Masterproef Optimaal afregelen van rotatieve hydraulische applicaties

Masterproef Optimaal afregelen van rotatieve hydraulische applicaties

Studiegebied Industriële wetenschappen en technologie Opleiding Master in de industriële wetenschappen: elektromechanica Academiejaar 2009-2010

Stijn Pacquet

Academische bachelor- en masteropleidingen, Graaf Karel de Goedelaan 5, 8500 Kortrijk

Masterproef Optimaal afregelen van rotatieve hydraulische applicaties

Studiegebied Industriële wetenschappen en technologie Opleiding Master in de industriële wetenschappen: elektromechanica Academiejaar 2009-2010

Stijn Pacquet

Academische bachelor- en masteropleidingen, Graaf Karel de Goedelaan 5, 8500 Kortrijk

Voorwoord Vooraleer te starten met de feitelijke thesistekst maak ik graag wat plaats vrij om een aantal mensen te bedanken die mij gedurende het masterjaar gesteund en geholpen hebben. In de eerste plaats wil ik mijn promotoren, Carl Dousy en Bart Vanwalleghem bedanken voor hun advies in verband met hydrauliek. Verder ben ik Carl dankbaar voor het secure verbeterwerk van deze thesistekst, de raadgevingen bij het ontwerp van de masterproefposter en bij de voorstelling van de thesis. Dank ook aan Stijn Derammelaere die mij heeft bijgestaan in het regeltechnische aspect van deze thesis. Samen zijn we erin geslaagd om een nieuwe methode te ontwikkelen voor het dimensioneren van een PI-regelaar. Ook Gerdy Bellens verdient een oprechte “dankuwel” voor zijn hulp bij het uitbreiden van de testopstelling. Als laatste wil ik mijn ouders, broer, zus en vriendin bedanken voor de steun die ze mij dit jaar en voorgaande jaren hebben geboden.

i

Inhoudsopgave Voorwoord .................................................................................................................................. i Inhoudsopgave ........................................................................................................................... ii Abstract ...................................................................................................................................... v Lijst van figuren ........................................................................................................................ vi Lijst van tabellen ...................................................................................................................... vii 1

Inleiding ............................................................................................................................. 1 1.1

1.1.1

Howest Kortrijk .................................................................................................... 1

1.1.2

Tetra projecten ...................................................................................................... 1

1.2 2

Situering....................................................................................................................... 1

Doelstellingen .............................................................................................................. 2

Didactische testopstelling ................................................................................................... 3 2.1

Principeschema ............................................................................................................ 5

2.1

Pompgroep ................................................................................................................... 5

2.1.1

Asynchrone motor ................................................................................................ 5

2.1.2

Variabele plunjerpomp ......................................................................................... 5

2.2

2.1.2.1

Oliestroom geblokkeerd ................................................................................ 6

2.1.2.2

Gewone werking ........................................................................................... 7

Conditioneringsgroep .................................................................................................. 7

2.2.1

Drukfilter .............................................................................................................. 8

2.2.2

Retourfilter ........................................................................................................... 9

2.2.3

Vulfilter ................................................................................................................ 9

2.3

Besturingsgroep ........................................................................................................... 9

2.3.1

Driewegkranen ................................................................................................... 10

2.3.2

Proportioneel ventiel .......................................................................................... 10

2.3.3

Stuurkaart ........................................................................................................... 11

2.3.4

Seriestroomregelklep .......................................................................................... 12

2.3.5

Afvoersmoringen op A- en B-poort ................................................................... 13

2.4

Motorgroep ................................................................................................................ 13

2.4.1

Hydromotor ........................................................................................................ 13

2.4.2

Anticavitatieklep ................................................................................................ 14

2.4.3

Inertie ................................................................................................................. 15

2.5

Meetinstrumenten ...................................................................................................... 15

2.5.1

Encoder............................................................................................................... 15

2.5.2

Druksensoren ...................................................................................................... 16

2.6

Software ..................................................................................................................... 16 ii

2.6.1

Matlab/Simulink ................................................................................................. 16

2.6.2

ControlDesk ....................................................................................................... 16

2.6.3

DSHplus ............................................................................................................. 17

2.7

3

Uitbreiding testopstelling .......................................................................................... 17

2.7.1

Belastingsmotor .................................................................................................. 17

2.7.2

Frequentieomvormers ......................................................................................... 17

Snelheidsregeling van een hydromotor ............................................................................ 19 3.1

Conventionele snelheidsregeling ............................................................................... 20

3.1.1

Conventionele smoring ...................................................................................... 20

3.1.2

Seriestroomregelklep .......................................................................................... 23

3.1.3

Versnellingskoppel: Simulaties .......................................................................... 24

3.1.3.1

Klassieke smoring ....................................................................................... 24

3.1.3.2

Seriestroomregelklep .................................................................................. 26

3.1.4

3.1.4.1

Conventionele smoring ............................................................................... 27

3.1.4.2

Seriestroomregelklep .................................................................................. 28

3.1.5 3.2

Versnellingskoppel: Testopstelling .................................................................... 27

Constant belastingskoppel .................................................................................. 28

Proportionele snelheidsregeling ................................................................................ 31

3.2.1

Proportionele technologie .................................................................................. 31

3.2.2

Regelstrategie ..................................................................................................... 32

3.2.2.1

Stap 1: Fysisch systeem .............................................................................. 33

3.2.2.2

Stap 2: Functioneel blokdiagram ................................................................ 33

3.2.2.3

Stap 3: Schematische voorstelling .............................................................. 33

3.2.2.4

Stap 4: Wiskundig model ............................................................................ 34

3.2.2.5

Stap 5: Reductie van blokdiagram .............................................................. 34

3.2.2.6

Stap 6: Analyse van het systeem ................................................................. 34

3.2.2.7

Stap 7: Ontwerp regelaar............................................................................. 35

3.2.2.8

Stap 8: Test en controle............................................................................... 35

3.2.3

Frequentieresponsietechnieken .......................................................................... 35

3.2.3.1

Definitie ...................................................................................................... 35

3.2.3.2

Wiskundige afleiding .................................................................................. 36

3.2.3.3

Plotten van de frequentieresponsie in een Bodeplot ................................... 40

3.2.3.4

Natuurlijke pulsatie en demping van een tweedeorde systeem................... 43

3.2.3.5

Stabiliteit via Bodeplots .............................................................................. 45

3.2.3.5.1 Stabiliteitscriterium van Nyquist .............................................................. 45 3.2.3.5.2 Relatieve stabiliteit via het Nyquistcriterium............................................ 49 3.2.3.5.3 Relatieve stabiliteit via Bodeplots ............................................................ 49 iii

3.2.3.5.4 Statische fout via Bodeplots...................................................................... 50 3.2.3.5.5 Overgangsgedrag via Bodeplots ............................................................... 53 3.2.3.5.6 Dode tijd en Bodeplots .............................................................................. 54 3.2.4

Regelstrategie: Toegepast .................................................................................. 55

3.2.4.1

Inleiding ...................................................................................................... 55

3.2.4.2

Stap1: Fysisch systeem ............................................................................... 55

3.2.4.3

Stap2: Functioneel blokdiagram ................................................................. 55

3.2.4.4

Stap3: Schematische voorstelling ............................................................... 56

3.2.4.5

Stap4: Wiskundig model ............................................................................. 57

3.2.4.6

Stap5: Reductie van het blokdiagram ......................................................... 61

3.2.4.7

Stap6: Analyse van het systeem .................................................................. 62

3.2.4.7.1 Manueel opmeten Bodeplot ...................................................................... 63 3.2.4.7.2 Automatisch opmeten Bodeplot ................................................................ 65 3.2.4.8

Stap7: Ontwerp regelaar.............................................................................. 67

3.2.4.8.1 Effect van de integrator ............................................................................. 69 3.2.4.8.2 Effect van de versterkingsfactor ............................................................... 69 3.2.4.8.3 Effect van het nulpunt ............................................................................... 69 3.2.4.9 3.2.5

Stap8: Test en controle................................................................................ 71

Model ................................................................................................................. 72

3.2.5.1

Opmeten Bodeplots ..................................................................................... 72

3.2.5.1.1 Bodeplot voor amplitude van 0,5V ........................................................... 73 3.2.5.1.2 Bodeplot voor amplitude van 1V .............................................................. 73 3.2.5.1.3 Bodeplot voor amplitude van 2V .............................................................. 74 3.2.5.1.4 Ontwerp regelaar ....................................................................................... 75 4

Besluit............................................................................................................................... 79

Bibliografie............................................................................................................................... 81 Bijlage 1: Hydraulisch schema ................................................................................................. 82 Bijlage 2: Metingen conventionele snelheidsregeling.............................................................. 84 Bijlage 3: Bodeplot, manueel opgemeten................................................................................. 91

iv

Abstract Since 2006 the University College West-Flandres studies hydraulic applications in support of companies in the region. System properties such as dynamics and efficient energy use take a central role in these studies and are tested on several available test applications in the University. The results are entered into the lessons of the master education to make sure the students can cope with the hydraulic drive lines. The cooperation between the different companies and the University is made possible in the form of TETRA (TEchnology TRAnsfer) projects. The goal of these projects is to exchange knowledge and practical experience between the companies and the University. The first Tetra project “Implementation and optimization of innovative hydraulic drive systems” summarizes the different components used in a linear servo hydraulic positioning system, in which the hydraulic cylinder takes an important place. On the other hand, a lot of attention goes to the design of a control system. The second Tetra project emphasizes the energy use of mobile hydraulic applications. These tend to waste a lot of energy, so this project tries to reduce the large amount of petrol or diesel used in this machinery. Along with these two project rose the question: What about the control of hydraulic motors? This paper offers a possibility to answer this question using a new hydraulic test equipment and the simulation software DSHplus. This paper describes two possibilities to regulate the speed of a hydraulic motor. Thanks to the set-up of the test equipment, an open loop speed control can be applied. For this purpose a conventional orifice or a flow control valve can be used. Otherwise a closed-loop control can be implemented with the help of a proportional valve. This closed loop set-up is then identified with the help of Bode characteristics. These give information about the stability, static error and dynamic behavior. This characteristic is the starting point to design a suitable PI compensator, so that no other system information is required. Next to the dimensioning of a suitable compensator for the closed-loop system, the simulation software has been studied in this paper. This software makes it possible to test a wide variety of applications without having them physically in the research centre. Experience picked up during the making of this paper helps future projects to test several applications without the large expense that a physical test set-up brings along.

v

Lijst van figuren Figuur 1: Logo Howest .............................................................................................................. 1 Figuur 2: Testopstelling ............................................................................................................. 3 Figuur 3: Energieoverdracht van de testopstelling ..................................................................... 4 Figuur 4: Principeschema ........................................................................................................... 4 Figuur 5: Pompgroep .................................................................................................................. 5 Figuur 6: Pompgroep, circuit geblokkeerd ................................................................................. 6 Figuur 7: Drukfilter .................................................................................................................... 9 Figuur 8: Besturingsgroep van de testopstelling ...................................................................... 10 Figuur 9: Regeldiagram voor het proportionele ventiel ........................................................... 11 Figuur 10: Stuurkaart ............................................................................................................... 12 Figuur 11: Seriestroomregelklep .............................................................................................. 12 Figuur 12: Afvoersmoringen op A- en B-poort ....................................................................... 13 Figuur 13: Motorgroep ............................................................................................................. 14 Figuur 14: Werking anticavitatiekleppen ................................................................................. 15 Figuur 15: Drukmeetpunten voor en na de hydromotor ........................................................... 16 Figuur 16: Opstelling met belastingsmotor .............................................................................. 18 Figuur 17: Frequentieomvormers ............................................................................................. 18 Figuur 18: Werking smorend element ...................................................................................... 19 Figuur 19: Klassieke smoring .................................................................................................. 20 Figuur 20: Drukprobleem bij smoren in de afvoer ................................................................... 20 Figuur 21: Hydraulisch schema met afvoersmoringen............................................................. 22 Figuur 22: Seriestroomregelklep .............................................................................................. 23 Figuur 23: Hydraulisch schema met seriestroomregelklep ...................................................... 24 Figuur 24: Simulatie met afvoersmoringen .............................................................................. 25 Figuur 25: Simulatie met seriestroomregelklep ....................................................................... 26 Figuur 26: Meting afvoersmoring op testopstelling ................................................................. 27 Figuur 27: Meting seriestroomregelklep op testopstelling ....................................................... 28 Figuur 28: simulatie, verschil smoring-seriestroomregelklep .................................................. 29 Figuur 29: Testopstelling, verschil smoring-seriestroomregelklep .......................................... 30 Figuur 30: Proportionele stuurschuif met positieve overlap .................................................... 31 Figuur 31: Stuurschuif met null-overlap .................................................................................. 32 Figuur 32: Ontwerpproces voor een regelsysteem ................................................................... 33 Figuur 33: Blokschema van een systeem ................................................................................. 34 Figuur 34: Fasorvoorstelling van een systeem ......................................................................... 36 Figuur 35: Blokschema in het frequentiedomein ..................................................................... 37 Figuur 36: Asymptotische benaderingen van de basissystemen .............................................. 41 Figuur 37: Bodeplot van een tweedeorde systeem ................................................................... 43 Figuur 38: Stapresponsie van een tweedeorde systeem in functie van de demping ................ 44 Figuur 39: Invloed van de demping op de stapresponsie ......................................................... 45 Figuur 40: Verband poollocatie en tijdsresponsie .................................................................... 46 Figuur 41: Gesloten-ketensysteem ........................................................................................... 46 Figuur 42: Afbeelden van punten op het 1+GH-vlak ............................................................... 48 Figuur 43: Afbeelden van het rechterhalfvlak op het GH-vlak ................................................ 48 Figuur 44: Amplitudemarge en fasemarge in het Nyquist-plot ................................................ 49 Figuur 45: Amplitudemarge en fasemarge op een Bodeplot .................................................... 50 Figuur 46: Relatie tussen systeemtype, statische foutconstante en Bodeplot .......................... 53 Figuur 47: Bodeplot van een systeem met dode tijd ................................................................ 55 vi

Figuur 48: Functioneel blokschema van de opstelling ............................................................. 56 Figuur 49: Schematische voorstelling van het af te regelen systeem ....................................... 57 Figuur 50: Gereduceerd blokschema........................................................................................ 62 Figuur 51: Frequentiesweep ..................................................................................................... 63 Figuur 52: In- en outputsignaal bij frequentie 2Hz .................................................................. 64 Figuur 53: Bodeplot, manueel opgemeten ............................................................................... 65 Figuur 54: Automatische Bodeplot voor 1V en 2V ................................................................. 66 Figuur 55: Blokschema PI-regelaar.......................................................................................... 68 Figuur 56: Toepassen van algoritme op opgemeten Bodeplot ................................................. 70 Figuur 57: Stapresponsie bij versterkingsfactor 0.000850 ....................................................... 71 Figuur 58: Simulatiemodel voor identificatie .......................................................................... 72 Figuur 59: Bodeplot voor amplitude van 0,5V ........................................................................ 73 Figuur 60: Bodeplot voor amplitude van 1V ........................................................................... 74 Figuur 61: Bodeplot voor amplitude van 2V ........................................................................... 75 Figuur 62: Afleiden integratieconstante ................................................................................... 76 Figuur 63: Stapantwoord van het geregelde systeem ............................................................... 77 Figuur 64: Stapantwoord voor 250 min-1 ................................................................................. 78

Lijst van tabellen Tabel 1: Filteradvies ................................................................................................................... 8 Tabel 2: Ingangsignalen voor statische fout bepaling .............................................................. 51 Tabel 3: Relatie tussen ingangssignaal, systeemtype en statische fout .................................... 52

vii

1 Inleiding 1.1 Situering 1.1.1

Howest Kortrijk

Sinds 2006 biedt de Hogeschool West-Vlaanderen ondersteuning aan KMO’s en grote bedrijven in de hydraulische sector. Hierbij worden systeemeigenschappen als dynamiek van een applicatie en energie-efficiëntie onderzocht van hydraulische aandrijfsystemen en aan de praktijk getoetst met behulp van testopstellingen in het labo hydraulica. Alle bevindingen worden eveneens opgenomen in het lessenpakket van de masteropleiding elektromechanica. Op deze manier stoomt de Howest studenten klaar voor de hydraulische sector. De ondersteuning richt zich enerzijds naar de selectie en dimensionering van hydraulische componenten en installaties teneinde energiezuinige applicaties te bekomen. Anderzijds gaat veel aandacht uit naar de afregeling van een hydraulische aandrijving.

Figuur 1: Logo Howest

De samenwerking tussen de industrie en de Howest gebeurt via Tetra projecten (TEchnologie TRAnsfer). Het doel van deze projecten is tweeledig: • •

1.1.2

Het hoger onderwijs voorziet de industrie van informatie om te kunnen innoveren. De industrie levert praktijkervaring aan deze onderwijsinstellingen.

Tetra projecten

Het eerste Tetra-project uitgevoerd in de Howest (2006-2008), “Implementatie en optimalisatie van innovatieve hydraulische aandrijfsystemen” biedt een overzicht van de verschillende componenten gebruikt in een hydraulisch positioneersysteem. Naast het dimensioneren van de hydraulische componenten, gaat veel aandacht uit naar het afregelen van deze systemen. Vermits dit project de positieregelkring bestudeert, wordt vooral aandacht besteed aan de hydraulische cilinder. Hierbij zijn de dynamiek en stabiliteit van het systeem belangrijke ontwerpparameters. Het tweede Tetraproject (2008-2010), “Energieoptimalisatie van mobiele hydraulische applicaties” legt de nadruk op energie-efficiëntie van mobiele applicaties. Deze worden vaak gekenmerkt door hun lage rendement. Dit project handelt niet zozeer over het regeltechnische in deze applicaties, maar over het dimensioneren van de applicatie en de efficiëntie ervan.

1

Vermits het eerste project enkel handelt over de afregeling van positioneersystemen en bijgevolg van hydraulische cilinders en het tweede project zich vooral richt op de energieefficiëntie van mobiele en dus rotatieve toepassingen, ontstond volgende vraag: “Hoe zit het met de afregeling van rotatieve applicaties?” Deze thesis biedt een mogelijkheid om deze vraag op te lossen, toegepast op een hydraulische testopstelling.

1.2 Doelstellingen Om de vraag gesteld in vorige paragraaf te kunnen beantwoorden, is het noodzakelijk om vooraf enkele doelstellingen op te maken. Op deze manier kan stap voor stap naar een oplossing toegewerkt worden. Eerst en vooral wordt de testopstelling afgebeeld in Figuur 2 grondig bestudeerd en alle bevindingen gearchiveerd, zodat deze later als naslagwerk kunnen dienen bij labosessies. Dit script bevat een overzicht van de verschillende componenten. Een tweede deel bestaat uit en snelheidsregeling van de hydromotor op de testopstelling. Dit kan gebeuren door de snelheid van de motor met behulp van conventionele hydraulische componenten te “sturen”. Een tweede manier is de snelheid “regelen” met behulp van een proportioneel ventiel. Hiervoor wordt een snelheidsregelkring opgebouwd rond deze testopstelling. Een vooropgestelde regelstrategie maakt het mogelijk om deze regelkring op een correcte manier te dimensioneren. Dit script beschrijft hoe het systeem kan worden geïdentificeerd evenals een methode om een PI-regelaar te dimensioneren, zodat de stabiliteit van het systeem verzekerd is en een zo hoog mogelijke bandbreedte wordt bereikt. Met behulp van het simulatiepakket DSHplus worden eveneens een aantal modellen opgemaakt van de testopstelling. Hiermee is het mogelijk om alle metingen en testen eerst via simulaties te toetsen, vooraleer de testopstelling af te regelen. Doelstellingen samengevat: • Studie van de didactische testopstelling. • Conventionele snelheidsregeling van de hydromotor. • Proportionele snelheidsregeling van de hydromotor. • Opbouwen simulatiemodel in DSHplus. • Opstellen naslagwerk voor labosessies

2

2 Didactische testopstelling Alle metingen gebeuren via simulaties, maar ook op een daartoe gebouwde testopstelling (Figuur 2), waarvan het hydraulisch schema op bijgevoegde CD (en bijlage 1) terug te vinden is. Deze paragraaf geeft zowel een overzicht van de hydraulische en mechanische componenten als van de meetinstrumenten en benodigde software om de opstelling te gebruiken. Net als alle hydraulische applicaties bestaat de didactische testopstelling uit vier grote groepen, namelijk: • • • •

De pompgroep De conditioneringsgroep De besturingsgroep De motorgroep

Figuur 2: Testopstelling

Deze onderverdeling gebeurt op basis van de functie van de componenten. Tot de pompgroep behoren bijvoorbeeld de pomp met bijhorende aandrijving. Deze pomp zet de toegeleverde mechanische energie om in hydraulische energie (Figuur 3), waarmee de motor wordt aangedreven. Verder behoren het reservoir en eventuele energiebuffers onder de vorm van accumulatoren tot de pompgroep. De conditioneringsgroep omvat onder andere de verschillende filters die de hydraulische vloeistof in de best mogelijke conditie houden. In bepaalde gevallen is het noodzakelijk om de olie te koelen via een externe koelgroep. De temperatuur van de olie loopt immers op tijdens het gebruik van de hydraulische applicaties. In het geval van de testopstelling gebeurt de warmteafgifte voornamelijk in het reservoir. De besturingsgroep bestaat uit stuurschuiven, druk- en stroomregelkleppen. De stuurschuiven, hetzij conventioneel, proportioneel of servo zorgen voor een correcte aansturing van de 3

motorgroep. De druk- en stroomregelkleppen op hun beurt verzorgen de optimale condities van de hydraulische vloeistof, zoals de gewenste druk en het gewenste debiet. De hydromotor of cilinder zet de hydraulische energie terug om in mechanische en levert deze af aan de aan te drijven machine. In het geval van de testopstelling is dit een variabele inertie of een asynchrone motor.

Figuur 3: Energieoverdracht van de testopstelling

Figuur 4: Principeschema

4

2.1 Principeschema Het principeschema, weergegeven in Figuur 4, geeft de opbouw van zowel het hydraulische deel van de opstelling als het mechanische. Dit schema toont eveneens de elektrische stuur- en meetsignalen gekoppeld via een dSpace-kaart aan de PC. Volgende paragrafen bespreken de verschillende componenten. Voor de mechanische en elektrische componenten gebeurt dit op basis van dit principeschema, de hydraulische op basis van het hydraulisch schema van de testopstelling (bijlage 1). Alle datasheets van de gebruikte componenten zijn eveneens op bijgevoegde CD terug te vinden.

2.1 Pompgroep 2.1.1

Asynchrone motor

De asynchrone motor zorgt voor een energieomzetting van elektrische naar mechanische energie. Deze motor is in staat om 11kW mechanisch vermogen te leveren aan de motoras. Hierbij wordt een nominale stroom opgenomen van 22,6A. De hydropomp is echter in staat om een maximaal asvermogen van 19,9kW om te zetten in hydraulisch vermogen.

2.1.2

Variabele plunjerpomp

De pomp zet het mechanisch vermogen van de motoras om in hydraulisch vermogen, en stelt dit beschikbaar voor de hydromotor. De elektrische motor drijft de variabele plunjerpomp aan bij een vast toerental. Vermits de slagplaat van de plunjerpomp variabel is, kan het uitgaande debiet gevarieerd worden naargelang de hellingshoek van deze slagplaat. Staat deze slagplaat verticaal, dan levert de pomp geen debiet indien het debiet ten gevolge van de interne lek van de pomp niet wordt meegerekend. Hoe schuiner deze plaat komt te staan, hoe meer debiet de pomp levert. Onderstaande paragrafen bespreken de situatie bij een geblokkeerde oliestroom en bij normale werking.

Figuur 5: Pompgroep 5

2.1.2.1 Oliestroom geblokkeerd In dit geval is er geen debiet mogelijk naar de actuatoren door bijvoorbeeld een gesloten stuurschuif. Hierdoor ontstaat er geen drukval over het debietregelende ventiel (Figuur 6 [1]). Dit betekent dat de druk voor en na dit ventiel dezelfde waarde heeft en gelijk aan de pompdruk. Vermits ventiel [3] (=load sensing plunjer) aan de linkerzijde een terugkoppeling heeft van de druk na het debietregelende ventiel [1] en aan de rechterzijde de pompdruk, heffen de drukken aan rechter- en linkerzijde van ventiel [3] elkaar op. De veerkracht zorgt ervoor dat dit ventiel naar rechts verschuift, waardoor de tankdruk wordt doorgekoppeld naar ventiel [4]. Deze laatste kan eveneens ofwel de pompdruk ofwel de tankdruk doorkoppelen naar de regelplunjer [5] van de plunjerpomp.

Figuur 6: Pompgroep, circuit geblokkeerd

•

Situatie 1: Druk lager dan maximale druk

Bij een geblokkeerde oliestroom zal in een initiële fase de pompdruk de maximale toegelaten druk door de overdrukklep [2] opgelegd niet overschrijden. Hierdoor is er geen debiet mogelijk via deze klep. Opnieuw ontstaat geen drukval over de smoring [6], wat betekent dat de druk aan weerszijden van ventiel [4] gelijk is. De plunjer van ventiel [4] beweegt zich naar rechts door de veerdruk. Op die manier wordt de tankdruk teruggekoppeld naar de regelplunjer [5] van de pomp, waardoor deze maximaal debiet levert. •

Situatie 2: Druk hoger dan maximale druk

Op een bepaald moment zal, bij een blijvende blokkering van de volumestroom naar de actuatoren, de druk hoger worden dan de maximale druk, bepaald door de overdrukklep [2]. Op dat moment opent overdrukklep [2] zich waardoor een debiet mogelijk is via deze component naar de tank. Door de toegelaten debiet ontstaat een drukval over smoring [6]. Vermits de pompdruk (rechterzijde van ventiel[4]) hoger is dan de druk aan de linkerzijde van ventiel [4] verschuift deze plunjer naar links. Op die manier wordt de pompdruk naar de 6

regelplunjer [5] van de pomp teruggekoppeld. Deze regelplunjer schuift maximaal uit en brengt de slagplaat naar de verticale stand, waardoor de pomp geen debiet levert. De pompdruk daalt tot onder de druk ingesteld door klep [2]. De plunjer van ventiel [4] schuift naar rechts, waardoor de hoek van de slagplaat weer toeneemt, totdat de maximale druk opnieuw bereikt is. 2.1.2.2 Gewone werking Bij gewone werking van het systeem, is er wel een debiet naar de actuator. Hierdoor ontstaat een drukval over het debietregelende ventiel [1] De pompdruk wordt teruggekoppeld naar de rechterzijde van dit ventiel, de lastdruk naar de linkerzijde. Neemt de lastdruk af dan verschuift de plunjer van ventiel [3] iets naar links, waardoor de druk voor de regelplunjer [5] toeneemt. De slagplaat gaat naar een meer verticale stand, waardoor het debiet geleverd door de pomp verkleint. Dit gaat verder tot de pompdruk gelijk is aan de lastdruk vermeerderd met de veerdruk van ventiel [3]. Ventiel [4] fungeert als een drukbegrenzing op dezelfde manier als hierboven beschreven. Verder bevat de pompgroep nog een overdrukklep [7] die een hogere druk toelaat dan de proportionele klep [2]. Deze zorgt bijgevolg voor een extra drukbeveiliging van het systeem. Als laatste is er een smoring [8] te zien tussen de tankleiding en de regelplunjer van de pomp. Deze laat een zodanig klein debiet door dat er eenvoudig druk kan opgebouwd worden voor deze smoring. Deze dempt drukvariaties, zodat de slagplaat niet gaat resoneren.

2.2 Conditioneringsgroep De conditioneringsgroep bestaat uit een drukfilter in de persleiding en een terugloopfilter in de retourleiding. Deze filters verwijderen onzuiverheden uit de olie. Verontreiniging van de olie kan verschillende oorzaken hebben. Tijdens de productie van hydraulische componenten komen onvermijdelijk vuildeeltjes vrij. Indien deze niet volledig verwijderd worden, komen ze tijdens de ingebruikname van de hydraulische installatie in de olie terecht. Ditzelfde kan gebeuren tijdens de montage van verschillende componenten. Vuildeeltjes ontstaan ook tijdens de werking van de installatie. Door wrijving van bewegende componenten komt slijpsel vrij, dat onvermijdelijk in de olie terechtkomt. Ook blootstelling aan onzuiverheden in de lucht en verontreiniging tijdens het vullen van het reservoir kunnen zorgen voor slijtage aan de verschillende hydraulische componenten. Vaste deeltjes in de olie hebben nefaste gevolgen voor de meeste componenten. De kleine spelingen tussen bewegende onderdelen, zoals de plunjer van een proportioneel ventiel, zorgen ervoor dat deze ventielen bijzonder gevoelig zijn voor verontreinigingen. Vermits de vuilgevoeligheid vrij kritisch is in de proportionaalhydraulica moet veel aandacht uitgaan naar de filtrering van de hydraulische vloeistof. De vakliteratuur1 raadt een filterfijnheid van 2 tot 10µm aan voor de proportionaalhydraulica. Een andere manier om het correcte type filter te bepalen, is het gebruik van de reinheidscode volgens ISO 4406. Deze code is gebaseerd op het aantal vuildeeltjes per 100ml vloeistof. Deze hoeveelheid olie wordt gecontroleerd op het aantal deeltjes groter dan 5µm en op het 1

R. van den Brink, Technische leergang: Hydraulica. Amerongen, Nederland: Delta Press BV, 2006. 7

aantal deeltjes groter dan 15µm. Naargelang de hoeveelheid deeltjes wordt een ISO-code meegegeven met het staal olie. De proportionaalhydraulica krijgt een aanbevolen reinheidsklasse van 17/14 zoals uit Tabel 1 blijkt. Bij een reinheidsklasse van 17/14 hoort een β10 gelijk aan 75. Deze β-waarde betekent dat voor 75 toegevoegde deeltjes met een doorsnede van 10µm er één deeltje niet wordt tegengehouden door de filter. Verder blijkt uit Tabel 1 dat deze reinheidsklasse te bereiken is met behulp van een anorganisch filterelement. Deze bevindingen worden nagegaan voor de filters op de testopstelling. Reinheidsklasse

Te bereiken met filter

ISO 4406

βx=75

15/12

3

materiaal

functie Servoventielen persfilter

16/13

5

17/14

10

18/15 19/16 20/17 21/18

Anorganisch bvb glaswol

25…40

Regelventielen Proportionele ventielen

Retour- of persfilter

20 25

systemen

Pompen en ventielen

organisch Retour-, zuigof bypass filtering

Lage druksystemen

Tabel 1: Filteradvies

2.2.1

Drukfilter

De drukfilter zorgt onder andere voor een bescherming van de besturingsgroep. Vermits het proportionele ventiel en de seriestroomregelklep kritische componenten zijn wat betreft verontreinigingen, is deze bescherming een noodzaak. De filter bestaat uit een ijzeren behuizing die een maximale druk van 420 bar kan weerstaan en een filterelement. Dit filterelement zorgt voor de verwijdering van kleine deeltjes uit de olie. Uit Tabel 1 blijkt dat voor de bescherming van proportionele ventielen een anorganisch materiaal nodig is dat een β10 gelijk aan 75 bewerkstelligt. De datasheets (CD) van de gebruikte drukfilter (MP Filtri In-Line filter, Figuur 7) geven aan dat het gebruikte materiaal anorganische microvezel is dat een β10 groter dan of gelijk aan 200 haalt. Praktisch betekent dit dat het filterelement per 200 toegevoegde deeltjes met een doorsnede van 10µm slechts één deeltje doorlaat. Dit komt overeen met een filtering van 99.5%. Indien dit per 75 deeltjes wordt bekeken, mag elk deeltje een doorsnede van 7.8 µm hebben om de vooropgestelde reinheidsklasse te bereiken. 8

Figuur 7: Drukfilter

De drukfilter voldoet dus ruim aan de vooropgestelde eisen. Verder toont Figuur 7 een bypass klep en een visuele vuilstandindicator. De by-pass opent bij een drukval die groter is dan een tiental bar bij een debiet van 41 liter per minuut. Hierdoor blijft het energieverlies door een vervuilde filter beperkt. In sommige applicaties is het echter ontoelaatbaar dat de filter overbrugd wordt, zoals bij servoventielen. De optische vuilstand-indicator geeft de vervuiling van het filterelement aan op basis van de drukval hierover.

2.2.2

Retourfilter

Zoals hierboven vermeld kunnen verontreinigingen ontstaan tijdens de werking van een hydraulische installatie ten gevolge van wrijving en luchtverontreinigingen. Om dit tegen te gaan wordt een retourfilter geplaatst tussen de retour van de actuator en de tank. Het filterelement van de retourfilter (MPF Filtri Retour Filter) op de testopstelling bestaat eveneens uit anorganische microvezel met eenzelfde filterfijnheid als de drukfilter. Het verschil zit in de bouw van het filterhuis. Terwijl de drukfilter in de persleiding zit ingebouwd, wordt de retourfilter op de tank bevestigd met een uitloop die zich onder het vloeistofoppervlak bevindt, zodat schuimvorming wordt tegengegaan. Een ander verschil tussen de twee types filters is de maximale werkdruk. Waar de drukfilter een maximale druk van 420 bar kan weerstaan, is dit voor de retourfilter slechts 3 bar.

2.2.3

Vulfilter

Vermits de tank verbonden is met de atmosfeer, is het mogelijk dat vuildeeltjes, aanwezig in de lucht, binnendringen in de tank en de hydraulische vloeistof verontreinigen. Om dit tegen te gaan wordt gebruik gemaakt van een luchtfilter gecombineerd met een ingietfilter. Deze laatste is een vulzeefje die de olie filtreert tijdens het (bij-)vullen van de tank. Deze filters hebben gezamenlijk een filterfijnheid van 3 µm.

2.3 Besturingsgroep Dankzij de opbouw van de testopstelling is het mogelijk om verschillende besturingen toe te passen op de actuator. Naargelang de instelling van de driewegkranen (Figuur 8 [1]) bestuurt ofwel het proportionele ventiel [2], of de seriestroomregelklep [3] of de afvoersmoringen [5] de actuator.

9

2.3.1

Driewegkranen

De stand van de twee driewegkranen (Figuur 8 [1]) die zich net voor de actuator met anticavitatiekleppen bevinden, bepalen de besturing. Afhankelijk van de draaizin van de hydromotor zorgt de linkerkraan voor de keuze tussen de toevoerleiding afkomstig van het propventiel en de leiding komende van de conventionele besturingscomponenten. De rechterkraan verzorgt dan de retour. Vermits de toevoer- en de retourolie via dezelfde besturingsgroep moeten vloeien, dienen beide kranen steeds op elkaar afgestemd te worden. Draait de motor in de andere richting verzorgt de linkerkraan de keuze in afvoer en de rechter voor de toevoer.

Figuur 8: Besturingsgroep van de testopstelling

2.3.2

Proportioneel ventiel

Het proportionele ventiel (Figuur 8 [2]) is een direct gestuurd ventiel met een maximaal toegelaten werkdruk van 350 bar op de poorten P, A en B. De maximale druk voor de poort T mag slechts 160 bar bedragen. Uit Figuur 9, karakteristiek 7 blijkt dat bij een maximaal stuursignaal het ventiel een debiet van 50 l/min toelaat bij een drukval van 30 bar (P
T)2. Figuur 9 toont eveneens het spoeltype van het gebruikte proportionele ventiel. De karakteristiek (7) vertoont een progressief verloop. Dit betekent dat bij lage stuursignalen een grote verandering in stuursignaal leidt tot een kleine verandering van debiet en bijgevolg toerental.

2

De drukval (P
T) is de som van de drukval over de perszijde (P
A) en de drukval over de retourzijde (B
T) van het proportionele ventiel. 10

Figuur 9: Regeldiagram voor het proportionele ventiel

Door het toepassen van dit spoeltype is het mogelijk om het debiet en de snelheid van de actuator nauwkeuriger te regelen bij lage snelheden. Dit gaat echter ten koste van de nauwkeurigheid van debietregeling bij hogere stuursignalen en bijgevolg hogere toerentallen.

2.3.3

Stuurkaart

De stuurkaart vormt het referentiesignaal (spanning) afkomstig van de dSpace-kaart om naar een proportioneel stroomsignaal. Deze stroom magnetiseert één van de twee spoelen zodat de plunjer een bepaalde positie inneemt, afhankelijk van deze stroom. Uit Figuur 9 blijkt dat het proportionele ventiel een ‘dode zone’ heeft. Dit betekent dat bij lage stuursignalen de plunjer beweegt, maar geen debiet toelaat doorheen de schuif. Hierdoor is het aangeboden spanningsignaal niet evenredig met het debiet. Potentiometers P5 en P6 (Figuur 10) zorgen echter voor een mogelijkheid om deze dode zone te beperken. Voor een stuurspanning van 0,1V kan één van deze potentiometers zodanig aangepast worden zodat de stroom, aangeboden aan het ventiel, de actuator net niet aanstuurt. De dode zone wordt met andere woorden zo klein mogelijk gemaakt door een versterking van het stroomsignaal. Om tot een goede afstelling te raken wordt volgende strategie gevolgd: • • •

“Voorzie een stuurspanning van ±0.1V” “Draai P5 of P6 tot de actuator reageert” “Draai in de tegengestelde richting tot de actuator stopt”

11

Figuur 10: Stuurkaart

De stuurkaart biedt eveneens de mogelijkheid om de schaal aan te passen. Dit betekent dat de helling voor het stroomsignaal in functie van het aangelegde spanningssignaal kan worden aangepast. Voor de testopstelling is het echter enkel belangrijk dat de hydromotor in beide richtingen hetzelfde snelheidsbereik heeft. Dit kan door eerst een positief spanningssignaal aan te leggen en het toerental uit te lezen. Voor hetzelfde negatief stuursignaal moet dit toerental hetzelfde zijn, maar in tegengestelde richting.

2.3.4

Seriestroomregelklep

Het blok aangeduid door [3] in Figuur 8 bestaat uit een seriestroomregelklep die met behulp van een micrometerknop het debiet beïnvloedt. Draaien van deze knop in klokrichting leidt tot een toenemend debiet en bijgevolg toenemende snelheid van de hydromotor. Naast deze seriestroomregelklep bevat deze component een terugslagklep (Figuur 11 [3]) die een debiet in de andere richting toelaat. Als laatste bevat deze component een elektrisch bediend 2/2ventiel (Figuur 11 [2]), waarmee de seriestroomregelklep kan overbrugd worden. Dit is noodzakelijk indien de afvoersmoringen, besproken in paragraaf 2.3.5, als besturing dienen voor de actuator. De seriestroomregelklep moet hiervoor uitgeschakeld worden door deze te overbruggen.

Figuur 11: Seriestroomregelklep

De seriestroomregelklep weerstaat een maximale druk van 240 bar en heeft een maximaal gecontroleerd debiet van 24 l/min. Het elektrisch bediend 2/2-ventiel op zijn beurt heeft een maximaal debiet van 36 l/min.

12

2.3.5

Afvoersmoringen op A- en B-poort

Deze smoringen (Figuur 12,[1]en Figuur 8, [1]) controleren het debiet op zowel de A- als op de B-poort. Deze weerstaan een druk van 350 bar en laten een maximaal gecontroleerd debiet van 25 l/min toe. De terugslagkleppen afgebeeld in Figuur 12, [2] overbruggen de smoring in de persleiding, waardoor enkel de smoring in de retourleiding het debiet controleert. Het elektrisch bediend 4/3-ventiel (Figuur 12, [3]) zorgt voor de draairichting van de hydromotor en bepaalt bijgevolg welke smoring wordt overbrugd.

Figuur 12: Afvoersmoringen op A- en B-poort

2.4 Motorgroep De motorgroep bestaat uit een axiale plunjermotor van het knietype (Figuur 13, [1]) met een vaste slagplaat, beveiligd door twee anticavitatiekleppen en drukbeveiligingen. (Figuur 13, [2]). Vermits cavitatie ernstige schade kan toebrengen aan de hydromotor is het plaatsen van dit soort kleppen een noodzaak. Anderzijds beveiligen de overdrukkleppen de hydromotor tegen te grote drukken. Twee flexibele hoge drukslangen zorgen voor de verbinding tussen de besturingsgroep en de motorgroep.

2.4.1

Hydromotor

Dit type hydromotor met een slagvolume van 19,6cm³/omw is inzetbaar in zowel een gesloten als een open circuit en wordt bijgevolg toegepast in zowel industriële als mobiele applicaties. De motor zet het hydraulische vermogen, gegeven door vergelijking 2.1, om in mechanisch vermogen, gegeven door vergelijking 2.2.
   · ∆


    · 

(2.1) (2.2)

13

Met:

Q: ∆p: T: ω:

Debiet [l/min] Drukval over de motor [Pa] Koppel [Nm] Hoeksnelheid [rad/s]

Voor verdere specificaties wordt verwezen naar de datasheets op bijgevoegde CD.

Figuur 13: Motorgroep

2.4.2

Anticavitatieklep

Zoals eerder vermeld, moet de motor op een correcte manier beveiligd worden om schade te voorkomen. Met behulp van twee anticavitatiekleppen en twee overdrukkleppen is de motor in beide draairichtingen beveiligd tegen cavitatie en te grote drukken. Figuur 14 toont de werking van deze kleppen indien het debiet naar de motor nul wordt, door bijvoorbeeld het plots sluiten van het proportionele ventiel. Vermits de motor initieel in klokrichting draait zal onder invloed van de belasting aan de hydromotor een bepaald toerental opgelegd worden. De motor fungeert op dit moment als een pomp, die olie aanzuigt vanuit de initiële persleiding en deze op een hogere druk brengt aan de initiële retourleiding. Wordt deze druk groter dan de drukkracht uitgeoefend door de veer in overdrukklep [2] in Figuur 14, dan opent deze en kan er olie vloeien. Door het openen van deze klep ontstaat een grotere druk voor de anticavitatieklep [3]. Deze opent zich op zijn beurt, waardoor een debiet toegelaten wordt naar de hydromotor. De motor die fungeert als pomp creëert geen onderdruk meer in de initiële persleiding, doordat de olie in het tijdelijke circuit vrij kan vloeien (rode pijlen in Figuur 14) en er dus geen cavitatie kan optreden. Vermits de motor een interne lek bezit, moet deze lekolie gecompenseerd worden door het tijdelijke circuit via een leiding rechtstreeks van de tank van de nodige olie te voorzien. Door de onderdruk die de motor creëert bij het tekort aan olie in het tijdelijke circuit, wordt een volume, gelijk aan het volume lekolie, aangezogen Wordt dit niet voorzien, dan bestaat opnieuw gevaar voor cavitatie. Draait de motor in de andere richting, dan verzorgen de kleppen [1] en [4] de bescherming tegen cavitatie. De 14

drukinstelling van de overdrukkleppen (of remventielen) is instelbaar via een regelschroef en bepaalt de mate waarin de kinetische energie wordt omgezet in warmte en dus de vertraging van de hydromotor.

Figuur 14: Werking anticavitatiekleppen

Gedurende normale sturing van de hydromotor dienen de overdrukkleppen [1] en [2] als motorbeveiliging tegen overdruk. Wordt de druk voor de motor te groot dan vloeit een deel van het debiet via een van deze kleppen, naargelang de draaizin, naar de tank.

2.4.3

Inertie

Op de as van de motor is een inertie gekoppeld. Deze zorgt voor een belasting bij het versnellen en vertragen. Eenmaal de motor in regime draait, vervalt het lastkoppel ten gevolge van deze inertie. Op het frame is echter nog plaats voorzien om een extra belasting te plaatsen onder de vorm van een inductiemotor, elektrisch gekoppeld aan een frequentieomvormer. De inductiemotor is, in tegenstelling tot de inertie, in staat om een constante belasting te leveren. De inertie is verstelbaar en kan de waarden 0,26 kgm², 0,82 kgm² 1,07kgm² of 1,63 kgm² aannemen.

2.5 Meetinstrumenten 2.5.1

Encoder

De incrementele encoder, gemonteerd op de doorlopende as van de inertie, meet de relatieve positie van de hydromotor en de inertie op. Dit betekent dat er geen absolute positieinformatie beschikbaar is indien de spanning van de encoder wegvalt. Deze applicatie heeft echter geen positie-informatie nodig, waardoor dit probleem vervalt. De encoder zet de snelheid (min-1) om in een relatief positiesignaal, door per omwenteling van de encoder 9000 pulsen uit te sturen. Deze omzetting wijst op de aanwezigheid van een integrator. 15

Vermits deze thesis de snelheidsregeling van een hydromotor bespreekt is niet het teruggekoppelde positiesignaal van belang, maar wel het snelheidssignaal. Om dit signaal te bekomen moet in het model een functie voorzien worden om het opgemeten positiesignaal om te zetten in een bruikbaar snelheidssignaal.. Het omzetten naar snelheid wijst op de aanwezigheid van een differentiator, die de invloed van de integrator wegwerkt. De regelkring bevat dus netto geen integrator.

2.5.2

Druksensoren

In het hydraulisch schema (bijlage1) zijn enkele drukmeetpunten terug te vinden. Op deze punten is het mogelijk om de druk op te meten via een flexibele leiding gekoppeld aan een druksensor. De gebruikte sensoren hebben een meetbereik van 250 bar. Naargelang de opgemeten druk bieden deze sensoren een spanningssignaal aan tussen 0V en 10V aan de acquisitiekaart (dSpace kaart).

Figuur 15: Drukmeetpunten voor en na de hydromotor

2.6 Software 2.6.1

Matlab/Simulink

Simulink is een model-gebaseerd ontwerpplatform voor dynamische systemen. Het is een grafische omgeving waarin de gebruiker verschillende tijdsafhankelijke systemen kan testen. Dit softwarepakket is de link tussen de hardware, de testopstelling, en de software, waaronder de regelaars en het visualisatieplatform ControlDesk. De acquisitiekaart neemt de nodige opgemeten analoge signalen binnen, en stuurt bepaalde analoge wenswaarden uit naar de verschillende proportionele componenten. Analoge signalen zijn echter niet bruikbaar in Matlab/Simulink. Analoog naar digitaal omvormers zorgen voor een omzetting van analoge signalen naar digitale, dewelke kunnen bewerkt worden door bijvoorbeeld regelaars. Het terug omvormen van deze bewerkte digitale signalen naar analoge, zorgt ervoor dat de component kan aangestuurd worden.

2.6.2

ControlDesk

ControlDesk is het bijhorende visualisatieplatform bij de dSpace-software. Via Controldesk is het mogelijk om het systeem manueel aan te sturen en de verschillende binnengelezen waarden te monitoren en te visualiseren. Voor het gebruik wordt verwezen naar de handleiding: “:“Handleiding: Identificatie en afregeling van de rotatieve hydraulische opstelling”. 16

2.6.3

DSHplus

Dit is een simulatietool om zowel hydraulische als pneumatische systemen te testen. Dit maakt het mogelijk om verschillende regelaars te dimensioneren vooraleer deze toe te passen op de testopstelling. Anderzijds biedt deze software de mogelijkheid om een waarheidsgetrouw model op te bouwen om problemen bij het afregelen van de testopstelling op te sporen. Het nadeel van simulaties is dat er enige ervaring nodig is om alle gegevens correct in te geven. Hiervoor moeten zoveel mogelijk parameters gekend zijn van het werkelijke systeem, de testopstelling. Om het opgebouwde model te verifiëren zijn metingen op de testopstelling noodzakelijk. Deze thesis bespreekt bijgevolg eerst de afregeling van de testopstelling om daarna een waarheidsgetrouw model op te bouwen. Dit levert ervaring op in het gebruik van het simulatieprogramma DSHplus, waarmee latere applicaties kunnen getest worden indien er geen testopstelling ter beschikking is.

2.7 Uitbreiding testopstelling Vermits op de testopstelling enkel een inertie is gekoppeld aan de hydromotor, is er geen mogelijkheid om een al dan niet constante belasting aan te leggen. Een inertie zorgt enkel voor een lastkoppel tijdens het versnellen, eenmaal in regime moet enkel een koppel ten gevolge van wrijvingsverliezen overwonnen worden. Om deze beperking het hoofd te bieden, werd een belastingsmotor voorzien gekoppeld aan een frequentieomvormer.

2.7.1

Belastingsmotor

Als belasting, naast de inertie, wordt een elektrische motor gekozen van 11 kW en met een nominaal toerental van 1000 min-1. Deze motor zorgt naast een versnellingskoppel ook voor een constant of een variabel belastingskoppel, naargelang de meting.

2.7.2

Frequentieomvormers

De nieuwe schakelkast bevat drie frequentieomvormers, namelijk één van 22 kW en twee van 11 kW. De grootste omvormer van 22 kW is gekoppeld aan de aandrijvende motor voor de hydropomp. De twee kleinste omvormers dienen voor de belastingsmotoren. Momenteel is er hiervan één operationeel, vermits er slechts één belastingsmotor aanwezig is op de testopstelling. De extra omvormer dient om een uitbreiding van de opstelling mogelijk te maken. De aandrijvende motor van de hydropomp wordt niet in toerental geregeld, maar constant aangestuurd met een maximale frequentie van 50 Hz. De omvormer hiervoor dient enkel om een DC tussenkring mogelijk te maken tussen de verschillende frequentieomvormers. Het voordeel hiervan is dat de belastingsmotor, die oversynchroon wordt aangedreven door de hydromotor, elektrische energie terugstuurt in deze tussenkring en beschikbaar stelt voor de aandrijvende motor. De belastingsmotor wordt aangestuurd door de drive in koppelcontrole zonder terugkoppeling. Dit betekent dat het setpoint voor het koppel dat de motor levert in te stellen is vanuit de ControlDesk omgeving. Uitlezen van verschillende waarden, zoals het effectieve koppel, de snelheid of het opgewekte vermogen kunnen uitgelezen worden in de 17

STARTER-software. De methodiek hiervoor staat beschreven in de handleiding: “Handleiding: Identificatie en afregeling van de rotatieve hydraulische opstelling”.

Figuur 16: Opstelling met belastingsmotor

Figuur 17: Frequentieomvormers

18

3 Snelheidsregeling van een hydromotor Om de rotatiesnelheid van een hydromotor te sturen, moet de volumestroom naar deze actuator geregeld worden. Aanpassen van het debiet kan door een pomp met variabele slagplaat te gebruiken of door debietregelende componenten te plaatsen in de toe- of afvoerleiding. De snelheid van een hydromotor is te schrijven als vergelijking 3.1.

• • • •

:  :  : :



 ·· 

(3.1)

Toerental [min-1] Volumestroom [l/min] Volumetrisch rendement [%/100] Slagvolume per omwenteling [cm3]

Figuur 18 toont de werking van een smorend element. De pomp levert een constant debiet gelijk aan Q1, terwijl de smoring is ingesteld op een debiet gelijk aan Q2. Het debiet (Q1-Q2), dat de smoring niet doorlaat, wordt afgevoerd via de overdrukklep naar de tank. Hierdoor heerst de maximale systeemdruk, bepaald door de overdrukklep, voor de smoring.

Figuur 18: Werking smorend element

Het debiet (vergelijking 3.2) is echter niet enkel afhankelijk van de instelling van de smoring. Door de smorende werking van deze component ontstaat hierover een drukval. Hoe hoger deze drukval, hoe groter het debiet. Verder is het debiet afhankelijk van de vorm van de smoring, de viscositeit, de stroomsnelheid en de hydraulische diameter.

• • • • • •

 " ∆

!

% )

  ! · " · #∆

(3.2)

= Debiet [l/min] = Doorsnede van de smoring [m²] = Drukval over de smoring [bar]

 %&

'

(

3

= Doorstroomcoëfficiënt, afhankelijk van de smoring = Viscositeit [Ns²/m4]

Volgende paragrafen bespreken drie debietregelende componenten, en worden getest via het simulatiepakket DSHplus en op de testopstelling: • Conventionele afvoersmoring • Seriestroomregelklep • Proportioneel ventiel 3

Bosch Rexroth AG, Grondbeginselen en componenten van de hydraulische vloeistoftechniek. Erbach: Bosch Rexroth AG, 2004. 19

3.1 Conventionele snelheidsregeling In principe is het gebruik van de term regeling hier niet op zijn plaats, vermits geen vergelijking plaatsvindt tussen het werkelijke toerental en het gewenste toerental. Hier is de term “sturen” van toepassing. De debietregelende component (smoring of seriestroomregelklep) zorgt voor een omzetting van het inputssignaal (handmatig door gebruiker m.b.v. bijvoorbeeld een micrometerknop) naar een doorgelaten debiet.

3.1.1

Conventionele smoring

Systemen die geen constante snelheid eisen, worden vaak voorzien van dit type smoring, omwille van de eenvoud en lage kostprijs. Met behulp van vergelijking 3.2 wordt aangetoond dat indien ∆   * ' afneemt door een hogere lastdruk, het debiet door de smoring en naar de actuator eveneens afneemt, waardoor de actuatorsnelheid daalt. p2

p1

Figuur 19: Klassieke smoring

Op de testopstelling zijn twee afvoersmoringen geïntegreerd, overbrugd door twee terugslagkleppen waardoor het debiet voor de motor niet gesmoord wordt. In tegenstelling tot de opstelling gaat in de praktijk de voorkeur uit naar toevoersmoringen, omdat deze niet leiden tot ontoelaatbare drukken bij het aandrijven van hydraulische cilinders. De opstelling dient echter om een hydromotor aan te drijven, waarbij er geen ontoelaatbare drukken kunnen voorkomen.

Figuur 20: Drukprobleem bij smoren in de afvoer

Stel dat een druk gelijk aan 150 bar heerst aan de bodemzijde van de cilinder in Figuur 20 tijdens de uitgaande slag, dan zal een druk aan de stangzijde heersen die het dubbele bedraagt van de druk aan bodemzijde. Dit in de veronderstelling dat de stangoppervlakte de helft is van het zuigeroppervlak. Hierdoor is de oppervlakte waar druk op heerst aan de stangzijde de helft van deze aan de bodemzijde. Een hydromotor kent dit probleem echter niet. In het simulatiepakket DSHplus en op de testopstelling wordt het verschil in gedrag tussen een smoring en een seriestroomregelklep enerzijds aangetoond door enkel een inertie te 20

versnellen. In regime moet de hydromotor dan enkel een wrijvingskoppel overwinnen. Anderzijds kan dit verschil ook aangetoond worden door een constant belastingskoppel aan te leggen aan de hydromotor. Dit is mogelijk nadat de testopstelling is uitgebreid met een elektrische belastingsmotor gekoppeld aan een frequentieomvormer. Het versnellingskoppel laat zich noteren als:

• • •

 +, -,

. %

 +, -,  . · %

(3.3)

= Versnellingskoppel [Nm] = Inertie [kgm²] = Hoekversnelling [rad/s²]

Waarbij de hoekversnelling α een maximale waarde bereikt tijdens het aanlopen en daarna terug afneemt naarmate de eindsnelheid bereikt is, om uiteindelijk nul te worden indien de inertie het regimetoerental bereikt. Vermits het versnellingskoppel evenredig is met de hoekversnelling, neemt dit versnellingskoppel initieel toe tot een bepaald maximaal koppel, en daarna terug af tot het regimetoerental bereikt is. Het koppel aangeboden aan de krachtafnemer van een hydraulische motor, in dit geval de inertie, wordt gegeven door volgende formule:  • • • •

T 

∆



 ·∆/·01 '2

(3.4)

= Versnellingskoppel [Nm] = Geometrisch slagvolume per omwenteling van de motor [cm³] = Drukval over de motor [bar] = Mechanisch-hydraulisch rendement [%/100]

Uit vergelijking 3.4 volgt dat de drukval over de motor evenredig is met het versnellingskoppel:  +, -, ~ ∆

 +, -, ~  * '

Waaruit volgt: • •



'

•

∆ +-,

(3.5) (3.6)

= Druk voor motor [bar] = Druk na motor [bar]

De druk voor de motor  (Figuur 21) blijft gedurende de versnelling zo goed als constant, de pomp kan het benodigde debiet voor de te bereiken snelheid immers zonder probleem leveren zoals uit de metingen zal blijken. De druk na de afvoersmoring ( 4 ) is gelijk aan de tankdruk en dus ongeveer gelijk aan nul bar. Hieruit volgt dat de drukval over de smoring enkel afhankelijk is van de druk na de motor. ∆ +-,  ' * 4 (3.7) •

4

= Drukval over de smoring [bar] = Druk na de smoring (± tankdruk) [bar]

21

Figuur 21: Hydraulisch schema met afvoersmoringen

Uit vergelijking 3.6 volgt dat de druk na de motor( ' ) gelijk is aan de pompdruk, indien er geen koppel van de motor verwacht wordt. Met andere woorden: is de smoring gesloten en draait de motor bijgevolg niet, dan is de drukval over de motor gelijk aan nul bar. Dit betekent eveneens dat de pompdruk  voor de afvoersmoring heerst, wat leidt tot een drukval over de smoring gelijk aan vergelijking 3.8. ∆ +-,   * 4

(3.8)

Op het moment dat de smoring wordt geopend, is een debiet mogelijk naar de tank. Hierdoor daalt de druk voor de smoring en dus na de motor. Dit betekent dat er een drukval ontstaat over de motor. Deze drukval is afhankelijk van de aan te drijven belasting zoals uit vergelijking 3.4 blijkt. Tijdens het versnellen is dit koppel afhankelijk van de inertie . en de hoekversnelling %. Naarmate de eindsnelheid bereikt wordt, daalt de hoekversnelling, en bijgevolg het afgenomen koppel aan de as van de hydromotor. Als gevolg van het dalend koppel bij toenemende snelheid daalt de drukval over de motor. Eenmaal de regimesnelheid bereikt is, en het versnellingskoppel aan de as van de hydromotor nul Nm bedraagt, heerst er nog een kleine drukval over de motor. Dit wijst erop dat er een koppel nodig is om de wrijvingsverliezen te overwinnen tijdens het draaien op regimesnelheid. Het lastkoppel heeft invloed op de drukval over de motor, en vermits  constant blijft, enkel op de druk na de motor ' . Deze druk heerst ook voor de smoring. De drukval over de smoring is dus afhankelijk van lastkoppel ( 4 is immers constant en gelijk aan de tankdruk). 22

3.1.2

Seriestroomregelklep

Vele systemen eisen echter een constante snelheid onafhankelijk van de belasting. Een eenvoudige klassieke smoring zoals besproken in paragraaf 3.1.1 voldoet hier niet meer aan de voorwaarden. Het debiet is immers afhankelijk van de drukval over de smoring en bijgevolg van de belasting.

Figuur 22: Seriestroomregelklep

Om het debiet en dus de actuatorsnelheid constant te houden, wordt een meetsmoring in serie geplaatst met een reduceerventiel. Dit ventiel zorgt ervoor dat de drukval over de meetsmoring constant blijft, waardoor het debiet enkel afhankelijk is van de instelling van deze meetsmoring. De druk voor de smoring heerst aan de linkerkant van de regelplunjer, terwijl de druk na de smoring wordt teruggekoppeld naar de rechterkant van de plunjer. Hier zorgt een veer zorgt voor een extra tegendruk (Figuur 22). Dit levert volgend krachtenevenwicht op:

Daaruit volgt: • • •

'

4



'  4 5 

(3.9)

' * 4  

(3.10)

= Druk voor de smoring [bar] = Druk na de smoring [bar] = Veerdruk [bar]

Met  =Δ =constant.

De seriestroomregelklep werkt in één richting, in tegengestelde richting werkt deze klep als een klassieke smoring. Een ingebouwde terugslagklep over de regelklep zorgt ervoor dat de 23

olie komende van de actuator naar de tank vloeit. Dit betekent ook dat er twee regelkleppen nodig zijn om de motor in beide richtingen te regelen. Praktisch gezien is het interessanter om een 4/3-ventiel te plaatsen achter de seriestroomregelklep, waarmee de draairichting van de hydromotor wordt bepaald. Door deze aanpassing smoort de seriestroomregelklep steeds in de persleiding. De simulatie gebeurt met behulp van het schema afgebeeld in Figuur 23.

Figuur 23: Hydraulisch schema met seriestroomregelklep

3.1.3

Versnellingskoppel: Simulaties

Het verschil in gedrag tussen een conventionele smoring en een seriestroomregelklep kan zowel aangetoond worden tijdens het versnellen van een inertie als met behulp van een constante belasting. Volgende paragrafen bespreken beide mogelijkheden. 3.1.3.1 Klassieke smoring De simulaties met een klassieke smoring gebeuren met behulp van het hydraulisch schema afgebeeld in Figuur 21. Op dit schema zijn volgende groepen terug te vinden: • • •

A: B: C:

De pompgroep De besturingsgroep De motorgroep

De dimensionering van de componenten is gebaseerd op de testopstelling om vergelijkbare resultaten te verkrijgen. De grafiek (Figuur 24) toont de werkelijke opgemeten snelheid van 24

de hydromotor en de drukken voor ( ) en na de motor/voor de smoring ( ' ) in functie van de tijd. Na één seconde wordt een stapsignaal aangelegd aan de smoring weergegeven door een stippellijn. Dit stapsignaal komt overeen met het “opendraaien” van de smoring op te testopstelling. Zoals vermeld in paragraaf 3.1.1, is er op dat moment een debiet mogelijk door deze afvoersmoring naar de tank. Het versnellingskoppel, afhankelijk van de inertie, bepaalt de drukval over de motor. Zoals vermeld blijft de druk voor de motor ( ) en na de smoring ( 4 ) nagenoeg constant.

Figuur 24: Simulatie met afvoersmoringen

Zone 1 in Figuur 24 toont de beginversnelling van de hydromotor. In deze zone gaat de versnelling naar een maximale waarde, waardoor de drukval (vergelijking 3.4) eveneens convergeert naar een maximale waarde. Dit maximale koppel wordt bereikt in het buigpunt, de overgang van zone 1 naar zone 2. Vanaf dat buigpunt neemt het versnellingskoppel af in zone 2. De motor convergeert immers naar de regimesnelheid, waarbij de versnelling en bijgevolg het versnellingskoppel nul wordt. Vermits het koppel afneemt vanaf het buigpunt, neemt de drukval (vergelijking 3.4) evenredig af met het versnellingskoppel. In de overgang van zone 2 naar zone 3 wordt de regimesnelheid bereikt en vervalt bijgevolg het versnellingskoppel. De drukval is echter niet gelijk aan nul, maar heeft een constante waarde in regime. Dit is te wijten aan de te overwinnen wrijvingsverliezen in het systeem en aan het smoren van de afvoerleiding van het systeem, wat overeenkomt met een extra belasting opleggen aan de hydromotor.

25

3.1.3.2 Seriestroomregelklep De simulaties met een seriestroomregelklep gebeuren met het hydraulisch schema afgebeeld in Figuur 23.De grafiek afgebeeld in Figuur 25 toont opnieuw de werkelijke snelheid, de druk voor de motor ' en de druk voor de seriestroomregelklep . Opnieuw zijn er drie belangrijke zones zichtbaar tijdens het versnellen van de hydromotor. Zone 1 toont de start van de versnelling, waarbij de druk voor de motor en bijgevolg de drukval over de regelklep wordt opgebouwd.

Figuur 25: Simulatie met seriestroomregelklep

De druk voor de motor wordt, in de overgang van zone 1 naar zone 2 gelijk aan de druk voor de regelklep. Dit betekent dat de drukval over de seriestroomregelklep gelijk is aan nul bar. Vergelijking 3.9 toont aan dat bij een drukval van nul bar, geen debiet mogelijk is.

• • • • • •

 " ∆

!

% )

  ! · " · #∆

(3.11)

= Debiet [l/min] = Doorsnede van de smoring [m²] = Drukval over de smoring [bar]

 %&

'

(

4

= Doorstroomcoëfficiënt, afhankelijk van de smoring = Viscositeit [Ns²/m4]

De druk voor de motor vermindert hierdoor iets, waardoor wel een debiet mogelijk is en de motor kan aanlopen. In vergelijking met de smoring echter, blijkt dat de drukval over de debietregelende component relatief constant blijft tijdens het versnellen, en dus bij een 4

Bosch Rexroth AG, Grondbeginselen en componenten van de hydraulische vloeistoftechniek. Erbach: Bosch Rexroth AG, 2004. 26

variabel versnellingskoppel. In Figuur 25, die de simulatie toont met de seriestroomregelklep, is dit te zien in zone 2. Figuur 24, de simulatie met de afvoersmoring, toont het aanlopen van de motor in zone 1. Vergelijken van deze twee zones (Figuur 24, zone1 en Figuur 25, zone2) wijst er inderdaad op dat de drukval over de smoring niet constant is bij een variabel versnellingskoppel, terwijl de seriestroomregelklep wel een constante drukval heeft tijdens het versnellen van de motor. Hierdoor is de smoring niet in staat om een constante volumestroom door te laten (vergelijking 3.9), en bijgevolg geen constante snelheid te onderhouden van de hydromotor. De seriestroomregelklep is hiertoe echter wel in staat.

3.1.4

Versnellingskoppel: Testopstelling

Het testen gebeurt nogmaals op de opstelling, beschreven in paragraaf 2. Deze opstelling biedt het voordeel dat het systeem niet geïdealiseerd wordt, wat bij simulaties wel het geval is. De simulaties vergen veel instelwerk wat betreft slagvolumes, drukvallen, veerconstantes… en gebeuren volgens de ervaring van de gebruiker. De resultaten uit de experimenten op de testopstelling geven dus een realistischer beeld wat betreft het verschil tussen de smoring en de seriestroomregelklep. Het nadeel is dat beide componenten op de testopstelling enkel manueel bedienbaar zijn, waardoor het “inputsignaal” moeilijk te definiëren valt. 3.1.4.1 Conventionele smoring De grafiek afgebeeld in Figuur 26 toont de meting op de testopstelling waarbij gebruik wordt gemaakt van één van de afvoersmoringen. Opnieuw zijn drie zones te zien, zoals bij de simulatie het geval is. Zone 1 toont dat de versnelling naar een maximale waarde convergeert in het buigpunt in de overgang van zone 1 naar zone 2. In zone 2 neemt het versnellingskoppel af tot nul in zone 3. De drukval over de smoring, gegeven door het verschil tussen de druk na de motor en de druk na de smoring is tijdens het versnellen op geen enkel ogenblik constant. Als gevolg hiervan vertoont de drukval over de hydromotor eveneens geen constante waarde tijdens het versnellen, zoals aangetoond in paragraaf 3.1.1. En is het versnellingskoppel en bijgevolg de versnelling op geen enkel ogenblik constant.

Figuur 26: Meting afvoersmoring op testopstelling

27

In tegenstelling tot de simulaties blijkt dat de drukval in regime een veel kleinere waarde aanneemt. 3.1.4.2 Seriestroomregelklep De meting met de seriestroomregelklep, uitgevoerd op de testopstelling, is afgebeeld in Figuur 27. Ook hier zijn sterke gelijkenissen te zien met de simulatie, besproken in paragraaf 3.1.3.2.

Figuur 27: Meting seriestroomregelklep op testopstelling

Opnieuw is de interessante zone de tweede zone. Hierin is duidelijk dat de drukval over de seriestroomregelklep en bijgevolg over de motor zo goed als constant is. Doordat deze drukval constant is, is het versnellingskoppel aan de as van de hydromotor eveneens constant, wat leidt tot een constante versnelling. In Figuur 27 is duidelijk dat de snelheid in zone twee een lineair verloop vertoont, wat inderdaad wijst op een constante versnelling. Dit fenomeen is eveneens zichtbaar in de simulatie afgebeeld in Figuur 25. Uit de metingen op de testopstelling is opnieuw duidelijk geworden dat de smoring niet in staat is om de drukval over de motor constant te houden bij een variabel (versnellings/last)koppel. Als gevolg hiervan is het debiet (vergelijking 3.11) eveneens niet constant. Hierdoor is de snelheid van de hydromotor afhankelijk van het lastkoppel. De seriestroomregelklep is wel in staat om het debiet en bijgevolg de snelheid van de hydromotor constant te houden.

3.1.5

Constant belastingskoppel

Na het uitbreiden van de testopstelling met een belastingsmotor, is het mogelijk om het verschil tussen een eenvoudige smoring en een seriestroomregelklep aan te tonen met behulp van een constante belasting. Ter volledigheid worden deze metingen eveneens in DSHplus uitgevoerd op de simulatiemodellen, afgebeeld in Figuur 21 en Figuur 23. Voor alle meetgegevens wordt verwezen naar bijlage 3.

28

De metingen gebeuren zowel in de simulaties als op de testopstelling voor verschillende waarden voor het belastingkoppel. Dit koppel varieert van 0 Nm tot die belasting waarbij de hydromotor niet meer in staat is om het belastingskoppel te overwinnen, m.a.w. totdat de motor niet meer roteert. Dit maximale koppel wordt bereikt indien de drukval over de hydromotor kleiner is dan de benodigde drukval om dit koppel te overwinnen. Het koppel geleverd door de hydromotor is immers te schrijven als vergelijking 3.12.  • • • •

T 

∆



 ·∆/·01 '2

(3.12)

= Geleverd koppel [Nm] = Geometrisch slagvolume per omwenteling van de motor [cm³] = Drukval over de motor [bar] = Mechanisch-hydraulisch rendement [%/100]

Figuur 28: simulatie, verschil smoring-seriestroomregelklep

Figuur 28 toont het opgemeten toerental in functie van de aangelegde belasting in het simulatiepakket DSHplus. Hierin is duidelijk te zien dat de seriestroomregelklep in staat is om het toerental nagenoeg constant te houden, onafhankelijk van het belastingskoppel. Indien het maximale belastingskoppel wordt bereikt, bedraagt de drukval over de seriestroomregelklep nul bar. Voor dit aangelegde koppel is namelijk een grotere drukval over de hydromotor nodig dan de maximale druk in het systeem. Deze druk heerst op dat moment voor de hydromotor en bijgevolg ook voor en na de seriestroomregelklep. Hierdoor is geen debiet meer mogelijk door deze klep (vergelijking 3.11). Bij toenemende belasting en bijgevolg toenemende drukval over de motor, neemt het lekdebiet van de hydromotor eveneens toe. Dit resulteert in een lager toerental van de hydromotor. Dit is te zien als een dalende trend van de rode karakteristiek in Figuur 28. Bij een belastingskoppel van 60 Nm is het toerental gedaald met 14 min-1 (De snelheid bij 0 Nm bedraagt 246 min-1), wat in vergelijking met de afvoersmoring te verwaarlozen valt. 29

Deze afvoersmoring is niet in staat om bij een toenemend lastkoppel het toerental constant te houden. Bij eenzelfde belasting van 60 Nm is de snelheid van de hydromotor afgenomen met 241 min-1 (de initiële snelheid bedraagt 248min-1). Net als bij de seriestroomregelklep komt de motor tot stilstand voor die belasting waarvoor de drukval over de motor te klein is om het belastingskoppel te overwinnen. Metingen op de testopstelling (Figuur 29) vertonen zeer gelijkaardige resultaten. De twee karakteristieken tonen aan dat de afvoersmoring niet in staat is om de snelheid constant te houden bij toenemende belasting, waar de seriestroomregelklep dit wel kan. Vermits simulaties slechts benaderingen zijn van de werkelijkheid vertonen de metingen in DSHplus meer lineaire karakteristieken in vergelijking met de metingen op de testopstelling.

Figuur 29: Testopstelling, verschil smoring-seriestroomregelklep

30

3.2 Proportionele snelheidsregeling 3.2.1

Proportionele technologie

De voorgaande snelheidsregelingen via een ON/OFF-ventiel in combinatie met een seriestroomregelklep of een klassieke smoring, worden doorgaans geclassificeerd onder de term conventionele hydraulica of ‘zwart-wit-hydraulica’. De term proportioneel geldt ook voor de hiervoor besproken seriestroomregelklep en de klassieke smoring. Deze handmatig bediende componenten laten naargelang de instelling, een overeenkomstige proportionele hoeveelheid olie door naar de actuatoren. De meeste vakliteratuur spreekt echter pas van proportionele technologie indien er sprake is van elektrische gestuurde propventielen, schuiven of -kleppen. Door de constructie van een proportionele stuurschuif is een nauwkeurige positieregeling of snelheidsregeling relatief moeilijk te realiseren. Deze schuiven hebben meestal een positieve overlap in de ruststand (Figuur 30). Er ontstaat een dode zone waarin de plunjer van de schuif beweegt, maar geen debiet doorlaat naar de actuator. Hierdoor is het elektrisch stuursignaal niet meer evenredig (proportioneel) aan het doorgelaten debiet. Dit maakt het moeilijk en soms onmogelijk om een positieregeling of snelheidsregeling te realiseren.

Overlap

Figuur 30: Proportionele stuurschuif met positieve overlap

De proportionele stuurschuif wordt frequent gebruikt in regelkringen. Dit is mogelijk door de nauwkeurige afwerking van de plunjer in de stuurschuif, en de elektronische stuurkaarten van de schuiven op een gepaste manier af te stellen. Op die manier is een stuurschuif mogelijk met nullap in de rustpositie van de plunjer, en is het elektrisch stuursignaal, aangeboden aan de schuif, evenredig met het doorgelaten debiet (Figuur 31). Met behulp van een proportionele stuurschuif kan zowel de draairichting als de rotatiesnelheid geregeld worden. Deze snelheidsregeling is mogelijk dankzij de smorende werking van de stuurschuif. Hierdoor ontstaat een drukval over de schuif die het doorgelaten volume olie beïnvloedt volgens onderstaande formule.   !" #∆

• • •

Q: A: ∆ :

(4.1)

Debiet (m³/s) Doorsnede van de doorlaat (m²) Drukval over de stuurschuif (N/m²)

31

• • •

!:

%: ):

%&

' 5

(

Doorstroomcoëfficiënt (zonder dimensie) viscositeit van de olie (Ns²/m4)

De nominale waarde voor ∆p wordt gegeven door de fabrikant en is die ∆p voor een standaard volumestroom bij een aansturing van 100%. Deze opgegeven drukval is de som van de drukval over de heenweg (P naar A of P naar B) en de drukval over de terugweg (van B naar T of A naar T).

Figuur 31: Stuurschuif met null-overlap

Naast de proportionele stuurschuif van het plunjertype is het mogelijk om een servoschuif te gebruiken om een actuator aan te sturen. Deze zijn echter zeer duur en stellen hoge eisen aan de conditioneringsgroep door hun grote warmteontwikkeling. Proportionele stuurschuiven bieden het voordeel dat deze goedkoper zijn en minder vuilgevoelig dan de servoschuiven. Nadeel is echter de lagere dynamiek van de proportionele stuurschuiven ten opzichte van de servoschuiven. De keuze voor proportionele of servoschuiven is afhankelijk van de gewenste nauwkeurigheid en dynamisch gedrag van de applicatie. Het implementeren van proportionele of servoschuiven met bijhorende versterkerkaarten maakt het mogelijk om dynamische hydraulische applicaties op te bouwen. Door het toepassen van elektrische analoge signalen om de stuurschuiven aan te sturen, is het mogelijk om regeltechniek te integreren in deze systemen. Door het samenkomen van hydraulica en regeltechniek, is een grondige kennis van de conventionele hydraulica niet meer voldoende. Er is eveneens kennis nodig van elektronica, besturings- en regeltechniek. Een manier om een hydraulische applicatie af te regelen wordt in volgende paragraaf besproken en daarna toegepast op een hydraulische testopstelling. Geavanceerde simulatiepakketten maken het mogelijk om een systeem, dat de werkelijke applicatie benadert, af te regelen. (paragraaf 3.2.5)

3.2.2

Regelstrategie

Het ontwerp van een regelsysteem met terugkoppeling gebeurt volgens een systematische volgorde van ontwerpstappen. Deze strategie (Figuur 32) is niet enkel geldig voor 5

[1] Bosch Rexroth AG, Grondbeginselen en componenten van de hydraulische vloeistoftechniek. Erbach: Bosch Rexroth AG, 2004. 32

hydraulische applicaties, maar is een hulp voor het afregelen van allerhande systemen zoals elektrische of pneumatische systemen. Om deze vooropgestelde regelstrategie6te kunnen toepassen, is toelichting noodzakelijk.

Figuur 32: Ontwerpproces voor een regelsysteem

3.2.2.1 Stap 1: Fysisch systeem Een eerste stap is het systeem volledig omschrijven. Deze omschrijving bestaat onder andere uit een opsomming van de belangrijkste hardware die deel uitmaakt van het te regelen systeem. Anderzijds is het handig om het type van regelproces na te gaan. Voorbeelden hiervan zijn onder andere temperatuurregeling, positieregeling, snelheidsregeling… Het laatste onderdeel van deze stap is het opstellen van de belangrijkste eisen zoals stabiliteit, statische fout en overgangsgedrag. 3.2.2.2 Stap 2: Functioneel blokdiagram In stap twee wordt de beschrijving van het fysisch systeem omgezet naar een functioneel blokdiagram dat de componenten van de applicatie beschrijft en de onderlinge verbanden toont. Dit blokdiagram toont eveneens de functies van de verschillende componenten. De belangrijkste elementen zijn actuatoren met bijhorende belasting, regelaars, sensoren… 3.2.2.3 Stap 3: Schematische voorstelling Om vanuit een functioneel blokdiagram een schematische voorstelling af te leiden, moeten bepaalde verschijnselen genegeerd worden, anders is de schematische voorstelling onbruikbaar. Hierdoor moeten de verschillende componenten zo eenvoudig mogelijk worden voorgesteld. Een voorbeeld hiervan is een P-regelaar. De dynamica van deze component is te 6

[5] N. S. Nise, Regeltechniek voor technici. Den Haag, Nederland: Academic Service, 2005.

33

verwaarlozen ten opzichte van deze van het systeem, zodoende wordt de regelaar als een zuivere versterking K voorgesteld. Dit is één van de moeilijkste stappen in het ontwerpproces waarbij kennis van het systeem, fysische wetten en praktijkervaring onmisbaar zijn. 3.2.2.4 Stap 4: Wiskundig model Na het opstellen van de schematische voorstelling is de omzetting naar een wiskundig model te realiseren. Dit gebeurt op basis van fysische wetten zoals de wetten van Kirchoff voor elektrische netwerken en de wetten van Newton voor mechanische systemen. Het omzetten naar een wiskundig model resulteert in een differentiaalvergelijking van de vorm:  8 9:; : 8

5 <,=

 8> 9:; : 8>

5 ? 5 < @9A;  B

 0 9:; : 0

5 B=

 0> 9:; : 0>

5 ? 5 B C9A;

(4.2)

Het wiskundig model van het systeem is een lagere orde van vergelijking 4.2 waarbij c(t) het uitgangssignaal voorstelt en r(t) het ingangssignaal, <, en B zijn systeemparameters. Bovenstaande differentiaalvergelijking in het tijdsdomein is echter onhandig om mee te werken en in een blokschema te integreren. Een oplossing hiervoor is het gebruik van een overdrachtsfunctie of transferfunctie in het frequentiedomein. De functie wordt afgeleid uit de differentiaalvergelijking via de Laplace-transformatie. Het voordeel van de overdrachtsfunctie in het frequentiedomein is dat de systeemresponsie veel sneller te bepalen is bij variatie van de systeemparameters. 3.2.2.5 Stap 5: Reductie van blokdiagram Om de analyse van het systeem gemakkelijker te laten verlopen, is het aangewezen om de verschillende blokken van het blokdiagram te reduceren tot één blok met een ingangssignaal r(t)en een uitgangsignaal c(t). De wiskundige beschrijving van het gereduceerde blok representeert het systeem en geeft het verband tussen uit- en ingangssignaal (Figuur 33).

Figuur 33: Blokschema van een systeem

Na de reductie van het blokschema kan worden overgegaan tot de analyse van het systeem. 3.2.2.6 Stap 6: Analyse van het systeem Om na te gaan of de vooropgestelde eisen haalbaar zijn voor het systeem, is een grondige analyse van de systeemresponsies nodig. Naargelang het type ingangssignaal kunnen aan de hand van het uitgangssignaal enkele systeemparameters afgeleid worden. Deze zijn nodig om het wiskundige model opgesteld in stappen vier en vijf verder te specificeren. Het ingangssignaal kan volgende vormen aannemen: • Een impuls: Dit signaal is oneindig bij t=0. Dankzij dit signaal krijgt het systeem initieel energie, de systeemresponsie is bijgevolg beperkt tot het overgangsgedrag van het systeem.

34

• • • •

Een stap: Een stapvormig ingangssignaal stelt een constante wenswaarde voor, hetzij een constante positie of snelheid. Het systeem reageert op dit ingangssignaal met een bepaald overgangsgedrag en convergeert uiteindelijk naar een steady-state waarde. Een talud: Dit signaal stelt een lineair oplopend ingangssignaal voor. Dit kan bijvoorbeeld een constante snelheid voorstellen indien een positieregeling gewenst is. Een parabool: Dit signaal wordt gebruikt om een constante versnelling voor te stellen. Het gebruik van sinusvormige ingangssignalen biedt een vierde mogelijkheid om de systeemresponsie te achterhalen. Het systeem reageert door eveneens een sinusvormig uitgangssignaal te produceren. Dit staat bekend als frequentieresponsie.

Deze laatste techniek biedt enkele belangrijke voordelen ten opzichte van de vier overige ingangssignalen. Verdere toelichting in verband met frequentieresponsietechnieken volgt in paragraaf 4.3. 3.2.2.7 Stap 7: Ontwerp regelaar Eenmaal het volledig systeem gekend, is het mogelijk om verschillende regelaars toe te passen om de vooropgestelde eisen in stap één te realiseren. Naargelang het testsignaal gebruikt in stap zes, wordt de regelaar op een andere manier gedimensioneerd. Dit script beperkt zich tot het ontwerpen van een regelaar op basis van resultaten uit de frequentieresponsie van het systeem. 3.2.2.8 Stap 8: Test en controle Na het ontwerpen van de regelaar, is de laatste stap de testfase. Op dit moment moet gecontroleerd worden of het vooropgestelde overgangsgedrag en steady-state-nauwkeurigheid is bereikt. Dit kan op basis van simulaties met behulp van de afgeleide modellen in de stappen één tot en met vijf of, indien mogelijk, op de werkelijke applicatie zelf. Indien het onmogelijk blijkt om een regelaar te dimensioneren om de gewenste responsies te verkrijgen, moet ingegrepen worden op hardwareniveau.

3.2.3

Frequentieresponsietechnieken

De frequentieresponsiemethoden, oorspronkelijk ontwikkeld door Nyquist en Bode, hebben enkele belangrijke voordelen ten opzichte van andere responsietechnieken. Frequentieresponsie onderscheidt zich vooral door het gemak waarmee de stabiliteit van een systeem kan bepaald worden. Verder zal het geschikt blijken bij het ontwerpen van het overgangsgedrag, de statische fout en de keuze van een geschikte regelaar hiervoor. 3.2.3.1 Definitie Frequentieresponsie is gebaseerd op de reactie van een systeem op sinusvormige ingangssignalen. Het systeem reageert hierop door eveneens een sinusvormig signaal te genereren. Het in- en uitgangssignaal hebben dezelfde frequentie, maar verschillen in amplitude en fasehoek. Naargelang de frequentie variëren deze verschillen. Om frequentieresponsie wiskundig te benaderen, worden de sinussignalen voorgesteld als vectoriële grootheden, fasors genaamd. Wiskundig zijn deze te schrijven als complexe getallen, waarbij de magnitude van het complexe getal gelijk is aan de amplitude van het 35

sinussignaal en de hoek van het complexe getal gelijk is aan de fasehoek van het signaal. Op deze manier kan vergelijking 4.3 geschreven worden als vergelijking 4.4.

Met: • •

D : H :

D cos 9A 5 H ; D IH

(4.3) (4.4)

Magnitude fasehoek

Zowel het in-, als het uitgangssignaal is van de vorm DIH, en zijn dus beide voor te stellen als complexe getallen. Vermits het systeem het ingangssignaal transformeert naar het uitgangssignaal, is het systeem ook voor te stellen als een complex getal. Met andere woorden: het product van de ingangssfasor en de systeemfunctie, voorgesteld als complex getal, levert het uitgangssignaal op.(Figuur 34)

Figuur 34: Fasorvoorstelling van een systeem

De fasornotatie toegepast op het product van het ingangssignaal en de systeemfunctie levert het uitgangssignaal op, eveneens in fasorvorm (vergelijking 4.5). Hierbij is de magnitude van het uitgangssignaal gelijk aan het product van de ingangsmagnitude en de magnitude van de systeemfasor. De fasehoek van de uitgangsfasor is de som van de fasehoek van de ingangsfasor en van de systeemfasor. DK 9;IHK 9;  D- 9;D9;ILH- 9; 5 H9;M

(4.5)

Omvormen van vergelijking 4.5 levert de definitie op voor ‘frequentieresponsie’. De magnitude van de systeemfasor is gelijk aan de verhouding van de amplitude van de uitgangsfasor en de amplitude van de ingangsfasor. De fasehoek van de systeemfasor is het verschil in fasehoek tussen in- en uitgangssignaal. Dit levert vergelijkingen 4.6 en 4.7 op. De overdrachtsfunctie van het systeem kan uit deze vergelijkingen afgeleid worden. D9; 

NO 9P; NQ 9P;

H9;  HK 9; * H- 9;

(4.6) (4.7)

3.2.3.2 Wiskundige afleiding Om tot een beter inzicht te komen omtrent het begrip frequentieresponsie, zijn een aantal wiskundige afleidingen noodzakelijk. Ze tonen aan dat de frequentieresponsie gelijk is aan de overdrachtsfunctie van het systeem. Verder tonen ze aan dat een sinusvormig ingangsignaal leidt tot een sinusvormig uitgangssignaal met dezelfde frequentie, maar een verschil in amplitude en fasehoek. Het systeem waarop de afleidingen gebeuren is afgebeeld in Figuur 35.

36

Figuur 35: Blokschema in het frequentiedomein

Vermits de definitie enkel geldig is voor sinusvormige signalen, wordt het ingangssignaal r(t) gelijkgesteld aan de algemene sinusvorm volgens vergelijking 4.8. C9A;  "@RS9A; 5 TSU9A;

(4.8)

Vergelijking 4.8 is eveneens te schrijven als vergelijking (4.9). Om de complexiteit niet onnodig te verhogen is de berekening hiervoor niet opgenomen in deze afleiding. Z

√"' 5 T ' @RS WA * BXA< Y[\] De vergelijkingen 4.8 en 4.9 zijn op drie manieren te schrijven: • • •

Polair: Volgens Euler: Carthesiaans:

D- IHD- ^ _`Q " * aT

(4.9)

(4.10) (4.11) (4.12)

In het tijdsdomein worden systemen gerepresenteerd door complexe differentiaalvergelijkingen. Overgaan naar het frequentiedomein levert lineaire vergelijkingen op, waardoor in- en uitgangssignaal en systeem als aparte identiteiten representeerbaar zijn. Om over te stappen naar het s-domein (frequentiedomein) wordt de Laplace-transformatie toegepast op vergelijking 4.8. Dit levert volgende gelijkheden op7: [+

(4.13)

ZP

(4.14)

bc"@RS9A;d  +e fPe bc"SU9A;d  +e fPe

De volledige Laplace-transformatie van het ingangssignaal is bijgevolg gelijk aan vergelijking 4.15 [+ ZP bcC9A;d  g9S;  +e fPe 5 +e fPe (4.15) Zoals eerder vermeld in paragraaf 2.3.1 kan het uitgangssignaal C(s) geschreven worden als het product van het ingangssignaal R(s) en de systeemfunctie G(s). Toegepast op het blokschema in Figuur 35: [+fZP h9S;  9+e fPe ; i9S; (4.16) Vergelijking 4.16 is ook te schrijven als vergelijking 4.17. [+fZP

h9S;  9+f_P;9+=_P; i9S;

(4.17)

Opsplitsen in partieelbreuken levert: 7

[5] N. S. Nise, Regeltechniek voor technici. Den Haag, Nederland: Academic Service, 2005. 37

[+fZP

9+f_P;9+=_P;

 e i9S;  9+f_P; 5 9+=_P; 5 A^Ck^ l< i9S;

j

j

(4.18)

Vermits de definitie voor frequentieresponsie enkel geldig is voor sinusvormige signalen en voor systemen in rust, zijn de termen van G(s) niet van belang voor de berekening van K1 en K2. Door deze termen te schrappen in vergelijking (4.18), blijven enkel de termen over die de gedwongen responsie van het systeem beschrijven en vallen de termen die de overgangsresponsie beschrijven weg. Vergelijking (4.18) oplossen naar K1 en naar K2 levert dan volgende resultaten op: •

Oplossen naar K1:

Om de waarde van K1 te vinden, moet deze eerst afgezonderd worden. Dit gebeurt door vergelijking 4.18 te vermenigvuldigen met 9S 5 a; en de vergelijking op te lossen voor S m * a:

[+fZP

9+=_P;

i9S;  n 5

je 9S5a; 9+=_P;

(4.19)

Door in vergelijking 4.19 s te vervangen door – a vervalt de term van K2. Wat overblijft is: n  9=_P=_P; i9*a; =_P[fZP

(4.20)

Vergelijking 4.20 uitwerken levert: n 

=_P9[=Zp_ ; ='_P

i9*a;

(4.21)

Door vergelijking 4.21 te vereenvoudigen8: n  9" 5 aT;i9*a;  '

(4.22)

Deze Carthesiaanse notatie blijkt onhandig te zijn bij verdere berekeningen. Omvormen naar Euleriaanse notatie levert:

Met: • •

D-  #"² 5 T²

H-  A<=

n

 12 DU ^*aHU Di ^*aHi

(4.23)

Z

[

Of anders genoteerd, rekening houdend met de rekenregels voor product van machten9: n  •

8 9

NQ Nt '

^ =_9`Q f`t;

(4.24)

Oplossen naar K2:

Y  *a\  _

< u · <   < uf 38

De waarde van K2 wordt op analoge manier gevonden. Door vergelijking 4.18 te

vermenigvuldigen met 9S * a; en vervolgens op te lossen voor S m 5 a, is volgende vergelijking geldig: [+fZP j 9+=_P; i9S;   5 n' (4.25) 9+f_P; 9S5a;

De berekeningen voor K2 gebeuren analoog met deze voor K1 en leveren volgende vergelijking op: NN n'  Q t ^ _9`Q f`t; (4.26) '

Door de oplossingen voor K1 en K2 in te vullen in vergelijking 4.18 wordt vergelijking 4.27 bekomen. In deze vergelijking is h++ het uitgangssignaal in rust. h++ 9S; 

vQ vt >w9x yx ; t Q e

9S5a;

Logisch groeperen van termen levert: h++ 9S; 

5

NQ Nt >w9xQ yxt ; z 9S5a; '

vQ vt w9x yx ; Q t e

9S*a;

5

(4.27)

w9xQ yxt ; { 9S*a;

(4.28)

Om een uitdrukking te verkrijgen voor de systeemfunctie wordt terug overgestapt van het frequentiedomein naar het tijdsdomein. Dit gebeurt door de inverse Laplacetransformatie10 toe te passen op vergelijking 4.28: @9A;  D- D| z

>w9}~yxQ yxt ; f w9}~yxQ yxt ; '

{

(4.29)

Door de afgeleide vergelijkingen11 van Euler voor de cosinus en de sinus is vergelijking 4.29 te schrijven als vergelijking 4.30. @9A;  D- D| cos 99A 5 H- 5 H| ; (4.30) Of in fasorvorm:

9DK IHK ;  9D- IH- ;9D| IH| ;

(4.31)

Met behulp van de definitie voor frequentieresponsie wordt de systeemfunctie gevonden. 9NO I`O ;  9D| IH| ; (4.32) 9N I` ; Q

Q

Met D|  |i9a;| en H|  €<S^R^! l< i9a;

Uit deze afleiding blijkt dat de frequentieresponsie de magnitude D| en fasehoek H| oplevert. Deze zijn enkel afhankelijk van het systeem G(s). De frequentieresponsiekarakteristiek is bijgevolg een model voor deze systeemfunctie G(s). Er zijn twee manieren om deze karakteristiek grafisch voor te stellen. Enerzijds kan de karakteristiek geplot worden in twee delen, waarbij de magnitude D| en fasehoek H| in aparte figuren worden uitgezet in functie van de frequentie f [Hz] of pulsatie ω [rad/s], Bodeplot genaamd. Anderzijds kan de karakteristiek ook geplot worden in een Nyquist-plot. Deze plot bestaat uit slechts één figuur

10 11

b = ‚

 „  ^ =ƒ: …9A; +fƒ >w‡ f w‡

@RS† 

'

en SU† 

w‡ = >w‡ '

39

waarbij het reële12 deel van de systeemfunctie wordt uitgezet ten opzicht van het imaginaire deel. Of met andere woorden: De plot vormt zich door het uitzetten van de magnitude ten opzichte van de fasehoek. De Nyquist-plot valt echter buiten het bestek van dit script. De nadruk ligt op het gebruik van Bodeplots voor systeemanalyse en ontwerp van regelaars. 3.2.3.3 Plotten van de frequentieresponsie in een Bodeplot De Bodeplot bestaat uit een magnitudekarakteristiek en een fasekarakteristiek. Dit biedt het voordeel dat de magnitude kan uitgedrukt worden in decibels (dB) ten opzichte van log ω of van de frequentie. Hierbij is de magnitude in dB gelijk aan 20log10 (M). Het plotten van de fasekarakteristiek gebeurt als de fasehoek in functie van log ω of in functie van de frequentie. De Bodeplot biedt het voordeel dat deze gemakkelijk asymptotisch benaderd kan worden. Dit vereenvoudigt het tekenwerk indien een gegeven transferfunctie het uitgangspunt is en een bijhorende Bodeplot moet worden opgesteld. Omgekeerd is een asymptotische benadering van een opgemeten frequentieresponsie in een Bodeplot handig om de bijhorende transferfunctie af te leiden. Iedere overdrachtsfunctie is immers te schrijven als vergelijking 4.33. j9+fˆ ;9+fˆ ;…9+fˆ ; i9S;  +0 9+f/ ;9+f/e ;…9+f/Š ; (4.33) 

e

8

De magnitude is gegeven in vergelijking 4.34. |i9a;| 

j|+fˆ ||+fˆe |…|+fˆŠ | |+0 ||+f/ ||+f/e |…|+f/8 |

(4.34)

Werken met het logaritme van elke term zorgt ervoor dat de totale magnitude gelijk is aan de som van de magnitudes van de nulpunttermen vermindert met de magnitudes van de pooltermen. De faseresponsie van G(s) is gelijk aan de som van de faseresponsies van de nulpunttermen vermindert met de faseresponsies van de pooltermen. Optellen van de aparte termen is grafisch eenvoudiger dan vermenigvuldigen. Hierbij is kennis van de asymptotische benadering van de basissystemen nodig (Figuur 36): •

Versterking: G(s)=K met s=jω lim

Žm

lim

9n;  n

Žm

(4.35)

9n;  n

(4.36)

Dit betekent dat een versterking K, in dB, een constante waarde is voor alle pulsaties en gelijk aan 20logK. De versterking K heeft geen invloed op de fasekarakteristiek. •

Nulpunt: i9S;  S 5 1 met s=jω lim

Žm

lim

τjω 5 1  1

Žm

jω 5 1 



P

I90°

(4.37) (4.38)

Bij lage pulsaties is de magnitude gelijk aan 20log1=0dB. Voor hoge pulsaties is de magnitude 20logω. Uitzetten van deze transferfunctie in een Bodeplot levert een constante magnitude, namelijk 0dB, tot de breekpulsatie1p. Vanaf deze pulsatie neemt de magnitude 12

Zoals aangetoond is een systeemfunctie G(s) te schrijven als een complex getal 40

toe met stijgende pulsatie met een helling van 20dB/decade13. De fasekarakteristiek start bij 0° voor lage pulsaties. Voor hoge pulsaties is deze fase gelijk aan 90°.

Figuur 36:: Asymptotische benaderingen van de basissystemen

•

Pool:

met s=jω s=j (4.39) (4.40)

Bij lage pulsaties is de magnitude, net zoals bij een nulpunt, gelijk aan 0dB. Vanaf de breekpulsatie neemt de magnitude af met -20dB/decade. 20dB/decade. De fasekarakteristiek start 13

Een decade is een bereik waarbinnen de pulsatie vertienvoudigt. 41

eveneens bij 0° en wordt -90° voor hoge pulsaties. Dit is eveneens de transferfunctie met bijhorende Bodeplot voor een eerste orde functie. •

Integrator: i9S; 



—+

met s=jω 

lim

Žm ˜™Ž 

lim

Žm —™Ž

 ωI * 90° 



P

I * 90°

(4.41) (4.42)

De magnitude is een rechte lijn met een helling van -20dB/decade en snijdt de 0dB lijn bij pulsatie 1p. De fase is constant en gelijk aan -90°. •

Differentiator: i9S;  S met s=jω lim

Žm

lim



jω  P I90°

Žm

jω  I90°

(4.43) (4.44)

Net als bij de integrator is de magnitude een rechte lijn, maar hier met een positieve helling van 20dB/decade. Deze snijdt de 0dB lijn opnieuw bij een pulsatie 1p. De fase is gelijk aan 90°. •

2e orde: i9S; 

e P8

e +e f'šP8 +fP8

lim

Žm

lim

met s=jω



ω'› œ e

Žm

¡ ¢ ,'  ,' I0°

e  f e f že Ÿ žŸ

,' œ £e



e¤£

¡  *' I * 180°

f f }e }e 8

8

(4.45) (4.46)

De amplitudekarakteristiek start bij 20log9,' ;, wat in Figuur 36 leidt tot een magnitude van 0dB. Dit wijst erop dat ,    1. Vanaf deze pulsatie neemt de amplitudekarakteristiek af met 40 dB/decade (uit vergelijking 4.46 volgt dat 20log9*' ;= *40§RX ;. De fasekarakteristiek start bij 0° voor lage pulsaties en convergeert naar -180° voor hoge pulsaties. In het geval van tweede orde-systemen is het vaak te kortzichtig om met een asymptotische benadering van de werkelijkheid te werken. In het geval van eerste orde systemen, zoals een pool, nulpunt of integrator, wijkt de werkelijke Bodeplot niet veel af van de asymptotische benadering. De werkelijke Bodeplot van een tweede-ordesysteem is echter sterk afhankelijk van de demping Ϛ. Met deze factor wordt geen rekening gehouden bij het opstellen van de asymptotische Bodeplot. De invloed van de demping op de amplitudekarakteristiek en de fasekarakteristiek is visueel weergegeven in Figuur 37. In deze figuur is te zien dat hoe lager de demping, hoe hoger de opslingering in de amplitudekarakteristiek. Deze demping is te bepalen uit een gegeven Bodeplot via volgende vergelijkingen:   , #1 * 2© '  |i9 ;|  e 'š#=š

(4.47) (4.48) 42

Met: • •

 ,

de opslingerfrequentie [rad/s] de eigenfrequentie [rad/s]

Figuur 37: Bodeplot van een tweedeorde systeem

De opslingerfrequentie is niet gelijk aan de eigenfrequentie zoals uit vergelijking 4.47 op te maken is. Voor lage waarden van de relatieve demping © kan echter aangenomen worden dat deze frequenties gelijk zijn. In Figuur 37 is ook de invloed te zien van de demping op de fasekarakteristiek. Hoe lager de demping, hoe abrupter de overgang van 0° naar -180° gebeurt bij een toenemende pulsatie. Om een beter inzicht te bekomen omtrent de begrippen “eigenpulsatie” en “demping” worden deze verduidelijkt aan de hand van stapantwoorden in de volgende paragraaf. 3.2.3.4 Natuurlijke pulsatie en demping van een tweedeorde systeem De natuurlijke pulsatie , is deze pulsatie van een systeem die een ongedempte oscillatie veroorzaakt. De demping Ϛ van een tweede orde-systeem zorgt ervoor dat dit systeem, al dan niet via een gedempte slingering, convergeert naar een stabiele eindwaarde. De grootte van deze demping bepaalt of er inderdaad een slingering optreedt of niet. Figuur 38 geeft de stapresponsies weer voor de verschillende mogelijke waarden voor de demping Ϛ: • A: Bovenkritisch gedempt systeem • B: Onderkritisch gedempt systeem • C: Ongedempt systeem 43

•

D: Kritisch gedempt systeem

In geval A: Bovenkritisch gedempt systeem is de demping groter dan één, hierdoor is er geen oscillatie te zien in het stapantwoord. Ditzelfde fenomeen is waar te nemen in geval D: Kritisch gedempt systeem. Dit laatste geval is de snelst mogelijk stapresponsie zonder doorschot. In Figuur 37 is voor een kritisch gedempt systeem (Ϛ=0.707) te zien dat er geen opslingering is ter hoogte van de eigenpulsatie.

Figuur 38: Stapresponsie van een tweedeorde systeem in functie van de demping

In geval C: Ongedempt systeem (Ϛ=0) convergeert het stapantwoord niet naar een stabiele waarde, maar vertoont integendeel een oscillatie met een constante amplitude. De frequentie waarmee het systeem oscilleert is gelijk aan de eigenfrequentie van het systeem en kan geschreven worden als vergelijking 4.4914. 

€, Lª«M = / - L+M

(4.49)

In het geval van een onderkritisch gedempt systeem (geval B) is de demping kleiner dan één. Hoe meer de demping nadert naar nul, hoe meer het stapantwoord van een systeem de ongedempte situatie benadert en dus meer slingeringen vertoont tijdens de overgang naar een stabiele eindwaarde. Nadert de demping één, dan lijkt de stapresponsie meer op een kritisch gedempt systeem. Figuur 39 toont dit nogmaals aan voor verschillende waarden voor demping Ϛ. Verder toont deze figuur ook aan dat de demping geen invloed heeft op de frequentie waarmee het systeem oscilleert. Indien een systeem een oscillerend overgangsgedrag vertoont, is het mogelijk om via vergelijking 4.49 de eigenfrequentie en bijgevolg de eigenpulsatie te bepalen.

De eigenfrequentie €, uitgedrukt in Hz kan eveneens geschreven worden als eigenpulsatie , in rad/s via de formule: , = 2¬€,

14

44

Figuur 39: Invloed van de demping op de stapresponsie

3.2.3.5 Stabiliteit via Bodeplots 3.2.3.5.1 Stabiliteitscriterium van Nyquist Het bepalen van de stabiliteit via Bodeplots is een vereenvoudigde en handigere manier om de stabiliteit van een systeem te bepalen dan de Nyquist-plots, waarvan de Bodeplot afgeleid is. Het is echter noodzakelijk om ook de Nyquist-plot te bestuderen om zo beter inzicht te verwerven in het bepalen van de stabiliteit via Bodeplots. Het Nyquistcriterium voor stabiliteit relateert de stabiliteit van het gesloten ketensysteem aan de open-ketenfrequentieresponsie. De open-ketenfrequentieresponsie levert met andere woorden informatie over de stabiliteit van het gesloten-ketensysteem. Dit maakt het Nyquistcriterium zeer interessant aangezien het opmeten van de open-keten frequentieresponsie gemakkelijk te verwezenlijken is zoals aangetoond in paragrafen 3.2.3.1 en 3.2.3.2. Verder levert dit criterium ook informatie over de statische fout en het overgangsgedrag van een systeem. Om na te gaan of een systeem al dan niet stabiel is, wordt de ligging van de gesloten ketenpolen nagegaan in het s-vlak. Een systeempool genereert de vorm van de responsie. Ligt deze in het linkerhalfvlak van het s-vlak dan convergeert deze responsie naar nul en is het systeem stabiel. Ligt de pool in het rechterhalfvlak dan divergeert de responsie en is het systeem instabiel. Dit wordt visueel duidelijk gemaakt in Figuur 40. Indien er dus geen gesloten-ketenpolen in het rechterhalfvlak liggen, dan is het systeem stabiel. Het Nyquistcriterium gaat dit na vertrekkend vanuit de opgemeten open-ketenfrequentieresponsie.

45

Figuur 40: Verband poollocatie en tijdsresponsie

Om het Nyquistcriterium voor stabiliteit voor een gesloten-ketensysteem (Figuur 41) te kunnen afleiden, moeten eerst vier concepten toegelicht worden. Deze zijn:

Figuur 41: Gesloten-ketensysteem

•

De relatie tussen de polen van 1 5 i9S)ª9S) en de polen van i9S)ª9S):

G(s) is te schrijven als de breuk: ­

i9S) = ®t

(4.50)

t

Hierbij staat | voor Teller van systeem G(s) en ¯| voor Noemer van systeem G(s). Hetzelfde is geldig voor H(s): ­

ª9S) = ®°

(4.51)

°

Het product van beide vergelijkingen G(s)H(s) kan dan herschreven worden als vergelijking 4.52. Deze vergelijking geeft de transferfunctie van het open ketensysteem. ­ ­

i9S)ª9S) = ®t®°

(4.52)

t °

­ ­

1 5 i9S)ª9S) = 1 5 ®t®° = t °

®t ®° f­t ­° ®t ®°

(4.53)

46

Uit vergelijkingen 4.52 en 4.53 volgt dat de polen van 1 5 i9S)ª9S) en de polen van i9S)ª9S) dezelfde zijn. •

Het tweede concept beschrijft de relatie tussen de nulpunten van 1 5 i9S)ª9S) en de polen van het gesloten ketensysteem O(s).

De overdrachtsfunctie O(s) van het gesloten ketensysteem is te schrijven als vergelijking 4.54. De polen van deze functie zijn dezelfde als de nulpunten van vergelijking 4.53 en dus van het open ketensysteem. ±9S) = •

|9+)

f|9+)²9+)

=®

­t ®°

t ®° f­t ­°

(4.54)

Het derde concept bespreekt de term “afbeelden” van complexe getallen.

Zoals aangetoond in paragraaf 3.2.3.1 is elk systeem te schrijven als een complex getal Q, en bijgevolg af te beelden als een fasor of een set van fasoren in het s-vlak. Elk getal kan gesubstitueerd worden in een functie F(s), waardoor een nieuw complex getal Q’ ontstaat in het F-vlak. Het getal Q wordt met andere woorden afgebeeld op het punt Q’ in het F-vlak. •

Het vierde concept beschrijft het begrip contouren.

Naast het afbeelden van één punt Q in het s-vlak op een punt Q’ in het F-vlak, is het ook mogelijk om een contour A afgebeeld in het s-vlak af te beelden op een contour B in het Fvlak. Stel dat contour A wordt afgebeeld in klokrichting, gebeurt de afbeelding van contour B ook in klokrichting indien F(s) enkel uit nulpunten bestaat en in antiklokrichting indien F(s) enkel uit polen bestaat. Wordt de pool of het nulpunt van F(s) ingesloten door contour A, dan omsluit de afgebeelde contour B de oorsprong. Figuur 42 toont bij contour A het beeld van polen en nulpunten van de functie F(s)=1+G(s)H(s). Telkens een punt Q van contour A wordt afgebeeld op het 1+GH-vlak, leidt dit tot een punt Q’, gelijk aan de fasor15 R, startend vanaf de oorsprong. Rondgaan van contour A, en afbeelden van elk punt, in klokrichting resulteert in een contour B die eveneens in klokrichting draait. Tijdens dit proces van afbeelden ondergaan de polen en nulpunten die zich binnen contour A bevinden een hoekverandering van 360° gedurende één volledige rotatie. De polen of nulpunten die zich buiten contour A bevinden, ondergaan deze volledige hoekverandering van 360° niet. Hieruit volgt dat de polen en nullen binnen contour A een hoekverandering van 360° van de resulterende fasor R rond de oorsprong in het 1+GH-vlak veroorzaken. De polen en nullen buiten contour A doen dit niet. Vermits de nulpunten zorgen voor een draairichting in klokrichting van contour B en de polen zorgen voor een antiklokrichting, is het netto aantal rotaties van contour B in antiklokrichting gelijk aan het aantal polen van F(s) binnen contour A vermindert met het aantal nulpunten van F(s) binnen contour A (vergelijking 4.55).

15

Figuur 42 gebruikt de vectorrepresentatie van het afbeelden. Dit wil zeggen dat de vector getekend wordt vertrekkend van het nulpunt of de pool naar het punt s, dat in dit geval gelijk is aan het punt Q en Q’ 47

Figuur 42: Afbeelden van punten op het 1+GH-vlak

¯ =
*³ • • •

N: P: Z:

(4.55)

Aantal rotaties in antiklokrichting van contour B rond de oorsprong. Aantal polen van 1+G(s)H(s) binnen contour A Aantal nulpunten van 1+G(s)H(s) binnen contour A

Het aantal polen van 1+G(s)H(s) is gelijk aan het aantal polen van G(s)H(s) en is bekend uit de opgemeten frequentieresponsie. Het aantal nulpunten van 1+G(s)H(s) is gelijk aan het aantal polen van het gesloten-ketensysteem en zijn onbekend. Deze zijn echter wel af te leiden uit vergelijking 4.55. Deze vergelijking zegt dat het aantal onbekende polen van het gesloten ketensysteem gelijk is aan het aantal bekende polen van F(s)=1+G(s)H(s) vermindert met het aantal rotaties in antiklokrichting van contour B. ³ =
*¯

(4.56)

Figuur 40 toont aan dat een pool in het rechterhalfvlak van het frequentie-domein leidt tot een instabiel gesloten ketensysteem. Nagaan of een systeem stabiel is, is dus te verwezenlijken door het bestuderen van de aanwezigheid van polen in het rechterhalfvlak. Het Nyquistcriterium maakt hiervan gebruik door contour A zodanig te kiezen zodat deze het volledige rechterhalfvlak omsluit. Afbeelden van deze contour A op het 1+G(s)H(s)-vlak levert dan informatie over het aantal gesloten keten polen in het rechterhalfvlak. Praktisch gezien is het handiger om het rechterhalfvlak af te beelden op het GH-vlak. Hierdoor schuift de figuur één eenheid op naar links, maar de vorm van de afbeelding wijzigt niet. In plaats van het aantal rotaties te tellen rond de oorsprong, wordt het aantal rotaties rond -1 geteld.

Figuur 43: Afbeelden van het rechterhalfvlak op het GH-vlak

48

Bovenstaande beweringen toegepast op Figuur 43 leert dat het aantal rotaties in antiklokrichting van contour B rond -1 gelijk is aan -2 en dus is N=-2. Anderzijds sluit contour A geen open ketenpolen in waardoor P=0. Toepassen van formule 4.56 op deze waarden levert bijgevolg twee gesloten ketenpolen op in het rechterhalfvlak van het s-domein, waarvan de locatie onbekend is, en maken het systeem instabiel. Levert de vergelijking 4.56 geen gesloten ketenpolen op, dan heeft dat systeem geen rechterhalfvlak en is het systeem wel stabiel. 3.2.3.5.2 Relatieve stabiliteit via het Nyquistcriterium Naast het nagaan naar het al dan niet stabiel zijn van een systeem, is het ook mogelijk om de relatieve stabiliteit na te gaan via het Nyquistcriterium. Dit gebeurt aan de hand van de kwantitatieve grootheden amplitudemarge en fasemarge. “De amplitudemarge iN is de verandering in open ketenversterking, uitgedrukt in dB, die bij 180° faseachterstand vereist is om het gesloten ketensysteem instabiel te maken.” “De fasemarge ´N is de verandering in open keten fasedraaiing die bij een versterkingsfactor één vereist is om het gesloten ketensysteem instabiel te maken” 16 Stel dat een systeem, weergegeven in Figuur 44, stabiel is indien er geen rotaties rond -1 zijn, dan is het mogelijk om de amplitudemarge en de fasemarge visueel voor te stellen. De amplitudemarge is deze versterking die ervoor zorgt dat contour B de reële as snijdt in -1, en hierdoor het systeem marginaal stabiel maakt. Deze versterking bedraagt a eenheden voor het systeem in Figuur 44. Ditzelfde is ook geldig voor de fasemarge, enkel is het niet een versterking maar een fasedraaiing die ervoor zorgt dat contour B de reële as snijdt in -1.

Figuur 44: Amplitudemarge en fasemarge in het Nyquist-plot

3.2.3.5.3 Relatieve stabiliteit via Bodeplots Gezien de voordelen dat een Bodeplot biedt ten opzichte van een Nyquist-plot, is het praktisch gezien eenvoudiger om de begrippen amplitudemarge en fasemarge toe te passen op een opgemeten Bodeplot. Dit is grafisch weergegeven in Figuur 45. De amplitudemarge is af te lezen ter hoogte van deze pulsatie voor dewelke de fasekarakteristiek de -180°-lijn snijdt. 16

[5] N. S. Nise, Regeltechniek voor technici. Den Haag, Nederland: Academic Service, 2005.

49

Het aflezen van de fasemarge gebeurt ter hoogte van de pulsatie waarvoor geldt dat de magnitude 0dB wordt.

Figuur 45: Amplitudemarge en fasemarge op een Bodeplot

Een systeem is stabiel indien de amplitudemarge groter is dan één of uitgedrukt in dB, groter dan nul en indien de fasemarge groter is dan 0. Dit betekent dat de magnitude kleiner moet zijn dan nul voor die pulsatie waarbij de fase -180° wordt en de fasedraaiing groter moet zijn dan -180° voor de pulsatie waarbij de magnitude 0dB wordt. 3.2.3.5.4 Statische fout via Bodeplots De statische fout van een systeem is het verschil tussen de wenswaarde en de werkelijke, teruggekoppelde uitgangswaarde van het systeem nadat het overgangsverschijnsel is uitgedempt en de rusttoestand is bereikt. Dit betekent dat alle uitdrukkingen enkel geldig zijn voor stabiele systemen en onbruikbaar voor instabiele. Het bepalen van de statische fout kan enerzijds gebeuren via het aanleggen van testsignalen en opmeten van het systeemantwoord. Anderzijds is het ook mogelijk om de statische fout te bepalen uit een frequentieresponsie, en meer bepaald uit een Bodeplot. De keuze van testsignaal hangt af van het gewenste regelsysteem. Vertrekkend van een positieregelsysteem, is een stapvormig ingangssignaal de meest geschikte keuze, want een stapvormig signaal representeert een constante positie. Een taludvormig ingangssignaal representeert een constante snelheid of een lineair toenemende positie. In het geval van een snelheidsregelsysteem is dit het meest aangewezen ingangssignaal. Tenslotte is een parabolisch ingangsignaal ideaal om de statische fout van een versnellingsregelsysteem te bepalen. Dit wordt samengevat in Tabel 2. Met behulp van het eindewaardetheorema17 is het mogelijk om de statische fout te bepalen aan de hand van de overdrachtsfunctie G(s). Vertrekkend van het gesloten-ketensysteem, afgebeeld in Figuur 41, met H(s) gelijk aan één om de afleiding niet nodeloos moeilijk te maken, is de fout E(s) te schrijven als vergelijking 4.57.

17

^9∞) = lim

:m

^9A) = lim

+m

S¶9S) 50

Tabel 2: Ingangsignalen voor statische fout bepaling

¶9S) = g9S) * h9S) h9S) = ¶9S)i9S)

(4.57) (4.58)

Combineren van vergelijking 4.57 en 4.58 levert vergelijking 4.59 op. ·9+)

¶9S) = f|9+)

(4.59)

Toepassen van het eindewaardetheorema op deze vergelijking en naargelang het aangelegde ingangssignaal levert dit theorema de statische fout op voor een positie-, snelheids- of een versnellingsregelsysteem. Het eindewaardetheorema toegepast op een stapvormig ingangssignaal levert vergelijking 4.60 op. ^9∞) = lim



+m +





· S · f|9+) = f¸¹º|9+)

(4.60)

£»¼½

Om tot een statische fout van nul te komen moet de term limi9S) oneindig worden. Stel dat +m

de overdrachtsfunctie G(s) van de vorm in vergelijking 4.33, moet de exponent m minstens groter of gelijk zijn aan één, of met andere woorden: er moet minstens één zuivere integrator aanwezig zijn. De term limi9S) wordt ook wel de positieconstante Kp genoemd. +m

Analoog leidt talud, 1pS ', als ingangssignaal tot een statische fout, gegeven door vergelijking 4.61.    ^9∞) = lim · S · f|9+) = f¸¹º+|9+) (4.61) +e +m

£»¼½

De statische fout wordt nul indien de term limSi9S) (de snelheidsconstante Kv) oneindig +m

wordt. Hiervoor moeten er minstens twee integratoren aanwezig zijn in de voorwaartse kring. Voor een parabool 1pS 4 als ingangssignaal is op een gelijkaardige manier aan te tonen dat er minstens drie integratoren in de voorwaartse kring moeten aanwezig zijn. 51

Vermits de statische fout afhankelijk is van het aantal integratoren in de voorwaartse baan, en dus af te leiden uit de overdrachtsfunctie G(s), worden systemen onderverdeeld naargelang het systeemtype, of met andere woorden naargelang het aantal integratoren in de voorwaartse baan.

Tabel 3: Relatie tussen ingangssignaal, systeemtype en statische fout

In Tabel 318 is bijvoorbeeld te zien dat een type 0-systeem een statische fout heeft gelijk aan  bij een stapvormig ingangssignaal, voor een talud of parabool is deze statische fout fj ¾

oneindig.

Naast het aanleggen van testsignalen is het systeemtype, de statische foutconstante en bijgevolg de statische fout af te leiden vanuit een opgemeten Bodeplot. Een type 0 systeem heeft geen integrator in de voorwaartse baan, zodat er geen helling te zien is voor lage pulsaties in de Bodeplot. De statische foutconstante Kp is eveneens eenvoudig af te leiden, zoals te zien is in Figuur 46. Een type 1 systeem heeft wel een helling voor lage frequenties, meer bepaald een helling van -20dB per decade, een type 2 systeem heeft een beginhelling van -40dB/decade. De statische foutconstante en bijgevolg de statische fout van een type 1 systeem kan afgeleid worden door deze beginhelling door te trekken tot de 0dB-as. Het snijpunt met de 0dB-as is de statische foutconstante Kv. De statische foutconstante √nƒ is op een gelijkaardige manier te bepalen voor een type 2 systeem, zoals uit Figuur 46 blijkt.

18

[5] N. S. Nise, Regeltechniek voor technici. Den Haag, Nederland: Academic Service, 2005.

52

Figuur 46: Relatie tussen systeemtype, statische foutconstante en Bodeplot

3.2.3.5.5 Overgangsgedrag via Bodeplots Alle informatie omtrent overgangsgedrag, zoals relatieve demping en bijgevolg doorschot, en de responsiesnelheid is eveneens af te leiden uit een Bodeplot. De theoretische achtergrond hiervoor is echter gebaseerd op gesloten keten frequentie responsies, hetgeen praktisch moeilijker op te meten is dan open ketenresponsies en bijgevolg niet in deze thesis beschreven wordt. Uit de vakliteratuur19 blijkt dat uit een open keten frequentieresponsie deze parameters omtrent overgangsgedrag eveneens te halen zijn. Vertrekkend van een standaard tweede ordesysteem zijn deze parameters de relatieve demping en de bandbreedte van het systeem. Een eerste parameter is de relatieve demping. Zoals aangetoond in paragraaf 3.2.3.4 bepaalt de relatieve demping of een systeem via een al dan niet gedempte slingering convergeert naar een stabiele eindwaarde. Om het gewenste overgangsgedrag te ontwerpen, moet deze parameter dus uit een frequentieresponsie te halen zijn, in dit geval een Bodeplot. Deze informatie zit vervat in de fasemarge. Via de vergelijking 4.62 is de relatieve demping af te leiden uit de opgemeten fasemarge. Voor fasemarges kleiner dan 65° kan vergelijking 4.62 benaderd worden door vergelijking 4.63 zonder een al te grote fout te maken. ΦN = A<= © = 0.01ΦN

'š

&='š e f#fÀš Á

(4.62) (4.63)

De andere belangrijke parameters omtrent overgangsgedrag zoals de insteltijd en de piektijd van een systeem zijn eveneens bereikbaar via een opgemeten open-ketenfrequentieresponsie en meer bepaald via een Bodeplot. Deze parameters zijn af te leiden uit de gesloten19

[10] N. S. Nise, Regeltechniek voor technici. Den Haag, Nederland: Academic Service, 2005. 53

ketenbandbreedte ZZ van het systeem. Vermits enkel een open-ketensysteem ter beschikking is, moet deze bandbreedte gekoppeld worden aan de open-ketenfrequentieresponsie. Deze bandbreedte blijkt die frequentie te zijn waarvoor de open-ketenmagnitude tussen -6 en -7.5 dB ligt als de open-ketenfase tussen -135° en -225° ligt. In het gesloten-ketensysteem is de bandbreedte die frequentie waarvoor de magnitude 3dB kleiner wordt dan de magnitude bij frequentie nul. Eenmaal de bandbreedte van het systeem bepaald uit de open-ketenBodeplot, zijn de insteltijd Ts en de piektijd Tp eenvoudig te bepalen via de vergelijkingen 4.64 en 4.65. Meestal wordt omgekeerd gewerkt, waarbij vertrekkend van een gewenste insteltijd en piektijd een gewenste bandbreedte ontworpen wordt. À

&91 * 2© ' ) 5 #4© À * 4© ' 5 2

ZZ =

­£ š

ZZ =

­¾ #=š e

2

&91 * 2© ' ) 5 #4© À * 4© ' 5 2

(4.64)

(4.65)

3.2.3.5.6 Dode tijd en Bodeplots Na het aanleggen van een ingangssignaal kan een systeem niet onmiddellijk reageren door allerlei mechanische traagheden. Er is een bepaalde tijd nodig voordat het uitgangssignaal het ingangssignaal kan volgen. In het tijdsdomein resulteert dit in een tijdvertraging. Gedurende deze vertraging gebeurt er niets aan de uitgang. Toegepast op het frequentiedomein resulteert dit in een extra faseachterstand. Indien een systeem een tijdvertraging van T seconden heeft in het tijdsdomein resulteert dit in een uitgangssignaal gelijk aan c(t-T) (zie Figuur 41). De Laplace-getransformeerde van dit signaal is te schrijven als vergelijking 4.66. en levert een uitdrukking voor de dode tijd in het 9S) = ^ =+­

(4.66)

frequentiedomein. Deze dode tijd zorgt ervoor dat de fasekarakteristiek van de Bodeplot wijzigt. Een systeem G’(s) met dode tijd is te schrijven als vergelijking 4.67 waarin G(s) hetzelfde systeem voorstelt zonder de dode tijd. iÃ9S) = ^ =+­ i9S)

(4.67)

Door s te vervangen door jω wordt duidelijk dat de dode tijd enkel invloed heeft op de fasekarakteristiek en niet op de magnitudekarakteristiek. (vergelijking 4.68) i Ä 9a) = ^ =_P­ i9a) = |i9a)|Ic* 5 Ii9a)d

(4.68)

Als gevolg van deze invloed op de fasekarakteristiek, daalt de fasemarge ΦN zoals uit Figuur 47 blijkt. Samen met deze daling van de fasemarge, daalt de relatieve demping en ontstaat een groter doorschot. Alhoewel de dode tijd geen rechtstreekse invloed heeft op de magnitudekarakteristiek, daalt de amplitudemarge eveneens bij een stijgende dode tijd, zoals blijkt uit Figuur 47. De dode tijd heeft dus een negatieve invloed op de stabiliteit en het overgangsgedrag van een systeem.

54

Figuur 47: Bodeplot van een systeem met dode tijd

3.2.4

Regelstrategie: Toegepast

3.2.4.1 Inleiding De besproken regelstrategie in paragraaf 4.2 wordt in deze paragraaf uitgewerkt voor de hydraulische testopstelling besproken in paragraaf 2. Deze regelstrategie doorloopt de verschillende stappen voorgesteld in Figuur 32. Hoewel in de praktijk vaak ontwerpstappen worden overgeslagen, bevat dit script alle stappen met een uitvoerige bespreking. 3.2.4.2 Stap1: Fysisch systeem De motor gekoppeld aan de inertie moet in snelheid geregeld worden, waardoor het systeem en het type regeling gekend zijn: • •

Het af te regelen systeem: de hydraulische testopstelling voorgesteld in hoofdstuk 2. Het type regeling is een snelheidsregeling.

In tegenstelling tot de praktijk, is het bepalen van eisen zoals gewenst overgangsgedrag en statische foutnauwkeurigheid in stap één van minder belang. Bedoeling van deze regelstrategie is nagaan of de opstelling stabiel is of stabiel te krijgen is via de geschikte technieken. Verder is het de bedoeling om na te gaan welk overgangsgedrag het systeem vertoont en deze zo kort mogelijk houden. Ten slotte wordt nagegaan of er een statische fout aanwezig is en of deze eveneens weg te werken valt. 3.2.4.3 Stap2: Functioneel blokdiagram Omzetten van het fysisch systeem besproken in stap één en in paragraaf 2 leidt tot het functioneel blokschema afgebeeld in Figuur 48. Hierbij zijn drie grote delen op te merken: de regelaar, het af te regelen systeem en een sensor. De regelaar bestaat uit een softwarematig

55

Figuur 48: Functioneel blokschema van de opstelling

geprogrammeerde regelaar en een versterkerkaart. Het systeem is opgebouwd uit een proportioneel ventiel en een motor gekoppeld aan een inertie. De sensor koppelt de positie van de as terug. De regelaar vormt het foutsignaal, berekend uit de gewenste snelheid en de werkelijke snelheid, om tot een spanningssignaal en biedt dit aan, aan de versterkerkaart van het proportioneel ventiel. Deze kaart vormt het aangeboden spanningssignaal om tot een stroomsignaal voor het ventiel. Deze stroom bekrachtigt de spoel in dit ventiel waardoor de plunjer evenredig met deze stroom een bepaalde positie inneemt. Afhankelijk van deze positie laat het ventiel een bepaald debiet door naar de motor. De motor drijft de inertie aan met een bepaald koppel, afhankelijk van de drukval over de motor. Als gevolg van dit koppel wordt de inertie versneld totdat de gewenste snelheid bereikt is. Met behulp van een incrementele encoder wordt de incrementele of relatieve positie opgemeten. Dit betekent dat dit type encoder geen absolute positie-informatie kan opmeten. Doordat de encoder een snelheidssignaal afkomstig van de motor en inertie omzet in een positiesignaal, moet geconcludeerd worden dat de encoder een integrerende functie bevat. Door softwarematig het positiesignaal terug om te zetten in een snelheidssignaal, of met andere woorden het positiesignaal te differentiëren wordt deze integrator weggewerkt. Deze opmerking zal van belang blijken bij het analyseren van het systeem. 3.2.4.4 Stap3: Schematische voorstelling Vermits de dynamiek van de regelaar, de stuurkaart en de encoder veel groter is dan deze van het af te regelen systeem (Figuur 48), beperkt de schematische voorstelling (Figuur 49) zich tot een voorstelling van de proportioneel ventiel, de motor en de hydraulische koppeling ertussen en tot het mechanische systeem dat opgebouwd is uit de hydromotor, de inertie en de encoder gekoppeld via veer-dempersystemen. Ter vereenvoudiging is het systeem opgesplitst in een hydraulische en een mechanische tak. De hydromotor vormt de verbinding tussen deze twee takken. Deze heeft namelijk een inertie, waardoor deze in het mechanische systeem kan opgenomen worden. Anderzijds bestaat de

56

aandrijving uit hydraulisch debiet, waardoor de motor eveneens tot de hydraulische tak behoort.

Figuur 49: Schematische voorstelling van het af te regelen systeem

Vooral de hydraulische tak is bepalend voor de dynamiek van het systeem. De mechanische koppeling tussen de motor en de extra inertie is te benaderen door een starre koppeling, wat ook het geval is voor de koppeling tussen de inertie en de encoder. Dit vereenvoudigt de berekeningen in paragraaf 3.2.4.5 zonder een grote fout te maken. 3.2.4.5 Stap4: Wiskundig model20 De transferfunctie van een stuurschuif is te schrijven als een tweede-ordetransferfunctie21 met een hoge relatieve demping Ϛ en een eigenfrequentie die ook relatief hoog is ten opzichte van de eigenfrequentie van de motor gekoppeld aan de inertie. Zoals uit onderstaande berekeningen blijkt. Vertrekkend van een starre verbinding tussen motor en inertie, leidt onderstaande afleiding tot de transferfunctie van de motor gekoppeld aan de externe inertie. Uit deze transferfunctie kan de eigenfrequentie afgeleid worden. Het debiet dat door de motor vloeit: Å/ = Å 5 Å 5 Å

(4.69)

Waarbij: • • • •

Å/ :

Å : Å : Å :

Totale debiet [l/min] Debiet door de motor [l/min] Lekdebiet [l/min] Debiet ten gevolge van de samendrukbaarheid van olie [l/min]

20

I. J. Nagrath and M. Gopal, Control Systems Engineering. New Dehli, Indië: New Age International (P) Ltd., 2006. 21 K. Stockman, B. Van Walleghem, N. Monkerhey, and C. Dousy, implementatie en optimalisatie van innovatieve hydraulische aandrijfsystemen. Kortrijk, België, 2008. 57

Het debiet door de motor is evenredig met de motorsnelheid: Æ

Å = h · :

(4.70)

Vermits de motor een bepaald koppel levert, ontstaat er over de motor een drukval. Door deze drukval dringt er een deel van de olie terug door de plunjers van de motor naar de lekleiding, het lekdebiet genaamd, wat evenredig is met de drukval over de motor: Å  h · ∆

(4.71)

Als gevolg van de druk voor en na de motor wordt de olie in de leidingen samengedrukt. Vermits de samendrukbaarheid van een vloeistof evenredig is met de druk, is het debiet dat volgt uit die samendrukbaarheid evenredig met drukvariaties in de leidingen: /

Met: • • • • •

h : Ç: h : ∆ : h :

Å  h · :

(4.72)

Motordebietconstante Hoekverplaatsing [rad] Lekdebietconstante Drukval over de motor [bar] Samendrukbaarheidsconstante

Door vergelijkingen 4.70, 4.71 en 4.72 in vergelijking 4.69 in te vullen, volgt: Æ

/

Å/  h · : 5 h · ∆ 5 h · :

(4.73)

De motor levert een hydraulisch koppel gegeven door vergelijking 4.15. Hierbij is de veerconstante van het mechanisch systeem verwaarloosbaar klein ten opzichte van de veerconstante ten gevolge van de “olieveren”. De koppeling tussen motor en inertie wordt bijgevolg vereenvoudigd tot een starre verbinding.

Met: • • • • •

N : h­ : ∆ : .: €:

N  h­ · ∆  .

²Æ :²

5€

Æ :

(4.74)

Askoppel [Nm] Motorconstante Drukval over de motor [bar] Inertie [kgm²] Demping ten gevolge van mechanische weerstand

Het lekdebiet (Å ) en het debiet ten gevolge van de samendrukbaarheid (Å ) is klein ten opzichte van het motordebiet (Å ). Indien deze als een deel van de last worden aanzien, moet de hydraulische energie 9Å · ∆ ; leiden tot de mechanische energie N ÈÇpÈA: Æ

Å · ∆  N :

(4.75)

Vergelijking 4.70, 4.74 en 4.75 leveren:

58

Æ

h · : · ∆  h­ · ∆ : Æ

(4.76)

Waaruit volgt dat h  h­

Dit levert voor vergelijking 4.74 volgende gelijkheid op: h · ∆  .

²Æ

5€

:²

Æ :

(4.77)

Na eliminatie van ∆ uit vergelijking 4.77 en 4.73 is het mogelijk om een relatie op te stellen tussen het motorkoppel TM en de hoekverplaatsing θ. Omvormen van vergelijking 4.77 naar de drukval: ∆ 

É

Ê²Ë ÊË fÌ Ê~² Ê~

Í0

(4.78)

Invullen in 4.73 levert:

Å/  h ·

Æ :

É

5 h ·

Ê²Ë ÊË fÌ Ê~² Ê~

Í0

5 h ·

É

Ê³Ë Ê²Ë fÌ Ê~³ Ê~²

Í0

(4.79)

Logisch groeperen van de termen en na vereenvoudiging wordt dit: Å/ 

ÉÍÏ Í0

· ÇÐ 5 Y

ÉÍ fÌÍÏ Í0

Í fÌÍ \ ÇÑ 5 Y 0Í \ Ç e

0

(4.80)

Toepassen van de Laplace-transformatie levert: 9+; Æ9+;

Æ9+;

9+;



ÉÍÏ Í0

 ÒÓ

· S³ 5 Y

ÉÍ fÌÍÏ Í0



\ S² 5 Y

e fÌÍ Í0 

Í0

\S

ÒÓ yÔÓÏ h2 k yÔÓ Ï ·+³fY \+²fÕ Ö+ Ó0 Ó0 Ó0

(4.81) (4.82)

Vermits een snelheidsregeling wordt toegepast moet niet de hoekverplaatsing maar de hoeksnelheid bekend zijn om het systeem af te regelen. Vergelijking 4.82 vermenigvuldigen met een differentiator s levert deze hoeksnelheid: Æ×9+;

9+;



 ÒÓ

ÒÓ yÔÓÏ Óe yÔÓ Ï Ö ·+²fY  \+fÕ 0 Ó0 Ó0 Ó0

(4.83)

Omvormen naar een typische tweede-orde transferfunctie geeft: Æ×9+;

9+;



+²f

Õ

ÒÓÏ Ó0

Óe yÔÓ ÒÓ yÔÓÏ Ø 0 Ù Ö Ó0 Ó0 +f ÒÓÏ ÒÓÏ Ó0 Ó0

(4.84)

59

Vergelijking 4.84 vergelijken met de algemene tweede-orde transferfunctie: e j P8

e +²f'ÚP8 +fP8

(4.85)

Levert de eigenfrequentie van het systeem op:

Hieruit volgt:

,'  ,' 

e

Ó yÔÓ Ø 0 Ù Ó0 ÒÓÏ Ó0

(4.86)

e fÌÍ Ü ÛÍ0 

ÉÍÏ

(4.87)

Met een verwaarloosbare demping: Íe

,'  ÉÍ0

(4.88)

Ï

De debietmotorconstante Cm is gelijk aan het slagvolume Vs. De samendrukbaarheidsconstante laat zich noteren als22:

Met: • •

: : Þ:

h 

~

ÀÝ

(4.89)

Olievolume in de leidingen en de motor [cm³] Specifieke samendrukbaarheidscoëfficiënt van olie

Hieruit volgt de vergelijking voor de eigenpulsatie van het systeem: ,  &

ÀÝ£e ~ É

(4.90)

Met behulp van vergelijking 4.90 is het mogelijk om de eigenfrequentie van de motor en de gekoppelde inertie in te schatten. Op die manier zijn de bekomen resultaten uit de identificatie van het systeem gemakkelijk te verifiëren. Alle benodigde gegevens om de eigenpulsatie te bepalen voor de hydraulische testopstelling zijn terug te vinden in de datasheets op bijgevoegde CD. Deze zijn: • • • •

Het slagvolume + : Inertie van de hydromotor Jm: Extra inertie Jex: Specifieke samendrukbaarheidscoëfficiënt β

19.6 cm³/omw. 0.0002 kgm² 0.26 kgm² 9.558.108 Pa

De volledige inertie is de som van de motorinertie en de extra inertie, gegeven door vergelijking 4.91 22

S. Schacht, Ontwerp proefstand proportionele hydraulica en analyse van de fundamentele hydraulische. Leuven , België: K.U. Leuven, 2005. 60

. = .: 5 . u: , -, :-

.  0.0002 !Xk² 5 0.26!Xk²  0.2602!Xk²

(4.91) (4.92)

Het schadelijke volume : is het volume dat zich bevindt in de motor en dus gelijk aan het slagvolume vermeerderd met het olievolume dat zich in de leidingen tussen hydromotor en proportioneel ventiel bevindt. Voor één leiding van ½ duim (= diameter van 1.27 cm) en één meter lang bedraagt dit volume: â 

.'ãe ·2 À

· 100  126.677@k4

(4.93)

Het volledige schadelijke volume is dan gelijk aan de waarde gegeven in vergelijking 4.95. :  + 5 â 5 ­ :  20@k4 5 126.677@k4 5 126.677@k4  273.35@k4 Met: • •

(4.94) (4.95)

â :Volume in de persleiding [cm³] ­ :Volume in de retourleiding [cm³]

Nu alle gegevens beschikbaar zijn, is het mogelijk om vergelijking 4.90 op te lossen, en de eigenpulsatie van het systeem te bepalen. Hierbij is het slagvolume + niet het verplaatste debiet per omwenteling, maar het verplaatste debiet per radiaal. Hierdoor wordt het slagvolume van 19.6 cm³/omw gedeeld door 2¬. ,  ç

e í.î·½>î· Ö eï 'ã4,4ê·>î· ·,'ð'

À·è,êêë.ì ·Õ

(4.96)

Uit vergelijking 4.96 volgt dat de eigenpulsatie gelijk is aan 22.87 rad/s. De eigenfrequentie fn is dan gelijk aan vergelijking 4.96 gedeeld door 2π. €, 

P8 '2

 3.6 ª«

(4.97)

Na een grondige analyse van het systeem, moet deze eigenfrequentie terug te vinden zijn in de opgemeten frequentieresponsies. (Paragraaf 4.4.7) Ligt de laagste eigenfrequentie lager dan deze in vergelijking 4.97, dan betekent dit dat deze eigenfrequentie afkomstig is van de overbrengingen in het mechanische systeem, en niet van de “olieveren” (zie Figuur 49). 3.2.4.6 Stap5: Reductie van het blokdiagram Uit “stap 4: Wiskundige afleiding” van de regelstrategie blijkt dat het af te regelen systeem bestaat uit twee tweede-ordesystemen. Deze zijn de stuurschuif enerzijds en de motor gekoppeld aan de inertie anderzijds. Om het systeem op een correcte manier te kunnen analyseren, moeten enkel deze overgehouden worden in het functioneel blokdiagram. Het blokschema wordt dus niet gereduceerd door verschillende subblokken in één blok onder te

61

brengen, maar de noodzakelijke blokken voor de analyse van het systeem worden overgehouden. (Figuur 50) 3.2.4.7 Stap6: Analyse van het systeem De analyse van het systeem gebeurt vertrekkende van het gereduceerde blokschema afgebeeld in Figuur 50. Hierbij zijn de blokken “Versterkerkaart”, “Encoder” en “Pos
min-1” te verwaarlozen in de studie naar de dynamiek van het systeem. Deze componenten bezitten immers een veel hogere dynamiek dan de proportioneel ventiel en de hydromotor gekoppeld aan de inertie. Deze twee blokken beperken de dynamiek van het systeem. Indien dus informatie gekend is over deze twee blokken, dan is de dynamiek van het totale systeem gekend. Hierbij wordt de dynamiek van het proportionele ventiel eveneens veel hoger ingeschat dan deze van het systeem.

Figuur 50: Gereduceerd blokschema

De blokken “Versterkerkaart”, “Encoder” en “Pos
min-1” zijn echter wel opgenomen in het gereduceerde blokschema, zodat het ingangssignaal kan uitgelezen worden als een spanningssignaal en het uitgangssignaal als het aantal omwentelingen per minuut. Dit omdat het spanningssignaal aangeboden aan de versterkerkaart uit te lezen is vanuit Matlab/Simulink omgeving, evenals het snelheidssignaal, berekend vanuit de positie, opgemeten door de encoder. (zie paragraaf 2) Het systeem reageert op een sinusvormig ingangssignaal, door een eveneens sinusvormig uitgangssignaal, in de vorm van een snelheidssignaal, te genereren. Door op deze signalen de definitie van de frequentieresponsie, gegeven in vergelijkingen 4.6 en 4.7, toe te passen, is het mogelijk om voor een aantal discrete frequenties of pulsaties de Bodekarakteristiek te plotten van het systeem. Dit kan door manueel sinusvormige spanningssignalen met een vaste frequentie en vaste amplitude aan te bieden, maar dit is eveneens mogelijk met behulp van een frequentiesweep. Dit is een sinusvormig signaal met een vaste amplitude maar met een toenemende frequentie, zoals is weergegeven in Figuur 51.

62

Figuur 51: Frequentiesweep

De amplitude van het aangelegde inputsignaal hangt sterk af van het uiteindelijke doel waarvoor de hydromotor gedimensioneerd is. Een hydromotor dient in de meeste toepassingen aan verschillende toerentallen te draaien, waardoor de keuze voor één bepaalde amplitude voor het inputsignaal niet realistisch is. De analyse van de testopstelling gebeurt, om deze reden, voor verschillende amplitudes van het inputsignaal. Manueel wordt echter één amplitude gekozen, omdat deze methode te tijdrovend is. Verder moeten de in- en outputsignalen bruikbaar zijn in de latere gesloten regelkring. In dit geval betreft het een snelheidsregeling op basis van het opgemeten signaal door de encoder. De fout wordt gecorrigeerd door het aangelegde spanningssignaal aan de versterkerkaart. Hierdoor is het inputsignaal het aangelegde spanningssignaal aan deze kaart en het outputsignaal het opgemeten snelheidssignaal door de encoder. 3.2.4.7.1 Manueel opmeten Bodeplot Deze eerste methode om een Bodeplot te bekomen is een tijdrovende manier en dient bijgevolg enkel ter verduidelijking van het concept “frequentieresponsie”. De metingen en berekeningen gebeuren handmatig. In de aparte bundel:“Handleiding: Identificatie van de rotatieve hydraulische opstelling” is deze meetprocedure volledig beschreven. De meetgegevens bevinden zich in bijlage 4. Het inputsignaal is een sinusvormig spanningssignaal waarvan de amplitude gedurende de volledige meting constant blijft en bij deze meting 2V bedraagt. Het outputsignaal moet voor verschillende waarden van de frequentie opgemeten worden en uitgezet op een Bodeplot. Zowel de amplitude van het ingangssignaal, die een constante waarde is, als de amplitude van het uitgangssignaal, het snelheidssignaal, wordt opgemeten en via formule 4.98 omgezet naar een magnitude uitgedrukt in dB. Deze meting gebeurt voor een aantal discrete frequenties van 0.1Hz tot 11Hz. D = 20 §RX

Met • • •

M: "K: : "-, :

[O~ [Q8

(4.98)

Magnitude Amplitude van het outputsignaal Amplitude van het inputsignaal

63

Diezelfde metingen worden ook gebruikt om de fasekarakteristiek te plotten. Uit de definitie voor de frequentieresponsie is af te leiden dat de fasekarakteristiek geplot wordt door het toepassen van vergelijking 4.99. H9) = HK: 9) * H-, 9)

(4.99)

De meting voor een frequentie van 2Hz is ter illustratie weergegeven in Figuur 52. De amplitude van de opgemeten snelheid in toeren per minuut bedraagt 2.21557 min-1. De amplitude van het ingangssignaal is gekend en bedraagt 2V. Vermits het inputsignaal variabel is tussen 0 en 1 en dit overeenkomt met een spanning tussen 0 en 10V, wordt voor het plotten van de magnitudekarakteristiek het inputsignaal met een factor 0,1 vermenigvuldigd. Toepassen van vergelijking 4.98 op deze waarden levert een magnitude op van 20.89dB.

Figuur 52: In- en outputsignaal bij frequentie 2Hz

Vermits Matlab/Simulink de signalen in het tijdsdomein opmeet, is de faseachterstand gevormd door vergelijking 3.99 in seconden uitgedrukt. Vergelijking 4.100 vormt deze om naar een faseachterstand uitgedrukt in graden. Voor de meting bij 2Hz bedraagt deze faseachterstand -121.65°. H = * ­ · 360° +

Met • • •

H: S: :

(4.100)

faseachterstand [°] faseachterstand [s] Periode van de signalen [s]

Herhaalde metingen voor verschillende discrete frequenties leveren de volledige Bodeplot op voor frequenties tussen 0,1 en 11Hz (Figuur 53). Deze Bodeplot dient enkel ter illustratie van de manuele opmeting van de frequentieresponsie. Deze plot toont eveneens het belang van een juiste instelling van de versterkerkaart (zie paragraaf 2). De Bodeplot is opgemeten zonder een optimale instelling van de versterkerkaart. Het verschil met de Bodeplot van 2V 64

waarbij de versterkerkaart wel correct is afgesteld wordt besproken in volgende paragraaf. De amplitudekarakteristiek afgebeeld in Figuur 53 vertoont geen beginhelling (1), wat wijst op een type 0 systeem. Wat evenveel betekent als een systeem waar geen integrator in de voorwaartse baan zit. 2 1

3

Figuur 53: Bodeplot, manueel opgemeten

Vanaf de breekfrequentie van ±0.8Hz vertoont de amplitudekarakteristiek een helling van -20dB/decade (2), wat wijst op de aanwezigheid van een eerste ordesysteem. Een tweede breekfrequentie bevindt zich op ±3.5Hz. Vanaf deze frequentie daalt de magnitude met een helling van -40dB/decade (3). Dit wijst erop dat het systeem bestaat uit twee eersteordesystemen in plaats van één tweede-ordesysteem zoals in het wiskundige model (paragraaf 3.2.4.5) bleek. 3.2.4.7.2 Automatisch opmeten Bodeplot Het automatische opmeten van de Bodeplot levert een tijdsvoordeel op ten opzichte van de handmatige metingen. De gebruikte software zorgt voor een frequentiesweep aan de stuurschuif. De opstelling reageert hierop door eveneens een sweep af te leveren. Paragraaf 3.2.3.1 maakt duidelijk dat de frequentie van het in- en outputsignaal gelijk zijn gedurende de volledige meting. Deze frequentie is wel variabel in functie van de tijd. De amplitude van inen outputsignaal verschillen net als de fasehoek van de signalen. Het opmeten van deze parameters gebeurt volledig automatisch. De volledige meetprocedure alsook uitleg omtrent de aangewende software is terug te vinden in de bundel:“Handleiding: Identificatie van de rotatieve hydraulische opstelling”. De eerste meting gebeurt met een inputsignaal waarvan de amplitude 1V bedraagt, de tweede meting met een amplitude van 2V, net als bij de manuele metingen. Dit om de hierboven 65

vermelde reden dat een hydromotor in de meeste applicaties voor een breed bereik van toerentallen wordt aangewend. aangewend De hoogste amplitude bedraagt 2V omdat hogere amplitudes leiden tot gevaarlijke situaties tijdens de metingen. De laagste amplitude bedraagt 1V, omdat lagere amplitudes leiden tot incorrecte metingen. Dit is onder andere te wijten aan de positieve overlap van de stuurschuif. Deze twee metingen bieden echter voldoende inzicht in de problematiek voor het afregelen van een hydromotor en dienen als uitgangspunt voor de opmaak van een simulatiemodel.

Amplitude mplitude = 1V Amplitude = 2V

Figuur 54: Automatische Bodeplot voor 1V en 2V

De vorm van de automatische bodekarakteristiek lijkt op deze van de manuele opgemeten karakteristiek. Opnieuw is er geen beginhelling te zien, wat wijst op een type 0 systeem. Een stapvormig ingangssignaal zal dus leiden tot steady-state steady state responsie met een statische fout. fout De opgemeten Bodeplot toont aan dat het systeem onstabiel is. De amplitude bij een faseachterstand van -180° 180° blijkt immers positief (paragraaf 4.3.5.3). De twee breekfrequenties (f1 en f2) die duiden op twee eerste-ordesystemen eerste ordesystemen zijn eveneens te zien in Figuur 54. Dit in tegenstelling tot wat paragraaf 3.2.4.5 beweert. De breekfrequenties voor een amplitude van 2V verschillen rschillen van deze in de manueel opgemeten bodekarakteristiek vanwege de instellingen van de versterkerkaart. De karakteristieken voor een amplitude van 1V en 2V verschillen onderling ook van elkaar. • Amplitude: 1V o f1: 0.6Hz o f2: 4.5Hz • Amplitude: 2V 66

o f1: o f2:

0.35Hz 8Hz

Uit de vakliteratuur23 blijkt dat een tweede-ordesysteem ontbindt in twee eerste-ordesystemen van zodra de relatieve demping kritisch wordt (Ϛ=0.707). Bij toenemend toerental opent het ventiel zich meer dan bij lagere toerentallen. Als gevolg hiervan neemt de demping toe. Uit dezelfde literatuur blijkt eveneens dat de eigenfrequentie van het systeem te vinden is door de formule 4.101.

Met: • • •

€, = #€ €' €, : € : €' :

(4.101)

Eigenfrequentie van het systeem [Hz] eerste breekfrequentie [Hz] tweede breekfrequentie [Hz]

Figuur 54 toont aan dat bij stijgende amplitude, en bijgevolg stijgend toerental, de laagste breekfrequentie daalt en de hoogste breekfrequentie toeneemt. Hierdoor blijft vergelijking 4.101 gelden voor alle amplitudes. Toegepast op de breekfrequenties bij een amplitude van 1V en 2V wordt de eigenfrequentie: • Amplitude: 1 V €, = √0.6 · 4.5  1.64 ª« (4.102) • Amplitude: 2 V €,  √0.35 · 8  1.67 ª«

(4.103)

Deze opgemeten eigenfrequentie is een stuk lager dan de berekende waarde, gelijk aan 3.6Hz. De gebruikte formule 4.90 houdt echter geen rekening met de flexibele leidingen, die eveneens een grote invloed hebben op de dynamiek. Ook de samendrukbaarheidscoëfficiënt kan zorgen voor een onnauwkeurigheid. 3.2.4.8 Stap7: Ontwerp regelaar De regelaar zorgt voor het gewenste overgangsgedrag en stabiliteit. Een andere taak van de regelaar bestaat erin om de statische fout weg te werken. Vermits de snelheidsregelkring netto geen integratoren bevat in de voorwaartse kring, is een P-regelaar op zich niet voldoende. Om de statische fout volledig weg te werken is een integrator in de regelkring noodzakelijk. Vandaar de keuze voor een PI-regelaar. Met behulp van de opgemeten Bodeplot is het mogelijk om de regelaar te dimensioneren op basis van het gewenste overgangsgedrag en stabiliteit. Er is dus geen verdere systeemkennis nodig voor deze manier van afregelen. De PIregelaar wordt opgedeeld in verschillende basissystemen, vertrekkend vanuit de algemene transferfunctie van de PI-regelaar (vergelijking 4.104)

23

S. Schacht, Ontwerp proefstand proportionele hydraulica en analyse van de fundamentele hydraulische. Leuven , België: K.U. Leuven, 2005. 67

Figuur 55: Blokschema PI-regelaar

n Y1 5 Met • •

n : - :



­Q +

\

(4.104)

Versterkingsfactor Integratietijd

Vergelijking 4.104 is ook te schrijven met als vergelijking 4.105 j

n Y1 5 +Q \

(4.105)

Met n- de integratieconstante. Omvormen van deze vergelijking levert een ontbinding van de PI-regelaar in drie basissystemen. n Y

+fjQ +

\

(4.106) 

n 9S 5 n- ) +

Deze vergelijking bestaat uit: • een versterkingsfactor K gelijk aan • een nulpunt •

en een integrator

(4.107) n

9S 5 n- ) 

Y+ \

Met behulp van deze drie basissystemen is het mogelijk om de regelaar te dimensioneren, door deze rechtstreeks toe te passen op de opgemeten Bodeplot. Na het toepassen van deze regelaar moet de nieuwe Bodeplot van het systeem met de PI-regelaar volgende eigenschappen bezitten: •

De fasemarge moet 45° bedragen. Het faseverschil moet met andere woorden -135° bedragen op die frequentie waarvoor de magnitude 0dB wordt.

68

•

De amplitudemarge moet tussen de 3 en 6dB liggen. De magnitude moet dus tussen -3 en -6dB liggen voor die frequentie waarvoor de fase -180° wordt.

Door een fasemarge van 45° te kiezen is een stabiel systeem verzekerd. De keuze voor een amplitudemarge tussen 3 en 6 dB zorgt voor een maximale bandbreedte van het systeem. Op basis van deze beperkingen voor het geregelde systeem, kunnen de twee aan te passen parameters in de vergelijking 4.107 van de PI-regelaar gedimensioneerd worden. Deze zijn de versterkingsfactor n en de integratieconstante n- . De integrator is niet aan te passen. 3.2.4.8.1 Effect van de integrator Een integrator laat het faseverschil dalen tot -90° en de extra helling van de magnitude met 20dB/decade zoals uit Figuur 36 blijkt. De integrator is noodzakelijk om de statische fout weg te werken. Uit de Bodeplot blijkt immers dat af te regelen systeem een type 0 systeem is, hierdoor bevat de voorwaartse kring geen integratoren. Uit Tabel 3 blijkt dat een type 0  systeem een statische fout heeft bij een stapvormig ingangssignaal van fj . Bij ¾

ingangssignalen in de vorm van een talud of parabool wordt deze fout oneindig. De integrator heeft echter een negatieve invloed op de bandbreedte van het systeem. Door de faseachterstand van -90° en de negatieve helling van -20dB/decade daalt de amplitude- en de fasemarge, wat de stabiliteit en de bandbreedte niet ten goede komt. 3.2.4.8.2 Effect van de versterkingsfactor Aanpassen van de versterkingsfactor Kp heeft enkel invloed op de amplitudekarakteristiek, niet op de fasekarakteristiek. Een goede keuze van de versterkingsfactor maakt het mogelijk om de gewenste fasemarge te bereiken. Hiervoor wordt nagegaan voor welke frequentie de fasemarge 45° is of met andere woorden het faseverschil -135° wordt. De amplitude bij deze frequentie moet 0dB bedragen. Is dit niet het geval, dan kan deze worden aangepast door het toepassen van een versterkingsfactor Kp. 3.2.4.8.3 Effect van het nulpunt Het nulpunt tenslotte dient om een maximale bandbreedte te bereiken en de negatieve invloed van de integrator gedeeltelijk weg te werken. Het nulpunt heeft vanaf de breekfrequentie een positieve helling van 20dB/decade en een faseverschuiving van +90°. Dit is het tegenovergestelde van de integrator, zodat deze vanaf de breekfrequentie wordt gecompenseerd door dit nulpunt. Het toegevoegde nulpunt maakt het mogelijk om een amplitudemarge tussen de 3dB en 6dB te verkrijgen. De moeilijkheid bestaat er hier echter in om de versterkingsfactor n en de integratieconstante n- perfect op elkaar af te stemmen. De volgorde van toepassen van subsystemen die hierboven is uitgewerkt zorgt ervoor dat na het toepassen van het nulpunt de versterkingsfactor n eveneens moet wijzigen om de vooropgestelde eisen te bereiken. Hierdoor moet de bovenstaande procedure herhaald worden totdat beide waarden perfect op elkaar afgestemd zijn. Voor het éénmalige afregelen van een systeem is dit te verantwoorden. Herhaaldelijke procedures voor meerdere systemen maken bovenstaande strategie tijdrovend. Dankzij computersoftware is het mogelijk om een algoritme op te stellen waarin met behulp van een lus de waarden n en n- perfect op elkaar worden afgestemd om de vooropgestelde voorwaarden te bereiken. De bundel:“Handleiding: Identificatie van de rotatieve hydraulische opstelling” beschrijft dit algoritme uitvoerig voor de Bodeplot met een ingangsamplitude van 2V. 69

Figuur 56 toont het resultaat van het toepassen van het algoritme op de Bodeplot voor een ingangsamplitude van 2V. De eerste twee karakteristieken geven de amplitude- en faseplot van het originele systeem en de PI-regelaar opgesplitst in zijn basissystemen. De twee overige karakteristieken geven deze van het geregelde systeem, waarbij de fasemarge ±45° en de amplitudemarge ±6dB bedraagt, wat binnen de vooropgestelde eisen ligt. De parameters van de PI-regelaar zijn dan uit te lezen via Matlab en bedragen: • •

n/ : n-

0.08 5.1

Figuur 56: Toepassen van algoritme op opgemeten Bodeplot

Invullen in de algemene vergelijking van een PI-regelaar (vergelijking 4.105) levert de gewenste regelaar. 0.8 Y1 5

ê. +

\

(4.108)

70

De Bodeplot van het geregelde systeem is nu stabiel en van het type één. Dit betekent dat de amplitude negatief is bij een faseachterstand van -180° (stabiliteit) en er een integrator aanwezig is in de voorwaartse kring (statische fout). Deze integrator zorgt ervoor dat het systeem in regime geen statische fout meer bevat. De aanwezigheid van de integrator is te zien in de beginhelling van -20dB/decade in de amplitudekarakteristiek en de faseachterstand van -90° in de fasekarakteristiek. De invloed van het nulpunt is te zien vanaf een pulsatie van 2 rad/s. Deze gaat de negatieve invloed van de integrator tegen, door de extra faseachterstand van 90° en de extra helling van -20dB/decade te compenseren en een maximale bandbreedte wordt bereikt. Ten slotte zorgt de versterking ervoor dat de stabiliteit gegarandeerd is, door een fasemarge van ±45° te bewerkstelligen. 3.2.4.9 Stap8: Test en controle Vooraleer de gevonden PI-regelaar toe te passen op de testopstelling, is het verstandig om eerst een P-regelaar met een kleine tot zeer kleine versterking te testen. Indien de snelheid van de hydromotor naar een stabiele eindwaarde convergeert voor een bepaalde versterking, wordt deze versterking telkens iets opgetrokken. Convergeert de snelheid niet naar een stabiele eindwaarde, hoeft een verdere optrekking van de versterkingsfactor niet meer te gebeuren.

Figuur 57: Stapresponsie bij versterkingsfactor 0.000850

Figuur 57 toont het stapantwoord, bij een stap van 50 min-1, van het systeem met een versterkingsfactor van 0.000850. Hieruit blijkt dat de werkelijke snelheid niet naar een stabiele eindwaarde convergeert. Een stap van 50 min-1 is echter een kleine waarde voor de hydromotor, waardoor in deze situatie de stuurspanning aan het proportioneel ventiel zeer klein is, wat resulteert in een kleine verschuiving van de plunjer. Door de positieve overlap van het ventiel resulteert dit niet onmiddellijk in een proportioneel doorgelaten debiet. Op het moment dat er toch een klein volume olie wordt doorgelaten, is de wenssnelheid onmiddellijk bereikt. Als gevolg hiervan zorgt de regelkring ervoor dat het ventiel zich weer meer sluit, de positieve overlap van de plunjer geeft aanleiding tot het volledig wegvallen van het debiet 71

naar de hydromotor. Wordt de fout weer groot genoeg om tot een voldoende opening van het ventiel te leiden, kan er weer een hoeveelheid naar de hydromotor vloeien. Hierdoor vertoont de werkelijke snelheid van de hydromotor een oscillerend gedrag. Vermits optrekken van de versterkingsfactor of de amplitude van de stap tot gevaarlijke situaties kan leiden, is het wenselijk om een simulatiemodel op te bouwen die de werkelijke testopstelling benadert. Dit model doet dan dienst als uitgangspunt om de PI-regelaar te testen en eventueel besluiten te trekken omtrent de hardware van het systeem. Is het systeem niet af te regelen, dan moet op één of andere manier hardwarematig ingegrepen worden. De simulaties gebeuren in het simulatiepakket DSHplus.

3.2.5

Model

Dankzij het simulatiemodel is het mogelijk om verschillende componenten te testen, ook al zijn deze niet aanwezig op de testopstelling. Een ander voordeel is dat verschillende regelaars kunnen getest worden zonder risico voor de opstelling of de gebruiker. Het grootste nadeel echter is dat het model slechts correct is indien alle parameters de werkelijkheid zo goed mogelijk benaderen. De simulaties gebeuren op het model afgebeeld in Figuur 58. Het ingangssignaal is variabel tussen 0V en 10V en het toerental van de hydromotor dient als uitgangssignaal. Hierin verschilt het simulatiemodel van de testopstelling waar het ingangssignaal varieert tussen 0 en 1 en het toerental wordt uitgelezen door een encoder die aan de doorlopende as van de inertie is bevestigd. Toch is dit model voldoende betrouwbaar om de werkelijkheid te representeren.

Figuur 58: Simulatiemodel voor identificatie

3.2.5.1 Opmeten Bodeplots De Bodeplots afgeleid uit het simulatiemodel kunnen niet in Matlab/Simulink binnengelezen worden. Dit heeft als nadeel dat het vooropgestelde regelalgoritme gebruikt bij de Bodeplots van de testopstelling hier niet bruikbaar zijn. Hierdoor moet een meer tijdrovende methode toegepast worden op de plots. Deze methode is beschreven in paragraaf 4.5.1.4 Om de 72

analogie aan te tonen tussen de simulaties en de werkelijke testopstelling worden de Bodeplots voor een ingangsamplitude van 1V en 2V opgenomen. Naast de metingen voor deze twee amplitudes wordt op het simulatiemodel eveneens de Bodeplot voor een lagere spanning van 0,5V opgemeten. De methodiek voor het opmeten van de Bodeplots is beschreven in bijlage 2. 3.2.5.1.1 Bodeplot voor amplitude van 0,5V De plot voor een ingangssamplitude van 0,5V blijkt een typisch tweede-ordeverloop te vertonen. De beginhelling bedraagt 0dB/dec, wat wijst op een type 0 systeem en er zich bijgevolg geen integrator in de voorwaartse baan bevindt. De amplitudekarakteristiek vertoont een opslingering ter hoogte van 1,6Hz. Dit betekent dat het systeem onderkritisch gedempt is.

Figuur 59: Bodeplot voor amplitude van 0,5V

Verder blijkt uit deze Bodeplot dat het systeem onstabiel is indien er geen extra regelaar toegepast wordt. Voor een faseachterstand van -180° is de amplitude immers positief. De eigenfrequentie bedraagt ongeveer 1,8Hz, wat nauw aansluit bij de eigenfrequentie opgemeten op de testopstelling (±1,6Hz). Op de testopstelling kan de Bodeplot niet opgemeten worden omdat de ingangsspanning te klein is om betrouwbare resultaten te verkrijgen. 3.2.5.1.2 Bodeplot voor amplitude van 1V De plot voor een amplitude van 1V verloopt volledig analoog aan de plot opgemeten op de testopstelling. Uit Figuur 60 blijkt dat de karakteristiek zich opsplitst in twee eerste-ordesystemen. De eerste breekfrequentie bedraagt 1,5Hz, de tweede 2Hz. Om de eigenfrequentie te bepalen van het systeem kan opnieuw vergelijking 4.109 toegepast worden. €, = √1.5 · 2 = 1.7ª«

(4.109)

73

Figuur 60: Bodeplot voor amplitude van 1V

Doordat de Bodeplot zich splitst in twee eerste-ordesystemen is het systeem bovenkritisch gedempt. Deze trend is eveneens te merken in de Bodeplot van de testopstelling. Voor een amplitude van 1V blijkt het systeem nog steeds onstabiel indien geen regelaar wordt toegepast. 3.2.5.1.3 Bodeplot voor amplitude van 2V Ook deze plot bevestigt de metingen op de testopstelling. De laagste eigenfrequentie daalt en de hoogste eigenfrequentie stijgt bij toenemende ingangsspanning en bijgevolg bij toenemend toerental. De eigenfrequentie is opnieuw te schrijven als: €, = √0.8 · 3  1.79ª«

(4.110)

Uit Figuur 61 blijkt dat het systeem bij een ingangsamplitude van 2V een stabiele responsie vertoont. Dit betekent dat het systeem naar een stabiele eindwaarde convergeert zonder een regelaar toe te passen.

74

Figuur 61: Bodeplot voor amplitude van 2V

3.2.5.1.4 Ontwerp regelaar Zoals eerder vermeld kan het algoritme gebruikt in paragraaf 4.4.8 niet toegepast worden op de Bodeplots uit het simulatiemodel om een PI-regelaar te dimensioneren. Hierdoor moet de regelaar op een manuele, meer tijdrovende manier bepaald worden. Het ontwerpen van een geschikte PI-regelaar gebeurt op basis van de Bodeplot voor een ingangsamplitude van 2V. Zoals vermeld in paragraaf 4.4.8 is een PI-regelaar opgebouwd uit de drie basissystemen voorgesteld door: • •

een versterkingsfactor gelijk aan een nulpunt

•

en een integrator

n

9S 5 n- ) 

Y+ \

Vermits enkel de versterking n en de integratieconstante n- variabel zijn in een PI-regelaar, kan aan de integrator niets veranderd worden. Door deze eerst toe te passen op de Bodeplot blijft enkel het nulpunt en de versterking over om de gewenste PI-regelaar te dimensioneren. Een nulpunt vertoont een faseverschuiving van +90° vanaf een bepaalde pulsatie en kan dus de negatieve faseverschuiving van de integrator (-90°) voor een deel compenseren. Deze waarde van +90° is echter puur theoretisch. In werkelijkheid convergeert de faseverschuiving van het nulpunt naar +90° voor een oneindige frequentie. Praktisch is dit niet haalbaar en om zekerheid in het regelaarontwerp in te bouwen wordt de maximaal te compenseren faseverschuiving op +70° geschat. Om een fasemarge van 45° of m.a.w. een faseachterstand van -135° te verkrijgen, betekent dit dat een faseachterstand van -205° (=-135°-70°) kan gecompenseerd worden. Voor de frequentie of pulsatie waarbij dit bereikt wordt, moet de amplitude 0dB bedragen volgens de definitie van de fasemarge (paragraaf 4.3.5.2). Deze frequentie is te vinden voor een

75

faseachterstand van -115° in de ongeregelde Bodekarakteristiek. In de faseachterstand van -205° zit immers al de invloed van de integrator (-90°) vervat (vergelijking 4.111) *205° 5 90°  *115°

(4.111)

In de Bodeplot voor een ingangsamplitude van 2V wordt deze faseachterstand bereikt voor een frequentie gelijk aan 1,95Hz of m.a.w. een pulsatie van 12,25rad/s. De amplitude bij deze frequentie bedraagt 7,6dB en stelt de versterking van het systeem voor. De versterking ten gevolge van de integrator is af te leiden met behulp van vergelijking 4.112. |… |-,:

ƒ:

&



Pe

(4.112)

Voor dit systeem bedraagt deze 0.082. Omgezet naar dB wordt dit -21,76dB. De volgende stap bestaat uit het nagaan van de integratieconstante uit de gevonden pulsatie en de vereiste faseverschuiving van +70°. Vermits het nulpunt te schrijven is als vergelijking 4.113, kan na overgaan naar het tijdsdomein via complexe wiskunde de integratieconstante afgeleid worden. …§ …A  9S 5 n- ;

(4.113)

Door s te vervangen door jω, is het mogelijk om met behulp van Figuur 62 en vergelijking 4.114 de integratieconstante n- te bepalen.

Figuur 62: Afleiden integratieconstante P

AXñ  j

Q

(4.114)

Toepassen van deze vergelijking levert een integratieconstante op van 4,45. De versterking ten gevolge van het nulpunt is te vinden door het toepassen van vergelijking 4.115. |… |,K/K,:  &n-' 5  '

(4.115)

76

Dit levert een versterking op van 13,03. Omgezet naar een logaritmische schaal wordt dit 22,3dB. De som van de systeemversterking, de versterking ten gevolge van de integrator en van nulpunt levert de uiteindelijk te compenseren amplitude door de versterkingsfactor n . 7.6 * 21,76 5 22,3 = 8.14ÈT

(4.116)

De versterking n bedraagt bijgevolg 0.392. De PI-regelaar ziet er als volgt uit: 0.392 Y1 5

À,Àê +

\

(4.117)

Deze regelaar toegepast op het systeem levert een responsie op voor een stapvormig ingangssignaal met een amplitude van 1000 min-1.

Figuur 63: Stapantwoord van het geregelde systeem

Dit stapantwoord vertoont geen statische fout meer in de steady-state responsie en bereikt deze responsie in minder dan twee seconden. De responsie vertoont echter wel een groot doorschot wat op de testopstelling niet gewenst is. Om dit probleem tegemoet te komen, kan de versterkingsfactor n verlaagd worden. Dit gaat wel ten koste van de dynamiek van het systeem. Uit deze paragraaf blijkt dat het mogelijk is om een PI-regelaar te dimensioneren die een aanvaardbare responsie tot gevolg heeft bij middelhoge tot hoge toerentallen. Om het probleem na te gaan bij het dimensioneren van de regelaar voor de testopstelling in paragraaf 4.4.8 wordt bovenstaande methode toegepast voor de Bodeplot bij een ingangsamplitude van 0.5V. Dit levert een versterkingsfactor n op van 0,35 en een integratieconstante n- van 4,11. Toegepast op het systeem bij een wenswaarde van 250 min-1 levert het stapantwoord op afgebeeld in Figuur 64. Hieruit blijkt dat de methode gebruikt voor hoge toerentallen niet 77

meer opgaat voor lage toerentallen. Het systeem convergeert niet naar een stabiele eindwaarde, maar blijft oscilleren rond de wenswaarde. Uit de simulaties blijkt dat het model en dus ook de testopstelling gemakkelijker is af te regelen voor hoge toerentallen. Voor lage toerentallen ligt dit moeilijker of is zelfs onmogelijk. De simulaties tonen aan dat ook de testopstelling gemakkelijker af te regelen zal zijn voor hoge toerentallen. De wenswaarde van 50 min-1 tijdens het testen van de regelaar op de opstelling (paragraaf 4.4.9) lijkt een veel te kleine waarde om de regelaar gevonden in paragraaf 4.4.8 te testen.

Figuur 64: Stapantwoord voor 250 min-1

Uit de opgemeten Bodeplots blijkt dat het systeem, bij dalend inputsignaal, onderkritisch gedempt wordt, en dus moeilijker af te regelen is. Een hydromotor is een LPV systeem (Linear Parameter Varying) wat wil zeggen dat deze zich wel als een lineair systeem gedraagt, maar voor elk werkingspunt een andere lineair gedrag vertoont. Een regelaar gedimensioneerd voor een inputsignaal van bijvoorbeeld 2V zal afwijken van één ontworpen voor 0,5V. Een tweede reden is de demping van het proportionele ventiel. Vermits bij een toenemend inputsignaal een grotere massa olie in de drainagekamers van het ventiel in beweging moet worden gebracht, vertoont het ventiel een grotere demping bij hogere snelheden. Ook de positieve overlap van het ventiel zorgt ervoor dat de afregeling bij lage toerentallen moeilijker is dan het geval is bij hoge toerentallen. Ook de viscositeit kan een rol spelen. Alle Bodeplots en tests moeten gebeuren als de olie warm is en deze een mindere demping vertoont. Het is perfect mogelijk dat een systeem met koude olie geen oscillaties vertoont, terwijl datzelfde systeem met warme olie deze wel vertoont.

78

4 Besluit Met behulp van deze thesis is het mogelijk om een aantal zaken binnen zowel het lessenpakket hydraulica als regeltechniek te duiden met behulp van zowel een didactische testopstelling als het simulatiepakket DSHplus. Dit pakket biedt het voordeel dat er geen fysisch beschikbare opstelling nodig is om verschillende applicaties te testen. De ervaring opgedaan hierin, kan in de toekomst nuttig worden gebruikt bij het hydraulisch onderzoek aan de Howest. Dit script bevat een grondige studie van de didactische testopstelling die de basis vormt voor het opbouwen van de modellen in het simulatiepakket. Na deze studie is een snelheidsregeling van de hydromotor uitgewerkt. Dit kan op de conventionele manier gebeuren, hetzij met een eenvoudige smoring, hetzij met behulp van een seriestroomregelklep. Om het verschil te duiden tussen deze twee componenten, werd de testopstelling uitgebreid met een elektrische belastingsmotor gekoppeld aan een frequentieomvormer. Op die manier is het mogelijk om lastprofielen op te leggen aan de hydromotor. Uit de metingen en simulaties volgt dat de smoring niet in staat is om, bij toenemende belasting, het motortoerental constant te houden. De seriestroomregelklep is hiertoe wel in staat. Naast deze conventionele manier om een hydromotor in snelheid te regelen, geeft deze thesis eveneens weer hoe een regelkring kan opgebouwd worden rond de testopstelling met behulp van een proportioneel ventiel. Een PI-regelaar zorgt voor stabiliteit van het systeem en een maximale bandbreedte. Hiervoor moet eerst het systeem geïdentificeerd worden met behulp van Bodeplots. Deze geven aan dat de opstelling beschreven wordt door een tweede orde systeem maar opsplitst in twee eerste orde systemen voor een toenemend ingangssignaal of met andere woorden: voor toenemend toerental. Deze variërende systeemkarakteristieken bij verschillende werkingspunten bemoeilijken het afregelen. Dit script beperkt zich tot het dimensioneren van een regelaar bij een bepaald werkingspunt, namelijk voor een ingangssignaal van 2V aan de stuurkaart van het ventiel, wat overeenkomt met een toerental van de hydromotor van ongeveer 1000 min-1. Om de PI-regelaar te dimensioneren wordt uitgegaan van de opgemeten Bodeplot. Deze regelaar opsplitsen in basissystemen en grafisch optellen bij de Bodeplot van het systeem levert de gewenste transferfunctie van de regelaar op: PI-regelaar=0.8 Y1 5

ê. +

\

Om deze basissystemen grafisch op te tellen bij de originele Bodeplot zijn twee methodes ontwikkeld. De eerste methode maakt gebruik van een algoritme in Matlab om de PI-regelaar te dimensioneren vertrekkend van de originele Bodeplot opgemeten op te testopstelling. De tweede methode is een wiskundige afleiding van de gewenste regelaar op basis van de metingen in het simulatiepakket DSHplus. Als laatste is een handleiding opgemaakt die het mogelijk maakt om de procedure voor identificatie van het systeem en dimensioneren van de regelaar te herhalen. Dankzij deze handleiding is het voor de studenten mogelijk om zelfstandig deze metingen te herhalen tijdens labosessies in het lessenpakket hydraulica en regeltechniek.

79

De PI-regelaar leidt echter slechts in de simulaties tot goede resultaten. Uit veiligheidsoverwegingen werd deze eerst getest op de testopstelling voor lage toerentallen. Vermits een hydromotor in elk werkingspunt andere systeemkarakteristieken vertoont en vanwege de lage demping van de stuurschuif voor lage toerentallen, zorgt deze regelaar niet voor een stabiel systeem. Na het uitbreiden van de testopstelling met een belastingsmotor is geen encoder meer voorzien, waardoor een regelkring onmogelijk is. Hier heeft het simulatiepakket een uitkomst geboden, door de regelaar eerst te testen via simulaties. Hieruit blijkt dat deze wel degelijk correct is gedimensioneerd, maar niet geldt voor lage toerentallen. In de toekomst moet dus eerst een encoder voorzien worden op de as van de belastingsmotor zodat een regelkring opnieuw mogelijk is. De bevindingen in de simulaties kunnen dan aan de werkelijkheid worden getoetst. Verder is het nog mogelijk om andere regelaars toe te passen, zoals de PDF en PDFF regelaar.

80

Bibliografie [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8] [9] [10] [11] [12] [13]

Bosch Rexroth AG, Grondbeginselen en componenten van de hydraulische vloeistoftechniek. Erbach: Bosch Rexroth AG, 2004. K. Stockman, B. Van Walleghem, N. Monkerhey, and C. Dousy, implementatie en optimalisatie van innovatieve hydraulische aandrijfsystemen. Kortrijk, België, 2008. S. Schacht, Ontwerp proefstand proportionele hydraulica en analyse van de fundamentele hydraulische. Leuven , België: K.U. Leuven, 2005. J. Mohieddine, Hydraulic Servo-systems Modelling, Identification and Control. Düsseldorf, Germany: Springer, 2004. R. van den Brink, Technische leergang: Hydraulica. Amerongen, Nederland: Delta Press BV, 2006. I. J. Nagrath and M. Gopal, Control Systems Engineering. New Dehli, Indië: New Age International (P) Ltd., 2006. R. B. Walters, Hydraulic and electro-hydraulic control systems. Essex, Groot-Brittanië: Elsevier Science Publischers Ltd., 1991. (2009) www.hydraulicspneumatics.com. [Online]. http://www.hydraulicspneumatics.com/200/Issue/Article/False/17814/Issue J. Hay, Regeltechniek 1. Brugge, België: die Keure, 2005. N. S. Nise, Regeltechniek voor technici. Den Haag, Nederland: Academic Service, 2005. PIH. (2010) fluid-power. [Online]. www.fluid-power.be (2010) Atos electrohydraulics. [Online]. http://www.atos.com/ Boschrexroth. [Online]. http://www.boschrexroth.com/corporate/en/index.jsp;jsessionid=bacNgf3uyO6_SbyNT RCIs

81

Bijlage 1: Hydraulisch schema

82

83

Bijlage 2: Metingen conventionele snelheidsregeling slagvolume [cm³/omw] mech-hydr rendement volumetrisch rendement

TESTOPSTELLING

19,6 0,9 1

Klassieke smoring Belasting [Nm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

0 1,15 5,12 6,99 10,1 12,54 15,04 17,06 20,14 23,55 26,73

Druk na smoring [bar]

Druk voor motor [bar]

2 137 2 138,5 2 140 2 140 2 142 1,5 143 1,5 143 1,2 144 1 145 0,5 146 0,4 148 speciaal geval: zie 27,85 drukverlopen!

Druk na Δp motor [bar] [bar] 116 113 101 94 85 76 66 59 47 23 9

21 25,5 39 46 57 67 77 85 98 123 139

Toerental [min-1] 599 593 561 542 513 483 448 423 371 249 147

Motor Verschil koppel [min-1] [Nm] / -6 -38 -57 -86 -116 -151 -176 -228 -350 -452

5,89574 7,15911 10,9492 12,9145 16,0027 18,8102 21,6177 23,8637 27,5134 34,5322 39,0242

Koppel tgv wrijving [Nm] 5,89574 6,00911 5,82922 5,92447 5,90271 6,2702 6,5777 6,80369 7,37343 10,9822 12,2942

84

Seriestroomregelklep Belasting [Nm] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

0 1,27 4,93 7,1 9,91 12,6 14,83 17,01 20,36 23,6 26,57 30,72 32,74

Druk voor regelklep [bar] 142 142 141 141 141 141 140 142 142 142 142 144 146

Druk voor motor [bar] 17 22 35 44 55 64 72 80 92 104 116 136 146

Druk na Δp motor [bar] [bar] 5 12 5 17 5 30 5 39 4,8 50,2 4,8 59,2 4,8 67,2 4,8 75,2 4,8 87,2 4,8 99,2 4,8 111,2 3 133 0,3 145,7

Toerental [min-1] 601 600 595 592 589 587 582 581 576 572 570 438 0

Motor Verschil koppel [min-1] [Nm] / -1 -6 -9 -12 -14 -19 -20 -25 -29 -31 -163 -601

3,36899 4,77274 8,42248 10,9492 14,0936 16,6204 18,8664 21,1123 24,4813 27,8503 31,2193 37,3397 40,9052

Koppel Debiet tgv lekdebiet [l/min] wrijving [l/min] [Nm] 3,36899 11,7796 3,50274 11,76 3,49248 11,662 3,84922 11,6032 4,18362 11,5444 4,02036 11,5052 4,03635 11,4072 4,10235 11,3876 4,12134 11,2896 4,25033 11,2112 4,64932 11,172 6,61966 8,5848 8,16518 0

lekdebiet ifv ∆p 0 0,0196 0,1176 0,1764 0,2352 0,2744 0,3724 0,392 0,49 0,5684 0,6076 3,1948

0,0192 0,0272 0,048 0,0624 0,08032 0,09472 0,10752 0,12032 0,13952 0,15872 0,17792 0,2128

Proportioneel ventiel Belasting [Nm] 1 2 3 4

0 1,3 5,14 7,12

Druk voor regelklep [bar] 142 142 143 143

Druk voor motor [bar] 105 115 118 120

Druk na Δp motor [bar] [bar] 90 90 80 74

15 25 38 46

Toerental [min-1] 599 597 589 585

Koppel Verschil Motorkoppel tgv [min-1] [Nm] wrijving [Nm] / 4,21124 4,21124 0 7,01873 5,71873 -8 10,6685 5,52847 -12 12,9145 5,79447 85

5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

10,05 12,6 14,78 17,27 20,25 23,28 26,63 29,55 32,74 33,48

144 143 143 144 144 144 144 145 145 147

122 124 125 127 130 132 135 140 142 147

66 56 58 66 51 74 45 82 37 93 28 104 18 117 10 130 6 136 0,3 146,7

580 572 566 556 540 529 504 436 354 0

-17 -25 -31 -41 -57 -68 -93 -161 -243 -597

15,722 18,5295 20,7754 23,0214 26,1097 29,1979 32,8477 36,4974 38,1819 41,1859

5,67196 5,92946 5,99545 5,75144 5,85969 5,91793 6,21767 6,94741 5,44191 7,70593

86

87

slagvolume [cm³/omw] mech-hydr rendement volumetrisch rendement

SIMULATIES

19,6 1 1

Klassieke smoring Druk na Belasting [Nm] smoring [bar] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 5 10 15 20 30 40 50 60

0,92 0,89 0,78 0,66 0,55 0,45 0,3 0,19 0,11 0,04

Druk voor motor [bar] 203,59 203,64 203,85 204,1 204,33 204,55 204,95 205,3 205,62 205,94

Motor Druk na Toerental Verschil motor Δp [bar] koppel -1 -1 [min ] [min ] [bar] [Nm] 203,46 200,31 187,7 171,93 156,15 140,35 108,71 77,03 45,31 13,6

0,13 3,33 16,15 32,17 48,18 64,2 96,24 128,27 160,31 192,34

248 244 228 208 188 168 128 88 47 7

0 -4 -20 -40 -60 -80 -120 -160 -201 -241

0,040553 1,038772 5,037891 10,03523 15,02945 20,02678 30,02146 40,01302 50,00769 59,99925

Koppel tgv wrijving [Nm] 0,040553 0,038772 0,037891 0,035228 0,029447 0,026785 0,021461 0,013017 0,007693 -0,00075

Seriestroomregelklep Druk voor Belasting [Nm] regelklep [bar] 1 2 3 4 5 6

0 1 5 10 20 30

206,3 206,3 206,3 206,3 206,37 206,3

Druk voor motor [bar] 1,04 4,24 17,07 33,1 65,1 97,2

Druk na Motor Toerental Verschil Δp [bar] motor koppel [min-1] [min-1] [bar] [Nm] 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9 0,9

0,14 3,34 16,17 32,2 64,2 96,3

246 246 245 244 243 241

0 0 -1 -2 -3 -5

0,043672 1,041892 5,044129 10,04459 20,02678 30,04018

Koppel tgv Debiet [l/min] wrijving [Nm] 0,043672 0,041892 0,044129 0,044587 0,026785 0,040177

lekdebiet lekdebiet [l/min] ifv ∆p 4,8216 4,8216 4,802 4,7824 4,7628 4,7236

0 0,000224 0 0,005344 0,0196 0,025872 0,0392 0,05152 0,0588 0,10272 0,098 0,15408 88

7 8 9 10

40 50 60 62,5

206,32 206,3 206,3 207

129,3 161,3 193,3 206,8

0,9 0,9 0,9 0,05

128,4 160,4 192,4 206,75

239 237 232 12,3

-7 -9 -14 -233,7

40,05357 0,05357 50,03577 0,035768 60,01797 0,017966 64,49436 1,994358

4,6844 0,1372 4,6452 0,1764 4,5472 0,2744 0,24108 4,58052

0,20544 0,25664 0,30784 0,3308

Proportioneel ventiel Druk voor Belasting [Nm] ventiel [bar] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 5 10 15 20 30 40 50 60

200,9 200,9 200,9 200,9 200,9 200,9 200,9 200,9 201 201

Druk voor motor [bar] 100,45 102,06 108,47 116,49 124,51 132,52 148,56 164,59 180,63 196,67

Druk na Motor Toerental Verschil motor Δp [bar] koppel [min-1] [min-1] [bar] [Nm] 100,44 98,84 92,43 84,42 76,41 68,4 52,38 36,36 20,34 4,32

0,01 3,22 16,04 32,07 48,1 64,12 96,18 128,23 160,29 192,35

248 246 238 227 217 205 179 149 112 52

0 -2 -10 -21 -31 -43 -69 -99 -136 -196

0,003119 1,004459 5,003577 10,00403 15,00449 20,00183 30,00274 40,00054 50,00145 60,00237

Koppel tgv wrijving [Nm] 0,003119 0,004459 0,003577 0,004034 0,004491 0,001829 0,002744 0,000539 0,001454 0,002368

89

90

Bijlage 3: Bodeplot, manueel opgemeten Manuele opmeting bodediagram 1e meting

Frequentie

Ain Auit

20 log Auit/Ain

[Hz]

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

0,1 0,2 0,5 0,7 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5

0,625 1,25 3,125 4,375 6,25 9,375 12,5 15,625 18,75 21,875 25 28,125 31,25 34,375 37,5 40,625

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

8,62275 9,16168 8,8024 7,72455 5,4491 3,53293 2,21557 1,79641 1,85629 1,43713 1,31737 1,07784 0,958084 0,736527 0,54491 0,407186

naijling

periode

[dB]

sec

32,69231598 33,21890246 32,87142209 31,73686386 28,70589565 24,94210074 20,88910961 19,06750937 19,35231659 17,12932119 16,37355547 14,63048602 13,60747184 11,32317353 8,705895647 6,175256837

0 0 0,195695 0,210117 0,198444 0,170923 0,168959 0,1611 0,1611 0,139489 0,131737 0,124178 0,116306 0,111591 0,102161 0,097446

10 5 2 1,428571 1 0,666667 0,5 0,4 0,333333 0,285714 0,25 0,222222 0,2 0,181818 0,166667 0,153846

naijling °

0 0 -35,2251 -52,9495 -71,4398 -92,2984 -121,65 -144,99 -173,988 -175,756 -189,701 -201,168 -209,351 -220,95 -220,668 -228,024 91

17 18 19 20 21 22 23 24 25

7 7,5 8 8,5 9 9,5 10 10,5 11

43,75 46,875 50 53,125 56,25 59,375 62,5 65,625 68,75

0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2 0,2

0,353293 0,287425 0,245509 0,197605 0,185629 0,11976 0,11976 0,0838323 0,0718563

4,942100739 3,149890887 1,780748434 -0,10464133 -0,64768341 -4,45436417 -4,45436417 -7,55237228 -8,8913029

0,091945 0,0872299 0,0840864 0,0801572 0,0817289 0,0777996 0,0750988 0,0735178 0,0719368

0,142857 0,133333 0,125 0,117647 0,111111 0,105263 0,1 0,095238 0,090909

-231,701 -235,521 -242,169 -245,281 -264,802 -266,075 -270,356 -277,897 -284,87

92

40 35 30

Amplitude [dB]

25 20 15 10 5 0 0,1

-5 1

10

100

10

100

-10 -15

Frequentie [Hz]

0 0,1

1

Faseverschuiving [°]

-50 -100 -150 -200 -250 -300

Frequentie [Hz]

93