SEJARAH MATEMATIKA HINDIA
A. Sejarah Matematika India Sejarah matematika India yang digunakan untuk memulai dengan menggambarkan geometri yang terkandung dalam Sulbasutras tetapi penelitian ke dalam sejarah matematika India telah menunjukkan bahwa esensi geometri ini lebih tua yang terkandung dalam konstruksi altar dijelaskan dalam teks mitologi Veda Brahmana Shatapatha dan Taittiriya Samhita. Juga telah ditunjukkan bahwa studi matematika astronomi di India kembali ke setidaknya milenium ketiga SM dan matematika dan geometri harus ada untuk mendukung penelitian ini di masa-masa kuno. Yang pertama matematika dikembangkan di lembah Indus. Budaya India yang dikenal paling awal perkotaan pertama kali diidentifikasi pada tahun 1921 di Harappa di Punjab dan kemudian, satu tahun kemudian, di Mohenjo-daro, dekat Sungai Indus di Sindh. Kedua situs tersebut sekarang di Pakistan tetapi ini masih ditutupi oleh panjang kami "matematika India" yang dikembangkan di anak benua India. Mantra, dan pengamatan ritual, yang ditransmisikan secara lisan. Kemudian teks-teks menjadi karya yang ditulis untuk penggunaan mereka mempraktikkan agama Veda. Matematika berikutnya penting di anak benua India dikaitkan dengan teks-teks religius. Ini terdiri dari Sulbasutras yang lampiran untuk Veda memberikan aturan untuk membangun altar. Mereka yang terkandung cukup jumlah pengetahuan geometris, tetapi matematika sedang dikembangkan, bukan untuk kepentingan diri sendiri, tetapi murni untuk tujuan keagamaan praktis. Matematika yang terkandung dalam teks-teks yang dipelajari secara rinci dalam artikel terpisah di Sulbasutras. Para Sulbasutras utama yang disusun oleh Baudhayana (sekitar 800 SM), Manava (sekitar 750 SM), Apastamba (sekitar 600 SM), dan Katyayana (sekitar 200 SM). Orang-orang ini sama-sama imam dan ulama tapi mereka tidak matematikawan dalam pengertian modern Pada saat Agama Weda dengan upacara kurban yang mulai memudar dan agama-agama lain mulai menggantinya. Salah satunya adalah Jainisme, agama dan filsafat yang didirikan di India sekitar abad SM 6 th. Meskipun periode setelah penurunan dari agama Veda sampai saat Aryabhata I sekitar 500 AD yang digunakan untuk dianggap sebagai periode gelap dalam matematika India, baru-baru ini telah diakui sebagai saat ide matematika banyak dianggap. Bahkan Aryabhata sekarang dianggap sebagai meringkas perkembangan matematika Jaina serta memulai tahap berikutnya. Jika agama Veda memunculkan sebuah studi matematika untuk membangun altar pengorbanan, maka itu Jaina kosmologi yang menyebabkan ide-ide yang tak terbatas dalam matematika Jaina. Kemudian
kemajuan matematika sering didorong oleh penelitian astronomi. Agama juga memainkan peran utama dalam penyelidikan astronomi di India untuk kalender yang akurat harus siap untuk memungkinkan ibadah agama terjadi pada saat yang tepat. Yavanesvara, pada abad kedua Masehi, memainkan peran penting dalam astrologi. Dengan sekitar 500 AD era klasik matematika India dimulai dengan karya Aryabhata. Karyanya adalah baik ringkasan matematika Jaina dan awal dari era baru untuk astronomi dan matematika. Ide-idenya astronomi yang benar-benar luar biasa. Dia menggantikan dua setan Rahu, yang Rahu Dhruva yang menyebabkan fase Bulan dan Rahu Parva yang menyebabkan gerhana dengan menutup Bulan atau Matahari atau cahaya mereka, dengan teori modern gerhana. Dia memperkenalkan trigonometri untuk membuat perhitungan astronomi, berdasarkan teori epicycle Yunani, dan ia diselesaikan dengan persamaan solusi bilangan bulat tak tentu yang muncul dalam teori astronomi. Para astronom Hindu tidak memiliki metode umum untuk memecahkan masalah dalam astronomi bola, tidak seperti orang-orang Yunani yang secara sistematis mengikuti metode Ptolemy, berdasarkan teorema terkenal dari Menelaus. Tapi, dengan cara yang sesuai dalam konstruksi bola dunia, mereka mampu mengurangi berbagai masalah mereka untuk perbandingan yang sama siku-siku segitiga pesawat. Selain perangkat ini, mereka kadang-kadang juga digunakan teori persamaan kuadrat, atau menerapkan metode perkiraan berturut-turut. ... Dari metode yang diajarkan oleh Aryabhata dan ditunjukkan oleh nya scholiast Bhaskara I, sebagian didasarkan pada perbandingan yang sama siku-siku segitiga pesawat, dan lain-lain yang berasal dari inferensi. Brahmagupta mungkin adalah astronom awal telah dipekerjakan teori persamaan kuadrat dan metode perkiraan berturut-turut untuk memecahkan masalah dalam astronomi bola. Beberapa kemajuan besar di Kerala adalah ahli matematika abad keenam belas dari Kerala yang memberikan solusi integer untuk dua puluh satu jenis sistem dari dua persamaan aljabar. Jenis ini semua kemungkinan pasangan persamaan dari tujuh bentuk berikut: x + y = a, x - y = b, c = xy, x 2 + y 2 = d, x 2 - y 2 = e, x 3 + y 3 = f, dan x 3 - y = g 3. B. Sulbasutra India Sulbasutras adalah lampiran untuk Veda yang memberikan aturan untuk membangun altar. Jika ritual pengorbanan adalah untuk menjadi sukses maka altar harus sesuai dengan pengukuran yang sangat tepat. Orang-orang membuat pengorbanan kepada dewa-dewa mereka sehingga para dewa mungkin senang dan memberikan makanan orang banyak, nasib baik, kesehatan yang baik, umur panjang, dan banyak keuntungan materi
lainnya. Untuk para dewa akan senang semuanya harus dilakukan dengan formula yang sangat tepat, sehingga akurasi matematika dipandang paling penting. Hal ini dengan sendirinya memberi kita masalah, karena kita tidak tahu apakah orang-orang ini melakukan investigasi matematika untuk kepentingan mereka sendiri, seperti misalnya Yunani kuno lakukan, atau apakah mereka hanya belajar matematika untuk memecahkan masalah yang diperlukan untuk ritual keagamaan mereka The Sulbasutra Katyayana Namun, memberikan versi yang lebih umum: Tali yang membentang di sepanjang panjang diagonal dari persegi panjang menghasilkan suatu daerah yang sisi vertikal dan horisontal membuat bersama-sama.
Catatan di sini bahwa hasil dinyatakan dalam istilah "tali". kita harus mencatat bahwa seperti yang sering digunakan ada banyak contoh Pythagoras tiga kali lipat dalam Sulbasutras. Sebagai contoh (5, 12, 13), (12, 16, 20), (8, 15, 17), (15, 20, 25), (12, 35, 37), (15, 36, 39), (5/2, 6, 13/2), dan (15/2, 10, 25/2) semua terjadi. Sekarang Sulbasutras benar-benar konstruksi manual untuk bentuk geometris seperti kotak, lingkaran, persegi panjang, dll dan kita menggambarkan hal ini dengan beberapa contoh. Pembangunan pertama kita kaji terjadi di sebagian besar Sulbasutras yang berbeda. Ini adalah konstruksi, berdasarkan teorema Pythagoras, untuk membuat persegi di daerah yang sama untuk dua kotak yang tidak sama.
Perhatikan diagram disamping. ABCD dan PQRS adalah dua kotak yang diberikan. Menandai titik X pada PQ sehingga PX sama dengan AB. Kemudian alun-alun di SX memiliki luas sama dengan jumlah dari bidang ABCD kotak dan PQRS. Ini mengikuti dari teorema Pythagoras sejak SX2=PX2+PS2. Pembangunan berikutnya yang kita kaji adalah bahwa untuk menemukan sebuah persegi yang sama pada bidang persegi panjang yang diberikan. Kami memberikan versi seperti yang muncul dalam Sulbasutra Baudhayana. Perhatikan diagram di sebelah kanan. The ABCD persegi panjang diberikan. Biarkan L ditandai pada AD sehingga AL = AB. Kemudian menyelesaikan ABML persegi. Sekarang membagi dua LD di X dan membagi persegi panjang LMCD menjadi dua persegi yang sama dengan garis XY. Sekarang memindahkan kotak XYCD ke MBQN posisi. Lengkapi AQPX persegi. Sekarang alun-alun yang baru saja kita dibangun bukanlah yang kami butuhkan dan sedikit lebih banyak pekerjaan yang diperlukan untuk menyelesaikan pekerjaan. Putar PQ tentang Q sehingga menyentuh OLEH di R. Kemudian QP = QR dan kita melihat bahwa ini adalah ideal "tali" konstruksi. Sekarang menggambar paralel RE untuk YP dan menyelesaikan QEFG persegi. Ini adalah alun-alun yang dibutuhkan sama dengan ABCD persegi panjang yang diberikan. The Sulbasutra Baudhayana tidak menawarkan bukti ini hasil (atau lainnya untuk masalah ini) tapi kita bisa melihat bahwa memang benar dengan menggunakan teorema Pythagoras. EQ2=2QR-RE2 =QP2-YP2 =ABYX+BQNM =ABYX+XYCD = ABCD.
Semua Sulbasutras berisi metode untuk mengkuadratkan lingkaran. Ini adalah metode perkiraan berdasarkan membangun sebuah persegi samping 13/15 kali diameter lingkaran yang diberikan seperti pada diagram di sebelah kanan. Hal ini sesuai dengan mengambil π = 4 × (13/15) 2 = 676/225 = 3,00444 sehingga tidak pendekatan yang sangat baik dan tentu saja tidak sebagus itu diketahui lebih dini ke Babel. Para Sulbasutras juga memeriksa masalah kebalikan dari menemukan lingkaran yang sama pada bidang persegi yang diberikan. Perhatikan diagram di sebelah kanan. Pembangunan berikut akan muncul. Mengingat ABCD persegi menemukan O pusat. Putar OD untuk posisi OE OE mana melewati P titik tengah dari sisi DC persegi. Misalkan Q titik pada PE sehingga PQ adalah sepertiga dari PE. Lingkaran yang dibutuhkan memiliki pusat O dan jari-jari OQ. Sekali lagi ada baiknya menghitung apa nilai π ini menyiratkan untuk mendapatkan merasakan bagaimana akurat konstruksi tersebut. Sekarang jika alun-alun memiliki sisi 2 maka jari-jari lingkaran adalah r dimana r = OE - EQ = √ 2 a - 2/3 (√ 2 a - a) = A (√ 2/3 + 2/3). Kemudian 4 a 2 = π 2 (√ 2/3 + 2/3) 2yang memberikan π = 36 / (√ 2 + 2) 2 = 3,088. Sebagai tampilan akhir pada matematika dari Sulbasutras kita kaji apa mungkin yang paling luar biasa. Baik Sulbasutra Apastamba dan Sulbasutra Katyayana memberikan pendekatan berikut untuk √ 2: Meningkatkan panjang unit dengan ketiga dan keempat ini ketiga dengan sendiri kurang bagian Thirty-fourth itu keempat. Sekarang ini memberikan √ 2 = 1 + 1/3 + 1 / (3 × 4) - 1 / (3 × 4 × 34) = 577/408 yang, sampai sembilan tempat, 1,414215686. Bandingkan nilai yang benar √ 2 = 1,414213562 untuk melihat bahwa Sulbasutra Apastamba memiliki jawaban yang benar sampai lima tempat desimal. Tentu saja metode yang digunakan oleh para ahli matematika sangat penting untuk memahami kedalaman matematika yang diproduksi di India di tengah SM milenium pertama. Jika kita mengikuti saran dari beberapa sejarawan bahwa penulis Sulbasutras yang hanya menyalin sebuah
pendekatan yang sudah dikenal ke Babilon maka kita bisa sampai pada kesimpulan bahwa matematika India periode ini adalah jauh lebih maju. C. Jaina Matematika Jainisme adalah agama dan filsafat yang didirikan di India sekitar abad ke-6 SM th. Sampai batas tertentu itu mulai menggantikan agama Veda yang, dengan prosedur pengorbanan mereka, telah melahirkan matematika altar bangunan. Matematika dari agama Veda dijelaskan dalam artikel Sulbasutras India. Sekarang kita bisa menggunakan Jaina matematika untuk menggambarkan matematika dilakukan oleh mereka Jainisme berikut dan memang ini kemudian akan merujuk kepada bagian dari matematika yang dilakukan di anak benua India dari pendiri Jainisme hingga zaman modern. Karya Aryabhata itu dipandang sebagai awal dari sebuah periode klasik baru untuk matematika India. Namun Aryabhata tidak bekerja dalam isolasi dan matematika serta dipandang sebagai orang yang membawa era baru penyelidikan matematika di India, penelitian yang lebih baru menunjukkan bahwa ada kasus untuk melihat dia juga sebagai mewakili akhir-produk masa matematika yang relatif sedikit yang diketahui. Ini adalah periode yang akan kita sebut sebagai periode matematika Jaina. Matematika Jaina diakui lima jenis infinity [2]: ... terbatas dalam satu arah, tak terbatas dalam dua arah, tak terbatas di daerah, tak terbatas di mana-mana dan terus-menerus tak terbatas. Pada karya abad ketiga pada abad kesepuluh, segitiga Pascal muncul untuk memberikan koefisien dari ekspansi binomial. Konsep lain yang para pengikut Jainisme tampaknya telah pergi setidaknya beberapa cara menuju pemahaman adalah bahwa dari logaritma. Mereka mulai memahami hukum indeks. Misalnya Anuyoga Dwara Sutra menyatakan: Akar kuadrat pertama dikalikan dengan akar kuadrat kedua adalah kubus akar kuadrat kedua. Akar kuadrat kedua adalah akar keempat nomor. Oleh karena itu ini adalah rumus (√ a) (√ √ a). = (√ √ a) 3. Sekali lagi Anuyoga menyatakan Sutra Dwara: ... akar kuadrat kedua dikalikan dengan akar kuadrat ketiga adalah kubus akar kuadrat ketiga.
Akar kuadrat ketiga adalah akar kedelapan nomor. Oleh karena itu ini adalah rumus (√ √ a) (√ √ √ a). = (√ √ √ a) 3. D. Angka India Pertama kita akan memeriksa cara bahwa angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 berevolusi menjadi bentuk yang kita kenal saat ini. Dimulai dengan angka itu sendiri, kita pasti tahu bahwa simbol hari ini mengambil bentuk dekat dengan apa yang mereka miliki saat ini di Eropa pada abad ke-15. Itu adalah munculnya pencetakan yang memotivasi standarisasi simbol. Namun kita tidak boleh lupa bahwa banyak negara menggunakan simbol hari yang cukup berbeda dari 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 dan kecuali kita belajar simbolsimbol mereka benar-benar dikenali seperti misalnya Yunani alfabet adalah seseorang yang tidak terbiasa dengan hal itu. Angka Brahmi telah ditemukan dalam prasasti di gua-gua dan koin di daerah dekat Poona, Bombay, dan Uttar Pradesh. Kencan ini angka memberitahu kita bahwa mereka berada di atas penggunaan cukup jangka waktu yang lama hingga abad ke-4. Tentu saja prasasti yang berbeda agak berbeda dalam gaya simbol-simbol. Berikut adalah salah satu gaya angka Brahmi.
Ada cukup banyak teori yang dikemukakan oleh para sejarawan selama bertahun-tahun mengenai asal-usul angka. 1. Angka Brahmi berasal dari budaya lembah Indus 2000 SM. 2. Angka Brahmi berasal dari angka Aramaean. 3. Angka Brahmi berasal dari alfabet Karoshthi. 4. Angka Brahmi berasal dari alfabet Brahmi. 5. Angka Brahmi berasal dari sistem angka sebelum abjad. 6. Angka Brahmi berasal dari Mesir. Pada dasarnya hipotesis ini terdiri dari dua jenis. Salah satunya adalah
bahwa angka berasal dari alfabet dalam cara yang mirip dengan angka Yunani yang merupakan huruf awal dari nama-nama angka. Tipe kedua hipotesis adalah bahwa mereka berasal dari suatu sistem nomor sebelumnya dari jenis yang luas sama dengan angka Romawi. Misalnya angka Aramaean dari hipotesis 2 didasarkan pada I (satu) dan X (empat): I, II, III, X, IX, IIX, IIIX, XX. Jika kita meneliti rute yang dipimpin dari angka Brahmi untuk simbol kita sekarang (dan mengabaikan sistem lain yang berkembang dari angka Brahmi) maka kita berikutnya datang ke simbol Gupta. Periode Gupta adalah bahwa selama dinasti Gupta memerintah negara Magadha di timur laut India, dan ini adalah dari AD 4 abad awal Masehi 6 abad akhir. Angka Gupta dikembangkan dari angka Brahmi dan tersebar di daerah yang luas dengan kerajaan Gupta saat mereka menaklukkan wilayah. Angka Gupta berevolusi menjadi angka Nagari, kadang-kadang disebut angka Devanagari. Formulir ini berkembang dari angka Gupta dimulai sekitar abad ke-7 dan terus berkembang sejak abad ke-11. Nama harfiah berarti "tulisan para dewa" dan itu dianggap yang paling indah dari semua bentuk yang berevolusi. Sehingga pada masa ini masyarakat mulai mengerti angka nol.
E. Sejarah Angka Nol Angka nol adalah jauh dari konsep intuitif. Masalah matematika dimulai sebagai 'real' masalah daripada masalah abstrak. Angka dalam zaman sejarah awal yang dianggap jauh lebih konkret daripada konsepkonsep abstrak yang merupakan nomor kami hari ini. Ada lompatan mental yang raksasa dari 5 kuda untuk 5 "sesuatu" dan kemudian ke gagasan abstrak dari "lima". Jika masyarakat kuno memecahkan masalah tentang berapa banyak kuda petani diperlukan maka masalah itu tidak akan memiliki 0 atau -23 sebagai jawaban. Orang mungkin berpikir bahwa setelah sistem nomor tempat-nilai muncul maka 0 sebagai indikator tempat kosong adalah ide yang diperlukan, namun Babel memiliki sistem nomor tempat-nilai tanpa fitur ini selama lebih dari 1000 tahun. Selain itu sama sekali tidak ada bukti bahwa Babilonia merasa bahwa ada masalah dengan ambiguitas yang ada. Hebatnya, teks asli bertahan hidup dari era Babilonia matematika. Orangorang Babel menulis pada tablet tanah liat unbaked, menggunakan tulisan runcing. Simbol tersebut ditekan ke tablet tanah liat lunak dengan tepi miring dari stylus dan sehingga memiliki penampilan yang berbentuk baji
(cuneiform dan karenanya nama). Sampai sekitar 400 SM bahwa Babel menempatkan dua simbol wedge ke tempat di mana kita akan menempatkan nol untuk menunjukkan yang dimaksudkan, 216 atau 21'' 6. Sekarang Yunani kuno mulai kontribusi mereka untuk matematika sekitar waktu yang nol sebagai indikator tempat kosong datang mulai digunakan dalam matematika Babel. Orang Yunani namun tidak mengadopsi sistem bilangan posisional. Perlu berpikir betapa signifikan fakta ini. Adegan sekarang bergerak ke India di mana itu adalah adil untuk mengatakan angka dan sistem bilangan lahir yang telah berkembang menjadi yang sangat canggih yang kita gunakan saat ini. Di sekitar 500AD Aryabhata merancang sistem nomor yang memiliki nol belum ada adalah sebuah sistem posisional. Dia menggunakan kata "kha" untuk posisi dan akan digunakan kemudian sebagai nama untuk nol. Ada bukti bahwa titik telah digunakan dalam naskah sebelumnya India untuk menunjukkan tempat kosong dalam notasi posisional. Adalah menarik bahwa dokumen yang sama kadang-kadang juga digunakan titik untuk menunjukkan suatu diketahui di mana kita bisa menggunakan x. Kemudian matematikawan India memiliki nama untuk nol dalam jumlah posisional namun tidak memiliki simbol untuk itu. Selain itu Brahmagupta mencoba memberikan aturan untuk aritmatika yang melibatkan angka nol dan negatif pada abad ketujuh. Dia menjelaskan bahwa diberi nomor kemudian jika Anda kurangi dari sendiri Anda mendapatkan nol. Dia memberikan aturan berikut untuk penambahan yang melibatkan nol: Jumlah nol dan angka negatif adalah negatif, jumlah angka positif dan nol adalah positif, jumlah nol dan nol adalah nol. Brahmagupta kemudian mengatakan bahwa sejumlah bila dikalikan dengan nol adalah nol. Benar-benar Brahmagupta berkata sangat sedikit ketika ia menunjukkan bahwa n dibagi dengan nol adalah n / 0. Jelas ia sedang berjuang di sini. Dia tentu salah ketika ia kemudian mengklaim bahwa nol dibagi dengan nol adalah nol. Namun itu adalah upaya brilian dari orang pertama yang kita tahu yang mencoba untuk memperpanjang aritmatika untuk angka negatif dan nol. Pada 830, sekitar 200 tahun setelah Brahmagupta menulis karya nya, Mahavira menulis Ganita Sara Samgraha yang dirancang sebagai memperbarui buku Brahmagupta. Dia benar menyatakan bahwa: ... nomor dikalikan dengan nol adalah nol, dan nomor tetap sama ketika nol dikurangi dari itu.
Pada saat Bhaskara yang menulis lebih dari 500 tahun setelah Brahmagupta. Ia masih berjuang untuk menjelaskan pembagian dengan nol. Dia menulis: Sebuah jumlah dibagi dengan nol menjadi fraksi penyebut yang adalah nol. Fraksi ini disebut suatu jumlah yang tak terhingga. Dalam jumlah yang terdiri dari apa yang memiliki nol untuk pembagi nya, ada perubahan tidak ada, meskipun banyak dapat dimasukkan atau diekstrak, seperti tidak ada perubahan terjadi dalam Allah yang tidak terbatas dan tidak berubah ketika dunia diciptakan atau dihancurkan, meskipun perintah berbagai makhluk adalah diserap atau diajukan. Jadi Bhaskara mencoba untuk memecahkan masalah dengan menulis n / 0 = ∞. Pada pandangan pertama kita mungkin tergoda untuk percaya bahwa Bhaskara memiliki itu benar, tapi tentu saja dia tidak. Jika hal ini benar maka 0 kali ∞ harus sama dengan jumlah setiap n, sehingga semua angka adalah sama. Para matematikawan India tidak bisa membawa diri untuk titik mengakui bahwa seseorang tidak bisa dibagi dengan nol. Bhaskara memang benar menyatakan sifat lain dari nol, namun, seperti 0 2 = 0, dan √ 0 = 0. Karya brilian dari matematikawan India itu dikirimkan ke matematikawan Islam dan Arab lebih jauh ke barat. Itu datang pada tahap awal untuk al-Khwarizmi menulis Al'Khwarizmi di Art Hindu berhisab yang menggambarkan sistem tempat-nilai India angka didasarkan pada 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, dan 0. Ide-ide India menyebar ke timur ke China serta barat ke negara-negara Islam. F. Sebuah Sejarah Pi Berikut ini adalah argumen Archimedes '. Pertimbangkan lingkaran dari radius 1, di mana kita menuliskan poligon reguler 3 × 2 n -1 sisi, dengan semiperimeter b n, dan mengalamatkan poligon reguler 3 × 2 n -1 sisi, dengan semiperimeter n. Diagram untuk kasus n = 2 adalah di sebelah kanan.Efek dari prosedur ini adalah untuk menentukan urutan meningkat b 1, b 2, b 3,..dan urutan menurun a 1, a 2, a 3, ... seperti bahwa kedua urutan memiliki batas π. Menggunakan notasi trigonometri, kita melihat bahwa dua semiperimeters diberikan oleh
= K tan (π / K), b n = K sin (π / K), di mana K = 3 × 2 n -1. Sama, kita memiliki a n +1 = 2 K tan (π / 2 K), b n +1 = 2 K sin (π / 2 K), dan itu bukan latihan yang sulit dalam trigonometri untuk menunjukkan bahwa n
(1 / n + 1 / b n) = 2 / n +1. . . (1) n +1
b n = (b n +1) 2. . . (2)
Archimedes, mulai dari 1 = 3 tan (π / 3) = 3 √ 3 dan b 1 = 3 sin (π / 3) = 3 √ 3/2, menghitung 2 menggunakan (1), maka b 2 menggunakan (2 ), maka 3 menggunakan (1), maka b 3 menggunakan (2), dan seterusnya sampai ia menghitung 6 dan b 6. Kesimpulannya adalah bahwa b 6 <π
