EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB
RUDIANSYAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
ABSTRAK RUDIANSYAH. Evaluasi Determinan Matriks Rekursif dengan Faktorisasi LB. Dibimbing oleh NUR ALIATININGTYAS dan FARIDA HANUM. Evaluasi determinan sebagai sebuah kajian tersendiri dipelopori oleh George Andrews. Metode yang bisa dipakai untuk evaluasi determinan cukup variatif, di antaranya dengan faktorisasi. Dalam tulisan ini, evaluasi determinan dilakukan terhadap matriks rekursif A yang unsur-unsurnya didefinisikan oleh persamaan ai , j = ai −1, j −1 + ai −1, j . Syarat awal untuk persamaan rekursif tersebut ditentukan oleh unsur-unsur pada baris dan kolom pertama matriks A. Ada empat kasus yang dianalisis, yaitu dengan menentukan syarat awal persamaan rekursif berpadanan dengan suku-suku barisan bilangan bulat: ω k , χ k , ω k , dan υ k . Keempat kasus tersebut dianalisis melalui faktorisasi LB, sedemikian sehingga evaluasi determinan matriks A bisa diselesaikan melalui evaluasi determinan matriks B. Hasil yang diperoleh dari analisis-analisis tersebut adalah bahwa determinan matriks A bisa dinyatakan sebagai persamaan rekursif tertentu. Bahkan untuk parameter yang diberikan secara spesifik, formulasi determinan yang diperoleh berupa relasi kongruensi tertentu.
ABSTRACT RUDIANSYAH. Determinant Evaluation of Recursive Matrix with LB Factorization. Supervised by NUR ALIATININGTYAS and FARIDA HANUM. Determinant evaluation as an independent study is pioneered by George Andrews. Many methods can be used for determinant evaluations, one of them is factorization. In this paper, determinant evaluations work on matrix A which its entries are defined by equation ai , j = ai −1, j −1 + ai −1, j . The initial condition of the recursive equation is determined by entries of the first row and column of matrix A. There were four cases which were analyzed, with determining the initial condition corresponded with members of integer sequences: ω k , χ k , ω k , and υ k . All cases were analyzed by LB factorization, so that determinant evaluation of matrix A could be solved by determinant evaluation of matrix B. The result was the determinant of matrix A could be expressed by certain recursive equations. Furthermore, determinant formulations could be expressed as certain congruences relations for specifically value of parameter.
EVALUASI DETERMINAN MATRIKS REKURSIF DENGAN FAKTORISASI LB
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Matematika
RUDIANSYAH
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
Judul Skripsi :
Evaluasi Determinan Matriks Rekursif dengan Faktorisasi LB
Nama
:
Rudiansyah
NIM
:
G05400010
Menyetujui:
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si.
Dra. Farida Hanum, M.Si.
NIP 131 779 501
NIP 131 956 709
Mengetahui: Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, M.S. NIP 131 473 999
Tanggal lulus:
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah Subhaanahu wa Ta`aala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam tugas akhir yang dilaksanakan sejak bulan Februari 2007 ini adalah evaluasi determinan, dengan judul Evaluasi Determinan Matriks Rekursif dengan Faktorisasi LB. Terima kasih penulis ucapkan kepada Ibu Dra. Nur Aliatiningtyas, M.Si. dan Ibu Dra. Farida Hanum, M.Si. selaku pembimbing serta Bapak Dr. Sugi Guritman yang telah banyak memberikan saran. Di samping itu, penghargaan penulis sampaikan kepada Saudara Abdul Rahmat Ramdhan dan Saudara Setiadi Hudjimartsu yang telah banyak membantu dalam proses penulisan karya ilmiah ini. Ungkapan terima kasih juga disampaikan kepada ayah, ibu, serta seluruh keluarga, atas segala doa dan kasih sayangnya. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, September 2007
Rudiansyah
RIWAYAT HIDUP Penulis dilahirkan di Bogor pada tanggal 17 Oktober 1981 dari ayah Ibrahim dan ibu Robiah. Penulis merupakan putra pertama dari tiga bersaudara. Tahun 2000 penulis lulus dari SMA Negeri 3 Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Departemen Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti perkuliahan, penulis menjadi asisten mata kuliah Matematika Dasar pada tahun ajaran 2002/2003 dan 2003/2004 serta mata kuliah Kalkulus I pada tahun ajaran yang sama. Pada tahun ajaran 2004/2005 penulis bekerja sebagai pengajar matematika di SMA Darul Faizin Bogor dan pada tahun ajaran 2005/2006 bekerja sebagai pengajar matematika di SMA Bina Cipta Insani Bogor. Sejak tahun 2006, penulis bekerja sebagai guru matematika di Bimbingan Belajar dan Privat BTA Bogor.
DAFTAR ISI Halaman
DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................................ viii
I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ........................................................................................................
1
1.2 Metode dan Sistematika Penulisan ..........................................................................
1
1.3 Tujuan .....................................................................................................................
1
II LANDASAN TEORI 2.1 Notasi Sigma ...........................................................................................................
1
2.2 Matriks dan Determinan ..........................................................................................
2
2.3 Persamaan Beda ......................................................................................................
5
2.4 Teori Bilangan ........................................................................................................
6
III PEMBAHASAN ................................................................................................................
6
IV KESIMPULAN DAN SARAN 4.1 Kesimpulan .............................................................................................................
22
4.2 Saran .......................................................................................................................
22
DAFTAR PUSTAKA ..............................................................................................................
23
LAMPIRAN .............................................................................................................................
24
vii
DAFTAR LAMPIRAN Halaman
1
Bukti Teorema 2.2 ........................................................................................................
25
2
Ilustrasi Teorema 3.1
....................................................................................................
26
3
Ilustrasi Faktorisasi pada Pembuktian Teorema 3.3 ......................................................
26
viii
I PENDAHULUAN pertama matriks tersebut berpadanan dengan
1.1 Latar Belakang Istilah determinan diperkenalkan pertama kali
oleh
Gauss
dalam
suku-suku barisan bilangan bulat tertentu sebagai syarat awal untuk persamaan rekursif
Disquisitiones
Arithmeticae (1801) ketika membahas bentuk
yang
kuadratik.
direkonstruksi
dari
tulisan
Moghaddamfar
dan
kawan-kawan
menurut
Tapi, sudut
pengertian pandang
determinan
modern
baru
diberikan.
Semua
bahasan
itu
A.
R. yang
diberikan oleh Cauchy pada tahun 1812.
berjudul More calculations on determinant
[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/
evaluations.
HistTopics/Matrices_and_determinants.html] Evaluasi determinan sebagai sebuah kajian tersendiri
baru
ketika
George
Andrews
berhasil
memecahkan
masalah
menggunakan metode studi literatur. Adapun
enumerasi yang sulit pada partisi bidang.
sistematika penulisan karya ilmiah ini adalah
Sampai saat ini sudah banyak metode yang
sebagai berikut. Pada bab kedua diberikan
efektif
mengevaluasi
landasan teori yang menjadi tumpuan dasar
determinan suatu matriks, di antaranya:
dalam analisis masalah. Pada bab ketiga
reduksi ke dalam matriks segitiga melalui
diberikan pembahasan mengenai evaluasi
operasi baris atau kolom, ekspansi Laplace,
determinan matriks rekursif dan penyelesaian
determinan Vandermonde, faktorisasi LU,
setiap detail kasus yang ada.
kondensasi, identifikasi faktor, dan lain-lain.
keempat diberikan kesimpulan dan saran yang
[Krattenthaler, 1991]
mengakhiri karya ilmiah ini.
dan
Dalam
dimulai
1.2 Metode dan Sistematika Penulisan
praktis
karya
untuk
ilmiah
ini,
Karya
ilmiah
ini
disusun
dengan
Pada bab
determinan
matriks A yang unsur-unsurnya didefinisikan
1.3 Tujuan Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah
secara rekursif sebagai ai , j = ai −1, j −1 + ai −1, j ,
LB.
untuk mengevaluasi determinan suatu matriks
Kemudian, beberapa kasus khusus dianalisis
rekursif berukuran n dengan beberapa pilihan
dengan memilih unsur-unsur baris dan kolom
unsur pada baris dan kolom pertamanya.
akan
dievaluasi
melalui
faktorisasi
II LANDASAN TEORI Di dalam bab ini akan dibahas sejumlah
2.1 Notasi Sigma
definisi dan teorema yang menjadi landasan
Teorema 2.1 (Sifat-sifat notasi sigma)
untuk pembahasan di bab III, di antaranya: notasi
sigma,
matriks
dan
Misalkan ai dan bi adalah suku ke-i dari
determinan,
dua barisan dengan n suku, serta k adalah
persamaan beda, serta teori bilangan.
suatu konstanta, maka
1
