Value at Risk and its limits

Value at Risk and its limits Metoda Value at Risk a její nedostatky Bc. Martin Boleslav, Provozně ekonomická fakulta, Mendelova univerzita v Brně, [email protected] Abstrakt Příspěvěk se zabývá metodou měření finančního rizika Value at Risk, shrnuje některé kritiky a omezení této metody a dává je do kontextu s nedávnou globální finanční krizí 2007 – 2008. Mezi nedostatky metody VaR patří zejména: různé metody výpočtu VaR dávají různé výsledky, problém morálního hazardu, výstupy modelů jsou založeny na historických datech, neschopnost modelů plně zachytit rizika spojená s novými komplexními finančními instrumenty nebo neschopnost určit ztráty za zvolenou hranicí spolehlivosti, které mohou VaR výrazně převýšit. Regulatorní orgány se nedostatky snaží odstranit zaváděním stresového testování, omezením přijímání nadměrného rizika nebo větším důrazem na kvalitativní řízení rizik místo slepého spoléhání na statistické modely. Někteří kritikové nabádají k rekonstrukci celého systému.

Klíčová slova VaR, Value at Risk, finanční krize, kritika VaR, risk management

Abstract This paper deals with Value at Risk method of measuring financial risk and summarizes some of the criticisms and limitations of this method in context of the recent global financial crisis of 2007 – 2009. Some of the shortcomings of VaR methods include: different methods of calculating VaR give different results, moral hazard, models output are based on historical data, the inability of models to fully capture the risks associated with new complex financial instruments or the inability to determine losses out of the chosen confidence limit, which may greatly exceed VaR. Regulatory authorities are trying to remove these deficiencies with implementation of stress testing, limiting excessive risk-taking or qualitative risk management rather than blind reliance on statistical models. Some critics even urge to reconstruct the whole system.

Key Words VaR, Value at Risk, financial crisis, criticism of VaR, risk management

Úvod Moderní metody řízení finančních rizik byly poraženy velmi nepravděpodobnými mimořádnými událostmi, tzv. Černými labutěmi. Dokud taková situace nenastane, ani v nejmenším si ji nedokážeme připustit, ale jakmile nastane, připadne nám naprosto pochopitelná. Rozšíření moderních nástrojů řízení rizik a rozsáhlá mezinárodní finanční regulace nedokázaly zabránit globální finanční krizi mezi roky 2007-2009 vytvořit ztráty objemů nevídaných od roku 1929. Z tohoto úhlu pohledu se může zdát, že bychom měli přehodnotit dosavadní přístup k řízení rizik. Jedním z nástrojů řízení rizik je i metodologie Value at Risk. Dle kritiků této metody jsou nástroje Value at Risk jednou z přímých příčin finanční krize 2007-2009.

Cíl a metodologie Cílem příspěvku je shrnout některé kritiky a vážné nedostatky v přístupu měření rizik pomocí metod Value at Risk zejména v kontextu globální finanční krize 2007-2009. V článku je využita metoda analýzy sekundárních dat – odborné články, working papers, publikace, případně zprávy Basilejského výboru pro bankovní dohled. V první části příspěvku je krátce představena metodologie Value at Risk. Druhá část je zaměřena na popis jednotlivých kritik.

Výsledky Řízení rizik metodou Value at Risk Value at Risk je velmi rozšířená a populární metoda měření rizik používaná zejména v bankovnictví a pojišťovnictví. Tuto revoluční metodu začala využívat nejdříve americká investiční banka J. P. Morgan na začátku 90. let. Velký zájem o tuto metodu vyvolalo její představení na konferenci o řízení rizik v roce 1993. V roce 1994 J. P. Morgan zveřejnila celou metodologii pod názvem Risk Metrics. Metoda Value at Risk je součástí bankovní regulace Basel I, Basel II i Basel III a také součástí regulace pro pojišťovny Solvency II. Value at Risk můžeme volně přeložit jako hodnota v riziku. VaR v jednom čísle sumarizuje expozici tržního rizika. Definice VaR podle Joriona zní: „VaR sumarizuje nejhorší očekávanou ztrátu ve stanoveném časovém horizontu a při dané hladině spolehlivosti“.

Zjednodušeně VaR vyjadřuje maximální možnou ztrátu, která může zasáhnout naše portfolio během jednoho dne příp. 10 dní s pravděpodobností např. 99 %. Na obrázku je zachyceno pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny denních zisků a ztrát portfolia. VaR je vypočten jako jednostranný kvantil rozdělní zisků a ztrát. S pravděpodobností 95 % bude největší ztráta rovna právě hodnotě VaR.

Pramen: KAŠPAROVSKÁ, V. a kol. Řízení obchodních bank: vybrané kapitoly. 1. vyd. Praha: C. H. Beck, 2006. s.108 Obr. 1: Pravděpodobnostní rozdělení náhodné veličiny denních zisků a ztrát portfolia Kromě informací o maximální možné ztrátě portfolia během dané doby a s danou pravděpodobností slouží VaR podle Joriona (1997) také jako:  Informační reporting – poskytuje informace o riziku managementu i akcionářům  Alokace zdrojů – stanovení limitů pozic a alokace omezených kapitálových zdrojů  Stanovení kapitálového požadavku – stanovení požadované minimální úrovně kapitálu vzhledem k riziku Kapitálový požadavek metodou Value at Risk se počítá na základě 10 denního časového horizontu s 99% hladinou významnosti a s historickými daty nejméně jeden rok. Jak uvádí Khindanová (2004): kapitálový požadavek k tržnímu riziku může být stanoven na základě hodnoty VaR předchozího dne nebo z průměrné hodnoty VaR za předchozích 60 dní vynásobené koeficientem k1. Metoda VaR je velmi oblíbená zejména díky své jednoduchosti a snadné interpretovatelnosti. Měrnou jednotkou VaR je např. USD, Euro nebo jakákoliv jiná měna a vyjadřuje ztracené peníze. Další výhodou je univerzálnost. Metodou VaR můžeme měřit rizikovost jakéhokoliv portfolia a umožňuje sumarizaci všech rizik do jednoho výsledku. 1

Hodnota koeficinetu k je minimálně 4 a určuje se podle toho, kolikrát během jednoho roku překročily skutečné ztráty hodnoty odhadované modelem VaR.

Výhodou je určení maximální možné ztráty portfolia za daný časový úsek s určenou pravděpodobností. Metodologie měření rizik Value at Risk má však také plno nedostatků a celou řadu kritiků. Kritika metody Value at Risk, a zejména některých předpokladů, se objevila ihned po jejím vzniku. Problémy spojené s odhadem rizika pomocí této metody však naplno odhalila a probudila o nich diskusi až globální finanční krize 2007 – 2009. Někteří kritici této metody ji dokonce označili za jednu z příčin vzniku finanční krize. Americký kongresman Jim Saxton (2008) uvádí metody VaR na čtvrtém místě z celkem 6 klíčových selhání vedoucích ke vzniku krize. Své pochybnosti o metodě VaR vyjádřil i britský regulatorní orgán Financial Services Authority (2009). Nevýhody a kritika metody Value at Risk Různé metody výpočtu VaR dávají různé výsledky Mezi tři základní metody výpočtu VaR patří metoda variancí a kovariancí, historická simulace a simulace Monte Carlo. Často se tak můžeme dopočítat k několika rozdílným výsledkům pro jedno a totéž portfolio. T. S. Beder (1995) se touto problematikou zabýval v práci s příznačným názvem VAR: Seductive but Dangerous, tedy VAR: svůdné ale nebezpečné. Použil 8 různých způsobů výpočtu na 3 velmi odlišná portfolia. Beder počítal jednodenní a desetidenní VaR, pro historickou simulaci uvažoval data za posledních 100 nebo 250 obchodních dní. Z výsledků práce vyplývá velký rozptyl ve výsledných hodnotách VaR. V případě jednoho ze zkoumaných portofolií byla jednou metodou stanovena až 14 krát větší hodnota VaR než při použití jiné metody a v několika případech byla dvoutýdenní VaR menší než jednodenní při použití stejné metody výpočtu. Správci portfolií mohou být často vedeni k přijetí co nejnižších kapitálových požadavků s cílem dosáhnout většího zisku. Správce tak může určit kapitálový požadavek dle metody s nejnižší výslednou hodnotou rizika a vystavit společnost nadměrnému riziku. Problém morálního hazardu K předchozímu problému se vztahuje i problém morálního hazardu. Při použití metod VaR sázíme na to, že nenastane velmi nepravděpobodná událost, která se nachází za námi stanovenou hranicí pravděpodobnosti 5 % (1 %). Mnoho finančních institucí stimuluje příjímání vyšších rizik asymetrickou strukturou odměňování. Ta spočívá v nízkých sankcích pro správce portfolia, které má nedostatečný výkon, ale ve vysokých prémiích pro správce

pokud si portfolio vede dobře, a to na základě hodnocení v krátkém časovém horizontu (zpravidla 1 roku). U hodnot, které spravují, dochází k poklesu obvykle jednou za delší časové období 5 – 15 let. V extrémním případě se může stát, že portfolio manažer získá prémie za období růstu, poté však jeho fond zkrachuje, manažer si prémie ponechá a ztráty zaplatí celá společnost. Modely měření rizik jsou založeny na historických datech – a historie se vždy neopakuje K výpočtu VaR se zpravidla používají historická data a vychází se z předpokladu, že tržní přírůstky se budou chovat podobně jako v minulosti. Risk manažeři, před i po finanční krizi 2007 - 2009, uvažovali zejména minulé události a málo se zaměřovali na testování budoucích možných scénářů. Přitom největší rizika přináší takové události, které ještě nikdy nenastaly a nemůžeme je předvídat ani měřit. A takovýchto extrémních situací nastalo už mnoho. Mezi nejznámější kritiky metod VaR patří americký statistik, akademik a esejistka N. N. Taleb. Dobře známá a často citovaná je jeho metafora o krocanovi. „Krocan je chován a krmen 1000 dní. Každý den, kdy se krocanovi dostane krmení, jeho statistické oddělení vyhodnotí, že lidé se starají o jeho blahobyt a také se zvyšuje statistická významnost tohoto tvrzení. Jednoho listopadového dne, dne 1001, kdy se v USA slaví Den díkůvzdání, čeká krocana nemilé překvapení.“ Metaforu o krocanovi ilustruje Obr. 2.

Pramen: Taleb (2008) Obr. 2: Metafora o krocanovi Velmi podobný průběh jako u metafory o krocanovi můžeme spatřit na Obr. 3, který zachycuje roční čisté zisky sedmé největší americké banky poskytující hypotéky IndyMac. Stejný osud postihl během finanční krize 2007 - 2009 dalších skoro 1000 finančních institucí včetně FNMA, Bear Stearns, Northern Rock nebo Lehman Brothers. Na stejném obrázku vpravo je kolaps amerického fondu Long Term Capital Management v roce 1998 vedeného

mimo jiné laureáty Nobelovy ceny za ekonomii Myronem S. Scholesem a Robertem C. Mertonem.

Pramen: Bloomberg News a Lowenstein, Roger (2000) Obr. 3: Roční čisté zisky IndyMac a kolaps fondu LTCM Nedostatek metod měření rizika metodami VaR plynoucí z používání historických dat lze částečně odstranit doplněním pomocí zátěžového testování stresových scénářů. V reakci na finanční krizi požaduje Basilejský výbor pro bankovní dohled kromě standardní metody výpočtu VaR také výpočet stressed value-at-risk. Tato hodnota stress VaR odpovídá 10 denní hodnotě VaR s 99% spolehlivostí kalkulované na základě dat ze souvislého 12 měsíčního období, kdy finanční instituce dosáhla největších ztrát. Pro většinu bank půjde o období z průběhu finanční krize 2007 - 2009. Basel III by měl přinést i povinné simulace stresových scénářů z minulosti jako krizi ERM v letech 1992-1993, Ruskou finanční krizi 1998, prasknutí technologické bubliny v roce 2000 a hypotéční krizi 2007/2008. I zde však vycházíme z hodnot a scénářů založených na minulosti. Mimořádné situace však mohou být značně atypické a naše možnost předpovědi nebo přípravy na ně je tak značně omezená. Modely nejsou schopny plně zachytit rizika spojená s novými komplexními finančními instrumenty Finanční inovace a nové finanční instrumenty komplikují proces měření rizik. Problémem je zejména malé množství historických dat a neznalost všech vlastností daných instrumentů. Modely VaR rizika těchto instrumentů opomíjí, dokud není k dispozici dostatek historických dat, případně vytváří jednoduché aproximace. Dobrým příkladem může být trh s cennými papíry CMBS (commercial mortgage-backed securities). The Barclays Capital (bývalý Lehman Brothers) CMBS Index vznikl v roce 1996 a až do roku 2008 vykazoval velice nízkou volatilitu. Tyto cenné papíry byly často hodnoceny stejně jako korporátní dluhopisy.

Modely hodnocení rizik na základě minulého vývoje těchto aktiv vyhodnocovaly CMBS cenné papíry jako velmi málo rizikové investice a přiřazovaly jim stejnou míru rizika jako korporátním dluhopisům s ratingem AAA. Na Obr. 4 jsou zachyceny nízké a velice stabilní spready obou typů. To co se stalo v roce 2008, nemělo v historii ani CMBS, ani korporátních dluhopisů s delší historií, obdoby. Proto ani žádný model zkonstruovaný na základě historických dat těchto instrumentů nemohl předvídat takovou míru rizika. Podle Flaherty, Gourgey a Natarajan (2013) musíme u nových finančních instrumentů s absencí dostatečné historie, neúplných znalostí jejich vlastností a opomíjení rostoucí komplexity klást větší důraz na kvalitativní hodnocení rizik.

Obr. 4: Spready korporátních dluhopisů a instrumentů CMBS Value at risk neidentifikuje ztráty za námi zvolenou hladinou spolehlivosti VaR nám neposkytuje žádnou informaci o ztrátách za námi zvolenou hladinou spolehlivosti v oblasti „ocasu“ rozdělení. Tyto ztráty však mohou být výrazně vyšší než VaR. Tato oblast by však měla být středem pozornosti řízení rizik. Vraťme se k předchozímu příkladu s CMBS cennými papíry. Do roku 2008 byly v normálním stavu, nikdy nebyly pod vlivem mimořádné stresové situace. V roce 2008 se ale do takovéto situace dostaly. Dle studie MFS, pokud bychom stanovili hodnotu VaR na základě historických dat dostupných do začátku krize, vyšlo by nám, že s 1% pravděpodobností můžeme ztratit v jakémkoliv měsíci 31.000 USD z portfolia o hodnotě 1.000.000 USD. Příklad je ilustrován na Obr. 4. V září roku 2008 bychom ztratili 50.000 USD, což by za normálních okolností mělo nastat jednou za 700 let. V říjnu bychom ztratili 100.000 USD, to odpovídá 7 směrodatným odchylkám. Pravděpodobnost takovéto situace je zde 4000 krát větší než výhra v nejtěžší loterii na světě.

V listopadu 2008 bychom ztratili 180.000 USD – 13 krát směrodatná odchylka. Pravděpodobnost zde je taková, že k události nemělo nikdy dojít. Příklad zdůrazňuje nutnost přípravy na velmi nepravděpodobné události a uvažování možností jak na ně reagovat.

Obr. 5: Očekáváné normální rozdělení zisků a ztrát CMBS portfolia

Diskuse a závěr Jak vidíme, obsahuje metoda měření finančních rizik, kterou dnes používají téměř všechny finanční instituce, a která je součástí bankovních regulace Basel I, Basel II, Basel III i regulace pro pojišťovny Solvency II, mnoho nedostatků a omezení. Vážným problémem je odhadování rizika na základě minulých dat. Regulátoři se tento problém snaží řešit zaváděním povinných stresových scénářů. I ty však vycházejí z minulých událostí a značně atypické mimořádné situace můžeme těžko předvídat. Nedostatkem metod VaR je nemožnost indetifikovat ztráty za zvolenou hladinou spolehlivosti. Situace, které nastaly v roce 2008, se dle pravděpodobnosti na základě metodologie VaR neměly přihodit nikdy za celou historii vesmíru. Souvisejícím problémem zde byla finanční inovace a vznik nových finančních instrumentů. Ty se zpočátku jevily jako málo volatilní a risk manažeři jim přiřazovali malou míru rizika. Nízká volatilita však neznamená absenci rizika, o čemž nás přesvědčily události z poslední finanční krize. Kritik metodologie VaR N. N. Taleb dokonce požaduje zrušení komplexních produktů. Dle jeho slov: „...jim nikdo nerozumí, a jen málokdo má dost rozumu na to, aby si to připustil“. Dalším problémem, který musí být odstraněn, je nabádání risk manažerů k přijímání nadměrných rizik a snahou získat krátkodobě lepší výnosy a prémie. Finanční společnosti by

měly stimulovat své zaměstnance k dosahování dlouhodobé výkonnosti a k vytváření vhodné rovnováhy mezi přijímáním a řízením rizik a až na základě těchto předpokladů vyplácet prémie. Touto problematikou se už zabývá řada regulatorních orgánů, ale i finanční instituce přijímají opatření z vlastní iniciativy se snahou tento problém řešit. Z finanční krize 2007 – 2009 je třeba vzít si ponaučení a vyvarovat se stejných chyb. Různí autoři kladou důraz na různé věci. Někteří vidí řešení v lepším a přísnějším testování stresových scénářů, odrazování portfolio manažerů od přijímání nadměrných rizik nebo snaha o důraz na kvalitativní řízení rizik spolu s kvantitativním a ne jen slepé spoléhání na statistické modely. Někteří však navrhují i mnohem radikálnější řešení. Taleb nabádá k vytvoření nového silnějšího systému. Neměli bychom svěřovat řešení problému lidem, kteří v prvé řadě problém zavinili.

Krize z roku 2008 nejde zahladit několika nouzovými

záplatami, ale je potřeba předělat celý systém.

Reference [1] AMBROŽ, Luděk, 2011. Měření rizika ve financích. 1. vyd. Praha: Ekopress, 232 s. ISBN 978-80-86929-76-7. [2] Bank for International Settlement, 2011. Revisions to the Basel II market risk framework. Acquired 16-10-2013, from [3] BEDER, Tanya Styblo, 1995. Var: Seductive but Dangerous. Acquired 16-10-2013, from [4] CROTTY, J, 2009. Structural causes of the global financial crisis: a critical assessment of the 'new financial architecture'. Acquired 16-10-2013, from [5] Delloite, 2010. Black swans defeat standardized approaches to risk management. Acquired 16-10-2013, from [6] Financial Services Authority, 2009. The Turner Review: A regulatory response to the global banking crisis. Acquired 16-10-2013, from [7] FLAHERTY, Joseph, Gabrielle GOURGEY a Sanjay NATARAJAN, 2013. Five Lessons Learned: Risk Management After the Crisis. Acquired 16-10-2013, from

[8] KHINDANOVA, Irina N. – RACHEV, Svetlozar T, 2004. Value at Risk – Recent Advances. Acquired 16-10-2013, from [9] KAŠPAROVSKÁ, Vlasta, 2006. Řízení obchodních bank: vybrané kapitoly. Vyd. 1. Praha: C. H. Beck, xix, 339 s. ISBN 80-717-9381-7. [10] Latham&Watkins, 2011. Regulatory Capital Reform under Basel III. Acquired 16-102013, from [11] LOWENSTEIN, Roger, 2000. When genius failed: the rise and fall of Long-Term Capital Management. 1st ed. New York: Random House, xxi, 264 p. ISBN 03-755-0317X. [12] SAXTON, Jim, 2008. Goverment policy blunders largely caused the global financial crisis. Acquired 16-10-2013, from [13] TALEB, Nassim Nicholas, 2010. The black swan: the impact of the highly improbable. 2nd ed., Random trade pbk. ed. New York: Random House Trade Paperbacks, xxxiii, 444 p. ISBN 978-081-2973-815. [14] TALEB, Nassim Nicholas, 2008. The fourth quadrant: A map of the limitis of statistics. Acquired 16-10-2013, from