KETERKONTROLAN DAN KETEROBSERVASIAN SISTEM LlNlER
MAKALAH
-
~'rs
, ,.
,
,
;
p, c
'
S ' \.
... ;;I
.
.t'>,
. -. , ;
.
& ' V . r n . & - ;
..,:=*:..<.,
OLEH:.-- -- . DRA. MARLlANl
. A
_ ._
.
JURUSAN PENDlDlKAN MATEMATIKA FPMIPA IKlP PADANG 1999
--. .
*.--,,
-
._
Kata Pengantar Puji syukur penulis aturkan kepada Yang Maha Kuasa karena dengan karuniaNya penulis manlpu menyelesaikan makalah dengan judul Keterkontrolan d a n Keterobservasuian Sistem Linier. dengan maksud untuk menambah referensi tentang Makalah ini tlit~~lis matematika terapa 11 khususnya dalam bidang Persamaan Diferensial dan Kontrol di Jurusan Matelnatika FPMIPA IKIP Padang, selama ini sedikit sekali bahan bacaan dalam bidang tersebut yang ditulis oleh staf pengajar Jurusan Matematika sendiri. Disamping itu, materi dari tulisan ini merupakan aplikasi dari matematika 111urni terutama bidang Kalkulus dan Aljabar. Jadi, tulisan ini juga dima.l<su(lkanuntuk memotivasi para pengajar dan mahasiswa matematika untuk lebih rnendalarni matematika mengingat matematika sangat penting dalam kaitannya dengan bidang lain. Terima kasih penulis aturkan kepada rekan-rekan sejawat yang telah membaca dan menil~erilianmasukan berharga tentang perbaikan makalah ini. Semoga makalah sc.clerhana ini bermanfaat bagi pembaca.
Padang, Juli 1999
Daftar Isi Kata Pengantar Daftar Isi 1 Pendahuluan
1
..........
1
..................
1
1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Permasalahan . . . . . . . . . . 2 Pembahasan
2
2.1
Ouput yang 'Terkontrol . . . . . . . . . . . . . . . . .
......
2
2.2
State yang Da.pat Dikontrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.3
Keterobservasian . . . . . . . . . . . . . .
............
15
3 Kesimpulan
Daftar Pustaka
Bagian 1 Pendahuluan 1.1 Latar Belakang Pengetahuan nlengenai sistem linear sangat diperlukan untuk menget ahui kelakuan dari proses dinamik. Walaupun dalam praktek sangat sedikit i ini sering kali digunakan untuk mendekati sistem yang linear, t . ~ t a p sistem model tak linear. Selain itu, pengertian mengenai sistem linear sangat berguna untuk mempelajari sistem nonlinear.
I.2
Perrnasalahan
Dalam tulisan ini akan dibahas tentang lteterkontrolan dan keterobservasian sistem linier. Iihususnya, tentang apa syarat perlu dan cukup untuk keterkontrolan dan l<et.erobsevasiansuatu sistem linier.
Bagian 2 Pembahasan 2.1
Ouput yang Terkontrol
Diberilcan sistem
x = A(t)x
+ B ( t ) u+ E ( t ) w ,
+
y = C(t)x D(t)u
(2.1)
+ F(t)w,
dimana A , B, C, D , E'.dan F berturut-turut menyatakan matriks n x n , n x r , m x n , m x r , n x p. dan m x p. x E C n disebut vektor state, y E Rm vektor ouput, u E R' vektor input (control), dan w E RP vektor disturbance. Ingin diketahui apakall terdapat input u ( t )yang mentransfer y ( t ) dari y(to) ke
~(tl). Definisi 2.1 Untuk sllatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.1) dikatakan mempunyai output terkontrol pada saat tojika untuk setiap yo dun yl sebarang, terdapat u ( t ) dun t l , l o
< t < t l < m, sehingga output y ( t ) yang
berkaitan
dengan u ( t ) memenuhi y(to) = yo, y ( t l ) = y1 Misalkan @ ( tT, ) aclalah matriks transisi dari sistem persamaan diferensial x = A ( t ) x dan rang [C'(to), D ( t o ) ]= m. Maka kita punyai teorema berikut. Teorema 2.1 Sistenr (3.1) mempunyai output terkontrol pada saat to jika dun
hanya jika no1 bukan nilai eigen dari Y ( t o ,t l ) untuk suatu tl
> to dimana
Bukti: Perhatikan lsa,hwa dari (2.6) didapat hubungan
Dengan menggunakan Lemma Dirac delta, Lemma 2.6.1 , diperoleh
Untuk mencari solusi rc(t) , mula-mula dihitung x(to)
Karena rang dari [C(to),D(to)] = m, maka [C(to) D(to)] mempunyai invers kanan. Ini mengakibat)kan adanya solusi, untuk x(to) dan u(to). Selanjutnya definisikan transforma.si linier
dan tulis
maka diperoleh T ( u ) = perhatikan
Y.
Untuk menentukan transformasi adjoint dari T,
Sehingga T*(v) = GT(t)v
dan
Transformasi T T * adalah matrilts n x n, nyatakan sebagai Y(to,tl) yaitu
Sistem (3.1) outputnya terkontrol T ( u ) = 2 punya solusi u(t) untuk
Y sebarang.
Ker(T*) = 0
(dari Lemma 2.4.5)
I<er(TT*)=O
(dari Lemma2.4.6)
TT* = Y ( t ot,l )
tidak mempunyai nilai eigen
yang sama dengan no1 (dari Lemma 2.5.1 dan definisi Y(to,tl)). Jika didefinisikan
dan dengan mengguna.l;an Lemma Dirac delta, yaitu Lemma 2.6.2, maka (3.2) dapat dinyatakan da,la,mbentuk
dimana S menyatakail bilangan positif besar sebarang yang merupakan indeks nilai fungsi delta Dira.c di nol.
Lemma 2.1 M i ~ a l k n Y(to, i ~ t l ) def =
Lo G ( r ) G T ( r )d r , tl
dimana G ( r )
adalah
matriks n x m sebarnizg. Maka pernyataan berikut ekivalen.
1. No1 bukan nila i r dgen dari Y (to,t l )
2. lY(t0, t l ) 1
#0
3. Y(to,tl) > 0 (dcfinit positif)
2. Definisikan @(A) = I (Y - X I ) I . Jika X I , X2, nilai eigen dari Y malia
Bulcti: 1.*
@(A) = J ( Y- X I ) / = (XI
-
0
- ,An
adalah
X)(X2 - A ) . . - (An - A )
Jika diketahui no1 bu1;a.n nilai eigen dari Y maka lYl
-
Xi
# 0 V i,
jadi
# 0.
3. Diketahui 11.1 # 0 akan ditunjukkan Y > 0 Karena Y adjoint dellgan diri sendiri, maka menurut Lemma 2.5.2 terdapat himpunan ortonormal e 1, ez, . ,en, yang merupakan vektor eigen dari Y, yang 2.+
berturut-turut berkorespondensi dengan nilai eigen X1X2,
. ,An. Selanjutnya
karena
=nX; n
IYI
#O
j
Xi # O V i .
i=l
Maka diperoleh
A; = c T l ' e ; # 0 dimana Ye; = X;e;,
Te; = 1
Tetapi karena vektor eigen el, e2,.- . ,en merupakan basis dari Cn,maka untuk sebarang vektor x E Cin dapat dinyatakan sebagai x = Cy=,aiei. sehingga
Tetapi karena semua X i positif, maka Cy=lXXilai12 2 0 dan ini sama dengan no1 jika semua a; sama, dengan nol, yaitu jika x = 0. Jadi Y > 0. 3 . d 1. Misalkan X nilai eigen dari Y maka
Karena diketahui Y tlefinit positif maka X positif. Jadi no1 bukan nilai eigen dari Y. Sistem Invarian terhadap Waktu Jika matriks A, B, C. D,E, dan F konstan maka dari (3.3) d m (3.4) diperoleh
Sehingga, dari Teorelxa 3.1.1 dan Lemma 3.1.1, diperoleh ha1 berikut . Sistem invarian terhadap waktu outputnya terkontrol pada saat t o jika dan hanya jika
Teorema 2.2 Sisten? invarian terhadap waktu
x=Ax+Bu y =c x outputnya terkontrol ;jika d u n hanya jika
atau ekivalen denga,~?
Ps[CB CAB
CAn-'B]
mempunyai rang m .
Bukti: Dari (3.7) clan dengan mensubstitusikan D = 0 ke (3.6) diperoleh (3.9). Selanjutnya alian dibuktikan (3.10). Untuk itu definisikan
Dengan menggunakan (2.7), yaitu
diperoleh
Definisi kan vj =
M aka
1'
aj(t1 - T ) U ( T ) d~
Misalkan sistem (3.S) outputnya terkontrol maka untuk Y sebarang, persamaan (*) dapat diselesaikan (untuk v ) . Sehingga menurut Teorema 2.1.2 rang P = m. Sebaliknya misallian rang P = m maka menurut Teorema 2.1.2 sistem (*) selalu dapat diselesaikan (untuk v ) . Jadi terdapat u yang memenuhi persamaan tersebut. Dengan kata lain sistem terkontrol.
2.2
State yang Dapat Dikontrol
Tinjau sistem persanlaan diferensial
i = A ( t ) x + B ( t ) u+ E ( t ) w Definisi 2.2 Untuk srtatu w ( t ) yang ditentukan sebarang, sistem (3.11) dikatakan
mempunyai state ter.l,.orztrol pada saat to jika untuk setiap x ( t o ) dun x ( t l ) sebarang, terdapat u ( t ) dan t l , to
5 t 5 tl <
oo, sehingga solusi x ( t ) yang
berkaitan dengan u ( l ) memenuhi x ( t o ) = xo, x ( t l ) = x l . Yaitu, terdapat u ( t ) yang membawakan ro k e
XI
dalam waktu t l .
Teorema 2.3 Sistem (3.11) mempunyai state terkontrol pada saat to jika dun
hanya jika X ( t o ,t l ) > 0 untuk suatu tl > to dimana X ( t o ,t l ) didefinisikan oleh. (3.3). Bukti ini diperoleh dcngan mensubstitusikan C = I, D = 0 dan F = 0 Teorema 3.1.1 dan de~lganmenggunakan Lemma 3.1.l. Teorema 2.4 Sister,, invarian terhadap waktu x = Ax
ke
+ B u mempunyai state
terkontrol jika dun I~cr~zya jika X ( t o , t l ) > 0 atau ekivalen dengan
mempunyai rang n . Bukti dari teorema ini diperoleh dengan mensubstitusikan C = I , D = 0 dun F = 0 ke Teorema 3.1.2. Dari Teormea 3.2.2 diperoleh Lemma berikut
Lemma 2.2 X ( t o ,t l ) > 0 untuk suatu tl > to jika dun hanya jika r a n k [ B A B n
d'imana
Keterkontrolan dari Transformasi Koordinat Perhatikan Sistem linier
x = Ax+ Bu y=Cx+Du Jika dilakukan transforma.si koordinat x = M q , dimana M adalah matriks tak singulir, maka diperoleh
Mq=AMq+ Bu y=CMq+Du
Teorema 2.5 Tranqli)rmasi koordinat dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state atav output dari sistem linier
-
An-' B1
Bukti: Dari (3.4)diperoleh Y(to,tl) =
D D ~+SD ( M - ~ B ) ~ ( C M ) ~+ CMM-IBD~
Jadi uji keterkontrola 1 1 . Y (to,t l ) , tidak berubah. Hal ini menunjukkan bahwa keterkontrolan dari output tidak berubah jika dilakukan transformasi koordinat. Selanjutnya, d e ~ ~ g amensubstitusikan n C = I, D = 0 diperoleh bahwa uji keterkontrolan da.ri state, yaitu X(to, t l ) , juga tidak berubah. Teorema 2.6 MisalXvn A mempunyai nilai eigen yang saling
berbeda dun M def = [vl
. . . v,], dimana vl, vz, - ,v, adalah vektor eigen dari
A. Maka sistem (3.14) mempunyai state yang terkontrol jika dun hanya jika B = M-'B tidak mfrnpunyai baris nol.
Bukti: Dari (3.14 ) cliperoleh
dimana A = M-' AM clan B = M-' B. Andaikan baris dari 23 ada yang sama dengan nol, misalkan baris ke-i, maka 4.; = Xiqi, dimana Xi adalah nilai eigen yang berkorespondensi dengan vektor eigen vi. Dalam kasus ini komponen ke-i dari solusi, yaitu qi berbentuk qi = cexit. Untuk c # 0, q; tidak dapat dibawa ke no1 didalam waktu hingga, karena untuk Xi > 0 ex" + m atau untuk Xi < 0 exit + m , jika t + m . Ini berarti kompone~ I ke-i tidak terkontrol. Sehingga solusi t ak terkontrol, bertentangan dengall sitem mempunyai state terkontrol. Ini membuktikan bahwa jika st atenya t crl
+
x;=,
$7
Misalkan bi adalah baris ke-i dari ??3 dan u ( t ) = Pje-'jt dimana Pj adalah konstanta yang tidak diketahui. Maka komponen ke-i dari q ( t ; ) adalah
atau
dimana
d ; ( t ) = e-,'tf 6;
dan
Dalam bentuk matrilis, setelah digabung, didapat
atau
Untuk menunjukkan Imhwa invers dari [(Oi ( r ) ,0j ( T ) ) ]ada perhatikan ha1 berikut . Dari asumsi diketahui b; # 0 'd i dan X i berbeda. Ini mengakibatkan { O j ( t ) ) ,
j = 1 , 2 , . . . ,n bebas linier. Misalkan G ( t ) = [O1(t)02(t). . . O,(t)] dan &fin-
isikan
*
Jelas bahwa , IIG(t)sl12 = 0 G ( t ) x = 0. Karena {Oj(t))bebas linier maka persamaan G(f1.r = 0 hanya dipenuhi oleh x = 0. Ini berarti matriks J," G T ( ~ )d~~ d(~ ~f i n)ipositif. t Sehingga menurut Lemma 3.1.1 matriks ini tak singulir. Oleh ka.rena itu
=
ltl
G T ( r ) G ( r d) r
adalah matriks tak siligulir. Dari (*) didapat
Jadi fungsi inputnya. adalah
Teorema 2.7 Sisten~dalam bentuk Jordan
m e m p u n y a i state terliontrol jika d u n hanya jika I. {bit, bjt,
. . . ,bkl) adalah h i m p u n a n bebas linier, d i m a n a J ; , Jj, . . . ,J k
adalah blok Jor.rlnn dengan nilai eigen s a m a Xi d u n b$ adalah baris teralchir dari B i .
2. bPt # 0 jika J , c~dnlahsatu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.
Bukti: Untuk menyetlerhanakan pembuktian, asumsikan hanya ada tiga blok.
dengan BT = [bll b12 b13 I b21 (3.15) diperoleh
b22
I b31
b32]. Menurut Teorema 3.2.2 dan dari
Dengan induksi matc~natikadapat dibuktikan bahwa
Syarat perlu dari ( 2 ) cukup jelas karena, sebagai contoh, jika b32 = 0 maka baris ke-7 dari P adalah baris no1 dan rang P < n. Untuk melihat syarat perlu dari (I), misalkan b22 = ab13. Maka dengan melakukan operasi baris elementer (kalikan baris ke-3 dengan CY lalu tambahkan ke baris ke-5) diperoleh baris ke-5 menjadi baris nol. Ini berarti rang P < n, sehingga sistem tidak terkontrol. Sebaliknya, akan ditl11;jukkan sistem (3.15 ) mempunyai state yang terkontrol. Dengan melakulcan operasi kolom elementer pada P diperoleh PI =
Dua baris terakhir da.ri PI terdiri dari B3, (J3-XI I)B3, ( ~ 3 - X l I ) ~ B( J~3 -, X1 I)3B3,. . . . Akhirnya.dengan melakukan operasi baris elementer (pertukaran baris) diperoleh
I?![
Menurut syarat ( I ) , 613,b22 bebas linier sehingga rang dari adalah 2. Oleh karena itu determinan tak no1 2 x 2 dapat dibentuk dengan menghapuskan kolom-kolom. Dari syarat (I), yaitu sifat kebebas linierannya, diperoleh b13 # 0. Selanjut nya karena bg2 # 0 malta determinan tak no1 2 x 2 dapat - XI I)3B3 (J3- XI I)4B3].Jadi matriks segitiga blok bawah diperoleh dari [(J3 dapat dibentuk dari 11" dan rang P" = rang P = n. Ini berarti sistem (3.15)
mempunai state terkontrol.
CONTOH Perhatikan sistem linier i = Ax
+ B u , dimana
Maka diperoleh
Rang(P) = 7 sehingga, sistem ini terkontrol.
Rang(P) = 6 sehingga sistem ini tak terkontrol.
2.3
Keterobservasian
Perhatikan sistem
+ B(t)u y = C ( t ) x+ D(t)u 2 = A(t)x
Solusi dari (3.16) diperoleh dari (2.6), yaitu
Definisi 2.3 Sistem (.I.16) dikatakan terobservasi pada saat t jika x ( t o ) dapat ditentukan secara unil,: berdasarkan y ( ~ ) u, ( T ) 0,
5 T 5 t.
Perhatikan bahwa nilai x untuk tl sebarang dapat ditentukan segera sesudah
x ( t o ) diketahui, yai t u clengan menggunakan (2.4) Teorema 2.8 Sistem linear (3.16) terobservasi pada saat tl jika dun hanya
jika no1 bukan nilai figen dari K(to,t l ) dimana
Bukti: Dari (3.17) cliperoleh
Tulis
dan definisikan transf'ormasi linear
maka diperoleh
Misalkan sistem (3.16) terobservasi. Maka, menurut definisi, x(to) dapat ditentukan secara tunggal. Sehingga dari Lemma 2.4.3 diperoleh Ker(T) = 0. Transformasi linear T* dapat digunakan sebagai pengganti dari T pada Lemma 2.4.6. Akiba.tnya, diperoleh Ker(T*T) = Ker(T) = 0. Untuk mendapatkan transformasi acljointnya, perhatikan
sehingga
dan
Dari Lemma 2.5.1 diperoleh Iiler(T*T) = 0 jika dan hanya jika nilai eigen dari T*T tidak sama 1101. Karena K(to,t l ) = T*T, maka no1 bukan nilai eigen dari K(to,t l ) . Sebalili~lya,misalkan no1 bukan nilai eigen dari K(to,tl). Kalikan ( t c ) dari sebela,h kiri dengan [$T(t, t o ) c T ( t ) ]dan itegralkan, diperoleh
S,,tl -T Q =
(t,to) C T ( t ) W ) d t Q (t, t o ) C T ( t ) r ( t ) @ ( to)x(to) t, dt.
Lo1
t -T
Dengan mengubah variabel integrasi, diperoleh
karena no1 bukan l~ilaieigen dari K(to,tl) malca menurut Lemma 3.1.1 IK(to,tl)l # 0 atau I\'-'(to, tl) ada. sehingga solusi untuk x(to) adalah .(to) = K-l (to, t,)
Lot1
QT(r, to)CT(r)9(t)dr. -
Jadi, menurut definisi . sistem linear (3.16)dapat diobservasi.
Lemma 2.3 Misalknll
M a k a pernyataan be~ili,utekivalen.
1. No1 bukan nilai cigen dari K ( t o , t l )
3. K ( t o ,t l ) > 0 (dtfinit positif) ill i
Bukti dari lemma T ( ~t O , ) C T ( 7ke )
diperoleh dengan mensubstitusikan
Lc~uma3.1.1.
Sistem Invarian terhadap Waktu
Sistem invarian terhaclap waktu Teorema 2.9
dapat diobservasi jika dan hanya jika
mempunyai rang n.
Bulcti: Menurut l'corema 3.3.1 sistem (3.19) terobservasi jika dan hanya jika no1 bukan nilai eigen dari K ( t o , t l ) . Menurut Lemma 3.3.1, ini ekivalen dengan K ( t o ,t l ) > 0. .J adi, dari Lemma 3.2.1 dengan mengganti B dengan dan A dengan X T ,sistem (3.19) terobsevasi jika dan hanya jika r a n g (Q) = n.
Keobservasian dari Transformasi koordinat Perhatikan sistem (3.13). Jika dilakukan transformasi koordinat x = Mq maka dari (3.14) diperoleh
Untuk keobservasian~~~:a, menurut Teorema 3.3.2, kita harus menguji rang dari
Tetapi rang Q* = r n ~ l g Q'M untuk sebarang matriks tak singulir M . Jadi transformasi koordinaf tidak mengubah sifat keobservasian dari sistem.
Teorema 2.10 Mis~~llianA mempunyai nilai eigen yang saling def
berbeda dun M =
[ I Y ~
va
. . - v,], dimana
v1,v2,
- . ,v, adalah vektor eigen
dari A. Maka sisterir invarian terhadap waktu (3.14) terobservasi jika dun hanya jika C = C M r'ddak mempunyai kolom no/.
Bukti: Dari (3.14) cliperoleh
Andaikan kolom dari C ada yang sama dengan no1 , misalkan kolom ke-i, maka output y tidak dipengaruhi oleh qi. Sehingga qi(to)bisa mempunyai nilai sebarang. Oleh karena itu q(to) tidak dapat ditentukan secara unik. Dengan kata lain tidak terobscrvasi. Sebaliknya, misalkan C tidak memuat kolom nol.
Ini ekuivalen dengan cT tidak memuat baris nol. Sehingga, dari proses pembuktian Teorema 3.2.-1.diperoleh I - ( t o ,t l ) tak singulir. Jadi menurut Lemma 3.3.1 dan Teorema 3.3.1 sistem terobservasi.
Teorema 2.11 Misc~lkanoutput dari sistem (3.14) adalah
Maka sistem ini tero0.servasi jika dun hanya jika 1 { c ,c
. . . ,c }
adalah himpunan bebas linier, dimana
J d ,J j , . . . ,Jk adnlah blok Jordan dengan nilai eigen sama A; dun
adalah kolom
I)(
rtama dari Ci.
2. cpl # 0 jika J, c~dalahsatu-satunya blok Jordan dengan nilai eigen A,.
Bulcti: [Lihat [3] ]
c;l
Bagian 3
Kesimpulan Sistem
i = A ( t ) x + B ( t ) u + E ( t ) w; y
+ D(t)u + F(t)w
= C(t)x
mempunyai output tc11,kontrolpada saat to jika dan hanya jika Y (to,t l ) > 0 untuk suatu t l > to tlimana
Sistem x = A ( t ) x + B ( f ) u + E ( t ) w mempunyai state terkontrol pada saat to jika dan hanya jika X ( t o ,1 , )
> 0 untuk suatu tl > to dimana
Sistem linear
terobservasi pada sa.at t l jika dan hanya jika K(to,t l )
> 0 dimana K(to,t l )
didefinisikan oleh
Transformasi ko0rdina.t dari state tidak mengubah keterkontrolan dari state atau output dan sifa.t keterobsevasian dari sistem linier.
Daftar Pustaka
[l] Brockett, R.W., l"iizite Dimensional Linear Systems, John Wiley & Sons,
New York, 1970. [2] Brogan, W. L., hlorlern Control Theory, Quantum Publishers, New York, 1974.
[3] Coddington, E.A. a.nd N. Levinson, Theory of Ordinary Differential Equations, McGraw-Hill, New York, 1955. [4] Halmos, P.R., Fiilite Dimensional Vector Spaces, 2nd Ed., D. Van Nostrand, Princeton, New Jersey, 1958. [5] Jacob, B., Lineal .-llgebra, W.H. Freeman and Company, New York, 1990.
[6] Schwarz, R.J ant1 Friedland., Linear Systems, McGraw-Hill, New York, 1965. [7] Skelton, R.E., Dylrnmic Systems Control, John Wiley & Sons, New York, 1988.
