Geometrie na počítači učebnice ovládání programu
Cabri Geometrie II pro Windows
Učebnici sepsal r. 1999 a přepracoval v r. 2004 Antonín Vrba (Pedagogická fakulta UK v Praze) a vydatně mu při tom pomáhali Jiří Vaníček (Pedagogická fakulta JČU v Českých Budějovicích), Ondřej Suchý (Pedagogická fakulta UK a NÚOV v Praze) a Miroslav Lávička (Pedagogická fakulta ZČU v Plzni).
Obsah Úvod............................................................................................................................ 4 Otevírání nabídek, volba položek ............................................................................... 5 Vytváření objektů na nákresně ................................................................................... 6 Mazání objektů............................................................................................................ 6 Skrývání objektů ......................................................................................................... 7 Grafická podoba objektu............................................................................................. 7 Názvy objektů ............................................................................................................. 8 Přemisťování objektů v nákresně................................................................................ 8 Obrázky, soubory a okna ............................................................................................ 9 Umísťování bodů na nákresnu podrobněji................................................................ 10 Pohyblivost a závislost objektů................................................................................. 10 Existence objektů ...................................................................................................... 11 Skrývání a mazání objektů podrobněji ..................................................................... 11 Označování objektů podrobněji ................................................................................ 11 Základní konstrukce.................................................................................................. 13 Zpětný krok............................................................................................................... 17 Zobrazení .................................................................................................................. 17 Další typy objektů – čísla a texty.............................................................................. 20 Konstrukce a zobrazení s číselnými parametry ........................................................ 20 Testování................................................................................................................... 23 Makrokonstrukce ...................................................................................................... 25 Měření ....................................................................................................................... 28 Kalkulátor ................................................................................................................. 31 Co jsme ještě neprobrali a nic tomu nebrání............................................................. 35 Pohyb, stopa, množina .............................................................................................. 39 Měníme nastavení programu pro množiny ............................................................... 46 Množiny bodů podrobněji......................................................................................... 48 Analytická geometrie ................................................................................................ 50 Tabulky ..................................................................................................................... 57 Úprava nabídek nástrojů ........................................................................................... 62 Export & Import , s. r. o............................................................................................ 63 Ukládání souborů ...................................................................................................... 63 Načítání souborů ....................................................................................................... 64 Předávání informace mezi okny Cabri prostřednictvím schránky............................ 64 Komunikace s jinými programy prostřednictvím schránky...................................... 67 Tisk ........................................................................................................................... 68 Prezentace obrázků ................................................................................................... 68 Nastavení programu .................................................................................................. 70 Vzhled objektů .......................................................................................................... 70 Systémové volby....................................................................................................... 71 Ostatní volby............................................................................................................. 71
Cabri Geometrie
Úvod Cabri Geometrie je počítačový program, který umožňuje vytvářet na obrazovce počítače geometrické objekty, manipulovat s nimi, experimentálně zkoumat a objevovat geometrické zákonitosti, tisknout geometrické výkresy. První verze programu vznikla již r. 1988 na Univerzitě Josepha Fouriera v Grenoblu pod vedením Jean-Marie Laborda. Dnes je program využíván ve školách všech typů v mnoha západoevropských státech, v USA, Kanadě, Japonsku a v dalších zemích. Mezi softwarem tohoto typu je nejrozšířenější a je pokládán za nejdokonalejší. Množství publikací v pedagogických časopisech i na internetu svědčí o tom, že jde o pomůcku, která významně přispívá k renesanci výuky geometrie. Dnes jsou aktuální dvě varianty programu - Cabri II a Cabri II Plus, obě i v české verzi. Tato učebnice je orientována zejména na techniku ovládání programu Cabri II a všech jeho funkcí. Geometrická látka, na níž jsou možnosti programu demonstrovány, je zde záměrně co nejjednodušší. Doplňkem učebnice je postupně se rozrůstající soubor geometrických témat, kde se naopak předpokládá základní znalost techniky ovládání programu a akcentována je geometrická problematika různého stupně obtížnosti a didaktické otázky.
vB
4
Cabri Geometrie
Otevírání nabídek, volba položek Nad nákresnou vidíme dva řádky nabídek:
Nabídky horního řádku (označené slovně) otevíráme obvyklým způsobem: klepneme na jejich název a pak klepneme na vybranou položku. Vyzkoušejte: Klepněte na slovo Nápověda (poslední nabídka vpravo) a v rozvinutém seznamu položek této nabídky klepněte na Nápověda ano/ne. (Nyní se bude na spodním okraji obrazovky vypisovat nápověda, dokud tuto funkci stejným způsobem nevypneme.) Méně obvyklým způsobem se otevírají nabídky ve druhém řádku ovládané symbolickými tlačítky s ikonami (říkejme jim knoflíky, na rozdíl od tlačítek myši a kláves na klávesnici): kurzor umístíme na knoflík, stiskneme tlačítko myši (rozvine se seznam položek) a se stisknutým tlačítkem sjedeme na určitou položku, kterou zvolíme uvolněním tlačítka. (Knoflík zůstane zatlačen a objeví se na něm ikona symbolizující zvolenou položku. Příslušným způsobem se změní i nápověda.) Vyzkoušejte: Z páté nabídky zleva aktivujte položku Osa úsečky. Pozorujte změny knoflíku a nápovědy. Pak přejděte na položku Stejně vzdálen? ze čtvrté nabídky zprava. Nakonec přejděte k položce Ukazovátko první nabídky zleva – ale alternativním způsobem: klávesou ESC, což je pohodlnější – jde totiž o nejčastěji používanou funkci. Na nabídky ovládané knoflíky se budeme odvolávat v souladu s jejich rozložením odleva doprava A, B1, B2, B3, C1, C2, C3, D1, D2, E1, E2. A B1 B2 B3 C1 C2 C3 D1 D2 E1 E2
Podrobný přehled všech nabídek programu je uveden ve zvláštním dokumentu Přehled nabídek Cabri Geometrie II.
vB
5
Cabri Geometrie
Vytváření objektů na nákresně Nabídky B1, B2 a B3 nám umožňují na nákresně vytvářet geometrické objekty. Vyzkoušejte: Postupně aktivujte položky Bod, Přímka, Úsečka, Polopřímka, Vektor, Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice, Oblouk, Kuželosečka a vytvářejte tyto objekty podle nápovědy. (Položky Bod na objektu, Průsečíky a Pravidelný mnohoúhelník zatím neaktivujte.) Vyzkoušejte: Nyní máte nákresnu zaplněnou různými objekty. Aktivujte ukazovátko. Myší pomalu přemisťujte kurzor po obrazovce, pozorujte jeho proměny a slovní identifikaci objektů, na které ukazuje. (Tlačítka myši přitom zatím netiskněte.) Ukážete-li na místo, kde se blízko sebe nalézá několik objektů, objeví se dotaz . Zatím se tím neznepokojujte.
Mazání objektů Zejména začátečníci často potřebují smazat nepovedený objekt. Už během jeho sestrojování můžeme rozpracovaný objekt nedokončit, stisknout klávesu ESC (tj. aktivovat ukazovátko), a tak zrušíme i případné již nakreslené části objektu. Vyzkoušejte: Začněte vytvářet mnohoúhelník (nabídka B2). Sestrojte několik vrcholů, ale mnohoúhelník neuzavírejte. Stiskněte klávesu ESC. Objekt, který byl již vytvořen, můžeme kdykoliv zrušit tak, že na něj klepneme ukazovátkem (tj. aktivujeme ukazovátko a přemístíme kurzor k objektu tak blízko, až se vypíše jeho identifikace, a krátce stiskneme tlačítko myši). Tím jsme tzv. objekt označili, což se graficky projeví. (Později si ukážeme i jiné způsoby označování objektů a také budeme s označenými objekty pracovat jinak, než je mazat). Z nabídky Upravit pak vybereme položku Smazat a označený objekt je vymazán. Totéž zařídíme rychleji klávesou DELETE. Vyzkoušejte: Označte některý z objektů, které máte na nákresně. Z nabídky Upravit vyberte Smazat. Označte jiný objekt a pak stiskněte klávesu DELETE. Označujeme-li jeden objekt ze skrumáže objektů v okolí kurzoru, oceníme dotaz nahrazující jejich (nejednoznačnou) identifikaci. Tlačítkem myši pak můžeme rozvinout seznam těchto objektů a z něho pak vybrat ten, který potřebujeme. vB
6
Cabri Geometrie
Vyzkoušejte: Ukazovátko umístěte na místo, kde se na nákresně protíná nebo v těsné vedle kurzoru. blízkosti nalézá několik objektů a vyvolejte tak dotaz Stiskněte tlačítko myši a rozviňte tak seznam objektů. Přesvědčte se, že jde o objekty těsně sousedící s kurzorem. Vyberte ze seznamu jeden a přesvědčte se, že se jeví jako označený. Pak ho smažte.
Skrývání objektů Od mazání objektů je třeba odlišovat skrývání objektů, které používáme zejména k potlačení pomocných objektů, které přeplňují obrázek. Když z nabídky E2 vybereme položku Zobrazit / Skrýt, máme možnost zobrazený objekt změnit na skrytý a naopak tím, že na něj klepneme. (Případné skryté objekty se ukáží.) Skryté objekty lze – na rozdíl od smazaných – opět zviditelnit. Vyzkoušejte: Skrývejte a zobrazujte objekty na nákresně.
Grafická podoba objektu Barvu objektu, sílu čáry, značku pro bod apod. můžeme měnit. Slouží k tomu položky Barva čáry, Barva výplně, Tloušťka čáry, Typ čáry a Typ značky z nabídky E2. Aktivujeme-li některou z těchto položek, zobrazí se vzorník barev nebo grafických typů. Nejprve z něho si klepnutím vybereme a pak klepneme na objekt, na který chceme vybraný grafický styl aplikovat. Vyzkoušejte: Měňte vzhled objektů, které máte na nákresně. Nejprve použijte nabídku E2, pak zobrazte panel grafiky a vybírejte přímo z něho.
vB
7
Cabri Geometrie
Názvy objektů K bodům, přímkám a kružnicím můžeme připsat název hned po vytvoření objektu, popsat je, jak se říká ve škole. Později k tomu slouží položka Názvy v nabídce E1 – po její aktivaci klepneme na objekt, který chceme pojmenovat. Objeví se rámeček s kurzorem umožňující vkládat libovolné znaky z klávesnice. Velikost rámečku lze upravovat obvyklým způsobem. Vyzkoušejte: Pojmenujte objekty, které máte na nákresně, volbou položky Názvy. Některý název pak změňte. Vytvořte nový objekt a hned ho pojmenujte. Vyzkoušejte: Aktivujte ukazovátko a pomalu přemísťujte kurzor po nákresně. Všimněte si, že barva identifikačních nápisů souhlasí s barvou objektů. Vyvolejte , rozviňte seznam objektů a všimněte si, že objekty jsou v něm dotaz uvedeny i se svými názvy, a to v pořadí podle svého „stáří“, což usnadňuje výběr toho pravého.
Přemisťování objektů v nákresně Přesuňme ukazovátko k nějakému objektu na nákresně, až se objeví jeho identifikace. Stiskneme-li nyní tlačítko nehybné myši a podržíme je stlačené, kurzor se změní na ručku , která uchopí objekt. Pohybujeme-li pak myší a stále přitom držíme tlačítko, vlečeme objekt po nákresně. Vyzkoušejte: (1) Pohybujte bodem. (2) Pohybujte úsečkou. Buď můžete tahat za krajní body a úsečku tím natahovat, nebo za vnitřek úsečky a posouvat ji. (3) Pohybujte středem kružnice. Tahejte přímo za kružnici a měňte tak její poloměr. (4) Pohybujte přímkou. Tahejte za „počáteční bod“, tj. za bod přímky, který jste umístili na nákresnu jako první. Tahejte za přímku v jiném místě. (5) Podobně modifikujte polopřímku, vektor a trojúhelník. (6) Pohybujte jedním z pěti bodů, kterými jste určili kuželosečku, a pozorujte její proměny. Všimněte si, že při změně typu kuželosečky (např. z elipsy na hyperbolu) se změní i její identifikační nápis u kurzoru. (7) Tahejte za názvy objektů a umístěte je tak, abyste vylepšili vzhled obrázku. Všimněte si, že je nemůžete odtáhnout příliš daleko od objektu, k němuž patří.
vB
8
Cabri Geometrie
Obrázky, soubory a okna Po spuštění programu se nám automaticky připravila nákresna, na které jsme zatím pracovali. Na obrazovce je jediný obrázek, který jsme dosud vytvořili. Program ho označil jako obr 1, jak vidíme na horním okraji obrazovky. Dejme tomu, že nyní chceme nakreslit další obrázek „na čistý papír“. Z nabídky Soubor zvolíme položku Nový obrázek. Máme pak před sebou čistou nákresnu – zatím ještě prázdný obrázek obr 2. Nakresleme do něho něco (vyzkoušejte). Opět aktivujme Nový obrázek a vytvořme na obrazovce další obrázek obr 3. Předchozí obrázky obr 1 a obr 2 však nejsou ztraceny. V nabídce Okno najdeme jejich seznam, a když si z něho některou položku vybereme, dostaneme tento obrázek zpět na obrazovku (vyzkoušejte). Toho, kdo pracuje s jinými programy pod Windows, to jistě nepřekvapí. Obrázky se tedy archivují v paměti počítače jako okna a dají se střídavě vyvolávat na obrazovku. Na druhé straně se tak postupně zaplňuje paměť a tím i zpomaluje chod počítače. Obrázky, které už nebudeme potřebovat, proto zavřeme (Soubor / Zavřít obrázek), tj. odstraníme z paměti. Ty, které nechceme ztratit nadobro, před tím uložíme jako soubory (Soubor / Uložit, resp. Uložit jako…). Názvy souborů obsahujících obrázky mají zpravidla příponu FIG (vyzkoušejte). Při vytváření komplikovanějších obrázků se vyplácí průběžně práci ukládat pro případ nějaké poruchy. Soubory obsahující uložené obrázky můžeme načítat na obrazovku (Soubor / Otevřít…). Vyzkoušejte: Otevřete obrázky, které jste právě uložili, pozměňte je a zase je zavřete. Vyzkoušejte: Otevřete postupně několik obrázků (asi tak 4) uložených v adresáři FIGURES a zatím je nezavírejte. Přesvědčte se, že jsou zaznamenány v nabídce Okno, střídejte je na obrazovce. Pozorujte, co se stane při volbách Okno / Dlaždice, Okno / Kaskáda. Aktivujte některý z obrázků prezentovaných v kaskádě nebo dlažbě tím, že na něj klepnete. Přes celou obrazovku ho rozvinete buď klepnutím na symbol pro maximalizaci nebo poklepáním na záhlaví. Volbou Okno / Zavřít vše zavřete všechny obrázky, které jsou právě otevřeny v paměti. Zkuste nyní něco nakreslit na nákresnu. Aby se vám to podařilo, musíte nejprve aktivovat Soubor / Nový obrázek. (Začátečníci na to někdy zapomínají a pak se mylně domnívají, že program přestal fungovat.)
vB
9
Cabri Geometrie
Umísťování bodů na nákresnu podrobněji Vyzkoušejte: Postupně vytvořte dvě kružnice, aby se protínaly. Mimo ně vytvořte bod A. Dále, při stále aktivní položce Bod, doveďte kurzor k jedné z kružnic na místo vzdálené od průsečíku. Pozorujte, jak se kurzor po přiblížení ke kružnici změní nabízející nám umístění bodu. Zastavte (obrátí) a objeví se u něho nápis pohyb myši a klepněte. Tak umístíte na kružnici bod B. Konečně (položka Bod je stále , aktivní) přemístěte kurzor k průsečíku kružnic. Až se objeví nápis klepněte a tak umístíte bod C do průsečíku kružnic. Aktivujte nyní ukazovátko (ESC), ukažte postupně na body A, B, C a pokuste se jimi pohybovat (se stisknutým tlačítkem). Bodem A lze pohybovat po celé nákresně, bodem B jen po kružnici a bodem C pohnout nemůžete. Pohybujte středem kružnice obsahující bod B a měňte její velikost – bod B přitom bude stále ležet na kružnici a bod C v průsečíku kružnic. Vyzkoušejte: Opakujte postup s tím rozdílem, že po vytvoření bodu A zvolíte z nabídky B1 položku Bod na objektu a pak na kružnici umístíte bod B. (Mimo kružnice se teď žádný bod nepodaří umístit.) Dále zvolte v nabídce B1 položku Průsečíky, pak postupně klepněte na obě kružnice (raději dále od průsečíku) a v jejich obou průsečících se objeví značka bodu. Na rozdíl od předcházejícího postupu se teď vytvořily oba průsečíky. Bod B se opět může pohybovat jen po kružnici a při modifikacích kružnice na ní zůstává.
Pohyblivost a závislost objektů Vyzkoušejte: Vytvořte úsečku OP, pak kružnici k se středem O procházející bodem P. Vedle ní vytvořte kružnici k' se středem O', pak úsečku O'P' s bodem P' na kružnici k'. Zkoušejte nyní tahat za body O, O', P, P', za kružnici k, k', za úsečky OP, O'P'. Všímejte si rozdílu v chování objektů na zdánlivě stejných obrázcích – příčinou jsou různé „stupně volnosti“ odpovídajících si objektů a jejich závislosti na „starších“ objektech. Vyzkoušejte: Vytvořte dvě kružnice k, l se středy S, O protínající se v bodech P, R. Dále umístěte na kružnici k bod B. Vytvořte přímky BO, PR a do jejich průsečíku umístěte bod X. Zkuste nyní pohybovat jednotlivými objekty. Zjistíte, že pohyblivé jsou body S a O (spolu s kružnicemi k, l, a to v celé rovině), kružnice k, l (taháme-li za ně, měníme poloměr), bod B (jen po kružnici k). Při pohybu kteréhokoliv objektu se překresluje celá konfigurace objektů, které jsou od něho odvozeny. Přímkou BO můžeme pohybovat jen tak, že pohybujeme bodem O nebo bodem B. Bod X se nám nepodaří uchopit – jeho poloha je totiž určena polohou přímek BO, RP. Podobně body R a P nelze uchopit a přesouvat.
vB
10
Cabri Geometrie
B
P X
k
l
S
O R
Pokusíme se zformulovat zjištěné zákonitosti: Objekty, které byly definovány pomocí objektů vytvořených již dříve, nelze uchopit a přesouvat po nákresně. Při pohybu se zachovávají vazby objektů a celá konstrukce se příslušným způsobem modifikuje. Body, které lze uchopit a přesouvat po nákresně, snadno určíme: začnou blikat, když ukazovátko přemístíme na volné místo a přidržíme tlačítko myši.
Existence objektů Vyzkoušejte: V obrázku, který jsme vytvořili v minulém experimentu, vzdalte body S a O natolik, že kružnice k, l přestanou mít společné body. Všimněte si, že průsečíky P, R zmizí a s nimi i přímka BR a bod X. Vraťme opět body S, O do původní vzdálenosti – objekty se opět objeví.
Skrývání a mazání objektů podrobněji Vyzkoušejte: V našem obrázku skryjte přímku BO. Ostatní objekty zůstanou v nákresně, dokonce i průsečík X. Pohybujte bodem B po kružnici k a pozorujte, že bod X mění svou polohu na úsečce PR – skrytá přímka „v zákulisí“ stále funguje. Zobrazte opět přímku BO. Nyní v našem obrázku smažte bod O. Smažete tak i všechny objekty, které jsou od něho odvozeny, tj. kružnici l, přímku BO, body P, R, přímku PR a bod X. V obrázku zbude jen kružnice k a na ní bod B.
Označování objektů podrobněji Objekty jsme zatím označovali (nezaměňovat s připisováním názvů) jednotlivě tím, že jsme na ně klepli ukazovátkem. Klepáním při zmáčknuté klávese SHIFT můžeme postupně označit více objektů. Další možnost je, že při aktivním ukazovátku pohybujeme myší se stisknutým tlačítkem – vytvoříme tak rámeček a zároveň
vB
11
Cabri Geometrie označíme všechny objekty v něm obsažené. Klepnutím na prázdné místo na nákresně označení zrušíme.
Vyzkoušejte: Připravte si na nákresně několik objektů různého typu a označujte je pomocí rámečku. Vyzkoumejte, budou-li označeny objekty, které nejsou v rámečku celé. Všechny objekty v nákresně najednou označíme volbou položky Označit vše z nabídky Upravit.
vB
12
Cabri Geometrie
Základní konstrukce Základní geometrické konstrukce jsou obsaženy v nabídce C1. Vyzkoušejte, jak fungují konstrukce Kolmice, Rovnoběžka, Střed úsečky, Osa úsečky, Osa úhlu, Součet vektorů a Kružítko (ostatní položky nabídky C1 zatím neaktivujte). Řiďte se přitom nápovědou a předem si vytvořte na nákresně potřebné objekty. Pozorujte nápisy u kurzoru nabízející vstupní parametry konstrukce. Všimněte si, že u konstrukcí Kolmice, Rovnoběžka a Součet vektorů můžete vstupní parametry konstrukce zadat v libovolném pořadí, zatímco u ostatních konstrukcí je pořadí vstupních parametrů jednoznačné a program je tak také nabízí. Pohybujte vstupními objekty a pozorujte zkonstruované objekty. Příklad: Sestrojte výšky v trojúhelníku a přesvědčte se, že procházejí společným bodem. (1) Vytvořte v nákresně tři body (neležící v přímce) A, B, C a každými dvěma z nich proložte přímku. (2) Z bodu A veďte kolmici k přímce BC, podobně sestrojte další dvě výšky trojúhelníka ABC. Výšky přebarvěte – třeba na zeleno. (3) Táhněte jedním z vrcholů po nákresně – při správném postupu se celá konstrukce bude deformovat tak, že zelené přímky budou stále kolmé k přímkám AB, AC, BC a stále budou procházet společným bodem. (4) Pozorujte, jak v ostroúhlém trojúhelníku leží průsečík výšek uvnitř trojúhelníka, v tupoúhlém vně a v pravoúhlém ve vrcholu.
C
C
C
A
B A
B
A
B
Poznámka: V bodě (1) jsme mohli postupovat také tak, že jsme trojúhelník vytvořili pomocí položky Trojúhelník. Jak se bude lišit výsledný obrázek? Speciálně si všimněte případu, kdy trojúhelník ABC je tupoúhlý.
vB
13
Cabri Geometrie Příklad: Sestrojte těžnice trojúhelníka a přesvědčte se, že procházejí společným bodem. (1) Vytvořte trojúhelník ABC. (2) Střed strany AB sestrojte pomocí konstrukce Střed úsečky tak, že ukážete na tuto stranu. (3) Střed strany BC sestrojte pomocí konstrukce Střed úsečky tak, že postupně ukážete na body B, C. (4) Střed strany AC sestrojte jako průsečík osy strany AC se stranou AC. Osu strany pak skryjte. (5) Vytvořte tři těžnice (jako úsečky). (6) Pohybujte vrcholy A, B, C po nákresně a přesvědčte se, že těžnice stále procházejí společným bodem. C
C
C
A
B
A
B
A
B
Příklad: Sestrojte osy stran trojúhelníka a přesvědčte se, že procházejí společným bodem, který je středem kružnice trojúhelníku opsané. (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7)
(8) (9)
vB
Vytvořte trojúhelník ABC. Osu strany AB sestrojte pomocí položky Osa úsečky. Osu strany BC sestrojte pomocí položek Střed úsečky a Kolmice. Osu strany AC sestrojte jako spojnici průsečíků kružnice se středem A procházející vrcholem C a kružnice se středem C procházející vrcholem A. Pak skryjte obě kružnice a osy přebarvěte – třeba na žluto. Pohybujte vrcholy A, B, C po nákresně – pokud jste postupovali správně, osy zůstávají osami a stále procházejí společným bodem. Pozorujte polohu průsečíku os v závislosti na typu trojúhelníka. Společný bod os označte O. K tomu musíte nejprve sestrojit průsečík (dvou) os pomocí funkce Průsečíky. ), čímž Můžete také využít funkci Bod: umístíte kurzor k průsečíku ( . Z nabídky tří přímek vyberete jednu z nich (na nákresně vyvoláte dotaz se odliší) a druhou pak určíte klepnutím na nákresně. Vytvořte kružnici se středem v bodě O procházející vrcholem A. Pohybujte vrcholy trojúhelníka po nákresně a přesvědčte se, že kružnice vždy prochází všemi třemi vrcholy.
14
Cabri Geometrie
C
C
C A
A
B
A
B
B
Příklad: Sestrojte osy vnitřních úhlů trojúhelníka a přesvědčte se, že procházejí společným bodem, který je středem kružnice trojúhelníku vepsané. (1) Vytvořte trojúhelník ABC. (2) Sestrojte osy úhlů BAC, ABC, ACB pomocí konstrukce Osy úhlu. (Úhel určíte postupným klepnutím na bod na rameni, na vrchol a na bod na druhém rameni.) (3) Osy přebarvěte – třeba na hnědo. (4) Pohybujte vrcholy A, B, C po nákresně a pozorujte, jak procházejí stále společným bodem, který vždy leží uvnitř trojúhelníka. (5) Společný bod os označte V. (6) Z bodu V spusťte kolmice na strany trojúhelníka. (7) Kolmice zobrazte jako čárkované volbou položky Typ čáry z nabídky E2. (8) Sestrojte jejich paty Pa, Pb, Pc jako průsečíky kolmic s příslušnými stranami. (9) Vytvořte kružnici se středem v bodě V procházející bodem Pa. (10) Pohybujte vrcholy a pozorujte, že tato kružnice prochází i ostatními dvěma patami Pb, Pc a je vepsána trojúhelníku ABC. C C
Pa
Pa Pb A
Pc
B
A
Pb
C Pa
Pb Pc
B
A
Pc
B
Poznámka: Začátečníci často chybují v tom, že poloměr vepsané kružnice nastaví jen zkusmo tak, aby se dotýkala stran. „Nepřivážou“ ji k předem sestrojenému bodu dotyku, což má za následek, že po deformaci trojúhelníka mu kružnice přestane být vepsána. Vyzkoušejte.
vB
15
Cabri Geometrie Příklad: Jsou dány tři body A, B, C. Doplňte je na rovnoběžník ABCD. (Využijte toho, že se úhlopříčky půlí.) (01) (02) (03) (04) (05) (06) (07)
Vytvořte body A, B, C tak, aby neležely v přímce. Sestrojte střed S dvojice bodů A, C. Vytvořte kružnici se středem S procházející bodem B. Vytvořte polopřímku BS a její průsečík D s kružnicí. Skryjte polopřímku a kružnici. Vytvořte čtyřúhelník ABCD (s využitím položky Mnohoúhelník ). Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
Rovnoběžník budeme teď konstruovat ještě mnohokrát jinými způsoby. Účelem bude ukázat na tomto jednoduchém příkladě, jak fungují různé nástroje programu. Jiný postup: (protější strany jsou rovnoběžné) (11) (12) (13) (14) (15) (16)
Vytvořte úsečky AB, BC. Bodem C veďte rovnoběžku s úsečkou AB, bodem A rovnoběžku s úsečkou BC. Jejich průsečík označte D. Vytvořte úsečky CD, DA. Skryjte přímky CD, DA. Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
Jiný postup: (protější strany jsou stejně dlouhé) (21) (22) (23) (24) (25) (26)
Vytvořte úsečky AB, BC. Kružítkem sestrojte kružnice (A, BC) a (C, AB). Z jejich průsečíků vyberte jeden jako vrchol D. Vytvořte úsečky CD, DA. Skryjte kružnice. Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
Jiný postup: (úhlopříčka je vektorový součet stran) (31) (32) (33) (34) (35)
vB
Vytvořte vektory AB, BC. Sestrojte jejich součet v bodě B, koncový bod pojmenujte D. Vytvořte čtyřúhelník ABCD. Skryjte všechny tři vektory. Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
16
Cabri Geometrie Zpětný krok Zejména pro začátečníky je velmi užitečná možnost zrušit naposledy provedenou akci, ať již je to krok konstrukce nebo třeba nepředložené smazání objektu, a vrátit situaci na nákresně do stavu, který tam byl před akcí. Dosáhneme toho volbou položky Zpět z nabídky Upravit. Vyzkoušejte zpětný krok po vytvoření objektu, po konstrukci a po smazání objektu. Co se stane, použijeme-li zpětný krok bezprostředně dvakrát za sebou?
Zobrazení Základní geometrická zobrazení jsou k dispozici v nabídce C2. Vyzkoušejte, jak fungují zobrazení Středová souměrnost, Osová souměrnost a Posunutí. (Ostatní položky C2 zatím neaktivujte). Řiďte se přitom nápovědou a předem si vytvořte na nákresně potřebné objekty. Pozorujte nápisy u kurzoru nabízející vstupní parametry zobrazení. Měňte jak objekty, které zobrazujete, tak objekty určující zobrazení. Příklad: Jsou dány tři body A, B, C. Doplňte je na rovnoběžník ABCD. Tuto úlohu jsme již řešili několika způsoby, nyní využijeme zobrazení. (protější strana vznikne posunutím strany o vektor sousední strany) (41) (42) (43) (44) (45) (46)
Vytvořte vektory AB, BC. Vektor AB posuňte o vektor BC. Počáteční bod posunutého vektoru pojmenujte D. Vytvořte čtyřúhelník ABCD. Skryjte všechny tři vektory. Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
Jiný postup: (protější vrcholy jsou souměrně sdružené podle středu) (51) (52) (53) (54) (55)
vB
Vytvořte body A, B, C. Sestrojte střed S dvojice A, C. Sestrojte obraz bodu A v souměrnosti podle středu S a pojmenujte ho D. Vytvořte čtyřúhelník ABCD. Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
17
Cabri Geometrie Jiný postup: (protější strany jsou souměrně sdružené podle středu) (61) (62) (63) (64) (65)
Vytvořte úsečky AB, BC. Sestrojte střed S dvojice A, C. Sestrojte obrazy úseček AB, BC v souměrnosti podle středu S. Jejich společný bod označte D. Měňte polohu bodů A, B, C a pozorujte, jsou-li protilehlé strany čtyřúhelníka ABCD stále rovnoběžné.
Poznámka: Zkuste vybarvit rovnoběžníky, které jste vytvořili předešlými dvěma postupy. V předposledním případě (5) se vám to podaří, zatímco v posledním (6) nikoliv. Příčina je v tom, že v (5) jste sestrojili rovnoběžník jako objekt typu mnohoúhelník, (s využitím položky Mnohoúhelník z nabídky B2), zatímco v (6) byl rovnoběžník vytvořen pouze jako čtyři samostatné úsečky. Příklad: Které rovnoběžníky jsou osově souměrné, tj. splývají se svým obrazem v souměrnosti podle nějaké přímky? Zjistíme to následujícím experimentem: (1) V nákresně si připravte rovnoběžník (jako objekt typu mnohoúhelník). (2) Vytvořte přímku. (3) Sestrojte obraz rovnoběžníka v souměrnosti podle této přímky. (Vzhledem k tomu, že jste vyšli od rovnoběžníka jako objektu typu mnohoúhelník, toho dosáhnete v jednom kroku, jinak by to bylo pracnější.) (4) Obraz přebarvěte.
(5) Vzor deformujte a přemisťujte tak, aby splynul se svým obrazem. (6) Zformulujte závěry svého experimentu: Rovnoběžník je osově souměrný, právě když je to pravoúhelník nebo kosočtverec. V prvním případě je osově souměrný podle os stran, ve druhém podle úhlopříček.
vB
18
Cabri Geometrie
Poznámky: K tomuto závěru můžeme samozřejmě dospět i spekulativně: v souměrnosti budou vrcholům odpovídat vrcholy. Při výuce je ovšem nejúčinnější kombinovat experiment s úvahou. Dá se čekat, že žáci objeví jen jeden ze dvou typů. Příklad: Skládání osových souměrností. (1) Vytvořte trojúhelník ABC a dvě rovnoběžky p, q. Na přímce p zvolte bod P a veďte jím kolmici k přímce q, její patu označte Q. (2) Sestrojte obraz A1B1C1 trojúhelníka ABC v souměrnosti podle osy p a obraz A2B2C2 trojúhelníka A1B1C1 v souměrnosti podle osy q. Obrazy barevně odlište. (3) Sestrojte obraz A3B3C3 trojúhelníka ABC v posunutí o vektor PQ a obraz A4B4C4 trojúhelníka A3B3C3 o vektor PQ. Obrazy barevně odlište. (4) Pohybujte body A, B, C, P a přímkami p, q. Trojúhelníky A2B2C2 a A4B4C4 vždy splynou. Zformulujte závěr o skládání souměrností podle rovnoběžných os.
vB
19
Cabri Geometrie
Další typy objektů – čísla a texty Na nákresně můžeme vytvářet i čísla nebo texty. Slouží k tomu editor čísel a editor textů, které spustíme volbou položky Čísla nebo Texty z nabídky E1. Do okénka, které se otevře na pozici kurzoru, můžeme pak vložit číslo nebo text z klávesnice. Rozměry okénka lze upravovat myší obvyklým způsobem. Klepneme-li při aktivním editoru čísel (textů) na číslo (text), které už je na nákresně, můžeme číslo (text) měnit. Editor čísel (textů) můžeme aktivovat také poklepáním na číslo (text) na nákresně. Šipečky na pravém okraji okénka editoru čísel slouží k plynulému měnění čísla. Přitom můžeme myší vyznačit místo nebo skupinu míst, které se mají měnit, a ovlivnit tak řád rychlosti změn. Později uvidíme, že čísla budou na nákresně vznikat i jako výsledky měření a výpočtů. Vyzkoušejte: Aktivujte editor čísel a editor textů a postupně umístěte na nákresnu několik čísel a textů. Pak se k nim vracejte a upravujte je – přepisujte, vkládejte a mažte v nich znaky stejně jako v obvyklých textových editorech. K číslům můžete doplnit jednotky (nabídku jednotek otevřete z editoru čísel volbou CTRL+U). Vyzkoušejte šipečky bez vyznačení řádů a s vyznačením řádů, které chcete měnit. Vyzkoušejte: S čísly a texty můžete zacházet stejně jako s geometrickými objekty – tahat je po nákresně, obarvit (znaky) a vybarvit (pozadí), skrývat a zviditelňovat, mazat. Vyzkoušejte: (1) Aktivujte ukazovátko. (2) Přesuňte kurzor na číslo, resp. text (dále „objekt“), které již máte na nákresně. (3) Stiskněte tlačítko a táhněte myší – tak objekt přesunujete. (4) Klepněte na objekt – označili jste ho tak k další akci, např. ke skrytí. Klepněte mimo objekt – zrušili jste označení. (5) Poklepejte na objekt – aktivovali jste editor. Klepněte mimo objekt – aktivitu editoru přesunete do nově otevřeného okénka. (6) Klepněte na šedý pruh nad nákresnou – zavřete editor a aktivujete ukazovátko.
Konstrukce a zobrazení s číselnými parametry Nyní se vrátíme k některým konstrukcím a zobrazením, jejichž vstupní parametry jsou čísla. Jsou to v nabídce C1 konstrukce Nanést délku a v nabídce C2 zobrazení Otočení a Stejnolehlost. Vyzkoušejte, jak fungují uvedené položky. Řiďte se přitom nápovědou a předem si vytvořte na nákresně potřebné objekty včetně čísel. Pozorujte nápisy u kurzoru vB
20
Cabri Geometrie nabízející vstupní parametry konstrukce, resp. zobrazení, a varianty pořadí jejich zadávání. Měňte jak objekty, které zobrazujete, tak objekty určující zobrazení. Upozornění: Nedaří-li se experimenty s otáčením, může být příčina v tom, že číselná hodnota se interpretuje např. v radiánech a ne ve stupních, jak předpokládáte. Nastavování jednotek se upravuje v nabídce Nastavit / Nastavit prostředí. Nemusíteli, nedoporučujeme zatím do nastavení programu zasahovat – program je implicitně nastaven na stupňovou míru úhlu. Příklad: Délka kružnice. (1) (2)
Vytvořte na nákresně dvě čísla: 5 a 1,234. Vytvořte bod A a naneste od něho délku 5 (implicitně měříme v cm), získaný bod označte B. (3) Vytvořte kružnici se středem A procházející bodem B. (4) Na kružnici naneste od bodu B délku 1,234, získaný bod označte K. (5) Na kružnici vytvořte oblouk s krajními body B, K (ten, co má délku 1,234). (6) Poklepejte na číslo 1,234. (7) Plynulým zvětšováním čísla 1,234 dosáhněte toho, aby bod K oběhl kružnici a splynul s bodem B. (Rychlost pohybu můžete ovlivnit vyznačením měněných řádů. Ke konci postupujte pomalu, abyste se dostali do bodu B co nejpřesněji.) (8) Konečná hodnota tohoto čísla bude přibližně rovna 10 π . (9) Změňte hodnotu tohoto čísla na 20. (10) Poklepejte na číslo 5 a pomalu je zmenšujte, až opět bod K splyne s bodem B. (11) Toto číslo pak bude přibližně rovno 10 / π . 31,415 5
1,234 K 5
K B
B
20 3,183 K B
A
A
A
Příklad: Sestrojte trojúhelník se stranou AB velikosti 8,5 cm a s přilehlými úhly velikosti 71° u vrcholu A a 37° u vrcholu B. (1) (2) (3) (4) (5) (6)
vB
Vytvořte čísla 8,5, 71 a 37. Vytvořte bod A. Vytvořte polopřímku s počátečním bodem A. Naneste na polopřímku vzdálenost 8,5 – příslušný bod pojmenujte B. Otočte polopřímku AB kolem středu A o 71°. Vytvořte polopřímku BA.
21
Cabri Geometrie (7) Otočte polopřímku BA kolem středu B o úhel velikosti 37°. S výsledkem určitě nebudete spokojeni – potřebovali jsme otočit v opačném (záporném, jako hodinové ručičky) smyslu. Upravíme tedy zadanou hodnotu 37 na -37 a polopřímka zaujme očekávanou polohu. C
8,5 71 37
A
8,5 71 -37°
B A
B
(8) Průsečík otočených polopřímek pojmenujte C. (9) Vytvořte trojúhelník ABC a skryjte všechny polopřímky. (10) Modifikujte obrázek změnami daných číselných hodnot. Dále se dá pohybovat už jen bodem A a posunovat tak trojúhelník po nákresně. Příklad: Přesvědčte se, že středy stran trojúhelníka určují trojúhelník, který je jeho obrazem ve stejnolehlosti s koeficientem -1/2 a středem v těžišti. (1) Vytvořte trojúhelník, sestrojte středy jeho stran, těžnice a těžiště. Můžete také aktivovat okno, resp. otevřít obrázek vytvořený v jednom z předcházejících příkladů, kde se studovaly těžnice. (2) Umístěte na nákresnu číslo -0,5. (3) Sestrojte obraz trojúhelníka ve stejnolehlosti se středem v těžišti a koeficientem -0,5. (4) Taháním za vrcholy deformujte výchozí trojúhelník a přesvědčte se, že jeho obraz má stále vrcholy ve středech jeho stran. (5) Změňte koeficient na -2. Co pozorujete? (6) Změňte koeficient na 1. Co pozorujete? -2
-0,5
vB
22
Cabri Geometrie
Testování V nabídce D1 najdeme několik užitečných funkcí, které testují vzájemné vztahy objektů: kolmost a rovnoběžnost lineárních objektů, leží-li bod na objektu, kolinearitu a ekvidistantnost bodů. Po výběru testu z nabídky klepneme na zkoumané objekty a výsledek testu se ohlásí nápisem umístěným tam, kde zanecháme rámeček. I toto hlášení je dynamické: dojde-li později při přemísťování objektů ke změně jejich konfigurace, hlášení se podle toho může měnit. Hlášení o vlastnosti objektů je objekt, se kterým lze zacházet podobně jako s textem. Můžeme do něho tedy dopisovat další informace. Vyzkoušejte: Připravte si v nákresně několik objektů, volte pak postupně různé testy a provádějte je na objektech. Řiďte se přitom nápovědou. Pozorujte hlášení u kurzoru při zadávání testovaných objektů a hlášení o výsledcích testů. Měňte pak konfiguraci objektů a snažte se změnit výsledky. Všimněte si, že není snadné dotáhnout bod do pozice, kdy leží s dalšími body v přímce apod. Je to dáno vysokou přesností výpočtů v pozadí programu a také specifikou zobrazování na monitoru (konečný počet pixelů). Příklad: Vraťte se k příkladům o prvcích trojúhelníka procházejících společným bodem (výšky, těžnice, osy stran, osy úhlů). Aktivuje příslušná okna, resp. otevřete obrázky a přesvědčte se, že když jste např. těžiště určili jako průsečík dvou těžnic, leží i na třetí těžnici apod. Přesvědčte se, že všechny tři vrcholy trojúhelníka opravdu leží na opsané kružnici, i když jste ji určili jen středem a jedním z nich. Přesvědčte se, že všechny tři paty kolmic, které jste spustili ze středu vepsané kružnice na strany, opravdu leží na vepsané kružnici, i když byla určena jen středem a jednou z nich. Přesvědčte se, že spojnice středů stran trojúhelníka je rovnoběžná se třetí stranou. Přesvědčte se, že bod ležící na ose strany trojúhelníka je stejně vzdálen od jejích koncových vrcholů. Příklad: Sestrojte kosočtverec, a přesvědčte se, že jeho úhlopříčky jsou k sobě kolmé.
Jsou kolmé.
vB
23
Cabri Geometrie Příklad: Vytvořte kružnici, na ní bod C a průměr AB. Otestujte kolmost úseček AC, BC. Pohybujte bodem C po kružnici a pozorujte hlášení o výsledku testu. Experiment zopakujte s tím, že průměr AB nahradíte jinou tětivou. C
C C C
A
B
B
A
C
C
Úseč
Úsečk
Úsečky AC a BC jsou kolmé
Úsečky AC a BC nejsou kolmé
Příklad: Vytvořte přímku a mimo ni bod B. Na nákresnu umístěte číslo 30. Otočte přímku kolem bodu B o 30°. Otestujte kolmost přímky a jejího obrazu – výsledek bude samozřejmě negativní. Měňte hodnotu čísla a pozorujte, jak se mění výsledek testu při přechodu přes 90. Příklad: Vytvořte čtyřúhelník, sestrojte středy jeho stran a sousední středy pospojujte – dostanete tak čtyřúhelník „vepsaný“ do původního čtyřúhelníka. Přesvědčte se, že je to rovnoběžník. R
D
C
Strany PQ a RS jsou rovnoběžné. Strany QR a SP jsou rovnoběžné.
Q
S
B A
P
Příklad: (1) (2) (3) (4) (5)
Vytvořte elipsu. Vytvořte její tětivu, tj. úsečku AB, která má oba krajní body na elipse. Sestrojte další dvě tětivy rovnoběžné s tětivou AB. Sestrojte středy všech tří tětiv. A Přesvědčte se, že tyto tři středy leží v přímce. B
vB
24
Leží v přímce.
Cabri Geometrie
Makrokonstrukce Arzenál elementárních konstrukcí, které program umí „od narození“, a se kterými jsme se již seznámili, můžeme rozšiřovat tak, že program „doučujeme“ další konstrukce složené z konstrukcí, které program již umí. Umožňuje to automatizovat rutinní a pomocné konstrukce, které nejen zdržují, ale při výuce i odvádějí energii a pozornost od vlastní problematiky. Používání předem připravených a vyzkoušených makrokonstrukcí významně urychluje a zpřehledňuje práci s programem. Příklad: Tečny z bodu ke kružnici Naučíme program sestrojovat tečny ke kružnici z vnějšího bodu. Nejprve konstrukci jednou provedeme. Vytvořte kružnici k se středem S a vně ní bod B. Sestrojte střed O dvojice bodů S, B, pak kružnici se středem O nad průměrem SB a její průsečíky s kružnicí k (body dotyku) spojte přímkami (tečnami) s bodem B. Přistoupíme k formování makrokonstrukce. Z nabídky C3 zvolte první položku – Vstupní objekty. Postupně klepněte na vstupní parametry konstrukce – v našem případě na bod B a kružnici k. Zvolte druhou položku Výstupní objekty a postupně klepněte na výsledné objekty – na obě tečny a na oba body dotyku.
B
k O
S
V nabídce C3 zbývá poslední položka Uložit makrokonstrukci, její volba vyvolá dialogové okno. V něm do okénka Název konstrukce vepíšeme název, kterým bude makrokonstrukce prezentována jako položka v nabídce C3 – v našem případě třeba Tečna ke kružnici. Ostatní akce v tomto dialogovém okně jsou již nepovinné. Do okénka Nápověda můžeme připravit návod k použití makrokonstrukce, který lze zobrazit stejně jako nápovědu k ostatním položkám nabídek, v našem případě třeba vstup: bod a kružnice, výstup: tečny z bodu ke kružnici a body dotyku. Okénko Hlášení prvního výstupního objektu se vyplňuje jen v nestandardních případech, když chceme u jednoho z výstupních objektů změnit standardní identifikaci, kterou se objekt na nákresně hlásí při přiblížení kurzoru – v našem případě bychom tak mohli dosáhnout, aby se jedna ze sestrojených tečen pak hlásila třeba jako tato krásná tečna místo
vB
25
Cabri Geometrie standardního tato přímka. Perfekcionisté mají možnost v rastru v pravém horním rohu okna vytvořit ikonu, která bude makrokonstrukci pak symbolizovat na příslušném knoflíku nebo si ji vybrat z katalogu hotových ikon a nahradit tak standardní ikonu s písmenem M. Chceme-li makrokonstrukci zachovat pro budoucí použití, můžeme ji uložit do souboru a v tom případě zaškrtneme okénko na dolním okraji okna. Soubory obsahující makrokonstrukce mají v názvu standardní příponu MAC a dají se načítat po aktivaci položky Otevřít v nabídce Soubor.
Po uzavření tohoto dialogu přibyla do nabídky C3 nová položka Tečny ke kružnici. Když pak později máme někdy na nákresně mimo jiné bod a kružnici, můžeme tuto položku aktivovat, klepnout na bod a kružnici (což byly vstupní objekty) a na nákresně se objeví tečny i s body dotyku (výstupní objekty) – vyzkoušejte. Vyzkoušejte: S programem je dodávána kolekce hotových makrokonstrukcí v adresáři MACROS. Načítejte je a zkoušejte, k čemu slouží. Vyzkoušejte: Vytvořte makrokonstrukci, jejímž vstupním parametrem bude čtyřúhelník a výstupním parametrem čtyřúhelník s vrcholy ve středech stran vstupního čtyřúhelníka. Tuto makrokonstrukci pak použijte několikrát za sebou k vytvoření následujícího obrázku.
vB
26
Cabri Geometrie Vyzkoušejte: Vytvořte makrokonstrukci, jejímž vstupním parametrem bude úsečka a výstupními parametry čtyři body, které dělí vstupní úsečku na pět stejných částí. Vyzkoušejte: Vytvořte makrokonstrukci, jejíž vstupními parametry budou polopřímka a číslo (na nákresně), výstupním parametrem zeleně vybarvený čtverec s jedním vrcholem v počátečním bodě polopřímky, s protilehlým vrcholem na polopřímce a s danou délkou úhlopříčky.
2,5 cm
2,5 cm
vstup
výstup
Vyzkoušejte: Vytvořte makrokonstrukci, jejímiž vstupními parametry budou dvě kružnice a výstupními parametry čtyři jejich společné tečny i s body dotyku. Vyzkoušejte: Vytvořte makrokonstrukci, která bude mít jako vstupní parametr trojúhelník a jako výstupní parametry tři těžnice tohoto trojúhelníka. Dále vytvořte makrokonstrukci, která bude mít jako vstupní objekty tři body a jako výstupní objekty kružnici vepsanou trojúhelníku s vrcholy v těchto třech bodech i s body dotyku. Tuto makrokonstrukci pak šestkrát aplikujte na vepsání kružnic šesti trojúhelníčkům, na něž dělí těžnice trojúhelník. Konečně vytvořte makrokonstrukci, jejíž vstupním parametrem bude trojúhelník a výstupními parametry tři těžnice a oněch šest kružnic.
vB
27
Cabri Geometrie
Měření Program umožňuje měřit obvyklé geometrické veličiny. V nabídce D2 jsou k tomu připraveny položky Vzdálenost a délka, Obsah a Velikost úhlu. Vyzkoušejte: Připravte si v nákresně zkušební objekty a měřte všechny veličiny uvedené v nápovědě (klepnutím na příslušné objekty – u úhlu můžeme klepnout buď na tři body, které ho určují, nebo na jeho značku – oblouček, byl-li vyznačen). Naměřené veličiny se zobrazují i s jednotkami a lze k nim připojovat další texty jak v okamžiku vzniku (proto se zjevují v rámečku editoru textů), tak později (poklepáním ukazovátkem). Přepněte na ukazovátko a tahejte za vypsané míry. Všimněte si, že se nejprve udržují stále v těsném okolí objektu, ke kterému patří, teprve větším oddálením kurzoru je lze odtrhnout od objektu a odsunout na odlehlejší místo nákresny. Všimněte si, že při deformaci objektů se odpovídajícím způsobem mění i hodnoty naměřených veličin. Jednotky, které program při měření používá, se nastavují volbou položky Nastavit / Nastavit prostředí / Zaokrouhlování a jednotky. Zde můžeme nastavit i počet desetinných míst, na něž se zaokrouhlují jednotlivé typy naměřených veličin. Vyzkoušejte: Sestrojte rovnoběžník a změřte délku jedné strany a velikost jednoho úhlu. Rozdělte rovnoběžník úhlopříčkou na dva trojúhelníky a změřte obsah jednoho z nich (pravděpodobně budete muset trojúhelník na vrcholech rovnoběžníku nejprve vytvořit – záleží na tom, jak jste rovnoběžník sestrojovali). Změňte nastavení jednotek z cm na mm (čímž se jednotky obsahu automaticky změní z cm2 na mm2) a ze stupňů na radiány. Nyní změřte délku protilehlé strany, velikost protilehlého úhlu a obsah druhého trojúhelníka. Zajímavé je zejména srovnání velikosti úhlu měřeného ve stupních a v radiánech. Změňte počet desetinných míst u délky a u úhlu a změřte pak velikost sousední strany, sousedního úhlu a obsah rovnoběžníka. Příklad: Těžiště dělí těžnice v poměru 1 : 2 Vytvořte trojúhelník a sestrojte v něm dvě těžnice jako úsečky spojující středy dvou stran s protilehlými vrcholy. U obou těžnic změřte vzdálenost jejich průsečíku od krajních bodů a přesvědčte se, že je dělí v poměru 1 : 2. Příklad: Obvodové a středové úhly Vytvořte kružnici a vepište jí trojúhelník ABC. Změřte úhel ACB (ve stupních, na 1 desetinné místo). Pohybujte bodem C po kružnici – velikost úhlu se nemění. Změňte polohu bodu B a pokus opakujte – stále to platí. Pohybujte bodem B po kružnici a pozorujte souvislost velikosti úhlu s polohou bodu B. Spojte body A, B úsečkami se středem S kružnice a změřte středový úhel ASB – jeho velikost je dvojnásobkem
vB
28
Cabri Geometrie obvodového úhlu ACB. Zvolte ještě bod D na kružnici mimo oblouk ACB a změřte úhel ADB – součet velikostí obvodových úhlů ACB a ADB bude 180°. C
C
74,2 ° 74,2 ° S 148,5 °
A
B 105,8 °
D
Příklad: Motýlek Sestrojte lichoběžník ABCD, průsečík jeho úhlopříček AC, BD nazvěte E. Vytvořte trojúhelníky AED a BCE, vybarvěte je a změřte jejich obsah. Deformujte lichoběžník a sledujte, že oba obsahy jsou si stále rovny. D
C
E
3,83 cm²
3,83 cm2
A
B
Naměřené hodnoty se zobrazují zaokrouhlené na nastavený počet desetinných míst, interně se však měří a zpracovávají s maximální dosažitelnou přesností. Proto někdy dochází ke zdánlivým nesrovnalostem, jako např. v následujícím obrázku. Mohlo by se zdát, že obsah obdélníka je tu chybně změřen, když 8,27 . 3,32 = 27,4564. Ve skutečnosti jsou však strany tohoto obdélníka dlouhé 8,27499… cm a 3,32499… cm a jeho obsah je tedy alespoň 27,514259… cm2. A tyto hodnoty jsou také na předepsaný počet desetinných míst správně zobrazeny. Nyní také pochopíme, proč se obsahy nezobrazují s dvojnásobným, ale jen se stejným počtem desetinných míst jako délky.
27,51 cm²
8,27 cm
vB
29
3,32 cm
Cabri Geometrie Příklad: Grafické sčítání a násobení U délek nastavte počet desetinných míst na 0 a jednotky na cm. (1) Vytvořte přímku a zvolte na ní bod P. Na této přímce vytvořte dvě opačné polopřímky s počátečním bodem P. Dále na nákresně vytvořte dvě celá kladná čísla. První číslo naneste (využijte nástroj Nanést délku) na jednu z polopřímek (bod A), druhé na druhou (bod B). Změřte velikost úsečky AB a údaj odtáhněte na vhodné místo nákresny. Skryjte přímku, polopřímky i body. Měňte velikost čísel na nákresně – číslo, které jste dostali jako velikost úsečky AB, bude vždy jejich součtem (zůstaneme-li v oboru celých kladných čísel – u záporných čísel bychom se dostali do potíží se znaménkem, u desetinných čísel s počtem míst ne menším než nastavená přesnost délek do potíží se zaokrouhlováním). (2) Vytvořte dvě na sebe kolmé polopřímky se společným počátečním bodem P a dvě kladná celá čísla. Na každou polopřímku naneste jedno z čísel (body A, B), doplňte bod C na pravoúhelník PACB, změřte jeho obsah a odtáhněte ho na vhodné místo. Skryjte všechny geometrické objekty a ponechte na nákresně jen dvě (proměnná) čísla a jejich součin. Jednotky a počet desetinných míst můžeme měnit u jednotlivých zobrazených měr přímo z klávesnice. Vyzkoušejte: (1) Vytvořte úsečku a změřte ji. Klepněte ukazovátkem na zobrazenou délku a stiskněte klávesy CTRL + U. Objeví se nabídka délkových jednotek, vyberte z ní a délka úsečky se přepočte vzhledem k této míře. (2) Vytvořte úsečku a změřte ji. Klepněte na zobrazenou délku. Každým stisknutím klávesy + (resp. – ) se počet zobrazených desetinných míst zvětší (resp. zmenší) o 1. (3) Proveďte podobné pokusy i pro obsah a velikost úhlu. Příklad: Převod stupňové míry na obloukovou Vytvořte dvě různoběžky a změřte dva (shodné) vrcholové úhly, které svírají. Pokud jejich velikost už není takto vyjádřena, u jednoho úhlu upravte počet desetinných míst na 1 a jednotky na stupně, u druhého na 2 desetinná místa a na radiány. Otáčením jedné z přímek dostáváme dvojice odpovídajících si velikostí téhož úhlu měřeného ve stupních a v radiánech.
53,3 °
vB
0,93 rad
30
Cabri Geometrie
Kalkulátor Volbou položky Výpočty z nabídky D2 aktivujeme kalkulačku, která se zobrazí na spodním okraji obrazovky, dá se však přesunout jinam. Nejjednodušším využitím je standardní provádění běžných numerických výpočtů podobně jako na kapesním kalkulátoru. Vyzkoušejte: Provádějte numerické výpočty. Číselné hodnoty vkládejte z klávesnice (je jedno, jestli z horní řady nebo z numerického bloku, což je pohodlnější, musíte ji ale mít zapnutou klávesou NUMLOCK), znaménka početních operací a operátory můžete vkládat z klávesnice nebo myší klepnutím na příslušné symbolické tlačítko na zobrazeném kalkulátoru. Počet zobrazených desetinných míst výsledku regulujte opět na kartě Zaokrouhlování a jednotky, tentokrát v okénku Ostatní. Na této kartě také přepnete můžete přepínat mezi stupňovou a obloukovou mírou úhlu. Knoflíkem následující funkci na inverzní, např. + dá arccos, + dá sqr (připomínáme, že sqr je druhá mocnina, sqrt druhá odmocnina). Vkládejte také syntakticky chybně definované výrazy nebo nepřípustné hodnoty argumentů funkcí a sledujte, jak program reaguje. Podrobný seznam matematických funkcí, kterými kalkulátor disponuje, najdete v dodatku. Specifické použití kalkulačky spočívá s jejím propojením s nákresnou. Do kalkulátoru můžeme totiž vkládat numerické hodnoty zobrazené v nákresně a z kalkulátoru můžeme na nákresnu vynášet výsledky. Příklad: Obsah trojúhelníka (0) Na nákresně vytvořte body A, B, C, pak přímky AB, AC, BC. Vytvořte trojúhelník na vrcholech A, B, C a změřte jeho obsah. K naměřené hodnotě připojte text obsah = . (1) Změřte délku strany AB a vzdálenost bodu C od přímky AB (tj. výšku). - Aktivujte kalkulátor, vložte z klávesnice 0,5 * . - Klepněte na nákresně na číslo vyjadřující délku strany: v okénku kalkulátoru i u délky na nákresně se objeví písmeno a. a pak na velikost výšky – ta bude reprezentována - Klepněte na knoflík písmenem b. - Na displeji kalkulačky teď stojí výraz 0,5*a*b. Když teď klepnete na knoflík (nebo stisknete klávesu ENTER), objeví se v pravém okénku kalkulátoru hodnota tohoto výrazu. - Najeďte na ni kurzorem, stiskněte tlačítko myši, podržte je a vytáhněte kurzor na nákresnu. Tam, kde uvolníte tlačítko, se objeví text výsledek = následovaný stejným číslem, které zůstalo v pravém okénku kalkulátoru. - Text výsledek = přepište na obsah 1 = .
vB
31
Cabri Geometrie -
I když teď provedete na kalkulátoru jiné výpočty nebo dokonce kalkulátor vypnete, výsledek na nákresně zůstane beze změny. Přepněte na ukazovátko a deformujte trojúhelník. Spolu s měnícími se hodnotami velikostí strany a výšky se na obrazovce příslušným způsobem bude měnit i výsledek, ať už je kalkulátor aktivní, nebo ne, nebo dokonce ani není na obrazovce – „v zákulisí“ se hodnota výrazu 0,5*a*b stále přepočítává v závislosti na aktuálních hodnotách proměnných a, b.
(2) Změřte ještě délku strany BC a velikost úhlu ABC. - Vymažte (případně aktivujte) kalkulátor, vložte z klávesnice 0,5, klepněte na , klepněte na velikost strany AB (označí se jako a), klepněte na knoflík , klepněte na velikost strany BC (označí se jako b), klepněte na knoflík knoflík. a na knoflík , klepněte na velikost úhlu ABC (označí se jako c) a klepněte na uzavírací závorku. - Na displeji kalkulačky byste nyní měli mít výraz 0,5*a*b*cos(c) (záměrně jsme zde udělali chybu). Klepnutím na knoflík ho vyčíslete, výsledek vytáhněte na nákresnu a text výsledek přepište na obsah 2. (3) Změřte ještě délku strany AC a obvod trojúhelníka ABC. , na hodnotu - Vymažte (případně aktivujte) kalkulátor, klepněte na knoflík obvodu na nákresně atd. až na displeji vytvoříte výraz sqrt(a*(a-b)*(a-c)*(a-d)) (Heronův vzorec), kde a je obvod a b, c, d velikosti stran. Vyčíslete ho, výsledek vytáhněte na nákresnu a nazvěte ho obsah 3. (4) Deformujte trojúhelník a sledujte, jak se všechny čtyři hodnoty obsahu mění. Tři z hodnot se stále rovnají, ale obsah 2 nesouhlasí s ostatními třemi. Opravíme chybu: při aktivním kalkulátoru poklepejte na hodnotu obsahu 2 – na displeji kalkulačky se obnoví výraz, jehož vyčíslením tato hodnota vznikla, totiž 0,5*a*b*cos(c), a na nákresně se obnoví symboly a, b, c u příslušných proměnných. Přepište cos na sin a vyčíslete opravený výraz – na kalkulátoru i na nákresně se hodnota obsahu 2 změní na správnou hodnotu. Příklad: Pythagorova věta Vytvořte dvě kolmé polopřímky se společným počátkem C a trojúhelník ABC s vrcholy A, B na těchto polopřímkách. Změřte délky jeho stran, na kalkulátoru vypočtěte jejich druhé mocniny a vytáhněte je na nákresnu. Dále na kalkulačce vypočtěte součet druhých mocnin odvěsen (použijte druhé mocniny, které již máte na nákresně) a umístěte ho poblíž druhé mocniny přepony. Když budete pohybovat body A a B po polopřímkách, bude se součet čtverců odvěsen i čtverec přepony měnit, ale stále si budou rovny.
vB
32
Cabri Geometrie
A
a*a + b*b=38,36 cm² c=6,19 cm c*c=38,36 cm²
b=3,39 cm b*b=11,47 cm²
C
a=5,19 cm a*a=26,89 cm²
B
Další specifickou vlastností kalkulátoru v programu Cabri Geometrie je, že pracuje s rozměry a jednotkami geometrických veličin. Jistě jste si všimli, že násobením dvou veličin, které byly do kalkulačky přeneseny i s jednotkami cm, vznikla veličina, kterou kalkulačka automaticky opatřila jednotkou cm2. Kromě toho program kontroluje kompatibilitu jednotek veličin vstupujících do početních operací. Vyzkoušejte: Vytvořte trojúhelník, změřte jeho obvod a obsah a zkuste je sečíst. Na pokus o vyčíslení součtu těchto dvou veličin kalkulátor reaguje upozorněním Neslučitelné jednotky a pak vydá numerický součet, který však není opatřen jednotkou. Vyzkoušejte: Zkuste vypočíst sinus veličiny změřené v cm. Program upozorní Nepřípustné jednotky ve funkci sin. Ignorovat? Když budete souhlasit, nahradí program centimetry stupni nebo radiány podle momentálního nastavení jednotek úhlů a hodnotu sinu vypočte. Vyzkoušejte: Vytvořte dvě úsečky, délku jedné změřte v cm, pak nastavte jako jednotku délky mm a změřte druhou úsečku. Sečtěte tyto délky – kalkulátor interně přepočte velikosti podle poslední z jednotek a vzhledem k té uvede správný součet délek:
vB
33
Cabri Geometrie Podobně se kalkulátor chová při násobení délek v různých jednotkách:
i při dělení:
vB
34
Cabri Geometrie
Co jsme ještě neprobrali a nic tomu nebrání Kromě některých významných funkcí programu, kterým se budeme podrobně věnovat později, jsme se zatím nezmínili o několika jednotlivostech. Pravidelný mnohoúhelník je poslední položka v nabídce B2. Vyzkoušejte: Podle nápovědy vytvářejte různé typy pravidelných mnohoúhelníků. Kromě obvyklých konvexních mnohoúhelníků můžeme vytvářet i hvězdicové mnohoúhelníky, které samy sebe protínají. Tak např. typ 11/3 znamená, že jde o pravidelný mnohoúhelník s 11 vrcholy, které jsou pospojovány vždy ob 2 vrcholy, tj. o lomenou čáru, která třikrát oběhne střed, než se uzavře. Tahejte za vrcholy, strany a střed vytvořených mnohoúhelníků a pozorujte, jak se mění. Všimněte si, jak vypadá hvězdicový mnohoúhelník, když ho vybarvíte.
Vyznačit úhel obloučkem
umožňuje stejnojmenná položka nabídky E1.
Vyzkoušejte: Připravte si v nákresně několik bodů, přímek a mnohoúhelníků. Podle návodu vyznačujte úhly určené trojicí bodů, z nichž prostřední je vrchol úhlu a krajní leží na ramenech. Poloměr obloučku můžeme potáhnutím zvětšit nebo zmenšit. ), Oblouček může mít tři grafické podoby (nabídka E1, Typ značky nepočítaje v to čtvereček označující pravý úhel. Otáčení objektu, Zvětšování objektu, Otáčení a zvětšování najdeme v nabídce A. Jde o „ruční“ varianty otočení, stejnolehlosti a jejich kombinace, které známe z jejich „číselně řízené“ varianty v nabídce zobrazení C2. Nezachovává se zde však původní poloha objektu, takže nemůžeme sledovat vztah vzoru a obrazu v geometrickém zobrazení, jako je tomu u zobrazení z nabídky C2.
vB
35
Cabri Geometrie Vyzkoušejte: Otáčejte a natahujte zkušební objekty na nákresně a řiďte se při tom nápovědou. Umístit obrazovku umožňuje stejnojmenná položka v nabídce Soubor. Z nákresny velikosti 1 m × 1 m totiž vidíme na obrazovce jen malý výřez. Ten zde můžeme přemisťovat podle potřeby, když okénko znázorňující obrazovku taháme (se stisknutým tlačítkem myši) po nákresně. Tato funkce umožňuje také získat celkový přehled o situaci v nákresně. Obrazovku můžeme posouvat v nákresně i v normálním režimu pomocí „jezdců“ na pravém a dolním okraji obrazovky. Můžeme také posunovat nákresnu myší při současně stlačeném tlačítku myši a klávese CTRL. To je výhodné zejména při menších úpravách, kdy nepotřebujeme mít celkový přehled o situaci v nákresně.
Teprve celkový pohled odhalí, že vykreslená křivka je hyperbola se dvěma větvemi.
Vyzkoušejte: Vytvořte obrázek, v němž bude několik přímek a hyperbol (tj. neomezené objekty zasahující i do okrajových oblastí nákresny), pro usnadnění orientace je různě obarvěte, pak vyvolejte funkci Umístit obrazovku, prohlédněte si nákresnu jako celek i její detaily v odlehlých částech vhodným umístěním obrazovky. Předefinovat objekt, přesněji řečeno jeho závislost na ostatních objektech, umožňuje stejnojmenná položka v nabídce C1. Vyzkoušejte: Vytvořte trojúhelník ABC, osy dvou jeho stran, jejich průsečík S a kružnici k se středem S procházející vrcholem A (opsanou trojúhelníku). Bod S je definován jako průsečík os a nelze ho uchopit a přemisťovat. Zvolte položku Předefinovat objekt a klepněte na bod S. Z nabídky, kterou tím vyvoláte, vyberte Bod. Tak jste zrušili vazby a bod S jste uvolnili – po přepnutí na ukazovátko ho nyní můžete neomezeně tahat po nákresně. Znovu ho předefinujte, tentokrát jako Bod na objektu vB
36
Cabri Geometrie a klepněte na trojúhelník. Teď se bod S octne na trojúhelníku a po jeho stranách ho lze přemisťovat. Potřetí ho předefinujte, teď vyberte možnost Ztotožnit s jiným objektem a klepněte na vrchol B. Bod S nyní splynul s bodem B a také převzal jeho postavení v hierarchii objektů. Konečně předefinujte bod S jako Průsečík jedné osy se stranou. Všímejte si, jak se při těchto změnách chová kružnice k určená body S a A. Vyjděte znovu od původního obrázku trojúhelníka s osami stran a opsanou kružnicí. Tentokrát zkuste předefinovávat jednu z os. Z nabídky možností vyberte třeba Rovnoběžku, klepněte na jednu ze stran a na protilehlý vrchol. Zkoušejte ještě další možnosti. Se změnou závislostí souvisí také funkce Upevnit / Uvolnit, kterou najdeme v nabídce E1. Když ji aktivujeme a klepneme na volný bod, „připíchneme“ ho k nákresně, jak symbolizuje zobrazený napínáček, a bod tak znehybníme. V případě, že jde o bod částečně vázaný na nějaký objekt (tj. lze ho přemisťovat jen po objektu), znehybníme i ten objekt. Opakované klepnutí pak bod opět uvolní. Vyzkoušejte: Vytvořte trojúhelník. Tahejte za jeho jednu stranu – trojúhelník posunujete po nákresně. Upevněte jeden vrchol, opět tahejte za stranu a pozorujte výsledek. Upevněte i druhý vrchol – upevníte tak celý trojúhelník. Uvolněte oba vrcholy, vytvořte bod na trojúhelníku a ten upevněte. Ničím nelze pohnout. Poznámka: Upevnit lze i závislé body, ale konstrukce se pak při modifikacích chová nevyzpytatelně. Funkce je určena jen pro volné body. Položka Krokovat konstrukci je obsažena v nabídce Upravit. Umožňuje procházet objekt po objektu konstrukci obrázku, který je právě na obrazovce. Tato funkce má velký význam pro výuku – umožňuje učiteli, aby si předem připravil nějakou konstrukci a pak ji po jednotlivých krocích předváděl žákům a komentoval. Umožňuje mu také kontrolovat postup konstrukce u obrázků, které vytvořili žáci. Podobně umožňuje uživateli programu, který studuje hotové obrázky z jiných zdrojů, pochopit, jak vznikly.
Důležitou aplikací této užitečné funkce je úprava konstrukce: nejprve zreprodukujeme začátek konstrukce a pak klepnutím na knoflík OK na obrazovce ukončíme historii. Na obrazovce zůstane poslední zobrazená fáze konstrukce a my v ní můžeme pokračovat jiným způsobem. Tak snadno najdeme a opravíme chybný krok v konstrukci.
vB
37
Cabri Geometrie Vyzkoušejte: (1) Proveďte nějakou jednoduchou konstrukci, vyvolejte Historii a reprodukujte ji po jednotlivých objektech. Všimněte si, jak se program odvolává na pojmenování objektů. Všimněte si, že při procházení konstrukce můžete měnit směr a postupovat kupředu i zpátky. (2) Vyzkoumejte, jak se zachází se skrytými objekty, se smazanými objekty a s makrokonstrukcemi použitými v konstrukci. U zobrazení skrytých objektů je podstatný rozdíl v chování Krokování konstrukce podle toho, byla-li spuštěna při aktivní položce Zobrazit / Skrýt z nabídky E2, nebo ne. (3) Načtěte nějaký hotový obrázek, např. z adresáře FIGURES obsahujícího obrázky dodávané s programem. Prozkoumejte ho a pochopte jeho genezi. Možná vám pomůže, když nejprve zobrazíte skryté objekty.
vB
38
Cabri Geometrie
Pohyb, stopa, množina Hned na začátku jsme se naučili pohybovat objekty po nákresně „ručně“. Můžeme k tomu použít i „pružinový pohon“ objektů, který umožňuje položka Pohyb objektu z nabídky E1. Vyzkoušejte: Vytvořte na nákresně bod, úsečku, vektor, přímku, polopřímku, kružnici, oblouk a trojúhelník, dále umístěte po bodu na vytvořené objekty. Aktivujte položku Pohyb objektu a postupně uvádějte do pohybu různé objekty a body na nich – řiďte se při tom nápovědou. Všimněte si, že: • rychlost pohybu je úměrná délce natažení pružiny, • volný bod se pohybuje po přímé dráze, jejíž směr je opačný ke směru natažení pružiny a jejíž délka je úměrná délce natažení pružiny, • bod na kružnici a trojúhelníku stále obíhá, • bod na úsečce, vektoru a oblouku se pohybuje cyklicky (pozorujte rozdíl v pohybu bodu na úsečce a vektoru), • i na polopřímce a přímce se pohyb bodu opakuje, • uvedete-li do pohybu kružnici, bude se periodicky zmenšovat a zvětšovat. Závislost objektů se při automatickém pohybu zachová stejně jako při ručním tahání po nákresně. Vyzkoušejte: Vytvořte přímku a trojúhelník, jehož jeden vrchol leží na této přímce. V trojúhelníku sestrojte těžnice. Uveďte do pohybu vrchol ležící na přímce a pozorujte proměny celého obrázku. Vyzkoušejte: Vytvořte na nákresně číslo (nabídka E1, položka Čísla). Aplikujte na ně „pružinový pohon“. Všimněte si, že když spustíte pružinu zdola (resp. shora), číslo se bude zvětšovat (resp. zmenšovat). Rychlost „pohybu“ čísla závisí na situaci (poloha kurzoru, označené řády) v okně editoru čísel po posledním jeho zavření. Vyzkoušejte: Některé objekty nebo body na nich lze při aktivní položce Pohyb objektu rozpohybovat i pouhým klepnutím (bez natahování pružiny). Pohybující se objekty (ať už na ruční nebo pružinový pohon) mohou za sebou zanechávat stopu. K zapínání a vypínání kreslení stopy objektů slouží položka Stopa ano/ne v nabídce E1. Kdykoliv je tato položka aktivní, objekty označené k zanechávání stopy se na nákresně graficky ohlásí. Klepnutím na objekt zapneme kreslení stopy, klepnutím na objekt zanechávající stopu tuto vlastnost vypneme. Stopy smažeme volbou položky Překreslit z nabídky Upravit nebo také posunutím nákresny (V tom, že nevědí, jak stopu smazat, je častý problém začátečníků). Vyzkoušejte: Na nákresně vytvořte přímku o, bod S a bod B. Sestrojte body Bs a Bo jako obrazy bodu B ve středové souměrnosti se středem S a v osové souměrnosti s osou o. Body B, Bs a Bo obarvěte různými barvami, aktivujte položku Stopa ano/ne vB
39
Cabri Geometrie a na tyto tři body postupně klepněte. Přepněte na Ukazovátko a pohybujte bodem B po nákresně – třeba kreslete nějaký obrázek. Všimněte si, že hustota stop je dána rychlostí pohybu – „razítkování“ nákresny kopiemi objektu probíhá v pravidelných časových intervalech, takže čím rychleji se objekt pohybuje, tím řidší jsou stopy.
Vyzkoušejte: Vytvořte kružnici k a vně ní bod B. Dále vytvořte kružnici o se středem S na kružnici k procházející bodem B a přebarvěte ji. Pro kružnici o zapněte stopu, vyberte položku Pohyb objektu a uveďte do pohybu bod S.
Vyzkoušejte: Vytvořte kružnici k a mimo ni bod S. Dále vytvořte číslo 2,5. Sestrojte obraz ks kružnice k ve stejnolehlosti se středem S a koeficientem 2,5. U této kružnice ks zapněte stopu. Pomocí funkce Pohyb objektu uveďte do pohybu číslo 2,5 tak, aby se zmenšovalo (pružinu natáhněte nad číslo). Koeficient upravte tak, aby obraz kružnice byl na nákresně, a smažte stopy. Nyní pomocí pružiny uveďte do pohybu bod S (pružinu řádně natáhněte).
vB
40
Cabri Geometrie
V Cabri můžeme zkoumat i složitější pohyby vznikající skládáním několika nezávislých pohybů. Slouží k tomu položka Pohyb více objektů v nabídce E1. Vyzkoušejte: Vytvořte dvě kružnice, úsečku s krajními body na těchto kružnicích a bod na této úsečce. Bod určete, aby zanechával stopu, dále vyberte Pohyb více objektů z nabídky E1 a pružiny natáhněte na obou krajních bodech úsečky. Křivka, kterou bod pak opisuje, závisí na poměru rychlostí dvou pohybů. (Pokus několikrát opakujte s různým poměrem délek pružin. Vyzkoušejte také situaci, kdy konce úsečky obíhají kružnice v opačném smyslu.)
vB
41
Cabri Geometrie Vyzkoušejte: Modifikujte jeden z předcházejících pokusů: Vytvořte trojúhelník, bod S a číslo. Sestrojte obraz trojúhelníka ve stejnolehlosti se středem S a daným koeficientem. Tento obraz určete k zanechávání stopy. Aktivujte Pohyb více objektů a pružinu natáhněte od středu S, od všech tří vrcholů trojúhelníka i od koeficientu.
Určitě jste si mezitím všimli některých nešikovných vlastností, které mají stopy objektů. Nejde ani tak o jejich neúhlednost (zejména při ručním pohybu), jako o statičnost (když měníme výchozí parametry konstrukce, stopa zůstává beze změny, nanejvýš se dále vytváří podle nové situace) a dočasnost (stopa se neukládá s obrázkem ani ji nelze jinak zachovat a zpracovávat – můžeme si ji jen prohlédnout a pak smazat). Dokonalejší a trvalejší vykreslení dráhy objektů slouží položka Množina v nabídce C1. Po její volbě klepneme nejprve na objekt, jehož množinu necháváme vykreslit, a pak na bod, jehož pohyb vyvolává pohyb sledovaného objektu. Vyzkoušejte: Vytvořte kružnici a úsečku, která má jeden krajní bod A na kružnici a druhý mimo ni. Na této úsečce vytvořte bod B. (1) Nejprve sestrojte stopu bodu B při pohybu bodu A po kružnici. Pak (ještě se zapnutým kreslením stopy) měňte vstupní parametry konstrukce, tj. přepněte na ukazovátko a tahejte za střed kružnice, za konce úsečky, za bod B, měňte poloměr. Všimněte si, že původní stopa zůstává beze změny, pouze přibývají další stopy způsobené těmito pohyby. Když zrušíte vykreslování stopy a pohnete konstrukcí, stopa zmizí. Stopa se nezachová, když dáte Nový obrázek a pak znovu aktivujete původní okno, nezachová se ani při uložení a novém otevření obrázku, dokonce ani při pouhém posunutí nákresny. (2) Vypněte kreslení stopy bodu B. Nyní sestrojíme množinu bodů B při pohybu bodu A po kružnici. Aktivujte položku Množina bodů, klepněte na bod B (objekt, jehož množinu vykreslujeme) a pak na bod A (bod, který svým pohybem po kružnici vytvoří množinu objektů). Po vykreslení množiny (kružnice) měňte vstupní parametry a pozorujte, jak se množina mění. Právě dynamika množin objektů patří k silným stránkám Cabri geometrie. Všimněte a že na množinu můžete si, že při kontaktu s ukazovátkem se množina hlásí umístit bod. Na druhé straně nelze sestrojit průsečík množiny s jiným objektem. Množina zůstává v obrázku i po odložení okna nebo uložení obrázku. Množinu
vB
42
Cabri Geometrie mažeme jako jiné objekty na nákresně – označíme ji klepnutím a pak DELETE nebo Upravit / Smazat. A
A
AB
B
B
Proměny množiny při změně polohy bodu B. A B
A A
B
B
Proměny množiny při změně poloměru kružnice.
Vyzkoušejte: Modifikujte jeden z předcházejících pokusů: Vytvořte kružnici k a vně ní bod B. Dále vytvořte kružnici o se středem S na kružnici k procházející bodem B. Aktivujte Množinu objektů, klepněte na kružnici o (jako na objekt, množinu kterých necháme vykreslit) a na bod S (jako na bod, jehož pohyb po kružnici k množinu určuje). Po vykreslení množiny přepněte na ukazovátko a měňte polohu bodu B, středu kružnice k a její poloměr. Na rozdíl od stopy se množina kružnic opět dynamicky mění v závislosti na vstupních parametrech konstrukce.
B
k
k
k B
B
Příklad: Thaletova kružnice Vytvořte úsečku AB a určete množinu všech vrcholů C pravých úhlů ACB. (1 – stopa) Bodem A veďte přímku a. Z bodu B k ní sestrojte kolmici a patu označte C. Bod C určete k zanechávání stopy. Otáčejte přímkou a kolem bodu A (ručně uchopíme přímku a mimo bod A nebo tam nasadíme pružinu) – body, z nichž se skládá stopa vB
43
Cabri Geometrie bodu C, se zdají ležet na kružnici nad průměrem AB. Potvrdíme to tak, že tuto kružnici sestrojíme.
(2 – množina) V postupu (1) byla akce řízena pohybem přímky, což funkce Množina neumožňuje – druhý její parametr je pohyblivý bod řídící akci. Proto postup upravíme tak, abychom přímkou a otáčeli prostřednictvím pohybu určitého bodu: Nejprve vytvořte kružnici k se středem v bodě A a zvolte na ní bod R. Vytvořte přímku AR, bodem B k ní veďte kolmici a patu označte C. Aktivujte Množinu objektů, klepněte na bod C (objekt, jejichž množinu vytváříme) a pak na bod R (bod řídící pohyb). Vykreslí se Thaletova kružnice.
B R k C a
A
Příklad: Parabola jako obálka přímek Vytvořte přímku d a mimo ni bod F. Na přímce d zvolte bod B, vytvořte úsečku BF a sestrojte její osu. Určete množinu všech těchto os (při proměnném bodu B). (1 – stopa) U osy zapněte stopu a pak pohybujte bodem B po přímce d (stačí klepnout na bod B při aktivním Pohybu objektu). (2 – množina) Aktivujte množinu objektů, klepněte na osu a pak na bod B. Po vykreslení množiny měňte vzájemnou polohu bodu F a přímky d.
vB
44
Cabri Geometrie V obou případech osy obalují parabolu s ohniskem F a řídící přímkou d.
d
B F
F
F B
d
B
d
Pokud se vám snad nezobrazila množina os úseček BF, ale křivka (parabola), neznepokojujte se. Vysvětlení a návod k nápravě najdete hned v následujících řádcích.
B
F
d F
F d
vB
B
B
d
45
Cabri Geometrie
Měníme nastavení programu pro množiny Z nabídky Nastavit zvolíme položku Nastavit prostředí a z nabídnutých karet Množiny.
Zde můžeme určit počet zobrazených objektů, dále v případě, že se množina skládá z bodů, mají-li se spojit nebo nechat nespojené, a v případě, že se množina skládá z přímek, má-li se zobrazit místo přímek jen jejich obálka. Nastavování ukončíme (na to začátečníci zapomínají a pak se diví, že se změny tlačítkem neprovedly). Počet objektů lze měnit přímo na nákresně tak, že množinu označíme (klepnutím ukazovátkem) a klávesami + ( – ) zvětšujeme (zmenšujeme) počet objektů. Vyzkoušejte: U posledních dvou příkladů pozorujte, jak je zobrazena výsledná množina objektů při různě nastavených parametrech programu. R B C k
A
B F d počet vykreslovaných poloh
50
R B C A B F počet vykreslovaných poloh
vB
d
10
46
k
Cabri Geometrie Po změně parametrů můžete nejprve smazat „starou“ množinu a pak vytvořit „novou“. Pohodlnější však bude, když nejprve starou množinu označíte (klepnutím ukazovátkem), pak se již automaticky překreslí po změně parametrů na kartě Množiny. Všimněte si, jak volba velkého počtu objektů množiny ovlivňuje (zejména u pomalejších počítačů) dobu potřebnou k vytvoření množiny (resp. k otevření uloženého obrázku). Podobně ovlivňuje volba počtu objektů také obsazení operační paměti počítače. Pokračování příkladu o parabole: Zbývá se přesvědčit, že obálka množiny os je parabola. Z předcházejících variant tedy ponechme tu, na které je jen obálka množiny , umístit přímek. Ukážeme-li na ni ukazovátkem, ohlásí se obálka sice jako na ni bod však nelze. Bod dotyku přímky s obálkou však v tomto případě snadno sestrojíme – je to průsečík osy úsečky BF s kolmicí k řídící přímce d v bodě B. Stejnou křivku tedy dostaneme jako množinu bodů – těchto průsečíků. Smažte obálku, sestrojte zmíněnou množinu bodů, a na ni již lze umísťovat body. Vytvořte kuželosečku pěti body, které umístíte na tuto množinu. Vidíme, že kuželosečka splývá s množinou, a to i když měníme polohu vstupních parametrů konstrukce. Když a po klepnutí přepneme na ukazovátko a ukážeme na ni, vyvoláme dotaz nabídku se dvěma položkami, množina a parabola.
F B
d
Shrňme rozdíly mezi stopou a množinou: • stopa je statická – po vykreslení se už nemění, množina dynamická – mění se spolu s měnícími se parametry konstrukce, • stopa je dočasná, množina trvalá, • stopa bodu je složena z jednotlivých bodů, množinu bodů lze pospojovat lomenou čarou, která při nastavení dostatečně velkého počtu bodů opticky splývá s příslušnou křivkou, • stopa přímky je složena z jednotlivých přímek, množinu přímek lze nahradit jejich obálkou, • stopa objektu ani její elementy (jednotlivé kopie poloh objektu) nejsou objekty a nelze s nimi dále pracovat, množina i obálka jsou objekty, i když s určitými omezeními: nelze určit průsečík množiny bodů ani obálky s jiným objektem, na obálku nelze umístit bod,
vB
47
Cabri Geometrie • třída objektů, které mohou zanechávat stopu, je širší, než třída objektů, které mohou tvořit množinu, což jsou jen body, lineární objekty a kružnice, • třída objektů, jejichž pohyb vyvolává pohyb objektů zanechávajících stopu, je širší, než u množin, kde to může být jen jeden bod na objektu, • jednou akcí můžeme vytvořit stopy více objektů současně, ale jen jednu množinu, • vytváření stopy názorně sledujeme nebo ji dokonce vlastnoručně vytváříme, množina se tvoří skrytě a automaticky – to je důležité z didaktického hlediska.
Množiny bodů podrobněji Méně zkušení uživatelé programu bývají někdy zklamáni nepěkně provedenou množinou. Kvalitu vykreslení množiny objektů však lze ovlivňovat nejen úpravou nastavení parametrů, ale také lépe zorganizovaným pohybem bodu, který řídí pohyb sledovaného objektu a vykreslování množiny. Příklad: Apolloniova kružnice Jak známo, množinou všech bodů stejně vzdálených od dvou daných bodů je osa úsečky AB. Budeme řešit obecnější úlohu – hledat množinu všech bodů, které mají od dvou daných bodů A, B daný poměr vzdáleností p. Vytvořte na nákresně dva body A, B a číslo rovné danému poměru p. Dále vytvořte přímku AB a na ní bod H. Změřte vzdálenost AH, aktivujte kalkulátor, vynásobte ji daným poměrem a výsledek vytáhněte na nákresnu. Naneste vypočtenou hodnotu od bodu B (kamkoliv – dostanete bod Hp). Vytvořte kružnici se středem A procházející bodem H a kružnici se středem B procházející bodem Hp, průsečíky těchto kružnic jsou při každé poloze bodu H na přímce AB body hledané množiny. Pohybujte bodem H a nechte si kreslit stopu průsečíků – dostáváte body ležící na kružnici. Smažte stopu a nechte si vykreslit množinu (jednoho z) průsečíků. Při standardním nastavení (50 objektů) nebude výsledek moc pěkný, kazit ho bude jak hrbatost, tak nedotaženost u přímky AB. p = 1,5 Hp
H
A
Bod H probíhá celou přímku AB.
vB
48
B
Cabri Geometrie Pochopíme to, když změníme nastavení a nebudeme požadovat spojování bodů – ukáže se jen několik málo bodů, při „většině“ poloh bodu H na přímce AB se totiž kružnice nebudou protínat. Situace se poněkud zlepší, když významně zvětšíme počet objektů. Principiální nápravy však dosáhneme, když nenecháme bod H probíhat „celou“ přímku AB, ale jen tu její část, kdy se příslušné dvě kružnice protnou. Není těžké zjistit, že je to úsečka, jejíž krajní body jsou (pro poměr p různý od 1) od bodu A vzdáleny AB / (p + 1), AB / | p – 1|. Změřte tedy vzdálenost bodů A, B, vypočtěte tyto hodnoty na kalkulátoru, výsledky vytáhněte na nákresnu, naneste je na polopřímku AB (kterou nejprve musíte vytvořit) jako body P a Q a vytvořte úsečku PQ, kterou obarvěte. Teď už můžete skrýt všechna čísla (jen daný poměr na nákresně ponechte) a pomocné body. Bod H nyní předefinujte tak, aby byl bodem úsečky PQ (z nabídky C1 vyberte položku Předefinovat objekt, klepněte na bod H, otevře se nabídka, z níž vyberte z vyberete bod na objektu, ukážete na úsečku PQ a na výzvu nabídky úsečku PQ). Teď už bude množina zobrazena daleko lépe, neboť bude založena na 50 skutečných průsečících. p = 1,5 Hp
A
P H
B
Q
Bod H probíhá úsečku PQ.
Zbývá ještě nechat vykreslit druhou polokružnici, ať již jako množinu nebo pomocí osové souměrnosti. Se změnami polohy daných bodů A, B i se změnami daného poměru (což je obzvlášť zajímavé), se bude měnit i množina. O tom, že jde skutečně o kružnici, se můžete přesvědčit tak, že na množině umístíte tři body a sestrojíte kružnici, která jimi prochází – splyne s množinou.
vB
49
Cabri Geometrie
Analytická geometrie Kromě práce s geometrickými objekty, jejich vzájemnou polohou a velikostí umožňuje program pracovat i s jejich souřadnicemi a rovnicemi. Slouží k tomu položky Souřadnice a rovnice a Směrnice v nabídce D2 a položky Zobrazit osy (resp. Skrýt osy), Nové osy a Mřížové body v nabídce E2. Vyzkoušejte: Připravte si v nákresně bod, přímku, kružnici a kuželosečku. Aktivujte položku Souřadnice a rovnice, postupně klepejte na tyto objekty a zobrazte jejich rovnice (souřadnice). Všimněte si, že při zobrazení souřadnic bodu se zároveň otevře okénko textového editoru, který umožňuje připojit název bodu nebo jiný text. Okénko zavřete obvyklým způsobem – klepnutím do volného prostoru nebo aktivací jiné funkce. Příslušnou souřadnou soustavu zviditelníte volbou položky Zobrazit osy. Všimněte si, že u bodů [1;0] a [0;1] jsou připsány 1. Když na tyto body ukážete , osy se hlásí jako . Osy lze opět skrýt ukazovátkem, hlásí se jako volbou položky Skrýt osy, která v nabídce E2 nahradila původní položku Zobrazit osy. Tahejte za objekty a pozorujte, jak se rovnice (souřadnice) mění. Zvlášť zajímavé jsou změny rovnice kuželosečky v závislosti na jejích deformacích. Všimněte si, že rovnice , zatímco každá ze dvojice souřadnic bodu zvlášť se hlásí u kurzoru jako . Všimněte si, že numerické koeficienty mají někdy tvar desetinných jako čísel, jindy zlomků – v prvním případě jsou zaokrouhleny, ve druhém jsou přesné. Tahejte za rovnice a souřadnice a všimněte si, že zůstávají poblíž objektu (a pohybují se spolu s ním), teprve při větším oddálením kurzoru se „utrhnou“ a pak je lze přemístit kamkoliv (kde pak už zůstanou i při pohybu příslušného objektu). Aktivujte položku Směrnice, klepněte na přímku a přesvědčte se, že směrnice souhlasí s příslušným koeficientem rovnice přímky. Stejně jako jiná čísla můžeme i (jednotlivé) souřadnice bodů a směrnice přímek používat jako proměnné ve výpočtech na kalkulátoru. Vyzkoušejte: Na nákresně vytvořte přímku a na ní bod. Zobrazte osy, rovnici a směrnici s (měla by souhlasit s koeficientem) přímky a souřadnice [x, y] bodu. Dále zobrazte souřadnice [p, q] průsečíku přímky s osou y. Mělo by být p = 0 a q by mělo souhlasit s absolutním členem rovnice přímky. Aktivujte kalkulátor a vypočtěte s * x + q. (Hodnoty s, x a q neopisujte z nákresny pomocí klávesnice, ale vložte je do kalkulátoru klepnutím.) Výsledek by měl souhlasit s y. Vytáhněte ho na nákresnu a zavřete kalkulátor. Měňte polohu bodu na přímce, pak měňte polohu přímky. Vypočtený výsledek by měl stále souhlasit s y-ovou souřadnicí bodu.
vB
50
Cabri Geometrie
0,36 y = 0,36x + 1,54 (2,33; 2,37) (0,00; 1,54)
výsledek: 2,37
1 1
Při školní výuce základů analytické geometrie se většinou pracuje s body, které mají obě souřadnice celočíselné. Tyto body zobrazíme volbou položky Mřížové body a klepnutím na osu (to abychom v případě, že máme v nákresně více souřadných soustav – viz dále, vybrali tu, k níž se budou vztahovat). Používání mřížových bodů usnadňuje zadávání objektů ve školských úlohách. Vyzkoušejte: Zobrazte osy a mřížové body. Přepněte na ukazovátko a všimněte si, že . Vytvořte přímku procházející dvěma mřížovými mřížové body se hlásí body a zobrazte její rovnici. Tahejte za bod určující přímku – bude „skákat“ jen po mřížových bodech a koeficienty v rovnici budou stále „hezká“ čísla. Mřížové body lze odstranit všechny najednou tak, že na jeden z nich klepneme ukazovátkem a pak stiskneme klávesu DELETE (nebo zvolíme Upravit / Smazat). Smažete tak však i přímku, kterou jste určili mřížovými body. Příklad: Vnitřní a vnější body kružnice Zobrazte osy a mřížové body. Vytvořte kružnici se středem v mřížovém bodě a s celočíselným poloměrem (to aby její rovnice měla pěkné „učebnicové“ koeficienty – kružnici vytvořte tak, aby procházela vhodným mřížovým bodem), dále vytvořte bod (mimo mřížový bod), zobrazte rovnici kružnice a souřadnice bodu. Aktivujte kalkulátor a dosaďte souřadnice bodu do levé strany rovnice. Provedete to tak, že v okénku kalkulátoru vytvoříte výraz (x – p)2 + (y – q)2, kde x, y jsou souřadnice právě vytvořeného mřížového bodu a p, q souřadnice středu kružnice. Jejich aktuální hodnotu do okénka vnesete klepnutím na nákresnu. Jistě vás nepřekvapí, když se v okénku budou proměnné označovat a, b, c, d. Z klávesnice tedy vkládáte jen závorky a druhou mocninu jako ^2. Výsledek vytáhněte na nákresnu a pohybujte (tj. „skákejte“) bodem po nákresně. Bude-li bod ležet na kružnici, bude výsledek souhlasit s pravou stranou rovnice, pro bod uvnitř kružnice bude výsledek menší a pro vnější bod bude větší. Příklad: Tečna a derivace Zobrazte osy a mřížové body. Vytvořte úsečku, která má jeden konec A v mřížovém bodě [0; 2] a druhý B na ose x (mimo mřížové body). Sestrojte její osu, v bodě B sestrojte kolmici k ose x a sestrojte množinu průsečíků této kolmice s osou úsečky AB
vB
51
Cabri Geometrie při pohybu bodu B po ose x. Bude to parabola, jak se přesvědčíte, když sestrojíte kuželosečku určenou pěti body této množiny. (Úsečku, kolmici k ose x a množinu pod parabolou můžete skrýt.) Nechte si vypsat rovnici paraboly (bude to x2 – 4y + 4 = 0), rovnici osy úsečky, která je tečnou paraboly, a souřadnice průsečíku s kolmicí – bodu dotyku. Jak známo, směrnice tečny je hodnota derivace v bodě dotyku – přesvědčte se o tom: derivace funkce y = x2/4 - 1 je x/2 a skutečně – při každé poloze tečny má její směrnice (koeficient u x) poloviční hodnotu než x-ová souřadnice bodu dotyku. Derivaci můžete určit ještě jiným způsobem jako tangens úhlu mezi tečnou a osou x: změřte úhel, vypočtěte pomocí kalkulátoru jeho tangens a výsledek vytáhněte na nákresnu. Při pohybu tečny podél paraboly bude tangens souhlasit se směrnicí.
Zatím umíme zobrazovat souřadnice existujících bodů a rovnice objektů. Můžeme však i obráceně vytvářet body a objekty dané souřadnicemi a rovnicemi. Vyzkoušejte: Zobrazte osy a vytvořte na nákresně dvě čísla, např. 2,34 a -3,45. Vytvoříme bod [2,34; -3,45]: Na osu x naneste vzdálenost 2,34 (aktivujte Nanést délku, klepněte na číslo 2,34 a pak na osu x).Na osu y naneste vzdálenost -3,45, přesněji řečeno vzdálenost 3,45 na zápornou poloosu (klepněte na číslo -3,45 a pak na osu y – nezáleží na tom, na kterou z poloos klepneme). Body, které jste tak dostali, veďte rovnoběžky s osami – v jejich průsečíku je hledaný bod. Zobrazte jeho
vB
52
Cabri Geometrie souřadnice a přesvědčte se, že souhlasí s danými čísly. Přesvědčte se, že když budete měnit hodnoty daných čísel, bude se příslušným způsobem měnit i poloha sestrojeného bodu. Vyplatí se vytvořit si makrokonstrukci, která má za vstupní parametry dvě čísla a jako výstupní parametr bod, který má tyto souřadnice – vytvořte ji. Program ohlásí, že zadané vstupní parametry neurčují výstupní parametry – je totiž třeba jako vstupní parametr zadat i souřadnou soustavu klepnutím na osu (pro případ, že bychom měli na nákresně více soustav). Zvolte tedy znovu položku Vstupní parametry. Objekty, které jste původně zadali jako vstupní, se na nákresně označí a stále platí, přidáme jen třetí parametr klepnutím na osu a teď už můžeme makrokonstrukci uložit. Vyzkoušejte, jak funguje. S využitím kalkulátoru můžeme vykreslit graf libovolné funkce proměnné x vyčíslitelné kalkulátorem. Příklad: Přibližně řešte kvadratickou rovnici 0,7x2 + 1,3x – 3,8 = 0. Nejprve vykreslíme graf funkce y = 0,7x2 + 1,3x – 3,8. Zobrazte osy, na ose x zvolte bod x, zobrazte jeho souřadnice, aktivujte kalkulátor, vypočtěte hodnotu funkce (za x dosazujte x-ovou souřadnici bodu x tak, že na ni klepnete, druhou mocninu počítejte jako součin) a výsledek vytáhněte na nákresnu. Kalkulátor vypněte a výsledek naneste na osu y – dostanete tam bod f(x). Sestrojte průsečík kolmic na osy v bodech x a f(x) – to bude bod G grafu naší funkce. Pohybujte bodem x po ose x a sledujte dráhu bodu G. Nechte si vykreslit jeho stopu a pak množinu bodů G vytvářenou pohybem bodu x po ose x.
Tam, kde graf protíná osu x, najdeme kořeny: přesuňte bod x k tomuto bodu co nejpřesněji, tj. tak, aby se vypočtená hodnota funkce co nejméně lišila od 0, a přečtěte hodnotu x-ové souřadnice bodu x – přibližné řešení rovnice. Vypočtěte řešení
vB
53
Cabri Geometrie kvadratické rovnice klasickým způsobem (můžete při tom využít kalkulátor) a porovnejte.
Poznámka: Z technických důvodů se zpravidla nepodaří strefit přesně do nulového bodu. S využitím kalkulátoru můžeme vykreslit množinu bodů se souřadnicemi [x(t); y(t)], kde proměnná t probíhá určitý interval a x, y jsou dvě funkce vyčíslitelné na kalkulátoru (tzv. parametrické rovnice křivky). (Graf funkce y = f(x) je speciálním případem křivky určené parametrickými rovnicemi x(t) = t, y(t) = f(t).) Příklad: Vykreslete množinu bodů [5t/(1+t3), 5t2/(1+t3)] pro všechna reálná t. Zobrazte osy, pod horním okrajem obrazovky sestrojte rovnoběžku s osou x, na rovnoběžce vytvořte bod a zobrazte jeho souřadnice. První souřadnice tohoto bodu bude reprezentovat parametr t, druhá souřadnice bude při pohybu bodu konstantní. Druhou souřadnici proto (v režimu textového editoru) smažte a k první dopište označení t. Aktivujte kalkulátor, vypočtěte hodnotu první souřadnice 5*t / (1 + t*t*t) (za t při tom dosazujte klepáním na číslo na nákresně) a vytáhněte ji na nákresnu. Slovo výsledek přepište třeba na x(t). Analogicky postupujte u druhé souřadnice a pak vyneste bod se souřadnicemi [x(t); y(t)]. Když budete pohybovat bodem t, bude se měnit hodnota jeho x-ové souřadnice – parametr t, budou se přepočítávat hodnoty funkcí x(t) a y(t) a bod [x(t); y(t)] bude probíhat hledanou množinu. Můžeme ho nechat zanechávat stopu nebo si můžeme dát vykreslit množinu těchto bodů vytvořenou pohybem bodu t po přímce. Dostaneme tak křivku zvanou Descartův list. vB
54
Cabri Geometrie
Volbou položky Nastavit / Nastavit prostředí můžete na kartě Souřadnice a rovnice ovlivnit tvar, v němž se zobrazují rovnice přímek a kuželoseček. Typ rovnice můžete také změnit přímo na nákresně tak, že rovnici označíte (klepnutím ukazovátkem) a stlačíte klávesu TAB.
Vyzkoušejte: Zobrazte osy, vytvořte bod a přímku, zobrazte jejich souřadnice a rovnice. Přepněte na ukazovátko a tahejte za počátek, za osu x, za osu y, za jednotky a pozorujte, jak se mění souřadnice a rovnice vzhledem k měnícímu se systému souřadnic. Všimněte si, že s osou x otáčíte celou soustavu, zatímco s osou y měníte pravoúhlý systém na kosoúhlý. Na kartě také můžete nastavit místo kartézské soustavy polární. Vyzkoušejte si to a nakonec opět nastavte kartézskou soustavu. Souřadnou soustavu však můžeme také měnit přímo na nákresně.
vB
55
Cabri Geometrie Zákonitosti popisující transformace analytického vyjádření geometrických objektů při změnách souřadného systému a jejich souvislost s geometrickými zobrazeními patří ke klasickým partiím analytické geometrie, dnes však přesahují rámec středoškolské matematiky. K modelování těchto transformací slouží nejen možnosti změn soustavy souřadnic, o kterých jsme se právě zmínili, ale i možnost mít v nákresně současně několik souřadných systémů. K vytvoření dalších systémů slouží položka Nové osy v nabídce E2.
vB
56
Cabri Geometrie
Tabulky Hodnoty čísel, která se vyskytují na nákresně, ať již vznikla měřením, výpočtem na kalkulátoru nebo zde byla vytvořena editorem čísel, lze archivovat v tabulkách. Slouží k tomu poslední položka nabídky D2 Tabulky. Vyzkoušejte: Aktivujte Tabulky a klepněte na nákresnu. Objeví se tam zárodek formuláře tabulky.
Tahejte za dolní pravý roh a měňte jeho rozměry, počet sloupců a řádků.
Tahejte za horní okraje svislých čar a měňte šířku sloupců. (Jste při tom stále v režimu Tabulky, nikoliv ukazovátka.)
Přepněte na ukazovátko a tahejte za tabulku – přemísťuje se po nákresně. Klepnutím na tabulku ji označíte, klávesou DEL ji pak můžete smazat.
vB
57
Cabri Geometrie Příklad: Obvod a obsah kruhu (1) Vytvořte kružnici a její poloměr (jako úsečku spojující střed s bodem na kružnici), změřte poloměr, obvod a obsah a k jejich hodnotám připojte příslušný název. Vytvořte tabulku se třemi sloupci a asi deseti řádky. Klepněte (při stále aktivní funkci Tabulky) postupně na poloměr, obvod a obsah. Jejich názvy se objeví v záhlaví tabulky a aktuální hodnoty v prvním řádku. Přepněte na ukazovátko, tahejte za kružnici (všechny tři hodnoty se mění) a občas stiskněte klávesu TAB. Postupně tak zaplňujete tabulku.
(2) Naměřené veličiny spolu zřejmě souvisí. Pokusíme se odhalit zákonitost, kterou se řídí poměry obsah : obvod a obvod : poloměr. S hodnotami uvedenými v tabulce již dále pracovat nelze (přesněji řečeno nelze v prostředí Cabri, šlo by je však přenést do tabulkového procesoru a tam zpracovávat, o tom později). Rozšíříme si tabulku o další dva sloupce. Přepněte na Tabulky a potáhněte za pravý dolní roh. Aktivujte kalkulátor a vypočtěte poměr aktuálních hodnot obsahu a obvodu, obvodu a poloměru, vytáhněte je na nákresnu a označte. Aktivujte Tabulky a klepněte na tyto dvě hodnoty. Jejich názvy přibudou v záhlaví, příslušné sloupce se v řádcích, které jste vytvořili v části (1), vyplní pomlčkami, a přibude nový řádek obsahující již všech pět aktuálních hodnot. Přepněte na ukazovátko, tahejte za kružnici a klávesou TAB tabelujte další řádky.
vB
58
Cabri Geometrie
Pokračujete-li i po zaplnění viditelné části tabulky, zaplňují se další, zatím skryté řádky. Stejným způsobem, jako jste tabulku rozšiřovali, ji můžete také prodlužovat a zobrazit další, možná již zaplněné řádky (vyzkoušejte). Můžete si ji také posunout výš, nejrozumnější však bude vymazat neúplné řádky vytvořené v (1): přepněte na Tabulky, klepněte na číslo řádku (ztmavne) a klávesou DEL ho pak smažete. Podobně se mažou sloupce. Z tabulky je nyní zřejmé, že poměr obsah : obvod je vždy roven polovičnímu poloměru a poměr obvod : poloměr je konstantní, totiž 2π. Příklad: Tabulka goniometrických funkcí (1) Vytvořte dvě polopřímky se společným počátečním bodem A, na jedné z nich zvolte bod B a veďte jím k ní kolmici, průsečík s druhou polopřímkou nazvěte C. Vyznačte úhel BAC obloučkem a změřte ho (ve stupních, na 1 desetinné místo). Změřte velikost odvěsen a přepony pravoúhlého trojúhelníka ABC, aktivujte kalkulačku, vypočtěte BC/AC, výsledek vytáhněte na nákresnu a popište sinus, podobně pro kosinus AB/AC a tangens BC/AC. Zobrazení výsledků upravte na 6 desetinných míst. Když teď otáčíte polopřímkou AC kolem bodu A, mění se velikost úhlu BAC a spolu s ní i hodnoty goniometrických funkcí, které máte zobrazeny na nákresně. Vytvořte tabulku se čtyřmi sloupci. S aktivní položkou Tabulky klepněte postupně na velikost úhlu, na sinus, na kosinus a na tangens. V záhlaví sloupců se objeví názvy goniometrických funkcí a v prvním řádku jejich hodnoty. Když změníte velikost úhlu a stisknete klávesu TAB, přibude v tabulce další řádek.
vB
59
Cabri Geometrie
Tato metoda ručního otáčení přímkou AB má dvě nevýhody: jednak pracnost opakovaného nařizování její polohy pro požadované hodnoty argumentu, především pak praktická nemožnost nastavit hodnotu argumentu přesně. Tak v situaci na obrázku je na nákresně i v tabulce sice uveden argument 43,9°, byl však zaokrouhlen z 43,891188 a ve skutečnosti je sin 43,9° = 0,693402, takže hodnoty uvedené v takto vytvořené tabulce nejsou vlastně vůbec správné. Proto nastavování argumentu zdokonalíme. (2) Sestavíme tabulku hodnot goniometrických funkcí pro argumenty 0° až 90° s krokem po 15°. Využijeme přitom toho, že máme-li při ručním otáčení přímky stisknutou klávesu SHIFT, mění se její poloha skokem po 15° (přesně). „Srovnejte“ nejprve se stisknutou klávesou SHIFT polopřímku AB do „vodorovného“ směru a pak otáčejte (se SHIFTem) přímkou AC po 15° a vyplňujte tabulku.
vB
60
Cabri Geometrie (3) Sestavíme tabulku hodnot goniometrických funkcí pro argumenty 36° až 37° s krokem 0,1°. Vytvořte na nákresně číslo 36,0, dále polopřímku s počátečním bodem A, zvolte na ní bod B a v něm sestrojte kolmici. Pomocí zobrazení Otočení z nabídky C2 otočte polopřímku AB kolem bodu A o 36° a průsečík otočené polopřímky s kolmicí označte C. Dále postupujte stejně jako v (1), vyneste na nákresnu šestimístné hodnoty sinu, kosinu a tangenty úhlu BAC a založte tabulku, v níž bude v prvním sloupci vytvořené číslo (36,0) a v dalších třech budou goniometrické funkce. Ukazovátkem poklepejte na číslo 36,0 – spustíte tak editor čísel. Zvyšujte nyní hodnotu čísla po 0,1 a doplňujte další řádky tabulky klávesou TAB. (Před stisknutím klávesy TAB při pohybu řízeném editací čísla budete muset napravit chybičku v programu a vždy změnit polohu některého objektu na nákresně, např. bodu, který si pro tento pomocný účel na nákresnu připravíte.) Tento proces lze zautomatizovat, když hodnotu čísla na nákresně budeme měnit pružinovým pohonem. Nejprve tabulku označte (klepnutím ukazovátkem) a pak dejte číslu impuls pružinou (nabídka E1, Pohyb objektu). Vzhledem k tomu, že program umožňuje vytvořit tabulku až s 999 řádky, mohli bychom tímto postupem sestavit i kompletní tabulku goniometrických funkcí od 0° až do 90° s krokem 0,1°.
vB
61
Cabri Geometrie
Úprava nabídek nástrojů Akcí, která se neprovádí často, je reorganizace položek v nabídkách nástrojů (A až E2). Nejčastějším důvodem k tomuto kroku je roztřídění většího počtu makrokonstrukcí (které se automaticky zařazují do nabídky C3), někdy též vyřazení některých nástrojů (chceme-li např., aby žáci sestrojovali osy úseček „vlastnoručně“ a nepoužívali k tomu hotový nástroj z nabídky C1, aby k výpočtu obsahů nepoužívali příslušnou funkci programu). Když z nabídky Nastavit vyberete položku Upravit nabídky nástrojů, vyvoláte dialogové okno, které však pouze umožňuje, abyste zadáním hesla zamezili všetečným žákům přístup k této choulostivé funkci. Můžete zde též určit, že si přejete přeskupené nabídky pak uložit do souboru, abyste tuto konfiguraci mohli jindy znovu navodit. Toto okno ponechte aktivní na obrazovce a když pak zvolíte položku z některé nabídky, můžete ji myší přetáhnout do jiné nabídky, vyhodit do koše, nebo pro ni zřídit novou nabídku ve volné části pruhu s knoflíky nabídek. Vyzkoušejte.
Nakonec raději zvolte Nastavení od dodavatele, kterým obnovíte původní stav.
vB
62
Cabri Geometrie
Export & Import , s. r. o. Ukládání souborů
Při práci s programem můžeme ukládat informace do souborů. Volba příslušné ukládací funkce vyvolá standardní dialogové okno, se kterým se setkáváme v jiných programech pod Windows. Okno umožňuje pojmenovat soubor a nastavit adresář, do kterého ho hodláme uložit. Nejčastějším případem je ukládání obrázků, přesněji řečeno nákresny se všemi (i skrytými) objekty, které obsahuje, včetně jejich vzájemných vazeb. Slouží k tomu položka Uložit jako… z nabídky Soubor. Standardní příponou těchto souborů je FIG. (Program pro ně nabízí ještě alternativní příponu TXT, která však nemá pro běžného uživatele praktický význam). Nemusíme jistě připomínat, že zejména při složitějších konstrukcích se pro případ havárie vyplácí průběžně ukládat rozdělanou práci. Když opakovaně ukládáme nové verze téhož souboru pod stejným názvem do stejného adresáře, použijeme raději položku Uložit, čímž se vyhneme zbytečnému dialogu. Vyzkoušejte: Vytvořte jednoduchý obrázek a uložte ho. Vytvořený soubor si pak prohlédněte v Poznámkovém bloku (jednoduchý textový procesor, který je součástí Windows). Shledáte, že informace mají charakter textu a že jsou přehledně strukturovány. Pokuste se text dešifrovat. DOS-ovská verze programu pracuje s poněkud jiným formátem obrázkových souborů. Pro případ, že bychom potřebovali vytvořit soubory čitelné v Cabri pod DOSem, nabízí se nám v okně také tato možnost. Dalším typem souboru, který lze ukládat z Cabri, jsou makrokonstrukce. K jejich uložení do souboru máme možnost hned při jejich tvorbě. Standardní příponou souborů s makrokonstrukcemi je MAC (což neznamená soubory formátu MacIntosh, jak by se mohlo zdát). Vyzkoušejte: Vytvořte jednoduchou makrokonstrukci, uložte ji do souboru a pak si soubor prohlédněte v Poznámkovém bloku. Méně často už budete ukládat konfiguraci nabídek, kterou můžete upravovat a ukládat v Nastavit / Upravit nabídky nástrojů, a nastavení prostředí programu Cabri, které se upravuje na jednotlivých kartách v Nastavit / Nastavit prostředí. Standardní přípony příslušných souborů jsou MEN a INI.
vB
63
Cabri Geometrie
Načítání souborů Soubory všech typů, které jsme probírali v souvislosti s jejich ukládáním, lze do programu opět načítat. Pro všechny typy k tomu slouží položka Otevřít v nabídce Soubor. Její volbou aktivujeme standardní windowsovské okno, v němž určíme adresář, typ souboru (tj. příponu) a soubor, který chceme načíst. Načtený obrázek se pak objeví na obrazovce, načtená makrokonstrukce přibude v nabídce C3, načteme-li soubor MEN, přeskupí se příslušným způsobem nabídky programu, načtením souboru INI změníme nastavení programu. Vyzkoušejte: Načtěte postupně soubory různých typů a přesvědčte se, jaký to má účinek. (Nemáte-li soubory MEN nebo INI k dispozici, nejprve si je připravte.) Poznámka: Uložený obrázek (soubor typu FIG), při jehož tvorbě byly použity makrokonstrukce, v sobě tyto makrokonstrukce obsahuje. Při jeho načtení se automaticky načtou i příslušné makrokonstrukce do paměti a jsou přístupné v nabídce C3. Vyzkoušejte. Poznámka: Načítáme-li obrázky vytvořené na jiných počítačích, mohou nastat problémy způsobené různým rozlišením (tj. hustotou rastru na obrazovce) obou počítačů. Projevují se tak, že obrázek má jiné měřítko – nevejde se celý na obrazovku. Nápravy můžeme dosáhnout změnou nastavení grafiky ve Windows. Kromě souborů, které byly vytvořeny a uloženy v programu Cabri, máme možnost načítat a aktivovat i soubory jiného původu. Jsou to soubory jednotlivých jazykových verzí programu (ty lze otevírat i v Nastavit / Jazyky) a obrázky ve formátu, se kterým pracuje grafický kalkulátor TI-92, který v sobě obsahuje též Cabri Geometrii.
Předávání informace mezi okny Cabri prostřednictvím schránky Podobně jako v jiných programech pod Windows, i v Cabri máme pro přenos informace k dispozici schránku (clipboard) a obvyklé funkce Vyjmout, Kopírovat a Vložit, které najdeme v nabídce Upravit. Vyzkoušejte: Vytvořte dva obrázky a v jednom vytvořte několik objektů. Dále v něm označte (klepnutím ukazovátkem, se SHIFTem při označení více objektů, nebo zarámováním) nějaké objekty. Aktivujte Upravit / Kopírovat. (Tím jste kopie označených objektů uložili do schránky.) Přepněte na druhý obrázek a aktivujte Upravit / Vložit. (Tím jste obsah schránky zkopírovali na nákresnu do otevřeného obrázku.) Označené objekty se objeví v tomto obrázku. Opakujte pokus s tím rozdílem, že místo Kopírovat zvolíte Vyjmout – rozdíl bude v tom, že v prvním případě označené objekty v původním obrázku zůstanou a ve
vB
64
Cabri Geometrie druhém z něho budou vymazány. (Je to stejné jako v jiných programech, třeba v textových editorech.) Vyzkoušejte: Vytvořte trojúhelník, sestrojte osy dvou jeho stran a kružnici trojúhelníku opsanou. Aktivujte Nový obrázek a přepněte zpět na okno s trojúhelníkem. Zkoumejte, jak se při přenosu zachovávají vlastnosti objektů (barva, grafický styl, názvy) a především vzájemné vazby mezi objekty (tj. dynamika obrázku při pohybu objektů). S přenesenými objekty dále pracujte v novém obrázku. Zjistíte, že nepřenesete-li všechny mezičlánky konstrukce, vazby mezi objekty se při přenosu poruší, což se projeví v tom, že při pohybu objektů se přenesený obrázek rozpadne. Skryté objekty nemůžete v obrázku označit a tedy ani přenést. K přenesení kompletního obrázku včetně skrytých objektů a se zachováním všech vazeb máte k dispozici položku Upravit / Označit vše.
Zvláštním případem použití schránky je přenos do téhož okna. Vyzkoušejte: (1) V původním obrázku s opsanou kružnicí trojúhelníku zkopírujte do schránky kružnici a hned ji ze schránky opět vložte do téhož obrázku. Nová kružnice bude
vB
65
Cabri Geometrie trochu posunuta, abychom kružnice rozeznali a mohli s nimi samostatně manipulovat. Odtáhněte je (za střed) jednotlivě na jiná místa nákresny, a měňte jejich poloměr. Pak kopii kružnice smažte. (2) V původním obrázku s opsanou kružnicí trojúhelníku skryjte osy stran, pak zkopírujte do schránky kompletní obrázek (Označit vše) a hned ho ze schránky opět třikrát vložte do téhož obrázku (třikrát aktivujte Vložit, můžete také použít klávesovou zkratku CTRL+V). Kopie jednotlivě odtáhněte na volné místo. Tahejte za vrcholy v originálu i v kopiích. Zjistíte, že kopie „vedou samostatný život“ ve společném okně, nezávisle na originálu i na sobě navzájem.
vB
66
Cabri Geometrie
Komunikace s jinými programy prostřednictvím schránky Jak je to pod Windows běžné, lze přes schránku přenášet informace mezi Cabri a jinými programy. Kompletní obrazovku (tj. i s okrajovými pruhy, lištami a nabídkami) zkopírujeme do schránky stejně jako v jiných programech klávesou PRINTSCREEN. Objekty z nákresny Cabri jsme se do schránky dávat právě naučili. Ze schránky je pak můžeme vkládat do otevřených dokumentů jiných programů. Kopie obrazovky má ve schránce vždy formát BMP (bitmapová grafika). Objekty z nákresny jsou zde jednak ve formátu FIG (vlastně textový formát specifický pro Cabri II) a ještě ve formátu BMP. Máme kromě toho ještě možnost formátu EMF (Enhanced MetaFile – vektorová grafika), záleží, zatrhneme-li na kartě Nastavit / Nastavit prostředí / Systémové volby okénko pouze bitmapovou kopii. Připomeňme, že obrázek v bitmapové formě zaujímá na disku mnohem větší prostor než ve vektorové formě, daleko hůře se upravuje a vytištěn pak obsahuje všechny „hrby“ způsobené rastrováním obrazovky. Na druhé straně vypadá autentičtěji, věrně reprodukuje obrazovku, na rozdíl od dokonalé vektorové grafiky. C
o O
A
bitmapová grafika
B
vektorová grafika
Obrázek ze schránky můžeme vložit do otevřeného dokumentu jiného programu, který s příslušným formátem umí pracovat, např. do samotného Cabri (jak jsme si již ukázali – formát FIG), do programu Paintbrush, resp. Malování (jednoduché grafické editory, které jsou součástí Windows a pracují s formátem BMP), případně do jiných programů orientovaných na vektorovou grafiku. Přes schránku můžeme z Cabri do jiných programů exportovat také texty a tabulky. Zejména u tabulek je to důležité – umožňuje to jejich další zpracování některým z běžných tabulkových editorů (např. MS Excel). Do Cabri lze z jiných programů přes schránku importovat pouze texty do otevřeného okna editoru textů.
vB
67
Cabri Geometrie
Tisk Důležitou aplikací Cabri geometrie je příprava geometrických obrázků pro tisk. Jednou z možností je obrázky vkládat přes schránku do nějakého grafického editoru nebo textového procesoru umožňujícího zakomponovat obrázky do textu, v tomto prostředí je pak upravit a vytisknout. Můžeme však také tisknout přímo z Cabri pomocí položek Soubor / Tisk a Soubor / Nastavit stránku. Otevřeme si tak nejprve přístup ke všem parametrům tisku a po jejich nastavení odstartujeme tisk. Výsledek má kvalitu vektorové grafiky. Vyzkoušejte: Máte-li k počítači připojenu tiskárnu, vytiskněte obrázek přímo z Cabri, prostřednictvím programu Paintbrush nebo Malování, případně pomocí dalších dostupných programů. Prozkoumejte přitom nastavování parametrů pro tisk a jeho vliv na výsledek.
Prezentace obrázků Geometrické hypertexty vystavené na webu (resp. umístěné na jiném mediu) mohou být ilustrovány obrázky, které autor vytvořil pomocí programu Cabri II. Bezprostředně se tu nabízí reprodukovat statické obrázky v hypertextu podobně jako při jejich exportu do dokumentů jiných programů nebo tisku. Další možnost je vystavit v hypertextu odkaz na připojený soubor v cabriovském formátu FIG, který si čtenář může stáhnout nebo rovnou otevřít, zkoumat ho a případně ho i dále dynamicky modifikovat – potřebuje k tomu však mít na svém počítači nainstalováno Cabri. Tuto nevýhodu nemají tzv. aplety. Takový aplet umístěný v hypertextu je obrázek, který se sám může rozhýbat, když čtenář do něho umístí kurzor, a lze ho modifikovat taháním za volné objekty. Další možnosti manipulace s obrázkem nabízí nástrojová lišta umístěná na dolním okraji apletu: . Skládá se z těchto tlačítek a posuvníků: Krokování konstrukce – pomocí posuvníku a tlačítek (Krok (Krok vpřed) lze vznik konstrukce reprodukovat krok za krokem. Můžeme zpět) a (Animace krok za krokem) pro automatické přehrání konstrukce. využít i tlačítka (V Cabri II se jí nevíce podobá funkce Krokovat konstrukci v nabídce Upravit.) Přesun obrázku – umožňuje při stlačeném tlačítku myši posouvat celým obrázkem. Této funkce nejčastěji využijeme, pokud se zobrazená konstrukce nevejde do viditelné části okna. (V Cabri II lze téhož dosáhnout při stlačené klávese CTRL.)
vB
68
Cabri Geometrie Stopa ano/ne – objekt, na který klepneme myší se označí k zanechávání stopy. Označené objekty poznáme podle jejich fialové barvy. K vypnutí stopy stačí na příslušný objekt opět klepnout myší. (Připomíná funkci Stopa ano / ne v Cabri II.) Pohyb objektů – s pohyblivými objekty lze také manipulovat automaticky. Na objektu, kterým chceme pohybovat, natáhneme virtuální pružinu, jejíž délka a směr určí rychlost a směr pohybu. Pružinu můžeme natáhnout na více objektech. Objekty uvedeme do pohybu opětovným klepnutím na ikonku pružiny . (Připomíná funkci Pohyb více objektů v Cabri II.) Stažení obrázku Cabri – pomocí této funkce obrázek uložíme. Takto uložený obrázek ve formátu FIG můžeme později otevřít v prostředí Cabri Geometrie II a pracovat s ním. Kromě uvedených manipulací nelze žádné další operace s objekty v apletu provádět, zejména nelze do obrázku přidávat další objekty (např. vytvářet množiny). K práci s apletem však není zapotřebí program Cabri, stačí jen běžný hypertextový prohlížeč. Obrázky vytvořené v Cabri II se transformují na aplety pomocí externích nástrojů CabriJava a CabriWeb. Přístupný výklad a návod najdete na českých stránkách Cabri Geometrie www.pf.jcu.cz/cabri/.
vB
69
Cabri Geometrie
Nastavení programu Nastavení programu se provádí na jednotlivých kartách přístupných po volbě Nastavit / Nastavit prostředí. Karty Zaokrouhlování a jednotky, Množiny a Souřadnice a rovnice jsme již probrali. Podívejme se ještě na zbývající tři karty. Spodní část mají všechny karty společnou:
Nastavení od dodavatele je nastavení, které program měl bezprostředně po instalaci, ještě před doporučeným „počeštěním“. Nastavení, které na těchto kartách upraví uživatel, funguje jen do ukončení programu. Volbou Uložit pro příští spuštění lze však aktuální nastavení uložit do inicializačního souboru WCABRI2.INI, takže podle něho bude program nadále nastavován, dokud tento soubor opět nezměníme. Volbou Uložit do souboru zachováte aktuální nastavení v jiném souboru se standardní příponou INI. Ten pak můžete kdykoliv načíst a aktivovat tak uložené nastavení. Dále tu určujete, zda se právě provedená změna bude týkat všech později vznikajících objektů (nové objekty) nebo jen objektů právě označených (označené objekty). Je ovšem třeba mít na paměti, že některé změny nastavení se projeví až v novém obrázku.
Vzhled objektů
Zde nastavujeme styl, který mají objekty vytvářené na nákresně při svém zrodu, než jej případně upravíme. V horním okénku nastavujete u grafických objektů barvu, druh značky nebo čáry. Okénko pod ním umožňuje nastavit druh písma u textových objektů. Volit tu můžete z druhů písem, které máte instalovány ve Windows. Musíte přitom pečlivě rozlišovat vB
70
Cabri Geometrie český (středoevropský) a západoevropský skript. Tak třeba u textů je záhodno nastavit písmo s českou diakritikou, zatímco u rovnic nebo jednotek obsahu nikoliv – pak by se chybně zobrazoval kvadratický exponent.
Systémové volby
Zde nastavujete další dvě písma, kterými se vypisují položky v nabídkách a hlášení u kurzoru. Zaškrtnete-li okénko pouze systémové barvy, zamezíte změně barev v Cabri, kterou by mohla způsobit volba barev v jiné aplikaci, kterou aktivujeme střídavě s Cabri. (Změna se využívá se jen k velmi speciálním účelům.) O okénku pouze bitmapovou kopii, jsme se již zmiňovali. Ovlivňuje, zda se do schránky kopírují obrázky jen v bitmapovém nebo i ve vektorovém formátu. Už víme, že to má význam při kopírování obrázků do jiného programu. Vypnete-li funkci Zpět, zrychlíme manipulaci se složitými obrázky, neboť se přestane v paměti uchovávat jejich předcházející stav. Nastavení dosahu kurzoru ovlivňuje maximální vzdálenost kurzoru od objektu, při které na něj ještě reaguje, tj. u kurzoru se vypíše příslušné hlášení.
Ostatní volby
vB
71
Cabri Geometrie Máte-li v nákresně např. kružnici a chcete na ni umístit bod (aby se stal bodem kružnice a mohl se pohybovat jen po ní), můžete postupovat dvěma způsoby: (1) Z nabídky B1 zvolíte položku Bod na objektu, ukážete na kružnici (nabídne se hláškou na této kružnici) a klepnete. Bod, který by neležel na nějakém objektu, při této volbě nelze vytvořit. (2) Z nabídky B1 zvolíte položku Bod, ukážete na kružnici (nabídne se hláškou na této kružnici) a klepnete. Při této volbě můžete klepnout i mimo objekt a vytvořit tam volný bod. Podobně je tomu s průsečíky: Mějte v nákresně třeba kružnici protnutou přímkou a umístěte bod do jejich průsečíku. (1) Z nabídky B1 zvolíte položku Průsečíky, klepnete na kružnici (ohlásila se tato kružnice), pak na přímku a v obou průsečících vzniknou body. (2) Z nabídky B1 zvolíte položku Bod, ukážete na průsečík (ohlásí se v tomto průsečíku), klepnete a v tomto (jen jednom) průsečíku vznikne bod. Při této volbě můžete klepnout i mimo průsečík a vytvořit tam volný bod. Když okénko vytvářet body na objektech ponecháte nezaškrtnuté, potlačíte možnost (2). Při volbě položky Bod se objekty ani průsečíky nebudou pak vůbec nabízet a budete moci vytvářet jen volné body. Mohou k tomu být důvody didaktické i praktické – při fungující možnosti (2) totiž nemůžete vytvořit volný bod těsně vedle objektu, v menší vzdálenosti než je přesnost zvolená na kartě Systémové volby. Museli byste ho nejprve vytvořit opodál a pak ho k objektu přetáhnout. Vliv okénka zobrazovat nevlastní objekty objasní následující experiment. Vyzkoušejte: Vytvořte trojúhelník ABC jako tři úsečky AB, AC, BC a opište mu kružnici. Změřte vzdálenost středu kružnice od bodu C a odtáhněte ji stranou (aby se při deformacích trojúhelníka nepohybovala a nemohla „utéct“ z obrazovky). Ukážete-li ukazovátkem na kružnici, hlásí se samozřejmě jako tato kružnice. Když budete vrchol C přibližovat ke straně AB, kružnice se bude zvětšovat, „narovnávat“, a zvětšovat se bude i naměřená vzdálenost. Předefinujte nyní bod C jako bod úsečky AB (z nabídky C1 aktivujte položku Předefinovat objekt, klepněte na bod C, z nabídky vyberte bod na objektu a klepněte na úsečku AB. Trojúhelník nyní degeneroval na úsečku AB a opsaná kružnice na přímku AB (se „středem“ v nekonečnu). Pokud jste měli zaškrtnuté okénko zobrazovat nevlastní objekty, přímka AB bude zobrazena a stále se bude hlásit jako tato kružnice, hodnota naměřené vzdálenosti bude zobrazena jako INF. Pokud okénko zaškrtnuté nebylo, přímka i vzdálenost z obrazovky zmizí. Vyzkoušejte: Měňte nastavení programu a pozorujte, jaký vliv na činnost programu mají jednotlivé parametry. Změny raději neukládejte do souboru, abyste si program nerozladili.
vB
72
