Logaritmikus egyenletek Szakközépiskola, 11. osztály
1. feladat.
Oldjuk meg a következ® logaritmikus egyenletet! (1)
lg(10x − 2) − 2 · lg(x + 1) = lg2 Kikötések:
lg(10x − 2) − lg(x + 1)2 10x − 2 lg (x + 1)2 10x − 2 (x + 1)2 10x − 2 2 x + 2x + 1 10x − 2 0 0 x1 = 1 2. feladat.
x>
1 és 5
x > −1.
= lg2
(2)
= lg2
(3)
= lg2
(4)
= lg2
(5)
= 2x2 + 4x + 2 = 2x2 − 6x + 4 = x2 − 3x + 2 x2 = 2
(6) (7) (8) (9)
Oldjuk meg a következ® logaritmikus egyenletet! √ log3 x − 2 − log3 (x − 5) + log3 2 = 0 Kikötések:
√ x−2 log3 x√− 5 2· x−2 x√− 5 2· x−2 4 · (x − 2) 4x − 8 0 x1 = 3 2·
x>2
(gyök miatt!),
(1) x > 5.
= log3 1
(2)
= 1
(3)
= = = =
x−5 x2 − 10x + 25 x2 − 10x + 25 x2 − 14x + 33 x2 = 11
A kikötés miatt csak az x = 11 a jó megoldás. 1
(4) (5) (6) (7) (8)
3.
feladat.
letrendszert!
Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ® egyen5 · lgx + 3 · lgy = 2 2 · lgx − lgy = 3
(1)
5a + 3b = 2 2a − b = 3
(2)
Legyen a = lgx és b = lgy .
A második egyenletb®l b-t kifejezve: b = 2a − 3, ezt behelyettesítve az els® egyenletbe: 5a + 3 · (2a − 3) = 2 11a = 11 a=1 b = −1 lgx = 1 lgy = −1 1 x = 10 y= 10 1 Ellen®rzéssel kapjuk, hogy a 10; 10 számpár valóban jó megoldás. 4.
feladat.
letrendszert!
(3) (4) (5) (6) (7)
Oldjuk meg a valós számpárok halmazán a következ® egyenlg(x + 1) + lg(y − 3) = 1 lg(y − 1) − lgx = 0 Kikötések:
(1) x > −1, y > 3.
lg[(x + 1)(y − 3)] = lg10 (2) y−1 = lg1 lg x (x + 1)(y − 3) = 10 (3) y−1 = 1 x A második egyenletb®l x = y − 1 következik, így az els® egyenlet behe-
lyettesítés után a következ®képpen alakul:
y(y − 3) = 10 y 2 − 3y − 10 = 0 y1 = 5 y2 = −2
2
(4) (5) (6)
A kikötések miatt y = −2 nem lehet megoldás. A (4; 5) számpár megoldás. 5. feladat.
Számítsa ki az ismeretlen értékét! lgb = lgb = lgb = lgb = b =
6. feladat.
1 3 · lg4 − · lg9 2 2 3 1 2 lg4 − lg9 2 √ √ lg 4 − lg( 9)3 lg2 − lg27 2 27
(1) (2) (3) (4) (5)
Számítsa ki az ismeretlen értékét! lgw = lgq − lgr − lgs − lgt + lgu q lgw = lg − lgs − lgt + lgu r q lgw = lg − lgt + lgu rs q + lgu lgw = lg rst qu lgw = lg rst qu w = rst
Természetesen a kikötéseket meg kell tennünk: w > 0, q > 0, r > 0, s > 0, t > 0, u > 0.
3
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
7.
feladat.
halmazán!
Oldja meg a következ® egyenl®tlenséget a valós számok 3 > log 1 (2x + 1)
(1)
1 > log 1 (2x + 1) 2 8
(2)
1 < 2x + 1 8
(3)
7 < 2x 8
(4)
2
log 1
2
− −
7 < x 16
(5)
A kikötés (x > − 21 ) nem jelent megszorítást a megoldásra nézve. 8.
feladat.
mazán!
Oldja meg a következ® egyenl®tlenséget a valós számok hallog42 (4x2 + 4x − 2) log42 (4x2 + 4x − 2) 4x2 + 4x − 2 4x2 + 4x − 3
> > > >
0 log42 1 1 0
(1) (2) (3) (4) (5)
A másodfokú egyenl®tlenséget egyenletként megoldva kapjuk az x1 = 12 és x2 = − 43 megoldásokat. Mivel a másodfokú kifejezés normál állású parabolát határoz meg, így a megoldáshalmaz: M = {x|x ∈ [−∞; − 43 ] ∪ [ 21 ; ∞]} 9. feladat.
Oldja meg az egyenletet a valós számok halmazán. 5x+1 log5 5x+1 x+1 x+1 x+1 4 x
= = = = = = =
125x−1 log5 125x−1 (x − 1) · log5 125 (x − 1) · 3 3x − 3 2x 2
4
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
10. feladat.
Oldja meg az egyenl®tlenséget a valós számok halmazán! (1) (2)
logx (x2 + x − 4) < 1 logx (x2 + x − 4) < logx x Kikötés:
x2 + x√− 4 > 0 √ −1 − 17 −1 + 17 x1 < x2 > 2 2 1. eset:
x>1
(3) (4) (5)
x2 + x − 4 < x x2 − 4 < 0 x1 = +2 x2 = −2
Itt a megoldáshalmaz (a kikötések gyelembe vételével): 2. eset:
√
17−1 2
<x<2
(0 <)x < 1 x2 + x − 4 > x x2 − 4 > 0 x1 = +2 x2 = −2
Itt nem találunk megoldást. A feladat megoldáshalmaza tehát:
√
17−1 2
5
< x < 2.
(6) (7) (8)
11. feladat.
Oldja meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! 1 3 · lg 2 x = 2 − · lgx 2 2 1 3 2 · (lgx) = 2 − · lgx 2 2
(1) (2)
Legyen y = lgx. 1 2 3 ·y = 2− ·y 2 2 y 2 = 4 − 3y y 2 + 3y − 4 = 0 y1 = 1 y2 = −4 lgx = 1 lgx = −4 1 x1 = 10 x2 = = 0, 0001 1000
(3) (4) (5) (6) (7) (8)
Az x > 0 kikötés nem jelent megszorítást a megoldásokra nézve. Ahogyan a sin, cos, stb. függvényeknél is, úgy itt is a következ® jelölés van érvényben:
Megjegyzés.
lg 2 x = (lgx)2
12. feladat.
Oldja meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! r p 1 3 · lgx + 2 · lg x r !2 p 1 3 · lgx + lg x p 1 3 · lgx + lg x p −1 3 · lgx + lgx p 3 · lgx − lgx
6
= 2
(1)
= 2
(2)
= 2
(3)
= 2
(4) (5) (6)
= 2
Legyen most y =
√ lgx. Ekkor lgx = y 2 .
(7) (8) (9) (10) (11) (12)
3y − y 2 = 2 0 = y 2 − 3y + 2 y1 = 2 y2 = 1 p p lgx1 = 2 lgx2 = 1 lgx1 = 4 lgx2 = 1 x1 = 10000 x2 = 10
Az x > 0 kikötéssel egyik megoldás sem ütközik. 13. feladat.
Oldja meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! √ 0, 5 · lg(2x − 1) + lg x − 9 √ √ lg 2x − 1 + lg x − 9 p lg (2x − 1)(x − 9) p (2x − 1)(x − 9) (2x − 1)(x − 9) 2x2 − 19x + 9 2x2 − 19x − 91 x1 = 13
A kikötések:
14. feladat.
x>
1 2
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
= 1 = 1 = lg10 = = = =
10 100 100 0 x2 = −
7 2
(8)
és x > 9, így csak az x = 13 jó megoldás.
Oldja meg a következ® egyenletet a valós számok halmazán! log2 (log4 (log5 x)) log4 (log5 x) log5 x x
= = = =
1 2 16 516
(1) (2) (3) (4)
Az egyenlet értelmezési tartománya x > 0, amelynek megfelel a megoldás, tehát jó. Számítsa ki zsebszámológép segítségével a következ® logaritmus értékét. Az eredményt adja meg 2 tizedesjegyre kerekítve! 15. feladat.
log4 7 =
lg7 0, 85 = = 1, 4037 ≈ 1, 4 lg4 0, 6
7
16. feladat. Egy diagnosztikai m¶szer újkori ára 1500000 Ft. A m¶szer minden évben 15%-ot veszít értékéb®l (avul). A m¶szert ki kell selejtezni, ha értéke 300000 Ft. alá csökken. Hány év múlva következik be ez?
1500000 · 0, 85n 0, 85n lg 0, 85n n · lg 0, 85 n · (−0, 0706) n Válasz:
< < < < < >
300000 0, 2 lg 0, 2 lg 0, 2 (−0, 699) 9, 9
(1) (2) (3) (4) (5) (6)
Tehát a m¶szert 10 év után kell leselejtezni.
17. feladat.
−11
1, 2334 · 10
Egy múmiából vett mintában 20 g szénb®l g volt a radioaktív 14 C izotóp. Hány éves lehet a múmia?
A radioaktív bomlástörvény: t
N = N0 · 2− T ,
ahol N : a még el nem bomlott atommagok száma, N0 : a kezdeti atommagok száma, t: az eltelt id® a bomlás kezdete óta, T : a felezési id®. A 14 C felezési ideje 5736 év, ennyi id® alatt a 14 C atommagok fele bétabomlással nitrogén atommagokká alakul. Amíg a szervezet él, az izotóparány állandó, a szervezet anyagcseréjének leállásával a radioaktív izotóp aránya exponenciálisan csökken a radioaktív bomlás miatt. Az egyszer¶ség kedvéért a 14 C izotóp el®fordulási aránya 1:1000000000000-nak, azaz 1 : 1012 -nek vehet®. Természetesen, mivel arányokról van szó, a bomlástörvénybe a tömeget is behelyettesíthetjük: t m = m0 · 2− T .
8
Megoldás.
20 1012
A múmia halálakor a testében lév® 20 g szénb®l
= 2·10−11 g 14 C van. Behelyettesítéssel a következ® exponenciális egyen-
letet kapjuk, melyet logaritmálás segítségével tudunk megoldani: 1, 2334 · 10−11 1, 2334 0, 6167 lg 0, 6167
x
2 · 10−11 · 2− 5736 x 2 · 2− 5736 x 2− 5736 x lg 2− 5736 x · lg 2 lg 0, 6167 = − 5736 = = = =
5736 · lg 0, 6167 lg 2 x ≈ 4000, 05265
x = −
Válasz:
(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
A múmia ezek szerint 4000 éves.
Egy tóba honosítás céljából 500 darab csíkos sügért telepítettek 2005 márciusában. A halbiológusok gyelemmel kísérték az állomány gyarapodását és azt találták, hogy a halak száma 18. feladat.
h(t) = 500 · log3 (2t + 3)
függvénnyel írható le, ahol t a telepítést®l eltelt évek számát jelenti. a) Mennyi csíkos sügér élt a tóban 2006 márciusában? b) Hány százalékkal n®tt a halak száma 2007 és 2009 márciusa között? c) Várhatóan mikor éri el a halpopuláció az 1500 darabot? Egy biológiai kísérlet során baktériumokat szaporítanak. Azt tapasztalják, hogy megfelel® körülmények között a baktériumállomány 6 óra alatt megduplázódik. A kísérlet kezdetén 1000 baktérium volt. a) Mennyi baktérium volt a kísérlet kezdete után 2 nappal? 9 b) A kísérlet addig tart, amíg a baktériumok száma el nem éri a 10 darabot. Mennyi ideig folyik a kísérlet? 19. feladat.
9
20. feladat.
halmazán!
Oldjuk meg a következ® egyenletrendszert a valós számok log√3 (y − x) = 2 2x · 3y = 972
(1) (2)
Mivel 972 = 22 · 35 , ezért x = 2 és y = 5 megoldás, ha kielégítik az (1) egyenletet is. Mivel log√3 3 = 2, ezért a fenti megoldáspár jó. 21.
feladat.
halmazán!
Oldjuk meg a következ® egyenletrendszert a valós számok x+y = 2 x−y lg(x + y) + lg(x − y) = lg 2
(1) (2)
Az (1) egyenletet rendezve: x + y = 2x − 2y x = 3y
(3) (4)
Ezt a (2) egyenletbe behelyettesítve: lg(3y + y) + lg(3y − y) = lg 2 lg 8y 2 = lg 2 1 y1,2 = ± 2 3 x1,2 = ± 2 22.
feladat.
halmazán!
feladat.
halmazán!
(7) (8)
Oldjuk meg a következ® egyenletrendszert a valós számok 3x − 93 · 27y = 0 log3 xy = 2
23.
(5) (6)
(1) (2)
Oldjuk meg a következ® egyenletrendszert a valós számok 2 · log2 x − log2 y = 3 − log2 3 0, 5y−x−2 = 1
10
(1) (2)
24. feladat. Egy óra alatt hány grammra csökken 100 g 19,7 perc felezési idej¶ radioaktív bizmut izotóp tömege? t
m = m0 · 2− T ,
ahol m a pillanatnyi tömeg, m0 a kezdeti tömeg, t az eltelt id®, T pedig az anyag felezési ideje. 60
m = 100 · 2− 19,7 = 12, 11 25. feladat. A világméret¶ szociológiai kutatások eredményeként a fejlett ipari országok egy f®re jutó nemzeti összeterméke (GDP) és a lakosság várható élettartama között hozzávet®leg az alábbi tapasztalati összefüggés állítható fel: 6000−G
E = 75, 5 − 5 · 1, 081
206
,
ahol E az átlagos várható élettartam években, G pedig a GDP, reálértékben átszámítva 1980-as dollárra. Mennyi várható élettartam-növekedést okoz kétszeres GDP-növekedés, ha ez a növekedés a) 1500$-ról 3000$-ra; b) 3000$-ról 6000$-ra; c) 6000$-ról 12000$-ra történik? a)
Válasz:
E = 75, 5 − 5 · 1, 081
6000−1500 206
= 48, 09
E = 75, 5 − 5 · 1, 081
6000−3000 206
= 59, 96
11,87 év a várható élettartam-növekedés.
b)
E = 75, 5 − 5 · 1, 081 Válasz:
6000−6000 206
= 70, 5
10,54 év a várható élettartam-növekedés.
c)
E = 75, 5 − 5 · 1, 081 Válasz:
6000−12000 206
= 74, 98
4,48 év a várható élettartam-növekedés.
A fenti összefüggést felhasználva válaszoljunk az alábbi kérdésre: mennyi GDP-növekedés szükséges a várható élettartam 10 évvel való meghosszabbodásához, ha ez 26. feladat.
11
a)
40 évr®l 50 évre; 40 = 75, 5 − 5 · 1, 081 7, 1 = 1, 081
6000−G 206
6000−G 206 6000−G
lg 7, 1 = lg 1, 081 206 6000 − G · 0, 03 0, 85 = 206 5184, 2 = 6000 − G G = 815, 8 50 = 75, 5 − 5 · 1, 081 5, 1 = 1, 081
(4) (5) (6) 6000−G 206
6000−G 206 6000−G
lg 5, 1 = lg 1, 081 206 6000 − G · 0, 03 0, 71 = 206 4309, 13 = 6000 − G G = 1690, 87 b)
(7) (8) (9) (10) (11) (12)
50 évr®l 60 évre; 60 = 75, 5 − 5 · 1, 081 = 1, 081
6000−G 206
6000−G 206 6000−G
lg 3, 1 = lg 1, 081 206 2992, 41 = 6000 − G G = 3007, 59 c)
(1) (2) (3)
(13) (14) (15) (16) (17)
60 évr®l 70 évre történik? 70 = 75, 5 − 5 · 1, 081 1, 1 = 1, 081
6000−G 206
lg 1, 1 = lg 1, 081 G = 5747, 92
12
6000−G 206
6000−G 206
(18) (19) (20) (21)
27. feladat.
n hét elteltével
Ha D összeget heti p%-os kamatozással befektetünk, akkor p n D· 1+ 100
összeget vehetünk fel. a) Mennyi id® múlva lesz befektetésünk értéke 2D , ha p = 4, 5? 2D 2 lg 2 n a)
n 4, 5 = D· 1+ 100 n = 1, 045 = n · lg 1, 045 = 15, 75
(1) (2) (3) (4)
Mennyi id® múlva lesz befektetésünk értéke 2D, ha p = 6? 2D 2 lg 2 n
n 6 = D· 1+ 100 n = 1, 06 = n · lg 1, 06 = 11, 9
13
(5) (6) (7) (8)
