E-Learning Sejarah Matematika (MAT 1203)
Matematika Yunani
Oleh Nanang Khuzaini, S.Pd.Si
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU KEPENDIDIKAN UNIVERSITAS MERCU BUANA YOGYAKARTA 2014
SEJARAH PERKEMBANGAN MATEMATIKA YUNANI
Sejarah Matematika Yunani Kata "matematika" berasal dari kata μάθημα(máthema) dalam bahasa Yunani yang diartikan sebagai "sains, ilmu pengetahuan, atau belajar" juga μαθηματικός (mathematikós) yang diartikan sebagai "suka belajar". Peradaban Yunani kuno berlangsung hingga sekitar 600 SM.Pengaruh Mesir dan Babilonia itu terbesar di Miletus, kota Lonia di Asia Kecil dan tempat kelahiran filsafat Yunani, matematika dan ilmu pengetahuan.Dari sudut pandang matematika nya, yang terbaik adalah untuk untuk membedakan antara dua periode: periode klasik dari sekitar 600 SM sampai 300 SM dan Aleksandria atau periode Helenistik dari 300 SM sampai 300 AD Memang, dari sekitar 350 SM pusat matematika pindah dari Athena ke Alexandria (di Mesir), kota ini dibangun oleh Alexander Agung (358 -323 SM). Ini tetap menjadi pusat matematika selama seribu tahun sampai perpustakaan dihentikan oleh umat Islam pada sekitar 700 AD Zaman keemasan bangsa Yunani Kuno diperkirakan terjadi pada tahun 600 SM. sampai dengan 300 SM. Pada zaman itu banyak bermunculan ahli-ahli matematika dari Yunani beserta temuan teorinya, seperti Euclides, Archimides, Appollonius. Matematika Yunani merujuk pada matematika yang ditulis di dalam bahasa Yunani antara tahun 600 SM sampai 300 M. Matematikawan Yunani tinggal di kota-kota sepanjang Mediterania bagian timur, dari Italia hingga ke Afrika Utara, tetapi mereka dibersatukan oleh budaya dan bahasa yang sama. Matematikawan Yunani pada periode setelah Iskandar Agung kadang-kadang disebut Matematika Helenistik. Matematika Yunani lebih berbobot daripada matematika yang dikembangkan oleh kebudayaan-kebudayaan pendahulunya.Semua naskah matematika pra-Yunani yang masih terpelihara menunjukkan penggunaan penalaran induktif, yakni pengamatan yang berulang-ulang yang digunakan untuk mendirikan aturan praktis.Sebaliknya, matematikawan Yunani menggunakan penalaran deduktif.Bangsa Yunani menggunakan logika untuk menurunkan simpulan dari definisi dan aksioma, dan menggunakan kekakuan matematika untuk membuktikannya. Matematika Yunani diyakini dimulakan oleh Thales dari Miletus (kira-kira 624 sampai 546 SM) dan Pythagoras dari Samos(kira-kira 582 sampai 507 SM). Meskipun perluasan pengaruh mereka dipersengketakan, mereka mungkin diilhami oleh Matematika Mesir dan Babilonia.Menurut legenda, Pythagoras bersafari ke Mesir untuk mempelajari matematika, geometri, dan astronomi dari pendeta Mesir.
Thales menggunakan geometri untuk menyelesaikan soal-soal perhitungan ketinggian piramida dan jarak perahu dari garis pantai.Dia dihargai sebagai orang pertama yang menggunakan penalaran deduktif untuk diterapkan pada geometri, dengan menurunkan empat akibat wajar dari teorema Thales.Hasilnya, dia dianggap sebagai matematikawan sejati pertama dan pribadi pertama yang menghasilkan temuan matematika.Pythagoras mendirikan Mazhab Pythagoras, yang mendakwakan bahwa matematikalah yang menguasai semesta dan semboyannya adalah "semua adalah bilangan". Mazhab Pythagoraslah yang menggulirkan istilah "matematika", dan merekalah yang memulakan pengkajian matematika. Mazhab Pythagoras dihargai sebagai penemu bukti pertama teorema Pythagoras, meskipun diketahui bahwa teorema itu memiliki sejarah yang panjang, bahkan dengan bukti keujudan bilangan irasional. Eudoxus (kira-kira 408 SM sampai 355 SM) mengembangkan metoda kelelahan, sebuah rintisan dari Integral modern.Aristoteles (kira-kira 384 SM sampai 322 SM) mulai menulis hukum logika.Euklides (kira-kira 300 SM) adalah contoh terdini dari format yang masih digunakan oleh matematika saat ini, yaitu definisi, aksioma, teorema, dan bukti.Dia juga mengkaji kerucut. Bukunya, Elemen, dikenal di segenap masyarakat terdidik di Barat hingga pertengahan abad ke-20. Selain teorema geometri yang terkenal, seperti teorem Pythagoras, Elemen menyertakan bukti bahwa akar kuadrat dari dua adalah irasional dan terdapat tak- hingga banyaknya bilangan prima. Saringan Eratosthenes (kira-kira 230 SM) digunakan untuk menemukan bilangan prima. Archimedes (kira-kira 287 SM sampai 212 SM) dari Syracuse menggunakan metoda kelelahan untuk menghitung luas di bawah busur paraboladengan penjumlahan barisan tak hingga, dan memberikan hampiran yang cukup akurat terhadap Pi.Dia juga mengkaji spiral yang mengharumkan namanya, rumus-rumus volume benda putar, dan sistem rintisan untuk menyatakan bilangan yang sangat besar. Sistem Numerasi Yunani kuno Attic Sistem Attic sering disebut sistem Acrophonic dan sistem Herodian. “Acrophonic” maksudnya adalah bahwa simbol bilangan tersebut berasal dari huruf pertama nama bilangan tersebut. Menggunakan sifat aditif, contohya : 2879 = 2000 + 500 + 300 + 50 + 20 + 5 + 4 = 2 x 1000 + 500 + 3x100 + 50 + 2 x 10 +5 + 4x1 Sistem Yunani ini berbasis 10 sistem serupa dengan sebelumnya Mesir satu (dan bahkan lebih mirip dengan kemudian Romawi sistem), dengan simbol-simbol untuk 1, 5, 10,, 50 100, 500 dan 1.000 diulangi sebanyak yang diperlukan untuk mewakili nomor yang diinginkan . Penambahan dilakukan dengan menjumlahkan secara terpisah simbol (1s, 10s, 100s, dll) di nomor yang akan ditambahkan, dan perkalian merupakan proses yang melelahkan berdasarkan doubling berturut (pembagian didasarkan pada kebalikan dari proses ini). Dilambangkan sederhana, dimana angka satu sampai empat dilambangkan dengan lambang tongkat, misal: 2→ ll
Sistem Numerasi Yunani kuno Alfabetik Sejarah perkembangan alfabetik merupakan tulisan tertua dari masyarakat purba yang telah melahirkan dua jalur proses perkembangan sistem penulisan. Jalur penulisan Phonetis yang pada akhirnya menjadi tulisan alphabetis adalah pilihan bagi sistem menulis yang dikembangkan oleh dua pusat peradaban tertua di kawasan Asia Barat (timur Tengah), yakni Mesir dan Mesopotania.Sedangkan bangsa Tionghoa di kawasan Timur Jauh tetap mempertahankan sistem perlambangan gambar (pictografis-ideografis) dalam penulisan mereka, bahkan sampai saat ini.Kira-kira tahun 450 SM. bangsa Ionia dari Yunani telah mengembangkan suatu sistem angka, yaitu alphabet Yunani sendiri yang terdiri dari 27 huruf. Bilangan dasar yang mereka pergunakan adalah 10.Digunakan setelah S.N. Yunani kuno attic.
Contoh-contoh: 1. 12 = ι β 2. 21 = κ α 3. 247 = σ μ ς Sebagaimana kita lihat pada contoh-contoh di atas sampai ratusan, sistem angka alphabet yunani ini mempunyai lambang tersendiri. Untuk menyatakan ribuan, di atas sembilan angka dasar yang pertama (dari ... sampai ...) dibubuhi tanda aksen („) sebagai contoh α‟ = 1000, ε‟ = 5000. Sedangkan kelipatan 10.000 dinyatakan dengan menaruh angka yang bersangkutan di atas tanda M. Contoh. 4. 5000 = ε „ 5. 3567 = γ‟ φ ξ ς Dibandingkan dengan sistem angka Mesir Purba, maka penulisan dengan sistem angka alphabet Yunani ini lebih singkat dan sistematis. Sebagai contoh untuk penulisan bilangan 500 dalam sistem angka Mesir Purba lambang 9 ditulis sampai 5 kali tetapi dalam sistem angka alphabet yunani telah mempunyai lambang tersendiri yaitu φ.
Latar Belakang Sejarah Walau sekarang terdapat ungkapan “ Matematika Yunani”, maka yang kemungkinan terbayang dalam pikiran seseorang bahwa yang dimaksud adalah matematika yang berkembang pada suatu negeri tertentu yakni yunani. Tetapi pemikiran demikian tidaklah tepat karena daerah perkembangan matematika yunani bukanlah hanya di yunani saja melainkan tersebar luas. Periode terakir dari zaman yunani kuno adalah didominasi oleh kekuasaan romawi, karena yunani adalah kota yang paling aman damai dalam sejarah termasuk juga mesir. Jadi yunani adalah tempat untuk berlindung yang aman bagi para kaum cendekiawan dalam kurun waktu yang sangat lama. Dalam tahun 212 S.M syracusp dikuasai oleh bangsa romawi dan dalam tahun 146 S.M chartago juga jatuh ketangan kekuasaan Romawi serta kota terakir yunani Gorinth juga dikuasai bangsa Romawi sehingga menjadikan Yunani sebagai salah satu propinsi dari kekaisaran Romawi. Mulai saat itu kekuasaan Yunani mulai menyebar keseluruh kehidupan bangsa Romawi. Kaisar Constantine Agung adalah penguasa romawi pertama yang memeluk agama Kristen dan memerintahkan kepada seluruh pegawai tinggi kerajaan untuk masuk Islam. Dalam tahun 330, konstantine memindahkan ibu kotanya dari Roma ke Byzantium, yang kemudian merubah nama kota itu menjadi constantinopel. Tahun 395, kekaisaran romawi dibagui atas dua wilayah, yaitu kekaisaran Timur dan Kekaisaran Barat, dimana Yuanani termasuk kedalam wilayah Romawi Timur. Sumber-sumber Matematika Yunani Dalam kenyataannya, pengetahuan langsung kita tentang matematika Yunani kurang dapat diandalkan dibandingkan dengan Mesir yang lebih tua dan Babilonia, karena tidak ada naskah asli masih ada. Ada dua sumber: Naskah kuno Yunani Bizantium (buku naskah) yang ditulis 500-1500 tahun setelah karya-karya Yunani tenang. Arab terjemahan karya-karya Yunani dan terjemahan Latin dari versi bahasa Arab. Selain itu, kami tidak tahu bahkan jika karya-karya ini dibuat dari aslinya. Sebagai contoh, Heron membuat sejumlah perubahan Euclid 's Elemen, menambahkan kasus baru, memberikan bukti yang berbeda dan converses. Demikian juga untuk Theon dari Alexandria (400 M). Orang Yunani menulis sejarah Matematika: Eudemus (abad SM), anggota sekolah Aristoteles menulis sejarah aritmatika dan geometri.
Theophrastus (sekitar 372-c 287 SM.)Menulis sebuah sejarah fisika. Pappus menulis Koleksi Matematika, account matematika klasik dari Euclid ke Ptolemeus Pappus menulis Keuangan Analisis, koleksi karya-karya Yunani sendiri. Bilangan-Bilangan Prima Dalam sejarah awal perkembangannya, pengertian bilangan prima adalah bagian dari himpunan bilangan bulat positif lebih dari 1 dan hanya mempunyai dua faktor, yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Jika definisinya diperluas menjadi himpunan bilangan bulat, maka dikenal bilangan prima negatif dan bilangan prima positif.Bilangan-bilangan selain bilangan prima disebut bilangan komposit.Cara yang paling sederhana untuk menentukan bilangan prima dalam suatu rentang tertentu adalah dengan menggunakan Sieve of Erastosthenes (Saringan Erastothenes).Bilangan prima dapat disebut sebagai batu pembangun bilangan bulat positif seperti yang sudah dibuktukan dalam Teorema Fundamental Aritmetik. Dalam beberapa usaha penemuan yang bertujuan mengkaji hubungan antar bilangan prima, dikenal pula bilangan prima kembar (twin primes) yang merupakan pasangan bilangan prima yang memenuhi kaidah p dan p+2 dengan p adalah bilangan prima. Sebagai contoh, 3 dan 5, 11 dan 13, 29 dan 31. Sejarah bilangan prima dimulai pada zaman Mesir Kuno dengan ditemukannya sebuah catatan yang menyatakan penggunaan bilangan prima pada zaman tersebut.Namun, bilangan prima dan komposit pada saat itu berbeda dengan bilangan prima dan komposit yang kita kenal sekarang. Bukti lain permulaan sejarah bilangan prima adalah sebuah catatan penelitian bilangan prima oleh bangsa Yunani Kuno. Dalam sejarah Yunani Kuno, Pythagoras (570 SM-500 SM) terkenal melalui ‘Theorem of Pythagoras’ dan memunculkan Pythagorean Triples yang sebenarnya sudah ada sejak 1000 tahun sebelum masa Pythagoras. Sebelumnya, bangsa Babilonia telah mengenal Pythagorean Triples tersebut dengan nama Babylonian triples. Babylonian Triples terdapat dalam Plimpton 322 yang diperkirakan berasal dari tahun 1900 SM. Terdapat perbedaan antara Pythagorean Triples dengan Babylonian Triples. Pada Babylonian Triples disyaratkan bahwa u dan v sebagai generator 2uv, u2-v2 dan u2+v2 yang merupakan ukuran sisi-sisi segitiga siku-siku, harus relatif prima dan tidak mempunyai faktor prima selain 2, 3 atau 5. Sebagai contoh, 56, 90 dan 106 adalah Babylonian Triples karena u=9 dan v=5. Contoh lain, 28, 45 dan 53 adalah Pythagorean Triples, tetapi bukan Babylonian Triples karena u=7 dan u memiliki faktor prima 7.
Bilangan prima dalam Rumusan Bilangan Sempurna terdapat pada karya Euclid dalam buku IX Elements (300 SM) yang berisi beberapa teorema penting mengenai bilangan prima, termasuk ketakberhinggaan bilangan prima dan teorema fundamental aritmatik. Euclid juga memperlihatkan cara menyusun sebuah bilangan sempurna (perfect number) dari sebuah bilangan prima Mersenne yang ditemukan kemudian. Bilangan prima Mersenne adalah sebuah bilangan prima dengan rumus M n=2n-1. Dalam karya Euclid tersebut, terdapat proporsi bahwa ‘jika 2n-1 adalah bilangan prima maka (2n-1)+(2n-1) adalah bilangan sempurna. Pada masa itu, bangsa Yunani telah menemukan 4 bilangan sempurna, yaitu 6, 28, 496 dan 8128. Berkaitan dengan bilangan sempurna, sekitar 2000 tahun kemudian seorang matematikawan, Euler pada tahun 1947 telah mampu menunjukkan bahwa semua bilangan sempurna adalah genap. Archimedes Archimedes terkenal dengan teorinya tentang hubungan antara permukaan dan volume dari sebuah bola terhadap selinder.Dia juga dikenal dengan teori dan rumus dari prinsip hydrostatic dan peralatan untuk menaikkan air – ‘Archimedes Screw’ atau sekrup Archimedes, yang sampai sekarang masih banyak digunakan di negara-negara berkembang.Walaupun pengungkit atau ungkitan telah ditemukan jauh sebelum Archimedes lahir, Archimedes yang mengembangkan teori untuk menghitung beban yang dibutuhkan untuk pengungkit tersebut. Archimedes juga digolongkan sebagai salah satu ahli matematika kuno dan merupakan yang terbaik dan terbesar di jamannya. Perhitungan dari Archimedes yang akurat tentang lengkungan bola di jadikan konstanta matematika untuk Pi atauπ . Archimedes lahir pada tahun 287 Sebelum Masehi di suatu kota pelabuhan Syracuse, Sicily (sekarang Italia). Dalam masa mudanya, Archimedes diperkirakan mendapatkan pendidikannya di Alexandria, Mesir.
Air dipindahkan keatas melalui sebuah ulir pada sebuah Archimedes Screw Kisah tentang Archimedes yang banyak diceritakan oleh orang adalah kisah saat Archimedes menemukan cara dan rumus untuk menghitung volume benda yang tidak
mempunyai bentuk baku. Menurut kisah tersebut, sebuah mahkota untuk raja Hiero II telah dibuat dan raja memerintahkan Archimedes untuk memeriksa apakah mahkota tersebut benar-benar terbuat dari emas murni ataukah mengandung tambahan perak.Karena Raja Hiero II tidak mempercayai pembuat mahkota tersebut.Saat Archimedes berendam dalam bak mandinya, dia melihat bahwa air dalam bak mandinya tertumpah keluar sebanding dengan besar tubuhnya.Archimedes menyadari bahwa efek ini dapat digunakan untuk menghitung volume dan isi dari mahkota tersebut.Dengan membagi berat mahkota dengan volume air yang dipindahkan, kerapatan dan berat jenis dari mahkota bisa diperoleh. Berat Jenis mahkota akan lebih rendah daripada berat jenis emas murni apabila pembuat mahkota tersebut berlaku curang dan menambahkan perak ataupun logam dengan berat jenis yang lebih rendah. Karena terlalu gembira dengan penemuannya ini, Archimedes melompat keluar dari bak mandinya, lupa berpakaian terlebih dahulu, berlari keluar ke jalan dan berteriak ”EUREKA!” atau ‘Saya menemukannya’ .
Trigonometri Trigonometri (dari bahasaYunani trigono=tiga sudut dan metro=mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segitiga dan fungsi trigonometri seperti sinus,cosinus, dan tangen.trigonometri memiliki hubungan dengan geometri, meskipund ada ketidaksetujuan tentang apa hubungannya bagi beberapa orang, trigonometri adalah bagian dari geometri.Awal trigonometri dapat dilacak hingga zaman Mesir Kuno dan Babilonia dan peradaban lembah Indus, lebih dari 3000 tahun yang lalu. Matematikawan Yunani Hipparchus sekitar 150 SM menyusun table trigonometri untuk menyelesaikan segitiga.Matematikawan Yunani lainnya Ptolemy sekitar tahun 100 mengembangkan perhitungan trigonometri lebih lanjut.
1 Mengkuadratkan Lingkaran Salah satu tulisan matematika tertua tertulis dalam papyrus Rhind, dinamakan setelah seorang ahli tentang Mesir, A Henry Rhind yang ditemukan di Luxor tahun 1858. Panjang gulungan tersebut sekitar 6 meter dan lebarnya ⅓ meter dan ditulis sekitar 1650 SM oleh seorang ahli menulis, Ahmes yang mengkopi dokumen tersebut 200 tahun lebih tua. Data waktu pada papyrus asli sekitar 1850 SM tetapi beberapa ahli percaya bahwa papirus hind dibuat pada tahun 3400 SM *14+.Pada papirus hind, hmes menerangkan peraturan untuk membangun kuadrat yang hampir sama dengan
lingkaran. Peraturannya adalah harus memotong dari diameter lingkaran dan membangun kuadratnya pada tempat yang tersisa. Walaupun hal tersebut bukan bangunan geometri, tetapi hal tersebut memperlihatkan masalah dalam membangun kuadrat dari bidang yang sama pada lingkaran kembali pada awal dari matematika. Hal itu adalah perkiraan yang bagus sesuai nilai 3.1605 daripada 3.14159 untuk π. Permasalahan mengkuadratkan lingkaran seperti yang kita pikirkan saat ini berawal dari matematika Yunani dan tidak selalu dapat dimengerti seluruhnya. Masalahnya adalah, pada lingkaran, membangun secara geometri kuadrat yang sama pada bidang lingkaran. Metode yang menerangkan untuk membuat bangunan tersebut tidak begitu jelas, sebenarnya jangkauan metode yang digunakan dalam geometri oleh orang-orang Yunani diperluas melalui beberapa pengujian untuk memecahkan masalah ini dan masalah klasik lainnya. Pappus, dalam karyanya Mathematical collection yang dibuat pada akhir periode perkembangan Yunani, mencatat ada tiga tipe metode yang digunakan oleh masyarakat Yunani dahulu [21] :Kami berpendapat ada tiga jenis masalah dalam geometri, yang dikenal dengan ‘plane’, ‘solid’, dan ’linear’. Plane adalah semua masalah yang dapat dipecahkan dengan garis lurus dan lingkaran.Solid adalah masalah yang dipecahkan dengan menggunakan satu atau lebih bagian dari kerucut.Untuk hal tersebut adalah sangat penting dalam konstruksi untuk menggunakan permukaan angka-angka solid, dalam hal ini, kerucut.Yang terakhir adalah tipe ketiga, yang disebut masalah ‘linear’. Untuk konstruksi dalam hal kurva ini berbeda dengan yang telah disebutkan diatas, kurva mempunyai lebih banyak variasi dan awalnya terdesak dan timbul dari permukan yang tidak beraturan dan dengan gerakan yang rumit.
2 .Menggandakan Kubus Orang Yunani telah mengetahui sejak lama cara menggandakan kubus. Seperti contoh, buatlah kubus ABCD gambar diagonal pada DB.Konstruksikan kubus BDEF pada BD.Lalu dapat dilihat bahwa BDEF adalah kembaran dari ABCD.Yang sedikit sulit adalah menggandakan jajaran genjang, tetapi hal itu sudah dipresentasikan oleh Euchild dalam buku II tentang Elements. Untuk menentukan kubus yang rasio dua kubusnya setara dengan rasio dari dua garis tertentu.Hippocrates menyederhanakan masalah tersebut menjadi”tentukan dua garis, temukan dua tanda sebanding antara mereka.Sedangkan Eucild dalam Elements menggambarkan kedua masalah tersebut adalah equivalent.Untuk menemukan bujur sangkar yang rasio dua bujur sangkarnya setara dengan rasio dari dua garis tertentu.Tentukan dua garis, temukan dua tanda sebanding antara mereka.
Meskipun banyak metode yang berbeda ini ditemukan untuk menggandakan kubus dan merupakan penemuan matematika yang hebat, bangsa Yunani kuno tidak pernah menemukan solusi yang mereka cari, katakanlah satu yang dapat dibuat dengan susunan penggaris dan kompas.Mereka tidak akan pernah mendapatkan konstruksi semacam ini karena tidak dapat diubah.
3. Membagi Tiga Buah Sudut Ada beberapa ciri yang membedakan pembagian tiga sebuah sudut dengan 2 masalah klasik lainnya.Pertama tidak ada sejarah yang jelas yang menghubungkan kapan masalah tersebut pertama kali dipelajari.kedua masalah ini mempunyai tipe yang agak berbeda.Seseorang tidak dapat mengkuadratkan lingkaran ataupun menggandakan kubus.Akan tetapi, adalah mungkin untuk membagi tiga sebuah sudut.Sebagai contoh ada metode untuk membagi tiga sebuah sudut.Untuk menentukan sudut yang tepat CAB menggambar sebuah lingkaran untuk memotong AB pada E.Gambar lingkaran kedua(dengan radius yang sama) dengan pusat E dan biarkan bersimpangan dengan lingkaran pertama pada D.Lalu DAE segitiga sama sisi, maka sudut DAE adalah 60 dan DAC adalah 30 . Maka sudut CAB terbagi tiga. Orang Yunani dahulu pasti ingin membagi sudut dengan perbandingan yang mereka inginkan.Awalnya memang memungkinkan adanya konstruksi dari polygon biasa dengan sudut berapa saja.Konstruksi dari polygon biasa menggunakan penggaris dan kompas adalah salah satu tujuan utama dari matematikawan Yunani dan hal ini tidak lagi menjadi tujuan utama saat Gauss menemukan bahwa polygon selanjutnya dapat dikonstruksikan dengan menggunakan penggaris dan kompas yang tidak dapat ditemukan oleh orang Yunani dahulu.
