(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
Petr Strnad
ěÍZENÍ TRŽNÍCH RIZIK POMOCÍ VALUE AT RISK – ÚSKALÍ A PROBLÉMY Abstract: During the nineties, the Value at Risk indicator (VaR) evolved, without any doubts, into the most frequently used comprehensive tool for evaluation of market risks undertaken by banks and financial institutions. It aims to assess the maximum probable loss on a portfolio of financial assets and liabilities incurred due to the adverse movements of market rates. The great importance of Value at Risk is witnessed by the fact that it may be used even for the calculation of capital requirements within capital adequacy framework. The aim of this paper is to stress the pitfalls linked to VaR usage. VaR fails to deliver the complete picture of market risks; it is also liable to manipulations. Different VaR models lead to significantly differing results and the usual methods do not reflect the risk of insufficient market liquidity. Key words: risk management, market risk, Value at Risk JEL: G 1, G 21, G 32, E 44 Úvod Podstata obchodování na finanþních a kapitálových trzích je stejná jako v pĜípadČ každého jiného podnikání – instituce musí pĜijmout urþitou míru rizika, bez níž nemĤže dosáhnout zisku. Tuto nespornou pravdu potvrzuje i slavné první pravidlo Ĝízení rizik, které na svých stránkách uvádí RiskMetrics a které zní: „There is no reward without risk.“ Rizika je však nutné Ĝídit tak, aby nemohla ohrozit samotnou existenci firmy. ěízení rizik nabývá obzvláštní dĤležitosti u bank a velkých finanþních institucí, jejichž pád by mohl ohrozit velký poþet (nejen) drobných vkladatelĤ a destabilizovat platební systém i celou ekonomiku. Vedle rizika kreditního a operaþního je pĜi obchodování na finanþních a kapitálových trzích klíþové zejména riziko nepĜíznivých pohybĤ tržních sazeb, nazývané obecnČ rizikem tržním. Standardem pro mČĜení a Ĝízení tržních rizik se v devadesátých letech stal beze sporu ukazatel hodnoty v riziku (Value at Risk, VaR), jež kvantifikuje maximální ztrátu, která nebude se zvolenou pravdČpodobností pĜekroþena v horizontu nČkolika nejbližších dní. Pro podrobný popis Value at Risk viz napĜ. [24]. 91
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
O velkém významu VaRu svČdþí i fakt, že tuto metodu je možné používat mimo jiné i k výpoþtu kapitálových požadavkĤ k tržním rizikĤm pro úþely kapitálové pĜimČĜenosti (viz [6]). PĜestože Value at Risk je dnes základním stavebním kamenem systému Ĝízení tržních rizik ve vČtšinČ finanþních institucí, je tĜeba si uvČdomit, že VaR není sám o sobČ schopen podat úplný obraz tržních rizik. Cílem tohoto þlánku je tedy zdĤraznit právČ problémy spojené s používáním VaRu. V první kapitole ukazujeme, že VaR nevypovídá nic o velikosti velmi málo pravdČpodobných ztrát, v nČkterých pĜípadech mĤže být umČle snižován þi obcházen, což dokládá i druhá kapitola, která se zabývá subaditivitou rizikových ukazatelĤ. TĜetí kapitola se zamČĜuje na skuteþnost, že VaR není vpĜed hledící, není tedy schopen postihnout ty zmČny na finanþních trzích, které nejsou explicitnČ obsaženy v historických datech. ýtvrtá kapitola objasĖuje, že VaR podceĖuje celkové riziko, protože vĤbec neuvažuje náklady likvidace. Pátá kapitola zdĤrazĖuje, že VaR je statický (neuvažuje zmČny portfolia) a nastiĖuje, jakým zpĤsobem je možné výpoþet VaRu „dynamizovat“. Nejobsáhlejší je však šestá kapitola, která popisuje jednotlivé modely používané pro výpoþet Value at Risk, navzájem je porovnává a zdĤrazĖuje jejich silné a slabé stránky. ýlánek je zakonþen krátkým závČrem, který shrnuje a uzavírá celou práci. Po nČm následuje již jen pĜehled použité literatury. VaR necharakterizuje velmi málo pravdČpodobné ztráty Velkou výhodou Value at Risk je fakt, že dává k dispozici jedno souhrnné þíslo popisující míru vystavení portfolia tržním rizikĤm, což umožĖuje velmi jednoduchou komunikaci podstupovaných rizik jak vĤþi akcionáĜĤm tak vĤþi managementu. Na druhou stranu je však nutno zdĤraznit, že Value at Risk v žádném pĜípadČ nepĜedstavuje maximální možnou ztrátu, ani neĜíká nic o velikostech ztrát, které mohou nastat s nižší než zvolenou pravdČpodobností. Ty nejenže mohou VaR mnohonásobnČ pĜevyšovat, ale u dvou portfolií se stejným VaRem se mohou výraznČ lišit. VaR spoþítaný na jedné zvolené hladinČ pravdČpodobnosti tedy neumí odlišit dvČ portfolia s velmi rozdílným rizikovým profilem na nízkých hladinách pravdČpodobnosti. Proto je vhodné nesledovat VaR pouze na jedné hladinČ pravdČpodobnosti, ale vyþíslovat potenciální ztráty na rĤznČ extrémních hladinách pravdČpodobnosti. KvĤli tomu, že Value at Risk nevypovídá o „málo pravdČpodobných“ ztrátách, neumí dobĜe podchytit riziko takových strategií, které s velkou pravdČpodobností vedou k malým ziskĤm a s velmi malou pravdČpodobností pak k obrovským ztrátám (aĢ již se jedná napĜíklad o nČkteré opþní pozice nebo dlouhé pozice v kreditním riziku). Pokud si obchodníci uvČdomují tento fakt, mohou VaR umČle snižovat a zakrývat skuteþné riziko portfolia - napĜíklad pomocí beznákladových opþních strategií, v rámci nichž jsou prodávány opce s menší pravdČpodobností realizace než je hrani-
92
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
ce pravdČpodobnosti pokrytá VaRem a naopak nakupovány opce s vyšší pravdČpodobností realizace. Pokud obchodníci pĜesnČ znají i pĜedpoklady modelu pro výpoþet Value at Risk1, mohou snadno zaujímat takové pozice, jejichž skuteþné riziko je výraznČ vČtší než pĜedpovídá daný model. Pokud napĜíklad znají korelace mezi aktivy používané pro výpoþet Value at Risk, mohou zaujmout takové pozice, které budou vykazovat pomČrnČ nízký VaR, které však mohou vést k obrovským ztrátám pĜi zmČnČ korelací2. Tento fakt zĜejmČ hrál svoji roli i pĜi pádu LTCM, kdy stejné korelaþní matice založené na pĜíliš krátkých þasových Ĝadách byly využívány jak k tvorbČ obchodní strategie, tak k mČĜení rizik (viz [15]). Výše popsané pĜíklady ukazují, že použití VaRu, který je vyþíslován jen na jedné hladinČ pravdČpodobnosti a není doplnČn dalšími ukazateli, mĤže stimulovat využívání velmi rizikových a nebezpeþných obchodních strategií. Jelikož podle konceptu kapitálové pĜimČĜenosti (viz [6]) musí být3 minimálnČ trojnásobek 99-ti procentního VaRu s horizontem deset pracovních dní pokryt vlastním kapitálem, jsou to ve skuteþnosti právČ „málo pravdČpodobné ztráty“, které mohou ohrozit existenci firmy. VaR není subaditivní Artzner, Delbaen, Eber a Heath (viz [2] a [3]) se zabývají otázkou, jaké vlastnosti by mČl splĖovat „dobrý“ rizikový ukazatel. Takový ukazatel nazývají koherentní a definují þtyĜi kritéria, která by mČl splĖovat. Ukazují, že pokud zisky a ztráty z portfolia finanþních nástrojĤ nelze popsat nČkterým z eliptických rozdČlení4, VaR nesplĖuje dĤležitou vlastnost nazývanou subaditivita, která volnČ Ĝeþeno hovoĜí, že riziko portfolia lze omezit souþtem rizik jeho subportfolií. VaR tedy není obecnČ koherentním rizikovým ukazatelem. Jelikož VaR není subaditivní, lze v nČkterých pĜípadech jeho velikost umČle snižovat tak, že portfolio „vhodnČ“ rozdČlíme do subportfolií (dceĜinných spoleþností) a jejich VaRy seþteme, þímž získáme nižší hodnotu než kdybychom vyþíslovali VaR pĤvodního portfolia. To lze ukázat na jednoduchém pĜíkladu: MČjme portfolio sto rĤzných dluhopisĤ, každý o nominální hodnotČ 100. Každý dluhopis utrpí ztrátu celé nominální hodnoty v jiné situaci, pravdČpodobnost ztráty je u každého dluhopisu jedno procento, s pravdČpodobností 99 % každý dluhopis vy1
2
3 4
Pro lepší pĜedstavu o tom, jak jednotlivé pozice pĜispívají do celkového Value at Risk slouží tzv. Incremental VaR neboli IVaR, který udává, jak se zmenší þi zvČtší VaR v pĜípadČ pĜidání nové pozice do portfolia. Slabá místa jednotlivých modelĤ jsou podrobnČ vysvČtlena v kapitole Modely pro výpoþet VaRu. Zde je také zmínČno, že korelace je pouze ukazatel lineární závislosti, pohyby tržních sazeb však ve skuteþnosti vykazují mnohem složitČjší než lineární závislosti (viz napĜ. [26]). V pĜípadČ použití vlastních modelĤ. Mezi nejznámČjší eliptická rozdČlení patĜí zejména normální a studentovo t-rozdČlení.
93
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
dČlá úrok ve výši 1. Na hladinČ 95% pak celé portfolio mĤže utrpČt ztrátu maximálnČ 405, každý jednotlivý dluhopis však naopak s pravdČpodobností 95% nejen že nic neztratí, dokonce vydČlá hodnotu jedna. Souþet VaRĤ spoþítaných zvlášĢ pro každý dluhopis tedy významnČ podhodnocuje riziko celého portfolia. Jelikož VaR nepodchycuje málo pravdČpodobné ztráty, odrazuje ve výše popsaném pĜípadČ také zcela nesmyslnČ od diverzifikace rizik – pozice v jednom dluhopisu se z pohledu VaRu jeví ménČ riziková než diverzifikovaná pozice ve sto rĤzných dluhopisech. Jako pĜíklady koherentních rizikových ukazatelĤ lze uvést Expected Tail Loss (ETL) þi testování stresových scénáĜĤ. ETL navíc vypovídá o extrémních rizicích více než VaR, proto ho nČkteĜí teoretici považují za lepší rizikový ukazatel. VaR není vpĜed hledící Jako každý model, je i ukazatel VaR založen na ĜadČ pĜedpokladĤ, které nemusí být vždy realistické. Základním východiskem VaRu bývá pĜedpoklad, že pĜírĤstky tržních sazeb v budoucnosti se budou chovat zhruba stejnČ jako v nedávné minulosti5. To je pomČrnČ silný pĜedpoklad, neboĢ finanþní trhy se neustále mČní a vyvíjejí, pružnČ reagují na zmČny v mČnové a fiskální politice, informace o stavu ekonomiky þi rĤzné krizové situace (teroristické útoky, války, ekologické katastrofy,…), postupující globalizace a standardizace navíc zvyšuje jejich vzájemnou propojenost a závislost. VaR, který je zpravidla založen výhradnČ na historických datech tak nebývá schopen vþas odhadnout náhlé dramatické zmČny na finanþních trzích a zachytit pĜíchod finanþní krize. Typickým pĜíkladem jsou mČnové krize, které vznikají když se fixní kurz stane neudržitelným. Takovéto krize jsou z pohledu VaRu naprosto neoþekávané, neboĢ jim pĜedchází velice nízká volatilita v období fixního kurzu. Pro pĜípady fixních kurzĤ proto napĜíklad nový koncept kapitálové pĜimČĜenosti výslovnČ zmiĖuje nutnost provádČt stresové testování pĜi výpoþtu hodnoty kolaterálu (viz [7] s. 39, odst. 158). KvĤli výše zmínČným nedostatkĤm bývá VaR doplĖován testováním hypotetických stresových scénáĜĤ, které jsou buć subjektivnČ sestavené skupinou odborníkĤ na základČ jejich zkušeností, pozic v portfoliu, makroekonomické i politické situace þi mechanicky generované (více viz [25]).
5
KromČ historických volatilit a korelací mĤže VaR používat i volatility a korelace implikované z opþních cen, množství empirických studií dokonce ukazuje, že implikované volatility poskytují nejlepší odhad skuteþných volatilit a jsou schopny tedy nejlépe pĜedpovČdČt pĜíchod krizi – viz napĜ. [23] þi [18]. V praxi se však implikované volatility pro výpoþet VaRu pĜíliš nepoužívají, pro mnoho instrumentĤ buć opþní trhy vĤbec neexistují nebo nejsou dostateþnČ likvidní.
94
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
VaR neuvažuje náklady likvidace Další nevýhodou bČžnČ používaných modelĤ pro výpoþet VaRu je fakt, že zde mnohdy nejsou zohlednČna rizika spojená s likvidací pozic. Portfolia þasto bývají ocenČna s pomocí stĜedových (mid) cen a i v pĜípadČ, že je pĜi jejich ocenČní zohlednČno tržní rozpČtí (jak vyžaduje IFRS – viz [1], IAS 39, odstavec AG 72), nebývá ve VaRu zahrnuto riziko jeho zvýšení (viz napĜ. [4]). Pokud tedy bude nutno likvidovat pozice za zvýšeného tržního rozpČtí, mĤže instituce utrpČt vČtší ztráty než odhaduje VaR. V pĜípadČ vČtších pozic nabývá velkého významu volba vhodné likvidaþní strategie. Subjekt má buć možnost pozice rychle zlikvidovat, avšak za cenu vysokých nákladĤ (akceptování velkého tržního rozpČtí nebo prodej po þástech s rizikem, že pozdČjší obchody se uskuteþní již za ceny stlaþené obchody pĜedcházejícími) nebo mĤže s likvidací vyþkávat, þímž ovšem dochází k vyššímu podstupovanému riziku nepĜíznivého pohybu tržních sazeb. Žádný z popsaných problémĤ pĜi uzavírání velkých pozic (široké tržní rozpČtí, stlaþení cen, dlouhý þasový horizont likvidace) nebývá v bČžných VaR modelech brán v úvahu. PĜitom je tĜeba si uvČdomit, že v nČkterých pĜípadech nemá subjekt na výbČr a svoje pozice musí likvidovat rychle i za cenu velmi nepĜíznivého dopadu na tržní ceny. Pokud napĜíklad banka þelí neþekaným odlivĤm finanþních prostĜedkĤ (napĜíklad z dĤvodu nutnosti doplnit prostĜedky na maržových úþtech þi kvĤli neþekanČ vysokému odlivu prostĜedkĤ klientĤ z bČžných úþtĤ), musí velmi rychle hledat dodateþné zdroje financování, nČkdy nelze postupovat jinak než prodávat stávající aktiva bez ohledu na to, že kvĤli nedostateþné tržní likviditČ dojde k výraznému stlaþení jejich cen. Pokles cen mĤže snížit i hodnotu ostatních držených aktiv v portfoliu a mĤže vést k novým maržovým výzvám (margin call), þímž vzniká nutnost dalších likvidací a firma se dostává do tzv. likviditního cyklu. Dnešní finanþní trhy jsou velmi globalizované a napodobování obchodních strategií i zpĤsobĤ Ĝízení rizik6 mĤže vést k situacím, kdy se trhy stávají jednosmČrnými, neboĢ všichni hráþi usilují ve stejný okamžik o likvidaci stejných rizikových pozic. To vede k obtížnému hledání vhodné protistrany obchodu a k obrovskému propadu cen, který se mĤže pĜelít i na další trhy. Nervozita se projeví také ve zvýšené volatilitČ. Vzniklé krize pĜedstavují velké riziko nejen pro individuální firmy, ale ohrožují stabilitu celého finanþního systému a stojí tedy samozĜejmČ i v centru pozornosti regulátorĤ.
6
Je tĜeba si uvČdomit, že rĤst volatility vede sám o sobČ k rĤstu VaRu. Pro udržení rozumné úrovnČ kapitálové pĜimČĜenosti jsou pak mnozí hráþi nuceni likvidovat rizikové pozice, další je musí uzavírat napĜíklad kvĤli maržovým výzvám a stop-loss limitĤm.
95
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
VaR je statický VaR pĜedstavuje statickou metodu, která nebere v úvahu zmČny portfolia, což mĤže nČkdy zpĤsobovat problémy. NČkteĜí obchodníci napĜíklad obchodují aktivnČ bČhem dne a pĜed koncem dne své rizikové pozice témČĜ uzavírají. Výpoþet Value at Risk, který by vycházel ze stavu portfolia na konci dne, by pak maximální ztrátu mohl výraznČ podhodnocovat. V minulé kapitole jsme zdĤrazĖovali, že velké pozice není rozumné uzavĜít bČhem krátkého období. DobČ potĜebné pro likvidaci by mČl logicky odpovídat i horizont pro výpoþet VaRu. PĜi likvidaci se ale pozice postupnČ zmenšují, což bČžné VaR modely nezohledĖují, neboĢ pracují s nemČnným složením portfolia. Postupy používané pro výpoþet VaRu lze však upravit, aby lépe zohledĖovali mČnící se strukturu portfolia. Postupujeme tak, že simulujeme scénáĜe pohybu tržních sazeb (pĜípadnČ i jiných veliþin) v þase a v závislosti na jejich vývoji modifikujeme pĜedem zvoleným zpĤsobem pozice v portfoliu (napĜíklad je uzavíráme pokud potĜebujeme okamžitČ získat likvidní prostĜedky nebo jsme se dostali na stop-loss limity þi se management v dĤsledku ztrát rozhodl snížit limity tržních rizik, aby udržel riziko v relaci ke kapitálu). Pro každý scénáĜ pohybu zkoumaných parametrĤ dospČjeme k vývoji hodnot portfolia, dynamický VaR pak urþíme jako kvantil získaných hodnot. Jednoduchý dynamický model tohoto typu popisují Marrison a kol. (viz [19]). Modely pro výpoþet VaRu V praxi je používáno velké množství modelĤ pro výpoþet Value at Risk. Cílem této kapitoly je tyto metody porovnat a ukázat jejich silné a slabé stránky, jakož i základní pĜedpoklady, na nichž jsou založeny. Jako výchozí modely jsem zvolil dvČ þasto v praxi používané metody založené na simulacích - metodu historických simulací a metodu Monte Carlo s pĜedpokladem nepodmínČného normálního rozdČlení. Jejich spoleþnými nedostatky jsou špatné konvergenþní vlastnosti, velká nároþnost na výpoþetní techniku a hlavnČ pĜedpoklad nezávislého stejného rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb.
96
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
Tab. þ. 1
Pramen: vlastní schéma autora.
Všechny metody založené na simulacích trpí pĜi použití nižšího poþtu scénáĜĤ špatnou konvergencí výbČrového kvantilu ke skuteþnému kvantilu. Zatímco u metod Monte Carlo je generování vČtšího poþtu scénáĜĤ zpravidla pouze otázkou dostupného hardwaru, u metody historických simulací je problém závažnČjší – dlouhé þasové Ĝady þasto nejsou dostupné a VaR tak vĤbec nelze odhadnout, zejména na vyšších hladinách pravdČpodobnosti. U historických simulací lze konvergenþní vlastnosti þásteþnČ zlepšit použitím „pseudohistorických“ scénáĜĤ (napĜíklad zrcadlových scénáĜĤ), které však jsou založeny na dosti silných pĜedpokladech o tvaru pravdČpodobnostního rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb (zrcadlové scénáĜe napĜíklad pĜedpokládají symetrii rozdČlení, nejþastČji kolem nuly). Dalším zpĤsobem, jak vylepšit konvergenþní vlastnosti metody historických simulací je vyhladit empirickou distribuþní funkci napĜíklad s použitím jádrových odhadĤ (viz [10]). ObČ metody založené na simulacích jsou také pomČrnČ nároþné na výpoþetní techniku, což v minulosti pĜedstavovalo vážný problém. Hledalo se tedy takové zjednodušení, které by ve spojitosti s pĜedpokladem normality vedlo k jednoduchému výpoþtu VaRu, nejlépe za existence analytického Ĝešení. Toho bylo možné docílit, když se plná oceĖovací funkce nahradila pouze jedním þi dvČma prvními þleny
97
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
jejího Taylorova rozvoje7, pĜípadnČ kvadratickou funkcí, která minimalizuje souþet þtvercĤ odchylek skuteþného a aproximovaného ocenČní. PĜi použití prvního þlenu Taylorova rozvoje hovoĜíme o metodČ delta (variance-kovariance), zmČna hodnoty portfolia má normální rozdČlení a VaR lze jednoduše vypoþítat ze znalosti první derivace oceĖovací funkce, stĜední hodnoty a kovarianþní matice pĜírĤstkĤ tržních sazeb8. PĜi použití dvou þlenĤ Taylorova rozvoje hovoĜíme o metodách delta-gamma, zmČna hodnoty portfolia má podobu souþtu nezávislých náhodných veliþin s necentrovaným χ2 rozdČlením, jehož kvantil zpravidla odhadujeme pomocí vhodné aproximace (viz napĜ. [9]). Metody založené na použití Taylorova rozvoje pĜinášejí oproti Monte Carlu jedinou výhodu, kterou je nižší nároþnost na strojový þas, díky þemuž umožĖují výpoþet v reálném þase i pro složitá portfolia. Nevedou však k dobrým výsledkĤm, pokud nelze oceĖovací funkci dobĜe aproximovat nČkolika málo þleny Taylorova rozvoje, což bývá problém zejména v pĜípadČ opþních portfolií. Pro tyto pĜípady jejich použití rozhodnČ nedoporuþuji, díky rychlému vývoji výpoþetní techniky jsou dnes zpravidla dostupné lepší alternativy. Další možností, jak urychlit výpoþet VaRu, je soustĜedit se pouze na hlavní rizikové faktory. PĜi výbČru hlavních rizikových faktorĤ vycházíme zpravidla hlavnČ ze znalosti portfolia, je však možné také využít analýzu hlavních komponent (viz napĜ. [17]). Snad nejzávažnČjším spoleþným problémem obou metod založených na simulacích je pĜedpoklad, že pĜírĤstky tržních sazeb jsou nezávislé a stejnČ rozdČlené v þase. To je v pĜíkrém rozporu s empirickými pozorováními, které zdĤrazĖují, že rozdČlení pĜírĤstkĤ se v þase mČní, typické je zejména stĜídání období charakterizovaných vysokou a nízkou volatilitou nazývané „volatility clustering“. Proto bývá pĜedpoklad nepodmínČného normálního rozdČlení v metodČ Monte Carlo nahrazován podmínČným normálním rozdČlením, pĜiþemž aktuální volatilita a korelace se odhadují nČkterou z metod typu EWMA (viz [22]) þi GARCH (viz [23] nebo [11]), pĜípadnČ se používá implikovaných volatilit, resp. korelací. ObdobnČ lze také postupovat v pĜípadČ historických simulací, kdy lze minulá pozorování pĜírĤstkĤ tržních sazeb „updatovat“ na souþasné volatility a korelace (viz napĜ. [14] þi [5]), tento postup však ponČkud diskvalifikuje hlavní pĜednost historických simulací, kterou je nulový pĜedpoklad o tvaru pravdČpodobnostního rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb.
7
Pokud h: R n+1ĺ R je oceĖovací funkce diferencovatelná do k-tého Ĝádu, která vypoþítá hodnotu portfolia v závislosti na n tržních faktorech f1,…,fn a þase t, pak mĤžeme hodnotu portfolia v þase t+T pĜi úrovni sazeb ft+T vyjádĜit pomocí Taylorova rozvoje k-tého Ĝádu následujícím zpĤsobem:
8
Za tČchto velmi zjednodušujících podmínek zároveĖ platí, že D-denní VaR je roven √D-krát jednodenní VaR. Tento vztah je v praxi široce používán a to v mnohem obecnČjším kontextu, kdy již postrádá teoretické opodstatnČní.
98
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
Výsledný VaR se však rychleji adaptuje na náhlé zvýšení volatility a tak nedochází ke kumulaci pĜekroþení VaRu v krátkém období. Další metodou, která si klade za cíl zohlednit existenci „volatility clustering“ je tzv. hybridní metoda, kterou pĜedstavují Boudoukh, Richardson a Whitelaw (viz [8]). Hybridní metoda je založena na exponenciálním vážení scénáĜĤ pĜi výpoþtu VaRu, novým pozorováním je pĜiĜazována nejvČtší váha. Tato metoda však ponČkud postrádá hlubší teoretické opodstatnČní, parametry jsou vybrány ad hoc a jejich odhad se neopírá o žádnou statistickou metodu. MetodČ BRW však nelze upĜít, že díky exponenciálnímu vážení nedochází narozdíl od klasické verze historických simulací k výrazným jednorázovým zmČnám VaRu v situaci, kdy extrémní scénáĜe opouští klouzavé okno. Aplikace exponenciálního vážení, stejnČ jako nČkterých GARCH modelĤ mĤže vést k použití velmi krátkých þasových Ĝad, které mohou výraznČ podhodnocovat rizika, jež nebyla pozorována v nedávné historii, pĜesto se ale þas od þasu opakují napĜíklad v souvislosti s prĤbČhem hospodáĜského cyklu9. ObecnČ krátké þasové Ĝady z období s nízkou volatilitou mohou vést k tomu, že VaR silnČ podhodnocuje riziko náhlého zvýšení volatility. Na druhou stranu ani použití velmi dlouhých þasových Ĝad nemusí být optimální – data z dávné minulosti nebývají mnohdy relevantní pro popis souþasných tržních podmínek. OsobnČ se pĜikláním k názoru, že pro výpoþet VaRu je v pĜípadČ vČtšiny rizikových faktorĤ vhodné použití cca roþních þasových Ĝad, což odpovídá i obvyklé praxi. Delší historii je však rozhodnČ vhodné zvážit pĜi aplikaci stresových scénáĜĤ. V praxi se dále ukazuje jako nerealistický pĜedpoklad normálního rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb a to nejen v nepodmínČné, ale i v podmínČné verzi. Empirické studie ukazují, že rozdČlení pĜírĤstkĤ vykazuje tČžší chvosty než by odpovídalo jak nepodmínČnému tak podmínČnému normálnímu rozdČlení. NČkteré pĜírĤstky navíc vykazují zápornou šikmost. V praxi se objevilo velké množství alternativních VaR modelĤ, které si kladly za cíl lépe popsat existenci tČžkých chvostĤ, pĜípadnČ záporné šikmosti. Jedná se zejména o použití smČsice normálních rozdČlení (viz napĜ. [27] nebo [28]) þi studentova t-rozdČlení (viz napĜ. [13]), model RiskMetrics GED (viz [22]), aplikaci odhadovacích funkcí (viz [16]) þi teorie extrémních hodnot (viz napĜ. [21] þi [26]). SmČsice normálních rozdČlení nachází teoretickou podporu v teorii hluþného obchodování þi teorii spekulativních bublin, když pĜedpokládá existenci „klidných“ a „rušných“ dnĤ, pĜiþemž rušné dny jsou charakteristické vyšší volatilitou, pĜípadnČ i zápornou stĜední hodnotou pĜírĤstkĤ tržních sazeb. Teorie extrémních hodnot zase využívá limitních vČt pro extrémy, její aplikace je tedy silnČ teoreticky podložena. Teorie extrémních hodnot (EVT) bohužel v zá9
Jako pĜíklad lze uvést kreditní spready, které se mohou skokovČ zvýšit pĜi prvních známkách pĜíchodu recese þi pozice v mČnách rozvíjejících se trhĤ, které mohou mít tendenci skokovČ oslabit pokud nastane globální averze k riziku (zvláštČ v situaci, kdy tyto mČny nesou vysoké úroky a jsou hojnČ využívány v rámci tzv. carry trades).
99
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
kladní verzi pĜedpokládá nezávislé, stejnČ rozdČlené pĜírĤstky tržních sazeb, což není realistický pĜedpoklad, v pokroþilejší podobČ však umožĖuje komplexní zkoumání zmČn parametrĤ rozdČlení extrémních pĜírĤstkĤ tržních sazeb v þase, þímž dospívá mnohem dále než klasické „updatování“ volatilit. I kdyby bylo možné považovat marginální rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb za normální, rozhodnČ to ještČ neznamená, že sdružené rozdČlení je mnohorozmČrné normální. Naopak, mnohorozmČrné normální rozdČlení není schopno dobĜe popsat nelineární typy závislostí, selhává tedy nejen v oblasti jednorozmČrné (nepodchycuje tČžké chvosty), ale i pĜi popisu závislostí. Pokud pĜírĤstky nejsou v mnohorozmČrném normálním rozdČlení stoprocentnČ korelované, jsou asymptoticky nezávislé, což by znamenalo, že extrémní pohyby na rĤzných trzích prakticky nenastávají souþasnČ. To je v pĜíkrém rozporu s empirickými pozorováními. Pro komplexní popis mnohorozmČrného rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb je praktické postupovat ve dvou krocích – nejprve analyzovat podobu jednorozmČrných rozdČlení a pak zkoumat jejich vzájemné závislosti – hledat vhodnou copula funkci. Empirické studie jasnČ ukazují, že Studentova copula lépe charakterizuje strukturu závislostí pĜírĤstkĤ tržních sazeb než normální copula (viz napĜ. [20]), ještČ lepších výsledkĤ je možno dosáhnout pĜi použití copula funkcí, které umožĖují popsat asymetrické závislosti jako napĜíklad Gumbelova copula þi dokonce smČsice rĤzných copula funkcí (viz napĜ. [26]). StejnČ jako volatilita, i struktura závislostí mezi pĜírĤstky se bohužel mČní v þase. PĜestože zkoumání copula funkcí je velmi zajímavé z hlediska teoretického, v praxi nastávají velké problémy pĜi parametrizaci a to zejména pĜi monitorování závislostí mezi vČtším poþtem pĜírĤstkĤ. Tyto problémy jsou tak závažné, že pro úþely VaRu považuji za snazší nepokoušet se o detailní podchycení závislostí mezi tržními sazbami a radši analyzovat pĜímo jednorozmČrné rozdČlení ziskĤ a ztrát na daném portfoliu. Proto jako poslední model pro výpoþet VaRu bych rád zmínil tzv. CaViaR, který zkoumá jednoduše pĜímo náhodný proces popisující rozdČlení VaRu (viz [12]). Parametry CaViaRu jsou odhadovány pomocí kvantilové regrese a nejsou tĜeba žádné zjednodušující pĜedpoklady o tvaru rozdČlení pĜírĤstkĤ tržních sazeb. CaViaR však není zatím v teoretických pracích pĜíliš obsáhle charakterizován a rozhodnČ si zaslouží další teoreticky i prakticky zamČĜený výzkum. ZávČr Cílem tohoto þlánku bylo ukázat, že pĜestože Value at Risk je dnes základním stavebním kamenem systému Ĝízení tržních rizik ve vČtšinČ finanþních institucí, není sám o sobČ schopen podat úplný obraz tržních rizik. VaR totiž nevypovídá o rizicích pĜesahujících rámec zvolené pravdČpodobnosti, v dĤsledku þehož mĤže podnČcovat mnohdy velmi rizikové obchodní strategie þi nesmyslnČ odrazovat od diverzifikace. Ze stejného dĤvodu lze rozdČlením portfolia 100
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
do více subportfolií a seþtením jejich VaRĤ dospČt k výraznČ nižšímu odhadu rizika než jaké bychom získali výpoþtem VaRu pro celé portfolio. Základním východiskem VaRu bývá pĜedpoklad, že pĜírĤstky tržních sazeb v budoucnosti se budou chovat zhruba stejnČ jako v nedávné minulosti. Jelikož finanþní trhy se chovají velmi dynamicky v þase, rozdČlení tržních faktorĤ pozorovaných v minulosti nemusí nutnČ pĜedstavovat dobrý odhad pro budoucnost. Value at Risk tak mnohdy nebývá schopen vþas odhadnout náhlé dramatické zmČny na finanþních trzích a zachytit pĜíchod finanþní krize. Je tĜeba si uvČdomit, že používaný model Value at Risk je pouze modelem, který je založen na ĜadČ pĜedpokladĤ, jež nemusí být vždy realistické. RĤzné metody pro výpoþet VaRu tak vedou k pomČrnČ odlišným výsledkĤm v závislosti na zvoleném pravdČpodobnostním rozdČlení, zpĤsobu odhadu parametrĤ, rĤzné délce þasových Ĝad, ale i zahrnutí þi ignorování korelací mezi rĤznými tĜídami rizik. PĜesto, že modely mnohdy vychází ze sofistikované matematiky, nemohou plnČ postihnout složitost finanþních trhĤ. Proto je dobré se ptát, jak se rizikové ukazatele zmČní, pokud se zmČní pĜedpoklady modelu. Ani tak však není pĜi Ĝízení tržních rizik možné stoprocentnČ spoléhat pouze na metody založené na statistice, je potĜeba využívat též vlastní cit, zkušenosti, znalosti trhĤ, historické analogie a zobecnČní. I proto dnes dochází k velkému rozmachu stresového testování, které pĜedstavuje výraznČ subjektivnČjší pohled na riziko a v souþasnosti se stává nejþastČji používaným doplnČk VaRu. Navíc je nutné zdĤraznit, že rizika nejsou nezávislá. Nedostateþné zabezpeþení zdrojĤ financování þi snížení kapitálu v dĤsledku utrpČných ztrát si mĤže vynutit rozsáhlé výprodeje aktiv za nepĜíznivé ceny. V pĜípadČ selhání protistrany mohou také vzniknout obrovské otevĜené pozice, které je složité a drahé rychle uzavĜít – podobný problém mĤže ale také nastat napĜíklad v pĜípadČ hromadného uplatnČní rozvazovacích klauzulí (break-clause). Ve všech tČchto situacích je instituce nucena do rychlé likvidace pozic, þímž mĤže utrpČt ztráty, které bČžné modely pro výpoþet Value at Risk opomíjejí. Literatura [1] INTERNATIONAL ACCOUNTING STANDARDS BOARD, (2006). International Financial Reporting Standards 2006, IASCF Publications Department, London. [2] ARTZNER, P. – DELBAEN, F. – EBER, J.-M. – HEATH, D., (1999). Coherent Measures of Risk. In: Mathematical Finance, 9, 203–228. [3] ARTZNER, P. – DELBAEN, F. – EBER, J.-M. – HEATH, D., (2000). In: Thinking Coherent. Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts, London. [4] BANGIA, A. – DIEBOLD, F. X. – SCHUERMANN, T. – STROUGHAIR, J. D., (1999). Modeling Liquidity Risk, With Implications for Traditional Market Risk Measurement and Management. In: Wharton School, Working Paper 99–06. [5] BARONE–ADESI, G. – GIANNOPOULOS, K. – VOSPER, L., (1999). VaR without Correlations for Portfolios of Derivative Securities. In: Journal of Futures Markets, August 1999. [6] BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION, (2005): Amendment to the Capital Accord to Incorporate Market Risks. Updated, 2005.
101
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
(.2120,&.e52=+ď$'<(&2120,&5(9,(:
92/80(52ý1Ë.
[7] BASEL COMMITTEE ON BANKING SUPERVISION, (2006): International Convergence of Capital Measurement and Capital Standards. A Revised Framework. Comprehensive Version, June 2006. [8] BOUDOUKH, J. – RICHARDSON, M. – WHITELAW, R., (1998): The Best of Both Worlds. In: Risk, 11, pp. 64–67, May 1998. [9] BRITTEN–JONES, M. – SCHAEFER, S. M., (1999): Non–Linear Value-at-Risk. In: European Finance Review, 2, pp. 161–187. [10] BUTLER, J. S. – SCHACHTER, B., (1998): Estimating Value-at-Risk with a Precision Measure by Combining Kernel Estimation with Historical Simulation. In: Review of Derivatives Research, 1, pp. 371–390. [11] DEGIANNAKIS, S. – XEKALAKI, E., (2003): Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (ARCH) Models. In: A Review. Athens University of Economics and Business. [12] ENGLE, R. F. – MANGANELLI, S., (2004): CAViaR: Conditional autoregressive Value at Risk by regression quantiles. In: Journal of Business and Economic Statistics, 22(4): pp. 367–381. [13] GLASSERMAN, P. – HEIDELBERGER, P. – SHAHABUDDIN, P., (2000): Portfolio Value-at-Risk with Heavy Tailed Risk Factors. In: Working Paper, Paine Weber working paper series, Columbia Business School. [14] HULL, J. – White, A., (1998): Incorporating Volatility Updating into the Historical Simulation Method for Value at Risk. In: Journal of Risk, pp. 5–19, Fall 1998. [15] JORION, P., (2000): Risk Management Lessons from Long–Term Capital Management. In: European Financial Management, Vol. 6, N. 3, pp. 277–300. [16] LI, D. X., (1999): Value at Risk Based on the Volatility, Skewness and Kurtosis. In: RiskMetrics. [17] LORETAN, M., (1997): Generating market risk scenarios using principal components analysis: methodological and practical considerations. In: Federal Reserve Board. [18] MALZ, A. M., (2001): Financial crises, implied volatility and stress testing. In: RiskMetrics Group Working Paper N. pp. 01–01. [19] MARRISON, CH. – SCHUERMANN, T. – STROUGHAIR, J. D., (2000): Changing Regulatory Capital to Include Liquidity and Management Intervention. In: The Journal of Risk Finance, Summer 2000. [20] MASHAL, R. – ZEEVI, A., (2002): Beyond Correlation: Extreme Co-movements Betweeen Financial Assets. Columbia University. [21] MCNEIL, A. J., (2000): Extreme Value Theory for Risk Managers. In: Extremes and Integrated Risk Management, edited by P. Embrechts, London. [22] MORGAN GUARANTY TRUST COMPANY, (1996). In: RiskMetrics Technical Document, 4th edn. [23] POON, S. – H. – GRANGER, C. W. J., (2003): Forecasting Volatility in Financial Markets: In: A Review. Journal of Economic Literature, Vol. XLI, pp. 478–539, June 2003. [24] STRNAD, P., (2005): MČĜení tržních rizik pomocí metody Value at Risk. In: E + M Ekonomie a Management, 2/2005, Liberec. [25] STRNAD, P., (2006): Stresové testování jako doplnČk VaRu. In: E + M Ekonomie a Management, 3/2006, Liberec. [26] STRNAD, P., (2006): ěízení tržních rizik s použitím teorie extrémních hodnot a copula funkcí. In: Sborník vybraných pĜíspČvkĤ z konference ěízení a modelování finanþních rizik, Ostrava, pp. 339–348. [27] ZANGARI, P., (1996): An improved methodology for measuring VaR. In: RiskMetrics Monitor, 2Q 1996, pp. 7–25. [28] ZANGARI, P., (1997): What risk managers should know about mean reversion and jumps in prices. In: RiskMetrics Monitor, 4Q 1997, pp. 12–41.
Poznámka: Príspevok neprešiel jazykovou úpravou. 102
ISSN 0323-262X
,668(ýË6/2
