M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 4ODK

M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 4ODK

Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz

VARIACE

1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu doSystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.


1

± Kuželosečky

Kuželosečky

Kuželosečky jsou rovinné křivky, které vzniknou průnikem rotační kuželové plochy s rovinou, která neprochází jejím vrcholem. Vzájemnou polohou roviny a plochy vzniknou: A. Kuželosečky středové (mají střed souměrnosti)

B. Kuželosečka nestředová (nemá střed souměrnosti)

20.4.2009 9:36:55

Vytištěno v programu doSystem - EduBase (www.dosli.cz)

1 z 68


1

± Kružnice

Kružnice

Kružnice k se středem S[0; 0] (v počátku souřadné soustavy) a poloměrem r > 0 je množina všech bodů roviny, které mají od středu S stejnou vzdálenost r. Rovnice kružnice se středem v počátku souřadné soustavy je určena rovnicí 2 2 2 x +y =r Tuto rovnici lze odvodit na základě určení vzdálenosti dvou bodů - konkrétně středu S a libovolného bodu X ležícího na kružnici:

Středový tvar rovnice kružnice Nechť je dána kružnice k se středem S[m; n] a poloměrem r > 0 a libovolný bod X[x; y], který leží na kružnici k.

20.4.2009 9:36:55


2 z 68


1

Obecný tvar rovnice kružnice Při odvozování obecného tvaru rovnice kružnice se vychází ze středového tvaru rovnice kružnice:

Příklad 1: Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3; 2]. Řešení: 2

2

2

Kružnice se středem S[0; 0] má rovnici x + y = r . Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A ležícího

20.4.2009 9:36:55


3 z 68


1

na kružnici do této rovnice: 2 2 2 (-3) + 2 = r 2 r = 13 2

2

Daná kružnice má rovnici x + y = 13; její poloměr je r = Ö13. Příklad 2: 2

2

Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[4; 3], B[1; 1], C[2; 0] a kružnice dané rovnicí x + y = 4. Řešení: 2

2

Zjistíme, zda hodnota výrazu x + y pro souřadnice bodů A, B, C je buď rovna 4 (bod leží na kružnici), nebo je menší než 4 (bod vnitřní oblasti kružnice), nebo je větší než 4 (bod vnější oblasti kružnice). 2

2

2

2

2

2

Pro souřadnice bodu A platí: 4 + 3 = 25 Protože 25 > 4, je bod A bodem vnější oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu B platí: 1 +1 =2 Protože 2 < 4, je bod B bodem vnitřní oblasti kružnice. Pro souřadnice bodu C platí: 2 +0 =4 Protože 4 = 4, je bod C tedy leží na kružnici. Příklad 3: Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice se středem S[1; -2] a poloměrem r = 3. Řešení: Dosadíme zadané hodnoty do rovnice

2

2

(x - 1) + (y + 2) = 9 ... dostali jsme rovnici kružnice ve středovém tvaru. Provedeme-li naznačené úpravy, dostaneme obecný tvar rovnice kružnice: 2 2 x - 2x + 1 + y + 4y + 4 = 9 2 2 x + y - 2x + 4y - 4 = 0 Příklad 4: Napište rovnici kružnice, která má střed S[-3; 5] a prochází bodem A[-7; 8]. Řešení: Kružnice, která má střed v bodě S[-3; 5], má rovnici: 2 2 2 (x + 3) + (y - 5) = r Poloměr r zjistíme dosazením souřadnic bodu A do této rovnice: 2 2 2 (-7 + 3) + (8 - 5) = r 2 r = 25 2

2

Daná kružnice má tedy rovnici (x + 3) + (y - 5) = 25. Příklad 5: 2

2

Rovnice x + y + 8x -10y - 75 = 0 je rovnicí kružnice k. Upravte ji na středový tvar; zjistěte poloměr a souřadnice středu kružnice. Řešení:

20.4.2009 9:36:55


4 z 68


1

Pomocí "doplnění na čtverec" upravíme rovnici: 2 2 x + 8x + 16 - 16 + y - 10y + 25 - 25 - 75 = 0 2 2 (x + 8x + 16) - 16 + (y - 10y + 25) - 25 - 75 = 0 2 2 (x + 4) + (y - 5) = 116 2

2

Kružnice k má středovou rovnici (x + 4) + (y - 5) = 116, poloměr r = 2Ö29; její střed S má souřadnice [-4; 5]. Příklad 6: 2

2

Upravte rovnici x + y - 2x + 4y + 7 = 0 na středový tvar rovnice kružnice. Řešení: 2

2

x + y - 2x + 4y + 7 = 0 2 2 (x - 2x + 1) - 1 + (y + 4y + 4) - 4 + 7 = 0 2 2 (x - 1) + (y + 2) = -2 2

2

Množina bodů vyhovujících této rovnici je prázdná. Rovnice x + y - 2x + 4y + 7 = 0 není tedy rovnicí kružnice. Příklad 7: Napište rovnici kružnice k, která prochází body A[5; 1], B[0; 6], C[4; -2]. Řešení: Nejprve zjistíme, zda body A, B, C neleží v jedné přímce. Směrový vektor přímky AB je B - A = (-5; 5), směrový vektor přímky BC je C - B = (4; -8). Vektory B - A, C - B jsou různoběžné; jsou tedy různoběžné i přímky AB a BC. Body A, B, C tedy neleží v jedné přímce; určují kružnici opsanou trojúhelníku ABC. Daná kružnice k má rovnici 2 2 x + y + ax + by + c = 0 Bod A[5; 1] leží na kružnici k; proto jeho souřadnice této rovnici vyhovují: 25 + 1 + 5a + b + c = 0 Obdobně z toho, že bod B[0; 6] leží na kružnici k, dostaneme: 2 2 0 + 6 +0.a + 6.b + c = 0 A obdobně pro bod C[4; -2] ležící na kružnici k platí: 16 + 4 + 4a - 2b + c = 0 Řešením soustavy tří rovnic o třech neznámých a, b, c 5a + b + c = -26 6b + c = -36 4a - 2b + c = -20 --------------------dostaneme a = 0, b = -2, c = -24. Rovnice kružnice v obecném tvaru je 2 2 x + y - 2y - 24 = 0 Upravíme-li tuto rovnici na středový tvar, dostaneme 2 2 (x + 0) + (y - 1) = 25 Ze středového tvaru zjistíme, že poloměr kružnice je r = 5 a souřadnice středu S jsou [0; 1].

20.4.2009 9:36:55


5 z 68


1

± Kružnice - procvičovací příklady 1.

1948

Výsledek:

2.

1950

Výsledek:

3.

1947

Výsledek:

4.

1953

Výsledek:

5.

1961 Výsledek:

Ne

6.

1957

Výsledek:

7.

1955

Výsledek:

8.

1962 Výsledek:

9.

1945 Výsledek:

10.

1954 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


6 z 68


1

11.

1949

Výsledek:

12.

1946

Výsledek:

13.

1951 Výsledek:

14.

1956 Výsledek:

15.

1959

Výsledek:

16.

1952

Výsledek:

17.

1958

Výsledek:

18.

1960 Výsledek:

± Vzájemná poloha přímky a kružnice

Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha bodu a kružnice a) Bod je vnitřním bodem kružnice (leží uvnitř kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je menší než poloměr)

20.4.2009 9:36:55


7 z 68


1

Všechny vnitřní body kružnice tvoří vnitřní oblast kružnice a platí pro ně vztah:

b) Bod je vnějším bodem kružnice (leží vně kružnice k a jeho vzdálenost od středu kružnice je větší než poloměr)

Všechny vnější body kružnice tvoří vnější oblast kružnice a platí pro ně vztah:

20.4.2009 9:36:55


8 z 68


1

c) Bod je bodem kružnice (leží na kružnici k a jeho vzdálenost od středu kružnice je rovna poloměru)

Všechny body ležící na kružnici tvoří kružnici k a platí pro ně vztah:

Vzájemná poloha přímky a kružnice

20.4.2009 9:36:55


9 z 68


1

Vzájemná poloha přímky a kružnice se početně určí tak, že do rovnice kružnice se dosadí rovnice přímky. Vznikne tak kvadratická rovnice o jedné neznámé. a) p je vnější přímkou kružnice k - kružnice a přímka nemají žádný společný bod - kvadratická rovnice nemá řešení

b) p je tečnou ke kružnici k - kružnice a přímka mají právě jeden společný bod - kvadratická rovnice má právě jedno řešení

c) p je sečna ke kružnici k - kružnice a přímka mají společné body A, B, jejichž vzdálenost určuje tzv. tětivu - kvadratická rovnice má dvě řešení

Příklad 1: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 4x - 3y - 20 = 0 a kružnice dané rovnicí x + y = 25. Řešení: Vzájemnou polohu přímky a kružnice zjistíme řešením soustavy rovnic:

20.4.2009 9:36:55


10 z 68


1

4x - 3y - 20 = 0 2 2 x + y = 25 -----------------------Z první rovnice vyjádříme např. y: y = (4/3)x - (20/3) Dosadíme do druhé rovnice: 2

20 ö æ4 x 2 + ç x - ÷ = 25 3 3 ø è Dostaneme kvadratickou rovnici 2 5x - 32x + 35 = 0 Ta má diskriminant 2 D = (-32) - 4 . 5 . 35 = 324 Protože D > 0, má kvadratická rovnice dva reálné různé kořeny: x1 = 5, x2 = 7/5. Dosazením za x1 do rovnice přímky dostaneme y1 = 0, dosazením za x2 do rovnice přímky dostaneme y2 = -24/5. Přímka je sečnou kružnice k. Průsečíky P, Q přímky s kružnicí mají souřadnice [5; 0], [7/5; -24/5]. Příklad 2: 2

2

Stanovte číslo c tak, aby přímka p: x + 2y + c = 0 byla tečnou kružnice o rovnici x + y = 4. Řešení: Z rovnice přímky dostaneme x = -2y - c. Dosadíme do rovnice kružnice: 2 2 (-2y - c) + y = 4 2 2 5y + 4cy + c - 4 = 0 Aby přímka byla tečnou kružnice, musí být diskriminant D kvadratické rovnice roven nule. 2 2 D = 16c - 4 . 5 . (c - 4) D=0 ----------------------------2 2 16c - 20 . (c - 4) = 0 2 c = 20 c1 = 2Ö5 nebo c2 = -2Ö5 Přímka je tedy tečnou dané kružnice, je-li buď c1 = 2Ö5 nebo c2 = -2Ö5. Příklad 3: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu kružnice o rovnici (x - 2) + (y - 3) = 1 a přímky p: x = 4 + 2t, y = 1 + t. Řešení: Dosadíme za x, y z rovnice přímky do rovnice kružnice: 2 2 (4 + 2t - 2) + (1 + t - 3) = 1 2 2 (2t + 2) + (t - 2) = 1 2 5t + 4t + 7 = 0 Diskriminant kvadratické rovnice D = -124 je záporný, rovnice tedy nemá řešení v oboru reálných čísel. Přímka p je tedy vnější přímkou dané kružnice. Příklad 4: 2

2

Napište rovnici tečny kružnice o rovnici (x - 2) + (y + 1) = 25 v jejím bodě T[6; 2]. Řešení: 20.4.2009 9:36:55


11 z 68


1

Tečna p kružnice je kolmá k poloměru ST, kde S[2; -1], T[6; 2]. Vektor T - S = (4; 3) je tedy její normálový vektor. Směrový vektor přímky p je vektor (3; -4). Tečna p je dána bodem T[6; 2] a směrovým vektorem (3; -4); její parametrické vyjádření je p: x = 6 + 3t, y = 2 - 4t. Vyloučením parametru t dostaneme obecný tvar rovnice přímky: 4x + 3y - 30 = 0. Příklad 5: Napište rovnici kružnice, jejíž střed leží na přímce p: x - 3y - 2 = 0 a která se dotýká přímky q: 4x - 3y + 17 = 0 v bodě T[-2; 3]. Řešení: Střed S kružnice k leží na přímce p a na přímce t, která prochází bodem T a je kolmá k přímce q. Normálový vektor u přímky q má souřadnice (4; -3), normálový vektor přímky t má tedy souřadnice (3; 4). Konstantu c v rovnici přímky t: 3x + 4y + c = 0 zjistíme dosazením souřadnic bodu T, který leží na přímce t, do této rovnice. Přímka t má rovnici 3x + 4y - 6 = 0 Souřadnice středu S dostaneme řešením soustavy dvou rovnic: x - 3y - 2 = 0 3x + 4y - 6 = 0 ------------------Řešením této soustavy dvou rovnic o dvou neznámých dostaneme souřadnice [2; 0].

x = 2, y = 0. Střed

S

kružnice má

Zbývá ještě určit poloměr r kružnice. r = |ST|

ST =

(- 2 - 2)2 + (3 - 0)2 2

=5 2

Kružnice má rovnici (x - 2) + y = 25, střed je S[2; 0], poloměr je r = 5.

± Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady 1.

1963 Výsledek:

2.

1977

Výsledek:

Sečna

3.

1975 Výsledek:

4.

1979

Výsledek:

20.4.2009 9:36:55

Sečna


12 z 68


1

5.

1971 Výsledek:

6.

1970 Výsledek:

7.

1968 Výsledek:

8,94

8.

1965 Výsledek:

9.

1981 Výsledek:

10.

1976 Výsledek:

11.

1967

Výsledek:

12.

1974 Výsledek:

13.

1964 Výsledek:

14.

1973 Výsledek:

15.

1980

Výsledek:

Tečna

16.

1966

Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


13 z 68


1

17.

1972 Výsledek:

18.

1969

Výsledek:

19.

1978

Výsledek:

Přímka kružnici neprotíná.

± Elipsa

Elipsa Elipsa je určena středem S a dvěma ohnisky F1 a F2.

20.4.2009 9:36:55


14 z 68


1

Rovnice elipsy se středem v počátku soustavy souřadnic

Nechť pro body platí: X[x; y]; F1[e; 0]; F2[-e; 0]

20.4.2009 9:36:55


15 z 68


1

Středový tvar rovnice elipsy Odvození středového tvaru rovnice elipsy se středem S[m; n] lze provést např. pro případ elipsy, jejíž hlavní osa je rovnoběžná s osou x. Bod X[x; y] je libovolným bodem elipsy v soustavě souřadnic.

Posune-li se soustava souřadnic tak, aby počátek O´ soustavy souřadnic splynul se středem S elipsy a hlavní osa byla rovnoběžná s osou x, pak střed S bude mít v soustavě souřadnic souřadnice S[0; 0] a souřadnice libovolného bodu X[x´; y´].

20.4.2009 9:36:55


16 z 68


1

Je-li hlavní osa elipsy rovnoběžná s osou y a střed elipsy neleží v počátku soustavy souřadné, pak středový tvar rovnice elipsy je dán rovnicí:

Pozn.: Středový tvar rovnice elipsy se někdy také nazývá osová rovnice elipsy.

Obecná rovnice elipsy

20.4.2009 9:36:55


17 z 68


1

Ukázkové příklady: Příklad 1: Napište rovnici elipsy se středem S[0; 0] a hlavní osou totožnou s osou x, je-li délka hlavní poloosy 3, vedlejší poloosy 1. Zjistěte souřadnice ohnisek elipsy.

20.4.2009 9:36:55


18 z 68


1

Řešení: a = 3, b = 1. Dosadíme do rovnice

x2 y2 + =1 a2 b2 Elipsa má rovnici:

x2 y2 + =1 9 1 2

2

2

Ze vztahu a = e + b je

e = a2 - b2 Po dosazení:

e = 9 -1 e = 2Ö2 Elipsa má excentricitu 2Ö2. Souřadnice ohnisek F1, F2 jsou po řadě [2Ö2; 0], [-2Ö2; 0]. Příklad 2: 2

2

Zjistěte délku hlavní a vedlejší poloosy a excentricitu elipsy dané rovnicí x + 4y = 9. Řešení: Rovnici elipsy upravíme na osový (středový) tvar

x2 y2 + =1 9 9 4 Odtud a = 3, b = 1,5

9 3 = 3 4 2

e = 9-

Elipsa má střed S[0; 0]; hlavní osa elipsy je totožná s osou x (a > b); a = 3, b = 3/2, e = 1,5.Ö3. Příklad 3: Napište rovnici elipsy, která má hlavní osu rovnoběžnou s osou x, střed S[1; 3], ohnisko F[-4; 3], a délku vedlejší poloosy b = 4. Řešení: 2

2

2

Délku hlavní poloosy vypočítáme ze vztahu a = e + b , kde b = 4, e = |FS| =

=

(- 4 - 1)2 + (3 - 3)2

2

2

=5

2

a = 5 + 4 = 41 Elipsa má rovnici:

(x - 1)2 + ( y - 3)2 = 1 41

20.4.2009 9:36:55

16


19 z 68


1

Vzájemná poloha bodu a elipsy

Příklad 4: 2

2

Rozhodněte o vzájemné poloze bodů A[-2; 1], B[5/2; 1] a elipsy dané rovnicí 3x + 8y = 24.

20.4.2009 9:36:55


20 z 68


1

Řešení: Upravíme rovnici na osový tvar:

x2 y2 + =1 8 3 a zjistíme, zda hodnota výrazu na levé straně po dosazení souřadnic daného bodu je rovna buď 1 (pak bod leží na elipse), nebo je menší než 1 (pak bod leží ve vnitřní oblasti elipsy), nebo je větší než 1 (pak bod leží vně elipsy). Pro souřadnice bodu A platí:

(- 2)2 + 12 = 5 8

3

6

Protože 5/6 < 1, je bod A bodem vnitřní oblasti elipsy. Pro souřadnice bodu B platí: 2

æ5ö ç ÷ 2 è 2 ø + 1 = 107 8 3 96 Protože 107/96 > 1, je bod B bodem vnější oblasti elipsy.

± Elipsa - procvičovací příklady 1.

2775 Výsledek:

2.

2774 Výsledek:

3.

2776 Výsledek:

4.

2777 Výsledek:

5.

2773 Výsledek:

6.

2771 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


21 z 68


1

7.

2778 Výsledek:

8.

2772 Výsledek:

± Vzájemná poloha přímky a elipsy

Vzájemná poloha přímky a elipsy Pro vzájemnou polohu přímky a elipsy platí obdobná fakta jako pro vzájemnou polohu přímky a kružnice. Přímka tedy může být buď sečnou (tj. má s elipsou společné dva různé body), tečnou (tj. má s elipsou společný jediný bod), nebo vnější přímkou (tj. nemá s elipsou společný žádný bod). Vzájemnou polohu přímky a elipsy zjišťujeme stejně jako vzájemnou polohu přímky a kružnice, tzn. řešením soustavy jejich rovnic. Při dosazování vždy dosazujeme za neznámé z rovnice přímky do rovnice elipsy. Soustava má buď dvě řešení, nebo jedno řešení, nebo nemá řešení v oboru reálných čísel, podle toho, zda přímka a elipsa mají společné buď dva body, nebo jeden bod, nebo nemají společný žádný bod. Příklad 1: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x + 2y - 25 = 0 a elipsy dané rovnicí 4x + 9y = 900. Řešení: Vzájemnou polohu přímky a elipsy zjistíme řešením soustavy rovnic: x + 2y - 25 = 0 2 2 4x + 9y = 900 ---------------------Z první rovnice je: x = -2y + 25 Dosadíme do druhé rovnice: 2 2 4(-2y + 25) + 9y = 900 Dostáváme kvadratickou rovnici 2 y - 16y + 64 = 0, její diskriminant je 2 D = (-16) - 4 . 1 . 64 = 0 Kvadratická rovnice má řešení y = 8. Dosazením do první rovnice soustavy dostaneme x = 9. Přímka je tečnou elipsy. Dotykový bod T má souřadnice [9; 8]. Příklad 2: 2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky dané parametrickým vyjádřením x = 5 + 3t, y = 2t a elipsy o rovnici x + 2 0,25y = 1. Řešení: 2

2

(5 + 3t) + 0,25(2t) = 1 2 5t + 15t + 12 = 0 2

Diskriminant kvadratické rovnice je D = 15 - 4 . 12 . 5 = -15, D < 0. Tato kvadratická rovnice nemá řešení v oboru reálných čísel.

20.4.2009 9:36:55


22 z 68


1

Přímka je tedy vnější přímkou elipsy.

± Vzájemná poloha přímky a elipsy - procvičovací příklady 1.

2780 Výsledek:

2.

2786 Výsledek:

3.

2779 Výsledek:

4.

2783

Výsledek:

6,51

5.

2788 Výsledek:

6.

2789 Výsledek:

7.

2782 Výsledek:

6,93

8.

2781 Výsledek:

(= vnější přímka)

± Hyperbola

Hyperbola

20.4.2009 9:36:55


23 z 68


20.4.2009 9:36:55

1


24 z 68


1

Rovnice hyperboly se středem v počátku souřadného systému Nechť je dána hyperbola se středem v bodě S[0; 0] a hlavní poloosou totožnou s osou x.

Středový tvar rovnice hyperboly

20.4.2009 9:36:55


25 z 68


1

Obecná rovnice hyperboly

20.4.2009 9:36:55


26 z 68


1

Asymptoty hyperboly

20.4.2009 9:36:55


27 z 68


1

Rovnoosá hyperbola

20.4.2009 9:36:55


28 z 68


20.4.2009 9:36:55

1


29 z 68


1

Vzájemná poloha bodu a hyperboly

Pro vnitřek hyperboly se středem S[m; n] platí nerovnice:

Pro polohu bodů hyperboly se středem S[m; n] platí rovnice:

20.4.2009 9:36:55


30 z 68


1

Pro vnějšek hyperboly se středem S[m; n] platí nerovnice:

Ukázkové příklady: Příklad 1: Napište rovnici hyperboly, která má délku hlavní poloosy 6, výstřednost 9 a ohniska F1[e; 0], F2[-e; 0]. Řešení: Ohniska F1, F2 leží na ose x, střed S má souřadnice [0; 0], osa hyperboly je totožná s osou x. Hyperbola má rovnici

x2 y2 =1 a2 b2 2

2

2

Vypočítáme b ze vztahu b = e - a 2

2

2

2

b = 9 - 6 = 45 Hyperbola má rovnici

x2 y2 =1 36 45 Příklad 2: Napište rovnici hyperboly se středem hyperboly 8 a vzdálenost ohnisek 10.

S[0; 0] a hlavní osou totožnou s osou

x, je-li vzdálenost vrcholů

Řešení: Vzdálenost vrcholů hyperboly je 2a = 8, z toho a = 4. Vzdálenost ohnisek je 2e = 10, z toho e = 5. Zbývá 2 2 2 2 vypočítat b ze vztahu b = e - a

20.4.2009 9:36:55


31 z 68

M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 4ODK 2

2

1

2

b =5 -4 =9 Hyperbola má rovnici

x2 y2 =1 16 9 Příklad 3: 2

2

Hyperbola je daná rovnicí 9(x - 5) - 16(y + 3) = 576. Zjistěte souřadnice jejího středu, její výstřednost a délky jejích poloos. Řešení: 2

2

Rovnici 9(x - 5) - 16(y + 3) = 576 upravíme na tvar:

(x - 5)2 - ( y + 3)2 = 1 64

36

Hyperbola má střed S[5; -3], hlavní osu rovnoběžnou s osou x, délky poloos a = 8, b = 6. 2 2 2 Výstřednost hyperboly zjistíme ze vztahu e = a + b 2

e = 64 + 36 = 100 e = 10 Hyperbola má výstřednost 10. Příklad 4: 2

2

Hyperbola je daná rovnicí 9(x - 5) - 16(y + 3) = 576. Zjistěte souřadnice ohnisek hyperboly. Řešení: Příklad budeme řešit posunutím soustavy souřadnic Oxy, v níž má střed S hyperboly souřadnice [5; -3]. Soustavu souřadnic Oxy posuneme tak, aby střed S byl totožný s počátkem soustavy souřadnic O´xý´. Mezi souřadnicemi bodu X[x; y] hyperboly v soustavě souřadnic Oxy a souřadnicemi [x´; y´] tohoto bodu v soustavě souřadnic O´xý´ platí vztahy: x´= x - m y´= y - n Čísla m, n jsou souřadnice středu S hyperboly v soustavě souřadnic Oxy. Hyperbola má střed S[5; -3], hlavní osu rovnoběžnou s osou x, délky poloos a = 8, b = 6. 2 2 2 Výstřednost hyperboly zjistíme ze vztahu e = a + b 2

e = 64 + 36 = 100 e = 10 Známe tedy souřadnice ohnisek v soustavě souřadnic O´xý´: F1[10; 0], F2[-10; 0]. Zbývá vypočítat souřadnice ohnisek v soustavě Oxy. Ze vztahů x´= x - m y´= y - n dostaneme: x = x´+ m y = y´+ n Vypočítáme souřadnice ohnisek F1, F2 v soustavě souřadnic Oxy s využitím vztahů x = x´+ m y = y´+ n F1: [10 + 5; 0 + (-3)] = [15; -3]

20.4.2009 9:36:55


32 z 68


1

F2: [-10 + 5; 0 + (-3)] = [-5; -3] 2

2

Ohniska hyperboly 9(x - 5) - 16(y + 3) = 576 mají souřadnice [15; -3], [-5; -3].

± Hyperbola - procvičovací příklady 1.

2801 Výsledek:

2.

2790

Výsledek:

3.

2797 Výsledek:

4.

2795 Výsledek:

5.

2793 Výsledek:

6.

2800 Výsledek:

7.

2798 Výsledek:

8.

2792 Výsledek:

9.

2794 Výsledek:

10.

2796 Výsledek:

± Vzájemná poloha přímky a hyperboly

Vzájemná poloha přímky a hyperboly 20.4.2009 9:36:55


33 z 68


20.4.2009 9:36:55

1


34 z 68


20.4.2009 9:36:55

1


35 z 68


1

Ukázkové příklady: Příklad 1: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 10x - 3y - 32 = 0 a hyperboly o rovnici 4x - y = 64. Řešení: Řešíme soustavu rovnic: 10x - 3y - 32 = 0 2 2 4x - y = 64 Z první rovnice vypočítáme y y = (1/3) . (10x - 32) a dosadíme do druhé rovnice: 2 2 4x - [(1/3) . (10x - 32)] = 64 2 x - 10x + 25 = 0 Daná přímka tedy není ani asymptotou hyperboly, ani přímkou s asymptotou hyperboly rovnoběžnou; daná přímka může být sečnou, tečnou nebo vnější přímkou hyperboly. Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: 2

D = (-10) - 4 . 25 = 0 Kvadratická rovnice má tedy jediné řešení x = 5. Dosazením do rovnice y = (1/3) . (10x - 32) dostaneme y = 6. Přímka a hyperbola mají společný jediný bod T[5; 6]. Přímka je tečnou hyperboly. Příklad 2: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - y - 2 = 0 a hyperboly o rovnici x - 4y = 7. Řešení: Řešíme soustavu rovnic x-y-2=0 2 2 x - 4y = 7 Z první rovnice vypočítáme y:

20.4.2009 9:36:55


36 z 68


1

y=x-2 a dosadíme do druhé rovnice: 2

2

x - 4. (x - 2) = 7 2 3x - 16x + 23 = 0 Rovnice je kvadratická, přímka tedy není ani asymptota hyperboly, ani není s asymptotou rovnoběžná; může být tečna, sečna nebo vnější přímka hyperboly. Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: 2

D = (-16) - 4 . 3 . 23 = 256 - 276 = -20 D < 0, kvadratická rovnice, a tedy ani daná soustava rovnic nemají řešení. Přímka p je tedy vnější přímkou hyperboly. Příklad 3: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x - 2y + 2 = 0 a hyperboly o rovnici x - 4y = 8. Řešení: Řešíme soustavu rovnic: x - 2y + 2 = 0 2 2 x - 4y = 8 Z první rovnice vypočítáme např. x: x = 2y - 2 a dosadíme do druhé rovnice: 2 2 (2y - 2) - 4y = 8 Po úpravách dostaneme: 2y + 1 = 0 Vzniklá rovnice je lineární a má jediné řešení y = -0,5; dosazením do rovnice x = 2y - 2 dostaneme x = -3. Přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly a má s hyperbolou jediný společný bod A[-3; -0.5]. 2

2

Ověřne ještě naše tvrzení, že daná přímka je rovnoběžná s asymptotou hyperboly o rovnici x - 4y = 8. Napišme rovnici této přímky ve směrnicovém tvaru: y = 0,5x + 1 K napsání rovnice asymptoty dané hyperboly potřebujeme znát délky jejích poloos. Upravíme rovnici hyperboly na tvar:

x2 y2 =1 8 2 Odtud vidíme, že: a = Ö8 = 2Ö2,

b = Ö2

Rovnice asymptot této hyperboly jsou y = 0,5x, y = -0,5x Přímka daná rovnicí y = 0,5x + 1 a asymptota hyperboly o rovnici y = 0,5x mají stejnou směrnici; jsou tedy rovnoběžné. Příklad 4: 2

2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: x = 3 - t, y = -1 + t a hyperboly o rovnici 9x - 4y = 36. Řešení:

20.4.2009 9:36:55


37 z 68


1

Z parametrického vyjádření přímky x = 3 - t, y = -1 + t dosadíme za x a y do rovnice hyperboly: 2 2 9.(3 - t) - 4(-1 + t) = 36 2 5t - 46t + 41 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: 2 D = (-46) - 4 . 5 . 41 = 1296 D > 0, kvadratická rovnice má tedy dva různé reálné kořeny: t1 = 41/5, t2 = 1. Dosazením t1 = 41/5 do parametrického vyjádření přímky dostaneme x1 = -26/5, y1 = 36/5; dosazením t2 = 1 do parametrického vyjádření přímky dostaneme x2 = 2, y2 = 0. Přímka má tedy s hyperbolou společné dva různé body A[-26/5; 36/5], B[2; 0]. Přímka je sečnou hyperboly.

± Vzájemná poloha přímky a hyperboly - procvičovací příklady 1.

2799

Výsledek:

2.

2802

Výsledek:

3.

2791 Výsledek:

4.

2803

Výsledek:

± Parabola

Parabola

20.4.2009 9:36:55


38 z 68


1

Vrcholová rovnice paraboly s vrcholem v počátku souřadného systému

20.4.2009 9:36:55


39 z 68


1

Vrcholová rovnice paraboly s vrcholem v libovolném bodě

20.4.2009 9:36:55


40 z 68


1

Zobecnění (pro různé polohy vrcholu vzhledem k ohnisku):

20.4.2009 9:36:55


41 z 68


1

Obecná rovnice paraboly

20.4.2009 9:36:55


42 z 68


1

Vzájemná poloha bodu a paraboly

20.4.2009 9:36:55


43 z 68


1

Ukázkové příklady: Příklad 1: 2

Parabola má rovnici y = 6x. Zjistěte souřadnice ohniska F paraboly, parametr p paraboly a napište rovnici řídící přímky d paraboly. Řešení: 2

Parabola y = 6x má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F na kladné poloose x; porovnáme-li její 2 rovnici s rovnicí y = 2px, dostaneme: 2p = 6 p=3 Parabola má parametr 3. Ohnisko má souřadnice [0,5p; 0], to znamená F[1,5; 0]. Řídící přímka d má rovnici x = -0,5p, dosadíme p = 3 a dostaneme d: x = -1,5.

20.4.2009 9:36:55


44 z 68


1

Příklad 2: Napište rovnici paraboly, která má vrchol v počátku soustavy souřadnic a ohnisko F[0; -2]. Řešení: 2

Ohnisko paraboly je na záporné poloose y, to znamená, že parabola má rovnici x = -2py. Víme, že |VF| = 0,5p. |VF| = |-2 - 0| = 2 2 = 0,5p p=4 2

Dosadíme do rovnice x = -2py: 2

x = -2 . 4 . y 2

Parabola má rovnici x = -8y. Příklad 3: Napište rovnici paraboly, která má vrchol V[-2; 1], prochází bodem A[0; 3] a má osu rovnoběžnou s osou y. Řešení: Bod A leží nad vrcholem V; parabola bude mít rovnici: 2 (x - m) = 2p(y - n) Dosadíme do této rovnice souřadnice vrcholu V: 2 (x + 2) = 2p(y - 1) Parametr p zjistíme dosazením souřadnic bodu A, který leží na parabole, do rovnice 2 (x + 2) = 2p(y - 1) 2 (0 + 2) = 2p(3 - 1) p=1 2

Dosadíme p = 1 do rovnice (x + 2) = 2p(y - 1). 2

Parabola má rovnici (x + 2) = 2(y - 1). Příklad 4: Zjistěte souřadnice ohniska paraboly z předcházejícího příkladu a rovnici její řídící přímky. Řešení: Příklad budeme řešit posunutím soustavy souřadnic Oxy., ve které má parabola rovnici 2 (x + 2) = 2(y - 1). Posuneme soustavu souřadnic tak, aby počátek O´ nové soustavy souřadnic O´xý´ splynul s vrcholem paraboly V[-2; 1] a osa paraboly byla rovnoběžná s osou y; vrchol V má v O´xý´ souřadnice [0; 0]. Daná parabola má v soustavě souřadnic O´xý´rovnici 2 (x´) = 2y´ Ohnisko F má v O´xý´souřadnice [x´F; y´F] = [0; 0,5p] = [0; 0,5]. Řídící přímka paraboly má v O´xý´rovnici: y´= -0,5p y´= -0,5 S využitím vztahů

20.4.2009 9:36:55


45 z 68


1

x´= x - m y´= y - n napíšeme rovnici řídící přímky paraboly v soustavě souřadnic Oxy: y - 1 = -0,5 y - 0,5 = 0 Ze vztahů x´= x - m y´= y - n dostaneme x = x´+ m y = y´+ n Vypočítáme souřadnice xF, yF ohniska F v soustavě souřadnic Oxy: xF = x´F + m = 0 + (-2) = -2 yF = y´F + n = 0,5 + 1 = 1,5 2

Parabola o rovnici (x + 2) = 2(y - 1) má ohnisko F[-2; 1,5]; její řídící přímka má rovnici y - 0,5 = 0.

± Parabola - procvičovací příklady 1.

2818 Výsledek:

2.

2827

Výsledek:

3.

2825 Výsledek:

4.

2815 Výsledek:

5.

2816 Výsledek:

6.

2805 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


46 z 68


1

7.

2819 Výsledek:

8.

2826 Výsledek:

9.

2820 Výsledek:

10.

2843 Výsledek:

11.

2811 Výsledek:

12.

2823 Výsledek:

13.

2806

Výsledek:

14.

2813 Výsledek:

15.

2844 Výsledek:

16.

2812

Výsledek:

17.

2821 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


47 z 68


1

18.

2817 Výsledek:

19.

2845 Výsledek:

20.

2828 Výsledek:

21.

2814 Výsledek:

22.

2824 Výsledek:

23.

2822

Výsledek:

± Vzájemná poloha přímky a paraboly

Vzájemná poloha přímky a paraboly

20.4.2009 9:36:55


48 z 68


1

Ukázkové příklady:

20.4.2009 9:36:55


49 z 68


1

Příklad 1: 2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 3x - 7y + 30 = 0 a paraboly o rovnici y = 9x. Řešení: Řešíme soustavu rovnic: 3x - 7y + 30 = 0 2 y = 9x Z první rovnice vypočítáme x: x = (1/3) . (7y - 30) a dosadíme do druhé rovnice: 2 y = 9 . (1/3) . (7y - 30) 2 y - 21y + 90 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: 2 D = (-21) - 4 . 90 = 441 - 360 = 81 D > 0, kvadratická rovnice má tedy dva reálné různé kořeny y1 = 15, y2 = 6. Dosazením těchto kořenů do rovnice x = (1/3) . (7y - 30) dostaneme x1 = 25 a x2 = 4 Přímka p je sečnou paraboly, protíná ji v bodech A[25; 15], B[4; 6]. Příklad 2: 2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: 2x - 2y + 5 = 0 a paraboly o rovnici y = 10x. Řešení: Řešíme soustavu rovnic: 2x - 2y + 5 = 0 2 y = 10x Z první rovnice vypočítáme x: x = 0,5(2y - 5) a dosadíme za x do druhé rovnice: 2 y = 10 . 0,5 . (2y - 5) 2 y - 10y + 25 = 0 Vypočítáme diskriminant kvadratické rovnice: 2 D = 10 - 4 . 25 = 0 D = 0, kvadratická rovnice má tedy jediný kořen y = 5. Dosazením y = 5 do rovnice x = 0,5(2y - 5) dostaneme x = 2,5. Přímka p je tečnou paraboly, dotykový bod T má souřadnice [2,5; 5]. Příklad 3: 2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: y - 3 = 0 a paraboly o rovnici y = -4x. Řešení: Řešíme soustavu rovnic:

20.4.2009 9:36:55


50 z 68


1

y-3=0 2 y = -4x Z první rovnice dostaneme y = 3. Dosadíme do druhé rovnice: 2 3 = -4x x = -9/4 Přímka p má s parabolou společný jediný bod [-9/4; 3]; není však tečnou paraboly, protože je rovnoběžná s osou paraboly o: y = 0. Příklad 4: 2

Zjistěte vzájemnou polohu přímky p: y - 4 = 0 a paraboly o rovnici x = 2y. Řešení: Řešíme soustavu rovnic: y-4=0 2 x = 2y Z první rovnice dostaneme y = 4. Dosadíme do druhé rovnice 2 x =2.4 2 x =8 Tato rovnice má dvě řešení x1 = 2Ö2, x2 = -2Ö2. Přímka p je sečnou paraboly, protíná parabolu v bodech A[2Ö2; 4], B[-2Ö2; 4].

± Vzájemná poloha přímky a paraboly - procvičovací příklady 1.

2842 Výsledek:

2.

2831 Výsledek:

16

3.

2847 Výsledek:

4.

2807 Výsledek:

5.

2810 Výsledek:

6.

2808 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


51 z 68


1

7.

2840 Výsledek:

8.

2829 Výsledek:

9.

2833

Výsledek:

10.

2846

Výsledek:

11.

2839 Výsledek:

12.

2841 Výsledek:

13.

2832

Výsledek:

14.

2804 Výsledek:

15.

2835 Výsledek:

16.

2809 Výsledek:

17.

2837 Výsledek:

18.

2830 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


52 z 68


1

19.

2834

Výsledek:

20.

2836 Výsledek:

21.

2838 Výsledek:

± Kombinatorika

Kombinatorika Kombinatorika je odvětví matematiky, které se zabývá výpočty počtu možnosti, které mohou nastat v různých situacích; zabývá se například situacemi, kdy počítáme, kolik různých skupin můžeme vytvořit z několika prvků dané množiny. Můžeme při tom respektovat různá kritéria - můžeme například uvažovat situaci, že nám bude, nebo naopak nebude, záležet na pořadí prvků ve vytvořených skupinách, můžeme se předem rozhodnout, zda prvky povolíme opakovat, či ne. Podle toho v kombinatorice rozlišujeme tzv. variace (záleží na pořadí prvků ve skupině), kombinace (nezáleží na pořadí prvků ve skupině), případně permutace (zvláštní případ variací). Příkladem variací může být příklad, kdy máme množinu o třech prvcích, které tvoří číslice 2, 7, 9. V této množině chceme vytvořit skupiny číslic, které mohou tvořit všechna dvojciferná čísla. Pak je určitě každému jasné, že číslo 27 nebude totéž jako číslo 72. Pokud budeme uvažovat variace s opakováním, pak připustíme i možnost existence čísel 22, 77, 99. Pokud bychom chtěli z uvedených číslic vytvářet pouze trojciferná čísla, pak hovoříme o permutacích. I ty můžeme mít s opakováním prvků. S kombinacemi se setkáme například tehdy, půjdeme-li si vsadit Sportku. Budeme mít na výběr 49 čísel, z nichž musíme vsadit skupinu šesti. Je ale úplně jedno, v jakém pořadí je do tiketu zapíšeme, stejně tak nezáleží na tom, v jakém pořadí budou čísla tažena. Kombinace s opakováním bude opět znamenat to, že připustíme možnost opakování prvků. To už ale není případ uvedené Sportky. Počet prvků, z nichž budeme skupiny (podmnožiny) vytvářet, budeme označovat písmenem n. Počet prvků ve skupině, kterou z dané množiny vytvoříme, budeme označovat písmenem k. Zapisovat budeme: Vk(n) ... čteme Ck(n) ... čteme P(n) ... čteme ´ V k(n) ... čteme ´ C k(n) ... čteme ´ P (n) ... čteme

variace k-té třídy z n prvků kombinace k-té třídy z n prvků permutace z n prvků variace s opakováním k-té třídy z n prvků kombinace s opakováním k-té třídy z n prvků permutace s opakováním z n prvků

Pozn.: Permutace z n prvků není vlastně nic jiného než variace n-té třídy z n prvků Zatím se budeme zabývat pouze kombinatorikou bez opakování prvků, proto v našich případech bude číslo n vždy číslo přirozené a číslo k vždy menší nebo rovno n. Při výpočtech příkladů v kombinatorice budeme potřebovat tzv. faktoriály. Zapisujeme n! a čteme "en faktoriál". Pro faktoriály platí:

20.4.2009 9:36:55


53 z 68


1

0! = 1 1! = 1 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 . . . n! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 3 . 2 . 1 S faktoriály můžeme řešit příklady, upravovat (zjednodušovat) výrazy, případně i řešit rovnice. Příklad 1: Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo:

n2 - 9 6 1 + (n + 3)! (n + 2)! (n + 1)! Řešení:

(n + 3)(. n - 3) + 6 - 1 = n2 - 9 6 1 + = (n + 3)! (n + 2)! (n + 1)! (n + 3)(. n + 2)! (n + 2)! (n + 1)! n-3 6 1 n - 3 + 6 - (n + 2 ) 1 = + = = (n + 2)! (n + 2)! (n + 1)! (n + 2)! (n + 2)! Příklad 2: Upravte následující výraz, je-li n libovolné přirozené číslo:

(n - 1)! + (3n + 3)! (n + 1)! (3n + 4)! Řešení:

(n - 1)! + (3n + 3)! = (n - 1)! + (3n + 3)! = (n + 1)! (3n + 4)! (n + 1).n.(n - 1)! (3n + 4)(. 3n + 3)! 1 1 3n + 4 + n.(n + 1) n 2 + 4n + 4 = + = = = n.(n + 1) (3n + 4 ) n.(n + 1)( . 3n + 4 ) n.(n + 1)( . 3n + 4 ) 2 ( n + 2) = n.(n + 1)( . 3n + 4 ) Příklad 3: Upravte nerovnici tak, aby její pravá strana byla rovna nule, a rozhodněte, zda je daná nerovnost pro libovolné přirozené n splněna. n! + (n + 3)! > (n + 1)! + (n + 2)! Řešení: n! + (n + 3)! - (n + 1)! - (n + 2)! > 0 n! + (n +3) . (n + 2) . (n + 1) . n! - (n + 1) . n! - (n + 2) . (n + 1) . n! > 0 n! . [1 + (n +3) . (n + 2) . (n + 1) - (n + 1) - (n + 2) . (n + 1)] > 0 3 2 2 2 n! . (1 + n + 5n + 6n +n + 5n + 6 - n - 1 - n - 3n - 2) > 0 3 2 n! . ( n + 5n + 7n + 4) > 0 Protože n! je zaručeně kladné číslo, můžeme tímto výrazem nerovnici vydělit a znaménko nerovnosti se nezmění

20.4.2009 9:36:55


54 z 68


1

2

n + 5n + 7n + 4 > 0 Levá strana je pro přirozené číslo n zaručeně kladná, proto nerovnice je splněna vždy. Při řešení příkladů z kombinatoriky budeme potřebovat i tzv. kombinační čísla. Zapisujeme

ænö çç ÷÷ èk ø Čteme "en nad k". Platí:

ænö n! çç ÷÷ = è k ø (n - k )!.k! Vlastnosti kombinačních čísel:

ænö n! çç ÷÷ = =n è1 ø (n - 1)!.1! ænö n! çç ÷÷ = =1 è n ø (n - n )!.n!

ænö n! çç ÷÷ = =1 è 0 ø (n - 0 )!.0! æ0ö 0! çç ÷÷ = =1 è 0 ø (0 - 0 )!.0!

ænö æn ö çç ÷÷ = çç ÷÷ k n k è ø è ø æ n ö æ n ö æ n + 1ö çç ÷÷ + çç ÷÷ = çç ÷÷ è k ø è k + 1ø è k + 1ø

æn ö n - k ænö çç ÷÷ = .çç ÷÷ k + 1 k + 1 è ø èk ø Příklad 4: V přirozených číslech řešte rovnici:

æ 7 ö æ x + 2 ö æ 5 ö æ x + 1ö æ xö çç ÷÷.çç ÷÷ - çç ÷÷.çç ÷÷ = 10.çç ÷÷ è1 ø è x ø è 3 ø è x - 1ø è0ø Řešení:

æ 7 ö æ x + 2 ö æ 5 ö æ x + 1ö æ xö çç ÷÷.çç ÷÷ - çç ÷÷.çç ÷÷ = 10.çç ÷÷ è1 ø è x ø è 3 ø è x - 1ø è0ø

7.

(x + 2)! 2!.x!

5! ( x + 1)! . = 10.1 2!.3! 2!.( x - 1)!

7.( x + 2 )( . x + 1) 5.4 ( x + 1).x . = 10 2 2 2 20.4.2009 9:36:55


55 z 68


1

2

14x + 42x + 28 - 20x - 20x = 40 2 -6x + 22x - 12 = 0 2 3x - 11x + 6 = 0 x1 = 3 x2 = 2/3 - nevyhovuje (není přirozené číslo) Rovnice má tedy jediné řešení, a to x = 3.

± Kombinatorika - procvičovací příklady 1.

1219 Výsledek:

3

2.

1213 Výsledek:

43

3.

1208

Výsledek:

4.

1211

Výsledek:

2

5.

1207

Výsledek:

0

6.

1218 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


56 z 68


1

7.

1225

Výsledek:

4

8.

1210

Výsledek:

2

9.

1205

Výsledek:

10.

1214 Výsledek:

0,167

11.

1204

Výsledek:

0

12.

1216 Výsledek:

0

13.

1224

Výsledek:

20.4.2009 9:36:55

7


57 z 68


1

14.

1220

Výsledek:

3

15.

1217 Výsledek:

16.

1222

Výsledek:

5

17.

1215 Výsledek:

0

18.

1209

Výsledek:

19.

1206

Výsledek:

2

20.

1212 Výsledek:

210

21.

1221

Výsledek:

20.4.2009 9:36:55


58 z 68


1

22.

1223

Výsledek:

0

± Kombinace bez opakování

Kombinace bez opakování prvků Mějme množinu M o n různých prvcích (n je přirozené číslo) a dále je dáno přirozené číslo k £ n. Pak skupina, která obsahuje k různých prvků množiny M sestavených v libovolném pořadí se nazývá kombinace k-té třídy z n prvků. Budeme zapisovat: Ck(n) Pro výpočet kombinací bez opakování prvků můžeme snadno použít kombinační čísla. Platí totiž:

ænö n! Ck (n ) = çç ÷÷ = è k ø (n - k )!.k! Pozn.: U kombinací bez opakování prvků musí být číslo k vždy menší nebo rovno číslu n. Příklad 1: Určete výčtem všechny kombinace druhé třídy z prvků 3; 5; 7; 9. Řešení: 1. způsob: Úvahou {3; 5} {3; 7} {3; 9} {5; 7} {5; 9} {7; 9} 2. způsob: Pomocí kombinatoriky n=4 k=2 C2 (4) = ? --------------------

ænö n! Ck (n ) = çç ÷÷ = è k ø (n - k )!.k! æ 4ö 4! C2 (4 ) = çç ÷÷ = è 2 ø (4 - 2 )!.2! C2 (4) = 6 Celkem můžeme vytvořit 6 různých skupin. Příklad 2: Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu tříčlenný výbor.

20.4.2009 9:36:55


59 z 68


1

Řešení: n = 30 k=3 C3 (30) = ? --------------------

ænö n! Ck (n ) = çç ÷÷ = è k ø (n - k )!.k! æ 30 ö 30! C3 (30 ) = çç ÷÷ = è 3 ø (30 - 3)!.3! C3 (30) = 4 060 Tříčlenný výbor může shromáždění zvolit celkem 4 060 způsoby. Příklad 3: K účasti na volejbalovém turnaji se přihlásilo šest družstev. Určete počet všech utkání, hraje-li se turnaj systémem každý s každým. Řešení: n=6 k=2 C2 (6) = ? --------------------

ænö n! Ck (n ) = çç ÷÷ = è k ø (n - k )!.k! æ6ö 6! C2 (6 ) = çç ÷÷ = è 2 ø (6 - 2 )!.2! C2 (6) = 15 Počet utkání je 15. Příklad 4: Určete, kolik přímek je dáno deseti body, jestliže: a) žádné tři z nich neleží v přímce b) právě čtyři z nich leží v přímce Řešení: ad a) n = 10 k=2 C2 (10) = ? --------------------

ænö n! Ck (n ) = çç ÷÷ = è k ø (n - k )!.k! æ10 ö 10! C2 (10) = çç ÷÷ = è 2 ø (10 - 2)!.2! C2 (10) = 45 Pokud žádné tři body neleží v přímce, pak je deseti body určeno celkem 45 přímek.

20.4.2009 9:36:55


60 z 68


1

ad b) n1 = 10 k=2 n2 = 4 p = ? (celkový počet) --------------------

æn ö æn ö p = Ck (n1 ) - Ck (n2 ) + 1 = çç 1 ÷÷ - çç 2 ÷÷ + 1 = èk ø èk ø n1! n2 ! = +1 (n1 - k )!.k! (n2 - k )!.k! 10! 4! p= +1 (10 - 2)!.2! (4 - 2)!.2! p = 40 Deseti body, z nichž právě čtyři leží v jedné přímce, je určeno 40 různých přímek. Příklad 5: Určete, kolika způsoby může utvořit patnáct chlapců a deset dívek taneční pár. Řešení: Od celkového počtu dvojic musíme odečíst dvojice vytvořené jen z chlapců a dvojice vytvořené jen z dívek. n1 = 15 + 10 = 25 k=2 n2 = 15 n3 = 10 p = ? (celkový počet) --------------------

æn ö æn ö æn ö p = Ck (n1 ) - Ck (n2 ) - Ck (n3 ) = çç 1 ÷÷ - çç 2 ÷÷ - çç 3 ÷÷ = èk ø èk ø èk ø n3! n1! n2 ! = (n1 - k )!.k! (n2 - k )!.k! (n3 - k )!.k! 25! 15! 10! p= (25 - 2)!.2! (15 - 2)!.2! (10 - 2)!.2! p = 150 Celkem lze vytvořit 150 různých tanečních párů.

± Kombinace bez opakování - procvičovací příklady

20.4.2009 9:36:55


61 z 68


1

1.

1229 Výsledek:

20

2.

1244 Výsledek:

421

3.

1241

Výsledek:

133 380

4.

1250

Výsledek:

13 723 193

5.

1246

Výsledek:

159 390

6.

1234 Výsledek:

7.

1245

Výsledek:

1 352 025 675

8.

1239

Výsledek:

133 380

9.

1231 Výsledek:

16

10.

1232 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55

8


62 z 68


1

11.

1249 Výsledek:

1 900

12.

1247 Výsledek:

13.

1233 Výsledek:

15

14.

1248 Výsledek:

18

15.

1242

Výsledek:

41 216

16.

1238 Výsledek:

17.

1237 Výsledek:

98 000

18.

1236 Výsledek:

18

19.

1235 Výsledek:

108

20.

1240

Výsledek:

142 155

21.

1230 Výsledek:

35

22.

1243 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55

455


63 z 68


1

± Variace bez opakování prvků

Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků jsou skupiny prvků (podmnožiny) nějaké základní množiny, přičemž v těchto vytvořených podmnožinách záleží na pořadí prvků. Vzhledem k tomu budeme u variací spíše než pojem podmnožiny používat pojem uspořádané k-tice. Platí tedy definice: Variace k-té třídy z n prvků je každá uspořádaná k-tice sestavená pouze z těchto n prvků tak, že každý je v ní obsažen nejvýše jednou. Variace k-té třídy z n prvků zapisujeme Vk (n) Pro výpočet variací k-té třídy z n prvků platí vzorec:

Vk (n ) =

n! (n - k )!

Pomocí kombinačních čísel můžeme pro výpočet variací použít i vzorec následující:

ænö Vk (n ) = çç ÷÷.k! èk ø Příklad 1: Napište všechny variace třetí třídy bez opakování z prvků 3, 5, 7, 9. Řešení: Variace představují uspořádané trojice vytvořené ze zadaných prvků. Můžeme je tedy vypsat: [3; 5; 7], [3; 5; 9], [3; 7; 5], [3; 7; 9], [3; 9; 5], [3; 9; 7], [5; 3; 7], [5; 3; 9], [5; 7; 3], [5; 7; 9], [5; 9; 3], [5; 9; 7], [7; 3; 5], [7; 3; 9], [7; 5; 3], [7; 5; 9], [7; 9; 3], [7; 9; 5], [9; 3; 5], [9; 3; 7], [9; 5; 3], [9; 5; 7], [9; 7; 3], [9; 7; 5] V praxi nás ale většinou nezajímá výčet těchto uspořádaných k-tic, ale pouze jejich počet. Pokud bychom v zadaném příkladu chtěli spočítat počet vzniklých k-tic, pak můžeme použít následující postup: n=4 k=3 V3(4) = ? -------------------

n! (n - k )! 4! V3 (4 ) = = 4!= 24 (4 - 3)!

Vk (n ) =

Celkový počet skupin, které je možno vytvořit, je 24. Příklad 2: Určete, kolika způsoby může shromáždění 30 lidí zvolit ze svého středu předsedu, místopředsedu a zapisovatele. Řešení:

20.4.2009 9:36:55


64 z 68


1

Protože v každé zvolené trojici záleží na tom, která ze zvolených osob je předsedou, která místopředsedou a která zapisovatelem, jde o uspořádané trojice; protože každá osoba z daného shromáždění je v této trojici nejvýše jednou, jsou tyto uspořádané trojice variacetřetí třídy ze třiceti prvků. Platí tedy: n = 30 k=3 V3(30) = ? -------------------

n! (n - k )! 30! V3 (30 ) = = 30.29.28 = 24360 (30 - 3)! Vk (n ) =

Shromáždění může zvolit výbor celkem 24 360 způsoby. Příklad 3: Určete počet všech přirozených čísel menších než 500, v jejichž zápisu jsou pouze cifry 4, 5, 6 a 7, a to každá nejvýše jednou. Řešení: Přirozená čísla menší než 500 mohou být jenom jednociferná, dvojciferná nebo trojciferná. U trojciferných máme navíc už omezení, že nesmí začínat ciframi 5, 6 a 7. n=4 k1 = 1 k2 = 2 k3 = 3 p = ? ... celkový počet čísel ------------------------------------p = V1(4) + V2(4) + V3(4)/4

æ 4ö æ 4ö æ 4ö p = çç ÷÷.1!+çç ÷÷.2!+çç ÷÷.3!: 4 = 4 + 12 + 6 = 22 è1 ø è 2 ø è 3 ø Čísel splňujících dané podmínky je celkem 22.

± Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady 1.

1254

Výsledek:

43 680

2.

1252 Výsledek:

15

3.

1256

Výsledek:

20.4.2009 9:36:55

108


65 z 68


1

4.

1255

Výsledek:

60

5.

1253

Výsledek:

12

6.

1257 Výsledek:

6

7.

1251

Výsledek:

332 640

± Permutace bez opakování prvků

Permutace bez opakování prvků Permutace jsou vlastně zvláštní případ variací. Jedná se tedy opět o skupiny (podmnožiny) vytvořené z jisté základní množiny, přičemž opět záleží na pořadí prvků ve skupinách. Na rozdíl od variací ale vytváříme skupiny vždy ze všech prvků obsažených v základní množině. Platí tedy definice: Permutace z n prvků je každá variace n-té třídy z těchto n prvků. Permutace z n prvků zapisujeme: P(n) Pro výpočet počtu permutací používáme vzorec:

P(n) = n! Příklad 1: Vypište všechna možná pořadí trojčlenného zástupu, který mohou utvořit Petr, Jirka a Karel. Řešení: Jde o výčet všech uspořádaných trojic, v nichž je každý ze tří chlapců právě jednou, tj. o výčet všech permutací tří prvků; tyto prvky označíme P, J, K podle počátečních písmen jmen chlapců. Jsou právě tato pořadí: [P; J; K], [P; K; J], [J; P; K], [J; K; P], [K; P; J], [K; J; P] V praxi nás opět, podobně jako u variací, většinou nezajímá výčet skupin, ale jejich celkový počet. Kdyby v daném příkladu bylo zadáno to, mohli bychom postupovat podle následujícího postupu: n=3 P(3) = ? -------------P(n) = n! P(3) = 3! = 6

20.4.2009 9:36:55


66 z 68


1

Celkem si tedy žáci mohou do zástupu stoupnout šesti způsoby. Příklad 2: Určete počet všech pěticiferných přirozených čísel, v jejichž dekadickém zápisu je každá z číslic 0, 1, 3, 4 a 7. Řešení: Kdyby mezi zadanými číslicemi nebyla číslice nula, pak by se jednalo o běžný výpočet permutace z pěti prvků bez opakování. Výsledné číslo, které by ale začínalo číslicí nula, by nebylo pěticeferné, proto musíme tato čísla vyřadit. Pro určení počtu čísel, která musíme vyřadit, použijeme opět permutace. Pokud si totiž na první pozici pevně postavíme nulu, pak zbývající čtyři pozice musíme obsadit zbylými čtyřmi číslicemi. Počítáme tedy permutace ze čtyř prvků. n1 = 5 n2 = 4 p = ? ... celkový počet ------------------------------p = n1! - n2! = 5! - 4! = 120 - 24 = 96 Hledaný počet všech pěticiferných přirozených čísel požadované vlastnosti je tedy 96. Příklad 3: Na schůzi má vystoupit pět řečníků A, B, C, D a E. Určete: a) kolik je možností pro pořadí jejich proslovů b) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví ihned po A c) kolik je všech pořadí jejich proslovů takových, že řečník B mluví po A Řešení: ad a) n=5 p=? -------------p = P(5) = 5! = 120 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 120. ad b) Pokud má v sestavě existovat pořadí AB, pak můžeme tuto sestavu nahradit pomyslně jediným prvkem a počítat tedy vlastně permutace ze čtyř prvků n=4 p=? --------------p = P(4) = 4! = 24 Celkový počet možností pro pořadí proslovů je 24. ad c) Ke každému pořadí proslovů, v němž B mluví po A, existuje pořadí, v němž A mluví po B, přičemž ostatní proslovy "zůstávají na místě". Vyhovujících je tedy pouze polovina ze všech možných proslovů. n=5 p=? --------------p = p(5)/2 = 5!/2 = 60

20.4.2009 9:36:55


67 z 68


1

Celkový počet možností pro pořadí proslovů je tedy 60.

± Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady 1.

1227 Výsledek:

2 520

2.

1228 Výsledek:

72

3.

1226 Výsledek:

20.4.2009 9:36:55

36


68 z 68


1

Obsah Kuželosečky Kružnice Kružnice - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a kružnice Vzájemná poloha přímky a kružnice - procvičovací příklady Elipsa Elipsa - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a elipsy Vzájemná poloha přímky a elipsy - procvičovací příklady Hyperbola Hyperbola - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a hyperboly Vzájemná poloha přímky a hyperboly - procvičovací příklady Parabola Parabola - procvičovací příklady Vzájemná poloha přímky a paraboly Vzájemná poloha přímky a paraboly - procvičovací příklady Kombinatorika Kombinatorika - procvičovací příklady Kombinace bez opakování Kombinace bez opakování - procvičovací příklady Variace bez opakování prvků Variace bez opakování prvků - procvičovací příklady Permutace bez opakování prvků Permutace bez opakování prvků - procvičovací příklady

20.4.2009 9:36:55


1 2 6 7 12 14 21 22 23 23 33 33 38 38 46 48 51 53 56 59 61 64 65 66 68

M - Příprava na 2. čtvrtletku pro třídu 4ODK

Recommend Documents