Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
HÁZI FELADATOK 3. félév Értékelés: 1. konferencia A Laplace-transzformáció 3. egység: önálló feladatmegoldás 1. Képezze az alábbi képletekkel megadott f(t) függvények L[f(t)] Laplace-transzformáltját! 1.1.
34 t L e =
1.3.
L 9 e3t =
1.4.
1 2 L e − 7 t + e 5 t − 9 e −12 t = 5 3
1.8.
5t L 4 cos = 4
1.10.
1 R L e − ω t + sin ω t = C L
[
]
(R, L, C és ιυ állandók)
3. Transzformálja vissza az alábbi képletekkel megadott F(s) függvényeket! 3.2.
1 L−1 = 3 s + 21
3.6.
8s L−1 2 = s − 4
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
3.10.
6 º ª120 4 = L−1 « 6 − 5 + s + 1»¼ s ¬s
3.11.
ª º 4s L−1 « 2 »= ¬s − 4 s − 5¼
3.12.
ª º 6 L−1 « 2 »= s 5 s 4 − + ¬ ¼
3.13.
ª º s −1 L−1 « 3 »= 2 ¬ s + 8 s + 15 s ¼
3.24.
ª s2 − 4 º = L « 4 2 » ¬s + 2 s ¼ −1
2
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 2. konferencia Állandó együtthatós differenciálegyenletek egy partikuláris megoldásának meghatározása a Laplace-transzformáció alkalmazásával 2. egység: önálló feladatmegoldás
Oldja meg a Laplace-transzformáció alkalmazásával a következő differenciálegyenleteket! 4.1.
y ′ + 3 y = e 5 x ha
y ( 0) = 4
4.2.
y ′ + 2 y = sh 3 x
ha
y ( 0) = 5
3
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
4.4.
y ′′ + 3 y ′ + 2 y = e 2 x
ha
y ( 0) = 0
és
y ′(0) = 2
4.5.
y ′′ − 6 y ′ + 9 = e −2 x
ha
y ( 0) = 0
és
y ′(0) = 0
4
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
4.7.
y ′′ + 4 y ′ = sin x
ha
y ( 0) = 0
és
y ′(0) = 0
4.8.
y ′′ + 3 y ′ − 4 y = sh 3x ha
y ( 0) = 2
és
y ′(0) = 3
5
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
3. egység: Áramköri feladatok megoldása operátorimpedanciával (Jegyzet a tankönyv kijelölt fejezetei alapján)
Folytatás a 6/1, 6/2, stb. oldalakon!
6
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 3. konferencia A numerikus sor és kapcsolata a függvénysorral 1. egység: önálló feladatmegoldás
Írja fel az alábbi számsorok első hat részletösszegét! ∞
9.1.
§1· ¨ ¸ ¦ k =1 © 3 ¹ s1 =
k
1 3 2
1 §1· s2 = + ¨ ¸ = 3 © 3¹ 3
§1· s3 = s 2 + ¨ ¸ = © 3¹
s4 = s5 = s6 =
3 k +1 ¦ 2k k =0 2 ∞
9.6.
s1 = s2 = s3 = s4 = s5 = s6 =
7
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is! ∞
9.7.
¦ (− 1)k k =0
4 k +3 5k
s1 = s2 = s3 = s4 = s5 = s6 =
3. egység: önálló feladatmegoldás
Valamelyik konvergenciakritérium segítségével döntse el, hogy az alábbi számsorok konvergensek vagy divergensek! ∞
9.35.
∑k k =2
2
∞
9.41.
∑k k =1
2
1 −1
7 +1
8
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is! ∞
9.43.
k
¦3 k =1
k
9.53.
k3 ¦ k k =1 4
9.54.
¦5
∞
∞
k =0
k! k
9
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 4. konferencia A Fourier-sor, mint speciális függvénysor 2. egység: önálló feladatmegoldás
Ábrázolja az alábbi periodikus függvényeket és határozza meg a Fourier-sorukat! 3, ha − π < x ≤ 0 9.191. f ( x) = ® ¯− 3, ha 0 < x ≤ π
f ( x) = f ( x + 2π ) minden x ∈ R esetén
és
10
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
9.185. f ( x) = x , ha − π < x ≤ π
f ( x) = f ( x + 2π ) minden x ∈ R esetén
és
11
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
° x + 1, ha − π < x ≤ 0 9.195. f ( x) = ® 2 °¯ 1, ha 0 < x ≤ π
f ( x) = f ( x + 2π ) minden x ∈ R esetén
és
12
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
3. egység: önálló feladatmegoldás Ábrázolja az alábbi periodikus függvényeket és határozza meg a Fourier-sorukat! − 2 x + 1, ha − π < x ≤ 0 és 9.186. f ( x) = ® ¯ 2 x + 1, ha 0 < x ≤ π
f ( x) = f ( x + 2π ) minden x ∈ R esetén
13
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
9.192. f ( x) = x, ha − π < x ≤ π
f ( x) = f ( x + 2π ) minden x ∈ R esetén
és
14
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
− x + 2, ha − 1 < x ≤ 0 9.201. f ( x) = ® ¯ x + 2, ha 0 < x ≤ 1
f ( x) = f ( x + 2) minden x ∈ R esetén
és
15
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
− 2, ha − 1 < x ≤ 0 9.204. f ( x) = ® ¯ 2, ha 0 < x ≤ 1
f ( x) = f ( x + 2) minden x ∈ R esetén
és
16
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
Értékelés: 5. konferencia A hatványsor, mint speciális függvénysor és a Taylor-sor, mint speciális hatványsor 2. egység: önálló feladatmegoldás
Állapítsa meg az alábbi hatványsorok konvergenciatartományát! ∞
9.111.
¦ k! x
k
k =0
∞
9.112.
¦k x
k
k =1
∞
9.120.
3k k x ¦ k =0 k!
17
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is! ∞
9.110.
¦ (3x)
k
k =0
Határozza meg az alábbi függvény Maclaurin-sorát, és állapítsa meg a kapott sor konvergenciatartományát! 9.134. f ( x) = sin 2 x
A függvény Maclaurin-sorának segítségével, a megadott pontossággal, számítsa ki az alábbi határozott integrálok értékét! 0, 5
9.181.
sin x dx x 0
³
ε = 10 − 4
18
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
2
ex 9.180. ³ dx 1 x
ε = 10 − 4
3. egység: önálló feladatmegoldás Állapítsa meg az alábbi sorok konvergenciatartományát! ∞
9.114.
k § x · ¸ ¦ k ¨ k =1 3 © x + 1 ¹
k
x ≠ −1
19
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is! ∞
9.116.
2k k x ¦ k =0 k!
k2 k 9.119. ¦ x k =0 k! Határozza meg az alábbi függvények Maclaurin-sorát, és állapítsa meg a kapott sor konvergenciatartományát! ∞
9.136. f ( x) = sin 3 x
9.137. f ( x) = cos 3 x
20
Figyelem! A feladatok megoldása legyen áttekinthető és részletes, de férjen el az arra szánt helyen! Ha valamelyik feladat megoldásához útmutatást talál, akkor kövesse azt értelemszerűen a feladatcsoport többi feladatában is!
9.146. f ( x) = ln( x 2 + 1)
A függvény Maclaurin-sorának segítségével, a megadott pontossággal, számítsa ki az alábbi határozott integrál értékét! 1
9.179.
∫e
− x2
dx
ε = 10 −6
0
21
