Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v matematice. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty, znak pro množinu, prostor, proměnnou a mnoho dalších matematických objektů. Termín matematický symbol vznikl překladem z angličtiny a přestože je často používaný, dle jazykových doporučení ÚNMZ [P 1] a české technické normy ČSN ISO 80000-2 je správné označení matematická značka.[P 2]
Obsah 1 Základní matematické značky 2 Odkazy 2.1 Poznámky 2.2 Reference 2.3 Související články
Základní matematické značky V matematice existují zažité konvence, které značky se užívají pro konkrétní účel. Zde je přehled některých z nich včetně jejich typického užití:
Značka Unicode \TeX
Název Čte se
Vysvětlení
Příklady
Oblast použití rovnost
= 003D =
x = y znamená, že x a y reprezentují stejnou hodnotu či všude v objekt. matematice
rovná se
Jestliže x = y a y = 1, pak x = 1
nerovnost
≠ 2260 \neq
x ≠ y znamená, že x a y nereprezentují stejnou hodnotu či 1≠2 všude v objekt. matematice
nerovná se
<
ostrá nerovnost
003C
x < y znamená, že x je menší než y. je menší; je větší; x > y znamená, že x je větší než y. je mnohem menší; x ≪ y znamená, že x je mnohem menší než y. je mnohem větší
> 003E
≪ 226A
≫ 226B
≤ 2264
≥ 2265
~ 223C
∝ 221D
všude v matematice
3<4 5>4 0,003 ≪ 1 000 000
x ≫ y znamená, že x je mnohem větší než y.
neostrá nerovnost menší nebo x ≤ y znamená, že x je menší nebo rovno y. roven; větší nebo roven x ≥ y znamená, že x je větší nebo rovno y.
3 ≤ 4; 5 ≤ 5 5 ≥ 4; 5 ≥ 5; pro všechna reálná α platí -1 ≤ sin α ≤ 1
všude v matematice úměrnost je úměrná
y ~ x, resp. y ∝ x znamená, že existuje taková konstanta k,že
jestliže y = 2x, tak y ~ x
všude v y = kx. matematice sčítání
+ 002B
plus
4 + 6 značí součet 4 a 6.
2+7=9
9 − 4 značí rozdíl 9 a 4.
8−3=5
−3 značí číslo opačné k číslu 3.
−(−5) = 5
aritmetika, ale i jinde odčítání mínus, bez
− 2212
aritmetika, ale i jinde opačné číslo negative; mínus
aritmetika, ale i jinde doplněk množiny bez; mínus
A − B značí množinu, která obsahuje všechny prvky množiny A, které nejsou prvky množiny B.
{a,b,c} − {a,c,d} = {b}
3 × 4 značí součin 3 a 4.
7 × 8 = 56
teorie množin násobení krát aritmetika kartézský součin
× 00D7
kartézský součin X×Y značí množinu uspořádaných dvojic (x, y) takových, {1;2} × {3;4} = {(1;3);(1;4);(2;3); ... a ... že x je prvkem X a y je prvkem Y. (2;4)} teorie množin vektorový součin cross
u × v značí vektorový součin vektorů u a v
(1; 2; 5) × (3; 4; −1) = (−22; 16; − 2)
3 · 4 značí součin 3 a 4.
7 · 8 = 56
u · v značí skalární součin vektorů u a v
(1; 2; 5) · (3; 4; −1) = 6
lineární algebra násobení krát aritmetika
· 22C5
skalární součin krát lineární algebra
÷ 00F7
dělení
⁄
2 ÷ 4 = 0,5; nedoporučuje se užívat
002F
děleno; ku
6 ÷ 3, 6 ⁄ 3 nebo 6 : 3 znamená podíl 6 ku 3. Užívá se též zlomková čára.
12 ⁄ 4 = 3
Znak ÷ se nedoporučuje užívat.
20 : 5 = 4
: 003A
aritmetika
plus-minus plus-minus
Výraz s ± představuje dvě hodnoty.
aritmetika, 6 ± 3 značí jak 6 + 3, tak 6 − 3. algebra
± 00B1
Rovnice x = 5 ± √4 má dvě řešení: x = 7 a x = 3.
dříve: nejistota Je-li v ≥ 99,998 m/s a v ≤ 100,008 m/s, pak plus-minus dříve 10 ± 2 značilo číslo z intervalu od 10 − 2 do 10 + 2; dříve se psalo v = 100,003 m/s ± 0,005 aproximace; nyní totéž píšeme 10(2). m/s, numerické nyní píšeme v = 100,003(5) m/s. metody
hodnoty
√
odmocnina n-tá odmocnina
221A
značí všechna čísla y, pro která
je .
algebra absolutní hodnota
|3|=3
absolutní hodnota
| –5 | = | 5 | | x | značí vzdálenost (na reálné ose, v komplexní rovině) teorie čísel; mezi x a počátkem souřadnic. |i|=1 matematická analýzalineární |3+4i|=5 algebra norma vektoru norma
|…| 007C...007C
geometrie; |x| značí normu x. lineární algebra; matematická analýza
Pro x = (1; 1) je |x| =
determinant determinant matice
|A| značí determinant matice A
lineární algebra mohutnost kardinalita množiny; mohutnost množiny
|{3; 5; 7; 9}| = 4 |X| značí počet prvků množiny X
|{x, y, z}| = 3
teorie množin dělitelnost dělí
a|b znamená, že a dělí b, tedy: existuje celé číslo c takové, že c = b/a.
Protože 15 = 3×5, tak platí 3|15 a 5|15.
teorie čísel
| 2223
P(A|B) značí pravděpodobnost jevu A za předpokladu, že podmíněná nastane jev B. pravděpodobnost Jsou-li A, B nezávislé, je P(A|B) = Značíme-li P(X) pravděpodobnost jevu X a P(XY) P(A). pravděpodobnost současného výskytu jevů X i Y, pak za podmínky Jestliže z B plyne A, pak P(A|B) = 1. pravděpodobnost P(A,B) = P(B) P(A|B) = P(A) P(A|B). faktoriál
! 0021
faktoriál
n! značí součin 1 × 2 × ... × n. Definitoricky platí 0! = 1.
kombinatorika transpozice
T hor.ind. 0054
matice transponováno lineární algebra
Záměna sloupců matice za řádky a naopak.
4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24
řádková ekvivalence
~ 223C
je řádkově ekvivalentní s
A~B znamená, že B může být vytvořena z A konečným počtem elementárních řádkových operací.
lineární algebra asymptotická rovnost je asymptoticky ekvivalentní 2243
značí, že
.
algebra; matematická analýza aproximace je přibližně rovno; x ≈ y značí, že x je přibližně rovno y. je aproximováno
≈
dříve se psalo:
všude v matematice
2248
izomorfismus je izomorfická
G ≈ H značí, že grupa G je izomorfní s grupou H.
ℕ≈ℤ
algebra; teorie grup implikace
⇒ 21D2
A ⇒ B znamená: implikuje; vyplývá; jestliže Platí-li výrok A, tak platí i výrok B. (Jestliže A neplatí, pak se o pravdivosti B nic netvrdí.) matematická logika, ale i jinde
ekvivalence
⇔ 21D4
právě tehdy, když
A ⇔ B značí: A je pravdivé, jestliže B je pravdivé, a zároveň A je nepravdivé, jestliže B je nepravdivé.
x = 2 ⇒ x2 = 4 je pravdivé, ale x2 = 4 ⇒ x = 2 není pravdivé (neboť x může být −2).
x + 5 = y +2 ⇔ x + 3 = y
matematická Neboli: A je pravdivé právě tehdy, když B je pravdivé. logika, ale i jinde negace
¬ 00AC
ne; negace
Výraz ¬A je pravdivý právě tehdy, když A je nepravdivé.
matematická
¬(¬A) ⇔ A x ≠ y ⇔ ¬(x = y)
logika, ale i jinde konjunkce
∧ 2227
∨
Výraz A ∧ B je pravdivý právě tehdy, když oba A a B matematická jsou pravdivé. logika, ale i jinde a
disjunkce nebo
Pro přirozená n platí n < 4 ∧ n >2 ⇔ n = 3
Výraz A ∨ B je pravdivý právě tehdy, když alespoň jeden Pro přirozená n platí n ≥ 4 ∨ n ≤ 2 ⇔ z výrazů A, B je pravdivý. n≠3
2228
matematická (Disjunkce je nepravdivá jen tehdy, když oba A, B jsou logika, ale i jinde nepravdivé.) univerzální kvantifikátor
∀ 2200
pro všechna; pro každé
∀ x: P(x) znamená, že P(x) platí pro všechna x.
∀ n ∈ ℕ: n2 ≥ n.
predikátová logika, ale i jinde existenční kvantifikátor
∃ 2203
existuje; pro nějaké
∃ x: P(x) znamená, že existuje alespoň jedno x, pro které ∃ n ∈ ℕ: n je liché. P(x) je pravdivé.
predikátová logika, ale i jinde
∃¹ 2203,00B9
∃! 2203,0021
≅ 2245
kvantifikátor jednoznačné existence existuje právě ∃! x: P(x) znamená, že existuje právě jedno x, pro které jedno; P(x) je pravdivé. pro právě jedno
∃! n ∈ ℕ: n + 5 = 2n.
predikátová logika, ale i jinde kongruence; shodnost je shodný s
△ABC ≅ △DEF značí, že trojúhelník ABC je shodný (má stejnou velikost odpovídajících stran) s trojúhelníkem DEF.
geometrie kongruence
≡ 2261
{,} 007B, 007D
... je kongruentní a ≡ b (mod n) značí, že a a b mají stejný zbytek po dělení s ... (modulo ...) n, tedy že a − b je dělitelné n.
5 ≡ 11 (mod 3)
modulární aritmetika, ale i Existují i jiné třídy kongruence než zbytkové. jinde množinové závorky množina ...
{a, b, c} označuje množinu o prvcích a, b a c. Pro čísla užíváme středník, hrozí-li záměna s desetinnou čárkou.
ℕ = { 1; 2; 3; …}
teorie množin
∅ 2205
{} 007B 007D
prázdná množina prázdná množina
∅ značí množinu bez prvků. { } značí totéž.
{n ∈ ℕ : 1 < n2 < 4} = ∅
teorie množin
∈
prvek množiny
2208
je prvkem; není prvkem
a ∈ S značí, že a je prvkem množiny S a ∉ S značí, že a není prvkem S
(1/2)−1 ∈ ℕ 2−1 ∉ ℕ
∉
teorie množin
2209
⊆ 2286
⊂ 2282
⊇ 2287
⊃ 2283
podmnožina je podmnožinou A ⊆ B značí, že každý prvek A je též prvkem B.
(A ∩ B) ⊆ A
teorie množin vlastní podmnožina
A ⊂ B značí, že každý prvek A je též prvkem B a zároveň ℕ⊂ℚ existuje alespoň jeden prvek B, který není prvkem A.
je podmnožinou
(Někteří autoři užívají tento znak i pro podmnožinu; teorie množin místo ⊆.)
ℚ⊂ℝ
nadmnožina je nadmnožinou A ⊇ B značí, že každý prvek B je též prvkem A.
(A ∪ B) ⊇ B
teorie množin vlastní nadmnožina
A ⊃ B značí, že každý prvek B je též prvkem A a zároveň ℝ⊃ℚ je nadmnožinou existuje alespoň jeden prvek A, který není prvkem B. teorie množin
sjednocení
∪ 222A
sjednocení množin ... a ...
A ∪ B značí množinu, která obsahuje prvky, které jsou alespoň v jedné z množin A a B.
A ⊆ B ⇔ (A ∪ B) = B
teorie množin průnik
∩ 2229
průnik množiny A ∩ B značí množinu, která obsahuje prvky, které jsou ... s ... množinám A a B společné.
{x ∈ ℝ : x2 = 1} ∩ ℕ = {1}
teorie množin rozdíl množin
∖ 2216
( )
A ∖ B značí množinu, která obsahuje ty prvky A, které minus; neobsahuje B. rozdíl množin ... a ... − někdy též označuje rozdíl množin. teorie množin
{1; 2; 3; 4} ∖ {3; 4; 5; 6} = {1; 2}
určení pořadí operací
0028, 0029
{ } 007B, 007D
[ ]
kulaté závorky složené závorky Přednostně se dělá vnitřní operace. hranaté závorky lomené závorky
(8/4)/2 = 2/2 = 1, ale 8/(4/2) = 8/2 = 4. V principu stačí jen kulaté závorky. Ostatní typy mívají speciální použití.
005B, 005D
27E8, 27E9
()
všude v matematice zápis funkce funkce
f(x) značí funkci s jednou proměnnou, a to x.
Jestliže f(x) := x2, pak f(3) = 32 = 9.
0028, 0029
:→ 003A 2192
všude v Takto se značí i zobrazení. matematice funkce
Mějme f: ℤ → ℕ definováno jako
funkce z ... do ... f: X → Y značí funkci (či obecně zobrazení) f z množiny všude v X do množiny Y.
f(x) := x2.
matematice skládání funkcí
o 2218
ℕ 2115
N 004E tučné
ℤ 2124
Z 005A tučné
ℚ 211A
Q 0051 tučné
ℝ 211D
R 0052 tučné
složeno s matematická f ° g je funkce taková, že (f ° g)(x) = f(g(x)). analýza, teorie množin
00
ℂ
(f ° g)(x) = 2(x + 3).
množina přirozených čísel N
ℕ značí množinu { 1, 2, 3, ...} (existují i jiné definice).
ℕ = {|a| : a ∈ ℤ, a ≠ 0}
teorie čísel, matematická analýza množina celých čísel Z
ℤ značí množinu {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}. ℤ+ = ℕ.
teorie čísel, ℤ- = {..., −3, −2, −1}. matematická analýza množina racionálních čísel Q
ℤ = {p, -p : p ∈ ℕ} ∪ {0}
3,140 00... ∈ ℚ ℚ značí množinu{p/q : p ∈ ℤ, q ∈ ℕ}. π∉ℚ
teorie čísel, matematická analýza reálné čísla
π∈ℝ
R teorie čísel, ℝ značí množinu všech reálných čísel. matematická analýza imaginární jednotka
i
Když f(x) := 2x a když g(x) := x + 3, tak
Imaginární jednotka i je kořenem rovnice x2 = -1
3+2i∉ℝ
i2 = -1; -i2 = -1;
R V elektrotechnice se značí j. Jak i, tak j se tisknou stojatě, teorie čísel, nikoli kurzívou. matematická analýza komplexní čísla C
ℂ je množina všech {a + b i : a, b ∈ ℝ}.
i2 = −1 ∈ ℂ
2102
C 0043 tučné
teorie čísel, matematická analýza nekonečno nekonečno
221E
∞ je prvek rozšířené reálné osy, který je větší než libovolné reálné číslo.
matematická (Existují i jiné definice nekonečna pro jiné matematické analýza prostory). norma
||…|| 2016... 2016
norma vektoru; velikost vektoru
|| x + y || ≤ || x || + || y || || x || značí normu prvku vektorového prostoru x.
(pro normy indukované skalárním součinem)
lineární algebra, matematická analýza součet řady
∑ 2211
= 12 + 22 + 32 + 42
součet přes ... od ... do ...
značí a1 + a2 + … + an.
všude v matematice
= 1 + 4 + 9 + 16 = 30
součin řady
∏ 220F
′
součin přes ... od ... do .. všude v matematice derivace derivace
2032
•
= (1+2)(2+2)(3+2)(4+2) značí a1a2···an. = 3 × 4 × 5 × 6 = 360 f ′(x) je derivace funkce f podle proměnné x
Tečka většinou značí úplnou derivaci podle času, tedy
matematická např. analýza
Jestliže f(x) := x2, pak f ′(x) = 2x
.
integrál
∫ 222B
integrál funkce ... ∫ f(x) dx značí funkci, jejíž derivace je f.
∫x2 dx = x3/3 + C
matematická analýza gradient nabla, gradient funkce
∇ 2207
matematická analýza, tenzorový počet
je vektor parciálních derivací .
Jestliže
,
pak
divergence Jestliže divergence funkce
pak
, .
matematická analýza, tenzorový počet rotace rotace funkce
Jestliže
matematická analýza, tenzorový počet
pak
, .
parciální derivace parciální derivace ... podle Pro f (x1, …, xn) je ∂f/∂xi derivací f podle xi; ostatní ... proměnné jsou brány za konstanty.
∂
Jestliže f(x,y) := x2y, pak ∂f/∂x = 2xy
matematická analýza, ale i jinde
2202
hranice množiny hranice topologie, teorie ∂M značí hranici množiny M množin, matematická analýza Diracova funkce delta
∂{x : ||x|| ≤ 2} = {x : ||x|| = 2}
;
Diracova funkce Distribuce, tedy zobecněná funkce: delta v x
∫cos x δ(x-a) dx = cos a
matematická analýza
δ 03B4
Kroneckerovo delta Kroneckerovo delta
δij
lineární algebra, matematická analýza, ale i jinde ortogonalita je kolmý,
⊥ 27C2
||
je ortogonální
x ⊥ y znamená, že x je kolmé na y; nebo mnohem geometrie, obecněji x je ortogonání na y. lineární algebra, matematická analýza rovnoběžnost x || y značí, že x je rovnoběžné y. je rovnoběžné s
Jestliže k ⊥ m a m ⊥ n, tak k || n.
Jestliže k || m a m ⊥ n, tak k ⊥ n.
2225
geometrie tenzorový součin
⊗ 2297
tenzorový součin ... a ...
{1, 2, 3, 4} ⊗ {1, 1, 2} = {{1, 2, 3, 4}, {1, 2, 3, 4}, {2, 4, 6, 8}}
značí tenzorový součin V a U.
lineární algebra, tenzorový počet konvoluce
* 2217
konvoluce ... a ...
f * g značí konvoluci funkcí f a g.
funkcionální analýza průměr průměr
značí aritmetický průměr z hodnot
).
statistika perioda ... periodických
Označuje nějakou číslici nebo n-tici číslic, které se v zápise čísla stále opakují
aritmetika uzávěr množiny uzávěr množiny
Množina všech bodů, jejichž libovolné okolí má neprázdný průnik s danou množinou.
topologie a teorie množin, (Používá se i pro zúplnění metrického prostoru.) ale i jinde konjugace konjungováno 002A hor. ind.
je komplexně sdružené číslo k z.
komplexní analýza uzavřený interval[1]
27E8, 27E9
005B, 005D
algebra, matematická
je interval čísel počínaje a včetně až po b včetně
analýza, analytická geometrie otevřený interval[2]
0028, 0029
005D, 005B
algebra, je interval čísel počínaje matematická od a (kromě a) až po b (kromě b) analýza, analytická geometrie zleva polootevřený
0028, 27E9
interval[3]
je zleva otevřený, zprava uzavřený interval čísel počínaje od a (kromě a) až po b včetně
.
algebra, matematická analýza, analytická geometrie
0028, 005D
005D, 005D
zprava polootevřený 27E8, 0029
interval[4]
005B, 0029
005B, 005B
je zleva uzavřený, zprava algebra, otevřený interval čísel počínaje od a (včetně a) až po b matematická (kromě b) analýza, analytická geometrie
Odkazy ČSN ISO 80000-2:2012 ISO 80000-2:2009 The Unicode Standard, Version 6.3
Poznámky 1. ↑ http://www.unmz.cz/urad/jazykove-prilohy-k-mpn-1 2. ↑ ČSN ISO 80000-2, Veličiny a jednotky –- Část 2: Matematické znaky a značky užívané v přírodních vědách a technice; březen 2012
Reference 1. ↑ druhý zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.7, tzv. anglický resp. francouzský zápis 2. ↑ druhý zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.10, tzv. francouzský zápis 3. ↑ druhý resp. třetí zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.8, tzv. anglický resp. francouzský zápis 4. ↑ druhý resp. třetí zápis dle ČSN ISO 80000-2:2012, pol. 2-6.9, tzv. anglický resp. francouzský zápis
Související články Symbol V tomto článku byl použit překlad textu z článku Table of mathematical symbols (https://en.wikipedia.org /wiki/Table_of_mathematical_symbols?oldid=219118094) na anglické Wikipedii. Citováno z „http://cs.wikipedia.org/w/index.php?title=Matematické_symboly_a_značky&oldid=11330726“ Kategorie: Symboly Matematické seznamy Matematické zápisy Matematické symboly Stránka byla naposledy editována 23. 3. 2014 v 15:37. Text je dostupný pod licencí Creative Commons Uveďte autora – Zachovejte licenci 3.0 Unported, případně za dalších podmínek. Podrobnosti naleznete na stránce Podmínky užití.
