Technická univerzita v Liberci FAKULTA PEDAGOGICKÁ
Katedra:
matematiky a didaktiky matematiky
Studijní program: 2. stupe Kombinace:
matematika–anglický jazyk
EGYPTSKÉ ZLOMKY EGYPTIAN FRACTIONS Diplomová práce: 07-FP-KMD-004
Autor:
Podpis:
Šimon CHLÁDEK Adresa: Proletá ská 147 46312, Liberec 23
Vedoucí práce:
RNDr. Daniela Bittnerová, CSc. .
Po et stran
slov
obrázk
tabulek
pramen
p íloh
67
9 205
13
3
27
0
V Liberci dne: 1. 5. 2007
Prohlášení
Byl jsem seznámen s tím, že na mou diplomovou práci se pln vztahuje zákon . 121/2000 Sb. o právu autorském, zejména § 60 – školní dílo. Beru na v domí, že Technická univerzita v Liberci (TUL) nezasahuje do mých autorských práv užitím mé diplomové práce pro vnit ní pot ebu TUL. Užiji-li diplomovou práci nebo poskytnu-li licenci k jejímu využití, jsem si v dom povinnosti informovat o této skute nosti TUL; v tomto p ípad má TUL právo ode mne požadovat úhradu náklad , které vynaložila na vytvo ení díla, až do jejich skute né výše. Diplomovou práci jsem vypracoval samostatn
s použitím uvedené
literatury a na základ konzultací s vedoucím diplomové práce a konzultantem.
V Liberci dne: 3. 1. 2007
Šimon Chládek
-3-
Pod kování: Rád bych pod koval vedoucí práce RNDr. Daniele Bittnerové, CSc. za rady a p ipomínky, které pomohly k dokon ení této práce. D kuji všem, kte í m p i psaní této práce podporovali a bez nichž bych svoji práci nedokon il.
-4-
EGYPTSKÉ ZLOMKY Šimon CHLÁDEK
Vedoucí DP: RNDr. Daniela Bittnerová, CSc.
DP–2007
Resumé Diplomová práce se zabývá metodami rozklad na egyptské zlomky. V první ásti práce je stru n popsán úsek historické egyptské matematiky. Další ást práce obsahuje tabulku rozklad a úvahu, jak mohli Egyp ané tuto tabulku sestavit. V poslední
ásti práce jsou popsány dnešní metody rozklad
na
egyptské zlomky, které jsou stru n porovnány. Na záv r je uvedeno i n kolik zp sob , jak využít egyptské zlomky p i vyu ování. Zusammenfassung Diese Diplomarbeit befasst sich mit den Methoden des Zerfalls an ägyptische Bruchzahlen. In den ersten Teil der Arbeit wird kurz die Etappe der historische ägyptische Mathematik beschrieben. Der nächste Teil der Arbeit enthält die Zerfalltabelle und eine Betrachtung über die Zusammensetzung dieser Tabelle von den Ägyptern. In den letzten Teil der Arbeit sind gegenwärtige Methoden des Zerfalls an ägyptische Bruchzahlen beschrieben, die kurz vergleicht werden. Abschließend werden einige Methoden genannt, wie man ägyptische Bruchzahlen während des Unterrichts nutzen kann. Summary The thesis deals with methods of decompositions to Egyptian Fractions. In the first section a part of Egyptian Historical mathematics is described. The next section contains the table of decompositions and speculations on how could the Egyptians construct this table. In the last section of the thesis todays methods of decompositions to Egyptian Fractions are described and are also briefly compared. The closing part contains some ideas on how to use Egyptian Fractions in the class.
-5-
1. ÚVOD ...............................................................................................................................8 2. PRAMENY .......................................................................................................................9 2.1 RHIND
V PAPYRUS .......................................................................................................9
2.2 MOSKEVSKÝ PAPYRUS ................................................................................................10 2.3 KÁHÚNSKÉ PAPYRY ....................................................................................................11 2.4 D
EV NÉ TABULKY ....................................................................................................11
2.5 KOŽENÝ SVITEK..........................................................................................................12 2.6 BERLÍNSKÝ PAPYRUS ..................................................................................................13 3. STAROEGYPTSKÁ MATEMATIKA ..........................................................................14 3.1. ARITMETIKA ..............................................................................................................14 3.1.1. íselná soustava starých Egyp an ....................................................................14 3.1.2. S ítání a od ítání...............................................................................................18 3.1.3. Násobení a d lení ..............................................................................................18 3.1.4. Zlomky a smíšená ísla ......................................................................................19 3.1.5. Jednotky ............................................................................................................20 3.2. POSLOUPNOSTI ..........................................................................................................20 3.2.1. Aritmetická posloupnost.....................................................................................20 3.2.2. Geometrická posloupnost...................................................................................21 3.3. ALGEBRA ..................................................................................................................21 3.3.1. Úlohy vedoucí na lineární rovnice......................................................................21 3.3.2. Úlohy vedoucí na jednoduché kvadratické rovnice..............................................22 3.4. GEOMETRIE ...............................................................................................................22 3.4.1. Obdélník, ty úhelník.........................................................................................23 3.4.2. Trojúhelník........................................................................................................23 3.4.3. Lichob žník .......................................................................................................24 3.4.4. Kruh..................................................................................................................24 3.4.5. Krychle a kvádr .................................................................................................25 3.4.6. Válec .................................................................................................................25 3.4.7. Jehlan................................................................................................................25 3.4.8. Komolý jehlan ...................................................................................................26 3.4.9. Povrch válce nebo koule ....................................................................................26 3.5. GEOMETRIE V PRAXI ..................................................................................................26 3.5.1 Zem m ictví, vyty ování staveb .........................................................................26 3.5.2. Zobrazování ......................................................................................................27
-6-
3.6. OSTATNÍ ÚLOHY ........................................................................................................27 3.6.1. Úlohy o chlebu a pivu ........................................................................................27 3.6.2 Úlohy praktické ..................................................................................................28 3.7.
AS ...........................................................................................................................29
3.7.1 Kalendá ............................................................................................................29 3.8.
ÍSELNÁ MYSTIKA .....................................................................................................31
4. EGYPTSKÉ ZLOMKY (KMENNÉ ZLOMKY)...........................................................32 4.1. RHIND
V PAPYRUS A EGYPTSKÉ ZLOMKY
...................................................................33
4.1.1 Použití tabulky rozklad ......................................................................................35 4.1.2 Vytvo ení tabulky rozklad ..................................................................................36 4.1.3 Výjimky ..............................................................................................................42 4.2. SHRNUTÍ ....................................................................................................................45 5. SOU ASNÉ METODY VYJÁD ENÍ RACIONÁLNÍHO ÍSLA POMOCÍ EGYPTSKÝCH ZLOMK ...............................................................................................46 5.1 ALGORITMY ...............................................................................................................46 5.1.1 Št pící algoritmus...............................................................................................46 5.1.2 Fibonacci / Sylvester v algoritmus......................................................................48 5.1.3 Golomb v algoritmus .........................................................................................50 5.1.4 Binární algoritmus..............................................................................................52 5.1.5 Bleicher/Erdös v algoritmus...............................................................................54 5.1.6 Tenebaum/Yokot v algoritmus ............................................................................56 5.1.7 Faktoriálový algoritmus......................................................................................59 5.2 POROVNÁNÍ ALGORITM .............................................................................................60 6. VYUŽITÍ EGYPTSKÝCH ZLOMK VE VYU OVÁNÍ............................................61 7. ZÁV R ...........................................................................................................................63 POUŽITÁ LITERATURA.................................................................................................64
-7-
1. Úvod Dochované prameny ze starého Egypta mohou hodn starých Egyp anech samých. Jist
vypov d t o
vypovídají i o jejich matematických
znalostech. Rhind v papyrus, nejstarší matematický dokument, íká, že užívali nap íklad stejnou íselnou soustavu. Jeden významný rozdíl tu ovšem je, a to rozdíl ve vnímání a užívání zlomk . Egyp ané um li zaznamenávat
byla velmi limitovaná. Pro zápis zlomku
jejich metoda zápisu zlomk použili Egyp ané symbol pro zlomek. Obecn
ísla až do jednoho milionu, ovšem 1 5
íslo 5 a nad n j p ipsali další symbol pro
psali takto všechny zlomky s jedni kou v itateli. Sta í
Egyp ané ale neznali jiný zp sob, jak zapsat zlomky, než tento, s výjimkou speciálních p ípad , jako nap íklad v Egypt
2 5 . Tímto nechceme íci, že nap . íslo 3 6
neexistovalo. Egyp ané jednoduše
symbol. Místo toho psali (tj. zlomk
1 2
5 neum li zapsat jako jeden 6
1 . Díky tomu se dnes sou tu kmenných zlomk 3
s jedni kou v itateli)
íká egyptské zlomky. Dnes studium
vlastností egyptských zlomk spadá do teorie ísel a stále poskytuje množství podn tných a nevy ešených otázek. Tato práce podává stru ný p ehled matematických dovedností a znalostí starých Egyp an , dále se zabývá vznikem a užitím tabulky rozklad
2 n
z Rhindova papyru a následnou problematikou egyptských zlomk . Na záv r se nalézá n kolik algoritm pro rozklad racionálního ísla na egyptské zlomky, jejich stru né porovnání a návrh, jak využít egyptské zlomky ve výuce.
-8-
2. Prameny Uvedeme p ehled nejd ležit jších matematických text . V úvahu budou brány pouze texty, které jsou starší než matematika antická. Existence samotných matematických text nasv d uje tomu, že již v dob 12. dynastie (asi 1994 – 1797 p . Kr.) byla ve starém Egypt matematika konstituována jako samostatná disciplína.
2.1 Rhind v papyrus Též nazývaný jako Ahmos v nebo Londýnský papyrus. Byl nalezen spolu s dalšími texty v egyptských Thébách v polovin 19. století. Roku 1858 ho koupil v Luxoru právník a egyptolog Alexander Henry Hind, skotský znalec starožitností. Dnes je papyrus uložen v britském muzeu v Londýn . Tento papyrus byl p i výrob slepen ze trnácti list . Rhind v papyrus opsal v 33. roce vlády krále Apopiho (kolem roku 1560 p . Kr.) písa Ahmose z materiálu pocházejícího z doby vlády Amenemheta III. (asi 1853 – 1809 p . Kr.). Jde o sbírku 87 úloh (budeme se na n odvolávat jako na R1 – R87) s návody a ešeními, navíc obsahuje tak zvanou tabulku 2/n; je to nejrozsáhlejší a nejvýznamn jší matematický text ze starého Egypta.
-9-
Obr. 2
2.2 Moskevský papyrus Též Goleniš ev v papyrus. Tento papyrus získal roku 1893 egyptolog V. S. Goleniš ev a v noval ho Puškinov muzeu krásných um ní v Moskv . Text je opisem staršího textu z XII. dynastie, opsán byl patrn v dob XIII. dynastie (asi 1797 – 1634 p . Kr.). Papyrus byl slepen z jedenácti list obsahuje 25 p íklad
a
(budeme je ozna ovat M1 – M25). P íklady nejsou
tematicky uspo ádány; šlo snad o jakousi u ební pom cku i test znalostí. Je to druhý nejvýznamn jší matematický text pocházející ze starov kého Egypta.
- 10 -
Obr. 2
2.3 Káhúnské papyry Káhúnské matematické papyry nalezl
roku 1889 W. M. F. Petrie
v Káhúnu. Jde o p t zlomk , dva nejv tší pocházejí z doby XII. dynastie, obsahují
ást tzv. tabulky 2/n, hieratické zápisy velkých
ísel a n kolik
matematických úloh (K1 – K6).
2.4 D ev né tabulky Dv d ev né tabulky pokryté štukem byly nalezeny patrn v Achmímu, dnes jsou uloženy v Káhirském egyptologickém muzeu. Pocházejí z doby XII. dynastie a obsahují n jaké seznamy osob, jakýsi dopis a výpo ty díl objemové jednotky hekat (m ice); výsledky jsou uvedeny v menších jednotkách.
- 11 -
2.5 Kožený svitek Kožený svitek byl nalezen údajn spolu s Hindovým papyrem, dnes je uložen v Britském muzeu. Pochází z doby XV. dynastie (asi 1634 – 1526 p . Kr.) Obsahuje tabulku 26 sou t kmenných zlomk ve ty ech sloupcích. Je zna n poškozen.
Obr. 3
- 12 -
2.6 Berlínský papyrus Berlínský papyrus byl nalezen patrn
v Thébách zhruba sou asn
s Rhindovým papyrem. Dnes je uložen v Berlínském muzeu. Pochází nejspíše z doby XII. dynastie. Skládá se ze dvou v tších kus
a n kolika zlomk .
Obsahuje ešené úlohy (B1 – B4), patrn jde o ást jakési sbírky p íklad . O matematických znalostech starých Egyp an
sv d í i texty, které
nejsou p ímo matematické. P íkladem jsou ty i svitky z doby Senusreta I. (asi 1971 – 1926, XII. dynastie), na kterých jsou zachyceny praktické ukázky aplikace matematiky (konstrukce lodí, obchod, apod.). Dále t eba papyrus ozna ovaný jako Anastasi I. Jde o dopis ú edníka Horiho písa i Amenemopovi, kterému Hori zadává t i úkoly. Další sv dectví o matematických znalostech starých Egyp an podávají mnohé projevy egyptské civilizace. Jsou to nap . stavby kanál , p ehrad, vodních nádrží, projektování pyramid, chrám
a
dalších staveb, rozpisy prací a p ísun materiálu, výb r daní a ú tování faraónových chrámových statk . Podle historických zpráv se pravideln v celém stát již od prvních dynastií s ítali lidé, pozemky, dobytek i zlato.
- 13 -
3. Staroegyptská matematika V této kapitole se stru n zmíníme o matematických dovednostech starých Egyp an . Budeme se v novat staroegyptským znalostem aritmetiky (mimo zlomk , jimž bude v nována samostatná kapitola), znalostem posloupností, algebry, geometrie teoreticky i v praxi, asu, íselné mystice a ostatním úlohám spojeným s každodenním životem ve starov kém Egypt .
3.1. Aritmetika 3.1.1. íselná soustava starých Egyp an Se znaky p edstavujícími p irozená
ísla se ve starém Egypt
setkáváme již v Archaické dob (asi 3150 – 2930 p . Kr.). Již ve Staré íši byla b žn zaznamenávána pom rn velká ísla. Uvedeme dva p íklady. Král Chasechem (II. dynastie) zanechal zprávu o potla ení velkého povstání v Dolním Egypt , p i n mž prý bylo zabito 48 205 vzbou enc a zajato 120 000 tisíc obyvatel. Na reliéfech v Sahureov zádušním chrámu (V. dynastie) je zobrazen Sahure ve vít zných bitvách. Na jednom je vý et vále né ko isti získané v Lybii, a to 123 440 kus dobytka, 223 400 osl , 232 413 kus lovné zv e, 243 688 ovcí, celkem 822 941 kus . Sta í Egyp ané užívali desítkové íselné soustavy, p i emž existovaly zvláštní íselné znaky po ínaje jedni kou v etn pro mocniny 10 do 10 6 . Byly to tyto znaky:
- 14 -
1 … obraz m icí hole
Obr. 4 10 … hieroglyf znamenající kraví pouta
Obr. 5 100 … m ický provazec užívaný k m ení polí a d lící se na 100 lokt
Obr. 6
1000 … kv t lotosu
Obr. 7
- 15 -
10 000 … ukazovák
Obr. 8 100 000 … pulec
Obr. 9
1 000 000 … b h Hh, jeden z osmi praboh , který nesl oblohu pod zemí
Obr. 10 N které prameny uvád jí i samostatný symbol pro 10 000 000, a to podle r zných odhad jako slunce, obzor nebo prsten. P irozená ísla byla zaznamenávána prostým nahromad ním pot ebných znak . Nap . ísla
2 465 a 2 126 013 by byla zapsána takto:
- 16 -
Obr. 11 a
Obr. 12 V dalším rozvoji egyptské kultury se hieroglyfické písmo – které vznikalo ve starší dob
z obrázk
– m nilo na hieratické (rychlopisnými zkratkami
hieroglyf ) a pak na démotické (abecední). Obdobn se m nily i symboly íslovek. Pro ukázku p edkládáme pár íslovek v hieratické podob .
Obr. 13
- 17 -
3.1.2. S ítání a od ítání S ítání dvou nebo více p irozených soustav
ísel zapsaných v desítkové
ned lalo problémy. Posta ovalo jen „shrnout“ znaky obou
ísel
dohromady a p ípadn deset jednotek daného ádu nahradit jednou jednotkou ádu vyššího. P i od ítání se postupovalo obdobn , n kdy bylo t eba nahradit jednotku vyššího ádu deseti jednotkami ádu nižšího. Od ítalo se vždy menší íslo od v tšího. S ítání i od ítání se nazna ovaly hieroglyfy, které p vodn ozna ovaly „ch zi“ jedním nebo druhým sm rem.
3.1.3. Násobení a d lení P i násobení se podle n kterých pramen Egyp ané opírali o tradici, kdy jejich p edkové ješt užívali dvojkové soustavy, podle jiných je jejich metoda postavena na dobrém pochopení p ímé úm rnosti. Egyp ané každopádn
p evád li násobení na zdvojnásobování a s ítání, p i emž si
sestavili tabulku. Uve me si p íklad: 15 13
Každý následující
/1
15
2
30
/4
60
/8
120
Dohromady
195
ádek této tabulky byl dvojnásobkem p edcházejícího
(se tením ísel samých se sebou). Poslední íslo v levém sloupci nesm lo p evyšovat násobitel (13). Pak vyhledávali v levém sloupci ísla, jejichž sou et byl 13, a ozna ili je šikmou arou. P itom postupovali od posledního ísla nahoru. P i násobení v tším
íslem Egyp ané krom
- 18 -
zdvojnásobování
používali rovn ž zdesateronásobení, n kdy využili i p tinásobku. Záleželo pravd podobn na obratnosti písa e. Podle stejného vzorce se rovn ž d lilo. Tedy zdvojnásobovalo se tak dlouho, dokud ozna ená ísla v pravém sloupci nedala požadovaný sou et. Nap . v p íkladu R69 je zachyceno d lení ísla 1 120 íslem 80.
1
80
/10
800
2
160
/4
320
Dohromady Tedy íslo 1 120 je sou tem desetinásobku a
1 120 ty násobku
ísla 80, proto
z uvedeného schématu dostáváme výsledek: 1 120:80 = 14. Se zápisem d lení p irozených ísel, které je „beze zbytku“, se setkáváme v egyptských textech z ídka, asto je však zachyceno d lení se zbytkem, d lení smíšenými ísly, sou ty zlomk apod. Násobení i d lení je založeno na stejném principu. Je vid t, že násobení a d lení jsou inverzní operace. Komutativnost násobení není p i tomto po etním algoritmu zjevná.
3.1.4. Zlomky a smíšená ísla O tomto tématu bude pojednáno dále a podrobn ji v samostatné kapitole.
- 19 -
3.1.5. Jednotky P vodní egyptskou délkovou mírou byl tzv. krátký loket, který m il asi 45 cm; m l 6 dlaní o 4 prstech, tj. celkem 24 prst . Pozd ji byla k tomuto lokti p idána tzv. „královská“ dla , a tak vznikl královský loket, mehnisut nebo jen
meh. Královský loket byl ur en pro m ení související se stanovováním naturálních dávek panovníkovi a v královských loktech byly vym ovány nejr zn jší stavby. Nap íklad p i stavbách pyramid byla v tšinou délka základní hrany násobkem deseti královských lokt . V Egypt
byla jako
jednotka délky používána i míra chet, která m la sto lokt . Základní plošnou mírou byla jednotka secat-johet (krátce secat), která byla rovna 10 000
tvere ních královských lokt . Jednotka secat-johet se
skládala ze sta jednotek meh-ta (tzv. loket zem ). Základem dutých m r byla jednotka hekat (n kdy do eštiny p ekládána jako m ice), která m la asi 4,8 litru. Jednotka hekat se rovn ž d lila na 10
hin a jeden hin na 32 ro. Užívána byla i jednotka char (n kdy p ekládána jako pytel), která obsahovala 20 jednotek hekat. Hodnota zboží byla udávána vahou st íbra. Jednotka se nazývala jeden
šena, který m l asi 91 gram a d lil se na 12 kit.
3.2. Posloupnosti 3.2.1. Aritmetická posloupnost V Rhindov papyru jsou dv úlohy, v nichž se pracuje s aritmetickou posloupností o p ti, resp. o deseti lenech, v Káhúnských zlomcích lze nalézt aritmetickou posloupnost o deseti lenech. Uve me si jeden p íklad. V úloze R64 je t eba rozd lit 10 m ic je mene mezi 10 muž
tak, aby získaná množství tvo ila aritmetickou
- 20 -
posloupnost s diferencí
1 . Tato úloha je nadepsána Metoda po ítání s rozdílem 8
peru a samotném textu je uvedeno, že rozdíl peru každého muže v i druhovi je 1 me ice. 8 3.2.2. Geometrická posloupnost Úloha R79 je ukázkou úloh, ve kterých nacházíme p ti lenou geometrickou posloupnost a její sou et. Je klasickou úlohou rekrea ní matematiky. Její zadání zní: Je sedm dom a v každém dom je sedm ko ek,
každá ko ka chytne sedm myší, každá myš sežere sedm klas pšenice, každý klas pšenice je rozd len do sedmi m ic. Kolik je všeho dohromady? Poznamenejme že podobné úlohy nacházíme i dále v historii. Nap . u Leoparda Pisánského (Fibonacci) najdeme formulaci: Sedm sta en mí í do íma, každá
má sedm mul , na každém je sedm pytl , v každém pytli sedm chleb , u každého chleba sedm nož a každý n ž je v sedmi pochvách. Kolik je všeho dohromady?
3.3. Algebra V egyptských matematických textech nalézáme úlohy, jenž je možno ešit lineárními rovnicemi. Jsou to p íklady na vypo tení neznámého množství, které je zadáno n jakou podmínkou. Úlohy tohoto typu jsou v tšinou formulovány abstraktn , tj. postrádají jakýkoliv praktický kontext. 3.3.1. Úlohy vedoucí na lineární rovnice Úlohy, které vedou na lineární rovnice, nalézáme zejména v Rhindov a Moskevském papyru. Uve me si jeden z p íklad (R30): Když ti písa
ekne, výsledek 10 je
2 1 2 1 , z eho, a slyší, po ítej s , až najdeš 10. 3 10 3 10
- 21 -
Tento p íklad lze v naší symbolice zapsat následující rovnicí:
2 1 3 10 x 13
x 10 1 23
3.3.2. Úlohy vedoucí na jednoduché kvadratické rovnice Na Berlínském papyru je úloha, která obsahuje neznámou ve druhé mocnin . Na Káhúnském zlomku se zachovala nep íliš srozumitelná úloha K5, ve které se neznámá rovn ž objevuje ve druhé mocnin .
K5: (v naší symbolice)
10 x
1 2
1 4
x 120
Oba p íklady, v nichž se odmoc uje, vedou na kvadratické rovnice, jež neobsahují lineární len. V dochovaných egyptských matematických textech se nesetkáváme s žádnou úlohou, vedoucí na úplnou kvadratickou rovnici.
3.4. Geometrie V dochovaných egyptských matematických textech nacházíme úlohy následujících typ : - úlohy na výpo et obsahu obdélníka, trojúhelníka, lichob žníka a kruhu - úlohy, ve kterých jsou z daného obsahu trojúhelníka, resp. obdélníka, a z daného pom ru jejich rozm r tyto rozm ry vypo teny - úlohy na výpo et objem kvádru, válce a komolého jehlanu - úlohy, ve kterých je z daného objemu a známé podstavy kvádru po ítána jeho výška - úlohy na výpo et velikosti úhlu, který svírá základna a st na jehlanu
- 22 -
- úlohy, ve kterých je ze znalosti tohoto úhlu a velikosti základny po ítána výška jehlanu - úloha, ve které je patrn po ítán povrch poloviny plášt válce V dalším textu budou stru n popsána jednotlivá geometrická témata, jež se v egyptských matematických textech vyskytují.
3.4.1. Obdélník, ty úhelník Obsah obdélníka po ítali Egyp ané jako sou in délek jeho stran. Je pravd podobné, že obdobným zp sobem po ítali i obsah obecného ty úhelníka, který se od obdélníka „p íliš nelišil“. Po ítali tak, že vynásobili aritmetické pr m ry protilehlých stran. Tzn.
S
a c b d . 2 2
Na st nách Horova chrámu v Edfu z 2. stol. p . Kr. jsou takto po ítány obsahy v tšího po tu ty úhelník .
3.4.2. Trojúhelník Výpo ty obsahu trojúhelníka, se kterými se setkáváme v egyptských textech, odpovídají našemu vzorci, podle n hož je polovina základny trojúhelníka násobena jeho výškou. Nem žeme si však být zcela jisti, zda údaj, který v egyptských textech chápeme jako výšku, není ve skute nosti délkou jedné ze stran trojúhelníka. K dispozici je velmi málo p íklad .
- 23 -
Pro ilustraci uve me jeden p íklad z Rhindova papyru R51, nadepsaný jako
Metoda výpo tu trojúhelníkové plochy. Je zadán trojúhelník, jehož základna má délku 400 a výška 1000 lokt a slovní popis ešení:
Vypo ti
1 ze 4, je to 2, pro udání jeho obdélníka. Po ítej s 10 dvakrát 2
a to je obsah jeho plochy (rozm ry trojúhelníka jsou zadány v jednotkách chet). Dále jsou to p íklady M4 a M17.
3.4.3. Lichob žník Obsah lichob žníka po ítali Egyp ané podobným zp sobem jako obsah trojúhelníka.
3.4.4. Kruh Egyptský výpo et obsahu S kruhu o pr m ru
d odpovídá v naší
symbolice vzorci:
S
d
1 d 9
2
8 d 9
2
64 2 d 81
Srovnáme-li sou asný vzorec pro výpo et obsahu kruhu o pr m ru d se vzorcem odpovídajícím egyptskému výpo tu, dojdeme k rovnosti 1 2 d 4
64 2 d 81
a získáme tak „egyptskou hodnotu“ ísla 256 81
3,1605 .
- 24 -
Egyp ané tedy úsp šn nahradili obsah kruhu obsahem tverce; jeho stranu nebylo t žké získat, sta ilo odebrat od pr m ru kruhu jeho devítinu.
3.4.5. Krychle a kvádr V n kolika p íkladech, které v dochovaných egyptských textech nacházíme, je po ítán objem tverhranných obilnic tvaru krychle. Lze však p edpokládat, že podle t chto p íklad byl egyptský po tá schopen spo ítat objem kvádru. Objem kvádru je nap . po ítán v p íkladu R44 nadepsaném Metoda výpo tu tverhranné obilnice.
3.4.6. Válec Objem válce je po ítán standardním zp sobem, obsah základny (kruh) je vynásoben výškou. Objem válce je po ítán v p íkladu R41, který se jmenuje Metoda výpo tu kruhové obilnice.
3.4.7. Jehlan V n kolika p íkladech Rhindova papyru se pracuje se sklonem rovin. Bu je t eba vypo ítat sklon st ny pyramidy, nebo je t eba naopak ze zadaného sklonu a velikosti základny pyramidy vypo ítat její výšku. Poznamenejme, že se tyto p íklady týkají nikoliv abstraktních jehlan , ale vždy p ímo pyramid, jak je z ejmé z p ipojených obrázk . Podstavnou hranu pyramidy nazývali Egyp ané wecha-cebet a výšku per-em-wes; hledaný sklon byl ozna ován jako seked. Jako p íklad m že sloužit problém z Rhindova papyru R56 nadepsaný Metoda po ítání pyramidy. Je zde úkolem vypo ítat sklon st ny pyramidy, která má tvercovou základnu o stran 360 a výšku 250 lokt . Bylo by také jist zajímavé v d t, jak Egyp ané pyramidy projektovali.
- 25 -
3.4.8. Komolý jehlan V egyptských textech se nezachoval žádný p íklad na výpo et objemu jehlanu (pyramidy), v Moskevském papyru je ale zajímavý p íklad na výpo et objemu komolého jehlanu. Je to p íklad M14 pojmenovaný Metoda výpo tu komolé pyramidy.
3.4.9. Povrch válce nebo koule Velmi zajímavou úlohou je p íklad M10, ale jeho interpretace je velmi obtížná. Zdá se jisté, že jde o výpo et obsahu n jaké plochy, není však jisté, o jaký objekt se jedná. Útvar po ítaný je ozna en jako koš nebo košík. Jeví se ale málo pravd podobné, že by Egyp ané po ítali povrch koule i kupolovitého útvaru. Praktické využití t chto výpo t je problematické a teoretické odvození p esného návodu pro výpo et povrchu koule a povrchu kupole se dá t žko p edpokládat.
3.5. Geometrie v praxi 3.5.1 Zem m ictví, vyty ování staveb Každoro ní záplavy vedly k výrazným zm nám v pom rn
velkém
pruhu zem d lské p dy kolem Nilu; pozemky proto bylo nutno na tomto území vždy znovu vym it. Další rozsáhlá území se Egyp ané nau ili zavlažovat a zúrod ovat, proto projektovali zavlažovací kanály, zjiš ovali výšku terénu apod. Vym ování zem d lských pozemk a po ítání jejich vým r bylo nutné i z dalších d vod . Výše pozemkových daní totiž závisela na velikosti polí, da byla odvád na v naturáliích. Rovn ž bylo t eba vypo ítat množství zrna pot ebné k osetí pole známé vým ry. Egyp ané se proto museli dob e nau it po ítat vým ry ploch, vym ovat, m it objemy v tšího i menšího množství zrna, p evád t m rné jednotky atd.
- 26 -
Základními pom ckami byly m ický prut, m ický provazec a h lka, kterou zem m i i kreslili p ímo do písku. M ické provazy byly pomocí uzl rozd leny na stejné úseky. P i stavbách bylo zapot ebí vyty ovat vodorovné roviny, konstruovat pravé úhly, stanovit svislice, na rtnout p dorysy staveb ve skute ných rozm rech atd. Vynikající schopnosti egyptských zem m i
se
projevily p i stavbách pyramid a chrám . P esnost orientace je fascinující a odchylky jsou v tšinou nepatrné.
3.5.2. Zobrazování Krom p dorys
rýsovali sta í Egyp ané v ad
situací i nárysy a
bokorysy. Nap . v Edfu se dochoval nákres ezu ímsy pylonu. Pro rozkreslování rys , zv tšování a zmenšování v daném m ítku byla v Egypt
užívána
tvercová sí . P dorysy, nárysy a bokorysy byly asto ve tvercových sítích rozpracovávány.
3.6. Ostatní úlohy V této ásti se budeme zabývat p íklady, které eší praktické problémy a nespadají p ímo do aritmetiky, algebry i geometrie, i když poznatky z t chto disciplín využívají. Spadají sem zejména úlohy o chlebu a pivu a n kolik dalších úloh.
3.6.1. Úlohy o chlebu a pivu Pom rn zajímavým souborem egyptských po etních problém
jsou
úlohy, které se zabývají r znými p epo ty chleb a piva. Pivo bylo v Egypt d ležitým artiklem, chlebem a pivem byli placeni ú edníci i vojáci, plné a zape et né pivní džbánky se mohly sm ovat za jiné výrobky. Pivo bylo
- 27 -
vyváženo, bylo sou ástí ob tních dar , využívalo se v léka ství atd. V p íkladech o chlebu a pivu se objevuje výraz pesu, který vyjad uje kvalitu chleba, resp. piva. Numericky je hodnota pesu dána jako po et bochník chleba, resp. džbán piva, které je možno vyrobit z jedné m ice zrna.
ím
v tší tedy pesu, tím mén kvalitní je bochník chleba a tím slabší je pivo.
Na ukázku uve me dva p íklady, a to M5 a M8, v nichž je t eba vypo ítat po et džbán
piva o pesu 4, které odpovídají 100 chleb m o pesu 20.
Dodate ným údajem je zde „
1 2
1 sladu pro datle“. 4
ešení: Z jedné m ice
obilí se podle zadání upe e dvacet chleb ; sto chleb se tedy upe e ze z p ti m ic.
Z postupu ešení se dá zjistit, že uvedený údaj „ odpovídá koeficientu
1 2
1 sladu pro datle“ 4
1 , který je t eba použít. Vypo tených p t m ic se tedy 2
vynásobí jednou polovinou a ty mi; vychází 10 džbán piva.
3.6.2 Úlohy praktické Dále se zmíníme o n kolika dalších zajímavých úlohách. P íklad M21, pojmenován Metoda výpo tu míšení chleba, pat í k problematice sm šovacího po tu. P íklad M23, jenž je jednoduchou slovní úlohou, je nadepsán Metoda po ítání prací výrobce sandál : … když eže, je to 10 za den; když dokon uje, je to 5 za den. Když eže i dokon uje, kolik ud lá za den? Se ti dobu t ch 10 1 s t mi 5, vyjde celkem 3. Po ítej s tím, až najdeš 10, vyjde 3 -krát. 3
- 28 -
Hle, 3
1 1 je to pro jeden den. Nalezl jsi správn 3 . V p íkladech R54 a R55 3 3
je t eba odd lit obsah 7 secat z 10 polí, resp. 3 secat z 5 polí. V p íkladu R63 je t eba 700 chleb rozd lit ty em muž m v pom ru
2 1 1 1 : : : . V p íkladu 3 2 3 4
R66 je t eba vypo ítat denní p íd l z 10 m ic tuku ur ených pro celý rok. P íklad R67 se týká s ítání dobytka. V p íkladu R68 se d lí 100 m ic obilí mezi ty i mužstva o 12, 8, 6, a 4 osobách. P íklady R82 až R84 jsou v novány výpo t m množství krmiva pro domácí zví ata.
3.7. as Matematické a astronomické znalosti prvních civilizací byly využívány v chronologii, nauce o m ení asu. Nejprve byla budována na poznatcích získaných sledováním pohyb
nebeských t les na obloze, pozd ji byl její
teoretický základ postaven na znalostech skute ných pohyb Zem a M síce. Hlavním úkolem chronologie bylo propojit délky dne, m síce a roku v jeden jednotný a jednoduše konstruovaný celek, kterému se íká kalendá . Dalšími úkoly chronologie bylo rozpracování r zných metod m ení asu, zavád ní jednotek pro m ení apod.
3.7.1 Kalendá Nejvýrazn jší asovou jednotkou byl odpradávna den. V pásu ekliptiky vymezili Egyp ané 36 souhv zdí, tzv. dekan . Tato souhv zdí, jak se ráno p ed východem slunce objevovala nad obzorem, vymezovala rok. Každých 10 dn bylo ve znamení n jaké hv zdy nebo souhv zdí. Každý dekanus kulminoval 10 dn . V tší po ty dn
se stávaly základem delších, r znými zp soby
vytvá ených asových odobí.
- 29 -
St ídání fází M síce, které je rovn ž výrazným a velmi snadno pozorovatelným jevem, se stalo základem nejstarších kalendá , tzv. m sí ních nebo lunárních. Protože se fáze m síce opakují p ibližn v intervalu 29,5 dne, byla v nejstarších kalendá ích délka m síce st ídav 29 a 30 dn . Periodicita p írodních d j
je zp sobena ob žným pohybem Zem
okolo Slunce. B hem jednoho ob hu se na Zemi vyst ídají ty i ro ní období a prob hne celý cyklus p írodních d j . Tato doba se nazývá rok. P ibližná délka roku je 365,25 dne. Sta í Egyp ané užívali nejprve lunární kalendá . Pozd ji jako první národ v bec zavedli solární kalendá , ve kterém m l rok 365 dn . Skládal se z 12 m síc po 30 dnech a dodate ných 5 sváte ních dn . Každý m síc m l 3 velké týdny po 10 dnech. Vytvo ený kalendá dával rytmus hospodá skému životu, zem d lským pracím, náboženským slavnostem, svátk m atd. Náboženská funkce kalendá e vedla k tomu, že se jím zabývali p evážn kn ží. Podle n kterých historik byla délka egyptského roku stanovena podle pom rn pravideln se opakujících záplav; jejich p íchod, následné rozvodn ní Nilu, jeho pozd jší návrat do koryta, setba, doba vegetace a sklize , to vše tvo ilo dlouhý p irozený cyklus, kterému bylo nutno se p izp sobit a který bylo dobré znát. Dlouhodobé zaznamenávání interval mezi po átky záplav mohlo vést ke stanovení délky roku na 365 dn , odchylka od skute né délky roku nebyla po adu let pozorována, nebo záplavy nep icházely zcela pravideln . Poznamenejme ješt , že Egyp ané ne íslovali roky tak jako my. D ležité události byly ozna ovány rokem, m sícem a dnem vlády jednotlivých panovník . V dob Staré íše byly vztahovány ke s ítání dobytka, které bylo provád no každým druhým rokem. Proto je obtížné události v Egypt p esn datovat.
- 30 -
3.8. íselná mystika Ve starém Egypt se postupn rozvinula íselná mystika, patrn byla ovlivn na sledováním pohyb nebeských t les a m ením asu.
- 31 -
4. Egyptské zlomky (Kmenné zlomky) Není známo, jak p esn vznikaly zlomky, nebo stejn jako o vzniku p irozených
ísel nemáme ani o vzniku zlomk
P edpokládá se, že tvo ení pojmu zlomk
žádné p ímé sv dectví.
bylo podmín no rostoucími
hospodá skými pot ebami. Nap íklad v Egypt to bylo nejspíše kv li m ení a d lení plochy pole na ásti. Zlomek se proto vyjad oval jako ást jednotky. Nejstaršími zlomky, které se v Egypt objevily, byly patrn jedna polovina a tvrtina. Jejich vznik byl z ejm , jak již bylo uvedeno, inspirován
jedna
procesem p lení. Pot eby kalendá ních výpo t
si vynutily další rozvoj
po ítání se zlomky. Data dn v m síci se odm ovala ástmi (zlomky délky) celého m síce a tento p sob se pak p enesl na jiné p ípady. První den m síce byla
1 1 2 m síce, t etí a dvacátý . V dob Staré íše byly užívány i jiné 30 10 3
zlomky, pro které existovaly zvláštní symboly. V dob St ední íše za aly být v Egypt užívány pouze kmenné zlomky, tj. zlomky ve tvaru se ješt
p idával zlomek
1 ,n n
, ke nimž
x 2 pomocí sou tu . (Dnes vyjád ení zlomku 3 y
r zných kmenných zlomk nazýváme vyjád ením pomocí egyptských zlomk .) Toto též velmi zjednodušilo symboliku, a to jak v hieroglyfickém, tak i v hieratickém zápisu. Zlomek o itateli jedna se psal v hieroglyfickém písmu tak, že se nad symbol vyjad ující jmenovatel napsal hieroglyfický znak ra: To znamená, že
1 vypadala takto: 3
nadepisovala árka nebo te ka.
- 32 -
V hieratickém písmu se
Speciální symboly byly používány pro
1 2
a pro
2 3
. Pokud byl
jmenovatel velmi dlouhý, symbol ra se psal jen nad jeho ást
1 331
4.1. Rhind v papyrus a egyptské zlomky Kladná racionální
ísla vyjad ovali Egyp ané pouze jako sou et
p irozeného ísla, navzájem r zných kmenných zlomk a p ípadn zlomku dv t etiny. Pro tento zp sob bylo však nutno vyjád it zlomky
2 jako sou et n
kmenných zlomk . Bylo-li n sudé, zlomek se jednoduše zkrátil. Pro lichá n byly zhotoveny zvláštní tabulky. Jedna je zaznamenána na Káhúnském papyru. Zde jsou v deseti ádcích uvedena ísla týkající se zlomk V Rhindov papyru je rozkladu zlomk
2 pro lichá n n
3, ..., 21 .
2 na kmenné zlomky v nována ješt n
v tší pozornost. Nalezneme lze rozklad pro lichá n
3, ..., 101 . Rozklady jsou
se azeny do tabulky a na papyru je popsán i její vznik. Tabulka vypadá takto:
- 33 -
5
3 15
39 26 78
73
60 219 292 365
7
4 28
41 24 246 328
75
50 150
9
6 18
43 42 86 129 301
77
44 308
11 6 66
45 30 60
79
60 237 316 790
13 8 52 104
47 30 141 470
81
54 162
15 10 30
49 28 196
83
60 332 415 498
17 12 51 68
51 34 102
85
51 255
19 12 76 114
53 30 318 795
87
58 174
21 14 42
55 30 330
89
60 356 534 890
23 12 276
57 38 114
91
70 130
25 15 75
59 36 236 531
93
62 186
27 18 54
61 40 244 488 610 95
60 380 570
29 24 58 174 232 63 42 126
97
56 679 776
31 20 124 155
65 39 195
99
66 198
33 22 66
67 40 355 536
101 101 202 303 606
35 30 42
69 46 138
37 24 111 296
71 40 568 710 Tab. 1
Tu nými ísly jsou zde vyzna eny jmenovatele u zlomku
2 a ve vedlejší n
bu ce tabulky jsou vypsány jmenovatelé s ítaných zlomk , které mají v itateli jedni ku. První záznam tabulky lze tedy p epsat do tvaru: Zám rn není uveden rozklad zlomku
2 3
2 5
1 1 . 3 15
2 , který, jak již bylo zmín no, 3
Egyp ané užívali a m li pro n j i samostatný symbol, nebo by se nehodil do námi formulovaného zápisu tabulky rozklad .
- 34 -
4.1.1 Použití tabulky rozklad Zde si ukážeme, jak je možné pomocí tabulky rozklad rozložit zlomek
x , jehož y
itatel je v tší než 2 a jehož jmenovatele lze nalézt v tabulce
rozklad , na sou et kmenných zlomk . 5 . 21
Vezm me si zlomek
Postup: 1)
5 21
2)
1 2 2 21 21 21
3)
1 21
4)
1 2 21 14
5)
1 1 21 7
1 21
1 7
2 21
6)
1 7
1 1 7 14
1 42
Tedy
1 2 2 21 21 21
1 14
2 21 5 21
1 21
1 42 2 42
1 1 7 14
1 14
1 42
1 14
1 42
1 1 21 7
1 21
1 14
1 42
1 2 21 14
2 42
1 . 42
Tento rozklad, jak je vid t, je celkem pracný a zdlouhavý, ale nakonec vede ke kýženému cíli. Je nutno poznamenat, že ve všech dochovaných tabulkách nebo jejich zlomcích jsou stejné rozklady. Dá se z toho usoudit, že se pravd podobn používalo pouze t chto rozklad , které byly p ijaty jako ur itá rozumná a všeobecn uznávaná konvence. Je to ur it i z d vodu, že pokud by jednotliví písa i požívali r zné rozklady, bylo by obtížné výsledky porovnávat.
- 35 -
5 5 se dá rozložit i jinak, než 21 21
Jak bylo e eno výše, zlomek
Další možné rozklady jsou nap .
5 21
1 1 1 5 + + anebo 5 27 945 21
2 1 21 14
1 . 42
1 1 + . 6 14
2 rozložit r znými zp soby. Uvažujme n
Stejn tak se dají ale zlomky tvaru op t rozklad
1 1 7 14
1 . 42
Tento zlomek lze ješt rozložit následujícím zp sobem: 2 1 1 , 21 11 231 2 1 21 12
1 , 84
2 1 21 15
1 35
Pro Egyp ané požívali jeden zp sob rozkladu a jak sestavovali tabulky není stále s kone nou platností roz ešeno a jsou o tom r zné dohady. V další ásti kapitoly porovnáme r zné náhledy, jak byla tabulka
2 sestavena a jaké n
zákonitosti lze v tabulce nalézt.
4.1.2 Vytvo ení tabulky rozklad M žeme si položit otázku, jak asi tabulka vznikla. Dá se usuzovat, že tabulka nevznikla naráz, ale postupn se p icházelo na jednotlivé rozklady. V dnešní dob stále není jasné, zda Egyp ané používali na rozklad jeden ur itý postup, i zda m li r zné postupy pro r zná ísla. Uvažujme ísla d litelná t emi, p ti, sedmi, jedenácti atd. Lze íci, že v tšina zp sob rozkladu ukazuje na jedno ur ité místo v papyru, a to na p íklad R61.
- 36 -
Tento p íklad zní: ekne-li se ti, co jsou toto jsou
2 1 z , po ítej s tím 2-krát a 6-krát, 3 5
2 z toho. Hle, a se po ítá podobn pro každý lichý zlomek, který se 3
vyskytne. Pokud tento zobecn ný návod zapíšeme v sou asné symbolice, bude vypadat takto:
2 1 3 k
2 3k
1 2k
1 6k
Když se podíváme dále do tabulky, vidíme, že Egyp ané rozkládali všechny zlomky, jejichž jmenovatel byl d litelný t emi, tímto zp sobem a zacházeli s nimi jako s jedním druhem. Rozklad zlomk
s jmenovatelem
d litelným t emi je tedy možné provést také podle vzorce
2 n
1 n 2 3
1 . 2n
Dalším rozkládaným zlomkem v tabulce jsou rozložen na
2 . Tento zlomek je 5
1 1 . Všechny zlomky se jmenovatelem, jenž je d litelný 5, jsou 3 15
rozkládány pomocí jednoduchého násobku tohoto výrazu, a to
2 5k
1 3k
1 . 15k
Neboli jsou rozloženy podle vzorce
2 n Podobn
1 n 3 5
1 . 3n
p i adili k tabulkové hodnot
2 7
rozklad
1 4
1 . Poté 28
vyhledali v tabulce všechny zlomky jejichž, jmenovatel je d litelný sedmi. Ty poté rozkládali podle výrazu
2 7k
1 4k
2 n
1 n 4 7
1 , ten lze upravit na vzorec 28k
1 . 4n
- 37 -
Nakonec p i adili
1 6
1 2 ke zlomku . Všechny další zlomky, jejichž 66 11
jmenovatel je násobkem jedenácti, rozkládali do tvaru
2 11k
1 6k
1 . Lze jej 66k
zapsat
2 n Tento vztah platí pro k
1 n 6 11
1 . 6n
5 , pro násobky 3 a 7 již byly použity p edchozí
rozklady. S touto procedurou skon ili u prvo ísla jedenáct, což odpovídá tomu, že v tabulce se vyskytují pouze jmenovatelé do ísla 101. Je obdivuhodné, že Egyp ané již v roce 1850 p . Kr. m li jakousi p edstavu o vztahu mezi prvo ísly a ísly z nich složených. Domníváme se, že Egyp ané v dom t ídili násobky malých prvo ísel až do ísla 11 do skupin a ostatním prvo ísl m poté p i azovali unikátní rozklady.
Jak již bylo e eno, rozklad zlomku
2 , kde je n jedno z prvo ísel 3, 5, n
7, 11 nebo jejich násobky, provád li Egyp ané podle pravidel, která se dají shrnout do jednoho jednoduchého vzorce: 2 n
1 n 1 2
(Stejný vzorec je použit i pro zlomek
1 n n 1 2
2 , ale toto m že být náhoda.) 23
- 38 -
(1)
Poté, co Egyp ané „vy ešili“ tato malá prvo ísla (3, 5, 7, 11) a jejich násobky, záznamy v tabulce ukazují, že Egyp ané pro rozklad zbylých jmenovatel používali identitu 2 n
1 a
2a n . an
(2)
Zde je a voleno tak, aby spl ovalo podmínku a
n a zárove bylo a „p kné 2
kulaté íslo“. Abychom našli zbývající leny rozkladu, rozd líme hodnotu 2a n na jednu, dv nebo t i rozdílné celo íselné ásti, a to tak, že každá ást je d litelem a. (Proto je dobré volit a jako „p kné kulaté íslo“, aby m lo hodn d litel .) Ukažme si to na p íkladu. Vezm me zlomek Zvolíme a
60
60
2 . 89
89 ; poté nám rozdíl 2a n dává hodnotu 31. Nyní 2
pot ebujeme vyjád it íslo 31 jako sou et t í nebo mén rozdílných celých ísel, z nichž každé bude d litelem 60. Jedno z možných rozd lení je 31 15 10 6 . Po dosazení do vzorce (2) dostáváme: 2 89
1 60
31 5340
15 5340
10 5340
Toto lze zapsat jako: 2 89
1 60
6 5340
Po zkrácení dostáváme rozklad, jenž lze nalézt v tabulce: 2 89
1 60
1 356
1 534
2 také tak, že vyjád íme pro každé n
Lze tedy shrnout tabulku rozklad zlomk prvo íslo n ísla a, b, c a d
, když
2 n
1 890
1 a
- 39 -
1 b
1 c
1 d
.
Celkem dostaneme:
n
2a - n
a
B
3
1
2
6
násobky 3
5
1
3
15
25, 65, 85
7
1
4
28
49, 77
11
1
6
66
55
23
1
12
276
13
3
8
52
104
17
7
12
51
68
19
5
12
76
114
31
9
20
124 155
37
11
24
111 296
41
7
24
246 328
47
13
30
141 470
53
7
30
318 795
59
13
36
236 531
67
13
40
335 536
71
9
40
568 710
97
15
56
679 776
29
19
24
58
174 232
43
41
42
86
129 301
61
19
40
244 488 610
73
47
60
219 292 365
79
41
60
237 316 790
83
37
60
332 415 498
- 40 -
c
D
zahrnuje
89
31
60
356 534 890
35
25
30
42
91
49
70
130
95
25
60
380 570
101
1111
101 202 303 606
Výjimky
Tab. 2 Tato tabulka (Tab. 2) navozuje dv otázky. Za prvé, pokud budeme p epokládat, že Egyp ané používali vzorec (2), aby ur ili rozklady zlomk
2 , n
kde n je „velké“ prvo íslo, jak volili hodnotu a a zp sob rozd lení hodnoty 2a n ze všech r zných možností? Toto bylo zkoumáno a pomocí po íta e se p išlo na ur ité zajímavé zákonitosti. Omezíme se na rozklady zlomk , p i nichž vycházejí t i nebo ty i leny. Dále budeme uvažovat ur ité íslo x. íslo x je nejmenší íslo, které dostaneme, když rozd líme hodnotu 2a n na sou et d litel a. Omezme se na p ípady, kdy je x 1 . Pokud splníme p edchozí podmínky, zjistíme, že rozklad, jenž se vyskytuje v Rhindov papyru je rozklad pro který
a vychází jako nejmenší. Jako p íklad si vezm me n x
- 41 -
43 .
Uve me možná ešení:
rozd lení n
a
2a-n x
2a - n y
z
a/x
43 24 5
2
3
12
43 28 13
2
4
43 30 17
2
15
43 30 17
2
5
10 15
43 36 29
2
9
18 18
43 42 41
6
14
21 7
7
14 15
Tab. 3 Rozklad, jenž se objevuje v tabulce rozklad (Tabulka 1), je roven
a x
7.
a pro „velká“ prvo ísla 13, 17, 19, x 29, 31, 37, 41, 43, 59, 67, 73, 79, 83, 97. Opominuli prvo ísla 47, 53, 61, 71 a a 89. V t chto „opominutých“ p ípadech se ovšem nejmenší hodnoty lišily o x 2, 6, 1, 3 a 1.
Egyp ané užívali rozklady s nejmenším
4.1.3 Výjimky Druhou otázkou již si m žeme položit, je, jak vysv tlíme výjimky uvedené v tabulce rozklad . První t i výjime né zlomky jsou zlomky se jmenovateli 35, 91 a 95. Ty z n jakého d vodu nebyly rozloženy jako ostatní ísla, i p es to, že nejsou prvo ísly. Z našeho pohledu nap . zlomek
2 95
2 2 , by m l být rozložen podle formule 5 19 5k
V tabulce je ovšem rozložen podle výrazu
- 42 -
1 12k
1 76k
1 3k
1 , kde k 19 . 15k
1 , kde k = 5. 114k
Zlomky
2 35
a
2 jsou ješt 91
„zvláštn jší“. Jsou to v podstat
nejzajímav jší rozklady v celé tabulce. Jsou to jediné zlomky, jejichž jmenovatele jsou ísla „složená“ (tzn. 35 5 7 a 91 7 13 ). Jejich rozklady v tabulce nejsou pouhými násobky jednoho z prvo ísel. Dá se íct, že pro tato dv
ísla se Egyp ané uchýlili od jejich tradi ního rozkladu pomocí násobení,
k rozkladu takzvan „harmonicko-aritmetickému“. Je známo, že sta í ekové znali definice r zných typ pr m r . p q 2
1) Aritmetický pr m r: A p, q 2) Geometrický pr m r: G p, q
p q 2
3) Harmonický pr m r: H p, q
1 p
1 q
Historici se domnívají, že ekové zd dili tyto v domosti po Babylo anech, ale je jist možné, že byly známy i starým Egyp an m. Konkrétn , podíváme-li se na harmonický pr m r, rozhodn alespo „vypadá“ egyptsky. Povšimn me si, že G p, q není geometrickým pr m rem pouze p a q, ale i geometrickým pr m rem A p, q
G p, q pq
pq
a H p, q . Jinými slovy, pro jakékoliv p a q platí:
A p, q H p, q .
Toto
je
vid t
jednoduše,
nebo
AH . Tedy AH , udává jiný zp sob rozd lení ísla, jenž vzniklo jako
p q . Dostáváme se k výrazu: 2 pq
2 A p, q H p, q 2
2
1 p q p
1 p q p
1 q
- 43 -
1 q (3)
Je z ejmé, že zlomek
2
bude kmenným zlomkem, nebo
p q
p q je vždy
sudé íslo.
Výraz (3) nám poté skýtá rozklady
2 5 7
1 1 6 5
1 7
1 30
1 42
a
2 7 13
1 1 1 10 7 13
1 1 , 70 130
které m žeme najít v Rhindov papyru. Nyní
nám
2 1 1 101 101 202
zbývá 1 303
prozkoumat
poslední
rozklad
který,
je
1 . Tento rozklad m že být proveden pomocí 606
výrazu (2), pokud zvolíme a
606 a rozd lení 1111 202 303 606 . Ovšem
rozklad je zvláštní tím, že jeho leny jsou pouze násobky
1 . Zápis v tabulce n
možná m že být pouhou formalitou, jež nám nazna uje, že pro každé n neobsažené v tabulce (tedy v tší než 100) m žeme použit ty lenný rozklad 2 n
1 n
1 2n
1 3n
který nám tímto uzavírá celou tabulku.
- 44 -
1 , 6n
4.2. Shrnutí Tabulka rozklad , která pochází z doby asi 1850 let p . Kr., vypovídá, že Egyp ané nejspíše m li pov domí o prvo íslech a íslech z nich složených, dále také také mohli znát aritmetický, harmonický a geometrický pr m r. Toto vše nazna uje celkem vysokou sofistikovanost v teorii
ísel, než bývá
Egyp an m b žn p isuzována. Ovšem je otázka, zda si Egyp ané zmín né znalosti „nevyp j ili“ od n koho jiného, nap . od Babylo an . Nem li bychom ovšem p ehlédnout možnost, že by to mohlo být i naopak.
- 45 -
5. Sou asné metody vyjád ení racionálního
ísla pomocí
Egyptských zlomk Egyp ané vyjad ovali racionální ísla jako sou et p evrácených hodnot r zných celých
ísel. To jsme již uvedli v p edcházejících kapitolách.
Problémem, jak vyjád it racionální íslo pomocí egyptských zlomk , se však zabývají matematici dodneška. V sou asnosti tento problém spadá do oblasti teorie ísel a je p i jeho ešení hojn využívána výpo etní technika. V této kapitole popíšeme n kolik „moderních“ metod, jak je možné rozklad na egyptské zlomky provést. N které metody provedeme do hloubky, jiné pouze popíšeme, protože jejich dokazování je nad možnosti této práce (a už délkou, nebo obtížností).
Problémem tedy je, jak vyjád it dané racionální íslo ísel. To znamená
p q
1 n1
. Omezme se ješt tím, že
p q
1.
p evrácených hodnot r zných celých 0 n1
n2
nk , n1 ,
, nk
p pomocí sou tu q 1 ; nk
5.1 Algoritmy 5.1.1 Št pící algoritmus Toto je pravd podobn „nejhorší“ metoda pro rozklad na egyptské zlomky. Je založena na opakovaném použití výrazu
- 46 -
1 q
1
1 . q 1 q q 1
Algoritmus: 1) Uvažujme racionální íslo
p . q
p 1 jako sou et p zlomk ve tvaru . q q
2) Rozepíšeme
3) Pokud dostaneme totožné zlomky rozepíšeme podle výrazu
1 q
1 , jeden z nich zachováme a zbylé q
1
1 . q 1 q q 1
4) Opakujeme krok 3, dokud nedostaneme rozklad bez totožných kmenných zlomk .
P íklad 1. 3 7
1 7
1 7
1 7
3 7
1 7
3 7
1 7
1 1 8 8
3 7
1 7
1 8
3 7
1 7
1 8
1 1 8 56 1 56
1 9 1 9
1 1 8 56
1 72 1 56
1 56
1 56 1 57
1 57 1 72
1 3192
1 3192
D kaz tohoto algoritmu existuje (viz. [Cam]). Je ovšem obtížné dokázat, zda n kdy skon í. D kaz je ovšem nad náš rámec možností. Algoritmus ovšem v tšinou dává výsledky s nejv tším po tem zlomk s velkými ísly ve jmenovatelích.
- 47 -
a
5.1.2 Fibonacci / Sylvester v algoritmus Mnohem intuitivn jší a „použiteln jší“ je Fibonacci/Sylvester v
algoritmus. Ten byl poprvé objeven Leopardem Pisánským (Fibonacci), který ho také hojn užíval, nebo up ednost oval práci s kmennými zlomky. Pozd ji se jím zabýval i J. J. Silvestr, jenž dokázal pravdivost algoritmu v roce 1880. Algoritmus je ob as také nazýván chamtivý (Greedy) algoritmus, protože jednoduše bere nejv tší kmenný zlomek z rozkládaného zlomku nebo jeho zbytku. Hledáme co nejlepší aproximaci zlomku menším než
p kmenným zlomkem q
p a stejný postup poté aplikujeme na jeho zbytek. q
Algoritmus: 1) Uvažujme racionální íslo
p . Ozna me p q
p 'a q
q '.
2) Pokud p ' 1 , potom je zlomek kmenný a nerozkládáme. Jinak rozepíšeme íslo q ve zbytkovém tvaru a dostáváme q ' 3) Uv domme si, že z rozkladu:
1
s 1
1 s 1
p'.
p' r . Poté tedy vyjde první zlomek q' s 1
.
4) Zbude další zlomek 5) Zlomek
p' q'
sp ' r , r
p' , kde p ' q'
p' r a q'
q' s 1 .
p' se poté zkrátí na základní tvar a pokra uje se krokem 2). q'
- 48 -
P íklad 2. Zlomek
3 7
1) p 1 , a proto píšeme 7
2) dostáváme tvar
3 7
1 3
2 3 1 , tedy r 1 a s
2
2 21
3) dále po ítáme se zlomkem
2 1 , protože již je kmenný zlomek 21 3
4) íslo 21 rozepíšeme 21 10 2 1 , r 1 a s 10 5) dostáváme
2 1 1 21 11 231
6) vznikl nám tedy rozklad
3 7
1 1 1 3 11 231
Otázkou je zda Fibonacci / Sylvester v algoritmus vždy skon í. Algoritmus nám
íká, že
p' q'
1 s 1
p' r . Intuitivn q' s 1
algoritmus vyprodukuje nejvíce p len rozkladu, nebo
lze
íci, že
itatelé se nám stále
zmenšují. Obecn : Protože
p' je v základním tvaru, víme, že r q'
V kroku 4) máme p '
0.
p ' r , takže nové p ' je menší nebo rovno
p edchozímu p ' 1 . V kroku 2) již nepokra ujeme, pokud p ' 1 , tudíž m žeme mít nejvíce p len rozkladu. Nejvíce len tedy dostáváme, když r se vždy rovná jedné a výsledný zlomek je v základním tvaru. Poté má rozklad p esn p len . Toto se ovšem stává málokdy.
- 49 -
Jiný problém u Fibonacci/Sylvesterova algoritmu jsou hodnoty jmenovatel , jež v rozkladu vycházejí. Ty mohou být zna n
5 pomocí Fibonacci/Sylvesterova algoritmu vychází: 121
zlomku
5 121
1 25
1 757
1 763309
1 1 873960180912 1527612795642063418846225
Srovnejme to s optimálním výsledkem tomto problému v d l, nebo 4 49
velké. Nap íklad rozklad
1 14
5 121
sám uvádí
1 1 1 . Fibonacci o 33 121 363
4 49
1 1 13 319
1 , ale 319 637
1 . Navrhuje proto, pokud nevyjde napoprvé „elegantní“ ešení, že 98
bychom m li vyzkoušet menší první zlomek v rozkladu. Ne íká ovšem, co považuje za elegantní ešení, a proto se poté z algoritmu stává spíše metoda ešení pokus-omyl.
5.1.3 Golomb v algoritmus S. W. Golomb popsal jednoduchý algoritmus, který m že být použit pro rozložení racionálního ísla
p na sumu p nebo mén kmenných zlomk . q
- 50 -
Algoritmus:
p . Ozna me p q
1) Uvažujme racionální íslo
p 'a q
q '.
2) Pokud p ' 1 , potom je zlomek kmenný a nerozkládáme. 3) Zvolme p '' tak, že p ' p '' 4) Dostáváme rozklad
q ' r 1, 0
p' q'
1 p '' q '
p ''
q', r
r . Zlomek p ''
.
1 je první zlomek p '' q '
rozkladu. 5) Ozna íme q '
p '' a p '
r a pokra ujeme krokem 2).
P íklad 3. Rozložme 1) p '
3 podle Golombova algoritmu. 7
3, q'
7, p' 1
2) máme najít p '' a r tak, aby 3 p ''
7r 1 a zárove 0
evidentn jsou to ísla p ''
2
1 35
2 5
2 , r 1 a p '' 5
3
3) dostáváme rozklad 4) rozkládáme
3 7
5 ar
5) rozklad tedy pokra uje
2 5
6) výsledný rozklad tedy je
p ''
q', r
, zcela
1 1 15 3 3 7
1 1 3 15
1 35
Golomb v algoritmus je lepší než Fibonacci/Sylvester v algoritmus, pokud budeme porovnávat jmenovatele, jež v rozkladech vycházejí. Jak jsme vid li, u Fibonacci/Sylvesterova algoritmu vycházejí jmenovatelé u n kterých
ísel
velmi velcí a není žádné omezení jejich velikosti. U Golombova algoritmu
- 51 -
jedno omezení velikosti jmenovatel existuje. Jmenovatelé budou vycházet nejvýše v hodnot
q q 1 . Toto se dá dokázat, podíváme-li se zp t na
algoritmus. V kroku 3) vidíme, že p ''
q ' , a tedy p ''
q' 1.
Jmenovatel v kroku 4) je roven p '' q ' , tudíž jmenovatel Povšimn me si, že v kroku 5) je nový jmenovatel q '
q' 1 q'.
p '' menší než p vodní
jmenovatel q ' . Z toho vidíme, že q ' se stále zmenšuje, a proto jmenovatel nem že být v tší než q q 1 .
5.1.4 Binární algoritmus Uv domme si, že pokud máme zadáno n jaké jakékoliv íslo m
íslo N
2n , lze
N zapsat jako sou et r zných d litel (d) N. Jednoduše
zapíšeme íslo v binární soustav . Ve skute nosti m m že být zapsáno jako sou et n nebo mén
d litel , nebo
( 20 , 21 , 22 ,... , 2n 1 ). Nap íklad
5 16
1 4 16
- 52 -
íslo 1 16
1 . 4
2n
má p esn
n d litel
Algoritmus: 1) Uvažujme racionální íslo 2) Najd me N k
1
3) Pokud q
N k , rozepíšeme p jako sou et k nebo mén
j
p
di .
q
p 1. q
Nk .
Dostaneme
tedy
vyjád ení
i 1
p q
j i 1
di Nk
d litel j i 1
1 . Nk di
Nk :
Jinak
pokra ujme ke kroku 4. 4) Pro n která celá ísla s a r, kde 0 r platí:
pN k qN k
p q
5) Zapíšeme s
qs r qN k
s Nk
Nk ,
r qN k
di , kde di jsou r zní d litelé N k . Zapišme r
di, jsou r zní d litelé N k .
6) Dostáváme rozklad
1 Nk di
1 . qN k di,
P íklad 4. Jako p íklad si vezm me zlomek
5 . 21
1) 16 21 32 2)
5 21
5 32 21 32
3)
5 21
7 21 13 21 32
4)
5 21
7 32
13 21 32
- 53 -
d i, , kde
5)
5 1 2 4 1 4 8 21 32 21 32
6)
5 21
1 1 8 16
1 32
1 1 84 168
1 672
Binární algoritmus dává rozklad, kde je maximální hodnota jmenovatele D n
n 2 . Maximální po et len rozkladu je L n
O log n .
Nejd íve si ukažme, že algoritmus opravdu funguje. V kroku 2) vidíme, že N k , a tedy pN k
qN k . Dále víme, že qs r
pN k
qN k , a tudíž
p
q
s
N k . Díky tomu m žeme vždy najít vyjád ení pro s a r. Výslední
jmenovatelé ve vyjád ení jsou r zní, nebo q d lí druhou skupinu jmenovatel (odpovídající r). Q nem že d lit jmenovatele p íslušné k s, pokud q není mocnina 2. Ovšem pokud by q bylo mocnina dvou, nedostali bychom se nikdy za krok 2). Tudíž m žeme íci, že algoritmus funguje. V p ípad , že q bude mít rozklad z ejm nejvíce len . V p ípad , že q nejvíce 2k len . Protože k
2log q
len . Tedy
jmenovatelem práv
L n
Nk ,
N k , bude mít rozklad
log 2 N k , dá se íci, že rozklad bude mít nejvíce O log n . V p ípad
q. V p ípad
q
q
Nk
je nejv tším
N k m že mít nejv tší jmenovatel
hodnotu q N k , to znamená q q 1 . Z toho plyne D n
n 2 . (Gong [12])
5.1.5 Bleicher/Erdös v algoritmus ísla ve tvaru 2n jsou
ísla s nejmenším po tem d litel . Toto
zp sobuje, že minimální hranice po tu len v rozkladu je log q . Je z ejmé, že pokud bychom m li íslo s více d liteli, mohli bychom zapsat itatel jako sou et mén d litel , ímž by se zmenšil po et len v rozkladu. Abychom zvýšili po et d litel , m žeme se vyhnout vícenásobným len m v rozkladu, to znamená vyjád it
itatel jako sou et navzájem r zných kladných d litel
- 54 -
ísla q !. Bleicher a Erdös používají tento postup ve svém algoritmu z roku 1976, zde si definují íslo N k
2,3,
k (sou in po sob jdoucích prvo ísel
,k)
Algoritmus:
p 1 . Najd me íslo k tak, že N k -1 q
1) Uvažujme racionální íslo
p q
2) Pokud q N k , potom
3) Pokud ne, je kde N k 1 len
p q
1 k
sq r
pN k qN k
r
b a píšeme b Nk
qN k
Nk 2
s Nk
q
Nk .
di , kde všechna di
Nk .
r , qN k
1 . k
s b jej totožný se lenem . Nk Nk
4) Nalezneme rozklad pro r a vynásobíme jmenovatele q.
P íklad 5. 1)
5 tedy k 121
2)
5 121
4 a Nk
2 3 5 7
2 3 5 7 5 2 3 5 7 121
3) N k 1
1 k
315 157,5 2
Nk 2
1 k
735 2
367,5
- 55 -
4) Uv domme si, že Tedy s
5)
pN k q
sq r
7 a
5 2 3 5 7 121
8,7.
7 121 203 .
5 121
7 2 3 5 7
5 121
1 30
5 121
1 30
5 121
1 1 30 1210
5 121
1 30
203 2 3 5 7 121
29 2 3 5 7 121 3 5 6 15 2 3 5 121
1 242
1 726 1 605
1 605
1 242
1 1 726 1210
Pro Bleicher/Erdös v algoritmus platí, že maximální hodnota jmenovatele D N
O N log N
3
. (Gong [15])
5.1.6 Tenebaum/Yokot v algoritmus Tenebaum/Yokot v algoritmus je velmi podobný Bleicher/Erdösovu algoritmu. Stejn definuje N k a je identický pro ást
s . Rozklad má tedy Nk
stejný po et len jako u Bleicher/Erdösova algoritmu. Nicmén
ást algoritmu
r a to, jak s ní algoritmus nakládá, zajistí rozklad s menšími hodnotami ve NN k jmenovateli. Definujme tedy N k
k.
- 56 -
Algoritmus: 1) Uvažujme racionální íslo 2) Pokud N N k , potom
a N
a N
1 . Najdeme k takové, že N k
b a m žeme napsat b Nk
1
Nk .
N
di , kde všechna
di N k .
3)
Jestliže
Nk
neplatí N
2Nk , 0
r
s
Nk ,
potom
a N
sN r
aN k NN k
NN k
s Nk
r , NN k
Nk .
s b je totožný se lenem . Nk Nk
len
4) Rozklad pro len
r r nalezneme jako Nk Nk
r* n
sj
, kde sn
j 1
rozklad tohoto zlomku a vynásobíme jmenovatele N.
P íklad 6. 1)
16 : k 17
2)
16 17
16 30 17 30
3)
16 17
26 17
3 a Nk
2 3 5 30
38
17 30
- 57 -
pk . Najdeme
4)
16 17
26 38 30 17 30
5)
26 30
15 10 1 30
6) s4
5
38 30
152 2 3 4 5
8)
38 30
120 30 2 120
9)
38 30
1 1 1 4
16 17
1 1 3 30
pk
7)
10)
1 2
1 2
1 60 1 3
1 1 30 17
1 1 68 1020
Tento algoritmus zajiš uje, že maximální hodnota jmenovatele bude
D N
4 N log N
2
log 2 N .
Maximální po et zlomk v rozkladu bude
P N
1
log N 2
log N
.
Toto bylo dokázáno Yokotou a v této práci d kaz kv li velké pracnosti obsažen není.
- 58 -
5.1.7 Faktoriálový algoritmus Popíšeme ješt jeden algoritmus, u n jž se p edpokládá zpracování na po íta i. Tento algoritmus v rozkladu dává zlomky s velmi malými jmenovateli. Na druhou stranu je algoritmus velmi náro ný na výpo etní prost edky, a proto není optimální.
Algoritmus: 1)Je dáno racionální íslo
p 1 v základním tvaru. q
2) Položme n = 1. 3) Položme M
n !.
4) Vynásobme p a q íslem M. 5) Vypišme všechny d litele qM . 6) Vypišme všechny soubory r zných d litel qM , jejichž sou et je pM . 7) Pokud nenalezneme žádný takový soubor, zvýšíme n o 1 a vracíme se na krok 3). 8) Mezi t mito soubory vyberme ten, který obsahuje nejv tší spole ný d litel. 9) Použijme vybrané d litele jako itatele zlomk se jmenovatelem qM . 10) Zkra me zlomky na základní tvar, abychom dostali rozklad. 11) Pokud n
q q 1 , pokra ujme krokem 12), jinak zvýšíme n o 1 a
vracíme se na krok 3). 12) Mezi rozklady z kroku 10) vyberme ten s nejmenším jmenovatelem. Erdös dokázal, že tento algoritmus nám dává rozklad s nejvíce 2n 2 leny, kde n 1 ! b
n !.
- 59 -
5.2 Porovnání algoritm Porovnejme algoritmy podle následujících t í kritérií:
1) Po et zlomk v rozkladu (délka rozkladu). 2) Maximální hodnoty jmenovatel . 3) Po et znak , jimiž lze rozklad zapsat. (
1 2
1 m že být zapsáno t emi znaky, protože víme, že itatelé jsou 1.) Toto je 3
v podstat kombinací obou p edchozích kritérií. Pomocí po íta e byly porovnány algoritmy: Fibonacci/Sylvester v, Golomb v,
Bleicher/Erdös v
a
Tenebaum/Yokot v.
Algoritmy
byly
porovnány pro všechna t i kritéria s prvo íselnými jmenovateli od 2 do 2002 a se všemi odpovídajícími
itateli (aby nezahrnovaly nekone né periodické
desetinné zlomky). Pro první kritérium m l absolutn
nejhorší výsledky Golomb v
algoritmus. Nejlepším algoritmem byl Fibonacci/Sylvester v algoritmus, který m l v rozkladu pr m rn o 35 % zlomk mén než zbývající dva algoritmy a byl stejn
dobrý nebo lepší v 95 % p ípad . Je tedy možné, že
Fibonacci/Sylvester v algoritmus dává nejlepší rozklady vzhledem k po etu zlomk ve jmenovateli, ale kv li jeho „nevypo itatelnosti“ toho o n m není mnoho dokázáno. Podle kritéria pro maximální hodnotu ve jmenovateli se nejh e, jak jsme p edpokládali, choval Fibonacci/Sylvester v algoritmus. Na druhé stran Golomb v algoritmus dával o n co lepší rozklady než zbývající dva. T etí kritérium porovnávající po et znak
vyznívá nejlépe pro
Bleicher/Erdös v a Tenebaum/Yokot v algoritmus. Dokonce podle výsledk se zdá, že Bleicher/Erdös v algoritmus je o n co lepší. Obecn se ovšem nedá íci, který z algoritm je nejlepší. Byl by to algoritmus jehož výsledkem by byl co nejkratší rozklad s co nejmenšími jmenovateli. Skute né výsledky však závisejí na konkrétní volb
- 60 -
ísel.
6. Využití egyptských zlomk ve vyu ování T žišt vyu ování tématu zlomek je u nás v 7. ro níku. P edstavy se ale bezesporu za ínají budovat již d íve – ve škole i mimo školu. Se slovy (ne se zápisy zlomk ) „polovina“, „ tvrtina“ se d ti setkávají již v p edškolním v ku a ve škole se pak v návaznosti na to tato slova vyskytují již od prvního ro níku. Je to z ejm proto, že se s nimi žáci soustavn setkávají v každodenním život . D lení na
ásti se vyskytuje v praxi každé domácnosti, v ešení
problém každého d tského kolektivu, v libovolné v decké disciplin , v ešení problém rodiny, státu, zem koule i vesmíru. Úlohy, se kterými se m žeme
asto setkat, jsou „Spravedlivé
rozd lování kolá “ (t i kolá e ty em d tem, dva kolá e t em d tem atd.).
Dále lze d lit tabulky okolády, pizzu, ale i kuli ky, pop ípad peníze. P i spravedlivém rozd lování jde o innost, kdy je t eba výchozí p edm t, objekt (celek) rozd lit na n stejných ástí nebo vy lenit, odd lit jednu „n-tinu“ výchozího objektu. Dále lze použít egyptské zlomky p i úlohách se zm nou ceny, nap . Jdu si koupit boty. Ty, které si chci koupit, prodávají pan Hájek i pan Malý. Mám jít k panu Hájkovi nebo k panu Malému? (pan Hájek sleva o
1 1 , pan Malý sleva o ). Zkušenost ukazuje, že po zadání této otázky 4 3 zpravidla následuje rychlý sled úvah a odpov dí: „Samoz ejm , že k panu Malému, ten p ece zlevnil víc. 4 je víc než 3.“ Tato úvaha je velmi astá. Žáci jsou negativn ovlivn ni d íve osvojenými poznatky o po ítání s p irozenými
ísly. Další možností je žák m rozdat
tvercové (kruhové, trojúhelníkové) papíry. Úkolem žák (p ekládat, st íhat) na: a) n (2, 4, 8, ...3, 5, …) stejných ástí, b) na poloviny, tvrtiny, ..., t etiny, p tiny, ...
- 61 -
je papíry d lit
Zd raz ujeme p itom r zné možnosti d lení (r zné tvary). Nebo žák m rozdáme r zn
velké tvercové papíry. Opakujeme d lení. Diskutujeme o
velikosti a tvaru „n-tin“ (polovin, tvrtin, ...), které dostali r zní žáci. Položíme otázku: Co znamená, že ásti jsou stejné (obsah, tvar)? Poslední možností, o níž se zmíníme, jsou zábavné úlohy a úlohy kvízového charakteru, nap íklad pracovat s "egyptskými trojúhelníky" nebo s "egyptskými
tverci". Ke stranám trojúhelníku ( tverce) jsou napsány
navzájem r zné kmenné zlomky. Zlomky napsané u dvou (sousedních) stran se teme. Výsledek napíšeme k vrcholu, ve kterém se tyto dv strany protínají. Pokud u všech vrchol
dostaneme kmenné zlomky, budeme mluvit
o "egyptském" trojúhelníku ( tverci). Se žáky m žeme
ešit nap íklad
následující úlohy: Zjist te, zda je daný trojúhelník ( tverec) "egyptský". Daný trojúhelník je "egyptský". Dopl te chyb jící zlomky.
Pro další nápady na využití egyptských zlomk ve výuce, lze odkázat na práci, kterou publikovala M. Kubínová : Projekty ve vyu ování matematice, cesta k tvo ivosti a samostatnosti.
- 62 -
7. Záv r Cílem diplomové práce bylo seznámit se s problematikou egyptských zlomk a prostudovat a porovnat n které metody jejich ešení. Práce p edkládá náhled na jednu z možností, jak sta í Egyp ané sestavili tabulku rozklad
2 , a jak tedy oni n
zlomk
ešili rozkládání
racionálních ísel na kmenné zlomky. Práce se také zmi uje o pramenech, z kterých erpáme naše sou asné znalosti o rozvoji matematiky ve starov kém Egypt . Dále uvádí p ehled ásti matematických znalostí a dovedností starých Egyp an . V neposlední ad je za azeno n kolik moderních algoritm pro rozklad racionálního ísla
p q
1 na egyptské zlomky. N které z nich jsou porovnány
dle zadaných kritérií. Na záv r práce je za azeno pár návrh na využití egyptských zlomk ve výuce. Práce ovšem nem že postihnout všechny otázky, jež m že moderní teorie ísel klást v souvislosti s tabulkou rozklad , která jist i nadále bude p edm tem mnohých výzkum .
- 63 -
Použitá literatura [Con1] O'Connor, J. J.
Robertson, E. F.: Egyptian numerals [online] c. 2000,
last update December 2000.
[cit. 2006-08-15] [Con2] O'Connor, J. J.
Robertson, E. F.: Mathematics in Egyptian Papyri
[online] c. 2000, last update December 2000. [cit. 2006-08-15] [Ep1] Eppstain, D.: Egyptian Fractions [online]. Last update: 13 Jan 2007. [cit. 2006-08-30] [Ep2] Eppstain, D.: Algorithms for Egyptian Fractions [online]. Last update: 09 Sep 1996. [cit. 2006-08-30] [Ep3] Eppstain, D.: Reverse Greedy Methods [online]. Last update: 09 Sep 1996. [cit. 2006-08-30]
- 64 -
[Mal] Malkevitch, J.: Fractions Plain and Fancy [online]. Last update: 27 Dec 1999. [cit. 2006-09-05] [Mat] Matematika starého Egypta [online]. Aktualizováno: 03. srpna 2005. [cit. 2006-05-25] [Cha] Chavey, D.: What is an Egyptian Fraction? [online]. Last update: 15 Nov 1996. [cit. 2006-08-29] [Rhi] The Rhind Papyrus 2/N Table [online]. [cit. 2006-06-19] [Knott]Knott, R.: An Introduction to Egyptian Mathematics [online]. Last update: 26 Oct 2006. [cit. 2006-06-22] [Wil] Williams, S. W.: THE RHIND 2/n TABLE [online]. Last update: 25 May2002. [cit. 2006-06-19] [Peg] Pegg, E.: Math Games [online]. Last update: 19 Jul 2004. [cit. 2006-06-25]
- 65 -
[Pro] Problem 35. More wrong turns... [online]. [cit 2006-07-11] [Yol] Yolkowski, J.: Egyptian Fractions [online]. Last update: 25 Jul 2004. [cit. 2006-07-08] [Gar] Gardner, M.: Rhind Papyrus [online]. Last update: 2 Nov 2004. [cit 2006-08-03] [Weis] Weisstein, E. W.: Egyptian Mathematical Leather Roll [online]. [cit. 2006-08-04] Obrázky [Why] Why Unit Fractions? [online]. [cit. 2006-10-10] [Egy] Egyptian fraction [online]. Last update: 12 March 2007. [cit. 2006-10-18] [Sla]
Slavík, M.: V rtel typografických pravidel a doporu ení pro psaní DP. [online]. TUL, Liberec 2001. [cit.2007-02-03]
- 66 -
[SlV] Slavík, M.
Vild. J.: Šablona pro psaní DP. [online].
TUL, Liberec 2002-2003. [cit. 2007-02-03]
[Bec] Be vá , J.
Be vá ová, M.: Matematika ve starov ku: Egypt a
Mezopotámie. Prométheus, Praha 2003.
[Kol] Kolman, A.: D jiny matematiky ve starov ku. Academia, Praha 1968.
[Sti]
Struik, D. J.: D jiny matematiky. Orbis, Praha 1963.
[Kre] Krej ová, D.: Kmenové zlomky v egyptské matematice. [seminární práce] TUL, Liberec 1996, Fakulta pedagogická
[Gong] Gong, K.: Egyptian Fractions. UC Berkley, 1992.
[Cam] Campbell, P.: A ‘Practical’ Approach to Egyptian Fractions. Journal of Recreational Mathematics 10 (1977-1978) 81-86
- 67 -
