DISTRIBUSI PROBABILITAS NORMAL
1
KARAKTERISTIK DISTRIBUSI KURVA NORMAL
1. 2. 3. 4.
Kurva berbentuk genta (= Md= Mo) Kurva berbentuk simetris Kurva mencapai puncak pada saat X= Luas daerah di bawah kurva adalah 1; ½ di sisi kanan nilai tengah dan ½ di sisi kiri. 2
DEFINISI KURVA NORMAL Bila X suatu peubah acak normal dengan nilai tengah , dan standar deviasi , maka persamaan kurva normalnya adalah: N(X; ,) =
Untuk
1 e –1/2[(x-)/]2, 22 -<X<
di mana = 3,14159 e = 2,71828 3
JENIS-JENIS DISTRIBUSI NORMAL
10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 m Me s o ku r tic
Pla ty ku r tic
L e p to ku r tic
Distribusi kurva normal dengan sama dan berbeda 4
TRANSFORMASI DARI NILAI X KE Z
Transformasi dari X ke Z
x
z
Distribusi Normal Baku yaitu distribusi probabilitas acak normal dengan nilai tengah nol dan simpangan baku 1
Di mana nilai Z: Z=X-
Z = Skor Z atau nilai normal baku X = Nilai dari suatu pengamatan atau pengukuran = Nilai rata-rata hitung suatu distribusi = Standar deviasi
5
TRANSFORMASI DARI X KE Z
Contoh Soal: Harga saham di BEJ mempunyai nilai tengah (X)=490,7 dan standar deviasinya 144,7. Berapa nilai Z untuk harga saham 600? Jawab: Diketahui: Nilai = 490,7 dan = 144,7 Maka nilai Z =( X - ) / Z Z
= (600 – 490,7)/144,7 = 0,76
6
TRANSFORMASI DARI X KE Z Contoh Soal: Misalkan kita memilih 20 saham pada bulan Mei 2007. Harga saham ke-20 perusahaan tersebut berkisar antara Rp. 2.000 – 2.805 per lembarnya. Berapa probabilitas harga saham antara Rp. 2.500 sampai 2.805 per lembarnya. Diketahui = 2.500 sebagai nilai ratarata hitung dan standar deviasinya 400. Z = (X - ) / Z1 = (2.500 – 2500) / 400 Z1 = 0 / 400 = 0 Z2 = (2.805 – 2.500) / 400 Z2 = 0.76 7
LUAS DI BAWAH KURVA NORMAL
68,26% 95,44% 99,74%
-3 -3
• • •
-2 -2
-1 -1
=x Z=0
+1 +1
+2 +2
+3 +3
Luas antara nilai Z (-1
SOAL DAN JAWABAN Buah durian di Kebun Montong Sukabumi, Jawa Barat mempunyai berat rata-rata 5 kg dengan standar deviasi 1,5 kg. Berapakah nilai Z, apabila ada buah durian yang mempunyai berat 8,5 kg dan 2,5 kg.
9
Z = (X - )/ Z untuk 8,5 = (8,5 – 5)/1,5 = 2,33 Z untuk 2,5 = (2,5 – 5)/1,5 = -1,67
10
PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT GS mengklaim rata-rata berat buah mangga “B” adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Bila berat mangga mengikuti distribusi normal, berapa probabilitas bahwa berat buah mangga mencapai kurang dari 250 gram, sehingga akan diprotes oleh konsumen.
11
PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab: • Transformasi ke nilai z P(x< 250); Z(x=250) = (250-350)/50=-2,00 Jadi P(x<250)=P(z<-2,00) •
Lihat pada tabel luas di bawah kurva normal P(z<-2,00)=0,4772
•
Luas sebelah kiri nilai tengah adalah 0,5. Oleh sebab itu, nilai daerah yang diarsir menjadi 0,5 – 0,4772=0,0228. Jadi probabilitas di bawah 250 gram adalah 0,0228 (2,28%). Dengan kata lain probabilitas konsumen protes karena berat buah mangga kurang dari 250 gram adalah 2,28%.
12
PENERAPAN KURVA NORMAL Contoh Soal: PT Work Electric, memproduksi Bohlam Lampu yang dapat hidup 900 jam dengan standar deviasi 50 jam. PT Work Electric ingin mengetahui berapa persen produksi pada kisaran antara 800-1.000 jam, sebagai bahan promosi bohlam lampu. Hitung berapa probabilitasnya!
13
PENERAPAN KURVA NORMAL Jawab: P(800<X<1.000)? • Hitung nilai Z Z1 = (800-900)/50 = -2,00; Z2 = (1.000-900)/50 = 2,00 • Jadi: P(800<X<1.000) =P(-2,00
2,00) = 0,4772 Sehingga luas daerah yang diarsir adalah = 0,4772+0,4772= 0,9544. Jadi P(800<X<1.000) = P(-2,00 < Z<2,00) = 0,9544. Jadi 95,44% produksi berada pada kisaran 800-1.000 jam. Jadi jika PT Work Electric mengklaim bahwa lampu bohlamnya menyala 800-1.000 jam, mempunyai probabilitas benar 95,44%, sedang sisanya 4,56% harus dipersiapkan untuk garansi. 14
CONTOH SOAL PT. Gunung Sari ingin membuat kelas mutu baru untuk mangga yaitu mutu “Super”. Mutu ini merupakan 12.5 % dari mutu buah mangga terbaik. Rata-rata berat buah mangga pada saat ini adalah 350 gram dengan standar deviasi 50 gram. Berapa berat mangga minimal untuk bisa masuk ke dalam kelas mutu “Super” tersebut ? Jawab: Maksud 12.5% terbaik, daerah dibawah kurva normal dengan luas 0.125. Ingat luas daerah diatas X = 350 adalah 0.5. Sehingga daerah X – X1 adalah 0.5 – 0.125 = 0.375. Jadi nilai P(0 < Z < .....) = 0.375. Untuk mencari nilai Z dari 0.375 dapat dicari di tabel kurva normal. Nilai Z untuk 0.375 adalah 1.15 (dalam tabel dinyatakan 0.3749, diambil yang mendekati). Apabila diketahui Z, dan , maka nilai X1 dapat dicari: 15
CONTOH SOAL Z =( X - ) / X1 = (Z x ) + X1 = (1.15 x 50) + 350 X1 = 57.5 + 350 X1 = 407.5 Jadi berat buah mangga minimal yang termasuk kelas “Super” adalah 407.5 gram 16
PT Hari Jaya memproduksi barang pecah belah seperti gelas, piring, dan lain-lain. Perusahaan memberikan kesempatan kepada konsumen untuk menukar barang yang telah dibeli dalam hari itu apabila ditemui barang cacat. Selama pelaksanaan program ini, ada 10 orang rata-rata yang menukarkan barang karena cacat dengan standar deviasi 4 orang per hari. Berapa peluang ada 20 orang yang melakukan penukaran barang pada suatu hari?
17
Jawab: Nilai Z = (20-10)/4 = 2,50 P(X>20) = P(Z>2,50) = 0,5 – 0,4938 = 0,0062 Jadi peluang ada 20 orang yang menukarkan barang dalam 1 hari adalah 0,0062 atau 0,62%.
18
PT Arthakita Jagaselama memproduksi buah melon, di mana setiap melon mempunyai berat sebesar 750 gram dengan standar deviasi 80 gram. Buah yang termasuk dalam 10% terberat dimasukkan ke dalam kelas atau mutu A. Berapa berat minimal dari buah melon supaya dapat masuk ke dalam mutu A? 19
Sepuluh persen terbaik, berarti pada kisaran nilai tertinggi sampai terendah dalam kelompok tersebut mempunyai luas 0,1 atau 10%. Ingat bahwa luas daerah normal kalau dibagi 2 adalah 0,5, maka luas sisa dari daerahnya adalah 0,4 yang diperoleh dari 0,5 – 0,1. Untuk memperoleh nilai Z, maka anda dapat melihat berapa nilai Z untuk luas dibawah kurva normal sebesar 0,4000. Apabila Anda lihat pada tabel luas di bawah kurva normal, maka yang mendekati 0,4000 adalah angka 0,3997 dan mempunyai nilai Z = 1,28. Dari nilai Z, maka dapat diperoleh nilai X yang merupakan nilai terendah dari interval 10% tertinggi. = (X - ) / S = (X – 750) / 8 = (1,28 X 8) +750 = 760,24 Jadi berat minimal dari buah melon untuk kelas atau mutu A adalah 760,24 gram. Z 1,28 X
20
0,1
0,4
21
PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL
Apabila kita perhatikan suatu distribusi probabilitas binomial, dengan semakin besarnya nilai n, maka semakin mendekati nilai distribusi normal. Gambar berikut menunjukkan distribusi probabilitas binomial dengan n yang semakin membesar. 0 .6 0 .5 0 .4 0 .3 0 .2 0 .1 0 0
1
r
0
1
2
3
r
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
r 22
DALIL PENDEKATAN NORMAL TERHADAP BINOMIAL Bila nilai X adalah distribusi acak binomial dengan nilai tengah =np dan standar deviasi =npq, maka nilai Z untuk distribusi normal adalah: Z = X - np npq di mana n
dan nilai p mendekati 0,5
Untuk mengubah pendekatan dari binomial ke normal, memerlukan faktor koreksi, selain syarat binomial terpenuhi: (a) hanya ada dua peristiwa, (b) peristiwa bersifat independen; (c) besar probabilitas sukses dan gagal sama setiap percobaan, (d) data merupakan hasil penghitungan. Menggunakan faktor koreksi yang besarnya 0.5 23
CONTOH: Adi merupakan pedagang buah di Tangerang. Setiap hari ia membeli 300 kg buah di Pasar Induk Kramat Jati, Jakarta Timur. Probabilitas buah tersebut laku dijual dalah 80% dan 20% kemungkinan tidak laku dan busuk. Berapa probabilitas buah sebanyak 250 kg laku dan tidak busuk ? Penyelesaian: n = 300; probabilitas laku p = 0.8, dan q = 1 – 0.8 = 0.2 = np = 300 x 0.80 = 240 = Npq = 300 x 0.80 x 0.20 = 6.93 Diketahui X = 250, dan dikurangi faktor koreksi 0.5 sehingga X = 250 – 0.5 = 249.5. Dengan demikian nilai Z menjadi: Z = (249.5 – 240) / 6.93 = 1.37 dan P (Z<1.37) = 0.4147 Jadi probabilitas laku adalah 0.5 + 0.4147 = 0.9147 Dengan kata lain harapan buah laku 250 kg adalah 91.47% 24
LATIHAN 25
Berikut adalah pendapatan per kapita rata-rata penduduk Indonesia tahun 2000 sampai 2006 Tahun
Pendapatan Perkapita Rata-rata (ribuan)
2000
2.751
2001
3.181
2002
4.955
2003
5.915
2004
6.228
2005
7.161
2006
8.140
Rata-Rata
5.476
Standar Deviasi
1.986
a. Hitunglah Probabilitas Pendapatan dibawah 3.000 ! b. Hitunglah Probabilitas Pendapatan antara 4.000 – 6.000 !
26
