Pemodelan dan Solusi Numerik Aliran Gas Dalam Saluran Pipa Menggunakan Metode Crank-Nicolson Crank Nicolson Oleh: Zusnita Meyrawati
1.
Dosen Pembimbing: Prof. DR. Basuki Widodo, M.Sc. 2. Drs. Kamiran, M.Si.
Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam I i Teknologi Institut T k l i sepuluh l h Nopember N b Surabaya 2010
PENDAHULUAN • Gas merupakan salah satu sumber energi alternatif yang layak diperhitungkan, mengingat kenyataan bahwa cadangan minyak dunia saat ini telah menipis. • Gas alam dapat berbahaya karena sifatnya yang sangat mudah terbakar dan menimbulkan ledakan. Apabila berada di dalam d l ruang tertutup, t t t sepertiti di dalam d l pipa, i k konsentrasi t i gas dapat mencapai titik campuran yang mudah meledak. gg cukup p sulit untuk menyimpan y p g gas alam karena hal Sehingga ini sangat mahal dan berbahaya. • Pengiriman gas alam dari daerah produksi ke konsumen dapat dilakukan dengan beberapa cara tergantung situasi dan kondisi, cara yang digunakan antara lain dengan sistem transmisi pipa.
Rumusan Masalah Permasalahan yyang g dibahas dalam p penelitian ini adalah: • Menurunkan model matematika dari aliran gas dalam suatu saluran pipa. • Mendapatkan solusi numerik dari pemodelan aliran gas dalam suatu saluran pipa. • Melakukan visualisasi hasil perhitungan numerik dari model tersebut menggunakan bantuan program MATLAB 7.6.
Batasan Masalah • Temperatur p pada setiap p p titik di sepanjang p j g saluran p pipa p sama dan tidak ada perubahan terhadap waktu (isothermal). • Pipa Pi transimi t i i lurus l d luas dan l penampangnya konstan. k t • Aliran gas bersifat satu fasa dan menggunakan hubungan aliran satu dimensi. • Laju aliran gas konstan. • Pemuaian dinding pipa diabaikan. • Kecepatan suara (c) konstan. • Tidak ada kerja yang dilakukan gas selama aliran terjadi. • Massa jenis gas konstan.
Tujuan dan Manfaat Tujuan T j d i penelitian dari liti ini i i adalah d l h untuk t k mengkaji k ji model d l transportasi gas melalui saluran pipa dan diharapkan pemodelan aliran g p gas dalam saluran p pipa p yyang g efisien akan sangat berguna untuk memperoleh pengetahuan yang lebih mendalam mengenai sistem jaringan pipa gas. gas
TINJAUAN PUSTAKA • Penelitian Sebelumnya tahun 1995, Junyang Zhou dan Adewumi, skema k numerik ik T Totall Variations Diminishing (TVD)
tahun 1996, Junyang Zhou dan Adewumi,, skema numerik Godunov
tahun 2000, Zhou dan Adewumi. hybrid TVD/Godunov Scheme, hybrid TVD/Roe Scheme dan hybrid
TVD/Lax-Wendrof.
TINJAUAN PUSTAKA… • Gas Alam Gas alam (natural gas) sering juga disebut sebagai gas bumi atau gas rawa, adalah bahan bakar yang berasal dari fosil kemudian menjadi gas, dimana susunan kimiawinya yang utama terdiri dari metana (CH4). Gas alam dapat ditemukan di ladang minyak, ladang gas bumi dan juga tambang batu bara. Komponen utama dalam gas alam adalah metana (CH4), yang merupakan molekul hidrokarbon rantai terpendek dan teringan. Gas alam juga mengandung molekulmolek l hidrokarbon yang molekul ang lebih berat seperti etana (C2H6), ) propana (C3H8) dan butana (C4H10), selain juga gas-gas yang mengandung sulfur (belerang). Gas alam juga merupakan sumber utama untuk sumber gas helium. helium
TINJAUAN PUSTAKA… • Jaringan Pipa Jaringan pipa adalah sistem dengan rangkaian pipa yang panjang. Panjang dari jaringan pipa ini bisa mencapai ribuan kilometer. Sedangkan distribusi gas bisa memiliki arti menghubungkan pusat produksi dengan tempat-tempat penyimpanan gas. Dengan menerapkan hukum konservasi massa, momentum, energi dan persamaan keadaan gas pada perhitungan volume kendali seperti yang ditunjukkan pada gambar berikut, akan didapatkan suatu model yang menjelaskan aliran gas dinamik satu dimensi yang melalui suatu saluran pipa.
TINJAUAN PUSTAKA… • Persamaan Keadaan Gas Nyata Pada kenyataanya semua gas yang ada di alam tidak ada yang bersifat ideal. Namun, perilaku dari kebanyakan gas nyata tidak berbeda jauh dari perilaku gas ideal. Oleh karena itu, digunakan Z sebagai faktor pengkoreksi atau faktor deviasi persamaan gas ideal, sehingga persamaan keadaan k d gas nyata t dapat d t dinyatakan di t k sebagai: b i
p V = Z n RuT em p
((2.1))
Dengan mensubstitusi persamaan m = ρV dan m = nM pada persamaan (2.1) maka persamaan keadaan gas tersebut dapat ditulis:
p= dengan
ρ ZRuTemp
Rg = Ru / M
M
= ρ ZRg Temp
(2.2)
TINJAUAN PUSTAKA… 1. Faktor Deviasi V a c tu a l Z = V id e a l
(2 3) (2.3
2. Faktor Gesekan f =
τ 1 ρ v 2
2
(2.4)
3. Persamaan Kecepatan Suara
ZRuTemp c= = ZRgTemp M
(2.5)
TINJAUAN PUSTAKA… • Persamaan Dasar Aliran Gas Unsteady 1) Persamaan Konservasi Massa ∂ρ ∂ + ( ρv) = 0 ∂t
∂x
(2.6)
2) Persamaan Konservasi Momentum ∂ ∂ ( ρ vS ) + pS + ρ v 2 S + τ π D + ρ Sg sin θ = 0 ∂t ∂x
(
)
• Node Network atau Mesh
(2.7)
TINJAUAN PUSTAKA… • Metode Crank-Nicolson Metode Crank-Nicolson diperoleh dari rata-rata metode Eksplisit dan metode Implisit. u j , n +1 − u j ,n ⎛ ∂u ⎞ ⎜ ⎟ ≈ Δt ⎝ ∂t ⎠ j ,n 1 ⎛ u j +1,n − u j −1,n u j +1,n +1 − u j −1,n +1 ⎞ ⎛ ∂u ⎞ + ⎟ ⎜ ⎟ ≈ ⎜ ∂ x 2 2 Δ x 2 Δ x ⎝ ⎠ j ,n ⎝ ⎠ ⎛ ∂ 2u ⎞ 1 ⎛ u j −1,1 n − 2u j ,n + u j +1,1 n u j −1,1 n +1 − 2u j ,n +1 + u j +11,n +1 ⎞ + ⎟ ⎜ 2⎟ ≈ ⎜ 2 2 ∂ x 2 Δ x Δ x ⎝ ⎠ j ,n ⎠ ⎝
(2 8) (2.8) (2 9) (2.9)
(2.10)
PROSEDUR KERJA
PEMODELAN DAN PENYELESAIAN NUMERIK • Pemodelan Matematika Aliran Gas Unsteady dalam Saluran Pipa Pemodelan aliran g gas p pada Tugas g Akhir ini didasarkan pada model aliran gas unsteady yang dikembangkan oleh Zhou dan Adewumi (1995). Namun pada Tugas Akhir ini, ini pipanya tidak horizontal seperti pada penelitian Zhou dan Adewumi, tetapi mempunyai sudut inklinasi. Kemudian, karena aliran diasumsikan isothermal, maka persamaan konservasi k i energii tidak tid k diperlukan di l k dalam d l membangun model matematika disini.
Model matematika aliran gas unsteady dalam saluran pipa dibangun dengan menggunakan persamaan berikut: ∂ ρ ∂ t
+
∂ ∂ x
(ρ
v
)
=
0
(4 1) (4.1)
∂ ∂ 2 + + ρ vS pS ρ v S + τ π D + ρ Sg sin θ = 0 ( ) ∂t ∂x
(4 2) (4.2)
ZRuTemp p = ρ. = ρ ZRg Temp M
((4.3))
(
dengan Rg = Ru / M
)
Dengan menggunakan kecepatan suara, persamaan keadaan gas menjadi: (4.4) p = c2 ρ Kecepatan diganti dengan laju alir massa yang didefinisikan sebagai berikut: q = ρ vS = ρ Q = ρ nQn (4.5) penyederhanaan y pertama, p p persamaan konservasi massa Untuk p dan momentum dapat dinyatakan sebagai fungsi dari laju alir dalam kondisi normal dan tekanan. Maka Persamaan (4.1) dapat ditulis kembali menjadi: c 2 ρ n ∂Qn (4.6) ∂p =− ∂t S ∂x Sedangkan dengan menggunakan faktor Fanning, Persamaan (4.2) dapat ditulis menjadi: (4 7) (4.7) ∂q ∂ ⎛ f 2 fq q2 ⎞ + ⎜ Sp + π D + ρ Sg sin θ = 0 ⎟+ 2 S ρ ⎠ 2ρ S ∂t ∂x ⎝
Karena konstan terhadap jarak maka Persamaan (4.7) menjadi: ∂Qn S ∂p 2 fc 2 ρ n Qn2 Sg sin θ =− − − p 2 (4.8) ρ n ∂x DS p ρn c ∂t Sehingga dari Persamaan (4.6) dan (4.8) didapatkan penyederhanaan pertama untuk model adalah: ⎧ c 2 ρ n ∂Qn ∂p =− ⎪ ∂t S ∂x ⎪ (4.9) ⎨ 2 2 f ρ n Qn SSg sin i θ ⎪ ∂Qn = − S ∂p − 2 fc − p 2 ⎪⎩ ∂t DS p ρ n ∂x ρnc Kemudian,, dengan g mengekspresikan g p lagi g model tersebut sebagai g fungsi g dari laju alir dalam kondisi normal dan tekanan . Didapatkan persamaan sebagai berikut:
1 ∂q 2 ffc 2 ρn2 Qn2 g sin θ ∂p =− − − p 2 2 S ∂t DS p c ∂x
Dari asumsi yang diberikan bahwa konstan terhadap jarak dan waktu, maka: 2 fc 2 ρn2 Qn2 g sin θ ∂p p =− − 2 2 DS p c ∂x
2 ∂ p ∂p Dengan menggunakan persamaan = 2p ∂x ∂x 2 2 2 2
didapatkan: ((4.10))
4 fc ρ n Qn 2 g sin θ 2 ∂p =− − p 2 2 ∂x DS c Dan ketika Persamaan (4.10) diturunkan parsial terhadap x, didapatkan: (4 11) (4.11) 8Qn fc 2 ρ n2 ∂Qn 2 g sin θ ∂p 2 ∂2 p2 = − − ∂x 2 ∂x ∂x DS 2 c2 Dari Persamaan (4.6) dimasukkan ke Persamaan (4.11), maka diperoleh: ∂ 2 p 2 8Qn f ρ n ∂p 2 g sin θ ∂p 2 (4.12) = − ∂x 2 DS ∂t c2 ∂x ∂p 2 ∂p g menggunakan gg hubungan g didapatkan: p Dengan = 2p ∂t
∂t
∂ p 16Qn f ρ n ∂p 2 g sin θ ∂p = 2 − 2 3 ∂x c ρπ D ∂t c2 ∂x Dengan menggunakan kembali hubungan Q ρ = Qn ρ n penyederhanaan kedua dari model sebagai berikut: 2
2
2
2
∂ 2 p 2 2 g sin θ ∂p 2 16Qf ∂p 2 + = 2 3 2 2 ∂x c ∂x c π D ∂t
, maka
Maka didapatkan model aliran gas unsteady dalam saluran pipa sebagai berikut:
⎧ ∂2 p2 ∂p 2 ∂p 2 +β =α ⎪⎪ 2 ∂x ∂x ∂t ⎨ ⎪dengan α = 16Qf dan β = 2 g sin θ ⎪⎩ c 2π D3 c2
((4.13))
• Skema dan Penyelesaian Numerik Syaratt awall dan S d syaratt batas: b t 1. Syarat Dirichlet: p ( 0, 0 0) = p ( 0) p ( 0, t ) = p ( 0 ) ; t > 0 Q ( x, t ) = konstan; 0 ≤ x ≤ L
2. Syarat Neumann: ∂p |x =0 = 0 ∂t
∂Q |0≤ x ≤ L = 0 ∂t
Untuk perhitungan tekanan pada tiap titik pada saat t = 0 sepanjang pipa dapat dinyatakan oleh Persamaan (4.14) untuk kasus dimana saluran pipa mempunyai sudut inklinasi dan oleh Persamaan (4.15) untuk saluran pipa horizontal.
μ μx 2 ⎛ p ( x ) = ⎜ p (0) − e −1 σ ⎝
(
p ( x) =
)
⎞ −μx ⎟e ⎠
p (0) − μ x
(4.15)
2
dengan μ = f ⎛ 2 ρ cQ ⎞ dan ⎜ ⎟ D⎝ S ⎠ 2
(4.14)
2 g sin θ σ= c2
Sedangkan untuk perhitungan nilai Z menggunakan: prata − rata 390 1 dengan prata − rata = ⎡⎣ p ( 0 ) + p ( L ) ⎤⎦ 2 Z = 1−
Algoritma untuk menghitung Z dan p(L)
• Skema Numerik Dengan memisalkan p 2 = u , maka model aliran gas pada Persamaan (4.13) dapat ditulis kembali sebagai berikut:
∂ 2u ∂u ∂u +β =α 2 ∂x ∂x ∂t Dengan menerapkan pendekatan metode Crank-Nicolson, maka akan didapatkan skema numerik sebagai berikut:
( a − b ) u j −1,n+1 + ( −2a − 2 ) u j ,n+1 + ( a + b ) u j +1,n+1 = ( −a + b ) u j −1,n + ( 2a − 2 ) u j ,n + ( −a − b ) u j +1,n dengan
2Δt 2 Δt a= = 2αΔx 2 Δt αΔx 2
dan
β Δ x Δt 2 β Δt b= = 2αΔx 2 Δt 2αΔx
Selanjutnya didapatkan hasil pendiskritan sebagai berikut: ⎛ ( −2a − 2 ) ⎜ ⎜ (a − b ) ⎜ 0 ⎜ 0 ⎜ ⎜ # ⎜ ⎜ 0 ⎝ ⎛ ( 2a − 2 ) ⎜ ⎜ (−a + b ) ⎜ 0 =⎜ 0 ⎜ ⎜ # ⎜ ⎜ 0 ⎝
(a + b )
0
0
0
0 0 ( −2a − 2 ) ( a + b ) 0 ( a − b ) ( −2a − 2 ) ( a + b ) 0 ( a − b ) ( −2a − 2 ) ( a + b )
"
0
%
0
%
0
%
0
%
%
%
%
%
%
0
0
0
0
"
(a − b )
0 0 0 (−a − b ) 0 0 ( 2a − 2 ) ( −a − b ) 0 ( − a + b ) ( 2a − 2 ) ( − a − b ) 0 ( − a + b ) ( 2a − 2 ) ( − a − b )
"
0
% %
0 0
%
0
%
%
%
%
%
%
0
0
0
0
"
(−a + b )
⎛ ( − a + b ) ( u 0,0 n + u 00, n +1 ) ⎞ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 0 ⎟ +⎜ ⎜ ⎟ 0 ⎜ ⎟ # ⎜ ⎟ ⎜ ( − a − b ) ( u J +1, n + u J +1, n +1 ) ⎟ ⎝ ⎠
⎞ ⎛ u1,, n +1 ⎞ ⎟⎜ ⎟ u 0 ⎟ ⎜ 2, n +1 ⎟ ⎟ ⎜ u 3, n +1 ⎟ 0 ⎟⎜ ⎟ u 0 ⎟ ⎜ 4, n +1 ⎟ ⎟⎜ # ⎟ % ⎟⎜ ⎟⎟ ⎜ ⎟ u 2 2 a − − ( ) ⎠ ⎝ J , n +1 ⎠ 0
⎞ ⎛ u1,n, ⎞ ⎟⎜ ⎟ u 0 2, n ⎟⎜ ⎟ ⎟ ⎜ u 3, n ⎟ 0 ⎟⎜ ⎟ u 0 ⎟ ⎜ 4, n ⎟ % ⎟⎜ # ⎟ ⎟⎜ ⎟ ( 2 a − 2 ) ⎟⎠ ⎜⎝ u J , n ⎟⎠ 0
SIMULASI DAN PEMBAHASAN • Algoritma Program 1. Mendefinisikan parameter 1 parameter-parameter parameter yang dibutuhkan. dibutuhkan 2. Menghitung syarat batas dan faktor deviasi Z. 3. Dari Z yyang g telah diperoleh p pada langkah p g 2, dihitung g nilai syarat awal. 4. Memasukkan syarat awal dan syarat batas ke dalam skema numerik. numerik 5. Skema numerik yang berupa matrik tridiagonal gg algoritma g eliminasi Gauss. diselesaiakan menggunakan 6. Selanjutnya dihitung nilai error berdasarkan hasil perhitungan numerik dan perhitungan eksak.
• Simulasi Untuk kebutuhan simulasi, simulasi digunakan parameter-parameter sebagai berikut: f = 0.003 T = 3600 s D = 0.6 m L = 105 m p ( 0, t ) = 50 bar Temp = 278 o K
v = 28 m / s
ρ = 0.73 kg / m3
1. Kasus 1 a. Untuk Qo = 50 m3/s dan H = 3000 m
p(L)= 33,485 bar ; error= 0,00075822
Rg = 392 m2 / s 2 K
b. Untuk Qo = 50 m3/s dan H = 7800 m
p(L)= 19,1293 bar ; error= 0,00185209 c. Untuk Qo = 50 m3/s dan H = 500 m
p(L)=44,1291 bar ; error= 0,00013069
2. Kasus 2 a. Untuk Qo = 100 m3/s dan H = 4750 m
p(L)=10,734 bar ; error= 0,00060289 b Untuk Qo = 100 m3/s dan H = 2000 m b.
p(L)= 24,3797 bar ; error= 0,00026281
3. Kasus 3 a Untuk Qo = 50 m3/s ,H a. H = 3000 m m, M=N=30 M N 30
error = 0,00076542 b Untuk b. U t k Qo = 50 m3/s / ,H H = 3000 m, M M=N=70 N 70
error = 0,00075046
4. Kasus 4 a Untuk Qo = 50 m3/s ,H a. H = -1000 1000 m
p(L)= 52,2059 bar ; error= 0,00026687 b Untuk b. U t k Qo = 50 m3/s / ,H H = -1000 1000 m
p(L)= 65,4484 bar ; error= 0,00082373
SIMPULAN • Kesimpulan 1. Model matematika yang menggambarkan perilaku aliran gas dalam suatu saluran pipa dapat dinyatakan sebagai berikut: ⎧ ∂2 p2 ∂p 2 ∂p 2 +β =α ⎪⎪ 2 ∂x ∂x ∂t ⎨ ⎪dengan α = 16Qf dan β = 2 g sin θ ⎪⎩ c 2π D 3 c2
2. Dari simulasi dan penyelesaian numerik yang diperoleh dengan bantuan program Matlab 7.6, terlihat bahwa nilai tekanan di outlet dipengaruhi p g oleh nilai p parameter-parameter, p , diantaranya laju alir dan ketinggian di ujung pipa. Sedangkan besarnya error, selain dipengaruhi oleh nilai parameter, juga dipengaruhi oleh banyaknya pendiskritan. pendiskritan Semakin banyak pendiskritan, maka nilai error semakin kecil.
• Saran 1 P 1. Pada d Tugas T Akhi ini Akhir i i menggunakan k asumsii bahwa b h l j alir laju li gas konstan sepanjang saluran pipa, selanjutnya dapat dikembangkan penelitian untuk laju alir gas yang tidak konstan agar lebih mendekati kondisi di lapangan. 2. Tugas Akhir ini masih bersifat analitis pada tahap pemodelan dan numerik untuk penyelesaiannya, penyelesaiannya belum ada data laboratorium yang dipakai sebagai pembanding. Diharapkan kedepannya bisa dilakukan uji laboratorium sehingga model ini dapat diterapkan di lapangan. lapangan
DAFTAR PUSTAKA Gonzalez, Alberto H., Gonzalez H dkk. dkk 2008. 2008 Modeling and Simulation of a Gas Distribution Pipeline Network. Journal of Applied Mathematical Modelling, 1584–1600. Lurie, Michael V. 2008. Modeling of Oil Product and Gas Pipeline Transportation. Weinheim: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. M C i McCain, Willi William D Jr. D. J 1990. 1990 The Th Properties P ti off Petroleum P t l Fl id Fluids. Okl h Oklahoma: P PennWell W ll Publishing Company. Segeler, C.G., Ringler, M.D., dan Kafka, E.M. 1969. Gas Engineers’ Handbook. New York: AGA. Smith, G.D. 2005. Numerical Solution of Partial Differential Equations. Oxford: Clarendon Press. Streeter, V.L. dan Wylie, E.B. 1990. Diterjemahkan oleh Prijono, A. Mekanika Fluida Jilid I Edisi 8. Jakarta: Erlangga. Sulistyarso, Harry B. 2007. Aplikasi Suatu Model Aliran Gas Transient pada Kasus Line Packing untuk Lapangan Gas. Disertasi, Departemen Teknik Perminyakan, Institut Teknologi Bandung. Sulistyarso, Harry B., dkk. 2004. Solusi Model Aliran Gas Dalam Pipa pada Kondisi Line Packing Menggunakan Skema Richtmyer. Richtmyer Proceedings ITB Sains & Teknik, Teknik Vol. Vol 36A, 36A No. No 2, 2 159-177. Yang, Won Y., dkk. 2005. Applied Numerical Methods Using MATLAB. John Wiley & Sons, Inc. Zhou, Junyang dan Adewumi, M.A. 1995. Simulation of Transient in Natural Gas Pipelines. Paper SPE No. No 31024, 31024 1 – 27. 27 Zhou, Junyang dan Adewumi, M. A. 2000. Simulation of Transient in Natural Gas Pipelines Using Hybrid TVD Schemes. International Journal of Numerical Method for Fluids, 32: 407 – 437.
SEKIAN DAN TERIMA KASIH…
