MAT 602 DASAR MATEMATIKA II
Disusun Oleh: Dr. St. Budi Waluya, M. Sc
Jurusan Pendidikan Matematika Program Pascasarjana Unnes
1
HIMPUNAN 1. 2. 3.
Notasi Himpunan Relasi Himpunan Operasi Himpunan
A ⊆ B : ∀x ∈ A ⇒ x ∈ B A = B : (i ) A ⊆ B (ii ) B ⊆ A
2
Quiz 1. Jika A
⊆B
maka tunjukkan
A=B\(B\ A)
3
Pengertian Fungsi
Relasi : aturan yang mengawankan 2 himpunan Fungsi Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B, artinya :
∀x1 , x2 ∈ A,
jika
x1 = x2 , maka
f (x1 ) = f (x2 )
4
Pengertian Fungsi Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan f:A→B yang artinya f memetakan A ke B. A disebut daerah asal (domain) dari f dan B disebut daerah hasil (codomain) dari f. Relasi di bawah ini merupakan fungsi A
B
a
1
i
2
u
i
3
e
4
o
5 5
Pengertian Fungsi Relasi di bawah ini bukan merupakan fungsi : A
a mempunyai 2 nilai
B
a
1
i
2
u
3
e
4
o
5
Himpunan yang berisi semua nilai pemetaan f disebut jelajah (range) / jangkauan dari f. Perhatikan bahwa jelajah dari f adalah himpunan bagian dari B. 6
Pengertian Fungsi Jelajah : {y f (x ) = y, x ∈ A} ⊆ B Jelajah/range/jangkauan dinotasikan dengan Rf Contoh : 1. Carilah domain dan range dari fungsi :
1 f (x ) = 4x + 3 Jawab : a. Mencari domain 7
Pengertian Fungsi syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
4x + 3 ≠ 0
3 x≠− 4
3 3 Sehingga D f = ⎛⎜ − ∞,− ⎞⎟ ∪ ⎛⎜ − , ∞ ⎞⎟ atau ℜ − ⎧− 3 ⎫ ⎨ ⎬ 4⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎝ ⎩ 4⎭
b. Mencari Range
R f = ℜ − {0} atau
R f = (− ∞,0 ) ∪ (0, ∞ )
Hal ini dikarenakan f(x) tidak mungkin bernilai nol
8
Contoh 2. Carilah domain dan range dari fungsi :
x+2 f (x ) = 3x + 1 a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
3x + 1 ≠ 0 1 x≠− 3
1⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ Sehingga Dt = ⎜ − ∞,− ⎟ ∪ ⎜ − , ∞ ⎟ 3⎠ ⎝ 3 ⎠ ⎝
9
Contoh b. Range
x+2 f (x ) = y = 3x + 1
3 xy + y = x + 2 3 xy − x = 2 − y x(3 y − 1) = 2 − y 2− y x= 3y −1
Syarat fungsi tersebut terdefinisi,
3y −1 ≠ 0
1 y≠ 3
Jadi
1⎞ ⎛1 ⎞ ⎛ R f = ⎜ − ∞, ⎟ ∪ ⎜ , ∞ ⎟ 3⎠ ⎝3 ⎠ ⎝
1⎫ ⎧ Atau ℜ − ⎨ ⎬ ⎩3⎭ 10
Contoh 3. Carilah domain dan range dari fungsi : f (x ) = − x 2 − 5 x − 6
a. Mencari domain Syarat agar fungsi tersebut terdefinisi adalah :
− x2 − 5x − 6 ≥ 0
⇔ x2 + 5x + 6 ≤ 0 ⇔ (x + 2)( x + 3) ≤ 0 TP = -2, -3
++
--3
++ -2
Jadi D f = [− 3,−2]
11
Contoh b. Mencari Range
f (x ) = y = − x 2 − 5 x − 6 y 2 = − x2 − 5x − 6
(
)
⇔ x2 + 5x + y 2 + 6 = 0 Agar x ∈ ℜ , maka D ≥ 0
(
)
⇔ 25 − 4.1 y 2 + 6 ≥ 0 ⇔ 25 − 4 y 2 − 24 ≥ 0 ⇔ 1− 4 y2 ≥ 0 12
Contoh ⇔ (1 + 2 y )(1 − 2 y ) ≥ 0 1 1 TP = − , 2 2 --
++ −1
2
-1
2
⎡ 1 1⎤ Jadi, R f = ⎢− , ⎥ ∩ [0, ∞ ) ⎣ 2 2⎦
⎡ 1⎤ = ⎢0, ⎥ ⎣ 2⎦ 13
Macam-macam Fungsi Macam-macam fungsi : 1. Fungsi polinom
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 + ... + an x n
-Fungsi konstan, f (x ) = a0 -Fungsi linier,
f ( x ) = a0 + a1 x
-Fungsi kuadrat,
f ( x ) = a0 + a1 x + a2 x 2 14
Macam-macam Fungsi 2. Fungsi Rasional Bentuk umum :
p(x ) q(x )
p(x), q(x) = fungsi polinom dengan q(x) ≠ 0
contoh : f (x ) =
(x + 1)2 x3 + x 2 + 1
3. Fungsi harga/nilai mutlak Fungsi yang mengandung harga mutlak, contoh :
f (x ) = 3 x − 1 + 2 x − 2 15
Macam-macam Fungsi 4. Fungsi bilangan bulat terbesar
⎣x ⎦
= Bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x
⎣x ⎦ = n ⇔ n ≤ x ≤ n + 1
⎣5⎦ = 5
⎣− 1,2 ⎦ = −2
⎣3,2⎦ = 3 5. Fungsi Genap Disebut fungsi genap jika f (− x ) = f ( x ) dan grafiknya simetris
terhadap sumbu y
16
Macam-macam Fungsi Contoh : f (x ) = x 2
f (x ) = x
f ( x ) = cos( x ) 6. Fungsi Ganjil Disebut fungsi ganjil jika f (− x ) = − f ( x ) dan grafiknya simetris terhadap titik asal, contoh :
f ( x ) = sin ( x ) f (x ) = x3 17
Macam-macam Fungsi 7. Fungsi Komposisi Diberikan fungsi f ( x ) dan g ( x ), komposisi fungsi antara f ( x ) dan g ( x ) ditulis ( f o g )( x ) = f ( g ( x )) Domain dari
( f o g )(x ) adalah himpunan semua bilangan x dengan domain g (x ) sehingga g (x ) di dalam D f Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R g ∩ D f ≠ φ
18
Fungsi Komposisi Hal tersebut dapat diilustrasikan sebagai berikut :
Rg ∩ D f ≠ φ 19
Fungsi Komposisi Dengan cara yang sama, (g o f )(x ) = g ( f (x )) Syarat agar dua fungsi bisa dikomposisikan, maka harus terpenuhi R f ∩ Dg ≠ φ Domain dari komposisi fungsi f dan g didefinisikan sbb :
{ = {x ∈ D
} f (x ) ∈ D }
D f o g = x ∈ Dg g ( x ) ∈ D f Dg o f
f
g
Sedangkan definisi dari Range komposisi fungsi komposisi
{ = {f (t ) ∈ R
} atau R t ∈ R } atau R
R g o f = g (t ) ∈ R g t ∈ R f
go f
R f og
f og
f
g
{ = {y ∈ R
} y = f (t ), t ∈ R }
= y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f f
g
20
Fungsi Komposisi Sifat-sifat fungsi komposisi :
( f o g )(x ) ≠ (g o f )(x ) (( f o g ) o h)(x ) = ( f o (g o h))(x ) Contoh : 1. Jika diketahui f (x ) = x go f
g ( x ) = 1 − x 2 Tentukan
dan f o g beserta domain dan range-nya!
D f = [0, ∞ )
R f = [0, ∞ )
Dg = ℜ
R g = (− ∞,1]
21
Contoh Karena R f ∩ D g = [0, ∞ ) ≠ φ , maka fungsi g o f terdefinisi
(g o f )(x ) = g ( f (x )) = g (
)
x = 1− x
a. Mencari Domain g o f
{
D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{
}
}
= x ∈ [0, ∞ ) x ∈ ℜ
{
}
= x ≥ 0−∞ < x < ∞
22
Contoh
{
}
= x≥0 x ≥0 = {x ≥ 0 x ≥ 0}
= x ∈ [0, ∞ ) ∩ [0, ∞ ) = x ∈ [0, ∞ ) b. Mencari Range g o f
{ } = {y ∈ (− ∞,1] y = 1 − t , t ∈ [0, ∞ )}
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f
Rg o f
2
Jadi R g o f = y ∈ (− ∞,1] ∩ (− ∞,1]
= y ∈ (− ∞,1]
23
Contoh Karena R g ∩ D f = (− ∞,1] ∩ [0, ∞ ) = [0,1] ≠ φ , maka fungsi
f o g terdefinisi dengan
( f o g )(x ) = f (g (x )) = f (1 − x 2 ) =
c.Domain f o g
{
D f o g = x ∈ D g g (x ) ∈ D f
{ = {x ∈ ℜ 1 − x
}
1− x2
}
= x ∈ ℜ 1 − x 2 ∈ [0, ∞ ) 2
}
≥0
= {x ∈ ℜ − 1 ≤ x ≤ 1} = ℜ ∩ [− 1,1] = [− 1,1]
24
Contoh d. Range f o g
{
R f o g = y ∈ R f y = f (t ), t ∈ R g
{
}
}
= y ∈ [0, ∞ ) y = t , t ∈ (− ∞,1]
{
}
= y ≥ 0 y = t ,0 ≤ t ≤ 1
= {y ≥ 0 0 ≤ y ≤ 1} = [0, ∞ ) ∩ [0,1]
= [0,1]
25
Contoh 2. Jika diketahui fungsi
f (x ) = x x Df = ℜ
g (x ) = x − 1 Rf = ℜ Rg = ℜ
Dg = ℜ
Tentukan g o f beserta domain dan range-nya!
R f ∩ D g = ℜ ∩ ℜ = ℜ ≠ φ , sehingga g o f terdefinisi a. Domain g o f D g o f = x ∈ D f f (x ) ∈ D g
{ = {x ∈ ℜ
}
}
x x ∈ℜ
= ℜ∩ℜ = ℜ 26
Contoh b. Range g o f
{
R g o f = y ∈ R g y = g (t ), t ∈ R f = {y ∈ ℜ y = t − 1, t ∈ ℜ}
}
= ℜ∩ℜ = ℜ
27
Grafik dari fungsi 1. Garis Lurus
y = mx + c persamaan garis lurus yang melewati (0,c) contoh :
y = x+3 3 -3
28
Garis Lurus ( y − y1 ) = m(x − x1 ) Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 )
y − y1 x − x1 = y 2 − y1 x 2 − x1 Persamaan garis lurus melalui ( x1 , y1 ) & ( x 2 , y 2 ) 2. Grafik fungsi kuadrat (parabola)
y = ax 2 + bx + c Diskriminan → D = b 2 − 4ac 29
Grafik Fungsi Kuadrat D⎞ ⎛ b Titik puncak = ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 2a 4a ⎠
y a >0
x D>0
D=0
D<0
30
Grafik Fungsi Kuadrat Contoh : Gambarlah grafik fungsi y = x 2 + x + 1 a =1 jadi a > 0 → grafik menghadap ke atas
D = b 2 − 4ac = 12 − 4 = -3 < 0
→ tidak menyinggung sumbu x
31
Grafik Fungsi Kuadrat
Titik potong dengan sumbu koordinat Karena D<0, maka titik potong dengan sumbu x tidak ada
Titik potong dengan sumbu y x=0→y=1 dengan demikian grafik melalui (0,1)
D⎞ ⎛ b , − − ⎟ • Titik puncak = ⎜ ⎝ 2a 4a ⎠ ⎛ 1 3⎞ = ⎜− , ⎟ ⎝ 2 4⎠ 32
Grafik Fungsi Kuadrat Gambar grafik fungsi
y = x + x +1 2
x = ay 2 + by + c b ⎞ ⎛ D Titik puncak = ⎜ − ,− ⎟ ⎝ 4a 2a ⎠
1 3
-1 −
1
Untuk persamaan kuadrat
4
b Sumbu simetri = − 2a
2
33
Grafik Fungsi Majemuk/banyak aturan 3. Grafik Fungsi Majemuk Contoh : 1. Gambarkan grafik fungsi f ( x) = x
⎧ x ,x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x , x < 0 y=-x
y=x
34
Grafik Fungsi Majemuk 2. Gambarkan grafik fungsi
x≤2 ⎧ 1 f (x ) = ⎨ ⎩x + 2 x > 2 Grafiknya terdiri dari 2 bagian, yaitu garis y = 1 untuk x ≤ 2 dan garis y = x + 2 untuk x > 2
y = x+2
y =1 2
35
Grafik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan grafik dari fungsi x2 − 4 f (x ) = x−2
f(x) terdefinisi untuk setiap x kecuali 2, sehingga domain dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 2 Fungsi f(x) dapat diuraikan sebagai berikut :
f (x ) =
(x + 2)(x − 2) (x − 2)
36
Grafik Fungsi Majemuk atau f ( x ) = x + 2 , jika x ≠ 2 Range dari f(x) adalah semua bilangan riil kecuali 4. Jadi grafiknya terdiri dari semua titik pada garis y = x + 2 kecuali titik (2,4). y = x+2
4
2
37
Grafik Fungsi Majemuk 3. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = 1 − 3 x Kita definisikan : ⎧1 − 3 x 1− 3 x = ⎨ ⎩1 + 3 x
x≥0 x<0
1
y = 1 + 3x
− 13
y = 1 − 3x 1
3
38
Translasi Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai y = f ( x ) , a > 0 y = f (x − a )
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
y = f (x + a ) → grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
y = f (x ) + a → grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
y = f (x ) − a
→ grafik y = f ( x ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
39
Translasi Untuk fungsi yang dinyatakan sebagai x = f ( y ) , a > 0 x = f ( y − a) → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke atas
x = f ( y + a) → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke bawah
x = f (y)+ a → grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kanan
x = f (y) − a
→ grafik x = f ( y ) mengalami pergeseran sejauh a ke kiri
40
Contoh Translasi 1. Gambarkan grafik dari fungsi
f (x ) = x 2 − 4 x + 5
(
)
= x 2 − 4x + 4 − 4 + 5 = (x − 2) + 1 2
y = (x − 2)
y = x2
y = (x − 2)
4
2
2
→ y = x 2 digeser sejauh
2
2 ke kanan
41
Contoh Translasi Kemudian y = ( x − 2 )
2
digeser sejauh 1 ke atas
maka akan terbentuk y = ( x − 2 ) + 1 2
2 y = (x − 2 ) + 1
4 y = (x − 2 )
2
2
42
Contoh Translasi 2. Gambarkan grafik fungsi f ( x ) = 1 − 3 x Kita lihat dahulu grafik y = 3 x 3
y = −3 x
:
y = 3x
43
Contoh Translasi Grafik y = 1 − 3 x dapat dipandang sebagai grafik
y = −3 x yang digeser
1
ke atas sejauh 1 satuan
y =1− 3 x
y = −3 x
44
Limit
∀ ε>0, ∃ δ>0 sehingga | f(x) – L | < ε apabila 0 < | x – c | < δ.
45
Contoh: Tunjukan bahwa
lim x→3
(x
2
)
+ 2 x = 15
Bukti:
Ix2 + 2x - 15I = I(x + 5)(x - 3)I = Ix + 5I Ix - 3I Misal untuk δ ≤ 1, Ix – 3I<1 atau x ∈ (2, 4) Jadi x+5 ∈ (7, 9) atau x+5 < 9
Ix2 + 2x - 15I = I(x + 5)(x - 3)I < 9δ apabila 0 < Ix - 3I < δ ≤ 1
46
Ambil ε>0 sebarang ε Pilih δ = min{1,
9},
maka untuk 0 < Ix - 3I < δ
Ix2 + 2x - 15I = I(x + 5)(x - 3)I < 9δ
apabila 0 < | x - 3| < δ ≤ 1 Ambil sembarang ε > 0 Pilih δ = min diperoleh :
⎧ ε ⎫ ⎨1, ⎬ ⎩ 9⎭
. maka untuk 0 < | x - 3| < δ ,
| x2 + 2 x − 15 | = |(x + 5) (x - 3)| < 9δ ≤ ε.
Ini menunjukkan bahwa
lim x→3
x + 2 x = 15 2
47
Contoh
Bukti : Tulis f(x)=b , ∀x ∈ R Ambil sembarang ε > 0. Pilih δ = 1 > 0. Dipunyai 0 < |x - c| < 1. Jelas | f(x) – b | = | b – b | = 0 < 1 = ε Jadi ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 ∋ |f(x) – b|< ε apabila 0< |x - c|< δ 48
2. Buktikan
lim x→c
x2 = c2
Bukti : Tulis f(x) = x2 Ambil sembarang ε > 0 Pilih δ = min
⎧⎪ ⎫⎪ 1 ⎨1, ⎬ c + 2 ⎪⎭ . ⎪⎩
Dipunyai 0 < |x - c| < δ Dicari batas |x + 1| pada 0 < |x - c| < 1 Jelas 0 <|x – c| < 1 ⇔ c – 1 < x < c + 1
⇔ c<x+1
⇔ |x + 1| < |c +2| ≤ |c| + 2. Jadi | f(x) – c2 = x2 - c2 = |x – c| |x + c| < δ (|c| + 2) Jadi∀ ε > 0 ∃ δ > 0
Jadi
lim x→c
x =c 2
∋ |f(x) – b|< ε apabila 0< |x - c|< δ.
2
50
Soal Latihan Tentukan domain dan range dari fungsi di bawah ini 1 f (x ) = 3 + 2 − 4 x 2 f (x ) = ,
x ( x − 3) x −1
5 Diketahui
1 +2 x
3
f (x ) = 3x −
4
f (x ) = x 2 − 5 x + 6
f ( x) = 4 − x
g ( x) = x
Apakah f o g terdefinisi? Bila ya, tentukan rumusan dari f o g dan domain dari f o g. Gambarkan grafik dari fungsi di bawah ini 6 f (x ) = x (x + 2 )
7
f (x ) = 3 − x − 2
51
Sistem bilangan N: 1,2,3,…. Z: …,-2,-1,0,1,2,.. N : bilangan asli Z : bilangan bulat Q : bilangan rasional R : bilangan real
Q:
a q = , a, b ∈ Z , b ≠ 0 b
R = Q ∪ Irasional Contoh Bil Irasional
2 , 3, π 52
Garis bilangan Setiap bilangan real mempunyai posisi pada suatu garis yang disebut dengan garis bilangan(real) 2
-3
0 1
π
Selang Himpunan bagian dari garis bilangan disebut selang
53
Selang Jenis-jenis selang Himpunan {x x < a}
selang (− ∞, a )
{x x ≤ a} {x a < x < b} {x a ≤ x ≤ b} {x x > b} {x x ≥ b} {x x ∈ ℜ}
(− ∞, a]
(a, b) [a, b] (b, ∞)
[b, ∞) (∞, ∞)
Grafik a a a
b
a
b b b
54
Sifat–sifat bilangan real •
Sifat-sifat urutan :
Trikotomi Jika x dan y adalah suatu bilangan, maka pasti berlaku salah satu dari x < y atau x > y atau x = y Ketransitifan Jika x < y dan y < z maka x < z Perkalian Misalkan z bilangan positif dan x < y maka xz < yz, sedangkan bila z bilangan negatif, maka xz > yz
55
Pertidaksamaan
Pertidaksamaan satu variabel adalah suatu bentuk aljabar dengan satu variabel yang dihubungkan dengan relasi urutan. Bentuk umum pertidaksamaan : A( x ) D( x ) < B(x ) E (x )
dengan A(x), B(x), D(x), E(x) adalah suku banyak (polinom) dan B(x) ≠ 0, E(x) ≠ 0 56
Pertidaksamaan
Menyelesaikan suatu pertidaksamaan adalah mencari semua himpunan bilangan real yang membuat pertidaksamaan berlaku. Himpunan bilangan real ini disebut juga Himpunan Penyelesaian (HP)
Cara menentukan HP : 1.
Bentuk pertidaksamaan diubah menjadi :
, P( x) <0 Q( x)
dengan cara :
57
Pertidaksamaan
2.
3.
Ruas kiri atau ruas kanan dinolkan Menyamakan penyebut dan menyederhanakan bentuk pembilangnya
Dicari titik-titik pemecah dari pembilang dan penyebut dengan cara P(x) dan Q(x) diuraikan menjadi faktor-faktor linier dan/ atau kuadrat Gambarkan titik-titik pemecah tersebut pada garis bilangan, kemudian tentukan tanda (+, -) pertidaksamaan di setiap selang bagian yang muncul
58
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1
13 ≥ 2 x − 3 ≥ 5 ⇔ 13 + 3 ≥ 2 x ≥ 5 + 3 ⇔ 16 ≥ 2 x ≥ 8
⇔8≥ x≥4 ⇔4≤ x≤8 Hp = [4,8]
4
8
59
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2
− 2 < 6 − 4x ≤ 8 ⇔ −8 < −4 x ≤ 2
⇔ 8 > 4 x ≥ −2 ⇔ −2 ≤ 4 x < 8
1 ⇔− ≤x<2 2
⎡ 1 ⎞ Hp = ⎢ − ,2 ⎟ ⎣ 2 ⎠
− 12
2
60
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3 2x − 5x − 3 < 0 2
⇔ (2 x + 1)( x − 3) < 0
1 Titik Pemecah (TP) : x = − 2 ++
--
−
1
dan
x=3
++ 3
2
⎛ 1 ⎞ Hp = ⎜ − ,3 ⎟ ⎝ 2 ⎠ 61
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x ≤ 3x + 6 ⇔ 2 x − 4 ≤ 6 − 7 x dan 6 − 7 x ≤ 3x + 6
⇔ 2 x + 7 x ≤ 6 + 4 dan − 7 x − 3x ≤ −6 + 6 ⇔ 9 x ≤ 10 dan 10 ⇔x≤ dan 9 10 dan ⇔x≤ 9
− 10 x ≤ 0 10 x ≥ 0
x≥0 62
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 10 ⎤ ⎛ Hp = ⎜ − ∞, ⎥ ∩ [0, ∞ ) 9⎦ ⎝
0
10
9
Dari gambar tersebut dapat disimpulkan :
⎡ 10 ⎤ Hp = ⎢0, ⎥ ⎣ 9⎦ 63
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 1 2 5. x + 1 < 3 x − 1 1 2 ⇔ − <0 x + 1 3x − 1
( 3 x − 1) − (2 x + 2 ) <0 ⇔ (x + 1)(3x − 1) x −3 ⇔ <0 (x + 1)(3x − 1)
1 TP : -1, 3
--
++ -1
Hp =
-1
3
++ 3
⎛1 ⎞ (− ∞,−1) ∪ ⎜ ,3 ⎟ ⎝3 ⎠
,3 64
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 6.
x +1 x ≤ 2− x 3+ x
x +1 x ⇔ − ≤0 2− x 3+ x
( x + 1)(3 + x ) − x(2 − x ) ⇔ ≤0 (2 − x )(3 + x ) 2x 2 + 2x + 3 ⇔ ≤0 (2 − x )(x + 3)
65
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Untuk pembilang 2 x 2 + 2 x + 3 mempunyai nilai Diskriminan (D) < 0, sehingga nilainya selalu positif, Jadi TP : 2,-3 Pembilang tidak menghasilkan titik pemecah. --
++ -3
-2
Hp = (− ∞,−3) ∪ (2, ∞ ) 66
Pertidaksamaan nilai mutlak
Nilai mutlak x (|x|) didefinisikan sebagai jarak x dari titik pusat pada garis bilangan, sehingga jarak selalu bernilai positif. Definisi nilai mutlak :
⎧ x ,x ≥ 0 x =⎨ ⎩− x , x < 0
67
Pertidaksamaan nilai mutlak Sifat-sifat nilai mutlak:
1 2
x =
x2
x ≤ a, a ≥ 0 ↔ − a ≤ x ≤ a
3
x ≥ a, a ≥ 0 ↔ x ≥ a atau x ≤ − a
4
x ≤ y
5
x x = y y
↔ x2 ≤ y2
6. Ketaksamaan segitiga
x+ y ≤ x + y
x− y ≥ x − y 68
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Contoh : 1. 2 x − 5 < 3 Kita bisa menggunakan sifat ke-2.
⇔ −3 < 2 x − 5 < 3 ⇔ 5 − 3 < 2x < 3 + 5 ⇔ 2 < 2x < 8 ⇔1< x < 4 Hp = (1,4 )
1
4
69
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 2.
2x − 5 < 3
Kita bisa juga menggunakan sifat ke-4, karena ruas kiri maupun kanan keduanya positif.
⇔ (2 x − 5) < 9 2
⇔ 4 x 2 − 20 x + 25 < 9 ⇔ 4 x 2 − 20 x + 16 < 0 2 ⇔ 2 x − 10 x + 8 < 0
⇔ (2 x − 2 )( x − 4 ) < 0
++
-1
++ 4
Hp = (1,4 )
TP : 1, 4 70
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 3. 2 x + 3 ≥ 4 x + 5 Kita bisa menggunakan sifat 4
⇔ (2 x + 3) ≥ (4 x + 5) 2
2
⇔ 4 x 2 + 12 x + 9 ≥ 16 x 2 + 40 x + 25 ⇔ −12 x 2 − 28x − 16 ≥ 0 2 ⇔ 3x + 7 x + 4 ≤ 0 TP :
4 , -1 − 3 71
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jika digambar pada garis bilangan : ++
-−4
3
++ -1
⎡ 4 ⎤ Hp = ⎢− ,−1⎥ ⎣ 3 ⎦
72
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 4.
x +7 ≥ 2 2
x ⇔ +7≥ 2 2 x ⇔ ≥ −5 2
⇔ x ≥ −10 Hp =
atau atau atau
x + 7 ≤ −2 2 x ≤ −9 2
x ≤ −18
(− ∞,−18] ∪ [− 10, ∞ ) -18
-10
73
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 5. 3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 Kita definisikan dahulu : ⎧ x + 1 x ≥ −1 x +1 = ⎨ ⎩− x − 1 x < −1
⎧x − 2 x ≥ 2 x−2 = ⎨ ⎩2 − x x < 2
Jadi kita mempunyai 3 interval : I (− ∞,−1)
II
III
[− 1,2) -1
[2, ∞ ) 2 74
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian I. Untuk interval x < −1
atau
(− ∞,−1)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 ⇔ 3(2 − x ) − (− x − 1) ≥ −2
⇔ 6 − 3x + x + 1 ≥ −2 ⇔ 7 − 2 x ≥ −2 ⇔ −2 x ≥ −9
⇔ 2x ≤ 9
9 ⇔x≤ 2
atau
9⎤ ⎛ ⎜ − ∞, ⎥ 2⎦ ⎝ 75
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 9 Jadi Hp1 = ⎛⎜ − ∞, ⎤⎥ ∩ (− ∞,−1) 2⎦ ⎝
-1
9
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan kedua interval tersebut adalah (− ∞,−1) sehingga Hp1 = (− ∞,−1)
76
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian II. Untuk interval − 1 ≤ x < 2
atau
[− 1,2)
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2
⇔ 3(2 − x ) − ( x + 1) ≥ −2 ⇔ 6 − 3x − x − 1 ≥ −2 ⇔ 5 − 4 x ≥ −2 ⇔ −4 x ≥ −7
⇔ 4x ≤ 7 7 ⇔ x≤ 4
7⎤ ⎛ atau ⎜ − ∞, ⎥ 4⎦ ⎝ 77
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian 7 Jadi Hp2 = ⎛⎜ − ∞, ⎤ ∩ [− 1,2 ) ⎥ 4⎦
⎝
-1
7
4
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan 7⎤ bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡
⎡ 7⎤ sehingga Hp2 = ⎢− 1, ⎥ 4⎦ ⎣
⎢⎣− 1, 4 ⎥ ⎦
78
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian III. Untuk interval
x≥2
atau [2, ∞ )
3 x − 2 − x + 1 ≥ −2 ⇔ 3( x − 2) − ( x + 1) ≥ −2
⇔ 3x − 6 − x − 1 ≥ −2
⇔ 2 x − 7 ≥ −2 ⇔ 2x ≥ 5 5 ⇔x≥ 2
atau
⎡5 ⎞ ⎢2 ,∞⎟ ⎣ ⎠ 79
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Jadi Hp3 = ⎡ 5 , ∞ ⎞⎟ ∩ [2, ∞ ) ⎢
⎣2
⎠
2
5
2
Dari gambar garis bilangan tersebut dapat disimpulkan bahwa hasil irisan dua interval tersebut adalah ⎡ 5 ⎞ sehingga ⎢⎣ 2 , ∞ ⎟⎠ ⎡5 ⎞ Hp3 = ⎢ , ∞ ⎟
⎣2
⎠
80
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian Hp = Hp1 ∪ Hp 2 ∪ Hp3 7⎤ ⎡5 ⎞ ⎡ Hp = (− ∞,−1) ∪ ⎢− 1, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 4⎦ ⎣2 ⎠ ⎣ Untuk lebih mempermudah, masing-masing interval digambarkan dalam sebuah garis bilangan
81
Contoh : Menentukan Himpunan Penyelesaian -1
7
-1
7
-1
7
4
5
2
5 4
4
5
2
2
7⎤ ⎡5 ⎞ ⎛ Jadi Hp = ⎜ − ∞, ⎥ ∪ ⎢ , ∞ ⎟ 4⎦ ⎣2 ⎠ ⎝ 82
Soal Latihan Cari himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 1 x + 2 ≥ 1− x 4 − 2x
x − 2 x +1 ≤ 2 2 x x+3
3 2 − x + 3 − 2x ≤ 3 4 x +12 + 2 x + 2 ≥ 2 5 2x + 3 ≥ 4x + 5 6 x + 3x ≤ 2 83
