Kisérettségi témakörök és tematikus gyakorló feladatok matematikából

Kisérettségi témakörök és tematikus gyakorló feladatok matematikából

az Energetikai Szakgimnázium és Kollégium 10. évfolyamos diákjai számára

Összeállították az Energetikai Szakgimnázium és Kollégium reál munkaközösségének pedagógusai 2016.

Tartalomjegyzék MATEMATIKA KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ....................................................................................... 2 GONDOLKODÁSI ÉS MEGISMERÉSI MÓDSZEREK................................................................................................................... 2 ALGEBRA ÉS SZÁMELMÉLET ...................................................................................................................................................... 2 ÖSSZEFÜGGÉSEK, FÜGGVÉNYEK, SOROZATOK .................................................................................................................... 2 GEOMETRIA .................................................................................................................................................................................. 2 VALÓSZÍNŰSÉG, STATISZTIKA ................................................................................................................................................... 3 TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK ................................................................................................... 4 1. TÉMAKÖR: HALMAZELMÉLET ............................................................................................................................................... 4 2. TÉMAKÖR: KOMBINATORIKA ................................................................................................................................................ 6 3. TÉMAKÖR: SZÁMELMÉLET ..................................................................................................................................................... 7 4. TÉMAKÖR: ALGEBRAI ÁTALAKÍTÁSOK ................................................................................................................................ 8 5. TÉMAKÖR: HATVÁNYOZÁS ÉS NÉGYZETGYÖKVONÁS ................................................................................................... 12 6. TÉMAKÖR: ELSŐFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK ........................................ 14 7. TÉMAKÖR: MÁSODFOKÚ EGYENLETEK, EGYENLŐTLENSÉGEK, EGYENLETRENDSZEREK .................................... 15 8. TÉMAKÖR: FÜGGVÉNYEK ÁBRÁZOLÁSA ÉS JELLEMZÉSE, FÜGGVÉNYTRANSZFORMÁCIÓK .................................... 17 9. TÉMAKÖR: GEOMETRIAI ALAPISMERETEK ....................................................................................................................... 18 10. TÉMAKÖR: EGYBEVÁGÓSÁGI TRANSZFORMÁCIÓK....................................................................................................... 20 11. TÉMAKÖR: HASONLÓSÁG .................................................................................................................................................. 21 12. TÉMAKÖR: HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI .......................................................................................................... 22 13. TÉMAKÖR: STATISZTIKA .................................................................................................................................................... 24 MINTA FELADATLAP – A 2013. JÚNIUS 3-I KISÉRETTSÉGI ............................................................... 26 I. RÉSZ .......................................................................................................................................................................................... 26 II. RÉSZ ........................................................................................................................................................................................ 28 ÉRTÉKELÉS: ................................................................................................................................................................................ 31

Matematika kisérettségi témakörök Gondolkodási és megismerési módszerek 1. Halmazelmélet Követelmények: halmaz, halmaz eleme, részhalmaz, valódi részhalmaz, nevezetes számhalmazok, halmazműveletek, intervallumok, halmazok elemszámára vonatkozó feladatok. 2. Kombinatorika Követelmények: összeszámlálási feladatok.

Algebra és számelmélet 3. Számelmélet Követelmények: prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás, pozitív osztók száma, oszthatósági szabályok, legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös, számrendszerek. 4. Algebrai átalakítások Követelmények: zárójelbontás, összevonás, nevezetes szorzatok, szorzattá alakítás, algebrai törtek, teljes négyzetté alakítás. 5. Hatványozás és négyzetgyökvonás Követelmények: egész kitevőjű hatványok és a hatványozás azonosságai, normálalak, négyzetgyök fogalma és azonosságai, kiemelés gyökjel alól, bevitel gyökjel alá, nevező gyöktelenítése. 6. Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Követelmények: elsőfokú egyenletek megoldása (különböző módszerekkel), egyenlőtlenségek megoldása, előjel vizsgálatot igénylő egyenlőtlenségek, abszolútértékes feladatok, egyenletrendszerek megoldása, szöveges feladatok. 7. Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Követelmények: másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása, másodfokúra visszavezethető problémák, gyöktényezős alak, négyzetgyökös egyenletek, számtani és mértani közép, szöveges feladatok.

Összefüggések, függvények, sorozatok 8. Függvények ábrázolása és jellemzése, függvénytranszformációk Követelmények: lineáris függvények, másodfokú függvények, abszolútérték függvény, négyzetgyök függvény, lineáris törtfüggvény ábrázolása és jellemzése

Geometria 9. Geometriai alapismeretek Követelmények: alapfogalmak és síkidomok tulajdonságainak ismerete, háromszögek, négyszögek, konvex sokszögekre vonatkozó tételek, négyszögek csoportosítása, nevezetes ponthalmazok, nevezetes vonalak, Pitagorasz-tétel és megfordítása, Thalesz-tétel és megfordítása, területszámítás, szögmérés, körív hossza, körcikk területe. KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

2

10. Egybevágósági transzformációk Követelmények: egybevágósági transzformációk alkalmazásai (identikus transzformáció, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, párhuzamos eltolás), szimmetrikus alakzatok, egybevágó alakzatok, háromszögek egybevágóságának alapesetei 11. Hasonlóság Követelmények: középpontos hasonlóság, hasonlósági transzformáció, hasonló alakzatok, háromszögek hasonlóságának alapesetei, arányossági tételek, szögfelező tétel, hasonló síkidomok kerületének és területének aránya, hasonló testek felszínének és térfogatának aránya. 12. Hegyesszögek szögfüggvényei Követelmények: hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazása feladatokban, összefüggések, nevezetes szögek szögfüggvényei, területszámítás, síkbeli és térbeli számítások.

Valószínűség, statisztika 13. Statisztikai alapfogalmak Követelmények: statisztikai adatok ábrázolása, átlag, módusz, medián.

KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

3

Tematikus gyakorló feladatok 1. témakör: Halmazelmélet Összeállította: Bölcsföldi Tünde Követelmények: halmaz, halmaz eleme, részhalmaz, valódi részhalmaz, nevezetes számhalmazok, halmazműveletek, intervallumok, halmazok elemszámára vonatkozó feladatok.

1. Sorold fel az a; b; x; y halmaz összes részhalmazát! 2. Adott U alaphalmaz, és annak két részhalmaza: U  {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10},

A  2;3;4;5;6,

B  0;2;4;6;8;9.

Ábrázold a halmazokat Venn-diagrammon és add meg az AB, AB, A\B, B\A, A és B halmazokat! 3. Adott U alaphalmaz, és annak három részhalmaza:

U  {0;1;2;3;4;5;6;7;8;9;10;11;12;13},

A  0;1;4;6;7;10;12, B  0;1;3;4;5;10;13, C  1;2;3;4;7;8.

Ábrázold a halmazokat Venn-diagrammon és add meg az alábbi halmazműveletek eredményét: a. A  B  C ; b. A  B ; c. A  C ; d. B  C ; e. A  B  C ; f. A  B ; g. B  C ; h. A  C ; i. A\B; j. C\A; k. B ; l.  A  B   C ; m.  A  C   B  C  ; n. A  B  C  ; o. A  B ; p. ( A \ B )  C ; q. ( B \ C )  A ; r. A  B  C . 4. Három halmazról a következőket tudjuk: A  B  C  a; b; c, d ; e; f  A  B  b

 A  B   C  {e; f } KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

4

A \ C  b; c; d  C \ B  a; e . Határozd meg a halmazokat! 5. Adott két intervallum: A   7;2 és B   3;9 . Ábrázold az intervallumokat közös számegyenesen! Add meg intervallum jelöléssel az AB, AB, A\B, B\A halmazokat! 6. Tudjuk, hogy egy 28 fős osztályban nincs jelese 23 tanulónak fizikából és 21 tanulónak matematikából. Hány tanulónak van matematikából és fizikából is jeles osztályzata, ha tudjuk, hogy matematikából vagy fizikából 10-en kaptak jelest? 7. Egy matematika versenyen két feladatot tűztek ki. Az első feladatot az indulók 70%-a, a másodikat pedig az indulók 60%-a oldotta meg. Minden induló megoldott legalább egy feladatot, és kilencen mindkét feladatot megoldották. Hányan indultak a versenyen? 8. Egy osztályban a tanév során három kirándulást szerveztek. Az első kiránduláson az osztály 70%-a, a másodikon 80%-a, a harmadikon a 90%-a vett részt. 12 tanuló mindhárom kiránduláson ott volt, a többiek pedig kétszer kirándultak. Hányan járnak az osztályba? 9. Egy iskola 450 tanulója közül 241 szakkörökre, 228 sportkörökre jár, 186 énekkari tag. Szakkörös és sportkörös 115, szakkörös és énekkaros 102, sportkörös és énekkaros 93 tanuló. 54-en szakkörösök, sportkörösök és énekkarosok. Hányan vannak, akik e foglalkozások egyikén sem vesznek részt? 10. Egy 35 fős osztály három feladatból álló dolgozatot írt matematikából. A javítás után a következőket állapította meg a tanár: – az első és a harmadik feladatot 20-an, a második és harmadik feladatot 8-an tudták megoldani; – csak az első, illetve csak a második feladat két-két tanulónak lett jó; – az első vagy második példát 29-en oldották meg jól, és ugyanennyien voltak, akiknek sikerült a harmadik feladat megoldása; – hibátlan dolgozat mindössze három darab volt. a. Hány tanuló van, aki pontosan két feladatot oldott meg jól? b. Hányan nem tudtak egyetlen feladatot sem megoldani? c. A diákok hány százaléka oldott meg legfeljebb egy példát jól? 11. Hány olyan 250-nél nem nagyobb pozitív egész szám van, amely nem osztható sem kettővel, sem öttel, sem héttel? 12. Rajzold fel a tanult számhalmazok egymáshoz való viszonyát (N, Z, Q, Q*, R). Igaz-e? a. R  Q* b. Q*  R c. R\Q=Z d. N  Z e. N  Z=Q KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

5

2. témakör: Kombinatorika Összeállította: Kószó Krisztina és Krizsán Árpád Követelmények: összeszámlálási feladatok.

1. Az a, b, c, d, e, f betűkből, hány darab ötbetűs „szó” állítható elő, ha a. egy betű csak egyszer szerepelhet? b. egy betűt többször is felhasználhatunk? c. az utolsó helyen magánhangzó szerepelhet? 2. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyekből hány olyan háromjegyű szám állítható elő, a. amelyben a számjegyek nem ismétlődnek? b. amelyben a számjegyek ismétlődhetnek? c. amely páros? d. amely 3-mal osztható? 3. A piros, fehér, zöld, sárga és kék színekből hány különböző három vízszintes sávból álló zászló állítható össze? (Ugyanaz a szín nem szerepelhet kétszer egymás után, viszont egy szín többször is felhasználható!) 4. Egy iskolának 629 tanulója van. Legalább hány tanulónak van ugyanabban a hónapban a születésnapja? 5. Legalább hányan vettek részt azon a túrán, ahol biztosan volt 5 olyan ember, akik születésnapja a hónap ugyanazon napjára esett? 6. Bizonyítsuk be hogy egy 6 cm oldalú szabályos háromszögben tetszőlegesen elhelyezve 7 pontot biztosan lesz kettő, amelyek egymástól mért távolsága kevesebb, mint 3 cm! 7. Egy osztály 28 tanulója között szeretnénk kiosztani 5 könyvet. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha a. egy tanuló legfeljebb egy könyvet kaphat, és minden könyv különböző? b. egy tanuló több könyvet is kaphat, és minden könyv különböző? c. egy tanuló legfeljebb egy könyvet kaphat, de a könyvek azonosak? 8. A következő táblázatból hányféleképpen olvasható ki a dolgozat szó? D

O

L

G

O

O

L

G

O

Z

L

G

O

Z

A

G

O

Z

A

T

9. Gabi, Peti, Tomi, Eszter és Csaba fagyizni mennek. Mindegyikük csupán egy gombócot kér a cukrászda 20 különböző ízű fagylaltjából. Hányféleképpen rendelhetnek, ha a fenti sorrendben járulnak a pulthoz és: a. mindannyian más ízű fagylaltot kérnek? b. vannak legalább ketten, akik egyforma ízű fagylaltot kérnek? KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

6

10. Egy autóverseny 24 indulójából az első tíz kap pontot: az első 25-öt, a második 18-at, a harmadik 15-öt, a többiek sorrendben 12-őt, 10-et, 8-at, 6-ot, 4-et, 2-őt és 1-et. Hányféleképpen kaphatják meg a pontokat, ha minden versenyző célba ér (természetesen nincs holtverseny)? 11. Hányféleképpen írhatjuk fel egy kör mentén sorban a magyar ábécé magánhangzóit?

3. témakör: Számelmélet Összeállította: Bölcsföldi Tünde Követelmények: prímszám, összetett szám, prímtényezős felbontás, pozitív osztók száma, oszthatósági szabályok, legnagyobb közös osztó és legkisebb közös többszörös, számrendszerek.

1. Egy hajó hosszának, a hajóskapitány évei számának és gyerekei számának szorzata 11877. (Mindhárom egész szám.) Hány éves a kapitány? 2. Mikor nevezünk egy egész számot összetettnek? Mutasd meg, hogy a 52013  3 összetett! 3. Mikor nevezünk egy egész számot prímnek? Mutasd meg, hogy a 62013  32012 nem prím! 4. Melyik az a legnagyobb kettő hatvány, amellyel a 22012  102012 osztható? 5. Egy derékszögű háromszög területe 84 egység. Befogóinak hosszai relatív prímszámok. Mekkorák a háromszög oldalai? 6. Milyen számjegyeket írhatunk x és y helyére, hogy a 43x52 y szám osztható legyen: a. 6-tal; b. 12-vel; c. 15-tel; d. 18-cal; e. 24-gyel; f. 36-tal; g. 45-tel; h. 72-vel? 7. Add meg a 3150 és 5400 számok prímtényezős felbontását! a. Írd fel a két szám legnagyobb közös osztóját! b. Írd fel a két szám legkisebb közös többszörösét! c. Vedd e két szám legnagyobb közös osztójának és legkisebb közös többszörösének szorzatát. Mit tapasztalsz? 3150 d. Egyszerűsítsd egy lépésben a törtet! 5400 31 1 e. Végezd el az kivonást!  3150 5400


7

f. Végezd el az

1 13 !  3150 5400

8. Sorold fel az 504 pozitív osztóit! 9. Hány pozitív osztója van az 2700-nak? 10. Egy szigeten koncertet szerveznek, ahová egy 150 férőhelyes hajó szállítja a nézőket több fordulóval, és a koncert után egy 180 férőhelyes hajón jönnek vissza. Hány néző oda-vissza szállítása oldható meg így, ha a hajókon minden helyet ki kell használni, de túlterhelni nem lehet őket? Mennyi a minimális nézőszám, amelyre megoldható a szállítás? 11. Egy gyerekcsapat a nyári vakáció idején egy láda kincsre bukkant. A ládában 96 ezüst tálka, 144 ezüst pohár és 200 igazgyöngy volt. A gyerekek éppen annyian voltak, hogy mind a háromféle tárgyon igazságosan tudtak osztozni. Legfeljebb hányan lehettek? 12. Írd át a 2013 számot a. kettes számrendszerbe; b. hármas számrendszerbe; c. négyes számrendszerbe; d. ötös számrendszerbe; e. nyolcas számrendszerbe; f. tizenhatos számrendszerbe! 13. Írd át tízes számrendszerbe a következő számokat! a. 112 ; b. 10012 ; c. 1010112 ; d. 20123 ; e. 20134 ; f.

20135 ;

g. 20137 .

4. témakör: Algebrai átalakítások Összeállította: Bölcsföldi Tünde Követelmények: zárójelbontás, összevonás, nevezetes szorzatok, szorzattá alakítás, algebrai törtek, teljes négyzetté alakítás.

1. Bontsd fel a zárójeleket, végezd el a lehetséges összevonásokat, a tagokat rendezd csökkenő hatványkitevő szerint! a. 5 x  3 x  2 y  ; b.

4x y  8xy  3x y  6xy ; 2

2

2

2


8

c. d.

7m  4mn  n  2m  mn  2n ; 4x  5xy  3 y  5x  xy  4 y   x 2

2

2

2

2

2

2

2

2



 2 xy  y 2 ;

1 2 1 1 2    e.  x3  3x 2 y  xy2  2 y 3  1   3x3   y 3  x 2 y  2 xy2  ; 4 3 2 3 3    2 2 2 2 2 f. 15a   4a  5a  8a  2a  a  9a  3a .













2. Bontsd fel a zárójeleket, végezd el a lehetséges összevonásokat, a tagokat rendezd csökkenő hatványkitevő szerint! a. 8b  2  23b  5  62b  1 ; b. c. d. e. f.

6 x  4 y   52 x  4 y   33 y  5 x  ; a  5a  3  a  3a  5 ; x  2x  5  x  1x  4 ;

y

2





 y  1 y2  y 1 ;

 y  2 y  3  2 y  7 3  y   32  y 2  y  .

3. Nevezetes szorzatok alkalmazásával bontsd fel a zárójeleket! a. b. c. d. e. f.

2 x  12 ; 3x  42 ; 4 x  54 x  5 ; 3x  23 ; 7 x  33 ; 2 x  3 y  42 ; 2

3 4 g.  x   ; 7 5 2

5 1 h.  x   ; 8 4 7  7  i.  x  9  x  9  ; 3  3  3

j.

1   x  3 ; 2  3

1  k.  x  4  ; 5 

l.

5x  4 y  72 .

4. Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a. 12 xy  21xz ; b. 3x3 y 2  5x2 y3  7 xy4 ; c. x5  x3 ; d. x4  x3 y 2 ; KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

9

e. 2 x  2 y  ax  ay ; x2  xy  xz  yz ; g. 7na  5mb  7nb  5ma ; h. 22 x2  15 yz  10 xy  33xz .

f.

5. Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a. x 2  16 ; b. 4 y 2  9 ; c. 81  y 2 ; 25 4 x  169 ; 36 e. n 2  6n  9 ;

d.

f.

2 xy  x 2  y 2 ;

g. 25x4  10 x2 y  y 2 ; h. * a3  8 ; i. * x3  1 . 6. Alakítsd szorzattá az alábbi kifejezéseket! a. 8x2 y 2  72 y 2 z 2 ; b. 5x2  10 xy  5 y 2 ; c. 3xy2  6 xy  3x ; d. x2  2 xy  y 2  4 ; e. 25  x2  2 xy  y 2 ; f.

x2  2 xy  y 2  xz  yz .

7. Alakítsd teljes négyzetté az alábbi kifejezéseket! a. x 2  8 x  10 ; b. x 2  10 x  7 ; c. x 2  2 x  5 ; d. x 2  5 x  1 ; e. 2 x 2  12 x  4 ; f. 3x 2  18x  6 ; g.  x 2  6 x  8 ; h.  x 2  4 x  3 . 8. Állapítsd meg az alábbi kifejezés értelmezési tartományát! 5 x  1 2x 1 7 x :   4  3x 9 x 2 x  1 x  5


10

9. Egyszerűsítsd az algebrai törteket! a.

3x 2  9 x ; 5 x  15

b.

x2  8x ; x 2  64

c.

x 2  12 x  36 ; x 2  36

d. e. f.

ax 2  2ax  a ; x3  x 5 x  5 y  ax  ay ; 4a  20

p 2  pq  px  qx . p 2  2 px  x 2

10. Végezd el az alábbi műveleteket! 2x  5 x 1 a. ;  6 8 4 x  5 y 3x  2 y b. ;  12 18 x 2 x 3 c. 3x  ;  2 3 8 3 d.  ; x 1 x x 3 e. ;  x 3 x 3 4 3 x2 f. ;   2 x2 x2 x 4 5x  1 4  2x g. ;  2 2 2x  6x x  9 1 x 1 h. ;  2 2 x  2 3x  6 x  3 x 2  8 x 64  ; i. 8 x j.

x 2  xy x 2 y  xy2  ; x 2  xy xy

4 p 2  9q 2 2 xp  3xq : k. ; p 2q 2 2 pq

l.

x 2  25 x 2  5 x : . x 2  3x x 2  9

11. Alakítsd szorzattá az x 2  x  2 polinomot!


11

12. Egyszerűsítsd az alábbi törteket! a.

x 2  4 x  32 ; x 2  11x  28

b.

6 x 2  x  15 . 4 x 2  4 x  15

13. Mennyi lehet az x 

1 1 értéke, ha x 2  2  79 ? x x

14. Mennyi lehet az x 2 

1 1 értéke, ha x   3 ? 2 x x

5. témakör: Hatványozás és négyzetgyökvonás Összeállította: Faragó András Követelmények: egész kitevőjű hatványok és a hatványozás azonosságai, normálalak, négyzetgyök fogalma és azonosságai, kiemelés gyökjel alól, bevitel gyökjel alá, nevező gyöktelenítése.

1. A hatványozás azonosságai segítségével hozd a lehető legegyszerűbb alakra! a)

(a · b2 )3 x5

y2

b)

· y3 x 3

c)

(x 3 · y 2 )3 · (x −1 · y)2

d)

(a2 )

3

a2 ·a3

2. A négyzetgyökvonás azonosságai segítségével hozd a lehető legegyszerűbb alakra! a)

√7 √63

b)

√8 · √2

c)

√ 3: 2 a a

d)

(2 · √3 + 1) · (3 − 4 · √3)

e)

√28 + √7 − √63

f)

√6 + √11 · √6 − √11

g)

(√12 + √23 + √12 − √23)

b

b

2


12

3. Gyöktelenítsd a törtek nevezőjét! a) b) c)

1 √3 3 2·√5 5 2+√3

4. Írd át normál alakba! a) 64100000 b) 0,000000561 c) 1720 ∙ 1091 d) 0,0017 ∙ 1043 e) 1723 ∙ 10−14 f) 0,000017 ∙ 10−36 g) 17 ∙ 1091 5. Végezd el a műveleteket és az eredményt add meg normálalakban! 𝐴 = 4 ∙ 1042 𝐵 = 8 ∙ 10−9 a) 𝐴∙𝐵 b) 𝐴⁄𝐵 c) 𝐵⁄𝐴 d) 𝐵 2 e) 1⁄𝐴 6. Végezd el az átváltásokat! a) 1060 cm= m b) 3 ∙ 10−11 m2= cm2 7 c) 9,2 ∙ 10 g= kg d) 690 ∙ 109 dm3= e) 0,072 A= mA

m3

7. Normálalak használatával oldd meg a feladatokat, és a végeredményt is normálalakban add meg! a)

Az elektron töltése 1,6·10-19 C. Mennyi a töltése 0,0000000005 mol elektronnak? Hány db elektronnak a töltése lesz 3500000000000 C? (1mol 6  10 23 db)

b)

Egy szem búza tömege 0,04 g. A 2010-es évben a világ búzatermése nagyjából 675 millió tonna volt, ez hány szem búzát jelent?

c)

A fényév az a távolság, amit a fény egy év alatt megtesz. A fény sebessége 300 000 km/s. Hány km egy fényév?

d)

A fény sebessége hányszorosa a közönséges éti csiga sebességének? (Az éti csiga 3 métert tesz meg óránként.)

e)

Ha 24,5 dm3 térfogatban 6·1023 db gázmolekula van, akkor egy 40x25x5 m-es, téglatest alakú csarnokban hány db gázmolekula van?

f)

A Föld tömege hányszorosa egy db proton tömegének? (A Föld tömege 6·1024 kg, a proton tömege 1,67·10-27 kg.


13

g)

A Föld felszínének kétharmadát víz borítja, ennek átlagos mélysége 3,8 km. Becsüld meg, hány m3 víz van a Földön! (A Föld gömb alakúnak vehető, sugara 6370km. Egy R sugarú gömb felszíne A = 4R2 π.

6. témakör: Elsőfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Összeállította: Faragó András Követelmények: elsőfokú egyenletek megoldása (különböző módszerekkel), egyenlőtlenségek megoldása, előjel vizsgálatot igénylő egyenlőtlenségek, abszolútértékes feladatok, egyenletrendszerek megoldása, szöveges feladatok.

1. Oldd meg az egyenleteket a pozitív valós számok halmazán! a.

2,5(𝑥 + 3) = 1,5𝑥 + 10

b.

4𝑥 − 2 − (𝑥 − 3 − (𝑥 − 1)) = 3𝑥 − 6

c.

21 + 7𝑥 = 2(𝑥 − 3) + 48 − 4(3 − 𝑥)

d. e.

12

f. g. h. i. j.

𝑥

3𝑥

5𝑥

2𝑥

− 4 + 6 = 2−2 3 (3𝑥 − 2)2 − (4𝑥 + 7)2 = 7(4 − 𝑥)(4 + 𝑥) − 3(𝑥 + 1) 2𝑥+3 7−4𝑥 7𝑥−4 11

2

=3 −

14−𝑥 3

>

4(3𝑥−5) 5

(4𝑥 − 51) ∙ (13 − 8𝑥) ≥ 0 3𝑥−6 𝑥+1 2𝑥+3 𝑥−5

<0

< 1,2

k.

|2𝑥 − 5| = 9

l.

|𝑥 + 2| − 3𝑥 = 4

m. |12𝑥 − 3| = 3 ∙ (5 − 𝑥) − 2 ∙ (𝑥 − 4) n.

|𝑥 − 2| − |2𝑥 − 7| = 3

2. Oldd meg az egyenletrendszereket a valós számpárok halmazán! a.

{

𝑥 − 2𝑦 = 11 } 3𝑥 + 2𝑦 = 9

b.

{

0,75𝑥 − 0,25𝑦 = 0,75 4𝑥 − 𝑦 = 2

c.

{

2𝑥 + 3𝑦 = 5 4𝑥 + 6𝑦 = 8

3. A piacon 1700 forintért 2 kg almát és 4 kg körtét vettem. Kétszer ennyi pénzért 10 kg almát és 3 kg körtét vehettem volna. Mennyi az alma illetve a körte kilogrammonkénti ára?


14

4. Egy cég három gyáregységből áll. Az budapesti üzemegység napi termelése 90000 munkadarab, a győrié 60000, a békéscsabaié pedig 75000 darab. Hány %-kal változik az üzem össztermelése, ha a pesti részleg 10%-kal csökkenti, a győri és a békéscsabai egységek pedig 5, illetve 15%-kal növelik a termelésüket? 5. Az 1. számú villanyszerelő brigád a felvállalt munkát 30 nap alatt tudná elvégezni, a 2. számú pedig 40 nap alatt. A határidőig hátralévő idő 17 nap, elkészülnek-e addigra, ha együtt dolgoznak? 6. Mennyi 2%-os és 3,5%-os oldatot keverjünk össze, ha 10kg 3%-os oldatot szeretnénk készíteni? 7. Egy háromjegyű számról azt tudjuk, hogy kisebb 200-nál, és hogy a második számjegye 2vel nagyobb a harmadik számjegyénél. Ha a számból kivonjuk a számjegyeinek összegét, akkor 180-at kapunk eredményül. Mennyi a keresett szám? 8. Anya 29 éves volt, amikor fia született. 11 év múlva az életkora 1 évvel lesz kevesebb, mint a fia akkori életkorának kétszerese. Hány évesek most? 9. Egy gyárban kétféle kávét készítenek, az egyikből 1kg-nak az ára 3300 HUF, a másiknak kilogrammonkénti ára 2500 HUF. A gyárban készítettek 80 kg kávékeveréket, amelyből 1 kg-nak az ára 3000 HUF. Hány kg kávét használtak fel az olcsóbbik fajtából? 10. Egy háromszög két belső szöge úgy aránylik egymáshoz, mint 2 az 5-höz. A harmadik belső szöge pedig a teljes szög egynyolcad részével nagyobb az elsőnél. Mekkorák a háromszög szögei? 11. 125000 Ft-os havi bruttó fizetésünkből 10% TB járulékot és 32% adót vonnak le. Mennyi fizetést kapunk kézhez? A nettó fizetés hány százaléka a TB járulék és hány százaléka az adó? 12. 36 db csavar kerül annyi forintba, ahány csavart 16 forintért kapunk. Mibe kerül egy csavar? 13. Egy munkás egy munkadarabot 30 perc alatt készít el. Ha az elkészítéshez szükséges idő 75%-kal csökken, akkor hány munkadarab készül el 60 perc alatt?

7. témakör: Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek Összeállította: Madár Otília Követelmények: másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek megoldása, másodfokúra visszavezethető problémák, gyöktényezős alak, négyzetgyökös egyenletek, számtani és mértani közép, szöveges feladatok.

1. Oldja meg az alábbi egyenleteket a megadott számhalmazokon! a) 7𝑥 2 + 8𝑥 + 1 = 0, 𝑥∈ℤ 2 b) 14𝑥 − 3𝑥 + 5 = 0, 𝑥∈ℚ c) 2𝑥 2 + 5𝑥 + 25 = 0, 𝑥∈ℝ 2 d) 3𝑥 − 15𝑥 − 18 = 0, 𝑥∈ℕ 2 e) (𝑥 − 4) + 3𝑥 = 10, 𝑥∈ℝ 𝑥+5 𝑥−3 4 f) 𝑥−3 + 𝑥+3 = 𝑥 2 −9 , 𝑥∈ℚ g)

20−2𝑥 𝑥+6

−

2𝑥+2 𝑥+3

= 26,

𝑥∈ℤ


15

2. Oldja meg az alábbi egyenlőtlenségeket a valós számok halmazán és a megoldáshalmazt ábrázolja számegyenesen! a) 𝑥 2 + 2𝑥 − 24 ≥ 0 b) 𝑥 2 − 4𝑥 − 45 ≤ 0 c) 2𝑥 2 + 14 𝑥 < 96 d) −𝑥 2 − 4𝑥 > 3 3. Oldja meg az alábbi egyenletrendszereket a valós számok halmazán! 𝑥 + 𝑦 = 19 a) { 𝑥 ∙ 𝑦 = 84 2𝑥𝑦 − 6𝑥 = −72 b) { 𝑥 + 𝑦 = −2 2𝑥𝑦 = 1200 c) { (2𝑥 − 20) ∙ (𝑦 + 5) = 1200 𝑥 2 + 𝑦 2 = 29 d) { 𝑥 ∙ 𝑦 = −10 4. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) 12𝑥 4 + 72𝑥 2 − 84 = 0 b) 2 ∙ (𝑥 2 + 5)2 − (7 − 2𝑥 2 ) = 163 c) 4𝑥 8 − 14𝑥 4 − 8 = 0 5. Írja fel gyöktényezős alakban az alábbi egyenleteket! a) 𝑥 2 + 17𝑥 + 52 = 0 b) 2𝑥 2 + 3𝑥 − 9 = 0 6. Írjon fel olyan másodfokú egyenletet, melynek gyökei: a) 𝑥1 = 2 é𝑠 𝑥2 = 10 3 1 b) 𝑥2 = − 2 és 𝑥2 = 2! 7. Egyszerűsítse az alábbi törteket! a) b)

𝑥 2 −5𝑥+6 𝑥 2 +7𝑥−18 𝑥 2 −2𝑥−48 −𝑥 2 +𝑥+56

8. Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) √𝑥 2 − 12 = 2 b) √12𝑥 − 32 = 𝑥 c) √20𝑥 + 16 = 4𝑥 + 4 d) √8𝑥 + 4 + √4𝑥 = 10 e) √10𝑥 + 19 − √𝑥 + 13 = √3𝑥 f) √8 + 10𝑥 + √2 − 4𝑥 = √18 + 2𝑥 9. Egy derékszögű háromszög egyik befogója kétszer akkora, mint a másik, a területe pedig 36 𝑐𝑚2 . Mekkorák a derékszögű háromszög befogói? 10. Egy kétjegyű szám egyeseinek számjegye 3-mal kisebb, mint a tízeseinek számjegye. A szám kétszeresének és a számjegyei összegének szorzata 1628. Határozza meg a kétjegyű számot!


16

11. Lili és Zalán barkochbázik. Lili gondolt két számra, melyből az egyik a 12 és a két szám számtani közepe 19. Melyik volt a másik szám, melyre Lili gondolt? 12. A Poszáta családban a szülők elhatározták, hogy gyermekeik számára 18 éves korukig minden évben félretesznek 10 000 Ft-ot. Hány évig kell még félretenniük Hanna és Csanád részére, hogy ha tudjuk, hogy a fiú 12 évvel idősebb lánytestvérénél és életkoruk mértani közepe 8? 13. Gondoltam két számra, melyek számtani közepe 24, mértani közepe 26. Melyik ez a két szám? 14. Pajtinak, a magyar vizslának az udvarban egy téglalap alakú kennelt szeretnének készíteni, melyhez 24 m hosszú drótot használnak fel. Mekkorának válasszák meg a kennel méreteit, ha azt akarják, hogy az elkerített rész maximális területű legyen?

8. témakör: Függvények ábrázolása és jellemzése, függvénytranszformációk Összeállította: Árokszállási Tibor Követelmények: lineáris függvények, másodfokú függvények, abszolútérték függvény, négyzetgyök függvény, lineáris törtfüggvény ábrázolása és jellemzése

1. Állapítsuk meg a következő függvények lehető legbővebb értelmezési tartományát! a. 𝑓(𝑥) = b. 𝑔(𝑥) = c. ℎ(𝑥) =

1 √𝑥−1 √2−𝑥 𝑥 2 −2𝑥−3 1 1 + 𝑥 𝑥−3 1 1+ 1 1+ 𝑥−2

2. Függvény transzformációk alkalmazásával ábrázoljuk és vizsgáljuk a következő függvényeket a valós számok halmazán! a. ℎ(𝑥) = −3𝑥 + 6 b. 𝑓(𝑥) = |𝑥 + 3| − 4 c. 𝑔(𝑥) = 𝑥 2 − 6𝑥 + 8 2 d. 𝑚(𝑥) = 𝑥 e. 𝑛(𝑥) =

𝑥+1

𝑥 𝑥+2

f. 𝑝(𝑥) = 𝑥+1 g. 𝑠(𝑥) = √𝑥 − 3 h. 𝑙(𝑥) = √𝑥 2 − 6𝑥 + 9 − 2

3. Állapítsuk meg a következő függvények szélső értékét a megadott értelmezési tartományon! 𝑓(𝑥) = −3𝑥 + 12; 𝑔(𝑥) = −𝑥 2 + 4𝑥 − 3;

𝐷𝑓 = [𝑥 ∈ 𝑅/−1 ≤ 𝑥 ≤ 3] 𝐷𝑔 = [𝑥 ∈ 𝑅/𝑥 ≥ 0]


17

4. Egy pont mozog a 10 cm hosszú zárt szakasz belsejében. A pont minden helyzetében rajzoljuk meg a végpontok és a mozgó pont fölé rajzolható 2 db négyzetet. A mozgó pont mely helyzetében lesz a négyzetek területének összege minimális?

5. Tekintsük a 20 cm kerületű téglalapokat! Melyik lesz ezek közül a maximális területű? 9. témakör: Geometriai alapismeretek Összeállította: Káspári Tamás Követelmények: alapfogalmak és síkidomok tulajdonságainak ismerete, háromszögek, négyszögek, konvex sokszögekre vonatkozó tételek, négyszögek csoportosítása, nevezetes ponthalmazok, nevezetes vonalak, Pitagorasztétel és megfordítása, Thalesz-tétel és megfordítása, területszámítás, szögmérés, körív hossza, körcikk területe.

1. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz és melyik hamis! A: A háromszög köré írható kör középpontja mindig valamelyik súlyvonalra esik. B: Egy négyszögnek lehet 180°-nál nagyobb belső szöge is. C: Minden trapéz paralelogramma. 2. Egy háromszög oldalhosszúságai egész számok. Két oldala 3 cm és 7 cm. Döntse el a következő állításokról, hogy igaz vagy hamis! 1. állítás: A háromszög harmadik oldala lehet 9 cm. 2. állítás: A háromszög harmadik oldala lehet 10 cm. 3. állítás: A háromszög nem lehet egyenlőszárú. 3. Hányszorosára nő egy 2 cm sugarú kör területe, ha a sugarát háromszorosára növeljük? 4. Egy háromszög belső szögeinek aránya 2:5:11. Hány fokosak a háromszög belső és külső szögei? 5. Hány fokos szöget zár be az óra kismutatója és nagymutatója (percmutatója) 5 órakor? 6. Két közös középpontú kör sugarának különbsége 8 cm. A nagyobbik körnek egy húrja érinti a belső kört és hossza a belső kör átmérőjével egyenlő. a) Készítsen rajzot! b) Mekkorák a körök sugarai? 7. Egy húrtrapéz szárai 10 cm hosszúak, alapjai hosszának különbsége 12cm, a területe 80 cm2. Mekkorák a trapéz alapjai? 8. Egy szabályos háromszög súlypontja 6 cm-re van a csúcsoktól. Mekkora a háromszög oldala? Az oldalt mm-es pontossággal adja meg!


18

9. Az ábrán egy ejtőernyős klub kitűzője látható. (Az egyik körív középpontja a szabályos háromszög A csúcsa, a másik körív középpontja az A csúccsal szemközti oldal felezőpontja.) Ezt a lapot fogják tartományonként színesre festeni.

a) Számítsa ki egyenként mindhárom tartomány területét, ha a=2,5 cm! Számításait legalább két tizedesjegy pontossággal végezze, és az így kapott eredményt egy tizedesjegyre kerekítve adja meg! b) Hányféle módon festhető színesre a kitűző, ha minden tartományt a piros, a sárga és zöld és a kék színek valamelyikére festenek a következő két feltétel együttes figyelembe vételével: (1) szomszédos tartományok nem lehetnek azonos színűek; (2) piros és sárga színű tartomány nem lehet egymás mellett. (Szomszédos tartományoknak van közös határvonala.) 10. Egy körbe írt trapéznak három egyenlő hosszúságú oldala van, a negyedik oldala a kör átmérője. Mekkorák a trapéz szögei? 11. Egy egyenlő szárú trapéz érintő négyszög is egyben. A beírható kör sugara 6 cm hosszú, az alapok hosszának a különbsége 10 cm. Mekkorák a trapéz oldalai. Mekkora a trapéz területe? 12. Egy 10 cm oldalhosszúságú négyzet egyik csúcsából három olyan egyenest húzunk, melyek egyenlő területű részekre vágják szét a négyzetet? Mekkorák az egyeneseknek a négyzetbe eső szakaszai? Válaszát mm pontossággal adja meg! 13. Egy paralelogramma két szögének az aránya: 3 : 5. Az egyik átló merőleges a 10 cm hosszúságú oldalra, a paralelogramma területe: 241 cm2. Mekkorák a paralelogramma szögei és a hiányzó oldal? 14. Egy 5 cm sugarú kör O középpontjának és a sík egy P pontjának távolsága 12 cm. Mekkora a P-ből a körhöz húzott érintőszakasz hossza?


19

10. témakör: Egybevágósági transzformációk Összeállította: Káspári Tamás Követelmények: egybevágósági transzformációk alkalmazásai (identikus transzformáció, tengelyes tükrözés, középpontos tükrözés, pont körüli forgatás, párhuzamos eltolás), szimmetrikus alakzatok, egybevágó alakzatok, háromszögek egybevágóságának alapesetei

1. Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! A: Minden rombusznak pontosan két szimmetriatengelye van. B: Minden rombusznak van két szimmetriatengelye. C: Van olyan rombusz, amelynek pontosan két szimmetriatengelye van. D: Nincs olyan rombusz, amelynek négy szimmetriatengelye van. 2. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A: A szabályos ötszög középpontosan szimmetrikus. B: Van olyan háromszög, amelynek a súlypontja és a magasságpontja egybeesik. C: Minden paralelogramma tengelyesen szimmetrikus. 3. Döntse el, hogy a következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis! A: Ha egy háromszög tengelyesen szimmetrikus, akkor az egyenlőszárú. B: A háromszögek között nincs középpontosan szimmetrikus. C: A középpontosan és a tengelyesen szimmetrikus négyszögek a négyzetek. 4. Tükrözzön tengelyesen egy szakaszt egy egyenesre. A szakasz képe párhuzamos az eredeti szakasszal. Milyen helyzetű a szakasz és a tengely? 5. Adott két párhuzamos és egyenlő hosszúságú szakasz. Szerkesszen középpontot, amire tükrözve az egyik szakasz képe a másik szakasz lesz. 6. Egy egyenlő szárú háromszög alaphoz tartozó magassága a háromszöget két háromszögre vágja szét. Mutassa meg, hogy a két háromszög egybevágó. 7. Mutassa meg, hogy egy négyszög átlójának a hossza kétszer akkora, mint az átlót közrefogó oldalak felezési pontját összekötő szakasz hossza! 8. Adott egy szakasz és egy kör. Tolja el a szakaszt úgy, hogy a végpontjai a körre kerüljenek! 9. Válassza ki az alábbi alakzatok közül a középpontosan, a tengelyesen és a forgás szimmetrikusakat: a, kör b, szabályos háromszög c, négyzet d, deltoid e, húrtrapéz. Ezek közül melyik nem lehet középpontosan szimmetrikus?


20

11. témakör: Hasonlóság Összeállította: Árokszállási Tibor Követelmények: középpontos hasonlóság, hasonlósági transzformáció, hasonló alakzatok, háromszögek hasonlóságának alapesetei, arányossági tételek, szögfelező tétel, hasonló síkidomok kerületének és területének aránya, hasonló testek felszínének és térfogatának aránya.

1. Osszunk egy adott szakaszt öt egyenlő részre! 2. Az egységszakasz ismeretében szerkesszük meg egy adott szakasz reciprokát! 3. Adott téglalaphoz szerkesszünk vele azonos területű négyzetet! 4. Adott kör egy szeletébe szerkesszünk négyzetet, melynek csúcsai a szelet kerületén vannak. 5. Szerkesszünk egyenlőszárú háromszöget, ha adott a szárszöge és a beírt kör sugara! 6. Adott egy kör és rajta kívül egy egyenes. Tetszőleges körön kívüli pontból nagyítsuk (vagy kicsinyítsük) a kört úgy, hogy az egyenest érintse. Diszkutáljuk a feladatot! 7. Egy háromszög alapja 10 cm, hozzátartozó magassága 8 cm. Mekkora a beírt négyzet oldala? 8. Egy derékszögű háromszög befogói 6 cm és 8 cm. Mekkora a derékszögű csúcsból induló magasság? 9. Egy derékszögű háromszögbe rajzoljunk félkört úgy, hogy az átmérő az átfogón legyen, és a kör érintse a befogókat. Mekkora a sugár, ha a befogók 4 cm és 5 cm hosszúak? 10. Egy trapéz egyik alapja a másik alap háromszorosa. milyen arányban osztják egymást a trapéz átlói? 11. Igazoljuk, hogy a háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást! Bizonyítsuk, hogy a derékszögű háromszögben a befogók négyzeteinek aránya megegyezik a befogók átfogóra eső vetületeinek arányával! 12. Bizonyítsuk, hogy a háromszögben a magasságpont a magasságokat két olyan részre osztja melyek hosszának szorzata független a választott magasságtól!


21

12. témakör: Hegyesszögek szögfüggvényei Összeállította: Bölcsföldi Tünde Követelmények: hegyesszögek szögfüggvényeinek alkalmazása feladatokban, összefüggések, nevezetes szögek szögfüggvényei, területszámítás, síkbeli és térbeli számítások.

1. Egy mélygarázsba vezető, egyenes lehajtó 12 m hosszú. Milyen mélyre visz a lehajtó, ha a lejtő a vízszintessel 16°-os szöget zár be? 2. Egy pincébe vezető lejárat mélysége 132 cm, míg a lejárat a vízszintesre való merőleges vetülete 244 cm. Mekkora a lejárat hajlásszöge a vízszinteshez képest? 3. A Balaton szintje fölötti 120 m magasságból egy vitorlás 4°50’-es depressziószög (lehajlási szög) alatt látszik. Milyen távol van tőlünk a vitorlás légvonalban? 4. Határozd meg az  hegyesszög nagyságát, ha a. sin 7  cos3  15 ; b. tg 2  13  ctg   28 . 5. Számítsd ki az  hegyesszög hiányzó szögfüggvényének értékét  meghatározása nélkül, ha 2 a. sin   ; 3 7 b. tg  . 5 6. Határozd meg számológép és függvénytáblázat használata nélkül a következő kifejezések pontos értékét: a. sin 60  3  cos 30  2  tg 45 ; b.

sin 45  3  tg 30 ; sin 45  3  tg30 

c. sin

 6

 ctg

 4

 cos

 3

 tg 2

 3

.

7. Egy derékszögű háromszög  hegyesszögére tg  1,5 . A háromszög területe 24 cm2. Számítsuk ki a háromszög szögeit és befogóinak hosszát. 8. Egy 12 cm sugarú körben levő 15 cm húrhoz mekkora középponti szög tartozik? 9. Egy háromszög területe 29,5 cm2, két oldalának hossza pedig 7 cm és 10 cm. Számítsd ki a két oldal által közbezárt szög nagyságát. 10. Egy paralelogramma két szomszédos oldalának hossza 6 cm és 9 cm, az általuk bezárt szög 47°38’. Számítsd ki a paralelogramma területét.


22

11. Egy szabályos tizenkétszög köré írt körének sugara 15 cm-es. a. Mekkorák a szabályos tizenkétszög oldalai? b. Mekkora a szabályos tizenkétszög kerülete? c. Mekkora a szabályos tizenkétszög területe? 12. Egy egyenlőszárú háromszög alapjának hossza 24 cm, rajta fekvő szögei 84,3°-osak. Számítsd ki a háromszög a. szárainak hosszát; b. területét; c. köré írható körének sugarát. 13. Egy trapéz hosszabb alapja 26 cm hosszú, rajta 38,6°-os és 74,55°-os szögek vannak. A trapéz magassága 10 cm. a. Mekkorák a trapéz hiányzó oldalai? b. Mekkora a trapéz kerülete és területe? 14. Egy hegyre a keleti és nyugati oldalról két ösvény vezet, amelyek azonos szintről, egymástól légvonalban 12 km távolságra indulnak. Milyen magas a hegy, ha a két ösvény emelkedési szöge 22,8°és 17°25’? 15. Egy 75 méter hosszú egyenes lejtős út aljáról az út felső végén levő emlékmű 4°-os szög alatt látszik. Milyen magas az emlékmű, ha a lejtő hajlásszöge 20°? 16. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 10 cm hosszú, magassága 15 cm. Számítsd ki a. az alaplap és oldallap hajlásszögét; b. az alaplap és oldalél hajlásszögét; c. két szemközti oldallap hajlásszögét; d. két szemközti oldalél hajlásszögét; e. * két szomszédos oldallap hajlásszögét. 17. Egy szabályos négyoldalú gúla alapéle 12 cm hosszú, oldalélei pedig 10 cm-esek. a. Számíts ki a gúla oldallapjának a gúla alapéléhez tartozó magasságát. b. Számítsd ki az alaplap és oldallap hajlásszögét; c. az alaplap és oldalél hajlásszögét; d. két szemközti oldallap hajlásszögét; e. két szemközti oldalél hajlásszögét; f. * két szomszédos oldallap hajlásszögét.


23

13. témakör: Statisztika Összeállította: Kószó Krisztina és Krizsán Árpád Követelmények: statisztikai adatok ábrázolása, átlag, módusz, medián.

1. Peti matematika jegyeit az alábbi táblázat tartalmazza! A táblázat adatai alapján válaszolj a kérdésekre! Jegyek 1 2 3 4 5 Jegyek száma 2 3 6 7 3 a. Mennyi Peti jegyeinek módusza? b. Mennyi a jegyek mediánja? c. Mennyi a jegyek átlaga? d. Hogyan változik meg az módusza, mediánja és átlag, ha még 1 db 5-öst szerez Peti? e. Peti hány 1-est kaphat még az év során, hogy az átlaga 3-as fölött maradjon? 2. Az alábbi kördiagram egy 720 hektáros területtel rendelkező gazdaság terület-hasznosítását mutatja. a. Határozd meg, hogy átlagosan mekkora terület jut egy-egy növénynek! b. A gazda minden növényt megtekint hetente. Hány héten mehet körbe úgy, hogy ne valamilyen korábbi sorrendben nézze meg a fejlődést? c. Készíts szalagdiagramot az adatokból! (A diagramon a fokban megadott középponti szögek szerepelnek a körcikkekben!) 36 40,5

kukorica búza 108

175,5

árpa rozs

3. Egy kávéautomatába fél óra alatt a következő érméket dobták be (a felírt sorrendben): 20, 20, 20, 5, 10, 10, 50, 5, 10, 20, 5, 5, 5, 10, 50, 50, 20, 10, 10, 50, 5, 5, 10, 20, 5, 50, 50, 10, 5, 5, 5, 10, 10. a. Készíts táblázatot az érmék gyakoriságáról, add meg a mediánt és a móduszt! b. Legalább hány darab 50 Ft-os érmét kell az automatába dobni, hogy a medián 20 legyen? 4. Egy focicsapat átlagéletkora 26 év. Mennyi lesz az átlagéletkor, ha egy csere során egy 32 éves játékos helyére egy 20 éves jön a pályára? 5. Két középiskolában összehasonlították a matematika érettségin szerzett pontokat. Az egyikben 62 pont lett az átlag, a másikban 52 pont. A két iskola összesített eredményeinek átlaga 56,21 pont. Hány tanuló érettségizett a két iskolában külön-külön, ha tudjuk, hogy az egyik iskolában 30-cal többen voltak?


24

6. A 30 fős osztály legutóbbi dolgozatának átlaga 3,5 volt, de csak 26-an írtak. a. Ha a hiányzók is megérkeznek és megírják a dolgozatot, milyen határok között változhat az osztályátlag? Add meg százalékban is az eredeti átlagtól lehetséges eltéréseket! b. Milyen eredmények születhettek a hiányzók dolgozatain belül, a ha a teljes átlag végül 3,6 lett? Ez a hiányzó tanulók szempontjából hányféle lehetséges eredményt jelent?


25

Minta feladatlap – A 2013. június 3-i kisérettségi A kisérettségi dolgozat két részből áll. Az első rész 8 egyszerű, rövid választ és rövid számolást igénylő feladatot tartalmaz, amelyek megoldására 30 perc áll rendelkezésre. A második rész 4 összetett, több részkérdést és több számolást igénylő feladatot tartalmaz, a megoldásárára szánt idő 60 perc. A két rész között szünet nincs. A feladatokat önállóan kell megoldani. Használható segédeszközök: négyjegyű függvénytáblázat, számológép, toll, körző, vonalzó. A dolgozatot kék vagy fekete tollal kell írni, az ábrákat ceruzával is lehet készíteni. Az ábrákon kívül ceruzával írt részek nem értékelhetők. A szürkített négyzetek a pontozásra szolgálnak, kérjük oda ne írj semmit.

Összeállította: Krizsán Árpád

I. rész 1. Egyszerűsítsd a következő törtet!

2a 2  2ab a 2  b2

3 pont 2. Az A halmaz elemei a 40-nél kisebb 5-tel osztható számok. A B halmaz elemei a 49-nél nem nagyobb négyzetszámok. Add meg az A  B és a B\A halmazokat az elemek felsorolásával!

A  B={ } 2 pont B \ A={ } 2 pont 3. Add meg az f x   2x  8  3 függvény értelmezési tartományát és értékkészletét!

Értelmezési tartomány: 2 pont Értékkészlet: 1 pont 4. Mekkorák annak az egyenlőszárú háromszögnek a szögei, amelynek a szárszöge az alapon fekvő szögek 2-szeresénél 14 fokkal nagyobb? Válaszodat indokold!

A háromszög szögei: KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

2 pont 1 pont 26

5. Egy derékszögű háromszög két befogója 10 és 24 cm. Mekkora az átfogó és mekkorák a háromszög hegyesszögei. A szögeket egy tizedesjegyre kerekítve add meg! Válaszodat indokold!

Átfogó: 2 pont Szögek: 3 pont 6. A 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 számjegyek felhasználásával hány különböző háromjegyű szám állítható elő, ha a számjegyek nem ismétlődhetnek?

3 pont 7. A következő állításokról döntsd el igazak vagy hamisak! a. Két prímszám összege mindig páros. b. Van olyan szabályos sokszög, aminek minden szöge tompaszög. c. Két szám akkor relatív prím, ha legalább az egyik prím, vagy 1.

a. 1 pont b. 1 pont c. 1 pont 8. Ha két háromszög hasonló, és az egyik leghosszabb oldala a másik háromszög leghosszabb oldalának háromszorosa, akkor hányszor akkora a területe ugyanennek a háromszögnek a másikhoz viszonyítva?

2 pont


27

II. rész 9. Egy térkép méretaránya 1:25000! a. A térképen 6 cm és 9 cm oldalú téglalap területe mekkora a valóságban? b. Ha ez egy városi park alaprajza, akkor mekkora területet kellene térkővel burkolni, ha az egész parkot (a megadott területen belül) 4 m széles úttal vesszük körbe? c. Mennyibe kerül a térkövezés, ha egy négyzetméter 5500 Ft-ba kerül? A választ millió forintban egy tizedesjegyre kerekítve add meg! 4 pont 7 pont 4 pont


28

10. Egy tanuló osztályzatai a tanév során a következők voltak: 2, 4, 5, 5, 3, 4, 1, 4, 4, 5, 3. a. Ha a tanára 7 tizedtől ad jobb jegyet, akkor milyen jegyet kap év végén, ha 4-est kap a kisérettségin és ennek jegyét 5-szörösen számolja tanára? b. Hány 5-öst kellene még szerezni, hogy az átlag 4 fölé emelkedjen? c. Mennyi lesz a legkevesebb szükséges ötös megszerzése esetén a jegyek módusza? 4 pont 6 pont 2 pont


29

11. Egy ferde hajítás esetén a test magasságát a ht   t 2  5t  14 függvény adja meg az idő függvényében méter mértékegységben. a. Milyen magasról hajítottuk el a testet? b. Mikor ér földet a test? c. Milyen magasra emelkedik és az elhajítás után mikor lesz a legmagasabban? 3 pont 6 pont 6 pont


30

12. Egy 75 m hosszú egyenes lejtős út aljáról az út felső végén levő emlékmű 4 fokos szög alatt látszik. a. Milyen magas az emlékmű, ha a lejtő hajlásszöge 20 fok? b. Készíts ábrát az adatok feltüntetésével! 8 pont 4 pont

Értékelés: A dolgozat értékelése a maximális pontszám százalékában történik az alábbiak szerint: 80%-tól jeles (5), 60%-tól jó (4), 40%-tól közepes (3), 25%-tól elégséges (2). Az érdemjegyek négyszeres súlyozással kerülnek be a naplóba.

Eredményes munkát, jó felkészülést kívánnak a reál munkaközösség tagjai! KISÉRETTSÉGI TÉMAKÖRÖK ÉS TEMATIKUS GYAKORLÓ FELADATOK MATEMATIKÁBÓL AZ ENERGETIKAI SZAKGIMNÁZIUM ÉS KOLLÉGIUM 10. ÉVFOLYAMOS DIÁKJAI SZÁMÁRA

31

Kisérettségi témakörök és tematikus gyakorló feladatok matematikából

Recommend Documents