Debreceni Egyetem ´zet Matematikai Inte
Feladatok matematik´ab´ol 3. r´esz fizika ´es villamosm´er¨ok alapszakos hallgat´ok r´esz´ere
Debrecen, 2006 ˝osz
2
Hat´arozatlan integr´al 1. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z 1 a.) dx x2 Z 2 x −1 b.) dx x+1 Z x+1 √ dx c.) x Z d.) (1 + ex−1 )dx
Z Z r q √ x x xdx l.) Z µ
(x4 + 3x2 + 5x + 2) dx
Z n.)
(1 − x2 )2 dx x(1 − x)(1 − 2x) dx Z
h.) Z i.) Z j.)
1 1 1 ( + 2 + 3 ) dx x x x
Z p.)
e.) Z f.)
1 − 3x dx
√
q.) Z r.) s.)
1 dx 2 − 5x
1 dx 5 + 2x2 1 dx 2 + 3x2
Z
1 √ t.) dx 2 − 3x2 ——————————————————————-
2. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z x+1 a.) dx 2 x + 2x − 1 Z x−2 b.) dx x(x − 4) Z 1 c.) dx x ln x Z d.) tg x dx Z
√ 3
Z
Z
x+1 √ dx x 1 + x2 dx x2
(2x − 3)10 dx
o.)
Z g.)
1 dx x+5
Z
Z f.)
5 1 2e + + x cos2 x x
m.)
Z e.)
(t2 + 6t − 5)dt
k.)
sin 2x dx 1 + sin2 x 8x − 7 dx 2 4x − 7x + 11
Z g.) Z h.) Z i.)
e2x dx 1 + e2x 2x dx 1 + x2 x dx 2 + 3x2
Z √
j.) Z k.) Z l.)
5x dx 1 − 2x2
2x + 5 dx 1 + 3x2 1+x dx 2 + 3x2
¶ dx
3 3. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat! Z Z −x2 a.) xe dx sin3 x cos x dx f.) Z b.) Z c.)
3x dx (2 + 3x2 )3 x dx (1 + x2 )2
Z d.)
x
e.)
√
g.) Z h.) Z
2 dx
(8x2 + 27) 3 Z
Z
x √ dx 1 − x2
i.) Z j.)
3+x dx 5 − 2x2
sin x √ dx cos3 x arc tg3 x dx 1 + x2 tg 2 x dx cos2 x
4. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozatlan integr´alokat! Z Z x a.) xe dx i.) (x3 + 3x2 + 1)ex dx Z
Z 3 x
b.)
x e dx Z
c.)
Z x sin x dx
Z x ln x dx
Z x
e cos x dx
Z x
2
e cos x dx
n.)
Z g.)
x arc tg x dx Z
e
−x
sin x dx
o.)
Z h.)
x7 ln x dx
m.)
Z f.)
(x2 + 1) ln x dx
l.)
Z e.)
(x3 − 3x2 − 7) sin x dx
k.)
Z d.)
(x2 + 1) cos x dx
j.)
arc tg x dx Z
ln x dx
p.)
arcsin x dx
5. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z x3 dx a.) (x + 2)4 Z 1 √ √ b.) dx x + 1 + ( x + 1)3 Z e4x c.) dx 1 + ex Z √ d.) ex − 1dx (Alkalmazzuk az ex − 1 = t2 helyettes´ıt´est!)
4 Z tg 3 xdx
e.) Z f.) g.)
Z √ Z
h.)
√
xe
√ x
(Alkalmazzuk az t = tg x helyettes´ıt´est!)
dx
1 − x2 dx
(Alkalmazzuk az x = sin t helyettes´ıt´est!)
1 √ dx 1+ x
6. Hat´arozzuk meg a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z 1 a.) dx 1 − x2 Z 1 b.) dx 2 x − 2x − 3 Z 1 c.) dx x2 + 2x + 6 Z 2x + 3 d.) dx 2 x + 3x − 10 Z x3 e.) dx x2 + 1 Z 1 f.) dx 3 x −x Z 1 g.) dx x e + e−x + 2
Z h.) Z i.)
5 dx (x − 2)(x + 5) 2x + 3 dx (x − 2)(x + 5)
Z j.)
x2
x dx − 2x − 3
x2
3x + 1 dx + 5x + 6
x2
1 + 2x dx − 4x − 5
Z k.) Z l.) Z m.) Z n.)
2x dx 1+x x2 − 2x + 1 dx x2 + 2x − 3
7. Alkalmas helyettes´ıt´essel sz´am´ıtsuk ki az al´abbi hat´arozatlan integr´alokat! Z 1 x a.) dx (Alkalmazzuk az t = tg helyettes´ıt´est!) 1 + 2 cos x 2 Z Z Z dx dx ln x √ b) c) d) dx 1 + sin x 1 + cos x x 1 + ln x Z Z Z dx dx e) f) g) sin(ln x) dx cos x 5 + 3 cos x 8. Integr´aljuk az al´abbi racion´alis t¨ortf¨ uggv´enyeket, illetve helyettes´ıt´essel ilyenekre visszavezethet˝o f¨ uggv´enyeket. 1 2x + 3 1 b) 2 c) a) 3 x −8 x − 2x − 3 (x − 2)(x + 5) d)
x−3 x3 − x
e)
1 (x +
1)2 (x2
+ 1)
f)
ln x + 1 xx − 1
5
Hat´arozott integr´al 9. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozott integr´alokat! Z10
Z3 1 dx ;
Z2π 1 dx ;
2
22
2
x dx ; −1
sin x dx ;
√
0
Z100
Zπ
Z−1 cos x dx ;
Z3 µ
1 dx ; x
1 e +x + x x
1
2
2
¶ dx .
2
10. Legyen −2 ha x < 1 3 ha x = 1 f (x) = −1 ha x > 1
½ ;
g(x) =
−1 ha x < 0 2x ha x > 0.
Mennyi a k¨ovetkez˝o integr´alok ´ert´eke ? Z20
Z−3 f (x) dx ;
Z1
−5
1
f (x) dx ; −10
Z3 g(x) dx ; 0
Zb Mennyi
f (x) dx ;
Z−2 g(x) dx ; −1
Z30 g(x) dx . −10
Zb f (x) dx ´es
a
g(x) dx ? a
11. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o integr´alokat! Z3
Z2 2 2x
x e dx ; 0
2x dx ; (x2 − 100)7
−2
Zπ/2 ctg (x) dx ;
Z1 √
1 − x2 dx .
0,5
π/3
12. Sz´am´ıtsuk ki a k¨ovetkez˝o hat´arozott integr´alokat! Z3 2
√
x e
√ x
Z12 dx ; 4
1 dx ; 1 − x2
Ze 0
e4x dx ; 1 + ex
Z4
1 dx. x3 − x
2
13. Ha egy [a, b]-n ´ertelmezett f (x) f¨ uggv´eny g¨orb´ej´et megforgatjuk az x-tengely k¨or¨ ul, akkor az ´altala ”hat´arolt” forg´astest t´erfogata Zb V = f 2 (x) π dx . a
Ezt felhaszn´alva sz´am´ıtsuk ki egy g¨omb ´es egy k´ up t´erfogat´at!
6 14. L´eteznek-e a k¨ovetkez˝o impropius integr´alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket! Z∞
Ze ln x dx ;
Z1 ln x dx ;
0
Z1 ln |x| dx ;
0
−1
Z0
Z1 e dx ;
−∞
−∞
Z0
Z3
1 dx ; x2
−∞
Z0
1 dx ; x
e−x dx ;
−∞
−∞
1 dx ; x2
x
Z∞
1 dx ; x
+∞
Z∞
1 √ dx ; x
0
3 √ dx . x
2
15. L´eteznek-e az al´abbi improprius integr´alok ? Ha igen, sz´am´ıtsuk ki ˝oket ! Z∞
dx ; x3
Z∞
1
x2 e−x/3 dx ; 0
dx √ ; x
Z0 f (x) dx ;
−∞
f (x) dx ; 2
Z2 1
x
Z1
x+1 √ dx . x
0
Z0,5 f (x) dx ;
Z1
0
0,5
Z
f (x) dx ;
−10
Z4 |x − 2| dx ; Z
ln |x| dx ; −2
f (x) dx . −∞
Z
Z1 ln |x| dx ;
f (x) dx ;
Z∞
2
Z−π x2 (1 − 2x)20 dx ;
|x|e dx ;
dx √ ; 2−x
Z∞ f (x) dx ;
π
Z2
Z |x − 2| dx ;
0
18. K¨ovetkezik -e a limA→∞
x|x| dx ;
x|x| dx ; −2001
hogy
f (x) dx hat´ar´ert´ek l´etez´es´eb˝ol,
−A
f (x) dx konvergens ? −∞
|x|ex dx ;
1976 Z
ZA
Z∞
dx ; 2 + 6x
|x| · (1 − x))−1 . Melyek l´eteznek a k¨ovetkez˝o integr´alok k¨oz¨ ul ?
Z2
Z10
√
dx ; 0
0
0
p
−2x
4
Z3
16. Legyen f (x) = (
Z∞ xe
2
Z∞
17. Mennyi
Z∞
dx ; (1 − x)2
7 Zπ 2
19. Mennyi
sin x dx ´es −π
Z2 √
4 − x2 dx. Pr´ob´aljuk meg az eredm´enyt megtal´alni a
0
primit´ıv f¨ uggv´eny kisz´am´ıt´asa n´elk¨ ul ! % 20. Tegy¨ . uk fel, hogy a GNP n¨oveked´esi u ¨teme az n-edik ´evben f (n) ´ev H´anyszoros´ara n˝o ekkor a GNP az n1 ´es n2 -edik ´evek k¨oz¨ott ? 21. Legyen A = {(x, y) | y ≥ x2 } ´es B = {(x, y) | y ≤ x + 2}. Mennyi A ∩ B ter¨ ulete ?
22. Mennyi az
x2 y 2 + 2 = 1 ellipszis ter¨ ulete ? a2 b
23. Mennnyi az f (x) = ´es x = 1 k¨oz¨ott ?
√
4 − x2 f¨ uggv´eny g¨orb´ej´enek a hossza x = −0, 5
24. Forgassuk meg az y tengely k¨or¨ ul az y = 8 − 2x − x2 egyenlet˝ u parabol´anak az els˝o s´ıknegyedbe es˝o r´esz´et ! Mekkora t´erfogat´ u test keletkezik ?
8
Differenci´alegyenletek 25. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenleteket ! a) b) c) d) e)
y 0 = ex sin x (1 + sin x)y 0 = 1 (1 + ex )y 0 = ex y 0 − yx = yx3 x2 + 5 = xyy 0
f) g) h) i) j)
xy 0 = 1 + y 2 1 + y 2 + xyy 0 = 0 y 0 sin x = y ln y (1 − x)y 0 + y 2 = 0 xey y 0 − x2 + x = 0.
26. Hat´arozzuk meg az (1 + ex )yy 0 = ex differenci´alegyenlet y(1) = 1 kezdeti felt´etelt teljes´ıt˝o megold´as´at ! 27. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o differenci´alegyenleteket ! a) y 0 = (x − y)2 + 1
b) y 0 = sin(x − y)
c) (y 0 )2 = x + y + 1 (y 0 > 0)
(Javaslat: el˝obb alkalmazzunk helyettes´ıt´est) 28. Oldd meg ! a) c) e) g)
x + y + xy 0 = 0 (x − y)y 0 = x + y 1− y y 0 = 1−2xy x yy 0 + 2xy 0 + 2y = 0
b) d) f) h)
(Javaslat: el˝obb alkalmazzuk z =
y x
xy 0 = y ln y − y ln x x2 + xy + y 2 − x2 y 0 = 0 (3y + 2x)y 0 = 6y + 4x y 0 = y−2x . y−x
helyettes´ıt´est !)
29. Oldjuk meg a k¨ovetkez˝o line´aris differenci´alegyenleteket ! a) b) c) d) e) f)
y0 = y − x xy 0 − y = xe−x y 0 + 3y − 3e−2x = 0 y 0 = xy − 2x2 xy 0 − 3y + 5x = 0 (x + 1)y 0 − y = 0
g) h) i) j) k) l)
y 0 − 2y − x = ex sin x y 0 + y tg x = sin x y 0 sin x + y cos x = 2 − cos2 x y 0 − y − ex = 0 x2 y 0 = xy + 3y y 0 x = 2y − x4 .
uggv´enyek 30. Oldja meg az xy 0 +y = xex differenci´alegyenletet! Hat´arozza meg a megold´asf¨ hat´ar´ert´ek´et x → ∞ eset´en! a)
xy 0 + y = xe−x
b)
xy 0 + y = −3x2
31. Jel¨olje y(x) egy ipar´ag dolgoz´oinak ¨osszl´etsz´am´at az x id˝opillanatban. Tegy¨ uk fel, hogy a l´etsz´amcs¨okken´es sebess´ege olyan hogy y 0 (x) = −λy(x) , ahol λ > 0 , az ipar´agra jellemz˝o kil´ep´esi egy¨ utthat´o, konstans. x = 0-ban a kezd˝o l´etsz´am ismert. Mennyi id˝o alatt cs¨okken le a kezd˝o l´etsz´am a 3/4-´ere ?
