FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE

ˇ ´ VYSOKE ´ UCEN ˇ ´ ´ V PRAZE CESK E I TECHNICKE ´ FAKULTA ELEKTROTECHNICKA ´ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKEHO POLE

´ RSK ˇ ´ PRACE ´ BAKALA A Mod´ aln´ı anal´ yza mikrop´ askov´ ych patch ant´ en

ˇ Vypracoval: Miloslav Capek Vedouc´ı práce: Ing. Pavel Hazdra

ˇ e Budˇejovice 2007 Cesk´

i

Zad´ an´ı Seznamte se s dutinov´ ym modelem pouˇz´ıvan´ ym pro anal´ yzu mikropáskov´ ych patch antén. Implementujte tento model (napˇr. v MATLABu) a propojte ho se stávaj´ıc´ım fraktálov´ ym IFS generátorem. Zamˇeˇrte se na modáln´ı vlastnosti vybran´ ych fraktálov´ ych patch antén, stanovte rezonanˇcn´ı frekvence a rozloˇzen´ı proudové hustoty. Navrhnˇete moˇznosti propojen´ı dutinového modelu a IFS generátoru s optimalizaˇcn´ı smyˇckou (napˇr. GA toolbox v MATLABu) pro minimalizaci rezonanˇcn´ı frekvence základn´ıho modu.

ii

Podˇ ekov´ an´ı Velk´ y d´ık patˇr´ı vedouc´ımu práce panu Ing. Pavlu Hazdrovi za poskytnut´ı odborné literatury a dalˇs´ıch materiál˚ u a za poˇcáteˇcn´ı osvˇetlen´ı problematiky, stejnˇe tak jako za motivaci a cenné rady bˇehem celého semestru, ve kterém tato práce vznikala. Dále bych chtˇel podˇekovat Ing. Pavlu Tiˇsnovskému za moˇznost nahlédnout do jeho práce a Mgr. Janˇe Königsmarkové za proveden´ı korektur.

iii

Prohl´ aˇ sen´ı T´ımto stvrzuji, ˇze tato práce je mé vlastn´ı d´ılo a ˇze vˇsechny pouˇzité zdroje jsou uvedeny v Literatuˇre (pˇr´ıpadnˇe na datovém nosiˇci). Dále souhlas´ım s pˇr´ıpadn´ ym vyuˇzit´ım mé práce pro nekomerˇcn´ı u ´ˇcely Katedry Elekromagnetického pole na ˇ FEL-CVUT.

ˇ ych Budˇejovic´ıch dne 16. 7. 2007. V Cesk´

iv

Abstrakt C´ılem projektu je návrh a realizace funkˇcn´ıho generátoru a analyzátoru IFS fraktáln´ıch patch antén. Prvn´ı polovina práce se zab´ yvá popisem a realizac´ı vlastn´ı geometrie antény bez nutné znalosti specifik anténn´ı techniky. Jsou zde pˇredstaveny druhy fraktál˚ u a podm´ınky jejich vzniku, maticová podoba a realizace v programu MatLab. Vyuˇzit´ı MatLabu a variabiln´ıho vstupu, kter´ y kontroluje uˇzivatel, umoˇzn ˇuje vznik r˚ uznorod´ ych struktur. Jejich presentac´ı práce pokraˇcuje. Druhá polovina textu uvád´ı r˚ uzné pˇr´ıstupy k anal´ yze mikropáskov´ ych patch antén. Jedna z tˇechto metod – dutinov´ y model – je vybrána a realizována pomoc´ı PDE toolboxu a podrobnˇe popsan´ ych podp˚ urn´ ych program˚ u. Na závˇer je spolu s konkrétn´ımi v´ ysledky uvedeno nˇekolik návrh˚ u, jak práci v budoucnu vylepˇsit a rozˇs´ıˇrit. Velk´ y potenciál pˇredstavuje optimalizaˇcn´ı algoritmus (GA pˇr´ıpadnˇe PSO) ˇci propojen´ı s extern´ım a pˇresnˇejˇs´ım simulaˇcn´ım softwarem (FemLab); i tˇemto eventualitám je vˇenován dostateˇcn´ y prostor.

Kl´ıˇ cov´ a slova Fraktál, IFS, dutinov´ y model, Neumannova hraniˇcn´ı podm´ınka, PDE, rezonanˇcn´ı frekvence, proudové rozloˇzen´ı, módy, genetick´ y algoritmus.

v

Abstract The aim of this project is a design and an implementation of IFS fractal patch antenna’s functional generator and analyzer. The first half of the thesis works with a description and an implementation of antenna’s own geometry without any necessary knowledge of the antenna technique specifics. It introduces kinds of fractals and terms of their creation, a matrix form and an implementation in the MatLab programme. The usage of MatLab and flexible input, which is under user’s control, enables an inception of varied structures. The thesis then carries on with their presentation. The second part of the itroduces various approaches to the microstrip patch antenna’s analysis. One of these methods, cavity model, is selected and carried out by PDE toolbox and in detail described supporting programmes. In conclusion along with particular outcomes there are presented several proposals of how to improve and extend the work in future. There is a great potential in optimization algorithm (GA eventually PSO) or interconnection with an external and more accurate simulation software (FEMLAB): a sufficient space is given even to these contingencies.

Keywords Fractal, IFS, cavity model, Neumann condition, PDE, resonant frequency, current distribution, modes, genetical algorithm.

vi

Pˇ redmluva S pojmem fraktál jsem se poprvé setkal pˇred lety v knize B. B. Mandelbrota [5], s term´ınem rezonanˇcn´ı frekvence a anténa na stˇredn´ı pr˚ umyslové ˇskole, s názvem MATLAB aˇz na ˇskole vysoké, zkratka PDE se do toho vˇseho pˇripletla pˇr´ımo pˇri psan´ı Semestráln´ıho projektu, GA pˇri psan´ı Bakaláˇrské práce a PSO vlastnˇe u ´plnˇe náhodou . . . Vˇsechny tyto pojmy zasahuj´ı do technické praxe. V jejich vzájemné propojen´ı v jeden program, jeˇz obsahuje des´ıtky tˇr´ıd a postupem ˇcasu zaˇc´ıná ˇz´ıt vlastn´ım ˇzivotem bez vnˇejˇs´ıho pˇrispˇen´ı autora, jsem nikdy nedoufal. Tato práce tak skuteˇcnˇe poslouˇzila svému u ´ˇcelu v mnoha aspektech. Mimo jiné ukázala, jak tˇeˇzké je realizovat technick´ y projekt od poˇcáteˇcn´ı ideje po závˇereˇcnou zprávu. Posouzen´ı nakolik u ´spˇeˇsn´ y tento proces byl z˚ ustane na ˇctenáˇri následuj´ıc´ıch stránek. Je fascinuj´ıc´ı sledovat, jak vˇsechny entity fraktáln´ı povahy vykazuj´ı stejnou mnoˇzinu vlastnost´ı. Skrze tyto vlastnosti lze do znaˇcné m´ıry pˇredv´ıdat jejich chován´ı a nalézat neˇcekané analogie napˇr´ıˇc rozliˇcn´ ymi obory. V tomto kontextu nen´ı moudré pˇristupovat k fraktáln´ım anténám jako k izolovanému problému a naprosto se uzavˇr´ıt podnˇet˚ um z jin´ ych vˇedn´ıch obor˚ u. Striktn´ım zamˇeˇren´ım se na jedinou u ´zce specializovanou oblast se uzav´ıraj´ı dveˇre k ˇreˇsen´ı podobn´ ych problém˚ u znám´ ych jin´ ym odvˇetv´ım techniky. A právˇe tato universálnost a jist´ y pansofick´ y“ ” nádech jsou nejvˇetˇs´ım tajemstv´ım fraktál˚ u, které p˚ usob´ı i na autora této práce.

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Koncepce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Konspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2

2 Historie, vznik a v´ yvoj frakt´ al˚ u

3

3 Teorie frakt´ al˚ u 3.1 Definice fraktálu . . . . . . . . . . . 3.2 Topologická a Hausdorffova dimenze 3.3 Sobˇepodobnost, sobˇepˇr´ıbuznost . . . 3.4 Ukázky základn´ıch fraktál˚ u . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 . 6 . 7 . 10 . 11

4 Rozdˇ elen´ı frakt´ al˚ u 4.1 L-systémy . . . . . . . . . . . 4.2 Systém iterovan´ ych funkc´ı IFS 4.3 Dynamické systémy . . . . . . 4.4 Nepravidelné fraktály . . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

17 17 18 18 20

. . . . . . . . . . pokryt´ı . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

21 22 22 23 24 28

. . . .

30 31 35 36 39

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

5 Teorie generace IFS 5.1 Základn´ı pojmy . . . . . . . . . . . . 5.2 Pevn´ y bod, kontraktivn´ı zobrazen´ı . 5.3 Hutchison˚ uv operátor, mnoˇzina bod˚ u, 5.4 Transformace . . . . . . . . . . . . . 5.5 Zkrácená matice transformace . . . . 6 Gener´ ator IFS v MATLABu 6.1 GUI . . . . . . . . . . . . . 6.2 Export . . . . . . . . . . . . 6.3 Pˇr´ıklady generace . . . . . . ˇ 6.4 Casov´ a nároˇcnost . . . . . .

. . . .

. . . .

vii

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

OBSAH 6.5

viii Moˇzná vylepˇsen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

7 Mikrop´ askov´ e patch ant´ eny 42 7.1 Princip ˇcinnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 7.2 Napájen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 7.3 Parametry patch antén . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 8 Anal´ yza patch ant´ en 8.1 Dutinov´ y (Cavity) model 8.2 Veden´ı . . . . . . . . . . 8.3 MoM . . . . . . . . . . . 8.4 FEM . . . . . . . . . . . 8.5 FD . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

9 PDE analyz´ ator m´ od˚ u v MatLabu 9.1 Dutinov´ y model v MatLabu . . . 9.2 Optimalizaˇcn´ı smyˇcka . . . . . . . 9.3 GUI . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Analyzované vzorky . . . . . . . . 9.5 Nepˇresnosti, vylepˇsen´ı . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

52 53 55 55 55 55

. . . . .

57 57 60 60 61 62

10 Zhodnocen´ı dosaˇ zen´ ych v´ ysledk˚ u 63 10.1 Rezonanˇcn´ı frekvence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 10.2 Studie proudového rozloˇzen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 ´ cinek ˇstˇerbin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 10.3 Uˇ 11 Optimalizaˇ cn´ı algoritmy, moˇ zn´ e vylepˇ sen´ı IFS + PDE 11.1 Potˇreba globáln´ı optimalizace 11.2 GA . . . . . . . . . . . . . . . 11.3 PSO . . . . . . . . . . . . . . 11.4 ACO . . . . . . . . . . . . . . 11.5 GSO . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

74 74 75 76 77 78

12 Z´ avˇ er

79

13 Pˇ r´ılohy 13.1 Dodatek A - Seznam a popis funkc´ı . . . 13.1.1 Koˇrenov´ y adresáˇr IFS-PDE-CM: 13.1.2 Sloˇzka Fractal Engine . . . . . . . 13.1.3 Sloˇzka Fractal GUI . . . . . . . .

85 85 85 86 87

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

OBSAH 13.1.4 Sloˇzka Fractal Others . . 13.1.5 Sloˇzka Generic Antenna 13.1.6 Sloˇzka PDE tool mesh . 13.2 Dodatek B - Obsah CD . . . . . 13.3 Dodatek C - V´ yvojové schéma . 13.4 Dodatek D - Okna programu . .

ix . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

89 90 90 91 92 93

Seznam obr´ azk˚ u 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6

Bifurkaˇcn´ı graf . . . . . . . . . . . . . . . . Lorenc˚ uv atraktor . . . . . . . . . . . . . . . Mandelbrotova mnoˇzina, pohled na celek . . Mandelbrotova mnoˇzina, detail . . . . . . . Fraktáln´ı struktura v Pascalovˇe troj´ uheln´ıku Fraktál v Hegelovˇe systému . . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

12 13 14 15 16 16

5.1

Princip pokr´ yván´ı základn´ıho objektu . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

6.1 Knofl´ık Mx = My aktivovan´ y (vlevo) a vypnut´ y (vpravo). . . . . 6.2 Sierpinského troj´ uheln´ık, IFS generátor, pouze 3.iterace . . . . . . . . 6.3 Sierpinského troj´ uheln´ık, IFS generátor, 6. iterace . . . . . . . . . . . 6.4 Sierpinského kobereˇcek, IFS generátor, 3 iterace . . . . . . . . . . . . 6.5 Cantorovo discontinuum, IFS generátor, 6 iterac´ı . . . . . . . . . . . . 6.6 Závislost doby v´ ypoˇctu (vlevo) a zobrazen´ı (vpravo) na stupni iterace a na poˇctu bod˚ u a transformac´ı. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33 37 38 39 40

7.1 7.2 7.3

43 44

7.4

Mikropásková patch anténa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mód proudového rozloˇzen´ı fraktáln´ı struktury. . . . . . . . . . . . . Napájen´ı patch antény: a) mikropáskov´ ym veden´ım, b) koaxiáln´ım veden´ım, c) pr˚ uˇrez anténou b) v rovinˇe stˇredn´ıho vodiˇce koaxiáln´ıho napájeˇce. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Napájen´ı pomoc´ı vazebn´ı ˇstˇerbiny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8.1 8.2 8.3 8.4

Okrajové podm´ınky patch antény. Fraktál ˇc. 1, 1-2 iterace. . . . . . . Fraktál ˇc. 2, 1-2 iterace. . . . . . . Fraktál ˇc. 3, 1-2 iterace. . . . . . .

53 56 56 56

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

40

46 48

10.1 Graf klesaj´ıc´ı frekvence s iterac´ı a módem, 1. fraktál, vˇc. degenerovan´ ych mód˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 x

´ U ˚ SEZNAM OBRAZK

xi

10.2 Graf klesaj´ıc´ı frekvence s iterac´ı a módem, 1. fraktál. . . 10.3 Graf klesaj´ıc´ı frekvence s iterac´ı a módem, 2. fraktál. . . 10.4 Graf klesaj´ıc´ı frekvence s iterac´ı a módem, 3. fraktál. . . 10.5 Proudové rozloˇzen´ı, anténa ˇc.1, módy 1,2,3,4,5 a 19. . . . 10.6 Proudové rozloˇzen´ı, anténa ˇc.2, módy 1,2,3,8,11 a 13. . . 10.7 Proudové rozloˇzen´ı, anténa ˇc.3, módy 1,3,5 a 29. . . . . . 10.8 Ukázka chybného (dominantn´ıho) módu. . . . . . . . . . 10.9 Ukázka sousedn´ıch degenerovan´ ych mód˚ u. . . . . . . . . 10.10Mutace fraktálu ˇc.1 zmˇenou transformaˇcn´ıch parametr˚ u. 10.11Mutace fraktálu ˇc.2 zmˇenou transformaˇcn´ıch parametr˚ u. 10.12V´ yvojové schéma GA, k v´ ykladu v kap.11. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

67 68 68 69 70 71 72 72 72 73 73

13.1 13.2 13.3 13.4 13.5

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

92 93 94 95 95

V´ yvojové schéma programu Hlavn´ı panel programu . . . Generic tool . . . . . . . . . PDE anal´ yza . . . . . . . . PDE toolbox – MatLab . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

Seznam tabulek 3.1 3.2 3.3

Hodnoty Hodnoty Hodnoty fraktál˚ u.

topologické dimenze. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hausdorffovy dimenze pro nˇekteré pˇr´ırodn´ı u ´tvary. . . . . Hausdorffovy dimenze geometrick´ ych u ´tvar˚ u a základn´ıch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . tranformace

Struktura .txt souboru s body. . . . . . . . . . . Struktura .txt souboru s transformacemi. . . . . Struktura souboru data.3dt. . . . . . . . . . . . Struktura souboru data.txt. . . . . . . . . . . . R˚ ust sloˇzitosti v´ ypoˇctu. Poznámka: b. – body, t.

7.1 7.2

Hodnoty r podle pouˇzitého substrátu. . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Zlepˇsen´ı parametr˚ u modifikac´ı struktury. . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.1

Vlastnosti vybran´ ych záˇriˇc˚ u. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

10.1 10.2 10.3 10.4

Vlastn´ı ˇc´ısla a rezonanˇcn´ı frekvence, 1. anténa. . . Vlastn´ı ˇc´ısla a rezonanˇcn´ı frekvence, 2. anténa. . . Vlastn´ı ˇc´ısla a rezonanˇcn´ı frekvence, 3. anténa. . . Srovnán´ı v´ ysledk˚ u rezonanˇcn´ı frekvence frn [GHz].

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

9

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5

xii

. . . . –

7 8

. . . .

33 33 35 36 41

63 64 65 65

Seznam symbol˚ u Symbol r 0 µr µ0 Dt Dh ω MS , Mx , My Px , Py λ Γ Φ tan δ ω E H s11 j QT kn k Ez,n c0 P SV BW Pd Pc Pr Wt η

Veliˇ cina relativn´ı permitivita permitivita vakua (=) relativn´ı permeabilita permeabilita vakua (=) topologická dimenze Hausdorffova dimenze afinn´ı transformace transformace zmˇeny mˇeˇr´ıtka posun polygonu vlnová délka modul ˇcinitele odrazu R fáze ˇcinitele odrazu R ztrátov´ y ˇcinitel dielektrika u ´hlová rychlost vektor intenzity elektrického pole vektor intenzity magnetického pole ˇcinitel odrazu imaginárn´ı jednotka ˇcinitel jakosti antény vlastn´ı (n-té) ˇc´ıslo vlnov´ y vektor vlastn´ı funkce rychlost svˇetla ve vakuu pomˇer stojat´ ych vln ˇs´ıˇrka pásma antény (v % z pracovn´ı frekvence) ztráty v dielektriku ztráty v kovu ztráty vyzaˇrován´ım celková energie u ´ˇcinnost

xiii

Seznam znaˇ cek a zkratek Oper´ ator ∇t Sm Pi=1 n

i=0

→ −→ dx ∂ ∂

×

PDE GA PSO GSO ACO IFS MoM FEM GUI PMC PEC TM TE

V´ yznam 2 Nabla operátor ∂∂2 x2 +

∂2 ∂ 2 y2

obecné sjednocen´ı (general consequence op.) suma od i = 0 do i = n bl´ıˇz´ı se zobrazen´ı diferenciál x parciáln´ı derivace vektorov´ y souˇcin

Zkratky Partial Differential Equation Genetic Algorithm Particle Swarm Optimization Genetic Swarm Optimization Ant Colony Optimization Iterated Function System Method of Moments Finite Element Method Graphical User Interface Perfect Magnetic Conductor Perfect Electric Conductor Transversal Magnetic Transversal Electric

Nadpis. Funkce, cizojazyˇcný výraz. Pˇ r´ ıkaz, menu. M atematika. Tlaˇ c´ıtko. Literatura.

xiv

Kapitola 1 ´ Uvod 1.1

Koncepce

Patchové antény jsou známy v´ıce jak 50 let. Stejnˇe dlouhou dobu existence oslav´ı v brzku i nˇekteré fraktály, které budou dále v práci uvedeny. Pˇresto se spojen´ı mikropáskov´ ych patch antén, fraktál˚ u a dobˇre zvolené simulaˇcn´ı metody objevuje aˇz v posledn´ıch letech. Ve spojen´ı s robustn´ım optimalizaˇcn´ım algoritmem se toto téma stává velice zaj´ımav´ ym a v posledn´ı dobˇe, kdy strmˇe roste v´ ypoˇcetn´ı v´ ykon poˇc´ıtaˇc˚ u, skuteˇcnˇe módn´ım“. Mnoho ˇclánk˚ u nebo studi´ı kop´ıruje podobné ” schéma, kdy je nastolen problém vyˇsetˇren´ı ˇs´ıˇrky pásma ˇci velikosti rezonanˇcn´ı frekvence u konkrétn´ıho typu fraktáln´ı antény. Tato je následnˇe odsimulována specializovan´ ym softwarem a na n´ı je aplikován optimalizaˇcn´ı algoritmus – ˇcasto genetick´ y, v posledn´ı dobˇe potom rojov´ y nebo jejich vzájemn´ y hybrid. Velká ˇcást práce je zpravidla realizována v programu MatLab. Autor této práce pˇrej´ımá ustálené schéma v uvedené podobˇe, ale rád by se vˇenoval problému od poˇcátku, tedy od definice fraktálu, aˇz po závˇereˇcn´ y v´ ybˇer vhodné optimalizace, a to takˇr´ıkaj´ıc bez vyuˇzit´ı vˇec´ı z druhé ruky“. Dalˇs´ım ax” iomem postuluj´ıc´ım zadán´ı je obecnost. Program, kter´ y dokáˇze analyzovat jednu konkrétn´ı strukturu jedn´ım konkrétn´ım procesem, je sice názorn´ y a jednoduch´ y,1 ale jinak ne pˇr´ıliˇs pouˇziteln´ y. Jako ideáln´ı se potom jev´ı vyuˇzit´ı pouze takov´ ych prostˇredk˚ u, které byly samostatnˇe vyvinuty, nebo jsou jiˇz dále tˇeˇzko rozloˇziteln´ ym elementem (PDE toolbox v MatLabu). Pokud by se tento c´ıl podaˇrilo splnit, vznikl by vnitˇrnˇe konzistentn´ı a kompaktn´ı produkt, kter´ y nav´ıc dokáˇze ˇreˇsit mnoho universáln´ıch problém˚ u. I z tohoto d˚ uvodu byl pro simulaci patchové antény pouˇzit dutinov´ y model (cavity model ), kter´ y se – aˇckoliv poskytuje uspokojuj´ıc´ı pˇresnost 1

Coˇz je ne vˇzdy ˇspatnˇe; na jisté partikulárn´ı problémy se tento zp˚ usob ˇreˇsen´ı hod´ı.

1

Mod´ aln´ı analýza frakt´ aln´ıch antén

1.2. Konspekt

– nem˚ uˇze mˇeˇrit s komerˇcn´ım softwarem. Pro zábˇer práce, ovˇsem i pro jiné d˚ uvody je zˇrejmé, ˇze ne vˇse bylo v BP vyˇreˇseno a dokonˇceno (ve skuteˇcnosti je tato práce pouze v´ ychoz´ım bodem a shlukem myˇslenek pro navazuj´ıc´ı projekt vˇetˇs´ıch rozmˇeru, kdy mnoho problém˚ u stále ˇceká na vyˇreˇsen´ı). V u ´vodu je vhodné podotknout, ˇze charakter této bakaláˇrské práce je implementaˇcn´ı a následnˇe simulaˇcn´ı. Je tedy snaha naplnit ustálené schéma pro podobn´ y druh prac´ı: teorie - anal´ yza - implementace - v´ ysledky - zhodnocen´ı. Tato pr˚ uvodn´ı zpráva byla koncipována tak, aby pˇrehlednˇe a logicky vysvˇetlila krok po kroku vytváˇren´ı jak generátoru, tak analytického bloku a na základˇe tˇechto vˇedomost´ı presentovala v´ ysledky v ˇsirˇs´ıch souvislostech.

1.2

Konspekt

Následuj´ıc´ı ˇrádky jsou vˇenovány krátkému seznámen´ı se s obsahem bakaláˇrského projektu. ´ Uvod do fraktáln´ı geometrie, nast´ınˇen´ y v prvn´ıch tˇrech kapitolách, má reˇserˇsn´ı pˇresah, nebot’ na tomto stˇeˇzejn´ım pojmu je celá práce vystavˇena. V této oblasti tak plynule navazuje na Semestráln´ı projekt, z jehoˇz závˇer˚ u ˇcerpá. Zároveˇ n je tento projekt pˇr´ıtomen v podobˇe nˇekolika poˇcáteˇcn´ıch (pˇrepracovan´ ych) kapitol. Fraktál˚ um je celkovˇe vˇenováno v´ıce pozornosti, neˇz by v pomˇeru k d˚ uleˇzitosti ostatn´ıch kapitol bylo adekvátn´ı. Je tomu tak z d˚ uvodu, kter´ y – jak autor doufá – nˇekolik stránek ve prospˇech fraktál˚ u ospravedlˇ nuje: nen´ı mnoho kvalitn´ı ˇceské literatury vˇenuj´ıc´ı se fraktál˚ um smˇerem j´ımˇz se vydává tato práce. Nadto je u ´plné pochopen´ı fraktáln´ı geometrie nezbytné. Rovnˇeˇz popisu jednotliv´ ych aplikaˇcn´ıch sekc´ı v programu MatLab je vˇenován dostatek prostoru v rozmez´ı kapitol 6. a 9. Odd´ıly 7. a 8. pak pojednávaj´ı o anténn´ı technice, konkrétnˇe mikropáskov´ ych anténách, jeˇz fyzikálnˇe konkretizuj´ı doposud vytvoˇrené matematické modely. Pˇredposlen´ı 11. kapitola,vˇenovaná optimalizaˇcn´ım algoritm˚ um, reflektuje v´ yvoj v této oblasti, krátce jednotlivé druhy optimalizaˇcn´ıch metod popisuje a navrhuje vhodné moˇznosti realizace na jiˇz dokonˇceném simulátoru. Závˇer krátce spravuje o dosaˇzen´ ych v´ ysledc´ıch, presentovan´ ych v pˇredcházej´ıc´ıch kapitolách; navazuj´ıc´ı dodatky sumarizuj´ı fakta, jejichˇz uveden´ı uvnitˇr statˇe by text znepˇrehlednilo. Jedná se zejména o u ´pln´ y v´ yˇcet realizovan´ ych funkc´ı a v´ ypis obsahu pr˚ uvodn´ıho CD. Pˇr´ılohy uzav´ırá v´ yvojov´ y diagram pˇribliˇzuj´ıc´ı funkci programu a také screenshoty rozhran´ı programu.

2

Kapitola 2 Historie, vznik a v´ yvoj frakt´ al˚ u

Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not ” circles, and bark is not smooth, nor does lightning travel in a straight line.1 “ — Benoit B. Mandelbrot Euklidovská geometrie, zrcadl´ıc´ı se v naˇsem zjednoduˇseném uvaˇzován´ı o svˇetˇe a vyuˇcuj´ıc´ı se na základn´ıch ˇskolách, je ve své podstatˇe naprosto primitivn´ı. Pˇredstavit si ˇctverec, kruh ˇci krychli nepˇredstavuje ˇzádn´ y problém – vˇsak také ˇ tyto u ´tvary byly objeveny jiˇz pˇred 3500 lety star´ ymi Reky a za tuto dobu se operace s nimi staly intuitivn´ımi a samozˇrejm´ ymi. Moˇzná právˇe proto si prvn´ı struktury, pozdˇeji nazvané fraktály, vydob´ yvaly své pozice tak obt´ıˇznˇe. Jednou z prvn´ıch takov´ ych konstukc´ı byla spojitá funkce Karla Weierstrasse, která ovˇsem nemˇela v ˇzádném bodˇe derivaci2 . Následnˇe pˇricház´ı George Cantor s diskontinuem, Helge von Koch s nekoneˇcnˇe dlouhou kˇrivkou . . . Vˇsechny tyto struktury byly pˇrij´ımány matematickou veˇrejnost´ı chladnˇe, dalo by se ˇr´ıci aˇz s odporem3 . Je to pochopitelné – byly nositeli vlastnost´ı, které poukazovaly na nutnost revidovat dogmatick´ y a modern´ı vˇedou tˇeˇzce zkouˇsen´ y pohled na svˇet. Tvrdilo se, ˇze jsou matematick´ ymi straˇsáky“ ˇci monstry“. Neodpov´ıdaly ” ” 1

Mraky nejsou kulovité, hory nejsou kuˇzele, pobˇreˇz´ı nen´ı kruhové a k˚ ura nen´ı hladká; ani svˇetlo necestuje pˇr´ımo. 2 Objevena roku 1872. 3 Ch. Hermite v dopise T. Stieltjesovi o Weierstrasseho kˇrivce: . . . odvr´ atil jsem se s hr˚ uzou a ” oˇsklivost´ı od toho politov´ an´ıhodného zla, kterým jsou funkce bez derivace. . . “ [3]

3


totiˇz ani v nejmenˇs´ım matematick´ ym potˇrebám symetrie a ˇcistoty“. Nadto se ” tyto obrazce obt´ıˇznˇe definovaly a popisovaly. Pro tyto vlastnosti se v obdob´ı na pˇrelomu 19. a 20. stolet´ı fraktál˚ um vˇenuj´ı pouze nadˇsenci – mezi nˇeˇz patˇr´ı nˇekolik matematik˚ u a umˇelc˚ u. Bˇehem 20. stolet´ı se zaˇc´ıná skuteˇcnˇe ukazovat, kterak jsou jisté fraktáln´ı struktury vhodné pro popis reality. Dokonce mnohem v´ıce neˇz euklidovská geometrie. Fraktáln´ı geometrie mnohem v´ıce zohledˇ nuje ˇclenitost a sloˇzitost naˇseho svˇeta. To je obrovsk´ y rozd´ıl oproti typicky hladké“ geometrii – ta mnoho ” relevanc´ı (ztrátovˇe) aproximuje. Fyzika, obor, kter´ y tak ˇcasto a nadˇsenˇe reflektuje poznatky matematiky, naráˇz´ı téˇz na problémy. Popis pohybu dvou bod˚ u v sousy, ale jiˇz pˇri snaze popsat pohyb tavˇe a jejich vzájemná interakce4 je bezproblémov´ tˇr´ı tˇeles naráˇz´ıme na nepˇrekonatelné obt´ıˇze. Analytické ˇreˇsen´ı této situace neexistuje a celek se chová chaoticky a to i pˇres to, ˇze situace chaotická nen´ı. Systém˚ u, které se takto chovaj´ı se postupem ˇcasu objevuje mnoho – turbulentn´ı pohyby tekutin, v´ yvoj poˇcas´ı, chován´ı na burze, rozloˇzen´ı hmoty ve vesm´ıru, v´ yˇska které dosahuje ˇreka pˇri pravideln´ ych záplavách a mnoho dalˇs´ıch. Jelikoˇz právˇe fraktály budou shledány podivn´ ymi“ atraktory vˇetˇsiny tˇechto systém˚ u, nebo je alespoˇ n ” dokáˇz´ı uspokojivˇe popsat, tuˇs´ıme zde rozsáhlé propojen´ı fraktál˚ u se svˇetem a jeho zákonitostmi. Pˇricház´ı 70. léta 20. st. a s nimi – jak ho pregnantnˇe naz´ yvaj´ı pˇrátelé – nekonvenˇcn´ı outsider“ Benoit B. Mandelbrot, oznaˇcovan´ y téˇz za otce fraktál˚ u. Tento ” matematik se jednoho ˇst’astného dne stˇretává s problémem, kter´ y má fraktáln´ı charakter. Snaˇz´ı se totiˇz odhalit zákonitosti fluktuace cen bavlny. Na stejn´ y problém naráˇz´ı i u dalˇs´ıho u ´kolu – odhalen´ı chyb na telekomunikaˇcn´ı lince. U prvého problému sice nedokáˇze vysledovat chován´ı cen, celkov´ y trend se ovˇsem opakuje v r˚ uzn´ ych ˇcasov´ ych mˇeˇr´ıtkách. U druhého problému nacház´ı podobnost v´ yskytu chyb s rozloˇzen´ım Cantorova diskontinua. Na základˇe tˇechto dvou poznatk˚ u se zaˇc´ıná o sobˇepodobnost5 bl´ıˇze zaj´ımat. Právˇe v této dobˇe vznikaj´ı knihy [5] a pˇredevˇs´ım slavná [4]. V tˇechto knihách uˇz´ıvá Mandelbrot sv˚ uj typick´ y styl v´ ykladu, pomoc´ı nˇehoˇz postupuje vpˇred jaksi intuitivnˇe bez pˇresn´ ych vˇet a definic´ı napˇr´ıˇc mnoha vˇedn´ımi obory. Za tento pˇr´ıstup (dalece vzdálenému od rigorózn´ıho stylu matematik˚ u) si vyslouˇzil ze strany koleg˚ u mnoho kritiky. Pˇresto d´ıky tˇemto dvˇema knihám vzniká nov´ y obor matem6 atiky – fraktáln´ı geometrie. Na Mandelbrotovu poˇcest je po nˇem pozdˇeji pojmenován nejznámˇejˇs´ı z fraktál˚ u – Mandelbrotova mnoˇzina. Sice Mandelbrot nebyl prvn´ım, kdo mnoˇzinu objevil, ale byl prvn´ım, kdo ji popsal a publikoval. 4

Za pˇr´ıklad poslouˇz´ı pohyb Zemˇe a Slunce vesm´ırem. Charakteristick´ a vlastnost fraktál˚ u. 6 Teprve zde se poprvé objevuje slovo Fraktál. Mandelbrot ho odvodil z latinského slova fractus – rozl´ aman´ y, rozbit´ y“ [5, str.11]. ” 5

4


Od té doby je fraktál˚ um vˇenována stále vˇetˇs´ı pozornost, a to jak pˇr´ım´ ym hledán´ım a studiem nov´ ych struktur, ˇci nepˇr´ımo jejich vyuˇzit´ım (to je pˇr´ıpad i této práce). Fraktály naˇsly postupnˇe uplatnˇen´ı v chaotick´ ych“ vˇedách, softwarovém ” inˇzen´ yrstv´ı, elektronice atd.

5

Kapitola 3 Teorie frakt´ al˚ u 3.1

Definice frakt´ alu

Chceme-li nadále uˇz´ıvat term´ınu fraktál, je potˇreba ho (exaktnˇe) definovat. T´ım budeme schopni ˇr´ıci, co fraktálem je a co nen´ı. Obecnˇe existuj´ı dva pˇr´ıstupy k této definici, které se vˇetˇsinou uvádˇej´ı paralelnˇe. Prvn´ı tvrzen´ı pocház´ı od B. B. Mandelbrota, druhé je ˇcistˇe matematickou definic´ı. Fraktál podle B. B. Mandelbrota: Fraktálem je kaˇzdý objekt, jehoˇz topologick´ a dimenze se liˇs´ı od dimenze ” fraktáln´ı (Hausdorffovy).“ [5] tedy: Dt 6= Dh

(3.1)

Fraktál podle matematiky:1 Fraktál je objekt, jehoˇz geometrick´ a struktura se opakuje v nˇem ” samém. Fraktály se dˇel´ı na sobˇepodobné a sobˇepˇr´ıbuzné.“ [3] [4] Prvá definice bude pro svou názornost probrána n´ıˇze. K tomu je potˇreba definovat nˇekolik dalˇs´ıch term´ın˚ u. 1

Ve skuteˇcnosti ˇz´ adn´ a korektn´ı matematická definice dodnes neexistuje. Uvedena pro u ´plnost; bez dalˇs´ıch podrobnost´ı.

6


3.2

3.2. Topologick´ a a Hausdorffova dimenze

Topologick´ a a Hausdorffova dimenze

Topologick´ a dimenze (Dt ) Topologická dimenze je jedn´ım z u ´daj˚ u, kter´ y potˇrebujeme z´ıskat pro porovnán´ı klasického hladkého u ´tvaru a fraktálu. Tuto dimenzi dobˇre známe a intuitivnˇe chápeme; naz´ yváme ji zpravidla mohutnost´ı prostoru, nebo také stupnˇem volnosti. Topologická dimenze nab´ yvá hodnoty celého nezáporného ˇc´ısla, nejˇcastˇeji ˇ ıslo nám ˇr´ıká, kolika smˇery je moˇzné {0, 1, 2, 3}, obecnˇe vˇsak {0, 1, 2 . . . ∞}. C´ pohybovat po objektu s bodem, resp. kolika u ´daji se dá pˇresnˇe popsat pozice bodu na/v u ´tvaru. V pˇr´ıpadˇe jednoho bodu Dt = 0, v pˇr´ıpadˇe spojité kˇrivky Dt = 1 a tak dále. To ovˇsem neznamená, ˇze kˇrivka s dimenz´ı jedna je zobrazována v jednorozmˇerném prostoru. Pˇrehlednˇeji to ukazuje tabulka:

Hodnota Dt 0 1 2 3 4

Pˇr´ıklad u ´varu bod kˇrivka plocha prostor ...

Moˇznosti pohybu Bez moˇzného pohybu Pohyb po délce l Pohyb po ploˇse [x, y] Pohyb v prostoru [x, y, z] Pohyb napˇr. v hyperkomplexn´ı rovinˇe

Tabulka 3.1: Hodnoty topologické dimenze. Tato tabulka plat´ı ovˇsem pouze pro hladké, euklidovské u ´tvary. At’ mˇeˇr´ıme hladkou kˇrivku v jakémkoliv mˇeˇr´ıtku, dostaneme vˇzdy koneˇcné ˇc´ıslo. V pˇr´ıpadˇe fraktál˚ u, jak dokázal napˇr. Richardson pˇri mˇeˇren´ı délky pobˇreˇz´ı, je tento popis nedostateˇcn´ y, nebot’ do hry vstupuje mˇeˇr´ıtko. Ve své studii totiˇz ukázal, ˇze sloˇzitost (v tomto pˇr´ıpadˇe u ´daj o délce pobˇreˇz´ı) je u ´mˇerná mˇeˇr´ıtku, v nˇemˇz pobˇreˇz´ı mˇeˇr´ıme.2 Budeme-li postupovat s pˇresnost´ı 1km, dostaneme ˇrádovˇe jin´ y v´ ysledek, neˇz pokud kolem pobˇreˇz´ı p˚ ujdeme se ˇskoln´ım prav´ıtkem. Pokud bychom mˇeˇr´ıtko zmenˇsovali nadevˇsechny meze, dostali bychom nekoneˇcnou délku. Právˇe z d˚ uvodu tohoto nar˚ ustán´ı sloˇzitosti napˇr. v modern´ıch atlasech u ´daj o délce 2 Pro u ´plnost – na z´ akladˇe mnoha dat se mu povedlo empiricky odvodit následuj´ıc´ı vztah z´ avislosti délky pobˇreˇz´ı na zvoleném mˇeˇr´ıtku. Konstanta D je de-facto frakt´ aln´ı (Hausdorffovo) dimenz´ı. Jej´ı skuteˇcn´ y v´ yznam odhalil aˇz Mandelbrot.

K = N εD , kde: K – délka pobˇreˇz´ı, N – poˇcet u ´seˇcek nutn´ ych k aproximaci, ε – délka mˇeˇridla, D – frakt´ aln´ı dimenze.

7



pobˇreˇz´ı nebo délce hranic sousedn´ıch stát˚ u chyb´ı. Tento u ´daj totiˇz nemá ˇzádn´ y 3 smysl, dokonce i na umˇele zvolen´ ych hranic´ıch, které známe ze stát˚ u Afriky a USA. T´ım se dostáváme k druhé ˇcásti kapitoly.

Hausdorffova dimenze (Dh ) Pro vˇetˇsinu u ´tvar˚ u, vyskytuj´ıc´ıch se v okoln´ım svˇetˇe, dostaˇcuje uvaˇzovat pouze topologickou dimenzi, která byla diskutována v´ yˇse. Nikoliv ovˇsem pro fraktály. Na pˇr´ıkladu mˇeˇren´ı pobˇreˇz´ı bylo vidˇet, ˇze sloˇzitost kˇrivky roste do nekoneˇcna. Intuitivnˇe tedy zab´ırá v prostoru v´ıce m´ısta“ neˇz kˇrivka hladká. Pˇresto ale nezab´ırá ” vˇsechno m´ısto (pak by se stala plochou). Je tedy jasné, ˇze dimenze této kˇrivky bude z intervalu (1, 2) a nebude cel´ ym ˇc´ıslem. Toto necelé ˇc´ıslo se obecnˇe naz´ yvá fraktáln´ı dimenz´ı.4 Pro tuto vlastnost lze fraktály definovat jako u ´vary s neceloˇc´ıselnou dimenz´ı Dh , resp. dimenz´ı liˇs´ıc´ı se od dimenze topologické (ve shodˇe s Mandelbrotovo definic´ı fraktálu). Nadto rozd´ıl ∆f = |Dh − Dt | udává m´ıru sloˇzitosti objektu. Tato hodnota m˚ uˇze limitnˇe nab´ yvat hodnoty ∆f → 15 a plat´ı, ˇze s rostouc´ı hodnotou roste i u ´roveˇ n ˇclenitosti objektu. Pro pˇredstavu je uvedena tabulka s fraktáln´ımi dimenzemi nˇekolika pˇr´ırodn´ıch objekt˚ u tak, jak se uvádˇej´ı v literatuˇre ([3] [W2] a jiné): Pˇr´ırodn´ı u ´tvar Pobˇreˇz´ı Povrch mozku ˇclovˇeka Povrch neerodovan´ ych skal Obvod 2D pr˚ umˇetu mraku

Odhad Dh ∼ 1.26 ∼ 2.76 ∼ 2.2 − 2.3 ∼ 1.33

Tabulka 3.2: Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nˇekteré pˇr´ırodn´ı u ´tvary. 3

Zde m˚ uˇze hodnota nekontrolovatelnˇe r˚ ust vlivem v´ yˇskov´ ych rozd´ıl˚ u. Casto pouˇz´ıvan´ ym term´ınem je také Hausdorffova-Besicovicova nebo jen Hausdorffova dimenze, d´ ale se pouˇz´ıv´ a term´ın Kolmogorovova dimenze, nebo téˇz kapacita. 5 Tato hodnota plat´ı pouze pro kˇrivkov´ y“ fraktál v ploˇse – Sierpinského troj´ uheln´ık, Man” delbrotovu mnoˇzinu aj. Pokud by fraktál byl stejné povahy, ale um´ıstˇen v objemu, tato limita by se mohla bl´ıˇzit dvˇema. 4ˇ

8



V´ ypoˇ cet Hausdorffovy dimenze Pro v´ ypoˇcet Dh plat´ı: ln N (ε) log N (ε) = lim , 1 ε→0 ln( ) ε→0 log( 1 ) ε ε

Dh = lim

(3.2)

kde N (ε) je minimáln´ı poˇcet elementárn´ıch u ´tvar˚ u a ε je mˇeˇr´ıtko. ε je prvn´ım parametrem, kter´ y má zcela praktick´ y v´ yznam pro tuto práci – jeho ˇcásteˇcné analogie ke kontrakci vyuˇz´ıvá IFS generátor. Pro mˇeˇr´ıtko ε plat´ı: 1

ε=

(3.3)

1

N Dh Pokud v´ yraz uprav´ıme: 1

log ε = − log N Dh

(3.4)

Tedy: Dh = kde N oznaˇcuje faktor zmˇeny délky a

1 ε

log N , log ( 1ε )

(3.5)

faktor zmˇeny mˇeˇr´ıtka.

Vztah (2.5) lze uˇz´ıt pouze u fraktál˚ u tzv. sobˇepodobn´ ych, zat´ımco vztah (2.2) lze uˇz´ıt i u fraktál˚ u sobˇepˇr´ıbuzn´ ych, které jsou obecnˇeji definované neˇz fraktály sobˇepodobné (nelze u nich proto vypustit lim ε → 0). Na závˇer uvedu pˇrehled nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch dimenz´ı Dh a mˇeˇr´ıtek ε. Geometrick´ yu ´tvar ´ cka Useˇ ˇ Ctverec Krychle Cantorovo diskontinuum Kochova kˇrivka Sierpinského troj´ uheln´ık

ε

Dh

1 N 1 1

1 2

1

3

N2 1 N3 1 3 1 3 1 n (2)

0.6309 1.2619 1.5850

Tabulka 3.3: Hodnoty Hausdorffovy dimenze geometrick´ ych u ´tvar˚ u a základn´ıch fraktál˚ u.

9


3.3

3.3. Sobˇepodobnost, sobˇepˇr´ıbuznost

Sobˇ epodobnost, sobˇ epˇ r´ıbuznost

Sobˇ epodobnost Pro popis fraktálu je tento pojem stˇeˇzejn´ı. Kaˇzd´ y fraktál je pomoc´ı tohoto (nebo slabˇs´ı obdoby – sobˇepodobnosti) pojmu definován. Sobˇepodobnost6 je jedn´ım z hlavn´ıch znak˚ u fraktáln´ıch u ´tvar˚ u. Sobˇepodobnost podle Mandelbrota: Kterákoliv ˇcást fraktálu je pˇresnou kopi´ı p˚ uvodn´ıho motivu.“ [3] [4] ” [W2] Mandelbrotov˚ uv pojem sobˇepodobnosti matematizoval Hutchinson,7 kter´ y vycházel z toho, ˇze sobˇepodobné mnoˇziny jsou podobné celku, zmenˇsenému jist´ ym mˇeˇr´ıtkem. Jelikoˇz se se sobˇepodobn´ ymi fraktály lze setkat pouze v matematice a jsou pouhou idealizac´ı, která v pˇr´ırodˇe nen´ı moˇzná, pokus´ım se sobˇepodobnost i matematicky zadefinovat. Definujme tedy sobˇepodobnou podmnoˇzinu W obecnˇe n-rozmˇerného euklidovského prostoru Rn tak, ˇze existuje koneˇcnˇe mnoho kontraktivn´ıch, pˇr´ıp. i afinn´ıch zobrazen´ı (transformac´ı).8 w1 , w2 , . . . , wm : Rn → Rn

(3.6)

takov´ ych, ˇze dále plat´ı: W =

m [

wi (W ) ,

(3.7)

i=1

pˇritom pro libovolná i 6= j obsahuje pr˚ unik wi (W ) ∩ wj (W )

(3.8)

jen koneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u (nebo je prázdn´ y). Na potenci Rn je zobrazen´ımi definován operátor m [ w(X) = wi (X) , X ⊆ Rn (3.9) i=1

kter´ y se naz´ yvá Hutchinson˚ uv operátor. V´ıce o tomto operátoru bude uvedeno v kapitole o generaci IFS, kde zastává stˇeˇzejn´ı roli. 6

V matematice se pouˇz´ıv´ a term´ınu invariace vzhledem ke zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka.“ ” V´ıce infomac´ı napˇr. ˇcl´ anek [A4] 8 D´ ale v´ yklad pokraˇcuje analogicky s [3], pouze s transkripc´ı symbol˚ u z [A4]. 7

10


3.4. Uk´ azky z´ akladn´ıch frakt´ al˚ u

Mnoˇzina definovaná pomoc´ı tohoto operátoru má nˇekolik velmi zaj´ımav´ ych vlastnost´ı: Sobˇepodobn´ a mnoˇzina vzniká opakován´ım sebe sama pˇri urˇcité transformaci (zmˇena mˇeˇr´ıtka, rotace, posunut´ı, zkosen´ı. . . ). Sobˇepodobné mnoˇziny jsou invariantn´ı v˚ uˇci zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka. Pˇri libovolném zvˇetˇsen´ı ˇci zmenˇsen´ı vypadaj´ı stejnˇe (viz obrázky n´ıˇze). Sobˇepodobn´ a mnoˇzina vzniká sama ze sebe, resp. vzniká opakován´ım motivu.

Tato definice obsahuje velmi striktn´ı kritéria, která splˇ nuje jen malá ˇcást zkouman´ ych u ´tvar˚ u.9 Z tohoto d˚ uvodu se zpravidla zavád´ı dva druhy sobˇepodobnosti: pˇresná a statistická. Pro jejich ned˚ uleˇzitost v intenc´ıch této práce nebudou dále prob´ırány. V´ıce informac´ı viz [3].

Sobˇ epˇ r´ıbuznost Definuje se následovnˇe: Kterákoliv ˇcást fraktálu je podobn´ a vzoru. Jde o slabˇs´ı z´ avislost neˇz ” sobˇepodobnost; r˚ uzné pohledy nemus´ı být nutnˇe tvarovˇe stejné, nýbˇz podobné.“ [4] [W2] V pˇr´ırodˇe se jedná napˇr. o vˇetve, koˇreny strom˚ u, mraky, pouˇstn´ı duny, delty ˇrek, pohledy na pobˇreˇz´ı v r˚ uzn´ ych mˇeˇr´ıtkách apod. Pro komplikovanou matematickou formulaci se zde omez´ıme pouze na definici uvednou v´ yˇse.

3.4

Uk´ azky z´ akladn´ıch frakt´ al˚ u

Tato podkapitola byla zaˇrazena pro jednoduchost a názornost, s jakou je moˇzné presentovat fraktály ve formˇe ilustrace. Bylo vybráno nˇekolik základn´ıch, navzájem r˚ uznorod´ ych fraktál˚ u, dále doplnˇen´ ych o krátk´ y komentáˇr. Naprostá vˇetˇsina z nich jiˇz naˇsla své uplatnˇen´ı, ˇcasto vnˇe vˇedecko-technického rámce, tak jako v pˇr´ıpadˇe fraktálu uˇzitého filozofem Hegelem, skryt´ ym v Pascalovo pravdˇepodobnostn´ım troj´ uheln´ıku [W2] nebo fraktály vyzdobená bazilika v Itálii [3, Obr.8]. Tato ˇcást nen´ı nezbytnˇe nutná pro vlastn´ı v´ yklad; lze pokraˇcovat kapitolou 4. na stranˇe 17. 9 Frakt´ al ˇcasto nab´ yv´ a v r˚ uzn´ ych ˇcástech r˚ uznˇe velké hodnoty Hausdorffovy dimenze, a proto je v´ ypoˇcet na z´ akladˇe sobˇepodobnosti obt´ıˇzn´ y.

11



Brown˚ uv pohyb Brown˚ uv pohyb je dostateˇcnˇe znám´ ym fenoménem, aby se obeˇsel bez ilustrace. Jedná se o nahodil´ y pohyb ˇcásteˇcek hmoty vlivem nenulové absolutn´ı teploty tˇelesa. Tento pohyb je fraktáln´ı povahy. Lze pomˇernˇe vˇernˇe simulovat na poˇc´ıtaˇci. Takto vytvoˇrené programy se uˇz´ıvaj´ı napˇr´ıklad na generaci ˇreˇciˇst’ ˇrek apod. Bifurkaˇ cn´ı graf Tento proces má dynamickou povahu, protoˇze systém se vyv´ıj´ı v ˇcase. Tento typ fraktálu tedy m˚ uˇzeme zaˇradit mezi dynamické systémy (kapitola 3.3).

Obrázek 3.1: Bifurkaˇcn´ı graf R˚ ust v urˇcitém obdob´ı závis´ı na stavu populace v obdob´ı minulém. Pˇri pohledu zleva doprava, jak pˇrib´ yvá ˇcas, vid´ıme efekt tzv. zdvojován´ı periody“. ” Tento jev se vyskytuje u mnoha dynamick´ ych systém˚ u tˇesnˇe pˇredt´ım, neˇz systém podlehne chaosu (fibrilace srdeˇcn´ıch komor, kapán´ı vody z povoleného kohoutku). Posledn´ı tˇretina zcela napravo je chaotické povahy a o v´ yvoji populace nem˚ uˇzeme s jistotou dopˇredu nic ˇr´ıci. Dynamick´ y zákon populaˇcn´ıho r˚ ustu: xn+1 = f (x, n) = xn + rxn (1 − xn ) Tento systém je stabiln´ı pouze pro dvˇe hodnoty (1 a 0). V´ıce [W2]. 12

(3.10)



Lorenc˚ uv atraktor Tento podivn´ y atraktor je prvn´ı, kter´ y se kdy povedlo vygenerovat. Aˇckoliv tˇechto pr˚ ubˇeh˚ u existuje nekoneˇcnˇe mnoho, nikdy se ˇzádn´ y neprotne s jin´ ym; a to ani pˇri 10 pr˚ ubˇehu mezi ovály“. ”

Obrázek 3.2: Lorenc˚ uv atraktor Ed Lorenz se zab´ yval poˇcas´ım a moˇznostmi ho dostateˇcnˇe pˇresnˇe pˇredpovˇedˇet. Na jeho – z dneˇsn´ıho pohledu – staˇriˇckém poˇc´ıtaˇci se mu povedlo nakonec vykreslit tento obrázek vznikl´ y podle 3 dynamick´ ych rovnic. Pˇridrˇz´ıme-li se poˇcas´ı, je tento atraktor, jak sám ˇr´ıká, mapa podneb´ı. Neboli moˇzn´ ych stav˚ u systému. Mimo tento atraktor tedy leˇz´ı takové stavy jako je sn´ıh na Sahaˇre nebo tropické poˇcas´ı na pólech. Aˇckoliv tyto stavy mohou s jistou pravdˇepodobnost´ı krátkodobˇe nastat, jsou velmi rychle pˇritahovány k tomuto atraktoru. Typické“ poˇcas´ı zkrátka putuje ” po této kˇrivce. Jak je ovˇsem vidˇet, je tento atraktor velmi sloˇzit´ y, de-facto nekoneˇcnˇe sloˇzit´ y. Nav´ıc je, tak jako vˇsechny chaotické systémy, velmi citliv´ y na poˇcáteˇcn´ı hodnoty. ’ Z toho je patrné, ˇze stoprocentn´ı pˇredpovˇed poˇcas´ı nen´ı nikdy moˇzná. 10

Obr´ azek 2.2 zobrazuje koneˇcnˇe mnoho periodick´ ych pr˚ ubˇeh˚ u. Je to zp˚ usobeno omezuj´ıc´ımi podm´ınkami a skuteˇcnost´ı, ˇze fraktál byl generován na poˇc´ıtaˇci s omezen´ ymi schopnostmi.

13



Mandelbrotova mnoˇ zina Tento objekt je povaˇzován za jakousi ikonu vˇsech fraktál˚ u. Jedná se o nelineárn´ı (viz rovnice 2.11) deterministick´ y fraktál. Tento fraktál, generovan´ y podle jednoduché rovnice (3.11) zn+1 = zn2 + c ; z, c ∈ C je t´ım nejsloˇzitˇejˇs´ım u ´tvarem, kter´ y lze vygenerovat. Jeho topologická dimenze je rovna 1, jeho fraktáln´ı dimenze je ovˇsem 2. K plnému pochopen´ı je potˇreba si uvˇedomit, ˇze tento fraktál je pouhá kˇrivka, která ovˇsem zab´ırá v ploˇse prostor, kter´ y vid´ıme na obrázku.

Obrázek 3.3: Mandelbrotova mnoˇzina, pohled na celek Generace zaˇc´ıná s jistou poˇcáteˇcn´ı hodnotou z0 a následnˇe se bˇehem iterace mˇen´ı zn na zn+1 s t´ım, ˇze c z˚ ustává konstatn´ı. Nyn´ı mus´ıme rozhodnout, zda posloupnost zn konvegruje ˇci diverguje pro poˇcáteˇcn´ı hodnoty z0 a c. Známeli tedy nyn´ı posloupnost, která po nekoneˇcném poˇctu iterac´ı podle funkce 2.11 nemá body v nekoneˇcnu, m˚ uˇzeme posloupnoust tˇechto bod˚ u nazvat Mandelbro11 tovo mnoˇzinou. Zaˇc´ıná se v nule, parametr je komplexn´ı ˇc´ıslo c. Obr. 3.4 ukazuje jeden z detail˚ u. V mnoˇzinˇe se dá naj´ıt mnoho zaj´ımav´ ych m´ıst s pozoruhodn´ ymi vlastnostmi. Nˇekteré oblasti jiˇz byly dokonce pojmenovány.12 11 12

Anglicky Mandelbrot set nebo M-set Napˇr. Elephantine valley – pˇripom´ıná u ´dol´ı na nˇemˇz stoj´ı v ˇradˇe se zvˇetˇsuj´ıc´ı sloni

14



Obrázek 3.4: Mandelbrotova mnoˇzina, detail Pascal˚ uv troj´ uheln´ık Tohoto troj´ uheln´ıku se vyuˇz´ıvá v pravdˇepodobnostn´ı matematice. Primárnˇe nemá s fraktály zcela jistˇe nic spoleˇcného. O to vˇetˇs´ım bylo pˇrekvapen´ım naj´ıt v nˇem paralelu se Sierpinského troj´ uheln´ıkem (vzh˚ uru nohama). Pokud vybereme pouze sudá ˇc´ısla, tedy opˇet zcela ne-fraktáln´ı závislost a vyznaˇc´ıme je at’ uˇz tuˇcnˇe nebo pevnou hranic´ı jako na obrázku, zobraz´ı se nám fraktál. Vzhledem k tomu, ˇze Pascal˚ uv troj´ uhel´ık nemá pevnou základnu a ˇze jej´ı ˇs´ıˇre se stále zvˇetˇsuje, bude fraktál nekoneˇcn´ y. Pro vˇetˇs´ı názornost je lepˇs´ı obsáhnout co nejv´ıce pater troj´ uheln´ıka. Hegel˚ uv syst´ em Hegel byl jedn´ım z nejvˇetˇs´ıch filozof˚ u a pravdˇepodobnˇe t´ım nejvˇetˇs´ım nˇemeck´ ym filozofem poˇcátku 19. stolet´ı (nakolik snese srovnán´ı s Schopenhauerem ˇci Nietzschem patˇr´ı asi do jiné práce). I v dneˇsn´ı dobˇe stoj´ı sv´ ym v´ yznamem bok po boku dalˇs´ım filozofick´ ym velikán˚ um. Aˇckoliv nakonec Hegel ve své filozofii ztroskotává, z˚ ustává jeho uˇcen´ı pro filozofii cenné. Tento obrázek, um´ıstˇen´ y sp´ıˇse jako vsuvka, dokazuje jak jsou fraktály uˇziteˇcné.

15



Obrázek 3.5: Fraktáln´ı struktura v Pascalovˇe troj´ uheln´ıku

Obrázek 3.6: Fraktál v Hegelovˇe systému 16

Kapitola 4 Rozdˇ elen´ı frakt´ al˚ u Na obrázc´ıch v minulé kapitole bylo vidˇet, jak ˇclenité a r˚ uzné mohou fraktály b´ yt. Postupem ˇcasu je zaˇcali matematici (tak jako cokoliv jiného) na základˇe nˇekter´ ych spoleˇcn´ ych vlastnost´ı rozdˇelovat do skupin. Tyto skupiny jsou v souˇcastné dobˇe ˇctyˇri. Aˇckoliv fraktály z r˚ uzn´ ych skupin se jinak generuj´ı, popisuj´ı a zpravidla se uˇz´ıvaj´ı i v jin´ ych oborech, nˇekteré obrazce lze generovat i ve v´ıce systémech.1 Základn´ı rozdˇelen´ı fraktál˚ u: L-systémy IFS - systém iterovan´ ych funkc´ı Dynamické systémy Nepravidelné frakt´ aly

4.1

L-syst´ emy

Lindenmayerovy systémy jsou skupinou fraktál˚ u definované pomoc´ı pˇrepisovac´ıch gramatik. Podstatou tvorby L-systém˚ u je pˇrepisován´ı ˇretˇezc˚ u podle urˇcit´ ych pravidel. Kaˇzdému symbolu v ˇretezci je pˇrisouzen jist´ y geometrick´ y v´ yznam, napˇr´ıklad transformaci ˇci generován´ı objektu. Fraktálem se L-systémy stávaj´ı po pouˇzit´ı iterace, tedy pouˇzit´ı iterace v gramatice.2 S pomoc´ı tˇechto systém˚ u lze vygenerovat fraktály, které se podobaj´ı rostlinám, strom˚ um a dalˇs´ım pˇr´ırodn´ım u ´tvar˚ um. 1 2

Napˇr. Sierpinského troj´ uheln´ık lze vygenerovat pomoc´ı L-systém˚ u i pomoc´ı IFS. Pouˇz´ıv´ a se specifické dvojice znaˇcek, do kter´ ych se iterovan´ y v´ yraz uzavˇre.

17


4.2. Systém iterovaných funkc´ı IFS

Protoˇze vˇsak tyto systémy nemaj´ı nic spoleˇcného se zadan´ ym u ´kolem, nebude si jimi práce dále zab´ yvat. Tato problematika je dostateˇcnˇe zpracována v literatuˇre o fraktálech.

4.2

Syst´ em iterovan´ ych funkc´ı IFS

Soubor tˇechto fráktál˚ u v pˇr´ırodˇe nenajdeme. Jsou pouhou idealizac´ı vzniklou v poˇc´ıtaˇc´ıch. Tyto fraktály jsou pˇr´ısnˇe sobˇepodobné a neobsahuj´ı ˇzádné nepravidelnosti ve fraktáln´ı struktuˇre. IFS ve své podstatˇe nen´ı názvem druhu fraktál˚ u, ale oznaˇcen´ım zp˚ usobu generace. Jak se tyto fraktály vytváˇrej´ı je uvedeno v kapitole 5. Pro sv˚ uj umˇel´ y p˚ uvod nacház´ı uplatnˇen´ı ve vˇedeck´ ych aplikac´ıch. Tyto fraktály zab´ıraj´ı velmi málo m´ısta v pamˇeti poˇc´ıtaˇce – pˇredstavuj´ı je pouze seznamy vrchol˚ u a transformac´ı. I proto lze IFS vyuˇz´ıt jako kompresn´ı algorimus nebo jako editor pravideln´ ych textur apod. Právˇe tˇechto struktur vyuˇz´ıvá tato práce pro generaci antén. V dalˇs´ıch kapitolách bude ukázán zp˚ usob jejich generace konkrétnˇe, vˇcetnˇe implementace maticov´ ych struktur do programu MatLab. Zvláˇstn´ı moˇznost´ı doplˇ nuj´ıc´ı deterministickou generaci IFS tak jak byla popsána v´ yˇse, kdy je kaˇzdá transformace v jednom kroku provedena pˇresnˇe jednou, je generace stochastická. Vˇse prob´ıhá stejnˇe aˇz do chv´ıle, kdy se má provést transformace. Ty jsou totiˇz v tomto pˇr´ıpadˇe popsány pravdˇepodobnost´ı, s jakou se maj´ı provádˇet (dohromady vˇzdy 1, tedy 100%). Takto vznikl´ y fraktál nen´ı zcela pravideln´ y jako fraktál vznikl´ y deterministickou cestou. Pˇresto vykazuje stejn´ y tvar a konverguje-li poˇcet iterac´ı k nekoneˇcnu, jsou identické.

4.3

Dynamick´ e syst´ emy

Dynamické systémy jsou t´ım typem fraktálu, kter´ y má v praxi pravdˇepodobnˇe nejˇsirˇs´ı uplatnˇen´ı. Dynamick´ y systém je matematick´ y model závisl´ y na urˇcité promˇenné, zpravidla na ˇcase. Vycház´ı z poˇcáteˇcn´ıch podm´ınek, jimiˇz je jimi v ˇcase determinován. Existuj´ı dynamické systémy, které se po urˇcitém ˇcase neustál´ı v pevném stavu, ale ani nediverguj´ı. Tento pˇr´ıpad, kter´ y pˇripom´ıná iracionáln´ı ˇc´ısla, má vˇetˇsinou fraktáln´ı dynamiku a oznaˇcuje se term´ınem deterministick´ y chaos.“ ” Dynamick´ y systém sestává ze stavového prostoru, jehoˇz souˇradnice popisuj´ı stav systému v daném ˇcase a z dynamick´ ych podm´ınek, které popisuj´ı zmˇenu tohoto systému v ˇcase. Stav systému je potom popsán vektorem, kter´ y cel´ y leˇz´ı

18


4.3. Dynamické systémy

ve stavovém prostoru. Dynamické podm´ınky jsou vˇetˇsinou zadány soustavou diferenciáln´ıch rovnic popisuj´ıch zmˇenu stavového vektoru v ˇcase. Zmˇena stavu dynamického systému se uskuteˇcn ˇuje proveden´ım tˇechto diferenciáln´ıch rovnic a nahrazen´ım starého vektoru vektorem nov´ ym. Dynamick´ y systém m˚ uˇze b´ yt deterministick´ y nebo stochastick´ y (náhodn´ y). Deterministick´ y dynamick´ y systém lze pomˇernˇe pˇresnˇe popsat, zat´ımco u systému stochastického jsme odkázáni pouze na statistické vlastnosti takového systému (napˇr´ıklad stˇredn´ı hodnota, disperze, smˇerodatná odchylka, centráln´ı moment aj.).

Atraktor dynamick´ eho syst´ emu Atraktor3 dynamického systému je stav, do nˇehoˇz systém smˇeˇruje. Je to tedy lokace stavového vektoru v nekoneˇcném ˇcase. Systém m˚ uˇze spˇet do jednoho z následuj´ıc´ıch atraktor˚ u: pevn´ y bod (napˇr. u kyvadla) periodické body (napˇr. obˇeh Zemˇe kolem Slunce) kvaziperiodické body chaotick´ y atraktor (napˇr. sirka postavená na hlaviˇcku) podivn´ y atraktor (viz n´ıˇze)

Ze vˇsech tˇechto moˇznost´ı bude krátce zm´ınˇen pouze posledn´ı z v´ yˇctu, tedy podivn´ y atraktor. Podivn´ y atraktor4 je zdaleka nejzaj´ımavˇejˇs´ım pˇr´ıkladem atraktoru. Tento atraktor m˚ uˇze b´ yt velmi komplikovan´ y a chaotick´ y, pˇresto bude vˇzdy vykazovat nˇekteré pravidelnosti a vlastnosti shodné s fraktály. Podivn´ y atraktor tedy m˚ uˇzeme povaˇzovat za fraktál. Striktnˇe empirick´ y popis tˇechto objekt˚ u zat´ım nen´ı znám. Prvn´ı podivn´ y atraktor objevil Ed Lorenz v roce 1963 a je znám pod jeho jménem (v´ıce viz. kapitola 2.4). 3 4

Anglicky attractor – pˇritahovat, upoutat“ ” Anglicky strange attractor ; poprvé zaveden roku 1970.

19


4.4

4.4. Nepravidelné frakt´ aly

Nepravideln´ e frakt´ aly

Posledn´ı skupinou jsou fraktály nepravidelné, vyuˇz´ıvaj´ıc´ı ke svému vzniku náhodu (resp. pravdˇepodobnost). Tato skupina nevznikla, jak by se ˇctenáˇr mohl mylnˇe domn´ıvat, pro zaˇrazen´ı vˇsech zb´ yvaj´ıc´ıch fraktál˚ u. Pro vznik tˇechto u ´tvar˚ u ’ se vyuˇz´ıvá generátoru náhodn´ ych ˇc´ısel – at uˇz gaussovo ˇci jiného pr˚ ubˇehu. Ve vˇsech tˇrech pˇredchoz´ıch pˇr´ıpadech, s malou v´ yjimkou v pˇr´ıpadˇe stochastick´ ych IFS, vznikaly soumˇerné a pravidelné fraktály. Tento stav ovˇsem nen´ı vˇzdy ˇzádouc´ı – napˇr´ıklad v poˇc´ıtaˇcové grafice, kdy je potˇreba vygenerovat strom tˇeˇzko pouˇzijeme klasick´ ych L-systém˚ u; strom v pˇr´ırodˇe také neroste rovnomˇernˇe a jednotlivé vˇetve jsou v r˚ uzn´ ych v´ yˇskách a r˚ uznˇe dlouhé. Pro tyto u ´ˇcely byla vyvinuta náhodná generace. Náhodné fraktály mohou vznikat následuj´ıc´ımi zp˚ usoby: 1. pomoc´ı simulace Brownova pohybu (jak v ploˇse, tak v prostoru) 2. metodou pˇresouván´ı stˇredn´ıho bodu5 3. spektráln´ı syntézou (vycház´ı z Fourierovy ˇrady)6

5

Kr´ atk´ a uk´ azka pro Sierpinského troj´ uheln´ık: Nakresleme na pap´ır 3 body, vrcholy troj´ uheln´ıka. D´ ale zvolme jeden bod libovolnˇe na pap´ıˇre. Dalˇs´ı zakresleme v polovinˇe u ´seˇcky spojuj´ıc´ı n´ aˇs bod a libovoln´ y vrchol, kter´ y si zvol´ıme. Budeme-li tento postup opakovat dostateˇcnˇe dlouho, objev´ı se n´ am frakt´ al. 6 Podle [W2].

20

Kapitola 5 Teorie generace IFS IFS algoritmy pracuj´ı s afinn´ımi transformacemi a zjednoduˇsenˇe ˇreˇceno nedˇelaj´ı nic jiného, neˇz ˇze v postupn´ ych iterac´ıch nad zvolen´ ym objektem a objekty postupnˇe vznikaj´ıc´ımi provádˇej´ı tyto transformace. Afinn´ı transformace lze reprezentovat r˚ uznˇe, ale ideáln´ım zp˚ usobem se jev´ı zápis a práce s nimi v maticové podobˇe. To nám také pomáhá, pokud chceme generátor navrhnout v programu MatLab, kter´ y pracuje taktéˇz s maticemi. V této kapitole bude zm´ınˇena nejnutnˇejˇs´ı teorie generace IFS. Tato teorie mus´ı b´ yt, a také je, pˇr´ımo implementována do budouc´ıho generátoru. T´ım zde de-facto zaˇc´ıná popis programu. Systém iterovan´ ych funkc´ı pracuje s mnoˇzinou bod˚ u, jakoˇzto objektem, a s transformacemi, které vzniknou sloˇzen´ım (nˇekolika) tzv. afinn´ıch transformac´ı.1 Pomoc´ı tˇechto transformac´ı uˇzivatel pokryje“ základn´ı objekt. V kaˇzdém kroku bˇehu programu se naˇctou objekty ” vypoˇc´ıtané v minulé iteraci a nad tˇemito objekty se realizuje aplikace jednotliv´ ych transformac´ı. Novˇe vzniklé objekty se zap´ıˇs´ı na konec fronty a zároveˇ n se dokresl´ı do existuj´ıc´ı koláˇze. V dalˇs´ım kroku jsou jako základn´ı objekty k v´ ypoˇct˚ um pouˇzity tyto. Sloˇzitost v´ ypoˇctu rychle nar˚ ustá – operace se provádˇej´ı nad kaˇzd´ ym polygonem v ploˇse a spolu se vzr˚ ustaj´ıc´ım poˇctem zadan´ ych bod˚ u, transformac´ı nebo iterac´ı je ˇcas potˇrebn´ y pro ˇreˇsen´ı exponenciálnˇe prodluˇzován. 1

Mezi afinn´ı transformace se poˇc´ıtaj´ı vˇsechny základn´ı lineárn´ı transformace – zmenˇsen´ı, zvˇetˇsen´ı, rotace, zkosen´ı, posunut´ı, stˇrih. V´ıce viz 5.4

21


5.1

5.1. Z´ akladn´ı pojmy

Z´ akladn´ı pojmy

Line´ arn´ı algebra Generace IFS pˇripom´ıná cviˇcen´ı z lineárn´ı algebry. Pro dalˇs´ı se pˇredpokládá zaveden´ı skalár˚ u a vektor˚ u (tj. mnoˇziny libovoln´ ych prvk˚ u) a podm´ınek pro vznik 2 lineárn´ıho prostoru. Maticov´ y poˇ cet Matice je uspoˇrádané schéma reáln´ ych ˇc´ısel v obecné formˇe m Ö n. M i n jsou pevnˇe daná ˇc´ısla mˇen´ıc´ı se pouze za zvláˇstn´ıch okolnost´ı jako je násoben´ı. Matice budou znaˇceny velk´ ymi p´ısmeny. Matici lze popsat bud’to jej´ı vlastnost´ı nebo ˇrádkov´ ymi ˇci sloupcov´ ymi vektory. Metrika a metrick´ y prostor Metrick´ y prostor je teoretick´ y mezikrok, podstatn´ y pro odvozen´ı konktrakce a Banachovy vˇety. Jeho odvozen´ı je uvedeno na stránce 90 v [3]. Z odvozen´ı je podstatná pouze podoba metrického prostoru (X, d).

5.2

Pevn´ y bod, kontraktivn´ı zobrazen´ı

Následuj´ıc´ı ˇcást aplikuje vˇetu o Banachovˇe pevném bodu: Necht’ X je metrick´ y prostor s metrikou d. Dále, necht’ f je funkce mapuj´ıc´ı mnoˇzinu A na mnoˇzinu X: f: A → U (5.1) pˇriˇcemˇz A je podmnoˇzinou mnoˇziny X. Jestliˇze dále pro funkci f existuje bod x0 takov´ y, ˇze plat´ı: f (x0 ) = x0

(5.2)

tj. bod x0 je funkc´ı f mapován sám na sebe, pak se bod x0 naz´ yvá pevn´ y bod. Pro pˇredstavu; bod [0, 0] je funkc´ı násoben´ı vˇzdy mapován sám a sebe, tud´ıˇz v soustavˇe reáln´ ych ˇc´ısel a funkce násoben´ı se jedná o pevn´ y bod. 2

Nad vektory je definov´ ano: sˇc´ıtán´ı a násoben´ı, kumulativnost a asociativita sˇc´ıtán´ı, existence opaˇcn´ ych vektor˚ u, platnost distributivn´ıho zákona apod.

22


5.3. Hutchison˚ uv oper´ ator, mnoˇzina bod˚ u, pokryt´ı

Je-li X metrick´ y prostor s metrikou d a plat´ı i v´ yˇse uvedené, pak zobrazen´ı f : X → X je kontraktivn´ı na mnoˇzinˇe A ⊆ X, pokud existuje δ ∈ (0, 1) takové, ˇze pro kaˇzdá p, q ∈ A plat´ı: d(f (p), f (q)) ≤ δd(p, q).

(5.3)

Konstanta δ se naz´ yvá kvocient kontrakce. Pro generaci IFS fraktál˚ u je urˇcuj´ıc´ı, aby zobrazen´ı bylo kontrakc´ı. Vznikaj´ıc´ı kopie jsou tedy menˇs´ı neˇz objekt p˚ uvodn´ı, docház´ı ke zmenˇsován´ı vzoru a tato posloupnost má bodov´ y atraktor. Pokud zobrazen´ı nen´ı kontrakc´ı, velmi rychle rostou rozmˇery objektu. Tento stav nen´ı ˇzádouc´ı.

5.3

Hutchison˚ uv pokryt´ı

oper´ ator,

mnoˇ zina

bod˚ u,

Hutchison˚ uv operátor je definován vztahem (3.9). V tomto vztahu figuruj´ı veliˇciny w a X – zobrazen´ı, tedy transformace a mnoˇzina bod˚ u. Mnoˇzina bod˚ u X je mnoˇzinou, nad kterou se realizuj´ı transformace w tak, aby se naˇsel spoleˇcn´ y pr˚ unik vˇsemi realizovan´ ymi transformacemi. Tento vztah je stˇeˇzejn´ı, ale v kódu lehce provediteln´ y, proto se o nˇem dále nebudeme zmiˇ novat. Pokryt´ı základn´ıho objektu je ve skuteˇcnosti zadán´ı transformaˇcn´ıch matic. Na obrázku n´ıˇze je vidˇet postup jak vˇse prob´ıhá. V ideáln´ım pˇr´ıpadˇe uˇzivatel nakresl´ı / zadá pomoc´ı bod˚ u základn´ı objekt a zadefinuje téˇz podobu objekt˚ u vznikl´ ych prvn´ı iterac´ı programu. Vytvoˇren´ı takového algoritmu je ovˇsem obt´ıˇzné a nav´ıc ruˇcn´ı zadáván´ı nen´ı dostateˇcnˇe pˇresné. IFS tedy vyuˇz´ıvá popisu pomoc´ı transformac´ı základn´ıho objektu. V této práci je vyuˇzito dvou vzájemnˇe ekvivaletn´ıch metod, a to bud’ zadáván´ı pomoc´ı parametr˚ u transformaˇcn´ıch matic uveden´ ych dále (jejich pˇrepoˇcet zaˇr´ıd´ı MatLab), nebo pomoc´ı naˇcten´ı extern´ıho souboru v pˇreddefinovaném formátu (vyuˇz´ıvá matice tvaru [a b c d e f ], která je normou pro zadáván´ı IFS transformac´ı v cizojazyˇcné literatuˇre). Je na uˇzivateli, zvol´ı-li prvn´ı ˇci druhou metodu. Program nav´ıc funguje jako velmi primitivn´ı pˇrevadˇeˇc mezi obˇema druhy zápisu, jak je zm´ınˇeno v kapitole 6.

23


5.4. Transformace

Obrázek 5.1: Princip pokr´ yván´ı základn´ıho objektu

5.4

Transformace

Afinn´ı transformace je definována vztahem: x(w) = AW + B

Tato rovnice m˚ uˇze b´ yt dále rozepsána: x2 a11 a12 x1 b1 w: = + y2 a21 a22 y1 b2

(5.4)

(5.5)

Jednotlivé koeficienty matice A se uplatˇ nuj´ı pˇri rotaci, zkosen´ı a zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka, koeficienty matice B pˇri posunut´ı. Souˇradnice xn a yn náleˇz´ı iterovanému bodu. V´ ysledná matice je tedy typu 3Ö3 a vzniká sloˇzen´ım matic A a B tak, jak bude uvedeno dále. V nˇekteré literatuˇre se daj´ı naj´ıt i metody, kdy se matice nechávaj´ı rozdˇelené, ale to pouze ve chv´ıli, kdy máme jiˇz fináln´ı transformaˇcn´ı matici, tedy pˇr´ıpadn´ y souˇcin d´ılˇc´ıch parametrizovan´ ych afinn´ıch matic (transformac´ı). Vzhledem k tomu, ˇze u ´kolem této práce je nalézt obecné ˇreˇsen´ı, je potˇreba se pˇridrˇzet nejobecnˇejˇs´ıho zadávan´ı matic. Z ˇreˇceného v´ yˇse vypl´ yvá tvar matice 3Ö3 ve vztahu (5.6) vpravo.   a11 a12 0 w : [x2 , y2 , 1] = [x1 , y1 , 1]  a21 a22 0  (5.6) tx ty 1 Kde tx resp. ty odpov´ıdá b1 resp. b2 v (5.5). Tato matice bude dále v textu oznaˇcována jako Mat . Tato u ´prava, aˇckoliv zdánlivˇe nepodstatná, umoˇzn ˇuje vzájemné násoben´ı poˇzadovan´ ych matic, které se navol´ı pˇred v´ ypoˇctem u ´lohy. Také se pˇrehod´ı poˇrad´ı pro násoben´ı matice A s vektorem. Pˇred vyjmenován´ım vˇsech 24


5.4. Transformace

moˇzn´ ych transformac´ı provedeme jeˇstˇe roznásoben´ı naznaˇcené na (5.6). Tato soustava tˇr´ı rovnic názornˇe demonstruje vnitˇrn´ı mechanismy v´ ypoˇctu bodu a umoˇzn ˇuje rychle si ovˇeˇrit v´ ypoˇcet matice Mat . x2 = x1 a11 + y1 a12 + tx y2 = x1 a21 + y1 a22 + ty 1 = 0x1 + 0y1 + 1

(5.7) (5.8) (5.9)

Vztah (5.9) nen´ı potˇreba dále uvádˇet. V matici pouze udrˇzuje kompaktnost 3Ö3. Uplatnil by se pouze v perspektivn´ım zobrazen´ı nebo v nelineárn´ı transformaci (ani jedno nebude pro planárn´ı návrh potˇreba). Pˇresto se v programu matice objevuje celá.

Z´ akladn´ı matice transformac´ı: Posun bodu v vektor [px , py ]. Zmˇena mˇeˇr´ıtka s koeficientem Ms . Horizont´ aln´ı zmˇena mˇeˇr´ıtka s koeficientem Mx . Vertik´ aln´ı zmˇena mˇeˇr´ıtka s koeficientem My . Horizont´ aln´ı zeˇsikmen´ı s koeficientem Sx . Vertik´ aln´ı zeˇsikmen´ı s koeficientem Sy . Rotace kolem poˇc´ atku o u ´hel α. (Pr´ azdná matice 3 .)

Nyn´ı budou podrobnˇe popsány jednotlivé transformace vˇcetnˇe parametr˚ u, a to v poˇrad´ı, v jakém se vyskytuj´ı v generátoru IFS. Pˇridrˇz´ıme se u ´pravy z [W2]. Vˇsechny tyto operace lze vyuˇz´ıvat samostatnˇe, nebo v libovoln´ ych kombinac´ıch.4 3

Resp. jednotkov´ a matice: 

1  0 0

0 1 0

 0 0  1

Aˇckoliv tato matice nijak neovlivn´ı v´ ysledek, u ´myslnˇe byla pˇridána. Vyskytuje se totiˇz v naprogramovaném gener´ atoru. 4 Pro tento pˇr´ıpad obsahuje program funkce, které jednotlivé transformace naˇctou, vynásob´ı a uprav´ı.

25


5.4. Transformace

Posun bodu o vektor [px , py ]: Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x2 = x1 + px y2 = y1 + py Transformaˇcn´ı matice:

(5.10)



Mtrans1

 1 0 0 = 0 1 0  px py 0

(5.11)

Tato transformace posune bod v souˇradnicovém systému x − y o zvolen´ yu ´sek. A to nezávisle na dalˇs´ıch transformac´ıch. Je tˇreba poˇc´ıtat s t´ım, ˇze pokud napˇr. dalˇs´ı zvolenou transformaˇcn´ı matic´ı pro tuto transformaci bude zmˇena mˇeˇr´ıtka, je potˇreba velikost posunu vynásobit obrácenou hodnotou mˇeˇr´ıtka. Kontrakce totiˇz prob´ıhá vˇcetnˇe prvn´ı iterace. Zmˇ ena mˇ eˇ r´ıtka s koeficientem Ms : Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x 2 = Ms x 1 y2 = Ms y 1 Transformaˇcn´ı matice:



Mtrans2

 Ms 0 0 =  0 Ms 0  0 0 1

(5.12)

(5.13)

Tato transformace vynásob´ı koeficientem Ms souˇradnice vˇsech bod˚ u. Obecnˇe !

plat´ı – má-li se jednat o IFS – ˇze Ms < 1. Jedná se tedy o kontrakci5 . Jako podm´ınka existence IFS fraktálu totiˇz plat´ı následuj´ıc´ı vztah: lim Mtrans2 w[xiter−1 , yiter−1 , 1] −→ 0

iter→∞

T´ım je zajiˇstˇen bodov´ y atraktor IFS systému.

5

Tj. zmenˇsov´ an´ı rozmˇer˚ u celého objektu.

26

(5.14)


5.4. Transformace

Horizont´ aln´ı zmˇ ena mˇ eˇ r´ıtka s koeficientem Mx : Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x 2 = Mx x 1 y2 = y1 Transformaˇcn´ı matice:

(5.15)



Mtrans3

 Mx 0 0 = 0 1 0  0 0 0

(5.16)

Obdoba 2. transformace, nicménˇe tato mˇen´ı pouze mˇeˇr´ıtko x-ové souˇradnice. Opˇet by mˇelo Mx < 1. Vertik´ aln´ı zmˇ ena mˇ eˇ r´ıtka s koeficientem My : Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x2 = x1 y 2 = My y1 Transformaˇcn´ı matice:



Mtrans4

 1 0 0 =  0 My 0  0 0 0

(5.17)

(5.18)

Jako (4.13), pouze pro y-ovou souˇradnici. Horizont´ aln´ı zeˇ sikmen´ı s koeficientem Sx : Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x 2 = x 1 + Sx y 1 y2 = y1 Transformaˇcn´ı matice:



Mtrans5

 1 0 0 =  Sx 1 0  0 0 0

(5.19)

27

(5.20)


5.5. Zkr´ acen´ a matice transformace

Vertik´ aln´ı zeˇ sikmen´ı s koeficientem Sy : Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x2 = x1 y 2 = y 1 + Sy x 1 Transformaˇcn´ı matice:

(5.21)



Mtrans6

 1 Sy 0 = 0 1 0  0 0 0

(5.22)

Rotace okolo poˇ c´ atku o u ´ hel α: Zápis pomoc´ı souˇradnic bod˚ u: x2 = x1 cos(α) − y1 sin(α) y2 = x1 sin(α) + y1 cos(α)

(5.23)

Transformaˇcn´ı matice: 

Mtrans7

 cos(α) sin(α) 0 =  − sin(α) cos(α) 0  0 0 1

(5.24)

Nutno zádávat v radiánech.

Toto byly vˇsechny základn´ı (lineárn´ı) transformaˇcn´ı matice, jejichˇz kombinac´ı (souˇcinem) vznikne v´ ysledná matice. Ta se uloˇz´ı jako jedna z transformac´ı 6 (tr1 , tr2 . . . trn ) .

5.5

Zkr´ acen´ a matice transformace

Velice ˇcasto lze natrefit v souvislosti se zadaván´ım transformac´ı na jin´ y druh zápisu. Napˇr´ıklad [A1],[A10],[A11] a [3] preferuj´ı matici formátu [a b c d e f ]. V tomto pˇr´ıpadˇe jde skuteˇcnˇe pouze o odliˇsn´ y zp˚ usob vyjádˇren´ı jednotliv´ ych transformac´ı. Z prvn´ı na druhou jsou potom tyto matice pˇreveditelné. 6

V cizojazyˇcné literatuˇre se transformace zpravidla oznaˇcuj´ı (w1 , w2 . . . wn ) [A1] [A2].

28


5.5. Zkr´ acen´ a matice transformace

Jednotlivé parametry definuje následuj´ıc´ı rovnice, která je pouze pˇrepisem vztahu (5.5): x1 a b x1 e w = + (5.25) x2 c d x2 f kde koeficienty a a d odpov´ıdaj´ı zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka ve smˇeru x resp. y, koeficienty e a f representuj´ı posun ve smˇeru x resp. y a koneˇcnˇe b a c odpov´ıdaj´ı rotaci. Tento zp˚ usob je vyuˇz´ıván programem v pˇr´ıpadˇe zadáván´ı transformac´ı souborem .txt, jak je uvedeno v následuj´ıc´ı kapitole. V´ yhodou je jednoduˇsˇs´ı formulace, problém nˇekdy m˚ uˇze b´ yt fakt, ˇze tato matice neodpov´ıdá afinn´ı transformaci a v principu m˚ uˇze udávat libovolnˇe sloˇzitou transformaci (zpˇetnˇe je obt´ıˇznˇe rozloˇzitelná). Pro potˇreby generace IFS to ale nen´ı podstatné.

29

Kapitola 6 Gener´ ator IFS v MATLABu Na základˇe teorie uvedené v kapitolách 3 a 5 byl naprogramován generátor, kter´ y bude nyn´ı popsán. Skládá se z 33 funkc´ı, které jsou vyjmenovány v Dodatku A kapitoly 12. Protoˇze kód i bez GUI obsahuje pˇres tis´ıc ˇrádk˚ u, nelze ho zde detailnˇe popisovat – pˇr´ıpadn´ y zajemce si m˚ uˇze cel´ y program postupnˇe prohlédnout na pˇriloˇzeném CD; nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı funkce jsou podrobnˇe komentované. Zásadn´ım rozhodnut´ım byla volba promˇenn´ ych, protoˇze tyto se vyskytuj´ı i v PDE ˇcásti a mus´ı b´ yt tedy kompaktibiln´ı. Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı promˇenné jsou: POINTS ARRAY Globáln´ı promˇenná, rozmˇer n × 3, kde n urˇcuje aktuáln´ı poˇcet poˇcáteˇcn´ıch bod˚ u (vrchol˚ u). D˚ uleˇzité jsou pouze sloupce ˇc.1 a 2, posledn´ı sloupec je implicitnˇe doplnˇen na hodnotu 1.1 Tato matice je tedy promˇenlivé délky a representuje poˇcáteˇcn´ı objekt. Lze do n´ı body pˇridávat, nebo vˇzdy od posledn´ıho zadaného odeb´ırat, a to i mezi bˇehy programu. Tato promˇenná se také automaticky napln´ı body, uchovan´ ymi v 1. nebo 2. slotu, pokud je jeden z nich aktivován. Body zadané do té doby jsou smazány. Podobn´ y je postup, je-li naˇcten soubor bod˚ u. TRANSFORM ARRAY Kaˇzdá submatice m × n z matice m × n × t odpov´ıdá jedné zat´ım nevypoˇc´ıtané transformaci sloˇzené z jednotliv´ ych afinn´ıch transformac´ı (kde kaˇzdá ˇrádka m odpov´ıdá jedné). Hodnota t koresponduje s celkov´ ym poˇctem transformac´ı. 1

Snaha dodrˇzet konvenci neustále doplˇ novat matici do prostorové podoby. Pozdˇeji je tˇret´ı sloupec opˇet odˇr´ıznut.

30


6.1. GUI

Tak jako u matice POINTS ARRAY lze transformace kdykoliv pˇridávat, nebo ub´ırat, zvolit naˇcten´ı zásobn´ıku ˇci souboru. NOI Skalárn´ı veliˇcina udává poˇcet iterac´ı. Jelikoˇz se tato hodnota mˇen´ı nejˇcastˇeji, je taktéˇz globáln´ı. Volitelne funkce Matice 4 × 1 uchovává informace o dodateˇcn´ ych volbách. Toto pole se samo napln´ı po spuˇstˇen´ı get IFS . COMPLETE CELL Cell naplnˇen´ y polygony zkonstruovaného fraktálu. Kaˇzdá buˇ nka obsahuje v´ıcerozmˇernou matici se seznamem bod˚ u pro danou iteraci.

6.1

GUI

Pro bˇeh programu je nezbytn´ y spuˇstˇen´ y MatLab. IFS generátor lze spustit pomoc´ı funkce fractal preamble.m, nebo zadán´ım fractal preamble do promptu MatLabu, je-li souˇcasnˇe Workspace uvnitˇr koˇrenového adresáˇre programu IFS-PDE-CM. Po chvilce se naˇcte a na obrazovce zobraz´ı okno s hlaviˇckou Hlavn´ ı menu.Grafické rozhran´ı je zobrazeno na obrázku 12.2. Jednotlivé funkce budou probrány dále.

Zad´ av´ an´ı bod˚ u K vkládán´ı jednotliv´ ych bod˚ u slouˇz´ı oblast nahoˇre vlevo. Vˇzdy je potˇreba zadat obˇe souˇradnice. S v´ yhodou lze body zadávat i pomoc´ı matematick´ ych operátor˚ u, konstat, pˇr´ıpadnˇe funkc´ı, které MatLab zná (π, cos, sin, . . .). Pro uloˇzen´ı bod˚ u do pamˇeti staˇc´ı stisknout tlaˇc´ıtko Add point . Pˇri prvn´ım akceptovaném bodu by mˇelo tlaˇc´ıtko zezelenat. Program automaticky spoj´ı posledn´ı zadan´ y bod s prvn´ım, a tak vznikne poˇcáteˇcn´ı uzavˇren´ y obrazec – polygon. Poˇcet bod˚ u by nemˇel pˇresáhnout 10, ˇcas nutn´ y k vykreslen´ı fraktálu potom roste s kaˇzdou iterac´ı velmi strmˇe. Pokud jsou body zadány správnˇe lze pˇrej´ıt k zadáván´ı transformac´ı. Uˇzivateli by téˇz mˇely pomoci pointery um´ıstˇené pod horn´ım okrajem okna.

31


6.1. GUI

Zad´ av´ an´ı transformac´ı Nejprve je potˇreba rozhodnout, které z afinn´ıch transformac´ı budou pˇridány do konkrétn´ı transformace. Budou to ty, u kter´ ych se aktivuje knofl´ık Pouˇz´ıt? . Zcela na pravé stranˇe je legenda, která kaˇzdou afinn´ı transformaci popisuje; jsou seˇrazeny v souladu s odstavcem 5.4. Po stisku Transform probˇehne pro kaˇzdou transformaci naˇcten´ı potˇrebn´ ych afinn´ıch matic ze zdroje a jejich vzájemné pronásoben´ı. Zelená barva indikuje správné naˇcten´ı, ˇcervená znaˇc´ı opak. Pokud uˇzivatel vybere nˇekterou z transformac´ı, ale nezadá poˇzadovan´ y parametr nastane jedna z eventualit: Pokud nechal implicitnˇe zadanou hodnotu (tj. 0), program to akceptuje a násob´ı ostatn´ı matice s touto. V pˇr´ıpadˇe mˇeˇr´ıtka to znamená automaticky ˇspatn´ y v´ ysledek; v pˇr´ıpadˇe posunu nikoliv. Pokud vˇsak nebyla zad´ ana ˇzádná hodnota a byla smazána i nula, je na v´ ystup vypsána chyba a program dál nepokraˇcuje. Spolu s t´ım se thread programu zastav´ı na m´ıstˇe, odkud jiˇz nelze pokraˇcovat.

Funkce Save / Load Seznam bod˚ u i transformac´ı m˚ uˇze b´ yt dlouh´ y nebo komplikovan´ y na vkládán´ı. Pak je vhodné tuto ˇcinnost provést pouze jednou. T´ım se uspoˇr´ı ˇcas a eliminuje moˇznost chyby pˇri zadáván´ı. Proto byly do programu implementovány funkce podobné schránce z Windows. V pˇr´ıpadˇe potˇreby staˇc´ı stisknout Save1 , popˇr. Save2 . Poté se body uloˇz´ı do prvn´ı nebo druhé schránky. Zde jsou k dispozici i po znovuspuˇstˇen´ı programu a daj´ı se ihned naˇc´ıst stiskem Load1 , popˇr. Load2 . Pˇri práci s transformacemi je postup analogick´ y.

Pr´ ace se soubory Program umoˇzn ˇuje naˇc´ıtat pˇreddefinováné soubory bod˚ u i transformac´ı. Je-li potˇreba celá databáze fraktál˚ u, je tento postup v´ yhodn´ y. Dokonce lze body ˇci transformace zadané a otestované v programu uloˇzit jako .txt soubor. Dalˇs´ı moˇznost´ı je editovat jiˇz existuj´ıc´ı soubory. Aby tyto byly akceptovány programem, mus´ı korespondovat se vzory v tabulce 6.1 a 6.2. Oddˇelovaˇcem desetin´ ych m´ıst je pouze teˇcka, oddˇelovaˇcem hodnot mezera.

Zobrazit poˇ c´ ateˇ cn´ı body Tlaˇc´ıtko Show points na obrazovce vykresl´ı polygon z doposud naˇcten´ ych bod˚ u. Tato funkce je vhodná ke kontrole zadán´ı. 32


6.1. GUI

x1 y1 x2 y2 x3 y3 .. . Tabulka 6.1: Struktura .txt souboru s body. a1 b1 c1 d1 e1 f1 a2 b2 c2 d2 e2 f2 a3 b3 c3 d3 e3 f3 .. . Tabulka 6.2: Struktura .txt souboru s transformacemi.

Zpˇ et Tlaˇc´ıtko Zpˇet lze vyuˇz´ıt pokud byly poslednˇe zadané koordináty chybné. Umoˇzn ˇuje totiˇz obebrat z globáln´ıch promˇenn´ ych posledn´ı matici. Je pouˇzitelné i v pˇr´ıpadˇe naˇcten´ı bod˚ u ze souboru nebo schránky, a tak lze dosáhnout zaj´ımav´ ych v´ ysledk˚ u. Lze vracet samostatnˇe bod po bodu, pˇr´ıpadnˇe transformace.

Stejn´ e / Variabiln´ı mˇ eˇ r´ıtko

Obrázek 6.1: Knofl´ık

Mx = My aktivovan´ y (vlevo) a vypnut´ y (vpravo).

33


6.1. GUI

Umoˇzn ˇuje pˇrep´ınat zobrazen´ı. V drtivé vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u je vhodn´ y pomˇer mˇeˇr´ıtek defaultnˇe nastaven automaticky. V pˇr´ıpadˇe vypnut´ı této volby m˚ uˇze nastat pˇr´ıpad, kdy nen´ı koláˇz zobrazena, nebo nastane chyba. Bohuˇzel pˇresn´ y d˚ uvod zat´ım nebyl lokalizován.

Poˇ cet iterac´ı Dále je potˇreba zvolit poˇcet iterac´ı, tj. krok˚ u programu. Po spuˇstˇen´ı je nastavena hodnota 3, jeˇz se dá libovolnˇe mˇenit. Je ovˇsem potˇreba dbát nároˇcnosti v´ ypoˇctu. Optimáln´ı postup respektuje doporuˇcen´ı zadávat nejprve hodnotu v rozmez´ı 1-3 iterac´ı, zobrazuje-li se fraktál podle pˇredstav, lze postupnˇe poˇcet iterac´ı zvyˇsovat. Pro pouhou pˇredstavu o tvaru struktury jsou naprosto dostaˇcuj´ıc´ı 2 iterace.

Vˇ sechny transformace / Od transformace Tento knofl´ık je defaultnˇe aktivovan´ y. To znamená, ˇze program vypoˇc´ıtá i vykresl´ı vˇsechny iterace. To je v nˇekter´ ych pˇr´ıpadech nev´ yhodné.2 Deaktivace zajist´ı odkryt´ı nab´ıdky Od iterace: . Zde je moˇzné zadat, od které iterace je vykreslován´ı poˇzadováno, pro zobrazen´ı samotné posledn´ı iterace se mus´ı shodovat hodnoty Poˇ cet iterac´ı: a Od iterace: .

Get IFS Po zadan´ı vˇsech v´ yˇse uveden´ ych parametr˚ u lze pomoc´ı tohoto tlaˇc´ıtka odstartovat vlastn´ı generaci fraktálu. V MatLabu jsou parametry budouc´ıho fraktálu spolu s voliteln´ ymi funkcemi znovu uvedeny. Fraktál je vypoˇc´ıtán a zobrazen, jsou vypsány u ´daje o celkové dobˇe v´ ypoˇctu a dobˇe vykreslován´ı.

get PDE Tato volba nen´ı k dispozici, dokud nen´ı vypoˇc´ıtán IFS fraktál. Ten je vyuˇzit jako v´ ychoz´ı struktura. Umoˇzn ˇuje spustit PDE u ´lohu, dále je probrána v 9. kapitole. Z IFS je do PDE naˇctena struktura fraktálu, dále vrcholy bod˚ u, transformace a poˇcet iterac´ı. 2

U Sierpinského troj´ uheln´ıka docház´ı k pˇrekreslován´ı hran vlivem zaokrouhlován´ı. Pokud se vykresl´ı pouze posledn´ı iterace je objekt hladk´ y a bez pˇreskok˚ u. Nav´ıc pro dalˇs´ı vyuˇzit´ı je vhodná vychoz´ı struktura s ménˇe polygony umoˇzn ˇuj´ıc´ı rychlejˇs´ı v´ ypoˇcet. U vˇetˇsiny fraktál˚ u je v pˇr´ıpadˇe simulace nezbytné tento knofl´ık deaktivovat, tedy potvrdit vykreslen´ı pouze posledn´ı iterace.

34


6.2. Export

GenTool fc. Podobná funkce jako get PDE, dále probrána v 9. kapitole.

Znovu Restartuje program, jenˇz je uveden do stavu bezprostˇrednˇe po spuˇstˇen´ı. Sloty s body a transformacemi nejsou regenerovány.

Konec Pokus´ı se ukonˇcit hlavn´ı, ale i vˇsechna ostatn´ı okna a grafy. Uvnitˇr funkce je implementována klausule try-catch snaˇz´ıc´ı se zachytit thread.

6.2

Export

Jednou z posledn´ıch voleb je export v´ ysledku. Program nab´ız´ı dva moˇzné formáty v´ ysledného souboru. Prvn´ı má pˇr´ıponou .txt, druh´ y pˇr´ıponou .3dt. Oba soubory ´pravu ukládan´ ych lze nalézt v adresáˇri program output IFS generátoru. Za u soubor˚ u je zodpovˇedná funkce registry.m resp. registry3dt.m. Export lze bez problém˚ u modifikovat dle potˇreby. Ideáln´ım zp˚ usobem je tvorba nové tˇr´ıdy, zakomponován´ı dalˇs´ıho radio buttonu do tˇr´ıdy fractal main window.m a drobná u ´prava zkop´ırované funkce podle vlastn´ıho pˇrán´ı.

POLY Σ α1 α2 0 β1 β2 0 γ1 γ2 0 POLY Σ .. . Tabulka 6.3: Struktura souboru data.3dt. Legenda k tab. 6.3: Σ oznaˇcuje poˇcet bod˚ u (v polygonu), α1,2 souˇradnice bodu x, β1,2 bodu y a γ1,2 bodu z v polygonu. Pouˇziteln´ y pro export napˇr. do Excelu. Legenda k tab. 6.4: X oznaˇcuje poˇrádové ˇc´ıslo polygonu, α1,2 souˇradnice 35


6.3. Pˇr´ıklady generace

bodu x, β1,2 bodu y a γ1,2 souˇradnice z v polygonu X . Tento soubor lze naˇc´ıst do IE3D k následné simulaci. PolyX : α1 α2 0 β1 β2 0 γ1 γ2 0 Poly(X + 1) : .. . Tabulka 6.4: Struktura souboru data.txt.

6.3

Pˇ r´ıklady generace

Nyn´ı budou uvedeny nˇekteré vytvoˇrené IFS koláˇze. Ke vˇsem objekt˚ um je uloˇzen soubor s polygony a obrázek.

Sierpinsk´ eho troj´ uheln´ık Sierpinského troj´ uheln´ık je jedn´ım z nejznámˇejˇs´ıch IFS fraktál˚ u. K jeho generaci je zapotˇreb´ı 3 bod˚ u – vrchol˚ u troj´ uheln´ıka a 3 transformac´ı. Jednotlivé transformace w1,2,3 obsahuj´ı afinn´ı transformace zmˇena mˇeˇr´ıtka“ a posun bodu“. ” ” Body, pomoc´ı jichˇz byl fraktál generován: bod ˇc.1: x = 0 ; y = 0 bod ˇc.2: x = 100 ; y = 0 bod ˇc.3: x = 50 ; y = 70.71 Transformace: w1 : Ms = 21 w2 : Ms = 12 ; Px = 100 w3 : Ms = 12 ; Px = 50 ; Py = 70.71 ;3 3

Px znamen´ a posun ve smˇeru x, podobnˇe Py posun ve smˇeru y. Aby posuny odpov´ıdaly správnému posunu v nulté iteraci, je potˇreba je vynásobit mˇeˇr´ıtkem Ms . Toto násoben´ı totiˇz prov´ ad´ı s´ am gener´ ator a pˇri zad´ aván´ı transformac´ı je nutno na to pomatovat.

36



Obrázek 6.2: Sierpinského troj´ uheln´ık, IFS generátor, pouze 3.iterace

Sierpinsk´ eho kobereˇ cek Dalˇs´ım vygenerovan´ ym fraktálem je Sierpinského kobereˇcek (Sierpinsky carpet, obr. 6.4). Tento fraktál se generuje pomˇernˇe dlouho uˇz pˇri n´ızk´ ych iterac´ıch, protoˇze obsahuje 4 body, na které se aplikuje 8 transformac´ı. Body, pomoc´ı jichˇz byl fraktál generován: bod ˇc.1: x = 0 ; y = 0 bod ˇc.2: x = 50 ; y = 0 bod ˇc.3: x = 50 ; y = 50 bod ˇc.4: x = 0 ; y = 50 Transformace: w1 : Ms = 31 ; Px = 200 ; Py = 200 w2 : Ms = 13 ; Px = 200 ; Py = 50 37



Obrázek 6.3: Sierpinského troj´ uheln´ık, IFS generátor, 6. iterace w3 w4 w5 w6 w7 w8

: : : : : :

Ms Ms Ms Ms Ms Ms

= = = = = =

1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3

; ; ; ; ; ;

Px Px Px Px Px Px

= 200 ; Py = −100 = 50 ; Py = −100 = −100 ; Py = −100 = −100 ; Py = 50 = −100 ; Py = 200 = 50 ; Py = 200

Cantorovo discontinuum Jeden z prvn´ıch objeven´ ych fraktál˚ u v˚ ubec. Dá se mimo jiné generovat i pomoc´ı IFS. Potˇrebné body: bod ˇc.1: x = 0 ; y = 0 bod ˇc.2: x = 100 ; y = 0 38

ˇ 6.4. Casov´ a n´ aroˇcnost


Obrázek 6.4: Sierpinského kobereˇcek, IFS generátor, 3 iterace

Transformace: w1 : Mx = 13 ; Py = 3 w2 : Mx = 13 ; Px = 200 ; Py = 3 ;4 Dalˇs´ı fraktáln´ı struktury vhodnˇejˇs´ı k simulaci budou pˇredstaveny v kapitole 9.

6.4

ˇ Casov´ a n´ aroˇ cnost

N´ıˇze uvedené tabulky a grafy demonstruj´ı silnou nelineárn´ı závislost délky zobrazován´ı na poˇctu iterac´ı. Dokonce ani pomˇer ˇcasu potˇrebného na vykreslen´ı jednoho polygonu nen´ı konstatn´ı. Aˇckoliv by program vyˇsˇs´ı iterace velmi rychle vypoˇc´ıtal, 4

Zde je potˇreba zadat pouze mˇeˇr´ıtko Mx , ne mˇeˇr´ıtko Ms – zmenˇsoval by se potom i vertikáln´ı odstup ˇcar.

39

ˇ 6.4. Casov´ a n´ aroˇcnost


Obrázek 6.5: Cantorovo discontinuum, IFS generátor, 6 iterac´ı zobrazen´ı v´ ysledku by trvalo pˇriliˇs dlouho. Dále je vidˇet, ˇze doba v´ ypoˇctu je relativnˇe krátká a s rostouc´ım poˇctem prvk˚ u se pˇr´ıliˇs nezvyˇsuje. Je to dáno i t´ım, ˇze MatLab je na tento typ u ´loh uzp˚ usoben a v´ ypoˇcet nen´ı tak sloˇzit´ y jako vykreslen´ı.

Obrázek 6.6: Závislost doby v´ ypoˇctu (vlevo) a zobrazen´ı (vpravo) na stupni iterace a na poˇctu bod˚ u a transformac´ı. Tyto hodnoty byly z´ıskány na desktopu P4 Prescott, 3.03 GHz, 1 GB RAM, Dual Channel d´ıky funkc´ım tic-toc. Zaj´ımavost´ı je, ˇze na notebooku (AMD Turion) s v´ yraznˇe pomalejˇs´ım procesorem a poloviˇcn´ı pamˇet´ı, jiˇz témeˇr celou zab´ıral MatLab dosahoval pˇri vyˇsˇs´ıch iterac´ıch program lepˇs´ıch v´ ysledk˚ u. Vysvˇetlen´ı by mohl podat právˇe procesor Prescott, kter´ y na u ´loze pracoval vˇzdy jen jedn´ım ze dvou jader procesor.

40


6.5. Moˇzn´ a vylepˇsen´ı

Poˇ cet iterac´ı Doba v´ ypoˇ ctu [s] Doba vykreslov´ an´ı [s] 3 b., 3 t. 8 b., 5 t. 3 b., 3 t. 8 b., 5 t. 1 iterace 0.0939 0.0940 0.531 0.641 2 iterace 0.0939 0.0940 0.751 2.563 3 iterace 0.0940 0.1560 2.180 35.420 4 iterace 0.1250 0.2500 10.703 351.953 5 iterac´ı 0.1300 0.2562 73.297 6777.469 6 iterac´ı 0.2340 0.2630 364.906 > 120000 Tabulka 6.5: R˚ ust sloˇzitosti v´ ypoˇctu. Poznámka: b. – body, t. – tranformace

6.5

Moˇ zn´ a vylepˇ sen´ı

Závˇer této kapitoly bude vˇenován dalˇs´ımu rozvoji generátoru. Velká ˇcást nedostatk˚ u z p˚ uvodn´ı verze byla odstranˇena – zkvalitnil se vstup parametr˚ u a jejich správa, program byl zrychlen. Taktéˇz byly vytvoˇreny funkce, které postupem ˇcasu, jak se generátor vyuˇz´ıval, zaˇcaly b´ yt potˇrebné. Spolu s nimi ovˇsem vznikla nutnost dalˇs´ıch drobn´ ych u ´prav celku.

Shrnut´ı 1. Vylepˇ sen´ı proˇciˇstˇen´ı k´ odu sjednocen´ı funkc´ı, objekty vyˇreˇsit problém s tlaˇc´ıtkem

Kreslit:Mx = My ? 5

pˇri ukonˇcov´ an´ı programu, nebo nahláˇsené chybˇe opˇet naj´ıt thread

2. Rozˇ s´ıˇ ren´ı moˇznost zadat u ´vodn´ı objekt v grafickém podobˇe, program najde vrcholy sám editace jakéhokoliv bodu ze seznamu nab´ıdka, zda frakt´ al vykreslit, nebo pouze vypoˇc´ıtat (´ uspora ˇcasu)

5

Pˇrepis funkce Axis. Ta implicitnˇe umoˇzn ˇuje vytvoˇren´ı osového kˇr´ıˇze pouze pˇri 2, 4, 6 . . . elementech.

41

Kapitola 7 Mikrop´ askov´ e patch ant´ eny Prvn´ı koncepty mikropáskov´ ych antén se objevuj´ı v 50. letech. V následuj´ıc´ıch desetilet´ıch, s pˇr´ıchodem nov´ ych materiál˚ u (jako jsou n´ızkoztrátová dielektrika) a také nov´ ych potˇreb zejména ve vojenstv´ı, se tyto antény stávaj´ı nejen uspokojivˇe realizovateln´ ymi, ale i populárn´ımi. Jelikoˇz je pˇresn´ y návrh tˇechto antén obt´ıˇzn´ y, docház´ı ke skuteˇcnému boomu aˇz v letech osmdesát´ ych s nástupem poˇc´ıtaˇcové techniky a s t´ım spojené pˇresné a kvalitn´ı anal´ yzy. V souˇcasné dobˇe se jedná o velice rozˇs´ıˇren´ y typ antén pracuj´ıc´ıch v ˇrádu kmitoˇct˚ u od 100MHz v´ yˇse. Pˇredstavu o podobˇe patchové antény z mikropásku poskytuje obrázek 7.1. Zaˇcnˇeme popis obrázku od jeho spodn´ı ˇcásti. Ta je tvoˇrena zemn´ı rovinou (Ground Plane), k n´ıˇz pˇriléhá tenká vrstva dielektrického materiálu (Antenna Substrate). Na n´ı je um´ıstˇen kovov´ yu ´tvar representuj´ıc´ı vlastn´ı fl´ıˇckovou anténu (Patch An1 tenna ). Tato anténa m˚ uˇze m´ıt teoreticky libovoln´ y tvar, jako je pásek, ploˇska, elipsa, mezikruˇz´ı atp., ovˇsem v této práci si budeme dále vˇs´ımat pouze patch˚ u s fraktáln´ım charakterem; konkrétnˇe to znamená, ˇze na povrchu dielektrika je um´ıstˇena IFS koláˇz. Rozmˇer tohoto segmentu b´ yvá λ2 . Je-li vhodnˇe um´ıstˇeno napájen´ı (viz ˇcást 7.2), vznikne na povrchu motivu stojatá proudová vlna. Tato je pak zdrojem vyzaˇrovaného elektromagnetického pole. Tvar tohoto pole se naz´ yvá mód.2 V pˇr´ıpadˇe modáln´ı anal´ yzy se tedy v podstatˇe jedná o porovnán´ı sn´ımk˚ u rozloˇzen´ı proud˚ u. Abychom tyto obrázky z´ıskali, mus´ıme vyuˇz´ıt jednu z analyzaˇcn´ıch metod uveden´ ych v 8. kapitole. Za urˇcit´ ych podm´ınek je moˇzné vyuˇz´ıt planárn´ı rezonátor i pro veden´ı postupné proudové vlny podél antenn´ı struktury. Ta je taktéˇz schopna vyzaˇrovat elektromagnetickou vlnu do prostoru. Zpravidla se ale jedná o tvarovˇe jin´ y typ antény, neˇz v pˇr´ıpadˇe prvn´ım. V´ıce o tˇechto anténách, stejnˇe tak jako jejich vyobrazen´ı viz [12]. 1

Anglick´ y term´ın patch v pˇrekladu znamená záplata, fl´ıˇcek“. Pˇrestoˇze se v nˇekteré ˇceské ” literatuˇre tento term´ın vyskytuje, z˚ ustala vˇetˇsina autor˚ u u p˚ uvodn´ıho pojmu patch anténa 2 Analogie s kovov´ ymi vlnovody.

42


7.1. Princip ˇcinnosti

Obrázek 7.1: Mikropásková patch anténa.

7.1

Princip ˇ cinnosti

Pro popis mikropáskové antény je nutno zavést nˇekolik zjednoduˇsen´ı. Postupujme dále ve shodˇe s [W3]. Potˇrebné vztahy pro jednotlivé ztráty, u ´ˇcinnost a celkovou energii odvod´ıme na základˇe [13] a [14]. λ Pro malou v´ yˇsku antény ( < 10 ), tedy vzdálenost patch–zemn´ıc´ı rovina, je zˇrejmé, ˇze energie pole je smˇerována pod patch. Toto pole je skrze substrát dále ˇ ast energie odpov´ıdá ztrátám, kvantifikovan´ vyzaˇrováno do prostoru. C´ ym vztahy (7.3), (7.4) a (7.6). Dále si pro zjednoduˇsen´ı m˚ uˇzeme anténu pˇredstavit jako deskov´ y vlnovod s otevˇren´ ym koncem a zkoumat velikost ˇcinitele odrazu |Γ|e−jφ . Modul m˚ uˇzeme vyjádˇrit: 2πh (7.1) Γ = e λ0 e−jΦ , fázi Φ potom: 4h Φ= ln λ0

eλ0 γh

−

∞ X

(

i=1

sin −1

2h nλ0

2h − nλ0

) ,

(7.2)

. . kde e = 2.718 a γ = 1.781. Vyˇc´ıslit tyto vztahy je pro komplikovanou provázanost geometrie a materiálu substrátu s modulem i fáz´ı obt´ıˇzné. Problém je moˇzné 43


7.1. Princip ˇcinnosti

Obrázek 7.2: Mód proudového rozloˇzen´ı fraktáln´ı struktury. v´ yznamnˇe redukovat zjiˇstˇen´ım, ˇze impendance je na (otevˇreném) konci vlnovodu velmi (teoreticky nekoneˇcnˇe) vysoká. Ze vztahu mezi elektrick´ ym a magnetick´ ym E polem Z = H a pˇri Z → ∞ dostáváme okrajovou podm´ınku H → 0. Tato skuteˇcnost, kdy má magnetické pole na hranici patche minimum, se naz´ yvá dokonalá magnetická stˇena PMC. Analogicky lze naproti tomu zemn´ı rovinu a záˇriˇc ohraniˇcit dokonalou elektrickou stˇenou PEC. Celkové pole pod patchem je tedy superpozic´ı jednotliv´ ych TEM vln (mód˚ u) respektuj´ıc´ıch okrajové podm´ınky. Tyto pˇredpoklady dále rozv´ıj´ı Dutinov´ y model uveden´ y v ˇcásti 8.1, umoˇzn ˇuj´ıc´ı analyzovat patch a z´ıskat numerické ˇreˇsen´ı pole, tj. jednotlivé módy. Vztahy popisuj´ıc´ı mikrop´ askovou ant´ enu Ztráty v dielektriku Pd : ω tan δ Pd = 2 Ztráty v kovu Pc :

ZZZ

ZZ Pc = R s

44

|Ez |2 dυ

|H|2 ds ,

(7.3)

(7.4)


7.2. Nap´ ajen´ı

kde |H| je velikost proudové hustoty na horn´ı a spodn´ı ˇcásti dokonalé magnetické stˇeny a odpor Rs : r πfr µ0 Rs = (7.5) δc pro δ c vodivost kovu. Dále z integráln´ıho vztahu pro Poynting˚ uv vektor odvodit ztráty vyzaˇrován´ım Pr : Z 2πZ π 1 |E|2 r2 sin θ dθ dυ (7.6) Pr = 4Z0 0 0 Na základˇe vztah˚ u (7.3), (7.4) a (7.6) definujeme vyzaˇrovac´ı u ´ˇcinnost: η=

Pr P r + P d + Pc

Celková energie pˇri rezonanci lze sumarizovat integrálem: ZZZ WT = |Ez |2 dυ 2

(7.7)

(7.8)

ˇ Cinitel ztrát tan δ ef f jako pomˇer ztrát a celkové energie: tan δ ef f =

Psum , ωWT

(7.9)

kde Psum = Pr + Pd + Pc Vztah mezi ˇcinitelem ztrát a ˇcinitelem jakosti: QT =

1 tan δ ef f

(7.10)

ˇıˇrka pásma BW: S´ P SV − 1 √ , (7.11) QT P SV BW ∈ (0, 1), pomˇer stojat´ ych vln P SV ≥ 1. [14] dodává, ˇze tento vztah je validn´ı pouze pokud se anténa chová jako jednoduˇse laditeln´ y RLC obvod. BW =

7.2

Nap´ ajen´ı

Napájen´ı antény je proveditelné jedn´ım ze ˇctyˇr následuj´ıc´ıch zp˚ usob˚ u. Prvn´ı dva kontaktn´ı zp˚ usoby jsou hojnˇe pouˇz´ıvány, dalˇs´ı dvˇe mladˇs´ı a sofistikovanˇejˇs´ı metody vyuˇz´ıvaj´ı elektromagnetickou vazbu. Umoˇzn ˇuj´ı napˇr. zvˇetˇsit tlouˇst’ku substrátu ˇci napájet anténn´ı ˇradu bez vzájemn´ ych interakc´ı. 45


7.2. Nap´ ajen´ı

Mikrop´ askov´ e veden´ı Jedná se o nejjednoduˇsˇs´ı zp˚ usob napájen´ı. Napájec´ı veden´ı je na stejném substrátu jako vlastn´ı anténa. Protoˇze je napájec´ı pásek spojen s vyzaˇruj´ıc´ım elementem, pod´ıl´ı se na vyzaˇrovac´ı charakteristice vlastn´ım parazitn´ım vyzaˇrován´ım. Dalˇs´ım faktorem provázej´ıc´ım tento druh zapojen´ı jsou ztráty na veden´ı a s nimi souvisej´ıc´ı sn´ıˇzen´ı celkové u ´ˇcinnosti antény, stejnˇe tak nemoˇznost pouˇz´ıt substráty vˇetˇs´ıch elektrick´ ych tlouˇst’ek.

Obrázek 7.3: Napájen´ı patch antény: a) mikropáskov´ ym veden´ım, b) koaxiáln´ım veden´ım, c) pr˚ uˇrez anténou b) v rovinˇe stˇredn´ıho vodiˇce koaxiáln´ıho napájeˇce. Mikropásek napájej´ıc´ı anténu mus´ı b´ yt rovnˇeˇz impendanˇcnˇe pˇrizp˚ usoben – impendance antény se mus´ı rovnat impendanci veden´ı. Toho lze dosahnout dvˇema zp˚ usoby: 1.

λ 4

-vlnn´ ym transform´ atorem

´ Usek veden´ı s elektrickou délkou λ4 má na obou konc´ıch stejnou impendanci. Tento poznatek lze vyuˇz´ıt pro pˇrizp˚ usoben´ı napájen´ı. 2. zapuˇ stˇ en´ ym p´ askem Vyuˇz´ıvá se znalosti proudového rozloˇzen´ı na vodiv´ ych ˇcástech antény, vol´ı se vhodné m´ısto a hloubka zapuˇstˇen´ı tak, aby byly impendance shodné. Antény napájené mikropáskem jsou jednoduché na sériovou v´ yrobu a daj´ı se snadno sdruˇzovat do ˇrad. Proto se stále pouˇz´ıvaj´ı. 46


7.2. Nap´ ajen´ı

Koaxi´ alnˇ e Koaxiáln´ı vodiˇc je pˇripojen zespoda k zemn´ı rovinˇe, stˇredn´ı vodiˇc procház´ı substrátem a je spojen se záˇriˇcem. Pouˇzit´ı koaxiáln´ı sondy vede k potlaˇcen´ı parazitn´ıho vyzaˇrován´ı pˇr´ıtomného v prvn´ım pˇr´ıpadˇe. Impendaˇcn´ıho pˇrizp˚ usoben´ı je opˇet dosaˇzeno vhodnou volbou pozice napájen´ı, tedy um´ıstˇen´ım koaxiáln´ıho konektoru. Za velk´ y klad lze oznaˇcit frekvenˇcn´ı nezávislost, a tedy moˇznost budit struktury na vyˇsˇs´ıch módech, resp. o v´ıce r˚ uzn´ ych módech. Takto napájené antény je bohuˇzel témˇeˇr nemoˇzné sdruˇzovat do ˇrad, uspokojivé ˇreˇsené je obt´ıˇzné. Dalˇs´ım negativem je nutnost pouˇz´ıt koaxiáln´ı konektor, na kterém mohou vznikat neˇzádnouc´ı odrazy. Problému, jak nalézt optimáln´ı pozice pro napájen´ı se mj. vˇenuje [W4]. Doporuˇcuje se hledat vhodné m´ısto pro napájen´ı nejprve na podélné ose záˇriˇce ve vzdálenosti zhruba 13 ve smˇeru rezonanˇcn´ıho rozmˇeru L.3 Ideáln´ı m´ısto pro napájen´ı je vˇzdy nutno naj´ıt pˇred anal´ yzou konkrétn´ıho vzorku, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe jsou v´ ysledky zat´ıˇzeny chybou.

Vazebn´ı ˇ stˇ erbinou Záˇriˇc je vybuzen pomoc´ı elektromagnetické vazby. Tu zprostˇredkovává ˇstˇerbina v zemn´ı rovinˇe, jak je vidˇet na obr.7.4. Jednou z pˇredn´ıch v´ yhod je moˇznost vyuˇzit´ı elektricky vyˇsˇs´ıch substrát˚ u, coˇz je mnohdy ˇzádouc´ı4 a sn´ıˇzen´ı interakce napájen´ı a záˇriˇc˚ u v pˇr´ıpadˇe anténn´ıch ˇrad (podle [10]). Velká variabilita pˇrizp˚ usobován´ı koresponduje se sloˇzitost´ı tohoto procesu.

Otevˇ ren´ ym koncem veden´ı Jedná se téˇz o nevodivé spojen´ı. Napájec´ı otevˇren´ y konec mikropásku je um´ıstˇen v niˇzˇs´ı vrstˇe substrátu, vodorovnˇe s patchem. Mezi anténou a otevˇren´ ym koncem nen´ı zemn´ıc´ı rovina tak jako v pˇredchoz´ım pˇr´ıpadˇe, proto, aˇc podobné, jsou vlastnosti tohoto typu napájen´ı horˇs´ı. Ilustraci k tomuto typu napájen´ı lze nalézt napˇr. v [10] a [14].

3

Kde impendance kles´ a od hodnot 100 - 250Ω na hranˇe patche aˇz po teoretickou hodnotu 0Ω ve stˇredu patche. 4 V r´ amci zlepˇsen´ı konkrétn´ıho parametru tento krok shrnuje tab. 7.2.

47


7.3. Parametry patch antén

Obrázek 7.4: Napájen´ı pomoc´ı vazebn´ı ˇstˇerbiny.

7.3

Parametry patch ant´ en

Následuje krátk´ y pˇrehled parametr˚ u typick´ ych pro patchové antény uvádˇené v literatuˇre. N´ıˇze uvedené hodnoty jsou sjednoceny podle [10]. Rozsah pracovn´ı frekvence se pohybuje od stovek MHz do stovek GHz, pˇriˇcemˇz ˇs´ıˇrka pásma je velice u ´zká, typicky 2-6% v oblasti GHz. D˚ uvodem malé ˇs´ıˇrky pásma je vysok´ y ˇcinitel jakosti bˇeˇzn´ ych záˇriˇc˚ u pohybuj´ıc´ı se v ˇrádu nˇekolika des´ıtek. Pouˇzit´ım vhodného tvaru patche, tvaru a druhu substrátu (feritov´ y, r = 9 − 16, pˇrirozená anizotropie, moˇznost pˇremagnetován´ı) a napájen´ı je moˇzné dosáhnout aˇz 30 i v´ıce procent pro stˇrednˇe vysoké kmitoˇcty. Smˇerovost m˚ uˇzeme oˇcekávat v rozmez´ı 5 aˇz 10 dBi, pro vyˇsˇs´ı substráty s niˇzˇs´ı relativn´ı permitivitou i v´ıce. Vyzaˇrovac´ı u ´ˇcinnost antény se pohybuje kolem 80 procent (jedná se vˇzdy o u ´daj pro pˇr´ıpad bezeztrátové antény), celková u ´ˇcinnost je potom od 40-50 do maximálnˇe 90 procent. Pokud je relativn´ı permitivita substrátu vˇetˇs´ı neˇz jedna (vzduchová a pˇenová dielektrika), m˚ uˇze na rozhran´ı substrát–vzduch docházet ke vzniku povrchov´ ych

48



vln. Ty zhorˇsuj´ı impendanˇcn´ı i vyzaˇrovac´ı vlastnosti a sniˇzuj´ı u ´ˇcinnost antény, coˇz je neˇzádouc´ı. Problematická je téˇz v´ ykonová zat´ıˇzitelnost, pohybuje se kolem max. 100W. Relativn´ı permitivita r substrátu oznaˇcuje schopnost dielektrika se polarizovat. ˇ C´ıselná hodnota dává do pomˇeru tuto schopnost u mˇeˇreného materiálu a u vakua. Ani u konkrétn´ıho materiálu nen´ı stálá – je ovlivnˇena tlakem, teplotou a také provozn´ı frekvenc´ı. U vˇetˇsiny látek s v´ yjimkou feroelektrik se pohybuje v rozmez´ı 1-10. Krom dielektrické konstanty je pˇri návrhu nutné zváˇzit i velikost ztrátového u ´hlu, homogenitu materiálu, rozsah pracovn´ıch teplot, pruˇznost, pevnost a opracovatelnost substrátu.5 Následuj´ıc´ı tabulka shrnuje pouˇz´ıvané materiály:6 Substr´ at r [-] (vzduch) (1.00059) Eccofoam PP-4 1.06 Rohacell 51 1.07 RT Duroid 5880 (Teflon) 2.1 Polypropylen 2.18 Teflon (RT) + sklo 2.55 Polystyren. pˇena 3.2 plnˇená titan. oxidem

Substr´ at Kˇremenné sklo Korund Oxid hlinit´ y Saf´ır Polo-isolaˇcn´ı GaAs Ferit

r [-] 3.75 9.8 9.9 11 13 9-16

Tabulka 7.1: Hodnoty r podle pouˇzitého substrátu. Na pˇr´ıkladu IFS koláˇze sloˇzené z hexagonáln´ıch polygon˚ u pouˇzité pro srovnán´ı v kapitole 9 a 10 a analyzované pomoc´ı metody moment˚ u v [A2], lze doloˇzit pozitivn´ı vliv fraktáln´ı struktury na parametry antény. Pro pˇr´ıpad druhého módu uvád´ı autor v pˇr´ıspˇevku následuj´ıc´ı parametry: fr2 = 1.403GHz, S11 = −21.88dB, BW = 0.19GHz a koneˇcnˇe pomˇer fr2 / fr1 = 5.33. Pro zaj´ımavost je uvedena téˇz ˇs´ıˇrka pásma BW tˇret´ıho módu: BW = 0.95GHz, pˇri rezonanˇcn´ı frekvenci fr3 = 4.263GHz. Takto pˇr´ıznivé hodnoty byly dosaˇzeny jiˇz pˇri druhé iteraci. Tab. 7.2 cituje doporuˇcené u ´pravy struktury uvedené v [12] vedouc´ı ke zlepˇsen´ı poˇzadované vlastnosti.7

5

Napˇr´ıklad jinak v´ yhodn´ y korund se obt´ıˇznˇe obráb´ı. Tento problém odpadá u jeho monokrystalické formy saf´ıru s velice kvalitn´ımi parametry. Dan´ı je vˇsak velmi vysoká cena. 6ˇ C´ asti tabulky pˇrevzaty z [12] a [W10]. 7 Tabulka urˇcen´ a prim´ arnˇe pro obdéln´ıkov´ y patch.

49



Nutné vlastnosti antény Poˇ zadavovan´ a vlastnost V´ yˇ ska substr. r substr. Plocha patche Vysoká vyzaˇr. u ´ˇcinnost vysok´ y n´ızká rozsáhlá N´ızké dielektrické ztráty n´ızk´ y n´ızká — N´ızké vodivostn´ı ztráty vysok´ y — — Velká ˇs´ıˇrka pásma vysok´ y n´ızk´ y rozsáhlá N´ızké postrann´ı vyzaˇr. n´ızk´ y n´ızká — Malá kˇr´ıˇzová polarizace — n´ızká — Lehké zat´ıˇzen´ı n´ızk´ y n´ızká — Velké zat´ıˇzen´ı vysok´ y vysoká rozsáhlá Tabulka 7.2: Zlepˇsen´ı parametr˚ u modifikac´ı struktury.

Pro své vlastnosti jsou antény pouˇz´ıvány zejména v letectv´ı, satelitn´ı technice, vojenské technice (rakety apod.), mobiln´ıch telefonech, WLAN, biomedic´ınˇe a v mnoha dalˇs´ıch oblastech. V závˇeru kapitoly jsou shrnuty vlastnosti ovlivˇ nuj´ıc´ı zásadn´ım zp˚ usobem nasazen´ı mikropáskov´ ych patch antén v konkrétn´ı aplikaci. Obsáhleji se nˇekter´ ym z v´ yhod vˇenuje publikace [12]. 1. V´ yhody n´ızk´ y profil (zemn´ı rovina, substrát, motiv) n´ızk´ a hmotnost jednoduch´ a a levná v´ yroba (tiˇstˇené obvody) mechanick´ a robustnost snadn´ a integrace do anténn´ıch ˇrad rychl´ y návrh podle poˇzadavk˚ u mohou b´ yt vzájemnˇe integrovány do obvod˚ u moˇznost pˇrizp˚ usobit anténu samotn´ ym napájen´ım plochou se m˚ uˇze pˇrizp˚ usobit okol´ı

Fraktáln´ı patch antény maj´ı nav´ıc následuj´ıc´ı v´ yhody: uzp˚ usoben´ı pro v´ıcepásmovou ˇcinnost niˇzˇs´ı rezonanˇcn´ı frekvence moˇznost simulace anténn´ı ˇrady (lokalizace proud˚ u)

50



m´ırné sn´ıˇzen´ı rozmˇer˚ u

2. Nev´ yhody mal´ a ˇs´ıˇrka pásma (velk´ y ˇcinitel jakosti Q) omezen´ y v´ ykon obt´ıˇzné dosaˇzen´ı ˇcisté polarisace v´ ykonˇejˇs´ı anténn´ı pole vyˇzaduj´ı sloˇzit´ y systém napájen´ı pro ˇspiˇckové hodnoty je potˇreba velmi kvalitn´ı (drah´ y) substrát nelze pouˇz´ıt unifikované nap´ ajen´ı pro vˇsechny typy antén

3. Podle pouˇzit´ı vyzaˇrov´ an´ı pouze do jedné poloroviny (pˇr´ıtomnost zemn´ı roviny)

51

Kapitola 8 Anal´ yza patch ant´ en Anal´ yza umoˇzn ˇuje – v´ıce ˇci ménˇe pˇresnˇe – odhadnout parametry navrhované antény. Docház´ı k u ´spoˇre ˇcasu i materiálu. M˚ uˇzeme tak studovat fyzicky neexistuj´ıc´ı struktury. Vlastn´ı v´ ypoˇcet je vˇsak komplikován mnoha faktory. Mezi nˇe patˇr´ı napˇr´ıklad pˇr´ıtomnost v´ıcevrstvého dielektrika, sloˇzit´ y tvar patche, vazba mezi v´ıce záˇriˇci nebo komplikovan´ y zp˚ usob napájen´ı. Pro potˇreby anal´ yzy mikropáskov´ ych antén existuje mnoho metod vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch r˚ uzné pˇr´ıstupy k simulaci elektromagnetického pole. Obecnˇe plat´ı, ˇze sloˇzitˇejˇs´ı metoda dává pˇresnˇejˇs´ı v´ ysledky, ovˇsem za cenu delˇs´ıho ˇcasu v´ ypoˇctu a vˇetˇs´ıch nárok˚ u na operaˇcn´ı pamˇet’. Proto je tˇreba nalézt optimáln´ı pomˇer mezi navzájem ambivalentn´ımi poˇzadavky pˇresnosti a rychlosti. Metody lze v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı rozdˇelit na tzv. analytické a numerické. D´ıky ˇcetn´ ym zjednoduˇsen´ım jsou analytické metody rychlé a jednoduché na implementaci. Prakticky nejsou vyuˇz´ıvány pro komerˇcn´ı software. Dutinov´ y model a model veden´ı patˇr´ı právˇe do této skupiny. Oproti tomu numerické metody pracuj´ı bez poˇcáteˇcn´ıch zjednoduˇsen´ı a ˇcasto nejsou omezeny tvarem ani sloˇzen´ım struktury antény. Poskytuj´ı pˇresnˇejˇs´ı v´ ysledky. Pro jejich efektivn´ı vyuˇz´ıván´ı je nutn´ y kvalitn´ı software i hardware. Mezi nejznámˇejˇs´ı patˇr´ı metoda koneˇcn´ ych prvk˚ u (FEM), momentová metoda (MoM) a metoda koneˇcn´ ych diferenc´ı (FD). Tyto metody lze dále dˇelit podle domény, ve které se hledá ˇreˇsen´ı na ˇcasové a frekvenˇcn´ı. Prvnˇe jmenované umoˇzn ˇuj´ı nalézt ˇreˇsen´ı pro libovoln´ y ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh. Druh´ y typ strukturu analyzuje pro soubor diskrétn´ıch frekvenc´ı. Nutn´ ym pr˚ ubˇehem je tedy harmonick´ y ustálen´ y stav. Mezi obˇema doménami lze pˇrecházet pomoc´ı (diskrétn´ı) Fourierovy transformace. Nejv´ıce pozornosti bude vˇenováno dutinovému modelu, ostatn´ı metody budou zm´ınˇeny pouze okrajovˇe.

52


8.1

8.1. Dutinový (Cavity) model

Dutinov´ y (Cavity) model

Zrekapitulujme závˇery 7. kapitoly stˇeˇzejn´ı pro dutinov´ y model. Ten popisuje mikropáskovou patch anténu jako dutinu obklopenou na okraji dokonalou magnetickou (PCM) a ze spodu a ze shora elektrickou (PEC) okrajovou podm´ınkou, v souladu s obr.8.1.

Obrázek 8.1: Okrajové podm´ınky patch antény. Matematicky lze tyto podm´ınky vyjádˇrit následovnˇe: E × z = 0, H.z = 0; pro z = 0, z = h

(8.1)

H × n = 0, E.n = 0; na hranici antény.

(8.2)

Vztah pro dokonalou magnetickou stˇenu (PMC) ∂E∂nz,n = 0 je znám jako Neumannova okrajová podm´ınka. Zanedbatelná v´ yˇska antény umoˇzn ˇuje uvnitˇr dutiny zanedbat rozmˇer z, tedy: Ex = 0, Ey = 0, Hz = 0 .

(8.3)

T´ım zb´ yvaj´ı nenulové sloˇzky Ez , Hx a Hy . T´ımto krokem je problém omezen na dva rozmˇery, resp. m˚ uˇzeme oˇcekávat ploˇsné proudové rozloˇzen´ı, ˇcili TM módy a také vertikáln´ı elektrické pole. Na tomto základˇe lze nam´ısto p˚ uvodn´ı sloˇzité rovnice (7.1) odvodit z Maxwellov´ ych rovnic Helmholzovu vlnovou rovnici (8.4) pro sloˇzku Ez (Maxwellovy rovnice umoˇzn ˇuj´ı dodateˇcnˇe vypoˇc´ıtat i Hx a Hy ). (∇t + kn2 ) Ez,n = 0 , (8.4) ∂2 ∂2 kde diferenciáln´ı operátor ∇t = ∂x2 + ∂y2 , kn2 jsou vlastn´ı ˇc´ısla odpov´ıdaj´ıc´ı jednotliv´ ym rezonanˇcn´ım frekvenc´ım frn , (n ∈ {1, 2, 3 . . . ∞}) a Ez,n jsou vlastn´ı funkce mapuj´ıc´ı rozloˇzen´ı Ez v dutinˇe. Nula na pravé stranˇe rovnice indikuje stav

53


8.1. Dutinový (Cavity) model

bez buzen´ı. Protoˇze tato práce studuje strukturu právˇe v tomto stavu, pˇr´ıpadem s vnucenou proudovou hustotou se zab´ yvat nebudeme.1 ˇ sen´ı Helmholzovy rovnice v uzavˇreném tvaru je známé pouze pro nˇekolik Reˇ elementárn´ıch tvar˚ u, sloˇzitˇejˇs´ı patche je nutno ˇreˇsit numericky. Pro tuto práci byl zvolen PDE toolbox v MatLabu. Rozloˇzen´ı pole ukazuje grafick´ y v´ ystup toolboxu. Rezonanˇcn´ı frekvence vyˇc´ısl´ıme u ´pravou vztah˚ u (8.5) a (8.6): Definujme rovnost koeficientu λn vypoˇcteného MatLabem a vlastn´ıho ˇc´ısla kn : λn = kn2 ,

(8.5)

kn2 = k 2 ,

(8.6)

a obecnou podm´ınku rezonance:

p kde k = −jωµ(δ + jω). Dále poloˇzme µr = 1, r = 1 a δ = 0. Rovnice pˇrejde do tvaru: λ = ω 2 µ0 0 , nyn´ı aplikujme vztahy c0 =

√1 0 µ0

(8.7)

a ω = 2πfr : λ=

4π 2 fr2 c20

a koneˇcnˇe vyjádˇreme fr :

(8.8)

√ c 0 λn frn = . (8.9) 2π . Index n odpov´ıdá n-tému módu struktury, c0 = 3.108 ms-1 je rychlost svˇetla ve vakuu. V´ yˇse popsan´ y zp˚ usob nám tedy umoˇzn ˇuje urˇcit rezonanˇcn´ı frekvenci struktury a tvar proudového rozloˇzen´ı jednotliv´ ych mód˚ u. Pro své omezuj´ıc´ı pˇredpoklady jsou v´ ysledky z´ıskané s pomoc´ı dutinového modelu ve srovnán´ı s komlexnˇejˇs´ımi postupy zat´ıˇzeny chybou. Handicapem DM je i striktn´ı poˇzadavek na typ záˇriˇc˚ u. Motiv obsahuj´ıc´ı v´ıce navzájem vodivˇe nespojen´ ych segment˚ u nelze z d˚ uvodu zanedbáván´ı vzájemn´ ych vazeb analyzovat. Sloˇzité je také vyˇc´ıslen´ı ztrát. Klady této metody spoˇc´ıvaj´ı v názornosti, jednoduchosti a relativn´ı rychlosti. 1

V opaˇcném pˇr´ıpadˇe je nutno aplikovat napˇr´ıklad sloˇzitou tzv. modáln´ı expanzi.

54


8.2

8.2. Veden´ı

Veden´ı

Patch je nahrazen dvˇema vyzaˇruj´ıc´ımi ˇstˇerbinami (podobnost rozloˇzen´ı pole v ´ pravo´ uhlé ˇstˇerbinˇe a na okraji patche). Usek mezi napájen´ım a tˇemito ˇstˇerbinami je simulován odpov´ıdaj´ıc´ımi ˇcástmi pˇrenosového veden´ı. P˚ uvodn´ı model disponoval velmi omezen´ ymi schopnostmi. Zdokonalená varianta zahrnuje vztahy pro komplexn´ı popis antény, vˇcetnˇe interakc´ı mezi záˇriˇci. Nerespektuje vybuzen´ı a vliv povrchov´ ych vln.

8.3

MoM

ˇ s´ı Maxwellovy rovnice v integráln´ım tvaru. Diskretizujeme pouze vodivé Reˇ ploˇsky (resp. povrch tˇeles). Velice vhodná metoda pro ˇreˇsen´ı planárn´ıch struktur (mikropásk˚ u). Závˇer v´ ypoˇctu spoˇc´ıvá ve zjednoduˇsen´ı a vyˇc´ıslen´ı rozsáhlé matice (rozloˇz´ıme-li strukturu na N d´ılk˚ u, obsahuje matice N × N d´ılk˚ u). K eliminaci velkého poˇctu lineárn´ıch rovnic se uˇz´ıvá klasické Gaussovy eliminace, mnohdy i dalˇs´ıch, sofistikovanˇejˇs´ıch postup˚ u. Velikost N pˇr´ımo ovlivˇ nuje pˇresnost v´ ypoˇctu. Oproti dutinovému modelu poskytuje MoM v´ıce informac´ı o zkoumané struktuˇre. Nev´ yhodou je striktn´ı poˇzadavek na um´ıstˇen´ı dielektrika a jeho homogenitu. Tento model je vyuˇz´ıván programem IE3D. Implementac´ı MoM do MatLabu se zab´ yvá mj. diplomová práce [W11], kde jsou uvedeny dalˇs´ı podrobnosti vˇc. matematického popisu problému.

8.4

FEM

Metoda koneˇcn´ ych prvk˚ u (FEM – Finite Element Method ) ˇreˇs´ı obecné parciáln´ı diferenciáln´ı rovnice. Jiˇz z toho je tedy patrné, ˇze jde o model umoˇzn ˇuj´ıc´ı analyzovat r˚ uznˇe sloˇzité a ˇclenité struktury. Nejsou zde kladeny tak pˇr´ısné poˇzadavky na tvar patche jako u dutinového modelu. Tento model je vyuˇz´ıván nadstavbou MatLabu FEMLabem. Tato metoda v budoucnu nahrad´ı námi vyuˇz´ıvan´ y dutinov´ y model (PDE toolbox bude nahrazen FEMLabem).

8.5

FD

Maxwellovy rovnice v diferenciáln´ım tvaru jsou diskretizované v ˇcase a prostoru. Lze simulovat i pˇrechodové dˇeje. Nemeshuje pouze vodivou ˇcást jako dutinov´ y model, n´ ybrˇz celou oblast obklopuj´ıc´ı strukturu, a také definuje tzv. absorpˇcn´ı hraniˇcn´ı podm´ınky. Nutná je velmi jemná diskretizaˇcn´ı s´ıt’. Jedná se o nejobecnˇejˇs´ı 55


8.5. FD

metodu bez omezuj´ıc´ıch poˇzadavk˚ u na geometrii nebo parametry zadávané antény. Obt´ıˇzná metoda na pˇr´ımou implementaci. Zástupcem program˚ u vyuˇz´ıvaj´ıc´ıch tuto technologii je napˇr. hojnˇe pouˇz´ıvané CST Microwave Studio. N´ıˇze uvedené fraktály se vztahuj´ı k následuj´ıc´ı kapitole. Jsou zobrazeny ve stadiu po zápisu do PDE toolboxu.

Obrázek 8.2: Fraktál ˇc. 1, 1-2 iterace.



56

Kapitola 9 PDE analyz´ ator m´ od˚ u v MatLabu 9.1

Dutinov´ y model v MatLabu

Nutnost pˇr´ımého propojen´ı IFS a PDE tak, aby mohl pro svou ˇcinnost jeden segment vyuˇz´ıvat v´ ysledk˚ u druhého, byla od poˇcátku práce stále zˇretelnˇejˇs´ı. Tato potˇreba byla vyˇreˇsena pomoc´ı 13 funkc´ı dohromady odpov´ıdaj´ıc´ıch dutinovému modelu probranému v 8.kapitole; tˇri z tˇechto funkc´ı jsou pozmˇenˇené m-fily p˚ uvodn´ıho PDE toolboxu z MatLabu. Pro pˇr´ıpadné osvˇetlen´ı ˇcinnosti jednotliv´ ych funkc´ı byl zaˇrazen Dodatek A kapitoly 13. Následuj´ıc´ı pojednán´ı o funkci modelu respektuje návaznost jednotliv´ ych operac´ı od spuˇstˇen´ı PDE po z´ıskán´ı v´ ysledku. Otevˇren´ı nového okna na obrazovce je pr˚ uvodn´ı jev bezproblémového naˇcten´ı potˇrebn´ ych parametr˚ u. Tyto parametry jsou: seznam polygon˚ u (jejich vrchol˚ u) a p˚ uvodnˇe zadané u ´daje pro generaci IFS (v pˇr´ıpadˇe potˇreby slouˇz´ı k rekonstrukci p˚ uvodn´ıho fraktálu, obsahuj´ı matici parametr˚ u). Nesnane-li se tak a nové okno se neobjev´ı, je nutné zkontrolovat prompt, kde se zobraz´ı pˇr´ıpadné upozornˇen´ı s chybou. V pˇr´ıpadˇe stisku tlaˇc´ıtka get PDE se rozhran´ı podobá obr. 13.4, v pˇr´ıpadˇe stisku GenTool fc. je totoˇzné s obr. 13.3. Nejprve je velikost celé struktury modifikována (zobrazen´ı antény v reáln´ ych hodnotách des´ıtek milimetr˚ u je názorné a praktické). Rozmˇery záˇriˇce se v kaˇzdém kroku zmenˇsuj´ı na polovinu. A to tak dlouho, dokud vˇetˇs´ı z délek neklesne pod 70 mm.1 Nyn´ı je nezbytné obdrˇzené polygony zakreslit do PDE toolboxu a sjednotit tak, aby tvoˇrily ucelenou plochu.2 Program pˇridˇel´ı kaˇzdému segmentu unikátn´ı label, 1

Parametr moˇzno zmˇenit na ˇra´dce ˇc.11 funkce modify cell.m. M˚ uˇze b´ yt libovolnˇe ˇclenit´ a a obsahovat ˇstˇerbiny, ale mezi vˇsemi polygony mus´ı existovat vodivé spojen´ı. 2

57


9.1. Dutinový model v MatLabu

zobrazuj´ıc´ı se pˇri naˇc´ıtán´ı ve stavové ˇrádce toolboxu. D´ıky nˇemu jsou správnˇe zakresleny a sjednoceny vˇsechny polygony. Operace zakreslen´ı v u ´hrnu odpov´ıdá pˇres 90 procent˚ um ˇcasu potˇrebného na cel´ y v´ ypoˇcet. A to z d˚ uvodu, ˇze kaˇzd´ y krok zápisu updatuje celkou strukturu. Zápis se tedy s pˇrib´ yvaj´ıc´ım poˇctem polygon˚ u rapidnˇe zpomaluje. V závislosti na rychlosti poˇc´ıtaˇce se u ńosná mez pohybuje v rozmez´ı 25 aˇz 50 polygon˚ u. Pro zv´ yˇsen´ı komfortu byla zakomponována funkce nab´ızej´ıc´ı v pˇr´ıpadˇe vysokého poˇctu polygon˚ u odebrán´ı celé posledn´ı iterace3 a také stavov´ y panel vyskytuj´ıc´ı se v IFS ˇcásti. Sjednocen´ı (odstranˇen´ı nepotˇrebn´ ych hranic) provád´ı PDE automaticky. Dalˇs´ı krok pˇredstavuje pˇriˇrazen´ı Neumannovy podm´ınky hranici mikropásku. Tu lze nastavit jednotn´ ym pˇr´ıkazem pro vˇsechny ˇcásti hranice. Pˇredevˇs´ım u ˇstˇerbin uvnitˇr patche vˇsak tento postup konˇc´ı chybou. Strukturu nelze dále upravovat a program nepokraˇcuje. Pro lepˇs´ı manipulaci s ˇclenit´ ymi u ´tvary byl na tomto m´ıstˇe kód rozˇs´ıˇren o try-catch formuli vloˇzenou do for cyklu. Nyn´ı nehroz´ı v pˇr´ıpadˇe vnitˇrn´ıch problémov´ ych hranic pád programu. Ani bˇehem dlouhé doby testován´ı toto ˇreˇsen´ı nevykázalo ˇzádn´ y problém. V tuto chv´ıli je potˇreba plochu záˇriˇce rozdˇelit na elementárn´ı ploˇsky vhodné velikosti. S´ıt’ (mesh) mus´ı b´ yt nejen dostateˇcnˇe jemná, ale také kvalitn´ı, ˇc´ımˇz je myˇsleno dalˇs´ı zjemnˇen´ı ok v oblasti tenk´ ych spojek a drobn´ ych v´ ystupk˚ u – tedy vˇsude tam, kde bude docházet k extrémn´ım zmˇenám pole. Pro vhodné u vhodn´ ych nameshován´ı je urˇcena funkce pde tool mesh.m. I pˇres existenci postup˚ k individuáln´ımu urˇcen´ı poˇctu ok novˇe incializované s´ıtˇe byla experimentálnˇe zvolena hodnota 50 ok na jeden polygon.4 Jedná se o kompromis rychlosti a pˇresnosti. Plocha je tak dlouho refinována, dokud nevyhov´ı této podm´ınce. Aktuáln´ı poˇcet segment˚ u diskretizaˇcn´ı mˇr´ıˇze se vypisuje do promptu MatLabu. Potˇrebn´ y rozsah pro nalezen´ı dostateˇcného poˇctu vlastn´ıch ˇc´ısel, tedy i rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı, je u ´mˇern´ y rozmˇeru patche, jeho tvaru a ˇclenitosti. Tvarem je v [A7] myˇslena fraktáln´ı dimenze antény a jej´ı hranice. Podle Berryho lze na základˇe tˇechto dodateˇcn´ ych informac´ı aproximovat nezbytnou délku matice vlastn´ıch ˇc´ısel, pˇresnˇeji urˇcit poˇcet tˇechto mod˚ u následovnˇe: N (k) =

MD k D D

( D2 )!(4π) 2

−

md k d d

4( d2 )!(4π) 2

+ ... ,

(9.1)

kde k → ∞ a hledan´ y poˇcet mód˚ u kn < k, D odpov´ıdá rozmˇeru oblasti, d rozmˇeru hranice oblasti, tedy d = D − 1, MD resp. md se rovná Hausdorffovˇe dimenzi oblasti, resp.hranice. 3 4

Dialog se objev´ı pˇri poˇctu vyˇsˇs´ım neˇz je 50. Tuto hodnotu lze upravit ve funkci modify cell.m. Opˇet lze zmˇenit, viz pde tool mesh.m, ˇrádka 56.

58


9.1. Dutinový model v MatLabu

Aˇckoliv je vyˇc´ıslen´ı této rovnice jednoduché, je nepravdˇepodobné, ˇze by uˇzivatel vˇzdy znal vˇsechny potˇrebné parametry. Pak je nutné pˇrenést povinnost z´ıskat tyto hodnoty na simulaˇcn´ı program. Implementace této funkce je vˇsak pro u ´ˇcely PDE simulátoru zbyteˇcnˇe pˇr´ıliˇs sloˇzitá, nav´ıc pˇri pevnˇe zvolen´ ych mez´ıch nedocházelo k v´ yrazn´ ym rozd´ıl˚ um v poˇctu z´ıskan´ ych ˇreˇsen´ı.5 Tento zp˚ usob zadán´ı z˚ ustal za6 chován. Následnˇe m˚ uˇzeme pˇristoupit k vlastn´ımu numerickému ˇreˇsen´ı rovnice (8.4). V´ ypoˇcet obstará PDE toolbox MatLabu spuˇstˇen´ y funkc´ı solve pde task.m, konktétnˇe pˇr´ıkaz na ˇrádce 31. Bezprostˇrednˇe pˇredt´ım docház´ı k nastaven´ı dodateˇcn´ ych voleb pˇr´ıstupn´ ych téˇz v oknˇe toolboxu – zejména se jedná o barevn´ y rast pro zobrazen´ı gradientu napˇet´ı, barvu a pˇr´ıtomnost ˇsipek ukazuj´ıc´ıch smˇer proudu. Obdrˇzené v´ ysledky jsou ve tvaru Lambda(n), n ukazuje poˇrad´ı módu. Pro pˇrepoˇcet na rezonanˇcn´ı frekvence je vyuˇzit vztah (8.9). Pˇri anal´ yze nˇekter´ ych fraktál˚ u vycházela frekvence dominantn´ıho módu nesmyslnˇe n´ızká, ˇcasto o 10 i v´ıce ˇrád˚ u niˇzˇs´ı neˇz dalˇs´ı frekvence v poˇrad´ı. Zaˇrazen´ım cyklu, kter´ y z pomˇeru fr3 a fr1 vypoˇcte strmost, s jakou frekvence stoupá, a kter´ y 7 tuto strmost porovnává se strmost´ı zadanou v programu, byl problém odstranˇen. Tato u ´prava se t´ yká nejv´ yˇse prvn´ıch dvou frekvenc´ı. Uˇzivatel je o odebrán´ı hodnot informován v oknˇe MatLabu. Zobrazen´ı v PDE toolboxu nejsou tˇechto fiktivn´ıch frekvenc´ı zbavena. Je-li tabulka rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı v poˇrádku upravena, je pˇripravena na v´ ystup na obrazovku. O ten se staraj´ı funkce print result.m, type frequence, ych frekvenc´ı odpov´ıdá poˇctu nalezen´ ych mód˚ u, pˇr´ıpadnˇe pde tool.m. Poˇcet vypsan´ vˇcetnˇe mód˚ u degenerovan´ ych (jedná se o neˇzádouc´ı módy vzniklé pravdˇepodobnˇe vinou nepˇresnosti v´ ypoˇctu; v´ıce viz kap.10). Poˇcet nalezen´ ych mód˚ u se obvykle pohybuje mezi 5-20. V pˇr´ıpadˇe pˇr´ıstupu k PDE pˇres funkci GenTool fc. se v´ yˇse uvedené schéma opakuje v kaˇzdém kroku optimalizaˇcn´ı smyˇcky, která je popsána v následuj´ıc´ı ˇcásti. 5

Vlivy zp˚ usobuj´ıc´ı velkou rozd´ılnost ˇreˇsen´ı jsou do znaˇcné m´ıry eliminovány. Rozmˇery i frakt´ aln´ı dimenze antén jsou srovnatelné. Totéˇz plat´ı o jednotliv´ ych dimenz´ıch IFS patche. 6 Konkrétnˇe je velikost [0 50000], ve vyj´ımeˇcném pˇr´ıpadˇe je nutné tento rozsah zvˇetˇsit u ´pravou funkce PDE tool mesh.m na ˇr´ adce 72. Pak lze oˇcekávat vˇetˇs´ı poˇcet mód˚ u. 7 Parametr orezavaci pomocny pomer na ˇrádce 42 funkce solve pde task.m. Je rovn´ y 50.

59


9.2

9.2. Optimalizaˇcn´ı smyˇcka

Optimalizaˇ cn´ı smyˇ cka

Funkce mutate structure.m zavád´ı jednoduchou optimalizaci. V prvn´ım kroku jsou naˇctena data z minulé generace. Je zhodnocela velikost rezonanˇcn´ı frekvence a t´ım urˇcena strategie pro dalˇs´ı krok. Sn´ıˇzila-li se frekvence prvn´ıho módu v minulém kroku (od stavu pˇredminulé generace), pokraˇcuje program dalˇs´ı zmˇenou stejného parametru, naopak zv´ yˇsila-li se, je parametr vrácen do p˚ uvodn´ıho stavu a zvolen dalˇs´ı v ˇradˇe. Parametry fraktálu jsou naˇc´ıtány v poˇrad´ı a, b, c, d, e, f . Poˇcet krok˚ u algoritmu je ˇr´ızen uˇzivatelem, skonˇc´ı také ale, pokud struktura projde cel´ ym rozhodovac´ım s´ıtem. Prvn´ı a druhá generace optimalizaci pouze inicializuj´ı. Je vhodné podotknout, ˇze se jedná o skuteˇcnˇe velice primitivn´ı funkci urˇcenou pouze pro studium IFS koláˇz´ı. Kvalitn´ı optimalizaˇcn´ı algoritmus bude pouˇzit v navazuj´ıc´ı diplomové práci.

9.3

GUI

Pro ˇreˇsen´ı PDE u ´lohy jsou v programu k dispozici dvˇe odliˇsná okna. Na obr. 13.4 je zobrazeno okno PDE tool, j´ımˇz popis zaˇcneme. Okno otevˇreme, spust´ıme-li po generaci koláˇze v IFS generátoru novˇe odkryté tlaˇc´ıtko get PDE . Prvn´ı volba Ponechat iterace upravuje matici, která representuje body pozdˇeji vykreslované do toolboxu. Poˇzadujeme-li pouze posledn´ı iteraci, coˇz b´ yvá obvykl´ y poˇzadavek, ponecháme defaultn´ı nastaven´ı. GUI si sám zjist´ı poˇcet iterac´ı v cellu a podle toho menu nastav´ı. Poˇcet iterac´ı se zobrazuje o ˇrádku v´ yˇse, po stisknut´ı Modify jsou pologony pˇrevedeny na matici, jeˇz je po aktivaci Kreslit polyg.. . . zakreslena do PDE toolboxu. V pˇr´ıpadˇe velk´ ych matic je zobrazeno upozornˇen´ı. Dalˇs´ı tlaˇc´ıtko nastavuje hraniˇcn´ı podm´ınku (Neumannovu), hustotu diskretizaˇcn´ı s´ıtˇe a jiné, v ˇcásti 9.1 uvedené parametry. Posledn´ı volba Vyˇ reˇsit PDE u ´lohu spust´ı pˇr´ıkazem solve PDE v´ ypoˇcet. Chyby z r˚ uzn´ ych d˚ uvod˚ u vniknuvˇs´ı bˇehem v´ ypoˇctu se ohlaˇsuj´ı standardnˇe zˇcervenán´ım tlaˇc´ıtka. V pˇr´ıpadˇe vˇetˇs´ıho poˇctu polygon˚ u, ze kter´ ych je konstruován záˇriˇc nebo v pˇr´ıpadˇe, ˇze je struktura velmi ˇclenitá, m˚ uˇze v´ ypoˇcet trvat dlouho (ˇrádovˇe aˇz hodiny). V pˇr´ıpadˇe potˇreby lze program pˇreruˇsit pouze systémovˇe (zachytit uˇzivatelsk´ y signál k ukonˇcen´ı je v MatLabu retivnˇe obt´ıˇzné, odhlédneme-li od primitivn´ı varianty s cyklick´ ym checkem globáln´ı promˇenné). Sloˇzitˇejˇs´ı variantou, nab´ızej´ıc´ı nav´ıc pˇr´ım´ y v´ ystup frekvenc´ı a optimalizaˇcn´ı smyˇcku z ˇcásti 9.2, je okno Genetic Algorithm (obr. 13.3) spustitelné GenTool fc. v IFS gener´ atoru. Kromˇe ve vˇsech oknech se vyskytuj´ıc´ıch voleb 60


9.4. Analyzované vzorky

Znovu a Konec obsahuje pouze tlaˇc´ıtko Evoluce , jeˇz proces optimalizace spouˇst´ı. Nalevo od nˇej se skr´ yvá tabulka oznamuj´ıc´ı stav jednotlin´ ych operac´ı, rozbal´ı se aˇz po spuˇstˇen´ı programu. Dodateˇcná nastaven´ı jsou um´ıstˇena v doln´ı ˇcásti. Knofl´ık S prodlevami? zajist´ı vloˇzen´ı krátké pauzy8 mezi jednotlivé evoluce. Nastaven´ı OD: -- DO: odpov´ıdá Ponechat iterace v PDE toolu, Poˇ cet evoluc´ ı (tedy krok˚ u optimalizace) se doporuˇcuje volit z intervalu {3, 20}. Je pravdˇepodobné, ˇze do hodnoty 20 smyˇcka projde vˇsechny moˇznosti, dalˇs´ı opakován´ı programu jiˇz nepˇrináˇs´ı zlepˇsen´ı struktury, zároveˇ n hodnoty menˇs´ı neˇz 3 nelze pouˇz´ıt (program ohlás´ı chybu).

9.4

Analyzovan´ e vzorky

Pro analytickou ˇcást bakaláˇrské práce v kapitole 10 byly zvoleny fraktály uvedené na obr. 8.2, 8.3 a 8.4. Protoˇze variabilita IFS vstupu je velká a poˇcet potenciálnˇe vznikl´ ych struktur je obrovsk´ y, m˚ uˇzeme specifikovat vlastnosti konvenuj´ıc´ı pro dan´ yu ´ˇcel. Shrˇ nme poˇzadavky hledan´ ych struktur: 1. moˇznost anal´ yzy dutinov´ ym modelem (celo-vodiv´ y patch) 2. n´ızk´ y poˇcet transformac´ı (20-30 polygon˚ u pˇri 2.iteraci) 3. ˇclenit´ y povrch jiˇz pˇri 2-3 iteraci (kvalita fraktáln´ı hranice) 4. r˚ uzn´ y poˇcet vrchol˚ u poˇcáteˇcn´ı struktury 5. min. 1 koláˇz studovaná v literatuˇre (moˇzné srovnán´ı apod.) 6. vzájemná rozd´ılost, zaj´ımav´ y vzhled Parametry uveden´ ych záˇriˇc˚ u, podstatné z hlediska generace: Frakt´ al

Poˇ cet Polygon˚ u iterace Vrchol˚ u Transformac´ı 0. 1. 2. 3. ˇc.1 (obr. 8.2) 4 4 1 5 25 125 ˇc.2 (obr. 8.3) 8 5 1 5 25 125 ˇc.3 (obr. 8.4) 6 6 1 6 36 216 9

Tabulka 9.1: Vlastnosti vybran´ ych záˇriˇc˚ u. 8

Okno PDE s v´ ysledn´ ym proudov´ ym rozloˇzen´ım dominantn´ıho módu se uzavˇre aˇz po uplynut´ı této doby, trv´ a 2 sekundy.

61


9.5. Nepˇresnosti, vylepˇsen´ı

Fraktál ˇc.1 je v literatuˇre pomˇernˇe hojnˇe realizovan´ y. Pro tuto práci byl m´ırnˇe modifikován – byla pozmˇenˇena prostˇredn´ı spojka, upraveny rozmˇery a typ transformac´ı (jednotlivé sekce jsou na sebe jinak navázány). V poˇrad´ı druh´ y záˇriˇc je atraktivn´ı zejména pro svou prostˇredn´ı z´ uˇzenou ˇcást. V horizontáln´ım a vertikáln´ım smˇeru u nˇej m˚ uˇzeme oˇcekávat zcela odliˇsné vlastnosti, nav´ıc vykazuje velkou ˇclenitost. Se vzr˚ ustaj´ıc´ı iterac´ı se stˇredn´ı mezera noˇr´ı stále hloubˇeji do struktury10 Z pohledu symetrie je naopak posledn´ı fraktál zcela rovnomˇern´ y. Rozloˇzen´ı polygon˚ u je podobné rozloˇzen´ı Sierpinského troj´ uheln´ıka, proto i zde m˚ uˇzeme oˇcekávat zaj´ımavé alokace proudu, resp. sklon k chován´ı patche coby anténnn´ı ˇrady. V´ ysledky anal´ yzy ze zab´ yvá kapitola 10.

9.5

Nepˇ resnosti, vylepˇ sen´ı

Nepˇresnosti dutinového modelu budou diskutovány v 10. kapitole. Jiˇz nyn´ı je vˇsak vhodné zm´ınit experimentáln´ı ovˇeˇren´ı imanentn´ıch nepˇresnost´ı této metody. M´ıra chyby splnila u vˇetˇsiny vzork˚ u oˇcekáván´ı, pˇresto nˇekteré struktury ve srovnán´ı s referenˇcn´ımi v´ ysledky z´ıskan´ ymi FEMLabem vykazovaly naprosto odliˇsné vlastnosti (myˇslena rezonanˇcn´ı frekvence a posloupnost mód˚ u). Zásadn´ım problémem se ukázalo i zaokrouhlován´ı MatLabu pˇri nevhodnˇe zvolené pˇresnosti. Pˇri zadáván´ı bod˚ u a transformac´ı s nulovou toleranc´ı11 nebyl PDE toolbox schopen celou strukturu sjednotit a docházelo k chybám. Pro eliminaci tohoto nedostatku je vhodné jiˇz pˇri zadáván´ı hodnot poˇc´ıtat s drobn´ ymi pˇresahy. Dalˇs´ım krokem pro zpˇresnˇen´ı v´ ysledk˚ u této práce je odebrán´ı v´ yˇse popisované smyˇcky a propojen´ı analyzátoru s efektivn´ım optimalizaˇcn´ım algoritmem. Vhodn´ ymi alternativami se zab´ yvá kapitola 11. Budeme-li i nadále trvat na vyuˇzit´ı PDE toolboxu, je tˇreba pˇristoupit k následuj´ıc´ım u ´pravám: zjednoduˇsit PDE, vyvarovat se refreshov´ an´ı polygon˚ u nov´ y GUI umoˇzn ˇuj´ıc´ı efektivnˇejˇs´ı práci se strukturou a v´ ysledky pˇrevést na objektové programov´ an´ı stabilizace a zachycen´ı vznikl´ ych chyb za bˇehu programu (pˇr´ıprava pro delˇs´ı v´ ypoˇcty) obecnˇe zlepˇsit exporty a v´ ystup 10

P Svislou délku mezery lze vyj´ adˇrit vztahem: v = h ni=0 h je celkov´ a v´ yˇska motivu a n odpov´ıdá poˇctu iterac´ı. 11 Tedy body [0 5] a [5 0].

62

1 n+1 , 2

resp. v = h − h

1 n+1 2

, kde

Kapitola 10 Zhodnocen´ı dosaˇ zen´ ych v´ ysledk˚ u 10.1

Rezonanˇ cn´ı frekvence

V pˇr´ıpadˇe fraktáln´ıch patch˚ u lze oˇcekávat u dominantn´ıho módu sn´ıˇzen´ı rezonanˇcn´ı frekvence. Tento jev je velice ˇzádouc´ı. Zda (a nakolik )k nˇemu docház´ı bylo zkoumáno na zvolen´ ych tˇrech záˇriˇc´ıch. M´ od ˇ c. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

1. iterace 2. iterace 3. iterace 4. iterace fr1 [GHz] λ fr2 [GHz] λ fr3 [GHz] λ fr4 [GHz] λ 1.537 1036 1.081 512.6 0.723 229.4 0.505 112 2.264 2886 1.084 515.9 0.774 262.9 0.538 126.9 2.992 3929 1.155 589.5 0.778 265.5 0.538 126.9 3.079 4160 3.156 4370 2.221 2163 1.515 1007 4.017 7078 3.793 6313 2.466 2669 1.687 1250 4.634 9420 3.800 6336 2.467 2670 1.689 1252 5.158 11670 3.872 6579 2.467 2670 1.689 1252 5.311 12380 5.155 11660 2.472 2682 1.703 1272 5.389 12740 6.266 17230 2.575 2908 1.760 1360 6.029 15950 6.282 17310 2.578 2916 1.761 1361 Tabulka 10.1: Vlastn´ı ˇc´ısla a rezonanˇcn´ı frekvence, 1. anténa.

Prvn´ım krokem bylo ovˇeˇren´ı platnosti metody pro elementárn´ı patche v programu FEMLab (FEM metoda). Porovnána byla frekvence prvn´ıho a druhého módu patche 50mm × 30mm, 100mm × 60mm a patche se ˇstˇerbinou. Velikost frekvenc´ı se liˇsila v ˇrádu MHz, coˇz konkrétnˇe pˇri rezonanci na 3GHz znamená chybu nˇekolik promile aˇz jednotek procent1 . Na základˇe jsme pˇristoupili k vlastn´ı 1

Chyba je mj. z´ avisl´ a na hustotˇe diskretizaˇcn´ı mˇr´ıˇze a sloˇzitosti u ´tvaru, [A12] uvád´ı chybu DM

63


M´ od ˇ c. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

10.1. Rezonanˇcn´ı frekvence

1. iterace 2. iterace 3. iterace fr1 [GHz] λ fr2 [GHz] λ fr3 [GHz] λ 2.040 1832 1.695 1261 1.448 920 3.236 4594 3.155 4366 2.989 3920 4.383 8425 4.127 7474 3.746 6156 6.774 20130 4.943 10720 3.983 6959 7.150 22430 4.949 10740 3.988 6977 7.239 22990 6.217 16960 5.114 11470 9.274 37730 6.542 18780 5.491 13230 10.440 47820 6.616 19200 6.483 18440 10.450 47980 7.118 22230 6.683 19590 10.590 49240 8.832 34220 8.275 30040 Tabulka 10.2: Vlastn´ı ˇc´ısla a rezonanˇcn´ı frekvence, 2. anténa.

anal´ yze. Podle tabulek je zˇrejmé, ˇze frekvence zvyˇsuj´ıc´ı se s iterac´ı skuteˇcnˇe klesá. Zaj´ımavé by bylo studovat, do kolikáté iterace a jak strmˇe se frekvence sniˇzuje (velikost jej´ıho gradientu podél iterac´ı). Tempo sniˇzován´ı nemohlo b´ yt zaznamenáno, protoˇze nebyl (pro nároˇcnost v´ ypoˇctu vyˇsˇs´ıch iterac´ı) z´ıskán potˇrebn´ y poˇcet u ´daj˚ u pro zkonstruován´ı grafu. Pˇresto lze tvrdit, ˇze vliv iterace na sn´ıˇzen´ı frekvence konkrétn´ıho u ´tvaru je velik´ y. Proto je ˇzádouc´ı volit velikost iterace na hranici u ńosné pro anal´ yzu a v´ yrobu. Tuˇcné u ´daje v tabulkách representuj´ı tzv. degenerované módy. Tyto módy maj´ı hodnotu frekvence velice bl´ızkou pˇredchoz´ımu módu. Nejedná se o nov´ y typ proudového rozloˇzen´ı, pouze o jinou orientaci stejného módu. Tyto hodnoty nemohou b´ yt akceptovány, chceme-li sledovat chován´ı a frekvenci jednotliv´ ych mód˚ u. Obrázek 10.1 vycház´ı ze seznamu, kter´ y takové módy obsahuje. U vˇsech pr˚ ubˇeh˚ u jsou vidˇet vodorovné linky, stavy kdy stupeˇ n módu roste, ale frekvence nikoliv. Tento neˇsvar byl eliminován v pˇr´ıpadˇe obrázk˚ u 10.2 - 10.4, jeˇz lze povaˇzovat za 2 relevantn´ı pr˚ ubˇehy sniˇzován´ı frekvence . Tyto grafy obsahuj´ı ménˇe hodnot, neˇz graf na obr. 10.1. To je dáno t´ım, ˇze po vyˇrazen´ı degenerovan´ ych mód˚ u zbyde ménˇe hodnot (z 10-15 mod˚ u PDE toolboxu z˚ ustalo po selekci kolem 8 hodnot, pro konstrukci smˇerodatného grafu stále akceptovatelné ˇc´ıslo). Po simulaci fraktál˚ u v PDE toolboxu byla provedena srovnávac´ı anal´ yza jednotliv´ ych struktur v programu FEMLab. Frekvence prvn´ıho a druhého patche se max. 5-15%. 2 Grafy jsou zn´ azornˇeny pomoc´ı spojitého pr˚ ubˇehu. Ten byl zvolen pro vˇetˇs´ı názornost. Ve skuteˇcnosti tomu tak nen´ı.

64


M´ od ˇ c. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

10.1. Rezonanˇcn´ı frekvence

1. iterace 2. iterace 3. iterace fr1 [GHz] λ fr2 [GHz] λ fr3 [GHz] λ 3.280 4720 3.019 3998 2.468 2673 3.280 4720 3.019 3999 2.469 2671 5.387 12730 5.560 13560 4.552 9091 5.387 12730 5.562 13570 5.490 13220 6.855 20620 6.810 20350 9.164 36840 6.855 20620 9.883 42850 9.193 37070 8.181 29360 10.09 44690 9.194 37080 9.423 38950 10.30 46590 9.205 37170 9.428 39000 10.30 46620 9.227 37340 9.502 39600 10.62 49550 9.227 37350 Tabulka 10.3: Vlastn´ı ˇc´ısla a rezonanˇcn´ı frekvence, 3. anténa.

M´ od ˇ c. Obd´ el. patch PDE FEM 1. 3.007 3 2. 5.0053 5 3. – –

Frakt´ al ˇ c.1 Frakt´ al ˇ c.2 Frakt´ al ˇ c.3 PDE FEM PDE FEM PDE FEM 1.444 1.43 1.448 1.431 2.468 1.431 1.542 1.611 2.789 2.002 2.469 1.547 2.435 2.563 3.746 3.895 4.552 1.796

Tabulka 10.4: Srovnán´ı v´ ysledk˚ u rezonanˇcn´ı frekvence frn [GHz]. po odebrán´ı degenerovan´ ych mod˚ u rovnaly (s jistou chybou), ovˇsem tˇret´ı patch vyˇsel odliˇsnˇe. Pro u ´ˇcel této práce je FEMLab povaˇzován za pˇresn´ y referenˇcn´ı analyzátor, proto je potˇreba hledat chybu v nastaven´ı PDE toolboxu nebo v propojovac´ım programu. Tento nedostatek byl odhalen krátce pˇred dokonˇcen´ım práce, proto jiˇz nebylo moˇzné jej odstranit. Efektivn´ım ˇreˇsen´ım se jev´ı propojen´ı IFS pˇr´ımo s FEMLabem, s ˇc´ımˇz tato práce v budoucnu poˇc´ıtá. Proudové rozloˇzen´ı je v pˇr´ıpadˇe obou metod totoˇzné. Srovnán´ı chyb prvn´ıch dvou fraktál˚ u pomˇernˇe pˇresnˇe koresponduje s pˇredpoklady, pˇr´ıpad tˇret´ıho fraktálu byl diskutován v´ yˇse. Dalˇs´ıho sn´ıˇzen´ı frekvence lze dosáhnout vhodnou u ´pravou struktury, v´ıce v ˇcásti 10.3.

65


10.2. Studie proudového rozloˇzen´ı

Obrázek 10.1: Graf klesaj´ıc´ı frekvence vˇc. degenerovan´ ych mód˚ u.

10.2

s

iterac´ı a

módem,

1. fraktál,

Studie proudov´ eho rozloˇ zen´ı

Proudové rozloˇzen´ı vybran´ ych mód˚ u je zobrazeno na obr. 10.5 - 10.7. Nejprve vˇsak upozornˇeme na obr. 10.8 a 10.9. 10.8 ukazuje jeden z nesmysln´ ych mód˚ u, které PDE toolbox obˇcas vydává za dominantn´ı mód. Hodnota vlastn´ıho ˇc´ısla je vˇsak pˇr´ıliˇs n´ızká a rozloˇzen´ı proud˚ u nelze fyzikálnˇe interpretovat. Tyto módy jsou pro u ´ˇcely optimalizace odstraˇ novány, jinak by je algoritmus vydával za ideáln´ı nalezené struktury (s nejniˇzˇs´ı fr ). Taktéˇz na obr. 10.9 je zobrazen jeden z neˇzádouc´ıch jev˚ u. Jedná se o sousedn´ı, vzájemnˇe degenerované módy. V této práci byly jiˇz zm´ınˇeny. Za ˇreˇsen´ı m˚ uˇzeme povaˇzovat vˇzdy pouze jeden, dalˇs´ı je jen variac´ı pro jinou osu symetrie. Vysvˇetluje se zde, proˇc v tabulce 10.3 nalézáme pro vyˇsˇs´ı iterace mnoho degenerovan´ ych mód˚ u – v´ ysledn´ y fraktál se skládá z ˇsesti, od stˇredu stejnˇe vzdálen´ ych, shodn´ ych polygon˚ u. Studované patche daly dostateˇcnou odpovˇed’ na otázky poloˇzené v zadán´ı této práce. Pro vyˇsˇs´ı módy lze skuteˇcnˇe m˚ uˇzeme vidˇet zaj´ımavé alokace proud˚ u (10.5 vpravo dole, 19. mód, dále 10.6 vpravo dole, 13. mód), pˇr´ıpadnˇe sklon k chován´ı patche jako anténn´ı ˇrady (10.7 vpravo dole, 29. mód). Pozn.: módy na obrázc´ıch jsou seˇrazeny zleva doprava, zezhora dol˚ u.

66

´ cinek ˇstˇerbin 10.3. Uˇ


Obrázek 10.2: Graf klesaj´ıc´ı frekvence s iterac´ı a módem, 1. fraktál.

10.3

´ cinek ˇ Uˇ stˇ erbin

Program GenTool fc. byl vyuˇzit pro studium vlivu zmˇeny parametr˚ u na rozloˇzen´ı proud˚ u. Ukázalo se, ˇze alokace proud˚ u je skuteˇcnˇe závislá na geometrii struktury. V prvn´ım pˇr´ıpadˇe (viz struktura uvedená na obrázku 10.10) vznikla jiˇz po 6 generac´ıch programu. Doˇslo ke zmenˇsen´ı frekvence prvn´ıho módu z 0.723GHz na 0.67GHz (na obrázku uvedena hodnota vlastn´ıho ˇc´ısla). Pro tyto u ´ˇcely nen´ı d˚ uleˇzitá absolutn´ı hodnota frekvence, ale velikost jej´ı zmˇeny. Módu zobrazenému na 10.11 vlevo odpov´ıdá frekvence 1.1577GHz, zhruba o 20% ménˇe neˇz bez modifikace. Podobnˇe upraven´ ych struktur lze vytvoˇrit mnoho, problémem z˚ ustává jejich realizovatelnost (pˇr´ıliˇs tenké spojky / velká ˇclenitost / obt´ıˇzná anal´ yza). Rozbor vlivu zmˇen parametr˚ u ukázal nutnost zaveden´ı globáln´ı optimalizace. Touto moˇznost´ı se zab´ yvá 11. kapitola.

67





68



Obrázek 10.5: Proudové rozloˇzen´ı, anténa ˇc.1, módy 1,2,3,4,5 a 19.

69



Obrázek 10.6: Proudové rozloˇzen´ı, anténa ˇc.2, módy 1,2,3,8,11 a 13.

70



Obrázek 10.7: Proudové rozloˇzen´ı, anténa ˇc.3, módy 1,3,5 a 29.

71



Obrázek 10.8: Ukázka chybného (dominantn´ıho) módu.

Obrázek 10.9: Ukázka sousedn´ıch degenerovan´ ych mód˚ u.

Obrázek 10.10: Mutace fraktálu ˇc.1 zmˇenou transformaˇcn´ıch parametr˚ u. 72



Obrázek 10.11: Mutace fraktálu ˇc.2 zmˇenou transformaˇcn´ıch parametr˚ u.

Obrázek 10.12: V´ yvojové schéma GA, k v´ ykladu v kap.11. 73

Kapitola 11 Optimalizaˇ cn´ı algoritmy, moˇ zn´ e vylepˇ sen´ı IFS + PDE Optimalizace je pro potˇreby elektroniky, konkrétnˇe anténn´ı techniky, hojnˇe vyuˇz´ıvána. Jiˇz bylo publikováno mnoho ˇclánk˚ u a knih vˇenuj´ıc´ıch se nalezen´ı ideáln´ı struktury pro zadané parametry. Tento u ´kol je nejˇcastˇeji realizován pomoc´ı genetického algoritmu (viz sekce 11.2) v MatLabu (GA toolbox). Autor si klade za c´ıl krátce seznámit ˇctenáˇre s moˇznostmi implementace optimalizaˇcn´ıch algoritm˚ u na problém mikropáskov´ ych fraktáln´ıch patch antén. Rozhodnˇe se tedy nejedná o ucelen´ y popis problematiky. Nejprve bude demonstrována situace, kdy nelze pouˇz´ıt klasické funkce hledaj´ıc´ı extrém.

11.1

Potˇ reba glob´ aln´ı optimalizace

Nyn´ı bude nastolena otázka, na které se dá uˇziteˇcnˇe ukázat potˇrebnost genetick´ ych algoritm˚ u, pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ıch modifikac´ı tohoto postupu. Pˇredstavme si naprosto jednoduch´ y spojin´ y pr˚ ubˇeh jisté funkce – v tomto pˇr´ıpadˇe nerozhoduje zda lineárn´ı ˇci nikoliv. Pokud budeme u tohoto pr˚ ubˇehu hledat maximum nebo minimum v rozumném rozpˇet´ı promˇenné veliˇciny, jev´ı se ideáln´ım iterativn´ı algoritmus prohledávaj´ıc´ı c´ılenˇe dan´ y interval z jedné ˇci druhé strany, a to s pevnˇe zadanou selektivitou. V´ ystupem závˇereˇcné komparace je hodnota, která nejlépe splnila zadané kritérium (max./min. apod.). Pˇr´ıkladem m˚ uˇze b´ yt hledaná hodnota teploty tán´ı konkrétn´ıho vzorku moˇrské vody s pˇresnost´ı na 0.1, kdy s jistoutou v´ıme, ˇze tato hodnota bude v intervalu ϑ ∈ (-10°C,0°C). Je zde pouze jeden stupeˇ n volnosti, j´ımˇz je teplota; ttani = f (ϑmor.vody ) . 74

(11.1)


11.2. GA

Avˇsak nastolen´ y problém nemus´ı b´ yt funkc´ı jedné promˇenné, nemus´ı b´ yt lineárn´ı, jednotlivé parametry se mohou vzájemnˇe ovlivˇ novat a jejich platnost m˚ uˇze b´ yt omezena intervalem, kter´ y neznáme. Nadto nemus´ı b´ yt známa u ´roveˇ n hledaného ˇreˇsen´ı. Potom se mus´ıme spokojit nikoliv s nejlepˇs´ım ˇreˇsen´ım, ale s ˇreˇsen´ım dostateˇcnˇe kvalitn´ım, jeˇz se v jistém toleranˇcn´ım intervalu tomu ideáln´ımu bl´ıˇz´ı. Takov´ y problém pˇredstavuje i optimalizace fraktáln´ıho patche, kde známe jednotlivé transformace a celkovou podobu patche a hledáme nejniˇzˇs´ı rezonanˇcn´ı frekvenci dominantn´ıho módu. Vˇsechny parametry maj´ı pˇr´ım´ y vliv na geometrii záˇriˇce, jejich modifikace ovˇsem pˇrisp´ıvá k podobˇe v´ ysledné struktury, a t´ım velikosti frekvence, nedeterministick´ ym zp˚ usobem. Pˇri zmˇenˇe jedné hodnoty je vlivem vzájemné interakce pozmˇenˇen charakter celé antény. A tak po sérii u ´spˇeˇsn´ ych u ´prav parametru m˚ uˇze s dalˇs´ım krokem nastat skoková zmˇena hledané frekvence smˇerem vzh˚ uru (nalezen´ı jednoho z mnoha lokáln´ıch extrém˚ u). Dostáváme se do slepé uliˇcky. Pro ˇreˇsen´ı tˇechto u ´loh byly vynalezeny optimalizaˇcn´ı algoritmy, v naprosté vˇetˇsinˇe inspirované pˇr´ırodou. Uved’me krátce typické poˇzadavky na optimalizaˇcn´ı algoritmus (OA): 1. odolnost v˚ uˇci konvergenci do lokáln´ıho extrému 2. rychlost 3. pˇresnost nalezeného ˇreˇsen´ı 4. jednoduchost implementace 5. nároky na v´ ypoˇcetn´ı v´ ykon PC 6. universalita, obecné vyuˇzit´ı

11.2

GA

K rozvoji docház´ı v 60. letech. Genetické algoritmy jsou analogi´ı Darwinovy teorie o v´ yvoji druhu. Smˇeˇrován´ı populace je rozhodováno na základˇe celého druhu, nikoliv konkrétn´ıho jedince, byt’ by byl v rámci ˇreˇsen´ı t´ım nejlepˇs´ım (jak je tomu u pˇr´ıkladu vu ´vodu kapitoly). Nejprve mus´ıme vytvoˇrit jedince prvn´ı generace. Ti mohou vzniknout bud’to náhodnˇe nebo podle zadan´ ych parametr˚ u transformac´ı. Je nutné, aby jedinci, 1 pˇr´ıpadnˇe tvz. fitness funkce , respektovali alespoˇ n z ˇcásti vlastnosti poˇzadované 1

Ud´ av´ a kvalitu jedince v porovnán´ı s ostatn´ımi, tedy schopnost jedince dosáhnout maxima.

75


11.3. PSO

struktury. Pokud nikterak neomez´ıme podobu poˇcáteˇcn´ıch jedinc˚ u, obdrˇz´ıme zcela náhodnou strukturu (má-li m´ıt fináln´ı struktura jisté parametry, zaˇrad´ıme tyto poˇzadavky do operace selekce a nevhodné jedince vyˇrazujeme, tak násilnˇe korigujeme evoluci). Jedincem je binárn´ı ˇretˇezec. Jednotlivé bity (nebo jejich skupiny) representuj´ı urˇcitou vlastnost (v´ıce viz [W5]). V dalˇs´ım kroku jsou jedinci testováni fitness funkc´ı. Pro uspokojivou ˇclenitost populace jsou jedinci dostateˇcnˇe kvalitn´ı doplnˇeni nˇekolika ménˇe kvalitn´ımi. Pokud budou neustále vyb´ırány pouze prvky s nejlepˇs´ımi v´ ysledky, hroz´ı uv´ıznut´ı v lokáln´ım maximu. Vhodn´ y typ selekce je znám pod názvem proporcionáln´ı, viz [W4]. Tento postup zajist´ı ohodnocen´ı jedinc˚ u fitness funkc´ı a podle jej´ı velikosti idividuálnˇe pˇriˇrad´ı pravdˇepodobnost v´ ybˇeru do nové generace. Velice kvalitn´ı prvky maj´ı vˇetˇs´ı ˇsanci, ˇze budou vybrány, pˇresto jsou v nové populaci vˇzdy zastoupeny i ty ménˇe kvalitn´ı. Po v´ ybˇeru vhodn´ ych jedinc˚ u mus´ıme vytvoˇrit následuj´ıc´ı generaci. Poˇzadavkem je dostateˇcná r˚ uznorodost nov´ ych prvk˚ u. K dispozici máme dva operátory. Kˇr´ıˇzen´ı a mutaci. Prvnˇe jmenovan´ y kombinuje ˇcásti kódu dvou rodiˇc˚ u. Operátor lze nastavit tak, ˇze kˇr´ıˇz´ı bity na konstatnˇe udan´ ych pozic´ıch, nebo je vyb´ırá náhodnˇe. Velikost´ı kˇr´ıˇzen´ ych ˇretˇezc˚ u lze strukturu taktéˇz ovlivnit. Zb´ yvaj´ıc´ı operátor, mutace, pracuje stejn´ ym zp˚ usobem, jak´ ym se objevuj´ı mutace v pˇr´ırodˇe. Operátor realizujeme aplikac´ı bitové negace na náhodnˇe zvolen´ y bit. Komplikac´ı GA je skuteˇcnost, ˇze neznáme fitness funkci (tedy velikost frekvence, ke které má struktura spˇet a proti které maj´ı b´ yt jednotliv´ı jedinci testováni). Nev´ıme totiˇz nic o c´ılové struktuˇre, jej´ıch parametrech ˇci rezonanˇcn´ı frekvenci. Zvol´ıme-li tuto mez náhodnˇe, nemus´ıme dospˇet k ˇreˇsen´ı v˚ ubec, nebo naopak jich m˚ uˇzeme mnoho, ovˇsem nepˇr´ıliˇs vysoké kvality. Provizoriem se jev´ı ruˇcn´ı nastavován´ı, podobnˇe jako v pˇr´ıpadˇe hledán´ı uspokojivé velikosti iterace IFS. Tento postup je vˇsak pomal´ y a neefektivn´ı. Jiná alternativa spoˇc´ıvá v nalezen´ı vhodného vztahu, jenˇz popisuje teoretickou minimáln´ı rezonanˇcn´ı frekvenci souboru struktur totoˇzného charakteru. Tento problém zat´ım nebyl zcela vyˇreˇsen.

11.3

PSO

PSO (Particle Swarm Optimization) patˇr´ı spolu s ACO (Ant Colony Optimization) k technikám tzv. rojové inteligence. Mezi obˇema metodami existuj´ı rozd´ıly (zejm. feromonové stopy v ACO), ale i v´ yznamné paralely. V obou pˇr´ıpadech studujeme kolektivn´ı chován´ı decentralizovan´ ych samoorganizuj´ıc´ıch se systém˚ u. Tento systém m˚ uˇze tvoˇrit hejno pták˚ u, vˇcel, bakteri´ı, mravenc˚ u atp. V´ yˇse jmenované, zpravidla velice poˇcetné skupiny jedinc˚ u, se nauˇcily v pˇr´ırodˇe komu76


11.4. ACO

nikovat a kooperovat tak, aby u ´spˇeˇsnˇe splnily potˇrebn´ yu ´kol – m˚ uˇze se jednat o nalezen´ı potravy nebo jen o prosté pˇreˇzit´ı. V rámci efektivn´ı ˇcinnosti hejna (´ uspory sil, ˇcasu ˇci ˇsanc´ı na pˇreˇzit´ı) je tendence tento proces optimalizovat. Jedinec, kter´ y je ˇclenem onoho spoleˇcenstv´ı, je pro u ´ˇcely PSO/ACO definován nejˇcastˇeji jako agent. Agenti interaguj´ı mezi sebou navzájem a s okoln´ım prostˇred´ım. Komunikace m˚ uˇze prob´ıhat pˇr´ımo nebo nepˇr´ımo p˚ usoben´ım na okoln´ı prostˇred´ı. Pˇrestoˇze tyto systémy nejsou centrálnˇe ˇr´ızeny ani kontrolovány, lokáln´ı interakce mezi agenty a jednoduché vzory chován´ı ˇcasto vedou k emergenci globáln´ıho chován´ı ([L8]). PSO je velice efektivn´ı metoda. V literatuˇre je pozitivnˇe hodnocena vysoká odolnost proti uv´ıznut´ı v lokaln´ıch extrémech. Lze ji s u ´spˇechem aplikovat na ˇreˇsen´ı velice nároˇcn´ ych optimalizaˇcn´ıch u ´loh. Mutace PSO a GA – GSO – je zvaˇzována pro implementaci do upravené verze IFS-PDE programu. Realizace poˇc´ıtá s vytvoˇren´ım velkého poˇctu agent˚ u (r˚ uzné vzorky antény) a programovou simulac´ı sociáln´ı struktury podobné hejnu. V kaˇzdém kroku mus´ı b´ yt jedincovo chován´ı ohodnoceno (IFS fraktál z transformac´ı, z nˇej rezonanˇcn´ı frekvence pomoc´ı PDE/FEMLabu) a jeho u ´spˇechy sdˇeleny hejnu. Na základˇe d´ılˇc´ıch u ´spˇech˚ u agent˚ u a vjem˚ u z okol´ı (mus´ı b´ yt vhodnˇe váhovány) docház´ı ke zmˇenˇe konstelace celého roje. Kl´ıˇcov´ y je design vzájemn´ ych interakc´ı mezi agenty a nastaven´ı adekvátn´ıho chován´ı tak, aby koneˇcn´ ym bodem vˇetˇsiny agent˚ u byl bod ukazuj´ıc´ı optimalizovanou strukturu/frekvenci.

11.4

ACO

Tato optimalizace se inspiruje chodem skuteˇcného mraveniˇstˇe. I pˇres velice omezenou inteligenci jedinc˚ u a relativn´ı trivialitu pravidel, jimiˇz se komunita ˇr´ıd´ı, lze optimalizovat i velice komplikované u ´lohy. Mravenci jsou (podobnˇe jako vˇcely) povaˇzováni za sociáln´ı hmyz – jejich chován´ı smˇeˇruje k zachován´ı kolonie (viz [W7]). Nav´ıc pˇr´ısná stratifikace rol´ı jedinc˚ u v rámci dané sociáln´ı struktury si vyˇzádala stabilizaci pˇr´ısunu potravy. Tento proces je silnˇe optimalizován. Velkou zbran´ı mravenc˚ u pˇri honbˇe za potravou je chemická látka feromon, kterou kaˇzd´ y mravenec vyluˇcuje. Ostatn´ı mravenci um´ı detekovat feromony zanechané jin´ ym mravencem, a tak si vyb´ıraj´ı cestu s nejvˇetˇs´ı koncentrac´ı feromonu (nevˇedomky tak zvyˇsuj´ı svou ˇsanci na nalezen´ı potravy). Jeli na daném m´ıstˇe feromon pˇr´ıtomen ve vˇetˇs´ım mnoˇzstv´ı, znamená to, ˇze tudy proˇslo v´ıce mravenc˚ u. To indikuje bl´ızkost potravy, resp. vysokou frekventovanost cesty v obou smˇerech. Pravdˇepodobnost volby této cesty dalˇs´ım mravencem se opˇet zv´ yˇs´ı. Zmiz´ı-li zdroj potravy na c´ılovém m´ıstˇe, musej´ı mravenci pokraˇcovat

77


11.5. GSO

dále a vracej´ı se jinou (kratˇs´ı) cestou.2 Ukazuje se, ˇze poˇc´ıtaˇcov´ y program schopn´ y simulovat mravenˇc´ı kolonii m˚ uˇze ˇreˇsit sloˇzité problémy. Samoorganizuj´ıc´ı se struktura generuje poˇzadované patche bez jakéhokoliv centráln´ıho (vnˇejˇs´ıho) ˇr´ızen´ı. M˚ uˇzeme naj´ıt i práce, které uvaˇzuj´ı o nˇekolika druz´ıch feromon˚ u. V´ ysledná realizace je do jisté m´ıry obt´ıˇznˇejˇs´ı, na druhou stranu jsou ˇreˇsen´ı z´ıskána ve v´ yraznˇe kratˇs´ım ˇcasovém intervalu. Bohuˇzel je implementace této metody obt´ıˇzná (pˇresnˇeji implementace v MATLabu pro IFS), a proto nebude pro naˇse u ´ˇcely preferována.

11.5

GSO

Jak bylo ˇreˇceno v´ yˇse, jedná se o kombinaci GA a PSO. Podle [A5] je tato metoda velice rychlá a u ´spˇeˇsná, z p˚ uvodn´ıch metod pˇreb´ırá jednotlivé v´ yhody. Lze ji aplikovat na obecnou optimalizaˇcn´ı u ´lohu. Polovina jedinc˚ u prvn´ı generace je zpracována pomoc´ı PSO, druhá pomoc´ı GA, prvky mohou b´ yt voleny stˇr´ıdavˇe. V závˇeru kroku jsou vybraná ˇreˇsen´ı prom´ıchána a operace se opakuje. Metoda vyuˇz´ıvá téˇz GA operátory selekce, kˇr´ıˇzen´ı a mutace. Pravdˇepodobnˇe jde o ideáln´ı metodu optimalizace geometrie patch záˇriˇce. Nev´ yhodnou je nutná znalost GA i PSO.

2

Chov´ an´ı jedinc˚ u pˇri n´ avratu do mraveniˇstˇe, pokud je nejkratˇs´ı cesta bez feromonové stopy, je komplikovanˇejˇs´ı.

78

Kapitola 12 Z´ avˇ er V programu MatLab byl implementován proces generuj´ıc´ı IFS fraktály. Parametry pro jejich vznik lze zadávat nˇekolika zp˚ usoby. Zároveˇ n tato technika poskytuje v´ ysledky pro rozumnˇe velk´ y poˇcet iterac´ı, kdy hodnoty vyˇsˇs´ı neˇz 4 jiˇz mohou dˇelat pot´ıˇze. Program byl dále rozˇs´ıˇren o moˇznost exportu a moˇznost ukládán´ı bod˚ ui transformac´ı. Generátor má jiˇz fináln´ı podobu a nebude v´ yznamnˇe rozˇsiˇrován. Dále byla implementována metoda zaloˇzená na anal´ yze v generátoru vznikl´ ych planárn´ıch struktur, a to pomoc´ı PDE toolboxu propojeného s generátorem. Dutinov´ y model, simuluj´ıc´ı patch anténu, patˇr´ı mezi jednoduˇsˇs´ı analytické metody, pˇresto poskytuje v´ ysledky srovnatelné s programem FEMLAB. Pˇri realizaci se muselo vyˇreˇsit nˇekolik d´ılˇc´ıch problém˚ u uveden´ ych v 9. kapitole. Nˇekteré z nich budou dále ˇreˇseny. Také je nutno program zjednoduˇsit. V 11. kapitole byly nast´ınˇeny varianty pouˇziteln´ ych optimalizaˇcn´ıch algoritm˚ u. Kaˇzdá z moˇznost´ı nab´ız´ı jisté v´ yhody, ale oproti ostatn´ım zahrnuje i záporné vlastnosti. Volba správného vyhledávac´ıho algoritmu se tedy mus´ı podˇr´ıdit jednomu ze základn´ıch poˇzadavk˚ u, kter´ ym m˚ uˇze b´ yt krátká doba v´ ypoˇctu, pˇresnost, odolnost proti konvergenci do lokáln´ıho maxima apod. Pro své vlastnosti – obecnost a rychlost – je v´ yraznˇe preferován GSO algoritmus, jehoˇz podoba je nast´ınˇena v [A5] a s jehoˇz propojen´ım se stávaj´ıc´ım programem se poˇc´ıtá do budoucna. Projekt pˇredstaven´ y v této práci umoˇzn ˇuje nejen optimalizaci jedné, pˇredem dané a nemˇenné struktury, ale celého souboru struktur (u nichˇz staˇc´ı splnit IFS teorém) a dále simulovat tu nejlepˇs´ı variantu podle GA/PSO. Je otázkou, zda budou vˇsechny moˇzné scénáˇre (pro r˚ uzné poˇcáteˇcn´ı struktury) vˇzdy konvergovat k urˇcité jedné struktuˇre, nebo pro r˚ uzné struktury najde optimalizace vˇzdy r˚ uzná ˇreˇsen´ı. Prvn´ı z moˇznost´ı by v´ıce odpov´ıdala povaze fraktál˚ u a jejich vlastnostem, pˇresto je pravdˇepodobnˇejˇs´ı varianta druhá – vyhledávac´ı algoritmy pracuj´ı s velk´ ym 79


poˇctem zcela náhodn´ ych promˇenn´ ych, které do kaˇzdé individuáln´ı struktury vnáˇs´ı chaos a neuspoˇrádanost. Kaˇzd´ y v´ ysledek se potom liˇs´ı, i kdyˇz byla poˇcáteˇcn´ı struktura ve vˇsech pˇr´ıpadech stejná. D´ılˇc´ı v´ ysledky uvedené v 6., 9. a 10. kapitole je vhodné pro absenci optimalizace povaˇzovat sp´ıˇse za vedlejˇs´ı produkt nadˇrazeného, ale nekompletn´ıho procesu. Jeho dopracován´ı by mohl b´ yt v´ ychoz´ı u ´kol pro navazuj´ıc´ı diplomovou práci. I tak bylo ovˇeˇreno nˇekolik tvrzen´ı – prokázala se zavislost velikosti iterace, druhu struktury (pˇr´ıpadnˇe modifikace parametr˚ u IFS) na rezonanˇcn´ı frekvenci a rozloˇzen´ı proud˚ u. Byl potvrzen v´ yskyt lokalizace proud˚ u u vyˇsˇs´ıch mod˚ u, nˇekteré z nich mˇely charakter anténn´ı ˇrady. Dalˇs´ı lze oznaˇcit za degenerované. Kl´ıˇcová je téˇz stratifikace patch˚ u na struktury s fraktáln´ım obvodem a fraktáln´ım obsahem. Prvnˇe jmenované lze ˇreˇsit metodou planárn´ıho rezonátoru (tedy CM), druhé pro nemoˇznost zanedbán´ı vzájemn´ ych vazeb nikoliv. Vytvoˇrené .txt soubory fraktál˚ u mohou v budoucnu poslouˇzit za v´ ychoz´ı mustr antenn´ıch struktur se zaj´ımav´ ymi v´ ysledky. Pro u ´plnost je vhodné upozornit na to, ˇze diskutovaná metoda optimalizace (i jakákoliv pˇr´ıbuzná) je znaˇcnˇe ˇcasovˇe nároˇcná a bude tedy potˇreba upravit cel´ y program tak, aby pro rozumn´ y poˇcet populac´ı nebyl ˇcas nutn´ y pro vyˇreˇsen´ı u ´lohy pˇr´ıliˇs vysok´ y. Nav´ıc bude potˇreba zajistit vysokou stabilitu programu a koneˇcnˇe také kvalitn´ı v´ ypoˇcetn´ı techniku. Lze vhodnˇe vyuˇz´ıt toho, ˇze komparace jedinc˚ u prob´ıhá na základˇe srovnán´ı s fitness funkc´ı. Ani v tomto pˇr´ıpadˇe nejsou d˚ uleˇzité pˇresné hodnoty, ale jejich pomˇer, kdy nám za v´ ysledek poslouˇz´ı hodnota spadaj´ıc´ı do vˇetˇs´ıho intervalu neˇz b´ yvá bˇeˇzné.1 Pˇresná metoda anal´ yzy potom m˚ uˇze b´ yt vyuˇzita na v´ ysledném jedinci.

1

Jedinec nemus´ı fitness funkce dosáhnout, pouze se j´ı s jistou toleranc´ı pˇribl´ıˇzit.

80

Literatura Monografie [1] Karel Zaplat´ılek, Bohuslav Doˇ nar: MATLAB pro zaˇc´ ateˇcn´ıky. 2.vydán´ı, BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-175-6 [2] Karel Zaplat´ılek, Bohuslav Doˇ nar: MATLAB tvorba uˇzivatelských aplikac´ı. 1.dotisk 1.vydán´ı, BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-133-0 ˇ [3] Ivan Zelinka, Frantiˇ sek Vˇ celaˇ r, Marek Cand´ ık: Frakt´ aln´ı geometrie: principy a aplikace. BEN, Praha, 2006. ISBN 80-7300-191-8 [4] Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman, 1982. [5] Benoit B. Mandelbrot: Frakt´ aly: tvar, n´ ahoda a dimenze. 1.vydán´ı, Kolumbus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 163. ISBN 80-204-1009-0 [6] Peter Coveney, Roger Highfield: Mezi chaosem a ˇr´ adem. 1.vydán´ı, Kolumbus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 160. ISBN 80-204-0989-0 ˇ ad z chaosu. 1.vydán´ı, Kolumbus, [7] Ilya Prigogine, Isabelle Stengersov´ a: R´ Praha, 2001. Edice Kolumbus – Svazek 158. ISBN 80-204-0910-6 [8] The MathWorks: Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. ver. 2., User’s Guide, The MathWorks, 2006. [9] The MathWorks: Partial Differential Equation Toolbox. ver. 1., User’s Guide, The MathWorks, 2002. ˇıˇren´ı elektromagnetických vln a antény. [10] Miloˇ s Maz´ anek, Pavel Pechaˇ c: S´ ˇ ˇ dotisk 2.vydán´ı, CVUT, Praha, 1998. Nakladatelstv´ı CVUT, 10931. publikace. ISBN 978-80-01-03032-5

81


Literatura

[11] Blanka Heringov´ a, Petr Hora: MatLab. D´ıl I. - Pr´ ace s programem.. Plzeˇ n, 1995, H-S. [12] J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, 1989. Peter Peregrinus Ltd. ISBN 0-86341-150-9. chapter 1 − 3 [13] Microstrip Antenna Design Handbook. chapter: Analytical Models for Microstrip Antennas, pgs. 90 − 111 [14] Basic methods of calculation and design of patch antennas. pgs. 71 − 87

ˇ anky a pˇ Cl´ r´ıspˇ evky [A1] Jordi Romeu, Yahya Rahmat-Samii: Fractal Elements and Their Applications to Frequency Selective Surfaces. IEEE Antennas and Wireless, 2000. [A2] P.W.Tang, P.F.Wahid: Hexagonal Fractal Multiband Antenna. IEEE Antennas and Wireless letters, vol.3, 2004. [A3] Krzysztof Gdawiec: Fractals. 2006. [A4] Carla M. Riggi: Hutchinson Operators In R3 . http:/facweb.uofs.edu/ [A5] A. Gandelli, F. Grimaccia, M. Mussetta, P. Pirinoli, R. E. Zich: Genetical Swarm Optimization: an Evolutionary Algorithm for Antenna Design. AUTOMATIKA 47 (2006) 3 − 4, str.105 − 112 [A6] J. L´ aˇ c´ık, Z. Raida: Analýza plan´ arn´ıch struktur pomoc´ı metody moment˚ ua jejich optimalizace. VUT v Brnˇe, grantov´ y pˇr´ıspˇevek [A7] M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol. 1986. [A8] M. V. Berry: Improved Eigenvalue Sums for Inferring Quantum Billiard Geometry. University of Bristol, Bristol. 1986. [A9] Sachendra N. Sinha, Manish Jain: A Self-Affine Fractal Multi-band Antenna. AWPL 0126-2006. [A10] D. H. Werner, P. L. Werner, K. H. Church: Genetically Engineered Multiband Fractal Antennas. ELECTRONICS LETTERS, Vol. 37, No. 19. 2001. 82


Literatura

[A11] Z. Baharav: Fractal Arrays Based on Iterated Function System. IEEE, 1999. 0-7803-5639-X/99. [A12] P. Hazdra, M. Pol´ıvka, V. Sokol: Microwave Antennas and Circuits Modeling Using Electromagnetic Field Simulator.

Pr´ ace vˇ etˇ s´ıho rozsahu [W1] Pavel Hazdra: Compact Fractal Antenna Structures. Technical Thesis, dep. of Electromagnetic Field, CTU. Prague, 2005. [W2] Pavel Tiˇ snovsk´ y: Interaktivn´ı editor afinn´ıch transformac´ı. Diplomová práce, VUT. Brno, 1999. ˇ [W3] Pavel Hazdra: Fraktálové antény. Diplomová práce, CVUT. Praha, 2003. [W4] Jan Rohan: Návrh patchové antény pomoc´ı genetického algoritmu. Bakaláˇrská práce, VUT. Brno, 1999. [W5] Genetické algoritmy. Diplomová práce, Praha. [W6] Miroslav Janoˇ s´ık: Algoritmy pro optimalizaci s´ıt´ı GAME. Bakaláˇrská ˇ práce, CVUT. Praha, 2006. [W7] Miloˇ s Nˇ emec: Optimalizace pomoc´ı mravenˇc´ıch koloni´ı. Diplomová práce, ˇ CVUT. Praha, 2006. ˇ [W8] Martin Stumpf: Frekvenˇcnˇe selektivn´ı struktury s frakt´ aln´ımi motivy. ´ v Brnˇe. Bakaláˇrská práce, VUT [W9] Vlastimil Koudelka: Neuronov´ a s´ıt’ pro n´ avrh ˇsirokop´ asmové antény.. ´ Bakaláˇrská práce, VUT v Brnˇe. Brno, 2007. [W10] Aleˇ s Marˇ s´ alek: Multifrekvenˇcn´ı ozaˇrovaˇc malé parabolické antény s ´ v Brnˇe. kruhovou polarizac´ı.. Diplomová práce, VUT [W11] Pavel Hamouz: Analýza antén metodou charakteristických m´ od˚ u.. Diploˇ mová práce, CVUT v Praze. Praha, 2007.

83


Literatura

Internetov´ e zdroje [L1] www.root.cz: Fraktály v poˇc´ıtaˇcové grafice. Seriál. I.–IV. 2006. [L2] www.fractalus.com: Galleries and Resources. Otevˇrená galerie fraktál˚ u. [L3] www.ai-junkie.com/ga/intro/gat1.html, gat2.html, gat3.html: Genetic Algorithms in Plain English. [L4] http://artax.karlin.mff.cuni.cz/ beda/cz/matlab/primercz/: MatLab tutorial. [L5] http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/lekce2.html, . . . ,lekce9.html: MatLab. [L6] Pavel Hazdra: Simulace elektromagnetického www.elmag.org / www.rfprop.com).

pole.

Presentace (na

[L7] Pavel Hazdra: Numerick´ a simulace elektromagnetického pole – Simul´ atory elmag. pole. Presentace k pˇredmˇetu. [L8] www.milosnemec.cz Rojov´ a inteligence, mravenˇcn´ı kolonie.. stránky zab´ıvaj´ıc´ı se mj. rojovou optimalizac´ı.

84

Osobn´ı

Kapitola 13 Pˇ r´ılohy 13.1

Dodatek A - Seznam a popis funkc´ı

13.1.1

Koˇ renov´ y adres´ aˇ r IFS-PDE-CM:

K tˇemto funkc´ım, um´ıstˇen´ ym v koˇrenovém adresáˇri, je k dispozici obsáhlá nápovˇeda. Staˇc´ı editovat pˇr´ısluˇsn´ y m-file nebo zadat help jm´ eno funkce do promptu MatLabu. Funkce (fce) v tomto adresáˇri zpravidla obsahuj´ı GUI, nebo funguj´ı jako pˇrep´ınaˇce. Jsou to základn´ı fce programu, které volaj´ı niˇzˇs´ı procedury. all in one generic function.m Respektuje globáln´ı promˇenné z IFS ˇcásti. Obsahuje GUI inicializuj´ıc´ı uˇzivatelské okno. Zpracuje vstupn´ı informace a volá fci ysledek. gate between aiog and genere, ta volá dalˇs´ı funkce a vrac´ı v´ Ten je dále zpracován a vypsán. fractal preamble.m Touto funkc´ı se spouˇst´ı cel´ y program. Obsahuje vˇetven´ı try-catch pro vˇsechny dalˇs´ı ˇcinnosti. Definuje globáln´ı promˇenné, generuje GUI hlavn´ıho okna, dokáˇze ukonˇcit vˇsechna okna, pˇr´ıpadnˇe je restartovat. fractal preamble pde switch.m Po vyˇreˇsen´ı IFS u ´lohy umoˇzn ˇuje spuˇstˇen´ı navazuj´ıc´ıch funkc´ı (skrytá tlaˇc´ıtka get PDE a GenTool fc.). Dokud nen´ ı správnˇe vypoˇcten IFS fraktál, nejsou tato tlaˇc´ıtka zobrazena. gate between aiog and genere.m Obsahuje dvˇe vˇetve – funkce se volá poprvé nebo jiˇz po nˇekolikáté. Podle

85


13.1. Dodatek A - Seznam a popis funkc´ı

tohoto pˇristupuje r˚ uznˇe ke generaci fraktálu.1 Dále volá fce, které strukturu meshuj´ı, ohraniˇcuj´ı a koneˇcnˇe poˇc´ıtaj´ı. gate between gui and genere.m Zpracovává zadané u ´daje, kontroluje jejich správnost event. vypisuje chybov´ y dialog. Volá funkci engine, která generuje fraktál. pde tool.m Tato funkce ˇreˇs´ı PDE u ´lohu po kroc´ıch, která kontroluje uˇzivatel. Obsahuje vlastn´ı GUI. V´ ysledek je zobrazen v PDE toolboxu a vypsán na v´ ystup. points array.mat V této promˇenné jsou uloˇzeny souˇradnice bod˚ u, které zadal uˇzivatel a uloˇzil tlaˇc´ıtkem Save1. points array2.mat Podobnˇe jako u points array.mat, jedná se o druh´ y zásobn´ık. transform matrix.mat Zde jsou uloˇzeny transformace zadané uˇzivatelem. Tato funkce se dá vyuˇz´ıt k pˇrevodu afinn´ıch transformac´ı do formátu [a b c d e f ]. transform matrix2.mat Podobnˇe jako transform matrix.mat, jedná o se slot 2.

13.1.2

Sloˇ zka Fractal Engine

Zde jsou uloˇzeny funkce, které se pod´ılej´ı na generaci fraktálu. affine transform source.m Zdroj afinn´ıch transformac´ı. Koncipován tak, aby ˇsla základn´ı transformace kdykoliv pˇridat.2 Odsud jsou naˇc´ıtány ty matice, které jsou potˇreba ke kompletaci vstupn´ıch parametr˚ u. complete cell.mat Promˇenná typu cell ukr´ yvá souˇradnice vˇsech zadan´ ych / jiˇz vypoˇc´ıtan´ ych polygon˚ u. 1

V druhém pˇr´ıpadˇe jiˇz existuje tabulka z parametry z minulé generace. Ta se naˇcte a fraktál se generuje znovu s pozmˇenˇen´ ymi parametry z této tabulky 2 S t´ım je nutno zmˇenit GUI Hlavn´ıho menu.

86



core.m Vlastn´ı v´ ypoˇcetn´ı jádro. Poˇc´ıtá matice polygon˚ u. 4 zanoˇrené for cykly. Vrac´ı cell. engine.m Správce generace IFS. Podle návˇeˇst´ı (FLAG) sjednocuje transformace na stejn´ y formát, zjiˇst’uje poˇcet poˇc´ıtan´ ych polygon˚ u pro waitbar edit, volá core a ukládá seznam polygon˚ u do globáln´ı promˇenné. finalization transform matrix.m Naˇc´ıtá jednotlivé afinn´ı transformace ze zdroje, násob´ı je a ukládá do jedné matice. Takto postupuje se vˇsemi zadan´ ymi transformacemi. number of polygons.m Fce dokáˇze ze seznamu bod˚ u, zadan´ ych transformac´ı a poˇctu iterac´ı urˇcit poˇcet polygon˚ u. To se hod´ı pro hrub´ y odhad doby v´ ypoˇctu, pˇr´ıpadnˇe zápisu.

13.1.3

Sloˇ zka Fractal GUI

Sloˇzka obsahuje jednotlivé fce, které obsluhuj´ı tlaˇc´ıtka v Hlavn´ım menu. add point.m Pˇridá bod do globáln´ı promˇenné POINTS ARRAY, nav´ yˇs´ı poitery. add transform.m Pˇridá koordináty transformace FORM ARRAY, nav´ yˇs´ı pointery.

do

globáln´ı

promˇenné

TRANS-

back points.m Smaˇze posledn´ı zadan´ y bod. Funguje i na seznam bod˚ u naˇcten´ y ze souboru, nebo zásobn´ıku. back trans.m Smaˇze posledn´ı transformaci. Nelze pouˇz´ıt na smazán´ı posledn´ı transformace z naˇcteného souboru. by with iteration.m Obsluhuje skrytou nab´ıdku Od iterace:. level up.m Pˇrepne bˇeˇz´ıc´ı thread o u ´roveˇ n v´ yˇse v adresáˇrové struktuˇre.

87



load points.m Naˇcte body z promˇenné points array.mat. load points from file.m Otevˇre dialog pro vloˇzen´ı souboru s body. Tento soubor mus´ı m´ıt strukturu uvedenou v kapitole 6. Tyto body se pokus´ı naˇc´ıst a zobraz´ı v´ ysledek. Defaultn´ı adresáˇr je um´ıstˇen v: IFS-PDE-CM\ program output\Polygony. load points2.m Naˇcte body z promˇenné points array2.mat. load transform from file.m Otevˇre adresáˇr IFS-PDE-CM\ program output\Transformace a pokus´ı se naˇc´ıst zadan´ y soubor s transformacemi. load transform.m Naˇcte transformace ze zásobn´ıku. Promˇenná transform matrix.mat. load transform2.m Naˇcte transformace z promˇenné transform matrix2.mat save points.m Uloˇz´ı body do prvn´ıho slotu. save points2.m Uloˇz´ı body do druhého slotu. save points to file.m Otevˇre dialogové okno vyz´ yvaj´ıc´ı k uloˇzen´ı bod˚ u do souboru. save transform.m Uloˇz´ı transformace do prvn´ıho slotu.3 save transform2.m Uloˇz´ı transformace do druhého slotu. save trans to file.m Analogie k ukládán´ı bod˚ u do souboru. show start points.m Zobraz´ı naˇctené / zadané poˇcáteˇcn´ı body. Volá fci draw points. 3

Sloty pro body a transformace nejsou spoleˇcné, jedná se tedy o 4 rozd´ılné zásobn´ıky.

88


13.1.4


Sloˇ zka Fractal Others

Obsahuje fce pro vykreslen´ı, export apod. Nˇekteré z tˇechto procedur jsou volány v´ıcekrát za bˇeh programu, pˇr´ıp. jsou pˇretˇeˇzovány. close all.m Zavˇre vˇsechna okna. count resonant frequency.m Vypoˇc´ıtá rezonanˇcn´ı frekvenci podle [A7]. Tato funkce nen´ı zakomponována do programu. draw points.m Vykresl´ı fraktál. Hranice jsou pr˚ ubˇeˇznˇe upravovány tak, aby se do v´ yˇrezu 4 ˇ veˇsel cel´ y obrazec. Casovˇe velmi nároˇcná funkce. draw points from incoming matrix.m Vykresl´ı body poˇcáteˇcn´ı body. registry3dt.m Zajiˇst’uje export do souboru .3dt (IE3D). Zapisuje polygony v takovém formátu, kter´ y lze exportovat pˇr´ımo jako geometrii. V´ ysledn´ y soubor se jmenuje polygons.3dt a je uloˇzen v adresáˇri program output. registrytxt.m Zapisuje v´ ysledné vrcholy do souboru .txt. Soubor se jmenuje polygons.txt a je uloˇzen v adresáˇri program output. show start polygons.m Zajiˇst’uje vykreslen´ı bod˚ u a souˇcasnˇe volá funkci waitbar edit. Respektuje meze iterac´ı zadané uˇzivatelem. waitbar edit.m Pˇrepsaná funkce waitbar, kterou obsahuje MatLab. Zobrazuje horizontáln´ı stavovou stupnici. Informuje o pr˚ ubˇehu vykreslen´ı / zápisu apod. Mus´ı b´ yt vˇzdy zavˇrena. I kdyˇz je volána pro kaˇzd´ y krok zvláˇst’, nezab´ırá mnoho v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu. Aˇckoliv je frakt´ al o 7 iterac´ıch vypoˇc´ıtán za 1˜3 sekundy, vykresluje se i nˇekolik hodin. Zpravidla vˇsak staˇc´ı frakt´ al o 3 iterac´ıch, které jsou bez problém˚ u zvládnutelné v ˇrádu nejv´ıˇse des´ıtek sekund. 4

89


13.1.5


Sloˇ zka Generic Antenna

Zde jsou uloˇzeny fce, které souvisej´ı s u ´pravou geometrie patchové antény. genere new structure.m Znovu generuje fraktál. Zde v rozhran´ı PDE. Obsahuje volán´ı, která informuj´ı uˇzivatele o stavu procesu. mutate structure.m Jednoduch´ y algoritmus, kter´ y upravuje geometrii antény. Thread prob´ırá postupnˇe jednotlivé parametry. Nerespektuje jejich vzájemnou provázanost. print results.m Vypisuje v´ ysledky. Zobrazuje nejmenˇs´ı nalezenou frekvenci a vykresluje graf jej´ı zmˇeny pˇri zmˇenˇe parametr˚ u. type frequence.m Vypisuje aktuáln´ı nalezené rezonanˇcn´ı frekvence do okna PDE.

13.1.6

Sloˇ zka PDE tool mesh

Následuj´ıc´ıch 6 funkc´ı zajiˇst’uje bˇeh PDE toolboxu. draw polygons to the pde toobox.m Zapisuje jednotlivé polygony do PDE toolboxu. Nejprve inicializuje waitbar edit a nastav´ı pˇresahy u okna zobrazuj´ıho polygony v PDE, potom spust´ı vlastn´ı zapisován´ı odehrávaj´ıc´ı se ve volané funkci low level mesh drawing. low level mesh drawing.m Hl´ıdá hranice vykreslován´ı, nastavuje pdeinit a pde fig, volá vnoˇrenou fci pdepoly time optimal modify cell.m Upravuje rozmˇery antény tak, aby jej´ı parametry byly reálné, at’ uˇz uˇzivatel zadá jakoukoliv velikost. Také upozorˇ nuje na pˇr´ıliˇs mnoho polygon˚ u, které m´ıˇr´ı k zápisu do PDE – proces zápisu by se t´ım stal ne´ unosnˇe dlouh´ y. pde tool mesh.m Zjist´ı poˇcet relevatn´ıch hranic polygon˚ u a tyto hranice nastav´ı – po sjednocen´ı – na Neumanovu podm´ınku. Inicializuje a refinuje meshovou s´ıt’. Podle poˇctu troj´ uheln´ıku refinuje s´ıt’ tak dlouho, dokud jeden polygon neobsahuje alespoˇ n 50 elementárn´ıch troj´ uheln´ıˇck˚ u.

90


13.2. Dodatek B - Obsah CD

pdepoly time optimal.m Zjednoduˇsená fce z PDE toolboxu MatLabu. Vˇsechny nepotˇrebné sekce byly pro u ´sporu v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu zakomentovány. Zakresl´ı jeden objekt do okna PDE toolboxu a updatuje strukturu. solve pde task.m Vypoˇc´ıtá vlastn´ı ˇc´ısla. Obsahuje uˇzivatelské nastaven´ı toolboxu – barvy vykreslován´ı, pˇr´ıtomnost ekvidistant atd. Poˇc´ıtá frekvence a je nˇekolik poˇcáteˇcn´ıch nesmysln´ ych, oˇr´ızne je.

13.2

Dodatek B - Obsah CD

CD odevzdané spoleˇcnˇe s prac´ı obsahuje: 1. Vlastn´ı text této práce ve formátu .pdf. 2. Dosaˇzené v´ ysledky (tabulky, obrázky, grafy . . . ). 3. Zdrojov´ y kód (soubory m-file a mat-soubory) v adresáˇri IFS-PDE-CM. 4. Zdrojov´ y kód v .zip archivu. 5. Vybrané ˇclánky ze seznamu literatury, nebo ˇclánky s nimi souvisej´ıc´ı. 6. Video fractals.mpg zobrazuj´ıc´ı r˚ ust Mandelbrotovy mnoˇziny. 7. Video PSO.avi. 3D-graf z MatLabu ukazuje konvergenci hejna ke globáln´ımu extrému. 8. Program PSODemo.exe simuluj´ıc´ı chován´ı hejna, tedy rojovou optimalizaci.

91


13.3

13.3. Dodatek C - Vývojové schéma

Dodatek C - V´ yvojov´ e sch´ ema

Obrázek 13.1: V´ yvojové schéma programu ˇ V´ yˇse uveden´ y obr. 13.1 respektuje souˇcasn´ y stav programu. Cervenˇ e vyznaˇcené bloky nejsou zat´ım realizovány. P˚ ujde o optimalizaˇcn´ı algoritmus, o nˇemˇz pojednávala kapitola 10, resp. o realizaci PDE u ´lohy v programu FemLab. Zelené a modré segmenty naznaˇcuj´ı návaznost ˇcinnost´ı uvnitˇr IFS a PDE.

92


13.4

13.4. Dodatek D - Okna programu

Dodatek D - Okna programu

Obrázek 13.2: Hlavn´ı panel programu Na obrazc´ıch 13.2 − 13.5 jsou screenshoty z programu. Tato okna jsou seˇrazena v takové posloupnosti, v jaké se s nimi m˚ uˇze setkat uˇzivatel. Kód jednotliv´ ych uˇzivatelsk´ ych rozhran´ı je uloˇzen ve funkc´ıch fractal preamble, all in one generic function, pde tool a pdetool. Protoˇze byl GUI napsán ruˇcnˇe, m˚ uˇze b´ yt jednoduˇse modifikován.

93



Obrázek 13.3: Generic tool

94



Obrázek 13.4: PDE anal´ yza

Obrázek 13.5: PDE toolbox – MatLab 95

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE

Recommend Documents