Gebruik van condensatoren Het spanningsverloop tijdens het laden Als we de schakelaar s sluiten laden we de condensator op. De condensatorspanning zal toenemen volgens een exponentiële functie en de spanning over de weerstand zal afnemen.
Ub = uR + uc met uc = momentele waarde van de condensatorspanning uR = momentele waarde van de weerstandsspanning ub = bronspanning Hierbij is uR = i . R en i = C
du c dt
Hieruit volgt : U b = i . R + uc Ub = R . C .
du c + uc dt
R . C noemen we de tijdsconstante τ die als eenheid seconden heeft. We bekomen een differentiaalvergelijking die we kunnen omvormen naar de vergelijking
dy = ky waarvan we weten dat alle oplossingen van de vorm dx
y = b.ekx zijn.
du c + uc dt du c uc - Ub = - R . C . dt du −1 c ( uc - Ub) = dt R ⋅C Ub = R . C .
Aangezien Ub een constante is mogen we
d (u c − U b ) −1 ( uc - Ub) = R ⋅C dt
du c d (u c − U b ) vervangen door dt dt
Deze vergelijking is dus van de vorm
−1 dy . = ky met k = R ⋅C dx
Bijgevolg zijn de oplossingen van de vorm y = b.ekx en hier dus gelijk aan −1
uc - Ub = b . e R⋅C
⋅t
Hierin is b een ongekende constante en R . C de tijdsconstante τ −t
uc - Ub = b . e τ
Op het tijdstip 0 sec is de lading van de condensator 0 V −0
- Ub = b . e
τ
Bijgevolg is b = -Ub
Hierdoor krijgen we de laadfunctie voor de spanning in de condensator. We merken hierbij op dat de spanning exponentieel toeneemt. −t
u c = Ub - U b e τ
Het stroomverloop tijdens het opladen U b = i . R + uc −t
Ub = i . R + Ub - Ub e τ −t
i . R = Ub e τ −t
U i = b ⋅e τ R
−t
i = I MAX ⋅ e τ
−t
De stroom tijdens het opladen van de condensator: i = IMAX ⋅ e τ . De stroom in de kring neemt dus exponentieel af tijdens het opladen.
laden van de LEGO-condensator
De condensator die we gebruiken bij LEGO heeft een capaciteit van 1F. Hij werkt bij 2.5V. De maximale oplaadspanning is 4 V. De maximale laad- en ontlaadstroom is 250mA. Wanneer de condensator geladen is tot 2.5V gaat er een rood licht branden. De weerstand die wij gebruiken tijdens het opladen heeft een weerstandswaarde van R=14,7 ohm. De oplaadspanning die wij gebruiken is 3.5 V. Met deze gegevens kunnen wij de tijdsconstante tau bereken: τ = R . C = 14,7 s De spanning tijdens het opladen van onze condensator: uc = 3,5 . (1 - e
−t
14 , 7
)
Na een periode van 1 τ is de condensator voor 63% opgeladen. Na een periode van 5 τ is de condensator ongeveer volledig opgeladen. In ons geval zou de condensator volledig opgeladen zijn na ongeveer 73 seconden. In het labo hebben we een meting gedaan op deze condensator met een digitale oscilloscoop.
Bij het opladen van de condensator krijgen we volgende grafiek:
t (s) 14,7 29,4 44,1 58,8 73,5
Uc (V) 1,7 2,6 3,0 3,3 3,4
Op onderstaande grafiek hebben we met de grafische rekenmachine de 5 gemeten punten uitgezet en ook de grafiek getekend van de berekende functie : uc = 3,5 . (1 - e
−t
14 , 7
).
We merken dat al onze punten precies iets lager liggen dan de theoretische waarden. De stroom tijdens het opladen van de condensator: i = IMAX . e in ons geval is IMAX = 105mA => i = 0,105 . e
−t
−t
14 , 7
14 , 7
Het spanningsverloop tijdens het ontladen Om de condensator te ontladen maken we een gesloten kring met een weerstand. De opgeladen condensator gaat nu de rol vervullen van energiebron. De spanning over de condensator zal exponentieel verminderen.
u c = uR uc = i . R uc = momentele waarde van de condensatorspanning uR = de momentele waarde van de weerstandsspanning i = de momentele waarde van de ontlaadstroom
R = de weerstand -i=C.
du c dt
uc = - C . R .
du c dt
du c 1 = − . uc dt C⋅R
met C . R = τ
We bekomen een differentiaalvergelijking van de vorm:
dy = ky waarvan we dx
weten dat alle oplossingen van de vorm: y = b.ekx zijn. De oplossing van onze differentiaalvergelijking wordt dus: −t
uc = b . e τ Op het tijdstip 0 sec is de lading van de condensator maximaal. We stellen dit voor door Uc. Uc = b . e 0 = b −t
Bijgevolg wordt de formule: uc = Uc . e τ We berekenen vervolgens het stroomverloop tijdens het ontladen. -i=C.
du c dt
−t d U c ⋅ e τ -i=C. dt
−t −t = C . U . ( − 1 ). e τ = - U c . e τ c τ R
−t
De stroom tijdens het ontladen van de condensator: i = IMAX ⋅ e τ . De stroom in de kring neemt dus exponentieel toe tijdens het ontladen.
Ontladen van de legocondensator Bij het ontladen van de condensator maken we nu gebruik van en weerstand van 4,7 ohm waardoor τ = C ⋅ R = 1F ⋅ 4,7Ω = 4,7 s . De condensator is opgeladen tot 2.5 V. Hieruit verkrijgen we de formule voor de spanning tijdens het ontladen: uc = 2,5 . e
−t
4,7
.
Ook het ontladen hebben we in het labo gemeten, we gebruiken hierbij volgende opstelling:
t (s) 4,7 9,4 14,1 18,8 23,5
Uc (V) 0,92 0,60 0,47 0,40 0,37
Op onderstaande grafiek hebben we met de grafische rekenmachine de 5 gemeten punten uitgezet en ook de grafiek getekend van de berekende functie : We merken dat de theoretische grafiek niet goed aansluit bij de gemeten punten.De gemeten punten liggen opnieuw lager. De reden hiervan is dat tijdens de zeer kleine tijdsduur van overschakelen van opladen naar ontladen de condensator reeds start met ontladen zodat we al een gedeelte van de spanning kwijt zijn op het moment dat we de meting starten.
De stroom kunnen we weergeven aan de hand van volgende formule:
i = IMAX . e
−t
4,7
schakelen van condensatoren serie
Als we 3 condensatoren in serie schakelen kunnen we deze vervangen door 1 condensator met een capaciteit volgens volgende formule: CV =
1 1 1 1 + + C1 C 2 C 3
De waarde van de vervangcondensator zal steeds kleiner zijn dan de waarde van de kleinste condensator. Aangezien wij de capaciteitwaarde willen vergroten heeft dit geen nut. Wij gebruiken condensatoren met allemaal dezelfde capaciteit, de vervangcapaciteit zal gelijk zijn aan de capaciteit van één condensator.
Parallel
Hier kunnen wij deze 3 condensatoren gemakkelijk vervangen door 1 condensator met een capaciteit volgens volgende formule: CV = C1 + C 2 + C 3 Praktisch kunnen wij dit wel toepassen en heeft dit ook zijn nut, we kunnen met een grotere capaciteit een grotere spanning opslaan en deze later terug ontladen op onze motoren. Door de grotere spanning zal de motor meer vermogen en ook een grotere snelheid hebben.
energie van een condensator C . Uc energie: W = 2
2
Uc = maximale condensatorspanning C = de capaciteit in Farad W = energie in de condensator Aangezien dat onze condensator een capaciteit heeft van 1 Farad en 2,5 Volt kan ontladen krijgen we een energie van 3,125 Joule. De motor stopt met werken bij 1 Volt.
C . Uc W= 2
2
=
1 . 12 J = 0,5 J 2
Deze energie kunnen we dus niet gebruiken, bijgevolg beschikken wij over 2,625 J per condensator. Plaatsen we twee condensatoren parallel dan hebben we een capaciteit van 2 Farad en een spanning van 2,5 V bijgevolg een energie van 6,25 Joule waarvan we er 2 keer 0,5 J niet kunnen gebruiken. We beschikken dus over 5,25 Joule nuttige energie.
C . Uc formule: W = 2
2
effectief vermogen (Joule)
capaciteit 1 condensator (F): maximale condensatorspanning (V)
aantal condensator s 1 1 2,5 2 3 4 5 6 7
totaal totaal onbruikbaar effectief capaciteit vermogen vermogen vermogen (Farad) (Joule) (Joule) (Joule) 1 3,125 0,5 2,625 2 6,250 1,0 5,250 3 9,375 1,5 7,875 4 12,500 2,0 10,500 5 15,625 2,5 13,125 6 18,750 3,0 15,750 7 21,875 3,5 18,375
20,000 18,000 16,000 14,000 12,000 10,000 8,000 6,000 4,000 2,000 0,000 1
2
3
4
5
aantal condensatoren
6
7
