ANALISIS SENSITIVITAS DARI VALUE AT RISK

ANALISIS SENSITIVITAS DARI VALUE AT RISK

TESIS

Oleh

NETTY NABABAN 067021022/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008

Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

ANALISIS SENSITIVITAS DARI VALUE AT RISK

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

NETTY NABABAN 067021022/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2008


Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: : : :

ANALISIS SENSITIVITAS DARI VALUE AT RISK Netty Nababan 067021022 Magister Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Drs. Opim Salim Sitompul, MIkom,Ph.D) Ketua

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) Anggota

Ketua Program Studi

Direktur

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 5 Juni 2008


Telah diuji pada Tanggal 5 Juni 2008

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua

:

Drs. Opim Salim Sitompul, MIkom,Ph.D

Anggota

:

Prof. Dr. Herman Mawengkang Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Iryanto, M.Si


ABSTRAK Value at Risk (VaR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan lainnya. VaR merupakan pengukuran kerugian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T dengan tingkat kepercayaan tertentu α. Karena jumlah subportfolio sedemikian biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan yang sangat besar yang mengesampingkan manajemen risiko yang sedang berjalan. Tujuan dari tesis ini adalah untuk menganalisis Value at Risk (VaR) atas alokasi portofolio. Dalam tesis ini dikembangkan rumusan analitik untuk stokastik programming dari Value at Risk dan kemudian dijelaskan bagaimana rumusan tersebut dapat digunakan untuk menyederhanakan kesimpulan statistik, serta dilaksanakan pula analisa lokal atas VaR. Selanjutnya diberikan pula ilustrasi empiris dari analisis VaR untuk problem stokastik programming. Kata kunci : Value at Risk, Portofolio Efisien VaR, Program Stokastik.

i Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

ABSTRACT Value at Risk (VaR) has become a key tool for risk management of financial institutions. VaR measures the worst expected loss over a given horizon under normal market conditions at a given level of confidence. Since the number of such subportfolios is usually quite large, this involves huge calculations that preclude online risk management. The aim of this thesis is to analyze the sensitivity of Value at Risk (VaR) with respect to portfolio allocation. In this thesis, we derive analytical expressions for the Stochastic programming of the Value at Risk, and then we explain how they can be used to simplify statistical inference and performed a local analysis of the Value at Risk. An empirical illustration of such an analysis is given for a portfolio stochastic programming problem. Keywords : Value at Risk, VaR Efficient Portfolio, Stochastic Programming.

ii Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

KATA PENGANTAR Penulis menyampaikan rasa syukur yang tiada berhingga ke Hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa yang telah melimpahkan rahmatNya hingga tesis ini dapat diselesaikan dengan baik. Dalam menyelesaikan tesis ini penulis banyak mendapat dukungan dari berbagai pihak, maka pada kesempatan ini penulis mengucapkan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa. B,MSc selaku Direktur Sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara (USU) yang telah memberi kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Progran Studi Magister Matematika ini. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Magister Matematika SPs USU, juga sebagai Dosen Pembimbing-II yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Magister Matematika SPs USU, yang telah memberikan bimbingan dan masukan sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Drs. Opim Salim Sitompul, MIkom, Ph.D sebagai Dosen PembimbingI yang telah memberikan bimbingan dan petunjuk kepada penulis sehingga tesis ini dapat diselesaikan. Seluruh Staf Pengajar Program Studi Magister Matematika SPs USU, yang telah membekali ilmu pengetahuan kepada penulis selama perkuliahan hingga selesai.

iii Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

Teman-teman mahasiswa atas kerjasama dan kebersamaan yang terjalin indah selama perkuliahan hingga selesai. Kepada kedua orang tua penulis yang sangat penulis cintai, Wasinton Nababan(+) dan ibu Resmin Sihombing, untuk kasih sayangnya dan perjuangan yang penulis rasakan selama ini. Kepada suami tercinta Ir. Erwindu Rommel dan anak-anakku Stephen Windu Sihombing, Golda Windu Sihombing, Nadya Windu Sihombing yang selalu mendukung penulis dalam segala kondisi. Hanya syukur dan terimakasih yang penulis dapat ucapkan kepada semua pihak untuk dukungan doa, bimbingan dan arahan yang penulis dapatkan selama ini. Semoga tesis ini bermamfaat bagi pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.

Medan, 20 Juni 2008 Penulis,

Netty Nababan

iv Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Penulis bernama Netty Nababan dilahirkan di TAPUT pada tanggal 23 Mei 1972 anak kelima dari 6 orang bersaudara, nama ayah Wasinton Nababan(+) dan ibu Resmin Sihombing. Tamat dari sekolah Dasar (SD) tahun 1985 melanjut ke SMP dan tamat tahun 1988. Kemudian melanjutkan pendidikannya di SMA Negeri Siborongborong tamat tahun 1991. Pada tahun 1991 melanjutkan pendidikannya di IKIP Negeri Medan pada Fakultas Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam jurusan Matematika D3 tamat 1994 dan menamatkan Sarjana (S.Pd) tahun 1996. Pada saat ini penulis juga sedang mengikuti perkuliahan S2 pada sekolah Pasca Sarjana Universitas Sumatera Utara (USU) Progran Magister Sain jurusan Matematika. Riwayat pekerjaan dimulai sejak tahun 1998 menjadi guru PNS di SLTP Negeri 6 Dolok Sanggul Humbahas dan pindah tugas ke SMA Negeri 10 Medan tahun 2001 sampai sekarang. Kegiatan organisasi profesi dan kegiatan pendidikan adalah menjadi Sekretaris I Assosiasi Guru Matematika SMA/MA Provinsi Sumatera Utara sejak tahun 2007 sampai sekarang. Penulis mempunyai seorang suami yang bernama Ir. Erwindu Rommel Sihombing dan dikaruniai Tuhan anak 1 (satu) orang putra dan 2 (dua) orang putri masing-masing bernama Stephen Windu Sihombing, Golda Windu Sihombing, Nadya Windu Sihombing.

v Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

DAFTAR ISI

Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR TABEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

viii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Rumusan Masalah

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.4 Kontribusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Metodologi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

BAB 3 OPTIMISASI PORTFOLIO DAN VALUE AT RISK (VAR) . .

8

3.1 Optimisasi Portfolio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

vi Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

3.1.1 Model Optimisasi Portfolio . . . . . . . . . . . . .

9

3.1.2 Perbandingan Pendekatan Mean-Variance dan MeanVaR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2 Sensitivitas dan Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2.1 Definisi Value at Risk . . . . . . . . . . . . . . . .

12

3.2.2 Portofolio Efisien VaR

14

. . . . . . . . . . . . . . .

3.2.3 Definisi Portofolio Efisien VaR

. . . . . . . . . . .

15

BAB 4 ANALISIS SENSITIVITAS . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.1 Bentuk Model Berbasis-VaR . . . . . . . . . . . . . . . .

17

4.1.1 Model MV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

4.1.2 Model MM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

4.1.3 Model SP

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

4.2 Formulasi Stokastik Programming (SP) . . . . . . . . . .

22

BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.1 Kesimpulan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

5.2 Saran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

vii Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

DAFTAR TABEL

Nomor

Judul

Halaman

4.1

Matrik Objektif Stokastik . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.2

Matrik Koefisien di Kendala

. . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.3

Nilai Ruas Kanan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

viii Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam bidang finansial, risiko adalah variabilitas potensial terhadap aliran kas (cash flow) di masa mendatang. Risiko finansial dapat didefinisikan sebagai peluang terjadinya hasil (outcome) yang buruk. Misalnya, gelombang pemogokan pekerja di sebuah perusahaan, tergusurnya produk lama secara mendadak, kekeliruan pihak menejemen dalam melaksanakan investasi secara besar-besaran. Halhal tersebut dapat menurunkan nilai saham perusahaan dan semakin banyak peristiwa yang dapat terjadi, semakin tinggi tingkat risikonya. Umumnya investor berusaha menghindari risiko. Risiko perlu dihindari namun tetap berpeluang memperoleh keuntungan yang cukup tinggi. Investasi juga merupakan suatu kegiatan yang mengandung ketidakpastian. Dalam hal mana investor tidak dapat mengetahui secara pasti berapa tingkat keuntungan yang diharapkan akan diperoleh dan tidak dapat memperhitungkan sampai berapa jauh penyimpangan yang terjadi atas investasi yang dilakukan. Untuk mengantisipasi risiko, maka dilakukan upaya meminimalkan kerugian dengan portfolio investasi. Portfolio investasi merupakan kumpulan investasi yang dibentuk untuk memenuhi suatu sasaran umum investasi. Pembentukan portfolio berawal dari usaha diversifikasi investasi guna mengurangi risiko. Misalnya investor yang menginvestasikan dananya di pasar modal, tidak hanya memilih satu saham saja sebagai investasinya. Alasannya dengan melakukan kombinasi

1 Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

2 saham, investor dapat meraih perolehan yang optimal sekaligus akan memperkecil risiko melalui diversifikasi. Dengan mengkombinasikan berbagai aset dalam suatu investasi, diharapkan akan mampu meminimalkan tingkat risiko yang dimiliki oleh masing-masing aset yang akan membentuk portfolio tersebut. Teori portfolio modern dimulai pada tahun 1952, dengan berhasilnya metode pemilihan portfolio yang diusulkan oleh Harry Markowitz. Markowitz menyarankan cara seorang investor dapat membentuk portfolio yang menghasilkan tingkat keuntungan paling tinggi berdasarkan suatu tahap risiko, ataupun membentuk portfolio yang berisiko paling rendah pada suatu tahap tingkat keuntungan (Markowitz, 1952). Pendekatan mean-varians adalah suatu metode yang paling awal untuk memecahkan masalah pemilihan portfolio. Akan tetapi, ada beberapa pendapat yang menentangnya, meskipun pendekatan ini telah diterima dan dihargai oleh praktisi dan akademisi selama beberapa tahun (Korn, 1997). Dalam hal ini, meminimumkan varians tidak mendorong ke arah deviasi rendah dari hasil yang diharapkan pada sisi bawah rata-rata, tetapi juga pada sisi atas rata-rata. Pengukuran risiko merupakan hal yang sangat penting dalam analisis keuangan mengingat hal ini berkenaan dengan investasi dana yang cukup besar yang seringkali pula berkenaan dengan dana publik. Salah satu aspek yang paling penting dalam analisis risiko keuangan adalah perhitungan Value at Risk (VaR). Menurut Jorion (2001) VaR merupakan pengukuran kerugian harapan terburuk dalam kondisi pasar yang normal pada kurun waktu T dengan tingkat kepercayaan tertentu α. Semenjak publikasi Morgan (1996), perhitungan risiko mulai terasa pentingnya dalam analisis keuangan dan kalkulasi VaR merupakan salah satu bentuk


3 pengukuran risiko yang cukup populer. Hal ini disebabkan oleh kesederhanaan konsep VaR tersebut, namun juga memiliki kemampuan implementasi berbagai metodologi statistika yang beragam dan mutakhir. Beberapa pendekatan yang dilakukan dalam analisis VaR dan penajamannya dengan visi serupa yang ingin mengakomodasi momen-momen statistika yang lebih tinggi dari data keuangan, antara lain dilakukan Li (1999). Karena jumlah subportofolio sedemikian biasanya sangat besar, ini melibatkan perhitungan yang sangat besar yang mengesampingkan manajemen risiko yang sedang berjalan. Fokus dari tesis ini adalah menganalisis sensitivitas dari Value at Risk atas modifikasi alokasi portfolio. Sensitivitas sedemikian sudah pernah dikembangkan dengan asumsi Gauss dan mean nol oleh Garman (1996, 1997).Dalam tesis ini dikembangkan rumusan analitik untuk stokastik programming dari VaR dan bagaimana rumusan tersebut dapat digunakan untuk menyederhanakan kesimpulan statistik dan melaksanakan analisis lokal atas VaR.

1.2 Rumusan Masalah Adapun permasalahan penelitian ini adalah bagaimana menganalisis VaR untuk memperoleh optimisasi portfolio.

1.3 Tujuan Penelitian Tujuan penelitian ini adalah untuk memperoleh suatu model Analisis Sensitivitas dari Value at Risk dalam mengoptimisasi portfolio.


4 1.4 Kontribusi Adapun yang menjadi kontribusi dari hasil penelitian ini adalah diperoleh suatu cara menentukan sensitivitas dari VaR.

1.5 Metodologi Metodologi penelitian yang digunakan dalam pembahasan tesis ini adalah bersifat literatur. Untuk menentukan sensitivitas dari Value at Risk, maka dilakukan langkah-langkah berikut:

a. Pengertian risiko dalam bidang finansial b. Model mean variansi Markowitz c. Pengertian Value at Risk d. Model optimisasi Value at Risk e. Analisis sensitivitas dari Value at Risk


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Sudah lama para ahli ekonomi mempertimbangkan model perilaku empiris bank atau perusahaan asuransi, di mana lembaga-lembaga ini memaksimalkan kriteria utilitas dengan batasan VaR [Gollier at al (1996), dan Santomero dan Babbel (1996)]. Peneliti lain juga mengkaji pemilihan portofolio optimal dengan dibatasi oleh resiko terburuk sebagai alternatif efisien mean-variansi [Roy (1952), Levy dan Sarnat (1972), Arzac dan Bawa (1977), Jansen at al (1998)]. Selanjutnya penggunaan internal VaR oleh lembaga-lembaga keuangan dikaji dalam kerangka menejemen risiko yang didelegasikan untuk mengurangi masalah perantara [Kimball (1997), Froot dan Stein (1998), Stoughton dan Zechner (1999)]. Yang jelas, kalangan praktisi menejemen menentukan tingkat VaR untuk setiap unit bisnis dan melaksanakan penghitungan VaR untuk menejemen risiko. Capital Aset Pricing Model (CAPM) yang dipelopori oleh Sharpe et al (1965) mengasumsikan bahwa individu melakukan investasi berdasarkan teori portfolio, yaitu setiap individu akan memaksimumkan tingkat keuntungan pada suatu tahap risiko. Model ini menjadi model utama dalam bidang keuangan selama 15 tahun yang pada akhirnya model ini diperdebatkan oleh Roll (1977). Roll memperdebatkan tentang ramalan ekonomi tunggalnya, yaitu portfolio pasaran terletak di atas kedudukan efisien. Kekurangan yang terdapat pada CAPM ini menyebabkan Ross (1977) menghasilkan Arbitrage Pricing Theory (APT). Menurut APT, tingkat keuntungan yang diharapkan harus dihubungkan dengan risiko yang menyebabkan suatu keadaan yang tidak ada seorangpun investor dapat mem5 Netty Nababan : Analisis Sensitivitas Dari Value At Risk, 2008 USU e-Repository © 2008

6 peroleh keuntungan yang berlebihan melalui kegiatan arbitrage. Tesis ini berdasarkan pada pendekatan Markowitz (1952) yang dimulai dengan asumsi bahwa investor telah mengeluarkan sejumlah uang untuk investasi masa kini. Uang ini akan diinvestasikan untuk jangka waktu tertentu yang disebut periode kepemilikan investor. Pendekatan Markowitz dapat dipandang sebagai pendekatan periode tunggal, dengan permulaan periode dinotasikan t = 0 dan akhir periode dinotasikan t = 1. Di t = 0, investor harus membuat keputusan sekuritas apakah yang akan dibeli dan dimiliki sampai t = 1. Dalam membuat keputusan di t = 0, investor sebaliknya tahu bahwa hasil sekuritas di periode mendatang tidak dapat diketahui. Namun investor dapat mengestimasi nilai harapan (mean) di berbagai sekuritas yang dipertimbangkan dan berinvestasi di sekuritas yang memberi hasil tertinggi. Markowitz menekankan bahwa hal ini bukan keputusan yang bijaksana karena biasanya investor, meskipun ingin hasil yang tinggi, juga ingin hasil yang pasti. Hal ini berarti bahwa investor dalam usaha memaksimumkan nilai harapan (mean) dan meminimumkan ketidakpastian (risiko), memiliki dua konflik tujuan yang harus diseimbangkan satu sama lain saat membuat keputusan membeli pada t = 0 (Sharpe, 1995). Meskipun VaR telah digunakan secara intensif, namun literatur yang mengkaji sifat-sifat teoritis ukuran risiko ini dan konsekuensinya pada menejemen risiko masih terbatas sekali. Dengan mengikuti pendekatan aksiomatik, Artzner at al (1996, 1997) membuktikan bahwa VaR tidak memiliki sifat subaditivitas untuk sebagian distribusi keuntungan aset. Ini dapat menghasilkan insentif untuk memilah-milah portofolio guna menghindari batasan VaR. VaR juga tidak selamanya konveks (cembung) pada alokasi portofolio sehingga dapat menimbulkan


7 kesulitan sewaktu menghitung portofolio optimal dengan batasan VaR. Pendekatan parametrik lengkap umum digunakan oleh kalangan praktisi [lihat misalnya dokumentasi Morgan (1996)], dan paling sering didasarkan pada asumsi normalitas gabungan keuntungan aset. Pendekatan parametrik ini agak ketat dan umumnya mengisyaratkan salah-spesifikasi ekor dan penaksiran VaR yang terlalu rendah. Pendekatan nonparametrik lengkap juga ada diajukan dan terdiri dari penentuan kwantil empiris (VaR historis) atau versi pemulusannya [Harrel dan Davis (1982), Falk (1984), (1985), Jorion (1996), Ridder (1997)]. Baru-baru ini dikembangkan pendekatan semi-parametrik yang didasarkan pada aproksimasi nilai ekstrim untuk ekor [Bassi at al (1998), Embrechts at al (1998)], atau metode likelihood lokal [Gourieroux dan Jasiak (1999)].


BAB 3 OPTIMISASI PORTFOLIO DAN VALUE AT RISK (VAR)

3.1 Optimisasi Portfolio Tujuan utama seorang investor adalah mengalokasikan secara optimal investasinya diantara aset berbeda. Markowitz (1952) mengajukan optimisasi meanvarians sebagai alat kuantitatif untuk membuat alokasi ini dengan memperhitungkan keseimbangan antara risiko, yang diukur oleh perolehan aset akan datang (future). Seorang investor yang dinamis memutuskan alokasi asetnya berdasarkan pada risiko nilai penjualan. Tujuan dari seorang pembagi aset yang dinamis adalah untuk menemukan gabungan aset optimum dengan memaksimumkan fungsi utilitas nilai perolehan kekayaannya dari masing-masing periode tiap tahunnya. Dalam suatu mean-varians, risiko pasar portfolio hanya bergantung pada matriks varians-kovarians dan ketelitian para investor pada VaR, tingkat kepercayaannya (95%, 97,5%, 99%) telah menjadi suatu acuan untuk mengukur tinggi rendahnya risiko portfolio. Asas pendekatan Markowitz adalah menggunakan perubahan atau variabilitas keuntungan sebagai taksiran untuk risiko investasi (Rodoni dan Yong, 2002). Markowitz mencoba membentuk konsep risiko dengan menggunakan konsep statistik yaitu varians. Teori portfolio dikembangkan setelah tahap risiko investor ditetapkan.


9 Model portfolio Markowitz adalah berdasarkan empat kenyataan berikut:

1. Dua ciri yang relevan untuk sesuatu portfolio investasi adalah keuntungan yang diharapkan dan risiko. 2. Investor yang rasional akan memilih untuk memegang portfolio yang efisien, yaitu portfolio yang memaksimumkan keuntungan pada tahap risiko tertentu atau meminimumkan risiko pada keuntungan tertentu yang diharapkan. 3. Secara teoritis ada kemungkinan untuk mendapatkan portfolio yang optimal dengan menganalisis setiap sekuritas berdasarkan keuntungan yang diharapkan, varians keuntungan, dan koefisien korelasi antara keuntungan setiap sekuritas dalam portfolio tersebut. 4. Program komputer tertentu dapat menggunakan informasi dalam setiap sekuritas, untuk menunjukkan satu kedudukan portofolio yang efisien yang disebut sebagai efficient frontier.

3.1.1 Model Optimisasi Portfolio Model optimisasi portfolio berdasarkan mean-variance, dan mean-VaR yang diajukan oleh Wang (2000) adalah sebagai berikut:

a. Pendekatan Mean- Variance. Andaikan ada n sekuritas dengan tingkat pengembalian Xi (i = 1, 2, . . . , n). Means dan kovarians dari tingkat return (R) ini adalah: µi = E(Xi ) dan σij = Cov(Xi, Xj ), i, j = 1, . . . , n


10 Vektor portfolio adalah: w = (w1, . . . , wn ) ∈ Rn dan

n P

wi = 1

i=1

Didefinisikan bahwa kumpulan W adalah koleksi dari semua portfolio yang mungkin:

(

w ∈ Rn

W =

n X

wi = 1

)

i=1

Hasil total dari portfolio adalah: Rw =

n X

wi Xi

i=1

Mean dan variansnya adalah: µw = E(Rw ) = E

n X

wiXi

!

=

i=1

Dan σw2 = var

n X

wi Xi

!

n X

wi µi

i=1

=

i=1

n n X X

wiwj σij

i=1 j=1

Dimana R W w µw µ0 σw2 σ02 q0 qw Ada

: hasil portfolio : kumpulan semua portfolio yang mungkin : vektor portfolio : batas bawah rata rata : batas atas rata rata : batas bawah varians : batas atas varians : batas atas tingkat pengembalian : batas bawah tingkat pengembalian dua model umum yang menggunakan prinsip mean-variance. Ide un-

tuk model pertama adalah memberi batas atas σ02 untuk hasil variance portofolio, memilih suatu portofolio w, hingga µw adalah maksimum dengan σw2 ≤ σ02. max µw w∈W

Kendala


(3.1) σw2

≤

σ02

11 Model kedua untuk memberi batas bawah µ0 untuk mean hasil portfolio, memilih suatu portofolio w, hingga σw2 adalah minimum dengan µw ≥ µ0 : max σw2 w∈W

(3.2)

Kendala µw ≥ µ0 b. Pendekatan Mean-VaR. VaR mengukur kerugian harapan terburuk yang melebihi batas waktu yang diberikan atas kondisi pasar normal pada suatu tingkat kepercayaan yang diberikan. Tepatnya, VaR pada tingkat kepercayaan 100(1 −α)% dari suatu portfolio w untuk suatu periode waktu tertentu dari tingkat pengembalian qw sehingga probabilitas dari portfolio memiliki tingkat pengembalian qw atau lebih kecil yaitu α: P (Rw ≤ −qw ) = α

(3.3)

Sama seperti metode mean-variance, didefinisikan dua model untuk prinsip mean-VaR. Pertama adalah untuk batas atas yang diberikan q0 untuk VaR hasil portfolio, memilih suatu portfolio w, sehingga µw adalah maksimum dengan qw ≤ q0: max µw w∈W

(3.4)

Kendala qw ≥ q0 Tahap model kedua untuk batas atas µ0 yang diberikan untuk mean dari hasil portfolio, memilih suatu portofolio w, hingga Var qw adalah minimum dengan µw ≥ µ0 : max qw w∈W

Kendala µw ≥ µ0


(3.5)

12 3.1.2 Perbandingan Pendekatan Mean-Variance dan Mean-VaR. Pada bagian ini, dibandingkan pendekatan mean-VaR dengan pendekatan mean-variance. Dua pendekatan ini menggunakan dengan sepenuhnya ukuran risiko untuk optimisasi portfolio. Pendekatan mean-variance hanya menggunakan mean dan varians dari hasil portfolio. Pendekatan mean-VaR hanya menggunakan mean dan VaR dari hasil portfolio. Kedua pendekatan ini mempunyai banyak keuntungan, akan tetapi tidak secukupnya menggunakan informasi dari distribusi hasil portfolio.

3.2 Sensitivitas dan Value at Risk 3.2.1 Definisi Value at Risk Value at Risk (VaR) sekarang ini menjadi alat standar dalam mengelola risiko pada bank dan institusi keuangan lainnya. Hal ini diartikan sebagai kerugian untuk suatu tingkat kepercayaan yang diberikan. Untuk suatu tingkat kepercayaan p = 99%, seorang percaya bahwa 99% pada akhir risiko terpilih tidak akan terdapat lebih besar kerugian dari VaR. Dalam teori peluang, VaR adalah 1% kuartil (secara umum (1 − p)% kuartil) dari keuntungan dan distribusi kerugian. Kasus sederhana adalah asumsi suatu distribusi normal, disini VaR adalah perkalian sederhana dari standar deviasi [pada tingkat kepercayaan 99%, VaR adalah 2,33 standar deviasi (Jorion (2001))]. Pada kasus ini, konsep VaR tidak akan menghasilkan beberapa masalah teoritikal baru.Akan tetapi, asumsi dari distribusi normal diragukan pada penetapan stok pasar. Hal ini pada kenyataannya penting pada pengelolaan risiko yang kerugiannya tinggi jauh melebihi kemung-


13 kinan pada stok pasar dari asumsi distribusi normal yang diusulkan. Perhatikan n aset keuangan yang harganya pada waktu t dinotasikan dengan pi,t , i = 1, . . . , n. Dengan demikian, nilai pada waktu t dari portofolio dengan n P ai pi,t = apt = apt . Jika struktur alokasi ai, i = 1, . . . , n adalah: Wt (a) = i=1

portofolio dipastikan tetap antara waktu sekarang t dan waktu masa mendatang t + 1, maka perubahan nilai pasar diberikan oleh: Wt+1 − Wt (a) = a(pt+1 − pt ). Tujuan analisa VaR adalah untuk memberikan petunjuk kuantitatif untuk penetapan besar cadangan (persyaratan modal) pada fase perubahan harga [Morgan (1996), Wilson (1996), Jorion (1997), Duffie dan Pan (1997), Dowd (1998), Stulz (1998) perihal analisa rinci atas konsep VaR dan aplikasinya pada menejemen risiko]. Untuk tingkat probabilitas kerugian α, Value at Risk VaRt (a, α) didefinisikan oleh: Pt [Wt+1(a) − Wt (a) + V aRt(a, α) < 0] = α

(3.6)

di mana Pt adalah distribusi bersyarat harga aset masa mendatang dengan memperhatikan informasi yang ada pada waktu t. Definisi sedemikian mengasumsikan distribusi bersyarat keuntungan kontinu. Nilai yang biasa untuk rentang probabilitas kerugian adalah dari 1% sampai 5%, tergantung pada horizon waktu. Karenanya VaR adalah besar cadangan sedemikian rupa sehingga posisi global (portofolio plus cadangan) hanya mengalami kerugian untuk probabilitas α kecil pada periode waktu tertentu, disini dinormalisasikan menjadi sama dengan satu. VaR dapat dianggap sebagai kwantil atas pada tingkat 1 − α, karena: Pt [−a0yt+1 > V aRt(a, α)] = α di mana yt+1 = pt+1 − pt .


(3.7)

14 Pada waktu t, VaR adalah fungsi dari informasi masa sebelumnya, struktur portofolio a dan tingkat probabilitas kerugian α.

3.2.2 Portofolio Efisien VaR Pemilihan portofolio didasarkan pada perimbangan antara perkiraan keuntungan dan risiko, dan mengharuskan pilihan untuk ukuran risiko yang akan diimplementasikan. Biasanya risiko dinilai dengan momen orde dua bersyarat, yaitu sifat mudah berubah. Ini menghasilkan penentuan portofolio efisien meanvariansi yang diperkenalkan Markowitz (1952). Pemilihan portofolio juga dapat didasarkan pada kriteria keselamatan paling penting (probabilitas kegagalan), yang diajukan pertama kali oleh Roy (1952) [aplikasinya lihat Levy dan Sarnat (1972), Arzac dan Bawa (1977), Jansen at al (1998)]. Literatur relatif tidak banyak memberi perhatian tentang topik pengembangan model optimisasi berdasarkan VaR karena sifatnya yang diskrit yang sulit dimasukkan dalam bentuk model stokastik tradisional. Uryasev dan Rockafellar (1999) mengajukan model berbasis-skenario untuk optimisasi portofolio dengan menggunakan Conditional Value at Risk (CVaR) yang didefinisikan sebagai perkiraan nilai kerugian yang melebihi VaR. Model optimisasinya meminimalkan CVaR sekaligus menghitung VaR dan dalam kasus keuntungan portofolio yang berdistribusi normal, portofolio CVaR-minimum ekuivalen dengan portofolio VaR-minimum. Kalin dan Zagst (1999) menunjukkan bagaimana VaR dapat diperoleh dari model dengan batasan sifat mudah berubah. Akan tetapi, tulisan tersebut juga tidak mengajukan model yang memasukkan VaR sebagai metrik risiko untuk penilaian portofolio.


15 Relatif terhadap bagaimana pemasukan VaR dalam keputusan investasi mempengaruhi perilaku pengambilan risiko perusahaan, Basak dan Shapiro (1999) menunjukkan secara teoritis bahwa keputusan optimal yang didasarkan pada VaR menghasilkan keterpaparan risiko yang lebih tinggi daripada bila keputusan didasarkan pada perkiraan kerugian. Pada dasarnya, mereka menunjukkan bahwa bila kerugian terjadi kerugian tersebut akan lebih besar dengan strategi menejemen risiko VaR. Mereka menyatakan bahwa ini merupakan kelemahan signifikan dari kebijakan berbasis-VaR dan mengajukan bahwa ukuran-ukuran alternatip, yang didasarkan pada perkiraan nilai kerugian, dimasukkan dalam strategi menejemen risiko. Pada bagian ini diperluas teori portofolio efisien, bila Value at Risk diadopsi sebagai ukuran risiko sebagai pengganti variansi.

3.2.3 Definisi Portofolio Efisien VaR Suatu anggaran tertentu w akan dialokasikan pada waktu t di antara n aset berisiko dan satu aset bebas risiko. Harga aset berisiko pada waktu t adalah pt , sementara harga aset bebas risiko sama dengan satu dan suku bunga bebas risiko sama dengan r. Batasan anggaran pada waktu t adalah: w = a0 + a0 pt di mana a0 adalah nilai dana yang diinvestasikan pada aset bebas risiko dan a alokasi pada aset berisiko. Nilai portofolio pada waktu berikut adalah: Wt+1 = a0(1 + r) + a0pt+1 = w(1 + r) + a0[pt+1 − (1 + r)pt ] = w(1 + r) + a0yt+1


16 Value at Risk portofolio ini didefinisikan dengan: Pt [Wt+1 < −VaRt (a0, a; α)] = α

(3.8)

dan dapat ditulis dalam bentuk kwantil dari bagian berisiko portofolio. VaRt (a0, a, α) = w(1 + r) + VaRt (a, α)

(3.9)

dimana VaRt(a, α) memenuhi: Pt [ayt+1 < −VaRt (a, α)] = α

(3.10)

Didefinisikan portofolio efisien VaR sebagai portofolio dengan alokasi yang menyelesaikan masalah optimisasi dengan batasan:    max E W a

t

t+1

  s.t. VaRt(a0 , a, α) ≤ VaR0

(3.11)

dimana VaR0 adalah batasan VaR. Masalah ini ekuivalen dengan:    max a0 E y a

t t+1

  s.t. VaRt (a; α) ≤ VaR0 − w(1 + r) = VaR0

(3.12)

Alokasi efisien VaR tergantung pada probabilitas kerugian α, dimana VaR0 adalah batasan risiko, dan anggaran awal w. Ini dinotasikan dengan a∗t = a∗t [α, VaR0 ]. Batasan mengikat optimum dan a∗t menyelesaikan syarat orde satu:    Et yt+1 = −λt ∗ ∂ VaR1 ∂a   VaRt (a∗t , α) ≤ VaR0

(3.13)

di mana λ∗t adalah pengali Lagrange. Pada dasarnya ini mengisyaratkan proporsionalitas pada optimum antara ekspektasi global dan lokal dari keuntungan bersih: 0

Et Yt+1 = λ∗t Et [yt+1|a∗t yt+1 = −VaR0]


(3.14)

BAB 4 ANALISIS SENSITIVITAS

4.1 Bentuk Model Berbasis-VaR Ada tiga model yang dikembangkan untuk pemilihan portfolio VaR yang merupakan perluasan langsung dari model yang pada dasarnya dikembangkan untuk digunakan bersama ukuran risiko lainnya. Yang pertama dari ketiga model ini didasarkan pada kerangka mean-variance (MV), yang kedua adalah model minimax (MM) dan yang ketiga dikembangkan dari model stochastic programming (SP). Ketiga model tersebut, semuanya merupakan variasi dari model pemilihan portofolio bentuk-umum, digunakan atas serangkaian skenario yang menggambarkan keuntungan saham. Masing-masing skenario menggambarkan satu realisasi gabungan yang mungkin dari keuntungan yang tidak pasti atas horizon perencanaan. Pada model MV, digunakan skenario untuk menghasilkan matriks variansi/kovariansi input, dan pada model lainnya skenario dimasukkan secara langsung. Masing-masing model dikembangkan dengan asumsi horizon perencanaan periode-tunggal. Asumsi ini dapat diperlonggar pada semua model kecuali model mean-variance dan digunakan untuk memungkinkan perbandingan antarbentuk model. Keuntungan ”kasus terburuk” target untuk VaR dinyatakan pada semua model sebagai keuntungan persentil ke-p dari R∗ .


18 4.1.1 Model MV Model MV didefinisikan sebagai berikut min

XX i

xi xj COVij

j

¯ T ≥G Dengan batasan CX

(4.1)

P XT ≥ 1 X ≥0

di mana X adalah vektor 1 × N dari proporsi alokasi saham {xj }, COVij adalah kovariansi antara saham i dan saham j, C¯ adalah vektor 1 × N dari perkiraan keuntungan saham {¯ cj }, P adalah vektor 1 × N dari harga saham {pj } dan G adalah perkiraan keuntungan minimum yang diharuskan. Untuk mengimplementasikan model MV dalam kerangka keputusan VaR, G divariasikan secara sistematik dari perkiraan keuntungan portofolio variansi-minimum ke perkiraan keuntungan portofolio keuntungan-maksimum sampai VaR target dicapai. Tidak ada jaminan bahwa pendekatan MV akan kovergen ke solusi layakVaR. Ada kemungkinan bahwa pendekatan MV akan konvergen ke portofolio variansi-minimum dengan keuntungan persentil ke-p lebih kecil dari R∗ target. Semakin tinggi tingkat merugikan risiko semakin besar kemungkinan ini akan terjadi dan risiko portofolio akan lebih besar dari yang dispesifikasi oleh VaR target. Sama halnya, juga ada kemungkinan pendekatan MV akan konvergen ke portofolio keuntungan-maksimum dengan keuntungan persentil ke-p lebih besar dari R∗ target yang menghasilkan portofolio yang terlalu hati-hati dibandingkan dengan VaR yang diinginkan. Probabilitas kejadiannya semakin besar apabila tingkat merugikan risiko berkurang. Agar supaya pendekatan MV menghasilkan portofolio yang tidak terlalu berisiko dan juga tidak terlalu hati-hati, R∗ haruslah


19 terletak di antara persentil ke-p portofolio keuntungan-maksimum dan persentil ke-p portofolio variansi-minimum. Dengan distribusi keuntungan portofolio simetris, pendekatan MV dalam teori akan menghasilkan portofolio dengan perkiraan-keuntungan maksimum untuk VaR jika R∗ berada di dalam rentang yang diperbolehkan yang dijelaskan di atas. Akan tetapi, di dalam prakteknya, dengan rangkaian sampel skenario terbatas, model MV akan menjadi kurang handal apabila tingkat kurtosis meningkat. Pendekatan MV telah terbukti sangat sensitif terhadap salah-spesifikasi parameter input (Koskosidis dan Duarte, 1997). Jika keuntungan skenario sampel miring karena sedikit ekstrim di ujungnya, solusi MV lebih besar kemungkinannya konvergen ke portofolio variansi-minimum jika ada kemiringan negatif dan konvergen ke portofolio yang terlalu hati-hati jika ada kemiringan positip. Dalam uji berikut, R∗ ditetapkan pada nilai tinggi untuk menjamin model MV agar tidak konvergen ke portofolio variansi-minimum. Akan tetapi, model MV karena distribusi keuntungan leptokurtik akan tetap konvergen ke portofolio yang terlalu hati-hati relatif terhadap portofolio keuntungan-maksimum layak-VaR.

4.1.2 Model MM Kerangka portofolio MM yang diajukan Young (1998) adalah berbentuk max m Dengan batasan C(ξ)X T − m ≥ 0 ∀ξ = 1 sampai S ¯ T ≥G CX


(4.2)

20 P XT ≤ 1 X≥0

di mana m adalah keuntungan atas portofolio keuntungan-minimum dan C(ξ) adalah vektor 1 × N dari keuntungan saham dengan skenario ξ, {cj (ξ)}. Young mengajukan model ini sebagai pendekatan praktis terhadap pemilihan portofolio sehingga manejer keuangan dapat mengimplementasikan teknik penghitungan standar tertentu. Struktur program linier juga memungkinkan dimasukkannya batasan sampingan bentuk khusus. Dalam pengujian yang ekstensif atas model MM, kinerjanya terbukti serupa dengan kinerja yang terealisasi dengan menggunakan kerangka model MV. Karena alasan ini dan karena sifat diskrit dari metrik risiko yang dimasukkan dalam model, model MM merupakan kandidat untuk implementasi dengan metrik VaR. Ini dicapai dengan cara yang sama seperti dalam kerangka MV dengan menyesuaikan G sampai keuntungan VaR target R∗ dicapai. Ada dua kelemahan potensial pada implementasi model MM dengan kerangka VaR (Uryasev dan Rockafellar, 1999). Pertama, ukuran model meningkat secara langsung sesuai dengan jumlah skenario. Kedua, di titik solusi optimal pada model MM hanya batasan skenario kasus-terburuk dalam (4.2) yang mengikat. Idealnya, persentil ke p batasan portofolio yang lebih rendah akan mengikat pada titik solusi optimal. Ini mengisyaratkan bahwa profil risiko untuk portofolio MM optimal terlalu tergantung pada skenario kasus terburuk dan bukan pada rangkaian skenario terburuk secara keseluruhan di bawah persentil ke-p. Dalam kasus distribusi yang sangat leptokurtik (distribusi miring negatif) pendekatan MM akan menghasilkan portofolio yang terlalu hati-hati relatif terhadap risiko yang dispesifikasi VaR.


21 4.1.3 Model SP Kerangka stochastic programming terbukti sangat kuat untuk masalah pemilihan portofolio (Carino et al, 1994; Golub et al, 1995; Holmer dan Zenios, 1995; Koskosidis dan Duarte, 1997). Pendekatan SP yang diajukan Hiller dan Eckstein (1993) memberikan kerangka yang paling mudah disesuaikan untuk alokasi portofolio VaR. Model ini berbentuk ¯ T −λ max CX

X

π(ξ)d(ξ, X)

ξ

Dengan batasan C(ξ)X T + d(ξ, X) ≥ R∗ ∀ξ = 1 sampai S

(4.3)

P XT ≤ 1 X≥0 dimana d(ξ, X) adalah jumlah di bawah keuntungan R∗ untuk setiap skenario ξ. Perkiraan jumlah di bawah R∗ dinytakan dalam fungsi tujuan sebagai π(ξ)d(ξ, X), dimana π(ξ) adalah probabilitas skenario ξ. Suku risiko ini yang merupakan CVaR untuk portofolio (Uryasev dan Rockafellar, 1999) diberi bobot λ, dimana λ yang lebih tinggi bersesuaian dengan tingkat risiko yang lebih tinggi. Hiller dan Eckstein (1993) mengajukan model ini sebagai model dedikasi stokastik untuk portofolio pendapatan-tetap. Pada model awal mereka untuk menejemen aktiva/kewajiban, R∗ ditetapkan sama dengan nol yang menghasilkan suku risiko yang mencerminkan probabilitas dan keparahan insolvensi atas semua skenario. Sebelum model Hiller dan Eckstein (1993) implementasi metrik risiko mean parsial yang lebih rendah dianggap resistan dalam perhitungan pada stochastic programming. Rumus tertentu yang diajukan oleh Hiller dan Eckstein (1993) mudah disesuaikan untuk kerangka VaR dengan menetapkan R∗ sama dengan keuntungan kasus terburuk target dan dengan memvariasikan parameter risiko λ hingga


22 P

π(ξ) sama dengan p/100, fungsi kepadatan probabilitas pada R∗ .

ξ

Akan tetapi ada beberapa masalah yang dapat ditemukan dalam mengimplementasikan SP untuk pemilihan portofolio dengan VaR. Pertama, model SP padat perhitungan dan pada banyak kasus menjadi resistan perhitungan dengan rangkaian asumsi yang realistis, jumlah saham yang layak dan horizon perencanaan periode waktu ganda (Dahl et al, 1993). Seperti halnya kerangka model MM, ukuran model SP meningkat secara langsung sesuai dengan jumlah skenario yang menjadi isu implementasi yang signifikan dalam kerangka VaR jika probabilitas kejadian merugikan yang tidak mungkin dan mungkin akan digambarkan dalam rangkaian skenario. Dengan tidak memasukkan risiko ini, model akan gagal mengontrol jenis-jenis risiko yang berfungsi sebagai daya pendorong utama atas penerimaan VaR (McKay dan Keefer, 1996). Kedua, model SP akan konvergen pada portofolio yang terlalu hati-hati relatif terhadap VaR yang ditetapkan, bila keuntungan portofolio sangat leptokurtik. Dampaknya pada keuntungan tidak sama signifikansinya dengan yang ditemukan pada model MM, tetapi karena skenario keuntungan kasus terburuk semuanya tercakup dalam fungsi tujuan, untuk mencapai VaR yang diinginkan untuk keuntungan karus terburuk rata-rata, perkiraan kinerja keuntungan dikorbankan. Ini berarti bahwa kerangka SP, seperti pendekatan MM dan MV, memasukkan perkiraan kerugian dalam pengukuran kinerja ”kasus terburuk”.

4.2 Formulasi Stokastik Programming (SP) Pada umumnya dalam model SP bentuk risiko dipergunakan Conditional Value at Risk (CVAR).


23 Notasi : ξ = peubah acak X = vektor peubah kendala Fungsi stokastik: f (x, ξ) = kerugian atau keuntungan Problem optimisasi: min F0 (f (x, ξ)) dengan kendala: Fj (f (x, ξ)) ≤ 0, j = 1, . . . , n x∈X Untuk beberapa j: Fj (·) = CV aRα,j (·) Beberapa bentuk model yang dapat dipergunakan:

1. Maksimum E[f(x, ξ)] Kendala: CV aRα [−f (x, ξ)] ≤ V X ≥0 2. Minimum CV aRα [−f(x, ξ)] Kendala: E[f(x, ξ)] ≥ P

P = perolehan

3. Maksimum E[f(x, ξ)] Kendala: CV aRα1 [−f (x, ξ)] ≤ V1

V = kerugian

CV aRα2 [−f (x, ξ)] ≤ V2


24 X ≥0

Teknik Optimisasi Notasi : Fα(x, ξ) = ξ + (1 − α)

−1

Z

[f(x, ξ) + ξ]+ p(ξ) dξ

ξ∈Ω

Z + = max{Z, 0} Teorema 1.

a) α-VaR merupakan minimum dari F terhadap ξ V aRα (f (x, ξ)) = ξα (f (x, ξ)) = min Fα(x, ξ) ξ

b) α-CVaR sama dengan nilai minimum (terhadap ξ) dari fungsi F : CV aRα(f (x, ξ)) = min Fα(x, ξ) ξ

Bukti :

a) (Dalam kasus sebaran kontinu ) ∂ Fα (x, ξ) = 1 − (1 − α)−1 ∂ξ

Z

I(f (x, ξ) ≥ ξ)p(ξ) dξ

ξ

= 1 − (1 − α)−1 P (f (x, ξ) ≥ ξ) = 0

dimana I(f (x, ξ) ≥ ξ) =

   1, f (x, ξ) ≥ ξ

  0, f (x, ξ) < ξ

Akibatnya P (f (x, ξ) ≥ ξ) = 1 − α Jadi ξ ∗ = ξα (ξ)


25 b) min Fα(x, ξ) = Fα(x, ξ ∗ ) = ξ ∗ + (1 − α)−1 ξ

R

[f(x, ξ) − ξ]+ p(ξ) dξ

ξ∈Ω

Integral kerugian melebihi VaR = CVaR

Teorema 2. min CV aRα (f (x, ξ)) = min Fα(x, ξ) x

x,ξ

Bukti: min Fα(x, ξ) = min min Fα(x, ξ) x

x,ξ

ξ

= min CV aRα (f (x, ξ)) x

Dari kedua teorema ini dapat dinyatakan bahwa minimisasi G(x, ξ) secara simultan menghitung V aR = ξ(x), keputusan optimal x dan optimal CV aR. Minimisasi CvaR dapat direduksi menjadi program linier dengan memakai peubah semu. Reduksi menjadi Program Linier (PL) Untuk kasus sebaran diskrit Fα(x, ξ) = ξ + (1 − α)

−1

n X

pk [f (x, ξ k ) − ξ]+

k=1

Z + = max{Z, 0} Reduksi menjadi program linier dengan memperluas dimensi problem [f(x, ξ k ) − ξ]+ ⇒ Zk ≥ f (x, ξ k ) dengan Zk ≥ 0, k = 1, . . . , N Untuk persoalan meminimumkan CVaR min CV aR x∈X


26 direduksi menjadi PL berikut: min ξ + (1 − α)

−1

x,ξ

N X

pk Zk

k=1

dengan kendala Zk ≥ f (x, ξ k ) − ξ Zk ≥ 0, x ∈ X, k = 1, . . . , N Dengan menyelesaikan PL diperoleh optimal x∗ , yang berkorespondensi dengan VaR, yang sama dengan optimal ξ ∗ , dan minimum CVaR, yang sama dengan nilai optimal dari fungsi objektif linier. Kendala x ∈ X dapat mengandung bermacam-macam keterbatasan tergantung pada persoalan yang dihadapi, termasuk kendala tentang nilai ekspektasi, seperti halnya dengan kendala pada model Mean-Variansi Markowitz. Adakalanya pada model problem Optimisasi Stokastik CVaR muncul di kendala. Terhadap problem demikian ini kendala CVaR diganti oleh himpunan kendala linier. Misalnya kendala CVaR CV aR ≤ C Digantikan oleh kendala linier −1

ξ + (1 − α)

N X

pk Zk ≤ C

k=1

Zk ≥ f (x, ξ k ) − ξ, Zk ≥ 0, k = 1, . . . , N Contoh. Seorang petani Eropa biasanya menanam gandum, jagung dan tebu pada 500 are tanahnya. Selama musim dingin, ia ingin menentukan luas tanah


27 untuk tiap jenis tanaman tadi. Ia mengetahui bahwa sekurang-kurangnya 200 ton gandum dan 240 ton jagung diperlukan untuk memberi makan lembu-lembunya, Jumlah ini dapat diperoleh dari ladangnya atau dibeli dari grosir. Setiap kelebihan dari kebutuhan makan ternak tadi akan dijual. Harga jual adalah $ 170 per ton gandum dan $ 150 per ton jagung. Harga beli 40% lebih dari pada harga ini karena adanya margin dari grosir dan biaya transport. Tanaman lainnya yang menguntungkan adalah tebu, yang dijual seharga $ 36 per ton, namun Komisi Eropa menetapkan kuota pada produksi tebu. Setiap kelebihan dari kuota dapat dijual hanya pada $ 10 per ton. Kuota petani ini untuk tahun depan 6000 ton. Perolehan dari tanah merupakan peubah acak. Peubah acak ini dimodelkan oleh 6 tahun data historis perolehan tanah. (Data untuk fungsi objektif dan kendala terdapat pada tabel). Formulasi problem program Stokastik dengan jumlah skenario S: S 1X Ps Maksimumkan S s=1

Ps = −(150x1 + 230x2 +260x3 + 238y1s + 210y2s − 170w1s − 150w2s − 36w3S − 10w4s ) kendala x1 + x2 + x3 ≤ 500 x1, x2 , x3 ≥ 0 Ws x1 + y1s − w1s ≥ 200 Cs x2 + y2s − w2s ≥ 240 w3s + w4s ≤ SBs xs


28 w3s ≤ 6000 y1s,2s,3s ≥ 0 w1s,2s,3s,4s ≥ 0 X 1 V aR = V aR + (−P − V aR)+ S(1 − α) s=1 S

CV aR dalam kendala X 1 V aR + Zs ≤ CV aR − Maks S(1 − α) s=1 S

Zs ≥ −Ps − V aR, Zs ≥ 0 CVaR di fungsi objektif min CV aR X 1 Zs S(1 − α) s=1 S

CV aR = V aR +

Zs ≥ −Ps − V aR, Zs ≥ 0 Analisis Sensitivitas terhadap CVaR dan VaR dapat diperoleh seperti halnya dalam model PL, dengan memperhatikan letak dari CVaR dalam model, pada fungsi objektif atau kendala. Data untuk contoh persoalan di atas terdapat pada tabel berikut.


29 Tabel 4.1 : Matrik Objektif Stokastik


30 Tabel 4.2 : Matrik Koefisien di Kendala


31 Tabel 4.3 : Nilai Ruas Kanan


BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN

5.1 Kesimpulan VaR adalah ukuran risiko yang umum dilaporkan dan diterima di antara segmen-segmen industri dan para partisipan. Salah satu model berbasis VaR adalah Stokastik Programming (SP). Stokastik Programming sangat kuat untuk masalah pemilihan porfolio dan memberikan kerangka paling mudah disesuaikan untuk alokasi portfolio VaR. Pada umumnya dalam model SP bentuk risiko yang digunakan adalah Conditional Value at Risk (VaR). Dalam tesis ini diperoleh suatu cara menentukan sensitivitas dari VaR dengan Model (CVaR). Model CVaR yang diajukan dalam tesis ini dapat menganalisis VaR sedemikian sehingga optimisasi portfolio tetap. Model optimisasinya meminimalkan CVaR sekaligus menghitung VaR. Dengan CVaR dapat ditentukan sensitivitas dari VaR. Minimisasi CVaR dapat direduksi menjadi program linier dengan memakai peubah semu. Dengan menyelesaikan PL diperoleh optimal x∗ , yang berkorespondensi dengan VaR, yang sama dengan optimal ξ ∗ , dan minimum CVaR, yang sama dengan nilai optimal dari fungsi objektif linier.


33 5.2 Saran Untuk penelitian lebih lanjut perlu dilakukan penelitian lanjutan tentang model VaR yang lebih sederhana dan sesuai dengan sifat diskrit VaR.


DAFTAR PUSTAKA

Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., and D., Heath (1996) : ”Coherent Measures of Risk”, D.P. ETH Zurich. Artzner, P., Delbaen, F., Eber, J.M., and D., Heath (1997) : ”Thinking Coherently”, Risk, 10, 68-71. Arzac, E., and V., Bawa (1977) : ”Portfolio Choice and Equilibrium in Capital Markets with Safety First Investors”, Journal of Financial Economics, 4, 277-288 Basak, S., and A. Shapiro, 1999, Value at Risk Based Risk Management : Optimal Policies and Asset Prices, Working Paper, University of Penusylvania. Bassi, F., Embrechts, P., and M., Kafetzaki (1998) ) : ”Risk Management and Quantile Estimation”, in Practical Guide to Heavy Tails, eds. Carino, D.R., Kent, T., Myers, D.H., Stacy, C., Sylvanus, M., Turner, A.L., Watanabe , K.,Ziemba , W.T., 1994. The Russel Yasuda Kasai model: An aset/liability model for Japanese insurance company using multistage stochastic programming. Interfaces 24,29-49. Dahl, H., Meeraus, A., Zenios, S.A., 1993. Some financial optimization models: I risk management in financial optimization, Zenios (Ed), Cambridge Univercity Press, Cambridge, 3-36. Duffie, D., and J., Pan (1997) : ”An Overview of Value at Risk”, Journal of Derivatives, 4, 7-49 Dowd, K. (1998) : ”Beyond Value at Risk; The New Science of Risk Management”, Wiley, Chechester. Embrechts, P., Resnick, S., and G., Samorodnitsky (1998) : ”Living on the Edge”, Risk, 11, 96-100. Falk, M. (1984) : ”Extreme Quantile Estimation in -neighborhoods of Generalized Pareto Distributions”, Statistics and Probability Letters, 20, 9-21. Falk, M. (1985) : ”Asymptotic Normality of the Kernel Quantile Estimator”, The Annals of Statistics, 13, 428-433. Froot, K., and J., Stein (1998) : ”Risk Management, Capital Budgeting and Capital Structure Policy for Financial Institution”, Journal of Financial Economics, 47, 55-82. Garman, M. (1996) : ”Improving on VaR”, RISK, 9, 61-63. Garman, M. (1997) : ”Taking VaR to Pieces”, RISK, 10, 70-71.


35 Gollier, C., Koehl, P.F., and J.C., Rochet (1996) : ”Risk-Taking Behavior with Limited Liability and Risk Aversion”, DP 96-13 Wharton Financial Institutions Center. Gourieroux, C., and J., Jasiak (1999) : ”Truncated Local Likelihood and Nonparametric Tail Analysis”, DP 99 CREST. Golub, B., Holmer, M., McKendall, R., Pohlman, L.,Zenios, S.A., 1995. A stochastic programming model for money management. European Journal of Operational Research 85, 282-296. Harrel, F., and C., Davis (1982) : ”A New Distribution Free Quantile Estimation”, Biometrika, 69, 635-640. Hiller, R.S., Eckstein, J., 1993. Stochastic dedication: Designing fixed income portfolios using massively parallel benders decomposition. Management Science 39, 1422-1438. Holmer, M.R., Zenios, S.A., 1995. The productivity of financial intermediation and the technology of financial product management. Operation Research 43, 970-982. Jansen, D., Koedijk, K., and C., de Vries (1998) : ”Portfolio Selection with Limited Downside Risk”, Mimeo Maastricht University. Jorion, P. (1996) : ”Risk2 : Measuring the Risk in Value at Risk”, Financial Analysts Journal, November/December, 47-56. Jorion, P. (1997) : ”Value at Risk : The New Benchmark for Controlling Market Risk”, Irwin, Chicago. Jorion, P. (2001), ”Value at Risk”, 2nd edition, McGraw-Hill, 2001. Kalin, D., Zagst, R., 1999. Portfolio optimization: Volatility constraints versus Shortfall constraints. OR Spektrum. 21, 97-122. Kimball, R. (1997) : ”Innovations in Performance Measurement in Banking”, New England Economic Review, May/June, 23-38. Korn, R., 1997, Optimal Portfolios: Stochastic Models for Optimal Investment and Risk Management in Continuous Time, Word Scientific, Singapore. Koskosidis, Y.A., Duarte, A.M., 1997. Ascenario-based aproach to active aset allocation. Journal of Portfolio Management 23, 74-85. Levy, H., and M., Sarnat (1972) : ”Safety First. An Expected Utility Principle”, Journal of Financial and Quantitative Analysis, 7, 1829-1834. Li,

D. X. (1999). Value at Risk Based on the Volatility, Skewness and Kurtosis. Working Paper RiskMetrics 20 April 1999. URL: http://www.riskmetrics.com/kurtovv.pdf

Markowitz, H. (1952) : ”Portfolio Selection”, Journal of Finance, 7, 77-91.


36 McKay, R., Keefer, T.E., 1996. VaR is a dangerous technique. Corporate FinanceSearching For systems integration supplement 30. Morgan, J.P. (1996) : ”Risk Metrics - Technical Document”, 4 th edition, NewYork. Ridder, T. (1997) : ”Basics Bank,Frankfurt/Karlsruhe.

of

Statistical

VaR-Estimation”,

SGZ-

Rodoni Ahmad and Othman Yong, 2002, Analisis Investasi dan Teori Portfolio, PT. Rajagrafindo Persada, Jakarta. Roll, R., 1977, A Critique ot The Aset Pricing Theorys Test, Journal of Financial Economics, pp: 129-176. Ross, S., 1977, The Capital Aset Pricing Model (CAMP), Short-Sale Restrictions and Related Issues, Journal of Finance, pp: 177-183. Roy, A. (1952) : ”Safety First and the Holding of Asets”, Econometrica, 20, 431449. Santomero, A., and D., Babbel (1996) : ”Risk Management by Insurers: An Analysis of the Process”, DP 96-16 Wharton Financial Institutions Center. Sharpe William, 1995, Investasi, PT. Prenhalindo, Jakarta. Sharpe W, Lintner and Mossin, 1965, Risk Aversion in The Stock Market Some Empirical Evidence, Journal of Finance, pp: 416-422. Stoughton, N., and J., Zechner (1999) : ”Optimal Capital Allocation Using RAROC and EVA”, DP UC Irvine. Stulz, R. (1998) : ”Derivatives, Risk Management, and Financial Engineering”, Southwestern Publishing. Uryasev, S., Rockafellar, R.T., 1999. Optimization of Conditional Value at Risk. Research Report #99-4, Center for Applied Optimization at the Univercity of Florida. Wang Jin, 2000, Mean-Variance-VaR Based Portfolio Optimization,Working Paper, Valdosta State University, pp. 3-17. Wilson, T.C. (1996) : ”Calculating Risk Capital”, in Alexander, Carol (ed), The Handbook of Risk Management and Analysis, Chichester, Wiley, 193-232. Young, M.R., 1998. A minimax portfolio selection rule with linear programming solution. Management science 44,673-683.


ANALISIS SENSITIVITAS DARI VALUE AT RISK

Recommend Documents