ITO Semestr´ aln´ı projekt
Autor:
Vojtˇech Pˇrikryl, xprikr28 Fakulta Informaˇcn´ıch Technologi´ı Vysok´e Uˇcen´ı Technick´e v Brnˇe
Pˇr´ıklad 1 Stanovte napˇet´ı UR5 a proud IR5 . Pouˇzijte metodu postupn´eho zjednoduˇsov´an´ı obvodu. sk. H
U [V ] 135
R1 [Ω] 680
R2 [Ω] 600
R3 [Ω] 260
R4 [Ω] 310
R5 [Ω] 575
R6 [Ω] 870
R7 [Ω] 355
R8 [Ω] 265
Obr´azek 1: Poˇc´ateˇcn´ı stav. Nejdˇr´ıve vypoˇc´ıt´ame celkov´ y odpor obvodu, ze kter´eho n´aslednˇe budeme moci zjistit celkov´ y proud. Obvod zjednoduˇsujeme postupnou transfigurac´ı troj´ uheln´ık → hvˇezda. R5 · R8 R7 · R8 R5 · R7 , RB = , RC = R5 + R7 + R8 R5 + R7 + R8 R5 + R7 + R8 Po t´eto u ´pravˇe m˚ uˇzeme nahradit s´eriovˇe zapojen´e dvojice rezistor˚ u R2 , RA a R4 , RB . Pot´e m˚ uˇzeme jednoduˇse prov´est druhou potˇrebnou transfiguraci. RA =
R2A = R2 + RA R4B = R4 + RB
RX =
R3 · R4B R2A · R4B R3 · R2A , RY = , RZ = R3 + R2A + R4B R3 + R2A + R4B R3 + R2A + R4B
Obr´azek 2: Stav po prvn´ı transfiguraci.
Obr´azek 3: Stav po druh´e transfiguraci. Zjednoduˇs´ıme postupnˇe s´eriovˇe a n´aslednˇe paralelnˇe zapojen´e rezistory. R6Y = R6 + RY RCZ = RC + RZ R6Y · RCZ R6CY Z = R6Y + RCZ
Nyn´ı m˚ uˇzeme spoˇc´ıtat celkov´ y odpor a n´aslednˇe celkov´ y proud. R = R1 + RX + R6CY Z = 1049, 1576Ω I=
U = 0, 1287A R
Nyn´ı je potˇreba se dostat zpˇet“ k hodnotˇe IR5 . Postupnˇe tedy za pomoc´ı ” Kirchhoffov´ ych z´akon˚ u, Ohmova z´akonu a znalosti paraleln´ıho a s´eriov´eho zapojen´ı zjiˇst’ujeme dalˇs´ı hodnoty proud˚ u v obvodu, kter´e pouˇzijeme ke koneˇcn´emu v´ ypoˇctu: IR1 = I RZC RZC + R6Y U − IR6 · R6 − IR1 · R1 = R3 IR2 = IR1 − IR3 IR6 = I ·
IR3
IR4 = IR3 − IR6 IR5 =
IR3 · R3 + IR4 · R4 − IR2 · R2 R5
V´ ysledek: IR5 = 5, 3013mA UR5 = 3, 0482V
Pˇr´ıklad 2 Stanovte napˇet´ı UR3 a proud IR3 . Pouˇzijte metodu Theveninovy vˇety. sk. D
U [V ] 150
R1 [Ω] 200
R2 [Ω] 660
R3 [Ω] 200
R4 [Ω] 220
R5 [Ω] 330
Obr´azek 4: Zadan´ y obvod. Rezistor R3 , jehoˇz napˇet´ı a proud chceme vypoˇc´ıtat, si ohraniˇc´ıme body A, B a dle Theveninovy vˇety ho nahrad´ıme napˇet´ım napr´azdno Ui a zavedeme n´ahradn´ı obvod.
Obr´azek 5: Nahrazen´ı rezistoru R3 napˇet´ım napr´azdno.
Obr´azek 6: N´ahradn´ı obvod.
D´ale je tˇreba vypoˇc´ıtat celkov´ y odpor Ri . To je odpor mezi body A a B, samozˇrejmˇe bez odporu R3 . Napˇet´ı jsou pˇritom zkratov´ana“. Obvod s odpory lze ” pˇrekreslit n´asleduj´ıc´ım zp˚ usobem:
Obr´azek 7: Pˇrekreslen´ y obvod pro v´ ypoˇcet Ri .
Ri =
R1 · R4 R2 · R5 + R1 + R4 R2 + R5
Napˇet´ı Ui vypoˇc´ıt´ame tak, ˇze si uvˇedom´ıme, ˇze (dle obr´azku 5) je Ui napˇet´ı napr´azdno, a tak mezi body A a B neproch´az´ı ˇz´adn´ y proud. Dost´av´ame tedy obvod, kde rezistory R1 a R4 jsou zapojeny v s´erii, rezistory R2 a R5 jsou tak´e zapojeny v s´erii a to cel´e je zapojeno paralelnˇe. T´ım vypoˇc´ıt´ame proudy I1 a I2 a pomoc´ı zn´azornˇen´e smyˇcky pak i Ui . I1 + I2 =
U (R1 +R4 )·(R2 +R5 ) (R1 +R4 )+(R2 +R5 )
R2 + R5 R1 + R2 + R4 + R5 R1 + R4 I2 = (I1 + I2 ) · R1 + R2 + R4 + R5
I1 = (I1 + I2 ) ·
Ve smyˇcce plat´ı: I1 · R1 + Ui − I2 · R2 = 0 Ui = I2 · R2 − I1 · R1 Nyn´ı jiˇz m˚ uˇzu vypoˇc´ıtat IR3 a UR3 : IR3 =
Ui Ri + R3
UR3 = IR3 · R3 V´ ysledek: IR3 = 0, 05444 A UR3 = 10, 8892 V
Pˇr´ıklad 3 Stanovte napˇet´ı UR2 a proud IR2 . Pouˇzijte metodu uzlov´ ych napˇet´ı (UA , UB , UC ). sk. A
U [V ] 120
I1 [A] 0.35
I2 [A] 0.7
R1 [Ω] 530
R2 [Ω] 490
R3 [Ω] 650
R4 [Ω] 390
R5 [Ω] 320
R6 [Ω] 250
Obr´azek 8: Zadan´ y obvod. Nejdˇr´ıve mohu zjednoduˇsit obvod spojen´ım paralelnˇe zapojen´ ych rezistor˚ u R3 a R4 . R3 · R4 R34 = R3 + R4 Rovnice pro jednotliv´e uzly: A : IR1 − IR2 − IR34 − I1 = 0 B : IR34 + I1 − IR6 − I2 = 0 C : IR6 + I2 − IR5 = 0
Rovnice pro jednotliv´e proudy: IR1 : UA + R1 · IR1 − U = 0 −→ IR1 =
U − UA R1
UA − UB R34 UA = R2 UB − UC = R6 UC = R5
IR34 : IR34 · R34 + UB − UA = 0 −→ IR34 = IR2 : IR2 · R2 − UA = 0 −→ IR2 IR6 : IR6 · R6 + UC − UB = 0 −→ IR6 IR5 : IR5 · R5 − UC = 0 −→ IR5
Obr´azek 9: Zjednoduˇsen´ y obvod s vyznaˇcen´ım smˇer˚ u proud˚ u. Dosazen´ım jednotliv´ ych proud˚ u do rovnic pro uzlov´a napˇet´ı z´ısk´ame soustavu rovnic, ze kter´e vypoˇc´ıt´ame potˇrebnou hodnotu UA . Toto napˇet´ı je stejn´e, jako napˇet´ı UR2 , kter´e m´ame vypoˇc´ıtat. Hodnotu proudu pak vypoˇc´ıt´ame na z´akladˇe Ohmova z´akonu.
V´ ysledky: UR2 = UA = −18.1281 V IR2 =
UA = −36, 9961 mA R2
Pˇr´ıklad 4 Pro nap´ajec´ı napˇet´ı plat´ı: u = U · sin(2πf t). Ve vztahu pro napˇet´ı na kondenz´atoru: uC1 = UC1 · sin(2πf t + ϕc1 ) urˇcete |UC1 | a ϕc1 . Pouˇzijte metodu zjednoduˇsov´an´ı obvodu. Pozn: Pomocn´ y smˇer ˇsipky nap´ajec´ıho zdroje plat´ı pro speci´aln´ı ˇcasov´ y okamˇzik π (t = 2ω ). sk. H
U [V ] 65
R1 [Ω] 150
R2 [Ω] 130
L1 [mH] 350
L2 [mH] 490
C1 [µF ] 215
Obr´azek 10: Zadan´ y obvod. Nejdˇr´ıve spoˇc´ıt´am celkovou impedanci obvodu. Z1 = XL1 + XC1 Z2 = R1 + XC2 Z3 = R2 + XL2 Z = Z1 +
Z2 · Z3 Z2 + Z3
C2 [µF ] 270
f [Hz] 60
Nyn´ı vypoˇc´ıt´am celkov´ y proud. Tento proud proch´az´ı tak´e kondenz´atorem C1 . Tud´ıˇz mohu hned vypoˇc´ıtat i UC1 . I=
U Z
UC1 = I · XC1 = −3.7308 − j2.3651 Z komplexn´ıho tvaru nyn´ı vypoˇc´ıt´am absolutn´ı hodnotu a tak´e hodnotu u ´hlu ϕ. √ |UC1 | = Re2 + Im2 = 4.4173 V Im ◦ −1 ϕ = 180 + tan = 212◦ 220 19, 900 Re Pozn.: K u ´hlu ϕ pˇriˇc´ıt´am 180◦ , protoˇze komplexn´ı hodnota Uc1 leˇz´ı ve tˇret´ım kvadrantu. V´ ysledek: |UC1 | = 4.4173 V ϕ = 212◦ 220 19, 900
Pˇr´ıklad 6 Sestavte diferenci´aln´ı rovnici popisuj´ıc´ı chov´an´ı obvodu na obr´azku, d´ale ji upravte dosazen´ım hodnot parametr˚ u. Vypoˇc´ıtejte analytick´e ˇreˇsen´ı iL = f (t). ’ Proved te kontrolu v´ ypoˇctu dosazen´ım do sestaven´e diferenci´aln´ı rovnice. sk. A
U [V ] 4
L [H] 40
R [Ω] 10
iL (0) [A] 2
Obr´azek 11: Zadan´ y obvod. Nejdˇr´ıve sestav´ıme diferenci´aln´ı rovnici, plat´ı: uL + uR = U uR = R · iL uL = U − uR
i0L = i0L = i0L =
1 · uL L
1 · (U − uR ) L
1 · (U − R · iL ) L
Z toho dostaneme diferenci´aln´ı rovnici: L · i0L + R · iL = U Po dosazen´ı: 40i0L + 10iL = 4,
iL (0) = 2 A
Oˇcek´avan´ y tvar ˇreˇsen´ı: iL = C(t) · eλt V´ ypoˇcet λ: 40λ + 10 = 0 1 λ=− 4 Derivace oˇcek´avan´eho tvaru ˇreˇsen´ı: 1 1 1 i0L = C 0 (t) · e− 4 t − · C(t) · e− 4 t 4 Tuto derivaci dosad´ım do diferenci´aln´ı rovnice: 1 1 − 14 t 0 − 14 t − · C(t) · e 40 C (t) · e + 10C(t) · e− 4 t = 4 4 1
40C 0 (t) · e− 4 t = 4 1 1 C 0 (t) = · e4t 10 Nyn´ı v´ ysledek zintegruji: Z C(t) =
1 1 2 1 · e4t = · e4t + k 10 5
Dosad´ım do oˇcek´avan´eho tvaru: 1 2 1 iL = ( · e 4 t + k) · e− 4 t 5 1 2 i L = + k · e− 4 t 5 Dosad´ıme poˇc´ateˇcn´ı podm´ınku iL (0) = 2 A: 1 2 + k · e− 4 ·0 5 2 2= +k 5 8 k= 5
2=
V´ ysledek: iL =
2 8 −1t + ·e 4 5 5
V´ysledky Pˇr´ıklad 1H IR5 = 5, 3013mA UR5 = 3, 0482V
Pˇr´ıklad 2D IR3 = 0, 05444 A UR3 = 10, 8892 V
Pˇr´ıklad 3A UR2 = −18.1281 V IR2 = −36, 9961 mA
Pˇr´ıklad 4H |UC1 | = 4.4173 V ϕ = 212◦ 220 19, 900
Pˇr´ıklad 6A iL =
2 8 −1t + ·e 4 5 5
