Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)
Exponenciális, logaritmikus függvények DEFINÍCIÓ: (Összetett függvény) Ha az értékkészlet elemeihez, mint értelmezési tartományhoz egy újabb egyértelmű hozzárendelést adunk meg, akkor összetett (közvetett) függvényről beszélünk. Jele: 𝑓 (𝑔(𝑥)), vagy 𝑓 ∘ 𝑔. Megjegyzés: Az 𝑓 ∘ 𝑔 összetett függvény esetén, 𝑓 – et külső, 𝑔 – t belső függvénynek nevezzük.
DEFINÍCIÓ: (Inverz függvény) Egy 𝑓 függvény inverze a 𝑔 függvény, ha az 𝑓 kölcsönösen egyértelmű és bármely értelmezési tartománybeli 𝑥 elemére 𝑔 (𝑓(𝑥)) = 𝑥 teljesül. Jelölés: 𝑔 (𝑥 ) = 𝑓 −1 (𝑥). Megjegyzés: Csak a kölcsönösen egyértelmű függvényeknek van inverze, s ezeket invertálható függvényeknek nevezzük. Invertálható függvény értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével (és fordítva). Az inverz függvények megfordítják a hozzárendelés irányát: az egymáshoz rendelt értékek ugyanazok, de a megfeleltetés iránya ellentétes. Egy függvény és inverze ugyanolyan értelemben monoton. Egy függvény és inverze tükrös az 𝑦 = 𝑥 egyenletű egyenesre, mert a két függvénynél a tengelyek felcserélődnek. Egy függvény inverzének leképezési szabályát úgy határozhatjuk meg, hogy a független változót (𝑥 - et) a függvényértékkel (𝑦 - nal) felcseréljük és az új egyenletből kifejezzük a függő változót, vagyis a függvényértékeket.
1
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 1. Ábrázold és jellemezd a következő exponenciális függvényeket! a) 𝒇 (𝒙) = 𝟑𝒙 𝟏 𝒙
b) 𝒇 (𝒙) = (𝟐) Megoldás:
a) A keresett függvény képe a következő:
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait: Értelmezési tartomány:
𝐷𝑓 : 𝑥 ∈ ℝ
Értékkészlet:
𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ ]0; +∞[
Periodicitás:
Nem periodikus.
Zérushely:
Nincs zérushelye.
Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő.
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság:
Pontos alsó korlát:
𝑘=0
Pontos felső korlát:
Nincs felső korlátja. Nem korlátos függvény.
Nem páros, nem páratlan.
Paritás:
2
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) A keresett függvény képe a következő:
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait:
Értelmezési tartomány:
𝐷𝑓 : 𝑥 ∈ ℝ
Értékkészlet:
𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ ]0; +∞[
Periodicitás:
Nem periodikus.
Zérushely:
Nincs zérushelye.
Monotonitás:
Szigorúan monoton csökkenő.
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság:
Pontos alsó korlát:
𝑘=0
Pontos felső korlát:
Nincs felső korlátja. Nem korlátos függvény.
Nem páros, nem páratlan.
Paritás:
3
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 2. Ábrázold és jellemezd a következő logaritmikus függvényeket! a) 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟐 𝒙 b) 𝒇 (𝒙) = 𝒍𝒐𝒈𝟏 𝒙 𝟑
Megoldás: a) A keresett függvény képe a következő:
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait:
Értelmezési tartomány:
𝐷𝑓 : 𝑥 ∈ ]0; +∞[
Értékkészlet:
𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ ℝ
Periodicitás:
Nem periodikus.
Zérushely:
𝑥=1
Monotonitás:
Szigorúan monoton növekvő.
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság:
Nincs alsó és felső korlátja sem. Nem korlátos függvény. Nem páros, nem páratlan.
Paritás:
4
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) A keresett függvény képe a következő:
Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait:
Értelmezési tartomány:
𝐷𝑓 : 𝑥 ∈ ]0; +∞[
Értékkészlet:
𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ ℝ
Periodicitás:
Nem periodikus.
Zérushely:
𝑥=1
Monotonitás:
Szigorúan monoton csökkenő.
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság:
Nincs alsó és felső korlátja sem. Nem korlátos függvény. Nem páros, nem páratlan.
Paritás:
5
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 3. Ábrázold a következő exponenciális függvényeket! a) 𝒇 (𝒙) = 𝟏 − 𝟐𝐱−𝟑 𝟏 𝟏−𝒙
b) 𝒇 (𝒙) = (𝟑)
c) 𝒇 (𝒙) = 𝟐 ∙ 𝟑𝟐𝐱−𝟏 + 𝟏 Megoldás: a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 𝑔 (𝑥 ) = 2 𝑥
alapfüggvény (ábrán: fekete)
ℎ (𝑥 ) = 2𝑥−3
𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (+3) – mal (ábrán: kék)
𝑘 (𝑥 ) = −2𝑥−3
ℎ (𝑥) tükrözése az 𝑥 tengelyre (ábrán: zöld)
𝑓 (𝑥 ) = −2𝑥−3 + 1
𝑘 (𝑥) eltolása az 𝑦 tengely mentén (+1) - gyel (ábrán: piros)
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
6
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 1 𝑥
𝑔 (𝑥 ) = (3)
1 𝑥+1
ℎ (𝑥 ) = ( ) 3
1 −𝑥+1
𝑓 (𝑥 ) = (3)
alapfüggvény (ábrán: fekete) 𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (−1) - gyel (ábrán: kék) ℎ (𝑥) tükrözése az 𝑦 tengelyre (ábrán: piros)
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
7
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 𝑔 (𝑥 ) = 3 𝑥
alapfüggvény (ábrán: fekete)
ℎ (𝑥 ) = 3𝑥−1
𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (+1) - gyel (ábrán: kék)
𝑘 (𝑥 ) = 32𝑥−1
ℎ (𝑥 ) 𝑦 tengelyre merőleges 2 – szeres zsugorítása (ábrán: zöld)
𝑡 (𝑥 ) = 2 ∙ 32𝑥−1
𝑘 (𝑥 ) 𝑥 tengelyre merőleges 2 – szeres nyújtása (ábrán: lila)
𝑓 (𝑥 ) = 2 ∙ 32𝑥−1 + 1
𝑡 (𝑥) eltolása az 𝑦 tengely mentén (+1) – gyel (ábrán: piros)
1
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
8
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 4. Ábrázold a következő logaritmikus függvényeket! a) 𝒇 (𝒙) = 𝐥𝐨𝐠𝟑 (𝒙 − 𝟏) + 𝟐 b) 𝒇 (𝒙) = 𝟑 ∙ 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝟐 − 𝒙) 𝟐
𝟏
c) 𝒇 (𝒙) = − 𝐥𝐨𝐠𝟐 (𝟑 𝒙 + 𝟏) − 𝟐 Megoldás: a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 𝑔 (𝑥 ) = log 3 𝑥
alapfüggvény (ábrán: fekete)
ℎ (𝑥 ) = log 3 (𝑥 − 1)
𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (+1) – gyel (ábrán: kék)
𝑓 (𝑥 ) = log 3 (𝑥 − 1) + 2
ℎ (𝑥 ) eltolása az 𝑦 tengely mentén (+2) – vel (ábrán: piros)
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
9
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 𝑔 (𝑥 ) = log 1 𝑥
alapfüggvény (ábrán: fekete)
ℎ (𝑥 ) = log 1 (𝑥 + 2)
𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (−2) – vel (ábrán: kék)
𝑘 (𝑥 ) = log 1 (−𝑥 + 2)
ℎ (𝑥) tükrözése az 𝑦 tengelyre (ábrán: zöld)
𝑡 (𝑥 ) = 3 ∙ log 1 (−𝑥 + 2)
𝑘 (𝑥 ) 𝑥 tengelyre merőleges 3 - szoros nyújtása (ábrán: lila)
2
2
2
2
𝑓 (𝑥 ) = 3 ∙ log 1 (−𝑥 + 2) + 1 𝑡(𝑥) eltolása az 𝑦 tengely mentén (+1) - gyel (ábrán: piros) 2
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
10
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) c) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 𝑔 (𝑥 ) = log 2 𝑥
alapfüggvény (ábrán: fekete)
ℎ (𝑥 ) = log 2 (𝑥 + 1)
𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (−1) – gyel (ábrán: kék)
1
𝑘 (𝑥 ) = log 2 (3 𝑥 + 1) 1
𝑡 (𝑥 ) = − log 2 (3 𝑥 + 1)
ℎ (𝑥 ) 𝑦 tengelyre merőleges 3 – szoros nyújtása (ábrán: zöld) 𝑘 (𝑥) tükrözése az 𝑥 tengelyre (ábrán: lila)
1
𝑓 (𝑥 ) = − log 2 (3 𝑥 + 1) − 2 𝑡(𝑥) eltolása az 𝑦 tengely mentén (−2) – vel (ábrán: piros) Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
11
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 5. Ábrázold és jellemezd a következő függvényeket! 𝟏 −𝒙
a) 𝒇 (𝒙) = − (𝟐)
+𝟒
b) 𝒇 (𝒙) = 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝒙 − 𝟒) + 𝟐 𝟑
Megoldás: a) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 1 𝑥
𝑔 (𝑥 ) = (2)
1 −𝑥
ℎ (𝑥 ) = ( ) 2
1 −𝑥
𝑘 (𝑥 ) = − (2)
1 −𝑥
𝑓 (𝑥 ) = − ( 2)
alapfüggvény (ábrán: fekete) 𝑔 (𝑥) tükrözése az 𝑦 tengelyre (ábrán: kék) ℎ (𝑥) tükrözése az 𝑥 tengelyre (ábrán: zöld) + 4 𝑘 (𝑥) eltolása az 𝑦 tengely mentén (+4) – gyel (ábrán: piros)
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
12
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait:
Értelmezési tartomány:
𝐷𝑓 : 𝑥 ∈ ℝ
Értékkészlet:
𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ ]−∞; 4[
Periodicitás:
Nem periodikus.
Zérushely:
𝑥=2
Monotonitás:
Szigorúan monoton csökkenő.
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság:
Pontos alsó korlát:
Nincs alsó korlátja.
Pontos felső korlát:
𝐾=4 Nem korlátos függvény.
Nem páros, nem páratlan.
Paritás:
13
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) A kérdéses függvényhez a következő lépésekben juthatunk el: 𝑔 (𝑥 ) = log 1 𝑥
alapfüggvény (ábrán: fekete)
ℎ (𝑥 ) = log 1 (𝑥 − 4)
𝑔 (𝑥) eltolása az 𝑥 tengely mentén (+4) - gyel (ábrán: kék)
3
3
𝑓 (𝑥 ) = log 1 (𝑥 − 4) + 2 ℎ (𝑥) eltolása az 𝑦 tengely mentén (+2) – vel (ábrán: piros) 3
Ezek alapján a keresett függvény képe (lépésenként ábrázolva):
14
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Az ábráról leolvashatjuk a függvény tulajdonságait:
Értelmezési tartomány:
𝐷𝑓 : 𝑥 ∈ ]4; +∞[
Értékkészlet:
𝑅𝑓 : 𝑦 ∈ ℝ
Periodicitás:
Nem periodikus.
Zérushely:
𝑥 = 13
Monotonitás:
Szigorúan monoton csökkenő.
Szélsőérték:
Nincs szélsőértéke.
Korlátosság:
Nincs alsó és felső korlátja sem. Nem korlátos függvény.
Nem páros, nem páratlan.
Paritás:
15
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 6. Határozd meg a következő függvények inverzeit! a) 𝒇 (𝒙) = 𝟏 + 𝐥𝐨𝐠 𝟏 (𝒙 + 𝟑) 𝟐 𝟑
b) 𝒈 (𝒙) = √𝒙 + 𝟐; c) 𝒉 (𝒙) = 𝒙𝟐 Megoldás: Egy függvény inverzének hozzárendelési szabályát úgy határozhatjuk meg, hogy a függvény alakjában az 𝑥 – et és 𝑦 – t felcseréljük egymással, majd ezután úgy alakítjuk az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak 𝑦 álljon. A megoldásokat a következőképpen ellenőrizhetjük: Ábrázoljuk közös koordináta - rendszerben a függvényeket és inverzeiket, majd ellenőrizzük, hogy teljesülnek - e az inverzekre vonatkozó tulajdonságok: A függvény és inverzének képe tükrös az 𝑦 = 𝑥 egyenesre, továbbá az invertálható függvény értelmezési tartománya megegyezik az inverzének értékkészletével (és fordítva). a) 𝑓 (𝑥) inverze:
𝑦 = 1 + log 1 (𝑥 + 3)
→
2
1 𝑥−1
Ebből kapjuk, hogy 𝑦 = (2)
𝑥 = 1 + log 1 (𝑦 + 3) 2
1 𝑥−1
− 3, vagyis 𝑓 (𝑥) inverze: 𝑓 −1 (𝑥 ) = (2)
− 3.
Ellenőrzés: Az 𝑓 (𝑥) (ábrán: kék) és inverzének (ábrán: zöld) képe a következő:
16
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) b) 𝑔 (𝑥) inverze:
3
𝑦 = √𝑥 + 2
→
𝑥 = 3√𝑦 + 2
Ebből kapjuk, hogy 𝑦 = 𝑥 3 − 2, vagyis 𝑔 (𝑥) inverze: 𝑔−1 (𝑥 ) = 𝑥 3 − 2. A 𝑔 (𝑥) (ábrán: kék) és inverzének (ábrán: zöld) képe a következő:
17
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) c) ℎ (𝑥) inverze:
𝑦 = 𝑥2
→
𝑥 = 𝑦2
Ebből kapjuk, hogy 𝑦 = √𝑥, vagyis ℎ (𝑥) inverze: ℎ−1 (𝑥 ) = √𝑥. A ℎ (𝑥) (ábrán: kék) és inverzének (ábrán: zöld) képe a következő:
Az utolsó függvénynél látható, hogy az 𝑥 2 függvénynek csak az 𝑥 tengely pozitív oldalára eső görbéje lesz tükrös a √𝑥 függvénnyel. Ez abból adódik, hogy csak olyan függvényeknek értelmezhetjük az inverzét, melyek kölcsönösen egyértelműek, vagyis ha adott egy 𝑥 koordináta, akkor egyértelműen megadható a hozzá tartozó 𝑦 koordináta és viszont. Az 𝑥 2 függvény esetében, ha például 𝑦 = 1, akkor az 𝑥 értéke 1 és −1 is lehet, vagyis a függvény nem kölcsönösen egyértelmű. Ebben az esetben szokás a függvény értelmezési tartományát azon részére szűkíteni, melynek már létezik inverze, vagyis ebben az esetben: 𝑥 ∈ [0; +∞[.
18
Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) 7. Határozd meg az 𝒇 ∘ 𝒈 és 𝒈 ∘ 𝒇 összetett függvényeket, ha 𝒇(𝒙) = 𝟐𝒙 és 𝒈 (𝒙) = −𝟓𝒙 + 𝟑! Megoldás: Összetett függvények meghatározásánál úgy kell eljárnunk, hogy a külső függvény változójába behelyettesítjük a másik függvényt. Ezek alapján a megoldások: 𝑓 ∘ 𝑔 = 𝑓(𝑔(𝑥 )) = 2−5𝑥+3
𝑔 ∘ 𝑓 = (−5) ∙ 2𝑥 + 3
8. Határozd meg az 𝒇 ∘ 𝒈 ∘ 𝒉 és 𝒉 ∘ 𝒈 ∘ 𝒇 összetett függvényeket, ha 𝒇 (𝒙) = |𝒙|; 𝟏 𝒈 (𝒙) = 𝒙 + 1 és 𝒉 (𝒙) = 𝒙 − 𝟐! Megoldás: Ebben az esetben, mivel több függvény összetett függvényét keressük, ezért először a két belső függvény összetett függvényét kell meghatároznunk, s csak ezt követően a kérdéses függvényt. Ezek alapján a megoldások: 1
𝑔 ∘ ℎ = 𝑔(ℎ(𝑥 )) = 𝑥−2 + 1 1
𝑔 ∘ 𝑓 = 𝑔(𝑓(𝑥 )) = |𝑥| + 1
1
→
𝑓 ∘ 𝑔 ∘ ℎ = 𝑓 (𝑔(ℎ(𝑥 ))) = |𝑥−2 + 1|
→
ℎ ∘ 𝑔 ∘ 𝑓 = ℎ(𝑔(𝑓 (𝑥 )))) = |𝑥−2| + 1
1
19
