FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA Skripsi untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat Sarjana S-1
Program Studi Matematika
diajukan oleh Slamet Mugiyono 05610038
Kepada
PROGRAM STUDI MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UIN SUNAN KALIJAGA YOGYAKARTA 2011
ii
iii
iv
v
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penelitian dalam skripsi ini dapat terselesaikan. Shalawat dan salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW sebagai suri tauladan bagi umat Islam. Penyusunan skripsi ini dimaksudkan untuk memenuhi salah satu persyaratan untuk memperoleh gelar sarjana Program Studi Matematika. Skripsi ini berisi tentang pembahasan mengenai Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Biasa. Penyusunan skripsi ini mendapat bantuan dari berbagai pihak. Ucapan terima kasih disampaikan sebesar-besarnya kepada: 1. Ibu, Bapak dan Keluargaku atas pengertian, bantuan, dan dukungannya sehingga penyusunan skripsi ini dapat selesai. 2. Bapak Prof. Drs. H. Akh. Minhaji, M.A, Ph.D selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 3. Ibu Sri Utami Zuliana, M. Si selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta. 4. Bapak Yudi Ari Adi, M.Si dan Bapak Sugiyanta, M.Si selaku dosen pembimbing I dan II yang telah meluangkan waktu memberikan bimbingan, arahan, bantuan, dan ilmu dalam menyelesaikan skripsi ini. 5. Bapak/Ibu Dosen dan Staf Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta atas ilmu, bimbingan dan pelayanan selama perkuliahan dan penyusunan skripsi ini selesai.
vi
6. Saudara Burhanuddin Arif Nur Nugroho S.Si, terima kasih atas ilmu, bantuan, waktunya dan dukungan selama ini. 7. All My Best Friends, Arif, Herman, Mahrus, Ima, Adit, Lukman, Raudak, Novandi, Idi, Sus, Indah, Anisyah, Minal, Desi, Desti, Lita dan teman-teman Matematika angkatan 2005 lainnya yang telah memberi warna, bantuan dan dukungan selama ini. 8. Teman-teman MAN Godean , Nuryadi, Joko, Supri, Tahmid, dan Agus, terima kasih atas doa’ dan dukungannya selama ini. 9. Teman-teman komunitas Anime Lovers dimana saja, terima kasih atas semangat dan motivasinya selama ini. 10. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu yang telah membantu dalam penyusunan skripsi ini. Penulis menyadari bahwa penyusunan skripsi ini masih banyak kekurangan dan kesalahan. Namun demikian, penulis berharap semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak. Yogyakarta, 21 Januari 2011 Penulis
Slamet Mugiyono 05610038
vii
PERSEMBAHAN
Skripsi ini penulis persembahkan kepada:
Ibu
dan
Bapakku
yang
telah
membesarkanku,
mendidik,
dan
mendoakanku
Para Guru yang telah ikut mendidik dan memberikan ilmunya kepadaku
Almamater Prodi Matematika Fakultas Sains & Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta.
viii
MOTTO
” Kemampuan manusia itu ada batasnya, akan tetapi usaha manusia tidak ada batasnya, asalkan kemungkinannya tidak 0%, maka masih terlalu cepat untuk menyerah”. (Hiruma Yoroichi).
”Jangan pernah mengejar kesuksesan, kejarlah kesempurnaan. Maka kesuksesan akan mendatangimu”. (Amir Khan).
ix
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL ................................................................................. i HALAMAN PENGESAHAN .................................................................... ii HALAMAN SURAT PERSETUJUAN SKRIPSI ...................................... iii HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN SKRIPSI ................................ v HALAMAN MOTTO ................................................................................ vi HALAMAN PERSEMBAHAN ................................................................. vii ABSTRAK ................................................................................................ viii KATA PENGANTAR ............................................................................... ix DAFTAR ISI ............................................................................................. xi DAFTAR SIMBOL ................................................................................... xii BAB I. PENDAHULUAN ....................................................................... 1 1.1. Latar Balakang ..................................................................... 1 1.2. Batasan Masalah ................................................................... 2 1.3. Rumusan Masalah................................................................. 3 1.4. Tujuan Penelitian .................................................................. 3 1.5. Manfaat Penelitian ................................................................ 3 1.6. Tinjauan Pustaka .................................................................. 4 1.7. Metode Penelitian ................................................................ 4 BAB II DASAR TEORI............................................................................ 5 2.1. Sistem Persamaan Linier ........................................................ 5 2.2. Ekspansi Kofaktor ................................................................. 7 2.3. Persamaan Diferensial ........................................................... 14
x
2.4. Fungsi Dirac Delta ................................................................. 21 2.5. Transformasi Laplace ............................................................ 24 2.5.1. Sifat-sifat tranformasi Laplace ..................................... 24 2.5.2. Tranformasi Laplace fungsi Heaviside ......................... 26 2.5.3. Transformasi Laplace fungsi Dirac Delta ..................... 26 2.5.4. Beberapa teorema yang digunakan dalam transformasi Laplace ....................................................................... 27 2.5.5. Transformasi Laplace invers ........................................ 29 2.5.6. Konvolusi .................................................................... 31 2.5.7. Tabel transformasi Laplace dari beberapa fungsi ......... 32 2.5.8. Aplikasi transformasi Laplace dalam Persamaan Diferrensial Biasa ....................................................... 36 BAB III FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFFERENSIAL BIASA ......................................................................................... 41 3.1. Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen Orde-n Melalui Transformasi Laplace .................................... 41 3.2. Fungsi Green pada Persamaan Diferensial Linier Tak Homogen Orde-n Melalui Metode Variasi Parameter ............................. 49 BAB IV PENUTUP ................................................................................... 58 4.1. Kesimpulan ............................................................................ 58 4.2. Saran ...................................................................................... 59 DAFTAR PUSTAKA ................................................................................ 60 LAMPIRAN-LAMPIRAN
xi
DAFTAR SIMBOL
=
Delta
=
Lamda
=
Phi
=
Chi
=
Tau
e
=
Exponensial
=
Tak berhingga
y t
=
Nilai fungsi f pada t
g t
=
Nilai fungsi g pada t
y' t
=
Nilai turunan fungsi y pada t
a, b
=
Interval tertutup dari a ke b
=
Interval terbuka dari a ke b
=
Limit f x menuju L untuk x mendekati
a, b lim f x L x c
c t
f x dx
=
Integral fungsi f dari 0 ke t
=
Fungsi Dirac Delta dengan titik singular
0
t
. Y s
=
Transformasi Laplace dari y t
F s
=
Transformasi Laplace dari f t
g t
=
Fungsi Green
Gs
=
Transformasi Laplace dari g t yang dipengaruhi oleh
H t
=
Fungsi Heaviside
xii
FUNGSI GREEN PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL BIASA
ABSTRAK SLAMET MUGIYONO 05610038 Persamaan diferensial yang memiliki satu variabel bebas dinamakan persamaan diferensial biasa. Persamaan diferensial biasa dapat diselesaikan dengan beberapa metode penyelesaian salah satunya adalah metode fungsi Green. Skripsi ini membahas cara mencari solusi dari persamaan diferensial biasa khususnya persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan menggunakan metode fungsi Green. Metode fungsi Green yang digunakan untuk mencari solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan dalam skripsi ini dibagi menjadi dua pembahasan yaitu: Metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan metode fungsi Green melalui metode variasi parameter. Metode fungsi Green melalui transformasi Laplace yaitu: (1) Menggubah f t pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan menjadi suatu fungsi Dirac delta t . (2) MentransformasiLaplacekan kedua ruas persamaan diferensial tak homogen tersebut. (3) Mentransformasi-Laplace invers persamaan diferensial tak homogen yang sudah ditransformasi Laplace dan didapatkan fungsi Green g t . (4) Solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n didapatkan dengan mengintegralkan fungsi Green g t dikalikan dengan f terhadap dengan batas bawah 0 dan t
batas atas t, jadi y t g t f d . 0
Metode fungsi Green melalui metode variasi parameter yaitu: (1) Menentukan solusi umum persamaan diferensial homogennya yc t . (2) Memisalkan y p t dengan menggantikan konstanta c1 , c2 ,, cn dengan u1 t , u2 t ,, u t n . (3) Menentukan nilai uk' t dengan menggunakan aturan Cramer. (4) Menentukan
uk t dengan mengintegralkan uk' t terhadap x dengan batas atas t dan batas
bawah t0 . (5) Mensubstitusikan uk t ke dalam y p t sehingga diperoleh fungsi
Green g t x . (6) Solusi persamaan diferensial linier tak homogen orde-n t
y t yc t g t x f x dx . t0
xiii
Hasil dari penyelesaian menggunakan metode fungsi Green dengan cara manual sama dengan hasilnya dengan menggunakan metode fungsi Green dalam program maple.
Kata kunci : Persamaan diferensial, fungsi Green, transfomasi Laplace, metode variasi parameter, syarat awal.
xiv
1
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar belakang masalah Matematika adalah salah satu ilmu pengetahuan yang mengalami perkembangan seiring dengan perkembangan ilmu pengetahuan lainnya. Matematika mempunyai peranan penting untuk ilmu pengetahuan lain seperti, fisika, biologi, kimia, ekonomi, tata surya dan lain-lain. Salah satu ilmu matematika yang mempunyai peranan penting dengan ilmu pengetahuan lainnya adalah persamaan diferensial. Menurut peubah bebasnya,
persamaan diferensial dibagi menjadi 2, yaitu: persamaan
diferensial yang memuat satu peubah bebas dinamakan persamaan differensial biasa (PDB) dan persamaan diferensial yang memuat dua atau lebih peubah bebas dinamakan persamaan diferensial parsial (PDP). Persamaan diferensial biasa atau sering disebut persamaan diferensial dapat dibagi menurut kelinieran, orde, dan koefisiennya. Persamaan diferensial yang akan dibahas dalam skripsi ini adalah persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan. Persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan sering kali diselesaikan dengan beberapa metode penyelesaian, antara lain: metode koefisien taktentu, metode invers operator, penyelesaian dengan ekspansi Eigen. Selain metode-metode penyelesaian tersebut, masih ada cara lain untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen
2
orde-n dengan koefisien konstan, yaitu metode fungsi Green. Metode fungsi Green adalah metode penyelesaian yang dalam proses menemukan penyelesaian suatu persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan, terlebih dahulu ditentukan nilai fungsi Green dari suatu persamaan diferensial tersebut. Nilai fungsi Green dapat ditemukan dengan metode transformasi Fourier, transformasi Laplace, dan variasi parameter. Dalam buku yang berjudul ”Green Function and Applications” dan Jurnal Integral yang
berjudul ”Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan
Diferensial Linier Orde-n” terdapat beberapa langkah yang belum dituliskan khususnya fungsi Green pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan melalui tranformasi Laplace dan metode variasi parameter, sehingga memotivasi penulis untuk mencoba melengkapi dan menjelaskan kepada pembaca mengenai metode fungsi Green dalam penyelesaian suatu persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan melalui transformasi Laplace dan metode variasi parameter.
1.2
Batasan masalah Mengingat keterbatasan kemampuan penulis, maka pembahasan akan difokuskan pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan yang diselesaikan dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan variasi parameter.
3
1.3
Rumusan masalah Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, maka dapat dirumuskan permasalahan sebagai berikut: 1. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace? 2. Bagaimana cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green melalui variasi parameter?
1.4
Tujuan penelitian Berikut adalah tujuan penelitian: 1. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace. 2. Mengetahui cara menyelesaikan persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green melalui variasi parameter.
1.5 Manfaat penelitian 1. Dapat
memberikan gambaran dan penjelasan bagi mahasiswa,
khususnya mahasiswa matematika mengenai penyelesaian permasalahan
4
persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan menggunakan metode fungsi Green.
1.6
Tinjauan pustaka Tinjauan pustaka dalam penulisan skripsi ini adalah 1. Buku yang berjudul ”Green Fuctions and Applications” ditulis oleh Dean . G Duffy, 2001. Buku ini menjelaskan penyelesaian persamaan diferensial
menggunakan metode fungsi Green melalui transformasi
Laplace. 2. Jurnal yang berjudul “Mengkonstruksikan Fungsi Green Persamaan Diferensial Linier Orde-n” ditulis oleh Iwan Sugiarto, menjelaskan
bahwa
melalui
metode
variasi
2002. Jurnal ini parameter
dapat
dikonstruksikan fungsi Green suatu persamaan diferensial linier orde-n sehingga didapatkan suatu penyelesian persamaan diferensial untuk f sebarang. Dalam kedua tinjauan pustaka di atas masih terdapat beberapa langkah yang belum dituliskan secara detail, sehingga memotivasi penulis untuk berusaha melengkapi dan menjelaskan secara detail.
1.7
Metode penelitian Jenis penelitian yang digunakan adalah penelitian studi literatur. Sumber data yang digunakan dalam skripsi ini adalah sumber-sumber tertulis yang berupa buku maupun penelitian lain yang dapat mendukung skripsi ini.
59
BAB IV PENUTUP
4.1 Kesimpulan Berdasarkan pembahasan yang telah diuraikan dari bab I sampai III, maka dapat menyimpulkan beberapa hal sebagai berikut: 1. Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace
a0
dny d n1 y dy a an1 an y f t 1 n n 1 dt dt dt
dengan syarat awal y t y ' t y
n 2
t 0,
dan y
n 1
t 1 .
t
y t g t f d . 0
2. Penyelesaian persamaan diferensial linier tak homogen dengan koefisien konstan dengan metode fungsi Green melalui variasi parameter.
a0
dny d n1 y dy a an1 an y f t adalah 1 n n 1 dt dt dt t
y t yc t g t x f x dx t0
3. Hasil dari penghitungan manual dan menggunakan program maple penyelesian persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan metode fungsi Green melalui transformasi Laplace dan variasi parameter adalah sama.
60
4.2 Saran Fungsi Green yang dibahas pada penelitian ini adalah Fungsi Green pada persamaan diferensial linier tak homogen orde-n dengan koefisien konstan, dimana untuk menemukan nilai fungsi Green dari suatu persamaan diferensial digunakan metode transformasi Laplace, dan metode variasi parameter. Penulis berharap, ada pembaca yang memiliki ketertarikan untuk mencoba membahas fungsi Green pada persamaan diferensial parsial menggunakan metode transformasi transformasi Fourier dan metode pemisah peubah.
61
DAFTAR PUSTAKA Anton, Howard., 1987, “ Aljabar Linier Elementer”, Bandung: Erlangga. Duffy, D.F., 2001, ”Green’s Functions with Applications”, USA: Chapman & Hall/CRC Press. Duffy, D.F., 1998, “Advanced Engineering Mathematics”, USA: CRC Press. Kartono, 2001, ” Maple untuk Persamaan Diferensial”, Yogyakarta: J & J Learning Yogyakarta. Kartono, 1994, “ Penuntun Belajar Persamaan Diferensial”, Yogyakarta: Andi Offset. Purwanto, H., 2005, ” Aljabar Linier”, Jakarta Pusat: PT. Ercontara Rajawali. Soemartojo, N., 1987, ” Kalkulus Lanjutan”, Jakarta: UI-Press. Sugiarto, I., 2002, ” Mengkonstruksi Fungsi Green Persamaan Diferensial Linier Orde-n”, Jurnal Integral, Vol. 7 no 1, April 2002.
62
LAMPIRAN
Penyelesaian Persamaan Diferensial dengan Program Maple Contoh 3.1.1 >
Contoh 3.1.2 >
63
Contoh 3.2.1 >
64
65
Jadi solusi umum persamaan ini adalah >
Contoh 3.2.2 : >
66
