Analisis Value at Risk Menggunakan Metode Extreme Value Theory-Generalized Pareto Distribution dengan Kombinasi Algoritma Meboot dan Teori Samad-Khan (Studi Kasus PT.X) Angga Adiperdana*, Patdono Suwignjo**, dan Ahmad Rusdiansyah** Pascasarjana Jurusan Teknik Industri Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS) Surabaya Kampus ITS Sukolilo Surabaya 60111 Email:
[email protected];
[email protected];
[email protected]
ABSTRAK Risiko adalah potensi terjadinya bahaya, akibat atau konsekuensi yang dapat terjadi pada sebuah proses yang sedang berlangsung atau kejadian yang akan datang. Manajemen risiko adalah proses pengelolaan risiko yang mencakup identifikasi, evaluasi dan pengendalian risiko yang dapat mengancam kelangsungan aktivitas usaha. Permasalahannya adalah bagaimana perusahaan dapat mengukur risiko dan kemudian memitigasinya (Operational Value at Risk / OpVar). OpVar adalah pengukuran berapa besar perusahaan dapat menyerap kerugian akibat suatu risiko operasional dengan derajat kepercayaan tertentu. Metode perhitungan nilai risiko yang berkembang saat ini hanya dapat diaplikasikan pada industri perbankan, karena menggunakan parameter serta variabel gross income yang hanya sesuai dengan business line perbankan dan tidak dapat menggambarkan secara nyata potensi kerugian yang dialami suatu industri. Selain itu metode tersebut tidak dapat mengakomodasi nilai risiko pada kejadian ekstreme yang jarang terjadi namun memiliki dampak yang sangat besar bagi industri karena menggunakan fungsi distribusi normal. Dalam penelitian ini, akan diperkenalkan suatu metode dalam perhitungan Value at Risk yaitu Extreme Value Theory-Generalized Pareto Distribution. EVT menggunakan parameter ξ, µ, dan σ sebagai parameter bentuk, lokasi dan skala sehingga langsung dapat dihitung nilai OpVar-nya. Kelebihan metode ini adalah pendekatannya bahwa data mengikuti distribusi GPD (Generalized Pareto Distribution) yang mengakomodasi bentuk distribusi empiris data yang cenderung memiliki ekor gemuk (heavy tail) sehingga potensi kejadian ekstreme dapat diakomodasi untuk dihitung nilai risikonya. Selain itu metode ini menggunakan data kerugian yang pernah dialami atau potensi kerugian yang akan dialami sebagai variabel perhitungan sehingga nilai risiko yang didapat menggambarkan potensi kerugian yang dialami oleh industri. Untuk mengatasi keterbatasan data yang terjadi pada perusahaan dilakukanlah metode bootstrapping menggunakan algoritma meboot serta teori samadkhan sebagai penyusun distribusi kerugiannya. Kata kunci : Risiko operasional Value at Risk, Extreme Value Theory, Generalized Pareto Distribution, bootstrapping.
1.
PENDAHULUAN
Risiko adalah potensi terjadinya suatu peristiwa baik yang dapat diperkirakan maupun yang tidak dapat diperkirakan yang dapat menimbulkan dampak bagi pencapaian tujuan Organisasi. Kebutuhan untuk mengelola risiko, yaitu risiko kredit dan risiko pasar di perusahaan perbankan dan asuransi sudah menjadi perhatian yang serius. Sejak Basel II mulai disosialisasikan dan diwajibkan bagi industri perbankan, mulailah dikenal jenis risiko, yang jauh lebih luas daripada risiko kredit dan risiko pasar, yaitu risiko operasional. Saat ini, risiko operasional semakin menjadi perhatian perusahaanperusahaan, tidak hanya perbankan dan asuransi, namun juga perusahaan industri pada umumnya. Penghitungan Value at Risk (VaR) yang menggunakan pendekatan central atau normal (tradisional) yaitu basic indicator approach (BIA), standardized approach (SA) dan alternative standardized approach (ASA), dipikirkan tidak tepat karena menggunakan parameter yang hanya sesuai dengan business line perbankan dan tidak dapat mengakomodasi nilai risiko kejadian ekstreme. Pengamatan terkini menunjukkan bahwa (selalu) ada potensi kejadian-kejadian yang bersifat ekstrim, dimana frekuensi terjadinya memang sangat rendah namun, jika itu terjadi maka akan menimbulkan dampak kerugian yang sangat besar. Fenomena ekstrim ini tidak tercakup dalam penghitungan VaR secara tradisional (dimana menggunakan pendekatan dengan distribusi normal), sehingga dibutuhkan suatu model distribusi yang bisa mengakomodasi faktor extreme. Model distribusi itu harus memiliki ekor (tail) ke kanan yang cukup panjang (fat tail atau heavy tail) yaitu generalized pareto distribution (GPD). Metode GPD diturunkan dari konsep pengambilan data losses yang melebihi suatu nilai yang disebut threshold value, dan sering pula disebut metode excesses over threshold value (EOT). Namun, metode ini mensyaratkan bahwa jumlah poin data kerugian yang diidentifikasi harus banyak sehingga hal ini menjadi kelemahan metode ini. Oleh karena itu untuk megatasi kelemahan yang dimiliki oleh metode GPD digunakanlah metode yang dapat memperbanyak poin data yang sangat fit dengan data aslinya. Metode bootstrapping yang dilakukan dengan cara melakukan sampling ulang dengan replacement dari sample data yang ada, bisa digunakan untuk mengatasi kendala tersebut. Algoritma MEBoot yang dikembangkan oleh Vinod (Liu, 2007) memberikan suatu cara bootstrapping yang secara khusus ditujukan untuk data yang bersifat dependent seperti data-data di seputar tail. Metode MEBoot menggunakan prinsip maximum entropy dengan memperhatikan dua macam constraint ialah masspreserving dan mean-preserving. Liu (2007) menunjukkan bahwa penggunaan algoritma MEBoot memberikan interpolasi yang sangat fit dengan data aslinya. Sementara itu Ripple-Teply (2008) menunjukkan bahwa distribusi total loss yang secara tradisional dianggap mengikuti distribusi normal bisa disusun dengan memperhatikan data loss aslinya dikombinasi dengan distribusi frekuensi loss yang didekati dengan distribusi Poisson. Metode ini disebut metode Samad-Khan. Dalam penyusunan itu digunakan juga sedikit simulasi monte carlo. Pada penelitian ini diungkapkan model untuk perhitungan nilai risiko (Value at Risk, VaR) berdasarkan extreme value theory menggunakan generalized pareto distribution dengan data-data historis tentang losses di lingkup PT X yang ketersediaannya sangat terbatas. Terlebih dahulu akan dikembangkan metode generalized pareto distribution untuk perhitungan nilai risiko (VaR) dimana distribusi
total loss dibangun dengan teknik Samad-Khan (Ripple-Teply), dan kemudian dilanjutkan dengan penerapan model yang diperoleh untuk analisis risiko di PT X, dimana keterbatasan jumlah data diselesaikan dengan teknik bootstrapping algoritma MEBoot. Sampai sekarang belum pernah diteliti perhitungan nilai risiko operasional berdasarkan extreme value theory menggunakan generalized pareto distribution. Penelitian ini mencoba untuk membuat model perhitungan nilai risiko operasional berdasarkan extreme value theory menggunakan generalized pareto distribution. Untuk mengatasi keterbatasan data nilai ekstrem yang biasa dihadapi maka digunakanlah algoritma meboot. Model yang dibuat kemudian digunakan untuk menghitung potensi nilai risiko operasional di PT.X yang bergerak di bidang industri semen. 2.
METODE
Untuk bisa melakukan analisis risiko, analis memerlukan data nilai loss (severitas) dan data frekuensi kejadian loss. Kebanyakan, data loss yang tersedia sungguh sangat terbatas yaitu hanya selama beberapa tahun saja. Meskipun data loss bisa dinyatakan dalam periode bulanan hingga enam bulanan sehingga akan diperoleh jumlah data yang lebih banyak daripada jika dalam periode tahunan, namun tetap saja jumlahnya masih sangat kurang mengingat data-data tersebut akan dilihat pola distribusinya. Hal yang sama terjadi untuk data frekuensi kejadian loss. Liu (2008) telah berhasil menemukan suatu cara untuk mengembangkan poin data dari data loss asli yang jumlahnya sangat terbatas menjadi poin-poin data berapapun jumlah yang diinginkan. Teknik tersebut ialah bootstrapping. Metode bootstrapping yang dikembangkan oleh Vinod didasarkan pada prinsip maksimum entropy sehingga dinamakan maximum entropy bootstrapping (MEBoot). Berbeda dengan bootstrapping pada umumnya, metode yang dikembangkan oleh Vinod mampu mengatasi kekurangan-kekurangan yang ada sehingga sangat cocok untuk membootstrapp data-data time series yang bersifat dependent seperti halnya data-data loss yang bersifat ekstrim. Dengan demikian persoalan kekurangan poin data loss bisa diatasi dengan algoritma MEBoot ini. Dengan sedikit penyederhanaan dari versi aslinya untuk alasan praktis, algoritma MEBoot bisa diuraikan dengan langkah-langkah berikut. 1. Urutkan T data orisinil xt (berindeks t) sehingga tersusun dari kecil ke besar (ascending) dan lambangkan dengan x(t), dan catat vektor indeks urutan aslinya. 2. Hitung intermediate points pada sorted series dengan cara: zt =
x (t ) + x (t +1) 2
dimana t = 1, 2, 3, ..., T. 3. Hitung trimmed mean, mtrm , dari deviasi xt-xt-1 untuk setiap dua data yang berurutan. Hitung lower limit untuk left tail sebagai z0 = x(1) – mtrm dan upper limit untuk right tail sebagai zT = x(1) + mtrm 4. Bangkitkan sejumlah T bilangan random uniform U(0,1), urutkan dan hitung sample quantile pada untuk masing-masing U(0,1) itu. 5. Urutkan kembali quantile yang diperoleh sesuai dengan vektor indeks urutan yang tercatat pada langkah-1 untuk me-recover dependent relationship pada data pengamatan aslinya. 6. Ulangi langkah-5 hingga langkah-6 berkali-kali.
Perhitungan Algoritma MEBoot ini bisa dilakukan dengan MS Excel meskipun kapasitasnya terbatas pada jumlah periode tidak lebih dari 7 (fungsi IF bertingkat terbatas hanya sampai 7 tingkat). Lembar kerjanya seperti pada Tabel 1. Tabel 1 Tabel Kerja Bootstrapping dengan Algoritma MEBoot 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 t xt x(t) (t) zt dt U Sorted U Batas kuantile xj,(t),me xj,t 1 2 3 Angka berurutan pada baris pertama menunjukkan nomor kolom. Kolom ke-1 ialah kolom t. Kolom ke-2 ialah kolom xt, dan seterusnya. Tabel 2 berikut ini menjelaskan arti dari setiap kolom. Tabel 2 Keterangan Kolom pada Tabel Kerja Algoritma MEBoot Nomor Kolom Nama Kolom Keterangan 1 T Indeks urutan waktu 2 xt Variabel random loss pada waktu ke-t 3 x(t) Variabel random x yang diurutkan nilainya dari kecil ke besar 4 (t) Vektor indeks urutan, untuk mencatat urutan asli dari variabel random x 5 zt Rata-rata dari setiap dua x(t) yang berurutan 6 dt Selisih absolut antara dua xt , yaitu dt = |xt+1 - xt| 7 U Bilangan random U(0,1) 8 Sorted U Bilangan random U diurutkan dari kecil ke besar 9 Batas kuantile Batas-batas kuantile pada setiap interval yang jaraknya dibuat sama 10 xj,(t),me Nilai variabel random hasil bootstrap yang urutan indeks waktunya belum dipulihkan 11 xj,t Nilai variabel random hasil bootstrap yang sudah dipulihkan urutan indeksnya Variabel random xt pada kolom ke-2 diurutkan nilainya dari kecil ke besar, hasilnya diletakkan pada kolom ke-3 dengan nama x(t). Indeks urutan asli dicatat dengan nama (t) dan diletakkan di kolom ke-4. Kolom (t) ini disebut vektor indeks urutan. Disimbulkan dengan t dalam tanda kurung untuk membedakan dengan t. Lihat Tabel 3.
Nilai zt dihitung dengan rumus: zt =
x (t ) + x (t +1) 2
(1)
Pada contoh Tabel 3, z1 = (9 + 15)/2 = 12, dan z2 = 21. Batas bawah z yaitu z0 dihitung dengan terlebih dulu menghitung nilai trimmean(dt; k) yang bisa dilakukan dalam MS Excel. Nilai k bisa diisikan 10% dan nilai-nilai dt dilihat pada kolom ke-6 yaitu (6; 12). Diperoleh nilai trimmean(dt; 10%) = 9 (merupakan nilai tengah antara 6 dan 12). Kemudian z0 = z1 - trimmean(dt; k) = 6 - 9 = -3 dan z3 = z2 + trimmean(dt; k) = 12 + 9 = 31. Tabel 3 Contoh Perhitungan MEBoot 1 2 3 4 5 6 7 t xt x(t) (t) zt dt U -3 1 15 9 2 12 6 0,441 2 9 15 1 21 12 0,752 3 27 27 3 31 0,338
8 9 Sorted U Batas kuantile 0,000 0,338 0,333 0,441 0,667 0,752 1,000
10 11 xj,(t),me xj,t 12,1 14,9 23,6
14,9 12,1 23,6
Pada kolom ke-7, dibangkitkan bilangan random U(0, 1). Misalnya telah muncul angka-angka seperti tertulis pada kolom tersebut. Bilangan-bilangan ini diurutkan seperti pada kolom ke-9, sorted U. Untuk mengisi kolom ke-11, diperhatikan misalnya angka random 0,338 pada kolom ke-9. Dia ada di baris ke-2 dan berada diantara batas kuantile 0,333 dan 0,667. Perhitungan kuantile yang sesuai dilakukan dengan prinsip interpolasi dengan rumus:
(
)
)(
z −z atas bawah z=z + x U −batas kuantile bawah batas kuantile bawah −batas kuantile atas bawah
(
z = 12 +
( 21−12 )
(0,667 − 0,333)
)
(2)
x( 0,338 − 0,333) = 12,1
Hasilnya diletakkan pada kolom ke-10 baris ke-2 seperti terlihat pada Tabel 3. Perlakuan yang sama dikenakan pada nilai-nilai yang lain pada sorted U. Terakhir hasilnya dipulihkan urutannya berdasarkan vektor indeks (t) dan dituliskan pada kolom ke-11. Jadi hasil bootstrap ialah 14,9 ; 12,1 ; 23,6. Bootstrapping dilakukan berkalikali hingga diperoleh jumlah poin data yang cukup banyak (misalnya hingga j = 500). Pada sejumlah data losses (severitas) yang ada dikenai bootstrapping dengan Algoritma MEBoot sehingga akan dimiliki jumlah poin data yang cukup banyak. Terhadap data-data losses hasil bootstrapping ini dirumuskan fungsi distribusi probabilitasnya. Suatu model fungsi distribusi perlu dicari dan dilakukan uji goodness of fit terhadapnya. Kemudian fungsi random variat dirumuskan dan digunakan untuk mensimulasikan angka-angka random nilai losses (severitas). Sedangkan, untuk memodelkan distribusi frekuensi kejadian munculnya loss dipakai fungsi distribusi Poisson sesuai model Samad-Khan (Rippel-Teply, 2008). Nilai parameter Poisson ditentukan dari data yang ada. Jika ada sejumlah n kejadian yi maka:
n
∑ yi
λ = i =1 n
(3)
Sehingga probabilitas frekuensi kejadian bisa diperkirakan: λ y e-λ (4) p(y)= , y = 0, 1, 2, ... y! Dengan teknik Samad-Khan (Rippel-Teply), data total nilai loss dibangun dengan menyusun joint distribution antara distribusi severitas dan distribusi frekuensi Poisson. Pelaksanaan pengkombinasian ini akan dilakukan dengan simulasi Monte Carlo. Untuk suatu nilai threshold tertentu, nilai excesses dari setiap poin data loss dihitung, sehingga diperolehlah histogram ataupun fungsi distribusi dari nilai excesses over threshold (EOT). Jika nilai threshold relatif sangat tinggi, EOT akan terdistribusi secara GPD dengan cummulative distribution function (cdf):
(5)
dan probability density function (pdf):
(6)
dengan
dimana harus dipenuhi:
Untuk menghitung parameter-parameternya berdasarkan data yang ada, digunakan metode maximum likelihood estimation (MLE). Untuk itu, fungsi likelihood L dirumuskan sebagai berikut: 1 L = σ
n
1 n − +1 k ( x − ) µ k i 1 + σ i = 1
∏
(7)
Dalam formulasi logaritma: n 1 k ( xi − µ ) ln L = −n ln σ − ( + 1) ln 1 + k σ i =1
∑
(8)
Diperoleh persamaan:
n
∑ ln[1 + k (xi − µ ) / σ ] = nk
(9)
i =1
Dengan persamaan (8) parameter k dan σ bisa dihitung secara numerik. Pertama, dicoba suatu nilai awal dari kedua parameter. Kemudian, nilai ruas kiri pada persamaan (8) dihitung. Jika pada persamaan tersebut, nilai ruas kiri dikurangi ruas kanan bernilai mendekati nol, maka nilai kedua parameter k dan σ sudah didapatkan. Sedangkan nilai parameter µ ditentukan sebagai nilai terkecil data yaitu µ = minimum (xi). Perhitungan yang lebih mudah untuk menentukan parameter pada GPD bisa dilakukan dengan software easy fit professional. Besaran yang ingin dicari dalam analisis risiko ialah value at risk (VaR) yang merupakan p% kuantile dari distribusi nilai total loss. VaR p% = F −1 ( p%)
(10)
atau F nilai loss x ≤ VaR p% = p %
(
)
(11)
Dimana F adalah fungsi distribusi kumulatif (cdf) dari nilai total loss, dan F -1 adalah inverse dari fungsi itu.
F −1 ( p) = µ +
σ (1 − p )− k − 1 k
(12)
Jika F (x) adalah distribusi nilai total loss x, dan u adalah suatu nilai threshold, maka nilai excesses over threshold (EOT) ialah x – u. Dalam hal ini hanya kondisi dimana x > u, yaitu EOT positif, yang diperhatikan. Dimisalkan Fu (y) adalah distribusi nilai EOT y (ialah x - u), maka untuk x > u : Fu ( y ) =
P{X − u ≤ y X > u} P{X > u}
=
F ( y + u ) − F (u ) 1 − F (u )
(13)
bisa disusun:
F ( y + u ) = [1 − F (u )] Fu ( y ) + F (u ))
(14)
Fu (y) pada persamaan (13) akan terdistribusi secara GPD. Jadi nantinya akan dipenuhi fungsi berikut:
1 − y k , k≠0 1 − 1 + k σ Fu ( y ) = (15) y − , k =0 1 − e σ Untuk nilai threshold u yang sangat besar, F(u) akan mendekati (n – Nu)/n dimana n ialah jumlah semua point data nilai total loss, dan Nu ialah jumlah yang di atas threshold u. Persamaan (14) bisa diuraikan menjadi: N F (x ) = 1 − u n
1
(x − u ) k 1 + k σ −
(16)
dan
F −1 ( p) = µ +
σ
n ( 1 − p ) k N threshold
−k
− 1
(17)
dimana n adalah jumlah total data dan Nthreshold adalah jumlah poin data di atas threshold. Persamaan (16) digunakan untuk menghitung VaR.
3. HASIL DAN DISKUSI Penelitian ini memerlukan data losses aktual di PT. X dalam kurun beberapa tahun, yang dikumpulkan selama beberapa tahun belakangan. Namun jumlah data sangat terbatas seperti tampak pada Tabel 4 berikut.
Tahun Nilai Losses
Tabel 4 Data aktual annual losses PT.X 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 695,2
694
723,8
684,5
841,2
814,5
920
918,4
858,1
1413,4
(dalam Juta Rp)
Untuk mendapatkan nilai risiko pada tahun 2009, maka data yang ada disetarakan dengan metode present value ke tahun 2009.
Tahun
1999
Tabel 5 Nilai losses yang disetarakan ke tahun 2009 Jarak tahun ke Nilai ekuivalen di 2009 Nilai Losses
2009
(asumsi i = 0,0913 per tahun)
695,2
10
695,2 x (1 + i)10 = 1665,5
2000
694
9
1523,6
2001
723,8
8
1456,0
2002
684,5
7
1261,8
2003
841,2
6
1420,9
2004
814,5
5
1260,7
2005
920
4
1304,9
2006
918,4
3
1193,6
2007
858,1
2
1021,9
2008
1413,4
1
1542,4
Karena data yang dimiliki terbatas, maka digunakanlah algoritam meboot untuk memperbanyak poin data. Algoritma MEBoot tersebut bisa diimplementasikan dengan MS Excel. Namun karena akan dipakai fungsi IF bertingkat, sedangkan MS Excel hanya mampu mengoperasikan fungsi IF tidak lebih dari tujuh tingkat, maka data akan dikelompokkan dalam dua (2) tahunan. Tabel 6 Agregasi data loss dalam 2 tahunan Periode Nilai Loss, Milyar Rp
1999/2000 3189,1
2001/2002 2717,8
2003/2004 2681,4
2005/2006 2498,5
2007/2008 2564,3
Setelah data dikelompokkan dalam 2 tahunan, maka algoritma meboot diaplikasikan untuk memperbanyak poin data. Tabel 7 Poin data yang dihasilkan menggunakan algoritma meboot 3189,1 2717,8 2681,4 2498,5 2564,3 2727,9 2644,1 2587,5 2504,2 2572 3035,2 2731 2696,2 2557
2980,2 2932,4 2733,2 2385,4 2535 2681,1 2591,2 2560,2 2423,9 2484,6 3103,8 3056,2 2819,7 2529,1
3141,5 3007,7 2769,1 2454,1 2600 3038,4 2871,6 2803,6 2386,7 2640 3082,1 2996,4 2767,9 2614,2
2749,4 2689,1 2664,3 2610,1 2627 3123,1 3107,9 2795,3 2550,6 2696,1 3061,1 2990,8 2686,3 2405,7
3072 2973,6 2607,8 2553,8 2567,9 2662,5 2628,6 2595,9 2387,2 2587,1 3026,7 2885,3 2755,7 2350,2
3001,8 2819,7 2811,9 2755,2 2786,9 2597,9 2571 2492 2356,7 2388 2828,8 2644,8 2607,9 2394,5
2729,6 2658,5 2643,4 2440,4 2623,8 3102,7 3043,3 3007 2371,6 2632,5 2882,3 2843,4 2690 2383,5
3101,5 3081,5 2650,7 2604,3 2628,9 3040,8 2847 2687,1 2534,2 2587 2675,2 2604,4 2587,4 2440,5
3056,3 3022,4 3004,9 2698,1 2902,4 2871,4 2724 2701,2 2387 2537,3 2987,8 2658,8 2642,2 2348,5
3138,3 3051,3 2868,3 2585,5 2704,3 2962,4 2812,7 2783 2545 2617,6 3026,6 2654,2 2644,1 2533,1
2896,3 2875,6 2841,9 2387,9 2632,6 3027,4 3022,7 2984 2485 2754,3 3127,7 3064,4 2739,9 2415,3
2695,1 2948,8 2858 2856,9 2380,9 2714,9 3032,1 2957,7 2805,8 2388,6 2475,2 2984,3 2959,4 2625,6 2510,5 2530,9 3068,7 2735,9 2641,8 2375,4 2623,7
2616,6 2798,7 2645,8 2629,1 2559,9 2599,8 3067,7 3027,8 2986,3 2417,7 2750,3 3064,8 2958,8 2909,6 2777,6 2886,3 2832,1 2720,7 2666,4 2567,8 2662,1
2761,1 3106,3 2972,7 2864,2 2628,3 2688,4 2967,5 2589,4 2571,1 2375,5 2546,8 2975,7 2952,7 2817,8 2394,8 2565,1 3043,8 2683,8 2642,8 2439,7 2626,7
2465 3000,5 2995,2 2633,1 2599,5 2608 3093 2631,8 2571,5 2363,7 2521,8 2909,2 2821,4 2796,1 2515 2588 3088,8 2849,4 2789,1 2508,8 2623,4
2719,6 2675,8 2633,6 2599,3 2459,5 2567,3 3109,9 3035 2688,5 2663,8 2672,6 2847,7 2567,2 2553,8 2404,5 2417,2 3094,5 3035,9 3032,1 2825,1 3019,3
2454,3 3058,5 2687,2 2611,7 2507,0 2602,3 2783,6 2761,2 2674,7 2477,7 2488,9 3126,4 2952 2785,5 2446,1 2472,3 3115,6 3031,2 2990,3 2608 2796,7
2478,1 3044,1 2942,8 2609,1 2570,3 2587,1 3129 3063,7 3058,1 2428,4 2809,7 3063 2698 2640 2626,1 2639,5 2957,6 2831,7 2789,5 2578,2 2730,7
2546,6 3023,6 2995,9 2593 2455,1 2519,9 3082,8 2751,2 2722,9 2597,3 2657,7 3014,2 2823,4 2807,9 2604,9 2702,4 3072,5 2754,5 2630,2 2458,8 2530,2
2625,7 2679,4 2647,8 2638 2342,7 2496,7 2754,6 2645,1 2603,8 2404 2545,8 3023,9 2688,1 2665,9 2444,5 2597,1 2888 2698,2 2616,3 2381,2 2605,7
2623,6 2945,3 2726,2 2628,1 2594,4 2612,9 2790,2 2633,4 2552,4 2486,9 2539,3 2821,7 2797,5 2624,2 2468,7 2565,7 3010,5 2733,9 2702 2429,3 2434,2
2685,3 2893,9 2831,6 2798,9 2343,4 2378,4 2937,4 2904,3 2859,3 2344,8 2741,6 3135,3 3081,6 2843 2591,1 2702,5 3065 2920,8 2467 2351,8 2385,1
Tabel 8 berikut ini adalah captured proses simulasi Monte Carlo untuk memperoleh nilai total losses tersebut yang akan digunakan untuk menyusun total loss distribution dari data yang ada. Tabel 8 Captured Simulasi Monte Carlo dengan Cara Samad-Khan (Rippel-Teply) dalam MS Excel
Pada kolom paling kanan dari tabel 6 terlihat nilai total loss hasil simulasi. Yang menjadi perhatian utama dalam penelitian ini ialah pengkajian analisis risiko dimana pemodelan tail didekati dengan distribusi Generalized Pareto Distribution (GPD). Literatur memberikan petunjuk bahwa jika nilai-nilai loss dikurangi dengan suatu nilai threshold tertentu maka nilai-nilai hasilnya, yaitu excesses over threshold akan terdistribusi mendekati fungsi distribusi GPD. Maka distribusi total nilai losses yang diperoleh dengan cara Samad-Khan di atas diolah lebih lanjut untuk memperoleh distribusi excesses over threshold. Akan dilihat apakah distribusi yang diperoleh akan mengikuti fungsi Generalized Pareto Distribution (GPD).
Terlebih dahulu ditetapkan suatu nilai threshold tertentu (disimulasikan), kemudian dihitung nilai excess berdasarkan nilai threshold tersebut. Histogram nilai excess bisa disusun untuk visualisasi. Misalnya dicoba nilai threshold = 6500. Hasil simulasi pembangkitan nilai total loss berdasarkan metode Samad-Khan (Rippel-Teply) dikurangi dengan nilai threshold (6500) untuk memperoleh nilai excess.
Tabel 9 Satu Contoh Hasil Perhitungan Excesses Over Threshold Terhadap Nilai Loss Hasil Simulasi Monte carlo dengan Metode Samad-Khan (Threshold = 6500)
Captured potongan dari contoh simulasi Monte Carlo yang dilakukan dengan MS Excel ditampilkan pada Tabel 5. Pada contoh itu dicobakan perhitungan excesses over threhold dengan nilai threshold sebesar 6.500. Karena keterbatasan tempat, datadata hanya diambil sebagian. Nilai-nilai EOT yang dihasilkan kemudian diurutkan secara descending. Satu contoh potongan hasil pengurutan itu ditampilkan pada Tabel 10. Dipilih nilai-nilai yang positif saja.
Tabel 10 Nilai-nilai EOT yang Diurutkan secara Descending Threshold = 6.500,0 Nomor Total Excess Over Nomor Total Excess Loss Threshold Loss Threshold (EOT) (EOT) 149 8.009,4 1.509,4 174 7.648,9 1.148,9 150 7.998,3 1.498,3 175 7.620,7 1.120,7 151 7.994,2 1.494,2 176 7.542,4 1.042,4 152 7.979,9 1.479,9 177 7.534,7 1.034,7 153 7.970,0 1.470,0 178 7.473,1 973,1 154 7.961,8 1.461,8 179 7.465,8 965,8 155 7.945,2 1.445,2 180 7.438,4 938,4 156 7.939,7 1.439,7 181 7.397,5 897,5 157 7.919,1 1.419,1 182 7.347,6 847,6 158 7.914,8 1.414,8 183 7.309,9 809,9 159 7.909,6 1.409,6 184 7.163,0 663,0 160 7.893,5 1.393,5 185 6.414,5 -85,5
Over
Angka-angka total nilai loss pada Tabel 10 sudah diurutkan dari besar ke kecil. Mulai data nomor 185, excess mulai bernilai negatif karena besarnya di bawah threshold. Secara analitik persamaan kuantile digunakan untuk menghitung VaR. Dari sejumlah 2345 poin data nilai total loss, jika digunakan threshold 10000, pada suatu contoh run simulasi ternyata terdapat 50 poin data di atas threshold. Maka dengan nilainilai parameter GPD: k (shape) = 0,1617; σ (scale) = 1125,9 ; dan µ (location) = 1091,3 diperoleh nilai VaR 99,9% : : σ F −1 ( p) = µ + k
−k n (1 − p) − 1 N threshold
VaR 99,9% = F −1(0,999) = 1091,3 +
1125,9 2345 (1 − 0,999) 0,1617 50
−0,1617
− 1 = 12510,2
Nilai VaR tersebut untuk periode dua tahunan, sehingga nilai VaR PT. X untuk tahun 2009 sebesar 6255,1 atau sebesar Rp. 6,255 Milyar
4. KESIMPULAN Dari hasil analisis dan pembahasan yang dilakukan, bisa ditarik beberapa kesimpulan sebagai berikut. 1. Metode EVT dan GPD digunakan pada penelitian ini untuk menghitung nilai risiko operasional pada kejadian ekstreme. 2. Metode bootstrapping (algoritma meboot) dan teori samad khan digunakan pada penelitian ini untuk memperbanyak poin data dan menyusun total loss distribution dari data yang ada.
3. Pada penelitian ini telah dibuat model untuk perhitungan nilai risiko (Value at Risk, VaR) berdasarkan extreme value theory menggunakan generalized pareto distribution dan algoritma meboot yang dapat mengakomodir potensi terjadinya risiko ekstreme dan keterbatasan data. Metode ini mampu menghitung nilai risiko ekstreme pada seluruh industri karena variabel yang digunakan adalah variabel kerugian atau potensi kerugian sehingga metode yang dikembangkan dalam penelitian ini mampu menutup kelemahan pada metode perhitungan nilai risiko yang ada sebelumnya. 4. sebagai uji coba, model diaplikasikan pada PT. X sehingga menghasilkan nilai risiko yang berpotensi diderita oleh PT. X sebesar Rp. 6,255 Milyar.
5. DAFTAR PUSTAKA Bensalah, Y., (2000), Steps in Applying Extreme Value Theory to Finance: A Review, Working Paper, Bank of Canada, Ottawa Embrects et al, (1999), Extreme Value Theory as A Risk Management Tool, North American Actuarial Journal, Volume 3, Number 2
Gençay et al, (2003), High volatility, thick tails and extreme value theory in value-at-risk estimation, Insurance Mathematics and Economics 33 (2003) 337–356, Elsevier Gilli And Kellezi, (2003), An Application of Extreme Value Theory for Measuring Risk, Preprint submitted to Elsevier Science, Department of Econometrics, University of Geneva and FAME CH–1211 Geneva 4, Switzerland Kakiay, T.J., (2004), Pengantar Sistem Simulasi, Penerbit Andi Yogyakarta Liu, W-H, (2007), A Closer Examination of Extreme Value Theory Modeling in Value at Risk Estimation, Department of Banking and Finance, Tamkang University, Taipei, Taiwan McNeil, A.J., (1999), Extreme Value Theory for Risk Managers, Departement Mathematik, ETH Zentrum, CH-8092 Zurich Muslich, M., (2007), Manajemen Risiko Operasional, Teori & Praktik, Bumi Aksara, Jakarta Paszek, E., (2007)., Maximum Likelihood Estimation (MLE), produced by The Connexions Project and licensed under the Creative Commons Attribution License Rippel And Teply, (2008). “ Operational Risk - Scenario Analysis ” IES Working Paper 15/2008, IES FSV. Charles University Teknomo, K, (2009), Bootstrapping, Tutorial, http://people.revoledu.com/kardi/tutorial/Bootstrap/examples.htm (diakses terakhir pada 22 Desember 2009) Tinca, A., (2003), The Operational Risk in the Outlook of the Basel II Acord Implementation, Theoritical and Applied Economics
