Kalkulus Multivariabel I Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Atina Ahdika, S.Si, M.Si
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia 2014
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Integral Lipat-Dua dalam Koordinat Kutub Terdapat beberapa kurva tertentu pada suatu bidang yang lebih mudah dijelaskan dengan menggunakan koordinat Kutub. Misalkan z = f (x, y ) menentukan sebuah permukaan atas R (lihat gambar) dan andaikan f kontinu dan tak negatif.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Maka volume V benda padat di bawah permukaan tersebut dan di atas R dapat dinyatakan ZZ V = f (x, y )dA R
Di dalam koordinat kutub, persegi panjang kutub R mempunyai bentuk R = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, α ≤ θ ≤ β} di mana a ≥ 0 dan β − α ≤ 2π. Demikian pula, persamaan permukaan dapat ditulis sebagai z = f (x, y ) = f (r cos θ, r sin θ) = F (r , θ) Kita akan menghitung volume V dengan cara baru yaitu dengan menggunakan koordinat kutub.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Bagi R menjadi partisi-partisi yang lebih kecil berbentuk persegi panjang kutub R1 , R2 , . . . , Rn dengan menggunakan kisi kutub, dan misalkan ∆rk dan ∆θk menyatakan dimensi potongan Rk . Luas A(Rk ) dinyatakan dengan A(Rk ) = ¯rk ∆rk ∆θk di mana ¯rk adalah jari-jari rata-rata Rk .
V ≈
n X
F (¯rk , θ¯k )¯rk ∆rk ∆θk
k=1 Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Gunakan limit sebagai aturan pembagian partisi yang mendekati nol, maka akan diperoleh volume yang sebenarnya. Limit ini adalah sebuah integral lipat-dua. ZZ ZZ V = F (r , θ)r dr dθ = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ R
R
Dari uraian di atas, kita mempunyai dua rumus untuk V yaitu ZZ ZZ f (x, y )dA = f (r cos θ, r sin θ)r dr dθ R
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
R
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Contoh: Tentukan volume V dari benda padat di atas persegi panjang kutub (lihat gambar) n πo R = (r , θ) : 1 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤ 4 dan di bawah permukaan z = e x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
2 +y 2
.
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Penyelesaian: Karena x 2 + y 2 = r 2 , maka ZZ 2 2 V = e x +y dA R
Zπ/4 Z3 =
Zπ/4 =
r2
Zπ/4
e r dr dθ =
0
1
0
1 r2 e 2
3 dθ 1
1 9 π (e − e)dθ = (e 9 − e) ≈ 3181 2 8
0
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Daerah Umum 1. Himpunan Sederhana-r Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-r jika himpunan tersebut berbentuk S = {(r , θ) : φ1 (θ) ≤ r ≤ φ2 (θ), α ≤ θ ≤ β}
θ=β Z r =φ Z 2 (θ)
V =
f (r , θ)r dr dθ θ=α r =φ1 (θ)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
2. Himpunan Sederhana-θ Himpunan S dikatakan himpunan sederhana-θ jika himpunan tersebut berbentuk S = {(r , θ) : a ≤ r ≤ b, ψ1 (r ) ≤ θ ≤ ψ2 (r )}
r =b θ=ψ Z 2 (r ) Z f (r , θ)r dθ dr V = r =a θ=ψ1 (r )
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Contoh: RR ydA di mana S adalah daerah di kuadran pertama yang Hitunglah S
berada di luar lingkaran r = 2, serta di dalam kardioid r = 2(1 + cosθ)
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Penyelesaian: Karena S adalah himpunan sederhana-r , kita dapat menuliskan integral di atas sebagai integral kutub berulang dengan r sebagai peubah pengintegralan sebelah dalam. Di dalam pengintegralan sebelah dalam ini, θ dibuat tetap; pengintegralan dilakukan di sepanjang garis tebal (pada gambar) dari r = 2 sampai r = 2(1 + cosθ). ZZ S
2(1+cosθ) Zπ/2 2(1+cosθ) Z Zπ/2 3 r sinθ dθ ydA = (rsinθ)r dr dθ = 3 2 0
=
8 3
2
0
Zπ/2
[(1 + cosθ)3 sinθ − sinθ]dθ
0
=
1 8 − (1 + cosθ)4 + cosθ 3 4
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
π/2 = 0
Kalkulus Multivariabel I
22 3
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Integral Probabilitas
Pada materi ini, kita dapat membuktikan bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu yaitu Z∞ f (x)dx = 1 −∞
dengan 1 2 f (x) = √ e −x /2 2π
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Pertama, kita akan menunjukkan bahwa I =
R∞
2
e −x dx =
0
√
π 2 .
Ingat kembali bahwa Z∞ e
I = 0
−x 2
Zb dx = lim
b→∞
2
e −x dx
0
Misalkan Vb merupakan volume benda padat yang terletak di bawah 2 2 permukaan z = e −x −y dan di atas bujursangkar dengan titik potong (±b, ±b), lihat gambar, maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Zb Zb Vb =
e −x
2 −y 2
Zb dy dx =
−b −b
Zb =
2 e −x
−b 2
e −x dx
−b
Zb
e −y dy =
−b
2
e −y dy dx
−b
2
Zb
Zb
2
b 2 Z 2 2 e −x dx = 4 e −x dx
−b
0 2
2
Ternyata volume daerah di bawah z = e −x −y dan di atas seluruh bidang xy adalah 2 b Z 2 V = lim Vb = lim 4 e −x dx b→∞
b→∞
0
∞ 2 Z 2 = 4 e −x dx = 4I 2 0 Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Di sisi lain, kita juga dapat menghitung V dengan menggunakan koordinat kutub. Di sini, V adalah limit ketika a → ∞ dari Va , volume benda padat 2 2 2 tersebut di bawah permukaan z = e −x −y = e −r , di atas daerah melingkar berjari-jari a yang berpusat di titik asal (lihat gambar), maka
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Z2π Za V = lim Va = lim a→∞
a→∞ 0
Z2π = lim
a→∞ 0
1 = lim a→∞ 2
1 2 − e −r 2
2
e −r r dr dθ
0
a dθ 0
Z2π h i 2 1 − e −a dθ 0
i h 2 = lim π 1 − e −a = π a→∞
Dengan memasukkan kedua nilai yang diperoleh untuk V dengan menggunakan integral biasa dan integral dalam koordinat kutub di atas, √ akan dihasilkan 4I 2 = π atau I = 12 π. Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Selanjutnya, setelah diperoleh I =
R∞
2
e −x dx =
0
bahwa
Z∞ −∞
√
π 2 ,
akan ditunjukkan
1 2 √ e −x /2 dx = 1 2π
Berdasarkan sifat simetri, Z∞ −∞
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
1 2 √ e −x /2 dx = 2 2π
Z∞
1 2 √ e −x /2 dx 2π
0
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
√ Lakukan substitusi u = √x2 sehingga dx = 2du. Batas-batas pada integral tetap sama sehingga kita memperoleh Z∞ −∞
1 2 √ e −x /2 dx = 2 2π
Z∞
1 2√ √ e −u 2du 2π
0
√ Z∞ 2 2 2 e −u du =√ 2π 0 √ √ 2 2 π =√ =1 2π 2 Jadi terbukti bahwa integral dari fungsi kepadatan peluang normal standar bernilai satu.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Latihan
1. Hitung integral-integral berulang berikut a.
π/2 R cos Rθ 0
b.
r 2 sin θ dr dθ
0
R θ Rπ 1−cos 0
r sin θ dr dθ
0
2. Tentukan luas daerah S dengan menghitung
RR
r dr dθ dan sketsa
S
daerah tersebut terlebih dahulu a. S adalah daerah di dalam lingkaran r = 4 cos θ dan di luar lingkaran r =2 b. S adalah daerah di luar lingkaran r = 2 dan di dalam lemniskat r 2 = 9 cos 2θ
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
3. Hitung integral berikut dengan menggunakan koordinat kutub dan sketsa daerah pengintegralannya terlebih dahulu 2
2
e x +y dA, di mana S adalah daerah yang dibatasi oleh x 2 + y 2 = 4 S p RR b. 4 − x 2 − y 2 dA, di mana S adalah sektor kuadran pertama dari a.
RR
S
lingkaran x 2 + y 2 = 4 di antara y = 0 dan y = x
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20
Pustaka
Purcell, E. J & D. Vanberg, 1999. Terjemahan, Kalkulus dan Geometri Analitis, Jilid 1 dan 2. Jakarta : Erlangga. Spiegel. M. & Wrede R.C. 2002. Theory and Problem of Advanced Calculus. Schaum Outline Series. New York: Mc Graw-Hill. Purcell, E. J & D. Vanberg, 2003. Terjemahan, Kalkulus , Jilid 2. Jakarta : Erlangga. Mendelson, Elliot, 1988. Schaum’s Outlines, 3000 Solved Problems in Calculus. New York: Mc Graw-Hill.
Atina Ahdika, S.Si, M.Si ()
Kalkulus Multivariabel I
Statistika FMIPA Universitas Islam Indonesia / 20