´ ´ ´ ´ ´ ´ ZERUSOSZT OK TANULMANYOZ ASA A MARADEKOSZT ALYOK ˝ UJ ˝ EBEN ´ GYUR
Horobet¸ Emil, Babe¸s Bolyai Tudom´anyegyetem, Matematika-Informatika szak, I ´ev T´emavezet˝ o: prof.dr.Mˇ arcu¸s Andrei, Babe¸s Bolyai Tudom´anyegyetem, Algebra tansz´ek K´esz¨ ult a XI. Erd´elyi Tudom´anyos Dik´akk¨ori Konferncia alkalm´ab´ol Kolozsv´ar 2008 m´ajus 23-24
1
2
´s 1. Bevezete Ennek a dolgozatnak a c´elja a z´erusoszt´ok tanulm´anyoz´asa a (Zn , +, ·) gy˝ ur˝ uben ´es seg´ıts´eg¨ ukkel a t¨ ok´eletes sz´amok vizsg´alata. Legel˝osz¨or ´altal´anos megfigyel´esek, mint p´eld´ aul a z´erusoszt´ ok r´eszgy˝ ur˝ uje, a z´erusoszt´ok, nilpotens ´es potens elemek k¨ oz¨ otti ¨ osszef¨ ugg´esek ´es polinomok vizsg´alata a (Zn , +, ·)-ban. A z´erusoszt´ok osszeg´ere vonakoz´ ¨ o eredm´enyek, a val´odi oszt´ok kiv´alogat´asa a z.o-k(z´erusoszt´ok) k¨ oz¨ ul. Befejez´esk´ent pedig egy m´odszer, ahogyan megpr´ob´altam megk¨ozel´ıteni a t¨ ok´eletes sz´ amok probl´em´ aj´ at a z.o-k seg´ıts´eg´evel, vagyis a Zd = {x|(∃)y ∈ Zd , x byb = T S b 0} halmazok vizsg´ alata ´es a (Un = {Zd |d ∈ Zn }, , ) tanulm´anyoz´asa. A t¨ ok´eletes sz´ amok probl´em´ aj´at legel˝osz¨or Euklid´esz fogalmazta meg, az Elemek c´ım˝ u munk´ aj´ aban i.e.300-ban. Ugyanitt r´eszleges v´alaszt adott a p´aros t¨ok´eletes sz´ amok probl´em´ aj´ ara. Ezt k¨ ovet˝oen megjelenik a probl´ema i.sz.100-ban Nichomacusn´ al is. El˝ odei munk´ aj´ at folytatta Thaib ibn Qurra, aki bevezette a Mersenne t´ıpus´ u pr´ımek fogalm´ at. Az´ ota gazdagodott a matematika t¨ort´enete, de a t¨ok´eletes sz´amok probl´em´aja m´eg mindig nincs megoldva teljesen. 1500-t´ol napjainkig rengeteg neves matematikus foglalkozott m´ ar ezzel a t´em´aval, mint p´eld´au ´l Cataldi, Descartes, Fermat, Mersenne, Frenicle, Leibnitz, Euler, Lucas, Catalan, Sylvester, Cunningham, Pepin, Putnam, Lehmer, stb. M´eg napjainkban is sokan foglalkoznak a t´em´aval, hisz nagy jelent˝ os´eggel b´ır a trad´ıci´ oja ´es fontos szerepe van a pr´ımkutat´asban, illetve a modern k´ odol´ asi technik´ ak tov´ abbfejleszt´es´eben is. Ebben a dolgozatban felsoroln´ek n´eh´any eddigi fontos eredm´enyt a t´em´aban, illetve egy´eni megk¨ ozel´ıt´esi m´ odokat ´es egy´eni erdm´enyeket mutatn´ek be. Els˝o sorban a z´erusoszt´ ok vizsg´ alat´ ara alapoztam a munk´amat.
3
´nyek 2. Eddigi eredme Defin´ıci´ o 2.1. T¨ ok´eletes sz´ amnak nevezz¨ uk azt az n ∈ N sz´amot, amely egyenl˝o az oszt´ oinak az ¨ osszeg´evel, ahol az 1-es oszt´onak sz´am´ıt ´es a sz´am maga nem. Pld. 6 = 1 + 2 + 3 Defin´ıci´ o 2.2. A Zn = {x|(∃)y ∈ Zn , x byb = b 0} halmazt a Zn z´erusoszt´oi halmaz´ anak nevezz¨ uk. Defin´ıci´ o 2.3. A Dn = {d ≤ n| d|n} az oszt´ok halmaza. P Defin´ıci´ o 2.4. Legyen s(n) = d|n d az oszt´o f¨ uggv´eny. Defin´ıci´ o 2.5. Legyen σ(n) =
X
d
d|n,d
az oszt´ o¨ osszeg, vagy megszor´ıtott oszt´o f¨ uggv´eny. Megjegyz´es 2.6. A k¨ ozhaszn´ alat´ u jel¨ol´esben ez a k´et f¨ uggv´eny felcser´elve haszn´alatos. K¨ ovetkezm´ eny 2.7. Az n ∈ N akkor ´es csakis akkor t¨ ok´eletes, ha σ(n) = n vagy s(n) = 2n. Defin´ıci´ o 2.8. Egy p ∈ N sz´amot Mersenne pr´ımnek nevez¨ unk, ha p pr´ım ´es ∃k ∈ N : p = 2k − 1. Defin´ıci´ o 2.9. Egy n ∈ N sz´ amot h´aromsz¨og sz´amnak nevez¨ unk, ha ∃k ∈ N : n = k(k+1) . 2 T´ etel 2.10. Ha p pr´ ım, akkor s(n) = p + 1,Q s(pk ) = pk+1 − 1. Q qi Ugyanakkor, ha n = i≤k pi , akkor s(n) = i≤k s(pqi i ). T´ etel 2.11. (Euler) n ∈ N p´ aros t¨ ok´eletes sz´ am ⇔ n = 2p−1 (2p − 1) alak´ u, ahol p 2 − 1 Mersenne pr´ım. T´ etel 2.12. 2p − 1 pr´ım, akkor p is pr´ım. T´ etel 2.13. (Lucas-Lehmer) Adott az (un )n≥1 ,u0 = 4, uk+1 = (u2k − 2)mod n sorozat. Az n = 2p − 1, (p pr´ım), sz´ am, akkor ´es csakis akkor pr´ım, ha up−2 = 0. T´ etel 2.14. (Eaton 1995) n akkor ´es csakis akkor t¨ ok´eletes, ha n = 1 + 9Tp , alak´ u, p(p+1) ahol Tp = 2 ´es p = 8j + 2 alak´ u. T´ etel 2.15. Ha n t¨ ok´eletes sz´ am, akkor X 1 =2 d d∈Dn . T´ etel 2.16. (Makowski 1962) Az egyetlen x3 + 1 alak´ u p´ aros t¨ ok´eletes sz´ am a 28. T´ etel 2.17. (Euler) Ha l´etezik p´ aratlan t¨ ok´eletes sz´ am, akkor az p4r+1 q 2 , alak´ u, ahol p = 4t + 1 alak´ u. T´ etel 2.18. Ha l´etezik p´ aratlan t¨ ok´elet sz´ am, akkor az 12k + 1 vagy 36k + 9 alak´ u. T´ etel 2.19. (Stuyvaert 1896) Ha l´etezik p´ aratlan t¨ ok´eletes sz´ am, akkor az k´et n´egyzet ¨ osszege.
4
Defin´ıci´ o 2.20. B˝ ovelked˝ o sz´amnak nevezz¨ uk azt a sz´amot amelyre σ(n) > n, hi´ anyosnak nevezz¨ uk ha σ(n) < n. F´elt¨ ok´eletes sz´ amnak nevezz¨ uk azokat a sz´amokat melykre ∃d1 , . . . , dk ∈ Dn : Pk d = n. i=1 i Megjegyz´es 2.21. Minden f´elt¨ ok´eletes sz´am egyben b˝ovelked˝o sz´am is. T´ etel 2.22. B´ armely t¨ ok´eletes ´es b´ armely b˝ ovelekd˝ o sz´ amnak a t¨ obbsz¨ or¨ osei b˝ ovelked˝ o sz´ amok. Minden pr´ım, pr´ımhatv´ any, t¨ ok´eletes, illetve hi´ anyos sz´ am oszt´ oi mind hi´ anyosak. Defin´ıci´ o 2.23. Bar´ ats´ agosnak nevez¨ unk egy (p, k) sz´amp´art, ha σ(p) = k, σ(k) = p. (k1 , . . . , kt ) szoci´ alis sz´ amok, ha σ(k1 ) = k2 , σ(k2 ) = k3 , . . . , σ(kt ) = k1 . T´ etel 2.24. Adott a (Vna )n≥1 , V1a = a ∈ N, V1a = σ(Vka ) sorozat.Ekkor a.) Ha a (Vna )n≥1 el´er egy konstanst, akkor ez egy t¨ ok´eletes sz´ am. altakoz´ o sz´ amp´ arig, akkor ezek bar´ ats´ agosak. b.) Ha a (Vna )n≥1 el´er egy v´ altakoz´ o sz´ am n-esig, akkor ezek szoci´ alis sz´ amok. c.) Ha a (Vna )n≥1 el´er egy v´ Megjegyz´es 2.25. Az a = 276 a legels˝o olyan sz´am amelyre a fenti t´etel egyetlen ¨ darab 1000-n´el kisebb ilyen sz´am van:276, 552, 564, 660, 960(Lehneralpontja sem teljes¨ ul. Ot ot¨ ¨ osnek nevezik) T´ etel 2.26. Ha p, q ∈ N pr´ımek ´es q|Mp = 2p − 1, akkor q = ±1(mod 8) ´es q = 2kp + 1, k ∈ N. T´ etel 2.27. Legyen p = 3(mod 4). 2p + 1 pr´ım, akkor ´es csakis akkor, ha 2p + 1|Mp = 2p − 1. T´ etel 2.28. Ha ¨ osszeadjuk egy p´ aros t¨ ok´eletes sz´ am(kiv´etel a 6) sz´ amjegyeit, az ´ıgy kapott sz´ amra megint elv´egezz¨ uk ezt ´es ´ıgy tov´ abb, akkor v´egeredm´enyben mindig 1-et kapunk. Lemma 2.29. Az s2 = −1(mod p), s ∈ {1, 2, . . . , p − 1}, p pr´ım egyenletnek a.) k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megold´ asa van, ha p = 4k + 1 alak´ u b.) nincs megold´ asa, ha p = 4k + 3 alak´ u c.) s = 1 megold´ asa, ha p = 2. Bizony´ıt´ as: Megszerkesztj¨ uk az {x, −x, x−1 , −x−1 } ekvivalencia oszt´ alyokat a Zp ben. Feltev˝ odik a k´erd´es, hogy ezek az oszt´ alyok mindig n´egy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o elemet tartalmaznak-e? Az x = −x-nek nincs megold´ asa, mivel p p´ aratlan pr´ım. Teh´ at az x ´es −x mindig k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o elemek. Az x = x−1 ⇔ x2 = 1 ⇔ (x − 1)(x + 1) = 0 ⇔ x = 1vagyx = p − 1, hisz p pr´ımsz´ am. Teh´ at az < 1 > oszt´ aly mindig a { 1,p-1}-b˝ ol a ´ll. Ugyanakkor az x = −x−1 ⇔ x2 = −1 megoldhat´ os´ ag´ ar´ ol nem tudunk semmit. A Zp -nek p − 1 eleme van amelyeket 4,2, illetve 1 hossz´ us´ ag´ u part´ıci´ okra osztottuk. Ha p − 1 = 4k + 2 alak´ u, akkor egy db. 2-hossz´ us´ ag´ u part´ıci´ o van ´es ez k¨ otelez˝ oen az < 1 > oszt´ aly. ⇒ x2 = −1-nek nincs megold´ asa. Ha p − 1 = 4k alak´ u, akkor pontosan k´etdarab 2-hossz´ us´ ag´ u part´ıci´ o van x2 = −1nek van megold´ asa ´es k´et k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o megold´ asa van, hisz ha x0 megold´ as, akkor p − x0 is megold´ as. Lemma 2.30. Ha n ∈ N ´es n = 4k + 3 alak´ u, akkor nem ´ırhat´ o fel k´et n´egyzet ¨ osszegek´ent. Bizony´ıt´ as: Felt´etelezz¨ uk, hogy ∃x, y ∈ N : n = x2 + y 2 .
5
x = 2k, y = 2p ⇒ x2 + y 2 = 0 6= n(mod4) x = 2k, y = 2p + 1 ⇒ x2 + y 2 = 1 6= n(mod4) x = 2k + 1, y = 2p ⇒ x2 + y 2 = 1 6= n(mod4) x = 2k + 1, y = 2p + 1 ⇒ x2 + y 2 = 2 6= n(mod4). T´ etel 2.31. Minden 4k + 1 alk´ u pr´ım fel´ırhat´ o k´et n´egyzet ¨ osszegek´ent. 0 0 0 0 √ √ Bizony´ıt´ as: Legyen M = {(x , y ) ∈ N2 |0 ≤ x , y ≤ p}. Mivel |{0, 1, . . . , [ p]}| = √ √ 2 1 + [ p] ez´ert az alkothat´ o p´ arok sz´ ama (1 + [ p]) . Ugyanakkor ismeretes, hogy √ √ √ [x] + 1 > x ⇒ 1 + [ p] > p ⇒ (1 + [ p])2 > p. Teh´ at az M -ben t¨ obb mint p darab elem van. Jel¨ olj¨ uk sM -el a k¨ ovelkez˝ o halmazt {x − sy|(x, y) ∈ M }, ∀s ∈ R. Mivel az M -ben t¨ obb mint p elem van ez´ert az sM-ben b´ıztosan lesz k´et elem amelyek 0 0 kongruensek mod p, k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o (x, y) p´ arok eset´en. Teh´ at ∃(x , y ) 6= (x” , y ” ) ∈ M : 0 0 0 0 ´ x −sy = x” −sy ” (mod p). Atcsoportos´ ıtva ´es jel¨ olve x −x” = x, y −y ” = y, x, y ∈ √ √ {0, 1, . . . , [ p]}, ekkor kapjuk, hogy ∀s ∈ R∃x, y ∈ {0, 1, . . . , [ p]} : x = sy. Majd v´ alasszuk s-nek az el˝ oz˝ o lemm´ aban szerepl˝ o ´ert´eket. Ekkor x = sy ⇒ x2 = s2 y 2 ⇒ √ x2 = −y 2 ⇒ x2 + y 2 = 0(modp) ⇒ x2 + y 2 = kp, de x, y ∈ {0, 1, . . . , [ p]} ⇒ k = 1 ⇒ x2 + y 2 = p. Lemma 2.32. Ha n, m ∈ N fel´ırhat´ o k´et n´egyzet ¨ osszegek´ent, akkor nm is fel´ırhat´ o k´et n´egyzet ¨ osszegek´ent. Lemma 2.33. Ha n = x2 + y 2 , akkor nz 2 = (xz)2 + (yz)2 . Ha p = 4k + 3 pr´ım ´es osztja n = x2 + y 2 − et, akkor p2 |n.. Bizony´ıt´ as: Igazolni kell, hogy p|x ´es p|y. Felt´etelezz¨ uk, hogy x nem oszthat´ o p-vel ⇒ (p, x) = 1 ⇒ ∃x−1 ∈ Zp .x2 + y 2 = o(modp)|(x−2 ) ⇒ (xx−1 )2 + (yx−1 )2 = 0 ami viszont ellentmond a 2.30.Lemm´ anak. T´ etel 2.34. Az n ∈ N sz´ am akkor ´es csakis akkor ´ırjat´ o fel k´et n´egyzet ¨ osszegek´ent, ha a pr´ımt´enyez¨ os felbont´ as´ aban 4k+3 alak´ u pr´ımek p´ aros hatv´ anyon szerepelnek. Bizony´ıt´ as: l´ asd 2.31. t´etel, 2.32,2.33,2.34 Lemm´ ak. K¨ ovetkezm´ eny 2.35. Ha van p´ aratlan t¨ ok´eletes sz´ am, akkor a pr´ımt´enyez¨ os felbont´ as´ aban 4k+3 alak´ u pr´ımek p´ aros hatv´ anyon szerepelnek. Defin´ıci´ o 2.36. Legyen ϕ(n) az n-n´el kissebb, n-el relat´ıv pr´ımek sz´ama. IsQk Qk meretes, hogy ha n = i=1 pqi i , akkor ϕ(n) = n i=1 (1 + p1i ). T´ etel 2.37. A Zn -ben a z´erusoszt´ ok sz´ ama n−ϕ(n). Az n = pq11 pq22 . . . pqkk oszt´ oinak Qk a sz´ ama i=1 (qi + 1). Bizony´ıt´ as: Mivel ϕ(n) az n-el relat´ıv pr´ımek sz´ ama ⇒ n − ϕ(n) darab sz´ am nem relat´ıv pr´ım az n-el. Ha egy n-n´el kissebb sz´ am nem relat´ıv pr´ım az n-el, akkor ˝ o z´erusoszt´ o. Teh´ at a z´erusoszt´ ok darabsz´ ama n − ϕ(n). A m´ asadik eredm´eny pedig egy ismert eredm´eny. ——————————————————————————————— Defin´ıci´ o 2.38. Egy gy˝ ur˝ ut akkor nevez¨ unk D∗ gy˝ ur˝ unek ha minden elem fel´ırhat´o egy nilpotens ´es egy potens elem ¨osszegek´ent. T´ etel 2.39. Ha R egy peri´ odikus gy˝ ur˝ u, akkor ∀x ∈ R eset´en a.) x valamely hatv´ anya idempotens b.) ∃k > 1 : x − xk nilpotens.
6
T´ etel 2.40. Egy R gy˝ ur˝ u, akkor ´es csakis akkor D∗ gy˝ ur˝ u, ha mindenik z´erusoszt´ oja peri´ odikus. T´ etel 2.41. Legyen R egy gy˝ ur˝ u, amelyben mindenik z´erusoszt´ o potens, akkor nem l´etezik nilpotens elem ´es ha R nem test, akkor J = {0}, ahol J a Jacobson gy¨ oke a gy˝ ur˝ unek.
7
´ t eredme ´nyek 3. Saja Lemma 3.1. Ha d ∈ Zn , akkor −d = n − d ∈ Zn . Bizony´ıt´ as: d ∈ Zn ⇒ ∃k ∈ Zn : dk = 0 ⇒ (−d)k = 0 ⇒ −d ∈ Zd . T´ etel 3.2. A Zn -ben X d∈Zn
d=
X n2 =0
n+
X
p
2p=0
Bizony´ıt´ as: 3.1 Lemma ⇒ ha d ∈ Zn , akkor −d ∈ Zn , teh´ at ¨ osszeg¨ uk null´ at ad ki. Akkor van kiv´etel, ha x = −x ⇔ x = 2x, vagy ha xx = 0 ⇔ x2 = 0 ⇒ a t´etel ´ all´ıt´ asa. T´ etel 3.3. P´ aratlan t¨ ok´eletes sz´ am nem lehet n´egyzetsz´ am. Qk Bizony´ıt´ as: n p´ aratlan⇒ ∀d ∈ Dn eset´en d p´ aratlan, de σ(n)−1 p´ aros ⇒ i=1 (qi + 1) p´ aros ⇒ ∃j ∈ N : qj p´ aratlan ⇒ n nem n´egyzetsz´ am. Lemma 3.4. Ha n p´ aratlan ´es t¨ ok´eletes, akkor nem l´etezik nilpotens elem a (Zn , +, ·)− ban. Bizony´ıt´ as: Felt´etelezz¨ uk, hogy x ∈ Zn nilpotens elem ⇒ x2 = 0 ⇒ ∃k ∈ N : 2 x = nk, de x < n ⇒ n n´egyzetsz´ am(mert x-nek kell tartalmaznia n-nek minden pr´ımt´enyez˝ oj´et egy kissebb hatv´ anyon, melyet n´egyzetre emelve visszakapjuk az net), ami ellentmond´ as a 3.3 t´etel alapj´ an. A t´tel kijelent´ese hasonl´ o a 2.41 t´tel´ehez. Lemma 3.5. Ha n p´ aratlan sz´ am, akkor nem fordulhat el˝ o a Zn -ben, hogy x = −x. Bizony´ıt´ as: Felt´etelezz¨ uk, hogy x = −x ⇒ 2x = 0 ⇒ ∃k ∈ N : 2x = kn, de x < n ⇒ n p´ aros, ami ellentmond a kezdeti felt´eteleknek. T´ etel 3.6. Ha n p´ aratlan t¨ ok´eletes sz´ am, akkor a Zn -ben a z´erusoszt´ ok ¨ osszege nulla. P P Bizony´ıt´ as: Lemma 3.4 ⇒ at n2 =0 n = 0, Lemma 3.5 ⇒ 2p=0 p = 0, teh´ P d = 0 + 0 = 0. d∈Zn Megjegyz´es 3.7. A fenti kijelent´es igaz, ha n egy p´aratlan ´es n´egyzetmentes term´eszetes sz´ am. P T´ etel 3.8. Ha n p´ aros t¨ ok´eletes sz´ am, akkor d∈Zn = n2 . Bizony´ıt´ as: mivel n t¨ ok´eletes sz´ am ⇒ n = 2p−1 (2p − 1) ⇒ n nem n´egyzetsz´ am ⇒ nincsenek nilpotens elemek ⇒ a t´etel kijelent´ese. T´ etel 3.9. Ha van idempotens elem, akkor ˝ o egyben z´erusoszt´ o is. Bizony´ıt´ as: x2 = x ⇒ x2 − x = 0 ⇒ x(x − 1) = 0 ⇒ x z´erusoszt´ o. T´ etel 3.10. A Zn -ben minden elem peri´ odikus, vagyis ∃m 6= n : xn = xm , ∀x ∈ Zn . Bizony´ıta´ as: ∀n ∈ N eset´en az n-el vett oszt´ asi marad´ekok v´egesek ´es egy id¨ o ut´ an ism´etl¨ odnek ⇒ ∀x ∈ Zn ∃k ∈ N : xk = x, vagyis minden elem potens. K¨ ovetkezm´ eny 3.11. Ha x z´erusoszt´ o, akkor a fenti k 6= n, ha pedig nem akkor k = n. T´ etel 3.12. A Zn egy peri´ odikus ´es D∗ gy˝ ur˝ u. Bizony´ıt´ as:Mivel minden elem potens ⇒ a t´etel ´ all´ıt´ asa.
8
T´ etel 3.13. ∀x ∈ Zn seg´ıts´eg´evel gener´ alhat´ o egy z´erusoszt´ o vagy a 0, de nem b´ıztos, hogy k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ´ert´ekeket kapunk. Bizony´ıt´ as: Mivel Zn egy peri´ odikus gy˝ ur˝ u ⇒ ∀x ∈ Zn x valamelyik hatv´ anya idempotens. Legyen (xa )2 = xa ⇒ xa ´es xa − 1 z´erusoszt´ ok. T´ etel 3.14. Tekints¨ uk a P (X) = (x − d1 )(x − d2 ) . . . (x − d2k ) ∈ Zn [X] polinomot, ahol di z´erusoszt´ o a Zn -ben ´es n p´ aratlan. Ekkor igaz, hogy Pk 2 2 a.)P (X) = i=1 (x − di ) b.)gy¨ okei az x2 = d2i megold´ asai c.)P (0) = 0, P (1) = 0 d.)ha P (X) = a2k x2k + a2k−1 x2k−1 + . . . + a1 x + a0 , akkor a2k−1 + . . . + ak = −1 e.)P (X) = xk Q(x), ahol Q(X) = xk + a2k−1 xk−1 + . . . + ak Bizony´ıt´ as: Az a.),b.) ´es c.) pontok k¨ onnyen bel´ athat´ oak. Ha d ∈ Zn z´erusoszt´ o, akkor -d is z´erusoszt´ o.A Viete k´epleteket alkalmazva igazolhat´ o, hogy ak−1 = . . . = a0 = 0 ⇒ d.) ´es e.) S T´ etel 3.15. A (Zn {0}, ·) kommutat´ıv grupoid. Bizony´ıt´ as: a.) ∀a, b ∈ Zn eset´en ∃x ∈ Zn : ax = 0 ⇒ x(ab) = (xa)b = 0b = 0 ⇒ ab ∈ Zn . b.)Az asszociativit´ ast ´es a kommutativit´ ast ¨ orokli a (Zn , +, ·)-t´ ol. T S Defin´ıci´ o 3.16. (Un = {Zd |d ∈ Zn }, , ) strukt´ ur´at nevezz¨ uk univerz´alis strukt´ ur´anak. S T´ etel 3.17. Legyen Za , Zb ∈ Un , ekkor a Za Zb olyan elemeket tartalmaz, amelyek tartalmaznak legal´ abb egy T pr´ımt´enyez˝ ot vagy az a vagy a b felbont´ as´ ab´ ol ´es kissebbek mint max(a, b). A Za Zb olyan elemeket taratalmaz amelyek tartalmaznak legal´ abb egy-egy pr´ımt´enyez˝ ot az a ´es a b felbont´ as´ ab´ ol is. A Za \Zb olyan a-n´ al kissebb x elemeket taratlmaz amelyekre (x, b) = 1, vagyis Za \Zb = {x ∈ Za |(x, b) = 1}. T Megjegyz´es 3.18. ∀a, b ∈ Zn est´en lnko(a, b) ∈ Za Zb . T Bizony´ıt´ as: Legyen d = lnko(a, b) ⇒ d|a, d|b ⇒ d ∈ Za , d ∈ Zb ⇒ d ∈ Za Zb . T´ etel 3.19. Ha d ∈ Dn ⇒ n − d ∈ / Dn .(n p´ aratlan) / Dn . Bizony´ıt´ as:d ∈ Dn ⇒ d < n2 ⇒ n2 < n − n2 < n − d ⇒ n − d ∈ T´ etel 3.20. Nem l´etezik olyan a ∈ N : Za csak az n oszt´ oit tartalmazza. Bizony´ıt´ as: Ha d ∈ Za ⇒ −d ∈ Za , de az el¨ oz˝ o t´etel alapj´ an −d = n − d nem oszt´ oja az n-nek. T´ etel 3.21. ∀a ∈ Zn eset´en igaz, hogy ∃d ∈ Za : d|n vagy Za = Vagyis mindenik z´erusoszt´ o halmaz tartalmazza az n-nek legal´ abb egy val´ odi oszt´ oj´ at. Bizony´ıt´ as: mivel a ∈ Zn ⇒ tartalmazza az n-nek legal´ abb egy pr´ımt´rnyez˝ oj´et ⇒ ez a pr´ımt´enyez˝ o benne lesz a Za -ban. T S T´ etel 3.22. Az (Un , , ) strukt´ ur´ at haszn´ alva nem lehet el´erni, egy olyan halmazt amely csak a val´ odi oszt´ okat tartalmazza. T S Bizony´ıt´ as:Legyen A = Za ∗ Zb halmaz, ahol * vagy vagy .Ekkor igaz, hogy A vagy u ¨res vagy vagy b´ıztosan tartalmazz egy d ∈ Dn ´es vele egy¨ utt a −d-t is tartalmazza.A B = A ∗ Za halmazra is ugyanez igaz. Ha a C = A ∗ B, ahlmazt tekintj¨ uk, akkor is teljes¨ ulnek a fenti kijelent´esek. Teh´ at v´egeredm´enyben vagy u ¨res halmazt ´erhet¨ unk el vagy egy olyan halmazt amiben b´ıztos, hogy van egy d oszt´ o, de b´ıztosan benne van a −d-is, ami viszont nem oszt´ o ⇒ a t´etel kijelent´ese.
9
T´ etel 3.23. d|n ⇒ Zd ⊆ Zn . Zd ⊆ Zn ⇒ a d-nek a pr´ımt´enyez˝ os felbont´ as´ aban nem szerepel idegen t´enyez˝ o az n-´ehez k´epest. Bizony´ıt´ as: Felt´etelezz¨ uk, hogy d|n ⇒ ∀a ∈ Zd : ∃k ∈ Zd , ∃p ∈ N : ak = pd ⇒ (ak) nd = (pd) nd ⇒ a(k nd ) = np ⇒ a ∈ Zn ⇒ Zd ⊆ Zn . Visszafele term´eszetesen nem igaz. Vegy¨ uk p´eld´ aul a Z45 -ben a Z25 ´es a Z45 viszony´ at. Z25 ⊆ Z45 , de 25 nem osztja a 45-¨ ot. T´ etel 3.24. [
(Zd
\
Zn ) = Zn \{max(Zn )}
d∈Zn
T Bizony´ıt´ as: Mivel Zd Zn tartalmazza az n-nek mindenik d-n´el kissebb z´erusoszt´ oj´ at, ez´ert k¨ onyen bel´ athat´ o a t´etel kijelent´ese.
10
References 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.
Hardy and Wright, An introduction to the theory of numbers Five and Rosenberg, Number Theory Burton, Elementary Number Theory Carandall, Prime Numbers-A computational Perspective Mˇ arcu¸s Andrei, Komputeralgebra Mˇ arcu¸s Andrei, Algebra O’Conor and Robertson, Perfect Numbers Hazar Abu Khuzam, Strcture of rings with certain conditions on zero divisors Rotmann, Advanced Modern Algebra Aigner and Ziegler, Proofs from the book
