Induktív fogalomalkotás, tételek megsejtése, szintézissel való bizonyítás a valós számsorozatok témában Vigné Dr. Lencsés Ágnes mailto:
[email protected]
I.
Problémafelvetés
A fels oktatás els félévében a középiskolából a fels oktatásba kerül hallgatók az analízis els témaköreként a valós számsorozatokkal találkoznak. Ebben a témában kell tehát megvalósítani valamiféle "átmenetet" a kétféle oktatási szint számos különbsége között. A fels oktatás el adásai zömmel ismeretközl k: a fogalmakat, tételeket és azok bizonyítását úgymond "elmagyarázzuk", elmondjuk, leadjuk; majd gyakorlaton néhány példával "megvilágítjuk". El adásomban röviden ismertetek egy kísérletileg igazolt hatékonyabb didaktikai megoldást. A kísérletben a fogalmak bevezetése jobbára induktív, ritkábban deduktív úton történt; a tételeket a hallgatókkal "fedeztettem fel" majd a bizonyítás stratégiája is zömmel a szintézis volt. Így vált biztosíthatóvá a zökken mentes átmenet a fels fokú tanulmányokban megszokott szisztémához; így vált a valós számsorozatok téma a hallgatók "sajátjává", mely az analízis további fejezeteit alapozza meg. (Úgy mint: függvény határérték, differenciálszámítás, valós számsorok és függvénysorok, Riemann-integrál.) A valós számsorozatok téma matematika-didaktikai elemzésér l a 2004-es el adásomban (A valós számsorozatok tanításának módszertani problémái címmel) szóltam. Az el adásban ismertettem a téma óratervezetét is, valamint a téma tárgyalása során röviden beszéltem a megvalósítás részleteir l. (Nevezetesen a sorozat fogalma, megadása, szemléltetése, a sorozat függvénytani tulajdonságai (monotonitás, korlátosság, konvergencia, divergencia), ezek kapcsolatai (sorozat konvergencia szükséges feltétele, elegend feltétele, Cauchy-kritérium), határátmeneti szabályok, nevezetes sorozatok.) Jelen el adásomban ebb l két momentumot ragadok ki, egy fogalomalkotást (konvergencia), és két tétel felfedeztetése után (konvergencia szükséges feltétele, elegend feltétele) ezek bizonyítását, melyet részletezek. II.
A valós számsorozat téma megalapozása
Az egész valós számsorozat témát tapasztalati anyag vizsgálata alapozta meg. Egy sorozatkészletet állítottam össze, mely sok, a középiskolából jól ismert sorozatot tartalmazott (számtani, mértani). (1) a1 = a2 = 1, an = an −1 + an − 2 ha n ≥ 3 (2) a1 = 5, an = an −1 + 3 ha n ≥ 2 (3) a1 = 5, an = 3an −1 ha n ≥ 2 (4) a1 = −2, an = an −1 ha n ≥ 2 n
(5) (6) (7) (8) (9)
1 an = 3 an = 1 − n 1 an = n a1 = 1, an = −2an −1 ha n > 1 π alsó közelít törtjei 1
(10)
an = ( −1)
(11)
an = −
(12)
an = ( −2 )
(13)
an =
(14)
n n
1 2 n
3n + 1 n+2
an = −2 +
( −1)
n
n A hallgatók feladata az volt, hogy számítsák ki a sorozatok els öt és tizedik elemét, szemléltessék grafikonon, számegyenesen, majd figyeljék meg a valós függvényeknél tanult függvénytulajdonságokat! Majd halmazábrába írják be a megfelel helyre a sorozatok sorszámát!
1. ábra A sorozatok függvénytani tulajdonságainak összehasonlításával, a sorozatok ennek alapján való csoportosításával a korlátosság, monotonitás, konvergencia szemléletes jelentéséhez jutottunk. A harmadik ábra a fogalmak viszonyának szemléltetése révén a tételek (konvergencia szükséges feltétele, elegend feltétele) felfedezését segítette el . III.
A sorozat-konvergencia fogalmának kialakítása
A matematika-didaktikában a fogalom-kialakítás három féle módon történik: induktív, deduktív és konstruktív úton. Az induktív úton történ fogalomkialakítás során optimális tapasztalati anyagot gy jtünk, ezeket vizsgálat tárgyává téve (a fogalmat meghatározó ismérvek kiemelése, a fogalom tartalmának feltárása) absztrakcióval jutunk a fogalomhoz, és alkotjuk meg a definíciót. Ez az út az önálló hallgatói munka révén a logikai képességek fejlesztéséhez jelent sen hozzájárul. A fogalomkialakítás deduktív úton úgy történik, hogy kimondjuk a definíciót, ezt követi az elemzés és a fogalom konkretizálása, példákkal való illusztrálása.
2
Konstruktív módon való fogalomalkotás során a fogalom néhány reprezentálásának adott feltételek melletti el állítása után általánosítjuk az eljárást, és alkotjuk meg a definíciót. Bármilyen módon is vezetünk be egy fogalmat, azt mindig kell, hogy kövesse a fogalmak meger sítése, rögzítése. Erre többféle lehet ség van, mint például: a különböz definiálási lehet ségek megvilágítása; különböz definíciók ekvivalenciájának megmutatása; definíció következményeinek levonása; példák és ellenpéldák adása; állítások igaz-hamis voltának eldöntése. A sorozat-konvergencia fogalmának kialakítása induktív úton. A sorozat konvergencia (mint általában az analízis fogalmai) fogalma összetett, bonyolult. A sorozatkészlet vizsgálatakor szemléletb l észrevetetjük a határérték létezését ((4), (5), (7), (9), (11), (13), (14)), és tapasztalatból megfogalmaztatjuk, hogy n növekedésével a sorozatelemek tetsz legesen közel kerülnek a határértékhez. Megfogalmazzuk úgy is, hogy a határérték körül bárhogy is jelölünk ki egy nyílt intervallumot, egy környezetet, elég nagy n-ek esetén a sorozatelemek ebben a nyílt intervallumban vannak, ezen a környezeten kívül legfeljebb véges sok számú sorozatelem van. Szeretnénk ezt a tapasztalatot pontos matematikai formába önteni! 3n + 1 Ezek után motivációs feladatként precízebb vizsgálat tárgyává tettük (13) an = és (14) n+2 n ( −1) an = −2 + sorozatokat a következ lépésekben: n 1 1. Legyen ε = ! Jelölje ki a 3 ill. a -2 ε sugarú környezetét! 5 2. Számolja ki a sorozatok els 14 elemét! Jelölje be a sorozat azon tagjait, melyek a 3 ill. -2 adott környezetébe esnek! 1 1 3. Határozza meg azt az N számot, melyre n>N esetén an − 3 < ill. an − ( −2 ) < ! 5 5 1 1 1 Összefoglalva: ε = -höz ∃N úgy, hogy ha n>N, akkor an − 3 < ill. an − ( −2 ) < . Majd 5 5 5 1 1 analóg feladat ε = , ε= -re, majd tetsz leges ε > 0 -ra következtek. 108 10000 Ezek után a példákból elvonatkoztatva a hallgatók alkották meg a precíz ( ε , N -es) definíciót, és bevezettük a szokásos jelölést.
A fogalom elmélyítésére gyakorlaton több feladat következett. Megbeszéltük a különböz definiálási lehet ségeket (a határérték bármely környezetén kívül véges sok elem van), a definíció következményét (az an A -hoz való konvergálása ekvivalens az an − A sorozat 0hoz való konvergálásával), konvergenciával kapcsolatos állítások igaz-hamis voltát döntöttük el és indokoltuk (például: lim an = A és A>0, akkor a sorozatnak végtelen sok tagja pozitív.) n →∞
IV.
A sorozat-kovergencia szükséges feltétele, elegend feltétele
A matematikai tételek a fogalmak közti kapcsolatokat mondják ki. Ezeket is a tanári közlés helyett megkíséreljük felfedeztetni, majd a sejtésünket igazolni, bizonyítani, rossz sejtés esetén cáfolni. Bizonyítás során a logika szabályai szerint következtetünk a feltételekb l az állításra, kapcsolatot teremtünk közöttük. A bizonyítást is érdemes a hallgató gondolkodásának fejlesztése érdekében felfedeztetni, a logikai utat felderíteni. Elemeztetni
3
érdemes, hogy mi a feltétel, mi a konklúzió, mit kéne belátni ahhoz, hogy a konklúzió igaz legyen, esetleg alkalmazható-e valamilyen korábban bizonyított tétel, fogalom, hol és hogyan használhatók fel a feltételek. Ha így járunk el, ez fejleszti a bizonyítási igényt, önbizalmat ad a hallgatónak, mivel természetes úton talál rá a bizonyításra. Az egyszer logikai sémák sokrét alkalmazása révén gondolkodása fejl dik. A matematika-didaktika háromféle bizonyítási stratégiát különböztet meg: szintézis, analízis, nem teljes analízis. (A tételek szerkezete: A B ) Bizonyítás szintézissel (célirányos okoskodás) A stratégia lényege, hogy a feltételekb l axiómák, korábban bizonyított tételek és definíciók felhasználásával szükséges feltételek láncolatán át véges sok lépésben jutunk a következményhez. ( A A1 A2 An B ) A stratégia kulcskérdése: mi következik ebb l? Bizonyítás analízissel (fordított irányú okoskodás) A stratégia lényege, hogy a B következményb l indulunk ki, ahhoz keresünk elegend feltételt, amib l következik B, majd véges sok lépésben folytatjuk a gondolatmenetet addig, amíg ilyen elegend feltételek sorozatán keresztül az A feltételhez jutunk. ( B ⇐ B1 ⇐ B2 ⇐ ⇐ Bn ⇐ A) A stratégia kulcskérdése: mib l következik ez? A nem teljes analízis: az el z kett kombinációja. A sorozatkészlet halmazos ábrája hasznos a függvénytani tulajdonságok közti kapcsolatok, tételek felfedeztetésére.
2. ábra Karikáztassuk be a konvergenseket! Észrevetetjük, hogy a konvergens sorozatok valódi részhalmazát képezik a korlátos sorozatoknak. Tehát minden konvergens sorozat korlátos, azaz a konvergencia szükséges feltétele a korlátosság. A megfordítás nem igaz, van olyan sorozat (pl-ul a (10)-es), amely korlátos, de nem konvergens. Próbáljuk bizonyítani, hogy ha az an sorozat konvergens (A), akkor an korlátos (B)! A bizonyítást a szintézis stratégiával (célirányos okoskodással) próbáljuk végrehajtani! Mi a feltétel? A: an konvergens Mi az állítás? B: an korlátos Mit kéne belátni ahhoz, hogy a konklúzió (B) igaz legyen? Azt, hogy ∃K , k szám úgy, hogy ∀n -re k ≤ an ≤ K .
4
A Induljunk ki a feltételb l! Mit jelent az, hogy an konvergens? A1 Van olyan D szám, hogy ∀ε > 0 -hoz ∃N úgy, hogy n>N esetén an − D < ε A2 Ezzel ekvivalens: ∀ε > 0 -hoz ∃N , ha n > N
D − ε < an D + ε . Célunk: megmutatni,
hogy ∀n -re an -t bekorlátozhatjuk! Mi következik A2 -b l? Ha az ∀ε > 0 -ra igaz, akkor A3 ε = 1 -re is igaz, azaz ε = 1 -hez is ∃N * úgy, hogy n > N * esetén D − 1 < an < D + 1 .
3. ábra A sorozatelemek egy részét bekorlátoztuk. N * -nál nagyobb index sorozatelemek a ( D − 1, D + 1) nyílt intervallumban vannak. Fordítsuk figyelmünket a kimaradókra! A4 A D ε = 1 sugarú környezetén kívül legfeljebb az: a1 , a2 ,
, aN * , azaz N * db sorozatelem
van. A5 Ha k-nak ill. K-nak ezek és D-1, ill. D+1, tehát N * + 1 db véges sok szám közül a legkisebbet ill. legnagyobbat választjuk (véges sok között mindig van), akkor ∀n -re an k és K között van. Tehát k = min {a1 , a2 ,
K = max {a1 , a2 ,
, aN * , D − 1}
, aN * , D + 1} legyen!
A6 Akkor ∀n -re k ≤ an ≤ K (ez éppen a korlátosság definíciója). B Tehát az an sorozat korlátos. Még egyszer a célirányos okoskodás lépéseit végigjárva: A A1 a konvergencia fogalmának felhasználása A1 A2 a konvergencia-fogalom ekvivalens átfogalmazása A2 A3 a konvergencia-fogalom alkalmazása ε = 1 esetén A3 A4 a konvergencia-fogalom a környezetb l kimaradó elemekkel A4 A5 k,K választás (kimaradó elemek, D − 1, ill. D + 1 legnagyobb kiválasztása). A5 A6 Az összes sorozatelemre k ≤ an ≤ K . A6 B Korlátosság fogalmának alkalmazása.
N * + 1 db-ból legkisebb és
Térjünk vissza a halmazos ábrára! Vetessük észre, hogy a monoton és korlátos sorozatok metszethalmazában lév összes sorozat konvergens, tehát úgy t nik, hogy a monotonitás és korlátosság együtt már biztosítja a sorozat konvergenciáját, elegend feltétele a konvergenciának. Vetessük azt is észre, hogy ennek a tételnek a megfordítása sem igaz. Ha egy sorozat konvergens, akkor nem biztos, hogy monoton (ellenpélda (11) és (14)). A konvergencia elegend feltételének bizonyítását is a szintézis (célirányos okoskodás) stratégiájával célszer a hallgatókkal együtt elvégezni, de ez már nehezebb, igen er s tanári irányítás szükséges hozzá!
5
A bizonyítás két lépésben történik, külön véve a monoton növekv ill. csökken esetet! Monoton növ esetben célszer észrevetetni, hogy a határérték a fels korlátok közül a legkisebb, azaz a fels határ, monoton csökken esetben az alsó határ! Nézzük meg a monoton növekv esetet! Tegyük fel, hogy az an sorozat monoton növekv és felülr l korlátos (A) és bizonyítsuk be, hogy ekkor an konvergens és határértéke az an fels határa M (B)! A an monoton növekv (1) és fels határa M(2). Ez a feltétel. B an konvergens és határértéke M. Ez az állítás. Mit kéne belátni, hogy a B konklúzió igaz legyen? Azt, hogy ∀ε > 0 -hoz ∃N úgy, hogy ha n>N, akkor an − M < ε . Ez nehéz lesz! Ezt kell összeszintetizálni, tudva az A két feltételét. A Induljunk ki abból, hogy an -nek M fels határa (2)! A1 Ez azt jelenti, hogy ∀n -re an ≤ M és ez az M a legkisebb a fels korlátok közül, tehát a nálánál kisebb bármely szám már nem fels korlát! A2 A konklúzióhoz kell ε > 0 szám is! Legyen ε > 0 tetsz leges! Az M − ε < M , tehát M − ε már nem fels korlát. A3 M − ε nem fels korlát, akkor van olyan sorozatelem, ami nála nagyobb, legyen ez az Nedik! Tehát ∃N , hogy M − ε < aN . A4 Használjuk ki a másik feltételt is, (1) an
( M ≥ ) an
monoton n ! Akkor n>N esetén
≥ aN ( > M − ε )
A5 Foglaljuk össze az eddigieket, és használjuk ki, hogy M < M + ε ! M − ε < a N ≤ an ≤ M < M + ε ∃N
n> N
∀n -re
ε > 0 tetsz leges, ∃N
A6 Tehát ∀ε > 0 -hoz ∃N , ha n>N M − ε < an < M + ε , azaz an − M < ε , ami éppen a
konklúzió. A6 = B A célirányos okoskodás lépései tehát: A A1 fels korlát fogalma (2) feltételb l. A1 A2 fels határ fogalmának felhasználása. A2 A3 fels határ fogalmának felhasználása. A3 A4 monoton növekedés fogalmának felhasználása (1) feltételb l. A4 A5 eddigi eredmények összefoglalása. A5 A6 ≡ B konvergencia fogalmának összeszintetizálása.
6
