Hoofdstuk 1: Tweedegraadsfuncties 1.1 Grafieken Kwadratische verbanden Een tweedegraadsfunctie herkennen we als volgt: • het functievoorschrift is te schrijven in de vorm f (x ) = ax 2 + bx + c waarbij a, b, c ∈ IR en a ≠ 0 • in de tabel behoort bij elke toename van een origineel eenzelfde verschil in toename van de functiewaarde • de grafiek is een parabool Symmetrieas en top van een parabool (p. 8) Herhaling rechten
y = ax + b
schuine rechte a = rico (0, b ) is snijpunt met de y-as
x=a
verticale rechte
y=b
horizontale rechte
y
y = 2x - 1 x = -3 y=4
x -1
1
Functies f(x)= ax² (p. 8) De grafiek van een tweedegraadsfunctie f (x ) = ax 2 is een parabool, met de y-as als symmetrieas en de oorsprong als top. De coëfficiënt a bepaalt de vorm van de parabool: • a > 0: ∪ (dalparabool) • a < 0: ∩ (bergparabool) De opening van de parabool wordt smaller als |a| toeneemt en breder als |a| afneemt.
Functies f(x)= a(x - p)² (p. 10) We tekenen volgende functies met ons GRM. y1 = 2x² y2 = 2(x - 5)² hier is p = 5 y3
y1
y3 = 2(x + 4)² hier is p = -4 y2
* De grafiek van f (x ) = a (x − p ) vind je door de grafiek van f (x ) = ax 2 horizontaal te verschuiven: 2
p > 0: naar rechts p < 0: naar links * functies f (x ) = a (x − p ) • s ↔ x=p • T(p, 0)
2
Functies f(x)= a(x - p)² + q (p. 12) De grafiek van de tweedegraadsfunctie f (x ) = a (x − p ) + q is een parabool met de rechte x = p als symmetrieas en het punt (p, q) als top 2
Functies f(x)= ax² + bx + c (p.13) eerst oef. 32 p. 31 onthoud:
(a + b )2 (a − b )2
= a 2 + 2ab + b 2 = a 2 − 2ab + b 2
f (x ) = a (x − p ) + q 2
(
f (x ) = a x 2 − 2xp + p 2
)
2
+q
f (x ) = ax − 2axp + ap + q 2
2
Nu moet ax² - 2apx + ap² + q = ax 2 + bx + c ⇒ − 2ap = b en ap² + q = c −b ⇒ q = c − ap 2 p= 2a
⇒q ⇒q ⇒q ⇒q ⇒q
−b = c −a ⋅ 2a b2 = c −a ⋅ 4a 2 b2 =c − 4a 4ac b 2 = − 4a 4a 4ac − b 2 = 4a
2
samenvatting f (x ) = a (x − p ) + q
f (x ) = ax 2 + bx + c
top
( p, q )
s-as
x = p
− b 4ac − b 2 , 4ac 2a −b x = 2a
2
4ac − b 2 4ac − b 2 −b opmerking: = f niet van buiten leren! dus moet je 4ac 4ac 2a
Grafiek (p. 15) Oef. 39 (1) p. 37 f (x ) = −x 2 + 2x + 2
y
symmetrieas s↔x =
−b −2 = = −1 2a 2(− 1)
1 1 0
top
− b − b co (T ) = ,f 2a 2a
= (1, f (1))
= (1,3) symmetrische punten x y
-1 -1
0 2
1 3
2 2
3 -1
Functievoorschrift (p. 18) Eigenlijk geen nieuwe theorie, enkel oefeningen die je kan oplossen als je de paragraaf goed begrijpt. Basisformules: y = a (x − p ) + q
y = ax 2 + bx + c
top
( p, q )
s-as
x = p
− b − b ,f 2a 2a −b x = 2a
2
voorbeeld p. 18 - 19 in het handboek
x
1.2 Nulwaarden en tweedegraadsvergelijkingen Nulwaarden (p. 21) x = een nulwaarde van f
c f(x)=0
Onvolledige tweedegraadsvergelijkingen (p. 22) ⇒ zijn vergelijkingen ax 2 + bx + c = 0 waarbij b, c (of beiden) gelijk zijn aan nul. Hoe oplossen? 1ste geval: b = 0 bv:
2 * x − 16 = 0
x 2 = 16 x = 16 = 4 of x = − 16 = −4
* 3x 2 − 27 = 0
3x 2 = 27 x2 = 9 x =
9 = 3 of x = − 9 = −3
2de geval: c = 0 bv:
x 2 + 2x = 0 x (x + 2) = 0 x = 0 of x + 2 = 0 x = 0 of x = −2
We gebruiken dus de eigenschap: a.b=0 c a = 0 of b = 0
Volledige tweedegraadsvergelijkingen - kwadraatafsplitsing* (p. 24) *:
in het linkerlid komt een kwadraat in het rechterlid komt een getal
bv:
* x 2 + 8 x + 16 = 0
(x + 4 )2 x +4= x = −4
=0 0 =0
*
(x − 9)2 − 4 = 0 (x − 9)2 = 4 x −9 =
4 = 2 of x − 9 = −2
x = 11 of x = 7
2 * x + 2x − 3 = 0
2 * x + 2x + 3 = 0
x 2 + 2x = 3
x 2 + 2x = − 3
x 2 + 2x + 1 = 3 + 1
(x + 1)2
(x + 1)
geen oplossinge n
2
x +1 =
=4 4 = 2 of x + 1 = − 4 = −2
x = 1 of x = −3
= −2
Wortelformule (p. 25) ⇒ is een formule om tweedegraadsvergelijkingen op te lossen zonder kwadraatafsplitsing. ax 2 + bx + c = 0 ax 2 + bx = −c
linker- en rechterlid vermenigvuldigen met 4a
4a 2 x 2 + 4abx = −4ac 4a 2 x 2 + 4abx + b 2 = b 2 − 4ac
(2ax + b )2
linker- en rechterlid vermeerderen met b2
= b 2 − 4ac
D: discriminant = b 2 − 4ac 3 gevallen D>0
(2ax + b )2
D=0 =D
D<0
(2ax + b )2
=0
2ax + b = D of 2ax + b = − D
2ax + b = 0 = 0
2ax = −b + D of 2ax = −b − D
2ax = −b
x =
−b + D −b − D of x = 2a 2a
x =
geen oplossingen
−b 2a
Samenvatting wortelformule ax 2 + bx + c = 0 D = b 2 − 4ac D>0 x1 =
−b + D 2a
x2 =
−b − D 2a
D=0 x =
D<0
−b 2a
Tweedegraadsvergelijkingen oplossen met GRM EQUA
geen oplossingen
GRAPH y = x2 − 4
F2: POLYNOMIAL
F6: DRAW
F1: 2 of
F5: G-SOLV F1: ROOT eventueel pijlen gebruiken
Toepassing: coördinaten v. snijpunten v. 2 grafieken berekenen (p. 28) zie boek p. 28 - 29 Hoe bereken je snijpunten met je GRM? GRAPH
y = x 2 + 5x y = x 2 − 5x
DRAW SHIFT F5 F5 ISCT (evt. om 2de nulpunt te vinden)
Som-productmethode p. 30 Als x1 en x 2 wortels zijn van de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 , dan geldt: x1 + x 2 = x1 ⋅ x 2 =
−b a
c a
Bewijs: zie boek p. 30
Ontbinden in factoren (p. 32) Als x1 en x 2 wortels zijn van de tweedegraadsvergelijking ax 2 + bx + c = 0 , dan: ax 2 + bx + c = a (x − x 1 )(x − x 2 ) Opmerking: Als D = 0 dan is er maar 1 wortel x1 en geldt ax 2 + bx + c = a (x − x 1 ) . 2
Als D < 0 dan is er geen ontbinden in factoren.
Afleiding formule: zie boek p. 32
Vraagstukken (p. 34) 3 stappen
opstellen van de vergelijking oplossen van de vergelijking antwoord formuleren
1.3 Verloop en tekenonderzoek Verloop (p. 38) f (x ) = ax 2 + bx + c f (x ) = a (x − p ) + q 2
a < 0: ∩
a > 0: ∪ −b 2a −b f 2a min
x f (x )
x f (x )
p
x f (x )
−b 2a −b f 2a max
p
x f (x )
q min
q max
Tekenonderzoek (p. 41) a
D>0
D
x1
x2
x1
x2
a>0
x
D=0
f (x ) + 0 - 0 +
x1
D<0
x
x f (x )
x2
x + 0 +
x f (x )
+
x f (x )
-
x
a<0
x
x1
x2
f (x ) - 0 + 0 -
x f (x )
x - 0 -
Ongelijkheden (p. 46) zie boek p. 46 e.v.
Hoofdstuk 2: De cirkel 2.1 Afstanden en lijnen in cirkels Cirkel (p. 52) Definitie cirkel:
hb. p. 52.
Hb. p. 52 - 53:
-
straal koorde middellijn diameter
omtrek c (M , r ) = 2πr = πd
oppervlakte c (M , r ) = 4πr 2 = πd 2
Puntsymmetrie (p. 53) Hb. p. 53 (bewijs niet te kennen!!!)
Apothema (p. 54) Definitie hb. p. 54.
Kenmerk van een apothema (p. 55) Het apothema van een koorde is de middelloodlijn van die koorde.
Bewijs:
M B N A c (M , r )
MN is de hoogtelijn van [AB ]
⇓
⇓
MA = MB = r
MN ⊥ AB
⇓
⇓ MN is de hoogtelijn uit M op [AB ]
∆ABM is gelijkbeni g ⇓
in een gelijkbenige driehoek is de hoogtelijn tot de top ook de middelloodlijn
MN is de middelloodlijn van [AB]
Constructie:
middelpunt van een cirkel bepalen zie p. 56 in handboek
Lijnsymmetrie (p. 56) Een cirkel is een lijnsymmetrisch figuur met een middellijn als symmetrieas.
Rekenen met Pythagoras (p. 57) B a C
a2 = b2 + c 2
c b
A
eigenschap: Gelijke koorden hebben gelijke apothema’s en omgekeerd. C Q
MP =
MB
=
MD
D
2
− BP
2
2
− BP
2
MD = MB = r M
=
MD
2
− DQ
2
BP = DQ = MQ
A P B
De omgeschreven cirkel van een driehoek tekenen. *
Constructie: hb. p. 59
*
Verklaring van de constructie = bewijs van de eigenschap “door drie niet-collineaire punten (dit zijn punten die niet op 1 rechte liggen) gaat juist 1 cirkel”. Bewijs: hb. p. 59 - 60 (is te kennen!!!)
Raaklijn (p. 60) Een rechte die juist één punt gemeenschappelijk heeft met een cirkel noemen we een raaklijn aan die cirkel.
Kenmerk van raaklijn (p. 61) Een raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straal van de cirkel. Omgekeerd: De loodlijn op een straal van een cirkel door het eindpunt, is een raaklijn aan de cirkel.
Constructie:
raaklijnen aan een cirkel tekenen vanuit een punt buiten de cirkel. A
O M
1 2
P
Pˆ1 = Pˆ2
B
Bewijs:
OM = OA = OP en M , O , P zijn collineair ⇓
eigenschap van de diagonalen van de rechthoek.
M, A, P zijn hoekpunten van een rechthoek ⇓
MA ⊥ AP ⇓
loodlijn op een straal van een cirkel door het eindpunt is de raaklijn van een cirkel
AP is raaklijn in A
Symmetrie-eigenschappen (p. 63) (zie
op de vorige tekening)
•
De afstanden van het punt buiten de cirkel tot de raakpunten zijn gelijk.
•
De middellijn door het punt buiten de cirkel is de bissectrice van de hoek gevormd door de raaklijnen.
Constructie + bewijs: de ingeschreven cirkel van een driehoek hb. p. 65 - 66.
M N Bewijs: zie handboek.
Constructie + bewijs: de gemeenschappelijke raaklijnen aan 2 cirkels hb. 66 - 67
2.2 Hoeken in cirkels Middelpuntshoek (p. 70) Een hoek waarvan het hoekpunt samenvalt met het middelpunt van een cirkel, noemen we een middelpuntshoek van de cirkel.
Rekenen met goniometrische getallen (p. 71) a b c cos α = b a tan α = c
sin α =
b
a
α c
Omtrekshoek (p. 72) Een omtrekshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en de twee benen van de cirkel snijdt. O
A
M
B
Verband tussen hoeken (p. 73) 1 Oˆ = Mˆ 2 Een omtrekshoek op een boog is de helft van de middelpuntshoek op diezelfde boog. Bewijs: p. 74 - 75 (te kennen!!!)
Eigenschappen (p. 76 - 78) In hb. te studeren p. 76 - 78. met tekening en bewijzen.
Bijzondere omtrekshoeken (p. 78) (Niet te kennen.)
2.3 Regelmatige veelhoeken in cirkels te kennen: Vergelijking van een cirkel. Algemene vergelijking van een cirkel.
Vergelijking van een cirkel (p. 91) Een cirkel met middelpunt M (x M , y M ) en een straal r heeft een vergelijking van de vorm (x − x M ) + (y − y M ) = r 2 . 2
2
Algemene vergelijking (p. 93) Als a 2 + b 2 − c ≥ 0 , dan stelt de vergelijking x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 een cirkel voor met: * middelpunt (− a ,−b ) * straal Afleiding:
a 2 + b2 − c
We kennen de vergelijking van een cirkel met middelpunt M (x M , y M ) en straal r:
(x − x M )2 + (y − y M )2
=r2
2
2
x 2 − 2 ⋅ x ⋅ x M + x M + y 2 − 2 ⋅ y ⋅ yM + yM = r 2 2
2
2
2
x 2 + y 2 − 2 ⋅ x M ⋅ x − 2 ⋅ yM ⋅ y + x M + yM = r 2 x 2 + y 2 − 2 ⋅ x M ⋅ x − 2 ⋅ yM ⋅ y + x M + yM − r 2 = 0 a = − xM b = − yM
Neem:
2
2
c = x M + yM − r 2 x 2 + y 2 + 2ax + 2by + c = 0 Middelpunt M (x M , y M ) = (− a,−b ) a = − x M of x M = −a b = −y M of y M = −b 2
2
c = x M + yM − r 2 2
2
⇒ ± x M + yM − c
valt af want r is steeds > 0.
ICT - Grafisch rekentoestel en cirkels
Cirkels met gegeven middelpunt en straal tekenen.
Cirkels met een gegeven vergelijking tekenen.
Algemene vergelijking van een cirkel onderzoeken.
Hoofdstuk 3: Goniometrie 3.1 Goniometrische getallen Georiënteerde hoek (p. 98) * Georiënteerde hoek: hoek waaraan een draaizin is toegevoegd.
+ 40°
- 40°
tegenwijzerszin: +
ˆ = α + k ⋅ 360° * A
wijzerszin: -
k∈
Goniometrische cirkel (p. 100) Goniometrische cirkel: cirkel met middelpunt O (oorsprong) en straal 1.
y 1 II
I
P (x P , y P ) noemt men het beeldpunt van de georiënteerde hoek α.
α 0
III
1
IV
x
Goniometrische getallen (p. 101) y 1
P (x P , y P ) yP 0
α
xP
A 1
x
SOS: sin α =
AP y overstaande rechthoekszijde = = P = yP schuine zijde 1 OP
CAS: cos α =
x aanliggende rechthoekszijde OA = = P = xP schuine zijde OP 1
TOA: tan α =
AP y overstaande rechthoekszijde = = P aanliggende rechthoekszijde OA xP
⇒ co (P ) = (x P , y P ) = (cos α , sin α ) tan α =
sin α cos α
Opmerking * − 1 ≤ sin α ≤ 1 − 1 ≤ cos α ≤ 1
* sin 0° = 0 cos 0° = 1 sin 90° = 1 cos 90° = 0
sin 180° = 0 cos 180° = -1 sin 270° = -1 cos 270° = 0
* tan α kun je ook grafisch voorstellen: y
t
1
T (xT , yT ) yT α
O 0
A 1
x
verklaring constructie: hb. p. 104
Formules (p. 105) * De basisformule van de goniometrie kennen we reeds van uit 3IW: sin 2 α + cos 2 α = 1 * Bijkomende formule: 1 + tan 2 α =
sin α Bewijs: 1 + tan α = 1 + cos α
2
2
sin 2 α =1+ cos 2 α cos 2 α sin 2 α = + cos 2 α cos 2 α cos 2 α + sin 2 α = cos 2 α =
1 cos 2 α
1 cos 2 α
3.2 Verwante hoeken Tegengestelde hoeken (p. 108) y 1
cos (− α ) = cos α α 0
-α
sin(− α ) = − sin α
1
x
tan(− α ) = − tan α
cos x = cos α
c x = α + k ⋅ 360° of x = −α + k ⋅ 360°
Supplementaire hoeken (p. 110) y 1
cos (180 − α ) = − cos α
180 - α α 0
sin(180 − α ) = sin α
1
x
tan(180 − α ) = − tan α
sin x = sin α c x = α + k ⋅ 360° of x = 180 − α + k ⋅ 360°
Antisupplementaire hoeken (p. 113) y 1
cos (180 + α ) = − cos α
180 + α α 1
0
sin(180 + α ) = − sin α
x
tan(180 + α ) = tan α
tan x = tan α c x = α + k ⋅ 360° of x = 180 + α + k ⋅ 360° c x = α + k ⋅ 180°
Complementaire hoeken (p. 115) y 1
cos (90 − α ) = sin α
90 - α
sin(90 − α ) = cos α
α 0
1
x
tan(90 − α ) =
cos α = cot α sin α
Somformule voor sinus (p. 118) sin(20° + 50° ) = sin 70° ≈ 0,94 sin 20° + sin 50° ≈ 1,11 Wel geldt er:
sin(α + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
sin(20° + 50°) = sin 20° ⋅ cos 50° + cos 20° ⋅ sin 50°
Bewijs: boek p. 119 Basisgedachte van het bewijs: opp. ∆ABC = opp. ∆ABD + opp. ∆ADC AC ⋅ BE 2
sin(α + β ) =
BE AB
AC ⋅ BE ⋅ sin(α + β )
=
sin α ⋅ AB ⋅ cos β ⋅ AC
2 2 sin(a + β ) = sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β
oef. 23 p. 263 en onthouden dat
sin 2α = 2 sin α ⋅ cos α
Som- en verschilformules opstellen (p. 119) basis: sin(α + β ) = sinα ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β sin(α − β ) = sin(α + (− β )) = sin α ⋅ cos(− β ) + cos α ⋅ sin(− β ) = sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β cos(α + β ) = sin(90° − (α + β )) = sin((90° − α ) − β ) = sin(90° − α ) ⋅ cos β − cos(90° − α ) ⋅ sin β = cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β
+
cos α ⋅ AB ⋅ sin β ⋅ AC 2
oef. 26 p. 264
cos(α − β ) = cos(α + (− β )) = cos α ⋅ cos(− β ) − sin α ⋅ sin(− β ) = cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β
oef. 31 p. 267 tan(α + β ) =
sin(α + β ) sin α ⋅ cos β + cos α ⋅ sin β = cos(α + β ) cos α ⋅ cos β − sin α ⋅ sin β sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β = cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β =
tan α + tan β 1 − tan α ⋅ tan β
oef. 32 p. 267 tan(α − β ) =
sin(α − β ) sin α ⋅ cos β − cos α ⋅ sin β = cos (α − β ) cos α ⋅ cos β + sin α ⋅ sin β sin α ⋅ cos β cos α ⋅ sin β − cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β = cos α ⋅ cos β sin α ⋅ sin β + cos α ⋅ cos β cos α ⋅ cos β =
tan α − tan β 1 + tan α ⋅ tan β
Sinus, cosinus en tangens van belangrijke hoeken α
0°
30°
45°
60°
sin α
0
1 2
cos α
1
2 2 2 2
3 2 1 2
tan α
0
1
3
3 2 3 3
90° 1 0 /
3
sin 1 135°
3 2 2 2 1 2
0
1
60° 45°
3 3
30°
1 2 3 2 2 2
1
cos
210°
tan
sin(135°) =
2 2
cos(210°) = −
3 2
tan(− 60°) = − 3
vrijwillige taak:
maak een overzicht van alle formules en goniometrische getallen die we dit hoofdstuk gezien hebben.
3.3 Driehoeksmeting Sinusregel (p. 123) In elke driehoek geldt:
a b c = = sin α sin β sin γ C
γ
a
b
α
β
A
B
c
Bewijs:
C
α γ
a
b h
α A
β D
c
B
CD is hoogtelijn ⇒ CD = b ⋅ sin α b a b = = b ⋅ sin α = a ⋅ sin β ⇒ sin α sin β CD sin β = ⇒ CD = a ⋅ sin β a sin α =
CD
analoog vinden we:
b c = sin β sin γ
Cosinusregel (p. 125) In elke driehoek geldt:
C a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
γ
b 2 = a 2 + c 2 − 2 ⋅ a ⋅ c ⋅ cos β
a
b
c 2 = a 2 + b 2 − 2 ⋅ a ⋅ b ⋅ cos γ
α
β
A
B
c
Bewijs:
C
α γ
a
b h
α A
c1 D
β c
c2
Pythagoras toepassen in ∆BCD
a2 = h 2 + c2
2
a 2 = h 2 + (c − c 1 )
2
a 2 = h 2 + c 2 − 2 ⋅ c ⋅ c1 + c1
2
a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ c ⋅ c1 2
in ∆ADC : b 2 = h 2 + c 1 c in ∆ADC : cos α = 1 ⇒ c 1 = b ⋅ cos α b a 2 = b 2 + c 2 − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos α
analoog vinden we de 2 andere gelijkheden
B
Willekeurige driehoeken oplossen (p. 126) Een driehoek oplossen betekent: alle ontbrekende zijden en hoeken bereken.
a
γ b
sinusregel gaat niet werken
a b = sin α sin β sinα en sinβ ken je niet
⇒ cosinusregel gebruiken
a
β
cosinusregel gaat niet werken
⇒ sinusregel gebruiken
b
Hoofdstuk 4: Sinusfuncties 4.1 Grafieken van sinusfuncties Hoekmaten (p. 132) Een middelpuntshoek op een boog met een booglengte die gelijk is aan de straal van een cirkel heeft een hoekgrootte van 1 radiaal. tekening: zie boek p. 132
Omrekenen van hoekwaarden 180° = π rad
⇒ 1° =
π
rad
180
⇒ 1 rad =
180°
π
Enkele belangrijke hoeken 0° = 0 rad 30° = 45° = 60° =
π 6
π 4
π 3
rad
90° =
π 2
rad
180° = π rad 3π rad 2
rad
270° =
rad
360° = 2π rad
Periodieke functies (p. 134) De grafiek van een periodieke functie vertoont een patroon dat zich regelmatig herhaalt. De lengte van een interval waarin het patroon zich éénmaal voordoet, noemen we een periode.
Sinusfuncties (p. 136)
0
≈ 1,57
sin(x )
≈ 1,05
0
≈ 0,79
x
≈ 0,52
Tabel
π
π
π
π
6 1 2
4 2 2
3 3 2
2 1
π
3π 2
2π
0
-1
0
Grafiek
periode = 2π sin(x ) = sin(x + k ⋅ 2π )
sin (x) 1
π 2
-1
π
3π 2
2π x
k∈
Verloop: stijgen en dalen van een sinusfunctie (p. 137) De amplitude van de sinusfunctie is 1. maximale uitwijking t.o.v. de x-as
π
+ k ⋅ 2π 2 3π De sinusfunctie heeft -1 als minimum voor x = + k ⋅ 2π 2
De sinusfunctie heeft 1 als maximum voor x =
k∈ k∈
van [0,2π ]
Verlooptabel
x
0
y = sin x
0
π 2 1
3π 2 -1
max.
2π
0
min.
Tekenonderzoek: teken van de sinusfunctie onderzoeken (p. 138) De nulpunten zijn belangrijk: sin x = 0
⇔ sin x = sin 0 ⇔ x = 0 + k ⋅ 2π of x = π − 0 + k ⋅ 2π ⇔ x = k ⋅π
Tekentabel
x y = sin x
van [0,2π ] 0 0
+
π 0
-
2π 0
Functie f(x)= a ⋅ sin x: sinuslijnen verticaal uitrekken (p. 139) De amplitude van een sinusfunctie f (x ) = a ⋅ sin x is a (a > 0).
a > 1: verticale uitrekking a < 1: verticale samendrukking
Functies f(x)= sin bx: sinuslijnen horizontaal uitrekken (p. 140) De periode van een sinusfunctie f (x ) = sin bx is
2π (b > 0). b
b > 1: horizontale samendrukking b < 1: horizontale uitrekking
Functies f(x)= sin (x - c): sinuslijnen horizontaal verschuiven (p. 142) π
sin (x)
2
1
π
π
2
3π 2
-1
2π
x
y = sin x
π y = sin x − 2
Het faseverschil van een sinusfunctie g (x ) = sin(x − c ) ten opzichte van f (x ) = sin x is |c|. * voor c > 0 wordt de grafiek naar rechts verschoven * voor c < 0 wordt de grafiek naar links verschoven
bv. f (x ) = sin(x + 2) = sin(x − (− 2))
Functies f(x)= sin x + d: sinuslijnen verticaal verschuiven (p. 144) De evenwichtslijn van een sinusfunctie f (x ) = sin x + d is de horizontale rechte met vergelijking y = d. * voor d > 0 wordt de sinuslijn naar boven verschoven. * voor d < 0 wordt de sinuslijn naar onder verschoven.
Functies f(x)= a⋅sin[b(x-c)]+d: grafieken van sinusfuncties tekenen (p. 146) zie fig. 4.25 blz. 147 voor een praktische werkwijze rechthoekje tekenen * (c,d) = midden van de verticale rechte * 2a = breedte *
2π = lengte b
Voorschrift van een sinusfunctie opstellen (p. 148) zie boek blz. 148 - 149.
4.2 Goniometrische vergelijkingen Herhaling:
cos x = cos α
c x = α + k ⋅ 2π of x = −α + k ⋅ 2π sin x = sin α
c x = α + k ⋅ 2π of x = π − α + k ⋅ 2π tan x = tan α c x = α + k ⋅π
Nu breiden we onze vergelijkingen uit.
vb.:
sin x + 1 = 0,2 sin x = −0,8 sin x ≈ sin(− 0,93) x ≈ −0,93 + k ⋅ 2π of x ≈ π + 0,93 + k ⋅ 2π x ≈ 4,07 + k ⋅ 2π
y 1
0
4,07
1
-0,93
x
sin(2x − 1) =
1 2
sin(2x − 1) = sin
2x − 1 = 2x = 1 +
π 6
π
π 6 + k ⋅ 2π
of
2x − 1 = π −
+ k ⋅ 2π
of
2x = 1 +
6 1 π x = + + k ⋅π 2 12
of
π 6
+ k ⋅ 2π
5π + k ⋅ 2π 6 1 5π x = + +k ⋅π 2 12
y 1,81
1 0,76
0
1
0,76 + π 1,81 + π
x
Hoofdstuk 5: Beschrijvende statistiek 5.1 Statistische verwerking van data Wat is statistiek? (p. 6) Statistiek is de wetenschap die beschrijft hoe we gegevens kunnen verzamelen, verwerken en analyseren.
Populatie en steekproef (p. 7) zie boek p. 7
Kwantitatieve° en kwalitatieve* data herkennen (p. 8) ° data die we kunnen weergeven met getallen continu: als we de variabele kunnen beschrijven met een oneindig aantal reële getallen.
discontinu of discreet: als we de variabele kunnen beschrijven met een aantal vaste numerieke waarden
* als de variabelen betrekking hebben op een indeling of een beoordeling ordinaal: de variabele drukt een rangorde uit
nominaal:
de variabele drukt een classificatie uit
Frequentie (p. 11) definitie: boek p. 12 notatie: f (x i ) omvang van de steekproef: boek p. 12 notatie: n
5.2 Spreiding van data Centrummaten (p. 17) Getallen die het midden of centrum van een reeks data bepalen bv. gemiddelde of mediaan.
Gemiddelde (p. 18) gemiddelde x =
som van de data 1 = aantal data n
bij frequentietabel:
n
∑x
i
i =1
waarnemingsgetal x1
x =
frequentie f (x1 )
x2
f (x 2 )
x3
f (x 3 )
x 1 ⋅ f (x 1 ) + x 2 ⋅ f (x 2 ) + x 3 ⋅ f (x 3 ) n
Opmerking: het gemiddelde wordt sterk beïnvloed door zeer grote of zeer kleine data en is in die gevallen geen goede centrummaat
Mediaan (p. 19) •
oneven aantal waarnemingsgetallen: middelste getal
•
even aantal waarnemingsgetallen: gemiddelde van de 2 middelste data
Opmerking: de mediaan wordt niet beïnvloed door zeer grote of zeer kleine data en is in die gevallen wel een goede centrummaat
Spreidingsmaten (p. 22) Spreidingsmaten zijn getallen die de spreiding van een reeks data uitdrukken.
Spreidingsbreedte (p. 23) Spreidingsbreedte = variatiebreedte = x max − x min
Interkwartielafstand (p. 24) Q1 = 1ste kwartiel = mediaan van de eerste helft van de gerangschikte data Q 3 = 3de kwartiel = mediaan van de tweede helft van de gerangschikte data Interkwartielafstand = Q 3 − Q1
Boxplot Boxplot is een middel om centrum en spreiding van verschillende data in 1 oogopslag te vergelijken.
Q1 Med
x min
0
1
2
3
4
5
6
7
Q3
8
9
x max
10
11
Standaarddeviatie (p. 28) n
∑ (x variantie = σ 2 =
− x)
2
i
i =1
n n
∑ (x standaarddeviatie = standaardafwijking = σ = σ 2 =
− x)
2
i
i =1
n
De standaarddeviatie geeft een idee hoe de data gespreid liggen rond het gemiddelde. Opmerking: σ 2 en σ bij de Casio Graph 35 Via 1VAR vind je xσn = standaardwaarde Zelf kwadrateren geeft σ 2 .
Toepassing (p. 31)
5.3 Frequenties en diagrammen Relatieve frequentie (p. 34) Het getal dat aangeeft hoe dikwijls eenzelfde waarnemingsgetal procentueel voorkomt in een reeks data, noemen we de relatieve frequentie van dat waarnemingsgetal. rf =
af (in breuk-, decimale of percentnotatie) n
Opmerking: De som van de relatieve frequenties van alle verschillende waarnemingsgetallen is gelijk aan 100 %. Bij afronding is de som meestal een benadering van 1 of 100 %.
Cirkeldiagram en strookdiagram (p. 35) cirkeldiagram:
100% ↔ 360° 1% ↔ 3,6° 100% ↔ l
strookdiagram:
1% ↔
l 100
Somfrequentie (p. 38) somfrequentie = cumulatieve frequentie symbool: cf relatieve somfrequentie symbool: crf
Lijndiagram (p. 39) Onthoud de naam ‘ogief’.
Vergelijkend diagram (p. 42)
5.4 Gegroepeerde data Histogram (p. 45) Als we te veel waarnemingsgetallen hebben, gaan we deze groeperen in klassen. bv. de klasse [160,165[ - ondergrens (160): behoort WEL tot de klasse - bovengrens (165): behoort NIET tot de klasse klassebreedte = 165 - 160 = 5 klassemidden =
160 + 165 = 162,5 2
histogram: zie fig. p. 46
Frequentiepolygoon (p. 47) + ogief: zie p. 48 - 49.
Centrummaten (p. 49) gemiddelde x van gegroepeerde data =
som van (klassemidden ⋅ frequentie ) n
mediale klasse = de eerste klasse waarin de somfrequentie groter is dan de halve omvang van de steekproef De mediaan is dan het klassemidden van deze klasse. Met GRM is gemiddelde en mediaan gemakkelijk te berekenen. Let op! Werk met klassemiddens en vergeet de frequentie niet in lijst 2!
Hoofdstuk 6: Functies 6.1 Drie standaardfuncties Domein en bereik (p. 56) Het domein van een functie bevat alle reële getallen waarvoor de functiewaarde bestaat. De verzameling functiewaarden noemen we het bereik van de functie.
Functie f(x)=x³ (p. 58) tabel: x f(x) grafiek:
domein: IR bereik: IR
-2 -8
-1 -1
0 0
1 1
2 8
tekenonderzoek: x f(x)
0 0
-
+
verloop: x f(x)
symmetrie: De grafiek is een puntsymmetrische kromme. De oorsprong is symmetriecentrum.
Functie f(x)=
x (p. 61)
tabel: x f(x)
0 0
1 1
2 3 1,41 1,73
4 2
5 6 7 8 2,24 2,45 2,65 2,83
grafiek:
domein: IR + bereik: IR + tekenonderzoek: x f(x)
0 0
+
verloop: x f(x)
0 0 min.
9 3
Functie f(x)=1/x (p. 63) tabel: x f(x)
-3 -
1 3
-2
-1
-0,5
0
0,5
1
2
3
1 2
-1
-2
|
2
1
1 2
1 3
-
grafiek: als x → 0 ⇒ f (x ) → +∞ >
lim f (x ) = +∞
x →0 >
als x → −∞ ⇒ f (x ) → 0
als x → +∞ ⇒ f (x ) → 0
lim f (x ) = 0
lim f (x ) = 0
x → −∞
x → +∞
als x → 0 ⇒ f (x ) → −∞ <
lim f (x ) = −∞
x →0 <
Men zegt: De x-as is horizontale asymptoot. Men zegt: De y-as is verticale asymptoot. domein: IR 0 bereik: IR 0 tekenonderzoek: x f(x)
-
0 |
+
verloop: x f(x)
0 |
symmetrie: De grafiek is een puntsymmetrische kromme. De oorsprong is symmetriecentrum.
Hoofdstuk 7: Delingen met veeltermen 7.1 Veeltermfuncties Definitie (p. 80) Een veeltermfunctie van de n-de graad heeft een functievoorschrift dat opgebouwd is uit een veelterm waarvan de hoogste exponent gelijk is aan n. vb. f (x ) = 3x 5 + 4x 3 + x 2 − 7
gr ( f (x )) = 5
Nulwaarden (p. 81) De nulwaarde van een veeltermfunctie f van de derde graad of hoger is een oplossing van de hogere graadsvergelijking* f (x ) = 0 . * graad > 2
7.2 Veeltermen delen Euclidische deling (p. 84) lagere school (natuurlijke getallen) 63 5 13 10 3
5
a
12
b q
r a = b ⋅ q + r r < b
63 = 5 ⋅ 12 + 3 in bovenstaande staartdeling is
• • • •
63 het deeltal 5 de deler 12 het quotiënt 3 de rest
4 IW (veeltermen)
d (x )
f (x )
f (x ) = d (x ) ⋅ q (x ) + r (x ) met gr (r (x )) < gr (d (x )) of r (x ) = 0 ↓ de deling is opgaand
q (x ) r (x )
Algoritme van een deling (p. 86) deel 3x 3 − 5x + 2 door x − 1 3x³ + 0x² - 5x + 3x³ - 3x² 3x² - 5x 3x² - 3x -2x + -2x + 3x 3 = 3x 2 x
2
x-1 3x 2 + 3x − 2
2 2 0
3x 2 = 3x x
− 2x = −2 x
Controle: (x − 1) 3x 2 + 3x − 2 + 0 = 3x 3 + 3x 2 − 2x − 3x 2 − 3x + 2
(
)
= 3x 3 − 5 x + 2
Deelbaarheid (p. 88) Een veelterm f (x ) is deelbaar door een veelterm d (x ) als de rest van de deling van f (x ) door d (x ) nul is.
7.3 Delen door x - a Regel van Horner (p. 90) →
Is een algoritme om de rest en het quotiënt bij deling door (x − a ) of (x + a ) = (x − (− a )) te bepalen.
Algoritme van een deling 2x³ - 10x² + 17x - 7 2x³ - 6x² -4x² + 17x -4x² + 12x 5x - 7 5x - 15 8
Regel van Horner
x-3 2x 2 − 4x + 5
2
-10
17
-7
2
6 -4
-12 5
15 8
3
→ g (x ) = 2x 2 − 4x + 5
→ r (x ) = 8
Laat het eerste getal zakken. Getallen die onder elkaar staan tel je op. Getallen onder de streep vermenigvuldig je met het getal links van de streep.
Reststelling (p. 92) De rest van de deling van een veelterm f (x ) door (x − a ) is gelijk aan f (a ) . Bewijs:
f (x ) = d (x ) ⋅ q (x ) + r (x ) d (x ) = x − a
rest is een getal
⇒ f (x ) = (x − a ) ⋅ q (x ) + r ⇒ f (a ) = (a − a ) ⋅ q (a ) + r ⇒ f (a ) = 0 ⋅ q (a ) + r ⇒ f (a ) = r
Deelbaarheid door x - a (p. 94) Een veelterm f (x ) is deelbaar door (x − a ) als f (a ) = 0 .
Ontbinding van x³ - a³ en x³ + a³ (p. 94) We delen x 3 − a 3 door x − a met de regel van Horner: 1
0
0
-a³
1
a a
a² a²
a³ 0
a
(x
3
)
(
− a 3 = (x − a ) x 2 + ax + a 2
)
We delen x 3 + a 3 door x + a met de regel van Horner: 1
0
0
a³
1
-a -a
a² a²
-a³ 0
-a
(x
3
)
(
+ a 3 = (x + a ) x 2 − ax + a 2
)
Toepassing (p. 96) Voorbeelden in boek bestuderen. Voorbeeld 1 Nu met Horner: 2 3 -2 2
-4 -1
p
5
2 p+2
-2p-4 0
− 2 p − 4 = −5 − 2 p = −1 1 p=− 2
7.4 Hogeregraadsvergelijkingen Vergelijkingen a ⋅ b = 0 (p. 99) ∨ : of
a ⋅b = 0 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
∧ : en
Derdegraadsvergelijkingen oplossen met deling door x - a (p. 99) Los op f (x ) = 0 als je weet dat f (a ) = 0 .
⇓
reststelling
f (x ) = (x − a ) ⋅ q (x ) Dus f (x ) = 0 ⇔ (x − a ) ⋅ q (x ) = 0
⇔ x − a = 0 ∨ q (x ) = 0 2de graad
Bikwadratische vergelijkingen* (p. 101) *vergelijkingen van de vorm ax 4 + bx 2 + c = 0 stel x 2 = y
(x
4
= y2
met a ≠ 0
)
⇓ ay 2 + by + c Deze vergelijking lossen we op. Via x 2 = y vinden we dan onze x’en.
Hoofdstuk 8: Complexe getallen 8.1 Complexe getallen Het getal i (p. 104) Het getal i met als kenmerk i 2 = −1 , noemt men de imaginaire eenheid. Hieruit volgt:
− 36 = 6i want (6i ) = 6 2 ⋅ i 2 = 36 ⋅ (− 1) = −36 2
− 1 = i want i 2 = −1 eigenlijk is deze notatie fout, onder een √-teken mag enkel een positief getal staan.
als x 2 = −9 dan is x = 3i ∨ x = −3i
Complex getal (p. 106) Imaginair getal = veelvoud van id vb. 2i, -5i,
2 ⋅i
Complex getal = getal van de vorm a + bi met a , b ∈ IR a: reëel deel b: imaginaire deel
a + bi = c + di c a =c ∧b = d
= verzameling van de complexe getallen
Opmerking
IN = {0,1,2,3,...} = {...,−3,−2,−1,0,1,2,3,...}
a = a,b ∈ b
en b ≠ 0
IR = reële getallen
= {a + bi a, b ∈ IR}
IN ⊂ ⊂
⊂ IR ⊂
Complexe vlak = vlak van Gauss (p. 107) → zie boek p. 107-108
8.2 Rekenen met complexe getallen Optelling (p. 110)
(a + bi ) + (c + di ) = (a + c ) + (b + d )i → zie boek p. 110
Aftrekking (p. 110)
(a + bi ) − (c + di ) = (a − c ) + (b − d )i
Vermenigvuldiging (p. 111)
(a + bi ) ⋅ (c + di ) = ac + adi + bci + bdi 2 = ac + adi + bci − bd = (ac − bd ) + (ad + bc )i
Deling (p. 112) a + bi = a − bi noemt men het toegevoegde complex getal van a + bi . 2 + 3i 2 + 3i 4 + 5i (8 − 15 ) + (12 + 10 )i = (8 − 15 ) + (12 + 10 )i = − 7 + 22i = ⋅ = 4 − 5i 4 − 5i 4 + 5i (16 + 25 ) + (20 − 20 )i 41 41 − 7 22 = + i 41 41 GRM ingeven i 1: RUN, OPTN, F3: CPLX, F1: i
Vierkantswortels van een negatief reëel getal (p. 113) zie hb. p. 113
Tweedegraadsvergelijkingen met reële coëfficiënten (p. 114) zie hb. p. 114
ax 2 + bx + c D = b 2 − 4ac D <0:
geen oplossingen in IR wel oplossingen in
8.3 Complexe getallen in goniometrische vorm Goniometrische vorm (p. 118)
a + bi
b r
α a a ⇒ a = r ⋅ cos α a + bi = r ⋅ cos α + r ⋅ sin αi r = r (cos α + i sin α ) b sin α = ⇒ b = r ⋅ sin α r cos α =
r: modulus
r = a + bi
α: argument
α = arg (a + bi )
Opmerking:
r = a2 + b2 Zo vind je r en α als je a en b hebt. b tan α = a r en α met GRM berekenen: RUN OPTN CPLX F2: ABS
vb. abs(1 + i ) = 1,4142
F3: ARG
vb. arg (1 + i ) = 45
(GRM in deg)
Vermenigvuldiging (p. 121) r1 (cos α1 + i sin α1 ) ⋅ r2 (cos α 2 + i sin α 2 )
= r1r2 (cos α1 + i sin α1 )(cos α 2 + i sin α 2 )
= r1r2 [(cos α1 cos α 2 − sin α1 sin α 2 ) + (cos α1 sin α 2 + sin α1 cos α 2 )i ] = r1r2 [cos(α1 + α 2 ) + sin(α1 + α 2 )i ]
Deling (p. 123) r1 (cos α1 + i sin α1 ) r1 cos α1 + i sin α1 cos α 2 − i sin α 2 = ⋅ ⋅ r2 (cos α 2 + i sin α 2 ) r2 cos α 2 + i sin α 2 cos α 2 − i sin α 2 = =
r1 (cos α1 cos α 2 + sin α1 sin α 2 ) + (− cos α1 sin α 2 + sin α1 cos α 2 )i ⋅ r2 cos 2 α 2 − i 2 sin 2 α 2 r1 cos(α1 − α 2 ) + i sin(α1 − α 2 ) ⋅ r2 cos 2 α 2 + sin 2 α 2
(met cos 2 α 2 + sin 2 α 2 = 1 )
⇒
r1 (cos α1 + i sin α1 ) r1 = ⋅ (cos(α1 − α 2 ) + i sin(α1 − α 2 )) r2 (cos α 2 + i sin α 2 ) r2
Complexe getallen tot een macht verheffen (p. 124)
[r1 (cos α1 + i sin α1 )]n = r (cos α + i sin α ) ⋅ r (cos α + i sin α ) ⋅ ... ⋅ r (cos α + i sin α ) = r ⋅ r ⋅ ... ⋅ r [cos(α + α + ... + α ) + i sin(α + α + ... + α )] = r n (cos nα + i sin nα ) Als r = 1, wordt dit de formule van DE MOIVRE genoemd. (cos α + i sin α )n = cos nα + i sin nα Voorbeeld + grafische voorstelling: p. 125-126.
Vierkantswortels (p. 127) Stel dat c ′ = r ′(cos α ′ + i sin α ′) de vierkantswortel is van c = r (cos α + i sin α ) .
⇒ (c ′) = c 2
⇒ [r ′(cos α ′ + i sin α ′)] = c 2
⇒ (r ′) (cos 2α ′ + i sin 2α ′) = r (cos α + i sin α ) 2
⇒ (r ′) = r 2
⇒ 2α ′ = α + k ⋅ 360°
⇒ r ′ = r of r ′ = − r en α ′ =
α 2
(want r is een afstand )
+ k ⋅ 360 °
⇒ r ′ = r en k = 0 : α ′ = k = 1:α′ =
α 2
α 2
+ 180°
α α ⇒ k = 0 : r cos + i sin 2 2
sin
α α k = 1 : r cos + 180° + i sin + 180° 2 2
α α = − r cos + i sin 2 2
α
Gegevens opslaan in GRM: • Voer het gegeven in. • Druk op
→.
(te vinden onder de L)
• Druk op ALPHA en vervolgens op de letter van de bewaarplaats. • Druk op EXE.
Gegevens oproepen in GRM: • Druk op ALPHA en vervolgens op de letter van de bewaarplaats. • Druk op EXE.
cos
Derdemachtswortels (p. 129) Stel dat c ′ = r ′(cos α ′ + i sin α ′) de derdemachtswortel is van c = r (cos α + i sin α ) . ⇒ (c ′) = c 3
⇒ [r ′(cos α ′ + i sin α ′)] = r (cos α + i sin α ) 3
⇒ (r ′) (cos 3α ′ + i sin 3α ′) = r (cos α + i sin α ) 3
⇒ (r ′) = r en 3α ′ = α + k ⋅ 360 ° 3
⇒ r ′ = 3 r en α ′ =
α 3
+ k ⋅ 120 °
α α ⇒ k = 0 : 3 r cos + i sin 3 3 α α k = 1 : 3 r cos + 120 ° + i sin + 120° 3 3 α α k = 2 : 3 r cos + 240 ° + i sin + 240 ° 3 3
