ESTIMATOR DERET FOURIER UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON

ESTIMATOR DERET FOURIER UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON Agustini Tripena* Abstract : In the last decade Fourier series estimator in nonparametric regression (one response) a lot of attention from researchers because of its flexibility. In this paper will be developed in Fourier series estimator in nonparametric regression of two responses (Birespon). Data are given in pairs (t1j, y1j), j = 1, 2, ... n1 and (t2j, y2j), j = 1, 2, ... n2,. The relationship between t1j, t2j, y1j and y2j following nonparametric regression model Birespon: y1j = f1 (t1j) +  1j and y2j = f2 (t2j) +  2j Form of regression curves f1 and f2 are unknown and assumed to be contained within the space of continuous functions (0,  ). Random error  1j mutually independent with mean zero and variance 12 , and  1j also mutually independent with mean zero and variance  22 . Random error  1j and  2j are correlated with the Cor(  1j,  2j) = r. Regression curve f1(t) and f2(t) respectively were approached by a continuous and differentiable function: K K 1 1 d1 (t1 j ) =  1t1 j   01   1k cos kt1 j , And d 2 (t2 j ) =  2 t2 j   02    2 k cos kt2 j , 2 2 k 1 k 1

1  , 2  , 01  , 02  , 1k  , k = 1, 2, ..., n1, 2k  , k = 1, 2, ..., n2 are parameters that are unknown in the Fourier series model. Estimated nonparametric regression curve Birespon f1(t) and f2(t) obtained from the complete optimization Penalized Weighted Least Square (PLST):     1 2 2 " " 2 2 ( y ) w (  ,  ,  )( y )  [ f ( t ] dt         1 2 1 1 1 1 2  [ f 2 (t 2 ] dt 2  0 0   (n1  n 2

Completion of this form of optimization PLST Fourier series estimator that can be presented in the form:  fˆ ( t1 )   1   B ( 1 ,  2 )  fˆ ( t )     fˆ ( t 2 )     2 

y1  y2 

  . Fourier series estimator in nonparametric regression Birespon is biased  

 f1 (t1 )  f ( t )    to nonparametric regression curve   f2 (t2 )  Although biased, but this estimator is a linear estimator, which is very supportive in building statistical inference for nonparametric regression curve Birespon. Key words: Fourier series estimator, Nonparametric Regression Birespon, Penalized Weighted Least Square.

* Program Studi Matematika, Fakultas Sains dan Teknik, Univesitas Jenderal Soedirman, Purwokerto

6

Magistra No. 84 Th. XXV Juni 2013 ISSN 0215-9511

Estimator Deret Fourier untuk Estimasi Kurva Regresi Nonparametrik Birespon

PENDAHULUAN Diberikan model regresi nonparametrik (satu respon) yj = f(tj) + εj, tj  [a,b], j =1,2,…,n. Bentuk kurva regresi f diasumsikan tidak diketahui dan termuat di dalam suatu ruang fungsi tertentu, seperti ruang Sobolev W2m [ a, b] , ruang fungsi-fungsi kontinu © (0,π), ruang Hilbert, ruang Entopi, dan yang lainya. Pengambilan asumsi ini, tergantung pada sifat smooth yang dimiliki oleh fungsi yang polanya tidak diketahui tersebut (Budiantara, 2000; 1999). Error random εj diasumsikan berdistribusi independen dengan mean nol dan variansi σ 2 . Persoalan dalam regresi nonparametrik adalah bagaimana mendapatkan bentuk estimator untuk kurva regresi f. Dalam regresi nonparametrik umumnya bentuk estimator nonparametrik diperoleh dengan menggunakan pendekatan fungsi keluarga (misalnya deret orthogonal (Eubank,1988), Wavelets (Antoniadis, et al. (2001 ), Kernel (Eubank,1988) dan Spline (Budiantara, 2006). Berdasarkan pandangan teori estimasi, pendekatan fungsi keluarga umumnya sulit mendapatkan landasan dasar Statistika yang digunakan dalam pendekatan fungsi keluarga tersebut (Budiantara, 2001; 2002; 2005). Wahba (1990), Wang (1998) dan Budiantara (2002), tidak lagi menggunakan pendekatan fungsi keluarga, tetapi menggunakan optimasi Penalized yang menggabungkan Goodness of fit dan penalty. Estimator regresi nonparametrik diperoleh dari menyelesaikan optimasi : Min { R(f) +  J(f) }, f H untuk suatu ruang fungsi H. Kuantitas R(f) dan J(f) berturut-turut menyatakan goodness of fit dan ukuran kemulusan fungsi (penalty). Parameter penghalus (bandwith)  mengontrol antara R(f) dan J(f). Kelompok regresi nonparametrik yang sering menggunakan pendekatan penalized ini adalah Spline.

Karena kelebihannya ini, beberapa kelompok regresi lain seperti Deret Fourier juga mulai mengunakan pendekatan penalized, tetapi masih mengkombinasikannya dengan pendekatan fungsi keluarga (Bilodeau, 1992; Tripena dan Budiantara, 2006). Estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik satu respon, dalam beberapa tahun terakhir banyak mendapat perhatian dari beberapa peneliti regresi nonparametrik. Estimator Deret Fourier ini, umumnya digunakan apabila data yang diselidiki polanya tidak diketahui dan ada kecendrungan pola musiman (Tripena dan Budiantara, 2006 dan Bilodeau, 1992). Dalam estimator Deret Fourier, kurva regresi nonparametrik satu respon f diasumsikan tidak diketahui dan termuat di dalam ruang fungsi kontinu ! (0,π). Error random ε j diasumsikan berdistribusi normal independen dengan mean nol dan variansi σ2. Karena f(t) kontinu pada interval (0,π) maka dapat dihampiri oleh fungsi dimana , i = 1,2,…,K merupakan parameter-parameter model (Bilodeau, 1992). Berdasarkan model Deret Fourier ini, Bilodeau (1992) memberikan estimator Deret Forier untuk kurva regresi nonparametrik satu respon, berbentuk :

Fˆ (t )

=

1 2

K

ˆ ( )t  ˆ 0 ( )   ˆ i ( ) cos it , i 1

dengan

ˆ ( )  (ˆ( ), ˆ 0 ( ), ˆ1 ( ),..., ˆ K ( )) diperoleh 

1 1 1 dari persamaan : ˆ ( ) = ( n X X  G ) n X y ,





dimana G matriks diagonal dan X suatu matriks koefisien. Selanjutnya, Tripena dan Budiantara (2006), menyatakan bahwa apabila error random dari


7


model regresi nonparametrik satu respon berdistribusi normal, maka estimator Deret Fourier dan yang diberikan oleh Bilodeau (1992), mempuyai sifat (i). merupakan estimator bias untuk kurva regresi nonparametrik f(t). (ii). merupakan kelas estimator linear dalam observasi, dan (iii). dan masing-masing berdistribusi normal. Dalam beberapa persoalan praktis, sering dijumpai model regresi yang memiliki respon lebih dari satu (Birespon), pola kurva regresinya tidak jelas dan tidak diketahui, serta ada indikasi musiman. Secara teoritis estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik Birespon merupakan generalisasi dari estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik satu respon. Penelitian yang menyangkut estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik Birespon, belum banyak dikembangkan oleh para peneliti. Dalam tulisan ini akan diberikan bentuk estimator Deret Fourier dalam regresi nonparametrik Birespon dan sifat-sifat yang dimiliki oleh estimator tersebut.

REGRESI NOPARAMETRIK BIRESPON DAN STRUKTUR MATRIKS VARIANCE-COVARIAN Diberikan data berpasangan y(t1j , y1j) , j = 1, 2, n1 dan (t2j, y2j), j = 1 ,2, …n2, Hubungan antara t1j, t2j, y1j, dan y2j diasumsikan mengikuti model regresi nonparametrik dengan dua respon (Birespon) : y1j = f1(t1j) + 1j , j =1,2,…,n1 y2j = f2(t2j) + 2j ,j =1,2,…,n2. (1) Bentuk kurva regresi f1 dan f2 tidak diketahui dan diasumsikan termuat didalam ruang fungsi kontinu !(0,π), dimana:!(0,π ={g ; g kontinu pada interval (0,π) }. Error random 1j, j =1,2,…,n1 saling independen dengan mean nol dan variansi , dan error random 2j, j =1,2,…,n2 juga saling independen dengan mean nol dan variansi . Error random 1j, j =1,2,…,n1 dan 2j, j =1,2,…,n2 saling berkorelasi dengan Cor(1j, 2j) = .Struktur matriks variance-covariance dari error ditulis:

  12   0     0  21 1 2 2 W (  , 1 ,  2 ) =    21      21

0



2 1

 0

 21  21 

 21

 0      

0  0

 12  12

 12  12





 12  21  21

 12  22

 12

0  0

 22



 21

0  0

       

 12    12      12  0   . Misalkan diberikan kuantitas   0   22 

1  12   1  2 , r   dan korelasi     , maka covariansi 12 dapat ditulis menjadi 12 = 12 =. 2

1

2

 

2 1    r ,dan Pada sisi lain variansi 12 dan  22 berturut-turut dapat disajikan menjadi :  1   1  2  



2



. Dengan demikian matriks variance-covariance W 1 (  ,  12 ,  22 ) dapat disajikan menjadi :

8



 r   0     0      1 2 2 W (  , 1 ,  2 ) =           

0  0

 



 0 



0



r







 







0













0

r

  r In 1    W1(,12,22) =     J n2 xn1 

    



  





 

0



 

r







r 



0

0



  

 0      Matriks  0     r 

W 1 (  ,  12 ,  22 ) dapat pula disajikan

   

 J n xn  1

 1 In r 2

2

   , (2) dengan matriks I n dan I n berturut-turut menyatakan   1

matriks Identitas berukuran n1 xn1 dan n2 xn2 , serta matriks J n

1xn2

1    1 

2

  

1   . 1 

Berdasarkan matriks variance-covariace W 1 (  ,  12 ,  22 ) ini, akan ditentukan bentuk estimator Deret Fourier Bivariate dalam regresi nonparametrik Birespon. ESTIMATOR DERET FOURIER BIVARIATE DALAM REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON Persamaan regresi nonparametrik Birespon (1) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks:

 y11   f1 (t11 )    11   y      f (t )   y12   f1 (t12 )    12   11   1 11   11            y12   f1 (t12 )    12   y   f (t )               1n   1 1n1   1n   y1n   f1 (t1n1 )    1n                      y   f (t )        f (t )     y 21 2 21 21 21 2 21         21       f 2 (t 22 )    22   y 22   f 2 (t 22 )    22  y 22                                     y   f (t )      y 2 n1   f (t 2 n1 )    2 n1   2n1   2 n1   2n1 


(3) Karena kurva regresi f1!(0,π) dan

9


f2!(0,π), maka f1(t) dan f2(t) berturut-turut dapat dihampiri oleh fungsi kontinu dan diferensiabel d1(t) dan d2(t), yaitu : f1(t1j ) = d1(t1j ), j =1,2,…,n1 dan f2(t2j ) = d2(t2j ), j =1,2,…,n2 , dengan K 1 d1 (t1 j ) =  1t1 j   01   1k cos kt1 j , dan 2 k 1

(4)

K 1 d 2 (t2 j ) =  2 t2 j   02    2 k cos kt2 j 2 k 1

(5)

Persamaan regresi nonparametrik Birespon (3) dapat ditulis menjadi:

K 1   t     1k cos kt11  1 11 01  2 k 1  K  1  t     1k cos kt12   1 12 01  y11  2 k 1       y12      K  t  1      1 k cos kt1 n1  1 1 n1 2 01   y1 n1  k 1          K   y 21  1   2 t 21   02    2 k cos kt 21   2 k 1   y 22  K     1   2 t 22   02    2 k cos kt 22   2  k 1  y 2 n2     K  1   t    2 2 n2 2 02   2 k cos kt 2 n 2 k 1 

       11      12         1 n1         21      22         2 n 2     

             

(6)

Kuantitas-kuantitas  1  ,  2  ,  01   ,  02   , 1k  , k  1, 2,..., n1 ,  2 k , k  1, 2,..., n2 merupakan parameter-parameter yang tidak diketahui di dalam model Deret Fourier (4) dan (5). Estimasi kurva regresi nonparametrik Birespon f1 (t ) dan f 2 (t ) diperoleh dari menyelesaikan optimasi Penalized Least Square Terbobot (PLST ) :





Vektor y  y1, y2 ' adalah vektor berukuran (n1  n2 ) x1 , dan yk  ( yk 1 , yk 2 ,..., yknk ) vektor berukuran











nk x1,k = 1,2.Vektor f  f1, f 2 ' merupakan vektor berukuran ,dan vektor berukuran x1, k = 1,2. matriks   

bobot berukuran yang tergantung pada dan dan berkaitan dengan persamaan (2). Parameter dan merupakan parameter penghalus (bandwith). Dari Persamaan (7) diuraikan komponen Goodness of fit :

1 G(  )  G( f )  y  f ' W (  , 12 ,  22 ) y  f n  n  1 2     



10







(8) Penalty :


Estimator Deret Fourier untuk Estimasi Kurva Regresi Nonparametrik Birespon 2    2 2 2 P (  )  P ( f )  P ( f 1 , f 2 )   1   f 1 t 1   dt 1 +  2   f 2  t 2   dt 2      0 0  

(9)

dengan:

  ( 1 ,  2 ,  01 ,  02 , 11 , 12 ,..., 1K ,  21 ,  22 ,...,  2 K )   2 K  4 . Pertama, akan diuraikan komponen 

Goodness of fit. Model regresi nonparametrik Birespon pada Persamaan (6) dapat disajikan dalam bentuk :

y  B(t1 , t2 )   dengan   

 y11     y12       y1n1    y1  y        ,    y2    y21      y22       y2n2 

 t11   t12     t1n B (t1 , t2 )   1 0  0    0 

1 1  2  01   11  11        12 12            1K      1n1  1           1          ,    2    2   2    1   21    2  02     22    21     22      2n2      2K

                    

dan

1 cos t11

cos 2t11  cos Kt11

0

0

0

0



0

1 cos t12


0

0

0

0



0

 1 cos t1n1

  cos 2t1n1  cos Kt1n1

 0

 0

0

 0



 0

0

0

0



0

t21 1 cos t21


0

0

0



0

t22 1 cos t22














0

0

0



0

t2 n2 1 cos t2 n2



 cos 2t2 n2

  cos Kt 2 n2

            

Goodness of fit pada Persamaan (8) dapat dinyatakan menjadi :

1 G(  )  y  B(t1 , t 2 ) ' W (  ,  12 ,  12 ) y  B( t1 , t2 ) . (10). Selanjutnya, akan diturunkan n  n      1 2 Penalty dari Persamaan (9). Pertama diturunkan terlebih dahulu penalty suku pertama dari Persamaan (9), sebagai berikut :










11




2 2   f 1 ( t1 )  dt1    

 0



 0

2  d2  1  1 t1   0 1     d t1 2  2

2

 c o s k t1   d t1 

K



1k

k 1

Untuk menyelesaikan integral ini, terlebih dahulu ditentukan kuantitas dari :  d2  1  t   01   2  1 1 2 d t  1 



2



K k 1

 d  d t1 

  1 k c o s k t1     

 d   dt1

1    1 t1  2  0 1  

2  K     k 2 1k cos k t1  Persamaan terakhir memberikan :  k 1  



2





K

k 1

0



2





    k K

  k



2

2

K

2

K

 1k cos kt1   2    k 2 1 k cos kt1



 0

 j 

2

0 k 1



4



2



k 1

K     1    1k k sin kt1     k 1

2

2  K 2  cos k  k t  1k 1  dt1 0     k 1





1j

 j  2

 1 k cos kt1

d  dt

 cos jt1  dt1 

2

K

  k

2

  1 k cos kt1     

2 2 2   f 1 ( t1 )  d t1       

k j k j

 1 k cos kt1  dt1 



K

1j



cos jt1 dt1

Untuk menyelesaikan

(11).

k j

0

persamaan ini, pertama dihitung nilai Integral suku pertama dari Persamaan (11), sebagai berikut : 

K

2

  k



2

 1 k c o s k t1  d t1 

2

k 1 0



K



1



2





k 1



K

4 2 2  k  1 k cos kt1 dt1 



k 1 0

K

k

4

 



K

  kj  k j

2



0

K



 1  c o s  k  j  t 1  d t1 2 

  0

4



K

  kj  k j

2





k 4  12k

k 1

 1  2 c o s k t1   d t1 2 

  0

4

K 

 k 2 j 21k1 j cos kt1 cos jt1 dt1   k j 0

 cos  k  j  t1  cos  k  j  t1   dt1 2 0 



. Selanjutnya diperoleh :  cos kt1 cos jt1 dt1   



2  0 .Akibatnya:  k j 0  k  1 k co s kt1



jt1  dt1 

0

 1  c o s  k  j  t 1  d t1  2 

4

0





 1 k  1 j  cos kt1 cos jt1 dt1

  0

k 1



K

2

 12k . Selanjutnya dihitung nilai Integral suku kedua dari Persamaan

k j 0

4



k 4 12k  cos 2 kt1 dt1 

k 1

2 2 (11), sebagai berikut:     k  1 k cos kt1  j  1 j cos







K

K

2   k 4  12k  t1  s in k t1   k  0 4

2

 j 



2

1j

1 1   sin  k  j    sin 0   12  k 1 j  sin  k  j  t  0  2 k  j    co s jt1  d t1 

4



K



  k 2 j 2 1 k  1 j co s kt1 co s k j

jt1 d t1

0

a k a j  0 = 0. Hasil ini, memberikan nilai Penalty suku pertama dari Persamaan (9) :



2 K 2   4 2  dt  f ( t )    1 1  1  k 1k . 0

(12) Langkah selanjutnya adalah menurunkan Penalty suku kedua dari

k 1

Persamaan (9). Dengan cara yang serupa dengan cara perhitungan Penalty pada suku pertama, diperoleh nilai 

K 2    2 4 2 Penalty dari suku kedua pada Persamaan (9) :   f 2 (t2 )  dt2   k  2 k  k 1

(13).

0

12



Berdasarkan Persamaan (12) dan (13), maka Penalty pada Persamaan (9) dapat ditulis menjadi : P( )



 K 4 2    k 1k   2   kK1  4 2    k 2k   k 1 

 1

=

0  0  1  1  0    0 

=

0



0 0 0 14  

  

0



0

0

0   0  0  1    K 4 

+

0  0  2  2  0    0 

0 0

0 0

 

0  0

14  0

  

0   0  0  2     K 4 

=

1 1D 1 + 2 2 D2 







0  D 0   1   1IK 2   (   )     =   * D *  2  = 1 2 IK2     0   0 D  2    

(14)

dimana :

 1  0   I D 0       ,    1 K 2 , D*      Diag ( D, D), dan 2 I K  2     2   0 D  0 

0  0 D  0   0 

0 0 0 0 0 14   0 0

 0    0   0   Diag (0, 0,14 , 24 ,..., K 4 )  . Dengan memperhatikan Persamaan (10) dan     K 4 

Persamaan (14), maka optimasi PLST pada Persamaan (7) dapat dinyatakan menjadi :



Min G( )  P(  )  2 K4   





 1 y  B(t1 , t2 ) ' W( , 12 , 22 ) y  B(t1 , t2 )    * D*          n1  n2 

 = Min 2 K4 









 1 Min yW (  , 12 ,  22 )y  2B(t1 , t2 )W(  ,  12 , 22 )  2 K 4     n1  n2  





  B(t1 , t2 )W (  , 12 ,  22 )B(t1 , t2 )    * D *     





 1 2 Min yW (  ,  12 ,  22 )y  B(t1 , t2 )W (  ,  12 ,  22 )   2 K 4   n1  n2   n1  n2    1      B(t1 , t2 )W (  ,  12 ,  22 )B(t1 , t2 )   * D *      n1  n2   


13


Dengan sedikit penjabaran dan menggunakan derivatif parsial, diperoleh persamaan normal :

 1  2 B(t1 , t2 )W (  , 12 , 22 )  2  B(t1 , t2 )W (  , 12 , 22 )B(t1 , t2 )   * D *    0. Estimator untuk n1  n2  n1  n2   1

 1  1    B(t1 , t 2 )W (  ,  12 ,  22 )B(t1 , t2 )   * D *  B (t1 , t2 )W (  ,  12 ,  22 ) y , N  N    dengan N= n1 +n2 . Estimator Deret Fourier untuk kurva regresi nonparametrik Birespon, diberikan oleh

 diberikan oleh : ˆ

 fˆ (t )  1 ˆf (t ,t )  1 1   B(t ,t )ˆ 1   1  2 2 2 2  Bt ( , t ) B ( t , t ) W (  ,  ,  ) Bt ( , t )   * D *  1 2 1 2  :  B(t1 ,t2 )W(,1 ,2 ) y 1 2  1 2 1 2 1 2  fˆ (t2) N N       2  . = H (1 , 2 ) y ,



(15)

dengan 1

1  1  2 2 B (t1 , t2 )W (  ,  12 ,  22 ) H(1,2) = B(t1 , t2 )  B(t1 , t2 )W (  , 1 ,  2 )B(t1 , t2 )   * D *  N  N

SIFAT-SIFAT ESTIMATOR DERET FOURIER BIVARIATE Persamaan (15), memberikan estimator Deret Fourier untuk kurva regresi nonparametrik Birespon yang

 y1  y     , yaitu : = pada dasarnya dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear dari observasi (respon)   y2    y1  H (  ,  ) H (1 , 2 ) y = 1 2   .  y2  Persamaan ini memperlihatkan bahwa estimator Deret Fourier untuk kurva     regresi nonparametrik Birespon tegolong kelas estimator linear. Estimator linear dalam Statistika Inferensi, khususnya teori estimasi sangat disukai, karena sifat linear ini akan memberikan kemudahan dalam mendapatkan inferensi untuk kurva regresi nonparametrik Birespon. Walaupun estimator Deret Fourier ini tergolong estimator linear, tetapi estimator Deret Fourier ini bersifat bias. Hal ini dapat ditunjukan sebagai berikut. Dari Persamaan

  fˆ (t1, t2 )   E  E (15), diperoleh :     

 fˆ1 (t1 )    y1     E  H ( ,  ) y  E  H (1 , 2 )     =  1 2  y2    =  fˆ2 (t2 )       

 E ( y1 )   f1 (t1 )   f1 (t1 )  H (  ,  ) H (  ,  )           f. 1 2 1 2 =  E ( y2 )  =  f 2 (t2 )   f 2 (t2 )           

14



REFERENSI Antoniadis, A., Bigot, J. and Spatinas, T., 2001,

Budiantara, I. N., 2005, Model Keluarga Spline

Wavelet Estimators in Nonparametric Regression : A Comparative Simulation Study, Journal of

Polinomial Truncated Dalam Regresi Semiparametrik, Makalah Seminar Nasional

Statistical Software, 6, 1-83.

Matematika, Jurusan Matematika Universitas Diponegoro, Semarang.

Bilodeau, M., 1992, Fourier Smoother and Additive Models, The Canadian Journal of Statistics, 3, 257-269. Budiantara, I. N., 1999, Estimator Spline Terbobot Dalam Regresi Semiparametrik, Majalah Ilmu

Budiantara, I. N., 2006, Model Spline Dengan Knots Optimal, Jurnal Ilmu Dasar, FMIPA Universitas Jember, 7, 77-85. Eubank,R.L.,1988, Spline Smoothing and

Pengetahuan dan Teknologi (IPTEKS), 10, 103109.

Nonparametric Regression, Mercel Dekker, New York.

Budiantara, I. N., 2000, Optimasi dan Proyeksi Dalam Regresi Nonparametrik Spline, Majalah Berkala Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (BMIPA), Universitas Gadjah Mada, 10, 35-44.

Tripena, A. and Budiantara, I N., 2006, Fourier Estimator in Nonparametric Regression, International Conference On Natural Sciences and Applied Natural Scienes, Ahmad Dahlan University, Yogyakarta.

Budiantara, I. N., 2001, Regresi Nonparametrik dan Semiparametrik Serta Perkembangannya, Makalah Pembicara Utama pada Seminar Nasional Alumni Pasca Sarjana Matematika Universitas Gadjah Mada, Yogyakarta. Budiantara, I. N., 2002, Estimator Tipe Penalized Likelihood, Jurnal Natural FMIPA Unibraw, Edisi Khusus, 231-235.


Wahba G.,1990, Spline Models For Observasion Data, SIAM Pensylvania. Wang, Y., 1998, Spline Smoothing Models With Correlated Errors, Journal of the American Statistical Association., 93, 341-348.

15

ESTIMATOR DERET FOURIER UNTUK ESTIMASI KURVA REGRESI NONPARAMETRIK BIRESPON

Recommend Documents