El1.C. Podle knihy Blahovec Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách

Spš elektro PŘÍKOPY

El1.C Cvičení ze základů elektrotechniky 1. ročník

Podle knihy Blahovec „Základy elektrotechniky v příkladech a úlohách“ zpracoval ing. Eduard Vladislav Kulhánek. Vyšší odborná a střední průmyslová škola elektrotechnická Františka Křižíka Praha 1 Na Příkopě 16

Práce je zpracována jako pomůcka pro učitele pro efektivnější výuku předmětu. Práce je volně šířitelná. 1.1.1. Určete hustotu elektrického proudu a intenzitu proudového pole ve vodiči. Vodič 1

je kruhového průřezu, má průměr 1,6mm a délku 1,2m. Vodič je připojen na napětí 18V a prochází jím proud 8A. π ⋅ d 2 π ⋅ 1,6 2 I 8 S= = = 2mm 2 J = = = 4 A ⋅ mm − 2 4 4 S 2 U 18 E= = = 15V ⋅ m −1 l 1,2 1.1.11 Stanovte průměr vodiče, kterým při proudové hustotě 3Amm-2 prochází proud 100mA. 4⋅S 4 ⋅ 0,033 I 0,1 S= = = 0,033mm 2 d= = = 0,2mm J 3 π π 1.1.12 Jak velký proud bude procházet vodičem obdélníkového průřezu 2mm ⋅ 3mm při proudové hustotě 2A⋅mm-2. S = a ⋅ b = 2 ⋅ 3 = 6mm I = J ⋅ S = 2 ⋅ 6 = 12 A 1.1.13 Vodičem kruhového průřezu o průměru 1,25mm prochází proud 3A. Stanovte proudovou hustotu ve vodiči . π ⋅ d 2 π ⋅ 1,252 I 3 S= = = 1,23mm 2 J= = = 2,44 A ⋅ mm − 2 −6 4 4 S 1,23 ⋅ 10 1.1.14 Stanovte délku a průměr kruhového vodiče, kterým prochází při proudové hustotě 4Amm2 proud 0,5A. Mezi koncovými průřezy vodiče je napětí 80V, intenzita elektrického pole je 10Vm-1. U 80 I 0,5 l= = = 8m S= = = 0,125mm 2 E 10 σ 4 4⋅S 4 ⋅ 0,125 d= = = 0,4mm

π

π

1.2.1 Stanovte odpor vodiče, kterým prochází proud 25mA při napětí 175V. U 175 R= = = 7 kΩ I 0,025 1.2.11Určete napětí na spotřebiči, jehož odpor je 1,5kΩ a kterým prochází proud 20mA.

U = R ⋅ I = 1,5 ⋅ 10 3 ⋅ 20 ⋅ 10 −3 = 30V 1.2.12 Stanovte vodivost vodiče, kterým při napětí 120V prochází proud 60mA. I 60 ⋅ 10 −3 G= = = 0,5mS U 120 1.2.13 Jak velký proud prochází vodičem s odporem 0,4MΩ. Na vodiči je napětí 1,2kV. U 1,2 ⋅ 10 3 I= = = 3mA R 400 ⋅ 10 3 1.2.2 Určete velikost napětí na vodiči o průměru 1,6mm. Vodivost vodiče je 16mS, proudová hustota ve vodiči je 2A⋅mm-2. S=

π ⋅d 2 4

=

π ⋅ 1,6 2 4

= 2mm 2

I = σ ⋅ S = 2⋅2 = 4A

U =

I 4 = = 250V G 16 ⋅ 10 − 3

1.2.14 Stanovte vodivost hliníkového vodiče obdélníkového průřezu 1,5mm ⋅ 2mm, je-li mezi konci napětí 90V při proudové hustotě 3A⋅mm-2. 2

S = a ⋅ b = 1,5 ⋅ 2 = 3mm 2

I = σ ⋅ S = 3⋅ 3 = 9 A

G=

I 9 = = 0,1S U 90

1.2.15.Určete proud, procházející vodičem délky 30mm s vodivostí 20mS. Intenzita elektrického pole je 15Vmm-1. U = E ⋅ l = 15 ⋅ 30 = 450V

I = U ⋅ G = 450 ⋅ 0,02 = 9 A

1.3.11.Určete proud, procházející hliníkovým vodičem o průměru 0,8mm. Vodič délky 3,5m je připojen na napětí 120mV. l 3,5 U 0,12 π ⋅ d 2 π ⋅ 0,8 2 S= = = 0,5mm 2 R = ρ ⋅ = 0,0285 ⋅ = 0,2Ω I = = = 0,6 A S 0,5 R 0,2 4 4 1.3.12.Stanovte průřez a průměr nikelinového vodiče délky 50m. Vodič má odpor 3Ω.

4⋅S 4 ⋅ 6,6 l 50 = 0,4 ⋅ = 6,6mm2 d= = = 2,9mm R 3 π π 1.3.13.Kolik metrů konstantanového vodiče průměru 1,12mm je třeba k navinutí odporu 5Ω. R ⋅ S 5⋅1 π ⋅ d 2 π ⋅ 1,12 S= = = 1mm 2 l= = = 10m ρ 0,5 4 4 S = ρ⋅

1.3.14.Určete délku a průměr vodiče z mědi, vodič má odpor 0,4Ω. Vodičem bude při proudové hustotě 2Amm-2 procházet proud 120mA. S=

I

σ

=

0,12 = 0,06mm 2 2

d=

4⋅S

π

=

l=

4 ⋅ 0,06

π

R⋅S

ρ

=

0,4 ⋅ 0,06 = 1,34m 0,0178

= 0,276mm

1.3.15.Z jakého materiálu je vodič, mezi jehož konci je napětí 11,4V a kterým prochází proud 2A. Vodič má délku 500m a průměr 1,78mm. π ⋅ d π ⋅ 1,78 2 U 11,4 S= = = 2,5mm 2 R= = = 5,7Ω 4 4 I 2 R ⋅ S 5,7 ⋅ 2,5 ρ= = = 0,0285Ωmm 2 m −1 Vodič je z Al. l 500 1.3.16Vodič z mědi o průměru 2,25mm a délce 250m se má nahradit vodičem z hliníku. Stanovte průměr hliníkového vodiče tak, aby jeho odpor byl při uvedené délce stejný. ρCu ρ Al l l RCu = R Al ρCu ⋅ 2 = ρ Al ⋅ 2 2 = d Cu d Al 2 π ⋅ d Cu π ⋅ d Al 4 4

d Al =

ρ Al 0,0285 ⋅ d Cu 2 = ⋅ 2,252 = 2,85mm ρCu 0,0178

1.3.17.Vypočítejte, v jaké vzdálenosti nastal zkrat dvouvodičového vedení z mědi o průměru 5,64mm. Odpor vedení byl naměřen 1,425Ω. 3

S=

π ⋅d 2 4

=

π ⋅ 5,64 2 4

= 25mm 2

l=

R⋅S

ρ

=

1,425 ⋅ 25 = 2000m 0,0178

l = 1km 2

1.3.18.Určete rezistivitu a materiál vodiče délky 5m a s ∅ 0,316m. Odpor vodiče je 1,13Ω. π ⋅ d 2 π ⋅ 0,316 2 R ⋅ S 113 , ⋅ 0,078 S= = = 0,078mm 2 ρ= = = 0,0178Ωmm 2 m −1 4 4 l 5 Vodič je z Cu. 1.3.19.Měděný vodič má délku 2m. Jaká je proudová hustota při úbytku napětí na vodiči 106mV, U I U 1 U 1 0,106 U σ= = R = ⋅ = ⋅ = = = 3 Amm − 2 S S R S ρ ⋅ l S ρ ⋅ l 0,0178 ⋅ 2 S 1.3.20.Určete délku a průměr vodiče z konstantanu. Vodič bude použit k výrobě bočníku k ampérmetru, bude jím procházet proud 570mA.a bude mít odpor 4Ω. Proudová hustota ve vodiči bude 3Amm-2. 4⋅S 4 ⋅ 0,19 I 0,57 S= = = 0,19mm 2 d= = = 0,5mm σ 3 π π R ⋅ S 4 ⋅ 0,19 l= = = 1,52m ρ 0,5 1.4.1.Vypočtěte změnu odporu měděného vodiče o průměru 1,2mm a délce 450m, ohřeje-li se oproti normální teplotě o 60°C. l 450 π ⋅ d 2 π ⋅ 1,2 2 S= = = 1,13mm 2 R = ρ ⋅ = 0,0178 ⋅ = 7,08Ω S 1,13 4 4

R+ 60 = R20 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 7,08 ⋅ (1 + 0,0042 ⋅ 60) = 8,86Ω ∆R = R+60 − R20 = 8,86 − 7,08 = 1,78Ω 1.4.11.Vypočtěte délku manganinového drátu o průměru 0,5mm2. Drát má mít při teplotě 600°C odpor 18Ω. −5 R ⋅ S 18 ⋅ (1 − α ⋅ ∆ϑ ) ⋅ 0,5 18 ⋅ (1 − 10 ⋅ 580) ⋅ 0,5 l= = = = 20,8m ρ 0,43 0,43 1.4.12.Stanovte odpor vlákna žárovky při teplotě 500°C. Příkon žárovky je 10W při napětí 12V. Vlákno žárovky je z wolframu a teplota při uvedeném výkonu je 2500°C, α=0,0041K-1. R 14,4 U 2 12 2 R= = = 14,4Ω R20 = = = 1,57Ω 1 + α ⋅ ∆ϑ 1 + 0,0041 ⋅ 2000 P 10 1.4.13.Vypočítejte průřez hliníkového vodiče při teplotě 20°C. Vodič má délku 3325m a má při teplotě 23°C odpor 65Ω, ρ=0,0285Ωmm2m-1, α= 0,004K-1.

R23 65 l 3325 = = 64,23Ω S = ρ⋅ = 0,0285 ⋅ = 1,475mm 2 1 + α ⋅ ∆ϑ 1 + 0,004 ⋅ 3 R20 64,23 1.4.14.Vypočítejte, jak se změní proud, procházející vodičem z mědi. Vodič je připojen na napětí 220V, při teplotě 20°C má odpor 8Ω a ohřeje se na 90°C. U 220 R90 = R20 (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 8(1 + 0,0042 ⋅ 70) = 10,35Ω I 20 = = = 27,5 A R20 8 R20 =

4

U 220 ∆I = I 20 − I 90 = 27,5 − 21,25 = 6,25 A = = 21,25 A R90 10,35 1.4.15.Hliníkový vodič byl při teplotě 20°C připojen na napětí 120V a procházel jím proud 4A. Po zahřátí proud klesl na 2,5A. Stanovte oteplení a teplotu vodiče. U U 120 120 R20 = = = 30Ω Rϑ 2 = = = 48Ω I 20 Iϑ 2 4 2,5 Rϑ 2 − 1 48 − 1 R20 30 ∆ϑ = = = 150° C ϑ2 = 20 + ∆ϑ = 170° C α 0,004 1.4.16.Vypočítejte oteplení a teplotu vodiče ze stříbra. Při teplotě 20°C měl vodič odpor 25Ω. Po zahřátí byl odpor vodiče 30Ω. Rϑ 2 − 1 30 − 1 R20 25 ∆ϑ = = = 50° C ϑ2 = 20 + ∆ϑ = 70° C 0,004 α 1.4.17.Wolframové vlákno žárovky s příkonem 100W má při teplotě 20°C odpor 40Ω. Stanovte odpor vlákna žárovky při svícení, kdy je jeho teplota 2500°C. I 90 =

R2500 = R20 (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 40(1 + 0,0041 ⋅ 2480) = 446,7Ω

1.4.18.Jakou teplotu má spirála topného tělesa, kterou při teplotě 20°C prochází proud 2,9A. Při provozu prochází proud 0,5A. Napětí zdroje je 220V, α=0,004K-1. U 220 U 220 R20 = = = 75,9Ω Rϑ 2 = = = 440Ω I 20 2,9 Iϑ 2 0,5 Rϑ 2 440 −1 −1 R20 75,9 ∆ϑ = = = 1200° C ϑ2 = 20 + ∆ϑ = 1220° C 0,004 α 1.4.19.Odpor telegrafního vedení při teplotě 8°C je 1,5Ω. Při jaké teplotě má vedení odpor 1,55Ω? Vedení je z mědi. Rϑ 1,55 −1 −1 R8 R20 1,5 1,58 R20 = = = 1,58Ω ∆ϑ = = = −4,37° C 1 + α ⋅ ∆ϑ 1 + 0,0042 ⋅ ( − 12) 0,0042 α

ϑ = 20 + ∆ϑ = 20 + ( − 4,37) = 15,63° C 1.4.20.Vypočítejte, o kolik % se zvětší odpor měděného vodiče. Při teplotě 20°C měl vodič odpor 12Ω a ohřál se na teplotu 80°C. R+80 = R20 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 12 ⋅ (1 + 0,0042 ⋅ 60) = 15Ω R80 − R20 15 − 12 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 25% R20 12 1.4.21.Vypočítejte rezistivitu hliníku při 90°C. ∆R =

ρ90 = ρ20 (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 0,0285(1 + 0,004 ⋅ 70) = 0,0365Ωmm 2 ⋅ m −1 1.4.22.Stanovte teplotu Wolframového vlákna žárovky. Při teplotě 20°C je odpor vlákna 32,9Ω.Při napětí 30V prochází žárovkou proud 0,1A 5

Rϑ =

U 30 = = 300Ω I ϑ 0,1

∆ϑ =

Rϑ −1 R20

α

300 −1 32,9 = = 1980° C 0,0041

ϑ = 2000° C

1.5.1. oru 8Ω.Stanovte práci a výkon, vykonané elektrickým proudem za 2 hodiny. Proud 10A prochází vodičem o odp P = R ⋅ I 2 = 8 ⋅ 10 2 = 800W

A = P ⋅ t = 800 ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 60 = 5,76 MJ = 800 ⋅ 2 = 1,6kWh

1.5.11.Topná spirála odporového vařiče má při napětí 220V odpor 80Ω. Určete energii, spotřebovanou spirálou za 2 hodiny. U2 220 2 220 2 A = P⋅t = U ⋅ I ⋅t = ⋅t = ⋅ 2 ⋅ 60 ⋅ 60 = 4,356 MJ = ⋅ 2 = 1,21kWh R 80 80 1.5.12.Elektrická žehlička má při napětí 220V příkon 600W. Určete odpor drátu topného tělíska. U 2 220 2 R= = = 80,7Ω P 600 1.5.13.Vypočítejte, kolik hodin může svítit žárovka o příkonu 25W, než spotřebuje energii 1 kWh. A 1000 t= = = 40hod P 25 1.5.14.Vypočítejte napětí, ke kterému je připojen spotřebič a příkon spotřebiče. Spotřebičem prochází proud 4A a jeho odpor je 30Ω. U = R ⋅ I = 30 ⋅ 4 = 120V

P = U ⋅ I = 120 ⋅ 4 = 480W

1.5.15.Elektrická kamna jsou připojena na napětí 220V a mají příkon 4,4kW. Určete proud, který odebírají. P 4400 I= = = 20 A U 220 1.5.16.Stanovte příkon dvou paralelně spojených rezistorů o odporech R1 = 1,5Ω a R2 = 3Ω . Rezistory prochází proud 10A. R=

R1 ⋅ R2 1,5 ⋅ 3 = = 1Ω R1 + R2 1,5 + 3

P = R ⋅ I 2 = 1 ⋅ 10 2 = 100W

1.5.17.Cívka se 400 závity z měděného vodiče má vnitřní průměr 2cm. Závity jsou vinuty těsně vedle sebe. Stanovte průměr vodiče při proudové hustotě 4Amm-2 a dobu, po kterou může procházet proud 5A. Spotřebovaná elektrická energie je 178Ws. 4⋅S 4 ⋅ 1,25 I 5 S = = = 1,25mm 2 d= = = 1,26mm σ 4 π π l π ⋅ 0,02 ⋅ 400 A 178 R = ρ ⋅ = 0,0178 ⋅ = 0,358Ω t= = 20s 2 = S 1,25 R⋅I 0,385 ⋅ 52 6

1.5.18.Vypočtěte, co stojí provoz pěti žárovek na napětí 24V s příkonem 15W, spojených do série a připojených ke zdroji napětí 120V. Žárovky svítí 14 hodin. 1kWh stojí 1Kč. A = P ⋅ t = 5 ⋅ 15 ⋅ 14 = 1,05kWh ⇒ cena = 1,05Kč

1.5.19.Dovolené zatížení drátového rezistoru s odporem 47Ω je 16W. Vypočítejte, jak velký proud může rezistorem procházet a jaké je na něm napětí. 16 P 16 P I= = = 0,583 A U = = = 27,44V I 0,583 R 47 1.5.20.Elektrická kamna s příkonem 5kW jsou na napětí 220V. Určete odpor topného článku při teplotě 20°C. Teplota topného článku při uvedeném příkonu je 800°C, α=0,004K-1. R 9,68 U 2 220 2 R= = = 9,68Ω R20 = = = 2,35Ω 1 + α ⋅ ∆ϑ 1 + 0,004 ⋅ 780 P 5000 1.5.21.Stanovte počet 40W žárovek, které můžeme zapojit, je-li ve vedení pojistka 6A. Napětí zdroje je 220V. P 1320 PC = U ⋅ I = 220 ⋅ 6 = 1320W N= C = = 33 33 žárovek P 40 1.6.1.Stanovte tepelnou energii, která se vyvine za 20 minut v ponorném vařiči. Vařič je připojen na napětí 220Va má odpor 160Ω. U2 220 2 W= ⋅t = ⋅ 20 ⋅ 60 = 363kJ R 160 1.6.11.Stanovte množství tepla, které se vyvine v topné spirále s odporem 20Ω. Topná spirála je připojena na napětí 220V po dobu 10 minut. 220 2 U2 W= ⋅t = ⋅ 10 ⋅ 60 = 1,452 MJ R 20 1.6.12.Za jak dlouho se vyvine v akumulačních kamnech s příkonem 4kW teplo 106J. W 10 6 t= = = 250s P 4 ⋅ 10 3 1.6.13.Elektrickým vařičem na napětí 220V prochází proud 5,45A. Vypočítejte tepelnou energii, vyvinutou za 40 minut. W = U ⋅ I ⋅ t = 220 ⋅ 5,45 ⋅ 40 ⋅ 60 = 2,88 MJ 1.6.14.Určete napětí, při kterém se na rezistoru s odporem 40Ω vyvine tepelná energie 4800J za dobu 8 minut. R ⋅W 40 ⋅ 4800 U= = = 20V t 8 ⋅ 60

1.6.15.Rezistorem s odporem 7,5Ω prochází proud po dobu 20 minut a vyvine se tepelná energie 5,76⋅103J. Určete proud, procházející rezistorem. 7

I=

W = R⋅t

5760 = 0,8 A 7,5 ⋅ 20 ⋅ 60

1.6.16.Stanovte odpor manganinového vodiče. Vodičem prochází proud 12A po dobu 5 minut a vyvine se tepelná energie 854⋅103J. W 864000 R= 2 = 2 = 20Ω I ⋅ t 12 ⋅ 5 ⋅ 60 1.7.1.Spotřebič o napětí 220V a příkonu 570W je spojen se zdrojem dvojvodičovým měděným vedením průřezu 2,5mm2 a délky 100m. Vypočítejte odpor vedení, úbytek napětí ve vedení a napětí zdroje. 100 l P 570 R = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0178 ⋅ = 1,424Ω I= = = 2,59 A S 2,5 U 220 Uv = Rv ⋅ I = 1,424 ⋅ 2,59 = 3,69V Uz = U + Uv = 220 + 3,69 = 223,69V 1.7.11.Určete v jaké vzdálenosti od zdroje lze umístit spotřebič s příkonem 660W při napětí 220V. Průřez dvojvodičového vedení z mědi je 2,5mm2. Úbytek napětí na vedení má být 3V. RV ⋅ S ∆U 3 1 ⋅ 2,5 P 600 I= = = 3A RV = = = 1Ω l= = = 70,2m 2⋅ρ 2 ⋅ 0,0178 I 3 U 220 1.7.12.Spotřebič s odporem 24Ω se má připojit dvojvodičovým vedením z hliníku délky 600m a průřezu 4mm2 ke zdroji napětí 2000V. Stanovte úbytek napětí na vedení. l 600 U 2000 RV = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0285 ⋅ = 8,55Ω I= = = 61,44 A S 4 RS + RV 24 + 8,55 ∆U = RV ⋅ I = 8,55 ⋅ 61,44 = 525V kniha uvádí 52,5V 1.7.13.Vařič s příkonem 600W je při napětí 120V připojen ke zdroji dvojvodičovým vedením z mědi průřezu 2mm2 a délky 100m. Stanovte napětí zdroje. l 100 P 600 RV = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0178 ⋅ = 1,78Ω I= = = 5A S 2 U 120 ∆U = RV ⋅ I = 1,78 ⋅ 5 = 8,9V Uz = U + ∆U = 120 + 8,9 = 128,9V 1.7.14.Zdroj se svorkovým napětím má dodávat do spotřebiče proud 10A dvojvodičovým hliníkovým vedením. Spotřebič je vzdálen 200m. Úbytek napětí na vedení je 15V. Stanovte průměr vedení. l 200 U 15 R= = = 1,5Ω S = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0285 ⋅ = 7,6mm 2 R 1,5 I 10

d=

4⋅S

π

=

4 ⋅ 7,6

π

= 3,1mm

1.7.15.Spotřebič s příkonem 440W při napětí 220V je připojen ke zdroji dvojvodičovým vedením z mědi o délce 60m a průřezu 1,2mm2. Stanovte ztráty ve vedení. l 60 U 2 220 2 RV = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0178 ⋅ = 1,78Ω RS = = = 110Ω S 1,2 P 440 U 220 ∆PV = RV ⋅ I 2 = 1,78 ⋅ 1,97 2 = 6,9W I= = = 1,97 A RS + RV 110 + 1,78 8

1.7.16.Navrhněte dvojvodičové vedení z mědi, průměr vodiče a délku vodiče, kterým se má spotřebič připojit ke zdroji. Spotřebičem prochází proud 5A při napětí 100V. Proudová hustota ve vodiči je 2,5Amm-2. Úbytek napětí ve vedení je 8% z napětí zdroje. I 5 4⋅S 4⋅2 SV = = = 2mm 2 d= = = 1,6mm σ 2,5 π π ∆U 8,7 100 = 92% ⇒ 108,7 = 100% RV = = = 1,74Ω I 5 RV ⋅ S 1,74 ⋅ 2 l= = = 97,7m 2⋅ρ 2 ⋅ 0,0178 1.8.1.Stejnosměrný elektromotor s výkonem 10kW odebírá při napětí 220V ze zdroje proud 52A. Určete příkon motoru, účinnost a ztráty, P 10 P1 = U ⋅ I = 220 ⋅ 52 = 11,44 kW ξ = 2 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 87,4% P1 11,44 ∆P = P1 − P2 = 11,44 − 10 = 1,44 kW 1.8.2.Vypočítejte, s jakou účinností pracuje ohřívač vody. Topné tělísko je vyrobeno z kantalového vodiče, délky 20m a průřezu 1,45mm2. Ohřívač je připojen dvojvodičovým vedením z hliníku, délky 500m a průřezu 1,45mm2 ke zdroji o výkonu 1100W. Ohřívač ohřeje 2l vody z 20°C na 60°C za 12 minut. Měrné teplo vody c=4186J⋅kg-1⋅C-1. 20 500 l l RT = ρ ⋅ = 1,45 ⋅ = 20Ω RV = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0285 ⋅ = 19,65Ω S 1,45 S 1,45 R = RT + RV = 20 + 19,65 = 39,65Ω

I=

PT = RT ⋅ I 2 = 20 ⋅ 5,27 2 = 555W

P = R

1100 = 5,27 A 39,65

Q = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ = 2 ⋅ 4186 ⋅ 40 = 334 kJ

P2 334 ⋅ 10 3 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 84% P1 400 ⋅ 10 3 1.8.11.Elektromotor s příkonem 15kW má při napětí 220V ztráty 2kW. Určete výkon elektromotoru, jeho účinnost a proud při jmenovitém zatížení. P 13 ⋅ 10 3 P2 = P1 − PZ = 15 − 2 = 13kW ξ = 2 ⋅ 100 = ⋅ 100 = 86% P1 15 ⋅ 10 3 P 15000 I= = = 68,2 A U 220 1.8.12.Stanovte proud, který odebírá elektromotor ze sítě. Elektromotor pracuje s účinností 82% a jeho výkon je 20kW. AT = PT ⋅ t = 555 ⋅ 12 ⋅ 60 = 400kWs

ξ=

P1 24,4 ⋅ 10 3 20 ⋅ 100 = 24,4 kW I= = = 110,9 A ξ 82 U 220 1.8.13.Elektromotor, připojený na napětí 220V odebírá proud 12A. Elektromotor pracuje s účinností 88%. Určete jeho příkon a výkon. 2640 ⋅ 88 P1 = U ⋅ I = 220 ⋅ 12 = 2640W P2 = P1 ⋅ ξ = = 2320W 100 1.8.14.Dynamo s výkonem 60kW má účinnost 80%. Stanovte výkon poháněcího motoru. P2 60 P1 = ⋅ 100 = ⋅ 100 = 75kW ξ 80 1.8.15.Elektromotor odebírá ze sítě při napětí 220V proud 5A. Pracuje s účinností 84%. P1 =

P2

⋅ 100 =

9

Stanovte výkon elektromotoru. P1 = U ⋅ I = 220 ⋅ 5 = 1100W

P2 = P1 ⋅ ξ =

1100 ⋅ 84 = 924W 100

1.8.16.Olověný akumulátor má účinnost 80%. Jaký náboj ( Ah ) se musí dodat, aby akumulátor dosáhl jmenovité kapacity 40Ah. Q2 40 Q1 = ⋅ 100 = ⋅ 100 = 50 Ah ξ 80 1.8.17.Stanovte, za jak dlouho se zahřejí 2 litry vody z 20°C na 100°C, pracuje-li ohřívač vody s účinností 87%. Topné tělísko je z kantalu průřezu 1,45mm2, délky 40m. Rezistivita kantalu je 1,45Ω⋅mm2⋅m-1. Ohřívač je napájen ze zdroje s výkonem 1100W pomocí dvojvodičového vedení z mědi, jehož délka je 140m a průřez 1,25mm2. l l 40 140 RT = ρ ⋅ = 1,45 ⋅ = 40Ω RV = 2 ⋅ ρ ⋅ = 2 ⋅ 0,0178 ⋅ = 4Ω S 1,45 S 1,25

P 1100 = = 5A W = R ⋅ I 2 ⋅ t ⋅ ξ = W = m ⋅ c ⋅ ∆ϑ RT + RV 40 + 4 m ⋅ c ⋅ ∆ϑ 2 ⋅ 4186 ⋅ 80 ⋅ 100 t= = = 13min R ⋅ I 2 ⋅ξ 40 ⋅ 52 ⋅ 87

I=

2.1.1.Stejnosměrný zdroj má napětí naprázdno Uo=12V, vnitřní odpor zdroje je Ri=0,24Ω. Na svorky připojíme odpor R=3,76Ω. Určete proud v obvodu, svorkové napětí zdroje a úbytek napětí na vnitřním odporu. Vypočítejte proud nakrátko za předpokladu, že vnitřní odpor zdroje je konstantní.

I=

U0 12 = = 3A R + Ri 3,76 + 0,24

U SV = R ⋅ I = 3,76 ⋅ 3 = 11,28V

∆U = Ri ⋅ I = 0,24 ⋅ 3 = 0,72V

IK =

U0 12 = = 50 A Ri 0,24

2.1.11.Baterie má napětí naprázdno Uo=4,5V. Je-li zdroj zatížen proudem I1= 0,5A, klesne napětí U1 na svorkách na 4,3V. Jak velký je vnitřní odpor zdroje a jaký je proud nakrátko? U Ri = U 0 − U 1 = 4,5 − 4,3 = 0,2V IK =

Ri =

U Ri 0,2 = = 0,4Ω I 0,5

U 0 4,5 = = 11,25 A Ri 0,4

2.1.12.Napětí naprázdno baterie je Uo=24V, vnitřní odpor Ri=0,12Ω. Určete, jak velký proud byl z baterie odebírán, kleslo-li svorkové napětí U1 na 22,8V a jaký by byl proud při chodu nakrátko. U Ri 1,2 U Ri = U 0 − U 1 = 24 − 22,8 = 1,2V I = = = 10 A Ri 0,12

10

IK =

U0 24 = = 200 A Ri 0,12

2.1.13.Elektrický zdroj má napětí naprázdno Uo=51V a vnitřní odpor Ri=0,5Ω. Určete svorkové napětí, je-li zatěžovací odpor rezistoru 25Ω, 16,5Ω a 2,5Ω. U0 51 RC = R R + Ri = 25 + 0,5 = 25,5Ω I = = = 2A RC 25,5 U 0 51 RC = R R + Ri = 16,5 + 0,5 = 17Ω I = = = 3A RC 17 U 0 51 RC = R R + Ri = 2,5 + 0,5 = 3Ω I = = = 17 A RC 3 U 1 = U 0 − Ri ⋅ I = 51 − 0,5 ⋅ 2 = 50V U 1 = U 0 − Ri ⋅ I = 51 − 0,5 ⋅ 3 = 49,5V U 1 = U 0 − Ri ⋅ I = 51 − 0,5 ⋅ 17 = 42,5V 2.1.14.Baterie s vnitřním odporem 0,05Ω je zatěžována rezistorem s odporem 1,45Ω. Svorkové napětí je 23,2V. Určete napětí naprázdno a proud nakrátko. U 1 23,2 U 0 = U 1 + Ri ⋅ I = 23,2 + 0,05 ⋅ 16 = 24V I = = = 16 A RZ 1,45 U0 24 IK = = = 480 A Ri 0,05 2.1.15.Při zatížení rezistorem s odporem R1=11,6Ω bylo svorkové napětí baterie U1=5,8V. Zatížíme-li baterii rezistorem s odporem R2=3,6Ω, bude svorkové napětí U2=5,4V. Stanovte vnitřní odpor baterie, napětí naprázdno a proud nakrátko. U1 U 2 5,4 5,8 I1 = I2 = = = 0,5 A = = 1,5 A R1 11,6 R2 3,6 U 0 = U 1 + Ri ⋅ I ⇒ U 0 = 5,8 + Ri ⋅ 0,5 ⇒ 5,8 + Ri ⋅ 0,5 = 5,4 + Ri ⋅ 1,5 U 0 = U 1 + Ri ⋅ I ⇒ U 0 = 5,4 + Ri ⋅ 1,5 U 0 = U 1 + Ri ⋅ I = 5,8 + 0,4 ⋅ 0,5 = 6V

IK =

⇒ Ri = 0,4Ω

U0 6 = = 15 A Ri 0,4

2.1.16.Jaký je vnitřní odpor zdroje, je-li napětí naprázdno Uo=13V a je-li při odběru proudu I=0,1A svorkové napětí U=12,9V. U Ri 0,1 = = 1Ω I 0,1 2.1.17.Při zatížení zdroje rezistorem R bylo na rezistoru napětí 16V a obvodem procházel proud I. Zvětší-li se odpor rezistoru o 2Ω, klesne proud procházející obvodem o 1,8A.Napětí zdroje je konstantní. Stanovte proud I a odpor rezistoru R. U Ri = U 0 − U 1 = 13 − 12,9 = 0,1V

Ri =

U = R⋅I

11

U  ⇒ U =  + 2 ⋅ ( I − 1,8) I 

 16  ⇒ 16 =  + 2 ⋅ ( I − 1,8) ⇒  I 

U = ( R + 2) ⋅ ( I − 1,8) ⇒

0 = I 2 − 1,8 ⋅ I − 14,4

2 − b ± b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c 1,8 ± 1,8 − 4 ⋅ 1 ⋅ ( − 14,4) I 1,2 = = = 4,8 A( −3 A) 2⋅a 2 ⋅1 U 16 R= = = 3,33Ω I 4,8

2.2.1.Jak velký je vnitřní odpor, napětí naprázdno, proud a svorkové napětí, jestliže 5 článků s napětím naprázdno 4,5V, vnitřním odporem 0,2Ω, spojíme za sebou, vedle sebe a nově vzniklou baterii zatížíme rezistorem o odporu 3,5Ω. a) paralelní spojení R 0,2 U 0 = 4,5V RiC = i = = 0,04Ω n 5 U0 4,5 I= = = 1,27 A U = U 0 − RiC ⋅ I = 4,5 − 0,04 ⋅ 1,27 = 4,45V RiC + R 0,04 + 3,5 b) sériové spojení U 0 = n ⋅ U 01 = 5 ⋅ 4,5 = 22,5V RiC = n ⋅ Ri = 5 ⋅ 0,2 = 1Ω U0 22,5 I= = = 5A U = U 0 − RiC ⋅ I = 22,5 − 1 ⋅ 5 = 17,5V RiC + R 1 + 3,5 2.2.11.Jak velké je výsledné napětí naprázdno a vnitřní odpor, jestliže 16 článků o napětí naprázdno Uo=1,5V a vnitřním odporem Ri=0,3Ω zapojíme a) za sebou b) vedle sebe a) U 0C = ΣU 0 = 16 ⋅ 1,5 = 24V

RiC = ΣRi = 16 ⋅ 0,3 = 4,8Ω

b) U 0C = U 0 = 1,5V

RiC =

Ri 0,3 = = 0,0187Ω n 16

2.2.12.Určete, jak velký proud dodává do zátěže, tvořené rezistorem s odporem 9Ω, baterie, složená z 20 článků, zapojených za sebou, jestliže napětí naprázdno jednoho článku je Uo=1,5V a jeho vnitřní odpor je Ri=0,05Ω. U 0C = ΣU 0 = 20 ⋅ 1,5 = 30V

RiC = ΣRi = 20 ⋅ 0,05 = 1Ω

I=

U 0C 30 = = 3A RiC + R 1+ 9

2.2.13.Ze dvou článků o napětí naprázdno Uo=6V a vnitřním odporu Ri=0,6Ω se má napájet přístroj,jehož odpor je R=1Ω. Odpor vedení je 0,8Ω. Navrhněte zapojení článků tak, aby na svorkách přístroje bylo co největší napětí. a) sériové zapojení U 0C = ΣU 0 = 2 ⋅ 6 = 12V

RiC = ΣRi = 2 ⋅ 0,6 = 1,2Ω 12

I=

U0 12 = = 4A RiC + R + RV 1,2 + 1 + 0,8

U = U 0 − ( Ri + RV ) ⋅ I = 12 − (1,2 + 0,8) ⋅ 4 = 4V

b) paralelní zapojení U 0C = U 0 = 6V

RiC =

Ri 0,6 = = 0,3Ω n 2

I=

U0 6 = = 2,86 A RiC + R + RV 0,3 + 1 + 0,8

U = U 0 − ( Ri + RV ) ⋅ I = 6 − ( 0,3 + 0,8) ⋅ 2,86 = 2,85V

Větší napětí je při sériovém spojení.

2.2.14.Při spojení n stejných zdrojů do série s rezistorem, jehož odpor je 4Ω, prochází obvodem proud 1,375A. Zdroj má napětí naprázdno 1,1V a má vnitřní odpor 0,6Ω. Vypočítejte, kolik zdrojů je zapojeno do série. n ⋅U 0 n ⋅ Ri + R

I= ⇒

n=

⇒

n ⋅ Ri ⋅ I + R ⋅ I = n ⋅ U 0

⇒

n ⋅ (U 0 + Ri ⋅ I ) = R ⋅ I

⇒

R⋅I 4 ⋅ 1,375 = = 20 U 0 − Ri ⋅ I 11 , − 0,6 ⋅ 1,375

2.2.15.Několik různých zdrojů napětí je spojeno do série s rezistorem, jehož odpor je 18,5Ω. Napětí naprázdno jednotlivých zdrojů jsou U01=2,8V, U02=2,2V, U03=1,8V, U04=1,5V a U05=1,2V. Vnitřní odpory jednotlivých zdrojů jsou Ri1=0,08Ω, Ri2=0,15Ω, Ri3=0,1Ω, Ri4=0,12Ω, Ri5=0,05Ω. Stanovte proud a napětí na rezistoru. U 0C = ΣU 0 = 2,8 + 2,2 + 1,8 + 1,5 + 1,2 = 9,5V RiC = ΣRi = 0,08 + 0,15 + 0,1 + 0,12 + 0,05 = 0,5Ω I=

U0 9,5 = = 0,5 A RiC + R 0,5 + 18,5

U = R ⋅ I = 18,5 ⋅ 0,5 = 9,25V

2.3.1.Rezistory o odporech R1=20Ω, R2=30Ω a R3=60Ω zapojíme vedle sebe a připojíme na zdroj s napětím U=180V. Určete proudy I1, I2 a I3, které procházejí jednotlivými rezistory a celkový proud I. I1 =

U 180 = = 9A R1 20

I2 =

U 180 = = 6A R2 30

I3 =

U 180 = = 3A R3 60

I = ΣI n = 9 + 6 + 3 = 18 A 2.3.2.Zdroj má napětí naprázdno Uo=12V, jeho vnitřní odpor je Ri=0,4Ω. Zátěž tvoří čtyři rezistory o odporech R1=2,6Ω, R2=11Ω, R3=4Ω a R4=6Ω, zapojené do série. Vypočtěte svorkové napětí zdroje a napětí na jednotlivých rezistorech. U0 12 U = U 0 − Ri ⋅ I = 12 − 0,4 ⋅ 0,5 = 11,8V I= = = 0,5 A Ri + ΣR 0,4 + 2,6 + 11 + 4 + 6 U R1 = I ⋅ R1 = 0,5 ⋅ 2,6 = 1,3V U R 2 = I ⋅ R2 = 0,5 ⋅ 11 = 5,5V U R 3 = I ⋅ R3 = 0,5 ⋅ 4 = 2V

U R 4 = I ⋅ R4 = 0,5 ⋅ 6 = 3V 13

2.3.3.Určete odpor rezistoru RI , který je zapojen do série s rezistorem s odporem R1=10Ω, aby při napětí zdroje U=40V procházel větví proud I1=2A. Řešte pomocí druhého Kirchhoffova zákona i bez jeho použití. U − R1 ⋅ I 1 40 − 2 ⋅ 10 a) II. Kirchhoffův zákon R1 ⋅ I 1 + R I ⋅ I 1 − U = 0 RI = = = 10Ω I1 2 U 40 b) bez II.Kirch. zákona R I = − R1 = − 10 = 10Ω I1 2 2.3.11.Jak se rozdělí proud I=54A do dvou větví s odpory rezistorů R1=15Ω a R2=30Ω a jak velké je napětí na dvou paralelně spojených rezistorech.

14

U=

R1 ⋅ R2 15 ⋅ 30 ⋅I = ⋅ 54 = 540V R1 + R2 15 + 30

I1 =

U 540 = = 36 A R1 15

I2 =

U 540 = = 18 A R2 30

2.3.12.Stanovte odpor rezistoru R2 tak, aby galvanometrem G neprocházel proud. U1=4V, U2=6V, R1=8Ω. R1 R2

G

U1

U 1 = R1 ⋅ I 1 ⇒ I 1 =

U1 4 = = 0,5 A R1 8

U2

U 2 = R2 ⋅ I 2 = R2 ⋅ I 1 ⇒ R2 =

U2 6 = = 12Ω I1 0,5

2.3.13. V obvodu, zapojeném dle obrázku, určete proudy I1 , I2 a I3 . Proudy procházejí rezistory s odpory R1=20Ω, R2=50Ω a R3=30Ω. Napětí zdrojů jsou U1=U2=10V. I1 I3 R1

I2

R2

U1

R3

U2

− R1 ⋅ I 2 R2 ⋅ I 2

(R I3 =

2

I1 + I 2 − I 3 = 0 U 1 − R1 ⋅ I 1 − R3 ⋅ I 3 = 0 U 2 − R2 ⋅ I 2 − R3 ⋅ I 3 = 0

I1 R1 ⋅ I 1

+ I2 + R2 ⋅ I 2

+ ( R3 + R1 ) ⋅ I 3 + R3 ⋅ I 3

− I3 + R3 ⋅ I 3 + R3 ⋅ I 3

= 0 / ⋅(− R1 ) = U 1 / ⋅1 = U2

= U 1 / ⋅R2 = U 2 / ⋅R1

⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 ) ⋅ I 3 = U 1 ⋅ R2 + U 2 ⋅ R1

U 1 ⋅ R2 + U 2 ⋅ R1 10 ⋅ 50 + 8 ⋅ 20 = = 0,212 A R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 50 ⋅ 30 + 20 ⋅ 30 + 20 ⋅ 50 U 2 − R3 ⋅ I 3 8 − 30 ⋅ 0,212 I2 = = = 0,0328 A R2 50 U 1 − R3 ⋅ I 3 10 − 30 ⋅ 0,212 I1 = = = 0,182 A 20 R1

15

2.3.4. Určete proudy I1 a I2 v obvodu, zapojeném podle obr. Odpory rezistorů jsou R1=2Ω, R2=1Ω, R3=12Ω, R4=1Ω, R5=1Ω a R6=2Ω. Napětí zdroje je 48V.

R1 I1

R4 R3

R2

I2

R1

R1 I1

R6

R3

RA I 1

I2

R2

R2

R5

R A = R4 + R5 + R6 = 1 + 1 + 2 = 4Ω

R3 ⋅ R A 12 ⋅ 4 = = 3Ω R3 + R A 12 + 4 U 48 I1 = = = 8A RC 6 U B 24 = = 6A I2 = 4 RA

RB =

RC = R1 + R B + R2 = 2 + 3 + 1 = 6Ω

RC

RB

U B = R B ⋅ I = 3 ⋅ 8 = 24V

2.3.14. Vypočítejte proudy I1 a I2 v obvodu, zapojeném dle obrázku. Hodnoty obvodových prvků jsou tyto: R1=1Ω, R2=2Ω, U1=10V, U2=1V, IA=3A.

R1

I1

R1 ⋅ I 1 − U 1 + R2 ⋅ I 2 + U 2 = 0 I1 − I 2 = I A

U1 IA R2

U2

R1 ⋅ I 1 I1

I2

R1 ⋅ I 1 + R2 ⋅ I 1 = U 1 − U 2 + R2 ⋅ I A

I1 =

+ R2 ⋅ I 2 − I2

= U 1 − U 2 / ⋅1 = I A / ⋅R2

U 1 − U 2 + R2 ⋅ I A 10 − 1 + 2 ⋅ 3 = = 5A R1 + R2 1+ 2

I 2 = I1 − I A = 5 − 3 = 2 A 2.3.15. Rezistory s odpory R1=2kΩ, R2=3kΩ a R3=6kΩ spojíme vedle sebe a připojíme na zdroj o napětí 24V. Určete proudy v jednotlivých rezistorech a celkový odebíraný proud ze zdroje. U 24 U 24 I1 = = = 12mA I2 = = = 8mA R1 2000 R2 3000 3 U 24 I celk = ∑ I n = 12 + 8 + 4 = 24mA I3 = = = 4mA R3 6000 n =1 2.3.16. Při paralelně spojených rezistorech s odpory R1=20Ω a R2=50Ω prochází rezistorem R1 proud 2A. Určete, jak velký proud prochází rezistorem R2. 40 U U = R1 ⋅ I 1 = 20 ⋅ 2 = 40V = = 0,8 A I2 = R2 50

16

2.3.17. Vypočítejte napětí zdroje U a proud I v obvodu, zapojeném dle obrázku. Všechny rezistory mají stejný odpor a to 1Ω. Proudy jsou IA=IB=3A. I + IC = I A IA R ⋅ I = 2 ⋅ R ⋅ IC I

R

IA

IC

R

IC

R⋅ I + 2⋅R⋅ I = 2⋅R⋅ IA

ID

2 ⋅ R ⋅ I A 2 ⋅1⋅ 3 = = 2A 3⋅ R 3⋅1

I=

IB I C = I A − I = 3 − 2 = 1A

= I A / ⋅2 ⋅ R = 0 / ⋅1

R

R U

+ IC − 2 ⋅ R ⋅ IC

I R⋅I

I D = IC + I B = 1+ 3 = 4 A

U = R ⋅ I D = 1 ⋅ 4 = 4V

2.3.18. Dvě baterie, zapojené vedle sebe, napájejí společnou zátěž, tvořenou rezistorem s odporem 12,56Ω, Baterie však nejsou stejné. Jedna má napětí naprázdno 41,6V a vnitřní odpor 0,6Ω, druhá má napětí naprázdno 40V a vnitřní odpor 0,4Ω. Vypočítejte, jak velký proud bude procházet zátěží a jakými proudy se na tomto napájení podílejí oba zdroje, I1

I3 I2

R1

R2

0,6Ω

0,4Ω

I1 + I 2 − I 3 = 0 U 1 − R1 ⋅ I 1 − R3 ⋅ I 3 = 0 U 2 − R2 ⋅ I 2 − R3 ⋅ I 3 = 0

R3 12,56Ω

U1

U2

41,6V

40V

+ I2

I1 R1 ⋅ I 1

+ R2 ⋅ I 2

− R1 ⋅ I 2 R2 ⋅ I 2

(R

− I3 + R3 ⋅ I 3 + R3 ⋅ I 3

+ ( R3 + R1 ) ⋅ I 3 + R3 ⋅ I 3

= 0 / ⋅(− R1 ) = U 1 / ⋅1 = U2

= U 1 / ⋅R2 = U 2 / ⋅R1

⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 ) ⋅ I 3 = U 1 ⋅ R2 + U 2 ⋅ R1 U 1 ⋅ R2 + U 2 ⋅ R1 41,6 ⋅ 0,4 + 40 ⋅ 0,6 I3 = = = 3,175 A R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 0,4 ⋅ 12,56 + 0,6 ⋅ 12,56 + 0,6 ⋅ 0,4 U 2 − R3 ⋅ I 3 40 − 12,56 ⋅ 3,175 I2 = = = 0,305 A R2 0,4 U 1 − R3 ⋅ I 3 41,6 − 12,56 ⋅ 3,175 I1 = = = 2,87 A R1 0,6 2

2.4.1. Rezistory s odpory R1=2Ω, R2=5Ω, R3=3Ω, R4=4Ω a R5=6Ω tvoří sériovou kombinaci, která je připojena na zdroj o napětí 60V. Určete výsledný odpor zapojení, výslednou vodivost, proud v obvodu a napětí na jednotlivých rezistorech. 5 1 1 U 60 R = ∑ Rn = 2 + 5 + 3 + 4 + 6 = 20Ω G= = = 0,05S I= = = 3A n =1 R 20 R 20 17

U 1 = R1 ⋅ I = 2 ⋅ 3 = 6V

U 2 = R2 ⋅ I = 5 ⋅ 3 = 15V

U 4 = R4 ⋅ I = 4 ⋅ 3 = 12V

U 5 = R5 ⋅ I = 6 ⋅ 3 = 18V

U 3 = R3 ⋅ I = 3 ⋅ 3 = 9V

2.4.11. Jak velký je výsledný odpor, složený z rezistorů s odpory 200kΩ, 0,3MΩ a 600kΩ, zapojených v sérii i paralelně. 3

RSér = ∑ Rn = 200 + 300 + 600 = 11 , MΩ n =1

R Par

R1 ⋅ R2 ⋅ R3 200 ⋅ 300 ⋅ 600 = = = 100kΩ R1 ⋅ R2 + R1 ⋅ R3 + R2 ⋅ R3 200 ⋅ 300 + 200 ⋅ 600 + 300 ⋅ 600

2.4.12. Stanovte odpor rezistoru, který musíme zapojit paralelně k rezistoru s odporem 12,5Ω, aby výsledný odpor spojení byl 10Ω. R1 ⋅ R2 R ⋅ R2 10 ⋅ 12,5 R= ⇒ R ⋅ R1 + R ⋅ R2 = R1 ⋅ R2 ⇒ R1 = = = 50Ω R1 + R2 R2 − R 12,5 − 10 2.4.13. Na napětí 220V jsou zapojeny do série dvě žárovky s příkonem 60W a 40W. Jaké je napětí na každé žárovce a jaký proud prochází obvodem? P1 P + P2 60 + 40 60 I= 1 = = 0, 45A U1 = = = 132V I U 220 0, 45 P2 40 U2 = = = 88V I 0, 45 2.4.14.Vypočtěte výsledný odpor spojení podle obr, kde R1=16Ω, R2=12Ω, R3=30Ω, R4=120Ω, R5=4Ω a R6=60Ω.

R6

R1

R2

R3,4 =

R3 ⋅ R4 30 ⋅ 120 = = 24Ω R3 + R4 30 + 120

R3

R5

R4

R2 ,3,4 ,5 = R2 + R3,4 + R5 = 12 + 24 + 4 = 40Ω

R2 ,3,4 ,5,6 =

R2 ,3,4 ,5 ⋅ R6 R2 ,3,4 ,5 + R6

=

40 ⋅ 60 = 24Ω 40 + 60

RCelk = R1 + R2 ,3,4 ,5,6 = 16 + 24 = 40Ω 2.4.15. Při sériovém zapojení rezistorů s odpory R1 a R2 je výsledný odpor spojení 250Ω. Spojíme-li rezistory o stejném odporu vedle sebe, je výsledný odpor spojení 40Ω. Určete hodnoty rezistorů R1 a R2. R1 ⋅ R2 = 40 R1 + R2

R1 + R2 = 250Ω

R22 − 250 ⋅ R2 + 10000 = 0

R1,2 =

18

(250 − R ) ⋅ R 2

2

250 − R2 + R2

250 ± 250 2 − 4 ⋅ 10000 = 2

= 40 50Ω 200Ω

2.4.16. Určete výsledný odpor zapojení, a to mezi svorkami A-D a mezi svorkami A-C. Všechny rezistory mají stejný odpor 2Ω.

R

B

C R A− C =

2⋅ R⋅ R⋅2⋅ R 2⋅ R⋅ R + R⋅2⋅ R + 2⋅ R⋅2⋅ R

R A− C =

2⋅2⋅2⋅2⋅2 = 1Ω 2⋅2⋅2 + 2⋅2⋅2 + 2⋅2⋅2⋅2

R R

R R D

A

R A− D

 2 ⋅ R ⋅ R    2 ⋅ 2 ⋅ 2    + R ⋅ R    + 2 ⋅ 2   2 ⋅ R + R   2 ⋅ 2 + 2  = = = 1,25Ω  2⋅R⋅R   2⋅2⋅2    +R+R   +2+2  2 ⋅ R + R  2 ⋅ 2 + 2

2.4.17.Stanovte výsledný odpor zapojení podle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=Ω, R2=20Ω, R3=10Ω, R4=5Ω a R5=5Ω.

R1

R3 R=

R1 ⋅ R2 R3 ⋅ R4 ⋅ R5 + R1 + R2 R3 ⋅ R4 + R3 ⋅ R5 + R4 ⋅ R5

R=

5 ⋅ 20 10 ⋅ 5 ⋅ 5 + = 6Ω 5 + 20 10 ⋅ 5 + 10 ⋅ 5 + 5 ⋅ 5

R4 R2

R5

2.4.18. Tři rezistory, zapojené vedle sebe, mají průřezy v poměru 6:3:2. Výsledný odpor je 6Ω. Rezistory jsou vyrobeny z vodičů stejné délky, ale různých průřezů. Vypočítejte odpory jednotlivých rezistorů. 1 1 1 R3 R ⋅R⋅ ⋅R⋅ ⋅R R 6 3 2 36 36 6= = = = 1 1 1 1 1 1 2 3 6 11 1 1 1 ⋅ R ⋅ ⋅ R + ⋅ R ⋅ ⋅ R + ⋅ R ⋅ ⋅ R R2 ⋅  + + + +   18 12 6  36 36 36 6 3 6 2 3 2 66 66 66 R = 6 ⋅ 11 = 66Ω R1 = = 11Ω R2 = = 22Ω R3 = = 33Ω 6 3 2 V knize je špatný výsledek.

19

2.5.1. Vypočtěte proudy ve všech prvcích obvodu podle obrázku. Napětí zdroje je 10V, odpory rezistorů jsou R1=2Ω, R2=5Ω, R3=3Ω, R4=0,9Ω a R5=1,5Ω. Přeměnit na hvězdu lze buď trojúhelník ABC, nebo trojúhelník BCD. Pro přeměnu zapojení trojúhelník - hvězda, zvolíme trojúhelník ABC.

A

A I1

R1

R2

R3

B

U

RA

I2

I4

I3 R4

C

RB

RC

R5

B R4

C R5

I5

D

D R1 ⋅ R2 2 ⋅5 = = 1Ω R1 + R2 + R3 2 + 5 + 3 R2 ⋅ R3 3⋅5 RC = = = 1,5Ω R1 + R2 + R3 2 + 5 + 3 RA =

R B ,4 = R B + R4 = 0,6 + 0,9 = 1,5Ω

RC ,5 = RC + R5 = 1,5 + 1,5 = 3Ω

R B , 4 ,C ,5 =

RCELK = R A + R B ,4 ,C ,5 = 1 + 1 = 2Ω U A = I ⋅ R A = 5 ⋅ 1 = 5V I4 =

U B ,4 RB ,4

=

R1 ⋅ R3 2⋅3 = = 0,6Ω R1 + R2 + R3 2 + 5 + 3

RB =

I= U C ,5 = U B , 4

5 = 3, 3A 1,5

I5 =

U CD = I 5 ⋅ R5 = 1, 6 ⋅ 1,5 = 2,5V U BD − U CD 3 − 2,5 I3 = = = 0,16 A R3 3

R B , 4 ⋅ RC , 5 R B , 4 + RC , 5

=

1,5 ⋅ 3 = 1Ω 1,5 + 3

U 10 = = 5A R 2 = U − U A = 10 − 5 = 5V

U C ,5 RC , 5

=

5 = 1, 6A 3

U BD = I 4 ⋅ R4 = 3, 3 ⋅ 0,9 = 3V I 2 = I 5 − I 3 = 1, 6 − 0,16 = 1,5 A

I 1 = I 4 + I 3 = 3, 3 + 0,16 = 3,5 A

20

2.5.11. Určete proudy a napětí na všech členech obvodu dle obrázku, Napětí zdroje je 40V, odpory rezistorů jsou R1=5Ω, R2=2Ω, R3=3Ω, R4=13Ω, R5=0,2Ω, R6=2Ω, R7=12Ω a R8=6Ω.

B

R1 A

RA

A

R4

R3

R2

R5

C

RB RC

B R 4 R C 5

D

R7

R6

R8

E

F

RF

D R D E RE

F

R1 ⋅ R2 R1 ⋅ R3 5⋅ 2 5⋅ 3 RB = = = 1Ω = = 1,5Ω R1 + R2 + R3 5 + 2 + 3 R1 + R2 + R3 5 + 2 + 3 R2 ⋅ R3 R6 ⋅ R7 2⋅3 2 ⋅ 12 RC = = = 0,6Ω RD = = = 1,2Ω R1 + R2 + R3 5 + 2 + 3 R6 + R7 + R8 2 + 12 + 6 R6 ⋅ R8 R7 ⋅ R8 2⋅6 12 ⋅ 6 RE = = = 0,6Ω RF = = = 3,6Ω R6 + R7 + R8 2 + 12 + 6 R6 + R7 + R8 2 + 12 + 6 R B ,4 , D = R B + R4 + R D = 1,5 + 13 + 1,2 = 15,7Ω RC ,5, E = RC + R5 + R E = 0,6 + 0,2 + 0,6 = 1,4Ω RA =

15,7 ⋅ 1,4 = 1,3Ω R B ,4 , D + RC ,5, E 15,7 + 1,4 = R A + R B ,4 , D ,C ,5, E + R F = 1 + 1,3 + 3,6 = 5,9Ω

R B ,4 , D ,C ,5, E = RCELK

R B , 4 , D ⋅ RC , 5 , E

40 = 6,84 A RCELK 5,9 U A = I CELK ⋅ R A = 6,84 ⋅ 1 = 6,84V U B , 4 , D , C ,5 , E 8,8 I B ,4 , D = = = 0,56 A RB ,4 , D 15,7 I CELK =

U1 U2 U3 U4

U

=

=

U B ,4 , D ,C ,5, E = I CELK ⋅ R B ,4 , D ,C ,5, E = 6,84 ⋅ 1,3 = 8,8V

U F = I CELK ⋅ R F = 6,84 ⋅ 3,6 = 24,4V U B ,4 , D ,C ,5, E 8,8 I C ,5 , E = = = 6,28 A RC ,5, E 1,4 U 1 7,64 = U A + I B ,4 , D ⋅ R B = 6,84 + 0,56 ⋅ 1,5 = 7,64V I1 = = = 1,53 A R1 5 U 2 10,57 = U A + I C ,5, E ⋅ RC = 6,84 + 6,28 ⋅ 0,6 = 10,57V = = 5,28 A I2 = 2 R2 U 3 2,93 = U 2 − U 1 = 10,57 − 7,64 = 2,93V I3 = = = 0,97 A R3 3 = R4 ⋅ I B ,4 , D = 13 ⋅ 0,56 = 7,28V I 4 = I B ,4 , D = 0,56 A

U 5 = R5 ⋅ I C ,5, E = 0,2 ⋅ 6,28 = 1,25V

I 5 = I C ,5, E = 6,28 A

U 7 = U F + I B ,4 , D ⋅ R D = 24,4 + 0,56 ⋅ 1,2 = 25V U 8 = U F + I C ,5, E ⋅ R E = 24,4 + 6,28 ⋅ 0,6 = 28,2V U 6 = U 8 − U 7 = 28,2 − 25 = 3,2V

21

U 7 25 = = 2,1 A R7 12 U 8 28,2 I8 = = = 4,7 A R8 6 U 6 3,2 I6 = = = 1,6 A R6 2 I7 =

2.5.12. Určete proud, který prochází měřidlem při můstkovém zapojení podle obrázku. Napětí zdroje je 10V. Odpory rezistorů jsou R1=100Ω, R2=100Ω, R3=100Ω a R4=140Ω. Odpor měřidla je 1000Ω.

A

A

RA

I3

I1

R1

R3

RM

B

U

C

I2 R2

IM

R4 I4

RB

RC

B R2

C R4

D

D R1 ⋅ R3 100 ⋅ 100 = = 8, 3Ω R1 + R3 + R M 100 + 100 + 1000 R1 ⋅ R M 100 ⋅ 1000 = = 83Ω RB = R1 + R3 + R M 100 + 100 + 1000 R3 ⋅ R M 100 ⋅ 1000 = = 83Ω RC = R1 + R3 + R M 100 + 100 + 1000 RA =

R B ,2 = R B + R2 = 83 + 100 = 183Ω R B , 2 ,C , 4 =

R B , 2 ⋅ RC , 4 R B ,2 + RC ,4

RC ,4 = RC + R4 = 83 + 140 = 223Ω =

183 ⋅ 223 = 100,7Ω 183 + 223

RCELK = R A + R B ,2 ,C ,4 = 8, 3 + 100,7 = 109Ω U A = I CELK ⋅ R A = 0,092 ⋅ 8, 3 = 0,76V U B ,2

RCELK

=

10 = 0,092 A 109

9,24 = 0,041 A RC , 4 223 U 4 = I C ,4 ⋅ R4 = 0,041 ⋅ 140 = 5,74V

=

IM =

U

U B ,2 = U C ,4 = U − U A = 10 − 0,76 = 9,24V

9,24 = 0,05 A RB ,2 183 U 2 = I B ,2 ⋅ R2 = 0,05 ⋅ 100 = 5V I B ,2 =

I CELK =

I C ,4 =

U C ,4

U 4 − U 2 5,74 − 5 = = 0,74mA RM 1000

22

=

2.5.13. Přepočítejte, pomocí vztahů pro transfiguraci, článek tvaru π na T článek. Odpory rezistorů jsou R1=2kΩ, R2=5kΩ a R3=3kΩ.

R1

RA =

RA

R2

RB

R3

RC

R1 ⋅ R2 2 ⋅5 = = 1kΩ R1 + R2 + R3 2 + 5 + 3

R2 ⋅ R3 5⋅ 3 = = 1,5kΩ R1 + R2 + R3 2 + 5 + 3 R1 ⋅ R3 2⋅3 RC = = = 0,6kΩ R1 + R2 + R3 2 + 5 + 3 RB =

2.5.14. Určete proud, procházející rezistorem R3 v zapojení dle obrázku. Napětí zdroje je U=13N. Odpory rezistorů jsou R1=2Ω, R2=1Ω, R3=5Ω, R4=3Ω a R5=0,5Ω.

RC C R5

R4 R1

R3

RA

A

R5

RB B R2 D R2 U

R1 ⋅ R4 2⋅3 = = 0,6Ω R1 + R3 + R4 2 + 5 + 3 R3 ⋅ R4 5⋅ 3 RC = = = 1,5Ω R1 + R3 + R4 2 + 5 + 3 RA =

RB =

R B ,2 = R B + R2 = 1 + 1 = 2Ω

RC ,5 = RC + R5 = 1,5 + 0,5 = 2Ω

R B , 2 ,C ,5 =

RCELK = R A + R B ,2 ,C ,5 = 0,6 + 1 = 1,6Ω I5 = I2 =

R1 ⋅ R3 2 ⋅5 = = 1Ω R1 + R3 + R4 2 + 5 + 3

I CELK =

I CELK 8,125 = = 4,0625 A 2 2

R B ,2 ⋅ RC ,5 R B , 2 + RC , 5 U RCELK

=

=

2⋅2 = 1Ω 2+2

13 = 8,125 A 1,6

U 5 = I 5 ⋅ R5 = 4,0625 ⋅ 0,5 = 2,03V

U 2 = I 2 ⋅ R2 = 4,0625 ⋅ 1 = 4,0625V

I3 =

23

U 2 − U 5 4,0625 − 2,03 = = 0,406 A R3 5

2.5.15. Stanovte výsledný odpor zapojení. Odpory jsou R1=100Ω, R2=500Ω, R3=250Ω, R4=1000Ω, R5=500Ω a R6=600Ω.

R1

R3

R2

RA

R5

R4

R1

R6

RB

R6

RC

R4

R2 ⋅ R3 500 ⋅ 250 = = 100Ω R2 + R3 + R5 500 + 250 + 500 R3 ⋅ R5 250 ⋅ 500 RB = = = 100Ω R2 + R3 + R5 500 + 250 + 500 R2 ⋅ R5 500 ⋅ 500 RC = = = 200Ω R2 + R3 + R5 500 + 250 + 500 RA =

R B ,6 = R B + R6 = 100 + 600 = 700Ω R B , 6,C , 4 =

R B , 6 ⋅ RC , 4 R B ,6 + RC ,4

RC ,4 = RC + R4 = 200 + 1000 = 1200Ω =

700 ⋅ 1200 = 442Ω 700 + 1200

RCELK = R1 + R A + R B ,6,C ,4 = 100 + 100 + 442 = 642Ω 2.6.1. Určete proud, který dodává zdroj do obvodu, proudy a napětí na součástkách obvodu. Odpory rezistorů jsou R1=10Ω, R2=20Ω, R3=10Ω, R4=15Ω a R5=30Ω. Obvod řešíme postupným zjednodušováním zátěže.

R5

R3

RA

RB

R4

+ U

R3 R1

R R1

R1

R2

_ R A = R2 +

R4 ⋅ R5 15 ⋅ 30 = 20 + = 30Ω R4 + R5 15 + 30

R = R1 + R B = 10 + 7,5 = 17,5Ω

24

R3 ⋅ R A 10 ⋅ 30 = = 7,5Ω R3 + R A 10 + 30 U 17,5 I = I1 = = = 1A R 17,5

RB =

U 1 = R1 ⋅ I = 10 ⋅ 1 = 10V I3 =

U 3 = U − U 1 = 17,5 − 10 = 7,5V

U 3 7,5 = = 0,75 A R3 10

I2 =

U 2 = R2 ⋅ I 2 = 20 ⋅ 0,25 = 5V I5 =

U3 7,5 = = 0,25 A R4 ⋅ R5 15 ⋅ 30 20 + R2 + 15 + 30 R4 + R5 U 4 = U 5 = U 3 − U 2 = 7,5 − 5 = 2,5V

U 5 2,5 = = 0,083 A R5 30

I4 =

U 4 2,5 = = 0,166 A 15 R4

Příklad 2.6.2. Vypočtěte proudy I1, I2 a I3 v obvodu dle obrázku. Napětí zdrojů U1=14V, U2=18V, odpory rezistorů R1=2Ω, R2=3Ω a R3=4Ω. I1 + I 2 − I 3 = 0 − U 1 + R1 ⋅ I 1 + R3 ⋅ I 3 = 0 U 2 − R2 ⋅ I 2 − R3 ⋅ I 3 = 0

I2

I1 R1

R3

R2

I

+ I2

I1 R1 ⋅ I 1

II I3

+ R2 ⋅ I 2

U1

= 0 / ⋅(− R1 ) = U 1 / ⋅1 = U2

− I3 + R3 ⋅ I 3 + R3 ⋅ I 3

U2

+ ( R3 + R1 ) ⋅ I 3 + R3 ⋅ I 3

− R1 ⋅ I 2 R2 ⋅ I 2

(R

2

I3 =

I2 =

= U 1 / ⋅R2 = U 2 / ⋅R1

⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 ) ⋅ I 3 = U 1 ⋅ R2 + U 2 ⋅ R1

U 1 ⋅ R2 + U 2 ⋅ R1 14 ⋅ 3 + 18 ⋅ 2 = = 3A R2 ⋅ R3 + R1 ⋅ R3 + R1 ⋅ R2 3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 4 + 2 ⋅ 3

U 2 − R3 ⋅ I 3 18 − 4 ⋅ 3 = = 2A R2 3

I1 =

U 1 − R3 ⋅ I 3 14 − 4 ⋅ 3 = = 1A R1 2

2.6.11. Vypočtěte proudy ve všech členech obvodu, který je znázorněn na obrázku, je-li napětí zdroje 30V a odpory rezistorů jsou R1=1Ω, R2=1Ω, R3=5Ω, R4=6Ω, R5=3Ω a R6=10Ω.

R2 R4

R3 R6

R2 ,3

R1

R5 +

U

R4 ⋅ R5 6⋅3 = 10 + = 12Ω R4 + R5 6+3 = R2 + R3 = 1 + 5 = 6Ω

R4 ,5,6 = R6 +

RCELK = R1 +

_

R4 ,5,6 ⋅ R2 ,3 R4 ,5,6 + R2 ,3

I CELK = I 1 =

25

U RCELK

= 1+ =

12 ⋅ 6 = 5Ω 12 + 6

30 = 6A 5

U 2 ,3 = U − I 1 ⋅ R1 = 30 − 6 ⋅ 1 = 24V I6 = I4 =

U 2 ,3 R4 ,5,6 U 4 ,5 R4

= =

I2 = I3 =

24 = 2A 12

U 2 ,3 R2 ,3

=

24 = 4A 6

U 4 ,5 = U 2 ,3 − I 6 ⋅ R6 = 24 − 2 ⋅ 10 = 4V

4 = 0, 6 A 6

I5 =

U 4 ,5 R5

=

4 = 1, 3A 3

2.6.12. Na svorkách zdroje jsou do série připojeny rezistory o odporech R1=40Ω, R2=70Ω, R3=100Ω, R4=90Ω a R5=140Ω. Napětí na odporu R2 je 35V. Určete svorkové napětí zdroje, napětí na ostatních rezistorech a výkon na všech rezistorech. U 2 35 U 1 = R1 ⋅ I = 40 ⋅ 0,5 = 20V U 3 = R3 ⋅ I = 100 ⋅ 0,5 = 50V I= = = 0,5 A R2 70 5

U 4 = R4 ⋅ I = 90 ⋅ 0,5 = 45V P1 = U 1 ⋅ I = 20 ⋅ 0,5 = 10W

U 5 = R5 ⋅ I = 140 ⋅ 0,5 = 70V

P2 = U 2 ⋅ I = 35 ⋅ 0,5 = 17,5W

P4 = U 4 ⋅ I = 45 ⋅ 0,5 = 22,5W

U = ∑ U n = 220V n =1

P3 = U 3 ⋅ I = 50 ⋅ 0,5 = 25W

P5 = U 5 ⋅ I = 70 ⋅ 0,5 = 35W

2.6.13. Rezistory o odporech R1=2kΩ, R2=3kΩ a R3=6kΩ tvoří paralelní kombinaci a jsou připojeny na svorkách zdroje. Rezistorem s odporem R2 prochází proud 5mA. Určete svorkové napětí zdroje a proudy v rezistorech R1 a R3. UZ 15 U Z = R2 ⋅ I 2 = 3 ⋅ 10 3 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 15V I1 = = = 7,5mA R1 2 ⋅ 10 3 UZ 15 = = 2,5mA I3 = R3 6 ⋅ 10 3 2.6.14. Určete proud, který dodává zdroj do obvodu podle obrázku a napětí na rezistoru s odporem R3, je-li spínač a) vypnut a b) zapnut. U=50V, R1=20Ω, R2=30Ω a R3=10Ω.

R3

R1

R2

a) R = R1 + R2 = 20 + 30 = 50Ω U 50 Ia = = = 1A R 50 U 2 = R2 ⋅ I = 30 ⋅ 1 = 30V

b)

R=

R1 ⋅ R3 20 ⋅ 10 + R2 = + 30 = 36, 6Ω R1 + R3 20 + 10

Ib =

U 50 = = 1, 36A R 36, 6

U 2 = R2 ⋅ I = 30 ⋅ 1, 36 = 40,9V 2.6.15.V obvodu, zapojeném dle obrázku, vypočítejte: a) proud I1, který prochází rezistorem R1, je-li zadáno: IA=2A, IB=1A, R1=2Ω, R2=1Ω, R3=5Ω, U1=5V a U2=10V. b) napětí zdroje U1, je-li zadáno: I1=4A, I3=5A, IB=3A, U2=24V, R1=6Ω, R2=6Ω a R3=6Ω. 26

c) odpor rezistoru R3, je-li zadáno: IA=3A, I2=0,5A, I3=5A, U1=12V, U2=24V, R1=2Ω a R2=4Ω.

R1

U1

I1

U2

I2

I3

R2

I1

+ I2

R1 ⋅ I 1

− I2 − R2 ⋅ I 2

R3

I1

+ I2

2 ⋅ I1

− I2 − 1⋅ I 2

a)

IA

+ I2 − 6 ⋅ I2

I1 2 ⋅ I1

4 b)

IB

=2

/ ⋅6

=0

+ I2

− I2 6 ⋅ 4 − 6 ⋅ I2 z rovnice 3

c)

8 ⋅ I 1 = 12

= IB = U1 − U 2 =2

+ I3 − 5⋅ I3

/⋅5 =1 = 5 − 10

I 1 = 1,5 A

z rovnice 2

+5 =3 − 6 ⋅ 5 = U 1 − 24

I2 = 2 A

U 1 = 24 + 24 − 12 − 30 = 6V

6 ⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 6 ⋅ 5 = U 1 − 24 =3

z rovnice 1

− 0,5 −5 = IB − 4 ⋅ 0,5 − R3 ⋅ 5 = 12 − 24

2 ⋅ I1

+ I3 − R3 ⋅ I 3

= IA

+ 0,5

I1

IC

= IA

I 1 = 2,5 A

24 − 12 − 2 + 5 = 3Ω 5 2.6.13. V zapojení podle obrázku je R1=1Ω, R2=1Ω, R3=6Ω, R4=3Ω a R5=6Ω. Rezistorem R4 prochází proud 4A. Stanovte napětí zdroje. U 4 = U 5 = R4 ⋅ I 4 = 3 ⋅ 4 = 12V U 5 12 I5 = = = 2A R5 R5 6 I5 R4 I2 = I5 + I4 = 2 + 4 = 6 A + U 3 = U 4 + R2 ⋅ I 2 = 12 + 1 ⋅ 6 = 18V U 3 18 I I3 = = = 3A I3 U R3 4 R3 6 R1 R2 I1 = I 2 + I 3 = 6 + 3 = 9 A z rovnice 3

2 ⋅ 2,5 − 4 ⋅ 0,5 − R3 ⋅ 5 = 12 − 24

_ I1

R3 =

U = U 3 + R1 ⋅ I 1 = 18 + 1 ⋅ 9 = 27V

I2

2.7.1. Určete proudy ve všech členech obvodu. Napětí zdrojů jsou U1=130V, U2=40V a U3=100V. Odpory rezistorů jsou R1=1Ω, R2=5Ω, R3=2Ω, R4=4Ω, R5=10Ω a R6=5Ω. Schéma zapojení je na obrázku. V rezistorech označíme smysly předpokládaných proudů I1, I2, I3, I4, I5 a I6. Zvolíme smysly smyčkových proudů IA, IB a IC. Určíme rovnice pro smyčky podle II. Kirchhoffova zákona.

27

U3

R3 I

I4

R5

R1

Pro smyčku A platí R1 ⋅ I A + R4 ( I A − I C ) + R6 ⋅ ( I A − I B ) − U 1 = 0

I5

R4 I1

I3

R6

Pro smyčku B platí R6 ⋅ ( I B − I A ) + R5 ⋅ ( I B − I C ) + R2 ⋅ I B + U 2 = 0

R2

I2

Pro smyčku C platí R3 ⋅ I C + R5 ⋅ ( I C − I B ) + R4 ⋅ ( I C − I A ) + U 3 = 0

I

IA

U

U1

I6

Dále platí

(R

1

I1 = I A

I2 = −I B

+ R4 + R6 ) ⋅ I A

I3 = −IC I6 = I A − I B

− R6 ⋅ I B

− R6 ⋅ I A

+ ( R2 + R5 + R6 ) ⋅ I B

− R4 ⋅ I A

− R5 ⋅ I B

10 ⋅ I A

− 5⋅ I B

− 4 ⋅ IC

= 130

− 5⋅ I A − 4⋅ IA

+ 20 ⋅ I B − 10 ⋅ I B

− 10 ⋅ I C + 16 ⋅ I C

= −40 = −100

I4 = I A − IC

I5 = IC − I B

− R4 ⋅ I C

= U1

− R5 ⋅ I C

= −U 2

+ ( R3 + R4 + R5 ) ⋅ I C

= −U 3

35 ⋅ I B

− 24 ⋅ I C

130 ⋅ I B

− 120 ⋅ I C

= 50

/ ⋅( − 5)

= 340

Rovnici 2 jsme násobili 2⋅ a sečetli s rovnicí 1. Rovnici 2 jsme násobili 4⋅ a rovnici 3 jsme násobili (-5)⋅ a tyto dvě rovnice jsme také sečetli. 70 + 50 − 45 ⋅ I B = 90 I B = −2 A 35 ⋅ ( − 2) − 24 ⋅ I C = 50 IC = − = −5 A 24 130 − 10 − 20 10 ⋅ I A − 5 ⋅ ( − 2) − 4 ⋅ ( − 5) = 130 IA = = 10 A 10 2.7.11. Určete proudy ve všech členech obvodu podle obrázku. Zdroje mají napětí U1=12V, U2=11V, odpory rezistorů jsou R1=1Ω, R2=1Ω, R3=10Ω, R4=2Ω a R5=2Ω. I5 R5 I1

R3

R1

I

IA

R2

R4

I2

I

U1

U2 I3

I4

28

(R

1

+ R3 ) ⋅ I A

+0

= U1

− R4 ⋅ I C

=0

− R3 ⋅ I B

− R3 ⋅ I A

+ ( R3 + R4 + R5 ) ⋅ I B

0

− R4 ⋅ I B

11 ⋅ I A

− 10 ⋅ I B

+0

= 12

− 10 ⋅ I A 0

+ 14 ⋅ I B − 2⋅ IB

− 2 ⋅ IC + 3⋅ IC

=0 / ⋅3 = −11 / ⋅2

+ ( R2 + R4 ) ⋅ I C

11 ⋅ I A − 30 I A

− 10 ⋅ I B + 38 ⋅ I B

= −U 2

= 12 / ⋅19 = −22 / ⋅5

118 22 − 12 = 2A 11 ⋅ 2 − 10 ⋅ I B = 12 IB = = 1A 59 10 − 11 + 2 − 2 ⋅ 1 + 3 ⋅ I C = −11 IC = = −3 A I1 = I A = 2 A I2 = −IC = 3A 3 I 3 = I A − I B = 2 − 1 = 1A I4 = I B − IC = 1 + 3 = 4 A I 5 = I B = 1A 2.7.12. Určete napětí na rezistorech s odpory R1 a R3 v obvodu podle obrázku, Napětí zdrojů jsou U1=120V, U2=6V a U3=80V. Odpory rezistorů jsou R1=2Ω, R2=6Ω, R3=2Ω, R4=3Ω, R5=2Ω a R6=6Ω. 59 ⋅ I A = 118

IA =

R3 I1

I3 U2 IB

IA U1

R4

I2

(R

1

+ R2 ) ⋅ I A

I5

+ ( R2 + R3 + R5 ) ⋅ I B

0

− R5 ⋅ I B

8⋅ I A

− 6⋅ IB

+0

= 120

− 6⋅ I A 0

+ 13 ⋅ I B − 2⋅ IB

− 2 ⋅ IC + 8 ⋅ IC

= −6 / ⋅4 = −80

U R2

U3

I4

− R2 ⋅ I B

256 = 8A 32 = R2 ⋅ ( I A − I B ) = 6 ⋅ ( 21 − 8) = 78V IB =

I6

IC

− R2 ⋅ I A

32 ⋅ I B = 256

R6

R5

R2

R1

+0

= U1

− R5 ⋅ I C

= −U 2

+ ( R5 + R6 ) ⋅ I C

8⋅ I A − 24 I A

29

− 6⋅ IB + 50 ⋅ I B

= 120 / ⋅3 = −104

120 + 48 = 21 A 8 = R3 ⋅ ( − I B ) = 2 ⋅ ( − 8) = −16V

8 ⋅ I A − 48 = 120 U R3

= −U 3

IA =

2.7.13. Stanovte proudy v rezistorech R4 a R5 v obvodu podle obrázku. Napětí zdrojů jsou U1=42V a U2=8V. Odpory rezistorů jsou R1=10Ω, R2=4Ω, R3=10Ω, R4=40Ω, R5=5Ω, R6=20Ω, R7=4Ω a R8=5Ω. R6 R1

I4

IA

R2

R4

IC R7

U1 IB

R3

(R

1

+ R4 + R2 ) ⋅ I A

U2 R5

− R2 ⋅ I B

ID

I5

R8

− R4 ⋅ I C

+0

= U1

+0

− R5 ⋅ I D

= −U 1

− R7 ⋅ I D

= −U 2

− R2 ⋅ I A

+ ( R2 + R5 + R3 ) ⋅ I B

− R4 ⋅ I A

+0

+ ( R4 + R6 + R7 ) ⋅ I C

0

− R5 ⋅ I B

− R7 ⋅ I C / ⋅( − 1)

54 ⋅ I A

− 4⋅ IB

− 40 ⋅ I C

+0

− 4⋅ IA

+ 19 ⋅ I B

+0

− 5⋅ I D

= −42

− 40 ⋅ I A

+0

+ 64 ⋅ I C

− 4⋅ ID

= −8

0

− 5⋅ IB

− 4 ⋅ IC

+ 14 ⋅ I D

− 4⋅ IA

+ 19 ⋅ I B

− 5⋅ I D

= −42

− 54 ⋅ I A − 40 ⋅ I A

− 46 ⋅ I B − 80 ⋅ I B

+ 140 ⋅ I D + 220 ⋅ I D

− 166 ⋅ I A − 216 ⋅ I A

+ 486 ⋅ I B + 756 ⋅ I B

= 42

=8

/ ⋅1 / ⋅10 / ⋅16

+ ( R5 + R7 + R8 ) ⋅ I D

= U2

Sečteme 1. Rovnici po vynásobení ( -1 ) se čtvrtou rovnicí po vynásobení 10 ti. Dále sečteme třetí rovnici po vynásobení 1 se čtvrtou rovnicí po vynásobení 16ti.

/ ⋅28 / ⋅44 = 38 = 120

= −1138 / ⋅14 − 1728 / ⋅( −9)

− 166 ⋅ 1 + 486 ⋅ I B = −1138 − 4 ⋅ 1 + 19 ⋅ ( −2) − 5 ⋅ I D = −42 54 ⋅ 1 − 4 ⋅ ( −2) − 40 ⋅ I C = 42 I 4 = I A − I C = 1 − 0,5 = 0,5 A

1728 ⋅ 9 − 1138 ⋅ 14 380 = = 1A − 166 ⋅ 14 + 216 ⋅ 9 380 − 1138 + 166 IB = = −2 A 486 42 − 4 − 38 ID = = 0A 5 54 + 8 − 42 IC = = 0,5 A 40 I5 = I D − I B = 0 + 2 = 2 A IA =

30

2.7.14. Určete velikost napětí U1 zdroje v obvodu na obrázku. R1=5Ω, R2=1Ω, R3=1Ω, R4=1Ω, R5=2Ω, R6=6Ω, R7=3Ω a R8=1Ω. Proud naznačeného smyslu, který prochází rezistorem R8 je 2A.

C R2

D

R1

B

R3

R4

R6

R5

R7

U1 R8

A

I8

R5 ⋅ R6 ⋅ R7 2⋅6⋅3 = = 1Ω R5 ⋅ R6 + R5 ⋅ R7 + R6 ⋅ R7 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 3 + 6 ⋅ 3 U B, A 4 U B , A = ( R5,6,7 + R8 ) ⋅ I 8 = (1 + 1) ⋅ 2 = 4V I4 = = = 4A R4 1 I3 = I8 + I4 = 4 + 2 = 6 A U C , A = U B , A + R3 ⋅ I 3 = 4 + 1 ⋅ 6 = 10V R5,6,7 =

I1 = U D ,C

10 = 2A R1 5 = R2 ⋅ I 2 = 1 ⋅ 8 = 8V

U C, A

I 2 = I1 + I 3 = 2 + 6 = 8 A

=

U 1 = U D ,C + U C , A = 8 + 10 = 18V

2.7.15. Určete velikost napětí zdrojů U1 a U2 v obvodu na obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=1Ω, R2=1Ω, R3=1Ω, R4=2Ω, R5=1Ω a R6=1Ω. Proud 1A prochází rezistorem R4, proud I6=2A prochází v naznačeném smyslu. R3 U1 I D = I6 = 2 A IA IC = I4 + I B = 1+ I B

R6

IC R2

R1

I4 IB R5

31

ID

R4 U2

I6

( R1 + R2 ) ⋅ I A − R2 ⋅ I A

− R2 ⋅ I B + ( R2 + R4 + R5 ) ⋅ I B

0 0

− R4 ⋅ I B +0

2⋅IA

− 1⋅ I B

− 1⋅ I A

+ 4⋅ IB

0

− 2⋅ IB

0

+0

+0 − R4 ⋅ I C

+ ( R3 + R4 + R6 ) ⋅ I C − R6 ⋅ I C

+0

+0

− 2 ⋅ (1 + I B )

= U1

+0

=0

− 1 ⋅ (1 + I B )

+ 1⋅ 2

2⋅IA − IA 0 0

+ 4 ⋅ (1 + I B ) − 1 ⋅ 2 = −U 2 = U2

+0 +0

= U1 =0

− R6 ⋅ I D + R6 ⋅ I D

= −U 2 = U2

+0 +0 +0 +0

− IB + 2⋅ IB + 2⋅ IB − IB

+0 = U1 +0 =2 + 0 = −U 2 − 2 + 0 = U2 − 1

Součtem rovnic 3 a 4 dostaneme IB=-3A. Z rovnice 4 dostaneme po dosazení za IB U2=4V. Z rovnice 2 dostaneme po dosazení za IB IA=-8A. Z rovnice 1 dostaneme po dosazení za IA a IB U1=-13V. 2.7.16. Stanovte napětí zdroje tak, aby rezistorem s odporem R7 procházel proud 2A v naznačeném smyslu dle obrázku. Odpory rezistorů jsou R1=2Ω, R2=1Ω, R3=12Ω, R4=1Ω, R5=1Ω a R6=3Ω. A R7=6Ω.

R1

U 7 = R7 ⋅ I 7 = 6 ⋅ 2 = 12V I6 =

U

U 7 12 = = 4A 3 R6

R3

R2

R4

R6

I7

R7

R5

U 3 = ( R4 + R5 ) ⋅ ( I 6 + I 7 ) + U 7 = (1 + 1) ⋅ ( 4 + 2) + 12 = 24V

I3 =

U 3 24 = = 2A R3 12

U = ( R1 + R2 ) ⋅ ( I 3 + I 6 + I 7 ) + U 3 = ( 2 + 1) ⋅ ( 2 + 4 + 2) + 24 = 48V

2.8.1. Určete proudy ve všech členech obvodu podle obrázku. Napětí zdrojů jsou U1=48V a U2=30V. Odpory rezistorů jsou R1=2Ω, R2=2Ω, R3=4Ω, R4=1Ω, R5=2Ω.. I2

A

B

R2 I1

U1

R1

R3

R5

I3

R4

I5

I4

U2

C

32

Uzel C zvolíme jako referenční. Vzhledem k uzlu C má obvod dvě uzlová napětí UA a UB. Pro uzel A platí: I1 − I 2 − I 3 = 0 Pro uzel B platí: I2 + I4 − I5 = 0

U1 − U A UA −UB UA U2 − U B UB I2 = I3 = I4 = I5 = R1 R2 R3 R4 R5 Řešíme soustavu dvou rovnic pro dvě neznámá uzlová napětí UA a UB. I1 − I 2 − I 3 = 0 I2 + I4 − I5 = 0 U1 − U A U A − U B U A U A − UB U2 − UB UB − − =0 + − =0 R1 R2 R3 R2 R4 R5 48 − U A U A − U B U A U A − U B 30 − U B U B − − =0 + − =0 2 2 4 2 1 2 I1 =

5⋅U A −UA

− 2 ⋅U B + 4 ⋅U B

= 96 / ⋅2 = 60

9 ⋅ U A = 252

U 1 − U A 48 − 28 = = 10 A R1 2 U 2 − U B 30 − 22 I4 = = = 8A R4 1 I1 =

UA =

252 = 28V 9

UB =

U A − U B 28 − 22 = = 3A R2 2 U B 22 I5 = = = 11 A R5 2 I2 =

60 + 28 = 22V 4

I3 =

U A 28 = = 7A R3 4

2.8.11. Stanovte proud, procházející rezistorem s odporem R3, v obvodu znázorněném na obrázku, kde napětí zdrojů jsou U1=11V a U2=12V. Odpory rezistorů R1=5Ω, R2=3Ω a R3=2Ω.

A

R1

R2

I1 + I 2 − I 3 = 0 U1 − U A U 2 − U A U A + − =0 R1 R2 R3

R3

U1

11 − U A 12 − U A U A + − = 0 / ⋅30 5 3 2

U2

0

66 − 6 ⋅ U A + 120 − 10 ⋅ U A − 15 ⋅ U A = 0

UA =

186 = 6V 31

I3 =

UA 6 = = 3A R3 2

2.8.12. Určete proudy v rezistorech s odpory R2 a R4 v obvodu na obrázku. Napětí zdrojů jsou U1=5V a U2=15V. Odpory R1=5Ω, R2=20Ω, R3=10Ω, R4=20Ω, R5=10Ω a R6=20Ω, Uzel 0 zvolíme jako referenční. Vzhledem k uzlu 0 má obvod tři uzlová napětí UA, UB a UC.

Pro uzel B platí: I 3 + I 5 − I 4 = 0

R6

R1 A R3

Pro uzel A platí: I1 − I 2 − I 3 + I 6 = 0

I1 U1

Pro uzel C platí:U C = U 2 Uzel U2 není z hlediska výpočtu pomocí uzlových napětí uzlem.

I3

R2 I2

I4

0 33

B R5

I6

C

I5 R4

U2

UA UA −UB UB U2 − UB U2 − U A I3 = I4 = I5 = I6 = R2 R3 R4 R5 R6 I1 − I 2 − I 3 + I 6 = 0 I3 + I5 − I4 = 0 U1 − U A U A U A − U B U 2 − U A U A − UB U2 − UB UB − − + =0 + − =0 R1 R2 R3 R6 R3 R5 R4 5 − U A U A U A − U B 15 − U A U A − U B 15 − U B U B − − + = 0 / ⋅20 + − = 0 / ⋅20 5 20 10 20 10 10 20 2 ⋅ U A − 2 ⋅ U B + 30 − 2 ⋅ U B − U B = 0 20 − 4 ⋅ U A − U A − 2 ⋅ U A + 2 ⋅ U B + 15 − U A = 0

I1 =

U1 − U A R1

− 8 ⋅U A 2 ⋅U A I4 =

I2 =

+ 2 ⋅U B − 5⋅U B

= −35 = −30 / ⋅4

− 18 ⋅ U B = −155

U B 8,61 = = 0,43 A R4 20

UB =

2 ⋅ U A − 5 ⋅ 8,61 = −30

UA =

155 = 8,61V 18

− 30 + 5 ⋅ 8,61 = 6,53V 2

U A 6,53 = = 0,325 A R2 20 2.8.13. Stanovte odpor rezistoru R tak, aby rezistorem R1 neprocházel proud. Schéma zapojení je na obrázku. Hodnoty obvodových prvků jsou tyto: R1=2Ω, R2=4Ω, R3=2Ω, R4=1Ω, U1=12V, U2=30V. I I2 =

A

B

3

R3 R1

R2

R4

R I

I4

U1

.

I2

U2

0

I3 + I4 − I = 0 U1 − U B U 2 − U B U B + − =0 R3 R4 R 12 − U B 30 − U B U B 12 12 − U B + − =0 + =0 2 1 R 4 2 12 − 18 30 − 18 18 18 + − =0 − 3 + 12 − =0 2 1 R R

34

I2 + I3 = 0 U1 U1 − U B + =0 R2 R3 U B = 6 + 12 = 18V 18 =9 R

R=

18 = 2Ω 9

2.8.14. Určete proudy ve všech členech obvodu on obrázku. Napětí zdrojů jsou U1=25V, U2=10V, U3=70V a U4=15V. Odpory rezistorů R1=5Ω, R2=10Ω, R3=10Ω, R4=10Ω, R5=5Ω, R6=3Ω a R7=15Ω. U2 I4 R4 R3

A I1 R1

I3 R2

I6 R7

R5

I2

U1

B

U3

R6

I7

I5

U4

0 I1 − I 2 + I 3 − I 4 = 0

− I3 + I4 + I5 + I6 − I7 = 0

U1 − U A U A U B − U A U A + U 2 − U B − + − =0 R1 R2 R3 R4 U B − U A U A + U2 − U B U3 − U B U4 − U B U B − + + + − =0 R3 R4 R5 R6 R7 25 − U A U A U B − U A U A + 10 − U B − + − = 0 / ⋅10 5 10 10 10 U − U A U A + 10 − U B 70 − U B 15 − U B U B − B + + + − = 0 / ⋅30 10 10 5 3 15 50 − 2 ⋅ U A − U A + U B − U A − U A − 10 + U B = 0 − 3 ⋅ U B + 3 ⋅ U A + 3 ⋅ U A + 30 − 3 ⋅ U B + 420 − 6 ⋅ U B + 150 − 10 ⋅ U B − 2 ⋅ U B = 0

− 5⋅U A 6 ⋅U A

+ 2 ⋅U B − 24 ⋅ U B

= −40 / ⋅2 = −600/:6

− 5 ⋅ 20 + 2 ⋅ U B = −40

UB =

− 9 ⋅ U A = −180 100 − 40 = 30V 2

UA =

180 = 20V 9

U 1 − U A 25 − 20 = = 1A R1 5 U B − U A 30 − 20 I3 = = = 1A R3 10 U 3 − U B 70 − 30 I5 = = = 8A R5 5 U B 30 I7 = = = 2A R7 15

U A 20 = = 2A R2 10 U A + U 2 − U B 20 + 10 − 30 I4 = = = 0A R4 10 U 4 − U B 15 − 30 I6 = = = −5 A R6 3 I2 =

35

I1 =

2.8.15. Určete proud, který prochází rezistorem s odporem R3. Napětí zdrojů jsou U1=15V a U2=105V. Odpory rezistorů R1=5Ω, R2=9Ω, R3=20Ω, R4=30Ω, R5=60Ω, R6=20Ω, R7=20Ω a R8=30Ω. R8 A I1 C I2 R 4 R1 R5 R2 R6 R7

B I7

I6 I4

U1

I8

U2

R3 I3

0 − I1 + I 4 − I 6 + I 8 = 0 U A − (− U 1 )

I5

− I3 + I6 + I7 = 0

I2 − I5 − I7 − I8 = 0

− U A U A − U B UC − U A UB U A − UB UC − U B − + =0 − + + =0 R1 R4 R6 R8 R3 R6 R7 U2 − UC UC UC − U B UC − U A − − − =0 R2 R5 R7 R8 U + 15 − U A U A − U B U C − U A U U − UB UC − UB − A + − + = 0 / ⋅60 − B + A + = 0 / ⋅20 5 30 20 30 20 20 20 105 − U C U C U C − U B U C − U A − − − = 0 / ⋅180 9 60 20 30 −

+

− 12 ⋅ U A − 180 − 2 ⋅ U A − 3 ⋅ U A + 3 ⋅ U B + 2 ⋅ U C − 2 ⋅ U A = 0 − UB + U A − UB + UC − UB = 0 2100 − 20 ⋅ U C − 3 ⋅ U C − 9 ⋅ U C + 9 ⋅ U B − 6 ⋅ U C + 6 ⋅ U A = 0 − 19 ⋅ U A

+ 3⋅U B

+ 2 ⋅U C

= 180

UA 6 ⋅U A

− 3⋅U B + 9 ⋅U B

+ UC − 38 ⋅ U C

= 0 / ⋅19 / ⋅( − 6) = −2100

− 2376 ⋅ U B + 567 ⋅ U B = 7920 − 44100

− 54 ⋅ U B 27 ⋅ U B UB =

+ 21 ⋅ U C − 44 ⋅ U C

= 180 / ⋅44 = −2100 / ⋅21

− 7920 + 44100 = 20V 2376 − 567

U B 20 = = 1A R3 20 2.9.1. Určete napětí na odbočce nezatíženého děliče. Dělič je sestaven z rezistorů s odpory R1=100Ω a R2=200Ω. Napětí zdroje je 150V. I3 =

+

I=

R1 U _

R2

U2

150 U = = 0,5 A R1 + R2 100 + 200

U 2 = R2 ⋅ I = 200 ⋅ 0,5 = 100V

2.9.11. Stanovte odpory rezistorů nezatíženého děliče tak, aby se napětí na odbočce rovnalo 2/5 napětí zdroje. Napětí zdroje je 250V. Proud, procházející děličem je 10mA. 36

U 250 = = 25kΩ I 0,01 U 3 R1 = R ⋅ 1 = 25 ⋅ 10 3 ⋅ = 15kΩ U 5 U2 2 R2 = R ⋅ = 25 ⋅ 10 3 ⋅ = 10kΩ U 5 R=

+ R1 U

U2

R2

_

2.9.12. Určete odpory rezistorů nezatíženého děliče napětí. Napětí na odbočce je 40V, napětí zdroje je 200V. Výkon na prvcích děliče je 2W. P 2 I= = = 10mA U 200 + U2 40 R1 = = 4 kΩ R2 = 0,01 I U U 2 R2 U 1 200 − 40 = R1 = = 16kΩ 0,01 I _ 2.9.13. Vypočítejte napětí zdroje, který byl připojen na nezatížený dělič napětí. Napětí na odbočce děliče je 24V. Odpory rezistorů jsou R1=160Ω a R2=120Ω.

+

U = U2 ⋅

R1 U

R1 + R2 160 + 120 = 24 ⋅ = 56V R2 120

U2

R2

_ 2.9.2. Určete napětí na svorkách děliče, na který je připojen rezistor s odporem RZ=150Ω. Dělič je tvořen rezistory s odpory R1=200Ω a R2=300Ω. Napětí zdroje je 150V.

+

R2 ⋅ RZ 300 ⋅ 150 = = 100Ω R2 + RZ 300 + 150 R2 ,Z 100 UZ = U ⋅ = 150 ⋅ = 50V R1 + R2 , Z 200 + 100 R2 ,Z =

R1

R2

U

RZ

U2

_

2.9.14. Určete rozdíl napětí na svorkách děliče nezatíženého a zatíženého rezistorem odporem RZ=30kΩ. Odpory rezistorů děliče jsou R1=10kΩ a R2=15kΩ. Napětí zdroje je 150V.

+ R1 U

Nezatížený zdroj

R2

U2

RZ U2 = U ⋅

_

Zatížený zdroj

R2 ,Z = 37

R2 15 = 150 ⋅ = 90V R1 + R2 15 + 10

R2 ⋅ RZ 15 ⋅ 30 = = 10kΩ R2 + RZ 15 + 30

U 2 ,Z = U ⋅

R2 ,Z R1 + R2 ,Z

= 150 ⋅

10 = 75V 10 + 10

∆U = U 2 − U 2 , Z = 90 − 75 = 15V

2.9.15. Stanovte velikost proudu v zatěžovacím odporu děliče napětí. Odpory rezistorů děliče jsou R1=8kΩ a R2=3kΩ, zatěžovací odpor RZ=6kΩ a zdroj má napětí 1000V. R2 ⋅ RZ 3⋅ 6 R2 ,Z = = = 2 kΩ + R2 + RZ 3 + 6 R1 R2 ,Z 2 U = U ⋅ = 1000 ⋅ = 200V R R Z 2 Z U2 U R1 + R2 ,Z 8+2 UZ 200 IZ = = = 0,033A _ RZ 6000 2.9.16. Určete odpor zátěže děliče napětí. Napětí zdroje je 100V, na odbočce je napětí 50V. Dělič je sestaven z rezistorů s odpory R1=20Ω a R2=60Ω, R2 ,Z UZ 50 = = = 0,5 / ⋅2 + 100 R1 + R2 ,Z U

R1 U

R2

RZ

U2

2 ⋅ R2 ,Z = R1 + R2 ,Z

_

20 = R2 ,Z = 20 ⋅ 60 + 20 ⋅ RZ = 60 ⋅ RZ

RZ =

R2 ,Z = R1 = 20Ω

R2 ⋅ RZ 60 ⋅ RZ = R2 + RZ 60 + RZ

20 ⋅ 60 = 30Ω 60 − 20

2.9.17. Určete napětí zdroje, připojeného na zatížený dělič napětí. Napětí na zatěžovacím odporu má být 120V. Odpory R1=12kΩ, R2=6kΩ, zatěžovací odpor RZ=3kΩ.

+ U _

R1

R2 RZ

U2

R2 ⋅ RZ 6⋅3 + R1 + 12 R2 + RZ 6+3 U = UZ ⋅ = 120 ⋅ = 840V R2 ⋅ RZ 6⋅3 6+3 R2 + RZ

2.9.18. Určete odpory rezistorů děliče napětí R1 a R2 tak, aby při proudu 12mA, odebíraném ze zdroje a proudu 4mA, procházejícím zatěžovacím odporem, bylo napětí na zatěžovacím odporu 100V. Napětí zdroje U=580V. UZ 100 RZ = = = 25kΩ IZ 0,004 + R1 UZ 100 R2 = = = 12,5kΩ R2 RZ U2 U I − I Z 0,012 − 0,004 U − U Z 580 − 100 _ R1 = = = 40kΩ I 0,012 2.10.1. Odporový dělič napětí, složený z rezistorů s odpory R1=30kΩ a R2=20kΩ je připojen na zdroj napětí 250V. Určete napětí na výstupních svorkách při odebíraném proudu 5mA. 38

I R1

U

U0 = U ⋅

I

R2 U2

RZ

U0

Ri

R2 20 = 250 ⋅ = 100V R1 + R2 30 + 20

U2

Ri =

RZ

R1 ⋅ R2 30 ⋅ 20 = = 12 kΩ R1 + R2 30 + 20

U 2 = U 0 − Ri ⋅ I = 100 − 12 ⋅ 10 3 ⋅ 5 ⋅ 10 −3 = 40V 2.10.2. Určete napětí na svorkách napěťového děliče, zatíženého rezistorem s odporem RZ=40Ω. Dělič je sestaven z rezistorů o odporech R1=100Ω a R2=150Ω. Napětí zdroje je 200V.

I

R1

U

U0 = U ⋅

I

R2 U2

U0

RZ

Ri

U2

RZ

R2 R1 ⋅ R2 150 100 ⋅ 150 = = 60Ω = 200 ⋅ = 120V Ri = R1 + R2 100 + 150 R1 + R2 100 + 150 RZ 40 U2 = U0 ⋅ = 120 ⋅ = 48V Ri + RZ 60 + 40

2.10.11. Určete proud, který prochází zatěžovacím rezistorem s odporem RZ. Napětí zdroje je 180V. Odpory rezistorů jsou R1=30Ω, R2=60Ω, R3=40Ω a RZ=180Ω.

Řešíme pomocí Théveninovy poučky.

+ _

U

R1

R2

R3

I

U2

I

RZ

U0

Ri

U2

RZ

R2 60 = 180 ⋅ = 120V R1 + R2 30 + 60 R1 ⋅ R2 30 ⋅ 60 Ri = R3 + = 40 + = 60Ω R1 + R2 30 + 60 U0 = U ⋅

R = Ri + RZ = 60 + 180 = 240Ω

I=

U 0 120 = = 0,5 A R 240

2.10.12. Určete, jaký je rozdíl napětí na svorkách napěťového děliče, je-li a) nezatížen, b) zatížen rezistorem s odporem RZ=30Ω. Napětí zdroje je 100V, odpory rezistorů děliče R1=10Ω a R2=15Ω.

39

Řešíme pomocí Théveninovy poučky. R2 15 = 100 ⋅ = 60V R1 + R2 10 + 15 R1 ⋅ R2 10 ⋅ 15 Ri = = = 6Ω R1 + R2 10 + 15 RZ 30 U2 = U0 ⋅ = 60 ⋅ = 50V Ri + RZ 6 + 30

I U

R1

U0 = U ⋅

R2 U2

RZ

∆U = U 0 − U 2 = 60 − 50 = 10V 2.10.13. Stanovte zatěžovací odpor RZ tak, aby se napětí na výstupních svorkách a - b rovnalo jedné polovině napětí zdroje. Odpory rezistorů jsou R1=3Ω, R2=6Ω a R3=4Ω.

I

+ _ U2 =

R1

U

R2

R3

R2 6 2 =U⋅ =U ⋅ 3+ 6 3 R1 + R2 R1 ⋅ R2 3⋅ 6 Ri = R3 + =4+ = 6Ω R1 + R2 3+ 6

U0 = U ⋅

U2

RZ

RZ U 2 = U0 ⋅ ⇒ U ⋅ Ri + U ⋅ RZ = 2 ⋅ U 0 ⋅ RZ ⇒ U ⋅ 6 + U ⋅ RZ = 2 ⋅ U ⋅ ⋅ RZ 2 Ri + RZ 3 6 RZ = = 18Ω 4 −1 3

2.11.1. Určete velikost výstupního napětí na svorkách děliče, ze kterého je odebírán proud 80mA. Napětí zdroje je 96V. Dělič je složen z rezistorů s odpory R1=200Ω a R2=120Ω.

I0

I + _

U

R1

R2

U2

I Ri

RZ

U2

RZ

R1 ⋅ R2 R2 200 ⋅ 120 120 = = 75Ω U0 = U ⋅ = 96 ⋅ = 36V R1 + R2 200 + 120 R1 + R2 200 + 120 U 0 36 U 2 = ( I 0 − I ) ⋅ Ri = ( 0,48 − 0,08) ⋅ 75 = 30V I0 = = = 0,48 A Ri 75 Ri =

2.11.2. Stanovte napětí na zatěžovacím rezistoru děliče napětí. Dělič je sestaven z rezistorů s odpory R1=10kΩ a R2=15kΩ a zatěžovacího rezistoru o odporu RZ=10kΩ. Napětí zdroje je 250V.

I

+ _

U

R1

R2

U2

I0

I

Ri

RZ 40

U2

RZ

Ri = U0 = U ⋅

R1 ⋅ R2 10 ⋅ 10 3 ⋅ 15 ⋅ 10 3 = = 6 kΩ R1 + R2 10 ⋅ 10 3 + 15 ⋅ 10 3

R2 15 ⋅ 10 3 = 250 ⋅ = 150V R1 + R2 10 ⋅ 10 3 + 15 ⋅ 10 3 U2 = I0 ⋅

I0 =

U0 150 = = 25mA 6000 Ri

Ri ⋅ RZ 6 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 3 = 0,025 ⋅ = 93,75V Ri + RZ 6 ⋅ 10 3 + 10 ⋅ 10 3

2.11.11. Určete napětí na svorkách zátěže napěťového děliče, složeného z rezistorů s odpory R1=60kΩ a R2=40kΩ, napětí zdroje U=500V. Zátěží prochází proud 5mA. Řešíme pomocí Nortonovy poučky.

I0

I + _

U

R1

R2

U2

I Ri

RZ

U2

RZ

R1 ⋅ R2 R2 60 ⋅ 40 40 = = 24 kΩ U0 = U ⋅ = 500 ⋅ = 200V R1 + R2 60 + 40 R1 + R2 60 + 40 U0 200 U 2 = ( I 0 − I ) ⋅ Ri = (8, 3 − 5) ⋅ 10 −3 ⋅ 24 ⋅ 10 3 = 80V I0 = = 3 = 8, 3mA Ri 24 ⋅ 10 Ri =

2.11.12. Pomocí Nortonovy poučky určete v obvodu, znázorněném na obrázku, napětí na rezistoru s odporem RZ. Napětí zdroje je 180V, odpory rezistorů R1=30Ω, R2=60Ω, R3=40Ω a RZ=60Ω. I0 I I

+ _

U

R1

R2

R3

U2

RZ

Ri

U2

RZ

R2 R1 ⋅ R2 60 30 ⋅ 60 = 180 ⋅ = 120V Ri = R3 + = 40 + = 60Ω R1 + R2 30 + 60 R1 + R2 30 + 60 U 0 120 Ri ⋅ RZ 60 ⋅ 60 I0 = = = 2A U2 = I0 ⋅ = 2⋅ = 60V Ri 60 Ri + RZ 60 + 60 2.12.1. Určete odpor bočníku pro miliampérmetr s odporem 3Ω a rozsahem do 3mA, aby se jím dalo měřit do 300mA. R I 300 3 Rb = m = = 0,03Ω n= = = 100 Im 3 n − 1 100 − 1 U0 = U ⋅

41

2.12.11. Určete rozsah miliampérmetru po připojení bočníku o odporu 0,612Ω. Měřící přístroj má rozsah 2mA a odpor 30Ω.

_ R m Měřidlo Rb

Rm 30 +1= + 1 = 50 Rb 0,612

Im

n=

Ib

I = n ⋅ I m = 50 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 0,1 A

2.12.12. Určete odpor měřidla, kterým procházel při plné výchylce proud 6mA. Po připojení bočníku o odporu 0,0754Ω se zvětšil měřící rozsah na 1,2A. I 1,2 Rm = Rb ⋅ ( n − 1) = 0,0754 ⋅ ( 200 − 1) = 15Ω n= = = 200 I m 0,006 2.12.13. Určete, kolikrát se zvětší proudový rozsah ampérmetru o rozsahu 2,5mA a odporu 50Ω a jaký bude měřící rozsah, připojíme-li k němu bočník o odporu 0,125Ω. Rm 50 I = n ⋅ I m = 401 ⋅ 2,5 ⋅ 10 −3 = 1,0025 A n= +1= + 1 = 401 Rb 0,125 2.12.2. Navrhněte bočník pro 3 rozsahy ( Ayrtonův bočník ). Určete jednotlivé odpory kombinovaného bočníku. Odpor měřidla Rm=3500Ω, proud měřidla je 100µA. Měřící rozsahy I1=6mA, I2=60mA a I3=600mA. Schéma zapojení je na obrázku.

A R1 0

Pr oI 1 ⇒ Rm ⋅ I m = ( R1 + R2 + R3 ) ⋅ ( I 1 − I m )

R

Pr oI 2 ⇒ ( Rm + R1 ) ⋅ I m = ( R2 + R3 ) ⋅ ( I 2 − I m )

R3

R2

Pr oI 3 ⇒ ( Rm + R1 + R2 ) ⋅ I m = R3 ⋅ ( I 3 − I m )

3

2

1 5,9 ⋅ R1

+ 5,9 ⋅ R2

+ 5,9 ⋅ R3

R1 = 53,389Ω

= 350

− 0,1 ⋅ R1 + 59,9 ⋅ R2 + 59,9 ⋅ R3 = 350 R2 = 5,338Ω − 0,1 ⋅ R1 − 0,1 ⋅ R2 + 599,9 ⋅ R3 = 350 R3 = 0,593Ω 2.12.14. Určete odpory kombinovaného bočníku pro rozsahy 5mA, 20mA, 100mA, 500mA a 2A. Odpor měřidla je 100Ω, proud měřidlem při plné výchylce je 1mA.

A R1 0

R2 1

Rm

R3

R5

R4

2

3

4

5

Pr oI 1 ⇒ Rm ⋅ I m = ( R1 + R2 + R3 + R4 + R5 ) ⋅ ( I 1 − I m ) Pr oI 2 ⇒ ( Rm + R1 ) ⋅ I m = ( R2 + R3 + R4 + R5 ) ⋅ ( I 2 − I m ) Pr oI 3 ⇒ ( Rm + R1 + R2 ) ⋅ I m = ( R3 + R4 + R5 ) ⋅ ( I 3 − I m ) Pr oI 4 ⇒ ( Rm + R1 + R2 + R3 ) ⋅ I m = ( R4 + R5 ) ⋅ ( I 4 − I m ) Pr oI 5 ⇒ ( Rm + R1 + R2 + R3 + R4 ) ⋅ I m = R5 ⋅ ( I 5 − I m ) 42

0,004 ⋅ R1 − 0,001 ⋅ R1 − 0,001 ⋅ R1 − 0,001 ⋅ R1 − 0,001 ⋅ R1 1r 1r 1r 1r R5 =

+ 0,004 ⋅ R2 + 0,019 ⋅ R2 − 0,001 ⋅ R2 − 0,001 ⋅ R2 − 0,001 ⋅ R2

+ 2r ⋅ 4 ⇒ + 3r ⋅ 4 ⇒ + 4r ⋅ 4 ⇒ + 5r ⋅ 4 ⇒

+ 0,004 ⋅ R3 + 0,019 ⋅ R3 + 0,099 ⋅ R3 − 0,001 ⋅ R3 − 0,001 ⋅ R3

0 + 0,08 ⋅ R2 0 0 0 0 0 0

+ 0,08 ⋅ R3 + 0,4 ⋅ R3 0 0

+ 0,004 ⋅ R4 + 0,019 ⋅ R4 + 0,099 ⋅ R4 + 0,499 ⋅ R4 − 0,001 ⋅ R4 + 0,08 ⋅ R4 + 0,4 ⋅ R4 + 2 ⋅ R4 0

+ 0,004 ⋅ R5 + 0,019 ⋅ R5 + 0,099 ⋅ R5 + 0,499 ⋅ R5 + 1,999 ⋅ R5

= 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1 = 0,1

+ 0,08 ⋅ R5 + 0,4 ⋅ R5 + 2 ⋅ R5 + 8 ⋅ R5

= 0,5 = 0,5 = 0,5 = 0,5

0,5 = 0,0625Ω 8

0,5 − 2 ⋅ 0,0625 = 0,1875Ω 2 0,5 − 0,4 ⋅ 0,1875 − 0,4 ⋅ 0,0625 0,4 ⋅ R3 + 0,4 ⋅ 0,1875 + 0,4 ⋅ 0,0625 = 0,5 ⇒ R3 = = 1Ω 0,4 0,5 − 0,08 − 0,015 − 0,005 0,08 ⋅ R2 + 0,08 ⋅ 1 + 0,08 ⋅ 0,1875 + 0,08 ⋅ 0,0625 = 0,5 ⇒ R2 = = 5Ω 0,08 0,004 0,1 25 − 5 − 1 − 0,1875 − 0,0625 ⋅ R1 + 5 + 1 + 0,1875 + 0,0625 = ⇒ R1 = = 18,75Ω 0,004 0,004 1 2 ⋅ R4 + 2 ⋅ 0,0625 = 0,5 ⇒ R4 =

2.12.15. Stanovte měřící rozsahy pro ampérmetr s kombinovaným bočníkem ( obr.). Odpory bočníku jsou R1=17,142Ω, R2=3,571Ω a R3=0,714Ω. Odpor měřidla je 50Ω a proud měřidlem při plné výchylce je 3mA.

A R3

R2 I3

Im Rm I2

Pr oI 1 ⇒ Rm ⋅ I m = ( R1 + R2 + R3 ) ⋅ ( I 1 − I m )

R1

Pr oI 2 ⇒ ( Rm + R1 ) ⋅ I m = ( R2 + R3 ) ⋅ ( I 2 − I m )

I1

Pr oI 3 ⇒ ( Rm + R1 + R2 ) ⋅ I m = R3 ⋅ ( I 3 − I m )

50 ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = (17,142 + 3,571 + 0,714) ⋅ ( I 1 − 3 ⋅ 10 −3 )

0,15 = 21,4 ⋅ I 1 − 0,0643

(50 + 17,142) ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = ( 3,571 + 0,714) ⋅ ( I 2 − 3 ⋅ 10 −3 )

0,201 = 4,29 ⋅ I 2 − 0,0129

(50 + 17,142 + 3,571) ⋅ 3 ⋅ 10 −3 = 0,714 ⋅ ( I 3 − 3 ⋅ 10 −3 ) 0,212 = 0,714 ⋅ I 3 − 0,00214 0,15 + 0,0643 0,201 + 0,0129 I1 = = 10mA I 2 = = 50mA 21,4 4,29 0,212 + 0,00214 I3 = = 300mA 0,714 2.12.3. Určete odpor předřadníku k voltmetru. Voltmetr má základní rozsah 2mA a odpor 60Ω. a má s předřadníkem měřit v rozsahu 0 až 24V. 43

Um

Rm

Up

U m = Rm ⋅ I m = 60 ⋅ 2 ⋅ 10 −3 = 0,12V n=

Rp

I

U 24 = = 200 U m 0,12

R P = Rm ⋅ ( n − 1) = 60 ⋅ ( 20 − 1) = 11,94 kΩ

U

2.12.16. Stanovte, kolikrát se zvětší a jaký bude rozsah voltmetru, předřadíme-li mu rezistor o odporu 245000Ω. Základní rozsah měřidla je 200µA a odpor 5000Ω. RP 245 U m = Rm ⋅ I m = 200 ⋅ 10 −6 ⋅ 5 ⋅ 10 3 = 1V n= +1= + 1 = 50 Rm 5 U = n ⋅ U m = 50 ⋅ 1 = 50V 2.12.17. Určete odpor měřidla, změní-li se rozsah zapojením předřadníku o odporu 477,6kΩ z 0,6V na 120V. RP 477,6 ⋅ 10 3 U 120 R P = Rm ⋅ ( n − 1) ⇒ Rm = = = 2400Ω n= = = 200 n −1 200 − 1 U m 0,6 2.12.18. Voltmetr je tvořen měřidlem o odporu 4000Ω a proudu 250µA. Předřadník je tvořen sériovým spojením rezistorů o odporech R1=56000Ω a R2=140kΩ. Určete jednotlivé rozsahy.

U1

Rm

R1

Im

R2

U2 U m1 = ( R1 + Rm ) ⋅ I m = (4 ⋅ 10 3 + 56 ⋅ 10 3 ) ⋅ 250 ⋅ 10 −6 = 15V U m2 = ( R1 + R2 + Rm ) ⋅ I m = (4 ⋅ 10 3 + 140 ⋅ 10 3 + 56 ⋅ 10 3 ) ⋅ 250 ⋅ 10 −6 = 50V 2.12.19. Navrhněte předřadníky k měřidlu pro měření napětí 6V, 60V a 600V. Měřidlo má při plné výchylce proud 100µA a odpor 4000Ω. Předřadníky jsou spojeny do série. U − U m 6 − 0,4 U m = Rm ⋅ I m = 4 ⋅ 10 3 ⋅ 10 −4 = 0,4V R1 = 1 = = 56kΩ Im 10 − 4

R1 = R1 =

U 2 − U 1 − U m 60 − 6 − 0,4 = = 540kΩ Im 10 − 4

U 3 − U 2 − U 1 − U m 600 − 60 − 6 − 0,4 = = 5,4 MΩ Im 10 − 4

44

2.13.1. Určete maximální odpor reostatu k řízení proudu pro spotřebič. V okamžiku zapojení spotřebiče ke zdroji má procházet obvodem dvakrát menší proud, než proud jmenovitý. Napětí zdroje je 220V, příkon spotřebiče je 1100W a vnitřní odpor Ri=20Ω, R Ri I 5 P 1100 + In = = = 5A I = n = = 2,5 A U 220 2 2 I U − Ri ⋅ I 220 − 20 ⋅ 2,5 U = Ri ⋅ I + R ⋅ I ⇒ R = = = 68Ω U I 2,5 2.13.11. Určete odpor předřadného rezistoru pro spotřebič, který je na napětí 100V a na proud 2A tak, abychom jej mohli připojit na napětí 220V. U 100 U 220 RP RZ + RZ = Z = = 50Ω Rcelk = = = 110Ω I 2 I 2 R P = Rcelk − RZ = 110 − 50 = 60Ω I U 2.13.12. Stanovte odpory rezistorů R1 a R2 pro spouštění a provoz stejnosměrného motoru tak, abychom ho mohli připojit na napětí 220V. Vnitřní odpor motoru je 5Ω při jmenovitém proudu 20A. V okamžiku zapnutí má obvodem procházet proud 2A. U 220 Rm R2 R1 + R1 = − RM = − 5 = 6Ω IM 20 I U 220 R2 = − R M − R1 = − 5 − 6 = 99Ω U=220V IS 2 2.13.13. Znázorněte graficky průběh proudu a výsledného odporu paralelního spojení rezistorů s odpory R1 a R2 v závislosti na poloze běžce potenciometru R2. Odpor R2 se bude měnit po 10Ω. Odpory rezistorů jsou R1=15Ω, R2=30Ω a RZ=10Ω. Napětí zdroje je 100V. R1 ⋅ R2 U R1 RV = + RZ I= R1 + R2 RV 15 ⋅ 0 100 RZ R2 + RV 0 = + 10 = 10Ω I 0 = = 10 A 15 + 0 10 15 ⋅ 10 100 I RV 10 = = 6,25 A + 10 = 16Ω I 10 = 15 + 10 16 U=100V 100 15 ⋅ 20 RV 20 = + 10 = 18,8Ω I 20 = = 5,32 A 18,8 15 + 20 RV[Ω] I [A] 15 ⋅ 30 100 RV 30 = + 10 = 20Ω I 30 = = 5A 15 15 + 30 20 30 10 20 10 0

RV ∞=25Ω 5

R2[Ω] 10

20

I∞=4A

30 45

2.13.14. Znázorněte graficky průběh proudu I v závislosti na poloze běžce proměnného odporu. R1=4Ω, R2=1Ω a napětí zdroje je 6V. Průběh zobrazte pro 5 poloh běžce. I [A] 6 5 4

R1 R2

+

I

U=6V

3 2 1

R1a[Ω]

R1a ⋅ R1b U R1x = I= 0 1 R1 R1x + R2 0⋅4 6 R10 = R14 = = 0Ω I0 = I4 = = 6A 4 0+1 6 2⋅2 I 11 = I 13 = = 3,43 A R12 = = 1Ω 0,75 + 1 4

3

2

4

R11 = R13 = I2 =

1⋅ 3 = 0,75Ω 4

6 = 3A 1+1

2.13.2. Určete velikost odporu děliče napětí, připojeného ke zdroji o napětí 200V, aby se při zatížení odbočky proudem 50mA změnilo napětí na odbočce o 10%. a

+

R1 R

R= c

2 ⋅ ∆U % ⋅ U 2 ⋅ 10 ⋅ 200 = = 800Ω 100 ⋅ I Z 100 ⋅ 50 ⋅ 10 − 3

R2

U

RZ UZ b

I

2.14.1. Navrhněte ampérmetr pro rozsah 40mA. Použijte panelový přístroj MP 120 Metra Blansko s rozsahem 4mA a odporem 18Ω. Pro vyrobení bočníku použijte manganin s rezistivitou ρ=0,43Ωmm2m-1. Proudovou hustotu volte 2,5Amm-2. Schéma zapojení je na obrázku. R 18 Rb = m = = 2Ω _ A Rm − − n 1 10 1 Im I − I m (40 − 4) ⋅ 10 −3 S= = = 14,4 ⋅ 10 − 3 mm 2 J 2 , 5 Rb

Ib

d=

l=

R⋅S

ρ

=

2 ⋅ 14,4 ⋅ 10 −3 = 0,065m 0,43

46

4⋅S

π

=

4 ⋅ 14,4 ⋅ 10 −3

π

= 0,135mm

2.14.11. Navrhněte rezistory pro kombinovaný bočník k ampérmetru s rozsahy 60mA, 300mA a 1,2A. Použijte měřící přístroj s odporem 3Ω a rozsahem 10mA.

A R1 0

Pr oI 1 ⇒ Rm ⋅ I m = ( R1 + R2 + R3 ) ⋅ ( I 1 − I m )

R

R3

R2

− 0,01 ⋅ R1 − 0,01 ⋅ R1

Pr oI 3 ⇒ ( Rm + R1 + R2 ) ⋅ I m = R3 ⋅ ( I 3 − I m )

2

1 0,05 ⋅ R1

Pr oI 2 ⇒ ( Rm + R1 ) ⋅ I m = ( R2 + R3 ) ⋅ ( I 2 − I m )

+ 0,05 ⋅ R2 + 0,29 ⋅ R2 − 0,01 ⋅ R2

3 + 0,05 ⋅ R3

= 0,03 / ⋅29

+ 0,29 ⋅ R3 + 119 , ⋅ R3

= 0,03 / ⋅( − 5) = 0,03

1,5 ⋅ R1 = 0,72 0,72 R1 = = 0,48Ω 1,5

druhá rovnice + 29 krát třetí rovnice − 30 ⋅ 0,01 ⋅ R1 + 34,8 ⋅ R3 = 30 ⋅ 0,03 ⇒ R3 =

30 ⋅ 0,03 + 30 ⋅ 0,01 ⋅ 0,48 = 0,03Ω 34,8

ze třetí rovnice − 0,01 ⋅ R1 − 0,01 ⋅ R2 + 1,19 ⋅ R3 = 0,03 ⇒ R2 =

− 0,03 − 0,01 ⋅ 0,48 + 119 , ⋅ 0,03 = 0,09Ω 0,01

2.14.12. Navrhněte ohmmetr pro měření odporů v rozsahu 0 až 100kΩ. Použijte měřící přístroj MP o odporu 750Ω a proudu při plné výchylce 250µA. Napětí zdroje je 4,5V. V zapojení na obrázku stanovte odpor R0 tak, aby při zkratovaných výstupních svorkách procházel obvodem proud Im. Určete jednotlivé proudy, jsou-li na výstupní svorky připojeny rezistory o odporech 10kΩ, 20kΩ, 30kΩ, 40kΩ, 50kΩ, 60kΩ, 70kΩ, 80kΩ, 90kΩ a 100kΩ.

R0 U

U 4,5 = = 18000Ω I m 250 ⋅ 10 − 6 R0 = 18000 − Rm = 18000 − 750 = 17250Ω U I= R0 + Rm + RZ R0 + Rm =

A Rm

a b

4,5 = 160µA 17250 + 750 + 10000 4,5 I 30 = = 94 µA 17250 + 750 + 30000 4,5 I 50 = = 66µA 17250 + 750 + 50000 4,5 I 70 = = 51µA 17250 + 750 + 70000 4,5 I 90 = = 42 µA 17250 + 750 + 90000

4,5 = 118µA 17250 + 750 + 20000 4,5 I 40 = = 77,5µA 17250 + 750 + 40000 4,5 I 60 = = 58µA 17250 + 750 + 60000 4,5 I 80 = = 46µA 17250 + 750 + 80000 4,5 I 100 = = 38µA 17250 + 750 + 100000

I 10 =

I 20 =

47

2.14.13. Určete členy nezatíženého děliče podle obrázku, pro napětí U1=10V, U2=50V, U3=120V a U4=180V. Napětí zdroje je U=200V. Ztráty na všech členech děliče jsou 2W. P 2 I= = = 0,01 A U 200 + R5 U1 10 = = 1kΩ R1 = 0,01 I U2 50 R4 − R1 = − 1000 = 4 kΩ R2 = 0,01 I

R3

U

R

U U

R R5 =

R3 =

U4 R4 =

U

U3 120 − R1 − R2 = − 5000 = 7 kΩ I 0,01

U4 180 − R1 − R2 − R3 = − 12000 = 6kΩ I 0,01

U5 200 − R1 − R2 − R3 − R4 = − 18000 = 2 kΩ I 0,01

2.14.14. Určete proudy v obvodu na obrázku, při změně teploty rezistoru Rυ v rozmezí 0 až 100°C, po 20°C. Rυ je teplotně závislý odporový článek z platiny, jehož teplotní součinitel odporu je 3,92⋅10-3K-1. Při teplotě 0°C je Rυ=100Ω. Odpor měřícího přístroje je 12Ω, proud přístroje při plné výchylce je 20mA. Napětí zdroje je 2V. R20 = R0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 20) = 107,8Ω

R40 = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 40) = 115,7Ω

A Rυ

R60 = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 60) = 123,5Ω R80 = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 80) = 131,4Ω

Rm

U

U 2 = = 16,7mA R20 + Rm 107,8 + 12 U 2 I 60 = = = 14,8mA R60 + Rm 123,5 + 12 U 2 I 100 = = = 13,2mA R100 + Rm 139,2 + 12 I 20 =

R100 = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 100) = 139,2Ω 2 U = = 17,9mA I0 = R0 + Rm 100 + 12 U 2 I 40 = = = 15,7mA R40 + Rm 115,7 + 12 U 2 I 80 = = = 14mA R80 + Rm 131,4 + 12

2.14.15. Určete neznámý odpor rezistoru v zapojení podle obrázku. Měřícím přístrojem neprochází proud. Odpory R1=2kΩ, R2=4kΩ a R3=6kΩ. RK

R1 U

A R2

RK R1 R1 2 = ⇒ R K = R3 ⋅ = 6 ⋅ = 3kΩ R3 R2 R2 4

R3 48

2.14.16. V zapojení podle obrázku je RK teplotně závislý odporový článek z platiny, jehož teplotní součinitel odporu je 3,92⋅10-3K-1 a odpor při 0°C je 100Ω. Odpory rezistorů jsou R1=100Ω, R2=100Ω a R3=100Ω. Odpor měřícího přístroje je 1000Ω a proud přístrojem při plné výchylce je 1mA. Napětí zdroje je 10V. Stanovte proudy, procházející měřícím přístrojem, bude-li teplota rezistoru RK=50°C, 100°C a 150°C. Úlohu řešte použitím Theveninovy poučky.

I

RK

R1 U

A R2

⇒

U0

Ri

U2

RK

R3

RK 50 = RK 0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 50) = 119,6Ω RK 100 = RK 0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 100) = 139,2Ω RK 150 = RK 0 ⋅ (1 + α ⋅ ∆ϑ ) = 100 ⋅ (1 + 3,92 ⋅ 10 −3 ⋅ 150) = 158,8Ω

 RK R1  100   119,6  = 10 ⋅  U 050 = U ⋅  − −  = 0,446V  119,6 + 100 100 + 100   RK + R3 R1 + R2   RK R1  100   139,2  = 10 ⋅  U 0100 = U ⋅  − −  = 0,819V  139,2 + 100 100 + 100   R K + R3 R1 + R2 

I 50

 RK R1  100   158,8  = 10 ⋅  U 0150 = U ⋅  − − , V  = 1136  158,8 + 100 100 + 100   R K + R3 R1 + R2  RK ⋅ R3 R1 ⋅ R2 119,6 ⋅ 100 100 ⋅ 100 + = + = 104,5Ω Ri 50 = RK + R3 R1 + R2 119,6 + 100 100 + 100 RK ⋅ R3 R1 ⋅ R2 139,2 ⋅ 100 100 ⋅ 100 Ri100 = + = + = 108,2Ω R K + R3 R1 + R2 139,2 + 100 100 + 100 RK ⋅ R3 R1 ⋅ R2 158,8 ⋅ 100 100 ⋅ 100 + = + = 111,4Ω Ri150 = R K + R3 R1 + R2 158,8 + 100 100 + 100 U 050 U 0100 0,446 0,819 = = = 0,4mA I 100 = = = 0,74mA Ri 50 + Rm 104,5 + 1000 Ri100 + Rm 108,2 + 1000 U 0150 1,136 I 150 = = = 1,02 A Ri150 + Rm 111,4 + 1000

3.2.1. Kondenzátor má na elektrodách náboj 7⋅10-8C. Dielektrikem je kondenzátorový papír tloušťky 25µm s poměrnou permitivitou 5. Plocha desek je 4cm2. Vypočítejte elektrickou indukci, intenzitu elektrického pole, napětí mezi elektrodami a kapacitu kondenzátoru. Q 7 ⋅ 10 −8 −4 −2 D= = − 4 = 1,75 ⋅ 10 C ⋅ m S 4 ⋅ 10

D 1,75 ⋅ 10 −4 E= = = 3,95 ⋅ 10 6 V ⋅ m −1 −12 ε0 ⋅ εr 8,85 ⋅ 10 ⋅ 5

49

U = E ⋅ l = 3,95 ⋅ 10 6 ⋅ 25 ⋅ 10 −6 = 98,75V S 4 ⋅ 10 −4 C = ε 0 ⋅ ε r ⋅ = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 5 ⋅ = 708 pF l 25 ⋅ 10 − 6 3.2.11. Kondenzátor s dielektrikem ze slídy s εr=6 je připojen na napětí 12V. Tloušťka dielektrika je 0,5mm, plocha desek 2,5cm2. Určete intenzitu elektrického pole, kapacitu kondenzátoru a náboj na deskách, U 12 S 2,5 ⋅ 10 −4 E= = = 24 kV ⋅ m −1 C = ε0 ⋅ εr ⋅ = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 6 ⋅ − 4 = 26,6 pF l 5 ⋅ 10 − 4 l 5 ⋅ 10 D = ε 0 ⋅ εr ⋅ E = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 6 ⋅ 24 ⋅ 10 3 = 1,27 ⋅ 10 −6 C ⋅ m −2 Q = D ⋅ S = 1,27 ⋅ 10 −6 ⋅ 2,5 ⋅ 10 −4 = 3,19 ⋅ 10 −10 C 3.1.12. Vypočtěte kapacitu svitkového kondenzátoru z metalizovaného papíru s poměrnou permitivitou 3. Tloušťka papíru je 0,025mm, šířka fólie je 4,7cm a délka 10m. S 10 ⋅ 4,7 ⋅ 10 −2 C = ε0 ⋅ εr ⋅ = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 3 ⋅ = 0,5µF l 0,025 ⋅ 10 −3 3.2.13. Stanovte druh dielektrika kondenzátoru podle tabulky 3. Plocha desek je 6cm2, tloušťka dielektrika je 0,8mm a kapacita kondenzátoru je 100pF. εr

E

(kV

⋅ m m −1 ) 2 ÷ 3

M a te r iá l vzduch

1, 0 0 6

m in . o le j

2 ,2 ÷ 2 ,4

20 ÷ 30

p a r a f ín

1, 9 ÷ 2 ,2

20 ÷ 30

P

c e r e s ín

2 ,3

20

k o n d . p a p ír

3÷5

30 ÷ 50

k a b e l . p a p ír

2 ,5 ÷ 4

7 ÷ 10

p o ly e ty lé n p o ly s ty r é n

2 ,2 ÷ 2 ,3 2 ,5 ÷ 2 , 9

45 ÷ 60 50 ÷ 80

s líd a , m u s k o v it

6÷ 7

40 ÷ 80

s k lo , k ř e m e n n é

3 ,5 ÷ 4

20 ÷ 50

s te a tit

6÷ 7

20 ÷ 45

s ta b ilit

15 ÷ 40

10 ÷ 20

r u tilit

80 ÷ 100

10 ÷ 20

C⋅l 100 ⋅ 1−12 ⋅ 8 ⋅ 10 −4 εr = = = 15stabilit ε 0 ⋅ S 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 6 ⋅ 10 −4 3.2.14. Kondenzátor o kapacitě 172pF má plochu elektrod 6cm2.Určete tloušťku slídového dielektrika, je-li jeho poměrná permitivita 6,5. 6 ⋅ 10 −4 S −12 l = ε0 ⋅ εr ⋅ = 8,85 ⋅ 10 ⋅ 6,5 ⋅ = 0,2mm C 172 ⋅ 10 −12

50

3.2.2. Vypočtěte maximální kapacitu otočného kondenzátoru podle obrázku. Kapacita otočného kondenzátoru závisí na úhlu natočení α. Počáteční kapacita Cmin odpovídá úhlu α=0° ( bývá asi 10% Cmax ), maximální kapacita odpovídá úhlu α=180°. R=22mm, r=6mm, stator má 7 desek, rotor 8 desek, vzdálenost desek je 0,5mm. S= R

α

Cmax

π 2

⋅( R2 − r 2 ) =

π 2

⋅ ( 22 2 − 6 2 ) ⋅ 10 −6 = 7,03 ⋅ 10 − 4 m 2

S 7,03 ⋅ 10 −4 −12 = (nC − 1) ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ = 14 ⋅ 8,85 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ = 174 pF l 0,5 ⋅ 10 −3

r

3.2.15. Stanovte kapacitu otočného kondenzátoru podle obrázku, při úhlu natočení 40°. Cmax=450pF. α

C = Cmax ⋅

α 180

= 450 ⋅

40 = 100 pF 180

3.2.16. Stanovte počet desek otočného kondenzátoru s kapacitou 187pF, jsou-li desky vzdáleny 0,5mm a úhel natočení je 180°. R=20mm, r=5mm.

R

1 1 C = ( n − 1) ⋅ ε 0 ⋅ ⋅ ⋅ ( π ⋅ R 2 − π ⋅ r 2 ) l 2 C⋅l⋅2 187 ⋅ 10 −12 ⋅ 5 ⋅ 10 −4 ⋅ 2 n= +1= + 1 = 19 ε0 ⋅ π ⋅ ( R 2 − r 2 ) 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ π ⋅ ( 2 2 ⋅ 10 − 4 − 52 ⋅ 1− 6 )

α

r

3.2.3. Určete výslednou kapacitu spojení kondenzátorů podle obrázku. Kapacity jednotlivých kondenzátorů jsou C1=1,5µF,C2=1µF, C3=2µF, C4=6µF a C5=1µF. C1

C2

C3

C5

C23 = C2 + C3 = 1 + 2 = 3µF C23 ⋅ C4 3⋅ 6 C234 = = = 2 µF C23 + C4 3 + 6 C2345 = C234 + C5 = 2 + 1 = 3µF C1 ⋅ C2345 1,5 ⋅ 3 C= = = 1µF C1 + C2345 1,5 + 3

C4

51

3.2.17. V zapojení podle obrázku 74 jsou kapacity jednotlivých kondenzátorů C1=12pF, C2=6pF, C3=3pF, C4=2pF, C5=5pF a C6=3,5pF. Určete celkovou kapacitu.

C3

C4

C1

C6 C5

C2

C34 = C3 + C4 = 3 + 2 = 5 pF C1 ⋅ C2 12 ⋅ 6 C12 = = = 4 pF C1 + C2 12 + 6 C34 ⋅ C5 5⋅5 C345 = = = 2,5 pF C34 + C5 5 + 5 C = C6 + C12 + C345 = 3,5 + 4 + 2,5 = 10 pF

3.2.18. Určete všechny kombinace čtyř kondenzátorů o stejné kapacitě 1nF a vypočtěte kapacity jednotlivých spojení. C = 0,25nF C=

0,5 ⋅ 2 = 0,4nF 0,5 + 2

C=

1,5 ⋅ 1 = 0,6nF 1,5 + 1

C = 1+

1 = 1, 3nF 3

C = 2 ⋅ 0,5 = 1nF

C = 1 + 1 + 0, = 2,5nF

C = 1+

52

2 ⋅1 = 1, 6nF 2 +1

C=

3⋅1 = 0,75nF 3+1

C = 4nF

3.2.19. Kapacita kondenzátorů C1=30µF a C2 , spojených do série je 10µF. Stanovte kapacitu C1 ⋅ C2 C1 ⋅ C 30 ⋅ 10 kondenzátoru C2. = = 15µF C= ⇒ C2 = C1 + C2 C1 − C 30 − 10 3.2.20. Otočný kondenzátor má minimální kapacitu 40pF a maximální kapacitu 450pF. Jaká musí být kapacita kondenzátoru, spojeného do série, aby se minimální kapacita snížila na 15pF a jaká bude maximální kapacita. C1 ⋅ C2 C1 ⋅ C 40 ⋅ 15 = = 24 pF C= ⇒ C2 = C1 + C2 C1 − C 40 − 15 C1 max ⋅ C2 450 ⋅ 24 = = 22,8 pF C1 max = C1 max + C2 450 + 24 3.2.4. Čtyři kondenzátory s kapacitami C1=1µF,C2=2µF, C3=3µF a C4=2,5µF jsou zapojeny podle obrázku. Náboj na deskách kondenzátoru C2 je 4µC. Stanovte napětí mezi svorkami A B. Q2 4 ⋅ 10 −6 U2 = = Q3 = U 2 ⋅ C3 = 2 ⋅ 3 ⋅ 10 −6 = 6µC A − 6 = 2V C1 C2 2 ⋅ 10 C2 B

C3

Q1 = Q4 = Q2 + Q3 = 4 + 6 = 10µC Q4 10 ⋅ 10 −6 U4 = = = 4V C4 2,5 ⋅ 10 − 6

C4

Q1 10 ⋅ 10 −6 U1 = = = 10V C1 1 ⋅ 10 − 6

U AB = U 1 + U 2 + U 4 = 10 + 2 + 4 = 16V

3.2.21. V zapojení podle obrázku jsou kapacity kondenzátorů C1=15pF, C2=20pF, C3=25pF, C4=10pF a C5=20pF. Náboj na deskách kondenzátoru C5 je Q5=24⋅10-11C. Stanovte náboj Q na deskách kondenzátoru C1 a celkové napětí. Q5 24 ⋅ 10 −11 U5 = = = 12V Q4 = U 4 ⋅ C4 = 12 ⋅ 10 −11 = 12 ⋅ 10 −11 C C5 20 ⋅ 10 −12 C2 C3 C1 Q1 + Q2 + Q3 = Q4 + Q5 = (24 + 12) ⋅ 10 −11 = 36 ⋅ 10 −11 C C4

C5

Q1 + Q2 + Q3 36 ⋅ 10 −11 U1 = = = 6V C1 + C2 + C3 (15 + 20 + 25) ⋅ 1−12 53

U = U 1 + U 5 = 6 + 12 = 18V Q1 = U 1 ⋅ C1 = 6 ⋅ 15 ⋅ 10 −12 = 9 ⋅ 10 −11 C 3.2.22. Ke kondenzátoru o kapacitě CN=12µF, který byl nabit na 100V byl připojen paralelně kondenzátor o neznámé kapacitě, Po připojení neznámého kondenzátoru kleslo napětí na 25V. Odvoďte obecný vztah pro výpočet kapacity a vypočtěte kapacitu neznámého kondenzátoru. CN ⋅ U 1 U1 − U 2 Q CN ⋅ U 1 100 − 25 C X + CN = = ⇒ CX = − CN = CN ⋅ = 12 ⋅ 10 −6 ⋅ = 36µF U2 U2 U2 U2 25 3.2.5. V zapojení podle obrázku jsou kapacity kondenzátorů C1=10µF,C2=30µF a C3=15µF. Kondenzátor C1 je nabit na napětí U1=20V, kondenzátory s kapacitami C2 a C3 jsou bez náboje. Stanovte napětí na kondenzátoru s kapacitou C2 po přepnutí přepínače do polohy 1 a pak do polohy 2. Q1 = U 1 ⋅ C1 = 20 ⋅ 10 ⋅ 10 −6 = 2 ⋅ 10 −4 C 1 2

U1 C1

U3 =

C2

C3

Q1 2 ⋅ 10 −4 = = 8V C1 + C3 10 ⋅ 10 − 6 + 15 ⋅ 10 − 6

Q3 = U 3 ⋅ C3 = 8 ⋅ 15 ⋅ 10 −6 = 1,2 ⋅ 10 −4 C Q1 − Q3 ( 2 − 1,2) ⋅ 10 −4 U2 = = = 2V C1 + C2 (10 + 30) ⋅ 10 − 6

3.2.23. Stanovte napětí na kondenzátorech, spojených podle obrázku. Napětí na kondenzátoru s kapacitou C1=1µF je 20V. Kondenzátor s kapacitou C2=2µF má náboj Q2=40µC a kondenzátor s kapacitou C3=3µF je nenabitý.

Q = C1 ⋅ U 1 = 1 ⋅ 10 −6 ⋅ 20 = 20µC

C1

C2

C3

C = C1 + C2 + C3 = 1 + 2 + 3 = 6µF

Q = Q1 + Q2 = 20 + 40 = 60µC U=

Q 60 ⋅ 10 −6 = = 10V C 6 ⋅ 10 − 6

3.2.24. Na kondenzátoru s kapacitou C1=25pF s nábojem na deskách Q1=2nC se připojí paralelně nenabitý kondenzátor s kapacitou C2=15pF. Stanovte napětí na paralelní kombinaci kondenzátorů. Q 2 ⋅ 10 −9 U= = = 50V C + C2 25 ⋅ 10 −12 ⋅ 15 ⋅ 10 −12 3.3.1. Stanovte kapacitu a náboj kulového kondenzátoru s dielektrikem z parafínu s poměrnou permitivitou εr=2,1. Poloměr vnější elektrody je 12cm, poloměr vnitřní elektrody je 5cm. Napětí mezi elektrodami je 6kV. r ⋅r 0,05 ⋅ 0,12 C = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ε r ⋅ 1 2 = 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,1 ⋅ = 20 pF r2 − r1 0,12 − 0,05 Q = C ⋅ U = 20 ⋅ 10 −12 ⋅ 6 ⋅ 10 3 = 12 ⋅ 10 −8 C 3.3.11. Určete kapacitu a napětí mezi elektrodami kulového kondenzátoru, je-li nabit nábojem 3⋅10-7 C. Poloměr vnější elektrody r2=12cm, poloměr vnitřní elektrody r1=4cm. Dielektrikum tvoří ceresin. r ⋅r 0,04 ⋅ 0,12 ε r = 2,3 C = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ε r ⋅ 1 2 = 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,3 ⋅ = 15,4 pF r2 − r1 0,12 − 0,04

54

U=

Q 3 ⋅ 10 −7 = = 19,5kV C 15,4 ⋅ 10 −12

3.3.2. Vypočítejte kapacitu a intenzitu elektrického pole na povrchu osamocené koule, umístěné ve vzduchu. Koule má průměr 90cm a je na ní náboj Q=2⋅10-7C. C = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r = 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 0,45 = 50 pF U=

Q 2 ⋅ 10 −7 = = 4 kV C 50 ⋅ 10 −12

E=

U 4 ⋅ 10 3 = = 8,88 ⋅ 10 3V ⋅ m −1 r 0,45

3.3.12. Vypočítejte kapacitu zeměkoule, r=6,37⋅106m, εr=1. C = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r = 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 6,37 ⋅ 10 6 = 708µF 3.3.3. Vypočítejte kapacitu koaxiálního kabelu délky 1,6m. Průměr vnitřního vodiče je 0,8mm, průměr pláště je 7mm. Poměrná permitivita izolace je 2,4. 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ l 2 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,4 ⋅ 1,6 C= = = 98,4 pF r2 3,5 ln ln 0,4 r1 3.3.13. Stanovte délku koaxiálního kabelu. Kabel má průměr vodiče 1mm, průměr pláště 8mm, poměrnou permitivitu izolace 2,6 a má mít kapacitu 320pF. r 8 −12 C ⋅ ln 2 320 ⋅ 10 ⋅ ln 2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ l r1 1 = 4,6m C= ⇒l= = r2 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r 2 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,6 ln r1 3.3.14. Kapacita trubičkového kondenzátoru je 997pF. Vnitřní průměr je 8mm, vnější průměr je 10mm a délka je 40mm. Stanovte druh materiálu dielektrika a poměrnou permitivitu. r 10 −12 C ⋅ ln 2 997 ⋅ 10 ⋅ ln 2 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ l r1 8 C= ⇒ εr = = = 100( rutilit ) r2 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ l 2 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 0,04 ln r1 3.3.15. Stanovte kapacitu trubičkového kondenzátoru, je-li vnitřní průměr 6,5mm, vnější průměr 7,5mm a délka 40mm. Keramické dielektrikum má poměrnou permitivitu 7. 2 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ l 2 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 7 ⋅ 0,04 C= = = 108,8 pF r2 3,75 ln ln 3,25 r1 3.3.4. Vypočítejte kapacitu venkovního vedení, dlouhého 2,5km, vzdálenost os vodičů je 30cm a průměr vodičů je 4mm. 55

C=

π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ l 2⋅a ln d

=

π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 2,5 ⋅ 10 3 2 ⋅ 30 ⋅ 10 − 2 ln 4 ⋅ 10 − 3

= 1,38 ⋅ 10 −8 F

3.3.16. Vypočtěte změnu kapacity 1km dlouhého venkovního vedení, průměr vodičů je 2,5mm, změní-li se vzdálenost os vodičů z 32cm na 20cm. π ⋅ ε 0 ⋅ εr ⋅ l π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 10 3 C1 = = = 5nF 2 ⋅ a1 2 ⋅ 320 ⋅ 10 − 2 ln ln d 2,5 ⋅ 10 − 3 π ⋅ ε 0 ⋅ εr ⋅ l π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 1 ⋅ 10 3 C2 = = = 5,48nF ∆C = C2 − C1 = 5,48 − 5 = 480 pF 2 ⋅ a2 2 ⋅ 200 ⋅ 10 − 2 ln ln d 2,5 ⋅ 10 − 3 3.4.1. Stanovte velikost síly, která působí na náboj q=3⋅10-4C v elektrostatickém poli mezi dvěma rovnoběžnými elektrodami, vzdálenými od sebe o délku l = 2mm . Napětí mezi elektrodami je U=1,2kV. U 1,2 ⋅ 10 3 E= = = 0,6 ⋅ 10 6 V ⋅ m −1 F = q ⋅ E = 3 ⋅ 10 −4 ⋅ 0,6 ⋅ 10 6 = 180 N 0,002 l 3.4.11. Na náboj q=2⋅10-5C, umístěný v elektrostatickém poli, působí síla F=6N. Vzdálenost elektrod je 12mm. Stanovte napětí mezi elektrodami. 6 F 5 −1 E= = U = E ⋅ l = 3 ⋅ 105 ⋅ 12 ⋅ 10 −3 = 3,6kV − 5 = 3 ⋅ 10 V ⋅ m q 2 ⋅ 10 3.4.12. Určete velikost náboje, na který působí, mezi dvěma rovnoběžnými elektrodami, vzdálenými od sebe 1,8mm, síla 0,8N. Napětí mezi elektrodami je 240V. U 240 F 0,8 5 −1 E= = q= = = 6 ⋅ 10 − 6 C − 3 = 1, 3 ⋅ 10 V ⋅ m l 1,8 ⋅ 10 E 1, 3 ⋅ 105 3.4.2. Z jaké vzdálenosti ve vzduchu na sebe působí dva elektrické náboje Q1=2µC a Q2=4µC silou 0,6N. Q1 ⋅ Q2 Q1 ⋅ Q2 2 ⋅ 10 −6 ⋅ 4 ⋅ 10 −6 F= ⇒r= = = 0,346m 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ F 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r 2 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 0,6 3.4.13. Dvě kuličky, vzdálené 25cm a ponořené v minerálním oleji s poměrnou permitivitou 2,4, na sebe působí silou 1,2N. Stanovte náboj kuličky za předpokladu, že obě kuličky mají stejný náboj. Q2 F= ⇒ Q = 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r 2 ⋅ F = 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,4 ⋅ 0,252 ⋅ 1,2 = 4,47µC 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ εr ⋅ r 2 3.4.14. Dvě stejně velké kuličky mají náboje Q1=+36µC a Q2=-12µC. Určete, jakou silou se na vzduchu přitahují ve vzdálenosti 18cm a dotknou-li se vzájemně, jakou silou se pak budou v téže vzdálenosti odpuzovat. Q1 ⋅ Q2 36 ⋅ 10 −6 ⋅ 12 ⋅ 10 −6 F1 = = = 120 N 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ r 2 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 0,18 2

56

F2 =

Q1 ⋅ Q2 12 ⋅ 10 −6 ⋅ 12 ⋅ 10 −6 = = 40 N 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ r 2 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 0,18 2

3.4.15. Vypočtěte, jakou silou se odpuzují ve vakuu dva elektrony, vzdálené od sebe 1cm. e=1,602⋅10-19C

F=

(1,602 ⋅ 10 −19 ) 2 Q2 = = 2,3 ⋅ 10 − 24 N 4 ⋅ π ⋅ ε 0 ⋅ ε r ⋅ r 2 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 0,012

3.4.16. Vypočítejte, jakou silou na sebe ve vakuu působí ve vzdálenosti 1m dva bodové náboje po 1C. Q1 ⋅ Q2 1⋅1 9 F2 = 2 = −12 2 = 9 ⋅ 10 N 4 ⋅ π ⋅ ε0 ⋅ ε r ⋅ r 4 ⋅ π ⋅ 8,85 ⋅ 10 ⋅ 1 ⋅ 1 3.5.1. Mezi dvěma vodivými deskami s plochou 120cm2, vzdálenými od sebe 10mm je vloženo dielektrikum, složené tak, že 40% tvoří polystyren s poměrnou permitivitou εr1=2,5 a 60% tvoří křemenné sklo s poměrnou permitivitou εr1=3,5. Na desky je připojeno napětí 800V. Určete intenzitu elektrického pole, elektrickou indukci v obou materiálech, celkový náboj a dílčí i celkovou kapacitu. Dielektrika jsou řazena vedle sebe. 800 U E1 = E 2 = = − 2 = 80kV ⋅ m −1 l 10 D1 = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,5 ⋅ 80 ⋅ 10 3 = 1,77 ⋅ 10 −6 C ⋅ m −2 D2 = ε 0 ⋅ ε r ⋅ E = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 3,5 ⋅ 80 ⋅ 10 3 = 2,47 ⋅ 10 −6 C ⋅ m −2 Q1 = D1 ⋅ S1 = 1,77 ⋅ 10 −6 ⋅ 120 ⋅ 0,4 ⋅ 10 −4 = 0,8 ⋅ 10 −8 C Q2 = D2 ⋅ S 2 = 2,47 ⋅ 10 −6 ⋅ 120 ⋅ 0,6 ⋅ 10 −4 = 1,8 ⋅ 10 −8 C S 48 ⋅ 10 −4 C1 = ε0 ⋅ εr 1 ⋅ 1 = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2,5 ⋅ = 10,6 pF l 0,01 S2 72 ⋅ 10 −4 −12 C2 = ε0 ⋅ εr 2 ⋅ = 8,85 ⋅ 10 ⋅ 3,5 ⋅ = 22,3 pF C = C1 + C2 = 10,6 + 22,3 = 32,9 pF l 0,01 3.5.11. Dvě kovové desky, vzdálené 1,5cm, jsou připojeny na zdroj napětí 750V. Plocha desek je 80cm2. Desky jsou odděleny sklem s poměrnou permitivitou 4. Sklo pokrývá jednu polovinu z celkové plochy desek, zbytek je vzduch. Vzdálenost desek je 1,5cm. Vypočítejte elektrické namáhání dielektrika, kapacitu obou částí, celkovou kapacitu a celkový náboj na deskách. U 750 S1 40 ⋅ 10 −4 −1 −12 E= = = 50kV ⋅ m C1 = ε0 ⋅ εr 1 ⋅ = 8,85 ⋅ 10 ⋅ 4 ⋅ = 9,44 pF l 1,5 ⋅ 10 − 2 l 0,015 S 40 ⋅ 10 −4 C2 = ε0 ⋅ εr 2 ⋅ 2 = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ = 2,36 pF C = C1 + C2 = 9,44 + 2,36 = 11,8 pF l 0,015 Q1 = C1 ⋅ U = 9,44 ⋅ 10 −12 ⋅ 750 = 7,08 ⋅ 10 −9 C Q2 = C2 ⋅ U = 2,36 ⋅ 10 −12 ⋅ 750 = 1,77 ⋅ 10 −9 C Q = Q1 + Q2 = 7,08 + 1,77 = 8,85 ⋅ 10 −9 C

57

3.5.2. Dvě kovové desky s plochou 16cm2 jsou připojeny na napětí 20kV. Desky jsou od sebe vzdáleny 12mm. V mezeře mezi kovovými deskami je uložena deska z křemenného skla, tloušťky 10mm s poměrnou permitivitou εr1=4 a elektrickou pevností EPS=20kV⋅mm-1. Mezi deskami vznikne vzduchová mezera tloušťky 2mm. Určete intenzitu elektrického pole ve skle, ve vzduchové mezeře a intenzitu elektrického pole po vyjmutí skleněné desky a uveďte, je-li splněna podmínka elektrické pevnosti. Elektrická pevnost vzduchu je EPV=2kV⋅mm-1. U 20 E1 = = = 111 , kV ⋅ mm −1 vyhovuje εr1 4 10 + ⋅ 2 l1 + ⋅l 1 εr 2 2 20 U = = 4,44 kV ⋅ mm −1 E2 = nevyhovuje εr 2 1 2 + ⋅ 10 l2 + ⋅l 4 εr1 1 U 20 vyhovuje E= = = 1,67 kV ⋅ mm −1 l 1 + l 2 10 + 2 3.5.12. Dvě kovové desky jsou odděleny dvěma izolanty stejné tloušťky l 1 = l 2 = 5mm . Poměrná permitivita izolantů je εr1=3 a εr2=6. Na desky je připojeno napětí 6kV. Určete napětí na obou izolantech. U 6000 E1 = = = 800V ⋅ mm −1 εr1 3 5 + ⋅5 l1 + ⋅l 6 εr 2 2 6000 U = = 4,00V ⋅ mm −1 E2 = εr 2 6 5 + ⋅5 l2 + ⋅l 3 εr1 1 U 1 = E1 ⋅ l 1 = 800 ⋅ 10 3 ⋅ 5 = 4 kV

U 2 = E 2 ⋅ l 2 = 400 ⋅ 10 3 ⋅ 5 = 2 kV

3.5.13. Dvě vodivé desky jsou připojeny na napětí 30kV. Plocha desek je 16cm2. Dielektrikum je vrstvené, sestavené z dielektrika tloušťky l 1 = 4mm a l 2 = 12mm s poměrnými permitivitami εr1=2 a εr2=4. Určete intenzitu v obou dielektrikách, elektrickou indukci, indukční tok, kapacitu obou vrstev a kapacitu celkovou. U

E1 = l1 +

εr1 ⋅l εr 2 2 U

E2 = l2 +

εr 2 ⋅l εr1 1

=

=

30 ⋅ 10 3 = 3kV ⋅ mm −1 2 4 + ⋅ 12 4 30 ⋅ 10 3 = 1,5kV ⋅ mm −1 3 12 + ⋅ 4 6

D = ε 0 ⋅ εr 1 ⋅ E1 = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 10 6 = 53,1 ⋅ 10 −6 C ⋅ m −2

ψ = D ⋅ S = 53,1 ⋅ 10 −6 ⋅ 16 ⋅ 10 −4 = 85 ⋅ 10 −9 C S1 16 ⋅ 10 −4 −12 C1 = ε0 ⋅ εr 1 ⋅ = 8,85 ⋅ 10 ⋅ 2 ⋅ = 7,08 pF l1 4 ⋅ 10 − 3 C1 ⋅ C2 7,08 ⋅ 4,72 S 16 ⋅ 10 −4 C2 = ε 0 ⋅ ε r 2 ⋅ 2 = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 4 ⋅ C= = = 2,83 pF − 3 = 4 ,72 pF C1 + C2 7,08 + 4,72 l2 12 ⋅ 10

58

3.6.1. Rovinný deskový vzduchový kondenzátor, s plochou desek 40cm2 a vzdáleností desek 1,2mm, je připojen na napětí 600V. Určete kapacitu kondenzátoru, náboj na deskách, celkovou energii elektrostatického pole, energii v jednotce objemu a sílu, kterou se desky −4 S −12 40 ⋅ 10 přitahují. C = ε0 ⋅ εr ⋅ = 8,85 ⋅ 10 ⋅ = 29,5 pF l 1,2 ⋅ 10 − 3 Q = C ⋅ U = 29,5 ⋅ 10 −12 ⋅ 600 = 17,7 ⋅ 10 −9 C 1 1 We = ⋅ C ⋅ U 2 = ⋅ 29,5 ⋅ 10 −12 ⋅ 600 2 = 5,3 ⋅ 10 − 6 J 2 2 −8 U 600 Q 1,77 ⋅ 10 5 −1 −6 −2 D= = E= = − 4 = 4 ,425 ⋅ 10 C ⋅ m − 3 = 5 ⋅ 10 V ⋅ m l 1,2 ⋅ 10 S 40 ⋅ 10 W 5,3 ⋅ 10 −6 1 1 we = ⋅ D ⋅ E = ⋅ 4,425 ⋅ 10 − 6 ⋅ 5 ⋅ 10 5 = 11 , J ⋅ m −3 F= e = = 4,42 ⋅ 10 − 3 N l 1,2 ⋅ 10 − 3 2 2 3.6.11. Jak velkou energii je možné získat výbojem kondenzátoru s kapacitou 0,4µF. Kondenzátor byl nabit na napětí 12kV. 1 1 We = ⋅ C ⋅ U 2 = ⋅ 0,4 ⋅ 10 − 6 ⋅ 12000 2 = 28,8 J 2 2 3.6.12. Deskový vzduchový kondenzátor s kapacitou 1µF byl nabit na napětí 1kV. Po odpojení zdroje se vzdálenost zdvojnásobila. Stanovte energii elektrostatického pole před posunutím a po posunutí desek. C1 1 ⋅ 10 −6 1 S ⋅U = ⋅ 1 ⋅ 10 3 = 2 kV C = ε0 ⋅ εr ⋅ ⇒ C2 = C1 ⋅ = 0,5µF U2 = C2 1 0,5 ⋅ 10 − 6 l 2 1 1 1 1 We1 = ⋅ C1 ⋅ U 2 = ⋅ 1 ⋅ 10 − 6 ⋅ 1000 2 = 0,5 J We2 = ⋅ C2 ⋅ U 2 = ⋅ 0,5 ⋅ 10 − 6 ⋅ 2000 2 = 1J 2 2 2 2 3.6.13. Rovinný vzduchový kondenzátor je připojen na napětí 800V. Vzdálenost desek je 0,5mm. Určete hustotu energie. U 800 E= = = 1,6 ⋅ 10 6 V ⋅ m −1 l 0,5 ⋅ 10 − 3 D = ε 0 ⋅ εr ⋅ E = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ 1 ⋅ 1,6 ⋅ 10 6 = 14,2 ⋅ 10 −6 C ⋅ m −2 1 1 we = ⋅ D ⋅ E = ⋅ 14,2 ⋅ 10 − 6 ⋅ 1,6 ⋅ 10 6 = 11,36 J ⋅ m − 3 2 2 3.6.14. V dielektriku rovinného kondenzátoru je nashromážděna energie 7,08⋅10-7W⋅s. Plocha desek je 2cm2, vzdálenost desek je 0,5cm. Určete napětí mezi deskami kondenzátoru. ( εr=1 ). S 2 ⋅ 10 −4 C = ε0 ⋅ εr ⋅ = 8,85 ⋅ 10 −12 ⋅ = 0,354 pF l 5 ⋅ 10 − 3 2 ⋅ We 1 2 ⋅ 7,08 ⋅ 10 −7 We = ⋅ C ⋅ U 2 ⇒ U = = = 2 kV 2 C 0,354 ⋅ 10 −12 3.6.15. Otočný vzduchový kondenzátor s kapacitou Cmin=40pF a Cmax=400pF byl při nastavení na Cmax nabit na 100V. Vypočítejte, jaké bude napětí na kondenzátoru při přestavení na Cmin,

We max = We min ⇒ Cmax ⋅ U max 2 = Cmin ⋅ U min 2 ⇒ U min =

59

Cmax ⋅ U max 2 = Cmin

400 ⋅ 100 2 = 316,2V 40