Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Aplikace multifraktální geometrie na finanˇcních trzích 5. studentské kolokvium a letní škola matematické fyziky Stará Lesná Jan Korbel ˇ Fakulta jaderná a fyzikálneˇ inženýrská CVUT, Praha
1. 9. 2011
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Úvod náhodné procesy - duležitá ˚ souˇcást modelování ˇ nejruzn ˚ ejších problému˚ v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownuv ˚ pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobˇre modelovat chování komplexních systému˚ ˇ Brownova pohybu, které naším cílem je nalézt zobecnení lépe odpovídají realiteˇ spoleˇcné vlastnosti na první pohled ruzných ˚ procesu˚ (multi)-fraktální geometrie
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Úvod náhodné procesy - duležitá ˚ souˇcást modelování ˇ nejruzn ˚ ejších problému˚ v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownuv ˚ pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobˇre modelovat chování komplexních systému˚ ˇ Brownova pohybu, které naším cílem je nalézt zobecnení lépe odpovídají realiteˇ spoleˇcné vlastnosti na první pohled ruzných ˚ procesu˚ (multi)-fraktální geometrie
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Úvod náhodné procesy - duležitá ˚ souˇcást modelování ˇ nejruzn ˚ ejších problému˚ v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownuv ˚ pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobˇre modelovat chování komplexních systému˚ ˇ Brownova pohybu, které naším cílem je nalézt zobecnení lépe odpovídají realiteˇ spoleˇcné vlastnosti na první pohled ruzných ˚ procesu˚ (multi)-fraktální geometrie
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Úvod náhodné procesy - duležitá ˚ souˇcást modelování ˇ nejruzn ˚ ejších problému˚ v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownuv ˚ pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobˇre modelovat chování komplexních systému˚ ˇ Brownova pohybu, které naším cílem je nalézt zobecnení lépe odpovídají realiteˇ spoleˇcné vlastnosti na první pohled ruzných ˚ procesu˚ (multi)-fraktální geometrie
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Úvod náhodné procesy - duležitá ˚ souˇcást modelování ˇ nejruzn ˚ ejších problému˚ v oblastech fyziky, biologie,ekonomie aj. nejjednodušší model - náhodná procházka Brownuv ˚ pohyb - základní proces, který ale ne vždy dokáže dobˇre modelovat chování komplexních systému˚ ˇ Brownova pohybu, které naším cílem je nalézt zobecnení lépe odpovídají realiteˇ spoleˇcné vlastnosti na první pohled ruzných ˚ procesu˚ (multi)-fraktální geometrie
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Konkrétní pˇríklad - finanˇcní trhy lem
[2008−01−02/2008−12−31]
Last 0.03 60
50
40
30
20
10
0 400
Volume (millions): 6,557,000
300 200 100 0 20
Volatility() : 0.482
15 10 5 0 I 02 2008
III 03 2008
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
V 01 2008
VII 01 2008
IX 02 2008
XI 03 2008
XII 31 2008
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Konkrétní pˇríklad
vývoj akcií Lehman brothers - prudký pokles pˇred zaˇcátkem finanˇcní krize v modelu s náhodnou procházkou krajneˇ ˇ nepravdepodobné ˇ mnohonásobneˇ pˇrekonána smerodatná odchylka modelu potˇreba jiných procesu˚ - modelování extrémních situací
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Brownuv ˚ pohyb - Definice
klasická náhodná procházka: ˇ p - pravdepodobnost kroku doprava ˇ q - pravdepodobnost kroku doleva n - poˇcet kroku˚
ˇ po n krocích je pravdepodobnost chodce na pozici m: p(m, n) =
n+m n! p 2 (1 n−m ( n+m )!( )! 2 2
− p)
n−m 2
ˇ dostáváme limita pro n → ∞: podle Centrální limitní vety ˇ Gaussovo rozdelení
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Brownuv ˚ pohyb - Definice
klasická náhodná procházka: ˇ p - pravdepodobnost kroku doprava ˇ q - pravdepodobnost kroku doleva n - poˇcet kroku˚
ˇ po n krocích je pravdepodobnost chodce na pozici m: p(m, n) =
n+m n! p 2 (1 n−m ( n+m )!( )! 2 2
− p)
n−m 2
ˇ dostáváme limita pro n → ∞: podle Centrální limitní vety ˇ Gaussovo rozdelení
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Brownuv ˚ pohyb - Definice
klasická náhodná procházka: ˇ p - pravdepodobnost kroku doprava ˇ q - pravdepodobnost kroku doleva n - poˇcet kroku˚
ˇ po n krocích je pravdepodobnost chodce na pozici m: p(m, n) =
n+m n! p 2 (1 n−m ( n+m )!( )! 2 2
− p)
n−m 2
ˇ dostáváme limita pro n → ∞: podle Centrální limitní vety ˇ Gaussovo rozdelení
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Náhodná procházka pro n=1000
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wieneruv ˚ proces - spojitá náhodná procházka
Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veliˇcin parametrizována parametrem t (ˇcasto cˇ as) stochastický proces W (t) se nazývá Wieneruv, ˚ práveˇ když: 1 2 3 4
ˇ W (0) = 0 skoro jiste, funkce t 7→ W (t) je skoro jisteˇ spojitá, pro všechna t, s: W (t) − W (s) ∼ N(0, |t − s|) W (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t
Wieneruv ˚ proces není skoro nikde diferencovatelný!
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wieneruv ˚ proces - spojitá náhodná procházka
Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veliˇcin parametrizována parametrem t (ˇcasto cˇ as) stochastický proces W (t) se nazývá Wieneruv, ˚ práveˇ když: 1 2 3 4
ˇ W (0) = 0 skoro jiste, funkce t 7→ W (t) je skoro jisteˇ spojitá, pro všechna t, s: W (t) − W (s) ∼ N(0, |t − s|) W (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t
Wieneruv ˚ proces není skoro nikde diferencovatelný!
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wieneruv ˚ proces - spojitá náhodná procházka
Definice: stochastický proces ξ(t) je množina náhodných veliˇcin parametrizována parametrem t (ˇcasto cˇ as) stochastický proces W (t) se nazývá Wieneruv, ˚ práveˇ když: 1 2 3 4
ˇ W (0) = 0 skoro jiste, funkce t 7→ W (t) je skoro jisteˇ spojitá, pro všechna t, s: W (t) − W (s) ∼ N(0, |t − s|) W (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t
Wieneruv ˚ proces není skoro nikde diferencovatelný!
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ukázka Wienerova procesu
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Lévyho rozdelení - definice ˇ stabilní rozdelení - takové že: p(a1 x + b1 ) ∗ p(a2 x + b2 ) = p(ax + b) ˇ ˇ ˇ Veta: stabilní rozdelení jsou limitní rozdelení nekoneˇcných ˇ sum nezávislých náhodných promenných ˇ obecný tvar stabilního rozdelení ve Fourieroveˇ obraze (Lévy, Kchintchin): ln Lαβ (k ) = ick − γ|k |α (1 + iβsgn(k )ω(k , α)) kde:
0 < α ≤ 2,
−1 ≤ β ≤ 1,
γ ≥ 0,
ω(k , α) =
Pro |x| → ∞: Lα (x) ∼
c ∈ R, tan(πα/2) if α 6= 1 2 ln |k | if α = 1. π
1 |x|1+α
pro α < 2 je rozptyl nekoneˇcný - tˇrída α-stabilních Lévyho ˇ rozdelení Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Lévyho rozdelení - definice ˇ stabilní rozdelení - takové že: p(a1 x + b1 ) ∗ p(a2 x + b2 ) = p(ax + b) ˇ ˇ ˇ Veta: stabilní rozdelení jsou limitní rozdelení nekoneˇcných ˇ sum nezávislých náhodných promenných ˇ obecný tvar stabilního rozdelení ve Fourieroveˇ obraze (Lévy, Kchintchin): ln Lαβ (k ) = ick − γ|k |α (1 + iβsgn(k )ω(k , α)) kde:
0 < α ≤ 2,
−1 ≤ β ≤ 1,
γ ≥ 0,
ω(k , α) =
Pro |x| → ∞: Lα (x) ∼
c ∈ R, tan(πα/2) if α 6= 1 2 ln |k | if α = 1. π
1 |x|1+α
pro α < 2 je rozptyl nekoneˇcný - tˇrída α-stabilních Lévyho ˇ rozdelení Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Lévyho rozdelení - definice ˇ stabilní rozdelení - takové že: p(a1 x + b1 ) ∗ p(a2 x + b2 ) = p(ax + b) ˇ ˇ ˇ Veta: stabilní rozdelení jsou limitní rozdelení nekoneˇcných ˇ sum nezávislých náhodných promenných ˇ obecný tvar stabilního rozdelení ve Fourieroveˇ obraze (Lévy, Kchintchin): ln Lαβ (k ) = ick − γ|k |α (1 + iβsgn(k )ω(k , α)) kde:
0 < α ≤ 2,
−1 ≤ β ≤ 1,
γ ≥ 0,
ω(k , α) =
Pro |x| → ∞: Lα (x) ∼
c ∈ R, tan(πα/2) if α 6= 1 2 ln |k | if α = 1. π
1 |x|1+α
pro α < 2 je rozptyl nekoneˇcný - tˇrída α-stabilních Lévyho ˇ rozdelení Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Lévyho rozdelení - definice ˇ stabilní rozdelení - takové že: p(a1 x + b1 ) ∗ p(a2 x + b2 ) = p(ax + b) ˇ ˇ ˇ Veta: stabilní rozdelení jsou limitní rozdelení nekoneˇcných ˇ sum nezávislých náhodných promenných ˇ obecný tvar stabilního rozdelení ve Fourieroveˇ obraze (Lévy, Kchintchin): ln Lαβ (k ) = ick − γ|k |α (1 + iβsgn(k )ω(k , α)) kde:
0 < α ≤ 2,
−1 ≤ β ≤ 1,
γ ≥ 0,
ω(k , α) =
Pro |x| → ∞: Lα (x) ∼
c ∈ R, tan(πα/2) if α 6= 1 2 ln |k | if α = 1. π
1 |x|1+α
pro α < 2 je rozptyl nekoneˇcný - tˇrída α-stabilních Lévyho ˇ rozdelení Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Lévyho rozdelení - definice ˇ stabilní rozdelení - takové že: p(a1 x + b1 ) ∗ p(a2 x + b2 ) = p(ax + b) ˇ ˇ ˇ Veta: stabilní rozdelení jsou limitní rozdelení nekoneˇcných ˇ sum nezávislých náhodných promenných ˇ obecný tvar stabilního rozdelení ve Fourieroveˇ obraze (Lévy, Kchintchin): ln Lαβ (k ) = ick − γ|k |α (1 + iβsgn(k )ω(k , α)) kde:
0 < α ≤ 2,
−1 ≤ β ≤ 1,
γ ≥ 0,
ω(k , α) =
Pro |x| → ∞: Lα (x) ∼
c ∈ R, tan(πα/2) if α 6= 1 2 ln |k | if α = 1. π
1 |x|1+α
pro α < 2 je rozptyl nekoneˇcný - tˇrída α-stabilních Lévyho ˇ rozdelení Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Lévyho rozdelení
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktály - úvod fraktální geometrie se zabývá objekty, které mají opakující se ˇ eˇ meˇ ˇ rítka vnitˇrní strukturu, která zustává ˚ i pˇri zmen ˇ neformální definice: fraktál = sobepodobný objekt definovaný pomocí jednoduchých pravidel ˇ topologické dimenze i na jiné fraktální dimenze - zobecnení objekty než variety možný zpusob ˚ výpoˇctu dimenze: Nδ (F ) - minimální poˇcet koulí o ˇ δ, které pokryjí fraktál F polomeru pro variety s dimenzí n: Nδ (F ) ' cδ −n Mˇrížková (Box counting) dimenze: dimB F = lim
δ→0
ln Nδ (F ) ln 1δ
ˇ než formální definice fraktálu: fraktální dimenze je vetší topologická Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v ruzných ˚ místech objektu ˇ Zavádí se na F pomocí nejaké dané míry µ, pˇriˇcemž ˇ δ. µ(F ) = 1, Ui - minimální pokrytí F koulemi o polomeru Nδ,α (F ) = #{Ui |µ(Ui ) ≥ δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: log(Nδ,α+ (F ) − Nδ,α− (F )) − log δ δ→0 →0
f (α) = lim lim
multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α0 , pro které f 0 (α0 ) = 0 platí, že f (α0 ) = dimB (F ) Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v ruzných ˚ místech objektu ˇ Zavádí se na F pomocí nejaké dané míry µ, pˇriˇcemž ˇ δ. µ(F ) = 1, Ui - minimální pokrytí F koulemi o polomeru Nδ,α (F ) = #{Ui |µ(Ui ) ≥ δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: log(Nδ,α+ (F ) − Nδ,α− (F )) − log δ δ→0 →0
f (α) = lim lim
multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α0 , pro které f 0 (α0 ) = 0 platí, že f (α0 ) = dimB (F ) Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v ruzných ˚ místech objektu ˇ Zavádí se na F pomocí nejaké dané míry µ, pˇriˇcemž ˇ δ. µ(F ) = 1, Ui - minimální pokrytí F koulemi o polomeru Nδ,α (F ) = #{Ui |µ(Ui ) ≥ δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: log(Nδ,α+ (F ) − Nδ,α− (F )) − log δ δ→0 →0
f (α) = lim lim
multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α0 , pro které f 0 (α0 ) = 0 platí, že f (α0 ) = dimB (F ) Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v ruzných ˚ místech objektu ˇ Zavádí se na F pomocí nejaké dané míry µ, pˇriˇcemž ˇ δ. µ(F ) = 1, Ui - minimální pokrytí F koulemi o polomeru Nδ,α (F ) = #{Ui |µ(Ui ) ≥ δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: log(Nδ,α+ (F ) − Nδ,α− (F )) − log δ δ→0 →0
f (α) = lim lim
multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α0 , pro které f 0 (α0 ) = 0 platí, že f (α0 ) = dimB (F ) Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktály Zavedení lokální fraktální dimenze - rozdílné dimenze v ruzných ˚ místech objektu ˇ Zavádí se na F pomocí nejaké dané míry µ, pˇriˇcemž ˇ δ. µ(F ) = 1, Ui - minimální pokrytí F koulemi o polomeru Nδ,α (F ) = #{Ui |µ(Ui ) ≥ δ α } Definujeme f (α) - multifraktální spektrum: log(Nδ,α+ (F ) − Nδ,α− (F )) − log δ δ→0 →0
f (α) = lim lim
multifraktální spektrum, vystihuje váhu jednotlivých dimenzí Pro takové α0 , pro které f 0 (α0 ) = 0 platí, že f (α0 ) = dimB (F ) Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wieneruv ˚ proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1). Pak d 1/2 1/2 t1 W + t2 W = (t1 + t2 )1/2 W kritérium striktní α-stability: 1/α
t1
1/α
Y + t2
d
Y = (t1 + t2 )1/α Y
cLévyho α-stabilní proces: 1 2 3
Lα (0) = 0 skoro jisteˇ Lα (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t Lα (t) je striktneˇ α-stabilní proces
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wieneruv ˚ proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1). Pak d 1/2 1/2 t1 W + t2 W = (t1 + t2 )1/2 W kritérium striktní α-stability: 1/α
t1
1/α
Y + t2
d
Y = (t1 + t2 )1/α Y
cLévyho α-stabilní proces: 1 2 3
Lα (0) = 0 skoro jisteˇ Lα (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t Lα (t) je striktneˇ α-stabilní proces
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wieneruv ˚ proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1). Pak d 1/2 1/2 t1 W + t2 W = (t1 + t2 )1/2 W kritérium striktní α-stability: 1/α
t1
1/α
Y + t2
d
Y = (t1 + t2 )1/α Y
cLévyho α-stabilní proces: 1 2 3
Lα (0) = 0 skoro jisteˇ Lα (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t Lα (t) je striktneˇ α-stabilní proces
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Fraktální geometrie
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Lévyho proces Lévyho analog Wienerova procesu Wieneruv ˚ proces lze zapsat jako t 1/2 W , kde W ∼ N(0, 1). Pak d 1/2 1/2 t1 W + t2 W = (t1 + t2 )1/2 W kritérium striktní α-stability: 1/α
t1
1/α
Y + t2
d
Y = (t1 + t2 )1/α Y
cLévyho α-stabilní proces: 1 2 3
Lα (0) = 0 skoro jisteˇ Lα (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t Lα (t) je striktneˇ α-stabilní proces
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wieneruv ˚ proces - ukázka
-400
-300
-200
-100
100
-100
-200
-300
-400
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Lévyho proces - ukázka 300
200
100
-100
100
200
300
-100
-200
-300
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktální dimenze Lévyho procesu˚
reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t 7→ W (t) má dimenzi
3 2
graf náhodné funkce t 7→ Lα (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 − α1 }
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktální dimenze Lévyho procesu˚
reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t 7→ W (t) má dimenzi
3 2
graf náhodné funkce t 7→ Lα (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 − α1 }
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktální dimenze Lévyho procesu˚
reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t 7→ W (t) má dimenzi
3 2
graf náhodné funkce t 7→ Lα (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 − α1 }
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Fraktální dimenze Lévyho procesu˚
reprezentativní trajektorie Wienerova procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má fraktální dimenzi 2 reprezentativní trajektorie Lévyho α-stabilního procesu v prostoru Rn (n ≥ 2) má dimenzi max{1, α} graf náhodné funkce t 7→ W (t) má dimenzi
3 2
graf náhodné funkce t 7→ Lα (t) má fraktální dimenzi max{1, 2 − α1 }
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Frakˇcní Brownuv ˚ pohyb proces WH (t) se nazývá frakˇcní brownuv ˚ pohyb (fBM), když: 1 2 3
WH (0) = 0 s.j., WH (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t WH (t) − WH (s) ' N(0, |t − s|2H )
H se nazývá Hurstuv ˚ exponent Pro H =
1 2
- Wieneruv ˚ proces
korelace není nula: E(WH (t)WH (s)) = 12 |t|2H + |s|2H − |t − s|2H ˇ fBM vnáší do náhodné procházky "pamet’" graf náhodné funkce t 7→ WH (t) má dimenzi 2 − H -analog s Lévyho procesem Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Frakˇcní Brownuv ˚ pohyb proces WH (t) se nazývá frakˇcní brownuv ˚ pohyb (fBM), když: 1 2 3
WH (0) = 0 s.j., WH (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t WH (t) − WH (s) ' N(0, |t − s|2H )
H se nazývá Hurstuv ˚ exponent Pro H =
1 2
- Wieneruv ˚ proces
korelace není nula: E(WH (t)WH (s)) = 12 |t|2H + |s|2H − |t − s|2H ˇ fBM vnáší do náhodné procházky "pamet’" graf náhodné funkce t 7→ WH (t) má dimenzi 2 − H -analog s Lévyho procesem Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Frakˇcní Brownuv ˚ pohyb proces WH (t) se nazývá frakˇcní brownuv ˚ pohyb (fBM), když: 1 2 3
WH (0) = 0 s.j., WH (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t WH (t) − WH (s) ' N(0, |t − s|2H )
H se nazývá Hurstuv ˚ exponent Pro H =
1 2
- Wieneruv ˚ proces
korelace není nula: E(WH (t)WH (s)) = 12 |t|2H + |s|2H − |t − s|2H ˇ fBM vnáší do náhodné procházky "pamet’" graf náhodné funkce t 7→ WH (t) má dimenzi 2 − H -analog s Lévyho procesem Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Frakˇcní Brownuv ˚ pohyb proces WH (t) se nazývá frakˇcní brownuv ˚ pohyb (fBM), když: 1 2 3
WH (0) = 0 s.j., WH (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t WH (t) − WH (s) ' N(0, |t − s|2H )
H se nazývá Hurstuv ˚ exponent Pro H =
1 2
- Wieneruv ˚ proces
korelace není nula: E(WH (t)WH (s)) = 12 |t|2H + |s|2H − |t − s|2H ˇ fBM vnáší do náhodné procházky "pamet’" graf náhodné funkce t 7→ WH (t) má dimenzi 2 − H -analog s Lévyho procesem Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Frakˇcní Brownuv ˚ pohyb proces WH (t) se nazývá frakˇcní brownuv ˚ pohyb (fBM), když: 1 2 3
WH (0) = 0 s.j., WH (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t WH (t) − WH (s) ' N(0, |t − s|2H )
H se nazývá Hurstuv ˚ exponent Pro H =
1 2
- Wieneruv ˚ proces
korelace není nula: E(WH (t)WH (s)) = 12 |t|2H + |s|2H − |t − s|2H ˇ fBM vnáší do náhodné procházky "pamet’" graf náhodné funkce t 7→ WH (t) má dimenzi 2 − H -analog s Lévyho procesem Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Frakˇcní Brownuv ˚ pohyb proces WH (t) se nazývá frakˇcní brownuv ˚ pohyb (fBM), když: 1 2 3
WH (0) = 0 s.j., WH (t) má nezávislé pˇrírustky ˚ na t WH (t) − WH (s) ' N(0, |t − s|2H )
H se nazývá Hurstuv ˚ exponent Pro H =
1 2
- Wieneruv ˚ proces
korelace není nula: E(WH (t)WH (s)) = 12 |t|2H + |s|2H − |t − s|2H ˇ fBM vnáší do náhodné procházky "pamet’" graf náhodné funkce t 7→ WH (t) má dimenzi 2 − H -analog s Lévyho procesem Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
ˇ Lévyho rozdelení
Brownuv ˚ pohyb
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ukázka fBM 60
60
50
50 40
40
30
30
20
20
10
10
500
1000
1500
2000
-10 60
-10 60
50
50
40
40
30
30
20
20
10
10
500 -10
1000
1500
2000
500
1000
1500
2000
500
1000
1500
2000
-10
fBM pro H = 0, 3; 0, 5; 0, 6 a 0, 7 Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Reálné chování finanˇcních trhu˚
Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace ˇ Pamet’ odlišné chování v ruzných ˚ obdobích (prosperita, krize...)
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Reálné chování finanˇcních trhu˚
Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace ˇ Pamet’ odlišné chování v ruzných ˚ obdobích (prosperita, krize...)
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Reálné chování finanˇcních trhu˚
Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace ˇ Pamet’ odlišné chování v ruzných ˚ obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesu˚ s parametry závislými na cˇ ase
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Reálné chování finanˇcních trhu˚
Pozorované vlastnosti na trzích: Velké fluktuace ˇ Pamet’ odlišné chování v ruzných ˚ obdobích (prosperita, krize...) Nutnost zavedení procesu˚ s parametry závislými na cˇ ase Pˇríklad:vývoj indexu S&P 500 v letech 1985-2010
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
index S&P 500
Multifraktální procesy
ˇ Záver
denní výnosy
2.0
0.8 1.9
0.7 1.8
0.6 1.7
0.5 1.6
0.4
1.5
1985
1990
1995
2000
α parametr
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
2005
2010
1990
1995
2000
2005
2010
Hurstuv ˚ exponent
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Generování procesu˚ s promenným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) ˇ volatilita jako náhodná veliˇcina s daným rozdelením (superstatistika) cˇ as jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader’s time"a "clock time" velké množství obchodu˚ se uskuteˇcní hned po otevˇrení burzy a pˇred koncem Náhlé ztráty zpusobují ˚ velké výprodeje (ˇcerné dny na burze..) Objem se velmi ruzní ˚
generování multifraktálního cˇ asu pomocí brownovských vzoru˚ Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Generování procesu˚ s promenným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) ˇ volatilita jako náhodná veliˇcina s daným rozdelením (superstatistika) cˇ as jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader’s time"a "clock time" velké množství obchodu˚ se uskuteˇcní hned po otevˇrení burzy a pˇred koncem Náhlé ztráty zpusobují ˚ velké výprodeje (ˇcerné dny na burze..) Objem se velmi ruzní ˚
generování multifraktálního cˇ asu pomocí brownovských vzoru˚ Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Generování procesu˚ s promenným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) ˇ volatilita jako náhodná veliˇcina s daným rozdelením (superstatistika) cˇ as jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader’s time"a "clock time" velké množství obchodu˚ se uskuteˇcní hned po otevˇrení burzy a pˇred koncem Náhlé ztráty zpusobují ˚ velké výprodeje (ˇcerné dny na burze..) Objem se velmi ruzní ˚
generování multifraktálního cˇ asu pomocí brownovských vzoru˚ Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Generování procesu˚ s promenným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) ˇ volatilita jako náhodná veliˇcina s daným rozdelením (superstatistika) cˇ as jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader’s time"a "clock time" velké množství obchodu˚ se uskuteˇcní hned po otevˇrení burzy a pˇred koncem Náhlé ztráty zpusobují ˚ velké výprodeje (ˇcerné dny na burze..) Objem se velmi ruzní ˚
generování multifraktálního cˇ asu pomocí brownovských vzoru˚ Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Generování procesu˚ s promenným Hurstovým parametrem volatilita jako stochastický proces (double stochastic equation) ˇ volatilita jako náhodná veliˇcina s daným rozdelením (superstatistika) cˇ as jako (stochastický) multifraktální proces rozdíl mezi "trader’s time"a "clock time" velké množství obchodu˚ se uskuteˇcní hned po otevˇrení burzy a pˇred koncem Náhlé ztráty zpusobují ˚ velké výprodeje (ˇcerné dny na burze..) Objem se velmi ruzní ˚
generování multifraktálního cˇ asu pomocí brownovských vzoru˚ Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wienerovský fraktální vzor 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.Iniciátor
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wienerovský fraktální vzor 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
2.Generátor ∆t = ∆x 2 ∆x = { 32 , 13 , 32 },∆t = { 94 , 91 , 49 } Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wienerovský fraktální vzor 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
3.Rekurzivní iterování
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Wienerovský fraktální vzor 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
4.Fraktální struktura
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktální vzor 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
jiný generátor, náhodná volba mezi generátory pˇri každé iteraci ∆t = ∆x H(t)
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Multifraktální vzor 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Multifraktální vzor
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Cas jako multifraktál 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Wieneruv ˚ vzor generuje cˇ as na trzích Multifraktální vzor generuje cˇ as mimo trhy posunutí pˇríslušných bodu˚ v cˇ ase generuje jejich vzájemnou závislost Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Cas jako multifraktál 1.0 0.07 0.8
0.06 0.05
0.6 0.04 0.4
0.03 0.02
0.2 0.01
0.2
0.4
0.6
rozdíl cˇ asu˚
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
0.8
1.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
závislost cˇ asu˚
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Procesy generované multifraktálními vzory Wieneruv ˚ proces
multifraktální proces 1.025
1.005
1.020 1.015
1.000
1.010 0.995 1.005 1.000 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0 0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
0.6
0.8
1.0
4 40 20
2
0.2 0.2
0.4
-2
0.6
0.8
1.0
0.4
-20 -40 -60
-4
Mužeme ˚ generovat procesy z pohledu tržního cˇ asu a pak je ˇ transformovat do bežného cˇ asu Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Procesy generované multifraktálními vzory 0.7
0.6
0.5
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Hurstuv ˚ exponent
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Procesy generované multifraktálními vzory 1.0
0.8
0.6
0.4
0.2
0.0 0.30
0.35
0.40
0.45
0.50
0.55
0.60
0.65
0.70
Multifraktální spektrum
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
ˇ Záver
Brownovský pohyb je jednoduchý proces, ne vždy dobˇre popisuje složité systémy lepší popis - Lévyho proces, frakˇcní Brownuv ˚ pohyb... spoleˇcné vlastnosti ruzných ˚ procesu˚ - fraktální geometrie Multifraktální procesy - jednoduché modelování složitých procesu˚
Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
Úvod
Brownuv ˚ pohyb
ˇ Lévyho rozdelení
Fraktální geometrie
ˇ Zobecnené náhodné procházky
Multifraktální procesy
ˇ Záver
Kenneth Falconer. Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications. Wiley, Inc., 1990. Benoit B. Mandelbrot. Self-affine fractals and fractal dimension. Physica Scripta, 32:257–260, 1985. Benoit B. Mandelbrot. Fractal financial fluctuations; do the threaten sustainability? In Science for Survival and Sustainable Development. Pontificia Academia Scientiarum, 1999. Rosario N. Mantegna and H. Eugene Stanley. An Introduction to Econophysics. CUP, Cambridge, 2000. Wolfgang Paul and Jörg Baschangel. Stochastic Processes: From Physics to Finance. Springer, Berlin, 1999.
ˇ Dekuji za pozornost. Jan Korbel Aplikace multifraktálu˚ na finanˇcních trzích
FJFI
