uˇzeme nechat Maple naj´ıt ˇreˇsen´ı. > solve({rovnice_1,rovnice_2},{x,y,z}); 4 7 16 2 + z, x = − − z, z = z} 5 5 5 5 Vzhledem k tomu, ˇze jsme ˇreˇsili soustavu dvou rovnic o tˇrech nezn´ am´ ych, Maple zvolil jednu z nezn´ am´ ych a ostatn´ı dvˇe pomoc´ı n´ı vyj´ adˇril. {y = −

3.3.3

Gaussova eliminaˇ cn´ı metoda

Pomoc´ı Maplu také m˚ uˇzeme napodobit postup ˇreˇsen´ı pomoc´ı Gaussovy eliminaˇcn´ı metody. V´ıme, ˇze máme-li d´ anu soustavu rovnic, napˇr. x + 4 y + 3 z = 1, −2 x + 3 y + 7 z = 2, −3 x + 5 y + z = 0, m˚ uˇzeme ji vyj´ adˇrit v maticovém tvaru A X = B, kde A je matice koeficient˚ u, X vektor nezn´ am´ ych a B vektor prav´ ych stran. Matici, kter´ a vznikne spojen´ım matic A a B, tzv. rozˇs´ıˇrenou matici soustavy rovnic, pak pˇrev´ ad´ıme na schodovit´ y tvar. Tent´ yˇz postup pomoc´ı Maplu je n´ asleduj´ıc´ı (Pozn.: vˇsechny pˇr´ıkazy v tomto postupu budou pracovat aˇz po nahr´ an´ı knihovny linalg.) > restart: with(linalg): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected > > >

A:=matrix(3,3,[[1,4,3],[-2,3,7],[-3,5,1]]): X:=matrix(3,1,[[x],[y],[z]]): B:=matrix(3,1,[[1],[2],[0]]): C:=augment(A,B): rozsirena_matice_soustavy=evalm(C);   1 4 3 1 rozsirena matice soustavy =  −2 3 7 2  −3 5 1 0

Pro pˇrevod matice na schodovitý tvar > evalm(C)=gausselim(C);  1 4  −2 3 −3 5

pouˇzijeme pˇr´ıkaz gausselim(oznaceni matice):

3 7 1

  1 1  2 = 0 0 0

4 11 0

3 13 −111 11

 1 4  −35  11


13

35 Z posledn´ı rovnice je vidˇet, ˇze z = 111 . Zpˇetn´ ym dosazov´ an´ım pak z´ısk´ ame dalˇs´ı koˇreny. I tuto pr´ aci za n´ as vˇsak udˇel´ a Maple. Staˇc´ı jen m´ısto pˇr´ıkazu gausselim pouˇz´ıt pˇr´ıkaz gaussjord(oznaceni matice). > evalm(C)=gaussjord(C);  10  1 0 0    111  1 4 3 1     −2 3 7 2  =  0 1 0 −1    111  −3 5 1 0   35 0 0 1 111

Hodnoty vˇsech nezn´ am´ ych tak z´ısk´ av´ ame pˇr´ımo. Ne vˇzdy vˇsak m´ a soustava rovnic pr´ avˇe jedno ˇreˇsen´ı. Mus´ıme proto vˇedˇet, jak výstup pˇr´ıkazu interpretovat! Cviˇ cen´ı Pomoc´ı uvedeného postupu jsme z´ıskali tento výsledek. Co v´ıme o ˇreˇsen´ı soustavy rovnic? > restart: with(linalg): > A:=matrix(3,3,[[1,4,3],[2,3,7],[-6,-14,-20]]): > X:=matrix(3,1,[[x],[y],[z]]): B:=matrix(3,1,[[1],[2],[0]]): > C:=augment(A,B): > evalm(C)=gaussjord(C); Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected

 





1 0

 1 4 3 1  2 3 7 2 =  0 1  −6 −14 −20 0 0 0

19 5 −1 5 0

0



   0  

1

Cviˇ cen´ı ˇ Reknˇ eme, ˇze n´ as konkrétn´ı ˇreˇsen´ı nezaj´ım´ a a chceme pouze zjistit, zda je soustava rovnic ˇreˇsiteln´ a. Jak to udˇel´ ame?

3.4

Chybov´ a hl´ aˇ sen´ı

V n´ asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybové hl´ aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´ avaný výsledek. Poté pˇr´ıkaz opravte. > A:=matrix(2,2,1,2,3,4); Error, (in matrix) invalid arguments >

A:=matrix(3,2,[[1,2,1],[3,4,2]]);

Error, (in matrix) 2nd index, 3, larger than upper array bound 2 > >

A:=matrix(2,2,[[1,2],[3,4]]): B:=matrix(3,3,[[1,2,3],[3,4,5]]): evalm(A+B);

Error, (in linalg[matadd]) matrix dimensions incompatible > >

A:=matrix(2,2,[[1,2],[3,4]]): B:=matrix(2,2,[[-1,2],[4,4]]): A&*B; A+B; A &∗ B A+B

Matematika 1

14

Shrnut´ı Matici zad´ av´ ame pˇr´ıkazem matrix(jmeno). V´ ysledky maticov´ ych operac´ı zobraz´ıme pˇr´ıkazem evalm(co). Pro sˇc´ıt´ an´ı matic a n´ asoben´ı ˇc´ıslem pouˇz´ıv´ ame bˇeˇzné operátory – pro n´ asoben´ı matic vˇsak mus´ıme pouˇz´ıt &*. Transponovanou matici najdeme pˇr´ıkazem transpose(matice), inverzn´ı matici pˇr´ıkazem inverse(matice). Determinant urˇc´ıme pˇr´ıkazem det(matice). Pˇri ˇreˇsen´ı soustav rovnic vyuˇzijeme pˇr´ıkazy solve, fsolve, gausselim a gaussjord.


4

15

Diferenci´ aln´ı poˇ cet I

C´ıl kapitoly Pomoc´ı programu Maple lze jednoduch´ ym zp˚ usobem hledat limity funkc´ı a poˇc´ıtat derivace – to je obsahem prvn´ıch dvou ˇcást´ı této kapitoly. Ve tˇret´ı ˇcásti budeme krok za krokem ˇreˇsit u ´ lohu o pr˚ ubˇehu ˇ sen´ı zakonˇc´ıme vykreslen´ım grafu funkce. funkce. Reˇ

4.1 4.1.1

Limita funkce Co je potˇ reba zn´ at

Pro v´ ypoˇcet limit funkc´ı v Maplu je tˇreba nejprve ovl´ adat z´ aklady zad´ av´ an´ı funkc´ı. 4.1.2

Z´ aklady

Limitu funkce lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı pˇr´ıkazu limit(funkce,promenna=hodnota). Tak napˇr. > restart: > limit(x^2,x=3); 9 M˚ uˇzeme ale volit i pˇrehlednˇejˇs´ı v´ ypis. Pˇr´ıkaz Limit(funkce,promenna=hodnota) pouze pˇrep´ıˇse zad´ an´ı do bˇeˇzného tvaru, proto kdyˇz pouˇzijeme oba pˇr´ıkazy vedle sebe, z´ısk´ ame: > Limit(x^2,x=3)=limit(x^2,x=3); lim x2 = 9

x→3

Jeˇstˇe jednoduˇsˇs´ıho a pˇrehlednˇejˇs´ıho zápisu doc´ıl´ıme, pokud nejprve funkci a bod nadefinujeme: > funkce:=x^2: bod:=3 : Limit(funkce, x=bod)=limit(funkce, x=bod); lim x2 = 9

x→3

Cviˇ cen´ı Ve výˇse uvedeném tvaru zadejte a vypoˇctˇete limx→1 √ x+3 x−1

x ex√ , ln(x)+ x

limx→1

x

4.1.3

Limita parci´ aln´ı funkce (limity zleva a zprava)

limx→2

sin(x)+cos(x) x+3

, limx→0

x2 +4 x

,

Pˇr´ıkaz limit umoˇzn ˇuje poˇc´ıtat i jednostranné limity; staˇc´ı jej pouze doplnit na tvar limit(funkce,promenna=hodnota,smer), kde parametr smer nabýv´ a hodnot left nebo right. Analogicky funguje i pˇr´ıkaz Limit. M˚ uˇzeme tedy ps´ at napˇr.: > Limit(1/x,x=0,left)=limit(1/x,x=0, left); > Limit(1/x,x=0,right)=limit(1/x,x=0,right); 1 lim = −∞ x→0− x 1 lim =∞ x→0+ x Cviˇ cen´ı Definujte funkci, kter´ a v nˇejakém bodˇe svého definiˇcn´ıho oboru nem´ a limitu, a urˇcete v tomto bodˇe limity zleva a zprava. Pokud se budete cht´ıt pˇresvˇedˇcit obr´ azkem, nastudujte si, jak vykreslovat grafy funkc´ı.

Matematika 1

4.1.4

16

Limity v nevlastn´ıch bodech

Pro poˇc´ıt´ an´ı limit v nevlastn´ıch bodech plat´ı stejné pˇr´ıkazy jako pro limity ve vlastn´ıch bodech. Pouze je tˇreba ps´ at x → ∞, tj. x=infinity, resp. x=-infinity. > Limit(exp(x),x=-infinity)=limit(exp(x),x=-infinity); lim

x→(−∞)

ex = 0

Cviˇ cen´ı Pro jednu zn´ amou funkci plat´ı, ˇze jej´ı limita pro x → ∞ je rovna nekoneˇcnu, jej´ı limita zprava pro x → 0 je rovna −∞, pˇriˇcemˇz pro z´ aporn´ a x tato funkce nen´ı definov´ ana. Najdˇete tuto funkci a ovˇeˇrte uveden´ a tvrzen´ı o limit´ ach. Pokud se budete cht´ıt pˇresvˇedˇcit obr´ azkem, nastudujte si, jak vykreslovat grafy funkc´ı. 4.1.5


V n´ asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybové hl´ aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´ avaný výsledek. Poté pˇr´ıkaz opravte. > limit(2x/(x+1)^2,x=1); Error, missing operator or ‘;‘ >

limit(x^2);

Error, (in limit) too few arguments >

limit(sin(y),x=1); sin(y)

4.2 4.2.1

Derivace Co je potˇ reba zn´ at

Pro v´ ypoˇcet derivac´ı funkc´ı v Maplu je tˇreba nejprve ovl´ adat z´ aklady zad´ av´ an´ı funkc´ı. 4.2.2

Z´ aklady

Derivaci funkce na intervalu lze vypoˇc´ıtat pomoc´ı pˇr´ıkazu diff(funkce,promenna). > restart: > diff(x^2,x); 2x Na funkci se také m˚ uˇzeme v pˇr´ıkazu diff pouze odk´ azat, tedy uvést jen jej´ı oznaˇcen´ı. Uk´ azat jak. Podobnˇe jako pˇr´ıkaz limit, má i pˇr´ıkaz diff variantu Diff. V´ ystup se vˇsak na prvn´ı pohled zd´ a pˇr´ıliˇs sloˇzit´ y: > Diff(x^2,x)=diff(x^2,x); ∂ ∂x

x2 = 2 x

Oznaˇcen´ı y = x2 , y’ = 2 x je moˇzno doc´ılit t´ımto postupem (vˇsimnˇete si, ˇze ve druhém a tˇret´ım ˇra´dku je pouˇzito = nikoliv :=. Nejedn´ a se proto o pˇriˇrazen´ı hodnoty ale pouze o kosmetickou u ´ pravu“). ” > with(PDEtools): declare(y(x),prime=x): y(x), will now be displayed as, y >

derivatives with respect to :, x, of functions of one variable will now be displayed with funkce:=x^2: y=funkce; y = x2

′


>

17

diff(y(x),x)=diff(funkce,x); y′ = 2 x

Cviˇ cen´ı a poˇc´ıtaˇcový výstup výsledku, který dostanete pˇri Zadejte a vypoˇctˇete derivace funkci y = tg2x . Odpov´ıd´ ruˇcn´ım poˇc´ıt´ an´ı? Pokud ne, zkuste tento rozpor objasnit. Poˇc´ıt´ ame-li derivaci funkce v bodˇe, najdeme nejprve pˇr´ıkazem diff(funkce,promenna) derivaci funkce a poté provedeme dosazen´ı pˇr´ıkazem subs(promenna=hodnota,kam). > funkce:=x^3+3*x^2: derivace:=diff(funkce,x): subs(x=2,derivace); 24 Cviˇ cen´ı x+1 v bodˇe x = 2 a porovnˇejte výsledek z Maplu s výsledkem pˇri ruˇcn´ım Urˇcete derivaci funkce y = x+3 poˇc´ıt´ an´ı. Mohou se z´ıskané hodnoty liˇsit?

4.2.3

Derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u > restart: Zmˇena parametru u pˇr´ıkazu diff na diff(funkce,x$rad derivace) umoˇzn ˇuje hledat derivace vyˇsˇs´ıch ˇra ´d˚ u. > funkce:=x^4: diff(funkce,x$2); diff(funkce,x$3); diff(funkce,x$4); 12 x2 24 x 24 Cviˇ cen´ı Urˇcete druhou derivaci funkce y = pˇr´ıpadný rozpor. 4.2.4

tg x 2

a srovnejte ji s výsledkem dosaˇzeným pˇri ruˇcn´ım poˇc´ıt´ an´ı. Vysvˇetlete


V n´ asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybové hl´ aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´ avaný výsledek. Poté pˇr´ıkaz opravte. > funkce:=sqrt(x): diff(y); Error, wrong number (or type) of parameters in function diff >

funkce:=ln(x): diff(funkce);

Error, wrong number (or type) of parameters in function diff >

funkce:=exp(x): diff(funkce,x=1);

Error, wrong number (or type) of parameters in function diff >

with(PDEtools): declare(y(x),prime=x): y(x), will now be displayed as, y

>

derivatives with respect to :, x, of functions of one variable will now be displayed with y:=x^3: diff(y(x),x)=diff(y,x); 3 x(x)2 x ′ = 3 x2

′

Matematika 1

4.3 4.3.1

18

Pr˚ ubˇ eh funkce Co je potˇ reba zn´ at

Pˇri vyˇsetˇrov´ an´ı pr˚ ubˇehu funkce pomoc´ı programu Maple je tˇreba umˇet naj´ıt limitu funkce v daném bodˇe a naj´ıt derivaci funkce (vˇcetnˇe derivace druh´ eho ˇ ra ´du). 4.3.2

Definiˇ cn´ı obor, obor hodnot, nulov´ e body funkce

Zaˇcnˇeme informacemi, které lze o funkci z´ıskat z jej´ıho pˇredpisu. Pˇri urˇcov´ an´ı, kdy funkce nab´ yv´ a kladn´ ych a záporn´ ych hodnot, a pˇri hled´ an´ı nulov´ ych bod˚ u funkce vyuˇzijeme pˇr´ıkaz solve(nerovnice), resp. solve(v´ yraz). Pokud je z´ıskan´ y v´ yraz pˇr´ıliˇs komplikovan´ y, pouˇzijte pˇr´ıkaz fsolve(v´ yraz). > restart: > y:=1/(x^2-6*x+8); 1 y := 2 x −6x+8 > kladna:=solve(y>0); zaporna:=solve(y<0); nulove_body:=solve(y=0); kladna := RealRange(−∞, Open(2)), RealRange(Open(4), ∞) zaporna := RealRange(Open(2), Open(4))

nulove body := Vid´ıme tedy, ˇze funkce je definov´ ana pro x 6= {2, 4} (Open znamená na pˇr´ısluˇsné stranˇe otevˇren´ y interval) a osu x neprot´ın´ a. Funkce nab´ yv´ a kladn´ ych hodnot na intervalech ( −∞, 2) a ( 4, ∞), záporn´ ych hodnot na intervalu ( 2, 4). 4.3.3

Funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, stacion´ arn´ı body

Dalˇs´ı informace o funkci n´ am poskytne jej´ı prvn´ı derivace. Vzhledem k tomu, ˇze Maple nemus´ı derivaci urˇcit v pˇrehledném tvaru, pouˇzijeme pˇr´ıkaz simplify(co). Poté urˇc´ıme, kde je funkce rostouc´ı, kde klesaj´ıc´ı a kde má inflexn´ı bod. > prvni_derivace:=simplify(diff(y,x)); x−3 prvni derivace := −2 2 (x − 6 x + 8)2 > rostouci:=solve(prvni_derivace>0); > klesajici:=solve(prvni_derivace<0); > stacionarni_body:=solve(prvni_derivace=0); rostouci := RealRange(−∞, Open(2)), RealRange(Open(2), Open(3)) klesajici := RealRange(Open(3), Open(4)), RealRange(Open(4), ∞)

stacionarni body := 3 Mus´ıme ovˇsem rozliˇsovat, které intervaly patˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru dané funkce. V tomto pˇr´ıpadˇe vid´ıme, ˇze funkce roste na intervalu ( −∞, 2) a ( 2, 3) , kles´ a na intervalech ( 3, 4) a ( 4, ∞) a stacion´ arn´ım bodem je bod x = 3. 4.3.4

Konk´ avnost, konvexnost funkce, inflexn´ı body

Informace o tvaru kˇrivky a povaze lok´ aln´ıch extrém˚ u n´ am poskytne jej´ı druh´ a derivace. > druha_derivace:=simplify(diff(prvni_derivace,x)); 3 x2 − 18 x + 28 (x2 − 6 x + 8)3 konvexni:=solve(druha_derivace>0); konkavni:=solve(druha_derivace<0); inflexni_body:=solve(druha_derivace=0); druha derivace := 2

> >

konvexni := RealRange(−∞, Open(2)), RealRange(Open(4), ∞)


19

konkavni := RealRange(Open(2), Open(4)) 1 √ 1 √ inflexni body := 3 + I 3, 3 − I 3 3 3 Podobnˇe jako u prvn´ıch derivac´ı mus´ıme rozliˇsovat, které intervaly patˇr´ı do definiˇcn´ıho oboru funkce. Zde vid´ıme, ˇze funkce je konvexn´ı (tj. nad teˇcnou) na intervalu ( −∞, 2) a ( 4, ∞) a konk´ avn´ı (tj. pod teˇcnou) na intervalu ( 2, 4). Funkce nemá reálné inflexn´ı body (I znaˇc´ı imagin´ arn´ı jednotku). 4.3.5

Lok´ aln´ı extr´ emy

Pomoc´ı hodnot druhé derivace m˚ uˇzeme také rozhodnout o typech lok´ aln´ıch extrém˚ u funkce. V´ıme o nich, ˇze mohou nastat ve stacion´ arn´ıch bodech – o jejich charakteru pak rozhoduje znaménko druhé derivace v tˇechto bodech. Proto: > s1:=stacionarni_body: > druha_derivace_v_s1:=subs(x=s1,druha_derivace); druha derivace v s1 := −2 > if(druha_derivace_v_s1<0) then print(’maximum’) end if; > if(druha_derivace_v_s1>0) then print(’minimum’) end if; > if(druha_derivace_v_s1=0) then print(’takto_nelze_rozhodnout’) end if; maximum Pokud by bylo stacion´ arn´ıch bod˚ u v´ıce, museli bychom ps´ at sn:=stacionarni body[n], kde parametr n (v hranat´ ych závork´ ach) by byl indexem stacion´ arn´ıho bodu, pˇriˇcemˇz prvn´ı bod by mˇel index 1. Analogicky bychom pak museli opravit i n´ asleduj´ıc´ı ˇrádky. (Pozn.: Sekvence pˇr´ıkaz˚ u if, then, print, a end if je pouze kosmetick´ a záleˇzitost“, jej´ıˇz v´ yklad ” pˇresahuje rámec tohoto textu. Zajiˇst’uje, aby Maple vypsal správnou moˇznost, tedy maximum, minimum, resp. takto nelze rozhodnout ). 4.3.6

Asymptoty grafu funkce

Asymptoty bez smˇernice (svislé) budeme hledat v krajn´ıch bodech interval˚ u, kde funkce nen´ı definov´ ana. Zaj´ımá n´ as totiˇz, jak se funkce chov´ a v krajn´ıch bodech svého definiˇcn´ıho oboru. V naˇsem pˇr´ıpadˇe nen´ı funkce definov´ ana v bodech x = 2 a x = 4. Proto budeme zkoumat jednostranné limity v tˇechto bodech. > Limit(y,x=2,right)=limit(y,x=2,right); > Limit(y,x=2,left)=limit(y,x=2,left); > Limit(y,x=4,right)=limit(y,x=4,right); > Limit(y,x=4,left)=limit(y,x=4,left); 1 lim = −∞ x→2+ x2 − 6 x + 8 1 lim =∞ x→2− x2 − 6 x + 8 1 lim 2 =∞ x→4+ x − 6 x + 8 1 lim = −∞ x→4− x2 − 6 x + 8 Kromˇe svisl´ ych asymptot mohou existovat i jiné – asymptoty se smˇernic´ı. Bude n´ as zaj´ımat, ˇcemu se bl´ıˇz´ı hodnoty funkce za situace, kdy se x bl´ıˇz´ı + ∞ nebo −∞. > Limit(y/x,x=infinity)=limit(y/x,x=infinity); > k1:=limit(y/x,x=infinity): > Limit(y-k1*x,x=infinity)=limit(y-k1*x,x=infinity); > q1:=limit(y-k1*x,x=infinity): asymptota_1:=k1*x+q1; 1 lim =0 x→∞ (x2 − 6 x + 8) x lim

x→∞

1 =0 x2 − 6 x + 8

Matematika 1

> > > >

20

asymptota 1 := 0 Limit(y/x,x=-infinity)=limit(y/x,x=-infinity); k2:=limit(y/x,x=-infinity): Limit(y-k2*x,x=-infinity)=limit(y-k2*x,x=-infinity); q2:=limit(y-k2*x,x=-infinity): asymptota_2:=k2*x+q2; 1 lim =0 x→(−∞) (x2 − 6 x + 8) x 1 =0 2 x − 6 x+8 x→(−∞) lim

asymptota 2 := 0

V tomto pˇr´ıpadˇe je jedinou asymptotou se smˇernic´ı pˇr´ımka y = 0, tj. osa x. 4.3.7

Vykreslen´ı grafu funkce

Nyn´ı m˚ uˇzeme graf funkce nechat vykreslit. Nejprve si vˇsak zopakujme, co o dané funkci v´ıme: • nen´ı definov´ ana v bodech x = {2, 4}, nab´ yv´ a kladn´ ych hodnot na intervalech ( −∞, 2) a ( 4, ∞), záporn´ ych hodnot na intervalu ( 2, 4), • na intervalech ( −∞, 2 ) a ( 2, 3) roste, na intervalech (3,4) a ( 4, ∞) kles´ a, • v bodˇe x = 3 má lok´ aln´ı maximum y = −2, • na intervalech ( −∞, 2) a ( 4, ∞) je konvexn´ı (tedy leˇz´ı nad teˇcnou), na intervalu ( 2, 4) je konk´ avn´ı (tedy leˇz´ı pod teˇcnou), pˇriˇcemˇz nemá inflexn´ı bod, • v okol´ı bodu x = 2 nab´ yv´ a zprava velk´ ych záporn´ ych hodnot, zleva velk´ ych kladn´ ych hodnot; v okol´ı bodu x = 4 zprava velk´ ych kladn´ ych hodnot, zleva velk´ ych záporn´ ych hodnot, • osa x je asymptotou grafu funkce. Graf vykresl´ıme pomoc´ı funkce plot(funkce,x=od..do). > plot(y,x=-infinity..infinity); Z´ıskan´ y v´ ysledek vˇsak nen´ı zcela optimáln´ı: jednak neposkytuje pˇredstavu o mˇeˇr´ıtku a proporc´ıch, jednak jsou v obr´ azku zakresleny svislé ˇcáry, které podle naˇsich zjiˇstˇen´ı nemaj´ı ˇzádné opodstatnˇen´ı. Proto je potˇreba pˇr´ıkaz plot doplnit o dalˇs´ı parametry: scaling=constrained zajist´ı stejné mˇeˇr´ıtko na obou os´ ach a discont=true odstran´ı omezen´ı programu ohlednˇe bod˚ u nespojitosti, kdy se spojuj´ı hodnoty + ∞ a −∞. Omez´ıme také oblast, kterou budeme cht´ıt vykreslit, a pˇrid´ ame specifikaci rozsahu y-ové osy. > plot(y,x=-1..7,-3..3,scaling=constrained,discont=true); Nˇekdy m˚ uˇzeme cht´ıt vykreslit do jednoho obr´ azku v´ıce funkc´ı. V tom pˇr´ıpadˇe bude sekvence pˇr´ıkaz˚ u n´ asleduj´ıc´ı: > restart: > funkce1:=x^2: funkce2:=sqrt(x): > plot({funkce1, funkce2}, x=0..1.2,0..1.2);


21

infinity

-infinity

infinity

x

-infinity

Obr´ azek 4.1: Zobrazen´ı grafu funkce bez specifikovan´ ych parametr˚ u.

3 2 1

–1

0

1

2

3 x 4

5

6

7

–1 –2 –3

Obr´ azek 4.2: Graf, kde jsme zadali parametry.

4.3.8


V n´ asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybové hl´ aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´ avaný výsledek. Poté pˇr´ıkaz opravte. > restart: y:=ln(x): solve({y<0, y=0, y>0}); a nez´ısk´ ame ˇzádn´ y v´ ystup > restart: stacionarni_body:=solve(x^2-4*x+3); > druha_derivace:=2*x^3; > s1:=stacionarni_body: > druha_derivace_v_s1:=subs(x=s1,druha_derivace);

Matematika 1

22

1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0

0.2

0.4

0.6 x

0.8

1

1.2

Obr´ azek 4.3: V´ıce funkc´ı v jednom grafu.

stacionarni body := 3, 1 druha derivace := x − 4 Error, invalid terms in sum >

restart: y:=ln(x): plot(funkce,x=-1..10,y=-4..3);

Error, (in plot) invalid arguments

Cviˇ cen´ı Aplikujte uvedený postup na funkce uvedené v elektronickém textu Fuchs, P, Krupkov´ a, V.: Matematika 1.

Shrnut´ı Na v´ ypoˇcet limit slouˇz´ı pˇr´ıkaz limit(funkce,x=bod). Derivace najdeme pˇr´ıkazem diff(funkce,promenna), pˇriˇcemˇz parametrem promenna$rad ovlivn´ıme ˇrád derivace. Oba pˇr´ıkazy existuj´ı ve variantˇe s velk´ ym poˇcáteˇcn´ım p´ısmenem, tj. Limit(funkce,x=bod) a Diff(funkce,promenna). Tyto pˇr´ıkazy zajiˇst’uj´ı pˇreps´ an´ı zad´ an´ı do matematického tvaru. Vˇsechny dosavadn´ı znalosti vyuˇzijeme pˇri ˇreˇsen´ı u ´ lohy o pr˚ ubˇehu funkce. Graf funkce nakonec vykresl´ıme pomoc´ı pˇr´ıkazu plot, pˇriˇcemˇz m˚ uˇzeme pomoc´ı r˚ uzn´ ych parametr˚ u ovlivnit jeho v´ yslednou podobu. Z´ apis plot({funkce1, funkce2, funkce3 atd.},x=od..do) n´ am umoˇzn´ı nechat do jednoho grafu vykreslit v´ıce funkc´ı.


5

23

Integr´ aln´ı poˇ cet funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e

C´ıl kapitoly Pomoc´ı programu Maple m˚ uˇzeme velmi jednoduˇse hledat primitivn´ı funkce a poˇc´ıtat urˇcité integr´ aly. Uk´ aˇzeme, jak´ ym zp˚ usobem lze ze zad´ an´ı ihned z´ıskat v´ ysledek i to, jak volit r˚ uzné substituce a do jisté m´ıry tak napodobit ruˇcn´ı v´ ypoˇcet. V této kapitole se také nauˇc´ıme, jak pomoc´ı Maplu prov´ adˇet rozklad na parci´ aln´ı zlomky.

5.1 5.1.1

Neurˇ cit´ y integr´ al Co je potˇ reba zn´ at

Pro v´ ypoˇcet neurˇcit´ ych integrál˚ u pomoc´ı programu Maple je tˇreba nejprve ovl´ adat z´ aklady zad´ av´ an´ı funkc´ı. 5.1.2

Z´ aklady

Pro výpoˇcet integr´ al˚ u pouˇz´ıv´ a Maple pˇr´ıkaz int(funkce,promenna). Podobnˇe jako u limit a derivac´ı má i pˇr´ıkaz int dvˇe varianty: int pro vlastn´ı v´ ypoˇcet a Int pro zobrazen´ı. > restart: y:=sin(2*x): Int(y,x)=int(y,x); Z 1 sin(2 x) dx = − cos(2 x) 2 5.1.3

Substituce

V´ıme, ˇze korektnˇe zapsan´ y v´ ysledek tohoto pˇr´ıkladu je − 21 cos 2x + c. Konstanta c vˇsak nab´ yv´ a r˚ uzn´ ych hodnot a v´ ysledné primitivn´ı funkce se pak mohou znaˇcn´ ym zp˚ usobem liˇsit. Uvˇedom´ıme-li si totiˇz, ˇze sin(2 x) = 2 sin(x) cos(x), z´ısk´ av´ ame zcela odliˇsn´ y v´ ysledek: > y:=2*sin(x)*cos(x): Int(y,x)=int(y,x); Z 2 sin(x) cos(x) dx = −cos(x)2 Proto je vhodné m´ıt ve sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıkladech nad v´ ypoˇctem kontrolu a nespoléhat se na pouh´ y v´ ystup pˇr´ıkazu int.

Pˇri ˇreˇsen´ı integrál˚ u pomoc´ı substituc´ı je tˇreba pˇr´ıkazem with(student) nahr´ at potˇrebnou knihovnu. Poté nadefinujeme substituci a pˇr´ıkazem changevar zmˇen´ıme promˇenné. V´ ysledek substituce pro jistotu pˇr´ıkazem simplify zpˇrehledn´ıme. > restart: with(student): > y:= 1/(x*(sqrt(x^2-1))): integral:=Int(y,x): substituce:= > sqrt(x^2-1)=t: > novy_integral:=simplify(changevar(substituce,integral,t)): > substituce; integral=novy_integral; √ x2 − 1 = t Z Z 1 1 √ dx = dt 1 + t2 x x2 − 1 Tento integr´ al m˚ uˇzeme urˇcit pomoc´ı pˇr´ıkazu value(integral). M˚ uˇzeme také integrál pˇrepsat a vyˇreˇsit pˇr´ıkazem int. > novy_integral=value(novy_integral); > Int(1/(1+t^2),t)=int(1/(1+t^2),t); Z 1 dt = arctan(t) 1 + t2 Z 1 dt = arctan(t) 1 + t2

Matematika 1

5.1.4

24

Rozklad na parci´ aln´ı zlomky

V mnoha situac´ıch pˇri v´ ypoˇctu integrál˚ u potˇrebujeme provést rozklad na parci´ aln´ı zlomky. V Maplu toho lze dos´ ahnout pomoc´ı pˇr´ıkazu convert(vyraz,parfrac,promenna). > vyraz:=(5*x+5)/(x^2-x-6): vyraz=convert(vyraz,parfrac,x); 5x+5 1 4 = + 2 x −x−6 x+2 x−3 5.1.5


V n´ asleduj´ıc´ıch pˇr´ıkladech se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybové hl´ aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´ avaný výsledek. Poté pˇr´ıkaz opravte. > restart: with(student): Int(x^3+x^2)=int(x^3+x^2); Error, (in Int) usage: Int(f, x) or Int(f, x=a..b) > > >

restart: with(student): y(x):= 1/(3-sqrt(x+1)): i:=Int(y(x),x); substituce=sqrt(x+1):=t; novy_i:=simplify(changevar(substituce,i,t)); Z 1 √ i := dx 3− x+1

Error, invalid left hand side of assignment

Error, (in changevar) wrong number (or type) of parameters in function lhs

Cviˇ cen´ı R ex √arctan(ex ) dx. Zkouˇsejte r˚ uzné substituce. Pokud zvol´ıte jednu z nich, dostanete na prvn´ı Urˇcete 1+e(2 x) pohled komplikovaný nový integr´ al. O jakou funkci se ve skuteˇcnosti jedn´ a?

5.2 5.2.1

Urˇ cit´ y integr´ al Co je potˇ reba zn´ at

Pro v´ ypoˇcet urˇcit´ ych integrál˚ u pomoc´ı programu Maple je tˇreba nejprve ovl´ adat z´ aklady zad´ av´ an´ı funkc´ı. Dále je tˇreba umˇet poˇc´ıtat neurˇ cit´ e integr´ aly. 5.2.2

Z´ aklady

Pokud jako parametr pˇr´ıkazu int (resp. Int) zad´ ame x=dolni mez..horni mez, m˚ uˇzeme pomoc´ı Maplu poˇc´ıtat urˇcité integr´ aly. > restart: > y:=x^2: a:=1: b:=4: Int(y,x=a..b)=int(y,x=a..b); Z 4 x2 dx = 21 1

5.2.3

Substituce

Totéˇz plat´ı pro substituce. > with(student): > y:=x^3*sqrt(x^2+1): a:=0: b:=2: integral:=Int(y,x=a..b): > substituce:=x^2+1=t^2: > novy_integral:=simplify(changevar(substituce,integral,t)): > substituce; integral=novy_integral; x2 + 1 = t2


Z

0

2

√ x x2 + 1 dx = 3

Z

25

√ 5

(−1 + t2 ) t2 dt

1

Cviˇ cen´ı Vypoˇctˇete obsah plochy ohraniˇcené kˇrivkami y = −x2 + 2, x = 0, y = 0. √ Vypoˇctˇete délku kˇrivky y = arcsin(x) + 1 − x2 mezi body x = − 12 a x = 1.

Shrnut´ı K v´ ypoˇctu integrál˚ u slouˇz´ı pˇr´ıkaz int(funkce, promenna). Pokud zad´ ame jako parametr promenna=od..do, m˚ uˇzeme poˇc´ıtat urˇcité integrály. Sekvenc´ı pˇr´ıkaz˚ u substituce:=vyraz=novapromenna: changevar(substituce,staryintegral,novapromenna) m˚ uˇzeme zkouˇset r˚ uzné substituce. Pˇr´ıkaz int(funkce,promenna) má variantu Int(funkce,promenna), kter´ a pouze pˇrep´ıˇse zad´ an´ı do matematického tvaru. K rozkladu na parci´ aln´ı zlomky slouˇz´ı pˇr´ıkaz convert(vyraz, parfrac, promenna).

Matematika 1

6

26

Diferenci´ aln´ı poˇ cet II

C´ıl kapitoly V této kapitole se nejprve nauˇc´ıme hledat parci´ aln´ı derivace funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych. Poté si uk´ aˇzeme, jak v Maplu hledat lok´ aln´ı extrémy funkc´ı dvou promˇenn´ ych. Nakonec se seznám´ıme s postupem, kter´ y umoˇzn´ı vykreslit grafy funkc´ı dvou promˇenn´ ych.

6.1 6.1.1

Parci´ aln´ı derivace Co je potˇ reba zn´ at

V´ ypoˇcet parci´ aln´ıch derivac´ı pomoc´ı Maplu vyuˇz´ıv´ a stejné pˇr´ıkazy jako v´ ypoˇcet derivac´ı funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e. Proto je tˇreba umˇet pracovat s pˇr´ıkazy diff a Diff. Pro v´ ypoˇcet parci´ aln´ıch derivac´ı vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u je tˇreba umˇet naj´ıt derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ ra ´d˚ u funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e. 6.1.2

Parci´ aln´ı derivace

Nejprve nadefinujeme funkci v´ıce promˇenn´ ych a poté pouˇzijeme pˇr´ıkaz diff, resp. Diff, ve kterém urˇc´ıme, podle které promˇenné budeme derivovat. > restart: > z:=x*y+sqrt(x)-exp(y); Diff(z,x)=diff(z,x); Diff(z,y)=diff(z,y); √ z := x y + x − ey 1 √ ∂ x − ey ) = y + √2 ∂x (x y + x √ ∂ x − ey ) = x − ey ∂y (x y + Podobnˇe jako u derivac´ı funkc´ı jedné promˇenné m˚ uˇzeme zmˇenit charakter v´ ystupu (vˇsimnˇete si, ˇze na druhém a tˇret´ım ˇrádku je pouˇzito =, nikoliv :=, proto se opˇet jedn´ a o kosmetickou“ u ´ pravu, nikoliv o ” pˇriˇrazen´ı hodnot promˇenn´ ym; funkˇcn´ı pˇredpis je stále uloˇzen v promˇenné funkce). > restart: with(PDEtools): declare(z(x,y)); >

>

z(x, y), will now be displayed as, z funkce:=x*y+sqrt(x)-exp(y): z=funkce; √ z = x y + x − ey diff(z(x,y),x)=diff(funkce,x); diff(z(x,y),y)=diff(funkce,y); 1 zx = y + √2 x

zy = x − ey Parciáln´ı derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u najdeme podobnˇe jako u funkce jedné promˇenné, a sice tak, ˇze v pˇr´ıkazu diff za znakem $ urˇc´ıme ˇrád derivace. > z:=x*y+sqrt(x)-exp(y): Diff(z,x$2)=diff(z,x$2); √ 1 1 ∂2 x − ey ) = − ∂x2 (x y + 4 x(3/2) Jin´ y v´ ystup z´ısk´ ame pomoc´ı pˇr´ıkazu > diff(z(x,y),x$2)=diff(funkce,x$2); 1 1 zx, x = − 4 x(3/2) Pˇri v´ ypoˇctu sm´ıˇsen´ ych derivac´ı p´ıˇseme > Diff(funkce,x,y)=diff(funkce,x,y); > Diff(funkce,y,x)=diff(funkce,y,x);


∂2 ∂y ∂x ∂2 ∂x ∂y

27

√ x − ey ) = 1 √ (x y + x − ey ) = 1 (x y +

Cviˇ cen´ı Podle z´ apisu na posledn´ım ˇra ´dku derivuje Maple v jiném poˇrad´ı, neˇz zad´ av´ ame. Dok´ aˇzete tento rozpor vysvˇetlit? Upravte posledn´ı výpis na tvar zxy =

6.2 6.2.1

Lok´ aln´ı extr´ emy funkc´ı dvou promˇ enn´ ych Co je potˇ reba zn´ at

Pˇri hled´ an´ı lok´ aln´ıch extrém˚ u funkce dvou promˇenn´ ych vyuˇzijete poznatky o zad´ av´ an´ı matic, v´ ypoˇ ctu determinant˚ u, derivac´ıch, derivac´ıch vyˇ sˇ s´ıch ˇ ra ´d˚ u a parci´ aln´ıch derivac´ıch. 6.2.2

Stacion´ arn´ı body

Nejprve nahrajeme potˇrebné knihovny a zad´ ame funkci, jej´ıˇz extrémy hled´ ame. Zvolme napˇr. funkci z = x3 + y 3 − 3 x y. (Z´ aroveˇ n budeme db´ at na pˇrehlednost v´ ystupu, proto funkci zad´ ame na dvakr´ at“.) ” > restart: with(linalg): with(PDEtools): declare(z(x,y)): Warning, the protected names norm and trace have been redefined and unprotected >

z(x, y), will now be displayed as, z funkce:=x^3+y^3-3*x*y: z=funkce;

z = x3 + y 3 − 3 x y V´ıme, ˇze extrém m˚ uˇze nast´ avat v bodech, kde jsou vˇsechny parci´ aln´ı derivace nulové. Proto je nejprve urˇc´ıme a potom pˇr´ıkazem solve({v´ yraz1, v´ yraz2}) vyˇreˇs´ıme poˇzadovanou soustavu rovnic. > z_x:=diff(funkce,x): diff(z(x,y),x)=z_x; > z_y:=diff(funkce,y): diff(z(x,y),y)=z_y; zx = 3 x2 − 3 y

>

zy = 3 y 2 − 3 x stacionarni_body:=solve({z_x,z_y}); stacionarni body := {y = 0, x = 0}, {y = 1, x = 1}, { y = RootOf( Z 2 + Z + 1, label = L5 ),

x = −1 − RootOf( Z 2 + Z + 1, label = L5 )} Z´ıskané ˇreˇsen´ı zahrnuje i komplexn´ı koˇreny, které n´ as nezaj´ımaj´ı; podstatné jsou pro n´ as body [0,0] a [1,1]. Je tˇreba je nˇejak oznaˇcit, abychom s nimi mohli d´ al pracovat. Promˇenn´ a stacionarni body se skl´ ad´ a ze tˇr´ı sloˇzek (sloˇzené závorky), z nichˇz kaˇzd´ a má dvˇe sloˇzky x=neco a y=neco). Proto nejprve oznaˇc´ıme jednotlivé body (jako pomocné promˇenné) a poté naˇcteme jednotlivé hodnoty. K tomu vyuˇzijeme pˇr´ıkaz rhs(ceho), tj. right hand side = prav´ a strana, (v naˇsem pˇr´ıpadˇe prav´ a strana druhé sloˇzky prvn´ıho bodu) a pˇr´ıkaz vector(slozka1,slozka2). Mus´ıme vˇsak db´ at na poˇrad´ı promˇenn´ ych x a y ve v´ ypisu stacionarni body – pro bod [0,0] m˚ uˇze b´ yt jiné neˇz pro bod [1,1]! > P_1:=stacionarni_body[1]: P_2:=stacionarni_body[2]: > P1:=vector([rhs(P_1[1]),rhs(P_1[2])]); > P2:=vector([rhs(P_2[1]),rhs(P_2[2])]); P1 := [0, 0] P2 := [1, 1]

Matematika 1

6.2.3

28

Typ extr´ emu

Pro rozhodnut´ı, zda ve stacion´ arn´ıch bodech nast´ av´ a extrém, resp. o jaký extrém se jedn´ a, potˇrebujeme zn´ at druhé derivace funkce: > z_xx:= diff(z_x,x): z_xy:=diff(z_x,y): z_yx:=z_xy: z_yy:=diff(z_y,y): > diff(z(x,y),x$2)=z_xx; diff(z(x,y),x,y)=z_xy; diff(z(x,y),y,x)=z_yx; > diff(z(x,y),y$2)=z_yy; zx, x = 6 x zx, y = −3

zx, y = −3 zy, y = 6 y

Sestav´ıme pˇr´ısluˇsnou matici a urˇc´ıme jej´ı determinant. > matice_druhych_derivaci:=matrix(2,2,[[z_xx, z_xy],[z_yx, z_yy]]); > determinant:=det(matice_druhych_derivaci); 6 x −3 matice druhych derivaci := −3 6 y

determinant := 36 x y − 9 Podle hodnoty determinantu v daném bodˇe pak m˚ uˇzeme rozhodnout, zda extrém nast´ av´ a nebo ne. (Sekvence pˇr´ıkaz˚ u if, then, print, a end if je pouze kosmetick´ a záleˇzitost“, jej´ıˇz v´ yklad pˇresahuje ” rámec tohoto textu. Zajiˇst’uje, aby Maple vypsal správnou moˇznost, tedy extrem nenastava, takto nelze rozhodnout, resp. extrem). > determinant_v_P1:=subs(x=P1[1],y=P1[2],determinant); > if (determinant_v_P1<0) then print(P1,’extrem_nenastava’) end if; > if (determinant_v_P1=0) then print(P1,’takto_nelze_rozhodnout’) end > if; > if (determinant_v_P1>0) then print(P1,’extrem’) end if; > determinant_v_P2:=subs(x=P2[1],y=P2[2],determinant); > if (determinant_v_P2<0) then print(P2,’extrem_nenastava’) end if; > if (determinant_v_P2=0) then print(P2,’takto_nelze_rozhodnout’) end > if; > if (determinant_v_P2>0) then print(P2,’extrem’) end if; determinant v P1 := −9 [0, 0], extrem nenastava determinant v P2 := 27 [1, 1], extrem Pokud extrém nast´ av´ a, tak podle znaménka druhé derivace v daném bodˇe m˚ uˇzeme rozhodnout o jeho typu. > z_xx_v_P2:=subs(x=P2[1],y=P2[2],z_xx); > if(z_xx_v_P2<0) then print(P2,’maximum’) else print(P2,’minimum’) end > if; > if(z_xx_v_P2=0) then print(P2,’takto_nelze_rozhodnout’) end if; z xx v P2 := 6 [1, 1], minimum Podobnˇe jako u funkce jedné promˇenné, m˚ uˇzeme i u funkc´ı dvou promˇenn´ ych vykreslit graf funkce. K tomu pouˇzijeme pˇr´ıkaz plot3d, avˇsak nejprve nahrajeme knihovnu plots. > with(plots): Warning, the name changecoords has been redefined

> plot3d(funkce,x=-3..3,y=-3..3); Stejnˇe jako u funkce jedné promˇenné m˚ uˇzeme celou ˇradou parametr˚ u ovlivnit vzhled grafu. Tak napˇr. parametrem axes zobraz´ıme typ, parametrem scaling rozhodneme, zda zobrazit v mˇeˇr´ıtku apod. Vˇzdy vˇsak mus´ıme zadat rozsah na os´ ach x a y.


29

Obr´ azek 6.1: Zobrazen´ı trojrozmˇerného grafu bez specifikovan´ ych parametr˚ u.

>

20 0 –20 –40 –60 –80 –3

plot3d(funkce,x=-3..3,y=-3..3, axes=framed);

–2

–1

y0

1

2

3

3

2

1

0x

–1

–2

–3

Obr´ azek 6.2: Trojrozmˇern´ y graf se zobrazen´ ymi souˇradn´ ymi osami. Jiˇz v u ´ vodu jsme si uk´ azali, ˇze trojrozmˇern´ y graf m˚ uˇzeme uchopit myˇs´ı a r˚ uznˇe nat´ aˇcet, resp. vyvolat r˚ uzné volby.

6.3


V n´ asleduj´ıc´ım pˇr´ıkladu se pokuste urˇcit, co vyvolalo chybové hl´ aˇsen´ı, resp. proˇc neobdrˇz´ıte oˇcek´ avaný výsledek. Poté pˇr´ıkaz opravte.

Matematika 1

> > > > > >

30

restart: z_x:= 3*x^2-3*y: z_y:= 3*y^2-3*x: stacionarni_body:=solve({z_x,z_y}): P:=stacionarni_body: P1:=vector([rhs(P[1]),rhs(P[2])]); P2:=vector([rhs(P[1]),rhs(P[2])]);

Error, wrong number (or type) of parameters in function rhs Error, wrong number (or type) of parameters in function rhs

Zad´ an´ı je totoˇzné s modelov´ ym pˇ r´ıkladem, kde vˇsak z´ısk´ ame dva r˚ uzné body. Cviˇ cen´ı Urˇcete lok´ aln´ı extrémy funkc´ı dvou promˇenných z elektronického textu Fuchs, P, Krupkov´ a, V.: Matematika 1.

Shrnut´ı Parciáln´ı derivace vypoˇc´ıt´ ame, pokud u pˇr´ıkazu diff(funkcevicepromennych, promenna) specifikujeme, podle které promˇenné chceme derivovat. Této znalosti (a znalosti maticov´ ych pˇr´ıkaz˚ u) vyuˇzijeme pˇri hled´ an´ı extrém˚ u funkce v´ıce promˇenn´ ych. Pˇr´ıkazem plot3d(funkce,x=od..do,y=od..do) z knihovny plots (kterou nahrajeme pˇr´ıkazem with(plots)) si m˚ uˇzeme trojrozmˇern´ y graf nechat vykreslit.


7

31

Z´ avˇ er

Program Maple je vhodn´ ym n´ astrojem pro ilustraci l´ atky pˇredmˇetu Matematika 1. N´ azornˇe a intuitivnˇe lze s jeho pomoc´ı poˇc´ıtat s maticemi, ˇreˇsit soustavy rovnic, urˇcovat limity, derivace, v jednotliv´ ych kroc´ıch ˇreˇsit u ´ lohu o pr˚ ubˇehu funkce jedné (i dvou) promˇenn´ ych a poˇc´ıtat urˇcité a neurˇcité integrály. Maple má samozˇrejmˇe mnohem ˇsirˇs´ı pouˇzit´ı. My jsme se seznámili pouze s jednoduch´ ymi n´ avody na ˇreˇsen´ı konkrétn´ıch u ´ loh. Postupy, které jsme uvedli, nejsou jedin´ ymi správn´ ymi (ani nejkratˇs´ımi ˇci nejefektivnˇejˇs´ımi). Jsou vˇsak – alespoˇ n douf´ am – n´ azorné a srozumitelné i studentovi, kter´ y s matematick´ ym softwarem nemá ˇzádné pˇredchoz´ı zkuˇsenosti. Co je vˇsak nutné zn´ at, je teoretické zázem´ı ˇreˇsen´ ych u ´ loh. Maple jako kter´ ykoliv jin´ y program pouze vykon´ av´ a naˇse instrukce, bez ohledu na to, zda maj´ı smysl ˇci ne. V mnoha pˇr´ıpadech n´ am poˇc´ıtaˇc usnadn´ı pr´ aci t´ım, ˇze za n´ as vykon´ a dlouhé ruˇcn´ı poˇc´ıt´ an´ı (napˇr. v´ ypoˇcet determinantu matic vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u). Pokud vˇsak nev´ıme, jak máme danou u ´ lohu ˇreˇsit, ˇci nejsme schopni z´ıskané v´ ysledky správnˇe interpretovat, je veˇskerá pomoc v´ ypoˇcetn´ı techniky zbyteˇcn´ a. Po zvl´ adnut´ı tohoto textu m˚ uˇzete zaˇc´ıt pracovat s programem Maple sami. V´ yhodou je znalost angliˇctiny, v n´ıˇz je psan´ a n´ apovˇeda a z n´ıˇz vych´ az´ı oznaˇcen´ı mnoha pˇr´ıkaz˚ u. M˚ uˇzete také napˇr. zkouˇset upravovat n´ avody a postupy uvedené ve skriptech, vylepˇsovat je a zefektivˇ novat.

Matematika 1

8

32

V´ ysledky cviˇ cen´ı

Z´ aklady pr´ ace s programem Maple Jak zad´ avat pˇ r´ıkazy (a+b)/(c-a), a+(b-c)/a+b*c, (b^2+a^3)^4-(c+1)/(a^2) Jak zad´ avat algebraick´ e v´ yrazy zadejte ˇrádek expand(simplify((x+3)*(x-1)^2*(x^2+1)/(x^2+2*x-3))) Zad´ av´ an´ı element´ arn´ıch funkc´ı (x^2-sqrt(x))/sin(x), cos(3*x^2+pi/4)-ln(x)/(x^3), a-c*(a+b*c/(a+b)), 2*a^3-3*b^4+4*a*b/3, a^(b/c), exp(b/(c^2))

Line´ arn´ı algebra Operace s maticemi – souˇ cet, rozd´ıl a souˇ cin 1. Matice je tˇreba zadat tak, aby souˇcin AC byl stejného typu jako BC. To znamená, ˇze matice A mus´ı b´ yt stejného typu jako matice B. N´ asoben´ı ˇc´ıslem typ matice nezmˇen´ı. 2. Zadejte dvˇe r˚ uzné matice. Pr´ aci si ulehˇc´ıte tak, ˇze si matice nejprve oznaˇc´ıte a poté nap´ıˇsete pˇr´ıkazy evalm(A&*B) a evalm(B&*A). Matice tak mˇen´ıte pouze jednou nikoliv dvakr´ at. Transponovan´ a a inverzn´ı matice, hodnost matice 1. Matice B bude inverzn´ı k A, pokud jejich souˇcinem bude jednotkov´ a matice, proto zadejte pˇr´ıkaz evalm(A&*B). 2. napˇr. inverse(A&*transpose(B)), ovˇsem tak, aby souˇcin byla ˇctvercov´ a matice Determinanty 1. Fakt, ˇze má matice nulov´ y determinant, znamená, ˇze nˇekter´ y ˇrádek (resp. sloupec) je line´ arn´ı kombinac´ı ostatn´ıch ˇrádk˚ u (resp. sloupc˚ u). Poˇcet line´ arnˇe nezávisl´ ych ˇrádk˚ u (resp. sloupc˚ u) matice jsme definovali jako hodnost matice. Tu zjist´ıme pˇr´ıkazem rank(oznaceni_matice). Pokud tedy bude hodnost matice stejná jako poˇcet ˇrádk˚ u (coˇz v tomto pˇr´ıpadˇe znamená také sloupc˚ u) matice, je determinant r˚ uzn´ y od nuly. Matice je proto regul´ arn´ı. 2. Souˇcin mus´ı b´ yt ˇctvercov´ a matice. 3. Souˇcin nesm´ı b´ yt ˇctvercov´ a matice. Soustavy line´ arn´ıch rovnic 1. Posledn´ı sloupec odpov´ıd´ a prav´ ym stranám rovnic, zat´ımco prvn´ı aˇz tˇret´ı lev´ ym stranám. Posledn´ı ˇrádek proto znamená, ˇze 0 = 1, tedy soustava rovnic nemá ˇreˇsen´ı. 2. Zaj´ımá n´ as vztah mezi hodnost´ı matice soustavy a hodnost´ı rozˇs´ıˇrené matice soustavy. Pouˇzijeme proto pˇr´ıkaz rank Chybov´ a hl´ aˇ sen´ı 1. Maple nen´ı schopen urˇcit, kter´ a z ˇc´ısel urˇcuj´ı poˇcet ˇrádk˚ u, poˇcet sloupc˚ u ani co jsou prvky matice. 2. Prvn´ı index oznaˇcuje poˇcet ˇrádk˚ u, druh´ y index poˇcet sloupc˚ u. Pˇri naˇsem oznaˇcov´ an´ı prvk˚ u je to vˇsak pr´ avˇe naopak. 3. Prov´ ad´ıme operaci s maticemi v situaci, kdy to nen´ı pˇr´ıpustné. Zde napˇr. sˇc´ıt´ ame matici (2, 2) s matic´ı (3, 3). 4. Pro zobrazen´ı v´ ysledku maticov´ ych operac´ı mus´ıme pouˇz´ıt pˇr´ıkaz evalm.


33

Diferenci´ aln´ı poˇ cet I Limita funkce Z´ aklady (vˇzdy ve tvaru Limit(co)=limit(co)): limit(x*exp(x)/(ln(x)+sqrt(x)),x = 1), limit((sin(x)+cos(x))/(x+3),x = 2), limit((x^2+4)/x,x = 0), limit(x*sqrt(x+3)/(x-1),x = 1) Limity v nevlastn´ıch bodech: jedn´ a se o funkci ln x. Chybov´ a hl´ aˇsen´ı: 1. Chybnˇe zadan´ a funkce. M´ısto 2x má b´ yt 2*x, 2. V zad´ an´ı nen´ı urˇceno, v jakém bodˇe se má limita poˇc´ıtat. 3. Zadan´ a funkce je funkc´ı promˇenné y, zat´ımco limita se poˇc´ıt´ a v bodˇe x = 1. Derivace Z´ aklady: 1. po zad´ an´ı y:=tan(x)/2: diff(y,x); obdrˇz´ıme 21 + 12 tan(x)2 , coˇz je upraven´ a derivace, kterou najdeme pˇri ruˇcn´ım poˇc´ıt´ an´ı 2. Mohou, protoˇze Maple m˚ uˇze v´ yraz d´ ale upravit. 3. Opˇet se jedn´ a o upraven´ y vzorec, zde nav´ıc poˇc´ıtan´ y z jiného tvaru prvn´ı derivace. Chybov´ a hl´ aˇsen´ı: 1. Nekorektn´ı oznaˇcen´ı. Funkci jsme v naˇsem pˇr´ıpadˇe oznaˇcili funkce nikoliv y. 2. Nen´ı ˇreˇceno, podle jaké promˇenné se má derivovat. 3. Takto nen´ı moˇzné derivaci funkce v bodˇe poˇc´ıtat. Je tˇreba pouˇz´ıt pˇr´ıkaz subs. 4. Funkci je tˇreba jinak oznaˇcit, nikoliv jako y. Pr˚ ubˇ eh funkce Chybov´ a hl´ aˇsen´ı: 1. Pˇr´ıkazem solve jsme Maplu urˇcili, aby vyˇreˇsil soustavu dvou nerovnic ln x > 0, ln x < 0 a rovnice ln x = 0. Tˇemto tˇrem podm´ınk´ am souˇcasnˇe vˇsak nevyhovuje ˇzádn´ y bod, proto je v´ ystup pr´ azdn´ y. 2. Pˇr´ıkazem solve(x^2-4*x+3) jsme z´ıskali dva stacion´ arn´ı body, promˇenn´ a s1 m´ a tedy dvˇe sloˇzky a chyba nast´ av´ a ve chv´ıli, kdy se dvourozmˇernou hodnotu 3, 1 snaˇz´ıme dosadit do druhé derivace, tj. do v´ yrazu 2x3 . 3. ozsah na ose y nem˚ uˇzeme nastavit pomoc´ı parametru y=od..do, protoˇze y je oznaˇcen´ı funkce ln(x). Mus´ıme ps´ at x=-1..10, -4..3, nebo funkci jinak oznaˇcit.

Integr´ aln´ı poˇ cet funkc´ı jedn´ e promˇ enn´ e Neurˇ cit´ y integr´ al ˇ Chybov´ a hl´ aˇsen´ı: 1. Maple nev´ı, podle které promˇenné √ má integrovat. 2. Spatnˇ e zapsan´ a substituce. Je x + 1 = t, nikoliv, ˇ z e promˇ e nn´ a substituce = tˇ r eba zadat, ˇ z e promˇ e nn´ a substituce nab´ y v´ a hodnoty √ x + 1 nab´ yv´ a hodnoty t. Urˇ cit´ y integr´ al Aplikujte postupy z uˇcebn´ıho textu Fuchs, P, Krupkov´ a, V.: Matematika 1.

Diferenci´ aln´ı poˇ cet II Parci´ aln´ı derivace 1. Protoˇze na poˇrad´ı nezáleˇz´ı. 2. diff(z(x,y),x,y)=diff(funkce,x,y); Chybov´ a hl´ aˇ sen´ı Stacion´ arn´ı body jsou dva, tedy promˇenn´ a P je dvourozmˇerná. Maple proto nev´ı, na jakou pravou stranu se odkazujeme na posledn´ım ˇrádku.

Matematika 1

Reference [1] Krupkov´ a, V., Fuchs, P.: Matematika 1. FEKT VUT, 2004 (elektronick´ y text) [2] N´ apovˇeda programu Maple 6

34

Matematika 1. Mgr. Michal Novák, Ph.D. ÚSTAV MATEMATIKY

Recommend Documents