Jurnal Matematika UNAND Vol. 1 No. 2 Hal. 39 – 43 ISSN : 2303–2910 c
Jurusan Matematika FMIPA UNAND
EKSISTENSI BAGIAN IMAJINER PADA INTEGRAL FORMULA INVERSI FUNGSI KARAKTERISTIK YULIANA PERMATASARI Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia
[email protected]
Abstrak. Formula inversi dari fungsi karakteristik ϕX (t) dengan fungsi distribusi F adalah Z T 1 exp(−itx) − 1 F (x) − F (0) = lim ϕX (t)dt T →∞ 2π −T −it untuk setiap −∞ < x < ∞. Syarat perlu dan cukup untuk Z T 1 exp(−itx) − 1 lim Im ϕX (t)dt T →∞ 2π 0 −it ada adalah
∞
Z limε→0+
ε
G(u, x) − (u, 0) du u
ada, dimana G(u, x) = F (u + x) − F (−u + x). Kata Kunci: Fungsi distribusi, fungsi karakteristik, formula inversi.
1. Pendahuluan Misalkan F (x) adalah fungsi distribusi dan ϕX (t) fungsi karakteristik yang didefinisikan sebagai berikut ϕX (t) = E[eitX ], di mana eitX = cos(tX) + i sin(tX). Formula inversi dari fungsi karakteristik ϕX (t), yaitu Z T −itx 1 e −1 (1.1) F (x) − F (0) = lim ϕX (t)dt. T →∞ 2π −T −it Formula inversi (1) dapat dipisahkan menjadi bagian real dan bagian imajiner, yaitu ! Z T Z 0 1 exp(−itx) − 1 1 exp(−itx) − 1 Re ϕX (t)dt = Re ϕX (t)dt 2π 0 −it 2π −T −it dan Im
1 2π
Z 0
T
! Z 0 1 exp(−itx) − 1 exp(−itx) − 1 ϕX (t)dt = −Im ϕX (t)dt −it 2π −T −it 39
40
Yuliana Permatasari
R T e−itx −1 1 karena bagian imajiner pada 2π −it ϕX (t)dt tidak selalu ada, dalam paper −T ini dibahas kajian eksistensi integral pada formula inversi untuk bagian imajiner. 2. Eksistensi Bagian Imajiner Pada Integral Formula Inversi Fungsi Karakteristik Teorema 2.1. [3] Syarat perlu dan cukup untuk ! Z T exp(−itx) − 1 1 lim Im ϕX (t)dt T →∞ 2π 0 −it
(2.1)
ada adalah ∞
G(u, x) − (u, 0) du u
(2.2)
G(u, x) = F (u + x) − F (−u + x)
(2.3)
Z limε→0+ ε
ada, di mana
Bukti. Perhatikan bahwa bentuk integral (3) ada pada lingkungan tak hingga. Kemudian misalkan G(u, x) − G(u, 0) = [F (u + x) − F (u)] − [F (−u + x) − F (−u)] dan F (x + u) − F (u) ∈ L(−∞, ∞). Misalkan I(x, T ) = Im
T
! exp(−itx) − 1 ϕX (t)dt . −itx
1 2π
Z
Z
T
sin xt sin ut − cos ut + cos xt cos ut dt t
T
cos(u − x)t − cos ut dt t Z u dt sin tv dv
0
Dapat dilihat bahwa I(x, T ) = =
1 2π
Z
1 2π
Z
∞
dF (u) −∞ ∞
0
Z dF (u)
−∞
0
Z ∞ Z T 1 = dF (u) 2π −∞ 0 u−x Z ∞ Z u 1 1 − cos vT = dF (u) dv 2π −∞ v u−x Z ∞ Z v+x 1 − cos vT 1 dv dF (u) = 2π −∞ v v Z ∞ 1 1 − cos vT [G(v, x) − G(v, 0)] dv. = 2π 0 v
Berdasarkan Lema Riemann-Lebesgue [2] maka Z ∞ cos vT lim [G(v, x) − G(v, 0)] dv = 0 untuk setiap ε > 0. T →∞ ε v
(2.4)
Eksistensi Bagian Imajiner pada Integral Formula Inversi Fungsi Karakteristik
41
Untuk ε > 0 sebarang dan T → 0 dapat ditulis bahwa Z ε Z ∞ [G(v, x) − G(v, 0)] [G(v, x) − G(v, 0)] I(x, T ) = (cos vT )dv + dv + o(1) v v 0 ε (2.5) (⇒) Misalkan terdapat sebarang ε > 0 dan Z ε G(v, x) − G(v, 0) (1 − cos vT )dv v 0 (2.6) Z 1/T Z ε = + = K1 + K2 , 0
1/T
di mana Z
1/T
G(v, x) − G(v, 0)
K1 = 0
Z ≤ CT
1 − cos vT dv v
1/T
(2.7)
|G(v, x) − G(v, 0)|dv 0
untuk suatu konstanta C. Karena F fungsi tak turun maka limv→0 [G(v, x) − G(v, 0)] = 0, sehingga (8) konvergen ke nol. Jadi dapat diperoleh K1 = o(1)
untuk
T → ∞.
(2.8)
Definisikan χ(v) = G(v, x) − G(v, 0).
(2.9)
Pilih ε > 0 sedemikian sehingga |χ(v)| < δ untuk |v| ≤ ε, untuk sebarang δ. Karena χ(v)/v terbatas pada [1/T, ε], dengan menggunakan Teorema Nilai Tengah Kedua [1] diperoleh Z ε 1 − cos vT K2 = G(v, x) − G(v, 0) dv v 1/T (2.10) Z ξ Z ε Z ε χ(v) 1 χ(ε) ≤ − Tχ cos vT dv − cos vT dv v T ε 1/T 1/T ξ untuk 1/T < ξ < ε. Maka Z ε 1 χ(v) dv ≤ 2χ + 2χ(ε) ≤ 4δ K2 − v T 1/T Oleh karena (6) dan (7) diperoleh Z ∞ 1 χ(v) 2δ dv ≤ + o(1). I(x, T ) − 2π 1/T v π
(2.11)
(2.12)
Ini menunjukkan syarat cukup dan sekaligus menyatakan (3) ada. (⇐) Misalkan χ(v) didefinisikan seperti (11). Dapat dilihat bahwa limv→0+ χ(v) = c. Jika c 6= 0, maka dengan menggunakan (6) diperoleh Z ε Z ε Z ∞ 1 − cos vT [χ(v) − c](1 − cos vT ) χ(v) I(x, T ) − c dv = dv + dv + o(1). v v v 0 0 0 (2.13)
42
Yuliana Permatasari
Perhatikan bahwa ε
[χ(v) − c](1 − cos vT ) dv v 0 Z 1/T Z ε = + = L1 + L2 ,
Z
0
1/T
diperoleh Z
1/T
L1 = 0
Z ≤ CT
[χ(v) − c](1 − cos vT ) dv v 1/T
|χ(v) − c|dv. 0
Dari (14) diperoleh Z ε Z ε Z ∞ 1 − cos vT 1 χ(v) 1 χ(v) c dv − dv − dv ≤ C1 δ + o(1), I(x, T ) − 2π 0 v 2π 1/T v 2π ε v (2.14) untuk suatu konstanta C1 . Z ε Z εT 1 − cos vT sin2 v/2 dv = 2 dv ≥ C2 log εT, (2.15) v v 0 0 untuk suatu konstanta C2 . Pilih sebarang ε > 0, diberikan η < C2 sedemikian sehingga |χ(v) − c| < η untuk 0 < v < ε. Maka Z ε χ(v) − c dv ≤ η log εT. (2.16) 1/T v Jika limit I(x, T ) ada untuk T → ∞, maka karena (16) dan (17), implikasi (15) kontradiksi. Oleh karena itu maka c = 0, sehingga Z ∞ 1 χ(v) (2.17) dv ≤ C1 δ + o(1). I(x, T ) − 2π 1/T v Syarat perlu terbukti. 3. Ilustrasi Fungsi karakteristik dari sebaran U (0, 1) adalah ϕX (t) = i(1 − exp(it))/t dengan fungsi distribusi F (x) = x. Maka formula inversi dari sebaran U (0, 1) adalah Z T 1 exp(−itx) − 1 F (x) − F (0) = lim ϕX (t)dt T →∞ 2π −T −it Z T 1 cos(t − tx) − cos tx − cos t + 1 = lim dt T →∞ 2π −T t2 Z T sin tx + sin(t − tx) + sin t 1 + i lim dt T →∞ 2π −T t2
Eksistensi Bagian Imajiner pada Integral Formula Inversi Fungsi Karakteristik
43
Diperoleh 1 T →∞ 2π
Z
T
I(x, T ) = lim
0
sin tx + sin(t − tx) + sin t dt t2
Kemudian akan ditunjukkan ! Z Z T ∞ exp(−itx) − 1 1 G(u, x) − G(u, 0) lim Im ϕX (t)dt = du T →∞ 2π 0 −it u 0 Perhatikan bahwa, Z T sin tx + sin(t − tx) + sin t 1 dt T →∞ 2π 0 t2 1 − cos T x + cos(−T + T x) + xT sin T + 1 − cos T = lim dt T →∞ 2π t3 =0
I(x, T ) = lim
dan G(u, x) = F (u + x) − F (−u + x) = 2u G(u, 0) = F (u + 0) − F (−u + 0) = 2u Sedemikian sehingga diperoleh, Z ∞ Z ∞ 2u − 2u G(u, x) − G(u, 0) du = lim+ du lim+ u u ε→0 ε→0 ε ε =0 Dalam hal ini dapat dilihat bahwa, ! Z T Z ∞ 1 exp(−itx) − 1 G(u, x) − G(u, 0) lim Im ϕX (t)dt = limε→0+ du T →∞ 2π 0 −it u 0 4. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dodi Devianto, Bapak Admi Nazra, Ibu Hazmzra Yozza, Ibu Lyra Yulianti, dan Bapak Syafrizal Sy, yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik. Daftar Pustaka [1] Bartle, R.G. dan Donald R.S. 1927. Introduction to Real Analysis, 2nd Edition. John Wiley and Sons Inc., Singapore. [2] Jain, P.K. dan V.P. Gupta. 1976. Lebesgue Measure and Integration. Wiley Eastern Limited, New Delhi. [3] Kawata, T. 1969. On The Inversion Formula For The Characteristic Function. Pacific Journal of Mathematics.
