Klasszikus és kvantum fizika

Klasszikus gyökerek Operátor párt és kvantum ”bizonytalanság” Wigner függvény és a kvantum elmosódás

Klasszikus és kvantum fizika valamint a Wigner függvény

T.S. Biró MTA

Fizikai Kutatóközpont, Budapest

2017. november 13.

T.S.Biró Wigner 115, Budapest, 2017. Nov. 15.

Biró

Klassz kvantum

1 / 22


Abstract

A review of Schrödinger’s (Einstein’s), Heisenberg’s (Bohr’s) and Wigner’s approach to quantum physics is touched upon. The classical – quantum correspondance is not, as usual, restricted to the ~ → 0 limit, but rather the classical roots of quantum concepts are emphasized. An energy–momentum Wigner function for the Planck scale can be useful.

Biró

Klassz kvantum

2 / 22


˝ Kik a felelosök? Azt kapták-e amit akartak? Klasszikus fizika: Galilei, Kepler, Newton, Hamilton, Lagrange, Laplace, Gauss Maxwell, Boltzmann, Gibbs, Planck, Einstein

Biró

Klassz kvantum

3 / 22


Kik csinálták? Azt kapták-e amit akartak?

Kvantum fizika: Planck, Einstein, Bohr, Schrödinger, Heisenberg, Neumann, Wigner, Feynman

Mit tartunk meg, mit cserélünk le a klasszikus fizikából?

Biró

Klassz kvantum

4 / 22


Érvényét veszti-e a klasszikus fizika? ...és pontosan hogyan? Klasszikus mechanika: Hamilton–Jakobi egyenlet. ∂S 2 ∂S ∂x + V (x) + ∂t = 0.

(1)

! ∂S 2 + V (x) |ψ(x)|2 dx dt = extremum. ∂x

(2)

H −E =

1 2m

Schrödinger: H − E 6= 0, azonban Z

1 ∂S + ∂t 2m

Boltzmann: S = k log W , Schrödinger: S = ~i ln ψ. ˝ következik a Schrödinger egyenlet. . Ebbol

i~

∂ψ ~2 ∂ 2 = ψ + V (x)ψ. ∂t 2m ∂x 2

Biró

Klassz kvantum

(3)

5 / 22


Boltzmann vs Schrödinger A képletek története

Boltzmann: S = k log W

(4)

entrópia = Planck nevezte el Boltzmann állandónak log mikorállapotok száma

Schrödinger: S =

~ log ψ i

(5)

hatás = Einstein nevezte el Planck állandónak log eikonál

Biró

Klassz kvantum

6 / 22


A variációs elv variációja

Ha (2)-be beírjuk az eikonál formát: Z K ≡

ψ∗

~ ∂ψ ~2 ∂ψ ∗ ∂ψ + + V (x)ψ ∗ ψ i ∂t 2m ∂x ∂x

! dx dt = extremum.

(6)

Variáljuk ψ ∗ szerint: ~2 ∂ 2 ψ δK ~ ∂ψ = − + V (x)ψ = 0. δψ ∗ i ∂t 2m ∂x 2

(7)

Az együttható ~/i muszáj, hogy tisztán képzetes legyen, különben K nem complex analitikus funkcionálja ψ-nek.

Biró

Klassz kvantum

7 / 22


Érvényét veszti-e a klasszikus fizika? ...és pontosan hogyan?

Bohr: mi ragaszkodunk ahhoz, hogy H − E = 0. Ugyanakkor a Schrödinger egyenlet érvényes. i~

∂ψ ~2 ∂ 2 = ψ + V (x)ψ. ∂t 2m ∂x 2

(8)

A ”történelmi” megoldás: E, P és x operátorok! ˆ ≡ i~ ∂ , E ∂t ekkor

δK δψ ∗

ˆ ≡ ~ ∂ , P i ∂x

xˆ ≡ x ·

(9)

ˆ + H(P, ˆ xˆ )ψ = 0. = −Eψ ˆ xˆ ] ≡ P ˆ xˆ − xˆ P ˆ = Súlyos következmény: [P,

Biró

Klassz kvantum

~ . i

8 / 22


A vita Einstein vs Bohr; Schrödinger vs Heisenberg picture

a klasszikus egyenlet nem igaz;

a klasszikus egyenlet igaz,

a klasszikus mennyiségek léteznek, csak nem követik a klasszikus pályákat;

de a klasszikus mennyiségek helyett operátorokra érvényes; a (komplex) hatás vajon maga is operátor?

a hatás lehet komplex.

Biró

Klassz kvantum

9 / 22


Valószínuségi ˝ értelmezés és néhány buktatója

1

1

|ψ|2 egy PDF x-ben (”több mint súlyfaktor...”)

2

klasszikusan lehetetlen helyeken |ψ|2 exponenciálisan kicsi1

3

bizonyos varianciák (”mérési hibák”) szorzatának van alsó határa, O(~).

4

mérés = ”beugrás” sajátállapotba (mennyi ido˝ alatt?)

5

a pontrészecskék kiterjedt propagálása és interferenciája (”hullámtermészet”)

Meddig lehet adósság mellet jól élni?

Biró

Klassz kvantum

10 / 22


A kvantum fizika arcai absztrakt Hilber tér és reprezentációk

A kvantum fizika 1

sztatikus dolgokra paradox a klasszikus fizika nyelvén.

2

dinamikája örökölte a klasszikus fizikáét.

Egy |xi állapotban az xˆ operátor értéke éles (”sajátállapot”) ˆ operátor értéke éles (”sajátállapot”) Egy |pi állapotban a p Ezek az állapotok oszcillálva fednek át:

síkhullám i

hp|xi = e ~ p·x

Biró

Klassz kvantum

(10)

11 / 22


Bizonyosság a bizonytalanságról Unschärfe = elmosódottság A fizikai mennyiségeket hermitikus operátorok írják le, a mérési eredmények mindig valós számok. Legyen operátor, λ valós paraméter, hAi = 0 és hBi = 0. Így

2 A és2 B hermitikus A = ∆A , B 2 = ∆B 2 . Vegyük a C = λA +

i B λ

D

kombinációt. Ekkor

CC †

E

= λ2 ∆A2 +

1 ∆B 2 − hi[A, B]i ≥ 0. λ2

(11)

Miután a számtani (aritmetikai) közép ≥ mértani (geometriai) közép, i ∆A · ∆B ≥ h[A, B]i . 2

Biró

Klassz kvantum

(12)

12 / 22


Ami nem kommutál az nem lehet egyszerre éles

ˆ, B = xˆ . Erre Híres eset: A = p ∆p · ∆x ≥

~ . 2

(13)

Következmény síkhullám (10) és a Wigner függvény Z W (x, p) ≡ Általában

i

e ~ p·q ψ ∗ (x + q/2) ψ(x − q/2) dq.

(14)

Z W (x, p) ≡

hp|qi hx + q/2| ρˆ |x − q/2i dq.

Biró

Klassz kvantum

(15)

13 / 22


Wigner függvény és valószínuség ˝ eloszlás

A Wigner függvény valós (ˆ ρ hermitikus), de általában nem mindenütt pozitív. A marginálisai PDF-k: Z

dp W (x, p) 2π~ Z W (x, p) dx

=

|ψ(x)|2 .

=

2 ˜ |ψ(p)| .

(16)

Inverze a Weyl-transzformált: Z hx|ˆ ρ|y i =

W

x + y dp , p hp|x − y i . 2 2π~

Biró

Klassz kvantum

(17)

14 / 22


Oszcillátor és Schrödinger macskája a fázistérben A macska két koherens állapot összege: |cati ∼ |zi + | − zi

Biró

Klassz kvantum

15 / 22


Wigner függvény kisimítása statisztikus szemlélet

A Wigner függvény tipikusan O(~) tartományon oszcillál. ⇒ Husimi: Gauss–simított Wigner függvény ⇒ Wehrl entrópia = SBG [Husimi]

Nem hermitikus operátor Wigner transzformáltja már komplex.

Biró

Klassz kvantum

16 / 22


Wigner függvény és életlenség Unschärfe, uncertainty, határozatlanság

Mi oszcillál tulajdonképpen? i

p·(q/2)

i (∆p·∆q)

e ~ p·q = e

min

.

(18)

Általánosított Wigner függvény magja: A·(B/2)

i (∆A·∆B)

e

Biró

min

Klassz kvantum

(19)

17 / 22


Különleges Wigner függvény energia és impulzus között!

Energia és impulzus elmosódása is korlátos: i ˆ P] ˆ = ~ |hF i| . ∆E · ∆P ≥ [H, 2 2

(20)

˝ o” ˝ módon Megint a H = E feltevés miatt, ”öröklod ˆ xˆ ) · ∆P = |hv i| ∆P 2 + |hF i| ∆x · ∆P ≥ ∆H(P,

Biró

Klassz kvantum

~ |hF i| . 2

(21)

18 / 22


Energia – impulzus elmosódás mikor mennyi?

Oszcillátor: hF i = 0. Gravitációs térben: |hF i| = mg = Ha ∆P = mc, akkor ∆E ≥

~ g 2c

GMm R2

= πTUnruh . GM 2 . R2

Önmaga gravitációja alatt: |hF i| =

Schwarzschild rádiuszon (R = 2GM/c 2 ) az elmosódás: ∆E · ∆P ≥

~c 4 1 = (MP c 2 ) (Mp c). 8G 8

Biró

Klassz kvantum

(22)

19 / 22


Újabb Wigner függvény releváns a Planck skálán

A Planck skálán hE|Pi 6= 1, nincs egyszerre éles érték. Kínálkozik az energia-impulzus Wigner függvény: Z W (E, P) ≡

hP|i hE + /2|ˆ ρ|E − /2i d.

(23)

Planck skálán Z WPL (E, P) =

i 4G4 p·

e

~c

hE + /2|ˆ ρ|E − /2i d.

(24)

Ha ρˆ energia-diagonális, hE + /2|ˆ ρ|E − /2i = f (E)δ(), akkor W (E, P) = f (E).

Biró

Klassz kvantum

20 / 22


Ha van kvantum gravitáció oda Wigner – funkcionál kell majd

Határozatlanság az alapváltozó és konjugáltja között van. Ezért

∂S µν g ∂g µν

oszcillál.

A Wigner - funkcionál ”hullámterjeszti” a metrika ”zavarait”: W

∂S , g µν ∂g µν

Z ≡

∂S µν h ∂g µν

Biró

g µν +

1 1 µν µν ρ g − hµν D[h]. h ˆ 2 2

Klassz kvantum

(25)

21 / 22


SUMMA THEORIAE

1

∆A · ∆B ≥ hAB nem természeti törvény

2

nem csak a hely és a sebesség nem lehet éles egyszerre

3

ahol van gravitáció, ott nincs éles energia-állapot

4

a Planck skálán hasznos lehet egy W (E, P) Wigner függvény.

Biró

Klassz kvantum

22 / 22

Klasszikus és kvantum fizika

Recommend Documents