FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE

ˇ ´ VYSOKE ´ UCEN ˇ ´ ´ V PRAZE CESK E I TECHNICKE ´ FAKULTA ELEKTROTECHNICKA ´ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKEHO POLE

´ PRACE ´ DIPLOMOVA N´ astroj pro mod´ aln´ı anal´ yzu frakt´ alov´ ych patch ant´ en

ˇ Bc. Miloslav Capek Vedouc´ı pr´ ace: Ing. Pavel Hazdra

ˇ e Budˇejovice 2009 Cesk´

i

Zad´ an´ı Vytvoˇrte SW n´ astroj pro generaci (pomoc´ı IFS) a modáln´ı anal´ yzu mikropáskov´ ych patch antén zaloˇzen´ ych na fraktáln´ı geometrii. 1. Implementujte optimalizaˇcn´ı algoritmus (napˇr. na bázi PSO), kter´ y bude generovat IFS kol´ aˇze s c´ılem nalézt struktury s minimáln´ı rezonanˇcn´ı frekvenc´ı z´ akladn´ıho modu. Rezonanˇcn´ı frekvence a rozloˇzen´ı proud˚ u stanovte pomoc´ı dutinového modelu (napˇr. s vyuˇzit´ım v´ ypoˇcetn´ıho jádra COMSOL Multiphysics). Maxim´ aln´ı rozmˇery koláˇze uvaˇzujte konstantn´ı tak, aby bylo moˇzné porovn´ avat struktury v˚ uˇci kanonick´ ym tvar˚ um (obdéln´ık, kruh) a navzájem v˚ uˇci sobˇe. 2. Na z´ akladˇe rozloˇzen´ı magnetick´ ych proud˚ u na hranˇe antén implementujte v´ ypoˇcet vyzaˇrovac´ıho diagramu pro jednotlivé mody. 3. Vybranou strukturu z bodu 1) nasimulujte v nˇekterém ”full-wave”simulátoru (napˇr. CST-MWS) a porovnejte vlastnosti antény s dutinov´ ym modelem (rezonanˇcn´ı frekvence, proudová distribuce).

ii

Podˇ ekov´ an´ı Rád bych podˇekoval nˇekolika lidem, bez kter´ ych by tato práce stˇeˇz´ı kdy vznikla. Pˇrednˇe dˇekuji mému ˇskoliteli Pavlu Hazdrovi, nejen za pˇr´ısun literatury a podklad˚ u, tip˚ u a rad, ale zejména za nenápadné a pˇresto jisté veden´ı celé práce. ˇ Dále bych r´ ad podˇekoval tˇem, kteˇr´ı pˇrispˇeli radou; jmenovitˇe: Petrovi Cern´ emu, Stanislavu Zv´ anovcovi, Aleˇsi Nˇemeˇckovi, Jaroslavu Tiˇserovi, Pavlu Tiˇsnovskému a dalˇs´ım. V neposledn´ı ˇradˇe dˇekuji rodinˇe, Janˇe a v´ yrobc˚ um japonsk´ ych zelen´ ych ˇcaj˚ u.

iii

Prohl´ aˇ sen´ı T´ımto stvrzuji, ˇze tato pr´ ace je mé vlastn´ı d´ılo a ˇze vˇsechny pouˇzité zdroje jsou uvedeny v Literatuˇre (pˇr´ıpadnˇe na datovém nosiˇci). Dále souhlas´ım s pˇr´ıpadn´ ym vyuˇzit´ım mé pr´ ace pro nekomerˇcn´ı u ´ˇcely katedry elekromagnetického pole na ˇ FEL-CVUT.

ˇ ych Budˇejovic´ıch dne 15. 5. 2009. V Cesk´

iv

Abstrakt Diplomov´ a pr´ ace shrnuje z´ıskané poznatky v oblasti fraktáln´ıch antén a optimalizace. V mnoha ohledech rozv´ ad´ı závˇery bakaláˇrské práce. Text je tematicky rozdˇelen na nˇekolik ˇc´ ast´ı, které reflektuj´ı na sebe navazuj´ıc´ı témata. Nejprve je vˇenována pozornost definici, generaci a zpracován´ı IFS struktur. Jsou pˇredstaveny postupy jak dynamicky vyhodnocovat obvod a obsah koláˇze v prostˇred´ı Matlab, vˇenujeme se i tzv. box-counting metodˇe. Pro vlastn´ı mod´ aln´ı ˇreˇsen´ı je vyuˇzit dutinov´ y model, v´ ypoˇcet provád´ı Comsol. Dalˇs´ı pas´ aˇz reflektuje v´ yvoj v oblasti optimalizace, je implementován a testován PSO algoritmus. Pˇredstaven je nástroj na nastaven´ı optimalizaˇcn´ıch podm´ınek s c´ılem z´ıskat optimalizované IFS antény s ohledem na minimáln´ı rezonanˇcn´ı frekvenci. Exportovan´ a data z Comsolu vyuˇzijeme pro v´ ypoˇcet vyzaˇrovac´ıho diagramu. Na z´ avˇer vybranou strukturu simulujeme v referenˇcn´ım softwaru CST MWS. Naprost´ a vˇetˇsina aplikac´ı je p˚ uvodn´ı, jsou vytváˇreny v prostˇred´ı Matlab s ohledem na modularitu a dalˇs´ı rozvoj.

Kl´ıˇ cov´ a slova IFS, dutinov´ y model, rezonanˇcn´ı frekvence, proudové rozloˇzen´ı, módy, optimalizace, PSO, vyzaˇrovac´ı diagram.

v

Abstract This thesis summarieses all obtained knowledge about fractal patch antenna and particle swarm optimization. All aspects of the bachelor thesis are expand in many ways, some new topic are shown too. The whole text is divided into separate chapters which contain particular topics. First we take care of definition, generation and manipulation of IFS fractal structures. There are introduced new approaches to fractal’s circumference and area measure in Matlab environment. We attend to socalled box-counting method also. Further section contains cavity model characterization. Evaluation of this model provides Comsol Multiphysics. The PSO algorithm is chosen for optimization of patch antennas. The IFSLimiter, instrument for setup the conditions of optimization, is introduced. Radiation pattern is computed from obtained data. In the end, we choose the proper structure to simulate it in CST-MWS with a view to make a reference between Comsol and CST. Most of described applications have been developed in Matlab considering modularity and extensibility.

Keywords IFS, cavity model, resonant frequency, current distribution, modes, optimization, PSO, radiation pattern.

vi

Pˇ redmluva Pˇr´ırodn´ı z´ akony: skryté, tajemné a fascinuj´ıc´ı. Jsou od nepamˇeti jedn´ım z hlavn´ıch determinant lidské spoleˇcnosti. Moˇzná proto, moˇzná pro pˇrirozenou lidskou zv´ıdavost, zcela jistˇe vˇsak s c´ılem ukojit vrozenou pohodlnost, je odkr´ yván´ı tˇechto taj˚ u hnac´ı silou rozvoje lidstva. Stav pozn´ an´ı se vˇsak od dob Aristotela, Newtona, Maxwella, Einsteina a dalˇs´ıch v mnohém zmˇenil. Vzpomeˇ nme na Laplaceova démona; názor na ˇrád a chaos se dynamicky vyv´ıjel a zajisté bude vyv´ıjet i dál. A pr´ avˇe oblast na pomez´ı je v souˇcasné dobˇe v hledáˇcku mnoha velikán˚ u svˇetové fyziky, chemie a teorie informace. Spadaj´ı sem dodnes nevyˇreˇsené problémy jako Navier-Stokesovy rovnice popisuj´ıc´ı proudˇen´ı nebo Riemannova hypotéza spojuj´ıc´ı svˇet prvoˇc´ısel (o kter´ ych jsme se donedávna domn´ıvali, ˇze jsou v´ ytvorem ˇclovˇeka), neuspoˇr´ adané chaotické systémy, ale pˇrekvapivˇe zahrnuj´ıc´ı i ˇreˇsen´ı planárn´ıch rezonátor˚ u. Do stejné kategorie m˚ uˇzeme zaˇradit fraktály a rojovou optimalizaci, která, aˇc s pevnˇe dan´ ym algoritmem, generuje z krátkodobého pohledu nedeterministick´ y pohyb agent˚ u. Tak doch´ az´ıme k poznatku, ˇze nejefektivnˇejˇs´ı systémy jsou právˇe ty na pomez´ı striktnˇe predikovatelného a pouze“ pravdˇepodobného1 . Dost moˇzná ” i element´ arn´ı principy antén a elektromagnetického pole (vlnˇen´ı) spadaj´ı do této skupiny. Vˇsechny tyto problémy zobecˇ nuj´ı nové náhledy na ˇcas, prostor, determinismus i klasickou mechaniku. Pˇritom naˇse neustálé zkoumán´ı ovlivˇ nuje postoje umˇen´ı, filosofie, spoleˇcensk´ ych vˇed, ekonomie . . . Vˇenujme proto zv´ yˇsenou pozornost této komplexitˇe a interdisciplinaritˇe, nebot’, dost moˇzn´ a, ˇzijeme na u ´svitu nové revoluce ([7]). S veˇskerou pokorou si pˇreji, aby pˇredloˇzen´ a pr´ ace, byt’ nepatrn´ ym d´ılem, pˇrispˇela do inventáˇre té nejdobrodruˇznˇejˇs´ı v´ ypravy – té, kterou Richard Feynman oznaˇcil za obrovskou ˇsachovou partii. Autor

1 Bezpeˇcnostn´ı sluˇzba, pˇrev´ aˇzej´ıc´ı pen´ıze z banky, jezd´ıc´ı st´ ale po stejné trase, by byla ˇcasto vystavena pˇrepaden´ı; naopak pˇri zcela n´ ahodné j´ızdˇe by svou neefektivitou podlehla konkurenci.

Pozn.: Obr´ azek na n´ asleduj´ıc´ı stranˇe zobrazuje Juliovu mnoˇzinu. Jedn´ a se o frakt´ al, kter´ y z´ısk´ ame vyˇsetˇren´ım divergence rovnice zn+1 = zn2 + c, kde z je komplexn´ı a c je (téˇz komplexn´ı) konstanta.

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Koncepce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Konspekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 1 2

2 IFS frakt´ aly 2.1 Frakt´ al . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Generace IFS . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1 Metrika . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 Pevn´ y bod . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Kontraktivn´ı zobrazen´ı . . . . . . . 2.2.4 Banachova vˇeta o pevném bodu . . 2.2.5 Interpretace IFS . . . . . . . . . . 2.3 Transformace . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Typy afinn´ıch transformac´ı . . . . 2.3.2 Zp˚ usoby uloˇzen´ı . . . . . . . . . . 2.4 M´ıry a dimenze . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Topologick´ a dimenze . . . . . . . . 2.4.2 Vnˇejˇs´ı m´ıra . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 -pokryt´ı . . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Hausdorffova m´ıra . . . . . . . . . 2.4.5 H¨ olderova funkce s parametrem α 2.4.6 Hausdorffova dimenze . . . . . . . 2.4.7 Mˇr´ıˇzkov´ a dimenze . . . . . . . . . 2.5 Metoda box-counting . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 5 6 6 6 7 7 8 8 10 10 11 11 12 12 13 13 15 16

3 IFS software 3.1 Programovac´ı techniky v Matlabu . ´ 3.1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Switched board programming 3.1.3 Struktur´ aln´ı programován´ı . 3.1.4 OOP . . . . . . . . . . . . . . 3.2 AntTool . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Generace IFS . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

19 19 19 22 23 24 25 26

viii

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

OBSAH

3.3 3.4

ix 3.2.2 Export kol´ aˇze . . . . . . 3.2.3 Pˇripojen´ı ke Comsolu . 3.2.4 N´ ahrada IFSMakerem . IFSMaker . . . . . . . . . . . . Nedostatky a moˇzn´ a vylepˇsen´ı

4 Numerick´ e metody 4.1 Mikrop´ askové patch antény . . 4.2 Metoda moment˚ u. . . . . . . . 4.3 Dutinov´ y model . . . . . . . . . 4.4 Metoda koneˇcn´ ych prvk˚ u . . . 4.5 Teorie charakteristick´ ych mod˚ u 5 EvalInFem 5.1 Popis, syntaxe . . . . . . 5.2 Geometrie . . . . . . . . 5.3 Mesh, fyzika . . . . . . . 5.4 Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u . . 5.5 Oˇsetˇren´ı chyb, stabilita 5.6 V´ ysledky . . . . . . . . 5.7 Propojen´ı s PSO . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

27 28 29 29 36

. . . . .

38 39 41 44 46 49

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

53 53 55 56 57 60 60 64

6 Vyzaˇ rovac´ı diagram 6.1 Rozloˇzen´ı zdroj˚ u . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Odvozen´ı potˇrebn´ ych vztah˚ u . . . . . . . . 6.3 Magnetické proudy . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1 Rekonstrukce patche, z´ıskán´ı dat pro 6.3.2 Smˇer norm´ aly . . . . . . . . . . . . . 6.3.3 Vyuˇzit´ı hodnot NaN z Comsol gridu 6.4 Povrchové elektrické proudy . . . . . . . . . 6.5 Simulace v CST . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6 Realizace – EvalRadPattern . . . . . . . . . 6.6.1 V´ ypoˇcet proud˚ u . . . . . . . . . . . 6.6.2 Algoritmus . . . . . . . . . . . . . . 6.6.3 GUI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.6.4 Optimalizace . . . . . . . . . . . . . 6.7 Rozbor v´ ysledk˚ u . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . normálu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

65 65 67 71 72 73 74 75 77 78 78 79 79 80 80

7 PSO optimalizace 7.1 PSO algoritmus . . . . . . 7.1.1 Historie . . . . . . 7.1.2 Princip PSO . . . 7.1.3 Omezen´ı agent˚ u . 7.2 Optim´ aln´ı parametry PSO

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

82 82 82 83 84 85

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . .

OBSAH 7.3 7.4

x Stretched PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . GSO algoritmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8 PSOptimizer 8.1 Implementace . . . . 8.2 PsoData form´ at . . . 8.3 Fitness funkce, testy 8.4 Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u 8.5 Spojen´ı s EvalInFem 8.6 Zrychlen´ı metody . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

9 IFSLimiter 9.1 Struktura programu . . . . . . . 9.2 Testovac´ı u ´loha . . . . . . . . . . 9.3 Zad´ an´ı u ´loh . . . . . . . . . . . . ´ 9.3.1 Uloha A1 . . . . . . . . . ´ 9.3.2 Uloha B1 . . . . . . . . . ´ 9.3.3 Uloha B3 . . . . . . . . . ´ 9.3.4 Uloha C3 . . . . . . . . . ´ 9.3.5 Uloha C6 . . . . . . . . . 9.4 Rozˇs´ıˇrené moˇznosti IFSLimiteru

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . .

91 92

. . . . . .

93 . 93 . 94 . 96 . 99 . 102 . 102

. . . . . . . . .

103 103 105 106 106 107 107 108 108 108

. . . . . . . . .

10 Optimalizace a anal´ yza FRC

110

11 Z´ avˇ er

116

12 Pˇ r´ılohy 12.1 Dodatek 12.2 Dodatek 12.3 Dodatek 12.4 Dodatek 12.5 Dodatek 12.6 Dodatek

127 127 139 143 144 144 147

A: V´ ybˇer IFS fraktál˚ u . . . . B: Simulace vybran´ ych FRC C: Pˇrehled aplikac´ı . . . . . . D: Pˇr´ıkazy AntTool . . . . . E: Srovn´ an´ı program˚ u . . . . F: Obsah DVD . . . . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Seznam obr´ azk˚ u 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11

Sierpinského koberec (2D, IFSMaker) a Mengova houba (3D, [83]) . V´ yznam Hutchinsonova operátoru . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prvn´ı tˇri iterace Sierpinského koberce, IFSMaker . . . . . . . . . . V´ yznam koeficient˚ u a, b, c, d, e, f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Demonstrace -pokryt´ı, vlevo > vpravo . . . . . . . . . . . . . . . K definici Dh (F ): vlevo mnoˇzina F , vpravo jej´ı Dh . . . . . . . . . Zjemnˇen´ı mˇr´ıˇzky pokr´ yvaj´ıc´ı mnoˇzinu F . . . . . . . . . . . . . . . Smˇernice box-counting dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K v´ ypoˇctu mˇr´ıˇzkové dimenze (fraktály FRC A a FRC B) . . . . . V´ ypoˇcet mˇr´ıˇzkové dimenze Scierpinského troj´ uheln´ıka (FRC A) . . V´ ypoˇcet mˇr´ıˇzkové dimenze ˇctverce . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

4 6 8 10 12 14 15 16 17 18 18

3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 3.10 3.11 3.12 3.13 3.14 3.15 3.16 3.17

Struktura grafiky v Matlabu . . . . . . . . . . . . . . . . Pˇr´ıklad uˇzit´ı switched boad programmingu (AntTool1.3) Struktur´ aln´ı segment kódu (IFSLimiter) . . . . . . . . . Uˇzit´ı objekt˚ u v IFSMakeru . . . . . . . . . . . . . . . . AntTool, screenshot hlavn´ıho okna . . . . . . . . . . . . AntTool: Zad´ an´ı bod˚ u a transformac´ı . . . . . . . . . . AntTool: Zobrazen´ı bod˚ u a transformac´ı . . . . . . . . . ˇ AntTool: Reˇsiˇc a v´ ysledn´ y fraktál . . . . . . . . . . . . . IFSMaker: cel´ y program . . . . . . . . . . . . . . . . . . IFSMaker: ˇc´ ast UML schematu, MS Visio . . . . . . . . IFSMaker: Selection List . . . . . . . . . . . . . . . . . . IFSMaker: Uk´ azka modifikace . . . . . . . . . . . . . . . IFSMaker: Pˇripojen´ı nod˚ u do polygonu . . . . . . . . . IFSMaker: Uk´ azka lazen´ı transformac´ı . . . . . . . . . . IFSMaker: Pracovn´ı plocha, detail . . . . . . . . . . . . IFSMaker: Canvas options . . . . . . . . . . . . . . . . . IFSMaker: Pr´ ace s polygony . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

20 22 23 24 25 26 27 28 30 31 32 32 33 33 34 35 36

4.1 4.2 4.3

Mikrop´ askov´ a patch anténa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Jednorozmˇerné b´ azové funkce (a-c) a jejich uplatnˇen´ı (d) . . . . . . . Hraniˇcn´ı podm´ınky pro ˇreˇsen´ı patche . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39 42 44

xi

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . .

´ U ˚ SEZNAM OBRAZK 4.4

xii

4.5 4.6 4.7

Prvn´ı 3 m´ ody obdéln´ıkového patche (nahoˇre: proudová hustota dole: elektrick´ a intenzita Ez ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . P˚ uvodn´ı funkce (a) a jej´ı lineárn´ı aproximace (b) . . . . . . . . . Triangularn´ı, quadrilateraln´ı s´ıt’ a kvalita s´ıtˇe (tmavá je nejlepˇs´ı) Typické hodnoty charakteristického u ´hlu, zdroj: [85] . . . . . . .

5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 5.10 5.11

EvalInFem (screenshot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vypoˇcten´ a kol´ aˇz, mesh, dominantn´ı mód a jeho proudové rozloˇzen´ı Nesmyslné ˇreˇsen´ı (vlevo) a dominantn´ı mód struktury (vpravo) . . Pˇr´ıklad duplicitn´ıch m´ od˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Nadbyteˇcné nody, jejich vznik a nepˇr´ıjemné d˚ usledky . . . . . . . . Lokalizované proudy pro FRC B, FRC J a FRC D, vyˇsˇs´ı módy . . Pokles frekvence s iterac´ı, vybrané koláˇze . . . . . . . . . . . . . . Dominantn´ı m´ ody FRC struktur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Proudy na struktuˇre FRC F podle TCM . . . . . . . . . . . . . . . Pr˚ ubˇeh charakteristického u ´hlu pro FRC F (TCM) . . . . . . . . . Proudové rozloˇzen´ı pro 1-3 mód koláˇze FRC F . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . .

54 55 57 58 58 59 61 62 62 63 64

6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 6.8 6.9 6.10 6.11 6.12 6.13 6.14 6.15 6.16 6.17 6.18

Postup v´ ypoˇctu, ve shodˇe s [29] . . . . . . . . . . . . . . . . K odvozen´ı vyzaˇrovac´ıho diagramu . . . . . . . . . . . . . . Pole Ez na hranici (vlevo) a nad cel´ ym patchem (vpravo) . Stanoven´ı norm´ aly na fraktáln´ı hranici . . . . . . . . . . . . K norm´ ale v Comsolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Stanoven´ı norm´ aly pomoc´ı NaN . . . . . . . . . . . . . . . . Povrchové proudy pro 3000 element˚ u, napravo rozloˇzen´ı Ez Povrchové proudy, 4.mód, v´ıce element˚ u . . . . . . . . . . . Zahrnut´ı nekoneˇcné zemn´ı roviny . . . . . . . . . . . . . . . Vyzaˇrov´ an´ı dip´ olu, délka λ2 , 3D diagram z CST MWS . . . . Vyzaˇrov´ an´ı dip´ olu, délka λ2 , ˇrezy CST MWS . . . . . . . . . Vyzaˇrov´ an´ı dip´ olu, délka 23 λ, 3D diagram z CST MWS . . . Vyzaˇrov´ an´ı dip´ olu, délka 32 λ, ˇrezy CST MWS . . . . . . . . K obdéln´ıkové metodˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EvalRadPattern (screenshot) . . . . . . . . . . . . . . . . . Sloˇzky Fx a Fy v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch . . . . . . . . . . VD velice u ´zkého patche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Orientace diagram˚ u, barvy koresponduj´ı s obr. 6.17 . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

66 68 71 71 73 75 75 76 77 77 78 78 79 79 80 80 81 81

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Princip PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Typy zd´ı pouˇz´ıvané v PSO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimalizace funkce Levy5 pro r˚ uzná c1 a c2 (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) Optimalizace funkce Levy5 pro r˚ uzná c1 a c2 (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) Poˇcet agent˚ u mimo s.s. pro Levy5 a Rosenbrockovu funkci (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rozptyl agent˚ u, Levy5 a Rosenbrockova funkce (20 agent˚ u, 150 iterac´ı)

7.6

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

J, . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 47 48 51

83 85 87 88 90 90

´ U ˚ SEZNAM OBRAZK

xiii

7.7 7.8

Funkce Levy5: bez transformace, s G(x) a po H(x), zdroj: [47] . . . Princip GSO optimalizace, na základˇe [50] . . . . . . . . . . . . . . .

8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 8.7

GUI PSOptimizeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Optimalizace kvadratické funkce v rozsahu x ∈ h2, 5i . . . . . . . Rosenbrockova funkce, s.s. ∈ h−10, 10i × h−10, 10i a cost funkce . Konvergence ke skuteˇcnému minimu Rosenbrockovy funkce . . . Funkce Levy No.5, s.s. ∈ h−10, 10i × h−10, 10i a cost funkce . . . Program PSOPost, vˇc. pr˚ ubˇehu funkce Levy5 a agent˚ u . . . . . . Pozice agent˚ u pro 5. a 150. iteraci (Levy5, s.s. ∈ 10 × 10) . . . .

. . . . . . .

. 94 . 97 . 98 . 98 . 99 . 100 . 101

9.1 9.2 9.3 9.4 9.5 9.6 9.7 9.8 9.9

IFSLimiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro testovac´ı u ´lohu Zad´ an´ı podm´ınky, vstup a v´ ystup . . . . . . . . . Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu A1 . . . Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu B1 . . . ´ Uloha B3 v IFSLimiteru . . . . . . . . . . . . . . Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu C3 . . . Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu C6 . . . IFSLimiter: parametrick´ y ˇreˇsiˇc . . . . . . . . . .

10.1 10.2 10.3 10.4 10.5 10.6 10.7 10.8 10.9

Postup optimalizace . . . . . . . . . . . . . . . . . Nˇekolik agent˚ u optimalizace A1 . . . . . . . . . . . Nˇekolik agent˚ u optimalizace B1 . . . . . . . . . . . Nˇekolik agent˚ u optimalizace B2 . . . . . . . . . . . Z´ avislost rez. frekv. na iteraci pˇred PSO a po PSO Parametrické srovn´ an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . Nˇekolik agent˚ u optimalizace C6 . . . . . . . . . . . V´ ysledek optimalizace C6 (2. a 3. iterace) . . . . . Pohyb agent˚ u pˇri u ´loze H2, zaˇcátek (vlevo) a závˇer

12.1 Frakt´ al 12.2 Frakt´ al 12.3 Frakt´ al 12.4 Frakt´ al 12.5 Frakt´ al 12.6 Frakt´ al 12.7 Frakt´ al 12.8 Frakt´ al 12.9 Frakt´ al 12.10Frakt´ al 12.11Frakt´ al 12.12Frakt´ al 12.13Frakt´ al 12.14Frakt´ al

FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC FRC

. . . . . . . . .

A v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . A inicializaˇcn´ı objekt a transformace B v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . B inicializaˇcn´ı objekt a transformace C v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . C inicializaˇcn´ı objekt a transformace D v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . D inicializaˇcn´ı objekt a transformace E v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . E inicializaˇcn´ı objekt a transformace F v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . F inicializaˇcn´ı objekt a transformace H v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . H inicializaˇcn´ı objekt a transformace

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

104 105 105 106 107 107 108 109 109

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (vpravo)

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . .

110 111 112 112 113 113 114 115 115

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

127 127 128 128 129 130 131 131 132 133 133 134 135 135

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .

91 92

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . .

´ U ˚ SEZNAM OBRAZK 12.15Frakt´ al FRC J v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . 12.16Frakt´ al FRC J inicializaˇcn´ı objekt a transformace . 12.17Frakt´ al FRC K v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci . . . . 12.18Frakt´ al FRC K inicializaˇcn´ı objekt a transformace 12.19VD pro 1. m´ od kol´ aˇze FRC F (CST-MWS) . . . . 12.20VD pro 2. m´ od kol´ aˇze FRC F (CST-MWS) . . . . 12.21M´ ody struktury FRC C (CM, 1-8 zleva doprava) . 12.22M´ ody struktury FRC J (CM, 1-4 zleva doprava) . 12.23Proudové rozloˇzen´ı dominantn´ıch mod˚ u . . . . . . 12.24Schéma celého projektu . . . . . . . . . . . . . . . 12.25CM solver z BP (vlevo) a z DP (vpravo) . . . . . . 12.26IFS editor z BP (dole) a DP (nahoˇre) . . . . . . .

xiv . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

136 137 137 138 139 140 141 141 142 143 145 146

Seznam tabulek 2.1 2.2 2.3

Hodnoty topologické dimenze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nˇekteré pˇr´ırodn´ı u ´tvary. . . . . . V´ ypoˇcet dimenze programem boxcount . . . . . . . . . . . . . . . . .

11 14 17

3.1 3.2

Struktura souboru data.3dt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Struktura souboru data.txt. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 28

5.1 5.2 5.3

Moˇzné chyby v EvalInFem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Rezonanˇcn´ı frekvence vybran´ ych koláˇz´ı (prvn´ıch 5 iterac´ı) . . . . . . Rez. frekvence pro FRC F v simulátorech CM, CST-MWS a TCM .

60 61 63

7.1 7.2 7.3 7.4 7.5

Shrnut´ı parametr˚ u Success rate funkce Success rate funkce Success rate funkce Success rate funkce

. . . . .

86 86 88 89 89

8.1

Principi´ aln´ı schéma PSOptimizeru . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Levy5 (se zmˇenou iterace), 20 agent˚ u. . Levy5 (se zmˇenou iterace), 45 agent˚ u. . Levy5 (podle poˇctu agent˚ u), 150 agent˚ u Levy5 (podle poˇctu agent˚ u), 50 iterac´ı .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

10.1 V´ ysledky vybran´ ych optimalizac´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 12.1 Parametry kol´ aˇze FRC A . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Parametry kol´ aˇze FRC B . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Parametry kol´ aˇze FRC C . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.4 Parametry kol´ aˇze FRC D . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.5 Parametry kol´ aˇze FRC E . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.6 Parametry kol´ aˇze FRC F . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.7 Parametry kol´ aˇze FRC H . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.8 Parametry kol´ aˇze FRC J . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.9 Parametry kol´ aˇze FRC K . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.10Pˇrehled vˇsech vyvinut´ ych nástroj˚ u . . . . . . . . . . . . . 12.11Pˇrehled1 dostupn´ ych pˇr´ıkaz˚ u programu AntTool (Matlab) 12.12Pˇrehled2 dostupn´ ych pˇr´ıkaz˚ u programu AntTool (Comsol)

xv

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

128 129 130 132 132 134 136 137 137 143 144 145

Seznam symbol˚ u Symbol r 0 µr µ0 Dt Dh Db ω MS , Mx , My Px , Py λ Γ Φ tan δ E H s11 j QT kn , λn k Ez,n , ψ c0 P SV BW Wt η M J A φ, F Z, R, X G αn N fn , wn N aN F L

Veliˇ cina relativn´ı permitivita permitivita vakua (= 8.854188.10−12 F m−1 ) relativn´ı permeabilita permeabilita vakua (= 4π.10−7 Hm−1 ) topologická dimenze Hausdorffova dimenze mˇr´ıˇzková dimenze afinn´ı transformace, u ´hlová rychlost transformace zmˇeny mˇeˇr´ıtka posun polygonu vlnová délka modul ˇcinitele odrazu R fáze ˇcinitele odrazu R ztrátov´ y ˇcinitel dielektrika vektor intenzity elektrického pole vektor intenzity magnetického pole ˇcinitel odrazu imaginárn´ı jednotka ˇcinitel jakosti antény vlastn´ı (n-té) ˇc´ıslo vlnov´ y vektor vlastn´ı funkce rychlost svˇetla ve vakuu pomˇer stojat´ ych vln ˇs´ıˇrka pásma antény (v % z pracovn´ı frekvence) celková energie u ´ˇcinnost hustota magnetického proudu hustota povrchov´ ych elektrick´ ych proud˚ u magnetick´ y vektorov´ y potenciál skalárn´ı elektrick´ y potenciál impedance, realná a komplexn´ı ˇcást Greenova funkce charakteristick´ yu ´hel záˇriv´ y vektor bázové funkce, testovac´ı funkce Not a Number podle IEEE-745 (Matlab) funkcionál lineárn´ı operátor

xvi

Seznam znaˇ cek Oper´ ator ∇t ∆ = ∇.∇ gradψ (∇ψ) divA (∇ • A) rotA (∇ × A) Sm Pi=1 n i=0

→ −→ dx hu, vi ∂ ∂

× ∧

V´ yznam Nabla oper´ ator 2 2 Laplace˚ uv operátor; ∂∂2 x2 + ∂∂2 y2 ∂ψ ∂ψ ∂ψ gradient; aˆx ∂x + aˆy ∂y + aˆz ∂z ∂Ay ∂Ax ∂Az divergence; ∂x + ∂y + ∂z ∂Ay x z + aˆy ∂A rotace; aˆx ∂A ∂y − ∂z ∂z −

∂Az ∂x

+

obecné sjednocen´ı (general consequence op.) suma od i = 0 do i = n bl´ıˇz´ı se zobrazen´ı diferenci´ al x skal´ arn´ı souˇcin parci´ aln´ı derivace vektorov´ y souˇcin souˇcasnˇe

Nadpis Funkce, cizojazyˇcný výraz Pˇr´ıkaz www odkaz Pohyb 7→ v menu 7→ aplikac´ı M atematika Tlaˇ c´ıtko Literatura

xvii

∂A aˆz ∂xy

−

∂Ax ∂y

SEZNAM TABULEK

xviii

Seznam zkratek FPA PDE CM GA PSO SPSO s.s. c.f. s.r. f.f. GSO ACO IFS TCM MoM FEM GUI OOP PMC PEC VD TM TE HUS

Zkratky Fractal Patch Antenna Partial Differential Equation Cavity Model Genetic Algorithm Particle Swarm Optimization Stretched PSO solution space cost function success rate fitness function Genetic Swarm Optimization Ant Colony Optimization Iterated Function System Theory of Characteristic Modes Method of Moments Finite Element Method Graphical User Interface Object Oriented Programming Perfect Magnetic Conductor Perfect Electric Conductor Radiation Pattern (vyzaˇrovac´ı diagram) Transversal Magnetic Transversal Electric Harmonick´ y ustálen´ y stav

Kapitola 1

´ Uvod ”

Neˇst´ıpejte mne do prstu – pohled’te, kam ukazuje.“ — Warren S. McCulloch

1.1

Koncepce

Patche patˇr´ı do oblasti dynamicky se rozv´ıjej´ıc´ıch antén. Disponuj´ı mnoha pˇrednostmi, maj´ı pochopitelnˇe i své neˇresti. Mnoho z poznatk˚ u platn´ ych pro patchové antény, jmenujme metody simulace nebo optimalizaˇcn´ı postupy, lze vyuˇz´ıt v oblastech jako jsou periodické struktury, selektivn´ı povrchy a dalˇs´ı. Vyuˇzijemeli pro tvar z´ aˇriˇce frakt´ aln´ı geometrie, obdrˇz´ıme dalˇs´ı v´ yhodné vlastnosti. Generace a simulace takov´ ych antén je vˇsak sloˇzitˇejˇs´ı a zdaleka ne vˇsechny postupy jsou dostateˇcnˇe prozkoum´ any. Tato pr´ ace také tˇeˇz´ı z trvaj´ıc´ıho zájmu o optimalizaci ˇcehokoliv, kter´ y je jen zˇr´ıdka kdy systematick´ y. Vˇetˇsina publikac´ı se zpravidla zamˇeˇruje na pr˚ uzkum jedné, ˇci v´ıce struktur se stejn´ ym charakteristick´ ym rysem (patch se ˇstˇerbinou, vybran´ y typ frakt´ alu . . . ). Tento pˇr´ıstup mnohdy generuje zaj´ımavé v´ ysledky, nicménˇe velice obt´ıˇznˇe odkr´ yv´ a obecnˇejˇs´ı vlastnosti daného záˇriˇce, coˇz v pˇr´ıpadˇe fraktáln´ıho motivu plat´ı dvojn´ asob. V této pr´ aci jsme si vytkli za u ´kol optimalizovat pˇr´ımo fraktáln´ı parametry IFS (body z´ akladn´ıho objektu a transformace, které fraktál dláˇzd´ı), tedy nikoliv geometrii, ale hodnoty, které tvar v pozad´ı formuj´ı. Abychom toto mohli uskuteˇcnit, je potˇreba d˚ ukladnˇe porozumˇet mechanism˚ um generace IFS i princip˚ um PSO optimalizace, mus´ıme také zvolit dostateˇcnˇe pˇresnou a efektivn´ı simulaˇcn´ı metodu. Vyuˇzijeme schéma, které bylo u ´spˇeˇsnˇe aplikováno v bakaláˇrské práci (BP): pro návaznost pracujeme opˇet v Matlabu, v´ yklad je zpracován v tematicky propojen´ ych bloc´ıch teorie a implementace daného problému. D´ılˇc´ı v´ ysledky jsou konzultovány na konci kaˇzdé kapitoly, nicménˇe vlastn´ı rozbor struktur je proveden aˇz v samostatné kapitole. Velice d˚ uleˇzit´ a je z´ avˇereˇcná ˇcást – prob´ırané téma je tak rozsáhlé, ˇze ho tato pr´ ace nejen nevyˇcerpala, ale je oprávnˇené tvrdit ˇze zat´ım pouze letmo prozkoumala. Pokr´ yv´ a totiˇz prostor od fraktáln´ı geometrie, bl´ızce soused´ıc´ı s chaosem 1

N´ astroj pro mod´ aln´ı anal´ yzu FPA

1.2. Konspekt

a chaotick´ ymi“ vˇedami, pˇres numerické metody a relativnˇe obt´ıˇznou diferenciáln´ı i ” algebraickou matematiku spojenou s elektromagnetismem a modáln´ımi metodami, aˇz po ryze pˇr´ırodn´ı jevy rojové inteligence, jeˇz mus´ıme pˇrevést do strojového jazyka a vhodn´ ym zp˚ usobem naprogramovat. Mnoho des´ıtek, ba stovek hodin zabrala i samotn´ a pˇr´ıprava jednotliv´ ych aplikac´ı (AntTool, IFSMaker, IFSLimiter, EvalInFem, PSOPtimizer a dalˇs´ı). Tyto programy lze pˇr´ıpadnˇe vyuˇz´ıt ve v´ yuce na katedˇre elektromagnetického pole. Bohuˇzel, pro vytvoˇren´ı hlubˇs´ıch závˇer˚ u v oblasti IFS patch antén je nutné v této oblasti systematicky zkoumat jednotlivé motivy, na coˇz DP nedává dostateˇcn´ y prostor. Se z´ avˇerem této pr´ ace je tedy ponechána dostateˇcná paleta aplikac´ı potˇrebn´ ych pro dalˇs´ı v´ yzkum, sami pak konstatujeme pouze nˇekteré partikulárn´ı v´ ysledky. V pˇr´ıpadˇe nˇekter´ ych pas´ aˇz´ı (fraktáln´ı dimenze, box counting, OOP v Matlabu, SPSO) v´ yraznˇe pˇrevaˇzuje teorie. Autor tak ˇcin´ı vˇedomnˇe a s ohledem na fakt, ˇze o tˇechto tématech nen´ı v ˇceském jazyce dostatek literatury. Nez´ uˇcastnˇen´ y ˇctenáˇr m˚ uˇze takov´ y text bez ztr´ aty n´ avaznosti pˇreskoˇcit, pˇresto vˇsak doufáme, ˇze nejeden ho ocen´ı.

1.2

Konspekt

Nyn´ı se kr´ atce vˇenujme obsahu diplomové práce (DP). Projekt jako celek navazuje tam, kde byla zakonˇcena BP. Tomu odpov´ıdá i teoretick´ y základ. Prvn´ı kapitola je vˇenov´ ana frakt´ al˚ um, pˇresnˇeji fraktál˚ um typu IFS. Na tento v´ yklad navazuje pˇredstaven´ı program˚ u AntTool a IFSMaker, které umoˇzn ˇuj´ı komplexnˇejˇs´ı operace s IFS frakt´ aly a jejich n´ avrh na zcela jiné u ´rovni, neˇz tomu bylo v BP. Pozornost je vˇenov´ ana vyuˇzité technice programován´ı a nestandartn´ımu pˇripojen´ı Comsolu k Matlabu. Dalˇs´ı ˇc´ ast popisuje metody modáln´ıho ˇreˇsen´ı patch˚ u. Opˇet vol´ıme dutinov´ y model, na rozd´ıl od BP vˇsak vyuˇz´ıváme jádra programu Comsol, coˇz vede k pˇresnˇejˇs´ım v´ ysledk˚ um. Vytvoˇren´ y solver popisuje kapitola 5. Mezi fundament´ aln´ı charakteristiky antény patˇr´ı vyzaˇrovac´ı diagram, jeho zobrazen´ı a v´ ypoˇcet je diskutov´ an v 6. kapitole. Tato ˇcást se do jisté m´ıry kryje s obsahem Individu´ aln´ıho projektu, kter´ y autor zpracoval v pˇredchoz´ım semestru. Následuje teorie PSO optimalizace a pˇredstaven´ı vlastn´ıho optimalizátoru. Kapitola 9 popisuje software, kter´ y umoˇzn ˇuje nastavit jednotlivé podm´ınky. Bez tohoto programu je zad´ an´ı sloˇzitˇejˇs´ı optimalizace takˇrka nemoˇzné. 10. kapitola shrnuje v´ ysledky simulace a optimalizace vybran´ ych struktur. K dispozici je srovn´ an´ı s referenˇcn´ım simulátorem CST MWS. Závˇereˇcná kapitola jmenuje nedostatky a nedodˇelky, vˇc. dalˇs´ıch moˇznost´ı rozvoje celého projektu. Krátce také shrnuje v´ ysledky celé diplomové práce. Vˇetˇsina obsáhlejˇs´ıch obrázk˚ u je uvedena v dodatc´ıch. Ty jsou uvedeny aˇz za literaturou a rejstˇr´ıkem d˚ uleˇzit´ ych term´ın˚ u.

2

Kapitola 2

IFS frakt´ aly ”

How long is the coast of Britain?“ — Benoit B. Mandelbrot

V následuj´ıc´ı kapitole se budeme vˇenovat fraktáln´ım motiv˚ um. Obecné informace o jednotliv´ ych typech a moˇznostech uplatnˇen´ı byly zm´ınˇeny v bakaláˇrské práci ([69]). Zde se podrobnˇeji zamˇeˇr´ıme na vlastnosti IFS systém˚ u a práci s nimy. Iterované systémy mohou v principu vznikat deterministicky nebo stochasticky1 . Pro exaktn´ı popis IFS kol´ aˇz´ı a jejich vlastnost´ı, je potˇreba znát mj. fraktáln´ı2 dimenzi. Jej´ımu zaveden´ı pˇredch´ az´ı definice pojmu IFS v následuj´ıc´ı ˇcásti a rozbor jednotliv´ ych afinn´ıch transformac´ı v odstavci 2.3. Na závˇer kapitoly se pokus´ıme tuto dimenzi s pomoc´ı Matlabu vypoˇc´ıtat.

2.1

Frakt´ al

Poˇcátek IFS3 je datov´ an do roku 1985 [83], kdy S. Demko a M. F. Barnsley publikovali pr´ ace se zamˇeˇren´ım na tento typ fraktál˚ u. Pro jak´ ykoliv fraktál mus´ı platit: (1) Frakt´ al podle B. B. Mandelbrota v [5]: Frakt´ alem je kaˇzdý objekt, jehoˇz topologick´ a dimenze se liˇs´ı od dimenze ” frakt´ aln´ı (Hausdorffovy).“ 1 Obˇema moˇznostem jsme vˇenovali pozornost v [69]. Zopakujme tedy pouze, ˇze v pˇr´ıpadˇe stochastického pˇr´ıstupu jsou jednotliv´ ym transformac´ım pˇridˇeleny pravdˇepodobnosti, s kter´ ymi se dan´ a transformace pˇri dl´ aˇzdˇen´ı uplatn´ı. U deterministického pˇr´ıstupu se kaˇzd´ a transformace uplatn´ı v kaˇzdé iteraci. 2 Zn´ am´ a také jako Hausdorffova, pˇr´ıpadnˇe Hausdorffova-Besicovitchova dimenze. Tato dimenze byla, jak je z n´ azvu patrno, objevena Felixem Hausdorffem (1868-1942) a Abramem Samoilovitchem Besicovitchem (1891-1970), a to dlouho pˇred definov´ an´ım pojmu frakt´ al. Aˇz pozdˇeji Benoit B. Mandelbrot (1924*) odvodil vztah mezi frakt´ aln´ı strukturou a Hausdorffovou dimenz´ı. 3 Z p˚ uvodn´ıho anglického Iterated Function System, tj. systém iterovan´ ych funkc´ı.

3


2.1. Frakt´ al

tedy: Dt 6= Dh

(2.1)

(2) Matematick´ a definice4 v [4]: Frakt´ al je objekt, jehoˇz geometrick´ a struktura se opakuje v nˇem samém; ” dˇel´ı se na sobˇepodobné a sobˇepˇr´ıbuzné.“ Sobˇepodobné frakt´ aly v detailech pˇresnˇe kop´ıruj´ı celek. Jde o umˇele vytvoˇrené frakt´ aly a patˇr´ı sem tedy i IFS. Tyto mnoˇziny maj´ı nˇekolik zaj´ımav´ ych vlastnost´ı: • Sobˇepodobn´ a mnoˇzina vzniká opakován´ım sebe sama pˇri urˇcité transformaci (zmˇena mˇeˇr´ıtka, rotace, posunut´ı, zkosen´ı. . . ). • Sobˇepodobné mnoˇziny jsou invariantn´ı v˚ uˇci zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka. Pˇri libovolném zvˇetˇsen´ı ˇci zmenˇsen´ı vypadaj´ı stejnˇe (viz obrázky n´ıˇze). • Sobˇepodobn´ a mnoˇzina vzniká sama ze sebe, resp. vzniká opakován´ım motivu. Podrobnˇeji se tˇemito mnoˇzinami budeme zab´ yvat dále. Sobˇepˇr´ıbuznost nen´ı tak striktn´ı jako sobˇepodobnost, m˚ uˇzeme ji nalézt ve vˇsech pˇr´ırodn´ıch u ´tvarech (duny, delty ˇrek, koˇreny strom˚ u, k˚ ura a dalˇs´ı). Jej´ı vyjádˇren´ı je komplikované a v kontextu deterministick´ ych IFS nepodstatné, v´ıce [3]. Jak ukáˇzeme pozdˇeji, tyto

Obr´ azek 2.1: Sierpinského koberec (2D, IFSMaker) a Mengova houba (3D, [83]) podm´ınky IFS kol´ aˇze splˇ nuj´ı. D˚ usledkem tˇechto vlastnost´ı je tzv. Richardson˚ uv 5 efekt . Budeme-li mˇeˇrit obvod ne-fraktáln´ıho objektu, se zjemˇ nuj´ıc´ım se mˇeˇridlem 4 5

Jde o ust´ alenou formuli, z pohledu matematického formalismu o definici nejde. Richardson mˇeˇril obvod Korsiky a zjistil, ˇze v´ ysledek je z´ avisl´ y na délce tyˇce.

4


2.2. Generace IFS

(pásmo, metr, milimetrov´ y pap´ır . . . ), bl´ıˇz´ıme se urˇcité limitn´ı hodnotˇe. U faktál˚ u toto neplat´ı, délka neust´ ale nar˚ ustá (v pˇr´ıpadˇe IFS pro nekoneˇcnˇe velkou iteraci zpravidla nade vˇsechny meze). Tak se dost´ av´ ame k paradox˚ um, kdy napˇr. na obr. 2.3 nar˚ ustá obvod do nekoneˇcna a obsah objektu se bl´ıˇz´ı k nule, pˇr´ıpadnˇe na obr. 2.1 vpravo roste obsah k nekoneˇcnu ovˇsem objem jde k nule. Tyto vlastnosti se mohou v kontextu Euklidovské geometrie jevit jako zaráˇzej´ıc´ı a znaˇcnˇe znepokojivé. Souˇcasnˇe se vˇsak m˚ uˇzeme pokusit jich vyuˇz´ıt, tak jako v pˇr´ırodˇe – stromy, oblaka, pobˇreˇz´ı a ˇreky, vˇse m´ a frakt´ aln´ı charakter a jistˇe ne pouze náhodnou. Sapoval napˇr´ıklad publikoval svou domˇenku, ˇze pobˇreˇz´ı m´ a fraktáln´ı charakter (tedy maximáln´ı moˇznou délku) protoˇze pak dok´ aˇze nejlépe utlumit naráˇzej´ıc´ı vlny. Planeta Zemˇe má zase teoreticky nekoneˇcn´ y povrch, aˇckoliv z vesm´ıru se jev´ı jako koule (geoid). Dalˇs´ı podrobnosti lze nalézt v [3], [4], [5] a [83]. V této pr´ aci se vˇenujeme pouze dvourozmˇern´ ym motiv˚ um s c´ılem generovat na tomto z´ akladˇe patche. Existuj´ı nicménˇe i trojrozmˇeˇrnné a v´ıcerozmˇerné IFS, jeden z nich je na obr. 2.1 vpravo. V této podobˇe IFS fraktály v pˇr´ırodˇe nenajdeme, lze ˇr´ıci, ˇze v kontextu frakt´ aln´ı geometrie je IFS stejné zjednoduˇsen´ı, jako je Euklidovská geometrie v naˇsem svˇetˇe. Generaci IFS se budeme podrobnˇeji vˇenovat v následuj´ıc´ı ˇcásti 2.2.

2.2

Generace IFS

Zopakujme, ˇze deterministické IFS fraktály jsou striktnˇe sobˇepodobné. Co pˇresnˇe to znamen´ a? Pˇri libovolném pˇribl´ıˇzen´ı vid´ıme stále stejné tvary. Vycház´ıme tedy z transformac´ı, které se podaˇrilo formalizovat Hutchinsonovi. Definujme sobˇepodobnou mnoˇzinu U na prostoru Rn tak, ˇze existuje koneˇcnˇe mnoho kontraktivn´ıch, pˇr´ıp. i afinn´ıch zobrazen´ı (transformac´ı): w1 , w2 , . . . , wm : Rn −→ Rn takov´ ych, aby platilo: U=

m [

wi (U ) ,

(2.2)

(2.3)

i=1

pˇritom pro libovoln´ a i 6= j obsahuje pr˚ unik wi (U ) ∩ wj (U )

(2.4)

jen koneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u (nebo je prázdn´ y). Na potenci Rn je zobrazen´ımi definován operátor m [ w(X) = wi (X) , X ⊆ Rn (2.5) i=1

kter´ y se naz´ yv´ a Hutchinson˚ uv operátor. Operátor (2.5) objasˇ nuje obr. 2.2. Nyn´ı se znalost´ı principu dláˇzdˇen´ı podmnoˇzin, si m˚ uˇzeme poloˇzit otázku, jak zajistit generaci IFS. Je potˇreba zavést pojmy metriky, pevného bodu, pokryt´ı a vyjmenovat vhodné transformace wi . 5


2.2. Generace IFS

Obr´ azek 2.2: V´ yznam Hutchinsonova operátoru

2.2.1

Metrika

Metriku vyˇzadujeme i v ˇc´ asti 2.4 v souvislosti s term´ınem diametr, uvád´ıme ji proto bez vynech´ avek. Metrika d mˇeˇr´ı vzdálenost mezi dvˇema body, je to tedy nezáporné reálné ˇc´ıslo. Podm´ınky pro existenci metriky uved’mˇe v prostoru R2 pro zobrazen´ı X:  (1) d(x, y) ≥ 0, d(x, x) = 0     (2) d(x, y) = 0 ⇔ x = y  (3) d(x, y) = d(y, x) ∀x, y, z ∈ X. (2.6)   (4) d(x, y) ≤ |x| + |y|    (5) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Podm´ınku (4) oznaˇcujeme jako troj´ uheln´ıkovou nerovnost a v podm. (5) jako metrickou troj´ uhel. nerovnost. Plat´ı-li (2.6), oznaˇcuje (X, d) metrick´ y prostor.

2.2.2

Pevn´ y bod

Pevn´ y bod je ˇreˇsen´ım rovnice S(xp ) = xp ,

(2.7)

kde S je transformac´ı metrického prostoru S : X −→ X v Rn . Body xp vyhovuj´ıc´ı ˇreˇsen´ı oznaˇcujeme jako pevné body, ˇcasto také jako invariantn´ı body zobrazen´ı S. Takov´ ym bodem je napˇr. bod [0,0,0] pro funkce násoben´ı v R3 . At’ ho násob´ıme ˇc´ımkoliv (jakékoliv zobrazen´ı S), vˇzdy je mapován sám na sebe.

2.2.3

Kontraktivn´ı zobrazen´ı

Podstatn´ y poˇzadavek pro existenci atraktoru (2.5) je koneˇcn´ y poˇcet prvk˚ u pr˚ uniku wi (U ) ∩ wj (U ). Tak je soubor vˇsech moˇzn´ ych transformac´ı omezen pouze na kontrakce. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe by velikost mnoˇzin X pˇri velk´ ych iterac´ıch rostla nade vˇsechny meze a pr˚ unik by obsahoval nekoneˇcnˇe mnoho bod˚ u. Pro X metrick´ y prostor s metrikou d, jsou pak zobrazen´ı S : X −→ X kontraktivn´ı na mnoˇzinˇe A ⊆ X, pokud existuje δ ∈ (0, 1) takové, ˇze pro kaˇzdá x, y ∈ A plat´ı: d(S(x), S(y)) ≤ δd(x, y). (2.8)

6


2.2.4

2.2. Generace IFS

Banachova vˇ eta o pevn´ em bodu

Plat´ı tvrzen´ı, ˇze je-li (X, d) u ´pln´ y metrick´ y prostor a zobrazen´ı S : X −→ X je na celém X kontraktivn´ı, potom existuje právˇe jeden pevn´ y bod xp ∈ X zobrazen´ı S. Toto tvrzen´ı se naz´ yv´ a Banachova vˇeta6 , [3]. Urˇcen´ı pevného bodu je jednoduché a vych´ az´ı z iterace pˇredpisu: xn+1 = S(xn ), kde {xn }∞ n=0

(2.9)

za pˇredpokladu libovolnˇe zvoleného bodu x0 ∈ X. Plat´ı také lim xn = xp ,

(2.10)

S lim xn = Sxp .

(2.11)

n→∞

popˇr. (kaˇzd´ a kontrakce je spojitá) n→∞

Pro odhad m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt vztahu7 : d(xp , xn ) ≤

2.2.5

δn d(x0 , x1 ). 1−δ

(2.12)

Interpretace IFS

Z v´ yˇse uvedeného vid´ıme, jak´ ym zp˚ usobem je IFS generováno (Hutchison˚ un operátor, rov. (2.5)) a jaké podm´ınky mus´ıme splnit (kontrakce, pevn´ y bod). Základn´ı objekt (zad´ an body) je v kaˇzdé iteraci transformován jedn´ım nebo nˇekolika zobrazen´ımi a vznikaj´ı tak nové podmnoˇziny. Tyto podmnoˇziny jsou rekurzivnˇe vyuˇzity pro dl´ aˇzdˇen´ı dalˇs´ı iterace. Princip zobrazuje obr. 2.3. Prvn´ı iterace vznikla d´ıky 8 transformac´ım p˚ uvodn´ıho (ˇctvercového) objektu. Dalˇs´ı iterace vznikaj´ı transformován´ım iterace pˇredeˇslé. D´ıky kontrakci jsou velikosti transformovan´ ych objekt˚ u vˇzdy nanejv´ yˇse stejnˇe velké jako vzor, velikost koláˇze tedy 8 neroste . Z´ akladn´ı objekt m˚ uˇze b´ yt libovolného tvaru a nebudeme se j´ım v´ıce zab´ yvat. Aˇz v praktické ˇc´ asti jsou uvedena omezen´ı, která vycházej´ı s poˇzadavk˚ u na patch antény. Transformac´ı je nˇekolik základn´ıch typ˚ u, rovnˇeˇz moˇznost´ı zápisu je v´ıce. Krátce se tedy o nich zmiˇ nme. 6

Stefan Banach (1892-1945). D˚ ukaz se prov´ ad´ı zpravidla sporem – snaˇz´ıme se uk´ azat, ˇze bod˚ u existuje v´ıce, coˇz se n´ am m˚ uˇze podaˇrit, ale pouze pro nekontraktivn´ı zobrazen´ı. 7 Pouze vˇsak pokud je S kontraktivn´ı, tj. kvocient δ ∈ (0, 1). To zde mlˇcky pˇredpokl´ ad´ ame, nebot’ pouze za této podm´ınky m´ a Banachova vˇeta smysl. Lze uk´ azat, ˇze posloupnost je Cauchyovsk´ a, pak u ´pravou pˇres troj´ uheln´ıkovou nerovnost a souˇctem ˇrady z´ısk´ ame (2.12), zde bez odvozen´ı. 8 Jak bude pouk´ az´ ano pozdˇeji, v IFSMakeru existuje v´ yjimka. Pro zvˇetˇsov´ an´ı kol´ aˇze staˇc´ı zadat hodnoty posunu px nebo py tak velké, aby nov´ y objekt vznikl mimo plochu pˇredchoz´ı iterace.

7


2.3. Transformace

Obr´ azek 2.3: Prvn´ı tˇri iterace Sierpinského koberce, IFSMaker

2.3

Transformace

Afinn´ı transformace je definov´ ana vztahem: x(w) = AW + B

Tato rovnice m˚ uˇze b´ yt d´ ale rozepsána: b1 x1 a11 a12 x2 + = w: b2 y1 a21 a22 y2

(2.13)

(2.14)

Jednotlivé koeficienty matice A se uplatˇ nuj´ı pˇri rotaci, zkosen´ı a zmˇenˇe mˇeˇr´ıtka, koeficienty matice B pˇri posunut´ı. Souˇradnice xn a yn náleˇz´ı iterovanému bodu. V´ yraz (2.14) lze upravit tak, aby celá transformace byla v jedné matici a kombinace transformac´ı ˇsla z´ıskat jejich n´ asoben´ım. Tak dostáváme matici 3×3 pro prostor R3 :   a11 a12 0 w : [x2 , y2 , 1] = [x1 , y1 , 1]  a21 a22 0  . (2.15) b1 b2 1 Jednotlivé body jsou potom IFS algoritmem z´ıskávány na základˇe roznásoben´ı matice (2.15) zdrojov´ ym bodem: x2 = x1 a11 + y1 a12 + tx ,

(2.16)

y2 = x1 a21 + y1 a22 + ty ,

(2.17)

(1 = 0x1 + 0y1 + 1).

(2.18)

Posledn´ı rovnice (2.18) nen´ı pro 2D zapotˇreb´ı. Diagonálnˇe doplˇ nuje matici (2.15).

2.3.1

Typy afinn´ıch transformac´ı

Základn´ı operace nad mnoˇzinou jsou (seˇrazeny podle [72]): 8


2.3. Transformace

• Posun bodu o vzd´ alenost [px , py ] 

Mtrans1

• Zmˇena mˇeˇr´ıtka Ms

 1 0 0 = 0 1 0  px py 0



Mtrans2

 Ms 0 0 =  0 Ms 0  0 0 1

(2.19)

(2.20)

• Horizont´ aln´ı zmˇena mˇeˇr´ıtka Mx 

Mtrans3

 Mx 0 0 = 0 1 0  0 0 0

(2.21)

• Vertik´ aln´ı zmˇena mˇeˇr´ıtka My 

Mtrans4

 1 0 0 =  0 My 0  0 0 0

(2.22)

• Horizont´ aln´ı zeˇsikmen´ı Sx 

Mtrans5

 1 0 0 =  Sx 1 0  0 0 0

(2.23)

• Vertik´ aln´ı zeˇsikmen´ı Sy 

Mtrans6

 1 Sy 0 = 0 1 0  0 0 0

(2.24)

• Rotace kolem poˇc´ atku o u ´hel α 

Mtrans7

 cos α sin α 0 =  − sin α cos α 0  0 0 1

9

(2.25)


2.4. M´ıry a dimenze

Obr´ azek 2.4: V´ yznam koeficient˚ u a, b, c, d, e, f

2.3.2

Zp˚ usoby uloˇ zen´ı

K dispozici jsou dva ekvivalentn´ı zápisy koeficient˚ u: a11 a12 b1 1. transformaˇcn´ı (p˚ uvodn´ı) matice + a21 a22 b2 2. matice koeficient˚ u a b c d e f Vzájemn´ y vztah mezi ˇcleny matic: a11 = a, a12 = b, a21 = c, a22 = d, b1 = e a b2 = f . Zat´ımco v BP byly matice zadávány pomoc´ı prvn´ıho zp˚ usobu, v DP (AntTool i IFSMaker) je vyuˇzita druhá metoda. Uˇzit´ı p˚ uvodn´ıho nezkr´ aceného zápisu je v´ yhodné pˇri práci se samotn´ ymi transformacemi – kaˇzd´ a je sloˇzena z jedné nebo v´ıce elementárn´ıch operac´ı, které jsou dekomponov´ any v ˇctvercov´ ych matic´ıch. Druhá metoda pracuje s upraven´ ym souˇcinem vˇsech operac´ı a je vhodná pro kompaktn´ı zápis, tedy i do generátor˚ u IFS. V literaturˇe je pracov´ ano vˇetˇsinou s matic´ı [a, b, c, d, e, f], uˇcin´ıme taktéˇz. V´ yznam jednotliv´ ych parametr˚ u objasˇ nuje obr. 2.4.

2.4

M´ıry a dimenze

Hlubˇs´ı studium frakt´ aln´ı geometrie je prakticky nemoˇzné bez znalosti teorie m´ıry a dimenze. Pomoc´ı tˇechto term´ın˚ u je fraktál definován, generován i mˇeˇren. Z fraktáln´ı m´ıry lze odvodit frakt´ aln´ı (Hausdorffovu) dimenzi, jednu z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch dimenz´ı v˚ ubec. Zaveden´ı pˇredch´ az´ı v´ yklad nezbytn´ ych term´ın˚ u.

10


2.4.1


Topologick´ a dimenze

Topologick´ a dimenze je jedn´ım z u ´daj˚ u, kter´ y potˇrebujeme z´ıskat pro porovnán´ı klasického hladkého u ´tvaru a frakt´ alu. Tuto dimenzi dobˇre známe a intuitivnˇe chápeme; naz´ yv´ ame ji zpravidla mohutnost´ı prostoru, nebo také stupnˇem volnosti. Topologick´ a dimenze nab´ yvá hodnoty celého nezáporného ˇc´ısla, nejˇcastˇeji ˇ ıslo nám ˇr´ıká, kolika smˇery je moˇzné pohy{0, 1, 2, 3}, obecnˇe vˇsak {0, 1, 2 . . . ∞}. C´ bovat po objektu s bodem, resp. kolika u ´daji se dá pˇresnˇe popsat pozice bodu na/v u ´tvaru. V pˇr´ıpadˇe jednoho bodu Dt = 0, v pˇr´ıpadˇe spojité kˇrivky Dt = 1 a tak dále. To ovˇsem neznamen´ a, ˇze kˇrivka s dimenz´ı jedna je zobrazována v jednorozmˇerném prostoru. Pˇrehlednˇeji to ukazuje tabulka: Hodnota Dt 0 1 2 3 4

Pˇr´ıklad u ´varu bod kˇrivka plocha prostor ...

Moˇznosti pohybu Bez moˇzného pohybu Pohyb po délce l Pohyb po ploˇse [x, y] Pohyb v prostoru [x, y, z] Pohyb napˇr. v hyperkomplexn´ı rovinˇe

Tabulka 2.1: Hodnoty topologické dimenze Tato tabulka plat´ı ovˇsem pouze pro hladké, euklidovské u ´tvary. At’ mˇeˇr´ıme hladkou kˇrivku v jakémkoliv mˇeˇr´ıtku, dostaneme vˇzdy koneˇcné ˇc´ıslo.

2.4.2

Vnˇ ejˇ s´ı m´ıra

M´ıra µ lze definovat na systému M , kter´ y je σ-algebrou9 podmnoˇzin X. M´ıra µ je mnoˇzinov´ a funkce s n´ asleduj´ıc´ımi vlastnostmi: (1) µ{∅} = 0 (2) µ(A) ≤ µ(B) ⇔ A ⊂ B (3) A1 , A2 jsou poˇcitatelné Potom plat´ı: µ

∞ [

∞ X Ai ≤ µ Ai .

i=1

(2.26)

(2.27)

i=1

Tak jsme si zajistili moˇznost poˇc´ıtat velikost mnoˇzin. Vnitˇrn´ı m´ıra lze definovat analogicky. Dalˇs´ı nezbytn´ a operace je pokryt´ı mnoˇziny. 9

Pro takov´ y systém plat´ı: (1) (2) (3)

X∈M 0 0 pokud A ∈ M, S∞ pak A ∈ M, kde A = X\A je doplnˇek A ∨ X pokud A = i=1 Ai pro ∀Ai spoˇcetné Ai ∈ M, pak A ∈ M

.

11


2.4.3


-pokryt´ı

S Definujme tedy -pokryt´ı, na rozd´ıl od obecného spoˇcetného pokryt´ı F ⊆ Ai ∈A Ai , zde uvaˇzujeme (maxim´ aln´ı) velikost mnoˇzin, jimiˇz pokr´ yváme, [84]. Mus´ı platit: diamP ≤

(2.28)

pro -pokryt´ı P, kde ∀P ∈ P a je kladné (optimálnˇe malé) reálné ˇc´ıslo. Tato formulace poskytuje z´ aklad pro mˇr´ıˇzkovou dimenzi, uvedenou n´ıˇze.

Obr´ azek 2.5: Demonstrace -pokryt´ı, vlevo > vpravo Poznamenejme, ˇze diam znaˇc´ı diametr(A), ˇcasto znaˇcen |A|. Diametr popisuje velikost mnoˇziny, m˚ uˇzeme na jeho základˇe rozhodnout i o jej´ı ohraniˇcenosti. Diametr mnoˇziny P je: diamP = sup d(x, y) : x, y ∈ P , (2.29) kde sup (resp. inf ) znaˇc´ı supremum (resp. infimum), viz [21]. Napˇr. pro n-rozmˇernou √ krychly o stranˇe a je diam roven a n. Diametr nám ˇr´ıká, jak rozmˇern´ y potˇrebujeme obal, abychom zabalili celou mnoˇzinu.

2.4.4

Hausdorffova m´ıra

Pˇredpokl´ adejme nepr´ azdnou podmnoˇzinu X ⊂ Rn , jej´ıˇz diametr je definovám podle (2.29). D´ ale mˇejme mnoˇzinu mnoˇzin {Ui }, která je poˇcitatelná, pro ∀i plat´ı 0 ≤ diamUi ≤ a kter´ a pokr´ yv´ a F . Pak tvrd´ıme, ˇze {Ui } je -pokryt´ı mnoˇziny F : Hs (F ) = inf

∞ X

diam(Ui )s .

(2.30)

i=1

Budeme-li nyn´ı postupnˇe zmenˇsovat, bude klesat i poˇcet mnoˇzin, schopn´ ych pokr´ yt F . V limitˇe Hs (F ) = lim Hs (F ). (2.31) →0

Tato limita existuje pro jakoukoliv mnoˇzinu F ⊂ Rn a naz´ yváme ji s-rozmˇerná 10 Hausdorffova m´ıra mnoˇziny F . Jej´ı hodnota je ˇcasto rovna 0 nebo ∞. V kontextu generace IFS m´ a Hausdorffova m´ıra jednu pˇr´ıjemnou vlastnost – je-li S afinn´ı Podle [34] a [35] lze dok´ azat, ˇze pro takové Hs , kde s ∈ Dt odpov´ıd´ a Hausdorffova m´ıra 0 Lebesqueovˇe m´ıˇre. Pro H je rovna poˇctu bod˚ u, pro H1 délce kˇrivky a tak d´ ale. 10

12



transformace s mˇeˇr´ıtkem δ > 0 a X ⊂ Rn , pak: Hs S(F ) = δHs (F ).

2.4.5

(2.32)

H¨ olderova funkce s parametrem α

Následuj´ıc´ı vztah (2.33) a jeho odvozeniny (2.34)-(2.35) formuluj´ı obecn´ y tvar funkc´ı, s nimiˇz se ve frakt´ aln´ı geometrii setkáváme. Necht’ X ⊂ Rn a f : X −→ Y je zobrazen´ı. Potom, pokud pro jednu (nebo nˇekolik) konstant c > 0 existuje α > 0 tak, ˇze: |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|α

pro (x, y ∈ X),

(2.33)

m˚ uˇzeme (2.33) nazvat H¨ olderovou funkc´ı. Je-li α = 1: |f (x) − f (y)| ≤ c|x − y|

pro (x, y ∈ X),

(2.34)

naz´ yv´ a se funkce Lipschitzova. Podstatná je téˇz funkce bi-Lipschitzova, rozˇsiˇruj´ıc´ı podm´ınku (2.34), tj. c1 |x − y| ≤ |f (x) − f (y)| ≤ c2 |x − y|

pro (x, y ∈ X)

(2.35)

a kde 0 ≤ c1 ≤ c2 ≤ ∞.

2.4.6

Hausdorffova dimenze

Z pˇredchoz´ıho lze odvodit n´ asleduj´ıc´ı tvrzen´ı. Necht’ F ⊂ Rn je borelovská mnoˇzina11 a plat´ı nerovnost 0 < s < t, (s, t) ∈ R. Potom plat´ı, ˇze pro rostouc´ı s klesá Hs (F ). A dále: (1) pokud je Hs (F ) < ∞ pak Ht (F ) = 0 (2.36) (2) pokud je Ht (F ) > 0 pak Hs (F ) = ∞ Pˇr´ıklad tohoto jevu uvedeme d´ ale. Najdeme-li tedy ˇc´ıslo s takové, ˇze Ht = ∞ pro t < s a Ht = 0 pro t > s, naz´ yv´ ame s Hausdorffovou dimenz´ı Dh , pˇresnˇeji (2.37) Dh (F ) = inf s ≥ 0 : Hs (F ) = 0 = sup s ≥ 0 : Hs (F ) = ∞ a Hs (F ) nab´ yv´ a hodnot: s

H (F ) =

∞ pokud 0 ≤ s ≤ Dh (F ) 0 pokud s > Dh (F )

(2.38)

Tento z´ avˇer je kl´ıˇcov´ y a vyˇzaduje plné pochopen´ı. Demonstrujme ho na pˇr´ıkladu v´ ypoˇctu rovinného u ´tvaru F (napˇr. ˇctverce) v R3 . Budeme sledovat závislost Hs (F ) 11

Borelovsk´ a mnoˇzina(Borel set) v Rn disponuje n´ asleduj´ıc´ımi vlastnostmi: (a) jak´ akoliv uzavˇren´ a i otevˇren´ a mnoˇzina je borelovsk´ a; (b) sjednocen´ı koneˇcného (nebo spoˇcitatelného) poˇctu borelovsk´ ych mnoˇzin je opˇet borelovsk´ a mnoˇzina, coˇz plat´ı i pro koneˇcn´ y (nebo spoˇcitateln´ y) poˇcet pr˚ unik˚ u b. mnoˇzin. Poznamenejme, ˇze v této pr´ aci jsou prakticky vˇsechny mnoˇziny borelovské.

13



ˇ na s, tento pr˚ ubˇeh nakonec vykresl´ıme na obr. 2.6. Ctverec dosahuje nekoneˇcné 1 délky H (F ) = ∞, nebot’ se jedná o ploch´ y u ´tvar. M´ıra H2 (F ) je rovna souˇcinu ca2 , kde a je strana ˇctverce a c je konstanta. Tento souˇcin je zjevnˇe koneˇcn´ y, kladn´ y a reáln´ y. Objem, tj. H3 (F ) takového u ´tvaru je nulov´ y. Pro hodnoty s ∈ (0, 2) je Hs (F ) = ∞, pro hodnoty s = (2, ∞) je Hs (F ) = 0. Tzn. ˇze Dh (F ) = 2, v tomto pˇr´ıpadˇe se nav´ıc Dh (F ) = Dt (F ), nebot’ ˇctverec patˇr´ı mezi jednoduché euklidovské obrazce.

Obr´ azek 2.6: K definici Dh (F ): vlevo mnoˇzina F , vpravo jej´ı Dh Tato dimenze byla zaloˇzena na dˇr´ıvejˇs´ı Carathéodoryho12 konstrukci teorie mˇer. Hausdorffova dimenze je matematicky transparentn´ı a definovatelná pro vˇsechny mnoˇziny v Rn . Jej´ı obecnost má vˇsak i své u ´skal´ı, a to jej´ı obt´ıˇzn´ y v´ ypoˇcet. To plat´ı dokonce i pro odvozené numerické metody, která jsou nav´ıc zpravidla omezeny jen na urˇcitou skupinu mnoˇzin. Mezi tyto metody patˇr´ı i box-counting, kter´ y poˇc´ıt´ a mˇr´ıˇzkovou dimenzi. Tu definujeme na základˇe fraktáln´ı dimenze s uváˇzen´ım omezuj´ıc´ıch podm´ınek v ˇc´ asti 2.4.7. N´ asleduj´ıc´ı tabulka d´ av´ a pˇredstavu o fraktáln´ı dimenzi nˇekter´ ych pˇr´ırodn´ıch u ´tvar˚ u, viz [3], [72] a jiné: Pˇr´ırodn´ı u ´tvar Pobˇreˇz´ı Povrch mozku ˇclovˇeka Povrch neerodovan´ ych skal Obvod 2D pr˚ umˇetu mraku

Odhad Dh ∼ 1.26 ∼ 2.76 ∼ 2.2 − 2.3 ∼ 1.33

Tabulka 2.2: Hodnoty Hausdorffovy dimenze pro nˇekteré pˇr´ırodn´ı u ´tvary. Vid´ıme, ˇze hodnoty nejsou celoˇc´ıselné. To ukazuje na objekty ne-euklidovské, frakt´ aln´ı geometrie. Chceme-li zmˇeˇrit m´ıru sloˇzitosti tˇechto u ´tvar˚ u, vyuˇzijeme rozd´ılu ∆f = |Dh − Dt |. Tato hodnota m˚ uˇze limitnˇe nab´ yvat hodnoty ∆f → 113 a 12

Constantin Carathéodory (1873-1950) Plat´ı pouze pro kˇrivkov´ y“ frakt´ al v ploˇse – Sierpinského troj´ uheln´ık, Mandelbrotovu mnoˇzinu ” aj. Pro frakt´ al v objemu by se limita mohla bl´ıˇzit dvˇema. 13

14



plat´ı, ˇze s rostouc´ı hodnotou roste i u ´roveˇ n ˇclenitosti objektu.

2.4.7

Mˇ r´ıˇ zkov´ a dimenze

Tato dimenze je jednou z nejv´ıce uˇz´ıvan´ ych – jej´ı v´ ypoˇcet je relativnˇe jednoduˇse implementovateln´ y a rychl´ y. Je zaloˇzena na mˇeˇren´ı s mˇeˇr´ıtkem δ, které se postupnˇe zmenˇsuje k nule. Situace je podobná, jakou sledoval Richardson s mˇeˇren´ım obvodu Korsiky. Nepravidelnosti menˇs´ı, neˇz je rozmˇer mˇeˇr´ıtka zanedbáváme. Procház´ıme postupnˇe celou mnoˇzinu (pobˇreˇz´ı) a poˇc´ıtáme, kolik délek δ (pásem, metr˚ u, centimetr˚ u) je potˇreba pro jej´ı u ´plné pokryt´ı. Jak lze dok´ azat, pro velkou tˇr´ıdu (kam spadaj´ı i IFS) mnoˇzin podává mˇr´ıˇzková dimenze stejné v´ ysledky jako Hausdorffova dimenze. Je-li F neprázdná ohraniˇcená podmnoˇzina Rn a Nδ (F ) je nejmenˇs´ı poˇcet mnoˇzin s diametrem δ, které pokr´ yvaj´ı mnoˇzinu F , potom definujeme doln´ı a horn´ı mˇr´ıˇzkovou dimenzi mnoˇziny F následovnˇe14 ([34]): log Nδ (F ) Db F = lim , (2.39) δ→0 − logδ log Nδ (F ) . (2.40) Db F = lim δ→0 − logδ Pokud se Db F = Db F , mluv´ıme o mˇr´ıˇzkové dimenzi (box-counting dimension): Db F = lim

δ→0

log Nδ (F ) . − logδ

(2.41)

Kdyby byla mnoˇzina pr´ azdn´ a nebo neohraniˇcená, hroz´ı hodnoty log 0 pˇr´ıp. log ∞ ve jmenovateli. Tvar mnoˇzin N i jejich rozmˇer δ je voliteln´ y, ale pro naˇse u ´ˇcely je nejvhodnˇejˇs´ı pracovat s mˇr´ıˇzkou postupnˇe se zjemˇ nuj´ıc´ıch ˇctverc˚ u se stranou δ. Takov´ y systém je na obr´ azku 2.7.

Obr´ azek 2.7: Zjemnˇen´ı mˇr´ıˇzky pokr´ yvaj´ıc´ı mnoˇzinu F Z´ aroveˇ n plat´ı n´ asleduj´ıc´ı vztah mezi Db a Dh pro F ⊂ Rn , [34]: Dh (F ) ≤ Db (F ) ≤ Db (F )

(2.42)

Pokus´ıme se ho dok´ azat na pˇr´ıkladu v ˇcásti 2.5.Ve velké ˇcásti pˇr´ıpad˚ u se Hausdorffova a mˇr´ıˇzkov´ a dimenze pˇr´ımo rovná, nicménˇe je i skupina objekt˚ u, kde striktnˇe plat´ı uveden´ a nerovnost. 14

lim odpov´ıd´ a lim sup a lim ' lim inf .

15


2.5

2.5. Metoda box-counting

Metoda box-counting

Jak bylo uvedeno v´ yˇse, jedn´ a se o rychlou a pohodlnou metodu, jak vypoˇc´ıtat mˇr´ıˇzkovou dimenzi. Zkouman´ y objekt pokr´ yváme ˇctvercovou s´ıt´ı a pro kaˇzd´ y ˇctverec zjiˇst’ujeme, zda v nˇem leˇz´ı byt’ jakkoliv malá ˇcást koláˇze. Pokud ano, tento ˇctverec zapoˇc´ıt´ ame. Mˇeˇr´ıtko je vhodné v kaˇzdém kroku zmenˇsit na polovinu. Na obr. 2.7 1 1 vid´ıme zleva doprava mˇeˇr´ıtka δ1 = 71 , δ2 = 14 a δ3 = 28 . Vypoˇcteme-li poˇcet obsazen´ ych ˇctverc˚ u, dostaneme se k ˇc´ısl˚ um 16, 52 a 164 (zde je jich ve skuteˇcnosti 174, pokud vˇsak vezmeme ˇcistˇe jen plochu fraktálu bez tuˇcnˇe znaˇcen´ ych hran, nˇekolik ˇctverc˚ u zmiz´ı). Mˇr´ıˇzkovou dimenzi vypoˇcteme ze smˇernice log − log grafu, jak bylo uvedeno dˇr´ıve, a to n´ asledovnˇe: Db (Fsierp ) =

log10 164 − log10 16 = 1.6788 log10 28 − log10 7

(2.43)

Jedn´ a se o dosti nepˇresn´ y v´ ysledek, Hausdorffova dimenze Sierpinského log10 3 ≈ 1.585. Vysok´ a chyba je dána zejm. dvˇema faktory. T´ım troj´ uheln´ıka je log 10 2 prvn´ım je fakt, ˇze poˇc´ıt´ ame dimenzi pro 1.iteraci fraktálu; v´ yhodnˇejˇs´ı je poˇc´ıtat pro 3. a vyˇsˇs´ı iteraci. Druh´ ym d˚ uvodem je nedostateˇcná jemnost mˇeˇridla δ. Pro uspokojiv´ y v´ ysledek by bylo vhodné alespoˇ n dvakrát krok zjemnit, bohuˇzel pak by bylo ruˇcn´ı poˇc´ıt´ an´ı ˇctverc˚ u velice obt´ıˇzné. Pˇresto nám vztah (2.43) ukazuje spolu s obr. 2.8, jak´ ym zp˚ usobem se chová smˇernice box-counting dimenze.

Obr´ azek 2.8: Smˇernice box-counting dimenze Pro v´ ypoˇcty mˇr´ıˇzkov´ ych dimenz´ı v tomto projektu byl, do doby neˇz implementujeme vlastn´ı algoritmus, vybrán program boxcount, kter´ y lze stáhnout na komunitn´ıch str´ ank´ ach [99]. Poch´ az´ı z roku 2008 a autorem je F. Moisy. Bez nápovˇedy a ˇcást´ı pro 1D a 3D u ´tvary obsahuje pouh´ ych 70 ˇrádek kódu, ˇcehoˇz je dosaˇzeno d˚ uvtipn´ ym vyuˇzit´ım logick´ ych funkc´ı v Matlabu. S drobn´ ymi u ´pravami lze vyuˇz´ıvat pˇr´ımo v´ ystupu IFSMakeru (popis programu viz ˇcást 3.3). Kroky v´ ypoˇctu si ukaˇzme opˇet pro pˇr´ıklad Scierpinského troj´ uheln´ıka: 1. Generace poˇzadovaného IFS v IFSMakeru (lze i naˇc´ıst) 16



2. Zobrazit samotn´ y frakt´ al jako v´ yplˇ n, viz obr. v dodatku 12.1 3. Sejmeme obrazovku a uloˇz´ıme samotn´ y FRC bez GUI 4. Naˇc´ıst do Matlabu pomoc´ı funkce imread 5. V´ yplˇ n frakt´ alu sjednotit na ˇcernou barvu 6. V´ ypoˇcet dimenze pomoc´ı boxcount 7. Pˇrepoˇcet smˇernice, v´ ysledek Bod 5 lze v pˇr´ıpadˇe exportu z IFSMakeru vynechat. Body 4-7 jsou zadávány ve formˇe pˇr´ıkaz˚ u, ty zobrazuje tabulka 2.3. c = imread(’fractal.jpg’); c = (c<198); % imagesc( c); [n,r] = boxcount(c); df = -diff(log(n))./diff(log(r)); disp([’Fractal dimension, Df = ’ num2str(mean(df(4:8))) ... ’ +/- ’ num2str(std(df(4:8)))]); Tabulka 2.3: V´ ypoˇcet dimenze programem boxcount

Obr´ azek 2.9: K v´ ypoˇctu mˇr´ıˇzkové dimenze (fraktály FRC A a FRC B) Nyn´ı m˚ uˇzeme srovnat v´ ysledky ruˇcn´ıho v´ ypoˇctu i programu boxcount se skuteˇcnou hodnotou dimenze. Pro fraktál 2. iterace vycház´ı Db = 1.6411 ± 0.10206 a pro frakt´ al 3. iterace Db = 1.5964 ± 0.12882, vzory jsou na obr. 2.9 vlevo. Jiˇz pro 3. iteraci se v´ ysledek bl´ıˇz´ı skuteˇcnosti, pˇriˇcemˇz i v´ ysledek 2. iterace je v toleranci. Pokud stejn´ y mechanismus aplikujeme na FRC B 3. iterace (viz obr. 2.9 vpravo, pˇr´ıp. 12.3 vpravo), dostaneme: Db = 1.7903 ± 0.0792. To odpov´ıdá naˇs´ı intuici – FRC A vyplˇ nuje plochu ménˇe efektivnˇe neˇz FRC B. Na obr. 2.10 je zobrazen pr˚ ubˇeh v´ ypoˇctu – vlevo trend sniˇzován´ı mˇeˇr´ıtka δ se zvyˇsuj´ıc´ım se poˇctem ˇctverc˚ u pokryt´ı N , pravo potom hodnota mˇr´ıˇzkové dimenze v kaˇzdém kroku v´ ypoˇctu. Z tˇechto dat je vypoˇcten logaritmick´ y pr˚ ubˇeh podstatn´ y pro v´ ypoˇcet smˇernice. 17



Obr´ azek 2.10: V´ ypoˇcet mˇr´ıˇzkové dimenze Scierpinského troj´ uheln´ıka (FRC A) Pro kontrolu byla vypoˇc´ıt´ ana i hodnota mˇr´ıˇzkové dimenze ˇctverce (zde se Dh = Dt = 2 a mˇelo by se i Dh = Db ). V´ ysledek Db = 1.9481 ± 0.0632 vycház´ı v toleranci a je velice bl´ızk´ y hodnotˇe Dt = 2. Na obr. 2.11 vid´ıme, ˇze dimenze je témˇeˇr stále rovna dvˇema.

Obr´ azek 2.11: V´ ypoˇcet mˇr´ıˇzkové dimenze ˇctverce Hodnota mˇr´ıˇzkové, potaˇzmo Hausdorffovy dimenze je v´ yznamn´ ym ukazatelem sloˇzitosti plan´ arn´ıho u ´tvaru. Jej´ım odvozen´ım a zaveden´ım metody v´ ypoˇctu jsme se pˇribl´ıˇzili moˇznosti klasifikovat nˇekteré parametry IFS patch antén s ohledem na hodnotu mˇr´ıˇzkové dimenze. M˚ uˇzeme si téˇz poloˇzit otázku, zda m´ıra kˇrivosti hranice patche nem´ a vliv na distribuci nebo velikost jednotliv´ ych mod˚ u. V budoucnu bude moˇzné optimalizovat IFS strukturu tak, aby jej´ı fraktáln´ı dimenze vyhovovala zadanému ˇc´ıslu.

18

Kapitola 3

IFS software Tato kapitola m´ a za u ´kol sezn´ amit ˇctenáˇre zejména s praktick´ ym návrhem IFS struktur a pˇredstavit programy AntTool a IFSMaker. Jeˇstˇe pˇredt´ım se krátce vˇenujeme vlastnostem Matlabu a moˇzn´ ym pˇr´ıstup˚ um k programován´ı. Tak vyniknou rozd´ıly mezi obˇema n´ astroji a pˇriprav´ıme si p˚ udu na pˇredstaven´ı modáln´ıho ˇreˇsiˇce, PSO optimaliz´ atoru a IFSLimiteru.

3.1 3.1.1

Programovac´ı techniky v Matlabu ´ Uvod

Prostˇred´ı Matlab (MAtrix LABoratory) vytvoˇril r. 1970 Cleve Moler. Roku 1984 byl Matlab pˇreps´ an z Fortranu do jazyka C a byla zaloˇzena spoleˇcnost The MathWorks ([99]), ta pracuje na nov´ ych verz´ıch dodnes (nejnovˇeji R2009a). Matlab se od svého vzniku vyvinul v komplexn´ı, uˇzivatelsky pˇr´ıjemn´ y a po programové stránce komfortn´ı bal´ık, obsahuj´ıc´ı stovky implementovan´ ych funkc´ı. Jejich v´ yhoda je, ˇze v pˇr´ıpadˇe potˇreby m˚ uˇzeme takové funkce prohl´ıˇzet, pˇr´ıpadnˇe kop´ırovat, pˇrepisovat a podobnˇe1 . Vlastnosti Narozd´ıl od Javy, pˇr´ıpadnˇe C++ nemáme k dispozici vlákna, omezené jsou moˇznosti hardwarov´ ych naslouchaˇc˚ u (napˇr. oddˇelen´ı pravého kliku myˇsi od levého) a rychlost aplikac´ı je zpomalena o reˇzii vlastn´ıho Matlabu. Matlab jako takov´ y rovnˇeˇz nelze povaˇzovat za plnohodnotn´ y programovac´ı jazyk (i kdyˇz syntax má vlastn´ı), nebot’ dokonˇcené programy st´ ale potˇrebuj´ı k bˇehu Matlab. Toto do jisté m´ıry ˇreˇs´ı Matlab Compiler [20], pˇresto vˇsak mus´ıme m´ıt stále nainstalovan´ y podp˚ urn´ y program, nemluvˇe o u ´skal´ıch pˇrevodu vˇetˇs´ıch projekt˚ u (donedávna nesmˇela m´ıt kompilovaná aplikace GUI apod.). 1 Uvedené operace plat´ı pro vˇsechny funkce s v´ yjimkou tzv. Built-in funkc´ı. N´ ahled na funkci je moˇzn´ y pomoc´ı pˇr´ıkazu edit jmeno funkce. Popisem nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch funkc´ı se zab´ yv´ a [17].

19


3.1. Programovac´ı techniky v Matlabu

Mluv´ıme-li o negativech, nesm´ı chybˇet pozitiva. Je jich mnoho. Toolboxy, kvalitn´ı editor s M-Lintem, rozs´ ahl´ y help s pˇr´ıklady a demy, uˇzivatelská podpora, komunitn´ı weby, moˇznost propojen´ı s Excelem, Comsolem, C++, Javou, Maplem, aplikace profiler pro lazen´ı skript˚ u a funkc´ı, velice rychlé jádro zaloˇzené na práci s maticemi. Mezi dalˇs´ı v´ yhody, které ocen´ı zkuˇsen´ y uˇzivatel, patˇr´ı objektové programován´ı, distribuované v´ ypoˇcty, podpora handle funkc´ı, pol´ı a struktur, pohodlná správa a export dat. M˚ uˇzeme integrovat funkce z jazyka C a Javy, zakládat vlastn´ı (com) server . . . Grafika Práce s grafikou je ned´ılnou souˇcást´ı Matlabu. K dispozici máme celé rodiny 2D a 3D graf˚ u, obr´ azk˚ u, s´ıt´ı. M˚ uˇzeme pracovat s animacemi, renderovat (OpenGL), st´ınovat, nasvˇecovat. Hierarchie grafick´ ych objekt˚ u je zobrazena na obr. 3.1. Pˇri tvorbˇe sloˇzitˇejˇs´ı aplikace, jako je IFSMaker se bez znalosti jednotliv´ ych závislost´ı neobejdeme.

Obr´ azek 3.1: Struktura grafiky v Matlabu Vˇsechny prvky, at’ jiˇz elementárn´ı plot, line, text, nebo nadˇrazené axes a figure, maj´ı mnoho vlastnost´ı, ke kter´ ym m˚ uˇzeme pˇristupovat pomoc´ı funkce get. Mˇenit existuj´ıc´ı parametry lze pomoc´ı funkce set. Abychom mohli pˇristupovat k dané instanci (objektu), je potˇreba m´ıt uloˇzenou jej´ı referenci, v Matlabu je oznaˇcovaná jako handle. Pokud handle nen´ı pˇr´ıstupn´ y, lze ho naj´ıt pomoc´ı jin´ ych vlastnost´ı objektu2 . Nˇekteré grafické prvky vˇsak (velice zˇr´ıdka) handle v˚ ubec nemaj´ı. Je vhodné se zm´ınit i o tzv. callback funkc´ıch, nebot’ právˇe ty zprostˇredkovávaj´ı odezvu vˇsech aktivn´ıch prvk˚ u. Klikneme-li na tlaˇc´ıtko, jedná se o událost, o urˇcit´ y typ callback funkce. Pokud m´ ame tuto funkci definovanou, je provedena ihned po aktivaci daného tlaˇc´ıtka. Tak lze ˇr´ıdit i pohyb myˇsi, pˇr´ıpadnˇe naslouchán´ı jednotliv´ ych kláves a tlaˇc´ıtek. Callback funkc´ı je mnoho typ˚ u a nebudeme se jim zde podrobnˇeji vˇenovat. Jsou pops´ any v [9] na str. 8-84 aˇz 8-94. 2

Obvykle vyuˇz´ıv´ ame vlastnost´ı tag, userdata a name. Toto hled´ an´ı, realizované pomoc´ı funkce findobj je nepomˇernˇe pomalejˇs´ı neˇz pˇr´ıstup pˇres handle.

20



Typy promˇ enn´ ych V Matlabu, stejnˇe jako ve vˇetˇsinˇe ostatn´ıch programovac´ıch jazyk˚ u, jsou definovány datové typy. Ty slouˇz´ı k oznaˇcen´ı promˇenné a umoˇzn ˇuj´ı efektivn´ı alokaci pamˇeti. Vˇsechny typy maj´ı charakter objekt˚ u a jsou tedy nad nimi definovány urˇcité operace (v´ıce v ˇc´ asti 3.1.4). Matlab provád´ı deklaraci typu sám podle dat, která vloˇzil uˇzivatel. Jsou vˇsak v´ yjimeˇcné pˇr´ıpady, kdy se tato znalost hod´ı i v Matlabu3 . Základn´ı datové typy (tˇr´ıdy) jsou: • double (8B) • char (2B) • logical (1B) • struct (> 100B) • cell (> 100B) • vlastn´ı tˇr´ıdy (OOP) V´ıce lze nalézt v helpu a odborné literatuˇre. Bez ohledu na dan´ y typ jsou vˇsechna data uvnitˇr Matlabu interpretována jako matice, nebot’ Matlab pracuje jen s nimi (maticov´ y z´ apis je vˇzdy nejrychlejˇs´ı). OOP pˇ r´ıstup OOP (Object-Oriented Programming) je v Matlabu relativnˇe novou4 technikou programov´ an´ı5 . Z´ akladn´ı myˇslenky jsou spoleˇcné s ostatn´ımi vyˇsˇs´ımi programovac´ımi jazyky, realizace nˇekter´ ych prvk˚ u je vˇsak v Matlabu netypická. Napˇr´ıklad propojen´ı komplexnˇejˇs´ıho GUI s faktick´ ym jádrem programu je dosti obt´ıˇzné, zaj´ımavé je vyuˇzit´ı ud´ alost´ı (Events) a naslouchaˇc˚ u (Listeners), [19]. V´ıcenásobnou dˇediˇcnost (jako v C++) a absenci interfejs˚ u6 (Java) lze hodnotit sp´ıˇse pozitivnˇe. Skripty, funkce Nejjednoduˇsˇs´ı vyuˇzit´ı Matlabu je z pˇr´ıkazové ˇrádky (téˇz prompt, znaˇcka ), tento zp˚ usob je efektivn´ı pouze pro jednoduché matematické operace, pro spouˇstˇen´ı 3 Uved’me alokace pol´ı, rozs´ ahlé matice, velk´ y poˇcet logick´ ych operac´ı a dalˇs´ı. Napˇr´ıklad pro matici 10000 × 10000 znamen´ a uˇzit´ı typu logical nam´ısto typu double, pokud to u ´loha umoˇzn ˇuje, u ´sporu 700MB v operaˇcn´ı pamˇeti. Proto pˇri pozdˇejˇs´ı pr´ aci s NaN poli ihned mˇen´ıme matici na logical a NaN pole maˇzeme. 4 Aˇz od verze R2008a (7.6.0). 5 Byly zde pokusy implementovat OOP do Matlabu jiˇz dˇr´ıve. Nejlépe se tohoto u ´kolu zhostil zˇrejmˇe Andy H. Register v knize [18]. Jeho paradigma vˇsak vyˇzadovalo pokroˇcilou znalost objektového programov´ an´ı napˇr. z C++. 6 Interfejsy lze nahradit pomoc´ı abstraktn´ıch tˇr´ıd.

21



vlastn´ıch program˚ u, nebo modul˚ u Matlabu (editor, profiler, help, . . . ). V´ıce je uvedeno v [16]. Ve vˇsech ostatn´ıch pˇr´ıpadech pracujeme v editoru, kde vytváˇr´ıme skripty nebo funkce. Ten lze otevˇr´ıt pˇr´ıkazem edit. Skript obsahuje posloupnost pˇr´ıkaz˚ u, které jsou po spuˇstˇen´ı provedeny. Nevrac´ı ˇzádné v´ ysledky zpˇet do prostoru volaj´ıc´ı funkce (caller workspace), nicménˇe m˚ uˇze vypsat / vykreslit v´ ysledky a vˇsechny promˇenné z˚ ustanou v základn´ım pracovn´ım prostoru (base workspace). Skript je stále velice primitivn´ı formou programován´ı, nebot’ pouze prov´ ad´ı sérii pˇr´ıkaz˚ u, bez dalˇs´ı návaznosti nebo promˇenn´ ych parametr˚ u. Funkce mus´ı m´ıt hlaviˇcku, která definuje vstupn´ı a v´ ystupn´ı parametry a jméno. Definice parametr˚ u nen´ı povinná. Rovnˇeˇz lze vyuˇz´ıvat promˇenn´ y poˇcet parametr˚ u s pomoc´ı varargin a varargout. Kl´ıˇcové slovo end na konci funkce je vyˇzadováno pouze pˇri pr´ aci se zanoˇren´ ymi funkcemi (nested functions), pˇr´ıpadnˇe s v´ıce funkcemi v jednom mfilu. Nemus´ıme zad´ avat vˇsechny vstupn´ı (pokud nejsou potˇreba) nebo poˇzadovat vˇsechny v´ ystupn´ı parametry. Aˇz pˇri pr´ aci s funkcemi lze plnˇe docenit vˇsechny moˇznosti Matlabu oproti ostatn´ım matematick´ ym bal´ık˚ um (Matematika, Maple, Derive). Pro u ´ˇcely dalˇs´ıho v´ ykladu nyn´ı jmenujme trojici autorem nejˇcastˇeji vyuˇz´ıvan´ ych programovac´ıch technik.

3.1.2

Switched board programming

Následuj´ıc´ı postup tvorby m-fil˚ u je dosti atypick´ y a je vhodn´ y zejm. pro funkce obsahuj´ıc´ı grafické prvky. Vyuˇz´ıvá schopnosti funkce volat sebe samu s r˚ uzn´ ym poˇctem parametr˚ u. Program vˇetv´ıme pˇr´ıkazy switch a case nebo analogicky if a else (elseif )7 .

Obr´ azek 3.2: Pˇr´ıklad uˇzit´ı switched boad programmingu (AntTool1.3) Obr´ azek 3.2 zobrazuje hlaviˇcku takto napsané funkce. Ihned po vstupu je funkce 7

Zde je volba mezi switch-case a if-else nepodstatn´ a, ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u je vˇsak vhodné zvolit spr´ avné pˇr´ıkazy, aˇckoliv provedou totéˇz. Pro logické a matematické podm´ınky vol´ıme if-else, pro v´ ybˇer moˇznosti z dlouhého v´ yˇctu, pˇri pr´ aci s ˇretˇezci string a podobnˇe vol´ıme switch-case formu.

22



ˇclenˇena, a to but’ podle hodnoty prvn´ıho vstupn´ıho parametru, nebo, pozdˇeji, podle poˇctu parametr˚ u. Vol´ an´ı bez parametr˚ u, nebo s jedn´ım vstupn´ım parametrem (init a podobnˇe) zpravidla inicializuje funkci, tj. vykresl´ı GUI, definuje callback funkce a nastav´ı jeho prvky. Z´ avˇer takové pasáˇze m˚ uˇze obsahovat opˇetovné volán´ı stejné ˇ funkce (ale s jin´ ymi parametry). Castˇeji vˇsak nyn´ı ˇcekáme na vstup od uˇzivatele a na aktivaci GUI, kter´ a skrze callback funkce provád´ı rekurzi, avˇsak novˇe napˇr. s parametry z GUIe. Detaily lze nalézt v [2]. Tato metoda je vhodn´ a pro programátorské zaˇcáteˇcn´ıky. Nevyˇzaduje nutnost propojovat a koncipovat velk´ y poˇcet funkc´ı. Jej´ı uˇzit´ı je vˇsak omezené (zejm. benevolenc´ı Matlabu, kterou u jin´ ych jazyk˚ u nenajdeme) a po bliˇzˇs´ım seznámen´ı je vhodnˇejˇs´ı pˇrechod k plnˇe strukturáln´ımu programován´ı. Pochopitelnˇe tato technika podáv´ a nejlepˇs´ı v´ ysledky v kombinaci s dalˇs´ımi at’ jiˇz strukturáln´ımi, ˇci objektov´ ymi segmenty k´ odu. Na druhou stranu, i v pˇr´ıpadˇe komplikovan´ ych projekt˚ u zaloˇzen´ ych na OOP se obˇcas vyskytuj´ı funkce, které samy sebe opakovanˇe volaj´ı s r˚ uzn´ ym poˇctem parametr˚ u.

3.1.3

Struktur´ aln´ı programov´ an´ı

Idea je velice jednoduch´ a. Celkov´ y problém dˇel´ıme (tzv. atomizace) na d´ılˇc´ı, dále nedˇelitelné ˇc´ asti. Z tˇechto ˇc´ ast´ı programujeme funkce, které sv´ ym vzájemn´ ym volán´ım vytv´ aˇrej´ı p˚ uvodn´ı celek. V principu je nepˇr´ıpustné vyuˇzit´ı skok˚ u (napˇr. goto); v´ yhodou je, ˇze tyto skoky Matlab v˚ ubec nepodporuje. Do urˇcité rozlohy pro-

Obr´ azek 3.3: Strukturáln´ı segment kódu (IFSLimiter) jektu je struktur´ aln´ı programov´ an´ı názorné a nenároˇcné. V Matlabu m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt 23



nested funkce pro dalˇs´ı zjednoduˇsen´ı. Strukturáln´ı pˇr´ıstup vˇsak trp´ı hned nˇekolika neduhy. Nedostatkem je oddˇelen´ı dat a algoritm˚ u. To se muˇze jevit jako v´ yhoda pro malé programy, v projektu o 100 funkc´ıch je ovˇsem pˇridán´ı dalˇs´ı funkce strastiplná událost – neobsahuje ˇc´ ast kompetenc´ı nové funkce jiˇz jiná starˇs´ı (duplicity), kdo a s jak´ ymi daty bude smˇet tuto funkci volat (autorizace), nemˇen´ı mi tato funkce uloˇzen´ a data neˇz´ adouc´ım zp˚ usobem? Problém je také absence vyˇsˇs´ıch datov´ ych struktur s omezen´ ym vstupem, které jsou pro vˇetˇs´ı aplikace nezbytnost´ı. Hroz´ı totiˇz, ˇze nepodstatn´ a funkce nastavuj´ıc´ı barvu pozad´ı zmˇen´ı ve stejném poli napˇr. hodnoty IFS transformac´ı. Dohled´ an´ı podobné chyby je téˇz problematické. Vˇsechny jmenované nedostatky odstraˇ nuje objektové paradigma.

3.1.4

OOP

Objektové paradigma se inspiruje svˇetem okolo nás. Oznaˇcme jisté dveˇre za objekt, jejich otevˇren´ı je potom metodou. Dˇrevˇené i laminátové dveˇre patˇr´ı do stejné kategorie – tˇr´ıdy, totiˇz do tˇr´ıdy dveˇr´ı. Dalˇs´ı metodou m˚ uˇze b´ yt tˇreba zavˇren´ı nebo zamˇcen´ı. Zat´ımco otevˇren´ı i zavˇren´ı dveˇr´ı je podobné i u tˇr´ıdy oken (jedná se o polymorfismus), zamˇcen´ı je metoda pˇr´ıstupná obvykle pouze dveˇr´ım. Pˇrestoˇze objektové myˇslen´ı je lidem vlastn´ı, vyloˇzen´ı a implementace objektového paradigmatu je pomˇernˇe obt´ıˇzné. Zaveden´ı jednotliv´ ych pojm˚ u je podrobnˇe zpracov´ ano v literatuˇre a plat´ı i v Matlabu, drobné zmˇeny jsou dostateˇcnˇe popsány v [19].

Obr´ azek 3.4: Uˇzit´ı objekt˚ u v IFSMakeru Pˇri studiu OOP se vˇzdy setk´ ame s trojic´ı pojm˚ u, které OO pˇr´ıstup charakterizuj´ı. Jsou to:

24


3.2. AntTool

• zapouzdˇren´ı (na objekt se d´ıváme jako na ˇcernou skˇr´ıˇ nku s definovan´ ym pˇr´ıstupem) • polymorfismus (jedna metoda lze vyuˇz´ıt pro v´ıce r˚ uzn´ ych tˇr´ıd – otevˇren´ı okna i dveˇr´ı) • dˇediˇcnost (tˇr´ıda je potomkem, podmnoˇzinou jiné: psi < ˇctyˇrnohá zv´ıˇrata < zv´ıˇrata) Tˇemito vlastnostmi disponuje i OO programován´ı v Matlabu. Dˇedit lze v´ıcenásobnˇe, ˇcehoˇz s v´ yhodou vyuˇz´ıv´ ame. Lze dˇedit i od vnitˇrn´ıch tˇr´ıd Matlabu, napˇr. < handle, < double atd. Pro pˇr´ıstup k zapouzdˇren´ ym dat˚ um vytváˇr´ıme funkce get a set, ty nav´ıc mus´ı spolupracovat s callback funkcemi editace tabulek, myˇsi, klávesnice a menu. Tak lze omezit viditelnost citliv´ ych dat zvenˇc´ı. O zmˇenách dat mus´ı b´ yt informov´ ano j´ adro programu, které udrˇzuje vˇsechna (navazuj´ıc´ı) data aktuáln´ı. N´ avrh objektovˇe orientovan´ ych program˚ u je pro zaˇcáteˇcn´ıka ze vˇsech uveden´ ych metod ten nejobt´ıˇznˇejˇs´ı a vyˇzaduje jist´ y cvik (zejm. správnou metodiku uvaˇzován´ı) a zkuˇsenosti.

3.2

AntTool

Základ programu je odvozen od pˇredchoz´ıho nástroje, kter´ y byl pˇredloˇzen v BP. Snaˇz´ı se odstranit nedostatky pˇredchoz´ıho návrhu IFS, zejm. tˇeˇzkopádnost a zdlouhavou generaci. Také jiˇz nativnˇe pracuje s matic´ı transformac´ı ve tvaru [a b c d e f], lze tedy vzory volnˇe pˇrej´ımat z literatury. Rozˇs´ıˇreny byly moˇznosti exportu, ukládán´ı a naˇc´ıt´ an´ı kol´ aˇze. Novˇe program obsahuje konzoly, pomoc´ı n´ıˇz lze ˇr´ıdit generaci 8 pˇr´ıkazy . Jednotlivé pˇr´ıkazy jsou uvedeny v Dodatku 12.4. Tak lze spustit dávku, která je provedena automaticky. Tento postup vyˇzadoval návrh vlastn´ıho tokenizeru a interpreteru, o kter´ ych se zde (jde sp´ıˇse o programován´ı) v´ıce nezmiˇ nujeme. Obˇe funkce byly vyuˇzity i pozdˇeji pˇri návrhu IFSMakeru.

Obr´ azek 3.5: AntTool, screenshot hlavn´ıho okna 8

Defaultn´ı verze AntToolu obsahuje jeden skriptovan´ y soubor jako vzor, nalézt lze ve sloˇzce B program source.

25


3.2.1

3.2. AntTool

Generace IFS

Zad´ av´ an´ı bod˚ u Zadan´ ymi body je definov´ an v´ ychoz´ı objekt, odpov´ıdaj´ıc´ı okna AntTool ukazuje obr. 3.6 nahoˇre a 3.7 vlevo. K definici ploˇsného u ´tvaru jsou potˇreba nejménˇe tˇri body. Body lze v pˇr´ıpadˇe potˇreby uloˇzit i naˇc´ıst z pˇripraven´ ych soubor˚ u. Lze vytvoˇrit i vlastn´ı txt soubory, mus´ı vˇsak respektovat dan´ y formát (viz vzory pˇriloˇzené v programu).

Obr´ azek 3.6: AntTool: Zadán´ı bod˚ u a transformac´ı

Zad´ av´ an´ı transformac´ı Vklád´ ame transformace, pro generaci IFS vˇsak nejménˇe jednu. Pro kontrolu lze vˇsechny transformace vykreslit (dláˇzdˇen vˇsak nen´ı zadan´ y objekt, ale obecn´ y ˇctverec). V´ıce na obr. 3.6 dole 3.7 vpravo. V´ ypoˇ cet a zobrazen´ı IFS Po zad´ an´ı bod˚ u a transformac´ı m˚ uˇzeme otevˇr´ıt vlastn´ı ˇreˇsiˇc, obr. 3.8 vlevo. Je potˇreba nastavit poˇcet iterac´ı, poté jiˇz lze spustit v´ ypoˇcet. Generace prob´ıhá podle vztah˚ u odvozen´ ych v minulé kapitole. Po jej´ım dokonˇcen´ı se m˚ uˇzeme na strukturu pod´ıvat (m˚ uˇzeme zadat meze iterac´ı, které se maj´ı zobrazit), pˇr´ıpadnˇe ji exportovat jako souˇradnici bod˚ u (.txt), ve formátu IE3D (.3dt) nebo jako objekt fem pro dalˇs´ı anal´ yzu v Comsol Multiphysics (viz dalˇs´ı kapitoly). Vzorová koláˇz je na obr. 3.8 vpravo.

26


3.2. AntTool

Obr´ azek 3.7: AntTool: Zobrazen´ı bod˚ u a transformac´ı Vlastn´ı vykreslen´ı frakt´ alu lze uloˇzit jako animaci, lze uloˇzit i vykreslenou koláˇz jako bitmapu (bmp). Aktu´ aln´ı promˇenné z v´ ypoˇct˚ u IFS (cell), geometrie (fem) a meshe jsou ukl´ ad´ any do z´ akladn´ıho pracovn´ıho prostoru Matlabu (pˇr´ıstupn´ y z promptu).

3.2.2

Export kol´ aˇ ze

Program nab´ız´ı dva moˇzné formáty v´ ysledného souboru. Prvn´ı má pˇr´ıponou txt (tabulka 3.1), druh´ y pˇr´ıponou 3dt (tabulka 3.2). Oba soubory lze nalézt v adresáˇri program output IFS gener´ atoru. Za u ´pravu ukládan´ ych soubor˚ u je zodpovˇedná funkce registry.m resp. registry3dt.m. Export lze bez problém˚ u modifikovat dle potˇreby. V tab. 3.1 oznaˇcuje Σ poˇcet bod˚ u (v polygonu), α1,2 souˇradnice bodu x, POLY Σ α1 α2 0 β1 β2 0 γ1 γ2 0 POLY Σ .. . Tabulka 3.1: Struktura souboru data.3dt. β1,2 bodu y a γ1,2 bodu z v polygonu. Formát je pouˇziteln´ y napˇr. pro export do Excelu. V tab. 3.2 X oznaˇcuje poˇradové ˇc´ıslo polygonu, α1,2 souˇradnice bodu x, β1,2 bodu y a γ1,2 souˇradnice z v polygonu X . Tento soubor lze naˇc´ıst do IE3D k následné simulaci.

27


3.2. AntTool

ˇ siˇc a v´ Obr´ azek 3.8: AntTool: Reˇ ysledn´ y fraktál PolyX : α1 α2 0 β1 β2 0 γ1 γ2 0 Poly(X + 1) : .. . Tabulka 3.2: Struktura souboru data.txt.

3.2.3

Pˇ ripojen´ı ke Comsolu

Pokud chceme navrˇzen´ y patch analyzovat pomoc´ı dutinového modelu, je nutné propojen´ı s Comsolem. Toto propopojen´ı lze realizovat pˇr´ımo spuˇstˇen´ım pomoc´ı Comsol with Matlab, pˇr´ıpadnˇe lze vyuˇz´ıt opaˇcného postupu, kter´ y byl vyvinut právˇe pro AntTool. V pˇr´ıpadˇe prvn´ı moˇznosti je totiˇz nutno právˇe otevˇren´ y Matlab uzavˇr´ıt a poˇckat na spuˇstˇen´ı nového Matlabu. V nˇem znovu naj´ıt cestu k programu a ten spustit. Opaˇcn´ y pˇr´ıstup, tedy pˇripojen´ı Comsolu k Matlabu nen´ı na jeden klik moˇzn´ y, nebot’ je potˇreba incializovat Comsol server a poté spustit Matlab, do kterého jsou pˇrid´ any cesty (addpath) ke Comsolu. Pˇresto lze realizovat funkci, která z Matlabovského GUIe pˇripoj´ı Comsol. Je potˇreba m´ıt spr´ avnˇe nastavené cesty k soubor˚ um comsol.exe a matlab.bat. Pro pˇripojen´ı Comsolu jsou vyuˇz´ıv´ any soubory matlabrc.m a startup.m. Matlabrc obsahuje kaˇzd´ a instalace Matlabu a je potˇreba pro lokalizaci akresáˇre, kam se uloˇz´ı startup (vˇzdy se jedn´ a o stejn´ y adresáˇr). Pokud uˇzivatel soubor startup aktivnˇe vyuˇz´ıv´ a pro start své instalace Matlabu (umoˇzn ˇuje to modifikovat start Matlabu), bude tento soubor smazán. Dávkov´ y soubor, kter´ y se vytvoˇr´ı na disku

28


3.3. IFSMaker

(start fem.bat) bude po zd´ arném startu Matlabu s Comsolem smazán. Stejnˇe tak startup.m. Tento postup je funkˇcn´ı aˇz do verze Matlabu 7.5.0 (R2007a) a Comsolu 3.4. Pro vyˇsˇs´ı verze takto spojen´ı navázat nelze, nebo je nestabiln´ı a pˇreruˇsované. Pˇripojen´ı pracuje d´ıky d´ avkovému souboru start fem.bat (vytváˇr´ıme ho z Matlabu automaticky AntToolem), kter´ y po samovolném ukonˇcen´ı Matlabu spust´ı sám Comsolem nastaven´ y server, z´ aroveˇ n s t´ım byly uloˇzeny do souboru startup pˇr´ıkazy pro opˇetovné spuˇstˇen´ı programu AntTool (tj. nalezen´ı cesty a spuˇstˇen´ı). Dalˇs´ı ˇcást kódu v startup ˇcist´ı vytvoˇrené pomocné soubory. Celá problematika je pomˇernˇe komplikovan´ a a vyˇzaduje znalost systémov´ ych pˇr´ıkaz˚ u, funkci Comsol serveru a spouˇstˇen´ı Matlabu. Z´ısk´ ame vˇsak kontinuitu ve zpracován´ı pˇr´ıkaz˚ u i pˇres nutnost pˇripojit ruˇcnˇe Comsol.

3.2.4

N´ ahrada IFSMakerem

AntTool mˇel p˚ uvodnˇe obsahovat moduly pro IFS, CM, PSO i postprocessing. Postupné rozˇsiˇrov´ an´ı se vˇsak uk´ azalo b´ yt komplikované. Pro nˇekteré u ´kony je stále platn´ ym pomocn´ıkem (vzory k´ odu, rychlá generace, schopnost pracovat automaticky a narozd´ıl od IFSMakeru bez omezen´ı iterace), v posledn´ı dobˇe vˇsak pˇrevaˇzuj´ı sp´ıˇse nev´ yhody (nen´ı tak komplexn´ı, stále jsou omezené moˇznosti exportu a importu, nepodporuje form´ at FRC, o nˇemˇz se dále zm´ın´ıme a kter´ y je nezbytn´ y v pˇr´ıpadˇe vyuˇzit´ı rojové optimalizace). Vˇetˇsina nedostatk˚ u vycház´ı z jednoduˇs´ı metody programov´ an´ı a ˇspatné volby koncepce – integrace pˇr´ıliˇs mnoha modul˚ u nen´ı zat´ım v Matlabu lehce zvl´ adnuteln´ a (o ˇcemˇz vypov´ıdaj´ı i izolovanˇe ˇreˇsené toolboxy). AntTool byl nahrazen novˇejˇs´ım IFSMakerem (IFS) a EvalInFem (CM).

3.3

IFSMaker

Z d˚ uvod˚ u uveden´ ych v´ yˇse, byl po nastudován´ı OOP v Matlabu vytvoˇren IFSMaker. Souˇcasn´ y stav odpov´ıd´ a cca. 70% hotové práce. Cel´ y kód je napsán v Matlabu, je otevˇren´ y a d´ ale rozˇsiˇriteln´ y.

Popis Program umoˇzn ˇuje interaktivnˇe pracovat s IFS, dále pak s polygony, které lze odeˇc´ıtat i sjednocovat. Zat´ımco IFS jsou uloˇzeny ve formátu FRC, polygony doposud pevn´ y form´ at nemaj´ı a ukl´ adáme je do promˇenné typu cell. Jednotlivé u ´tvary m˚ uˇzeme naˇc´ıtat, pˇr´ıpadnˇe ukl´ adat a exportovat pˇr´ımo do Matlabu. IFSMaker podporuje typy txt, 3dt a FRC, v budoucnu pak i typy fem, geom a polygons. Uˇzivatelsk´ ym komfortem jsme se snaˇzili pˇribl´ıˇzit komerˇcn´ım program˚ um – grafické prvky lze vyb´ırat r´ ameˇckem myˇsi (windows), spoleˇcnˇe s klávesou SHIFT pˇridávat, s CTRL ub´ırat. Rozmˇery plátna i gridu lze pˇrednastavit do slot˚ u. Ty vyvol´ ame ikonou (viz video tutoriál na DVD odevzdaném s touto prac´ı) pˇr´ıp. klávesami 1-4. K dispozici je grid podobn´ y jako v programu CorelDraw. Ten lze

29


3.3. IFSMaker

Obr´ azek 3.9: IFSMaker: cel´ y program vyuˇz´ıt na konstrukci bod˚ u, pomoc. ˇcar (nen´ı dokonˇceno), pro mˇeˇren´ı vzdálenost´ı apod. Pˇribl´ıˇzen´ı lze realizovat koleˇckem myˇsi nebo klávesami +/- (lze nav´ıc nastavit velikost pˇr´ırustku; defaultnˇe nastavena o jedno pol´ıˇcko gridu). Posun po canvasu provád´ıme ˇsipkami (krok nastaviteln´ y). Pozice kursoru se vypisuje v pravém horn´ım rohu. Pod t´ım se zobrazuje aktivovan´ y snap reˇzim, vˇcetnˇe souvisej´ıc´ıch informac´ı (k ˇcemu je kursor pˇrichycen). V pravém doln´ım rohu je drobná konzole, urˇcená pro komunikaci smˇerem k uˇzivateli (dokonˇcené u ´koly, chyby apod.). Snap reˇzimy, zn´ amé napˇr. z AutoCadu, v´ yznamnˇe usnadˇ nuj´ı práci s grafikou. Na v´ ybˇer je trojice reˇzim˚ u: Snap free, Snap to Grid a Snap to Points. Vzdálenosti pˇrichycen´ı lze nastavit. Zobrazen´ı vˇsech tˇechto informac´ı na plátnˇe je volitelná. Pro dosaˇzen´ı vysoké flexibility jsou funkce koncipovány podle obr. 3.10. Objekty jsou zapouzdˇreny ve vlastn´ı tˇr´ıdˇe, pˇr´ıstup je omezen´ y a veˇskeré operace mimo objekty prob´ıhaj´ı ve tˇr´ıdˇe superGUI.

FRC form´ at Pro potˇreby jednoznaˇcné definice a pˇrenositelnosti IFS koláˇz´ı napˇr´ıˇc vˇsemi aplikacemi byl navrhnut n´ asleduj´ıc´ı FRC formát:

30


3.3. IFSMaker

Obr´ azek 3.10: IFSMaker: ˇcást UML schematu, MS Visio FRC.base = [ ] FRC.tran = [ ] FRC.iter = [ ] FRC.type = ’pntstrns’ V promˇenné typu FRC jsou jednoznaˇcnˇe uloˇzeny body základn´ıho u ´tvaru FRC.base, transformace ve tvaru [a b c d e f] a iterace v poli FRC.iter. Na u ´rovni IFS n´ avrhu bychom se bez takového formátu jeˇstˇe obeˇsli, potˇrebujeme ho vˇsak v pˇr´ıpadˇe anal´ yzy pomoc´ı CM a PSO optimalizace. Koneˇcn´ a podoba vˇsech IFS fraktál˚ u, které jsou v tomto projektu vyuˇzity je zobrazana v Dodatku 12.1, a to vˇc. návrhov´ ych hodnot (FRC pol´ı). Souˇcasnˇe lze vˇsechny kol´ aˇze ve tvaru FRC nalézt na pr˚ uvodn´ım DVD nosiˇci.

Utility IFSMaker obsahuje celou ˇradu utilit, které usnadˇ nuj´ı práci s fraktály. S vybran´ ymi body lze pracovat v Selection Listu (obr. 3.11). Body m˚ uˇzeme pˇridávat, ub´ırat (vyhled´ av´ an´ı pomoc´ı tagu / oznaˇcen´ı myˇs´ı / v´ ybˇer v´ıce bod˚ u podle ID), mazat, zneviditelnit a zpˇet zviditelnit. Tyto body slouˇz´ı jako v´ ychoz´ı mnoˇzina pro u ´pravy 31


3.3. IFSMaker

nastavené v Modification (obr. 3.12).

Obr´ azek 3.11: IFSMaker: Selection List

Obr´ azek 3.12: IFSMaker: Ukázka modifikace Okno modifikac´ı se inspiruje programem CST-MWS, nav´ıc je pˇr´ıtomna moˇznost hromadnˇe mˇenit vlastnosti bod˚ u (grafika, tag). V pˇr´ıpadˇe u ´prav vyˇzaduj´ıc´ıch zadán´ı stˇredu lze vybrat glob´ aln´ı stˇred [0, 0], zvolit urˇcit´ y bod, nebo zadat stˇred manuálnˇe. U vˇsech u ´prav lze nastavit poˇcet krok˚ u, do kter´ ych je v´ ysledná modifikace rozdˇelena. Pro vytvoˇren´ı z´ akladn´ıho objektu IFS, ale i pro vytvoˇren´ı polygonu mus´ıme zadat vrcholové body. Z nich vytvoˇr´ıme nov´ y polygon, do kterého vybrané body pˇridáme. Tyto polygony slouˇz´ı jako zdrojové objekty IFS (vˇzdy jen jeden polygon), lze pomoc´ı nich tvoˇrit i sloˇzitˇejˇs´ı u ´tvary (obr. 3.17). V tom pˇr´ıpadˇe mus´ıme nastavit typ polygonu r˚ uzn´ y od ’0’ (’+’ pro pˇridán´ı nebo ’-’ pro jeho odeˇcten´ı od ostatn´ıch). Pro pˇripojen´ı uzl˚ u (nod˚ u) do oznaˇceného polygonu lze vyuˇz´ıt tabulky na obr. 3.13. Jako nody lze rovnou vybrat vˇsechny body (Select all ), m˚ uˇzeme mˇenit jejich poˇrad´ı 32


3.3. IFSMaker

Obr´ azek 3.13: IFSMaker: Pˇripojen´ı nod˚ u do polygonu v polygonu (prav´ y sloupec), toto poˇrad´ı lze celé vynulovat (Order zeroing) pro pˇrehlednˇejˇs´ı zad´ av´ an´ı9 .

Obr´ azek 3.14: IFSMaker: Ukázka lazen´ı transformac´ı Protoˇze u ´prava transformac´ı patˇr´ı mezi ˇcasté operace nad jiˇz hotov´ ym IFS, zaˇradili jsme do IFSMakeru nástroj Tune (ˇcasto vyuˇz´ıván napˇr. v MWOffice). Poˇzadované transformace a lazen´ y koeficient lze vybrat ruˇcnˇe, event. s pomoc´ı zjednoduˇsuj´ıc´ı funkce dostupné z horn´ı liˇsty. Krok lazen´ı je nastaviteln´ y, lze dokonce 9

Zpravidla vˇsak nody pˇrid´ av´ ame v poˇrad´ı jak byly tvoˇreny body, v tomto poˇrad´ı jsou tedy body defaultnˇe oznaˇceny jako budouc´ı nody.

33


3.3. IFSMaker

otevˇr´ıt v´ıce Tune oken najednou a pohybovat s v´ıce parametry naráz. Taková práce s transformacemi je velice n´ azorná a ˇsetˇr´ı mnoho ˇcasu. Vˇsechny tyto operace jsou demonstrovány ve videu IFSMaker tutorialAvi.avi na DVD.

Kresl´ıc´ı pl´ atno Jako v kaˇzdém grafickém editoru, i zde je velice d˚ uleˇzité chován´ı a moˇznosti kresl´ıc´ıho pl´ atna (canvas). Celé plátno zobrazuje obr. 3.15. Jednotlivé operace jako posun, zoom, oznaˇcov´ an´ı apod. byly popsány v´ yˇse. Zde se zm´ın´ıme pouze o zjednoduˇsen´ı z obr. 3.16.

Obr´ azek 3.15: IFSMaker: Pracovn´ı plocha, detail Protoˇze ˇcasto pracujeme s fraktály rozd´ıln´ ych velikost´ı, je nutné efektivnˇe mˇenit velikost pracovn´ı plochy, vˇcetnˇe hustoty pomocné mˇr´ıˇzky (gridu). Opˇetovné zadávan´ı jednotliv´ ych u ´daj˚ u je zdlouhavé a zoom myˇs´ı nepˇresn´ y. Vytvoˇreno bylo proto okno 3.16, obsahuj´ıc´ı 3 sloty s pˇrednastaven´ ymi rozmˇery plátna. Ty lze mˇenit, mezi sebou kop´ırovat, uloˇzit a v pˇr´ıpadˇe potˇreby vyvolat.

Obvod, obsah, frakt´ aln´ı (mˇ r´ıˇ zkov´ a) dimenze Správné urˇcen´ı obvodu a obsahu je základn´ım pˇredpokladem k hlubˇs´ımu studiu frakt´ aln´ı geometrie. Vyuˇz´ıv´ ame zde Mapping Toolbox, zejm. funkce poly2cw, poly-

34


3.3. IFSMaker

Obr´ azek 3.16: IFSMaker: Canvas options bool, poly2fv a polyarea. Pokud je funkce aktivována, vypisuje se aktuáln´ı obsah a obvod pˇri jakékoliv zmˇenˇe10 . Tato problematika nen´ı doposud zcela zvládnuta – pˇri postupném zjednocován´ı ˇclenit´ ych kol´ aˇz´ı obsahuj´ıc´ıch v´ıce dˇer (nebo dokonce menˇs´ı otvory ve vˇetˇs´ıch) program ztrat´ı pˇrehled o tom, co jsou d´ıry a co patch. Potom vycház´ı obsah záporn´ y. K v´ yraznému zlepˇsen´ı doˇslo po zaˇrazen´ı bloku, kter´ y testuje, zda je v´ ysledek sjednocen´ı d´ıra, a pokud ano, zaˇrad´ı ho nakonec tabulky souˇradnic (polygony jsou oddˇeleny hodnotami N aN ). Vˇse od prvn´ıho v´ yskytu N aN n´ıˇze je po u ´plném sjednocen´ı odˇr´ıznuto. Problém vˇsak z˚ ust´ avá s komplikovanˇejˇs´ımi (z topologického hlediska) u ´tvary. K dispozici je i moˇznost vykreslit v´ ysledn´ y tvar patche (at’ uˇz sloˇzeného z polygon˚ u nebo IFS) zahrnuj´ıc´ı vˇsechny logické operace, tedy tak, jak bude exportován (viz obr. 3.17 nalevo). Podstatnou souˇc´ ast´ı koneˇcné podoby IFSMakeru bude v´ ypoˇcet fraktáln´ı dimenze metodou box-counting. Pokud nerealizujeme jednu z vlastn´ıch metod, bude upraven skript boxcount. Jako argument naˇc´ıtá jpg nebo gif soubor IFS koláˇze, v´ ypoˇcet bude zahrnovat i potˇrebn´ y pˇrevod z FRC na obrázek.

Spojen´ı s Comsolem D´ıky propojen´ı s Comsolem m˚ uˇzeme zjistit rezonanˇcn´ı frekvenci pˇr´ımo v návrhovém editoru11 . K dispozici je parametrická anal´ yza podobnˇe jako v IFSLimiteru (9. kapitola, obr. 9.9). Z n´ı m˚ uˇzeme vyˇc´ıst trend rezonanˇcn´ı frekvence se zmˇenou vybraného parametru. V pˇr´ıpadˇe potˇreby lze Comsol vyuˇz´ıt k testován´ı jednolitosti navrˇzeného patche. Spojen´ı mus´ıme nav´ azat standartn´ı cestou (tj. spustit Comsol s Matlabem). Operace s Comsolem zat´ım nemaj´ı v IFSMakeru grafické rozhran´ı a nelze je tedy vyuˇz´ıvat. Vˇse bude dokonˇceno v nejbliˇzˇs´ı dobˇe. 10

To pˇri vyˇsˇs´ıch iterac´ıch nebo v pˇr´ıpadˇe sloˇzitˇejˇs´ı struktury zatˇeˇzuje PC, pak je vhodné dynamické vyhodnocen´ı vypnout. 11 Ve skuteˇcnosti frekvenci zjiˇst’uje EvalInFem, ke kterému se dostaneme v 5. kapitole.

35


3.4. Nedostatky a moˇ zn´ a vylepˇ sen´ı

Pr´ ace s polygony IFSMaker nen´ı omezen pouze na tvorbu IFS koláˇz´ı, lze pracovat i s polygony. Jednotlivé polygony nakreslené na základˇe zadan´ ych bod˚ u m˚ uˇzeme sjednocovat i odeˇc´ıtat, viz obr. 3.17. Tak lze navrhnout desky obsahuj´ıc´ı ˇstˇerbiny a jiné sloˇzité nefrakt´ aln´ı obrazce. V´ ysledn´ y obrazec lze zkontrolovat pomoc´ı utility na v´ ypoˇcet obsahu a obvodu.

Obr´ azek 3.17: IFSMaker: Práce s polygony V budoucnu bude moˇzné pˇr´ımo z IFSMakeru ihned zjistit rezonanˇcn´ı frekvenci dominantn´ıho m´ odu takové struktury, a to vˇc. rozloˇzen´ı elektrického pole a proud˚ u.

3.4

Nedostatky a moˇ zn´ a vylepˇ sen´ı

Prostor pro dalˇs´ı zdokonalov´ an´ı je znaˇcn´ y. Mnohdy programy tˇeˇzko zvládaj´ı komplexn´ı operace, pˇr´ıpadnˇe jsou tyto pomalé a neefektivn´ı (práce s obsahem, hranicemi, eliminace nepotˇrebn´ ych bod˚ u, sjednocován´ı). V pˇr´ıpadˇe programu AntTool byl v´ yvoj zcela zastaven, nyn´ı se soustˇred´ıme pouze na IFSMaker a jeho dalˇs´ı vylepˇsov´ an´ı. Jmenujme nedokonˇcené oblasti, v kter´ ych je nutno zjednat nápravu: • Zrychlit s pomoc´ı Matlab Profileru operace nad objekty pro vˇetˇs´ı koláˇze • Dokonˇcit sekci s Lines, která bude zajiˇst’ovat pomocné a vod´ıc´ı ˇcáry (jako v AutoCadu) • Test poˇctu objekt˚ u upravit tak, aby vˇzdy podávat stejn´ y v´ ysledek, implementovat i moˇznost volat Comsol (´ uprava na geom) • Dokonˇcit utility Measuring a Simplify (umoˇzn´ı rozliˇcné mˇeˇren´ı nakreslené geometrie a jej´ı zjednoduˇsen´ı) 36


3.4. Nedostatky a moˇ zn´ a vylepˇ sen´ı

• Integrovat n´ astroj na v´ ypoˇcet fraktáln´ı / mˇr´ıˇzkové dimenze, lze vyuˇz´ıt modifikovanou funkci boxcount, pˇr´ıp. vlastn´ı postupy • Pr´ ace s grafikou – oddˇelit prav´ y a lev´ y klik (jak?), správa objekt˚ u a jejich pˇrekreslov´ an´ı (moˇznost volit, co vpˇredu a co vzadu, vrstvy) • V oknˇe Modification opravit volbu

Apply to copy

• Vyuˇz´ıt Parameter Sweep z IFSLimiteru a napojit optimalizátor pro hledán´ı kol´ aˇze dle Db , obsahu a obvodu • Upravit operace nad polygony, umoˇznit v´ ypis vhodn´ y pro ˇreˇsiˇc dutinového modelu a rojovou optimalizaci

37

Kapitola 4

Numerick´ e metody ”

All models are wrong. Some models are useful.“ — William Edwards Deming

Simulace a v´ yvoj antén je v souˇcastnosti bez numerick´ ych metod prakticky nemysliteln´ y. S prudk´ ym n´ ar˚ ustem v´ ykonu poˇc´ıtaˇc˚ u v 80. a 90. letech se rozv´ıj´ı i jednotlivé metody a hlavnˇe software, kter´ y jich vyuˇz´ıvá. Tak dostáváme efektivn´ı nástroje, umoˇzn ˇuj´ıc´ı n´ azornˇe nahlédnout fyzikáln´ı principy jednotliv´ ych struktur. Tato kapitola odkazuje na teorii povˇetˇsinou ukrytou v jádrech simulátor˚ u pole a jako takovou bychom ji snad mohli i vynechat. Protoˇze jsou ovˇsem naˇse poˇzadavky dosti specifické, je vhodné zn´ at moˇznosti i omezen´ı metod, které se nab´ızej´ı. Pro potˇreby anal´ yzy mikropáskov´ ych antén existuje mnoho r˚ uzn´ ych pˇr´ıstup˚ u vyuˇziteln´ ych k simulaci elektromagnetického pole. Obecnˇe plat´ı, ˇze sloˇzitˇejˇs´ı metoda dává pˇresnˇejˇs´ı v´ ysledky, ovˇsem za cenu delˇs´ıho ˇcasu v´ ypoˇctu a vˇetˇs´ıch nárok˚ u na operaˇcn´ı pamˇet’. Proto je tˇreba nalézt optimáln´ı pomˇer mezi navzájem ambivalentn´ımi poˇzadavky pˇresnosti a rychlosti. Metody lze v prvn´ım pˇribl´ıˇzen´ı rozdˇelit na tzv. analytické a numerické. D´ıky ˇcetn´ ym zjednoduˇsen´ım jsou analytické metody rychlé a jednoduché na implementaci. Prakticky nejsou vyuˇz´ıvány pro komerˇcn´ı software. Analytick´ y pˇr´ıstup vyuˇz´ıvá dutinov´ y model (dále napˇr. model veden´ı, [11]). Oproti tomu numerické metody pracuj´ı bez poˇcáteˇcn´ıch zjednoduˇsen´ı a ˇcasto nejsou omezeny tvarem ani sloˇzen´ım struktury antény. Poskytuj´ı pˇresnˇejˇs´ı v´ ysledky. Pro jejich efektivn´ı vyuˇz´ıv´ an´ı je nutn´ y kvalitn´ı software i hardware. Mezi nejznámˇejˇs´ı patˇr´ı metoda koneˇcn´ ych prvk˚ u (FEM), momentová metoda (MoM) a metoda koneˇcn´ ych diferenc´ı (FDTD). Tyto metody lze dále dˇelit podle domény, ve které se hled´ a ˇreˇsen´ı na ˇcasové a frekvenˇcn´ı. Prvnˇe jmenované umoˇzn ˇuj´ı nalézt ˇreˇsen´ı pro libovoln´ y ˇcasov´ y pr˚ ubˇeh. Druh´ y typ strukturu analyzuje pro soubor diskrétn´ıch frekvenc´ı. Nutn´ ym pr˚ ubˇehem je tedy harmonick´ y ustálen´ y stav. Mezi obˇema doménami lze pˇrech´ azet pomoc´ı (diskrétn´ı) Fourierovy transformace.

38


4.1

4.1. Mikrop´ askov´ e patch ant´ eny

Mikrop´ askov´ e patch ant´ eny

Tato tematika je velice ˇsirok´ a a skvˇele ji pokr´ yvá dostupná literatura, uveden bude jen zkr´ acen´ y extrakt. Pˇr´ıpadné podrobnosti lze nalézt v [11], [27], [28], [30], [31], [32].

Obr´ azek 4.1: Mikropásková patch anténa Z´ aˇriˇc m˚ uˇze zastoupit v principu jak´ ykoliv celistv´ y planárn´ı (2D) u ´tvar. Ten je um´ıstˇen z jedné strany dielektrického substrátu. Z druhé strany je um´ıstˇena zemn´ı rovina a to po celém povrchu substrátu, viz obr. 4.1. Poznamenejme, ˇze funkci substr´ atu ˇcasto pln´ı vzduch (r = 1.00059). Um´ıst´ıme-li vhodnˇe napájen´ı, vybud´ı se bud’to (a) stojat´ a proudov´ a vlna, nebo (b) postupn´ a proudov´ a vlna. Zde se vˇenujeme pouze moˇznosti (a), o postupné proudové vlnˇe v´ıce napˇr. v [27]. Rovnˇeˇz metody nap´ ajen´ı odbudeme pouze v´ yˇctem, nebot’ patche ˇreˇs´ıme modálnˇe, tedy bez pˇripojeného buzen´ı. Znalost vˇsech moˇznost´ı je vˇsak zejm. ve spojitosti s návrhem v CST vhodn´ a. Vyuˇz´ıvané techniky jsou: • mikrop´ askové veden´ı • koaxi´ aln´ı • vazebn´ı ˇstˇerbina • otevˇren´ y konec veden´ı • L-probe (pouˇzitelné i pro vyˇsˇs´ı substráty). 39


4.1. Mikrop´ askov´ e patch ant´ eny

Podrobnˇeji o nap´ ajen´ı v [30]. Samotn´ y mechanismus vyzaˇrován´ı je zpracován v odd´ılech 4.3 a 6.1-6.4.

Parametry IFS patch˚ u Následuje kr´ atk´ y pˇrehled parametr˚ u typick´ ych pro patchové antény uvádˇené v literatuˇre. N´ıˇze uvedené hodnoty jsou sjednoceny podle [11]. Rozsah pracovn´ı frekvence se pohybuje od stovek MHz do stovek GHz, pˇriˇcemˇz ˇs´ıˇrka p´ asma je velice u ´zk´ a, typicky 2-6% v oblasti GHz. D˚ uvodem malé ˇs´ıˇrky pásma je vysok´ y ˇcinitel jakosti bˇeˇzn´ ych záˇriˇc˚ u pohybuj´ıc´ı se v ˇrádu nˇekolika des´ıtek. Pouˇzit´ım vhodného tvaru patche, tvaru a druhu substrátu a napájen´ı je moˇzné dosáhnout aˇz 30 i v´ıce procent pro stˇrednˇe vysoké kmitoˇcty (patch v´ yˇse nad zemn´ı rovinnou, L-probe nap´ ajen´ı). Smˇerovost m˚ uˇzeme oˇcekávat v rozmez´ı 5 aˇz 10 dBi, pro vyˇsˇs´ı substr´ aty s niˇzˇs´ı relativn´ı permitivitou i v´ıce. Vyˇsˇs´ı smˇerovosti dosáhneme i provozem antény na modech s vysoce lokalizovan´ ymi proudy. Vyzaˇrovac´ı u ´ˇcinnost antény se pohybuje kolem 80 procent i v´ıce (´ udaj v pˇr´ıpadˇe zcela pˇrizp˚ usobeného napájen´ı), celkov´ au ´ˇcinnost je potom od 40-50 do maximálnˇe 90 procent. Pokud je relativn´ı permitivita substrátu vˇetˇs´ı neˇz jedna (vzduchová a pˇenová dielektrika), m˚ uˇze na rozhran´ı substrát–vzduch docházet ke vzniku povrchov´ ych vln. Ty zhorˇsuj´ı impendanˇcn´ı i vyzaˇrovac´ı vlastnosti a sniˇzuj´ı u ´ˇcinnost antény, coˇz je neˇz´ adouc´ı. V této pr´ aci analyzujeme pouze tvar patche, nikoliv dielektrikum, které pˇredpokl´ ad´ ame vzduchové. Problematická je téˇz v´ ykonová zat´ıˇzitelnost, pohybuje se kolem max. 100W. Impendance záˇriˇce klesá od hodnot 100 - 250Ω aˇz po teoretickou hodnotu 0Ω.

Vlastnosti patch ant´ en Na z´ avˇer jsou shrnuty vlastnosti ovlivˇ nuj´ıc´ı zásadn´ım zp˚ usobem nasazen´ı mikrop´ askov´ ych patch antén v konkrétn´ı aplikaci. Obsáhleji se nˇekter´ ym z v´ yhod vˇenuje publikace [27]. 1. V´ yhody • n´ızk´ y profil (zemn´ı rovina, substrát, motiv) • n´ızk´ a hmotnost • jednoduch´ a a levn´ a v´ yroba (tiˇstˇené obvody) • mechanick´ a robustnost • snadn´ a integrace do anténn´ıch ˇrad • rychl´ y n´ avrh podle poˇzadavk˚ u • mohou b´ yt vz´ ajemnˇe integrovány do obvod˚ u • moˇznost pˇrizp˚ usobit anténu samotn´ ym napájen´ım • plochou se m˚ uˇze pˇrizp˚ usobit okol´ı

40


4.2. Metoda moment˚ u

Frakt´ aln´ı patch antény maj´ı nav´ıc následuj´ıc´ı v´ yhody: • uzp˚ usoben´ı pro v´ıcepásmovou ˇcinnost • niˇzˇs´ı rezonanˇcn´ı frekvence • moˇznost simulace anténn´ı ˇrady (lokalizace proud˚ u) • m´ırné sn´ıˇzen´ı rozmˇer˚ u 2. Nev´ yhody • relativnˇe mal´ a ˇs´ıˇrka pásma (velk´ y ˇcinitel jakosti Q) • omezen´ y v´ ykon • v´ ykonˇejˇs´ı anténn´ı pole vyˇzaduj´ı sloˇzit´ y systém napájen´ı • na vyˇsˇs´ıch frekvenc´ıch je potˇreba velmi kvalitn´ı (drah´ y) substrát • nelze pouˇz´ıt unifikované napájen´ı pro vˇsechny typy antén 3. Podle pouˇzit´ı • vyzaˇrov´ an´ı pouze do jedné poloroviny (pˇr´ıtomnost zemn´ı roviny)

4.2

Metoda moment˚ u

Jedn´ a se o ˇsiroce rozˇs´ıˇrenou techniku, umoˇzn ˇuj´ıc´ı ˇreˇsit diferenciáln´ı, integráln´ı, pˇr´ıpadnˇe integro-diferenci´ aln´ı rovnice. Do této oblasti, pˇrirozenˇe, spadaj´ı i problémy spojené s elektromagnetick´ ym polem. Základn´ı myˇslenka metody MoM je velice jednoduch´ a a spoˇc´ıv´ a v linearizaci (pˇrevodu na lineárn´ı algebraické rovnice) daného problému. Mˇejme obecnˇe rovnici1 : L(f ) = g, (4.1) ´ kde L je libovoln´ y line´ arn´ı oper´ ator a g je zdrojová funkce (buzen´ı systému). Ukolem je nalézt funkci f splˇ nuj´ıc´ı zadané okrajové podm´ınky, a to inverz´ı operátoru L: f = L−1 g.

(4.2)

Hledanou funkci nyn´ı rozloˇzme do ˇrady tzv. bázov´ ych funkc´ı fn a k nim definujme váhovac´ı (testovac´ı) funkce wm : f=

∞ X

αn fn ,

(4.3)

n=1 1

Postupujeme zde podle [12], nicménˇe notaci vol´ıme (s ohledem na n´ avaznost dalˇs´ıch kapitol) vlastn´ı.

41



koeficienty αn nezn´ ame. Poˇcet ˇclen˚ u ˇrady je tˇreba omezit na koneˇcné ˇc´ıslo N , dále m˚ uˇzeme pˇred f z (4.3) dosadit operátor L jako v (4.1). Po uváˇzen´ı linearity sumy v˚ uˇci oper´ atoru L p´ıˇseme: N X αn L(fn ) + = g, (4.4) n=1

odpov´ıd´ a chybˇe zp˚ usobené koneˇcn´ ym poˇctem ˇclen˚ u ˇrady. Chybu dále neuvád´ıme, nebot’ poˇcet ˇclen˚ u N b´ yv´ a zpravidla dostateˇcn´ y. Nyn´ı definujme skalárn´ı souˇcin dvou funkc´ı na oblasti Ω (objem, plocha, kˇrivka): Z hf, gi = f · g dΩ. (4.5) Ω

Tento souˇcin je line´ arn´ı, komutativn´ı a definuje m´ıru a metriku (tyto vlastnosti jsou nezbytné pro z´ avˇereˇcnou u ´pravu v´ yrazu). Vynásob´ıme-li nyn´ı obˇe strany rovnice (4.4) N testovac´ımi funkcemi wm , dostaneme: N X

αn wm , L(fn ) = hwm , gi,

m = 1, 2, 3, . . . , N.

(4.6)

n=1

Bázové funkce jsou de-facto vzory2 , kter´ ymi jsou vyplˇ novány neznámé funkce; m´ıra

Obr´ azek 4.2: Jednorozmˇerné bázové funkce (a-c) a jejich uplatnˇen´ı (d) vyplnˇen´ı odpov´ıd´ a velikosti v´ ahovac´ı funkce. Na problém lze nahl´ıˇzet jako na analogii k Fourierov´ ym ˇrad´ am, coˇz umocˇ nuje i obr. 4.2. Doplˇ nme, ˇze jako bázové funkce se pouˇz´ıvaj´ı i sofistikovanˇejˇs´ı funkce jako jsou ˇcebyˇsevovské polynomy apod. Dˇel´ıme je na dvˇe skupiny: • Definované na subintervalech definiˇcn´ıho oboru funkce f • Definované na celé oblasti Ω Na z´ akladˇe vztahu (4.6) dostáváme ze spojitého integro-diferenciáln´ıho problému soustavu N algebraick´ ych line´ arn´ıch rovnic pro koeficienty αn . Vyuˇzijme moˇznosti 2

Splˇ nuj´ıc´ı celou ˇradu kritéri´ı: jsou po ˇca ´stech spojité (obdéln´ık, sinus) / jsou vˇsude spojité (F. ˇrada), jsou line´ arnˇe nez´ avislé, navz´ ajem ortogon´ aln´ı, normované . . . Protoˇze tento text nen´ı zamˇeˇren na v´ ybˇer b´ azov´ ych funkc´ı, specifiˇctˇejˇs´ı vlastnosti tˇechto funkc´ı vynech´ ame.

42



kompaktn´ıho maticového z´ apisu: A |{z} α = g , |{z} |{z}

(4.7)

Amn = hwm , L(fn )i.

(4.8)

[Amn ] [αn ]

[gm ]

kde Pokud je matice regul´ arn´ı3 , lze α nalézt inverz´ı: α = L−1 g,

(4.9)

f = [fn ][Lmn ]−1 [gm ].

(4.10)

tedy ˇ sen´ı u Reˇ ´lohy z´ avis´ı pouze na parametrech N , fn a wm . Zvol´ıme-li wm = fn , dost´ av´ ame tzv. Galerkinovu metodu. Ta je v podstatˇe analogi´ı ˇreˇsen´ı FEM, které bude pˇredstaveno d´ ale. Pˇri volbˇe N = ∞ nezávis´ı na v´ ybˇeru fn a wm , viz [12]. Pro vyuˇzit´ı MoM v elektromagnetickém poli je vhodné se seznámit s Greenov´ ymi funkcemi, tvoˇr´ı totiˇz pomyslnou styˇcnou plochu mezi elektromagnetismem a metodou moment˚ u4 .

Greenovy funkce Greenova funkce je odezvou systému na zdroj jednotkové amplitudy. Toho m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt pˇri ˇreˇsen´ı rovnice (4.22), která jinak neobsahuje buzen´ı. Z rovnice (4.1) tedy p´ıˇseme: L G(r, r0 ) = δ(r − r0 ), (4.11) r ∼ (x, y) je m´ısto pozorov´ an´ı, r0 ∼ (x0 , y0 ) je zdroj Diracova impulsu a L vyhovuje rovnici (4.24). Hledan´ a odezva systému je potom5 : Z f (r) = G(r, r0 )g(r0 ) dΩ. (4.12) Ω

Pokud hled´ ame Greenovu funkci, lze vyuˇz´ıt rozkladu v ˇradu vlastn´ıch funkc´ı ψn : G(r, r0 ) =

∞ X

An (r0 )ψn (r),

(4.13)

n=1

kde An (r0 ) = 3

ψn (r0 ) λn

(4.14)

Tj. det(A) 6= 0, matice nen´ı singul´ arn´ı. A nejenom j´ı. R R 5 asleduj´ıc´ı: LG(r, r0 )g(r0 ) dr0 = δ(r − r0 )g(r0 ) dr0 = g(r), potom: Lf (r) = R Plat´ı 0 totiˇz0 n´ LG(r, r )g(r ) dr0 a z pˇredpokladu linearity oper´ atoru L a jeho nez´ avislosti na integraˇcn´ı promˇenné ho m˚ uˇzeme vytknout a zkr´ atit. 4

43


4.3. Dutinov´ y model

pro vlastn´ı ˇc´ısla λn . Pak plat´ı: G(r, r0 ) =

∞ X ψn (r0 )ψn (r) n=1

λn

.

(4.15)

Zobecnˇen´ı tohoto problému se naz´ yvá Fredholmova teorie.

4.3

Dutinov´ y model

Dutinov´ y model (Cavity Model, CM) pˇredstavuje jeden z moˇzn´ ych aproximativn´ıch pˇr´ıstup˚ u k patchov´ ym anten´ am. Jedná se o modáln´ı metodu, která popisuje anténu jako dutinu obklopenou na okraji dokonalou magnetickou (PMC) a ze spodu a ze zhora dokonalou elektrickou (PEC) okrajovou podm´ınkou, viz obr. 4.3. Matematicky lze tyto podm´ınky vyj´ adˇrit n´ asledovnˇe: E × z = 0, H.z = 0; pro z = 0, z = h

(4.16)

H × n = 0, E.n = 0; na hranici antény.

(4.17)

Obr´ azek 4.3: Hraniˇcn´ı podm´ınky pro ˇreˇsen´ı patche ∂E

Vztah pro dokonalou magnetickou stˇenu ∂nz,n = 0 je znám jako Neumannova okrajov´ a podm´ınka. Malá v´ yˇska antény (h λ) umoˇzn ˇuje uvnitˇr dutiny zanedbat rozmˇer z (∂/∂ z = 0), tedy: Ex = 0, Ey = 0, Hz = 0 . (4.18) Tak jsou eliminov´ any vˇsechny sloˇzky kromˇe sloˇzek Ez , Hx a Hy . Patch jsme redukovali na dvourozmˇernou dutinu ohraniˇcenou PMC. D´ıky tomu m˚ uˇzeme oˇcekávat ploˇsné proudové rozloˇzen´ı, ˇcili TM módy a také vertikáln´ı elektrické pole6 . Pro zb´ yvaj´ıc´ı sloˇzky plat´ı7 : ∂Hy ∂Hx jωEz = − , (4.19) ∂x ∂y 6

Jak bude uk´ az´ ano d´ ale, pr´ avˇe toto pole vypoˇc´ıt´ ame pomoc´ı FEM. Proudové rozloˇzen´ı z´ısk´ ame na z´ akladˇe Maxwellov´ ych rovnic, konkrétnˇe dalˇs´ı u ´pravou rovnic (4.20) a (4.21). 7 Uvaˇzujeme harmonicky ust´ alen´ y stav (HUS) nahrazuj´ıc´ı ˇcasové derivace.

44


4.3. Dutinov´ y model

∂Ez ∂y

(4.20)

∂Ez . ∂x

(4.21)

−jωµHx = a jωµHy =

Z tˇechto tˇr´ı rovnic lze odvodit Helmholtzovu vlnovou rovnici pro sloˇzku Ez : ∇t + kn2 Ez,n = 0, (4.22) kde kn2 jsou vlastn´ı ˇc´ısla jednoznaˇcnˇe odpov´ıdaj´ıc´ı rezonanˇcn´ım frekvenc´ım frn , (n ∈ {1, 2, 3 . . . ∞}) a Ez,n jsou vlastn´ı funkce mapuj´ıc´ı rozloˇzen´ı Ez v dutinˇe Ω. Nula na pravé stranˇe rovnice indikuje stav bez buzen´ı, tedy modáln´ı ˇreˇsen´ı. Ve shodˇe s pˇredchoz´ı ˇc´ ast´ı m˚ uˇzeme pˇrepsat rovnici (4.22) do tvaru: Lψn = λn ψn ,

(4.23)

L = ∇t + kn2 .

(4.24)

kde oper´ ator L je roven:

Obrázek 4.4: Prvn´ı 3 m´ ody obdéln´ıkového patche (nahoˇre: proudová hustota J, dole: elektrick´ a intenzita Ez ) Problém formulovan´ y s pomoc´ı rovnic (4.22)-(4.24) ˇreˇs´ıme pomoc´ı FEM (následuj´ı ˇc´ ast kapitoly). V´ ysledkem je diskrétn´ı spektrum vlastn´ıch funkc´ı 45


4.4. Metoda koneˇ cn´ ych prvk˚ u

ψn = Ez,n , popisuj´ıc´ıch elektrické pole v dutinˇe a vlastn´ıch ˇc´ısel. Rezonanˇcn´ı frekvence lze vyˇc´ıslit na z´ akladˇe obecné podm´ınky rezonance:

kde k =

kn2 = k 2 ,

(4.25)

λn = kn2 .

(4.26)

p −jωµ(δ + jω) a

Uvaˇzujeme-li bezeztr´ atov´ y magnetick´ y substrát, je kn2 = ω 2 µ0 . S pomoc´ı c0 = √10 µ0 a ω = 2πfr dost´ av´ ame: r c0 λn frn = . (4.27) 2π r . Index n odpov´ıd´ a n-tému m´ odu struktury, c0 = 3.108 ms-1 je rychlost svˇetla ve vakuu. V´ ypoˇcet povrchov´ ych proud˚ u je uveden v kapitole 6, protoˇze aˇz tam proudy skuteˇcnˇe potˇrebujeme. Obr´ azek 4.4 ukazuje módy T M10 , T M01 a T M11 vzorové struktury. CM je zat´ıˇzen relativnˇe velkou chybou ve srovnán´ı s charakteristick´ ymi mody, pˇr´ıpadnˇe ˇreˇsen´ım v CST-MWS. Chybu budeme diskutovat dále v praktické ˇcásti. Tato metoda umoˇzn ˇuje velice rychlé, názorné a pro n´ızké motivy uspokojivˇe pˇresné modáln´ı ˇreˇsen´ı daného z´ aˇriˇce. D´ıky tomu m˚ uˇzeme vyuˇz´ıt optimalizace pro nalezen´ı vhodnˇejˇs´ıho tvaru patche (viz dalˇs´ı kapitoly vˇenuj´ıc´ı se PSO).

4.4

Metoda koneˇ cn´ ych prvk˚ u

CM pˇredstaven´ y v´ yˇse je pouze pˇribliˇzn´ ym modelem popisuj´ıc´ım patchovou anténu. Popisuje okrajové podm´ınky a zjednoduˇsuje ˇreˇsen´ı Helmholtzovy rovnice. Stále se vˇsak jedn´ a o diferenci´ aln´ı rovnici, a proto mus´ıme pro ˇreˇsen´ı u ´lohy vyuˇz´ıt vhodnou numerickou metodu. MoM je pˇresná, avˇsak velice robustn´ı a pomalá, vystaˇc´ıme si zde proto s metodou koneˇcn´ ych prvk˚ u/element˚ u (Finite Element Method, FEM). Navaˇzme na MoM a CM s ukázkou ˇreˇsen´ı. Helmholtzovu rovnici m˚ uˇzeme obecnˇe napsat jako (4.23) nebo téˇz obecnˇeji: L(ul ) = g,

(4.28)

kde L je diferenci´ aln´ı oper´ ator, g bud´ıc´ı funkce a ul je hledaná veliˇcina (funkce). Vych´ az´ıme nejˇcastˇeji v Ritzovy nebo Galerkinovy metody8 . Prvn´ı z metod je variaˇcn´ı, hled´ ame minimum daného funkcionálu9 ; druhá metoda patˇr´ı do tˇr´ıdy váˇzen´ ych rezidu´ı, hled´ ame funkci ul : X (l) uel = Ui ϕi , (4.29) i 8

Navazujeme zde na ˇca ´st 4.1, notace je upravena ve shodˇe s Comsol Multiphysics, [37]. Funcion´ al lze definovat na z´ akladˇe Thomsonova principu: Veliˇciny pole maj´ı takové hodnoty, aby byla splnˇena podm´ınka minim´ aln´ıho rozd´ılu mezi energi´ı potˇrebnou na vytvoˇren´ı zdroj˚ u tohoto pole. Je to tehdy, je-li funcion´ al nulov´ y, [12]. 9

46



(l)

ϕi jsou jiˇz diskutované b´ azové funkce pro uel (pro MoM znaˇceny fn ), U je hledan´ y vektor se stupnˇem volnosti Ui (v Comsolu tzv. Degree of Freedom, DOF). Pro funkci uel , kter´ a aproximuje pˇresné ˇreˇsen´ı plat´ı v kontextu (4.28) a (4.29): ξ = L(uel ) − g, váˇzené reziduum na dané oblasti Ω je tedy: ZZ wξdΩ. R=

(4.30)

(4.31)

Ω

Pro vˇetˇsinu u ´loh je nalezen´ı aproximaˇcn´ı funkce uel definované na celé oblasti Ω

Obr´ azek 4.5: P˚ uvodn´ı funkce (a) a jej´ı lineárn´ı aproximace (b) obt´ıˇzné, ˇci pˇr´ımo nemoˇzné. Na tomto m´ıstˇe vstupuje do FEM diskretizace. S jej´ı pomoc´ı rozdˇel´ıme ˇreˇsenou oblast na mnoho mal´ ych podoblast´ı (elements). V kaˇzdé podoblasti potom aproximujeme ˇreˇsen´ı jednoduchou funkc´ı (kupˇr´ıkladu lineárn´ı, pomoc´ı u ´seˇcek). Napˇr´ıklad ˇreˇsen´ı funkce na obrázku 4.5 vlevo (ul = 750x − 250x2 + 15x3 ) by bylo na celé oblasti Ω ∈ h0, 10i obt´ıˇzné, nebot’ bychom museli naj´ıt rozvoj bázov´ ych funkc´ı ve form´ atu: 3 X uel = ci xi = c1 x + c2 x2 + c3 x3 . (4.32) i=1

V tomto pˇr´ıpadˇe je lepˇs´ı postupná linearizace (uel = a + bx) po jednotliv´ ych elementech (obr. 4.5 vpravo). V praxi je vytvoˇren´ı meshe (diskretizaˇcn´ı s´ıtˇe) zpravidla rozdˇeleno na dvˇe ˇcásti: 1. Inicializace s´ıtˇe (funkce meshinit v Comsolu) vytvoˇr´ı poˇcáteˇcn´ı pokryt´ı 2. Zahuˇstˇen´ı (funkce meshrefine) / jiné u ´pravy (lokáln´ı zahuˇstˇen´ı, vymazán´ı ˇcásti s´ıtˇe apod.) 47



Obr´ azek 4.6: Triangularn´ı, quadrilateraln´ı s´ıt’ a kvalita s´ıtˇe (tmavá je nejlepˇs´ı) V prvn´ım kroku vyb´ır´ ame z moˇzn´ ych typ˚ u element˚ u (viz obr. 4.6 vlevo a uprostˇred), v druhém hl´ıd´ ame jakost a dostateˇcnou jemnost/kvalitu s´ıtˇe (obr. 4.6 vpravo). Hodnoty hledané funkce jsou nalezeny pouze v uzlech (nodes) diskretizované struktury, mezi nimy je u ´loha aproximována dodateˇcnˇe. Aproximuj´ıc´ı funkce Φ je volena s ohledem na poˇcet uzl˚ u jednoho elementu. V pˇr´ıpadˇe troj´ uheln´ıkového elementu postaˇcuje polynom 3. stupnˇe (Φ = a1 + a2 x + a3 y), v pˇr´ıpadˇe obdéln´ıhového prvku potˇrebujeme polynom 4. stupnˇe (Φ = a1 + a2 x + a3 xy + a4 y). Takto lze poˇcet uzl˚ u d´ ale zvyˇsovat (pˇriˇcemˇz tvar polynomu lze odvodit z Pascalova troj´ uheln´ıka), nicménˇe pro 2D u ´lohy se zpravidla vyuˇz´ıvá troj´ uheln´ıková s´ıt’. Tak dostáváme soustavu rovnic, [95]: Φ1 = a1 + a2 x1 + a3 y1 Φ2 = a1 + a2 x2 + a3 y2

(4.33)

Φ3 = a1 + a2 x3 + a3 y3 Jemnost s´ıtˇe je vˇzdy kompromisem mezi hardwarov´ ymi nároky (obsazen´ı pamˇeti, délka v´ ypoˇctu) a pˇresnost´ı v´ ysledného ˇreˇsen´ı. Elementy se nesm´ı vzájemnˇe pˇrekr´ yvat, ani mezi nimi nesm´ı vznikat mezery. Logick´ ym poˇzadavkem je také podobn´ y tvar jednotliv´ ych element˚ u, co nejv´ıce se bl´ıˇz´ıc´ı rovnostrann´ ym troj´ uheln´ık˚ um10 . V m´ıstech prudk´ ych zmˇen pole je vhodné volit menˇs´ı elementy. Kvalita s´ıtˇe a zp˚ usoby jej´ıho hodnocen´ı nás budou zaj´ımat v následuj´ıc´ı kapitole. Minimalizovan´ y funkcion´ al má rozmˇer energie, jeho hodnota na celé oblasti je tedy souˇctem funkcion´ al˚ u jednotliv´ ych element˚ u: F(Φ) =

E X

Fe (Φe ),

(4.34)

e=1

kde E je celkov´ y poˇcet element˚ u a Fe (Φe ) je funkcionál elementu. Vztah (4.34) je posledn´ım zcela obecn´ ym vztahem, dále se jiˇz problém vˇetv´ı podle typu ˇreˇsen´ı. V 10

Podle [12] chyba vzr˚ ust´ a nepˇr´ımo u ´mˇernˇe sinu nejmenˇs´ıho vnitˇrn´ıho u ´hlu elementu.

48


4.5. Teorie charakteristick´ ych mod˚ u

naˇsem pˇr´ıpadˇe vyuˇz´ıv´ ame tzv. The Eigenvalue Solver Algorithm, v Comsolu potom ˇreˇsiˇc (solver ) femeig. Zp˚ usob jak´ ym se v´ ysledná matice vyplˇ nuje a následnˇe ˇreˇs´ı se liˇs´ı podle typu softwaru, tyto techniky tedy vynecháme. Pro implementaci byl vybrán Comsol Multiphysics. Umoˇzn ˇuje ˇreˇsen´ı u ´loh z oblast´ı akustiky, tepla, elektromagnetismu, mechaniky a dalˇs´ıch oblast´ı s vyuˇzit´ım pˇreddefinovan´ ych modul˚ u11 . Vyuˇz´ıvá Lagrange˚ uv variaˇcn´ı princip12 . Funkce jsou 13 psány m-jazykem jako funce Matlabu , ˇcehoˇz lze vyuˇz´ıvat pro pˇr´ıpadné u ´pravy. Nav´ıc lze Matlab a Comsol propojit a vˇse ˇr´ıdit z Matlabu.

4.5

Teorie charakteristick´ ych mod˚ u

Základn´ım pˇredpokladem této metody je existence dokonale vodivého motivu (PEC) ve volném prostoru bez nap´ ajen´ı. Tomuto motivu potom m˚ uˇzeme jednoznaˇcnˇe pˇriˇradit mnoˇzinu m´ od˚ u (z vypoˇcteného spektra vlastn´ıch ˇc´ısel), které jsou dány pouze jeho rozmˇery. Po pˇripojen´ı napájen´ı docház´ı ke kolapsu vlnové funkce, proto se vybud´ı jen urˇcité m´ ody, vyhovuj´ıc´ı buzen´ı. Koneˇcné rozloˇzen´ı pole na struktuˇre je potom d´ ano superpozic´ı takto vybuzen´ ych mód˚ u. Vyjdeme z poznatku, ˇze pro teˇcné pole elektrické intenzity na dokonalém vodiˇci mus´ı platit: s i tot Etot (4.35) tan = Etan + Etan ∧ Etan = 0, index s znaˇc´ı vyz´ aˇrené pole, index i dopadaj´ıc´ı pole. Protoˇze vyzáˇrené pole Estan je závislé na proudové hustotˇe J, zavád´ıme opˇet operátor L: L(J) = Estan , popisuj´ıc´ı integro-diferenci´ aln´ı závislost. A tedy ([81]): i h = 0. L(J) − Ei tan

(4.36)

(4.37)

Rovnice (4.37) je tzv. EFIE (Electric field integral equation), viz [29]. Struktura operátoru vyhovuje rovnic´ım L(J) = jωA(J) + gradF(J), ZZ A(J) = µ J(r)G(r, r0 ) dΩ

(4.38) (4.39)

Ω

a

ZZ 1 F(J) = −

gradJ(r0 )G(r, r0 ) dΩ jω Ω 11

(4.40)

Podle vybraného modelu je definov´ ana jedna PDE: Laplaceova / Poissonova / Helmholtzova / tepeln´ a / vlnov´ a / Schr¨ odingerova / difuzn´ı rovnice. 12 Postup minimalizace funkcion´ alu – tj. potenci´ aln´ı energie, voln´ ych n´ aboj˚ u (v´ yˇse uvedené Thomsonovo pravidlo je aplikac´ı Lagrangeova principu v oblasti elektromagnetismu) apod. 13 Comsol, p˚ uvodn´ım n´ azvem Femlab byl souˇca ´st´ı Matlabu. Od nové verze Comsolu 3.5 je nam´ısto Comsol Scriptu preferov´ an Matlab Editor.

49



Potenci´ aly A a F fyzik´ alnˇe nemaj´ı ˇzádn´ y smysl a nelze je nijak intepretovat, jde pouze o identity zjednoduˇsuj´ıc´ı ˇreˇsen´ı MR. Potenciály budeme potˇrebovat zejm. v kapitole 6, kde jsou ˇr´ adnˇe zavedeny. Tvar Greenovy funkce v rovnic´ıch (4.39) a (4.40) pro pˇr´ıpad bezeztr´ atového materiálu ve volném prostoru je14 : 0

G(r, r0 ) =

e−jk|r−r | . 4π|r − r0 |

(4.41)

Bliˇzˇs´ım pohledem na (4.36) lze odvodit, ˇze operátor L má charakter impendance. Tu lze rozloˇzit: Z(J) = R(J) + jX(J). (4.42)

Variaˇ cn´ı ˇ reˇ sen´ı Na cel´ y problém m˚ uˇzeme nahl´ıˇzet jako na variaˇcn´ı u ´lohu s c´ılem minimalizovat vhodn´ y funkcion´ al. K tomu n´ am poslouˇz´ı upraven´ y vztah pro jednotlivé sloˇzky impedance. Funcion´ al pak p´ıˇseme ve tvaru: F(J) =

hJ, XJi . hJ, RJi

(4.43)

Vztah vyjadˇruje pomˇer mezi nahromadˇenou a vyzáˇrenou energi´ı. Zda budeme minimalizovat sloˇzku hJ, XJi nebo hJ, RJi bude jasné z poˇzadavku na typ rezonance. Ty dˇel´ıme na: 1. Intern´ı rezonance – rezonance uvnitˇr dutinového rezonátoru. Poˇzadujeme 1 maximum akumulované energie, minimum vyzáˇrené. Funcionál: FI (J) = F (J) a tomu pˇr´ısluˇsn´ a Eulerova rovnice, [65]: R(Jn ) = λn X(Jn ).

(4.44)

2. Extern´ı rezonance – rezonance anténn´ıch struktur. Poˇzadujeme maximum vyz´ aˇrené energie, tj. FE (J) = F(J) a X(Jn ) = λn R(Jn ). Nalezené charakteristické proudy Jn maj´ı následuj´ıc´ı vlastnosti: • tvoˇr´ı ortogon´ aln´ı systém, • z´ avis´ı pouze na tvaru patche, • na dané oblasti Ω jsou re´ alné, • maj´ı stejnou f´ azi. 14

Lze odvodit z vlnové rovnice ∆A + k2 A = −µ0 J.

50

(4.45)



Hodnota vlastn´ıho ˇc´ısla ud´ av´ a charakter daného módu:  y mód je v rezonanci  = 0 n-t´ < 0 n-t´ y mód má kapacitn´ı charakter λn  > 0 n-t´ y mód má induktivn´ı charakter

(4.46)

Vlastn´ı ˇc´ısla jsou ˇcasto nahrazována tzv. charakteristick´ ym u ´hlem: αn = 180° − tan−1 (λn ).

(4.47)

Pr˚ ubˇeh αn hodnotou 180°(rezonanc´ı) je strmˇejˇs´ı neˇz u λn , proto je toto zobrazen´ı ˇ sen´ı pro charakteristické u vhodnˇejˇs´ı. Reˇ ´hly je na obr. 4.7.

Obr´ azek 4.7: Typické hodnoty charakteristického u ´hlu, zdroj: [85]

Mod´ aln´ı ˇ reˇ sen´ı Podle [65] plat´ı n´ asleduj´ıc´ı ortogonality:

∗ Jm , R(Jn ) = δmn

∗ Jm , X(Jn ) = λn δmn

(4.48) (4.49)

δmn je Kroneckerovo delta15 . Pro celou impendanci pak plat´ı:

∗ Jm , Z(Jn ) = (1 + jλn )δmn .

(4.50)

Dále zaved’me algebraick´ y skal´ arn´ı souˇcin (komplexn´ı transpozici):

∗ B, C = B C ,

(4.51)

15

δmn =

1 0

je-li m = n , ˇcast´ y z´ apis pro jednotkovou matici je téˇz δmn = [m = n]. je-li m = 6 n

51



tento vztah je analogi´ı k (4.5) a modáln´ı superpozici charakteristick´ ych proud˚ u: X J= αn J n , (4.52) n

coˇz odpov´ıd´ a (4.3). Vztahy (4.37) a (4.52) m˚ uˇzeme upravit následovnˇe: i hX = 0. αn L(Jn ) − Ei tan

n

Aplikac´ı (4.51) na (4.53) z´ısk´ ame: E D E X D αn Jm , Z(Jn ) − Jm , Ei = 0

(4.53)

(4.54)

n

Uˇzit´ım (4.50) na (4.54) se podle [85] problém redukuje na

αn (1 + jλn ) = Jn , Ei

(4.55)

Produkt hJn , Ei i se naz´ yv´ a excitaˇcn´ı koeficient a ˇcasto se znaˇc´ı jako Vin . Plat´ı také: ZZ n Vi = Jn Ei dΩ (4.56) Ω

Po pˇripojen´ı nap´ ajen´ı se vybud´ı jen urˇcitá mnoˇzina mód˚ u, ostatn´ı nikoliv. V´ ysledné pole je superpozic´ı vybuzen´ ych mód˚ u. Tak se dostáváme k závˇereˇcnému vztahu pro celkov´ y proud, parametr Vin zap´ıná“ jednotlivé módy: ” X V n Jn i J= . (4.57) 1 + jλn n Dále m˚ uˇzeme odvodit vztahy s vlastn´ımi poli En a Hn , to vˇsak jiˇz pˇrekraˇcuje rozsah této pr´ ace.

Uplatnˇ en´ı v projektu Na katedˇre elektromagnetického pole byl vyvinut Ing. Pavlem Hamouzem TCM simul´ ator, pˇredstaven´ y v diplomové práci [81]. Urˇcen´ı impendanˇcn´ı matice a tomu pˇredch´ azej´ıc´ı diskretizace (vyuˇz´ıvá RWG bázové funkce16 ) vycház´ı z práce S. N. Marakova [33]. V dobˇe vzniku DP nebylo moˇzné tento software vyuˇz´ıvat. Pˇrednˇe ˇcas potˇrebn´ y na v´ ypoˇcet patche je v porovnán´ı s CM pˇr´ıliˇs velk´ y, dále bychom pro u ´ˇcely optimalizace museli zajistit oˇsetˇren´ı nˇekter´ ych stav˚ u, které v CM ˇreˇs´ıme s pomoc´ı Comsolu17 . Vyuˇzit´ı tohoto n´ astroje je pro jeho pˇresnost a schopnost analyzovat i komplikované struktury optim´ aln´ı a je s n´ım, po pˇrekonán´ı uveden´ ych obt´ıˇz´ı poˇc´ıtáno nam´ısto CM. 16

Rao-Wilton-Glisson; viz S.M.Rao, D.R.Wilton, A.W.Glisson: Electromagnetic scattering by sufraces of arbitrary shape, IEEE Trans. AP, 30(3):pp.409-418, 1982, pˇr´ıpadnˇe pˇr´ımo [51]. 17 Celistvost patche, poˇrad´ı m´ od˚ u, . . .

52

Kapitola 5

EvalInFem Implementace dutinového modelu je komplikována zejm. faktem, ˇze vˇse mus´ı b´ yt naprogramov´ ano zcela obecnˇe. Také krizové situace mus´ı program vyˇreˇsit sám, vˇc. navrácen´ı adekv´ atn´ıch hodnot. Tato kapitola rozeb´ırá strukturu funkce EvalInFem, urˇcené pro anal´ yzu frakt´ aln´ıch patch antén.

5.1

Popis, syntaxe

Jednotlivé u ´koly podrobnˇeji rozebereme v následuj´ıc´ıch ˇcástech. Kaˇzdá pasáˇz je pro jednoduchost tvoˇrena jednou nested funkc´ı zanoˇrenou do EvalInFem. Jejich volán´ım lze jednoduˇse oˇsetˇrit chyby a zajistit tak stabilitu programu. Tak m˚ uˇzeme program dále upravovat a rozˇsiˇrovat bez naruˇsen´ı jiné sekce. V principu lze jednotlivé u ´koly EvalInFem rozdˇelit do tˇechto separátn´ıch ˇcást´ı: 1. Inicializace GUIe ´ 2. Uprava polygon˚ u, velikost´ı 3. Sjednocen´ı a check poˇctu ˇcást´ı 4. Disketizace 5. Nastaven´ı fyziky, CM model 6. Vlastn´ı v´ ypoˇcet 7. Pˇrepoˇcet frekvence, u ´prava mód˚ u 8. Uloˇzen´ı, ukonˇcen´ı, oˇsetˇren´ı vyj´ımek a chyb Uspoˇr´ ad´ an´ı respektuje i grafické okno (na obr. 5.1), informuj´ıc´ı uˇzivatele o jednotliv´ ych operac´ıch. To je vytvoˇreno pˇri kaˇzdém volán´ı EvalInFem a nelze ho vypnout pˇred ukonˇcen´ım v´ ypoˇctu1 . Pokud je ˇreˇsiˇc souˇcást´ı optimalizace, je okno 1

Thread se m˚ uˇze nach´ azet v jedné z funkc´ı Comsolu, v PSOptimizeru apod. Bez tohoto omezen´ı by se EvalInFem choval nevyzpytatelnˇe.

53


5.1. Popis, syntaxe

otevˇreno pouze jednou a pro kaˇzdé dalˇs´ı volán´ı jsou pouze resetovány u ´daje, coˇz ˇsetˇr´ı ˇcas.

Obr´ azek 5.1: EvalInFem (screenshot)

Syntaxe Pro obdrˇzen´ı v´ ypisu rezonanˇcn´ıch frekvenc´ı jednotliv´ ych mód˚ u, pouˇzijeme zápis: results = EvalInFem(’stat’,FRC). Parametr ’stat’ je v tomto pˇr´ıpadˇe fixn´ı a indikuje statické volán´ı bez inicializace PSO. Vyuˇz´ıv´ ame ho zpravidla pro zjiˇstˇen´ı dominantn´ıho módu pevnˇe dané struktury. Pro z´ısk´ an´ı fem promˇenné voláme následovnˇe: [results fem] = EvalInFem(’stat’,FRC). Toto vol´ an´ı m´ a velkou v´ yhodu ve zpˇetném vyuˇzit´ı Comsolu – fem objekt m˚ uˇzeme importovat z Matlabu do Comsolu a pracovat s v´ ysledkem ruˇcnˇe (grafy, rozloˇzen´ı mód˚ u, pˇrevod do dxf pro CST apod.). Funkce EvalInFem umoˇzn ˇuje pˇr´ımé spuˇstˇen´ı 54


5.2. Geometrie

optimalizace, o které bude pojednáno v dalˇs´ıch kapitolách, nicménˇe jiˇz zde uved’me, ˇze existuj´ı dvˇe moˇznosti, jak toho dosáhnout. Optimalizaci lze zahájit volán´ım funkce EvalInFem i PSOptimizer. Elegantnˇejˇs´ı je: PSOresults = PSOptimizer(PsoData,’EvalInFem’,ag,it), nebot’ tak jsou vol´ any i vˇsechny ostatn´ı fitness funkce (viz PSO optimalizace). K objektu fem nelze pˇri optimalizaci z´ıskat pˇr´ım´ y pˇr´ıstup, ag oznaˇcuje poˇcet agent˚ uv roji, it urˇcuje poˇcet iterac´ı. Lze vyuˇz´ıt i následuj´ıc´ı pˇr´ıkaz: results = EvalInFem(’pso’,PsoData,ag,it). Poznamenejme, ˇze vˇsechny pˇr´ıkazy jsou vysvˇetleny i v nápovˇedˇe EvalInFem. Pˇri n´ avrhu EvalInFem jsme vycházeli z instrukc´ı v tutoriálu [63] a z nápovˇedy Comsolu, kter´ a se ovˇsem programován´ı v Matlabu pˇr´ıliˇs nevˇenuje. Popiˇsme nyn´ı jednotlivé kroky ˇreˇsen´ı. N´ asleduj´ıc´ı ˇcásti 5.2 a 5.3 pˇribliˇzuj´ı mechanismy EvalInFem a lze je pˇr´ıpadnˇe pˇreskoˇcit.

5.2

Geometrie

Pˇredpokladem spr´ avné funkce EvalInFem je FRC nebo Poly promˇenná na vstupu. Pro jej´ı vytvoˇren´ı lze vyuˇz´ıt AntTool, IFSMaker, m˚ uˇzeme ji definovat i ruˇcnˇe. V pˇr´ıpadˇe frakt´ aln´ı struktury obsahuje pole jednotlivé IFS parametry. Z nich je potˇreba vygenerovat frakt´ al a jednotlivé polygony setˇr´ıdit podle iterac´ı, které se maj´ı do v´ ysledné kol´ aˇze zapoˇc´ıtat. Ty potom sjednotit a upravit tak, aby zápisu rozumˇel Comsol. Nezbytné je omezen´ı velikosti koláˇze – máme-li hledat nejmenˇs´ı strukturu, tedy de-facto nejmenˇs´ı rezonanˇcn´ı frekvenci, je potˇreba zafixovat max. velikost, aby byly v´ ysledky vz´ ajemnˇe porovnatelné. Tato velikost je na ˇrádce 341 nastavena na 10cm. EvalInFem s´ am zhodnot´ı, zda delˇs´ı hrana je ve smˇeru x nebo y a koláˇz pomˇernˇe zmenˇs´ı/zvˇetˇs´ı na tuto velikost. O zmˇenˇe velikosti jsme informován´ı v sekci polygons grafického okna.

Obr´ azek 5.2: Vypoˇcten´ a kol´ aˇz, mesh, dominantn´ı mód a jeho proudové rozloˇzen´ı Souˇc´ ast´ı pˇrevodu je i automatické vykreslen´ı analyzované koláˇze. To je uˇziteˇcné zejm. ve spojen´ı s PSO, vid´ıme ihned jak´ y tvar koláˇze je právˇe ˇreˇsen. 55


5.3. Mesh, fyzika

Upˇrednostˇ nujeme-li rychlost a zaj´ımáme se aˇz o v´ ysledek, m˚ uˇzeme tento v´ ypis deaktivovat na ˇr´ adce 337 funkce2 EvalInFem. Moˇzná vykreslen´ı shrnuje obr. 5.2. Po vypoˇcten´ı IFS a upraven´ı velikosti následuje sjednocen´ı do stejného (3D) pole, coˇz je pouze operace s maticemi v cellu3 . Dalˇs´ı ˇcást je zaj´ımavˇejˇs´ı – mus´ıme pˇrevést geometrii do Comsolem akceptovatelného tvaru. Celou proceduru provád´ı nested funkce makeGeomFcn. Postupnˇe zvˇetˇsujeme dva string ˇretˇezce, které jsou vyhodnoceny funkc´ı eval, n´ asleduj´ı dalˇs´ı u ´pravy a uloˇzen´ı geom objektu do instance fem. Jde o jednu z kl´ıˇcov´ ych funkc´ı EvalInFem, kterou obyˇcejnˇe provád´ıme pomoc´ı zakreslov´ an´ı v Comsolu. Na z´ avˇer je nezbytné otestovat celistvost patche. Poˇcet ˇcást´ı, z nich je záˇriˇc sloˇzen zjist´ı funkce flgeomnmr. Pokud je v´ ysledek r˚ uzn´ y od jedné, konˇc´ı v´ ypoˇcet chybou.

5.3

Mesh, fyzika

Ve shodˇe s v´ ykladem o FEM je nutné povrh pokr´ yt diskretizaˇcn´ı mˇr´ıˇzkou. Mus´ıme dodrˇzet vysokou kvalitu s´ıtˇe, tedy jemnost a pravidelnost, na druhé stranˇe je vhodné pracovat s nejmenˇs´ım moˇzn´ ym poˇctem element˚ u. Pro tyto u ´ˇcely slouˇz´ı v Comsolu odhad velikosti jednotliv´ ych troj´ uheln´ıˇck˚ u a jejich kvality: √ 4 3S q= 2 , (5.1) a1 + a22 + a23 kde S je obsah, a1 , a2 a a3 jsou hrany troj´ uheln´ıka. Kvalita s´ıtˇe nab´ yvá hodnot qmin ∈ (0, 1), 1 znaˇc´ı perfektn´ı s´ıt’, které vˇsak stˇeˇz´ı kdy dosáhneme. Podle literatury je dostaˇcuj´ıc´ı hodnota qmin = 0.3, je vhodné volit rezervu qmin √ = 0.4. √ Pro rovnostrann´ y troj´ uheln´ık je q = 1; pro rovnoramenn´ y se stranami 1, 1.25, 1.25 (v´ yˇska k ramen˚ um rovna 1) uˇz pouze q = 0.9897. Frekvenci, do které povaˇzujeme CM za spolehliv´ y, lze odvodit i ze vztahu: hmax =

λ , 6

(5.2)

kde hmax je maxim´ aln´ı délka hrany jakéhokoliv troj´ uheln´ıka. Podm´ınku (5.2) jsme z´ıskali z dokumentace simul´ atoru FEKO, [102]. Z pˇredpokl´ adané frekvence dominantn´ıho módu4 zpˇetnˇe vypoˇc´ıtáme poˇzadovanou velikost. Tento postup vˇsak sk´ ytá nˇekolik u ´skal´ı. Zaprvé je tento odhat dosti nepˇresn´ y, zadruhé mus´ıme zjiˇst’ovat rozmˇery vˇsech element˚ u a koneˇcnˇe zatˇret´ı nen´ı cel´ y proces snadné naprogramovat. Po zdlouhav´ ych testech byl nalazen 2 Na dalˇs´ıch ˇra ´dc´ıch lze nastavit vykreslen´ı meshe (defaultnˇe ne), rozloˇzen´ı elektrického pole nad dutinou (ano) a rozloˇzen´ı proudu (ano). 3 Kaˇzdé pole cellu odpov´ıd´ a jedné iteraci, tak m˚ uˇzeme jednoduˇse zaˇradit ty polygony, které pˇr´ısluˇs´ı do poˇzadovan´ ych iterac´ı. 4 Nejniˇzˇs´ı frekvenci m˚ uˇzeme s jistou rezervou odhadnout ze znalosti max. rozmˇeru pro λ2 dominantn´ı m´ od.

56


5.4. Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u

kompromis mezi jemnost´ı s´ıtˇe a rychlost´ı v´ ypoˇctu, totiˇz tvorba s´ıtˇe funkc´ı meshinit s parametrem ’Hauto’ = 3. S´ıt’ sice nen´ı dále zjemˇ nována, avˇsak od poˇcátku na n´ı máme pˇr´ısné n´ aroky. Tak ˇsetˇr´ıme cenn´ y v´ ypoˇcetn´ı ˇcas. D˚ uleˇzité je téˇz nastaven´ı parametru ’Report’ na ’off’, v opaˇcném pˇr´ıpadˇe by po kaˇzdém nameshován´ı byl proces pˇreruˇsen ozn´ amen´ım, coˇz by znemoˇznilo plynulou optimalizaci. Ukazuje se, ˇze poˇcet element˚ u (narozd´ıl od jejich kvality) nemá na pˇresnost ˇreˇsen´ı zásadnˇejˇs´ı vliv. Kvalitu zjist´ıme pomoc´ı funkce meshqual, pˇriˇcemˇz je vhodné se zaj´ımat o pr˚ umˇernou i minim´ aln´ı kvalitu na celé ploˇse koláˇze. Mus´ıme tedy znát i poˇcet element˚ u, toho doc´ıl´ıme pˇr´ıkazem length(fem.mesh.t). Celkov´ y poˇcet element˚ u je spolu s pr˚ umˇernou a minim´ aln´ı kvalitou s´ıtˇe vypsán v sekci mesh v GUI. V dalˇs´ım kroku nastavujeme podm´ınky ˇreˇsen´ı, tj. typ ˇreˇsen´ı (InPlaneWaves), modul (RF), typ anal´ yzy (eigen), hraniˇcn´ı podm´ınku pro vˇsechny hrany (H0, nav´ıc vˇsechny bnd.ind = 1), systém jednotek (SI) a dalˇs´ı parametry5 . Nyn´ı lze pˇristoupit k vlastn´ımu ˇreˇsen´ı struktury. To provád´ıme pomoc´ı ˇreˇsiˇce femeig s nastaven´ım hledané veliˇciny a poˇctem vlastn´ıch ˇc´ısel (=nalezen´ ych mód˚ u), které maj´ı b´ yt nalezeny. Vlastn´ı ˇc´ısla jsou uloˇzena do objektu fem.sol, odkud je jednoduˇse z´ısk´ ame pro dalˇs´ı u ´pravy.

5.4

Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u

Vypoˇcten´ a vlastn´ı ˇc´ısla nyn´ı pˇrevedeme na rezonanˇcn´ı frekvence dan´ ych mód˚ u. Vyuˇzijeme n´ asleduj´ıc´ıho vztahu: fmin (i) =

|fem.sol.lambda(i)| 2π

(5.3)

Obr´ azek 5.3: Nesmyslné ˇreˇsen´ı (vlevo) a dominantn´ı mód struktury (vpravo) Po pˇrevodu na frekvenci se vˇsak ˇcasto setkáváme s tzv. nesmysln´ ymi módy (obr. 5.3). Tato ˇreˇsen´ı nemaj´ı ˇz´ adné fyzikáln´ı opodstatnˇen´ı. Nav´ıc v pˇr´ıpadˇe optimalizace 5 Podaˇrilo se je zjistit po odsimulov´ an´ı vzorového pˇr´ıkladu v Comsolu a jeho uloˇzen´ı jako mfile. ˇ ast k´ C´ odu mus´ı respektovat promˇenliv´ y poˇcet hran.

57



hroz´ı, ˇze takov´ y m´ od bude vyhodnocen jako dominantn´ı. Jeho (velice malá) hodnota rezonanˇcn´ı frekvence urˇc´ı nové globáln´ı minimum a celé hejno bude konvergovat k této zcela nesmyslné hodnotˇe. Vˇsechna taková ˇreˇsen´ı pˇredcházej´ıc´ı skuteˇcnému dominantn´ımu m´ odu mus´ıme efektivnˇe odstranit. To prov´ ad´ıme ve dvou kroc´ıch. Nejprve smaˇzeme vˇsechny módy s nulovou frekvenc´ı, potom i takové, které dosahuj´ı pouze 1% rezonanˇcn´ı frekvence módu následuj´ıc´ıho. Nesmyslné m´ ody maj´ı vˇetˇsinou nenulovou reálnou ˇcást vlastn´ıho ˇc´ısla, zat´ımco vˇsechny ostatn´ı m´ ody maj´ı nenulovou pouze imaginárn´ı ˇcást. Ta nab´ yvá zpravidla z´ aporn´ ych, extrémnˇe vysok´ ych hodnot.

Obr´ azek 5.4: Pˇr´ıklad duplicitn´ıch mód˚ u Na dalˇs´ı obt´ıˇze nar´ aˇz´ıme v souvislosti s duplicitn´ımi módy. Nˇekolik jich zobrazuje obrázek 5.4. Vˇsechna tˇri ˇreˇsen´ı jsou správná, ukazuj´ı 5.,6. a 7. nalezen´ y mód. Na prvn´ı pohled je vˇsak jasné, ˇze jde o stejné rozloˇzen´ı pole, pouze jinak orientované. Je to dáno pravdˇepodobnˇe mal´ ymi odchylkami v diskretizaˇcn´ı mˇr´ıˇzi, ˇc´ımˇz se struktura stává m´ırnˇe nesymetrickou. Poznávac´ım znamen´ım takov´ ych mód˚ u jsou bl´ızké rezonanˇcn´ı frekvence. Na druhou stranu bl´ızké frekvence mohou m´ıt i dva geometricky velice rozd´ılné m´ ody, nem˚ uˇzeme tedy toto tvrzen´ı vyuˇz´ıt k eliminaci duplicit. ˇ Reˇsen´ı je potˇreba hledat pˇr´ımo v rozboru daného rozloˇzen´ı pole. Pˇreveden´ım mód˚ u na bitmapy, jejich pomysln´ ym rozdˇelen´ım na pole a hledán´ım shodn´ ych hustot urˇcit´ ych barev bychom mohli duplicitn´ı módy odhalit. Tento postup zat´ım nebyl testov´ an, v budoucnu – zejména pˇri multipásmové optimalizaci – se bez nˇej ale neobejdeme.

Obr´ azek 5.5: Nadbyteˇcné nody, jejich vznik a nepˇr´ıjemné d˚ usledky

58



Posledn´ım zjiˇstˇen´ ym nedostatkem je pˇr´ıtomnost nadbyteˇcn´ ych nod˚ u (uzl˚ u) ve v´ ysledné kol´ aˇzi. Ty vid´ıme na obr. 5.5 vlevo. V okol´ı tˇechto bod˚ u je s´ıt’ v´ıce zahuˇstˇena (obr. 5.5 vpravo), nebot’ Comsol zde pˇredpokládá diskontinuity. Vˇetˇs´ı poˇcet element˚ u se negativnˇe prom´ıt´ a do ˇcasu potˇrebného na v´ ypoˇcet, a to nejen v Comsolu, ale i pokud frakt´ al d´ ale exportujeme (IE3D apod.). Tyto nechtˇené nody vznikaj´ı pˇri dláˇzdˇen´ı fraktálu, jde vlastnˇe o vrcholy transformovaného z´ akladn´ıho objektu (obr. 5.5 uprostˇred). Automatické odstraˇ nován´ı 6 takov´ ych bod˚ u je komplikované .

Obr´ azek 5.6: Lokalizované proudy pro FRC B, FRC J a FRC D, vyˇsˇs´ı módy Pˇri pohledu na obr. 5.6 si m˚ uˇzeme vˇsimnout zaj´ımavého fenoménu, kter´ y je frakt´ aln´ım antén´ am vlastn´ı, totiˇz proudové lokalizace. K té docház´ı pro nˇekteré vyˇsˇs´ı m´ ody a vyznaˇcuje se zv´ yˇsenou smˇerovnost´ı záˇriˇce (klidnˇe 13dBi i v´ıce). Na obrázky m˚ uˇzeme pohl´ıˇzet jako na velice efektivn´ı a ideálnˇe zfázované anténnn´ı ˇrady. 6 Tato automatick´ a procedura by musela spolehlivˇe pracovat pro vˇsechny IFS vˇsech iterac´ı a musela by b´ yt velmi rychl´ a.

59


5.5

5.5. Oˇ setˇ ren´ı chyb, stabilita

Oˇ setˇ ren´ı chyb, stabilita

O v´ ysledku vˇsech operac´ı je uˇzivatel informován skrze GUI. V pˇr´ıpadˇe chyby je vypsán ˇcervenˇe text Error, nav´ıc je i s kódem (viz tabulka 5.1) chyba uvedena v oknˇe Matlabu. Tak lze sledovat vˇsechny chyby pˇri dlouhé optimalizaci. k´ od chyby 0 1 2 3 4 5 6

oznaˇcen´ı There’s no connection to Comsol Bad input data (x ’psopt’ type). Convert to polygons. Geometry convert problem. Bad mesh (subdomains = 1) Comsol physics hasn’t been set. There’s no feasible solution.

popis nen´ı pˇripojen Comsol ˇspatn´ y vstup nevhodné polygony chyba v pˇrevodu geometrie segment˚ u je v´ıce neˇz 1 fyzika nen´ı nastavena nebylo nalezeno ˇreˇsen´ı

Tabulka 5.1: Moˇzné chyby v EvalInFem

EvalInFem mus´ı za vˇsech okolnost´ı vracet hodnotu rezonanˇcn´ı frekvence. V opaˇcném pˇr´ıpadˇe by hrozilo pˇreruˇsen´ı optimalizace. Pokud je vypsána chyba, vrac´ı program fr = ∞. To nen´ı z hlediska konvergence hejna optimáln´ı7 návratová hodnota, lepˇs´ı ˇreˇsen´ı vˇsak doposud nebylo nalezeno. Dalˇs´ı skupinu chyb lze oznaˇcit jako chyby metody. Nˇekteré aspekty jsou v CM aproximov´ any nebo zanedbány, coˇz zhorˇsuje (omezuje) v´ ysledky. Na zkreslen´ı ˇreˇsen´ı se pod´ıl´ı jiˇz diskretizace, kterou jsme probrali v´ yˇse. Dále mus´ıme m´ıt na pamˇeti omezen´ı v´ yˇsky substr´ atu, pomoc´ı CM ˇreˇs´ıme pouze 2D planárn´ı rezonátor. Nejvˇetˇs´ım problémem je zanedbán´ı vnitˇrn´ıch vazeb ve struktuˇre. Z principu tak nelze ˇreˇsit z´ aˇriˇc sloˇzen´ y z v´ıce ˇcást´ı. Omezena je mnoˇzina pouˇziteln´ ych koláˇz´ı8 . Pro ovˇeˇren´ı CM modelu byl vybran´ y fraktál analyzován i v CST-MWS, v´ıce v následuj´ıc´ı ˇcásti.

5.6

V´ ysledky

Vˇsechny nesmyslné m´ ody byly odstranˇeny, neuvád´ıme ani duplicitn´ı módy. Hodnoty v tabulce 5.2 jsou omezeny rozmˇerem delˇs´ı hrany rovn´ ym 10cm. Pˇr´ıklady silnˇe lokalizovan´ ych proud˚ u byly uvedeny na obr. 5.6. Vyhledáván´ı takov´ ych mód˚ u ruˇcnˇe je zdlouhavé a nepohodlné, pˇresto vˇsak s pomoc´ı Comsolu moˇzné. Video na DVD s ukázkou ˇreˇsen´ı se jmenuje EvalInFem staticAnalysisAvi.avi. Je zde i ukázka chybné simulace a jej´ıho zakonˇcen´ı. 7

Toto m´ısto je automaticky zavrhnuto cel´ ym rojem a pˇr´ısluˇsn´ı agenti se od nˇej vzdaluj´ı. To komplikuje nalezen´ı minima v sousedstv´ı takové singularity. 8 Pˇr´ıklady na obr. 5.8 jsou ˇreˇsitelné bez pot´ıˇz´ı, pouze kol´ aˇz FRC B pˇrezaˇruje a velikost chyby tak roste.

60


patch FRC A FRC B FRC C FRC D FRC E FRC F FRC H FRC J FRC K

fr1 [MHz] 637.73 686.09 638.39 1189.33 1367.52 657.76 1352.55 849.51 647.05

fr2 [MHz] 655.59 732.07 1304.13 2192.13 1383.24 721.05 1482.29 871.05 690.66

5.6. V´ ysledky

fr3 [MHz] 1375.67 736.23 1652.87 2641.8 3064.77 2040.55 2457.62 1668.17 1681.64

fr4 [MHz] 1407.34 2113.86 1751.14 4412.57 3110.12 2272.51 2629.74 2709.62 2385.47

fr5 [MHz] 1434.46 2300 1753.58 4423.88 3977.31 2345.91 2865.37 2801.14 2452.99

Tabulka 5.2: Rezonanˇcn´ı frekvence vybran´ ych koláˇz´ı (prvn´ıch 5 iterac´ı)

Obr´ azek 5.7: Pokles frekvence s iterac´ı, vybrané koláˇze Je zaj´ımavé sledovat velikost rezonanˇcn´ı frekvence r˚ uzn´ ych koláˇz´ı v závislosti na stupni iterace. Lze uk´ azat, ˇze frekvence postupnˇe klesá. Napˇr. pro koláˇz FRC B klesá frekvence (pro iterace 1-5) následovnˇe: 1025MHz, 686MHz, 501MHz, 370MHz a 271MHz. Pro kol´ aˇz FRC H 1380MHz, 1053MHz, 815MHz, 630MHz, 487MHz. Pokles je velice rychl´ y a to i v pˇr´ıpadˇe, ˇze rezonance prob´ıhá na rameni, které svou délku nemˇen´ı (FRC H). Pr˚ ubˇeh zároveˇ n naznaˇcuje, ˇze hodnoty smˇeˇruj´ı k urˇcité asymptotˇe, kterou m˚ uˇzeme pˇredpokládat pro nekoneˇcnou iteraci. Pro kaˇzd´ y fraktál klesá frekvence jinak rychle a z jiné poˇcáteˇcn´ı hodnoty, viz obr. 5.7. Pokles frekvence prob´ıh´ a bez neˇcekan´ ych v´ ykyv˚ u (kˇrivky jsou hladké), tento jev lze prokázat i u vyˇsˇs´ıch m´ od˚ u IFS struktur.

61


5.6. V´ ysledky

Obr´ azek 5.8: Dominantn´ı módy FRC struktur

CST a TCM simulace Nyn´ı srovnejme obdrˇzené v´ ysledky s referenˇcn´ım simulátorem. Primárnˇe byl vybrán CST-MWS, je velice pˇresn´ y a uˇzivatelsky pˇr´ıjemn´ y. Dále jsme do srovnán´ı zaˇradili TCM analyz´ ator z [81], kter´ y by mohl nahradit náˇs CM ˇreˇsiˇc.

Obr´ azek 5.9: Proudy na struktuˇre FRC F podle TCM Jako srovn´ avac´ı objekt byl zvolen FRC F ve tˇret´ı iteraci (viz obr. 5.8, pˇr´ıpadnˇe pˇr´ımo obr. 12.11 a 12.12 v dodatc´ıch). Tento fraktál se jev´ı jako vhodn´ y kandidát pro dalˇs´ı optimalizaci. V´ yˇska nad zemn´ı rovinou je 1mm (v toleranci CM) a 10mm (zde jiˇz CM nepod´ av´ a optim´ aln´ı v´ ysledky). V souvislosti s nalezen´ım rezonanˇcn´ı frekvence je vhodné sledovat, jak (zda v˚ ubec) m˚ uˇze na daném m´ odu anténa vyzaˇrovat. Situaci pˇrehlednˇe ukazuje obr. 5.9. 62


5.6. V´ ysledky

Prvn´ı dva m´ ody maj´ı proudy orientované shodn´ ym smˇerem, ty se sˇc´ıtaj´ı a vytvoˇr´ı vertik´ aln´ı, resp. horizont´ aln´ı polarizaci. Proudy tˇret´ıho módu (vpravo) teˇcou proti sobˇe, anténa m´ a v podstatˇe charakter veden´ı a nevyzaˇruje. Rozloˇzen´ı proud˚ u lze sledovat i u CM modelu, jak uk´ aˇzeme v následuj´ıc´ı kapitole. Tyto proudy vypoˇc´ıtáme z elektrického pole, které jsme z´ıskali z dutinového modelu.

Obr´ azek 5.10: Pr˚ ubˇeh charakteristického u ´hlu pro FRC F (TCM) Nalezené rezonanˇcn´ı frekvence z tab. 5.3 dokládá i obr. 5.10, kde je vykreslen pr˚ ubˇeh charakteristického u ´hlu na frekvenci. Pomocná ˇcára (oranˇzová) procház´ı 180°, kde doch´ az´ı k rezonanci. Zde m˚ uˇzeme odeˇc´ıst rezonanˇcn´ı frekvenci prvn´ıch 3. mód˚ u. Zobrazen´ı proud˚ u v CST pro prvn´ı 3 módy je ukázáno na obr. 5.11. Prodouvé rozloˇzen´ı vyˇslo podobnˇe jako v TCM a CM, orientace proud˚ u odpov´ıdá obr. 5.9. Pro zaj´ımavost uvedeme s pˇredstihem i tvar VD pro FRC F s v´ yˇskou 10mm CM 1. m´ od 2. m´ od 3. m´ od

657.76 MHz 721.05 MHz 2040.55 MHz

CST TCM IE3D v´ yˇska 1mm 735 MHz 720 MHz 745 MHz 787 MHz 775 MHz 817 MHz −(∗) 2150 MHz −(∗) (*) tento mód nebyl

CST TCM v´ yˇska 10mm 913 MHz 890 MHz 947 MHz 915 MHz 1000 MHz 985 MHz v CST/IE3D nalezen

Tabulka 5.3: Rez. frekvence pro FRC F v simulátorech CM, CST-MWS a TCM

63


5.7. Propojen´ı s PSO

Obr´ azek 5.11: Proudové rozloˇzen´ı pro 1-3 mód koláˇze FRC F nad zemn´ı (nekoneˇcnou) rovinou. Horn´ı obrázky ukazuj´ı jednotlivé polarizace9 , jak se prom´ıtaj´ı do v´ ysledného VD (spodn´ı ˇcást obr.). V´ ysledky jsou pro svou velikost uvedeny v dodatku 12.2, obr. 12.19 a 12.20.

5.7

Propojen´ı s PSO

Napojen´ı na rojov´ y optimaliz´ ator je realizováno podle obr. 10.1, z pohledu PSO je ´ bl´ıˇze pops´ ano v ˇc´ asti 8.5. Upravou geometrie patche (zmˇena pozice bod˚ u základn´ıho objektu nebo koeficienty transformac´ı) lze z´ıskat niˇzˇs´ı rezonanˇcn´ı frekvenci. V pr˚ ubˇehu optimalizace doch´ az´ı k obˇcasnému rozdˇelen´ı koláˇze na v´ıce ˇcást´ı (vlivem zmˇeny transforamˇcn´ıch koeficient˚ u), pak je situace oˇsetˇrena v EvalInFem. K nastaven´ı optimalizace je potˇreba stanovit jednotlivé meze a zvolit objekty, které maj´ı b´ yt optimalizov´ any. Pro tento u ´ˇcel vznikl IFSLimiter, popsan´ y v 9. kapitole. Naˇc´ıt´ a zvolenou kol´ aˇz ve formátu FRC a po nastaven´ı optimalizace exportuje PsoData promˇennou do Matlabu. Ta je vstupn´ım parametrem PSOptimizeru, kter´ y ˇr´ıd´ı celou optimalizaci a vol´ a EvalInFem jako svou fitness funkci. Pro kaˇzdého agenta je stanovena velikost rezonanˇcn´ı frekvence, jak bylo popsáno v´ yˇse. Vˇse ale prob´ıhá automaticky. Pr´ avˇe EvalInFem hraje v celém procesu zásadn´ı roli, nebot’ spotˇrebuje cca. 95% ˇcasu potˇrebného na jednu optimalizaci. Celkov´ y ˇcas se pohybuje v ˇrádu hodin10 .

V´ıcep´ asmov´ a optimalizace Lákav´ a je téˇz moˇznost optimalizovat patch tak, aby jeho vybrané módy byly n-násobkem / posunuty o pevnˇe danou frekvenci od módu pˇredeˇslého. D´ıky tomu, ˇze pracujeme s IFS parametry, z˚ ustává fraktáln´ı charakter zachován i zde (se vˇsemi v´ yhodami). Abychom mohli specifikovat poˇzadavky na jednotlivé módy, mus´ıme m´ıt moˇznost je vz´ ajemnˇe rozeznat, vˇc. eliminace duplicitn´ıch mód˚ u. Bude potˇreba definovat i nové rozhran´ı, hl´ıdaj´ıc´ı váhován´ı jednotliv´ ych pˇr´ıspˇevk˚ u (v´ ysledk˚ u pro dan´ y m´ od) a jejich ohodnocov´ an´ı pro cost funkci (viz kapitola o PSO). Tento u ´kol ˇ vyˇzaduje celou ˇradu z´ asah˚ uau ´prav. Ctenáˇr se tedy bude muset spokojit pouze s touto zm´ınkou. 9 10

Zobrazen´ı vertik´ aln´ı a horizont´ aln´ı polarizace v CST je moˇzné s pomoc´ı Ludwig3. Pˇredpokl´ ad´ ame zhruba 5 sekund na jedno ˇreˇsen´ı CM, 20 ˇclen˚ u roje a 150 iterac´ı.

64

Kapitola 6

Vyzaˇ rovac´ı diagram Pˇredstavte si lampu! At’ je jakkoliv umˇeleck´ a a kr´ asnˇe zdoben´ a, mus´ı ” pˇredevˇs´ım sv´ıtit!“ — Honoré de Balzac Obecn´ a anténa se vyznaˇcuje t´ım, ˇze vyzaˇruje resp. pˇrij´ımá elektromagnetickou enegii r˚ uznˇe v r˚ uzn´ ych smˇerech. Zobrazen´ı tˇechto pomˇer˚ u se naz´ yvá vyzaˇrovac´ı diagram ([11]). Vyzaˇrovac´ı diagram (VD) ˇrad´ıme mezi smˇerové vlastnosti antény. Jsme schopni popsat na nˇem hlavn´ı lakol, vedlejˇs´ı lalok a zpˇetn´ y svazek, m˚ uˇzeme ´ odeˇc´ıst ˇs´ıˇrku svazku na poloviˇcn´ı v´ ykon (HPBW) a dalˇs´ı parametry. Uzce souvis´ı se smˇerovost´ı, uˇcinnost´ı svazku atp. Z tˇechto d˚ uvod˚ u je nutné pro vˇetˇsinu praktick´ ych aplikac´ı VD dané antény zn´ at. V pˇr´ıpadˇe patchov´ ych antén s fraktáln´ım povrchem jsme nuceni nejprve stanovit rozloˇzen´ı zdroj˚ u, tj. zjistit na kter´ ych módech anténa rezonuje (=vyzaˇruje) a jak. Aˇz poté vyuˇzijeme algoritmus EvalRadPattern, kter´ y byl v rámci DP rozpracován. Pozornost bude vˇenov´ ana i moˇzné optimalizaci geometrie patche s ohledem na VD. Celá kapitola je koncipov´ ana podle Individuáln´ıho projektu, [70].

6.1

Rozloˇ zen´ı zdroj˚ u

Vlastn´ı v´ ypoˇcet vyzaˇrovac´ıho diagramu (dále jen VD1 ) je zaloˇzen na ˇreˇsen´ı Maxwellov´ ych rovnic. K z´ısk´ an´ı VD je potˇreba znát pˇresné rozloˇzen´ı zdroj˚ u na povrchu antény. Zdroji zde mysl´ıme: (a) hustotu elektrického proudu J, nebo (b) fiktivn´ı magnetickou proudovou hustotu M. 1

M´ ame na mysli smˇerovou, pˇr´ıpadnˇe vyzaˇrovac´ı charakteristiku. Principy reciprocity a duality zajiˇst’uj´ı, ˇze jsou shodné. Viz [11], [32].

65


6.1. Rozloˇ zen´ı zdroj˚ u

Obr´ azek 6.1: Postup v´ ypoˇctu, ve shodˇe s [29] Tyto moˇznosti zobrazuje i obr. 6.1. Proudy nejsou pro dan´ y typ patche dopˇredu ’ známy, nebot jsou z´ avislé na tvaru antény. Zat´ımco elektrické proudy jsou ideáln´ı pro dr´ atové antény, pro patchové antény (tedy ploˇsné, dále plat´ı i pro trycht´ yˇre) je vhodnˇejˇs´ı vyuˇz´ıt ekvivalentn´ıch magnetick´ ych proud˚ u (které teˇcou po hranách patche). Z´ısk´ ame-li totiˇz hodnoty tˇechto proud˚ u, je urˇcen´ı vyzáˇreného pole jednoduˇsˇs´ı2 . Oba postupy, jak z´ıskat tyto proudy, jsou uvedeny dále. V dalˇs´ım kroku se mus´ıme rozhodnout, zda budeme VD urˇcovat pˇr´ımo z Maxwellov´ ych rovnic (d´ ale MR), nebo si odvozován´ı zjednoduˇs´ıme zaveden´ım potenci´ al˚ u (tento postup je obecnˇe preferován). Vektorov´ y potenciál A, i skalárn´ı potenc. F vyuˇz´ıv´ aj´ı zn´ am´ ych diferenciáln´ıch identit ke zjednoduˇsen´ı tvaru MR. Zde pouze nast´ın´ıme myˇslenku potenciál˚ u3 . Pro vektorov´ y potenci´ al A vyuˇzijeme skuteˇcnosti, ˇze: div(rotA) = 0,

(6.1)

pro libovoln´ y vektor A. V oblasti beze zdroj˚ u (tj. v nezˇr´ıdlovém poli) potom pˇrepisujeme z MR: divB = 0, (6.2) tedy BA = µHA = rotA. Koneˇcnˇe HA =

(6.3)

1 rotA. µ

(6.4)

Podobnˇe pro potenci´ al F pokl´ adáme: div(−rotF) = 0, pro nezˇr´ıdlovou oblast je Gauss˚ uv zákon tedy (pˇredpokl´ ad´ ame linearitu operátor˚ u): DF = −rotF, 2

(6.5) elektrostatiky

divD

=

0

(6.6)

Jak z hlediska praktického, tak z hlediska ˇcasové n´ aroˇcnosti v´ ypoˇctu. Z´ apis m´ a notaci ve shodˇe s [29] a [32], pouze znaˇcen´ı grad (∇), dif (∇•) a rot (∇×) respektuje evropské, nikoli americké zvyklosti (tedy varianty vnˇe z´ avorek). 3

66


6.2. Odvozen´ı potˇ rebn´ ych vztah˚ u

1 EF = − rotF. (6.7) Vztahy (6.4) a (6.7) jsou symetrické. Po odvozen´ı VD (uvedeno v dalˇs´ı ˇcásti) je ˇ sen´ı jednotliv´ potˇreba db´ at na spr´ avné znaˇcen´ı souˇradnicového systému. Reˇ ych sloˇzek zpravidla z´ısk´ ame v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch, je tedy potˇreba tyto v´ ysledky pˇrevést do souˇradnic sférick´ ych (transformaˇcn´ı matice), nebo s t´ımto pˇrevodem poˇc´ıtat jiˇz pˇri vlastn´ım v´ ypoˇctu. Nezbytn´ ym krokem je normován´ı, ˇcasto provádˇené aˇz po zlogaritmov´ an´ı v´ ysledk˚ u (pro velkou dynamiku je zobrazen´ı VD v logaritmickém mˇeˇr´ıtku mnohem n´ azornˇejˇs´ı). Nyn´ı pˇristupme k v´ ykladu jednotliv´ ych partikulárn´ıch problém˚ u.

6.2

Odvozen´ı potˇ rebn´ ych vztah˚ u

Vych´ az´ıme ze z´ akladn´ıho tvaru Maxwellov´ ych rovnic: rotH = J +

∂D , ∂t

(6.8)

1 divE = ρ. (6.9) Uváˇz´ıme-li dualitu mezi elektrick´ ym a magnetick´ ym polem (E → H,H → −E,J → M, atd., v´ıce v [32]), m˚ uˇzeme psát ekvivatelnˇe: rotE = −M − divH =

∂B , ∂t

1 ρm . µ

(6.10) (6.11)

Náboj ρm a proudov´ a hustota M jsou pouze fiktivn´ı, protoˇze fyzikáln´ı representace tˇechto veliˇcin nen´ı zn´ ama. Pˇresto tento formalismus podává správné v´ ysledky. Zn´ ame-li rozloˇzen´ı proud˚ u – skuteˇcn´ ych nebo fiktivn´ıch, je ˇreˇsen´ı (vnˇejˇs´ı) u ´lohy podobné. Nalezen´ı zdroj˚ u se vˇenuj´ı ˇcásti 6.3 a 6.4, nyn´ı pˇredpokládejme, ˇze tyto zdroje (J a M) zn´ ame. Rovnice ˇreˇs´ıme s pomoc´ı zaveden´ ych potenciál˚ u podle [32]. Po dosazen´ı a u ´pravˇe dost´ av´ ame: E = −gradF −

∂A 1 − rotAm ∂t

(6.12)

∂Am 1 + rotA, ∂t µ

(6.13)

a H = −gradFm −

kde F a A jsou elektrické potenciály a Fm a Am jsou magnetické potenciály. Splˇ nuj´ı ˇ Lorenzovy podm´ınky. Reˇsen´ı pro elektrické potenciály: ZZZ 1 F(r) = ρ(r0 )G(r − r0 )dV 0 , (6.14) V 67



Obr´ azek 6.2: K odvozen´ı vyzaˇrovac´ıho diagramu ZZZ A(r) = µ

J(r0 )G(r − r0 )dV 0

(6.15)

ρm (r0 )G(r − r0 )dV 0 ,

(6.16)

M(r0 )G(r − r0 )dV 0 .

(6.17)

V

a magnetické potenci´ aly: Fm (r) =

1 µ

ZZZ V

ZZZ Am (r) = V

Funkci G(r1 − r2 ) rozep´ıˇseme: 0

G(r − r0 ) =

e−jk|r−r | , 4π|r − r0 |

(6.18)

ˇ s´ıme-li u vektory r a r0 ukazuje obr. 6.2. Reˇ ´lohu ve vzdálené oblasti, je r r0 a r0 proto zanedb´ av´ ame. Nav´ıc R k r. Pro R tedy plat´ı: r − r0 cosψ pro fázi R= (6.19) r pro amplitudu Maxim´ aln´ı f´ azov´ a chyba této aproximace je vzdálenost r je alespoˇ n: 2D2 r≥ λ kde D je nejvˇetˇs´ı rozmˇer antény.

68

π 8,

za pˇredpokladu, ˇze pozorovac´ı (6.20)



D´ ale si budeme vˇs´ımat pouze relevantn´ıch vztah˚ u (6.15) a (6.17) (podle [29]). Ty lze pˇrepsat n´ asledovnˇe: −jkr ∼ µe A= N (6.21) 4πr e−jkr L, (6.22) 4πr kde (odsud d´ ale pˇredpokl´ ad´ ame ploch´ y patch v rovinˇe x-y, sloˇzku z vypouˇst´ıme) ZZ 0 J(x, y)ejkr cos ψ dxdy (6.23) N= F∼ =

x,y

a

ZZ

0

M(x, y)ejkr

L=

cos ψ

dxdy.

(6.24)

x,y

Ve vztaz´ıch v´ yˇse jsou vytknuté integrály, které jsou podstatné pro tuto práci a také upraven´ y pr˚ uvodiˇc, kter´ yu ´lohu zjednoduˇsuje. Nyn´ı vynecháme nˇekolik pˇrepis˚ u, které nejsou pˇr´ıliˇs d˚ uleˇzité (ˇcten´ aˇr je m˚ uˇze nalézt na str. 287 v [29]) a uvedeme rovnou vztahy pro vyzaˇrov´ an´ı v jednotliv´ ych ˇrezech: Er ∼ =0

(6.25)

−jkr

jke Eθ ∼ =− 4πr

Lφ + ηNθ

(6.26)

jke−jkr Lθ − ηNφ Eφ ∼ = 4πr

(6.27)

Integr´ aly ˇreˇs´ıme numericky, jde tedy o souˇcet dvou sum. Podle transformace (6.40) m˚ uˇzeme jednotlivé sloˇzky v integrálech roznásobit: Z xmaxZ ymax 0 (Jx cos θ cos φ + Jy cos θ sin φ)ejkr cos ψ dxdy (6.28) Nθ = ymin

xmin

Z

xmaxZ ymax

Nφ = xmin

(−Jx sin φ + Jy cos φ)ejβr

0

cos ψ

dxdy

(6.29)

ymin

Analogicky: Z

xmaxZ ymax

Lθ = xmin

(Mx cos θ cos φ + My cos θ sin φ)ejkr

0

cos ψ

dxdy

(6.30)

ymin

Z

xmaxZ ymax

Lφ = xmin

(−Mx sin φ + My cos φ)ejβr

0

cos ψ

dxdy

(6.31)

ymin

Dále potˇrebujeme vyj´ adˇrit pr˚ uvodiˇc r0 cos ψ pomoc´ı veliˇcin, které známe. Vyuˇzijeme vztahu 6-127a aˇz 6-127c v [29] , nebot’ námi definovaná soustava je podobná. r0 cos ψ = r0 ·aˆr = (aˆx x0 + aˆy y 0 )·(aˆx sin θ cos φ + aˆy sin θ sin φ) 69

(6.32)



Pro pozici pozorovatele m˚ uˇzeme vyjádˇrit: r0 cos ψ = x0 sin θ cos φ + y 0 sin θ sin φ

(6.33)

Z v´ yˇse uvedeného lze vztahy shrnout: ZZ jkηe−jkr 0 0 (Kx cos φ + Ky sin φ) cos θ ejk(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ) dxdy Eθ = 4πr (x,y) (6.34) ZZ −jkr jkηe 0 0 Eφ = (−Kx sin φ + Ky cos φ)ejk(x sin θ cos φ+y sin θ sin φ) dxdy (6.35) 4πr (x,y) K zastupuje zdroje: M podle následuj´ıc´ı ˇcásti 6.3 nebo J podle ˇcásti 6.4. Závˇerem uved’me pomocné vztahy potˇrebné k vyˇc´ıslen´ı integrál˚ u: r µ η = = Z0 , (6.36) 2π β = = k, (6.37) λ c0 =⇒ (6.38) λ = f √ β = ω µ, (6.39) transformaˇcn´ı matici z kartézské do sférické souˇradné soustavy:       sin(θ)cos(φ) sin(θ)sin(φ) cos(θ) Tx Tr  Tθ  =  cos(θ)cos(φ) cos(θ)sin(φ) −sin(θ)  ·  Ty  −sin(φ) cos(φ) 0 Tz Tφ a pro u ´plnost i opaˇcnˇe (matice je symetrická podél hlavn´ı diagonály):       Tx sin(θ)cos(φ) cos(θ)cos(φ) −sin(φ) Tr  Ty  =  sin(θ)sin(φ) cos(θ)sin(φ) cos(φ)  ·  Tθ  Tz cos(θ) −sin(θ) 0 Tφ

70

(6.40)

(6.41)


6.3

6.3. Magnetick´ e proudy

Magnetick´ e proudy

Obr´ azek 6.3: Pole Ez na hranici (vlevo) a nad cel´ ym patchem (vpravo) Na z´ akladˇe principu ekvivalence lze odvodit vztahy pro vyzaˇrován´ı u ´zké ˇstˇerbiny – apertury. Jako zdroj z´ aˇren´ı chápeme hrany patche, resp. náboj, kter´ y se hromad´ı na tˇechto hran´ ach d´ıky pˇritékaj´ıc´ımu proudu z plochy antény. Tyto proudy znaˇc´ıme M a naz´ yv´ ame je magnetické proudy4 . Pole Ez vybud´ı (indukuje) v tˇechto m´ıstech proudy se sloˇzkami x a y: M(x, y) = zEz × nout (6.42) Z´ısk´ an´ı jednotliv´ ych skal´ arn´ıch sloˇzek Ez zajiˇst’uje EvalRadPattern skrze Comsol. V´ ysledek vid´ıme na obr. 6.3 vlevo.

Obr´ azek 6.4: Stanoven´ı normály na fraktáln´ı hranici 4

V tomto pˇr´ıpadˇe je n´ azev pouze konvenc´ı. Viz [30], [31], [32].

71



Do vˇetˇs´ıch pot´ıˇz´ı se dost´ aváme, máme-li stanovit vnˇejˇs´ı normálu nout v jednotliv´ ych bodech Ez . Situaci objasˇ nuje obr. 6.4, kde vlevo vid´ıme rozloˇzen´ı pole a pˇr´ısluˇsné norm´ aly a vpravo nˇekolik normál na hranách sloˇzitˇejˇs´ıho fraktálu. Problém je dvoj´ı – zaprvé urˇcit vektor normály z dostupn´ ych u ´daj˚ u v Comsolu, zadruhé urˇcit smˇer norm´ aly (a to i v m´ıstech uprostˇred koláˇze). Autor DP se pokouˇsel tyto u ´daje importovat z Comsolu do Matlabu, avˇsak neuspˇel. Poˇzadujeme totiˇz import dat, ke kter´ ym je pˇr´ıstup mimo grafické rozhran´ı Comsolu obt´ıˇzn´ y, nebot’ se jedná o data 5 upraven´ a n´ asledn´ ym postprocessingem .

6.3.1

Rekonstrukce patche, z´ısk´ an´ı dat pro norm´ alu

Na pˇr´ıkladu obdéln´ıkového patche (zadán ˇctveˇric´ı body) ukaˇzme vyuˇzitelná data: 1. Geometrie: • geom2get(fem.geom,’p’) nebo geom2get(fem.geom,’mp’). Jde o rohové body obdéln´ık˚ u na obr. 6.5, tj. o body, které zadal uˇzivatel. −0.6 −0.6 −0.2 −0.2 (6.43) body = 0 0.2 0 0.2 • geom2get(fem.geom,’rb’), struktura obsahuje dvˇe pole. Prvn´ı obsahuje ˇc´ısla kˇrivek (subdomains, ˇc´ıslice 1 - 4 nalevo), druhé jejich smˇer (ˇsipky domains direction). 2. Mesh (import z: ptd = posteval(fem,’Ez’,’solnum’,1,’U’,fem.sol,’Edim’,1,. . . ’Refine’,1): • ptd.p popisuje spojen´ı vˇsech nod˚ u (vˇc. tˇech, co vzniknout pˇri diskretizaci patche – na obr. 6.5 znaˇceny zelen´ ymi body). Svislé oddˇelovac´ı ˇcáry matice neobsahuje, pro pˇrehlednost je ovˇsem doplˇ nujeme. −0.6 −0.6 −0.6 | −0.6 −0.5 −0.4 . . . nody = 0 0.1 0.2 | 0 0 0 ... . . . −0.4 −0.3 −0.2 | −0.6 −0.5 −0.4 . . . ... 0 0 0 | 0.2 0.2 0.2 . . . . . . −0.4 −0.3 −0.2 | −0.2 −0.2 −0.2 . . . 0.2 0.2 0.2 | 0 0.1 0.2

(6.44)

• ptd.t ukazuje na smˇery mezi jednotliv´ ymi nody (opˇet po skupinách, ˇcervené ˇsipky na pravém obdéln´ıku). 1 2 | 4 5 | 7 8 | ... spoj = 2 3 | 5 6 | 8 9 | ... 5

Comsol disponuje dvojic´ı funkc´ı, které tento neduh ˇreˇs´ı: postinterp a posteval. Pr´ ace s nimi prob´ıh´ a skrze prompt Matlabu a nastaven´ı sloˇzitˇejˇs´ıch pˇr´ıkaz˚ u je zdlouhavé a komplikované. Nav´ıc zjiˇstˇen´ı norm´ aly touto funkc´ı trv´ a velice dlouho.

72



. . . 10 11 | 13 14 | 16 17 . . . 11 12 | 14 15 | 17 18

(6.45)

• ptd.d je matice o velikosti (1, pocet nodu), obsahuje ˇreˇsen´ı pole Ez v nodech ptd.p. res = 1.336 1.325 1.340 1.336 0.936 −0.011 . . . . . . −0.011 −0.936 −1.339 1.340 0.937 0 . . . . . . 0 −0.935 −1.337 −1.339 −1.324 −1.337

(6.46)

3. Promˇenn´ a fem programu Comsol: • fem.mesh.p representuje vˇsechny nody mesh s´ıtˇe −0.6 −0.4 −0.5 −0.6 −0.4 −0.2 −0.3 −0.2 sit = (6.47) 0 0 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0 • fem.mesh.v ukazuje na ta m´ısta matice fem.mesh.p, na kter´ ych figuruj´ı body zadané uˇzivatelem. Právˇe pomoc´ı této matice lze z´ıskat prvn´ı pˇredstavu o tvaru fraktálu. Druhá ˇrádka této matice obsahuje zpravidla hodnoty NaN. umist = 1 4 6 8 (6.48)

Obr´ azek 6.5: K normále v Comsolu

6.3.2

Smˇ er norm´ aly

Podaˇr´ı-li se n´ am sestavit patch, coˇz je s ohledem na uvedená data obt´ıˇzn´ y u ´kol6 , naráˇz´ıme st´ ale na problém s normálou. Podle vztahu (6.42) máme smˇer Ez vyjádˇren 6

V´ yˇse uveden´ y pˇr´ıklad zobrazuje pouze obdéln´ıkov´ yu ´tvar se ˇctyˇrmi body, v praxi vˇsak zad´ av´ ame frakt´ al pomoc´ı mnoha polygon˚ u s typicky 4 a v´ıce hranami. Po sjednocen´ı na jeden patch se data nikterak neˇrad´ı. V Comsolu toto prov´ ad´ı j´ adro volané pomoc´ı Javy, nelze se tedy pod´ıvat jak je u ´kol ˇreˇsen tam.

73



jednoznaˇcnˇe – vˇzdy pouze ve smˇeru +z nebo -z. Normála nout je závislá na orientaci hrany (spojuje body 1 a 2 na obr. 6.6) a lze si tedy pˇredstavit dvˇe moˇznosti (ˇcervené ˇsipky). Stanovit spr´ avn´ y smˇer normály pouze s ohledem na geometrii samotného patche se doposud nepodaˇrilo7 . Krok opaˇcn´ ym smˇerem, tedy z´ıskán´ı v´ıce informac´ı o geometrii, je také nemoˇzn´ y (ukázáno v´ yˇse).

6.3.3

Vyuˇ zit´ı hodnot NaN z Comsol gridu

Jeden z alternativn´ıch postup˚ u vyuˇz´ıvá matici hodnot, kterou z´ıskáme, dotáˇzeme-li se Comsolu na hodnoty pole nad patchem. Tento návrh je inspirován nˇekter´ ymi funkcemi Matlabu, pˇresnˇeji tˇemi, které pracuj´ı s NaN hodnotou. Funkce postinterp dok´ aˇze velice rychle vrátit8 velikost elektrického pole nad patchem. Zobrazeno na obr. 6.3 vpravo. Vid´ıme, ˇze vrac´ı hodnoty v gridu. V m´ıstech, kde nen´ı hodnota zn´ ama (tj. mimo plochu patche) vrac´ı Comsol hodnoty NaN. Pro jednoduch´ y patch m˚ uˇzeme dostat napˇr´ıklad takovouto matici:   5 3.5 N aN N aN N aN −5  5 3.5 N aN N aN N aN −5    (6.49)  5 3.5 1.5 N aN N aN −5  5 3.5 1.5 −1.5 −3.5 −5 Za norm´ aln´ıch podm´ınek NaN pouze indikuje – ve shodˇe s definic´ı IEEE-745 jako Not a Number – absenci ˇreˇsen´ı v této oblasti. Z naˇseho pohledu jde v podstatˇe o redundantn´ı data, pro kter´ a vˇsak lze nalézt uplatnˇen´ı9 . Vrat’me se nyn´ı k obr. 6.6 s dvˇemi moˇzn´ ymi norm´ alami. Jedna m´ıˇr´ı pˇr´ımo do patche a druhá ven. M´ıˇr´ı-li ven, smˇeˇruje konec norm´ aly k hodnotˇe NaN, pˇr´ıp. – s uváˇzen´ım pˇr. 6.49 a faktu, ˇze Comsol bere grid pouze tˇesnˇe kolem antény – mimo matici gridu. Tato idea byla rozpracov´ ana kr´ atce pˇred dokonˇcen´ım diplomové práce, proto nen´ı testována. Jej´ı implementace by vˇsak nemusela b´ yt pˇr´ıliˇs sloˇzitá a práce s maticemi NaN hodnot je v Matlabu velmi rychl´ a. Tento postup lze vyuˇz´ıt i pro rekonstrukci tvaru patche, popisované v ˇc´ asti 6.3.1. Po z´ısk´ an´ı tˇechto proud˚ u bychom jiˇz pouze integrovali podél hranice patche C : Z 0 M= M(c)ejkr cosψ dc, (6.50) C

v´ ysledek pˇrevedli do sférick´ ych souˇradnic (transformaˇcn´ı matice (6.40)) a normovali. Integr´ al (6.50) uv´ ad´ıme s ohledem na odvozen´ı v ˇcásti 6.2 (vzorec (6.24)). Otázkou vˇsak z˚ ust´ av´ a, zda do kˇrivky C zapoˇc´ıtáváme i vnitˇrn´ı hranice patche (6 dˇer na obr. 6.7). Tyto hrany také vyzaˇruj´ı, nev´ıme vˇsak, jak moc se pod´ıl´ı na v´ ysledném tvaru diagramu. 7

Tato ˇca ´st byla konzultov´ ana nez´ avisle s nˇekolika vyuˇcuj´ıc´ımi na katedˇre matematiky – bez v´ ysledku. 8 Plat´ı do poˇctu cca. 10000 element˚ u. 9 Napˇr. je zaj´ımavé sledovat procentuéln´ı obsah NaN˚ u v IFS frakt´ alech. Tuto hodnotu vrac´ı EvalRadPattern. Zpravidla jde o 20-45%, tj. IFS frakt´ al zab´ır´ a obvykle 55-80% plochy. Pˇr´ıklad 6.49 obsahuje 33.3% NaN hodnot. Tak m˚ uˇzeme odhadnout i obsah patche. Zjemˇ nov´ an´ım gridu nav´ıc z´ısk´ ame rychlou a velice jednoduchou metodu odhadu mˇr´ıˇzkové dimenze.

74


6.4. Povrchov´ e elektrick´ e proudy

Obr´ azek 6.6: Stanoven´ı normály pomoc´ı NaN

6.4

Povrchov´ e elektrick´ e proudy

Obr´ azek 6.7: Povrchové proudy pro 3000 element˚ u, napravo rozloˇzen´ı Ez Druh´ a moˇznost, jak nalézt zdroje, je jist´ ym zp˚ usobem komplementárn´ı k moˇznosti uvedené v´ yˇse. V tomto pˇr´ıpadˇe teˇcou proudy pˇres celou plochu patche, coˇz znesnadˇ nuje v´ ypoˇcet VD, nebot’ jsme nuceni integrovat postupnˇe pˇres vˇsechny známé zdroje (tedy body plochy), a to pro vˇsechny zvolené body10 na kouli ve vzdálené oblasti. Dalˇs´ım znepˇr´ıjemnˇen´ım je pˇr´ıtomnost zemn´ı roviny (obr. 6.9). Ta p˚ usob´ı jako zrcadlo, teˇcou po n´ı tedy také proudy a mus´ıme je zahrnout do v´ ypoˇctu, coˇz lze provést n´ asoben´ım faktorem: GF = 2sin(khcos(θ)). 10

(6.51)

Tyto body jsou stanoveny na z´ akladˇe kroku pro u ´hly θ a φ; krok zad´ av´ a uˇzivatel, pˇri uv´ aˇzen´ı kompromisu mezi rychlost´ı a pˇresnost´ı.

75


6.5. Simulace v CST

Obr´ azek 6.8: Povrchové proudy, 4.mód, v´ıce element˚ u Faktor GF je v podstatˇe roven tzv. array factoru AF (AF = 2cos(khcos(θ))). Zat´ımco GF odpov´ıd´ a konfiguraci dvou protifázov´ ych dipól˚ u, faktor AF poˇc´ıtá se soufázovˇe um´ıstˇen´ ymi dip´ oly (zpravidla dipóly vedle sebe). Proud se indukuje vlivem elektrického pole Ez , coˇz lze postihnout následovnˇe: H=

1 Z0 × gradEz , jωµ

(6.52)

J = n × H.

(6.53)

Co do velikosti je proud J ≈ gradEz a s pˇrihlédnut´ım k vektorov´ ym souˇcin˚ um hledáme proudy v Matlabu n´ asledovnˇe: J(x, y) = −gradEz

(6.54)

Korelace rozloˇzen´ı elektrického pole a tekouc´ıch proud˚ u zobrazuje obr. 6.7. Poˇcet sloˇzek Ez lze v EvalRadPattern ovlivˇ novat, v´ ysledné proudy vypoˇctené z jemnˇejˇs´ıho gridu jsou na obr. 6.8.

76


6.5. Simulace v CST

Obr´ azek 6.9: Zahrnut´ı nekoneˇcné zemn´ı roviny

Obr´ azek 6.10: Vyzaˇrov´ an´ı dipólu, délka

6.5

λ 2,

3D diagram z CST MWS

Simulace v CST

Pro porovn´ an´ı s v´ ysledky v Matlabu byla provedena simulace v programu CST Microwave Studio. Zat´ımco v Matlabu poˇc´ıtáme VD obdéln´ıhového patche, v CST byl simulov´ an dr´ atov´ y dip´ ol (elektrická délka zvolena podle poˇzadovaného módu λ2 a 3 redpokl´ ad´ ame ale, ˇze velice tenk´ y dlouh´ y patch bez zemn´ı roviny vyzaˇruje ve 2 λ). Pˇ dvou rovin´ ach podobnˇe jako dipól. Obrázky 6.11 a 6.10 odpov´ıdaj´ı napájen´ı jednou proudovou p˚ ulvlnou, obr. 6.12 a 6.13 pak napájen´ı na trojnásobné frekvenci. P˚ ul vlny dlouh´ y dip´ ol m´ a HPBW 78° a smˇerovost 2.15dB. Zde vyˇsly ponˇekud odliˇsné hodnoty (zejm. HPBW o nˇekolik stupˇ n˚ u), to vˇsak nen´ı podstatné, jde nám pˇredevˇs´ım o tvar VD. Dalˇs´ı moˇznost´ı je simulace u ´zkého patche (staˇc´ı upravit pˇreddefinov´ y model). Protoˇze vˇsak CST modeluje vyzaˇrovac´ı diagram pouze pro θ ∈ (0, π) a φ ∈ (0, 2π), dosáhneme stejn´ ych v´ ysledk˚ u jako v pˇr´ıpadˇe tenkého dipólu.

77


6.6. Realizace – EvalRadPattern

Obr´ azek 6.11: Vyzaˇrován´ı dipólu, délka

λ 2,

ˇrezy CST MWS

Obr´ azek 6.12: Vyzaˇrov´ an´ı dipólu, délka 23 λ, 3D diagram z CST MWS

6.6 6.6.1

Realizace – EvalRadPattern V´ ypoˇ cet proud˚ u

Nejprve je potˇreba stanovit mˇr´ıˇzku, pro jej´ıˇz uzly bude zjiˇstˇena hodnota Ez . Jej´ı velikost m˚ uˇze stanovit uˇzivatel, a to souhrnˇe nebo zvláˇst’ pro smˇer x i y. Import rozloˇzen´ı elektrického pole z Comsolu zab´ırá v celém postupu nejv´ıce ˇcasu a je silnˇe závisl´ y na jemnosti zadaného gridu, srovnán´ı poskytuj´ı obr. 6.7 vlevo a 6.8. Z´ıskan´ a matice Ez je ˇr´ adková a proto ji pomoc´ı funkce reshape pˇrevedeme na ˇctvercovou (obdéln´ıkovou podle typu gridu). Nyn´ı stanov´ıme gradient, proudy ˇ ast tohoto postupu byla vyuˇzita i pro funkci Evaluloˇz´ıme a pˇr´ıpadnˇe vykresl´ıme. C´ InFem.

78


6.6. Realizace – EvalRadPattern

Obr´ azek 6.13: Vyzaˇrován´ı dipólu, délka 23 λ, ˇrezy CST MWS

6.6.2

Algoritmus

Vlastn´ı integraci realizujeme pomoc´ı sumace pomocn´ ych matic. K v´ ypoˇctu pˇr´ırustk˚ u pouˇz´ıv´ ame jednoduchou obdéln´ıkovou metodu (obr. 6.14), která je v tomto pˇr´ıpadˇe dostaˇcuj´ıc´ı aproximac´ı, [24]. Postupn´ ym zjednoduˇsován´ım algoritm˚ u pˇrecház´ıme z cykl˚ u for na indexaci matic, ˇc´ımˇz dramaticky zkracujeme dobu v´ ypoˇctu.

Obr´ azek 6.14: K obdéln´ıkové metodˇe Naprogramovali jsme nˇekolik variant v´ ypoˇctu. Postupnˇe se podaˇrilo zkrátit v´ ypoˇcet na cca. 5% ˇcasu. Pˇreveden´ı odvozen´ ych integrál˚ u (6.34) a (6.35) se ukázalo jako nejvˇetˇs´ı problém a tato ˇc´ ast nen´ı dokonˇcena. Zv´ yˇsené pozornosti je potˇreba dbát pˇri pˇrevodu proud˚ u a zpˇetném pˇrepoˇctu vypoˇcteného vyzaˇrovac´ıho diagramu. K v´ ysledk˚ um v´ıce v ˇc´ asti 6.7.

6.6.3

GUI

Grafické rozhran´ı je zobrazeno na obr. 6.15. Okno postrádá ovládac´ı prvky, pouze informuje o pr˚ ubˇehu v´ ypoˇctu a nastaven´ı. V kontextu optimalizace jsou ovládac´ı prvky neˇzádouc´ı. Jde o podobn´ y solver jako EvalInFem s totoˇzn´ ym zp˚ usobem pˇripojen´ı na

79


6.7. Rozbor v´ ysledk˚ u

PSO. Poˇcet operac´ı (Ops vlevo nahoˇre) ovlivˇ nuje rychlost jednoho v´ ypoˇctu. Inicializace GUIe prob´ıh´ a automaticky a v pˇr´ıpadˇe PSO optimalizace je okno i automaticky uzavˇreno.

Obr´ azek 6.15: EvalRadPattern (screenshot)

6.6.4

Optimalizace

Optimalizace VD bude plnˇe vyuˇzitelná aˇz po dokonˇcen´ı funkce OptimRadPattern, která ˇr´ıd´ı vˇsechny u ´koly spojené s v´ ypoˇctem VD a váhuje z´ıskané v´ ysledky. Pak bude moˇzné zvolit i v´ıce c´ıl˚ u s v´ ahou kaˇzdého z nich. Budeme schopni také maximalizovat vyzaˇrov´ an´ı v urˇcitém smˇeru, pˇr´ıpadnˇe omezit postrann´ı laloky. A to i pro vybran´ y mód. V´ıce k optimalizaci ve zb´ yvaj´ıc´ıch kapitolách.

6.7

Rozbor v´ ysledk˚ u

Obr´ azek 6.16: Sloˇzky Fx a Fy v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch 80


6.7. Rozbor v´ ysledk˚ u

Podle zad´ an´ı jsme analyzovali u ´zk´ y patch s rozmˇery x = 10cm, y = 0.5cm. Následuj´ıc´ı obr´ azky (6.16 a 6.17) zobrazuj´ı obdrˇzené v´ ysledky. Pro lepˇs´ı orientaci v ˇrezech je pˇriloˇzeno schéma 6.18. Pro modelov´ y pˇr´ıklad z´ıskáváme oˇcekávané tvary VD. Adekv´ atn´ı normov´ an´ı v Matlabu je ve spojitosti s vyzaˇrován´ım ponˇekud delikátn´ı problém, protoˇze jednotlivé souˇctové sloˇzky (vybuzené elementárn´ımi proud. zdroji) se svou velikosti pohybuj´ı na hranici pˇr´ıpustné pˇresnosti (eps).

Obr´ azek 6.17: VD velice u ´zkého patche Pˇri v´ ypoˇctech VD se vyskytly jisté nepˇresnosti (tvar nˇekter´ ych fraktáln´ıch kˇrivek se v˚ ubec neprom´ıtne do v´ ysledného ˇreˇsen´ı). Jejich zdroj se doposud nepodaˇrilo odhalit – m˚ uˇze j´ıt o implementaci v´ ypoˇctu, pˇrevod z kaztézsk´ ych do sférick´ ych souˇradnic (v nespr´ avnou chv´ıli), pˇr´ıpadnˇe o nepˇresné uváˇzen´ı v´ ychoz´ıch vztah˚ u.

Obr´ azek 6.18: Orientace diagram˚ u, barvy koresponduj´ı s obr. 6.17 Pˇres veˇskerou snahu se zat´ım nepodaˇrilo tuto ˇcást zcela dokonˇcit. D˚ uvodem je zejména ˇcasov´ a n´ aroˇcnost (mnoho ˇcasu zabral efektivn´ı export zdrojov´ ych dat z Comsolu11 ), ale také paraleln´ı práce na dalˇs´ıch ˇcástech (viz dodatek 12.3). Po odstranˇen´ı tˇechto drobnost´ı se v´ ypoˇcet VD stane uˇziteˇcn´ ym pomocn´ıkem pˇri anal´ yze i optimalizaci IFS patch antén. 11

P˚ uvodn´ı z´ amˇer byl v´ ypoˇcet z magnetick´ ych proud˚ u, avˇsak v cestˇe stoj´ı zmiˇ nované pot´ıˇze s urˇcen´ım smˇeru norm´ aly.

81

Kapitola 7

PSO optimalizace Zaprvé: matematika je jazykem pˇr´ırody. Zadruhé: vˇse kolem n´ as m˚ uˇze ” být reprezentov´ ano a pochopeno ˇc´ısly. Zatˇret´ı: pokud zn´ azorn´ıte ˇc´ısla jakéhokoliv systému, objev´ıte vzory. Tud´ıˇz, vzory jsou vˇsude v pˇr´ırodˇe. D˚ ukaz?“ — prolog filmu Pi (Darren Aronofsky, 1998) V mnoha vˇedn´ıch oblastech je nezbytnou souˇcást´ı návrhu systému jeho optimalizace. D˚ uvodem je prost´ y fakt, ˇze ne vˇse lze jednoduˇse spoˇc´ıtat. Pro funkci f : S −→ Rn hled´ ame bod xm ∈ S takov´ y, ˇze: f (xm ) ≤ f (x),

∀x ∈ S.

(7.1)

Hled´ ame-li maximum, invertujeme kritérium funkce. Pˇredpokládáme neprázdnou mnoˇzinu S, funkci f naz´ yv´ ame objektivn´ı funkc´ı (objective function), v souvislosti s PSO ˇcasto téˇz jako fitness funkci (fitness function, dále jen f.f.). Obecnˇe m˚ uˇzeme optimalizaˇcn´ı techniky rozdˇelit do dvou skupin: deterministické a pravdˇepodobnostn´ı. PSO (Particle Swarm Optimalization) patˇr´ı do druhé skupiny, nebot’ pozice jednotliv´ ych ˇclen˚ u hejna je spoluurˇcena náhodnˇe generovan´ ymi ˇc´ısly (v´ıce d´ ale). Tak lze efektivnˇe odolat konvergenci do lokáln´ıho minima funkce1 .

7.1 7.1.1

PSO algoritmus Historie

Optimalizace vych´ az´ı z rojové inteligence pozorované napˇr. u vˇcelstev a napodobuje jejich vzorce chov´ an´ı. V nˇekter´ ych aspektech je PSO podobná ACO (Ant Colony Optimization), v jin´ ych m˚ uˇzeme nalézt paralelu s GA (Genetic Algorithm). Ve vˇsech pˇr´ıpadech jde o samo se organizuj´ıc´ı systémy vykazuj´ıc´ı silné kolektivn´ı chován´ı. 1 Zat´ımco v pˇr´ıpadˇe deterministick´ ych metod mus´ıme vyuˇz´ıvat sloˇzit´ ych u ´prav trajektorie a penalizace.

82


7.1. PSO algoritmus

Zásadn´ı rozd´ıl vˇsak spoˇc´ıv´ a v pˇr´ıstupu k ˇclenu hejna (agentovi), nad kter´ ym jsou definov´ any urˇcité operace a disponuje ˇcást´ı znalost´ı, které má cel´ y roj. Tento princip je vysoce efektivn´ı a dosahuje skvˇel´ ych v´ ysledk˚ u. Jistˇe ne nadarmo m˚ uˇzeme stejné vzorce chov´ an´ı odhalit u hejna pták˚ u, roje vˇcel, ryb atp. Vlastn´ı algoritmus izoloval roku 1995 Eberhart na základˇe simulac´ı které provedl J. Kennedy, [45]. Od té doby vznikla celá ˇrada studi´ı a v´ yzkum˚ u, které PSO vyuˇz´ıvaj´ı. Jej´ı v´ yznam dokl´ ad´ a i fakt, ˇze byla zaˇrazena jako optimalizaˇcn´ı metoda do nové verze CST MWS. Mezi velké v´ yhody patˇr´ı zejm. rychlost, jednoduchost, robustnost, odolnost v˚ uˇci uv´ıznut´ı v lokáln´ım minimu, vyuˇzitelnost na velk´ y soubor problém˚ u a malé reˇzijn´ı n´ aroky na v´ ypoˇcet2 . Nyn´ı se vˇenujme vlastn´ımu principu PSO.

7.1.2

Princip PSO

Idea vych´ az´ı z existence urˇcitého poˇctu agent˚ u, kteˇr´ı jsou rozm´ıstˇeni nad optimalizovanou funkc´ı. Plochu funkce, tedy na které jej´ı ˇcásti budeme minimum hledat, stanov´ı uˇzivatel. Tento prostor se naz´ yvá solution space (dále jen s.s.). Situaci zobrazuje obr. 7.1. Agenti se snaˇz´ı nalézt minimum kdekoliv v s.s. (v pˇr´ıpadˇe obr. maximum, totiˇz m´ısto s nejv´ıce kvˇety). V mnoho aplikac´ıch nemá ˇreˇsen´ı mimo s.s. smysl (v naˇsem pˇr´ıpadˇe by mohla b´ yt vedle definované louky napˇr. ˇreka, kde sledovat hustoru kvˇet˚ u nem´ a smysl), proto se snaˇz´ıme udrˇzet agenty v urˇceném prostoru. Zp˚ usoby jak toho dos´ ahnout probereme pozdˇeji.

Obrázek 7.1: Princip PSO 2

U jin´ ych metod je potˇreba nav´ıc sledovat gradientn´ı informace vlastn´ı funkce. Zde si postaˇc´ıme s pozic´ı a rychlost´ı kaˇzdého agenta.

83


7.1. PSO algoritmus

Kaˇzd´ y agent si pamatuje sv˚ uj dosavadn´ı nejlepˇs´ı objev (pbest, promˇenná pnid v rovnici (7.2)). Nejlepˇs´ı objev celého hejna (gbest, pngd ) je potom t´ım nejlepˇs´ım ze vˇsech osobn´ıch objev˚ u. Chov´ an´ı jednotliv´ ych agent˚ u popisuj´ı následuj´ıc´ı dva vztahy. Nejprve uved’me v´ ypoˇcet rychlosti agenta. Rychlost je stanovena v kaˇzdé iteraci pro kaˇzdého agenta zvl´ aˇst’ a ovlivˇ nuje smˇer, j´ımˇz se pohybuje. Poˇcet sloˇzek tohoto vektoru je rovn´ y dimenzi (index d ) ˇreˇseného problému. n+1 n υid = wυid + c1 r1n (pnid − χnid ) + c2 r2n (pngd − χnid )

(7.2)

V Matlabu je potˇreba vsadit tuto rovnici do for cyklu, ˇc´ımˇz je zajiˇstˇeno procházen´ı celého hejna (index i oznaˇcuje agenty). Zabalen´ım do dalˇs´ıho for cyklu umoˇzn´ıme iterov´ an´ı celého problému od n = 1 do n = N (paralela k jednotliv´ ym generac´ım u GA). D´ ale je nutno objasnit v´ yznam zbyl´ ych promˇenn´ ych a konstant. Koeficient w je ˇcasto naz´ yván váhovac´ı faktor (weighted factor ). M˚ uˇze b´ yt po celou dobu optimalizace konstantn´ı, nebo se m˚ uˇze mˇenit (potom je zadávana dvojice parametr˚ u wmax a wmin ). Klesaj´ıc´ı koeficient zabraˇ nuje nepˇr´ıjemn´ ym oscilac´ım a zároveˇ n stimuluje hejno ke konvergenci nad nalezen´ ym globáln´ım minimem. Parametry c1 a c2 ud´ avaj´ı, nakolik bude v´ ysledná rychlost odvozena od osobn´ıho minima daného agenta a nakolik od spoleˇcného globáln´ıho min. Jejich optimáln´ı velikost bude diskutov´ ana v ˇc´ asti 7.2. Bez komentáˇre z˚ ustaly jiˇz pouze hodnoty r1n a r2n . V obou pˇr´ıpadech se jedn´ a o náhodnˇe generovaná ˇc´ısla3 s normáln´ım rozloˇzen´ım v rozsahu (0,1), pro tyto u ´ˇcely je v Matlabu k dispozici funkce rand(). V´ıme-li jiˇz, jak´ ym smˇerem a jak rychle se pohybuj´ı agenti, m˚ uˇzeme aktualizovat jejich pozici: n+1 ∆t. (7.3) χn+1 = χnid + υid id Rovnice (7.3) odpov´ıd´ a pohybové rovnic´ı. Nové um´ıstˇen´ı agenta tedy z´ıskáváme jako souˇcet koordin´ at˚ u v minulé iteraci pozmˇenˇené o pohyb v souˇcasné iteraci. Protoˇze ∆t m˚ uˇze obecnˇe nab´ yvat libovoln´ ych hodnot, lze pˇriˇradit ∆t = 1 (jednotkov´ y, diskrétn´ı ˇcas).

7.1.3

Omezen´ı agent˚ u

Vztahy uvedené v´ yˇse ˇz´ adn´ ym zp˚ usobem neomezuj´ı pohyb agent˚ u, mohou tedy opustit s.s. Z toho d˚ uvodu bylo navrˇzeno nˇekolik technik, které zajist´ı, aby se agenti nerozbˇehli daleko za hranice s.s. Mezi nejcitovanˇejˇs´ı a nejuˇz´ıvanˇejˇs´ı patˇr´ı následuj´ıc´ı, [43]: n+1 • Omezen´ı maxim´ aln´ı rychlosti agenta (υid )

• Ohraniˇcuj´ıc´ı zdi: 1. Absorbˇcn´ı zed’ (Absorbing Wall, obr. 7.2 a) 2. Odrazn´ a zed’ (Reflecting Wall, obr. 7.2 b) 3

Pr´ avˇe zde je ukryta s´ıla PSO, nebot’ do algoritmu zan´ aˇs´ı jist´ y stupeˇ n nejistoty.

84


7.2. Optim´ aln´ı parametry PSO

3. Neviditeln´ a zed’ (Invisible Wall, obr. 7.2 c) Prvn´ı uveden´ a moˇznost, tedy omezen´ı rychlosti agent˚ u, byla vyuˇzita napˇr. v [48]. Rychlost je omezena i uvnitˇr s.s., coˇz nen´ı vhodné. Lepˇs´ım ˇreˇsen´ım je pouˇzit´ı jedné ze zd´ı. Ty popisuj´ı zp˚ usob, jak´ ym je naloˇzeno s agentem, pokud pˇrekroˇc´ı povolené hranice. Neovlivˇ nuj´ı pr˚ ubˇeh optimalizace uvnitˇr s.s. a nav´ıc, pokud jiˇz agent opustil prohled´ avan´ y prostor, ho efektivnˇe nasmˇeruj´ı zpˇet.

Obr´ azek 7.2: Typy zd´ı pouˇz´ıvané v PSO V pˇr´ıpadˇe absorbˇcn´ı zdi je s.s. lemován pomysln´ ym mantinelem. Ta sloˇzka rychlosti, kter´ a vede ven ze s.s. je nulována, agent se tedy pohybuje pouze podél ohraniˇcen´ı. Odrazn´ a zed’ uprostˇred obrázku 7.2 téˇz obsahuje stˇenu. Nam´ısto vynulov´ an´ı je vˇsak sloˇzce rychlosti v neˇzádnouc´ım smˇeru obrácena orientace (znaménko) a agent se tedy od stˇeny odraz´ı. Tyto dvˇe zdi vyuˇz´ıvaj´ı stejného principu, a to u ´pravy rychlosti4 . Uˇzit´ım odrazné zdi umoˇzn´ıme agent˚ um vyletˇet ze s.s., ovˇsem po jeho opuˇstˇen´ı nen´ı vyhodnocov´ ana f.f. To zapˇr´ıˇc´ın´ı pozvoln´ y návrat5 agent˚ u zpˇet do s.s. Velkou pˇrednost´ı je v´ yrazn´ a u ´spora v´ ypoˇcetn´ıho ˇcasu, ponˇevadˇz jsou vyhodnocována pouze ta schémata, o kter´ a se skuteˇcnˇe zaj´ımáme. I z tohoto d˚ uvodu se jedná o pravdˇepodobnˇe nejlepˇs´ı ˇreˇsen´ı pro vˇetˇsinu inˇzen´ yrsk´ ych problém˚ u. Na z´ avˇer zrekapitujme d˚ uleˇzité parametry PSO optimalizace v tabulce 7.1.3.

7.2

Optim´ aln´ı parametry PSO

V´ ysledek, stejnˇe tak jako rychlost, s jakou je ˇreˇsen´ı nalezeno, lze v´ yznamn´ ym zp˚ usobem ovlivnit vhodnou volbou parametr˚ u z tabulky 7.1. Konkrétnˇe se budeme zab´ yvat poˇctem iterac´ı a velikost´ı hejna, a také koeficienty c1 a c2 . Pr˚ ubˇeh jednotliv´ ych optimalizac´ı je v podstatˇe náhodn´ y a jakékoliv u ´daje mus´ıme z´ıskat jako pr˚ umˇer velkého poˇctu opakov´ an´ı (zpravidla 50). Celá procedura se tak stává ˇcasovˇe nároˇcnˇejˇs´ı. Proto d´ ale pracujeme pouze s analytick´ ymi funkcemi. 4

Korektn´ı je term´ın pˇr´ırustkov´ y vektor, ovˇsem zaveden´ım jednotkového ˇcasu tento vektor spl´ yv´ a s aktu´ aln´ı rychlost´ı. 5 Animace zachycuj´ıc´ı chov´ an´ı hejna s touto zd´ı je na pˇriloˇzeném nosiˇci.

85


Parametr c1 c2 wmin wmax ∆t iterace poˇcet agent˚ u pni png


pozn´ avac´ı parametr (cognitive rate) soci´ aln´ı parametr (social rate) v´ ahovac´ı koeficient (na konci optimalizace) v´ ahovac´ı koeficient (na zaˇcátku optimalizace) ˇcasov´ a konstanta (nejˇcastˇeji volena jednotková, tj. ∆t = 1) poˇcet iterac´ı (vliv velikosti iterac´ı viz n´ıˇze) poˇcet agent˚ u nad s.s. (viz n´ıˇze) (souˇcasné) individiáln´ı nalezené minimum agenta (fmin (xi )) (souˇcasné) globáln´ı nalezené minimum agenta fmin (xi ) Tabulka 7.1: Shrnut´ı parametr˚ u

Nejprve uved’me grafické pr˚ ubˇehy. Jejich u ´kolem nen´ı zobrazit nalezenou hodnotu, sledujeme zde pr˚ ubˇeh funkˇcn´ıch hodnot v ˇcase. Tento typ graf˚ u je v anglické literatuˇre oznaˇcov´ an jako cost funkce (cost function, dále c.f.) a dává dobrou pˇredstavu o pr˚ ubˇehu optimalizace. Zaj´ımavé jsou zejména r˚ uˇzové a fialová kˇrivka. Na nich vid´ıme, ˇze v pˇr´ıpadˇe zcela nevhodnˇe nastaven´ ych parametr˚ u nekonverguje hejno dostateˇcnˇe. N´ asleduj´ıc´ı tabulky demonstruj´ı zásadn´ı vliv parametr˚ u c1 a c2 na koneˇcn´ y ´ eˇsnost algoritmu testujeme podm´ınkou, zda je nalezená v´ ysledek optimalizace. Uspˇ hodnota menˇs´ı neˇz −176.1375 (Levy5, hodnota bl´ızká známému globáln´ımu minimu6 , viz [46]). Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuˇstˇeno, 20 agent˚ u iterace u ´spˇeˇsnost [%] chyb celkov´ y ˇcas [s] evalFun c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 50 5% 48/50 187 1000 100 78% 11/50 378 2000 150 92% 4/50 571 3000 300 100% 0/50 1258 6000 500 100% 0/50 2308 10000 c1 = 0.5, c2 = 0.6, wmin = 0.4, wmax = 0.9 100 80% 10/50 387 2000 c1 = 1.0, c2 = 1.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 100 92% 4/50 387 2000 PC: HP Compaq nx6125 (Turion64 1.86GHz, 768MB 333MHz) Tabulka 7.2: Success rate funkce Levy5 (se zmˇenou iterace), 20 agent˚ u 6 V´ıce o funkci Levy5 uvedeme v kap. 8., kde bude pops´ an i PSOptimizer, v nˇemˇz byly obdrˇzeny tyto v´ ysledky.

86



Obrázek 7.3: Optimalizace funkce Levy5 pro r˚ uzná c1 a c2 (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) Z aplikaˇcn´ıho hlediska jsou zaj´ımavé dva u ´daje. Prvn´ı je ten, kdy je u ´spˇeˇsnost poprvé rovna 100%, tedy chv´ıle, kdy optimalizace vˇzdy najde správn´ y v´ ysledek. Tento moment lze urˇcit pouze pro jiˇz zmapované funkce. Druh´ y zaj´ımav´ y v´ ysledek 7 je ten s nejvyˇsˇs´ı u ´ˇcinnost´ı v nejkratˇs´ım moˇzném ˇcase . Vid´ıme tedy, ˇze u ´spˇeˇsnost funkce lze v´ yznamn´ ym zp˚ usobem zv´ yˇsit u ´pravou parametr˚ u (c1 , c2 , ale i dalˇs´ımi, kter´ ymi se zde nebudeme zab´ yvat), coˇz popisuj´ı nˇekteré studie8 . Na základˇe v´ ysledk˚ u testov´ an´ı pracujeme s hodnotami c1 = c2 = 2, pˇr´ıp. c1 = 0.5, c2 = 2. Bohuˇzel optimalizované funkce maj´ı r˚ uzn´ y charakter, a proto jsou tyto parame7

V pˇr´ımé u ´mˇeˇre odpov´ıd´ a pˇr´ıpadu s nejmenˇs´ım celkov´ ym poˇctem vyhodnocen´ı fitness funkce (v tabulce evalFun). 8 Z poˇc´ atku, v roce 1998 Kennedy doporuˇcoval hodnoty c1 = 2 a c2 = 2, ovˇsem mnohdy se lepˇs´ıch v´ ysledk˚ u dosahovalo s c1 = 0.5. V souˇcasné dobˇe se obecnˇe respektuje podm´ınka c1 + c2 ≤ 4 (Carlisle a Dozier, 2001). V´ıce napˇr. [46].

87



Obrázek 7.4: Optimalizace funkce Levy5 pro r˚ uzná c1 a c2 (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuˇstˇeno, 45 agent˚ u iterace u ´spˇeˇsnost [%] chyb celkov´ y ˇcas [s] evalFun c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 50 16% 42/50 370 2250 100 98% 1/50 711 4500 150 98% 1/50 1083 6750 300 100% 0/50 2328 13500 500 100% 0/50 > 4000 22500 c1 = 0.5, c2 = 0.6, wmin = 0.4, wmax = 0.9 50 72% 14/50 362 2250 c1 = 1.0, c2 = 1.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 50 90% 5/50 363 2250 PC: HP Compaq nx6125 (Turion64 1.86GHz, 768MB 333MHz) Tabulka 7.3: Success rate funkce Levy5 (se zmˇenou iterace), 45 agent˚ u

try voleny zpravidla na z´ akladˇe doporuˇcen´ı v referenˇcn´ı literatuˇre. Pro u ´plnost uved’me i u ´ˇcinnost optimalizace pˇri zmˇenˇe poˇctu agent˚ u (tabulky 7.2, 7.3 a 7.4). Poˇcet agent˚ u je zpravidla pevnˇe stanoven (nejˇcastˇeji 20-25 jedinc˚ u). Zv´ yˇsit jejich poˇcet je doporuˇceno u problém˚ u, které jsou definovány na velmi rozlehlém s.s., anebo (zejména) pokud prohled´ avan´ y prostor obsahuje mnoho lokáln´ıch minim. Mnohem ˇcastˇeji je v pˇr´ıpadˇe problém˚ u nav´ yˇsen poˇcet iterac´ı, pˇr´ıpadnˇe jsou pozmˇenˇeny parametry c1 a c2 .

88



Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuˇstˇeno, 150 iterac´ı agent˚ u u ´spˇeˇsnost [%] chyb celkov´ y ˇcas [s] evalFun c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 5 44% 28/50 84 750 10 64% 18/50 121 1500 20 92% 4/50 198 3000 30 100% 0/50 276 4500 45 100% 0/50 370 6750 PC: 64bit Core2Quad 9450 (2.66GHz),12MB cache, 4GB 1333MHz Tabulka 7.4: Success rate funkce Levy5 (podle poˇctu agent˚ u), 150 agent˚ u Funkce Levy5 (10x10 s.s.) 50x spuˇstˇeno, 50 iterac´ı agent˚ u u ´spˇeˇsnost [%] chyb celkov´ y ˇcas [s] evalFun c1 = 2.0, c2 = 2.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 5 0% 50/50 32 250 10 0% 50/50 42 500 20 2% 49/50 65 1000 30 6% 47/50 88 1500 45 12% 44/50 118 2250 c1 = 0.5, c2 = 0.6, wmin = 0.4, wmax = 0.9 45 76% 12/50 160 2250 c1 = 1.0, c2 = 1.0, wmin = 0.4, wmax = 0.9 45 92% 4/50 154 2250 c1 = 1.5, c2 = 1.5, wmin = 0.4, wmax = 0.9 45 90% 5/50 165 2250 PC: 64bit Core2Quad 9450 (2.66GHz),12MB cache, 4GB 1333MHz Tabulka 7.5: Success rate funkce Levy5 (podle poˇctu agent˚ u), 50 iterac´ı

V omezeném rozsahu lze pracovat i s hodnotami wmin a wmax . Pokud chceme vyuˇz´ıt maxim´ aln´ıho rozletu hejna aˇz do konce optimalizace, ponecháme obˇe hodnoty stejnˇe vysoké. Zpravidla vˇsak poˇzadujeme, aby po hrubém nalezen´ı ˇreˇsen´ı roj hledal kolem tohoto m´ısta d˚ ukladnˇeji. K tomuto u ´ˇcelu je vhodné nastaven´ı hodnot wmin = 0.4 (nejménˇe vˇsak 0.1) a wmax = 0.9 (nejv´ yˇse 1.2). Tak efektivnˇe omez´ıme i ˇcasté oscilace agent˚ u. Pro hlubˇs´ı porozumnˇen´ı mechanism˚ um PSO je vhodné zavést takové indikátory, které by byly mˇeˇritelné u vˇsech optimalizovan´ ych funkc´ı. Tento poˇzadavek splˇ nuje rozptyl, zaveden´ y n´ asledovnˇe: Pag n n i=1 (kpg k − kpi k) σ= , (7.4) ag 89



Obrázek 7.5: Poˇcet agent˚ u mimo s.s. pro Levy5 a Rosenbrockovu funkci (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) kde ag je celkov´ y poˇcet agent˚ u. Tak lze pro stejnˇe velké s.s. vzájemnˇe porovnávat a sledovat rozlet hejna nez´ avisle na zkoumané funkci. Zaj´ımavá hodnota v kaˇzdé iteraci je i poˇcet agent˚ u mimo s.s. Pomoc´ı n´ı m˚ uˇzeme odhadnout jak ˇreˇsen´ı konverguje a t´ım i efektivitu hejna.

Obrázek 7.6: Rozptyl agent˚ u, Levy5 a Rosenbrockova funkce (20 agent˚ u, 150 iterac´ı) Na z´ avˇer kr´ atce okomentujme obrázky 7.5 a 7.6. Grafy jsme z´ıskali na základˇe hodnot exportovan´ ych z PSOPost, postprocessingového nástroje, kter´ y pˇredstav´ıme v následuj´ıc´ı kapitole. Ten umoˇzn ˇuje vykreslit hladiny funkce s nalezen´ ym globáln´ım minimem a v animaci pohyb jednotliv´ ych agent˚ u. Rovnˇeˇz m˚ uˇzeme sledovat hodnoty rozptylu a poˇcet agent˚ u mimo s.s. Na prvn´ı pohled je patrné, ˇze – aˇc pro zcela rozd´ılné funkce – jsou si pr˚ ubˇehy dosti podobné a napov´ıdaj´ı, jak´ ym zp˚ usobem se pohybuje hejno bˇehem optimalizace. M˚ uˇze b´ yt pˇredmˇetem dalˇs´ıho v´ yzkumu, zda lze této z´ avislosti vyuˇz´ıt k zefektivnˇen´ı PSO. Tuto domnˇenku jsme publikovali v [38], dosud vˇsak nebyl prostor j´ı hloubˇeji prozkoumat.

90


7.3

7.3. Stretched PSO

Stretched PSO

Klasické pojet´ı PSO je dostateˇcnˇe efektivn´ı, pˇresto existuj´ı funkce (Corana 4D, XOR, Freudenstein-Rothova a dalˇs´ı), kde selhává. K. E. Parsopoulos a M. N. Vrahatis v [47] navrhli postup, kter´ y dosahuje i pro problematické funkce stoprocentn´ı u ´ˇcinnosti. Nejvˇetˇs´ım problémem zm´ınˇen´ ych funkc´ı je existence mnoha lokáln´ıch minim. Ty stoj´ı v cestˇe agent˚ um pˇri hled´ an´ı globáln´ıho minima9 . Pro dalˇs´ı u ´ˇcely si m˚ uˇzeme lokáln´ı minimum popsat jako nejmenˇs´ı hodnotu funkce f v okol´ı B bodu x: f (x) ≤ f (x),

∀x ∈ B.

(7.5)

A pr´ avˇe vˇsechny body x krom globáln´ıho minima si pˇrejeme eliminovat. Ukazuje se, ˇze stretching technika je vhodn´ ym nástrojem na potlaˇcen´ı tˇechto (vedlejˇs´ıch) minim. V podstatˇe jde o transformaci pˇredpisu f (x), která je provedena ve dvou kroc´ıch. Ihned po objeven´ı lok´ aln´ıho minima podle (7.5) pˇrevedeme funkci podle vztah˚ u: G(x) = f (x) + γ1 kx − xk sign f (x) − f (x) + 1 (7.6) a

sign f (x) − f (x) + 1 H(x) = G(x) + γ2 , tanh µ G(x) − G(x)

(7.7)

kde γ1 , γ2 a µ jsou libovolnˇe zvolené vysoké konstantn´ı hodnoty a sign(x) splˇ nuje podm´ınku:   1 pro x > 0 0 pro x = 0 (7.8) sign(x) =  −1 pro x < 0 Funkci (7.8) m˚ uˇzeme numericky modelovat pomoc´ı vztahu10 :

Obr´ azek 7.7: Funkce Levy5: bez transformace, s G(x) a po H(x), zdroj: [47] 9

Pochopitelnˇe lze situaci ˇreˇsit zv´ yˇsen´ım poˇctu agent˚ u a iterac´ı, ale tento postup nen´ı pˇr´ıliˇs efektivn´ı, resp. jeho efektivita strmˇe kles´ a s rostouc´ı sloˇzitost´ı funkce.

91


sign(x) ≈ log sig(x) =

7.4. GSO algoritmus

λx 2 ∼ tanh , = 2 1 + exp−λx

(7.9)

pˇr´ıpadnˇe m˚ uˇzeme volat funkci sign v Matlabu. Testy SPSO pro funkci Levy5 dopadly podle [46] o 10-20% lépe. Jak vid´ıme na obr. 7.7 uprostˇred (po transformaci G(x), podle (7.6)) a vpravo (po transformaci G(x) i H(x), podle (7.7)), lok´ aln´ı minima jsou roztaˇzena a rozmazána, zat´ımco globáln´ı minimum z˚ ustalo nedotˇceno. V takto upravené krajinˇe“ se mohou agenti ” pohybovat mnohem snadnˇeji. Princip SPSO pouze nastiˇ nujeme pro eventueln´ı budouc´ı vyuˇzit´ı. V souˇcasné podobˇe PSOptimizeru nen´ı stretched PSO vyuˇz´ıváno – vˇsechny dosavadn´ı u ´koly spojené s optimalizac´ı patch antén se ukázaly dostateˇcnˇe ˇreˇsitelné i pomoc´ı klasického PSO v kombinaci s neviditelnou zd´ı.

7.4

GSO algoritmus

V roce 2006 byla publikov´ ana práce [50], zab´ yvaj´ıc´ı se moˇznost´ı spojit GA a PSO. Tato metoda je oznaˇcov´ ana jako GSO (Genetical Swarm Optimization).

Obr´ azek 7.8: Princip GSO optimalizace, na základˇe [50] Motivac´ı bylo mj. zjiˇstˇen´ı, ˇze v pˇr´ıpadˇe mimoˇrádnˇe sloˇzit´ ych funkc´ı (10, 20 i v´ıce rozmˇer˚ u s.s.) kles´ au ´ˇcinnost PSO i GA k nule. Jejich spojen´ı do GSO vˇsak poskytuje potˇrebnou flexibilitu a rapidnˇe zvyˇsuje u ´spˇeˇsnost nalezen´ı globáln´ıho minima. V kaˇzdé iteraci jsou agenti novˇe vyb´ıráni a upraveni pomoc´ı PSO nebo GA. GSO je vhodné m´ıt do budoucna na pamˇeti, nebot’ s poˇzadavkem na souˇcasnou optimalizaci rezonanˇcn´ı frekvence a vyz´ aˇrovac´ıho diagramu jsme nuceni na jedné stranˇe zvˇetˇsovat rozlohu s.s., na druhé stranˇe se vzr˚ ustaj´ıc´ım poˇctem podm´ınek i poˇcet rozmˇer˚ u s.s. V d˚ usledku se tak optimalizace stává o ˇrád obt´ıˇznˇejˇs´ı. Realizace GSO je nen´ aroˇcné d´ıky tomu, ˇze pouze sluˇcuje dva jiˇz známe postupy, viz obr. 7.8. Jako nejvˇetˇs´ı obt´ıˇz se jev´ı vytvoˇren´ı vlastn´ıho GA optimalizátoru, kter´ y komunikuje s PSO a zvolen´ı vhodného formátu, s kter´ ym GA i PSO dokáˇz´ı pracovat. 10

Rovnice (7.9) je ˇsiroce vyuˇz´ıv´ ana i v oblasti umˇel´ ych neuronov´ ych s´ıt´ı.

92

Kapitola 8

PSOptimizer Princip PSO byl vysvˇetlen v pˇredcházej´ıc´ı kapitole, zde se zamˇeˇr´ıme na v´ yvoj optimaliz´ atoru. Mezi praktick´ ymi poˇzadavky byla na poˇcátku prioritnˇe rychlost algoritmu, jeho univerz´ alnost, moˇznost mˇenit jednotlivé parametry (iterace, poˇcet agent˚ u atd.), d´ ale schopnost rekurzivn´ıho volán´ı1 , ˇreˇsitelnost problém˚ u libovolné dimenze a v neposledn´ı ˇradˇe stabilita (zdaleka ne vˇsechny scénáˇre jsou ˇreˇsitelné – m˚ uˇze j´ıt napˇr. o fyzik´ aln´ı omezen´ı v souvislosti s optimalizac´ı antény). Vyˇzadujeme moˇznost shrnout v´ıce prvk˚ u do jedné podm´ınky a t´ım je ”spˇráhnout”, aby byly optimalizov´ any nejednou (napˇr. vˇsechna 4 ramena fraktálu maj´ı m´ıt stejnou v´ ysledkou hodnotu). Toto se podaˇrilo zaveden´ım PsoData struktury a speciáln´ı u ´pravou PSO algoritmu. Optimaliz´ ator tak umoˇzn ˇuje pracovat zcela univerzálnˇe. Dokonˇcen´ y PSOptimizer respektuje vˇsechny v´ yˇse uvedené poˇzadavky. Nyn´ı se vˇenujme jeho popisu, testov´ an´ı a uk´ azce zad´ avan´ı jednotliv´ ych u ´loh.

8.1

Implementace

Aplikace je stejného typu jako ostatn´ı solvery (EvalInFem, EvalRadPattern). Obsahuje pouze minimum ovl´ adac´ıch prvk˚ u. Pro jednotlivé ˇc´ asti jsme uˇzili lokáln´ıch funkc´ı, fitness funkce je ˇreˇsena separátnˇe (definuje ji uˇzivatel pro konkrétn´ı problém). V inicializaˇcn´ı ˇcásti je ovˇeˇreno, jsouli hodnoty spr´ avnˇe zad´ any, je stanovena poˇcáteˇcn´ı generace agent˚ u a vykresleno grafické rozhran´ı. Nen´ı-li zad´ an poˇcet iterac´ı a agent˚ u, jsou dosazeny hodnoty 50 resp 25. Cel´ y algoritmus pˇrehlednˇe shrnuje tab. 8.1. Poˇcet optimalizaˇcn´ıch podm´ınek2 udává rozmˇer s.s., ale i dimenzi jednotliv´ ych agent˚ u. PsoData struktura m˚ uˇze obsahovat i data, která se neoptimalizuj´ı (to je pˇr´ıklad i FRC kol´ aˇze), je proto nutné data pˇreskupit. To je u ´kol funkce callFF v tabulce 8.1. 1

N´ avratov´ a hodnota funkce mus´ı obsahovat nejen optimalizované u ´daje, ale i informace o nastaven´ı PSO, jednotliv´ ych generac´ıch, konvergenci ke glob´ aln´ımu minimu atd. 2 Spˇraˇzené podm´ınky se poˇc´ıtaj´ı jako jedna, nebot’ se jejich hodnota mˇen´ı spoleˇcnˇe.

93


8.2. PsoData form´ at

Obr´ azek 8.1: GUI PSOptimizeru GUI programu je navrˇzen tak, aby byl jednoduch´ y3 , ale zároveˇ n podrobnˇe informoval o st´ avaj´ıc´ım stavu optimalizace. Text v levém rámu zobrazuje nastavené v´ ychoz´ı parametry, v pravé ˇc´ asti potom aktuáln´ı pr˚ ubˇeh. Stupnice na ose y grafu zobrazuj´ıc´ıho cost funkci je v (zde názornˇejˇs´ım) logaritmickém mˇeˇr´ıtku. Tlaˇc´ıtko Exit ukonˇ cuje optimalizaci, nejdˇr´ıve vˇsak po dokonˇcen´ı dané iterace. I v tomto pˇr´ıpadˇe se vrac´ı v´ ysledky, kter´ ych bylo dosaˇzeno4 . Z´ akladn´ı tvar vol´ an´ı funkce je: res = PSOptimizer(PsoData,’fitnessFunction’,ag,it), kde ag je poˇcet agent˚ u, it poˇcet iterac´ı a ˇretˇezec fitnessFunction obsahuje jméno mfile souboru s fitness funkc´ı. Promˇenná PsoData popisuje co a jak´ ym zp˚ usobem se má optimalizovat.

8.2

PsoData form´ at

Obsahuje n´ asleduj´ıc´ı pole: PsoData.data1 = [ ] PsoData.data2 = [ ] PsoData.data3 = [ ] PsoData.type = ’psopt’ PsoData.rank PsoData.bound{} = [ ] PsoData.cond{} = [ ] 3 4

Pokud je program vol´ an opakovanˇe, nezatˇeˇzuje PC. Tak nedojde ke ztr´ atˇe v´ ysledk˚ u ani po pˇreruˇsen´ı nˇekolikahodinové optimalizace.

94


krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok krok

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16.

krok 1. krok 2. krok 3.

8.2. PsoData form´ at

PSOptimizer kontrola vstupn´ıch parametr˚ u inicializace GUI tvorba hejna (náhodná pozice i rychlost vˇsech agent˚ u) vyhodnocen´ı 1. iterace for i = 1:iteraciCelkem u ´prava wactual update rychlosti agent˚ u update pozice agent˚ u for j = 1:agent˚ uCelkem if agent(j) ∈ s.s. callFF end end update pBest, gBest v´ ypis informac´ı end callFF uprav´ı PsoData podle aktuáln´ıch agent˚ u vol´ a f.f. s aktuáln´ımi daty (PsoData) agent˚ um je pˇriˇrazen v´ ysledek f.f. Tabulka 8.1: Principiáln´ı schéma PSOptimizeru

Pˇrednˇe do funkce vstupuj´ı 3 sloty (PsoData.data1-3), ve kter´ ych se mohou um´ıstit optimalizovan´ a data. Velikost matic data1-3 je libovolná, vˇzdy vˇsak mus´ı b´ yt vˇsechny tˇri matice definov´ any (alespoˇ n jako prázdné). Poˇcet slot˚ u vol´ıme tak, aby byl dostateˇcn´ y pro ˇreˇsen´ı IFS antén (body základn´ıho u ´tvaru, transformace a iteraˇcn´ı matice). Dalˇs´ım polem je PsoData.type, které je fixnˇe zadáno string ˇretˇezcem psopt. Pole je potˇreba pˇri identifikaci pˇr´ıchoz´ıch dat uvnitˇr funkce. PsoData.rank je nepovinn´ y u ´daj, jenˇz koresponduje s dimenz´ı optimalizace. Na závˇer zde figuruj´ı pole PsoData.bound, ve kterém jsou uloˇzeny hranice5 definuj´ıc´ı s.s. a také PsoData.cond, indexuj´ıc´ı optimalizované parametry6 . Matice PsoData.cond m˚ uˇze m´ıt libovoln´ y poˇcet ˇrádek. Protoˇze kaˇzdá ˇrádka oznaˇcuje jednu optimalizovanou pozici v jedné z matic, lze takto svázat do jedné dimenze (PsoData.cond{dim}) nˇekolik optimalizovan´ ych hodnot. Takové hodnoty jsou potom v r´ amci PSO povaˇzovány za jeden u ´daj a jsou optimalizovány spoleˇcnˇe. 5

Zp˚ usob z´ apisu: ProData.bound{dimenze}= [min max] pro danou dimenzi.   a1 b1 c1   6 a ˇc´ıslu daForm´ at je n´ asleduj´ıc´ı: PsoData.cond{dimenze} =  a2 b2 c2 , kde a odpov´ıd´ .. .. .. . . . tového slotu 1-3, b ukazuje na ˇra ´dku daného slotu, c potom znaˇc´ı pozici na ˇra ´dce (ˇc´ıslo sloupce).

95


8.3. Fitness funkce, testy

Tento postup je ide´ aln´ı v pˇr´ıpadˇe, ˇze potˇrebujeme mezi nˇekter´ ymi hodnotami zachovat fixn´ı pomˇer (jejich rovnost). Uveden´ ym postupem zajist´ıme, ˇze do funkce vstupuj´ı vˇsechna uˇzivatelsk´ a data (fitness funkce tedy m˚ uˇze s tˇemito daty komplexnˇe pracovat) a nav´ıc ucelen´ y u ´daj co a v jak´ ych mez´ıch se má optimalizovat. Tento pˇr´ıstup ˇsetˇr´ı ˇcas a umoˇzn ˇuje optimalizovat pravidelné u ´tvary.

8.3

Fitness funkce, testy

Strukturu PsoData mus´ıme zohlednit pˇri návrhu jakékoliv fitness funkce. Nikoliv pouze hlaviˇcky, ale i pˇri zpracován´ı dat zaslan´ ych PSO algoritmem na ohodnocen´ı. Definice funkce by mˇela odpov´ıdat následuj´ıc´ımu vzoru: function fitnessValue = fitnessFunction(sign, tested data) String sign m´ a vˇzdy hodnotu ’eval’, ˇcasto ho vyuˇz´ıváme pro oznaˇcen´ı volán´ı7 . Promˇenn´ a fitnessValue vrac´ı zpˇet hodnotu, podle které se celá roj pohybuje (v pˇr´ıpadˇe EvalRadPattern rezonanˇcn´ı frekvenci dominantn´ıho módu). Uvnitˇr tested data nalezneme sloty .data1-3 podobnˇe jako v PsoData, v tomto pˇr´ıpadˇe obsahuj´ı aktu´ aln´ı hodnoty urˇcené k vyhodnocen´ı funkce (napˇr. základn´ı u ´tvar, optimalizované transformace a iterace). D´ıky vol´ an´ı extern´ıho mfilu, m˚ uˇzeme vyuˇz´ıvat PSOptimizer pro libovolné u ´ˇcely – postaˇc´ı dodrˇzet pˇredepsanou hlaviˇcku f.f. (mfile) a data zadávat ve formˇe PsoData8 . Vzhledem k neexistenci ˇrádného PSO toolboxu v Matlabu, m˚ uˇze b´ yt vyuˇzit´ı PSOptimizeru dobrou volbou.

Testovan´ e funkce Pˇred vyuˇzit´ım k n´ avrhu patch antén je nutné ovˇeˇrit funkˇcnost PSOptimizeru na analytick´ ych funkc´ıch, u kter´ ych známe v´ ysledek (tj. globáln´ı minima). Algoritmus byl provˇeˇren n´ asleduj´ıc´ımi funkcemi: • Kvadratick´ a funkce • Rosenbrockova funkce • Funkce Levy No.5 Funkce jsou rozd´ılnˇe ˇclenité (krajina, kterou se pohybuj´ı agenti) a jsou dostateˇcnˇe pops´ any v literatuˇre, lze tedy verifikovat z´ıskané hodnoty. Algoritmus byl vyuˇzit i pro optimalizaci jin´ ych funkc´ı (Levy No.3, Rastigrinova funkce . . . ), ve vˇsech pˇr´ıpadech PSO podalo oˇcek´ avané v´ ysledky. Metodika vyuˇzitá pro hodnocen´ı v´ ysledk˚ u optimalizace respektuje obvyklé postupy ([46] a dalˇs´ı). 7

Napˇr. EvalInFem nebo EvalRadPattern podle nˇej poznaj´ı, ˇze jde o optimalizaci a nevyp´ınaj´ı na konci grafick´ a okna, jinak nakl´ adaj´ı i s chybami. 8 Vyuˇzit´ı PSO v antenn´ı technice je obrovské. Od optimalizace z´ aˇriˇc˚ u, pˇres u ´pravy ˇcoˇcek, reflektor˚ u a ohnisek, aˇz po komplexn´ı optimalizace cel´ ych systém˚ u.

96



Funkce 1 (kvadratick´ a) fkv (x) = x2 − 10

(8.1)

Na této funkci demonstrujeme vliv neviditelné zdi9 . Pokud s.s. zvol´ıme pouze v rozsahu h2, 5i, bude nalezené minimum rovno -6, a to i pˇres to, ˇze jednotliv´ı agenti mohou kr´ atkodobˇe proniknout i bl´ıˇze k 0 na ose x. Situace je znázornˇena na obr. 8.2.

Obr´ azek 8.2: Optimalizace kvadratické funkce v rozsahu x ∈ h2, 5i

Funkce 2 (Rosenbrockova) f (x) =

N X

100(xi+1 − x2i )2 + (xi − 1)2

(8.2)

i=1

fro (x, y) = 100(y − x2 )2 + (x − 1)2

(8.3)

Funkce se ˇsiroce uplatˇ nuje ve vˇetˇsinˇe optimalizaˇcn´ı test˚ u. Pro svou monotonii (obr. 8.3) lze vyuˇz´ıt i gradientn´ı metody, nebot’ nehroz´ı uv´ıznut´ı v lokáln´ım minimu. Glob´ aln´ı mininum m˚ uˇzeme nalézt na souˇradnic´ıch x = 1, y = 1 a hodnota f (xmin , ymin ) = 0. Podle rovnice (8.2) je funkce definována v [43], vyuˇzijeme vˇsak jednoduˇsˇs´ıho tvaru (8.3). Obr. 8.4 ukazuje, jak rychle klesá chyba, s kterou je nalezeno globáln´ı minimum. Tuto rychlost lze v´ yraznˇe ovlivnit nastaven´ım parametr˚ u wmin a wmax . Pokud váhovac´ı koeficient s iterac´ı klesá, klesá také pˇr´ıspˇevek novˇe vypoˇctené rychlosti a agent je sp´ıˇse udrˇzov´ an v souˇcasné pozici. Eliminujeme t´ım oscilace, pˇri kter´ ych agenti kmitaj´ı kolem nalezeného minima. 9

Neviditeln´ a zed’ se uplatˇ nuje nepˇr´ımo t´ım, ˇze neumoˇzn´ı vyhodnotit moˇzné niˇzˇs´ı minimum v rozsahu h−2, 2i. Vybran´ a pole PsoData pro tuto optimalizaci jsou rovna: PsoData.rank = 1; PsoData.cond{1} = [1 1 1]; PsoData.bound{1} = [2 5].

97



Obr´ azek 8.3: Rosenbrockova funkce, s.s. ∈ h−10, 10i × h−10, 10i a cost funkce

Obr´ azek 8.4: Konvergence ke skuteˇcnému minimu Rosenbrockovy funkce Funkce 3 (Levy No.5) fl5 (x, y) =

5 X i=1

5 X i cos (i−1)x+i j cos (j+1)y+j +(x+1.42513)2 +(y+0.80032)2 j=1

(8.4) Na prostoru h−2, 2i × h−2, 2i m˚ uˇzeme nalézt 760 lokáln´ıch a jedno globáln´ı minimum (souˇradnice x = −1.3068, y = −1.4248). Velikost s.s. je u ´myslnˇe zvˇetˇsena na h−10, 10i × h−10, 10i (jako u Rosenbrockovy f.). Tato funkce dobˇre testuje odol´ eˇsnost optimalizace pro r˚ nost v˚ uˇci uv´ıznut´ı agent˚ u v lok´ aln´ıch extrémech. Uspˇ uzná nastaven´ı ukazuj´ı tab. 7.2 aˇz 7.5 a obr. 8.5. Z presentovan´ ych v´ ysledk˚ u je vidˇet, ˇze návrh PSO algoritmu byl u ´spˇeˇsn´ y a mnohdy dosahuje vyˇsˇs´ı u ´ˇcinnosti neˇz srovnatelné publikované algoritmy, viz [46] a [48]. To je d´ ano pravdˇepodobnˇe pouˇzit´ım vhodného typu zdi a testován´ım pro 98



Obr´ azek 8.5: Funkce Levy No.5, s.s. ∈ h−10, 10i × h−10, 10i a cost funkce relativnˇe (v kontextu optimalizace) jednoduché funkce.

8.4

Zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u

V souvislosti s optimalizac´ı n´ as nezaj´ımá pouze vlastn´ı v´ ysledek, tedy geometrie koláˇze s nejniˇzˇs´ı rezonanˇcn´ı frekvenc´ı, poˇzadovan´ ym VD atp. Chceme znát i pr˚ ubˇeh optimalizace, chov´ an´ı jednotliv´ ych agent˚ u, jak vypadá prohledávaná funkce a m´ıra efektivity celého hejna. Pˇrirozenˇe, abychom tyto informace z´ıskali, mus´ıme zahrnout do PSO dalˇs´ı techniky. Pro plné vyuˇzit´ı potenci´ alu PSO definujeme v´ ystup v následuj´ıc´ım tvaru: res.data1 = [ ] res.data2 = [ ] res.data3 = [ ] res.done res.score res.type = ’optim’ res.history.populPosition = [ ] res.history.iter = [ ] res.history.value = [ ] res.history.psoDta = [ ] res.options. . . . V´ ystupn´ı pole obsahuje opˇet sloty 1-3, patˇriˇcné hodnoty jsou ale optimalizovány. Hodnota f.f. pro tyto hodnoty je uvedena v res.score. Pole done referuje o zdárném ukonˇcen´ı PSO (res.done = 1), v opaˇcném pˇr´ıpadˇe je res.done = 0 (urˇceno jako návˇest´ı pro nadˇrazené programy). Res.options uvád´ı parametry, za kter´ ych byla optimalizace dokonˇcena a koneˇcnˇe res.history obsahuje vˇetˇsinu vnitˇrn´ıch stav˚ u PSOptimizeru v

99



kaˇzdé iteraci. Pr´ avˇe tohoto pole lze vyuˇz´ıt napˇr. pro vykreslen´ı cost funkce (obr. 8.2 vpravo pro kvadratickou funkci), nebo pro vykreslen´ı pozice jednotliv´ ych agent˚ uv dané iteraci (screenshot 53. iterace je vidˇet na obr. 8.6). Souvislosti mezi uveden´ ymi form´ aty jsou naznaˇceny na obr. 12.24 dodatku 12.3.

PSOPost Pro dynamické zobrazen´ı pr˚ ubˇehu optimalizace byl vytvoˇren program PSOPost. Náhled ukazuje obr. 8.6. V tuto chv´ıli je prom´ıtán´ı optimalizace omezeno na dvˇe existuj´ıc´ı podm´ınky (2D). Poˇc´ıtáme vˇsak s rozˇs´ıˇren´ım do 3D, kdy jednotlivé podm´ınky p˚ ujdou zvolit (neomezen´ y poˇcet podm´ınek). Do programu byl dodateˇcnˇe pˇripojen v´ ypoˇcet rozptylu agent˚ u, pozdˇeji i v´ ypoˇcet vˇsech, kteˇr´ı pˇrekroˇcili hranice s.s. Tyto hodnoty jsou i real-time vykreslovány do graf˚ u vpravo.

Obr´ azek 8.6: Program PSOPost, vˇc. pr˚ ubˇehu funkce Levy5 a agent˚ u Ovl´ adac´ı rozhran´ı je jednoduché. Obsahuje tlaˇc´ıtka na spuˇstˇen´ı videa, jeho pauzu (opˇetovné spuˇstˇen´ı restartuje video) a tlaˇc´ıtka na reset canvasu a ukonˇcen´ı programu. Funkce m˚ uˇze b´ yt vol´ ana s celou ˇradou parametr˚ u a nastaven´ı.

100



PSOPost syntaxe Program disponuje celou ˇradou moˇznost´ı, jak jej volat. Základn´ı tvar PSOPost(PsoData,res,0) pouze zpracuje res a zobraz´ı pohyb roje v s.s. a patˇriˇcné parametry. Pˇr´ıznak ’0’ (false) zajist´ı, ˇze animace je pouze pˇripravena a start zajist´ı uˇzivatel ( Run movie ). Dalˇs´ı pˇr´ıkaz umoˇzn ˇuje vykreslit hladiny funkˇcn´ıch hodnot f.f. v daném s.s. Tyto hodnoty mus´ı b´ yt zpracov´ any ve formˇe dvou sloupcov´ ych matic [x],[y] a m×n matice [z] o rozmˇerech (x,y). Pak lze PSOPost volat: PSOPost(PsoData,res,0,x,y,z). Pokud nav´ıc poˇzadujeme n´ avrat vypoˇcten´ ych hodnot, vyuˇzijeme: [roz age] = PSOPost(PsoData,res,0,x,y,z). Pˇri zmˇenˇe pˇr´ıznaku ’0’ na ’1’ (true) je po spuˇstˇen´ı aplikace automaticky spuˇstˇena animace: [roz age] = PSOPost(PsoData,res,1) nebo [roz age] = PSOPost(PsoData,res,1,x,y,z). Vhodn´ ym vylepˇsen´ım, umoˇzn ˇuj´ıc´ı jeˇstˇe lepˇs´ı náhled na chován´ı hejna, je zaveden´ı vektor˚ u, které by v kaˇzdé iteraci zobrazovali smˇer a velikost pˇr´ırustkového vektoru (rychlosti).

Obr´ azek 8.7: Pozice agent˚ u pro 5. a 150. iteraci (Levy5, s.s. ∈ 10 × 10) DVD obsahuje video s uk´ azkou pohybu hejna pˇri hledán´ı minima u ´lohy H2 (oznaˇcen´ı u ´loh viz dalˇs´ı kapitoly) a dalˇs´ı sn´ımky PSO optimalizace. 101


8.5

8.5. Spojen´ı s EvalInFem

Spojen´ı s EvalInFem

Z pohledu PSOptimizeru se jedná o standardn´ı optimalizaci – po porovnán´ı dat je ve funkci calFF vol´ ana f.f. EvalInFem. D´ıky parametru ’eval’ (nam´ısto ’stat’, jak bylo uvedeno v 5. kapitole) CM analyzátor pozná, ˇze pˇr´ıchoz´ı data jsou optimalizována a bˇeh programu je podˇr´ızen spuˇstˇené PSO. Cel´ y postup je netradiˇcn´ı v tom smyslu, ˇze zat´ımco v drtivé vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u je optimalizov´ an analytick´ y pˇredpis, zde je to v´ ysledek celé sady operac´ı – generace a u ´pravy IFS, anal´ yzy CM modelu a navrácen´ı správné rezonanˇcn´ı frekvence.

8.6

Zrychlen´ı metody

Vzhledem k faktu, ˇze drtivou vˇetˇsinu ˇcasu trvá vyhodnocen´ı fitness funkce (dutinov´ y model) a reˇzie PSOptimizeru je minimáln´ı, je vhodné, aˇz na jeden pˇr´ıpad, mluvit sp´ıˇse o zv´ yˇsen´ı efektivity neˇz o zrychlen´ı celé metody. Tou jedinou vyj´ımkou je moˇznost vyuˇzit´ı distribuovan´ ych v´ ypoˇct˚ u. Matlab podporuje distribuované v´ ypoˇcty ve v´ıce u ´rovn´ıch. Motivac´ı je maximáln´ı zrychlen´ı v´ ypoˇctu. Prvn´ı u ´roveˇ n, vyuˇz´ıvaj´ıc´ı v´ıcejádrov´ ych procesor˚ u, je nativnˇe aktivov´ ana a zabudované matematické knihovny Matlabu defaultnˇe pracuj´ı v´ıcejádrovˇe. St´ ale se vˇsak jedn´ a pouze o jeden proces, kter´ y je zpracováván v´ıce procesory. Druh´ y level paralelizace obsahuje Parallel Computing Toolbox. S t´ımto toolboxem lze vytv´ aˇret a ˇr´ıdit bˇeh v´ıce paraleln´ıch proces˚ u. A koneˇcnˇe posledn´ı u ´rovn´ı je spoleˇcné vyuˇzit´ı Parallel Computing Toolboxu a Matlab Distributed Computing Serveru. Do jednoho clusteru lze pojmout max. 256 procesor˚ u (PC jsou propojené v s´ıti). Pochopitelnˇe vyuˇzit´ı této technologie vyˇzaduje patˇriˇcné licence10 . Vzhledem k ˇcasové n´ aroˇcnosti optimalizace je distribuovan´ y v´ ypoˇcet logick´ ym krokem k jej´ımu zkr´ acen´ı. Napˇr. pˇri moˇznosti vytvoˇrit cluster o cca. 15 PC, kdy se dost´ av´ ame na velikost jedné generace ˇclen˚ u hejna v PSO, zrychlujeme v´ ypoˇcet takˇrka 15x a m˚ uˇzeme si dovolit u ´vahy o zámˇenˇe dutinového modelu za nepomˇernˇe pˇresnˇejˇs´ı metodu moment˚ u, v´ıce [12], [33] a dalˇs´ı. Hotové rozhran´ı by se dalo vyuˇz´ıt i pro jiné u ´lohy v souvislosti s Matlabem. Vzhledem k uveden´ ym nárok˚ um na licence, je tato ˇc´ ast zat´ım pouze v pˇr´ıpravˇe. V´ıce k licenˇcn´ı politice, i cenám samotn´ ym na stránk´ ach [98]. Ostatn´ı techniky (SPSO, GSO) byly zm´ınˇeny dˇr´ıve.

10

Krom z´ akladn´ıho Matlabu tedy jeˇstˇe Parallel Computing Toolbox, Matlab Distributed Computing Server, pˇr´ıp. Matlab Compiler.

102

Kapitola 9

IFSLimiter Jak jsme uk´ azali v pˇredchoz´ıch kapitolách, zadáván´ı optimalizaˇcn´ı podm´ınek nen´ı pˇr´ıliˇs pˇrehledné. Zjevnˇe je to daˇ n za zobecnˇen´ y pˇr´ıstup, jenˇz uˇz´ıváme. Situace je u IFS frakt´ al˚ u o to sloˇzitˇejˇs´ı, ˇze optimalizovan´ y parametr má na koláˇz pouze zprostˇredkovan´ y vliv (je potˇreba nejprve IFS vypoˇc´ıtat). K pˇrehlednému nastaven´ı vˇsech parametr˚ u a mez´ı slouˇz´ı IFSLimiter. Je vhodné poznamenat, ˇze tento nástroj neslouˇz´ı k tvorbˇe ani u ´pravˇe koláˇze, k tomu jsou urˇcené IFSMaker a AntTool.

9.1

Struktura programu

Z program´ atorského hlediska se jedná o samou mez, kdy lze vyuˇz´ıt strukturovaného programov´ an´ı. IFSLimiter obsahuje pˇres 120 funkc´ı na 3500 ˇrádc´ıch. Aplikace se spouˇst´ı bez dalˇs´ıch argument˚ u. Screenshot je zobrazen na obr. 9.1. Fraktál se po naˇcten´ı FRC (nebo PsoData) objev´ı uprostˇred, jeho velikost lze upravit zoomem. Vˇsimnˇeme si, ˇze body i transformace maj´ı pˇred sv´ ymi koordináty tag (P- nebo T-), toho vyuˇzijeme pˇri zadáván´ı podm´ınek. Postup je n´ asleduj´ıc´ı: 1. Naˇcten´ı kol´ aˇze FRC. Je automaticky zarovnána a vykreslena. 2. Vytvoˇren´ı nové poloˇzky s hranicemi s.s., napˇr. (0, 10). Tlaˇc´ıtko New stock . 3. V tabulce zobrazuj´ıc´ı tyto poloˇzky vybereme právˇe vytvoˇrenou a tlaˇc´ıtkem Add condition otevˇreme pr˚ uvodce pro zadáván´ı optimalizaˇcn´ıch podm´ınek. 4. V zobrazeném oknˇe se m˚ uˇzeme ujistit, ˇze je vybrána vhodná dimenze s.s. Zvol´ıme, zda se optimalizace bude t´ ykat bodu ˇci transformace. 5. N´ asleduj´ıc´ı krok zobraz´ı vˇsechny dostupné body/transformace a jejich souˇradnice. Z nich zvol´ıme tu správnou hodnotu. Finish uloˇz´ı podm´ınku do pˇripraveného slotu. 103


9.1. Struktura programu

Obrázek 9.1: IFSLimiter 6. Zadanou podm´ınku si nyn´ı m˚ uˇzeme vykreslit. Staˇc´ı ji vybrat v doln´ı tabulce ˇ a zvolit SHOW . Cervené hranice pak znaˇc´ı minimum, kterého koláˇz m˚ uˇze pˇri optimalizaci této podm´ınky nab´ yt, zelená hranice znaˇc´ı maximum. Jedna hranice (Stock ) m˚ uˇze obsahovat i v´ıce podm´ınek, coˇz b´ yvá v souvislosti s IFS velice ˇcasté. V tomto pˇr´ıpadˇe lze ovlivnit, zda se budou vykreslovat vˇsechny podm´ınky z jedné hranice, ˇci pouze vybrané. Protoˇze pˇri zadáván´ı hranic nen´ı jeˇstˇe zˇrejmé, ˇcemu pˇripadnou (bodu, transformaci), nem˚ uˇze IFSLimiter hl´ıdat správné zadáv´ an´ı hodnot1 . To je vyˇzadováno od uˇzivatele. Defaultnˇe lze vykreslit pouze jednu hranici, tak aby byla situace pˇrehledná, lze jich vˇsak vhodn´ ym nastaven´ım2 vykreslit i v´ıce, viz obr. 9.1. Jiˇz existuj´ıc´ı hranice i podm´ınky lze libovolnˇe editovat, mazat a znovu vytváˇret. Pˇri pr´ aci se sloˇzitˇejˇs´ı kol´ aˇz´ı je ˇcasto vhodné skr´ yt body, základn´ı objekt nebo transformace. To umoˇzn ˇuje menu Show v horn´ı liˇstˇe. Lze nastavovat i grafiku jednotliv´ ych prvk˚ u. Podrobnˇeji je pr´ ace s IFSLimiterem zpracována v pdf nápovˇedˇe k programu. Narozd´ıl od IFSMakeru zmˇeny v nastaven´ı grafiky a odezva na nˇekteré pˇr´ıkazy nen´ı automatick´ a, ale je potˇreba kliknout na Refresh . Podobnˇe jako pˇredchoz´ı 1

M´ ame zde na mysli zejm. podm´ınku kontrakce pro IFS. Pokud by v´ yˇse uveden´ a hranice (0, 10) platila pro parametr a transformaˇcn´ı matice, kter´ y spr´ avnˇe nab´ yv´ a hodnot (0, 1), nebude dodrˇzen poˇzadavek afinn´ıch transformac´ı. 2 Volby Show only one Stock a Show all Conditions.

104


9.2. Testovac´ı u ´ loha

editory, i tento obsahuje nˇekteré dalˇs´ı funkce, usnadˇ nuj´ıc´ı vlastn´ı práci. Lze nam´ıtnout, ˇze v´ yhodnˇejˇs´ı by bylo spojit IFSMaker a IFSLimiter do jednoho programu. To je vˇsak tˇeˇzce realizovatelné hlavnˇe v souvislosti s univerzalitou obou nástroj˚ u. Pˇrehlednˇejˇs´ı je proto rozdˇelen´ı u ´kol˚ u tak, jak je tomu v souˇcasnosti.

9.2

Testovac´ı u ´ loha

Jednotlivé mechanismy demonstrujme na jednoduchém pˇr´ıkladu. Pˇredpokládejme obdéln´ık, jehoˇz delˇs´ı stranu bychom rádi optimalizovali. Neuvaˇzujme nyn´ı fixn´ı délku hrany nastavenou v EvalInFem na 10cm. Situace je zobrazena na obr. 9.2.

Obr´ azek 9.2: Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro testovac´ı u ´lohu Délku obdéln´ıka ovlivˇ nuje parametr a transformaˇcn´ı matice. Pokud nastav´ıme F RC.iter rovno [1 1 1], tj. vypoˇctena bude 1. iterace a pouze tato bude pouˇzita na vlastn´ı patch, m˚ uˇzeme rozsahem parametru a ovlivˇ novat délku v´ ysledné koláˇze. Je-li velikost obdéln´ıka 10 × 4 cm a koeficientu a 0.6, bude v´ ysledná délka 6cm, resp. velikost 6 × 4.

Obr´ azek 9.3: Zadán´ı podm´ınky, vstup a v´ ystup Zvolme tedy hranice s.s. v rozsahu (0.6, 1), jak ukazuje i obrázek 9.3. Nyn´ı k této 105


9.3. Zad´ an´ı u ´ loh

hranici pˇrid´ ame podm´ınku. V prvn´ım kroku zvol´ıme transformace, poté klikneme vlevo na transformaci T 1 (v´ıc jich ani pro obdéln´ık nemáme) a zvol´ıme parametr a. Tento v´ ysledek exportujeme jako PsoData do Matlabu (na obr. 9.3 vpravo, je vidˇet i doplnˇen´ı pol´ı bound a cond) a spust´ıme optimalizaci. Rezonanˇcn´ı frekvence dominantn´ıho m´ odu je d´ ana pouze délkou optimalizované hrany a nejmenˇs´ı vycház´ı pro nejdelˇs´ı hranu. PSOptimizer proto vrac´ı v´ ysledek 10cm.

9.3

Zad´ an´ı u ´ loh

Stejn´ ym postupem, jak´ y byl uveden u pˇr´ıkladu v´ yˇse, ˇreˇs´ıme i sloˇzitˇejˇs´ı struktury s v´ıce body a transformacemi. Iteraci zpravidla vol´ıme 3, coˇz je vhodn´ y kompromis mezi poˇzadovanou kˇrivost´ı u ´tvaru a rychlost´ı v´ ypoˇctu. Na následuj´ıc´ıch ˇrádc´ıch popiˇsme konkrétn´ı u ´lohy, které byly optimalizovány. V´ ysledky a jejich rozbor provedeme v n´ asleduj´ıc´ı kapitole. ´ Ulohy jsou znaˇceny podle jednoduchého kl´ıˇce, kter´ y nám zajist´ı systematick´ y pˇr´ıstup ke vˇsech vstup˚ um i v´ ystup˚ um optimalizace. P´ısmeno je odvozeno od názvu zdrojové kol´ aˇze (FRC A, FRC B apod.), ˇc´ıslo znaˇc´ı poˇrad´ı optimalizace. Vˇsechny provedené simulace jsou uvedeny v tabulce na DVD. Ta obsahuje souˇradnice koláˇze, nastaven´ı, poˇc´ ateˇcn´ı podm´ınky, celkov´ y ˇcas a v´ ysledky optimalizace. Na dalˇs´ım listu tabulky je pˇrehled uˇz´ıvan´ ych FRC.

9.3.1

´ Uloha A1

Do DP byly vybr´ any vzorové u ´lohy se tˇremi tvarovˇe odliˇsn´ ymi záˇriˇci. K zadáván´ı podm´ınek vyuˇz´ıv´ ame IFSLimiter. Zobrazen´ı 9.4, 9.5, 9.7 a 9.8 dávaj´ı pˇredstavu o optimalizovan´ ych parametrech.

Obr´ azek 9.4: Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu A1 V tomto pˇr´ıpadˇe, obr. 9.4, optimalizujeme velikost jednotliv´ ych troj´ uheln´ık˚ u. Rozmˇer s.s. je (0.5, 0.7). Minimum je limitováno celistvost´ı patche. Jiˇz pˇri hodnotách koeficient˚ u a a d 0.5 se jednotlivé troj´ uheln´ıky dot´ ykaj´ı pouze v bodech, coˇz eliminuje tekouc´ı proudy po struktuˇre. S rezervou je tedy za minimum povaˇzována hodnota 0.501.

106


9.3. Zad´ an´ı u ´ loh

Obr´ azek 9.5: Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu B1

9.3.2

´ Uloha B1

Pro Minkowského frakt´ al je d˚ uleˇzit´ y zejm. tvar stˇredn´ı spojky (tj. prvn´ı transformace z´ akladn´ıho objektu). Ten m˚ uˇze nab´ yvat mnoha tvar˚ u, viz obr. 9.5. Pro základn´ı tvar frakt´ alu jsou hodnoty transformaˇcn´ıch koeficient˚ u stˇredové pˇr´ıˇcky rovny: a = 0.2, d = 0.334, b = c = e = f = 0. PSO se pokus´ı naj´ıt niˇzˇs´ı frekvenci v rozsahu a ∈ (0.1, 1) ∧ d ∈ (0.334, 1). Tento s.s. je tedy dvourozmˇern´ y. Prvn´ı dvˇe u ´lohy jsou dostateˇcnˇe jednoduché, abychom pˇr´ıpadné v´ ysledky mohli ovˇeˇrit rychlou parametrickou anal´ yzou. Zároveˇ n se na nich prokáˇze, zda vˇsechny souˇcásti funguj´ı bezchybnˇe.

9.3.3

´ Uloha B3

Jak ukazuje obr. 9.6, tato u ´loha zkoumá vliv naklonˇen´ı ramen fraktálu FRC B.

´ Obr´ azek 9.6: Uloha B3 v IFSLimiteru Toho lze doc´ılit pomoc´ı zmˇeny koeficient˚ u c, d. Ty zajiˇst’uj´ı rotaci a zkosen´ı objektu. Pomoc´ı IFSLimiteru lze efektivnˇe hl´ıdat, kdy je jeˇstˇe koláˇz souvislá a kdy se jiˇz rozdˇel´ı na menˇs´ı ˇc´ asti. D´ıky tomu byl stanoven optimalizovan´ y interval na 107


9.4. Rozˇ s´ıˇ ren´ e moˇ znosti IFSLimiteru

(0, 0.1).

9.3.4

´ Uloha C3

Nejvˇetˇs´ı sn´ıˇzen´ı frekvence dominantn´ıho módu oˇcekáváme v pˇr´ıpadˇe tohoto fraktálu. Je velice ˇclenit´ y, lze tedy nalézt mnoho optimalizaˇcn´ıch podm´ınek. Nav´ıc má tenkou spojku a vysok´ a ramena, kter´ a dále prodluˇzuj´ı rezonanˇcn´ı délku.

Obr´ azek 9.7: Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu C3 Zaˇcneme jednoduˇsˇs´ımi podm´ınkami (C1-C3) a postupnˇe pˇridáváme dalˇs´ı (C4C6). Jak naznaˇcuje obr. 9.7, budeme zkoumat optimáln´ı pozici stˇredn´ı spojky (zda dole, uprostˇred nebo nahoˇre) a m´ıru zasunut´ı postrann´ıch ramen.

9.3.5

´ Uloha C6

K pˇredchoz´ı u ´loze C3 byly pˇridány dalˇs´ı dvˇe podm´ınky. Obˇe pracuj´ı s body3 , jak ukazuje obr. 9.8. Tato u ´loha je v programu IFSLimiter zobrazena na obr. 9.1 (pouze prvn´ı dvˇe podm´ınky). Pˇrestoˇze obsahuje celkem 7 neznám´ ych, d´ıky spˇraˇzen´ı nám staˇc´ı ˇctyˇrrozmˇern´ y s.s.

9.4

Rozˇ s´ıˇ ren´ e moˇ znosti IFSLimiteru

IFSLimiter byl postupem ˇcasu rozˇs´ıˇren o dalˇs´ı uˇziteˇcné moduly. Mezi nˇe patˇr´ı parametrick´ a anal´ yza, obr. 9.9. Lze analyzovat pouze naˇcten´ y fraktál, vˇsechny hranice (se vˇsemi podm´ınkami), vybranou hranici (s podruˇzn´ ymi podm´ınkami), vybranou podm´ınku, v z´ avislosti na stupni iterace. Krok sweepu je nastaviteln´ y a v´ ystupn´ı informace jsou volitelné. Po uloˇzen´ı a startu je opˇetovnˇe volán EvalInFem4 , kter´ y ukládá v´ ysledky do IFSLimiteru. Ty si lze prohlédnout v Parameter sweep 7→ Show results, a t´ım z´ıskat hrub´ y pˇrehled o chov´ an´ı struktury. Z pohledu optimalizace je také zásadn´ı pro vˇsechny scénáˇre uchovat pokud moˇzno celistv´ y tvar kol´ aˇze. Zda tomu tak je pro vˇsechny hranice se vˇsemi 3 4

Vˇzdy dva vrcholové body jsou spˇraˇzeny do jedné hranice/Stocku tak, aby se mˇenily najednou. Vyˇzaduje pˇripojen´ y Comsol.

108


9.4. Rozˇ s´ıˇ ren´ e moˇ znosti IFSLimiteru

Obr´ azek 9.8: Obr´ azek optimalizaˇcn´ıch mez´ı pro u ´lohu C6

Obr´ azek 9.9: IFSLimiter: parametrick´ y ˇreˇsiˇc podm´ınkami ovˇeˇruje funkce Check subdomains. Existuje-li varianta, kdy se koláˇz rozpadne, je tato s upozornˇen´ım zobrazena. V nezbytn´ ych pˇr´ıpadech (viz zmˇena mˇeˇr´ıtka a pevn´ y bod) je téˇz vhodné m´ıt moˇznost pˇresunout stˇred fraktálu o urˇcitou vzdálenost. Pak jsou upraveny odpov´ıdaj´ıc´ı koeficienty transformac´ı a IFS je znovu vygenerováno. Pro podobné u ´ˇcely lze v IFSLimiteru upravit i vybran´ y bod, pˇr´ıp. transformaci. Tyto u ´pravy jsou dosaˇzitelné z menu Tools.

109

Kapitola 10

Optimalizace a anal´ yza FRC Optimalizaˇcn´ı proces prob´ıh´ a podle schématu 10.1.

Obr´ azek 10.1: Postup optimalizace Jsou do nˇej zapojeny vˇsechny moduly, které jsme doposud pˇredstavili. Po vytvoˇren´ı kol´ aˇze (IFSMaker) a nastaven´ı podm´ınek (IFSLimiter) docház´ı k inicializaci PSO (poˇcet agent˚ u, poˇcet iterac´ı). Po spuˇstˇen´ı PSOptimizeru je v kaˇzdém kroku vol´ ana fitness funkce (EvalInFem) a skrze n´ı i jádro Comsolu. K ˇreˇsiˇci EvalInFem lze pˇristoupit jiˇz dˇr´ıve, a to bud’ parametrickou anal´ yzou nebo jednorázov´ ym ˇreˇsen´ım z Matlabu. Na z´ avˇer jsme vybrali tˇri fraktály, které byly v minulé kapitole pˇripraveny k optimalizaci. Jej´ı v´ ysledky nalezneme v tab. 10.1. Podm´ınky jsou bud’ bodové (b) nebo transformaˇcn´ı (tr), znaˇcka 3tr pak znaˇc´ı 3 podm´ınky se spoleˇcnou hranic´ı. Poˇcet agent˚ u (Ag.) i iterac´ı (it.) byl volen r˚ uzn´ y podle sloˇzitosti optimalizace a s ohledem na typ struktury. V r´ amci jedné struktury je potˇrebn´ y ˇcas pˇribliˇznˇe u ´mˇern´ y souˇcinu agent˚ u a iterac´ı (viz B1 a B3), v pˇr´ıpadˇe r˚ uzn´ ych struktur (B3 vs. C3) to vˇsak neplat´ı. Je to d´ ano r˚ uznou sloˇzitost´ı meshe a tedy i r˚ uznou délkou v´ ypoˇctu. Prvn´ı u ´loha (A1) doˇsla ke stejnému fraktálu, kter´ y byl zadán na vstupu. To 110


PsoData Podm´ınky Ag., it. fr pˇred PSO fr po PSO ∆fr Zlepˇsen´ı Doba v´ ypoˇctu

A1 3tr, 3tr 15, 100 637 MHz 637 MHz 0 0%

B1 1tr, 1tr 25, 150 684 MHz 408 MHz 276 MHz 40.3%

B3 4tr, 4tr 25, 75 684 MHz 504 MHz 180 MHz 26.2%

−(∗)

4813s

2209s

C3 1tr, 2tr 25, 75 637 MHz 543 MHz 94 MHz 14.8%

C6 1tr, 2tr, 2b, 2b 25, 80 637 MHz 310 MHz 327 MHz 51.3%

3066s 2062s (*) nezaznamenáno

Tabulka 10.1: V´ ysledky vybran´ ych optimalizac´ı

Obr´ azek 10.2: Nˇekolik agent˚ u optimalizace A1 ukazuje, ˇze pro zadané podm´ınky (tedy velikost troj´ uheln´ık˚ u) je známá hodnota ta nejlepˇs´ı. Nˇekolik agent˚ u této optimalizace ukazuje obrázek 10.2. Pˇri rozboru v´ ysledk˚ u se mus´ıme vyvarovat urˇcit´ ym chybám. Napˇr. A1 vrac´ı jako optim´ aln´ı pro obˇe podm´ınky hodnotu 0.5, ta je vˇsak (jak bylo uvedeno v minulé kapitole) chybn´ a, nebot’ spojuje ˇcásti koláˇze jen v bodech. Z toho plyne, ˇze pro kaˇzd´ y v´ ysledek je vhodné zkontrolovat navrˇzenou koláˇz pˇr´ımo v Comsolu (CST, IE3D, TCM atd.). Po u ´pravˇe na 0.501 vycház´ı správné v´ ysledky. PSO algoritmus t´ımto zp˚ usobem postupuje automaticky a pro vˇsechny podm´ınky. Je proto dobré jiˇz pˇri jejich zad´ av´ an´ı meze spr´ avnˇe omezit. Dalˇs´ı u ´loha je lehce ovˇeˇritelná pomoc´ı jednoduché parametrické anal´ yzy. Hled´ ame minimum s pomoc´ı zmˇeny ˇs´ıˇrky a v´ yˇsky stˇredn´ı pˇr´ıˇcky fraktálu FRC B. Pro vˇsechny extrémy je hodnota rezonanˇcn´ı frekvence uvedena na obr. 10.6. Nejniˇzˇs´ı 111


Obr´ azek 10.3: Nˇekolik agent˚ u optimalizace B1

Obr´ azek 10.4: Nˇekolik agent˚ u optimalizace B2 frekvenci naléz´ ame pro pˇr´ıpad v doln´ı ˇradˇe uprostˇred (fr = 409 MHz, a = 0.1, b = 1). Ke stejnému z´ avˇeru doch´ az´ıme i s pomoc´ı PSO (fr = 408 MHz, a = 0.100009, b = 0.99998). S dobr´ ym v´ ysledkem pak skonˇcila optimalizace C3 a C6, kde bylo dosaˇzeno znaˇcného poklesu rezonanˇcn´ı frekvence. Struktury nav´ıc nepotˇrebuj´ı dalˇs´ı u ´pravy. V´ yznamn´ y pokles v pˇr´ıpadˇe C6 je dán masivn´ı u ´pravou geometrie (obr. 10.8). Na z´ akladˇe optimalizovan´ ych dat se m˚ uˇzeme pod´ıvat i na pokles frekvence s iterac´ı u optimalizovaného i neoptimalizovaného patche, obr. 10.5. Pr˚ ubˇeh je pro oba záˇriˇce podobn´ y, pouze v pˇr´ıpadˇe po PSO (zelená kˇrivka) je m´ırn´ y v´ ykyv v 2. iteraci. Pokud aproximujeme hodnotu optimalizované koláˇze v prvn´ı iteraci na základˇe ostatn´ıch hodnot, z´ısk´ ame zaj´ımav´ y poznatek. Optimalizace fraktáln´ı struktury trend poklesu fr s rostouc´ı iterac´ı pouze posouvá smˇerem k niˇzˇs´ı frekvenci. Smˇernice poklesu z˚ ust´ av´ a stejn´ a. Obr´ azek 10.9 ukazuje krajinu“ optimalizace u ´lohy H2. Vrstevnice naznaˇcuj´ı ” stejné hodnoty frekvence. Ze znám´ ych hodnot s.s. a zadan´ ych podm´ınek lze urˇcit 112


Obr´ azek 10.5: Z´ avislost rez. frekv. na iteraci pˇred PSO a po PSO

Obr´ azek 10.6: Parametrické srovnán´ı rez. frekvenci dominantn´ıho m´ odu vˇsech odvozen´ ych záˇriˇc˚ u. Kontury funkce byly zjitˇeny systematick´ ym sweepem pˇres cel´ y s.s. (100 × 100 hodnot). Z uveden´ ych pˇr´ıklad˚ u je vidˇet, ˇze sniˇzován´ı rezonanˇcn´ı frekvence (resp. zmenˇsov´ an´ı rozmˇer˚ u patche) je v Comsolu realizováno zuˇzován´ım cest, kudy teˇce proud. Tyto spoje jsou d´ıky PSO zmenˇsovány aˇz za mez v´ yrobn´ı tolerance. Spr´ avn´ ym nastaven´ım hranic vˇsech podm´ınek lze tomuto u ´kazu efektivnˇe pˇredch´ azet. Druh´ ym d˚ uleˇzit´ ym faktorem je prodluˇzován´ı dominantn´ı proudové cesty. Vyvst´ av´ a ot´ azka, zda jsou uvedená zjednoduˇsen´ı platná obecnˇe (figuruje tento mechanismus i v TCM?). V této kapitole byly shrnuty v´ ysledky celého projektu. V pˇr´ıpadˇe vhodnˇe nastavené optimalizace m˚ uˇze pokles rezonanˇcn´ı frekvence pˇrekroˇcit i 50%. Stále je vˇsak nutné fin´ aln´ı z´ aˇriˇc podrobit pokroˇcilejˇs´ı anal´ yze, ve které je zpravidla rozd´ıl mezi p˚ uvodn´ım a optimalizovan´ ym tvarem menˇs´ı. Omezeni jsme i ze strany

113


Obr´ azek 10.7: Nˇekolik agent˚ u optimalizace C6 pouˇziteln´ ych kol´ aˇz´ı a v´ yrobn´ıch moˇznost´ı. Bohuˇzel, systematiˇctˇejˇs´ı pˇr´ıstup je ˇcasovˇe velmi n´ aroˇcn´ y. Neuv´ ad´ıme proto pˇr´ıklady dalˇs´ıch optimalizaˇcn´ıch u ´loh, ani jednotlivé rezonanˇcn´ı frekvence vˇsech FRC koláˇz´ı. Vˇsechny toto u ´daje jsou uvedeny na DVD, je moˇzné je zjistit i s pomoc´ı EvalInFem a PSOptimizeru. D˚ uleˇzitost PSO se jeˇstˇe zvˇetˇs´ı s poˇzadavkem na multipásmovou optimalizaci.

114


Obr´ azek 10.8: V´ ysledek optimalizace C6 (2. a 3. iterace)

Obr´ azek 10.9: Pohyb agent˚ u pˇri u ´loze H2, zaˇcátek (vlevo) a závˇer (vpravo)

115

Kapitola 11

Z´ avˇ er Tato pr´ ace mˇela za c´ıl uk´ azat, ˇze v geometrické rovinˇe lze nalézt nov´ y typ objekt˚ u, které jsou vhodné jako z´ aˇriˇce patch antén v mnoha ohledech v´ıce, neˇz bˇeˇznˇe vyuˇz´ıvané euklidovské u ´tvary. Ukázali jsme nˇekteré zaj´ımavé vlastnosti fraktáln´ıch kˇrivek a nalezli analogie v pˇr´ırodˇe. Pro ˇcetná zjednoduˇsen´ı jsme zvolili generaci IFS struktur, ta byla pops´ ana vˇc. pˇr´ıklad˚ u a potˇrebn´ ych nástroj˚ u. Vlastn´ı simulaci pˇredch´ azel v´ ybˇer vhodné numerické metody a jej´ı implementace. V´ ysledky CM anal´ yzy byly srovnány s referenˇcn´ımi simulátory. Pro malou v´ yˇsku nad zemn´ı rovinou je chyba minimáln´ı. Zváˇzili jsme moˇznost optimalizovat tvar antény pˇri fixn´ım zachov´ an´ı fraktáln´ıho charakteru, tak jsme doˇsli k optimalizaci IFS parametr˚ u. Toho bylo dosaˇzeno d´ıky PSO; dokonˇcen´ y PSOptimizer dosahuje skvˇel´ ych v´ ysledk˚ u, doloˇziteln´ ych i na ˇradˇe testovan´ ych funkc´ı. Pops´ any byly zp˚ usoby, jak ze znám´ ych dat extrapolovat VD, vˇc. jeho v´ ypoˇctu. Pro zpracov´ an´ı v´ ysledk˚ u, kalibraci PSO, u ´pravu nod˚ u a ˇr´ızen´ı optimalizace je potˇreba cel´ a sada n´ astroj˚ u, které byly postupnˇe pˇredstaveny. Vyjmenujme v heslech d˚ uleˇzité v´ ysledky diplomové pr´ ace: • Vznikl efektivn´ı a n´ azorn´ y generátor IFS fraktál˚ u, kter´ y lze vyuˇz´ıt ve v´ yuce numerick´ ych metod, Matlabu a anténn´ı problematiky. • Vznikly n´ astroje na simulaci a anal´ yzu IFS antén, viz dodatek 12.3, vˇc. ˇreˇsiˇce EvalInFem, kter´ y m´ a mnohostranné vyuˇzit´ı. • Byly odvozeny a navrhnuty nové postupy hodnocen´ı IFS koláˇz´ı a nalezeny nové frakt´ aly (FRC J, FRC K a dalˇs´ı) • Zavedeny byly form´ aty FRC a PsoData. • Byl vytvoˇren univerz´ aln´ı a rychl´ y optimalizátor PSOptimizer. Ten lze vyuˇz´ıvat na rozliˇcné typy u ´loh. ´ eˇsnˇe jsme implementovali metodu, která vypoˇcte, exportuje a zpracuje • Uspˇ proudy z Comsolu. D´ıky nim lze vypoˇc´ıtat VD.

116


• Analyzov´ any byly vybrané IFS patche, které se podaˇrilo s pomoc´ı PSO zmenˇsit (resp. nalézt pˇri stejném rozmˇeru niˇzˇs´ı fr ). Mnoho problém˚ u z˚ ustalo nedoˇreˇseno, nˇekterá ˇreˇsen´ı nejsou optimáln´ı a vyˇzaduj´ı dalˇs´ı u ´pravy. Obˇcas se (vˇzdy vˇsak s upozornˇen´ım) vyskytuje nepodloˇzená domnˇenka nebo myˇslenka. Zde jsou moˇznosti, jak v projektu pokraˇcovat: • Prozkoumat moˇznosti n´ avrhu IFS pomoc´ı neuronov´ ych s´ıt´ı s kritériem obsahu, obvodu, 1. m´ odu a mˇr´ıˇzkové dimenze. Pˇr´ıpadnˇe alespoˇ n nalézt a zkonstruovat dalˇs´ı tvary IFS kol´ aˇz´ı ruˇcnˇe. • M´ısto CM vyuˇz´ıt TCM ˇreˇsiˇc (vyˇreˇsit souvisej´ıc´ı problémy). • Zrychlit IFSMaker, dokonˇcit moduly na sweep, box-counting, zrychlit práci s Tune n´ astrojem a spr´ avu velkého poˇctu objekt˚ u. • Opravit mˇeˇren´ı obsahu a poˇctu segment˚ u pro komplikovanˇejˇs´ı u ´tvary, otestovat pˇresnost NaN“ metody i pro v´ ypoˇcet mˇr´ıˇzkové dimenze. ” • Pokusit se extrahovat vnˇejˇs´ı normálu pomoc´ı NaN“ metody (rychlejˇs´ı v´ ypoˇcet ” VD). • Upravit algoritmus na v´ ypoˇcet VD a zrychlit jej, upravit jeho optimalizaci na v´ ahov´ an´ı v´ıce c´ıl˚ u. • Je moˇzn´ y dalˇs´ı rozvoj PSO – hledán´ı v´ıce minim najedou, moˇznost vytváˇret v´ıce roj˚ u, SPSO pro analytické funkce, GSO, dalˇs´ı moˇznosti zpracován´ı. • Soustavné studium vlastnost´ı fraktáln´ıch záˇriˇc˚ u s nasazen´ım vyvinut´ ych n´ astroj˚ u (velikost frakt´ aln´ı dimenze a obsahu vs. rezonanˇcn´ı kmitoˇcet, pˇr´ıpadnˇe rozloˇzen´ı m´ od˚ u). • Klasifikace m´ odu na z´ akladˇe bitmapy (vhodné vylepˇsen´ı i pro TCM), dodateˇcn´ a stratifikace m´ od˚ u, oznaˇcen´ı mód˚ u se silnˇe lokalizovan´ ymi proudy. Uˇziteˇcnost celé pr´ ace m˚ uˇze posoudit jen a pouze jej´ı ˇctenáˇr, kterému t´ımto dˇekuji, dostal-li se aˇz na z´ avˇer.

”

Kdyˇz je d´ılo dokon´ ano, necht’ se ˇclovˇek vzd´ al´ı.“ — Lao-C’, O Tau a ctnosti, IX. báseˇ n

117

Literatura Monografie [1] Karel Zaplat´ılek, Bohuslav Doˇ nar: MATLAB pro zaˇc´ ateˇcn´ıky. 2.vydán´ı, BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-175-6 [2] Karel Zaplat´ılek, Bohuslav Doˇ nar: MATLAB tvorba uˇzivatelských aplikac´ı. 1.dotisk 1.vyd´ an´ı, BEN, Praha, 2005. ISBN 80-7300-133-0 ˇ [3] Ivan Zelinka, Frantiˇ sek Vˇ celaˇ r, Marek Cand´ ık: Frakt´ aln´ı geometrie: principy a aplikace. BEN, Praha, 2006. ISBN 80-7300-191-8 [4] Benoit B. Mandelbrot: The Fractal Geometry of Nature. W.H.Freeman, 1982. [5] Benoit B. Mandelbrot: Frakt´ aly: tvar, n´ ahoda a dimenze. 1.vydán´ı, Kolumbus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 163. ISBN 80-204-1009-0 [6] Peter Coveney, Roger Highfield: Mezi chaosem a ˇr´ adem. 1.vydán´ı, Kolumbus, Praha, 2003. Edice Kolumbus – Svazek 160. ISBN 80-204-0989-0 ˇ ad z chaosu. 1.vydán´ı, Kolumbus, [7] Ilya Prigogine, Isabelle Stengersov´ a: R´ Praha, 2001. Edice Kolumbus – Svazek 158. ISBN 80-204-0910-6 [8] The MathWorks: Genetic Algorithm and Direct Search Toolbox. ver. 2., User’s Guide, The MathWorks, 2006. [9] The MathWorks: Using Matlab Graphics. ver. 7., User’s Guide, The MathWorks, 2004. [10] The MathWorks: Partial Differential Equation Toolbox. ver. 1., User’s Guide, The MathWorks, 2002. ˇıˇren´ı elektromagnetických vln a antény. [11] Miloˇ s Maz´ anek, Pavel Pechaˇ c: S´ ˇ ˇ dotisk 2.vyd´ an´ı, CVUT, Praha, 1998. Nakladatelstv´ı CVUT, 10931. publikace. ISBN 978-80-01-03032-5

118


Literatura

ˇ [12] Jan Mach´ aˇ c, Karel Novotn´ y, Zbynˇ ek Skvor, Jaroslav Vokurka: Numeˇ rické metody v elektromagnetickém poli. CVUT, Praha, 2002. Nakladatelstv´ı ˇ CVUT, ISBN 978-80-01-03753-9 [13] Ladislav Sz´ ant´ o: Maxwellovy rovnice a jejich n´ azorné odvozen´ı. 1.vydán´ı, BEN, Praha, 2003. ISBN 80-7300-096-2 [14] Zdenˇ ek Nov´ aˇ cek: Elektromagnetické vlny, antény a veden´ı. ˇ ıma, Roman Neruda: Teoretické ot´ [15] Jiˇ r´ı S´ azky neuronových s´ıt´ı. [16] Blanka Heringov´ a, Petr Hora: Matlab. D´ıl I. - Pr´ ace s programem. Plzeˇ n, 1995, H-S. [17] Blanka Heringov´ a, Petr Hora: MatLab. D´ıl II. - Popis funkc´ı. Plzeˇ n, 1995, H-S. [18] Andy H. Register: A Guide to Matlab Object-Oriented Programming. SciTech Publishing Inc., 2007. Atlanta, Georgia, USA. ISBN 978-1-58488-911-3 [19] The MathWorks: Classes and Object-Oriented Programming. User’s Guide, The MathWorks, 2008. [20] The MathWorks: Matlab Compiler. ver. 2., User’s Guide, The MathWorks, 1999. ˇ [21] Petr Olˇ s´ ak: Line´ arn´ı algebra. CVUT, ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/linal/.

Praha,

2002.

Také

na:

[22] Felix T. S. Chan, Manoj K. Tiwari: Swarm Inteligence – Focus on Ant and Particle Swarm Optimization. I-Tech Education and Publishing, 2007. ISBN 978-3-902613-09-7 [23] Karl E. Lonngren, Sava V. Savov: Fundamentals of Electromagnetics with Matlab. Scitech Publishing Inc., 2004. ISBN 1-891121-30-8 [24] Won Y. Yang, Wenwu Cao, Tae-Sang Chung, John Morris: Applied Numerical Methods Using Matlab. John Wiley Inc., 2005. ISBN 0-471-69833-4 [25] Solving the Engineering Problem. [26] Jaan Kiusalaas: Numerical Methods in Engineering with Matlab. Cambridge University Press, 2005. ISBN 978-0-521-85288-3 [27] J. R. James, P. S. Hall: Handbook of Microstrip Antennas vol.1. London, 1989. Peter Peregrinus Ltd. ISBN 0-86341-150-9. chapter 1 − 3 [28] Constantine A. Balanis: Antenna Theory: Analysis and Design. 2nd ed., USA, 1997. John Wiley. ISBN 0-471-59268-4 119


Literatura

[29] Constantine A. Balanis: Advanced Engineering Electromagnetics. USA, 1989. John Wiley. ISBN 0-471-62194-3. Chapter 6. [30] J. R. James, P. S. Hall, C. Wood: Microstrip Antenna Theory and Design. USA, 1981. Peter Peregrinus Ltd. ISBN 0-906048-57-5. [31] Thomas A. Milligan: Modern Antenna Design. 2nd ed., USA, 2005. John Wiley. ISBN 978-0-471-45776-3. [32] S. J. Orfanidis: Electromagnetic waves & Antennas. www.ece.rutgers.edu/ orfanidi/ewa. [33] Sergey N. Makarov: Antenna and EM Modeling with Matlab. USA, 2002. John Wiley. ISBN 0-471-21876-6 [34] Kenneth Falconer: Fractal Geometry – Mathematical Foundations and Applications. USA, 2003. John Wiley. ISBN 0-470-84861-8 (HB) [35] Gerald Edgar: Measure, Topology and Fractal Geometry. 2nd ed., USA, 2008. Springer. ISBN 987-0-387-74749-1 [36] Basic methods of calculation and design of patch antennas. pgs. 71 − 87 [37] Comsol AB.: Comsol Documentation.. 1994-2008, Comsol 3.5.0.

ˇ anky a pˇ Cl´ r´ıspˇ evky ˇ [38] Miloslav Capek, Pavel Hazdra: PSO optimalizace v Matlabu. Technical Computing Prague 2008, ISBN sborn´ıku: ISBN 978-80-7080-692-0. ˇ [39] Miloslav Capek: PSO Optimization of IFS Fractal Patch Antennas. Poster 2009, CTU-FEE, Prague. ˇ [40] Pavel Hazdra, Miloslav Capek, Jan Kraˇ cek: Optimization Tool for Fractal Patches Based on the IFS Algorithm. EuCAP 2009, Berlin. ˇ [41] Pavel Hazdra, Miloslav Capek: IFS Tool for Microstrip Patch Antenna Analysis. In Proceedings of the 14th Conference on Microwave Techniques ˇ COMITE 2008 [CD-ROM]. Praha: Ceskoslovensk´ a sekce IEEE, 2008, p. 227230. ISBN 978-1-4244-2138-1. [42] Jordi Romeu, Yahya Rahmat-Samii: Fractal Elements and Their Applications to Frequency Selective Surfaces. IEEE Antennas and Wireless, 2000. [43] Jacob Robinson, Yahya Rahmat-Samii: Particle Swarm Optimization in Electromagnetics. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 52, No. 2, pp.397-407, February 2004. 120


Literatura

[44] Nanbo Jin, Yahya Rahmat-Samii: Advances in Particle Swarm Optimization for Antenna Designs: Real-Number, Binary, Single-Objective and Multiobjective Implementations. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. 55, No. 3, pp.556-567, March 2007. [45] James Kennedy, Russell Eberhart: Particle Swarm Optimization. IEEE, pp.1942-1948, 1995. [46] K. E. Parsopoulos, M. N. Vrahatis: Recent approaches to global optimization problems through Particle Swarm Optimization. Natural Computing, pp.235-306, 2002. [47] K. E. Parsopoulos, V. P. Plagianakos, G. D. Magoulas, M. N. Vrahatis: Stretching Technique for Obtaining Global Minimizers Through Particle Swarm Optimization. Dostupné na: http://www.mat.univie.ac.at/ neum/glopt/mss/ParPM01.pdf [48] Ruˇ zica M. Golubovi´ c, Dragan I. Ol´ can: Antenna Optimization Using Particle Swarm Optimization Algorithm. Journal of Automatic Control, Vol. 16, pp.21-24, 2006. [49] Chia-Feng Juang, Yuan-Chang Liou On the Hybrid of Genetic Algorithm and Particle Swarm Optimization For Evolving Recurrent Neural Network. [50] A. Gandelli, F. Grimaccia, M. Mussetta, P. Pirinoli, R. E. Zich: Genetical Swarm Optimization: an Evolutionary Algorithm for Antenna Design. AUTOMATIKA 47 (2006) 3 − 4, str.105 − 112 [51] Sergey Makarov: MoM Antenna Simulation with Matlab: RWG Basis Functions. EM Programmer’s Notebook [52] P.W.Tang, P.F.Wahid: Hexagonal Fractal Multiband Antenna. IEEE Antennas and Wireless letters, vol.3, 2004. [53] Krzysztof Gdawiec: Fractals. 2006. [54] Carla M. Riggi: Hutchinson Operators In R3 . http:/facweb.uofs.edu/ [55] J. L´ aˇ c´ık, Z. Raida: Analýza plan´ arn´ıch struktur pomoc´ı metody moment˚ u a jejich optimalizace. VUT v Brnˇe, pˇr´ıspˇevek [56] M. V. Berry: Distribution of Modes in Fractal Resonators. University of Bristol, Bristol. 1986. [57] M. V. Berry: Improved Eigenvalue Sums for Inferring Quantum Billiard Geometry. University of Bristol, Bristol. 1986.

121


Literatura

[58] Sachendra N. Sinha, Manish Jain: A Self-Affine Fractal Multi-band Antenna. AWPL 0126-2006. [59] D. H. Werner, P. L. Werner, K. H. Church: Genetically Engineered Multiband Fractal Antennas. ELECTRONICS LETTERS, Vol. 37, No. 19. 2001. [60] Z. Baharav: Fractal Arrays Based on Iterated Function System. IEEE, 1999. 0-7803-5639-X/99. [61] P. Hazdra, M. Pol´ıvka, V. Sokol: Microwave Antennas and Circuits Modeling Using Electromagnetic Field Simulator. [62] Christopher Lum: Matlab Class Tutorial. Autonomous Flight Systems Laboratory, 2006. [63] Matt Aasted: Primer on Scripting Comsol with Matlab. 2007. [64] Andr´ e Waser: On the Notation of Maxwell’s Field Equations. [65] R. F. Harrington, J. R. Mautz: Theory of Characteristic Modes for Conducting Bodies. IEEE Trans. on Antennas and Propagation, Vol. AP-19, No. 5, pp. 622-628, Sept. 1971. [66] J. C. Malzahn Kampe: Matlab Programming. 1999. [67] Shardul Bhatia, Wen Eu Cheah: Matlab Documentation for OOP. Dostupné na: www.cc.gatech.edu/classes/AY2005/cs1371 spring/

Pr´ ace vˇ etˇ s´ıho rozsahu ˇ [68] Miloslav Capek: Moˇznosti generov´ an´ı frakt´ al˚ u pomoc´ı IFS. Semestráln´ı práce, ˇ FEL CVUT. Praha, 2006. ˇ [69] Miloslav Capek: Mod´ aln´ı analýza mikrop´ askových patch antén. Bakaláˇrská ˇ pr´ ace, FEL CVUT. Praha, 2007. ˇ [70] Miloslav Capek: Implementace vyzaˇrovac´ıho diagramu v prostˇred´ı Matlab. Inˇ dividu´ aln´ı projekt, FEL CVUT. Praha, 2009. [71] Pavel Hazdra: Compact Fractal Antenna Structures. Technical Thesis, dep. of Electromagnetic Field, CTU. Prague, 2005. [72] Pavel Tiˇ snovsk´ y: Interaktivn´ı editor afinn´ıch transformac´ı. Diplomová práce, VUT. Brno, 1999. ˇ [73] Pavel Hazdra: Frakt´ alové antény. Diplomová práce, FEL CVUT. Praha, 2003.

122


Literatura

[74] Jan Rohan: N´ avrh patchové antény pomoc´ı genetického algoritmu. Bakaláˇrská pr´ ace, VUT. Brno, 1999. [75] Genetické algoritmy. Diplomová práce, Praha. [76] Miroslav Janoˇ s´ık: Algoritmy pro optimalizaci s´ıt´ı GAME. Bakaláˇrská práce, ˇ FEL CVUT. Praha, 2006. [77] Miloˇ s Nˇ emec: Optimalizace pomoc´ı mravenˇc´ıch koloni´ı. Diplomová práce, ˇ CVUT. Praha, 2006. ˇ [78] Martin Stumpf: Frekvenˇcnˇe selektivn´ı struktury s frakt´ aln´ımi motivy. ´ v Brnˇe. Bakal´ aˇrsk´ a pr´ ace, VUT [79] Vlastimil Koudelka: Neuronov´ a s´ıt’ pro n´ avrh ˇsirokop´ asmové antény. ´ Bakal´ aˇrsk´ a pr´ ace, VUT v Brnˇe. Brno, 2007. [80] Aleˇ s Marˇ s´ alek: Multifrekvenˇcn´ı ozaˇrovaˇc malé parabolické antény s kruhovou ´ v Brnˇe. polarizac´ı. Diplomov´ a pr´ ace, VUT [81] Pavel Hamouz: Analýza antén metodou charakteristických m´ od˚ u. Diplomová ˇ pr´ ace, FEL CVUT v Praze. Praha, 2007. [82] Robert Z´ aleˇ s´ ak: L-systémy a systémy iterovaných funkc´ı – Popis a realizace v prostˇred´ı Matlab. Bakal´ aˇrská práce, VUT. Brno, 2007. [83] Robert Wiesner: Uˇzit´ı a zneuˇzit´ı frakt´ al˚ u. Diplomová práce, Masarykova Univerzita. Brno, 2006. [84] Petr Pauˇ s: Poˇc´ıtaˇcové metody analýzy frakt´ aln´ıch mnoˇzin. Diplomová práce, ˇ FjFi CVUT v Praze. Praha, 2005. [85] Marta Cabedo Fabr´ es: Systematic Design of Antennas Using the Theory of Characteristic Modes. Ph. D. dizertace, Universidad Politécnica de Valencia, 2007.

Internetov´ e zdroje [86] Frakt´ aly v poˇc´ıtaˇcové grafice, na serveru: www.root.cz. Seriál. I.–IV. 2006. [87] Galleries and Resources: www.fractalus.com. Otevˇrená galerie fraktál˚ u. [88] Genetic Algorithms in Plain English: www.ai-junkie.com/ga/intro/gat1.html, ... [89] Matlab tutorial1: http://artax.karlin.mff.cuni.cz/ beda/cz/matlab/primercz/.

123


Literatura

[90] Matlab tutorial2: http://uprt.vscht.cz/majerova/matlab/lekce2.html, ... [91] Simulace elektromagnetického pole. Presentace dostupná na: www.elmag.org nebo www.rfprop.com. [92] Numerick´ a simulace elektromagnetického pole – Simul´ atory elmag. pole. Presentace k pˇredmˇetu na: www.elmag.org. [93] Rojov´ a inteligence, mravenˇcn´ı kolonie. Osobn´ı stránky zab´ıvaj´ıc´ı se mj. rojovou optimalizac´ı, na: www.milosnemec.cz. [94] Objekty a objektové paradigma. http://objekty.vse.cz [95] Metoda koneˇcných prvk˚ u. http://www.345.vsb.cz/jirihruby/Vmt/ [96] Poˇc´ıtaˇcové generov´ an´ı frakt´ aln´ıch mnoˇzin. http://kmlinux.fjfi.cvut.cz/∼pauspetr/html/skola/fraktaly/ reserse.htm] Toc73066108 [97] Vybrané frakt´ aly a jejich dimenze. http://www.kitnarf.cz/publications [98] Humusoft. Str´ anky v´ yhradn´ıho prodejce Matlabu, Comsolu a HeavyHorse ˇ Dostupné na: http://www.humusoft.cz stanic v CR. [99] Matlab. http://www.mathworks.com/ [100] Comsol Multiphysics. http://www.comsol.com/ [101] Computer Simulation Technology. http://www.cst.com/ [102] EM Software & Systems-S.A.. http://www.feko.info/ [103] Benoit B. Mandelbrot: Fractals in Science, Engineering and Finance. Video pˇredn´ aˇska na MIT, http://mitworld.mit.edu/video/52.

124

Rejstˇ r´ık σ-algebra, 11 ˇs´ıˇrka p´ asma, 40

funcionál, 46 funkce (Matlab), 22

absorbˇcn´ı zed’, 84 afinn´ı transformace, 8 agent, 83 apertura, 71

Galerkinova metoda, 43, 46

bázové funkce, 42, 47 Banach,Stefan, 7 Banachova vˇeta, 7 Barnsley, M. F., 3 Besicovitch, Abram S., 3 Borelovsk´ a mnoˇzina, 13 C++, 19 callback funkce, 20 Carathéodory, Constantin, 14 charakteristické proudy, 50 charakteristick´ yu ´hel, 51 Comsol Multiphysics, 49 cost funkce, 86 CST-MWS, 62 datov´ y typ, 21 Demko, S., 3 Dirac˚ uv impuls, 43 diskretizace, viz mesh dokonal´ a elektrick´ a stˇena, 44, 49 dokonal´ a magnetick´ a stˇena, 44

Hölderova funkce, 13 handle, 20 harmonick´ y ustálen´ y stav, 44 Hausdorff, Felix, 3 Hausdorffova dimenze, 13 Helmholtzova vlnová rovnice, 45 Hutchinson, John E., 5 Hutchinson˚ uv operátor, 5 IFS, 3 Java, 19 kolektivn´ı chován´ı, 82 kontrakce, 6 Kroneckerovo delta, 51 Lagrange˚ uv variaˇcn´ı princip, 49 lineárn´ı operátor, 41 Lipschitzova funkce, 13

Eulerova rovnice, 50 excitaˇcn´ı koeficient, 52

m´ıra, 11 mˇr´ıˇzková dimenze, 15 Makarov, Sergey N., 52 Mandelbrot, Benoit B., 3 Matlab, 19 mesh, 47, 56 metrika, 6 Moler, Cleve, 19

FEKO, 56 frakt´ al, 3 Fredholmova teorie, 44

napájen´ı antény, 39 nesmyslné módy, 57 Neumannova podm´ınka, 44 125


Rejstˇ r´ık

neviditeln´ a zed’, 85 odrazn´ a zed’, 84 pevn´ y bod, 6 postupn´ a proudov´ a vlna, 39 princip ekvivalence, 71 proudov´ a hustota, 67 Register, Andy H, 21 rezonance, 46, 50 Richardson˚ uv efekt, 4 Ritzova metoda, 46 rojov´ a optimalizace, 82 RWG b´ azové funkce, 52 Scierpinského troj´ uheln´ık, 17, 127 skalárn´ı potenci´ al, 50, 66 skalárn´ı souˇcin, 42 skript (Matlab), 22 sobˇepˇr´ıbuznost, 4 sobˇepodobnost, 4 solution space, 83 stojat´ a proudov´ a vlna, 39 Thomson˚ uv princip, 46 topologick´ a dimenze, 11 transformaˇcn´ı matice, 70 troj´ uheln´ıkovou nerovnost, 6 vektorov´ y potenci´ al, 50, 66 vlastn´ı ˇc´ısla, 45 vnˇejˇs´ı norm´ ala, 72

126

Kapitola 12

Pˇ r´ılohy 12.1

Dodatek A: V´ ybˇ er IFS frakt´ al˚ u

Obr´ azek 12.1: Fraktál FRC A v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci

Obr´ azek 12.2: Frakt´ al FRC A inicializaˇcn´ı objekt a transformace Parametry IFS: 

 0 0  FRC A.base =  100 √ 0 50 5000 127


12.1. Dodatek A: V´ ybˇ er IFS frakt´ al˚ u

 0.5001 0 0 0.5001 0 0  FRC A.tran =  0.5001 0 0 0.5001 50 √ 0 1250 0.5001 0 0 0.5001 25 FRC A.iter = 3 3 3 

Poˇcet nod˚ u a polygon˚ u: 1.iterace 2.iterace Nod˚ u 9 27 Polygon˚ u 3 9

3.iterace 81 27

Tabulka 12.1: Parametry koláˇze FRC A

Obr´ azek 12.3: Fraktál FRC B v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci

Obr´ azek 12.4: Frakt´ al FRC B inicializaˇcn´ı objekt a transformace Parametry IFS: 

 −50 −30  50 −30   FRC B.base =   50 30  −50 30

128




0.2 0.45 0.45 0.45 0.45


0 0 0 0 0

0 0.334 0 0  0 0.45 27.5 17.5  0 0.45 27.5 −17.5 FRC B.tran =    0 0.45 −27.5 17.5 0 0.45 −27.5 −17.5 FRC B.iter = 3 3 3


     

3.iterace 500 125

Tabulka 12.2: Parametry koláˇze FRC B

Obr´ azek 12.5: Fraktál FRC C v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci Parametry IFS:       FRC C.base =          FRC C.tran =   

0.334 0.334 0.334 0.334 0.334

0 44.4 44.4 29.6 29.6 14.8 14.8 0

0 0 0 0 0 129

0 0 0 0 0

0 0 45.46 45.46 22.73 22.73 45.46 45.46

           

0.5 0 0 0.5 14.8 0 0.5 29.6 0 0.5 0 22.73 0.5 29.6 22.73

     



Obr´ azek 12.6: Frakt´ al FRC C inicializaˇcn´ı objekt a transformace FRC C.iter =

3 3 3


3.iterace 1000 125

Tabulka 12.3: Parametry koláˇze FRC C

Parametry IFS:     FRC D.base =     

0.3350 0.3350 0.3350 0.3350 0.3350 0.3350

 103.9236 0 207.8460 60   207.8460 180   103.9236 240   0 180  0 60

0 0 0 0 0 0

0  0   0 FRC D.tran =   0   0 0 FRC D.iter =

130

0.3350 0 0 0.3350 66.7 0 0.3350 −33.5 57.8 0.3350 100 57.8 0.3350 0 115.5 0.3350 66.7 115.5 3 3 3

       



Obr´ azek 12.7: Fraktál FRC D v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci

Obr´ azek 12.8: Frakt´ al FRC D inicializaˇcn´ı objekt a transformace Parametry IFS:     FRC E.base =    

1 0 0.5 0.886 −0.5 0.886 −1 0 −0.5 −0.886 0.5 −0.886



0.5 0 0 0.5  FRC E.tran = 0.5 0 0 0.5 0.5 0 0 0.5 FRC E.iter = 3 3

131

       

 −0.5 0 0.25 0.443  0.25 −0.443 3




3.iterace 1296 216

Tabulka 12.4: Parametry koláˇze FRC D

Obr´ azek 12.9: Fraktál FRC E v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci


3.iterace 162 27

Tabulka 12.5: Parametry koláˇze FRC E

Parametry IFS: 

 −50 −30  −50 30   FRC F.base =   50 30  50 −30   0.15 0 0 0.3 0 0  0.5 0 0 0.35 30 18     FRC F.tran =  0.5 0 0 0.35 30 −18    0.5 0 0 0.35 −30 18  0.5 0 0 0.35 −30 −18 FRC F.iter = 3 3 3

132



Obr´ azek 12.10: Frakt´ al FRC E inicializaˇcn´ı objekt a transformace

Obr´ azek 12.11: Fraktál FRC F v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci Parametry IFS:       FRC H.base =      

   FRC H.tran =    FRC

0.3333 0.3333 0.3333 0.3333 0.3333

4.6194 1.9134 −1.9134 −4.6194 −4.6194 −1.9134 1.9134 4.6194 0 0 0 0 0

           

0.3333 3 0 0.3333 0 3 0.3333 −3 0 0.3333 0 −3 0.3333 0 0 H.iter = 3 3 3

133

0 0 0 0 0

1.9134 4.6194 4.6194 1.9134 −1.9134 −4.6194 −4.6194 −1.9134

     



Obr´ azek 12.12: Frakt´ al FRC F inicializaˇcn´ı objekt a transformace Poˇcet nod˚ u a polygon˚ u: 1.iterace 2.iterace Nod˚ u 20 100 Polygon˚ u 5 25

3.iterace 500 125

Tabulka 12.6: Parametry koláˇze FRC F

Parametry IFS:  −1 −1  −1 1   FRC J.base =   1 1  1 −1  0.5 0 0 0.5 0 0  0.3 0 0 0.3 0.7 0.7  0.3 0 0 0.3 −0.7 0.7 FRC J.tran =    0.3 0 0 0.3 −0.7 −0.7 0.3 0 0 0.3 0.7 −0.7 FRC J.iter = 3 3 3 

134

     



Obr´ azek 12.13: Fraktál FRC H v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci

Obr´ azek 12.14: Frakt´ al FRC H inicializaˇcn´ı objekt a transformace Parametry IFS:            FRC K.base =          

−0.75 −0.75 −0.25 −0.25 0.25 0.25 0.75 0.75 0.25 0.25 −0.25 −0.25

135

0.75 −0.75 −0.75 −0.25 −0.25 −0.75 −0.75 0.75 0.75 0.25 0.25 0.75

                    




3.iterace 1000 125

Tabulka 12.7: Parametry koláˇze FRC H

Obr´ azek 12.15: Fraktál FRC J v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci 

0.334 0.334 0.334 0.334 0.334

0 0 0 0 0

0  0   0 FRC K.tran =   0 0 FRC K.iter =

136

 0.334 0 0 0.334 0.5 0.375   0.334 0.5 −0.375   0.334 0.5 0.375  0.334 −0.5 −0.375 3 3 3



Obr´ azek 12.16: Frakt´ al FRC J inicializaˇcn´ı objekt a transformace Poˇcet nod˚ u a polygon˚ u: 1.iterace 2.iterace Nod˚ u 20 100 Polygon˚ u 5 25

3.iterace 500 125

Tabulka 12.8: Parametry koláˇze FRC J

Obr´ azek 12.17: Fraktál FRC K v prvn´ı, druhé a tˇret´ı iteraci Poˇcet nod˚ u a polygon˚ u: 1.iterace 2.iterace Nod˚ u 60 300 Polygon˚ u 5 25

3.iterace 1500 125

Tabulka 12.9: Parametry koláˇze FRC K

137



Obr´ azek 12.18: Frakt´ al FRC K inicializaˇcn´ı objekt a transformace

138

N´ astroj pro mod´ aln´ı anal´ yzu FPA 12.2. Dodatek B: Simulace vybran´ ych FRC

12.2

Dodatek B: Simulace vybran´ ych FRC

Obr´ azek 12.19: VD pro 1. mód koláˇze FRC F (CST-MWS)

139


Obr´ azek 12.20: VD pro 2. mód koláˇze FRC F (CST-MWS)

140


Obr´ azek 12.21: M´ ody struktury FRC C (CM, 1-8 zleva doprava)

Obr´ azek 12.22: M´ ody struktury FRC J (CM, 1-4 zleva doprava)

141


Obr´ azek 12.23: Proudové rozloˇzen´ı dominantn´ıch mod˚ u 142


12.3

12.3. Dodatek C: Pˇ rehled aplikac´ı

Dodatek C: Pˇ rehled aplikac´ı

Obr´ azek 12.24: Schéma celého projektu N´ azev AntTool IFSMaker IFSLimiter PSOptimizer PSOPost EvalInFem EvalRadPattern OptimRadPattern DBT

Status 09/08 nedokonˇceno 11/08 1/09 2/09 10/08 03/09 ne ne

Koment´ aˇ r pozastaveno +sweep, FEM, poly a dalˇs´ı +multiple-min, DBT, GSO / SPSO volba dimenz´ı, dalˇs´ı u ´daje max fr podle meshe upravit algoritmus podle licence

Tabulka 12.10: Pˇrehled vˇsech vyvinut´ ych nástroj˚ u

143


12.4

12.4. Dodatek D: Pˇ r´ıkazy AntTool

Dodatek D: Pˇ r´ıkazy AntTool

Pˇ r´ıkaz add pt x,y add tr a,b,c,d,e,f add it x save pt X save pt save tr / tr X save ifs X save ifs x,y,z save pc load pt X load pt load tr / tr X cor pt x cor tr x del pt x,y,z,. . . del tr x,y,z,. . . del pt/tr 0 sw pt sw tr sw ifs sw ifs y,z solve ifs sc txt about ant

Operace uloˇz´ı bod [x, y] uloˇz´ı transf. podle [a, b, c, d, e, f ] uloˇz´ı poˇcet iterac´ı, v rozsahu (1, 15) uloˇz´ı vˇsechny body do souboru points arrayX.mat otevˇre dialog, ukládá do zadaného txt souboru ukl´ ad´ an´ı transformac´ı, podobnˇe jako u bod˚ u uloˇz´ı polygony (cell) do extern´ıho souboru jako v´ yˇse, ale od iterace y do iterace z screenshot obrázk˚ u, otevˇre v´ ybˇer moˇznost´ı naˇcte slot X s body otevˇre dialog pro v´ ybˇer txt souboru naˇc´ıt´ an´ı transformac´ı, jako u bod˚ u umoˇzn´ı opravit bod ˇc.x lze opravit transformaci x smaˇze body ˇc.x,y,z,. . . smaˇze transformace ˇc.x,y,z,. . . maˇze vˇsechny body/transformace vykresl´ı zadané body vykresl´ı zadané transformace vykresl´ı celou koláˇz vykresl´ı IFS od iterace y do z vypoˇcte IFS fraktál naˇcte a vyˇreˇs´ı skript z B program source/script data1.txt otevˇre info okno

Tabulka 12.11: Pˇrehled1 dostupn´ ych pˇr´ıkaz˚ u programu AntTool (Matlab) Vˇetˇsina uveden´ ych pˇr´ıkaz˚ u má v´ıce tvar˚ u, rozˇsiˇruj´ıc´ı jejich moˇznosti. Tento pˇrehled je z´ akladn´ı a mˇel by umoˇznit vytvoˇrit a vykreslit koláˇz. I kdyˇz funkci AntToolu pˇrevzal IFSMaker, je vhodné tyto pˇr´ıklady uvést, nebot’ dokladuj´ı, ˇze i v Matlabu lze vytvoˇrit funguj´ıc´ı konzoly zaloˇzenou na pˇresném tokenizeru a rychlé interpretaci rozdˇelen´ ych pˇr´ıkaz˚ u.

12.5

Dodatek E: Srovn´ an´ı program˚ u

Tato pˇr´ıloha dokladuje v´ yvoj vybran´ ych aplikac´ı od BP k DP.

144


12.5. Dodatek E: Srovn´ an´ı program˚ u

Vyˇ zaduje pˇ ripojen´ y Comsol Multiphysics conv ifs pˇrevede IFS na FEM geometrii conv ifs y,z pˇrevede IFS na FEM geometrii od it. y do z conv poly pˇrevede polygony na FEM geometrii sw geom vykresl´ı FEM geometrii siz ifs xk,yk body kol´ aˇze jsou násobeny xk,yk dim ifs slot najde max. rozmˇer koláˇze a ten vyp´ıˇse mesh geo Y,Z diskretizuje FEM geometrii, Y je multiplik., Z ∼ Qmin a dalˇs´ı . . . Tabulka 12.12: Pˇrehled2 dostupn´ ych pˇr´ıkaz˚ u programu AntTool (Comsol)

Obr´ azek 12.25: CM solver z BP (vlevo) a z DP (vpravo)

145


12.5. Dodatek E: Srovn´ an´ı program˚ u

Obr´ azek 12.26: IFS editor z BP (dole) a DP (nahoˇre)

146


12.6

12.6. Dodatek F: Obsah DVD

Dodatek F: Obsah DVD

DVD pˇriloˇzené k hotové pr´ aci obsahuje: • Zdrojov´ y k´ od vˇsech program˚ u v Matlabu, sloˇzka mfiles • Vzory FRC promˇen´ ych, PsoData, v´ ysledky a hladiny funkc´ı, vars • Pˇres 250 obr´ azk˚ u1 (z DP, v´ ysledky, fraktály a dalˇs´ı), doc • Excel tabulku s frakt´ aly, optimalizaˇcn´ımi u ´lohami a jejich v´ ysledky, doc • Publikované ˇcl´ anky, Artics • Vybrané ˇcl´ anky z Literatury, Liter • Schémata, data a mfile soubory k normále v Matlabu, Norm • CST model FRC F ma 10mm, CST • Videa (Video): – CST animace rozloˇzen´ı proudu na FRC – Anal´ yza pomoc´ı EvalInFem, vˇc. chybného zadán´ı – Uk´ azka tvorby IFS v IFSMakeru – Tutori´ al na IFSLimiter – Z´ aznam optimalizace IFS pomoc´ı PSO a CM (cel´ y projekt) – Pohyb roje nad FRC, u ´loha H2, 100 iterac´ı

1

Pozn.: Nen´ı-li uvedeno jinak, jsou vˇsechny obr. d´ılem autora (Corel, Visio, Photoshop . . . ).

147

FAKULTA ELEKTROTECHNICKÁ KATEDRA ELEKTROMAGNETICKÉHO POLE

Recommend Documents