Emelt szintű matematika érettségi feladatsor
Paróczay József, 2005. november
Emelt szintű érettségi feladatsor és megoldása Összeállította: Paróczay József 2005. november I. rész 1. feladat Oldjuk meg a következő egyenletrendszert, illetve egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! a) 3 x 2 y
576 ,
b) cos2x
sin x
log 2 ( y x)
4 12 pont
2. feladat A H1 ; H 2; H 3 ... H n halmazokból álló sorozat tagjait úgy képezzük, hogy a soron következő halmazba a soron következő n db pozitív páros szám kerül. H 2 H 4; 6 H 8; 10; 12 … a) Melyik a H 40 halmaz legkisebb és legnagyobb eleme? b) Mennyi a H 40 halmaz elemeinek összege? 12 pont 3. feladat Oldja meg grafikusan az f ( x)
f ( x) g ( x)
x2
4 x és
3, ha 1 6
g ( x) egyenletet a valós számok halmazán, ha
x
3
3x 6 , ha x 1 vagy x
3
13 pont 4. feladat A 15 évnél idősebb rendszeresen dohányzók százalékos aránya egyes országokban 2000ben: n fér ország ők fiak Horvátorsz 2 34, ág 6,6 1 1 29, Csehország 7,3 7 Nagy 2 Britannia 5 29 Magyarors 3 53, zág 0,4 1 1 32, Románia 0,1 3 2 Dánia 9 32 7 29, Portugália ,9 3 Franciaorsz 2 ág 1 33
1
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor
Paróczay József, 2005. november
Németorsz ág
2 2,3
34, 7
a) Ábrázoljuk az adatokat oszlopdiagramon! b) Határozzuk meg mindkét nem esetén az átlagot és a szórást! c) Magyarországon évi 3%-os csökkenést feltételezve, hány év alatt lehetne leszorítani a dohányzók arányát a jelenlegi portugál szintre? 14 pont II. rész Az alábbi öt feladat közül tetszés szerint választott négyet kell csak megoldani. 5. feladat Adja meg a p 2 1 x 2 függvényében!
1 px
p 1 0 egyenlet megoldásainak számát a p paraméter 16 pont
6. feladat Egy csúcsával lefelé fordított egyenlő oldalú kúpba egy r sugarú gömböt teszünk. Addig töltjük meg a kúpot vízzel, hogy a gömböt éppen ellepje. Mekkora lesz a víz magassága, ha a gömböt kivesszük? 16 pont 7. feladat a) A „70-ből 7-et” elnevezésű lottójátékban hány db szelvényt kell kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen egy telitalálatos (7 találatos) szelvényünk. b) Ha minden lehetséges módon kitöltjük a szelvényeket, akkor hány db 6 találatosunk lesz? c) Mekkora annak a valószínűsége, hogy egy db szelvénnyel 5 találatosunk lesz? 16 pont 8. feladat Két urnában összesen 257 golyó van, pirosak, sárgák, zöldek és feketék. Tudjuk, hogy nincs közöttük 5 azonos színű és különböző méretű golyó. Mutassa meg, hogy valamelyik urnában van legalább 9 azonos színű és méretű golyó! 16 pont 9. feladat Az egymástól 600 m távolságra levő A és B pontok között csővezetéket kell fektetni, amely közben valahol elágazik C pont felé. A C pont az AB szakasz egyenesétől 300 m-re, A ponttól 500 m-re van. A csővezeték az elágazásig olyan csőből készül, amelynek ára folyóméterenként 90 Ft. Az elágazástól B-ig 60 Ft/m-es, C-ig 50 Ft/m-es csövet fektetnek. Hol létesítsük az elágazást, hogy a fektetendő vezeték ára a legkisebb legyen? 16 pont
2
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor
Paróczay József, 2005. november
Paróczay József 2005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója 1. feladat a) Kikötés: y
x 1 pont
A második egyenletből:
2
4
y
x
y
x 4 2 pont
Az első egyenletbe behelyettesítve: 3x 2 x 4
16 3
x
2
576 x
576
2 pont
x
2 , visszahelyettesítve y
6 1 pont
Ellenőrzéssel meggyőződhetünk a megoldás helyességéről. b) cos 2 x sin 2 x sin x
0
2
2 sin x sin x 1 0
2 pont Egyenlőtlenség megoldása: 1 1 sin x 2 2 pont Ebből: 5 2k 6
x
13 6
2k
k
Z
2 pont Összesen: 12 pont 2. feladat a) H 39 -ig 1 2 ... 39
39 40 2
780 db szám szerepel a halmazokban.
3 pont H 40 legkisebb eleme a 781. páros szám, ez az 1562.
3 pont Így H 40 1562 ;1564 ;... 1640 . A H 40 legnagyobb eleme 1640. 2 pont A H 40 halmazban lévő elemek összege: 1562 1640 S 40 64040 2 4 pont Összesen: 12 pont
3
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor
Paróczay József, 2005. november 3. feladat Megoldás: Az f (x) függvény helyes ábrázolásáért 4 pont Az g (x) függvény helyes ábrázolásáért 5 pont Ha 1 x 3 , akkor x 1 illetve x 3
4
2
2 pont Ha x 1 vagy x
3 akkor x
0
2 pont Összesen: 13 pont -1
1
2
3
4
5
4. feladat a) Lásd alább! 4 pont b) mutatók nők férfiak átlag 21,061 34,132 szórás 7,948 7,404
-2
4 pont c) Nők esetén: 30,4 0,97
n
7,9 2 pont
n
lg 7,9 lg 30 ,4 lg 0,97
44 ,2
1 pont A nők esetében 45 év alatt, hasonló módon meghatározva a férfiakét azt kapjuk, hogy 20 év alatt csökkenthető a dohányzás mértéke a portugál szintre. 3 pont Összesen: 14 pont A 15 év fölötti rendszeres dohányosok 55 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0
%
Horvátország Csehország Nagybritannia Magyarország Románia Dánia Portugália Franciaország Németország
nők
férfiak
4
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor
Paróczay József, 2005. november
II. rész 5. feladat Ha p 1 , akkor azonosságot kapunk: 0
0 , tehát minden valós x megoldás. 3 pont
1 , akkor egy megoldás van, x 1.
Ha p
3 pont Ha p
1 , akkor D
4p 3. 2 pont
2 megoldás van ha D
0 , azaz p
3 4
p
1
3 pont
3 akkor egy (kétszeres) gyök van. 4
Ha p
2 pont 3 (p 4
Ha p
1) akkor nincs megoldás. 3 pont Összesen: 16 pont
K
R
C
r D
AKC háromszög KC DB m r 2r AC DA
B
m r
r
6. feladat Az 1. ábra jelölése alapján az egyenlő oldalú kúpra: a m 3R . hasonló m
ABD
3r , azaz
3R
2R , ekkor
háromszög 3r
R
3 pont miatt
3r.
4 pont A beleöntött víz térfogata V
Vk
Vg
A
6. feladat, 1. ábra
azaz V
1 2 R m 3
4 3 r , 3
5 3 r . 3
3 pont A második ábra alapján a hasonlóság miatt: R : m K
R
1 2 R1 m1 3
5 3 r 3
m1
A
6. feladat, 2. ábra
3 m1 . 3
r 3 15
2 pont Összesen: 16 pont
R1
m1
R1
4 pont C
V
m
R1 : m1
7. feladat 70 70 69 68 67 66 65 64 a) 1,199 109 db szelvényt kell 7 7! kitölteni ahhoz, hogy biztosan legyen 7 találatosunk. 3 pont
5
Emelt szintű matematika érettségi feladatsor
b) A 7 számból 6-ot vehetünk. Így összesen:
7 6
Paróczay József, 2005. november
7 -féleképpen választhatunk ki, és hozzá még 63 féle számot 6 63 441 5 pont
c) 5 találatos szelvényt keresett valószínűség:
7
63
5
2
21 1953 41013 féleképpen tölthetünk ki, így a
1 . 41013 8 pont Összesen: 16 pont
8. feladat A 257 golyó között a feltétel miatt a skatulyaelv alapján van legalább 65 azonos színű. 4 pont Nézzük ezt a legalább 65 azonos színű golyóhalmazt. Mivel nincs közöttük 5 azonos színű és különböző méretű, ezért méreteik alapján legfeljebb négy csoportra oszthatók. 4 pont Ekkor van olyan csoport, amelyben legalább 17 azonos színű és méretű golyó van. 4 pont Ezt a 17 golyót a két urnába csak úgy helyezhetjük el, hogy az egyikbe legalább 9 golyó kerül. 4 pont Összesen: 16 pont A x Q
D
B
9. feladat Jelöljük az elágazási pontot Q-val. Ennek A-tól való távolságát x-szel. (lásd ábra) Pitagorasz tétellel meghatározható az AD= 400 m. 2 pont 400 x 2
Ekkor QC
C
3002
1 pont Írjuk fel a vezeték árát mint x függvényét: f ( x)
90x 60(400 x) 50
(400 x) 2
3002
3 pont A függvény minimumát keressük: f ' ( x)
90 60
50 (400 x) (400 x) 2
3002
2 pont Először a derivált zérushelyeit akarjuk meglelni. 1 pont 2
Rendezve: 9 300
2
16 (400 x) . Ennek gyökei: x1
175 és x2
625
4 pont Ellenőrizhetjük, hogy a x 175 helyen minimuma van. 2 pont Tehát az elágazást az A ponttól 175 m-re kell létesíteni. 1 pont Összesen: 16 pont
6
