GEOMETRI EUCLID DAN GEOMETRI HIPERBOLIK (Jurnal 3)
Memen Permata Azmi Mahasiswa S2 Pendidikan Matematika Universitas Pendidikan Indonesia Kuliah geometri pada rabu pagi tanggal 25 september 2013 disampaikan kembali oleh di Prof. Jozua. Materi yang beliau sampaikan mengenai geometri euclid dan geometri hiperbolik. Geometri euclid dan geometri hiperbolik terdengar asing ditelinga saya, namun setelah mendengarkan penjelasan beliau ternyata saya sudah pernah belajar mengenai geometri euclid namun istilahnya saja berbeda. Waktu S1 saya lebih mengenal geometri euclid dengan sebutan garis-garis sejajar pada sebuah bidang atau ukuran sudut dalam segitiga 180°, sedangkan geometri hiperbolik merupakan hal yang baru bagi saya. Tidak mudah memang memahami materi geometri euclid dan geometri hiperbolik, namun untuk membuktikan teorema-teorema geometri euclid dan geometri hiperbolik secara matematis membutuhkan latihan agar menjadi kebiasaan. Disini saya akan menjabarkan penjelasan beliau mengenai geometri euclid dan geometri hiperbolik, mudah-mudahan menambah pengetahuan kita mengenai ilmu geometri. Diawal perkuliah beliau membuat perbedaan mengenai ciri-ciri geometri euclid dengan geometri hiperbolik, yaitu: 1. Geometri euclid memiliki ciri-ciri: a. Jumlah ukuran ∠ ∆ = 180° b. Ada persegi atau persegi panjang 2. Geometri hiperbolik memiliki ciri-ciri: a. Jumlah ukuran ∠ ∆ < 180° b. Tidak ada persegi atau persegi panjang.
Geometri Euclid Perhatikan gambar 1 berikut: Pada postulat John Playfair yang ekuivalen dengan postulat ke-5 eucllid. k l1 3
1 4
2
l2
Gambar 1 1) ∠1 + ∠2 < 2.(90o), maka l1 dan l2 akan berpotongan pada sisi k yang memuat ∠1 dan ∠2 2) ∠3 dan ∠4 > 2.(90o), karena ∠1 + ∠2 = 180o – S 3) ∠3 + ∠4 = 360o – (180o – S) = 180o + S atau ∠3 + ∠4 > 180o
Bukti lain: 1) ∠1 dan ∠2 < 180o 2) ∠1 + ∠3 = 180o ∠2 + ∠4 = 180o + ∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 360o 3) ∠1 + ∠2 < 180o, maka ∠3 + ∠4 > 180o Artinya garis l1 dan l2 berpotongan, akibatnya l1 ∦ l2.
Perhatikan gambar 2 berikut: k l1 3
1
4
2
l2
Gambar 2 1) Jika ∠1 + ∠2 = 180o, maka l1 dan l2 tidak berpotongan di sisi k yang memuat ∠1 dan ∠2. 2) Karena ∠1 + ∠2 = 180o, maka ∠3 + ∠4 = 180o 3) Menurut postulat 5 euclid, garis l1 dan l2 tidak berpotongan di sisi k yang memuat ∠3 dan ∠4, artinya garis l1 dan l2 tidak pernah berpotongan di kedua sisi k, akibatnya l1 ∥ l2.
Perhatikan gambar 3 berikut:
k 7
8 3
l1 1
4
2 6
l2 5
Gambar 3 Diketahui : l1 sejajar l2 dan dipotong oleh k Guru
: Apa yang dapat dikatakan tentang ∠1 dan ∠2?
Siswa : ∠1 + ∠2 = 180o Guru
: Mengapa
Siswa : Kalau tidak 180o (misalnya < 180o, maka l1 dan l2 berpotongan pada sisi k yang memuat ∠1 dan ∠2). Misalnya > 180o maka ∠3 + ∠4 > 180o, maka l1 dan l2 berpotongan di sisi k yang memuat ∠3 dan ∠4. Guru
: Boleh berpotongan?
Siswa : Tidak Guru : mengapa? Siswa : karena diketahui l1 sejajar l2, maka ∠1 + ∠2 = 180o
Teorema: Jika 2 garis sejajar dipotong oleh garis ke 3, maka jumlah 2 sudut dalam sepihak dari garis ke 3 berjumlah 180o.
Akibat 1: Jika 2 garis sejajar dipotong oleh garis ke 3, maka pasangan sudut dalam bersebrangan akan sama. ∠2=∠3 dan ∠1=∠4
Akibat 2: Jika 2 garis sejajar dipotong oleh garis ke 3, maka pasangan sudut sehadap akan sama. ∠1=∠5 dan ∠3=∠6
Akibat 3: Jika 2 garis sejajar dipotong oleh garis ke 3, maka pasangan sudut bertolak belakang akan sama. ∠4=∠5 dan ∠2=∠6
Pembuktian jumlah sudut segitiga 180o. Perhatikan gambar 4 berikut:
C
1
A
B 2
Gambar 4 Akan dibuktikan : ∠A + ∠B + ∠C = 180o
bukti : 1) Pandang titik A, di luar garis BC, 2) Menurut postulat playfair, hanya ada 1 garis l yang melalui A dan sejajar BC 3) Akibat : ∠2 = ∠B ∠1 = ∠C 4) Sedangkan ∠1 + ∠A + ∠2 = 180o Maka, ∠C + ∠A + ∠B = 180o
Geometri Hiperbolik Ilustrasi: Perhatikan gambar 5 berikut:
Gambar 5 Geometri hiperbolik diilustrasikan pada sebuah sphere/ globe/bumi. Jika ada satu benda bergerak ke pusat makin ke titik pusat maka benda tersebut akan semakin besar, ketika tepat di titik pusat benda tersebut akan membesar tak hingga. Demikian juga sebaliknya jika suatu benda bergerak menjauhi titik pusat maka benda tersebut akan semakin mengecil. Perhatikan gambar 6 berikut: Gambar 6 merupakan bidang Poincare ( Poincare Disk). Semua garis, titik, segitiga, dan lain sebagainya berada di dalam bidang poincare
r B
C O
C ( ) A
Gambar 6
Keterangan gambar 6: Circle r adalah jari-jari 1 unit (satuan) O adalah center dari A dan B adalah titik hiperbolik ( semua titik yang ada di interior ) C adalah titik yang tidak pada interior C disebut omega point ( ) atau titik yang jauh sekali Garis hiperbolik : adalah busur dari Lingkaran L yang orthogonal terhadap dan terletak di interior . L : lingkaran orthogonal terhadap , artinya L memotong dan garis-garis singgung kedua lingkaran L dan di titik potong kedua lingkaran tersebut membentuk ∠90o. Artinya garis hiperbolik adalah busur dari Lingkaran L memotong dan garis singgung kedua lingkaran L dan di titik potong kedua lingkaran itu membentuk sudut 90o.
Contoh garis hiperbolik perhatikan gambar 7 berikut:
L
Gambar 7 1) Pada gambar ini, lingkaran L orthogonal lingkaran , di A dan di B 2) l1 garis singgung di A 3) l2 garis singgung L di A 4) l1 ⊥ l2 5) Busur AB ada di interior adalah garis hiperbolik
Teorema : Lingkaran L orthogonal di A dan L memotong di A dan B, maka L orthogonal juga di B
Permasalahan: Pandang busur AB yang di interior . AB adalah garis hiperbolik yang melalui A atau B. Ada berapa lingkaran orthogonal (L) terhadap yang melalui A? Jawab : tak hingga Jika dianalogikan pada geometri euclid
Permasalahan: Pandang busur AB yang di interior . AB adalah garis hiperbolik yang melalui A atau B Ada berapa garis yang dapat dibuat dari garis hiperbolik AB? Melalui 2 titik A dan B pada , hanya ada 1 garis hiperbolik melalui A dan B. (ingat, hanya ada 1 lingkaran orthogonal terhadap ). Jika dianalogikan pada geometri euclid
A
B
