ESTIMASI MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIVARIAT BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL ORDE DUA SKRIPSI

ADLN Perpustakaan Universitas Airlangga

ESTIMASI MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIVARIAT BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL ORDE DUA

SKRIPSI

DYAH WIDIANTINI

PROGRAM STUDI S-1 MATEMATIKA DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS AIRLANGGA 2012

Skripsi

Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua

Widiantini, Dyah


ESTIMASI MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIVARIAT BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL ORDE DUA

SKRIPSI

Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Sarjana Sains Bidang Matematika Pada Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Disetujui Oleh :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001

ii Skripsi


Widiantini, Dyah


LEMBAR PENGESAHAN NASKAH SKRIPSI Judul Penyusun NIM Tanggal Ujian

: Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua : Dyah Widiantini : 080810540 : 18 Juni 2012

Disetujui oleh :

Pembimbing I,

Pembimbing II,

Drs. Suliyanto, M.Si NIP. 19650907 199102 1 001

Drs. Eko Tjahjono, M.Si NIP . 19600706 198601 1 001

Mengetahui : Ketua Program Studi S-1 Matematika Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga

Dr. Miswanto, M.Si NIP. 19680204 199303 1 002

iii Skripsi


Widiantini, Dyah


PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI Skripsi ini tidak dipublikasikan, namun tersedia di perpustakaan dalam lingkungan Universitas Airlangga, diperkenankan untuk dipakai sebagai referensi kepustakaan, tetapi pengutipan harus seizin penyusun dan harus menyebutkan sumbernya sesuai kebiasaan ilmiah. Dokumen skripsi ini merupakan hak milik Universitas Airlangga.

iv Skripsi


Widiantini, Dyah


KATA PENGANTAR

Alhamdulillah, segala puji hanya untuk Allah Tuhan semesta alam, atas segala berkat, rahmat, taufik, serta hidayah-Nya yang tak terkira besarnya, sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul ”Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua”. Dalam penyusunannya, penulis memperoleh banyak bantuan dari berbagai pihak, karena itu penulis mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada : 1. Allah SWT, yang telah banyak memberikan rahmat dan hidayah-Nya kepada penulis. 2. Kedua orang tua dan adik-adik penulis, yang telah memberikan dukungan, kasih, dan kepercayaan yang begitu besar. 3. Dr. Miswanto M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi yang telah banyak membantu dengan arahan-arahannya. 4. Dra. Utami Dyah P, M.Si selaku dosen wali selama menjadi mahasiswa Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Airlangga, yang telah banyak memberikan arahan dan saran demi kesuksesan penulis. 5. Drs. Suliyanto, M.Si selaku dosen pembimbing I yang telah memberikan banyak arahan, masukan, perhatian, semangat, rasa sabar yang begitu besar dan pengetahuan yang tidak ternilai harganya. 6. Drs. Eko Tjahjono, M.Si. selaku dosen pembimbing II yang telah memberikan banyak arahan, masukan, waktu, tenaga dan pikiran yang sangat bemanfaat. 7. Toha Saifudin, S.Si, M.Si selaku dosen penguji I dan Dr. Fatmawati, M.Si selaku dosen penguji II yang telah banyak memberikan saran dan masukan agar penulisan skripsi ini dapat lebih baik lagi. 8. Seluruh dosen Matematika Universitas Airlangga, terima kasih untuk segala ilmu yang diberikan. 9. Keluarga besar UPTD Ponsos Kalijudan, khususnya kepada Ibu Hj. Rosalia Endang Setyawati selaku kepala asrama, terima kasih atas doa, bimbingan, dan nasehatnya selama ini. Juga teman-teman asrama putra dan putri angkatan 2008, 2009, dan 2011, khususnya teman sekamarku, Titi, Widya, dan Silvi. Aku akan selalu merindukan kebersamaan dengan kalian selama 4 tahun terakhir ini. Semoga suatu saat nanti kita bisa reuni bersama...!!! 10. Abang, yang telah setia menemani dan banyak memberikan motivasi serta saran yang membangun, sehingga penulis bisa belajar banyak hal darinya. 11. Anggota GP++ : Ragil, Rika, Dilpi, Mita, Lina, Dinda, Lia, Tika, Vita, Michelle, terima kasih atas kebersamaan dan kekompakannya selama ini. Semoga persahabatan kita tetap langgeng sampai tua nanti. I love u all..

v Skripsi


Widiantini, Dyah


12. Teman-teman Matematika 2008, juga untuk kakak-kakak 2007 dan adik-adik di 2009, terima kasih untuk segala bantuannya. 13. Serta pihak-pihak lain yang tidak dapat disebutkan satu persatu, terima kasih atas segala bantuan dalam penyelesaian skripsi ini. Penulis menyadari bahwa masih terdapat banyak kekurangan dalam penulisan skripsi ini. Oleh karena itu, kritik dan saran yang membangun terus penulis harapkan agar skripsi ini dapat lebih baik lagi. Surabaya, Juli 2012 Penyusun Dyah Widiantini

vi Skripsi


Widiantini, Dyah


Dyah Widiantini, 2012. Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua. Skripsi ini dibawah bimbingan Drs. Suliyanto, M.Si dan Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Departemen Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Airlangga, Surabaya ABSTRAK Tujuan penulisan skripsi ini membahas estimasi model regresi nonparametrik multivariat menggunakan estimator polinomial lokal orde dua. Estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh dalam bentuk eksplisit yang merupakan fungsi dari bandwidth dan fixed point arbitrary , sehingga estimasinya dilakukan dengan memilih bandwidth optimal yang meminimumkan Generalized Cross Validation (GCV). Setelah estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh, selanjutnya dibahas estimasi selang kepercayaan untuk rata-rata estimasi model regresi nonparametrik multivariat. Data yang digunakan dalam penerapan model regresi nonparametrik multivariat adalah data berat badan balita pada di Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 sebanyak 30 pengamatan dengan variabel respon adalah berat badan balita dalam satuan kilogram dan kedua variabel prediktornya adalah tinggi badan balita dalam satuan meter dan lingkar kepala balita dalam satuan meter. Hasil penerapan model regresi nonparametrik multivariat pada data berat badan balita dengan selang kepercayaan diperoleh estimasi bagi rata-rata berat badan balita pada pengamatan ke-1 adalah pengamatan ke-2 sebesar

, pada , sampai pada

pengamatan ke-30 yaitu sebesar dengan nilai bandwidth optimal untuk variabel prediktor sebesar dan variabel prediktor sebesar . Untuk kesesuaian hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh nilai dan eror random Kata Kunci : Regresi nonparametrik multivariat, Estimator polinomial lokal orde dua, Generalized cross validation,

vii Skripsi


Widiantini, Dyah


Dyah Widiantini, 2012. The Estimation of Multivariate Nonparametric Regression Model based on Second Order Local Polynomial Estimator. This Skripsi is under adviced by Drs. Suliyanto, M.Si and Drs. Eko Tjahjono, M.Si., Mathematics Department, Faculty of Sains and Technology, Airlangga University, Surabaya ABSTRACT The purpose of this Skripsi is to estimate multivariate nonparametric regression model based on second order local polynomial estimator. Estimation of multivariate nonparametric regression model is obtained in explicit form from function bandwidth and fixed point arbitrary , so that estimation can be done with choose optimal bandwidth which minimized Generalized Cross Validation (GCV). Furtehermore, we explain the confidence level for mean of estimation of multivariate nonparametric regression model. In this case, we used data of baby’s weight in 2006 at Rumah Sakit Haji Surabaya. There are thirty observations where the response variable is weight of baby in kilogram and predictor variables are baby’s height in meter and head circumference of baby in meter. The results of multivariate nonparametric regression model in data of baby’s weight with confidence level 95% for mean of estimation baby’s weight on first observation is , on second observation is

, then on thirty observation

is with an optimal bandwidth value for is and is . For compatibility of the result multivariate nonparametric regression is obtained and error random . Key Words

: Multivariate nonparametric regression, Second order local polynomial estimator, Generalized cross validation,

viii Skripsi


Widiantini, Dyah


DAFTAR ISI Halaman LEMBAR JUDUL ........................................................................................... i LEMBAR PERNYATAAN ............................................................................ ii LEMBAR PENGESAHAN ............................................................................ iii LEMBAR PEDOMAN PENGGUNAAN SKRIPSI ........................................iv KATA PENGANTAR ..................................................................................... v ABSTRAK ................................................................................................... vii ABSTRACT ................................................................................................ viii DAFTAR ISI ..................................................................................................ix DAFTAR GAMBAR ......................................................................................xi DAFTAR LAMPIRAN ................................................................................. xii BAB I PENDAHULUAN ............................................................................... 1 1.1 Latar Belakang Masalah .................................................................. 1 1.2 Rumusan Masalah ...........................................................................2 1.3 Tujuan ............................................................................................. 3 1.4 Manfaat ........................................................................................... 3 1.5 Batasan Masalah .............................................................................. 4 BAB II TINJAUAN PUSTAKA ..................................................................... 5 2.1 Aljabar Matrik ................................................................................. 5 2.1.1 Matriks ................................................................................ 5 2.1.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 6 2.1.3 Matriks Definit Positif.......................................................... 6 2.1.4 Matriks Kalkulus.................................................................. 8 2.2 Bandwidth (h) .................................................................................. 9 2.3 Fungsi Kernel Univariat .................................................................. 9 2.4 Fungsi Kernel Multivariat .............................................................. 10 2.5 Pemilihan Bandwidth Optimal ....................................................... 11 2.6 Deret Taylor Multivariat ................................................................ 12 2.7 Model Regresi Nonparametrik Multivariat ..................................... 12 ix Skripsi


Widiantini, Dyah


2.8 Estimator Polinomial Lokal Orde Dua ........................................... 12 2.9 Distribusi Normal .......................................................................... 13 2.10 Software S-PLUS 2000 .................................................................. 18 2.11 Software Minitab ........................................................................... 21 2.12 Pertumbuhan Balita ....................................................................... 21 BAB III METODE PENELITIAN ................................................................ 22 BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN ....................................................... 26 4.1 Estimasi Titik pada Model Regresi Nonparametrik Multivariat ..... 26 4.2 Selang Kepercayaan Estimator Model Regresi Nonparametrik Multivariat .................................................................................... 34 4.3 Penerapan pada Data ..................................................................... 38 4.3.1

Data................................................................................... 38

4.3.2 Analisis Data ..................................................................... 38 BAB V KESIMPULAN DAN SARAN ......................................................... 42 5.1 Kesimpulan ................................................................................... 42 5.2 Saran ............................................................................................. 43 DAFTAR PUSTAKA....................................................................................... 44 LAMPIRAN

x Skripsi


Widiantini, Dyah


DAFTAR GAMBAR

Nomor

Judul

Halaman

4.1

Plot data awal tinggi badan balita terhadap berat badan balita

39

4.2

Plot data awal lingkar kepala balita terhadap berat badan balita 39

4.3

Plot selang kepercayaan bagi rata-rata berat badan balita

40

xi Skripsi


Widiantini, Dyah


DAFTAR LAMPIRAN

Nomor

Judul

1

Data berat badan balita di Rumah Sakit Haji Surabaya Tahun 2006

2

Program estimasi model regresi nonparametrik multivariat

3

Output program estimasi model regresi nonparametrik multivariat a

Bandwidth optimal untuk variabel respon berat badan balita dengan variabel prediktor tinggi badan balita dan variabel prediktor lingkar kepala balita

b

Estimasi untuk variabel respon berat badan balita dengan variabel prediktor tinggi badan balita dan variabel prediktor lingkar kepala balita pada tiap pengamatan

c

Uji normalitas pada eror

xii Skripsi


Widiantini, Dyah


BAB I PENDAHULUAN

1.1

Latar Belakang Masalah Analisis regresi digunakan untuk menelaah hubungan antara dua variabel

atau lebih, terutama untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum diketahui dengan sempurna, atau untuk mengetahui pengaruh dari beberapa variabel prediktor terhadap variabel respon dalam suatu fenomena yang kompleks. Dalam analisis regresi terdapat dua macam pendekatan, yaitu pendekatan parametrik dan pendekatan nonparametrik. Pendekatan parametrik digunakan ketika sudah ada asumsi terhadap bentuk fungsi regresi berdasarkan teori atau pengalaman masa lalu. Sedangkan pendekatan nonparametrik tidak terikat oleh asumsi bentuk fungsi regresi tertentu. Dalam kasus nyata hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor seringkali tidak diketahui bentuk fungsi regresinya. Oleh karena itu pendekatan regresi nonparametrik banyak sekali digunakan.

Estimasi

regresi

nonparametrik

dilakukan

berdasarkan

data

pengamatan dengan teknik smoothing tertentu. Ada beberapa teknik smoothing yang digunakan dalam regresi nonparametrik yang memuat satu variabel prediktor, diantaranya adalah Histogram, Estimator Kernel, Estimator Spline, Estimator Penalized Spline, Estimator K-NN, Estimator Deret Fourier, Estimator Wavelet dan Deret Orthogonal (Eubank, 1988). Model regresi nonparametrik yang memuat lebih dari satu variabel prediktor dinamakan model regresi nonparametrik multivariat dan dapat dinyatakan sebagai

1 Skripsi


Widiantini, Dyah


2

, dengan pengamatan ke ,

adalah variabel respon pada

adalah fungsi regresi multivariat pada pengamatan ke

yang diasumsikan kontinu dan tidak diketahui bentuknya dan eror random . Estimator polinomial lokal merupakan estimator yang didasarkan pada prinsip meminimumkan jumlah kuadrat eror dengan pembobot fungsi kernel, sedangkan ukuran bobot ditentukan oleh parameter

yang disebut bandwidth.

Polinomial lokal merupakan suatu pendekatan yang fleksibel dan efisien dalam metode statistik (Zhang and Chan, 2010). Estimator polinomial lokal orde satu dikenal sebagai estimator lokal linier, sedangkan estimator polinomial lokal dapat digunakan untuk lebih dari satu orde, sesuai yang diinginkan. Orde inilah yang akan menjadi derajat polinomial lokal yang sesuai bagi fungsi regresinya (Fan and Gijbelis, 1996). Berdasarkan uraian tersebut dalam skripsi ini dibahas estimasi model regresi nonparametrik multivariat menggunakan estimator polinomial lokal orde dua, yang bersumber dari buku “Nonparametric and Semiparametric Models”, dan ditambah aplikasinya pada data berat balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 menggunakan software S-PLUS 2000.

1.2

Rumusan Masalah 1.

Bagaimana mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua ?

Skripsi


Widiantini, Dyah


3

2.

Bagaimana menerapkan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua pada data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 dengan menggunakan program dalam software Minitab dan S-PLUS 2000 ?

1.3

Tujuan 1.

Mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua.

2.

Menerapkan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua terhadap data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 dengan menggunakan program dalam software Minitab dan S-PLUS 2000.

1.4

Manfaat 1.

Menambah

wawasan

mengenai

model

regresi

nonparametrik

multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua. 2.

Mengetahui aplikasi model regresi nonparametrik multivariat pada data riil, khususnya penerapan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua pada data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006

.

Skripsi


Widiantini, Dyah


4

1.5

Batasan Masalah Mengacu pada rumusan masalah di atas, maka ruang lingkup dalam

penulisan skripsi ini dibatasi pada penggunaan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan kriteria GCV dalam pemilihan bandwidth optimal.

Skripsi


Widiantini, Dyah


BAB II TINJAUAN PUSTAKA

2.1

Aljabar Matriks

2.1.1 Matriks Matriks adalah susunan bilangan real dalam bentuk persegi panjang yang mempunyai

baris dan

kolom dan dinotasikan :

Definisi 2.1 Trace Trace dari matriks persegi

berukuran

didefinisikan sebagai jumlah dari

elemen-elemen diagonal utama yang dinotasikan sebagai berikut

Definisi 2.2 Matriks Diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen selain diagonal utama bernilai nol yang dinotasikan dalam bentuk :

(Rupert, 2003) Beberapa sifat matriks adalah sebagai berikut : 1.

Jika

2.

Jika

adalah transpose dari matriks , maka adalah invers dari matriks

, maka

5 Skripsi


Widiantini, Dyah


6

3.

Jika

adalah matriks nonsingular, maka

adalah matriks nonsingular, dan

(Myers and Milton, 1991)

2.1.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen Definisi 2.3 Diberikan matriks

berukuran

. Nilai eigen dari Vektor

dan

adalah bilangan real

sebuah vektor tak nol berukuran sedemikian sehingga

.

yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen yang bersesuaian

dengan . (Myers and Milton , 1991) Nilai-nilai eigen dari matriks

diperoleh dengan menyelesaikan persamaan

.

2.1.3 Matriks Definit Positif Definisi 2.4 Misalkan matrik berdimensi dalam

dan

berukuran

dan

adalah vektor

dari variabel real, maka

disebut bentuk kuadratik

disebut matrik dari bentuk kuadratik. (Myers and Milton , 1991)

Skripsi


Widiantini, Dyah


7

Definisi 2.5 Bentuk kuadratik . Matrik dengan matrik

dikatakan definit positif jika

untuk semua

disebut definit positif jika bentuk kuadratik yang bersesuaian adalah definit positif. (Myers and Milton , 1991)

Teorema 2.1 Matriks simetri matriks

adalah definit positif jika dan hanya jika semua nilai eigen dari

bernilai positif. (Rencher, 2000)

Bukti :

Dengan menggunakan definisi 2.3 untuk setiap bersesuaian dengan vektor eigen

nilai eigen dari

yang

memenuhi persamaan

mengalikan ruas kiri dan ruas kanan dengan

. Dengan

diperoleh :

atau Menurut definisi 2.5 , karena definit positif, sehingga

definit positif maka bentuk kuadratik Untuk setiap

maka

Akibatnya

Misalkan

nilai eigen dari

maka diperoleh persamaan Oleh karena

Skripsi

yang bersesuaian dengan vektor eigen . Untuk setiap dan

maka


maka diperoleh . Menurut

Widiantini, Dyah


8

definisi 2.5 maka bentuk kuadratik definisi 2.5 matriks

definit positif . Akibatnya menurut

definit positif.

2.1.4 Matriks Kalkulus Definisi 2.6 Misalkan

adalah vektor, fungsi dari vektor . Maka turunan dari

dan turunan terhadap

adalah :

adalah :

Turunan kedua dari terhadap

Misalkan terdapat vektor

adalah skalar, dan

adalah :

dan matriks simetris , maka :

(Lewis and Syrmos, 1995)

Skripsi


Widiantini, Dyah


9

2.2

Bandwidth Bandwidth atau parameter penghalus yang biasanya dinotasikan dengan ,

merupakan pengontrol keseimbangan antara kemulusan fungsi dan kesesuaian fungsi terhadap data. Jika

besar maka estimasi fungsi yang diperoleh akan

semakin mulus, sedangkan jika

kecil maka estimasi fungsi yang diperoleh akan

semakin kasar atau fungsi-fungsi menjadi semakin fluktuatif. Oleh karena itu dalam memilih nilai

optimal sangat penting agar estimator yang diperoleh juga

optimal. (Eubank, 1988)

2.3

Fungsi Kernel Univariat Sebuah fungsi (i)

dikatakan sebagai fungsi kernel jika memenuhi sifat : untuk semua

(ii)

, simetri disekitar

(iii) (iv) (v) Beberapa jenis fungsi kernel univariat adalah : a. Kernel Uniform

:

b. Kernel Segitiga

:

c. Kernel Epairichnikov : d. Kernel Kuadrat

Skripsi

:


Widiantini, Dyah


10

e. Kernel Triweight

:

f. Kernel Cosinus

:

g. Kernel Gaussian

:

Secara umum fungsi kernel

dengan parameter penghalus atau bandwidth

(h) dinotasikan sebagai berikut : (2.1) (Hardle, 1990)

2.4

Fungsi Kernel Multivariat Misalkan

menyatakan banyaknya pengamatan untuk setiap

maka pengamatan ke-i dari setiap d variabel random dinyatakan

random dalam vektor

variabel

:

(2.2)

Fungsi kernel untuk nilai bandwidth yang berbeda dapat dinotasikan sebagai berikut : (2.3) dengan

, maka berakibat

.

Fungsi kernel multivariat dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (2.3), dengan variabel

Skripsi

saling independen, maka :


Widiantini, Dyah


11

(2.4)

Persamaan (2.4) di atas merupakan fungsi kernel multivariat. (Hardle et.al, 2004)

2.5

Pemilihan Bandwidth Optimal Suatu kriteria untuk bandwidth

Ini berarti untuk setiap

ada matriks

akan dibatasi pada kelas estimator linier. berukuran

sehingga: (2.5)

Salah satu metode untuk mendapatkan

optimal adalah dengan menggunakan

metode Generalized Cross Validation (GCV) yang dirumuskan sebagai berikut : (2.6) dengan Nilai

. optimal diperoleh dari h yang meminimumkan nilai GCV. (Eubank, 1988)

Skripsi


Widiantini, Dyah


12

2.6

Deret Taylor Multivariat Misalkan

dan fungsi

adalah ruang vektor berdimensi . Jika

dan

,

mendekati titik , maka :

(2.7) (Casper, 1965)

2.7

Model Regresi Nonparametrik Multivariat Model regresi nonparametrik multivariat dinotasikan sebagai berikut : (2.8) dengan

adalah variabel respon,

adalah fungsi regresi

nonparametrik multivariat kontinu yang tidak diketahui bentuknya dengan dan eror random

. (Zhang and Chan, 2010)

2.8

Estimator Polinomial Lokal Orde Dua Suatu fungsi

dikatakan memiliki lokal pada suatu titik

dalam

fungsi tersebut memiliki minimum lokal, yaitu jika terdapat persekitaran sedemikian hingga

Skripsi

jika dari

untuk semua persekitaran dari , dan juga


Widiantini, Dyah


13

maksimum lokal, yaitu jika terdapat persekitaran

dari

sedemikian hingga

untuk semua persekitaran dari . Dalam model regresi nonparametrik multivariat (2.8), fungsi

akan

diestimasi dengan estimator polinomial lokal orde dua. Fungsi dihampiri

dengan

deret

Taylor

multivariat

orde

dua

dapat di

sekitar

sebagai berikut: (2.9) Substitusikan (2.9) ke (2.8) maka diperoleh model regresi nonparametrik multivariat pada pengamatan ke sebagai berikut :

Persamaan (2.10) dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut :

Estimator polinomial lokal orde dua adalah nilai

yang meminimumkan

fungsi : (2.10) dengan

adalah fungsi kernel multivariat. (Hardle et.al, 2004)

2.9

Distribusi Normal Variabel random

berdistribusi normal dengan mean

dan varians

jika

probability density function (pdf) nya berbentuk : , untuk

Skripsi


(2.13)

Widiantini, Dyah


14

.

dan ditulis

Misalkan variabel random Jacobian

atau

, maka diperoleh fungsi

. Akibatnya variabel random

mempunyai pdf sebagai

berikut :

Ini menunjukkan bahwa variabel random

berdistribusi normal baku dan ditulis

. (Hogg, et. al., 2004) Teorema 2.2 Moment Generating Function (mgf) dari variabel random

adalah

Bukti :

Skripsi


Widiantini, Dyah


15

■ Teorema 2.3 Jika variabel random mgf dari

berdistribusi normal dengan mean

dan varians

, maka

adalah

Bukti : Misalkan

, maka

sehingga mgf dari

adalah

(dari teorema 2.2)

Teorema 2.4 Jika variabel random independen

;

maka variabel

random Bukti : Menurut teorema 2.3 diperoleh mgf dari

Skripsi

adalah


Widiantini, Dyah


16

Sehingga mgf dari

adalah :

Akibatnya variabel random Teorema 2.5 (Teorema Limit Pusat) Jika

sampel random dari distribusi normal dengan mean

varian

dan

, maka variabel random

akan berdistribusi normal baku dengan mean

dan varian .

Bukti : Diasumsikan mgf

ada untuk

, sehingga fungsi

juga ada untuk merupakan mgf dari dan

. Fungsi

, hal itu menunjukkan bahwa . Dengan menggunakan rumus

Taylor untuk

di sekitar

terdapat sebuah bilangan

antara

dan

sedemikian sehingga

Skripsi


Widiantini, Dyah


17

Selanjutnya dihitung mgf dari

adalah

, Substitusikan dengan

dengan

nilai

antara

, sehingga diperoleh :

dan

dan

. Akibatnya

diperoleh

Karena

kontinu pada

dan

untuk

, maka

sehingga

Skripsi


Widiantini, Dyah


18

untuk semua

bernilai real. Menurut (2.14) membuktikan bahwa variabel random mempunyai limit distribusi normal baku. ■ (Hogg, et. al., 2004)

2.10 Software S-PLUS 2000 S-PLUS adalah suatu paket program yang memungkinkan membuat program sendiri walaupun di dalamnya sudah tersedia banyak program internal yang siap digunakan. Kelebihan dari paket program ini adalah baik program internal maupun program yang pernah dibuat dapat digunakan sebagai sub program dari program yang akan dibuat. Beberapa perintah internal yang digunakan dalam S-PLUS adalah sebagai berikut : a. function( ) merupakan perintah untuk menunjukkan fungsi yang akan digunakan dalam program. Bentuknya : function(...) b. length( ) merupakan perintah untuk menunjukkan banyaknya data. Bentuknya : length(...) c. rep(a,b) merupakan perintah untuk membentuk sebuah vektor yang anggotanya a sebanyak b. Bentuknya : rep (...,...)

Skripsi


Widiantini, Dyah


19

d. matrix(a,b,c) merupakan perintah untuk membentuk sebuah matriks yang anggotanya a dengan jumlah baris sebanyak b dan jumlah kolom sebanyak c. Bentuknya : matrix(...,...,...) e. cat( ) merupakan perintah untuk menuliskan argumentasi dalam bentuk karakter dan kemudian mencetak hasil atau file yang telah ditetapkan. Bentuknya : cat(“....”) f. for( ) merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan berulang kali sesuai dengan kondisi yang telah ditentukan. Bentuknya : for(kondisi){pernyataan} g. sum( ) merupakan perintah untuk menjumlahkan semua bilangan anggota dari suatu vektor. Bentuknya : sum( ... ) h. if-else merupakan perintah untuk menjalankan pernyataan pertama jika kondisi benar dan pernyataan kedua akan dieksekusi jika kondisi bernilai salah. Bentuknya :

if(kondisi) { pernyataan pertama }

Skripsi


Widiantini, Dyah


20

else pernyataan kedua i. while merupakan perintah untuk mengulang satu blok pernyataan terus menerus selama kondisi ungkapan logika pada while berlaku benar. Bentuknya : while(logika) { pernyataan } j. rbind perintah untuk menggabungkan beberapa vektor baris ke dalam satu bentuk matriks. Bentuknya adalah: rbind(….) k. cbind perintah untuk menggabungkan beberapa vektor kolom ke dalam satu bentuk matriks. Bentuknya adalah : cbind(…..) l. repeat merupakan perintah untuk mengulangi eksekusi pernyataan secara terus menerus, sehingga diperlukan pernyataan lain untuk menghentikan perulangan eksekusi. Bentuknya :

repeat { pernyataan pertama

Skripsi


Widiantini, Dyah


21

if(pernyataan kedua) break

} (Everiit, 1994)

2.11 Software Minitab Minitab merupakan salah satu software dalam ilmu statistik yang banyak digunakan. Minitab pertama kali ditemukan pada tahun 1972, yang pada saat itu masih bernama sistem “Omnitab”. Minitab adalah software yang mudah dipelajari dan memuat banyak aplikasi dalam statistik. Selain itu, software ini juga dapat digunakan pada berbagai macam tipe komputer, seperti komputer mikro, komputer mini, dan sebagainya. Beberapa command pada Minitab antara lain NAME, TINTERVAL, TTEST, TWOT, ONEWAY, STOP, dan NOTE. (Berenson et.al, 1988)

2.12 Pertumbuhan Balita Di masyarakat, cara pengukuran status gizi yang paling sering digunakan adalah antropometri gizi. Dewasa ini dalam program gizi masyarakat, penentuan status gizi balita pun menggunakan metode antropometri sebagai cara untuk menilai status gizi. Pengukuran antropometri ada dua tipe yaitu pertumbuhan dan ukuran komposisi tubuh. Penilaian pertumbuhan merupakan komponen esensial dalam surveilan kesehatan anak karena hampir setiap masalah yang berkaitan dengan fisiologi, interpersonal, dan domain sosial dapat memberikan efek yang buruk pada pertumbuhan anak.

Skripsi


Widiantini, Dyah


22

Antropometri sebagai indikator status gizi dapat dilakukan dengan mengukur beberapa parameter. Parameter adalah ukuran tunggal dari tubuh manusia, antara lain umur, berat badan, tinggi badan, lingkar kepala, lingkar lengan, lingkar dada, dan tebal lemak bawah kulit. Ukuran komposisi tubuh balita yang paling sering diukur di posyandu adalah berat badan. Ada beberapa faktor yang mempengaruhi berat badan balita, antara lain umur, tinggi badan, dan lingkar kepala. Pertumbuhan balita dikatakan baik jika berat badannya seimbang dengan umur, tinggi badan, dan lingkar kepalanya. (Hidayah, 2007)

Skripsi


Widiantini, Dyah


BAB III METODE PENELITIAN

Metode penelitian yang terkait dengan tujuan penulisan ini adalah sebagai berikut : 1.

Mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua melalui langkah-langkah berikut : Langkah 1. Mengasumsikan

sebagai fungsi respon sebanyak dengan

sebanyak

,

memenuhi

pengamatan dan

sebagai variabel prediktor

model

regresi

nonparametrik

, dengan

multivariat

adalah fungsi regresi

multivariat yang tidak diketahui bentuknya. Langkah 2. Melakukan hampiran terhadap fungsi polinomial lokal orde dua di sekitar

menggunakan pendekatan

, yaitu sebagai berikut :

dengan

22 Skripsi


Widiantini, Dyah


23

Langkah 3. Menyatakan elemen-elemen dari vektor

sebagai berikut :

dengan,

Langkah 4. Meminimumkan fungsi

terhadap vektor parameter

:

dengan Langkah 5. Mendapatkan estimator

bagi vektor parameter

.

Langkah 6. Mendapatkan estimasi model regresi nonparametrik multivariat, yaitu

Langkah 7. Mengestimasi vektor dari eror random , yaitu :

Skripsi


Widiantini, Dyah


24

Langkah 8. Memperoleh estimasi bagi

, yaitu :

Kemudian menghitung nilai

, sehingga estimasi bagi

adalah Langkah 9. Menentukan distribusi dari variabel random sesuai dengan yang tertera pada persamaan (2.20) :

Langkah 10. Menentukan nilai

.

Langkah 11. Mendapatkan selang kepercayaan bagi model regresi nonparametrik multivariat pada pengamatan ke- , yaitu :

2.

Menerapkan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua terhadap data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 dengan langkah-langkah berikut :

Skripsi


Widiantini, Dyah


25

Langkah 1. Menginputkan data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006 yang memenuhi asumsi model regresi nonparametrik multivariat dengan berat badan balita sebagai variabel respon, tinggi badan balita sebagai variabel prediktor pertama dan lingkar kepala balita sebagai variabel prediktor kedua. Langkah 2. Membuat scatterplot antara variabel respon dengan setiap variabel prediktor. Langkah 3. Membuat program dalam software S-PLUS 2000. Langkah 4. Mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat pada data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji Surabaya pada tahun 2006.

Skripsi


Widiantini, Dyah


BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN

4.1

Estimasi Titik pada Model Regresi Nonparametrik Multivariat Diasumsikan data pengamatan berpasangan

adalah variabel respon ke i dan

dengan adalah variabel

prediktor multivariat ke-i memenuhi model regresi nonparametrik multivariat : (4.1) dengan

adalah fungsi regresi nonparametrik multivariat yang tidak

diketahui bentuknya dan diasumsikan eror mean 0 dan varians

identik independen normal dengan

.

Model regresi (4.1) dapat ditulis dalam notasi matriks sebagai berikut : (4.2) dengan

,

dan vektor eror random Vektor

.

pada persamaan (4.2) tidak diketahui bentuknya akan diestimasi

dengan estimator polinomial lokal orde dua sebagai berikut : (4.3) dengan

Skripsi

26 Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat Berdasarkan Estimator Polinomial Lokal Orde Dua

Widiantini, Dyah


Elemen-elemen dari vektor

Skripsi

27

pada (4.3) dapat dijelaskan sebagai berikut :


Widiantini, Dyah


Sedangkan elemen-elemen dari vektor

28

pada persamaan (4.3) dapat

dijelaskan sebagai berikut :

Skripsi


Widiantini, Dyah


29

Sehingga dari (4.3) diperoleh bentuk :

(4.4)

Dari persamaan (4.4) diperoleh elemen ke- dari vektor

adalah :

(4.5) dengan

Jika persamaan (4.5) disubstitusikan ke dalam persamaan (4.1) maka diperoleh :

Skripsi


Widiantini, Dyah


30

(4.6) Persamaan (4.6) dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan sebagai berikut :

(4.7) Sistem persamaan (4.7) dapat dinyatakan dalam notasi matriks sebagai berikut : (4.8) dengan

Skripsi


Widiantini, Dyah


31

,

adalah vektor berukuran , berukuran

,

adalah matriks berukuran adalah vektor berukuran

, dengan , dan

vektor

.

Estimasi model regresi nonparametrik multivariat pada persamaan (4.8) dengan menggunakan estimator polinomial lokal orde dua dengan pembobot fungsi kernel diperoleh dengan meminimumkan fungsi : (4.9) dengan bandwidth

merupakan fungsi kernel multivariat berdimensi-d dengan yang dinyatakan sebagai berikut : (4.10)

Skripsi


Widiantini, Dyah


32

Jika dinyatakan dalam notasi matriks, persamaan (4.9) akan menjadi sebagai berikut : (4.11) dengan

Persamaan (4.11) jika dijabarkan sebagai berikut :

(4.12) Langkah untuk mendapatkan fungsi

pada (4.12) mencapai minimum adalah

. Berdasarkan Teorema 2.2, maka diperoleh :

Karena

, maka :

Dari persamaan (4.13) diperoleh :

Skripsi


Widiantini, Dyah


Untuk menjamin bahwa fungsi maka matriks

Matriks

33

pada persamaan (4.11) mencapai minimum, definit positif. Dari sini, maka diperoleh :

merupakan matriks blok diagonal, dimana diagonal-diagonalnya . Untuk membuktikan apakah

bernilai sama, yaitu matriks

merupakan matriks definit positif, maka cukup ditunjukkan bahwa merupakan definit positif. Misalkan

adalah sebarang vektor tak nol berukuran

ditunjukkan bahwa

. Selanjutnya akan

. Perhatikan bahwa (sifat asosiatif)

dengan

adalah vektor tak nol berukuran merupakan , dengan

Skripsi

matriks

diagonal

yang

. elemen-elemennya

adalah

. Berdasarkan sifat fungsi kernel, telah diketahui


Widiantini, Dyah


bahwa nilai

34

positif, dari sini diperoleh bahwa matriks

definit positif. Karena

adalah bentuk kuadratik, dan

maka diperoleh

. Maka, matriks

adalah , definit

positif. Setelah memperoleh

pada persamaan (4.14), maka substitusikan ke

dalam persamaan (4.8). Maka diperoleh estimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua adalah : (4.15) dengan Sehingga, estimator polinomial lokal orde dua untuk pengamatan ke-i adalah : (4.16) dengan

4.2

Selang

adalah baris ke- dari matriks

Kepercayaan

Estimator

Model

.

Regresi

Nonparametrik

Multivariat Fungsi

pada persamaan (4.16) merupakan estimasi model regresi

nonparametrik multivariat pada pengamatan ke-

berdasarkan estimator

polinomial lokal orde dua. Selanjutnya akan ditentukan selang kepercayaan bagi estimator model regresi nonparametrik multivariat pada pengamatan ke- yang dilambangkan dengan

Skripsi

.


Widiantini, Dyah


Fungsi random

35

akan diestimasi dengan terlebih dahulu vektor dari eror

pada persamaan (4.8) diestimasi oleh : (4.17)

Diperoleh estimasi bagi

adalah : (4.18)

Selanjutnya akan dihitung nilai varians dari

, berdasarkan teorema 2.3

diperoleh :

(4.19) Estimasi bagi

pada persamaan (4.19) adalah : (4.20)

Dari persamaan (4.2) diketahui bahwa vektor random Maka,

, sehingga kombinasi linier dari persamaan (4.16)

diperoleh

random

100% bagi

).

Akibatnya variabel –

. Selang kepercayaan

)

adalah sebagai berikut : (4.21)

Skripsi


Widiantini, Dyah


36

Untuk mengestimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua pada persamaan (4.16) dan menentukan selang kepercayaan pada persamaan (4.21), maka algoritma yang digunakan adalah sebagai berikut : Langkah 1. Menginputkan variabel respon Y dan variabel prediktor X dari persamaan (4.8). Langkah 2. Menentukan fungsi Kernel yang akan digunakan yaitu fungsi Kernel Gaussian. Langkah 3. Menentukan nilai bandwidth (h) awal yang berbeda untuk masing-masing variabel prediktor. Langkah 4. Menghitung nilai

yaitu

Langkah 5. Menghitung

pada persamaan (4.16).

Langkah 6. Menghitung Langkah 7. Menghitung GCV


Langkah 8. Mendapatkan nilai bandwidth (h) optimal untuk masing-masing variabel prediktor yaitu

Skripsi

.


Widiantini, Dyah


37

Langkah 9. Mendapatkan estimasi model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal dengan menentukan nilai

.

Langkah 10. Mendapatkan estimasi


Langkah 11. Menghitung estimasi bagi


Langkah 12. Menghitung


Langkah 13. Mendapatkan estimasi

bagi

yaitu

pada

persamaan (4.20). Langkah 14. Menghitung nilai statistik uji Langkah 15. Mendapatkan selang kepercayaan

) 100% bagi

pada

persamaan (4.21).

Skripsi


Widiantini, Dyah


4.3

38

Penerapan pada Data

4.3.1 Data Data yang digunakan untuk penerapan model regresi nonparametrik multivariat berdasarkan estimator polinomial lokal orde dua ini adalah data sekunder yang diambil dari RSU Haji Surabaya pada tahun 2006 sebanyak 30 pengamatan, yang diambil dari Hidayah (2007) (lihat lampiran 1). Data tersebut merupakan data tentang berat badan balita berdasarkan tinggi badan balita dan lingkar kepala balita. Variabel respon pada data adalah berat badan balita (dalam satuan kilogram), sedangkan sebagai variabel prediktor pertama adalah tinggi badan balita (dalam satuan meter), dan variabel prediktor kedua adalah lingkar kepala balita (dalam satuan meter). Untuk mendapatkan estimator model regresi nonparametrik multivariat yang menunjukkan seberapa besar pengaruh tinggi badan balita dan lingkar kepala balita terhadap berat badan balita, langkah yang dilakukan adalah menentukan model hubungan antara variabel respon dengan variabel prediktor secara serentak dengan menggunakan pendekatan estimator polinomial lokal orde dua.

4.3.2 Analisis Data Gambaran awal tentang data dapat dilakukan dengan membuat scatterplot antara berat badan balita dengan tinggi badan balita dan berat badan balita dengan lingkar kepala balita, dengan menggunakan software Minitab, sebagai berikut:

Skripsi


Widiantini, Dyah


39

Gambar 4.1 Plot data awal tinggi badan balita terhadap berat badan balita

Gambar 4.2 Plot data awal lingkar kepala balita terhadap berat badan balita

Nilai bandwidth (h) optimal untuk tiap prediktor pada masing-masing pengamatan ditentukan oleh kriteria GCV dengan menggunakan program pada software S-Plus 2000 (lihat Lampiran 2). Nilai bandwidth (h) optimal pada untuk variabel prediktor tinggi badan balita sebesar

Skripsi

dan untuk variabel prediktor


Widiantini, Dyah


lingkar kepala balita sebesar

40

, diperoleh nilai minimum GCV sebesar

(lihat Lampiran 3a). Nilai bandwidth (h) optimal akan digunakan untuk mencari nilai pada tiap pengamatan. Dengan menggunakan program pada software S-Plus 2000 (pada Lampiran 2), diperoleh nilai estimasi model regresi nonparametrik multivariat pada setiap pengamatan (lihat Lampiran 3b) dengan Mean Square Error (MSE) sebesar

.

Selanjutnya, dilakukan uji normalitas pada eror dengan menggunakan uji One sample Kolmogorov-Smirnov pada software S-PLUS 2000. Berdasarkan uji tersebut, diperoleh nilai p-value sebesar 0.5 (lihat lampiran 3c). Dengan nilai sebesar 5%, maka dapat disimpulkan bahwa eror berdistribusi normal dengan mean sebesar

dan varian sebesar

.

Plot selang kepercayaan 95% bagi rata-rata berat badan balita akan digambarkan melalui software Minitab 14 sebagai berikut :

Gambar 4.3 Plot selang kepercayaan bagi rata-rata berat badan balita

Skripsi


Widiantini, Dyah


41

Berdasarkan Lampiran 3b, diperoleh hasil estimasi selang kepercayaan 95% bagi

rata-rata

berat

badan

balita

,

pada

pada

pengamatan

pengamatan

ke-1

ke-2

adalah sebesar

, sampai pada pengamatan ke-30 yaitu sebesar .

Skripsi


Widiantini, Dyah


BAB V KESIMPULAN DAN SARAN

5.1

Kesimpulan Dari pembahasan pada bab sebelumnya, maka dapat diambil beberapa

kesimpulan sebagai berikut : 1.

Hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat menggunakan estimator polinomial lokal orde dua adalah

, dengan . Selang pepercayaan

untuk rata-rata estimasi model regresi nonparametrik multivariat adalah :

2.

Penerapan data dalam model regresi nonparametrik multivariat adalah data berat badan balita pada Rumah Sakit Haji pada tahun 2006 sebanyak 30 pengamatan dengan variabel respon

adalah berat badan balita dalam

dan kedua variabel prediktornya adalah tinggi badan balita dalam satuan meter dan lingkar kepala balita dalam satuan meter. Hasil penerapan model regresi nonparametrik multivariat pada data berat badan balita diperoleh diperoleh hasil estimasi selang kepercayaan 95% bagi ratarata

berat

badan

balita ,

pada pada

pengamatan pengamatan

ke-1 ke-2

adalah sebesar

, sampai pada pengamatan ke-30 yaitu

42 Skripsi


Widiantini, Dyah


43

, dengan bandwidth optimal untuk

sebesar variabel prediktor

sebesar

dan variabel prediktor

sebesar

.

Untuk kesesuaian hasil estimasi model regresi nonparametrik multivariat diperoleh

5.2

nilai

dan

eror

random

Saran Saran bagi penulis selanjutnya dapat mencari estimasi model regresi

nonparametrik multivariat dengan menggunakan estimator lain, misalnya estimator Spline atau Penalized Spline, dengan lebih banyak variabel prediktor, dan dengan menggunakan distribusi eror yang lain.

Skripsi


Widiantini, Dyah


DAFTAR PUSTAKA

1. Berenson, M. L., Levine D. M., and Rindskopf, D., 1988, Applied Statistics A First Course, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey. 2. Eubank, R.L., 1988, Spline Smoothing and Nonparametric Regression, Marcel Dekker, New York. 3. Everitt, S., 1994, A Handbook of Statistical Analysis Using S-PLUS, Chapman &Hall, London. 4. Fan, J. and Gijbels, I., 1996, Local Polynomial Modelling and Its Applications, Press, New York. 5. Casper, G., 1965, Calculus of Several Variables, Harper and Row, New York. 6. Hardle, W., 1990, Applied Nonparametric Regression, Cambridge University Press, New York. 7. Hardle, W., Muller, M., Sperlich, S., and Werwatz, A., 2004, Nonparametric and Semiparametric Models, Springer, New York. 8. Hidayah, S., 2007, Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multiprediktor dengan Error Lognormal berdasarkan Estimator Penalized Spline, Skripsi, Departemen Matematika, Universitas Airlangga. 9. Hogg, R.V., McKean, J.W., and Craig, A.T., 2004, Introduction to Mathematical Statistic Sixth Edition, UpperSaddle River, New Jersey. 10. Lewis, F. L., and Syrmos, V. L., 1995, Optimal Control Second Edition, A Wiley-Interscience Publication, John Wiley & Sons, Inc. 11. Myers, R. H. and Milton, J. S., 1991, A First Course in The Theory of Linear Statistical Models, PWS-KENT Publishing Company, Boston. 12. Rencher, A. C., 2000, Linear Model in Statistics, Department of Statistics Brigham Young University Provo, Utah. 13. Ruppert, D., Wand M.P., and Carroll R.J., 2003, Semiparametric Regression, Cambridge University Press, New York.

44 Skripsi


Widiantini, Dyah


45

14. Zhang, Z. G., and Chan, S. C., 2010, On Kernel Selection of Multivariate Local Polynomial Modelling and its Application to Image Smoothing and Reconstruction, Journal of Statistica, 1-3.

45 Skripsi


Widiantini, Dyah


Lampiran 1 : Data Berat Badan Balita di Rumah Sakit Haji Surabaya Tahun 2006

No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Sumber :

Skripsi

Berat badan (Y) Tinggi badan ( (kg) (meter) 8.9 0.75 13.5 0.92 4.8 0.52 6.4 0.64 6.7 0.66 4.4 0.54 11.5 0.87 10 0.82 13 0.99 6.1 0.68 8.9 0.78 9.5 0.81 9.4 0.76 8.5 0.73 7.1 0.70 6.5 0.68 6.9 0.65 7.5 0.71 10.5 0.79 9 0.87 9 0.76 7.2 0.87 9.3 0.73 6.9 0.60 9.9 0.67 12 0.96 11 0.96 17 1.01 7 0.65 8 0.82

Lingkar kepala (meter) 0.46 0.49 0.39 0.43 0.43 0.38 0.46 0.47 0.49 0.40 0.45 0.44 0.47 0.46 0.43 0.43 0.42 0.44 0.46 0.47 0.45 0.45 0.45 0.42 0.47 0.50 0.48 0.46 0.42 0.45

Hidayah, S., 2007, Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multiprediktor dengan Error Lognormal berdasarkan Estimator Penalized Spline, Skripsi, Departemen Matematika, Universitas Airlangga.


Widiantini, Dyah


Lampiran 2 : Program Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat kernel<-function(u) { (1/sqrt(2*pi))*exp(-0.5*(u^2)) } bandwidth<-function(data,h1a,h2a) { cat("\n") cat("Mencari Nilai Bandwidth Optimal") cat("\n") n<-nrow(data) y<-data[,1] x1<-data[,2] x2<-data[,3] X<-matrix(0,n,6) u1<-rep(0,n) u2<-rep(0,n) u3<-rep(0,n) u4<-rep(0,n) u5<-rep(0,n) Kh<-rep(0,n) mtopi<-rep(0,n) w<-matrix(0,n,n) u1m<-rep(0,n) u2m<-rep(0,n) h1b<-h1a+0.8 h2b<-h2a+0.8 k1<-seq(h1a,h1b,0.8) k2<-seq(h2a,h2b,0.8) p<-length(k1) q<-length(k2) r<-p*q h1v<-rep(0,r) h2v<-rep(0,r) vGCV<-rep(0,r) h1.opt<-rep(0,n) h2.opt<-rep(0,n) GCVminimum<-rep(0,n) cat("\n =================================") cat("\n h1 h2 GCV ") cat("\n =================================") s<-1 h1<-h1a while(h1
Skripsi


Widiantini, Dyah


} } X[,1]<-rep(1,n) X[,2]<-u1 X[,3]<-u2 X[,4]<-u3 X[,5]<-u4 X[,6]<-u5 w<-diag(1,n,n)%*%diag(Kh,n,n) Ah<-X%*%ginverse(t(X)%*%w%*%X)%*%t(X)%*%w mtopi<-Ah%*%y MSE<-(t(y-mtopi)%*%(y-mtopi))/n bawah<-((1/n)*(sum(diag(diag(1,n,n)-Ah))))^2 GCV<-MSE/bawah vGCV[s]<-GCV cat("\n",format(h1),"\t",format(h2),"\t",format(GCV)) h2v[s]<-h2 h1v[s]<-h1 h2<-h2+0.1 s<-s+1 } h1<-h1+0.1 } M<-matrix(c(h1v,h2v,vGCV),length(vGCV),3) GCVminimum<-min(vGCV) h1.opt<-M[M[,3]==GCVminimum,1] h2.opt<-M[M[,3]==GCVminimum,2] cat("\n h1 optimal \t h2 optimal \t GCV minimal") cat("\n",format(h1.opt),"\t\t",format(h2.opt),"\t\t",format(GCVminimum ),"\n") return(h1.opt,h2.opt) } estimasi<-function(data,h1,h2,alpa) { cat("\n") cat("Mengestimasi Model Regresi Multivariat") cat("\n") n<-nrow(data) y<-data[,1] x1<-data[,2] x2<-data[,3] X<-matrix(0,n,6) u<-matrix(0,n,n) u1<-matrix(0,n,n) u2<-matrix(0,n,n) u3<-matrix(0,n,n) u4<-matrix(0,n,n) u5<-matrix(0,n,n) Kh<-matrix(0,n,n) mtopi<-matrix(0,n,n) error<-matrix(0,n,n) w<-matrix(0,n,n) u1m<-matrix(0,n,n) u2m<-matrix(0,n,n) ba<-matrix(0,n,n) bb<-matrix(0,n,n) var<-matrix(0,n,n) akarvar<-matrix(0,n,n) simpanganbaku<-matrix(0,n,n) sigma<-rep(0,n)

Skripsi


Widiantini, Dyah


error2<-rep(0,n) cat("\n=============================================================== =============================================\n") cat("obs\tx1\tx2\ty\tmtopi\t\terror\tbb\t\tba") cat("\n=============================================================== =============================================\n") for(k in 1:n) { for(i in 1:n) { for(j in 1:n) { u1[j,i]<-(x1[j]-x1[i]) u2[j,i]<-(x2[j]-x2[i]) u3[j,i]<-((x1[j]-x1[i])^2) u4[j,i]<-((x2[j]-x2[i])^2) u5[j,i]<-(x1[j]-x1[i])*(x2[j]-x2[i]) u1m[j,i]<-(1/h1)*kernel(u1[j]/h1) u2m[j,i]<-(1/h2)*kernel(u2[j]/h2) Kh[j,i]<-u1m[j,i]*u2m[j,i] } } X[,1]<-rep(1,n) X[,2]<-u1[,k] X[,3]<-u2[,k] X[,4]<-u3[,k] X[,5]<-u4[,k] X[,6]<-u5[,k] w<-diag(1,n,n)*diag(Kh[,k],n,n) Ah<-X%*%ginverse(t(X)%*%w%*%X)%*%t(X)%*%w mtopi[,k]<-Ah%*%y error[,k]<-y-mtopi[,k] sigma[k]<-sum((error[,k])^2)/n var<-sigma[k]*Ah%*%t(Ah) akarvar<-sqrt(var) simpanganbaku[,k]<-diag(sqrt(sigma[k]*Ah%*%t(Ah))) error2[k]<-y[k]-mtopi[k,k] bb[,k]<-mtopi[,k]-(qnorm(1-(alpa/2),0,1)*simpanganbaku[,k]) ba[,k]<-mtopi[,k]+(qnorm(1-(alpa/2),0,1)*simpanganbaku[,k]) cat(format(k),"\t",format(x1[k]),"\t",format(x2[k]),"\t",format(round( y[k],3)),"\t",format(round(mtopi[k,k],3)),"\t",format(round(error[k,k] ,3)),"\t",(round(bb[k,k],3)),"\t",(round(ba[k,k],3)),"\n") } cat("\n===========================================================\n") MSE<-sum((error2)^2)/n cat("\n Keterangan:") cat("\n MSE= ",MSE,"\n") ks.gof(error2,distribution="normal") }

Skripsi


Widiantini, Dyah


Lampiran 3 : Output Program Estimasi Model Regresi Nonparametrik Multivariat

a.

Bandwidth Optimal untuk Variabel Respon Berat Badan Balita dengan Variabel Prediktor Tinggi Badan Balita dan Variabel Prediktor Lingkar Kepala Balita > bandwidth(databalita,0.3,0.2) Mencari Nilai Bandwidth Optimal ========================= h1 h2 GCV ========================= 0.3 0.2 1.552728 0.3 0.3 1.552757 0.3 0.4 1.552768 0.3 0.5 1.552773 0.3 0.6 1.552776 0.3 0.7 1.552777 0.3 0.8 1.552778 0.3 0.9 1.552779 0.3 1 1.55278 0.4 0.2 1.55097 0.4 0.3 1.550985 0.4 0.4 1.550991 0.4 0.5 1.550994 0.4 0.6 1.550996 0.4 0.7 1.550997 0.4 0.8 1.550997 0.4 0.9 1.550998 0.4 1 1.550998 0.5 0.2 1.550512 0.5 0.3 1.55052 0.5 0.4 1.550524 0.5 0.5 1.550526 0.5 0.6 1.550527 0.5 0.7 1.550528 0.5 0.8 1.550528 0.5 0.9 1.550528

Skripsi


Widiantini, Dyah


0.5 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.6 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.7 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.8 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 0.9 1 1 1 1

Skripsi

1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2 0.3 0.4 0.5

1.550528 1.550353 1.550357 1.55036 1.550361 1.550362 1.550362 1.550362 1.550362 1.550363 1.550286 1.550289 1.55029 1.550291 1.550291 1.550292 1.550292 1.550292 1.550292 1.550255 1.550256 1.550257 1.550257 1.550258 1.550258 1.550258 1.550258 1.550258 1.550238 1.550238 1.550239 1.55024 1.55024 1.55024 1.55024 1.55024 1.55024 1.550229 1.550229 1.550229 1.55023


Widiantini, Dyah


1 1 1 1 1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1 1.1

0.6 0.7 0.8 0.9 1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

h1 optimal 1.1

1.55023 1.55023 1.55023 1.55023 1.55023 1.550224 1.550223 1.550223 1.550223 1.550224 1.550224 1.550224 1.550224 1.550224 h2 optimal 0.3

GCV minimal 1.550223

$h1.opt: [1] 1.1 $h2.opt: [1] 0.3

Keterangan : data

: nama data pada data set dalam software S-Plus, yaitu data berat badan balita

Skripsi

h1a

: nilai bandwidth awal untuk variabel prediktor pertama

h2a

: nilai bandwidth awal untuk variabel prediktor kedua


Widiantini, Dyah


b. Estimasi untuk Variabel Respon Berat Badan Balita dengan Variabel Prediktor Tinggi Badan Balita dan Variabel Prediktor Lingkar Kepala Balita pada Tiap Pengamatan > estimasi(databalita,1.1,0.3,0.05) ======================================================================= obs x1 x2 y mtopi error bb ba ======================================================================= 1 0.75 0.46 8.9 8.817 0.083 8.286 9.349 2 0.92 0.49 13.5 11.549 1.951 10.673 12.426 3 0.52 0.39 4.8 5.007 -0.207 3.735 6.28 4 0.64 0.43 6.4 7.103 -0.703 6.405 7.801 5 0.66 0.43 6.7 7.022 -0.322 6.441 7.602 6 0.54 0.38 4.4 4.314 0.086 2.928 5.701 7 0.87 0.46 11.5 10.231 1.269 9.671 10.792 8 0.82 0.47 10 9.63 0.37 9.074 10.185 9 0.99 0.49 13 13.274 -0.274 12.242 14.306 10 0.68 0.4 6.1 6.151 -0.051 4.683 7.619 11 0.78 0.45 8.9 8.512 0.388 7.989 9.034 12 0.81 0.44 9.5 8.863 0.637 8.148 9.579 13 0.76 0.47 9.4 9.481 -0.081 8.744 10.219 14 0.73 0.46 8.5 8.86 -0.36 8.259 9.461 15 0.7 0.43 7.1 7.098 0.002 6.573 7.623 16 0.68 0.43 6.5 7.02 -0.52 6.497 7.543 17 0.65 0.42 6.9 6.444 0.456 5.897 6.991 18 0.71 0.44 7.5 7.614 -0.114 7.106 8.122 19 0.79 0.46 10.5 8.97 1.53 8.471 9.469 20 0.87 0.47 9 10.3 -1.3 9.762 10.839 21 0.76 0.45 9 8.328 0.672 7.827 8.83 22 0.87 0.45 7.2 10.321 -3.121 9.608 11.034 23 0.73 0.45 9.3 8.203 1.097 7.705 8.701 24 0.6 0.42 6.9 6.629 0.271 5.747 7.512 25 0.67 0.47 9.9 10.603 -0.703 8.933 12.273 26 0.96 0.5 12 12.48 -0.48 11.285 13.676 27 0.96 0.48 11 12.509 -1.509 11.711 13.308 28 1.01 0.46 17 15.503 1.497 13.772 17.235 29 0.65 0.42 7 6.444 0.556 5.897 6.991 30 0.82 0.45 8 9.117 -1.117 8.538 9.695 =======================================================================

Skripsi


Widiantini, Dyah


Keterangan: MSE = 0.992158139962808

c. Uji Normalitas pada Error One sample Kolmogorov-Smirnov Test of Composite Normality ks = 0.0506, p-value = 0.5 alternative hypothesis: True cdf is not the normal distn. with estimated parameters sample estimates: mean of x standard deviation of x 3.93603

Skripsi

1.013099


Widiantini, Dyah

ESTIMASI MODEL REGRESI NONPARAMETRIK MULTIVARIAT BERDASARKAN ESTIMATOR POLINOMIAL LOKAL ORDE DUA SKRIPSI

Recommend Documents