Junior Wiskunde Olympiade 2012-2013: de tweede ronde Volgende benaderingen kunnen nuttig zijn bij het√oplossen van sommige vragen. √ √ 2 ≈ 1,4142 3 ≈ 1,7321 5 ≈ 2,2361 π ≈ 3,1416 1. Als
1 1 1 1 1 1 + = 2 en − = 3, dan is 2 − 2 gelijk aan a b a b a b (A) 5
(B) 6
2. Het getal −1(−1
−1 )
(A) −1
(C)
13 2
(D) 9
(E) 13
(C)
1 2
(D) 1
(E) 2
is gelijk aan (B) 0
3. Toen Pif 15 jaar oud was, was Poef er 18. Toen Poef 13 jaar oud was, was Paf er 11. Hoe oud was Pif toen Paf er 15 was? (A) 10
(B) 14
(C) 16
(D) 18
(E) 20
4. Een vierkant ABCD en een rechthoek EF GH met |EF | = 4|F G| hebben dezelfde oppervlakte. De verhouding van de omtrek van ABCD tot de omtrek van EF GH is dan gelijk aan (A)
5 6
(B)
4 5
3 4
(C)
(D)
2 3
(E)
1 2
5. Wat is de totale oppervlakte van de vier rechthoeken in de figuur?
b
a
a
a
b
b a
(A) 4ab (D) a2 + ab + b2
b
(B) 2(a2 + b2 ) (E) (a + b)2
(C) 4(a + b)
6. Het product 97 · 94 · 91 · 88 · . . . · 16 · 13 eindigt op het cijfer (A) 0
(B) 2
(C) 4
c
Vlaamse Wiskunde Olympiade vzw 2013
1
(D) 6
(E) 8
7. Wat is de omtrek van deze veelhoek, omgeschreven aan een cirkel met straal 3?
3
(A) 6π
(B) 21
(C) 24
(D) 27
(E) 9π
8. De kleinste diagonaal van een regelmatige zeshoek met zijde 5 heeft lengte √ √ √ (E) 10 (A) 5 (C) 5 3 (D) 5 5 (B) 5 2
E
9. De oppervlakte S van rechthoek ABCD is gelijk aan de oppervlakte van driehoek CDE (zie figuur). De oppervlakte van driehoek ABE is gelijk aan
(A)
S 2
(B) S
3S 2
(C)
(D)
C
D
B
A
√
3S
(E) 2S
10. Wat is de grootste gemene deler van alle getallen die het product zijn van 5 opeenvolgende oneven natuurlijke getallen? (A) 1
(B) 3
(C) 5
(D) 15
(E) 45
11. De familie Bernoulli gaat met 15 personen op vakantie naar een huisje met vijf slaapkamers. In de slaapkamer van Nikolaas slapen minder mensen dan in die van Nicolaus. In de slaapkamer van Jacob slapen meer mensen dan in die van Johan. In de slaapkamer van Daniel slapen minder mensen dan in die van Johan. In de slaapkamer van Daniel slapen meer mensen dan in die van Nicolaus. Hoeveel kamergenoten heeft Jacob? (A) 0
(B) 1
(C) 2
2
(D) 3
(E) 4
12. In een recept staat dat ik ´ e´ en ui moet gebruiken met diameter 8 cm, maar ik heb alleen uitjes met diameter 2 cm. Hoeveel moet ik er daarvan gebruiken? (A) 3
(B) 4
(C) 16
(D) 27
(E) 64
13. In de figuur staan zeven rakende cirkels met straal 1 waarvan de middelpunten op de co¨ ordinaatassen liggen. Op hoeveel verschillende manieren kan men, zonder op zijn passen terug te keren, langs de cirkelbogen van A naar B gaan zodanig dat het totale traject lengte 7,5π heeft? y •
A(0, 7)
•
(A) 13
(B) 16
(C) 32
(D) 64
B(7, 0) x
(E) 128
14. In de vijfhoek ABCDE hebben alle zijden lengte 1 en staan de zijden [AB] en [DE] loodrecht op [AE] zoals in de figuur. Het punt M is het snijpunt van AD en BE. Hoe lang is het lijnstuk [MC]?
C
B
D M
A (A) 1
(B)
√
2
√ (C) 3
3
(D)
√
3+1 2
(E)
E √
3+ 2
√
2
15. Twee even lange, cilindervormige kaarsen worden tegelijkertijd aangestoken. De ene kaars heeft een brandduur van drie uur, de andere kaars heeft een brandduur van ´ e´ en uur. Na hoeveel tijd is de ene kaars precies dubbel zo lang als de andere? (A) 18 minuten (D) 36 minuten
(B) 24 minuten (E) 42 minuten
16. Voor strikt positieve getallen x is de ongelijkheid
(C) 30 minuten
√
x+
r
(D)
3 4
1 ≤ 3 equivalent met x
1 ≤3 x 1 x+ ≤7 x 1 x+ ≤8 x 1 x+ ≤9 x 1 x + ≤ 11 x
(A) x + (B) (C) (D) (E)
17. In de figuur is de oppervlakte van het gear2 ceerde deel gelijk aan van de oppervlakte 3 3 van de kleinste cirkel en gelijk aan van de 8 oppervlakte van de grootste cirkel. De verhouding van de straal van de kleinste cirkel tot die van de grootste cirkel is dan gelijk aan
(A)
5 11
(B)
9 16
2 3
(C)
(E)
4 5
18. De getallen x, y en z voldoen aan 0 > x > y > −1 > z. Bekijk de volgende ongelijkheden: (I) x + y z > 0 (II) y + z x > 0 (III) z + xy > 0 Dan geldt: (A) Geen enkele ongelijkheid is zeker correct. (B) Enkel (I) is zeker correct. (C) Enkel (II) is zeker correct. (D) Enkel (III) is zeker correct. (E) Precies twee van de drie ongelijkheden zijn zeker correct.
4
19. Op een toets behalen de leerlingen van een klas 1, 4, 5 of 8 punten. Het aantal leerlingen dat 4 punten behaalt is gelijk aan het aantal leerlingen dat 5 punten behaalt. Het totaal aantal behaalde punten is 63 groter dan het aantal deelnemers. Hoeveel leerlingen behalen 5 of meer punten? (A) 8
(B) 9
(C) 10
20. Uit een stuk tapijt met afmetingen 2 × 4 snijdt Aladdin twee identieke halve cirkels zoals in de figuur. De diameter van deze halve cirkels is
(D) 11
(E) 12
2
4 (A)
5 2
21. Hoeveel is
(B)
√
√
7
11 4
(C)
√ (D) 2 2
(E) 3
444 444 444 444 − 888 888?
(A) 222 222 (D) 666 666
(B) 444 444 (E) 888 888
(C) 555 555
1 22. Schrijf in decimale vorm. Wat is dan het eerste cijfer na de komma dat niet nul 1253 is? (A) 1
(B) 2
(C) 4
(D) 5
(E) 8
A
23. Het lijnstuk [AE] verdeelt de rechthoek ABCD in twee delen waarvan de oppervlakten zich verhouden als 1 tot |DE| gelijk aan 6 (zie figuur). Dan is de verhouding |EC|
B
6 1
D (A)
1 6
(B)
1 5
1 4
(C)
(D)
1 3
E (E)
C 2 5
24. In een doos zitten 24 voorwerpen. Acht daarvan zijn bollen, de overige voorwerpen zijn kegels en piramiden. Ieder voorwerp is zwart, geel of rood gekleurd. Tien van de 24 voorwerpen zijn geel. Vijf bollen zijn zwart, 6 kegels zijn geel en 9 piramiden zijn rood. Hoeveel gele piramiden zitten er in de doos? (A) 0
(B) 1
(C) 2
5
(D) 3
(E) 4
25. In de figuur is |DC| = |CO| = |BO|. De hoek [ is gelijk aan AOB
B
II
C II
II
D [ (A) 2 ODC
[ (C) 3 ODC [ (B) 2,5 ODC
O
• A
[ (E) 4 ODC [ (D) 3,5 ODC
26. Van twee priemgetallen p en q met p > q is geweten dat p−q en p+q ook priemgetallen zijn. De som van deze vier priemgetallen is (A) 11
(B) 17
(C) 23
(D) 29
(E) 35 E
27. In de figuur is ABCD een vierkant en zijn ∆ABE en ∆BCF gelijkzijdig. De rechten EC [ en AF snijden elkaar in P . De hoek AP C is gelijk aan A
B P ?
D
(A) 120◦
(B) 125◦
(C) 130◦
(D) 135◦
F
C
(E) 150◦
28. Zij ∆ABC een gelijkzijdige driehoek met zijde 100. Hoeveel punten D liggen er op [AB] zodanig dat |CD| een geheel getal is? (A) 24
(B) 26
(C) 28
(D) 30
(E) 32
29. Alfred, Jodocus en Kwak willen acht zakjes eendenkroos verdelen. De zakjes bevatten respectievelijk 2, 5, 7, 13, 14, 20, 24 en 26 gram eendenkroos. Alfred krijgt vier zakjes, Jodocus krijgt er drie en Kwak krijgt er slechts ´ e´ en. Als je weet dat Alfred dubbel zoveel eendenkroos heeft gekregen als Jodocus, hoeveel gram eendenkroos heeft Kwak dan gekregen? (A) 13
(B) 14
(C) 20
(D) 24
(E) 26
30. Filip, zijn broer Laurent en hun vader Albert lopen de 100 meter. Ze starten tegelijk en elk loopt met een constante snelheid. Wanneer Filip de eindmeet bereikt, heeft Laurent nog 10 meter af te leggen en wanneer Laurent de eindmeet bereikt heeft Albert nog 20 meter af te leggen. Hoeveel meter moet Albert nog afleggen wanneer Filip de eindmeet bereikt? (A) 24
(B) 28
(C) 30
6
(D) 32
(E) 40
