Bab I
Fungsi Dua Peubah atau Lebih
Pengantar Seperti halnya dengan fungsi satu peubah, kita dapat mendefinisikan fungsi dua peubah atau lebih sebagai pemetaan dan sebagai pasangan berurut.Fungsi dengan peubah lebih dari satu cukup penting untyuk di pahami, mengingat masalah yang dihadapi dalam dunia nyata umumnya adalah fungsi dengan peubah lebih satu sebagai contoh, harga barang tergantung dari beberapa factor, dimana factor dapat kita pandang sebagai satu peubah .
1.1 Fungsi Dua Peubah Definisi 1. Misalkan D suatu himpunan di ℜ 2 Fungsi dua peubah bernilai real dengan daerah definisi D adalah aturan yang memasangkan setiap unsur (x, y) di D dengan tepat satu unsur di ℜ Aturan fungsi f dapat ditulis sebagai z =f(x, y). peubah x, y disebut peubah bebas dan z adalah peubah tak bebas. Bentuk pemetaannya dapat dilihat dalam gambar berikut :
Tidak semua rumus memberikan suatu fungsi. Sebagai contoh aturan z2 = x2 + y2tidak mendefinisikan fungsi. Sebab untuk (x, y) ada dua nilai z yang memenuhi yaitu
±
x 2+y 2
Daerah Definisi ( Domian) dan daerah jelajah (Range) Misalkan fungsi dua peubah adalah :
f (x, y)
Df = {(x,y) | z = f (x,y) ∈ Df } Sdan daerah nilainya adalah : Rf ={ z z = f (x,y), (x,y) ∈ D } Contoh 1 Tentukan Daerah definisi dan daerah nilai fungsi : f (x,y) =
xy
Penyelesaian Agar f (x,y) ∈ R syaratnya adalah (x ≥ O dan y ≥ O) atau (x ≥ O dan y ≤ O)Jadi daerah definasi fungsi f adalah D= {(x,y) (x ≥ O dan y ≥ O) atau (x ≤ O dan y ≤ O)} Kemudian daerah nilai fungsi f adalah R f = [O,oo] Contoh 2 ƒ(x,y) =
x 2 + y 2 − 25 x
z =
Domain dari ƒ adalah himpunan semua pasangan (x,y) yang memenuhi + 25 ≥ 0 dan x ≠ 0, sebab
x2 + y2
x 2 + y 2 − 25 akan bernilai riil jika x2 + y2 - 25 ≥ 0. jadi domain ƒ
adalah himpunan (x,y) yang berada di luar dan pada lingkaran x2 + y2 = 25, tapi x ≠ 0.
Contoh 3 ƒ(x,y) =
25 − x 2 − y 2 Domain dari ƒ atau Dƒ adalah himpunan semua pasangan (x,y) yang memenuhi
25 - x2 - y2 ≥ 0 sebab
25 − x 2 − y 2 bernilai riil jika 25 - x2 - y2 ≥ 0, atau x2 + y2 ≤ 25.
Jadi Dƒ = {(x,y) | x2 + y2 ≤ 25}. Ini adalah himpunan titik-titik (x,y) yang berada di dalam dan pada lingkaran x2 + y2 = 25 (lihat gambar 4).
Fungsi Fungsi Dengan peubah lebih dari dua Yang telah kita pelajari diatas, dapat kita perluas untuk fungsi lebih dari dua peubah. Notasi untuk fungsi tiga peubah adalah z = ƒ(x1,x2,x3), sedangkan untuk n peubah adalah z = ƒ(x1,x2,…,x11). Sebagai contoh fungsi dengan tiga peubah adalah ƒ(x,y,z) = x2 - y2 – z2.
1.2 LIMIT FUNGSI DUA PEUBAH Definisi 1.2 Jika P(x,y) dan A(a,b) titik-titik di dalam R2, maka jarak antar P dan A yang ditulis ¶ P A ¶. dengan :
Gambar : jarak P dan A di R 2
Definisi 1.3 (bola buka di R) Misalkan A (a,b) titik di R 2 dan r bilangan positif, maka bola buka B (A,r) didefinisikan sebagai himpunan semia titik di dalam lingakaran berpusat di A dengan jari-jari r, atau himpunan semua titik P (x,y) di R 2 di mana ⎜⎜ P – A ⎜⎜< r Jadi B(A,r) = {(x,y)∈ R 2 ⎮
Gambar 7 : Bola buka B(A,r)
Definisi 1.4 limit fungsi di titk ( x0 , y 0 ) Misalkan f (x,y) terdefinisi pada bola buka B (A,r) yang memuat ( x0 , y 0 ) kecuali mungkin di ( x0 , y 0 ) sendiri, maka lim (x,y)→ (
f(x,y)=L (
x0 , y 0 )
Jika untuk setiap ε > 0 yang cukup kecil, maka tedapat δ > 0 sehingga untuk setiap (x,y)
∈ B dan
< δ berlaku ⎮f (x,y) − L⎮< ε
Gambar 8: tafsiran geometri definisi limit fungsi dua peubah Dari gambar 8, jika (x,y) di dalam bola buka B( x0 , y 0 ,δ), maka L - ε < f (x,y) < L + ε. Dengan konsep limit tersebut di atas berarti bahwa nilai fngsi f (x,y) dapat di buat sembarang dekat ke- L denagan cara mengambil (x,y) yang cukup dekat ke- ( x0 , y 0 ). Dari sini di peroleh bahwa jarak f (x,y) ke- L dapat di buat lebih kecil dari sembarang bil.ε > 0 yang telah di tetapkan dengan cara mengambil (x,y) yang jaraknya ke ( x0 , y 0 ) lebih kecil dari suatu bilangan δ > 0 yang besarnya bergantung dari ε > 0 tadi. Perhatikan bahwa pada kasus ini (x,y) menuju ( x0 , y 0 ) dari segala arah karena titknya terletak dalam bola buka, hal ini dapat di lihat dalam gambar berikut:
Gambar 9 : cara mendekati ( x0 , y 0 ) Contoh 3 Buktikan bahwa lim
(2x + 3y) = 11
(x,y) → (1,3) Penyelesain : Untuk membuktikan limit tersebut,pertama kita harus ambil є>0 sembarang.kemudian kita harus mencari δ > 0 sedemikian sehingga berlaku.
| 2x + 3y - 11| < є untuk setiap (x,y) yang memenuhi ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 < δ Dengan menggunakan ketidak samaan segitiga, yakni |a+b |≤|a|+|b| , maka Diperoleh 2 x + 3 y − 11 = 2 x − 2 + 3 y − 9 ≤ 2 x − 2 + 3 y − 9 = 2 x − 1 + 3 y − 3 Karena | x- 1 | <
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 dan | y-3 | <
2
( x − 1) + ( y − 3) 2
Maka
2 x + 3 y − 11 ≤ 2 x − 1 + 3 y − 3 ≤ 2 ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 + 3 ( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 =5 √ (x-1)2+(x-3)2 Karena 0 <
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 < δ , maka | 2x+3y-11|≤5
Dengan memilih δ =
Maka
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 < 5δ
1 ε 5
⎛1 ⎞ 2 x + 3 y − 11 < 5⎜ ε ⎟ = ε ⎝5 ⎠
Dimana
( x − 1) 2 + ( y − 3) 2 < δ
0<
Jadi terbukti bahwa
lim
( x , y ) →(1, 3)
(2 x + 3 y ) = 11
Contoh 4 Tujukkan bahwa
lim
( x , y )→( 0, 0 )
Bukti AmbiL є>0 sembarang Akan di buktikan terdapat δ > 0 sedemikian hingga
x2 x +y 2
2
< ε , untuk 0 < x 2 + y 2 < δ
Perhatikan bahwa
x2 x2 + y2
=0
0≤
x2 x +y 2
≤
2
x2 + y 2 x +y 2
2
=
Selanjutnya dengan mengambil
x2 + y 2
x2
x + y 2 < ε , maka juga berlaku
x2 + y 2
<ε
Jadi dengan memilih δ = 1 ε , maka
2
x2 x2+ y
p
2
x2 + y2 < 1 ε < ε 2
Beberapa sifat limit fungsi dua peubah : Misalkan
lim
lim
(x,y)→(x0y0)f(x,y)=L dan (x,y)→(x0y0)g(x,y) = M ,maka 1.
lim lim (f(x,y)+ g(x,y) f(x,y)+ = (x,y) → (x0y0) (x,y)→(x0y0)g(x,y) (x,y)→(x0y0)
2.
lim lim (x,y)→(x0y0) (f(x,y).g(x,y) = (x,y)→(x0y0) f(x,y) . (x,y)→(x0y0)g(x,y)
3.
lim
f (x,y) = (x,y)→ (x0y0) f (x , y)= L (x,y)→(x0y0) g(x,y) lim M
, dengan
lim lim M≠ 0
(x,y)→(x0y0) g(x,y)
Dengan sifat limit tersebut, kita dapat menghitung nilai limit hanya dengan mensubstitusikan niai peubah. untuk fungsi rasional bisa di lakukan asalkan penyebut tidak sama dengan Nol. Seperti pada fungsi satu peubah untuk fungsi rasional yang penyebutnya Nol, maka harus di lakukan penguraian terlebih dahulu. Hal ini dapat dilihat contoh berikut :
Contoh 5 Hitunglah limit berikut ini! x 3 + xy 2 − x + x 2 y + y 3 − y ( x , y )→ (0 , 0 ) x+ y lim
Penyelesaian:
x 3 + xy 2 − x + x 2 y + y 3 − y ( x , y )→ (0 , 0 ) x+ y lim
= =
lim
(x + y )(x 2 + y 2 − 1)
lim
x 2 + y 2 − 1 = −1
x+ y
( x , y )→(0, 0 )
( x , y )→(0 , 0 )
Cara menunjukkan bahwa limit fungsi dua peubah tidak ada Misalnya S1 dan S2 adalah dua Subhimpunan di daerah dfinisi Df ⊂ R2. Jika lim f ( x, y ) ≠ lim , maka lim f(x,y) tidak ada.
( x , y )→( x0 , y0 )
( x , y )→( x0 , y0 )
( x , y )∈S1
( x , y )∈S 2
(x,y)→(x 0 , y)
Rumus ini seperi limit sepihak pada fungsi satu peubah, tetapi limit sepihak pada fungsi dua peubah mempunyai lebih banyak kemungkinan. Contoh 6. Tunjukkan bahwa fungsi f yang didefinisikan oleh: f (x,y) =
x2 − y2 x2 + y2
Tidak mempunyai limit di titik asal Penyelesaian Fungsi f didefinisikan dimana saja di bidang xy terkecuali di titik asal. Pilih S1 himpunan semua titik pada sumbu x. Maka nilai fungsi f adalah f (x,0) =
x2 − 0 =1 x2 + 0
Jadi limit f (x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu x adalah lim
( x , 0 ) →( 0 , 0 )
f ( x,0) =
x2 − 0 =1 ( x , 0 ) →( 0 , 0 ) x 2 + 0 lim
Pilih S2 himpunan semua titik pada sumbu y. Maka nilai fungsi f adalah f (0,y) =
0 − y2 = −1 0 + y2
Jadi limit f (x,y) untuk (x,y) mendekati (0,0) sepanjang sumbu y adalah
lim
( x , 0 )→( 0 , 0 )
f (0, y ) =
0 − y2 = −1 ( x , 0 )→( 0 , 0 ) 0 + y 2 lim
Karena
lim
f ( x, y ) = 1 untuk (x,y) ∈ S1 tidak sama dengan
lim
f ( x, y ) = −1 untuk (x,y) ∈ S2,
( x , 0 )→( 0 , 0 )
( x , 0 )→( 0 , 0 )
maka f (x,y) =
x2 − y2 tidak punya limit di titik asal. x2 + y 2
Contoh 6. Apakah limit fungsi tersebut ⎧ xy , jika ( x, y ) ≠ (0,0) ⎪ f (x,y) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪0 , jika ( x, y ) = (0,0) ⎩ di titik (0,0) ada? Penyelesaian Untuk menyelidiki nilai limit tersebut, ambil S adalah himpunan semua titik pada garis y = mx. Maka fungsi dapat dituliskan menjadi f (x,y) =
x(mx) m = 2 x + (mx) 1 + m2 2
Perhatikan bahwa limitnya bergantung pada nilai m. Ini berarti bahwa
lim
( x , y )→( 0 , 0 )
f ( x, y ) tidak ada.
Misalkan limit suatu fungsi melalui semua kemungkinan garis lurus ada dan sama, tetapi kita tidak dapat menyimpulkan bahwa limit tersebut ada. Sebab dalam hal ini kita belum melihat semua kemungkinan cara mendekat. Berikut ini adalah Contoh fungsi yang limitnaya ada dan mempunyai nilai sama jika dihitung melalui garis tetapi nilai limit tersebut berbeda jika dihitung melalui lengkungan kuadrat. Contoh 7 Misalkan
f x ,y ={
x2 y , jik a x , y ≠ 0 ,0 x4 y 2 0 , jik a x , y = 0 ,0
Apakah limit f(x,y) di titik (0,0) ada ?
Penyelesaian Pilih S1 adalah garis y=mx. Maka
x, y
x2m x mx = lim 2 = 0 ,untuk setiap bil. M 4 2 2 x 0 x x m x m2
f x , y = lim
lim 0,0
x
0
Pilih garis S2 adalah garis y=mx, maka
f x , y = lim
lim x, y
0,0
x
0
m x2m x2 m = lim = 4 2 4 2 x 0 1 x m x m 1 m2
lim
Dengan Demikian
x, y
f x,y
0,0
tidak ada
Mengingat limit sepihak pada fungsi dua peubah mempunyai lebih banyak kemungkinan, maka satu-satunya cara memperlihatkan bahwa suatu limit fungsi ada hanya dengan membuktiksn langsung berdasarkan definisi atau sifat-sifat limit fungsi.
1.3 KEKONTINUAN Seperti pada fungsi satu peubah,yang dimaksud dengan fungsi kontinu adalah fungsi yang nilai limitnya sama dengan nilai fungsinya. Jelasnya didefinisikan sebagai berikut : Definisi 1.5 Fungsi kontinu fungsi f(x,y) dikatakan fungsi kontinu di titik (x0,y0), jika memenuhi i. f x 0 , y 0
,ada
ii.
f x ,y
lim x, y
iii.
,ada
x0, y 0
lim x ,y
x 0, y 0
f x , y = f x 0, y 0
Sebaliknya jika salah satu syarat tidak dipenuhi pada (i),(ii),(iii), maka f(x,y) dikatakan tidak kontinu (diskontinu) di titik (x0,y0). Contoh 8 Misalkan
f x ,y =
{
x x2 0
2
y2
, jik a x , y ≠ 0 ,0 , jik a x , y = 0 ,0
Selidiki apakah f(x,y) kontinu di titik (0,0) Penyelesaian
i. f 0 ,0 = 0 ii. Da r i c o n t o h 4 , k it a t e la h d it u n ju k k a n b a h w a lim f x , y = 0 x, y
0,0
iii. f 0 ,0 =
lim x ,y
0,0
f x,y =0
Karena dipenuhi syarat kekontinuan, maka f(x,y) kontinu di titik (0,0). Contoh 9 Selidiki apakah fungsi tersebut
f x ,y ={
xy x 0
2
y
2
, jik a x , y ≠ 0 ,0 , jik a x , y = 0 ,0
kontinu di titik (0,0) Penyelesaian lim f x,y tidak Perhatikan bahwa f(0,0)=0 , tetapi dari contoh 6 telah diselidiki bahwa x , y 0 , 0 ada. Jadi salah satu syarat kekontinuan, yakni syarat (ii) tidak dipenuhi. Dengan demikian f(x,y) tersebut diatas tidak kontinu dititik (0,0).
Teorema 1.1 Jika ƒ dan g fungsi yang kontinu di (x0,y0) maka : 1. ƒ ± g kontinu di (x0,y0) 2. ƒg kontinu di (x0,y0) 3. ƒ / g kontinu di (x0,y0), asalkan g(x,y) ≠ 0 Bukti : Analog pada fungsi kontinu satu peubah (kalkulus I).
Dari teorema diatas, dapat dikatakan bahwa fungsi polimun dua peubah kontinu dimanamana, karena merupakan jumlah dan hasil kali fungsi-fungsi kontinu. Sebagai contoh fungsi f (x,y)=5x
y² - 2xy³ + 4 adalah kontinu dimana-mana di bidang xy.
Teorema 1.2 (Fungsi komposisi). Jika g suatu fungsi dua peubah kontinu di (a,b) dan f suatu fungsi satu peubah dan kontinu di g (a,b), maka fungsi komposisi f ○g yang didefinisikan oleh (f ○g)(x,y)= f(g(x,y)), adalah kontinu di (a,b) Contoh 9 Misalkan F(x,y)=cos(x³-4xy + y²). Tunjukan bahwa f (x,y) kontinu disetiap titik dari bidang. Penyelesaian Misalkan g (x,y)= x³ - 4xy + y² . karena g (x,y) adalah suatu polinom, maka kontinu dimana-mana. Kemudian perhatikan f (t) =cos t kontinu di t , ∀t Є R . Dengan Teorema 1.2, maka F (x,y)= f (g(x,y) kontinu disemua (x,y).
SOAL-SOAL LATIHAN I.
Tentukan Domain (daerah definisi) dari fungsi di bawah ini : 1.
f ( x, y ) =
3.
f ( x, y ) =
25 − x 2 − y 2 x x
2.
25 − x 2 − y 2
Buktikan limit fungsi berikut ini secara definisi lim (3x − 4 y ) = 1
1.
( x , y ) →( 3, 2 )
lim (5 x − 3 y ) = −2
2.
( x , y ) →( 2 , 4 )
lim ( x 2 + 2 y ) = 5
3.
( x , y ) →(1, 2 )
Selidiki apakah fungsi di bawah ini limitnya ada atau tidak ada untuk (x,y) (0,0). x2 − y2 x2 + y2
2. f(x,y)=
2 xy 2 x2 + y4
xy 2 x2 + y2
4. f(x,y)=
xy + y 3 (x 2 + y 2 )
x4 − y4 5. f(x,y)= 2 x + y2
6. f(x,y)=
1. f(x,y)= 3.. f(x,y)=
IV
x+ y xy
x y
7. .f(x,y)=
III
6. f(x,y)=
25 − x² − y ²
x− y x+ y
4. f(x,y)=
x2 − y2 5. f(x,y)= x− y
II
f ( x, y ) = x
Selidiki apakah fingsi ini kontinu di titik (0,0)
⎧ ⎪ ⎪ F(x,y)= ⎨ ⎪ ⎪⎩
xy 2
x +y 0
, jika (x,y) = (0,0)
2
, jika (x,y) ≠ (0,0)
xy x +y2 2
⎧ x2 − y2 ⎪ 2. f (x,y) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪0 ⎩ ⎧ xy ⎪ 3. f (x,y) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪0 ⎩
, jika ( x, y ) ≠ 0 , jika ( x, y ) = 0 , jika ( x, y ) ≠ 0 , jika ( x, y ) = 0
⎧ y2 , jika ( x, y ) ≠ 0 ⎪ 4. f (x,y) = ⎨ x 2 + y 2 ⎪ , jika ( x, y ) = 0 ⎩0
V.
1. Diketahui ⎧ x− y ⎪ 3 f (x,y) = ⎨ x − y ⎪1 ⎩
, jika y ≠ x 3 , jika y = x 3
apakah fungsi f kontinu di titik (1,1)? 2. Misalkan
⎧ x2 − 4 y 2 ⎪ f (x,y) = ⎨ x − 2 y ⎪ g ( x) ⎩
, jika x ≠ 2 y , jika x = 2 y
Jika f kontinu di seluruh bidang, cari suatu rumus untuk g(x) VI.
Tentukan daerah kekontinuan fungsi di bawah ini: 1. f(x,y) =
3. f(x,y) =
x
2. f(x,y) =
x2 − y2 − 4 xy 16 − x − y 2
2
4. f(x,y) =
x2 + y2 9 − x2 − y2 x 4 x + 9 y 2 − 36 2
