I.1. OLIMPIA. A feladatsor jellemzői

Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet Matematika fejlesztő feladatok szakközépiskolások számára

I.1. OLIMPIA A feladatsor jellemzői Tárgy, téma Halmazok, adatok kezelése, logikai kijelentések vizsgálata. Előzmények Halmaz fogalma, Venn-diagram, állítások igazságtartalma. Cél A tanulók legyenek képesek a Venn-diagramon ábrázoltak értelmezésére, és legyenek képesek maguk is megadott halmazokat és ezek viszonyát Venn-diagramon ábrázolni. Adatok gyűjtésénél sok adat közül történő kiválasztás esetén legyenek képesek a számukra szükséges adatokat elkülöníteni és értelmezni. Tudják eldönteni egyszerű logikai kijelentések igazságát. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Tájékozódás az időben Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Tapasztalatszerzés Képzelet Emlékezés Gondolkodás Ismeretek rendszerezése Ismerethordozók használata

+ +

+ +

Ismeretek alkalmazása Problémakezelés és -megoldás Alkotás és kreativitás Kommunikáció Együttműködés Motiváltság Önismeret, önértékelés A matematika épülésének elvei

+ + + +

Felhasználási útmutató A feladatok megoldása történhet páros feldolgozásban is. A feladatok nem épülnek egymásra, de nehézségi szint szerint célszerű a feladatok számozásának sorrendjét figyelembe venni. A megoldásnál segítségre lehet, ha az évszámokat felírják kis kartonlapokra, és ezeket helyezik el egy nagyobb méretű halmazábrába, majd utána rögzítik írásban a kapott eredményeket. Ez lehetőséget ad az elkövetett hibák azonnali javítására is. Az olimpiai eredményekről szóló összesített táblázat használatát nagyon hasznosnak tartanánk, mert előkészíti és megkönnyíti a hétköznapi életben olyan összesítő, sok adatot tartalmazó táblázatok használatát, mint amilyen például a vasúti menetrend. Egyes feladatoknál azonban kiemeltük a táblázatokból a feladat kérdésére vonatkozó konkrét adatokat, így ez a feladatok kétféle használatára, megoldására ad lehetőséget. A kiemelt táblázatrészeket és a bennük szereplő információkat használhatják azok a tanulók, akiknek a feladatok megoldása már egyéb körülmények között is nehézséget jelent. A Magyarország olimpiai érmeiről készült összesítő táblázat a feladatsor végén található. A táblázat soraiban megjelennek az egyes sportágak, az oszlopokban pedig az, hogy melyik olimpián hány arany-, hány ezüst- és hány bronzérmet nyertünk abban a sportágban. A tábI. Halmazok, logikai műveletek

I.1. Olimpia

1.oldal/13


lázat első és második fele nem ugyanazokat a sportágakat tartalmazza. A tördelés és a jobb helykihasználás érdekében az egyes részekből azokat a sorokat, melyek nem tartalmaztak abban a részben adatot, kihagytuk. Az olimpiákon szereplő sportágak is folyamatosan változtak, sportágak kerültek le az olimpia műsoráról, illetve sportágakat vettek fel oda, így egyes sorok valahonnan kezdve vagy valameddig üresen maradnak. A 3. feladatnál közölt táblázatból egy érdekesség derül ki. 2000-ben Sydneyben és 2004ben Athénban egyforma számú arany-, ezüst- és bronzérmet szerzett a magyar küldöttség. A közölt adatsor nem sajtóhiba, ez valóban így történt. A feladatsor végén található táblázatból ellenőrizhető, hogy bár az arany-, ezüst- és bronzérmek száma a két évben tényleg megegyezik, sportágak szerint már nem ugyanolyan összetételben érte el a magyar olimpiai csapat ezt az eredményt.

I. Halmazok, logikai műveletek

I.1. Olimpia

2.oldal/13


OLIMPIA Feladat sor

A feladatsor mellékletében található táblázat tartalmazza Magyarország eddigi nyári olimpiákon elért eredményeit. A táblázatban azt láthatjuk, hogy melyik olimpián hány arany-, ezüst- és bronzérmet nyertünk sportáganként. Az időrendből kimaradt az a három olimpia, melyet nem tartottak meg (1916, 1940, 1944) és az a kettő, melyen nem vettünk részt (1920 Antwerpen, 1984 Los Angeles). 1. a) Helyezzük el az alábbi halmazábrába az 1945 utáni olimpiák megrendezésének évszámát, aszerint, hogy melyik feltüntetett sportágban szereztünk olimpiai aranyérmet!

b) Dóri egy Venn-diagramot készített, melyen azt jelölte, hogy két kiválasztott sportágat tekintve melyik, 1945 utáni olimpiákon szereztünk ezek közül legalább az egyikből valamilyen érmet. Sajnos az egyik sportág megnevezését elfelejtette ráírni az ábrára. Az éremtáblázat alapján állapítsd meg, hogy melyik sportág megnevezése maradt le!

c) Válaszolj a kérdésekre Dóri halmazábrája alapján! – Hány olyan olimpia volt 1945 után, amikor mindkét sportágból szereztünk érmet? – Hány olyan olimpia volt 1945 után, amikor legfeljebb az egyik sportágból szereztünk érmet? (Vegyük figyelembe az összes 1945 utáni olimpiát!) – Hány olyan olimpia volt 1945 után, amikor legalább az egyik sportágból szereztünk valamilyen érmet?


I.1. Olimpia

3.oldal/13


2. a) Az alábbi halmazábrában a vívásban elért eredményeinket tüntettük fel, a halmazokban az olimpiák megrendezésének évszáma szerepel!

Válaszolj a következő, a vívásra vonatkozó kérdésekre az ábra alapján! – Melyik években nem nyertünk legalább kétféle érmet? – Melyik években nyertünk csak aranyérmet? – Melyik években nyertünk legfeljebb egyféle érmet? – Hány olyan év volt, amikor nyertünk bronzérmet? b) Írd be az alábbi táblázatokat felhasználva a halmazábrába (a birkózást tekintve) az alábbi olimpiák megrendezésének évszámát! Azokat az éveket hagyd ki, amikor nem nyertünk birkózásban érmet!

Sportág Birkózás

1908 1912 1924 1928 1932 1936 1948 A E B A E B A E B A E B A E B A E B A E B 1 1 1 1 1 1 2 1 3 1 1 1 2

Sportág Birkózás

1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 A E B A E B A E B A E B A E B A E B A E B 2 1 1 1 1 1 2 2 2 1 4 1 1

Sportág Birkózás

1980 1988 1992 2000 2004 2008 A E B A E B A E B A E B A E B A E B A E B 2 3 2 1 1 2 1 1 1


I.1. Olimpia

4.oldal/13


c) Írd be az alábbi táblázatot felhasználva a halmazábrába (1948-at tekintve) a sportágak megnevezését! 1948 Sportág Atlétika Boksz Birkózás Evezés Lövészet Torna Úszás Vívás Vízilabda

A E B 2 1 2 1 1 2 1 1 1 2 3 1 3 3 2 1


I.1. Olimpia

5.oldal/13


Az alábbi táblázat az összesített eredményeinket mutatja azokban az években, amikor részt vettünk az olimpián! Év 1896 1900 1904 1908 1912 1924 1928 1932 1936 1948 1952 1956 1960 1964 1968 1972 1976 1980 1988 1992 1996 2000 2004 2008

Helyszín Athén Párizs St. Louis London Stockholm Párizs Amszterdam Los Angeles Berlin London Helsinki Melbourne Róma Tokió Mexikóváros München Montréal Moszkva Szöul Barcelona Atlanta Sidney Athén Peking

Arany 2 1 2 3 3 2 4 6 10 10 16 9 6 10 12 6 4 7 11 11 7 8 8 3

Ezüst 1 2 1 4 2 3 5 4 1 7 10 10 7 7 10 13 5 10 6 12 4 6 6 6

Bronz 3 2 1 2 3 4 0 5 5 10 16 7 5 5 12 16 13 15 7 7 10 3 3 2

Összesen 6 5 4 9 8 9 9 15 16 27 42 26 18 22 34 35 22 32 24 30 21 17 17 11

3. a) Melyik olimpián nyertük a legtöbb érmet? b) Melyik olimpián nyertük a legtöbb ezüstérmet? c) Melyik három olimpián voltunk a legeredményesebbek? Hogyan döntenéd el? Érvelj az általad választott szempont mellett! d) Döntsd el, hogy az alábbi halmazábrába helyesen kerültek-e be az olimpiák helyszínei! Ha hibát találsz, javítsd ki! Ha valamelyik olimpiai helyszínnek itt kéne szerepelnie, de nem szerepel itt, akkor írd be a megfelelő helyre!


I.1. Olimpia

6.oldal/13


4. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak-e vagy hamisak! a) Minden olyan olimpián, amin indultunk, nyertünk aranyérmet. b) A 2008-as eredménynél rosszabbat csak a második világháború előtt értünk el. c) Helsinkiben több aranyérmet nyertünk, mint amennyit 1925-ig összesen. d) Nem volt olyan olimpia, ahol ne nyertünk volna mindhárom fajta érmet. e) Amszterdamban 4 aranyat nyertünk és Rómában 7-et. f) Amszterdamban 4 aranyat nyertünk vagy Rómában 7-et. g) Ha legalább négy aranyat nyertünk egy olimpián, akkor ugyanott legalább öt ezüstöt is nyertünk. h) Ha legfeljebb 4 aranyat nyertünk egy olimpián, akkor ugyanott legalább annyi ezüstérmünk volt, mint bronzérmünk. i) Nem igaz, hogy minden Ázsiában rendezett olimpián legalább 15 érmet nyertünk. j) Az amerikai kontinensen 4 olimpián vett részt a magyar csapat. 5. a) Pisti a táblázatot nézegetve a következőket mondja: – Kajak-kenu sportágban 1952 óta minden évben nyertünk érmet. 10 olyan olimpia volt, ahol nyertünk aranyérmet, és 14 olyan, amikor nyertünk ezüstérmet. Kati, a húga erre közbevág: – Az nem is lehet, 1952 óta nem volt 24 olimpia! Segítsünk nekik feloldani ezt az ellentmondást! b) Pisti az összesített táblázat alapján megállapította, hogy hét olyan olimpia volt, amikor legalább 10 aranyérmet, hat olyan olimpia, amikor legalább 10 ezüstérmet és hét olyan olimpia, amikor legalább 10 bronzérmet nyertünk. Tehát volt legalább húsz olyan olimpia, amikor legalább 10 érmet nyertünk. Igaza van-e Pistinek? Véleményedet fejtsd ki részletesen! c) Öttusában és úszásban is hagyományosan jól szerepeltünk a korábbi olimpiákon. Hét olyan olimpia volt, amikor öttusában aranyérmet nyertünk, kilenc olyan olimpia, amikor úszásban nyertünk aranyat, és két olyan év, amikor mindkét sportágban ünnepelhettünk aranyérmest. Hány olyan olimpia volt, amikor legalább az egyik sportágból volt aranyérmesünk? Hány olyan, amikor csak az egyikből? Válaszodat számítással add meg, majd a táblázat alapján ellenőrizd! d) Tornából 14 olimpián nyertünk érmet. Ezek közül 10 olyan volt, amikor legfeljebb két érmet és 8 olyan, amikor legalább két érmet nyertünk. Hány olyan olimpia volt, amikor pontosan két érmet nyertünk tornából? Válaszodat számítással add meg, majd a táblázat alapján ellenőrizd!


I.1. Olimpia

7.oldal/13

1896 Sportág Atlétika Boksz Birkózás Díjugratás Evezés Kajak-kenu Labdarúgás Lövészet Öttusa Tenisz Torna Úszás Vívás Vízilabda

A

1900

E

B A

1

2

1

Atlétika Boksz Birkózás Cselgáncs Evezés Kajak-kenu Kézilabda Labdarúgás Lövészet Öttusa Súlyemelés Torna Úszás Vitorlázás Vívás Vízilabda

B A

E

1908 B A

1

1912

E

B A

1

1

E

1

1924 B A

E

1

1

1

1

1928 B A

E

1932 B A

1936

E

B A

2

1 1 3

1 1

1 1

1 1

1

E

1948 B A

1 1

2 2 1

E

1952 B A 1

1

1

2

1 1 2

E

1956 B A

E

4

2

B

1 1

1

2

1

1 1

1 1

1 2 2

5 1 2

1

1

1

3

3

4

2 1 1

1 1 1

1

1

1

1

1

1 1 1

1

1 1 2

2

1

2

1

1 2

1960 Sportág

E

1904

A

E

1964 B A

1968 B A

E

B A

3

1

1

4

1 1

1

3

2

2 1

2

1

2

1 1 1 1

1

4

2 1 3

2 1

1

2 1

4 1

2

1

1

1976

E

B A

2

1 4

1

2

E

1

1 2

2

1980 B A

1 1 1 1988

E

B A

3

2 2 2

1

1

2

E

1 2

2 1

1

2

3

1 1

2

5 1

1

1

E

1 1

1

1 3 1

1992 B A

1

1 1 1

1 3

1996 B A 3

2 1

2

1

1

3

2

E

2 1 2 1

3 3

2000 B A

E

1 1

2 1

2004 B A

E

2008 B A

1

E

B

1

1 1

2

2 4 2 1

1

3 1

4

2 1

1

1

3

1

1 1

1

1

2

2

1

1

1 1 1 1

1 1

1 1

1 1 1

2

1

2

1 1 1

1 1 1 1 1

2

1972

E

2

2 1

2

2

3 1

2

4 1

3 1 2 2

1 1 1

1 1

1 1 1

2

2 2

1 1 1

2 2

2 1 1 1 1 3 1

1

1 1

2 1 4 1

2 3

1 5

1 3

1

2

1

3

1 1

2

1

2

1 1

1

1 1 1 1

1 1 1

1

3

2

1 1


MEGOLDÁSOK

1. a) A helyesen kitöltött ábra:

b) A lövészet a másik sportág. c) – 7. – 6 + azok, amelyek nem szerepelnek az ábrában (1960, 1984 és 2008), vagy az összesből kivonva a két halmaz metszetében szereplőket: 15–7 = 9. – 13. 2. a) – 1964, 2000, 2008-ban nem nyertünk legalább kétféle érmet. – Csak aranyérmet 1964-ben és 2000-ben nyertünk. – Legfeljebb egyféle érmet nyertünk, amikor egyet vagy egyet sem nyertünk. Ezek az évek 1964, 2000, 2008, illetve 1896, 1904 és 1900 (de ekkor még nem volt az olimpián vívás, amint az a táblázatból látszik). – 13 olyan év volt, amikor nyertünk bronzérmet. b) A helyesen kitöltött ábra:


I.1. Olimpia

10.oldal/13


c) A helyesen kitöltött ábra:

3. a) Helsinki, 1952. Összesen 42 darabot. b) München, 1972. 13 ezüstérmet szereztünk. c) Három szempontot lehet érvényesíteni: az összes érmek száma, vagy az aranyérmek száma, vagy pontozzuk az érmeket (pl. arany 3 pont, ezüst 2 pont, bronz 1 pont), és az összpontszámot tekintjük. Az aranyérmek száma szerint szokás a rangsorokat felállítani, de például vitathatatlan, hogy tíz ezüstérem és 12 bronzérem sikeresebb szereplést jelent, mint egyetlen aranyérem. Minden szempont szerint Helsinki volt a legeredményesebb olimpiánk, a másik kettő viszont már változhat. Ha az aranyak számát tekintjük, akkor Mexikóváros a második a 12 aranyérmével, harmadik Barcelona, mert bár holtverseny lenne, de több ezüstérmet nyertünk ott, mint Szöulban. Az összes érmek száma szerint München a második, és Mexikóváros a harmadik. A pontok szerint is Mexikóváros a második 68 ponttal, Barcelona a harmadik 64 ponttal, München lemaradt a kevés aranyérem miatt. További hálás vitatéma, hogy ha a szokásos (egyedül Magyarországon alkalmazott) olimpiai pontszámítást tekintjük (az első hat helyezettet pontozzuk 6, 5, 4, 3, 2, 1 ponttal), és így számoljuk az érmeket, akkor biztos, hogy ugyanazt az eredményt kapjuk-e, mint a 3, 2, 1 ponttal. A válasz az, hogy nem feltétlenül, hiszen egy aranyérem a 3, 2, 1es rendszerben 3-szor annyit ér, mint egy bronzérem, míg a 6 pontos rendszerben már csak másfélszer annyit.


I.1. Olimpia

11.oldal/13


Az alábbi táblázat mutatja az egyes olimpiák helyezését a különböző számítások szerint: Év

Helyszín

A E B Össz Pont 321 1896 Athén 2 1 3 6 11 1900 Párizs 1 2 2 5 9 1904 St. Louis 2 1 1 4 9 1908 London 3 4 2 9 19 1912 Stockholm 3 2 3 8 16 1924 Párizs 2 3 4 9 16 1928 Amszterdam 4 5 0 9 22 1932 Los Angeles 6 4 5 15 31 1936 Berlin 10 1 5 16 37 1948 London 10 7 10 27 54 1952 Helsinki 16 10 16 42 84 1956 Melbourne 9 10 7 26 54 1960 Róma 6 7 5 18 37 1964 Tokió 10 7 5 22 49 1968 Mexikóváros 12 10 12 34 68 1972 München 6 13 16 35 60 1976 Montréal 4 5 13 22 35 1980 Moszkva 7 10 15 32 56 1988 Szöul 11 6 7 24 52 1992 Barcelona 11 12 7 30 64 1996 Atlanta 7 4 10 21 39 2000 Sidney 8 6 3 17 39 2004 Athén 8 6 3 17 39 2008 Peking 3 6 2 11 23

Pont 654 29 24 21 46 40 43 49 76 85 135 210 132 91 115 170 165 101 152 124 154 102 90 90 56

Hely A szerint 21 24 21 18 18 21 16 13 5 5 1 8 13 5 2 13 16 11 3 3 11 9 9 18

Hely össz Hely pont Hely pont szerint 321 szerint 654 szerint 22 22 22 23 23 23 24 23 24 18 19 19 21 20 21 18 20 20 18 18 18 16 16 16 15 13 15 6 6 6 1 1 1 7 6 7 12 13 12 9 9 9 3 2 2 2 4 3 9 15 11 4 5 5 8 8 8 5 3 4 11 10 10 13 10 13 13 10 13 17 17 17

d) Az ábra helyesen:


I.1. Olimpia

12.oldal/13


A hibák: – Sidneyben az aranyérem volt sok, nem az ezüst; – Barcelonában aranyérmünk is sok volt; – kimaradt az ábrából Atlanta és Moszkva. 4. a) Minden olimpián, amin indultunk, nyertünk aranyérmet. – Igaz. b) A 2008-as eredménynél rosszabbat csak a második világháború előtt értünk el. – Igaz, minden szempontból. c) Helsinkiben több aranyérmet nyertünk, mint amennyit 1925-ig összesen. – Igaz. d) Nem volt olyan olimpia, ahol ne nyertünk volna mindhárom fajta érmet. – Nem igaz, 1928-ban, Amszterdamban nem nyertünk bronzérmet. e) Amszterdamban 4 aranyat nyertünk és Rómában 7-et. – Nem igaz, mert Rómában csak hatot. f) Amszterdamban 4 aranyat nyertünk vagy Rómában 7-et. – Igaz, mert Amszterdamban négyet nyertünk. g) Ha legalább négy aranyat nyertünk egy olimpián, akkor ugyanott legalább öt ezüstöt is nyertünk. – Nem igaz, például Atlantában 7 aranyat nyertünk, de csak 4 ezüstöt. h) Ha legfeljebb 4 aranyat nyertünk egy olimpián, akkor legalább annyi ezüstérmünk volt, mint bronzérmünk. – Nem igaz, például az első olimpián sem így volt. (És még 1912, 1924.) i) Nem igaz, hogy minden Ázsiában rendezett olimpián legalább 15 érmet nyertünk. – Igaz, hiszen Pekingben csak 11 érmet szereztünk. j) Az amerikai kontinensen 4 olimpián vett részt a magyar csapat. – Hamis. (1996, 1976, 1968, 1932, 1904.) 5. a) Kati azért nem számol jól, mert elfelejti, hogy voltak olyan olimpiák, amikor arany- és ezüstérmet is nyertünk. Ezeket ő kétszer számolta, pedig csak egyszer kellett volna. b) Ha megnézzük a táblázatot, könnyen kiderül, hogy nincs igaza Pistinek, mert összesen 17 olyan olimpia volt, amikor legalább 10 érmet nyertünk. A számolásnál ugyanaz a probléma, mint az a) kérdés esetén: voltak olyan olimpiák, amikor két feltétel is teljesült, tehát ezeket is többször számoltuk (sőt, olyan is volt, amikor mindhárom feltétel teljesült egyszerre, például Helsinki vagy Mexikóváros). c) A két olimpiát, amikor mindkét sportágból nyertünk aranyat, vonjuk le az egy-egy sportágra vonatkozó aranyas olimpiák számából. Ez azt jelenti, hogy öt olyan olimpia volt, amikor csak öttusában és hét olyan olimpia, amikor csak úszásban nyertünk aranyat. Tehát 12 olyan olimpia volt, amikor csak az egyik sportágban nyertünk aranyat, és 14 olyan, amikor legalább az egyikben. d) Ha a 14-ből kivonjuk a 10-et, akkor azt kapjuk, hogy 4 olimpián nyertünk kettőnél több érmet. Ugyanígy kapjuk, hogy 6 olyan volt, amikor csak egy érmet nyertünk. Ezek szerint 4 olyan olimpia volt, amikor pontosan két érmet nyertünk.


I.1. Olimpia

13.oldal/13

I.1. OLIMPIA. A feladatsor jellemzői

Recommend Documents