Modul 5
Fungsi Non-Linear Drs. Wahyu Widayat, M.Ec
PE NDAH ULUA N
F
ungsi non-linier merupakan bagian yang penting dalam matematika untuk ekonomi, karena pada umumnya fungsi-fungsi yang menghubungkan variabel-variabel ekonomi bentuknya tidak linier. Oleh sebab itu dengan mempelajari bentuk-bentuk fungsi non- linier dan memahami sifat-sifatnya akan sangat bermanfaat dalam mendalami teoriteori ekonomi. Model-model persamaan yang dipilih untuk diterapkan dapat dilakukan lebih tepat dan mendekati keadaan yang sebenarnya. Fungsi nonlinier merupakan fungsi yang banyak sekali digunakan dalam ekonomi, karena lebih mendekati keadaan nyata. Banyak masalah dalam ilmu ekonomi yang menggunakan fungsi non-linier sebagai model, khususnya persamaanpersamaan kuadratik. Meskipun demikian tidak semua aplikasinya dimuat dalam modul ini. Aplikasi fungsi kuadratik yang dibicarakan, dibatasi untuk fungsi permintaan dan penawaran Dalam modul ini dijelaskan cara membuat grafik fungsi non-linier, sehingga persamaan-persamaan yang ditampilkan pada modul-modul berikutnya dapat digambarkan secara cepat tanpa menggunakan titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang terlalu banyak. Dengan mempelajari modul ini, secara umum Anda diharapkan dapat memahami berbagai macam bentuk fungsi non-linier, mengenai sifat-sifatnya dan dapat menggambarkan grafiknya. Di samping itu, Anda diharapkan mampu untuk: a. menggambarkan grafik fungsi non-linier. b. menggunakan sifat-sifat fungsi kuadratik untuk membuat gambar grafiknya. c. membedakan bentuk-bentuk fungsi kuadratik seperti lingkaran, elips, parabola dan hiperbola. d. menentukan jika ada: format, jari-jari, asimtot dari fungsi kuadratik serta batasan-batasan nilai untuk variabel-variabelnya.
5.2
Matematika Ekonomi 1
Kegiatan Belajar 1
Grafik Kurva Non-Linear
P
olinom atau suku banyak dalam x dan y dilambangkan f(x) adalah ungkapan yang mengandung suku-suku kxrys, di mana k adalah konstan, r dan s adalah bilangan bulat. Nilai tertinggi (r + s) pada suku f(x,y) dinamakan pangkat polinom. Jika polinom f(x,y) berpangkat n dan disamakan dengan nol, maka diperoleh persamaan pangkat n dalam x dan y yaitu f(x,y) = 0. Persamaan ini disebut persamaan aljabar. Suatu grafik yang melukiskan persamaan aljabar disebut sebagai kurva aljabar. Suatu contoh kurva aljabar adalah garis lurus. Persamaan dalam x dan y yang bukan persamaan aljabar disebut persamaan transcendental dan grafiknya disebut kurva transcendental. Contoh-contoh kurva transcendental adalah grafik fungsi trigonometri, logaritma, dan fungsi berpangkat. Cara membuat grafik yang akan dibahas dapat digunakan untuk membuat grafik aljabar maupun grafik transcendental. Cara ini merupakan cara yang umum untuk melukis suatu grafik. Kemudian akan dibahas cara lain yaitu cara yang lebih khusus untuk melukiskan jenis fungsi tertentu. Cara ini lebih efisien untuk melukis grafik dari fungsi jenis tertentu, seperti fungsi kuadratik (lingkaran, elips, parabola dan hiperbola), fungsi perpangkatan dan fungsi logaritma. Menggambar grafik fungsi non-linear, dilakukan dengan menentukan titik-titik yang memenuhi persamaan dalam jumlah yang cukup banyak. Akan tetapi titik-titik yang jumlahnya banyak itu, mungkin masih belum memberikan informasi yang lengkap tentang bentuk kurva sesungguhnya. Sebaiknya suatu persamaan yang hendak dibuat grafiknya diuji dulu dengan memperhatikan kaidah-kaidah yang berhubungan dengan fungsi tersebut, sehingga titik-titik yang digunakan jumlahnya tidak terlalu banyak. Kaidah-kaidah dalam membuat grafik kurva non-linear dan kegunaannya adalah sebagai berikut:
5.3
ESPA4112/MODUL 5
A. TITIK PENGGAL Titik penggal suatu kurva adalah titik perpotongan antara kurva dan garis sumbu. Titik penggal dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0 ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai x nya. Titik penggal dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan x = 0 ke dalam persamaan dan kemudian mencari nilai y nya. Untuk menggambar grafik suatu fungsi, titik-titik penggal ini harus dicari. B. SIMETRIS Dua titik dikatakan simetris terhadap suatu garis bila garis tersebut terletak di antara dua titik dan jarak masing-masing titik ke garis tersebut sama. Contoh 5.1:
(-x,y)
(x,y)
(x,-y)
Titik (x,y) simetris dengan titik (x,-y) terhadap sumbu x. Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,y) terhadap sumbu y. Dua titik simetris terhadap titik ke tiga, jika titik ke tiga itu terletak di tengah-tengah garis yang menghubungkan ke dua titik tersebut. Contoh 5.2: Titik (x,y) simetris dengan titik (-x,-y) terhadap titik origin.
5.4
Matematika Ekonomi 1
Y (x,y)
X 0
(-x,-y)
Suatu kurva juga dapat simetris terhadap garis sumbu atau terhadap titik origin. Kurva simetris terhadap sumbu x bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva, simetris dengan titik (x,-y) yang juga terletak pada kurva. Contoh 5.3: Y (x,y)
X 0
(x,-y)
Kurva simetris terhadap sumbu y, bila untuk setiap titik (x,y) pada kurva simetris dengan titik (-x,y) yang juga terletak pada kurva.
5.5
ESPA4112/MODUL 5
Contoh 5.4: Y
(-x,y)
(x,y)
X
Kurva simetris terhadap titik origin apabila setiap titik (x,y) pada kurva simetris dengan titik (-x,-y) yang juga terletak pada kurva. Contoh 5.5:
Y
(x,y)
X (-x,-y)
Dari tiga contoh terakhir dapat dilihat bahwa grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap: a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0 Perlu diperhatikan di sini bahwa suatu fungsi yang simetris terhadap sumbu x dan sumbu y tentu simetris terhadap origin. Akan tetapi sebaliknya, kurva yang simetris terhadap origin belum tentu simetris terhadap sumbu x dan y.
5.6
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.6: Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2y + y + x3 = 0 merupakan fungsi dengan kurva yang simetris terhadap origin tetapi tidak simetris terhadap salah satu sumbu. Y
0
X
f(x,-y) = -x2y - y + x3 > f(x,-y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu x. f(-x,y) = x2y + y - x3 > f(-x,y) = 0 tidak sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 tidak simetris terhadap sumbu y. f(-x,-y) = -x2y - y - x3 = 0 > f(-x,-y) = 0 sama dengan f(x,y) = 0. Jadi f(x,y) = 0 simetris terhadap origin. Contoh 5.7: Kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x3y + xy = 0 merupakan fungsi yang simetris terhadap sumbu x,y dan titik origin, karena: Y f(x,-y) = -x3y - xy = 0 = f(x,y) 3 f(-x,y) = -x y - xy = 0 = f(x,y) f(-x,-y) = x3y + xy = 0 = f(x,y) 0 X
5.7
ESPA4112/MODUL 5
Di dalam menggambar suatu grafik, kadang-kadang harus diperhatikan kesimetrisan kurva terhadap garis yang bukan garis sumbu atau titik lain selain titik origin. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis x = h, jika f(h + c,y) = f(h - c,y) = 0 untuk semua nilai c dan y. Contoh 5.8: Pada gambar di bawah j1 = c dan c > 0 dan f(x,y) simetris terhadap garis x=h Y x=h (h-c,y)
(h+c,y) Ji
Ji 0
X
Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap garis y = k, jika f(x, k + c) = f(x,k - c) = 0 untuk semua nilai c dan x.
Y (x,k+c) J2 y=k J2 X 0
(x,k-c)
Pada gambar di atas j2 = c dan c > 0; f(x,y) simetris terhadap garis x = k. Grafik persamaan f(x,y) = 0 simetris terhadap titik (h,k), jika f(h + c, k + d)= f(h - c,k - d)= 0 untuk semua c dan d.
5.8
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.9: Y
(h+c,k+d) J3 * J3 (h-c,k-d)
0
Pada gambar di atas j3 = simetris terhadap titik (h,k).
X
c 2 + d 2 dan c > 0, d > 0 sehingga f(x,y)
C. BATAS NILAI Pada sistim sumbu koordinat, titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan riil. Jadi untuk titik (x,y) di mana nilai x merupakan bilangan riil tetapi y bilangan imajiner atau nilai y merupakan bilangan riil tetapi x bilangan imajiner harus dikecualikan dan titiknya tidak digunakan. Hal ini disebabkan variabel-variabel yang berpangkat genap dalam persamaan, penyelesaiannya melibatkan akar dan bilangan negatif tidak mempunyai akar bilangan riil. Akibatnya kurva harus dibatasi sedemikian rupa sehingga semua titik mempunyai koordinat bilangan riil. Setiap variabel pada suatu persamaan, sebaiknya dilihat apakah nilainya mempunyai batas. Contoh 5.10: Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x2 + y2 = 25 mempunyai batas? x2 = 25 - y2 x = ± 25 − y 2 Nilai di bawah tanda akar yaitu 25 - y2 akan bertanda negatif bila: 25 - y2 < 0 - y2 < - 25 atau y > ±5 dan batas untuk y adalah -5 < y < 5 Batas untuk x: y2 = 25 - x2
ESPA4112/MODUL 5
5.9
y = ± 25 − X 2 Nilai di bawah tanda akar bertanda negatif bila: 25 - x2 < 0 - x2 < 25 atau x > ±5 dan batas untuk x adalah -5 < x < 5 D. ASIMTOTIS Asimtot suatu kurva adalah suatu garis lurus yang didekati oleh kurva dengan jarak yang semakin dekat dengan nol bila kurva tersebut semakin jauh dari origin atau dapat pula dikatakan bahwa garis y = mx + b merupakan asimtot kurva y = f(x), jika f(x) semakin dekat mx + b maka x dan y nilainya bertambah tanpa batas. Jadi, f(x) mx + b jika x dan y ∞. Pada umumnya garis asimtot yang banyak digunakan adalah garis asimtot yang sejajar sumbu x atau sumbu y. Garis asimtot yang sejajar dengan sumbu x disebut asimtot horisontal dan yang sejajar sumbu y disebut asimtot vertikal dan didefinisikan: Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk x → ∞. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Untuk kepentingan penggambaran suatu kurva, akan dibedakan arah gerakan suatu kurva apakah x dan y nilainya terus bertambah besar tanpa batas (x → +∞ ; y → +∞) atau x dan y nilainya terus berkurang tanpa batas (x → -∞; y → -∞). Di samping itu harus diperhatikan juga nilai variabel yang tidak bertambah atau berkurang tanpa ada batasnya. Hal ini sangat berguna untuk menentukan apakah suatu kurva mendekati asimtot dari kiri atau dari kanan (untuk asimtot vertikal) atau mendekati asimtot dari atas atau dari bawah (untuk asimtot horisontal).
5.10
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.11: Asimtot vertikal
Asimtot horisontal
Y
Y
0
X
0
X
Contoh 5.12: Tentukan apakah kurva yang ditunjukkan oleh persamaan xy-3x-4y-2= 0 mempunyai asimtot horisontal atau vertikal? Langkah pertama adalah mengeluarkan x: 4y + 2 x= y-3 Dari persamaan di atas dapat diketahui bahwa, jika y → +∞, maka x → 4 dan x > 4. Jika y → -∞, maka x → 4 dan x < 4. Jadi x = 4 merupakan asimtot vertikal yang didekati oleh kurva dari kiri dan kanan. Langkah kedua adalah mengeluarkan y: 3x + 2 y= x-4 Jika x → +∞, maka y → 3 dan y > 3, tetapi bila x → -∞ maka y → 3 dan y < 3. Jadi y = 3 merupakan asimtot horisontal yang didekati kurva dari atas dan bawah. Y
y=3 xy - 3x - 4y - 2 = 0
x=4
5.11
ESPA4112/MODUL 5
E. FAKTORISASI Persamaan kurva f(x,y) = 0 mungkin dapat terjadi sebagai hasil perkalian antara dua faktor atau lebih, atau f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0. Dengan demikian maka grafik f(x,y) = 0 terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) = 0 dan h(x,y) = 0, dan titik (x,y) yang memenuhi persamaan g(x,y) = 0 atau h(x,y) = 0 terletak pada f(x,y) = 0. Contoh 5.13: Buatlah grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 Faktorisasi: 2x2 - xy + 4xy - 2y2 = 0 x(2x - y) + 2y(2x - y) = 0 (2x - y) (x + 2y) = 0 Jadi grafik persamaan 2x2 + 3xy - 2y2 = 0 terdiri dari grafik dua garis lurus yaitu: 2x - y = 0 dan x + 2y = 0. Y 2x - y = 0
X
x + 2y = 0
L A TIH A N Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) y = (x + 2)(x - 3)2 2) y3 + xy2 - xy - x2 = 0
5.12
Matematika Ekonomi 1
3) y2 - 4xy - 1 = 0 4) xy - y - x - 2 = 0 5) x2y - x2 - 4y = 0 Petunjuk Jawaban Latihan 1)
(0,18)
y = (x + 2) (x – 3)2
(-2,0)
2)
(3,0)
X
Y
y = (x + 2) (x – 3)2
X
3) Y
y=1 y2 - 4xy - 1 = 0
x=1
5.13
ESPA4112/MODUL 5
4) Y
xy - x - y - 2 = 0 y = -1
x = -1
5) Y
y=1 x2y- x2 – 4y = 0
x=2
RA NGK UMA N Dalam menggambar grafik suatu kurva perlu diperhatikan Titik penggal, Simetris, Asimtot, Faktorisasi. Titik penggal dengan sumbu x diperoleh dengan memasukkan y = 0. Titik penggal dengan sumbu y diperoleh dengan memasukkan x = 0. Grafik persamaan f(x,y) simetris terhadap: a. Sumbu x jika f(x,y) = f(x,-y) = 0 b. Sumbu y jika f(x,y) = f(-x,y) = 0 c. Titik origin jika f(x,y) = f(-x,-y) = 0 Batas nilai untuk variabel x dan y harus dicari sehingga dapat diketahui selang untuk variabel x dan y yang menyebabkan titik (x,y) mempunyai koordinat bilangan riil. Suatu kurva perlu diselidiki apakah mempunyai garis asimtot. Garis y = k adalah asimtot horisontal kurva y = f(x) bila y → k untuk x → ∞. Garis x = h adalah asimtot vertikal kurva
5.14
Matematika Ekonomi 1
y = f(x) bila x → h untuk y → ∞. Apabila f(x,y) = g(x,y) . h(x,y) = 0, maka grafik f(x,y) terdiri dari dua grafik yaitu g(x,y) dan h(x,y) = 0. TES FORMATIF 1 Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Batas kurva yang ditunjukkan oleh persamaan x 2 + y 2 =16 adalah …. A. y ≥ 4 atau y ≤ − 4 B. y ≥ − 4 atau y ≤ 4 C. x ≥ 4 atau x ≤ − 4 D. x ≥ − 4 atau x ≤ 4 2) Di bawah ini yang bkan titik penggal persamaan (x − 5)(x + 3) 2 adalah …. A. (0, -45 B. (0, -15) C. (5, 0) D. (-3, 0) 3) Suatu kurva yang ditunjukkan oleh persamaan adalah …. A. simetris terhadap sumbu x B. simetris terhadap sumbu y C. simetris terhadap origin D. simetris terhadap sumbu x dan origin
x3 + x 2 y − y + 5 = 0
5.15
ESPA4112/MODUL 5
4) Grafik dari persamaan 12 x 2 − 5 xy − 2 y 2 = 0 adalah …. A. y
3x – 2y = 0
x
4x + y B. 4x - y
3x – 2y 4 2 0
1
2
x
C. y
x 3x + 2y 4x + y
5.16
Matematika Ekonomi 1
D.
y
4x - y
3x + 2y
5) Titik penggal dari grafik persamaan y = x 3 + x 2 − 12x −12 adalah …. A. (3, 0), (-2,0), (0, 12) B. (-3, 0), (2, 0), (0, -12) C. (-3, 0), (-2, 0), (0, 12) D. (3, 0), (-2, 0), (0, -12) Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum dikuasai.
5.17
ESPA4112/MODUL 5
Kegiatan Belajar 2
Fungsi Kuadratik A. FUNGSI KUADRATIK Suatu persamaan kuadrat mungkin dapat berbentuk suatu lingkaran elips, parabola, hiperbola atau bentuk yang lain. Bentuk umum persamaan kuadratik: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana: A,B,C,D,E dan F adalah konstan dan paling tidak salah satu dari A,B dan C tidak bernilai sama dengan nol. Kurva yang menggambarkan persamaan di atas dapat diperoleh dengan mengiris dua buah kerucut dengan suatu bidang datar.
Parabola
Hiperbola
Elips
Lingkaran
Irisan yang didapat bisa berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Selain itu mungkin diperoleh pula bentuk-bentuk yang lebih khusus, yaitu dua garis lurus yang berpotongan dan dua buah garis sejajar. Dari persamaan kuadratik Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 dengan mudah dapat diketahui secara cepat apakah kurvanya berbentuk lingkaran, elips, parabola atau hiperbola. Jika B = 0 dan A = C, maka irisan berbentuk lingkaran. Jika B2 - 4 AC < 0, maka irisan berbentuk elips. Jika B2 - 4 AC = 0, maka irisan berbentuk parabola. Jika B2 - 4 AC > 0, maka irisan berbentuk hiperbola.
5.18
Matematika Ekonomi 1
Untuk kasus yang lebih khusus yaitu B = 0 dan paling tidak salah satu dari A dan C tidak bernilai nol, maka irisan kerucut bentuknya dapat diidentifikasi dengan menggunakan kriteria berikut ini: Jika A = C, maka irisan berbentuk lingkaran. Jika A=/ C, tetapi A dan C bertanda sama, maka irisan berbentuk elips. Jika A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak sama dengan nol bersama-sama, maka irisan berbentuk parabola. Jika A dan C tandanya tidak sama, maka irisan berbentuk hiperbola. 1.
Lingkaran Secara ilmu ukur, lingkaran didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jaraknya dari suatu titik tertentu tetap. Titik tertentu itu dinamakan pusat dan jarak titik-titik pada lingkaran ke pusat dinamakan jari-jari lingkaran. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah: Ax2 + Ay2 + Dx + Ey + F = 0 Persamaan di atas dapat dibawa ke bentuk: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 di mana (h,k) merupakan pusat lingkaran dan r adalah jari-jari. Gambar lingkaran tersebut adalah sebagai berikut: Y
(h,k)
X 0
Contoh 5.14: Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan: x2 - 4x + y2 = 0
5.19
ESPA4112/MODUL 5
Bentuk umum lingkaran: (x - h)2 + (y - k)2 = r2 x2 – 4x + y2 = 0 → ruas kiri dan kanan ditambah 4 x2 - 4x + 4 + y2 = 4 (x - 2)2 + (y - 0)2 = 22 Titik pusat (2,0), jari-jari = 2. Y
(2,0)
X
•
0
Contoh 5.15: Dari persamaan berikut tentukan bentuk standar dari lingkaran. Tentukan letak titik pusat dan jari-jari lingkarannya. x 2 + y 2 − 6x − 8y + 16 = 0 Bentuk umum lingkaran: (x − h) 2 + (y − k) 2 = r 2 (x 2 − 6x + 9) + (y 2 − 8y + 16) = − 16 + 9 + 16 (x − 3) 2 + (y − 4) 2 = 32 Titik pusat (3, 4), jari-jari = 3. 2.
Elips Secara ilmu ukur, elips didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya dari dua buah titik tetap. Kedua titik tersebut dinamakan fokus. Suatu elips dibagi secara simetris oleh dua sumbu yang berpotongan tegak lurus. Yang panjang dinamakan sumbu panjang dan yang pendek dinamakan sumbu pendek. Perpotongan kedua sumbu disebut pusat elips. Bentuk umum persamaan Elips adalah Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A, C, A dan C berlainan tanda. Persamaan Elips dapat ditulis dalam bentuk standar:
5.20
Matematika Ekonomi 1
(x - h ) 2 a2
+
(y - k ) 2 b2
=1
Pusat elips adalah (h,k) dan bila a > b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu x. Akan tetapi bila a < b, maka sumbu panjang sejajar dengan sumbu y. Sumbu panjangnya 2a dan sumbu pendeknya 2b. Sumbu panjang disebut jari-jari panjang dan sumbu pendek disebut jari-jari pendek. Contoh 5.16: Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan: 4x2 + 9y2 + 16x - 18y - 11 = 0 4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 11 + 16 + 9 4(x + 2)2 + 9(y - 1)2 = 36 (x + 2) 2 (y - 1) 2 + =1 9 4 Pusat elips (-2,1) Jari-jari panjang = 9 = 3 Jari-jari pendek = 4 = 2 Y
(2,1) X 0
Contoh 5.17: Tentukan pusat elips, jari-jari panjang dan pendek dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 9x2 + y2 + 36x + 2y + 28 = 0.
5.21
ESPA4112/MODUL 5
Bentuk umum persamaan elips: (x - h ) 2 (y - k ) 2 + =1 a2 b2 9(x2 + 4x + 4) + (y2 + 2y + 1) = -28 + 36 + 1 9(x + 2)2 + (y + 1)2 = 9 (x + 2) 2 (y + 1) 2 + =1 1 9 Pusat elips (-2, -1). Jari-jari panjang = 3 Jari-jari pendek = 1 Y
(-2,-1)
X
3.
Parabola Secara ilmu ukur, parabola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang datar yang jaraknya ke suatu titik dan ke suatu garis tertentu sama. Titik tersebut dinamakan fokus dan garisnya disebut "directrix". Suatu parabola simetris terhadap suatu garis yang disebut sumbu. Perpotongan sumbu parabola dengan parabola disebut dengan "vertex" parabola. Persamaan umum dari suatu parabola yang sumbunya sejajar sumbu y adalah: Ax2 + Dx + Ey + F = 0, Jika sumbunya sejajar sumbu x, persamaannya: Cy2 + Dx + Ey + F = 0,
Bentuk persamaan standar dari parabola adalah: (x - h)2 = 4p (y - k) di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbunya sejajar dengan sumbu y; atau (y - k)2 = 4p (x - h)
5.22
Matematika Ekonomi 1
di mana (h,k) adalah vertex parabola dan sumbu parabola sejajar dengan sumbu x, sedang p adalah parameter yang tanda serta besarnya menentukan keadaan bentuk parabola. Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu y: Jika p < 0, maka parabola terbuka ke bawah. Jika p > 0, maka parabola terbuka ke atas. Untuk parabola yang sumbunya sejajar dengan sumbu x: Jika p < 0, maka parabola terbuka di sebelah kiri. Jika p > 0, maka parabola terbuka di sebelah kanan. Besarnya jarak antara titik fokus dan garis directrix adalah 2p. Apabila nilai p semakin besar, maka parabola semakin cepat membuka. Bagian-bagian parabola dapat Anda perhatikan pada gambar berikut. Y
directrix
fokus vertex sumbu 2p 0
Contoh 5.18: Jadikan bentuk standar persamaan parabola: x2 - 4x + 4y + 16 = 0 dan tentukan vertexnya. Bentuk standar parabola: = 4p(y - k) (x - h)2 2 x - 4x + 4y + 16 =0 = -4y - 16 + 4 x2 - 4x + 4
X
5.23
ESPA4112/MODUL 5
(x - 2)2 = -4 (y + 3) Jadi parabola mempunyai vertex (2, -3); p = -1; sumbu sejajar dengan sumbu y dan parabola terbuka ke bawah. Y 0
X
x2 - 4x + 4y + 16 = 0
4.
Hiperbola Secara ilmu ukur hiperbola didefinisikan sebagai tempat kedudukan titik-titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu besarnya tetap. Hiperbola mempunyai dua sumbu yang membagi dua hiperbola secara simetris dan yang memotong hiperbola disebut sumbu "transverse". Pada suatu hiperbola terdapat dua buah garis asimtot yang saling berpotongan. Titik potongnya disebut pusat hiperbola. Bentuk umum persamaan hiperbola yaitu Ax2 + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 di mana A dan C berlawanan tanda. Persamaan tersebut dapat dijadikan bentuk standar untuk hiperbola.
( x − h )2 ( y − k )2 a2
+
b2
= 1 atau
( y − k )2 ( x − h )2 b2
+
a2
=1
di mana (h,k) adalah pusat hiperbola dan sumbu transverse sejajar dengan sumbu x. Asimtot ditunjukkan oleh persamaan: x−h y−k =± a b Bila a = b, maka kedua asimtot berpotongan tegak lurus.
5.24
Matematika Ekonomi 1
Contoh 5.19: Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtotnya bila diketahui persamaan hiperbola adalah 9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0.
Bentuk umum persamaan hiperbola: (x - h ) 2 (y - k ) 2 (y - k ) 2 (x - h ) 2 atau + = 1 =1 a2 b2 b2 a2 9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0 9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16 9(x - 1)2 - 4(y + 2)2 = 36 (x - 1) 2 (y + 2) 2 + =1 4 9 Jadi titik pusat hiperbola (1,-2), a = 2, b = 3. Sumbu transverse sejajar dengan sumbu x. Persamaan asimtot: x−h y−k =± a b x −1 y+2 =± 2 3 3x - 3 = ±(2y + 4) Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau 3x - 2y - 7 = 0
Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau 3x + 2y + 1 = 0
5.25
ESPA4112/MODUL 5
Y
0
X
9x2 - 4y2 - 18x - 16y - 43 = 0
Telah disebutkan bila a = b, maka asimtot hiperbola akan saling berpotongan tegak lurus. Apabila asimtot hiperbola sejajar dengan sumbu x dan sumbu y, maka bentuk persamaan standar hiperbola menjadi: (x - h) (y - k) = c di mana (h,k) merupakan pusat hiperbola, x = h dan y = k merupakan asimtotnya. Hal ini merupakan keadaan yang khusus dari hiperbola karena dari Ax2 + bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0, nilai A = C = 0 dan 0. Bila asimtot hiperbola berimpit dengan sumbu x dan sumbu y, maka bentuk persamaan hiperbola menjadi xy = c. Ini merupakan bentuk yang lebih khusus lagi dari hiperbola karena h = k = 0 dan persamaan (x - h)(y k) = c. Jenis hiperbola xy = C ini mempunyai titik pusat yang berimpit dengan origin. Bila C > 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran I dan III dan bila C < 0, maka kurva hiperbola terletak pada kuadran II dan IV. Persamaan xy = C menunjukkan hubungan kebalikan yang proporsional antara x dan y yaitu bila suatu variabel nilainya bertambah besar, maka yang lain akan turun nilainya secara proporsional. Suatu variabel y merupakan kebalikan secara proporsional dengan variabel x apabila ada konstanta C sedemikian rupa sehingga: C atau xy = C y= X Dengan definisi tersebut di atas, secara umum dapat pula dikatakan bahwa variabel y merupakan kebalikan secara proporsional dengan variabel x berpangkat bilangan positif, jika ada konstanta C sedemikian rupa sehingga:
5.26
Matematika Ekonomi 1
y=
C n
atau xny = C
X Hiperbola ini mempunyai pusat di origin dengan asimtot yang berimpit dengan sumbu x dan y dan disebut hiperbola Fermat. Apabila n merupakan bilangan ganjil dan C > 0, maka hiperbola terletak di kuadran I dan III pada sistim sumbu koordinat. Akan tetapi jika C < 0, maka hiperbola terletak di kuadran II dan IV. Persamaan XnY = C, bila dengan n yang nilainya genap, maka hiperbola terletak di kuadran I dan II untuk C > 0 dan terletak di kuadran III dan IV untuk C < 0. Akan tetapi untuk persamaan XYm = C dan m bernilai genap sedangkan C > 0, maka kurva akan terletak pada kuadran I dan IV dan bila C < 0, maka kurva berada kuadran II dan III.
Contoh 5.20: Gambarkan persamaan x(y - 1) = - 2 Titik pusat: (0,1); Asimtot: x = 0 dan y = 1 Y
y =1 0
X x(y - 1) = -2
L A TIH A N
Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut! 1) x2 +y2 -6x -2y -6 = 0 2) xy -4y = 4 3) x2 +9y2 -8x +7 = 0
5.27
ESPA4112/MODUL 5
4) y2 - 4x2 -4y +4 = 0 5) y2 -2y -8x +25 = 0 Petunjuk Jawaban Latihan
1) Lingkaran dengan bentuk standarnya (x – 3)2 + (y – 1)2 = 4 Y
(3,1)
X
0
2) Hiperbola dengan bentuk standarnya (x – 4) + (y – 0) = 4 Y
0
X
xy – 4y = 4
x =4
5.28
Matematika Ekonomi 1
3) Elips dengan titik pusat (4,1); jari panjang 3 dan pendek 1
Y
(3,1) X 0
4) Hiperbola dengan bentuk standarnya (y – 4) + (x – 0) = -4 Y
y =4
0
X
5) Parabola, dengan persamaan (y – 1)2 = 8 (x – 3) Y
y2 -2y -8x +25 = 0
(3,1)
0
X
ESPA4112/MODUL 5
5.29
RA NGK UMA N
Bentuk umum fungsi kuadratik adalah: Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0 Bentuk irisan kerucut untuk: B = 0 dan A = C adalah lingkaran B2 - 4AC < 0 adalah elips B2 - 4AC = 0 adalah parabola B2 - 4AC > 0 adalah hiperbola Bila B = 0, maka irisan kerucut untuk: A = C adalah lingkaran A ≠ C tetapi A dan C tandanya sama, adalah elips A = 0 atau C = 0 akan tetapi tidak nol bersama-sama adalah parabola A dan C tandanya tidak sama adalah hiperbola Bentuk-bentuk standar untuk: Lingkaran : (x - h)2 + (y - k)2 = r2 (x - h ) 2 (y - k ) 2 + =1 Elips : a2 b2 Parabola : (y - k)2 = 4p (x - h) atau (x - h)2 = 4p (y - k) (x - h ) 2 (y - k ) 2 − =1 Hiperbola : a2 b2 TES FORMATIF 2
Pilihlah satu jawaban yang paling tepat! 1) Titik pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan lingkaran 2 2 x + y + 8x − 10y + 32 = 0 adalah…. A. titik pusat (4, 5) jari-jari = 3 B. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 3 C. titik pusat (-4, 5), jari-jari = 4 D. titik pusat (5, -4), jari-jari = 4. 2) Jari-jari panjang dari elips yang ditunjukkan oleh persamaan 9x 2 + 4y 2 − 90x − 32y + 253 = 0 adalah …. A. 9 B. 4 C. 3
5.30
Matematika Ekonomi 1
D. 2 3) Pernyataan di bawah ini yang benar untuk parabola dengan persamaan y 2 − 10y + 8x + 1 = 0 adalah …. A. parabola terbuka ke bawah, vertex = (3, 5) B. parabola terbuka ke bawah, vertex = (-5, 3) C. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (5, 3) D. parabola terbuka di sebelah kiri, vertex = (-3, 5) 4) Diketahui hiperbola dengan persamaan 9x 2 − y 2 − 36x + 10y + 2 = 0 . Persamaan asimtot hiperbola itu adalah …. A. 3x – y = 1 dan x + 3y = 11 B. 3x + y = 1 dan 3x – y = 11 C. 3x + y = 11 dan x – 3y = 1 D. 3x – y = 1 dan 3x + y = 11 5) Bentuk kurva dari persamaan x 2 − 9y 2 − 14x + 36y + 4 = 0 A. lingkaran B. elips C. parabola D. hiperbola
adalah ….
Cocokkanlah jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul ini. Hitunglah jawaban yang benar. Kemudian, gunakan rumus berikut untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.
Tingkat penguasaan =
Jumlah Jawaban yang Benar
× 100%
Jumlah Soal
Arti tingkat penguasaan: 90 - 100% = baik sekali 80 - 89% = baik 70 - 79% = cukup < 70% = kurang
ESPA4112/MODUL 5
5.31
Apabila mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar 3. Bagus! Jika masih di bawah 80%, Anda harus mengulangi materi Kegiatan Belajar 2, terutama bagian yang belum dikuasai.
5.32
Matematika Ekonomi 1
Kunci Jawaban Tes Formatif Tes Formatif 1 1) C 2) B 3) C 4) A 5) D
Tes Formatif 2 1) B 2) C 3) A 4) D 5) D
ESPA4112/MODUL 5
5.33
Daftar Pustaka Baldani, Jeffrey, James Bradfield and Robert Turner. (1996). Mathematical Economics, The Dryden Press, Harcourt Brace College Publisher. Haeussler, Ernest F. and Richard S. Paul. (1996). Introductory Mathematical Analysis for Business Economics, and The Life and Social Sciences, Eighth Edition, Prentice Hall International Inc. Hoy, Michael, John Livernois, Chris McKenna, Ray Rees and Thanasis Stengos. (1996). Mathematics for Economics, Addison-Wesley Publisher Limited, Jacques, Ian. (1995). Mathematics for Economics and Business, Second Edition, Addison-Wesley Publishing Company. Silberberg, Eugene and Wing Suen. (2001). The Structure of Economics a Mathematical Analysis, Irwin McGraw-Hill. Kembali ke Daftar Isi
