INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN

Universitas Gadjah Mada Fakultas Teknik Departemen Teknik Sipil dan Lingkungan

INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN Statistika dan Probabilitas

Rentang Keyakinan 2

q 

Estimasi Parameter q  q  q 

q 

Distribusi probabilitas memiliki sejumlah parameter. Nilai parameter-parameter tsb umumnya tidak diketahui. Nilai parameter tersebut diperkirakan (di-estimasi-kan) berdasarkan nilai yang diperoleh dari pengolahan data. Estimasi n  n 

Estimasi tunggal (point estimates) Rentang keyakinan (confidence intervals)

http://istiarto.staff.ugm.ac.id

Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

18-Oct-16

Rentang Keyakinan 3

q 

Estimasi tunggal q 

Contoh n 

Nilai rata-rata sampel sebagai estimasi nilai rata-rata populasi

X → µ n 

Nilai simpangan baku sampel sebagai estimasi nilai simpangan baku populasi

sX → σ X



18-Oct-16

Rentang Keyakinan 4

q 

Estimasi parameter θ

θ!ˆ →

estimasi

θ!

parameter

Dicari suatu rentang [L,U] yang memiliki probabilitas (1 – α) bahwa rentang tsb mengandung θ.

prob(L < θ < U) = (1 – α)

à Pers (1)

L = batas bawah rentang keyakinan U = batas atas rentang keyakinan (1 – α) = tingkat keyakinan (confidence level, confidence coefficient) L dan U = variabel random http://istiarto.staff.ugm.ac.id


18-Oct-16

Rentang Keyakinan 5

q 

Contoh q 

Data pengukuran temperatur udara di Yogyakarta pada periode 1991 s.d. 2014 menunjukkan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30°C n  n 

Kita dapat memperkirakan bahwa temperatur udara rata-rata di Yogyakarta adalah 30°C. Kita menyadari bahwa perkiraan tsb dapat salah; bahkan dari sisi pengertian probabilitas, kita tahu bahwa temperatur udara rata-rata sama dengan 30°C adalah hampir tidak mungkin terjadi:

prob (T = 30°C) = 0 http://istiarto.staff.ugm.ac.id


18-Oct-16

Batas Bawah dan Batas Atas 6

q 

Metode Ostle: method of pivotal quantities q 

q 

Dicari variabel random V yang merupakan fungsi parameter θ (θ = unknown), tetapi distribusi V ini tidak bergantung pada parameter yang tidak diketahui. Ditentukan v1 dan v2 sedemikian hingga: prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α


à Pers (2)


18-Oct-16

Batas Bawah dan Batas Atas 7

q 

Metode Ostle: method of pivotal quantities

prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α q 

q 

Persamaan di atas diubah kedalam bentuk prob(L < θ < U) = 1− α L dan U adalah variabel random dan fungsi V, tetapi bukan fungsi θ



18-Oct-16

Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal 8

q 

q 

Mencari interval [L,U] yang mengandung µ, prob(L < µ < U) = 1 – α Misal variabel random V:

V=

X −µ sX

q 

V berdistribusi t dengan (n – 1) degrees of freedom

q 

n adalah jumlah sampel yang dipakai untuk menghitung nilai rata-rata sampel



18-Oct-16

V= q 

X −µ sX

Bukti Distribusi t:

V=

=

9

à berdistribusi t?

X =Y

ν U

, ν = degree of freedom

X − µ X − µ (X − µ ) σ (X − µ ) 1 = = = ⋅ sX s 2X n s 2X σ n σ n sX2 σ 2

(X − µ ) ⋅ σ

n

n −1 2

∑ (X i − X ) σ 2


=Y ⋅

ν U ⇒Y =

X −µ ν

n

, U=

∑ (X i − X ) σ

2


2

, ν = n −1

18-Oct-16

q 

Pers (2) $ ' X −µ prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α ⇒ prob &v1 < < v 2 ) = 1− α sX % ( αa + αb = α prob(t < v1) = αa

dengan (n – 1) degrees of freedom

prob(t > v2) = αb

luas = (1 – α)

luas = αa

tαtaα a ,n−1 10


luas = αb

t1−αb t1−α b ,n−1 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

18-Oct-16

" % X −µ prob$$v1 < < v2 '' =1−α sX # & " % X −µ prob$$tα ,n−1 < < t1−α ,n−1 '' =1−α a b sX # &

(

)

prob X +tα ,n−1 ⋅ sX <µ < X +t1−α ,n−1 ⋅ sX =1−α a b !

u

ℓ

Jadi, batas rentang keyakinan:

ℓ = X +tα

a

,n−1

⋅ sX

u = X +t1−α ,n−1 ⋅ sX b ! 11


sX = sX

n

tαa ,n−1 → tabel distribusi t Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

18-Oct-16

q 

q  q  q 

Jika dikehendaki probabilitas rentang keyakinan adalah simetris, maka v1 dan v2 dipilih sedemikian hingga prob(t < v1) = prob(t > v2). Karena simetris, maka αa = αb = α/2 Yang dicari adalah (1 – α) = 100(1 – α)% rentang keyakinan maka: prob(t < v1) = α/2 = prob(t > v2)

luas = (1 – α)/2

luas = (1 – α)/2

luas = α/2

luas = α/2

tα 2 = −t1−α 2 12


t1−α 2 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

18-Oct-16

Distribusi t luas = α/2

luas = α/2 luas = 1 – α/2

luas = 1 – α/2

t1−α 2

tα 2

luas = α/2

tα 2 = −t1−α 2 13


luas = α/2

luas = 1 – α

t1−α 2 Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

18-Oct-16

q 

Dengan demikian, confidence limits jika probabilitas confidence interval simetri adalah:

ℓ = X − t1−α 2,n−1 ⋅ sX u = X + t1−α 2,n−1 ⋅ sX

14



18-Oct-16

n 

Kadang dikehendaki probabilitas rentang keyakinan satu sisi q  q 

batas bawah batas atas

à à

prob(t < v1) = α prob(t > v2) = α

$X −µ ' prob (V > v1) = 1− α ⇒ prob & > v1) = 1− α s % X ( $X −µ ' prob (V < v 2 ) = 1− α ⇒ prob & < v 2 ) = 1− α s % X ( luas = α

luas = 1 – α

luas = 1 – α

tα 15


luas = α

t1−α Inferensi Statistis: Rentang Keyakinan

18-Oct-16

Distribusi t 16

q 

Notasi q 

q 

tα,n adalah nilai t sedemikian hingga probabilitas variabel random t yang memiliki n degrees of freedom adalah lebih kecil daripada α Misalnya: n  t0.95,50

adalah nilai t sedemikian hingga prob(t < t0.95,50) = 0.95 untuk t yang memiliki 50 degrees of freedom

q 

Tabel distribusi t q 

Tabel untuk membaca nilai t sebagai fungsi nilai probabilitas dan nilai degrees of freedom n 

Tabel ada di buku-buku statistika, ada di http://istiarto.staff.ugm.ac.id, dapat pula dibuat sendiri dengan memakai MSExcel



18-Oct-16

Distribusi t 17

q 

Dapat dihitung dengan perintah/fungsi MSExcel q 

q 

MSExcel 2007

TDIST(t,ν,tails) n  menghitung nilai prob(T > t) n  untuk menghitung nilai prob(T < t) à 1 – TDIST(t,ν,tails) n  t = nilai yang diinginkan untuk dicari distribusinya n  ν = degree of freedom n  tails = 1 (one-tailed distribution) atau 2 (two-tailed distribution) TINV(p,ν) n  mencari nilai t jika nilai p = prob(T > t) diketahui n  two-tailed distribution n  jika ingin mencari nilai t untuk one-tailed distribution, p diganti dengan 2p



18-Oct-16

MSExcel 2007

distribusi t, 50 degrees of freedom 0.95 t = 1.6 prob(T < 1.6) = 1 – TDIST(1.6,50,1) = 0.942

t prob(T < t ) = 0.95 t = TINV(2*(1-0.95),50) = 1.68

0.95 t = –1.6

t = 1.6

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – TDIST(1.6,50,2) = 0.884

–t

t prob(-t < T < t ) = 0.95 t = TINV(1-0.95,50) = 2

18



18-Oct-16

MSExcel 2010

distribusi t, 50 degrees of freedom 0.95 t = 1.6

t

prob(T < 1.6) = T.DIST(1.6,50,TRUE) = 0.942

prob(T < t ) = 0.95

prob(T < 1.6) = 1 – T.DIST.RT(1.6,50) = 0.942

t = T.INV(0.95,50) = 1.68

0.95 t = –1.6

t = 1.6

prob(–1.6 < T < 1.6) = 1 – T.DIST.2T(1.6,50) = 0.884

–t

t

prob(-t < T < t ) = 0.95 t = T.INV.2T(1-0.95,50) = 2

19



18-Oct-16

Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ2 diketahui 20

q 

Apabila varian populasi diketahui, maka variabel random V didefinisikan sbb. V=

X −µ , σX

σX = σX


n

à V berdistribusi normal


18-Oct-16

Rentang Keyakinan μsuatu distribusi normal, σ2 diketahui 21

q 

q 

Rentang keyakinan

ℓ = X + za ⋅ σ X = X + za ⋅ σ X

n

u = X + zb ⋅ σ X = X + zb ⋅ σ X

n

αa

αb

1− α zαa

z1−αb

Rentang keyakinan simetris

ℓ = X − z1−α 2 ⋅ σ X = X − z1−α 2 ⋅ σ X

n

u = X + z1−α 2 ⋅ σ X = X + z1−α 2 ⋅ σ X

n


α 2

α 2

1− α zα 2 = −z1−α 2

z1−α 2


18-Oct-16

Rentang Keyakinan σ2 suatu distribusi normal 22

q 

q 

Mencari interval [L,U] yang mengandung σ2 dengan probabilitas prob(L < σ2 < U) = 1 – α Didefinisikan variabel random V: n −1) s ( V= σX

2

2 X

à


V berdistribusi chi-kuadrat dengan (n – 1) degrees of freedom


18-Oct-16

prob (v1 < V < v 2 ) = 1− α $ ' n −1) sX 2 ( prob &&v1 < < v 2 )) = 1− α 2 σX % ( Pilih:

v1 = χ2α 2,n−1 2 v 2 = χ1−α 2,n−1

23

sehingga:

% ( n −1) sX 2 ( 2 2 prob '' χα 2,n−1 < < χ1−α 2,n−1** = 1− α 2 σX & )

atau:

% ( n −1) s 2 n −1) sX 2 ( ( X 2 * = 1− α prob '' 2 < σX < 2 χα 2,n−1 *) & χ1−α 2,n−1



18-Oct-16

q 

Jadi batas bawah dan batas atas rentang yang mengandung σX2 dengan tingkat keyakinan (1 – α) adalah:

§  batas bawah:

(n −1) s ℓ=

§  batas atas:

n −1) s ( u=

§  catatan:

2 X

2 χ1−α 2,n−1 2 X

2( % ( n −1) s 2 n −1 s ( ) X prob '' 2 < σ 2 < 2 X ** = 1− α χα 2,n−1 ) & χ1−α 2,n−1

χ2α 2,n−1

X berdistribusi normal χ2 berdistribusi chi-kuadrat

24



18-Oct-16

q 

Distribusi chi-kuadrat tidak simetris: sX 2 − ℓ ≠ u − sX 2 n » → (n – 1) » → distribusi mendekati distribusi simetris, sX2 berada kira-kira di tengah-tengah rentang [L,U].

α 2

α 2

1− α χ2α 2 25


2 χ1−α 2


18-Oct-16

Rentang Keyakinan Satu Sisi 26

q 

One-sided confidence intervals

q 

Hanya diinginkan satu sisi rentang keyakinan q 

Batas bawah saja untuk rentang keyakinan µ

prob (L < θ) = 1− α ⇒ ℓ = X − t1−α,n−1 q 

Batas atas saja untuk rentang keyakinan µ

prob (θ < U ) = 1− α ⇒ u = X + t1−α,n−1 http://istiarto.staff.ugm.ac.id


18-Oct-16

27



18-Oct-16

INFERENSI STATISTIS: RENTANG KEYAKINAN

Recommend Documents