Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
ISSN 2085-7829
Hubungan Antara Turunan Parsial dan Kekontinuan Pada Fungsi Dua Peubah Relationship Between Partial Derivatives and Continuity on the Function of Two Variables Syaripuddin Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman Abstract This study aims to show the relationship first partial derivatives with continuity on the function of two variables at a given point. In the research the conclusion that there is a continuous function of two variables at a certain point but do not have first partial derivatives at that point. There is also a function that is not continuous at a certain point but have the partial derivatives and partial derivatives are not continuous at that point. Keywords : Function of two variables, Partial derivatives, Continuity. PENDAHULUAN Kalkulus diferensial dan integral dibangun berdasarkan konsep limit fungsi. Konsep ini sangat sederhana, namun bagi mereka yang baru pertama kali mempelajarinya acapkali menemui kesulitan. Konsep ini pula dikenal sebagai suatu proses tak hingga, yang merupakan suatu ciri dari kalkulus. Karena pentingnya maka mustahil memahami kalkulus dengan baik tanpa mengetahui konsep limit. Bila suatu fungsi terdefinisi pada selang terbuka dalam ruang yang memuat suatu titik maka kekontinuan dan turunan fungsi di titik itu dapat didefinisikan dengan limit fungsi. Hubungan antara turunan fungsi di suatu titik dengan kekontinuan di titik itu dinyatakan sebagai berikut : Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang buka I yang memuat titik c. Jika fungsi f mempunyai turunan di titik c maka f kontinu di titik c. Dalam kasus fungsi dua peubah, limit mempunyai arti yang serupa dengan arti limit fungsi satu peubah. Perbedaan yang nyata hanya pada masalah pengukuran jarak variabel bebasnya. Karena variabel tersebut terletak di maka jarak diukur dengan 2
( x, y ) ( a , b ) ( x a ) 2 ( y b ) 2 . Sedangkan kekontinuan fungsi dua peubah berarti bahwa fungsi yang nilai limitnya sama dengan nilai fungsinya. Perbedaan yang yang nyata adalah pada fungsi satu peubah kekontinuan ditandai dengan garis yang tidak putus sedangkan pada fungsi dua peubah kekontinuan di tandai dengan tidak ada retak (sobek) pada permukaan fungsinya. Selanjutnya turunan fungsi pada fungsi dua peubah dinamakan dengan turunan parsial. Hubungan antara kekontinuan dan turunan pada fungsi satu peubah sudah sangat jelas bahwa
suatu fungsi f mempunyai turunan di titik c maka f kontinu di titik c dan sebaliknya tidak berlaku. Selanjutnya hubungan antara kekontinuan dan turunan parsial pada fungsi dua peubah tidak berlaku sebagaimana telah disajikan contohcontoh penyangkalnya dalam buku-buku Kalkulus Diferensial dan Integral. Karena alasan tersebut maka peneliti merasa tertarik untuk mengadakan suatu penelitian dalam Kalkukus Diferensial dan Integral khususnya tentang turunan parsial dan kekontinuan pada fungsi dua peubah. Peneliti ingin mengetahui apakah ada hubungan antara turunan parsial dengan kekontinuan suatu fungsi di suatu titik tertentu melalui contoh-contoh penyanggah TINJAUAN PUSTAKA Penelitian ini didukung oleh berbagai pemikiran dan rujukan antara lain: Definisi-1 : (Limit fungsi di titik (a,b)) : Diketahui fungsi bernilai real f dengan daerah definisi himpunan buka D di dan (a,b) titik di D atau titi batas D (atau lebih umum titik limit D). lim f ( x, y ) L mempunyai arti Tulisan 2
( x , y ) ( a ,b )
sebagai berikut: Untuk sebarang bilangan ε>0 ada bilangan δ>0 sehingga untuk semua (x,y) di D dan memenuhi
0 ( x, y ) ( a , b ) ( x a ) 2 ( y b ) 2 berlaku
f ( x, y ) L .
Definisi-2 : (Fungsi Kontinu) : Misalkan f fungsi dengan daerah definisi D dan (a,b) titik limit himpunan D. Fungsi f kontinu di (a,b) jika : lim f ( x, y ) f (a, b) . 2
( x , y ) ( a ,b )
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
1
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
Jadi dalam hal ini ada tiga syarat yang harus dipenuhi yaitu : lim f ( x, y ) ada 1. ( x , y ) ( a ,b )
2. f (a , b) terdefinisi 3.
lim
( x , y ) ( a ,b )
f ( x, y ) f ( a , b )
Fungsi f kontinu pada himpunan D jika f kontinu pada setiap titik di D. Definisi-3 : (Turunan Parsial) : Misalkan
z f ( x, y ) , (x,y) daerah D 2 .
Turunan parsial pertama dari f terhadap x , ditulis
f x , zx ,
f z , atau D x f x x
didefinisikan sebagai
f f ( x h, y ) f ( x , y ) ( x, y ) l im h 0 x h
Turunan parsial pertama dari f terhadap y , ditulis
fy, zy,
f z , atau D y f y y
didefinisikan sebagai
f f ( x, y h ) f ( x , y ) ( x, y ) l im h 0 y h
METODOLOGI PENELITIAN Metodologi penelitian yang digunakan di dalam penelitian ini adalah dengan mengamati berbagai fungsi dengan dua peubah z = f (x, y) yang mempunyai masalah kritis di suatu titik tertentu (xo, yo) Selanjutnya dengan menggunakan defenisi-2 dan definisi-3 dilakukan pengamatan terhadap fungsi-fungsi tersebut: Apabila ternyata dari pengamatan ini fungsi z = f (x, y) kontinu maka dilanjutkan pengamatan apakah fungsi ini mempunyai turunan parsial pertama di titik (xo, yo) Jika ternyata fungsi z = (f (x, y) tidak kontinu di titik(xo, yo) dilanjutkan dengan pengamatan apakah fungsi ini mempunyai turunan parsial pertama di titik (xo, yo).
Selanjutnya masing-masing fungsi yang mempunyai turunan parsial di titik (xo, yo) diamati pula apakah turunan parsial pertamanya kontinu di titik (xo, yo). Dengan demikian hubungan antara turunan parsial dan kekontinuan fungsi dengan dua peubah dapat diketahui, yaitu :
ISSN 2085-7829
turunan parsial pertama di titik (xo, yo) dan turunan parsialnya tersebut tidak kontinu di titik (xo, yo). Jawaban dari apa yang diteliti merupakan kesimpulan penelitian ini. ANALISIS DAN PEMBAHASAN Dalam penelitian akan ditinjau hubungan sebagai berikut : 1. Apakah ada fungsi dengan dua peubah z = f (x, y) yang kontinu di titik (xo, yo) tetapi tidak mempunyai turunan parsial pertama di titik itu. 1
Contoh-1 : Misalkan f ( x, y ) tinjau di titik M(0,0). Akan ditunjukkan bahwa :
( x 2 y 2 ) 2 di
1 2
f ( x, y ) ( x y ) kontinu di titik M(0,0). 2
2
1
a.
lim
( x , y ) ( 0, 0)
f ( x, y )
lim
( x , y ) ( 0, 0) 1 2
b.
f (0,0) ( x y ) 0
c.
0
2
2
(x2 y2 ) 2 0
1
=
lim ( x 2 y 2 ) 2
( x , y ) ( 0, 0 )
1 2
f (0,0) ( x y ) 0 2
2
1
Jadi f ( x, y ) ( x y ) 2 kontinu di titik M(0,0). Akan ditunjukkan bahwa : 2
2
1
f ( x, y ) ( x 2 y 2 ) 2
tidak turunan parsial di titik M(0,0). a. Turunan parsial terhadap-x
f ( x, y ) x
f ( x, y ) x
l im
( x, y )
h0
mempunyai
f ( x h, y ) f ( x, y ) h 1
( 0, 0 )
1 ( x 2 y 2 ) 2 (2 x) 2 x 1 ( 0,0 )
(x2 y 2 ) 2 tidak terdefinisi b. Turunan parsial terhadap-y
f ( x, y ) x
( 0, 0 )
l im
h 0
f ( x, y h) f ( x, y ) h
1. Apakah ada fungsi dengan dua peubah z = f (x, y) yang kontinu di suatu titik (xo, yo) tetapi tidak mempunyai turunan di titik tersebut. 2. Apakah ada fungsi yang tidak kontinu z = f (x, y) di suatu titik (xo, yo) tetapi mempunyai Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
28
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
f ( x, y ) x
ISSN 2085-7829
f (0,0) 0
1
( 0, 0 )
1 ( x 2 y 2 ) 2 (2 y ) 2 y 1 (0,0)
Jadi
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0)
(x2 y 2 ) 2 tidak terdefinisi
tidak kontinu di titik M(0,0). Akan ditunjukkan bahwa :
Dengan demikian fungsi 2
f ( x, y ) ( x
1 2 2 y )
kontinu di titik M(0,0), akan tetapi fungsi tersebut tidak mempunyai turunan parsial baik terhadap peubah x maupun terhadap peubah y. Sehingga dapat dikatakan bahwa dapat ditemukan fungsi dua peubah yang kontinu di suatu titik tertentu (xo, yo) akan tetapi tidak mempunyai turunan parsial pertama di titik (xo, yo). 2. Apakah ada fungsi dengan dua peubah z = f (x, y) yang tidak kontinu di titik tertentu (xo, yo) mempunyai turunan parsial pertama di titik itu, tetapi turunan parsialnya tersebut tidak kontinu di titik (xo, yo). Contoh-2 : Misalkan
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0) tidak mempunyai turunan parsial di titik M(0,0). a. Turunan parsial terhadap-x
f ( x, y ) x f ( x, y ) x
( x, y )
( 0, 0 )
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0) ditinjau di titik M(0,0). Akan ditunjukkan bahwa
f ( x, y ) y f ( x, y ) x
kontinu di titik M(0,0).
lim
( x , y )( 0, 0 )
f ( x, y )
xy x y2
lim
( x, y )
( 0, 0 )
2
( x , y )( 0 , 0 )
Karena nilai limit penyebut dan pembilang sama dengan nol, maka untuk menyelidiki nilai limitnya di reduksi perhitungannya pada garis y=mx dengan m bilangan sembarang. Pada y=mx aturan fungsi dapat ditulis menjadi :
f ( x, y )
y mx
Untuk titik
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
yang
lim
xy x y2 2
x(mx) m 2 x (mx) 1 m2 2
x 0 . Dengan demikian m m f ( x, y ) lim ( x , y )( 0 , 0 ) 1 m 2 1 m2
bergantung
( x , y ) ( 0 , 0 )
y mx
f ( x, y )
pada
nilai tidak ada .
b. f (0,0) 0 c. Tidak ada
h0
b. Turunan parsial terhadap-y
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0) a.
f ( x h, y ) f ( x, y ) h f ( 0 h, y ) f ( x , y ) lim h 0 h f ( h, y ) f ( x , y ) lim h 0 h h ( 0) (0) 2 h ( 0) 2 lim h 0 h 0 lim h 0 h 0 l im
m.
Jadi
f ( x, y h) f ( x, y ) h0 h f ( x ,0 h ) f ( x , y ) lim h 0 h f ( x, h ) f ( x , y ) lim h 0 h ( 0) h ( 0) 2 ( 0) ( h ) 2 lim h 0 h 0 lim h 0 h 0 l im
Jadi fungsi
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0) mempunyai turunan parsial terhadap-x dan terhadap-y pada titik M(0,0). Akan ditunjukkan bahwa turunan parsial pertama dari fungsi
xy ( x , y ) ( 0, 0 ) x y 2 lim
2
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
29
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0)
c.
kontinu. 1. Turunan
parsial
f ( x, y ) x
( x 2 y 2 )( y ) ( xy )(2 x) (x2 y 2 )2
( x, y ) (0,0) ( x, y)
terhadap-x
pada
titik
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0) y3 x2 y jika ( x, y ) (0,0) ( x 2 y 2 )2 0 jika ( x, y ) (0,0)
kontinu pada titik M(0,0). f ( x, y ) y3 x2 y a. lim lim ( x, y ) ( x , y ) ( 0, 0 ) ( x , y ) ( 0, 0 ) ( x 2 y 2 ) 2 x Karena nilai limit penyebut dan pembilang sama dengan nol, maka untuk menyelidiki nilai limitnya di reduksi perhitungannya pada garis y=0 (sumbu-x) yaitu : ( x ,0)
(0)3 x 2 (0) lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) ( x 2 ( 0) 2 ) 2 0 lim ( x , y ) ( 0, 0 ) x 4 0
perhitungannya pada garis x=0 (sumbu-y) yaitu :
f ( x, y ) lim ( x , y ) ( 0, 0) x
Karena
lim
( x , y ) ( 0 , 0 )
kedua
( 0, y )
hasil
f ( x, y ) x
y 3 ( 0) 2 y lim ( x , y ) ( 0 , 0 ) ((0) 2 y 2 ) 2
( x, y)
( x, y)
y3 x2 y jika ( x, y ) (0,0) ( x 2 y 2 )2 0 jika ( x, y ) (0,0)
maka
y x y (x2 y 2 )2 3
lim
f ( x, y ) y
parsial
( x, y)
f (0,0) 0 x
pada
titik
( x 2 y 2 )( x) ( xy )(2 y ) (x2 y 2 )2 x 3 xy 2 (x2 y 2 )2
Akan ditunjukkan bahwa turunan parsial pertama terhadap-y dari fungsi
xy jika (x, y) (0,0) f ( x, y ) x 2 y 2 0 jika (x, y) (0,0) yaitu :
f ( x, y ) y
( x, y)
x 3 xy 2 jika ( x, y ) (0,0) ( x 2 y 2 )2 0 jika ( x, y ) (0,0)
kontinu pada titik M(0,0). a.
f ( x, y ) ( x , y ) ( 0 , 0 ) y lim
( x, y)
x 3 xy 2 ( x , y )( 0 , 0 ) ( x 2 y 2 ) 2 lim
Karena nilai limit penyebut dan pembilang sama dengan nol, maka untuk menyelidiki nilai limitnya di reduksi perhitungannya pada garis y=0 (sumbu-x) yaitu :
f ( x, y ) ( x , y ) ( 0, 0 ) y lim
( x ,0)
x 3 x ( 0) 2 ( x , y ) ( 0 , 0 ) ( x 2 (0) 2 ) 2 lim
2
lim
perhitungannya pada garis x=0 (sumbu-y) yaitu :
f ( x, y ) ( x , y ) ( 0, 0 ) x lim
( 0, y )
tidak ada. b.
terhadap-y
berbeda
( x , y ) ( 0, 0 )
Turunan
( x, y ) (0,0)
x3 ( x , y ) ( 0, 0) x 4 1 lim ( x , y ) ( 0, 0) x
y3 lim ( x , y ) ( 0,0 ) y 4 1 lim ( x , y ) ( 0,0 ) y ini
f ( x, y ) x
yaitu :
f ( x, y ) lim ( x , y ) ( 0, 0) x
lim
Jadi turunan pertama terhadap –x yaitu fungsi
2.
Akan ditunjukkan bahwa turunan parsial pertama terhadap-x dari fungsi
( x, y)
y3 x2 y ( x , y )( 0, 0 ) ( x 2 y 2 ) 2 f (0,0) 0
Tidak ada
tidak kontinu di titik M(0,0).
y3 x2 y 2 (x y 2 )2
f ( x, y ) x
ISSN 2085-7829
Karena
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
kedua
hasil
(0)3 (0) y 2 ( x , y ) ( 0, 0 ) (( x ) 2 (0) 2 ) 2 0 lim ( x , y ) ( 0, 0 ) y 4 0
lim
ini
berbeda
maka
30
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
f ( x, y ) ( x , y ) ( 0 , 0 ) y lim
( x, y)
x 3 xy 2 ( x , y ) ( 0, 0 ) ( x 2 y 2 ) 2 lim
tidak ada. b.
f (0,0) 0 x
c.
Tidak ada
x 3 xy 2 ( x , y )( 0, 0 ) ( x 2 y 2 ) 2 f (0,0) 0 lim
Jadi turunan pertama terhadap–y yaitu fungsi
f ( x, y ) y
( x, y)
x 3 xy 2 jika ( x, y ) (0,0) ( x 2 y 2 )2 0 jika ( x, y ) (0,0)
ISSN 2085-7829
DAFTAR PUSTAKA nd Apostol, T.m., Calculus Volume 1 And 2 ,2 Edition, Jhon Wiley dan Sons, Inc., 1967 James R. Evaus, Fundamental of Calculus, West Publishing Company, New York, 1985. Martono, K., Kalkulus dan Ilmu-Ilmu Analitik, Angkasa, Bandung, 1985. Piskunov, N., Diffrential and Integral Calculus, Peace Publisher, Moscow, 1981. Setya Budhi, Wono, Kalkulus Peubah Banyak dan Penggunaannya, ITB, Bandung,2001 Watson Fulks, Advanced Calculus, Wiley TransEdition, John Wiley, 1981.
tidak kontinu di titik M(0,0). E. KESIMPULAN Dari hasil analisis dan pembahasan dapat ditarik beberapa kesimpulan sebagai hasil penelitian sebagai berikut : 1. Ada fungsi dua peubah z = f(x,y) yang kontinu disuatu titik (xo, yo) tetapi tidak mempunyai turunan parsial di titik (xo, yo). 2. Ada fungsi dua peubah z= f(x,y) yang tidak kontinu di titik tertentu (xo, yo) dan mempunyai turunan parsial di titik (xo, yo), akan tetapi turunan parsialnya tidak kontinu di titik (xo, yo).
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
31
Jurnal EKSPONENSIAL Volume 2, Nomor 1, Mei 2011
Program Studi Statistika FMIPA Universitas Mulawarman
ISSN 2085-7829
32
