Dr. Égert János – Dr. Nagy Zoltán ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN
Dr. Égert János – Dr. Nagy Zoltán
ALKALMAZOTT RUGALMASSÁGTAN
UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. ♦ Győr, 2009
SZÉCHENYI ISTVÁN EGYETEM GYŐR
Írta:
Dr. Égert János – Dr. Nagy Zoltán
Lektorálta: Dr. Szabó Tamás
ISBN:
© UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft., 2009 Minden jog fenntartva, beleértve a sokszorosítás, a mű bővített, illetve rövidített változata kiadásának jogát is. A kiadó írásbeli hozzájárulása nélkül sem a teljes mű, sem annak része semmiféle formában nem sokszorosítható.
Kiadja az UNIVERSITAS-GYŐR Nonprofit Kft. Felelős kiadó: a Kft mindenkori ügyvezetője; Műszaki szerkesztő: Nagy Zoltán Készült a Palatia Nyomda és Kiadó Kft. nyomdájában. Felelős vezető Radek József
Tartalomjegyzék 0. BEVEZETÉS…………………………………………………………………………… 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ………………………………………………… 1.1 Vektorok és vektor műveletek………………………………………………………. 1.2. Gyakorló feladatok vektor műveletekre……………………………………………. 1.3. A mátrix algebra alapjai…………………………………………………………….. 1.4. Vektorok skaláris és diadikus szorzata……………………………..………………. 1.5 Mátrix sajátértékei és saját vektorai…………………………………………………. 1.6. Tenzorok előállítása………………………………………………………………… 1.7. Gyakorló feladatok mátrixokra, tenzorokra………………………………………… 1.8. Differenciál egyenletek…………………………………………………………….. 2. RUGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMAK………………………………………... 3. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK………………………………………………….. 3.1. Elmozdulási állapot…………………………………………………………………. 3.2. Fajlagos, relatív elmozdulási állapot……………………………………………….. 3.3. A fajlagos, relatív elmozdulási állapot felbontása………………………………….. 3.4. Alakváltozási állapot……………………………………………………………….. 3.5. Feszültségi állapot, belső erőrendszer……………………………………………… 3.5.1. Főtengely probléma, főfeszültségek, feszültségi főirányok………………… 3.5.2. Deviátor és gömbi tenzorok…………………………………………………. 3.5.3. Mohr-féle feszültségi kördiagram…………………………………………… 3.6. Energia állapot……………………………………………………………………… 3.6.1. Alakváltozási energia……………………………………………………….. 3.6.2. Mechanikai energia tétel…………………………………………………... 3.7. Gyakorló feladatok szilárdságtani állapotokra……………………………………… 4. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN……………….. 4.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra……………………………………………. 4.2. Méretezés, ellenőrzés szerkezeti jellemzők alapján………………………………… 5. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK…………………………………………….. 5.1. Egyensúlyi egyenletek – feszültségi állapot………………………………………… 5.2. Kinematikai /geometriai/ kompatibilitási egyenletek………………………………. 5.2.1. Az elmozdulásmező derivált tenzora……………………………………….. 5.2.2. Az alakváltozási tenzor……………………………………………………… 5.2.3. A forgató tenzor……………………………………………………………... 5.3. Anyagegyenletek lineárisan rugalmas anyagra…………………………………….. 5.3.1. Általános Hooke-törvény izotróp anyagra………………………………….. 5.3.2. Általános Hooke-törvény ortotróp anyagra…………………………………. 5.4. Peremfeltételek……………………………………………………………………… 5.5. A rugalmasságtan egyenletrendszere……………………………………………….. 5.6. A kompatibilitási egyenlet más alakjai……………………………………………... 5.6.1. Saint-Venant – féle kompatibilitási egyenlet………………………………... 5.6.2. Beltrami-Michell – féle kompatibilitási egyenlet…………………………… 6. RÚDFELADATOK……………………………………………………………………..
4
6.1. Síkgörbe rudak Grashof-féle elmélete……………………………………………… 6.1.1. Az alakváltozási jellemzők előállítása………………………………………. 6.1.2. A feszültség és az igénybevétel kapcsolata…………………………………. 6.1.3. Redukált másodrendű nyomaték……………………………………………. 6.1.4. Az elmélet alkalmazhatósága……………………………………………….. 6.1.5. A középvonal alakváltozási jellemzői………………………………………. 6.1.6. Az eredmények általánosítása………………………………….…………… 6.2. Prizmatikus rudak szabad csavarása………………………………………….……. 6.2.1. Egzakt megoldás………………………………………………………….… 6.2.2. Közelítő megoldás………………………………………………….………. 7. RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI……………………………………………. 7.1. Sík alakváltozás (SA)…………………………………….………………………… 7.2. Általánosított sík feszültségi feladat (ÁSF)………………………………………… 7.3. Forgásszimmetrikus/tengelyszimmetrikus feladat (FSZ)…………………………… 7.4. Sík feladatok (SA, ÁSF) megoldása feszültségfüggvény bevezetésével…………… 7.5. Forgásszimmetrikus síkbeli feladatok……………………………………………… 7.6. Vastagfalú csövek…………………………………………………………………... 7.6.1. Egyszerű vastagfalú cső……………………………………………………... 7.6.2. Vastag kettősfalú csövek ……………………………….…………………… 7.6.2.1. A túlfedés következtében kialakuló állapotok…………………….. 7.6.2.2. Kettősfalú vastag cső külső terheléssel…………………………… 7.6.2.3. A túlfedés meghatározása…………………………….…………… 7.6.2.4. Optimális csőméretek…………………………………….……………. 7.7. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek……………………………………………. 7.7.1. Gyorsan forgó csőtengely diagramja….……………………………………... 7.7.1. Gyorsan forgó tengely diagramja……..……………………………………... 7.8. Kör és körgyűrű alakú tárcsák……………………………………………………… 7.8.1. Furatos tárcsa………………………………………………………………… 7.8.2. Túlfedéssel illesztett kettős furatos tárcsa…………………………………. 7.9. Gyorsan forgó kör és körgyűrű alakú tárcsák………………………………………. 7.9.1. Gyorsan forgó furatos tárcsa………………………………………………… 7.9.2. Gyorsan forgó tömör tárcsa…………………………………………………. 7.9.3. Gyorsan forgó egyenszilárdságú tömör tárcsa………………………………. 8. VÉKONY FORGÁSHÉJAK MEMBRÁN ELMÉLETE……………………………. 8.1. Alapfogalmak, egyenletek………………………………………………………….. 8.2. Példák a membrán állapot meghatározására………………………………………... 9. LEMEZFELADATOK………………………………………………………………… 9.1. Alapfogalmak…………….………………………………………………………… 9.2. Kirchoff-féle lemezelmélet………………………………………………………… 9.3. Tengelyszimmetrikus terhelésű kör és körgyűrű alakú lemezek…………………..
5
0. BEVEZETÉS 1. MATEMATIKAI ÖSSZEFOGLALÓ 1.1. Vektorok és vektorműveletek Skaláris mennyiség: olyan geometriai, vagy fizikai mennyiség, amelyet nagyság, (előjel) és mértékegység jellemez. Vektor mennyiség: irányított geometriai, vagy fizikai mennyiség, amelyet nagyság (előjel), irány és mértékegység jellemez. a) Vektor megadása: Egységvektorok: ex , ey .
ea
y ay
Az egységvektorok hossza egységnyi: | ex |=| ey |= 1 .
a
ey O
Egy tetszőleges vektor megadása egységvektorokkal: a = ax ex + a y e y .
α ex
ax
x
Ha ismert az a vektor hossza és az x tengellyel bezárt szöge, akkor az előző összefüggésből: a =| a | cos α ex + | a | sin α ey =| a | (cos α ex + sin α ey ) =| a | ea Az a vektor hosszát a Pithagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki: | a |= ax2 + a y2 . Könnyen belátható az is, hogy ea vektor egységvektor : | ea |= cos 2 α + sin 2 α = 1 . A vektorok közötti műveletek a vektorok támadásponthoz, vagy hatásvonalhoz kötöttségétől függetlenül érvényesek. b) Vektorok összeadása: Legyen adott két vektor: a = ax ex + a y ey ,
b = bx ex + by ey .
A két vektor összegének kiszámítása: a + b = ( ax ex + a y ey ) + (bx ex + by e y ) = (ax + bx ) ex + (a y + by ) e y = c . cx cy A két vektor összegének megszerkesztése:
6
b c
a
c
a
b
Háromszög szabály
Paralelogramma szabály
c) Vektorok kivonása: Legyen adott két vektor: a = ax ex + a y ey , b = bx ex + by ey . A két vektor különbségének kiszámítása: a − b = (ax ex + a y e y ) − (bx ex + by e y ) = (ax − bx ) ex + ( a y − by ) ey = d . dx
dy
Két vektor különbségének megszerkesztése: b
−b
d
a d
a
b
a −b = d
a + (−b ) = d
d) Vektorok skaláris szorzása (az eredmény skaláris mennyiség): A skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b =| a || b | cos α . A skaláris szorzás kiszámítása: a ⋅ b = ax bx + a y by + az bz . Az a ⋅ b jelölés kiejtése (kiolvasása): á skalárisan szorozva bével. Egységvektorok skaláris szorzata: ex ⋅ ex = 1 , ey ⋅ e y = 1 , ez ⋅ ez = 1 , ex ⋅ ey = 0 ex ⋅ ez = 0 ey ⋅ ez = 0 . Az eredmény általánosítása: a ⋅ a =| a |2 és a ⋅ b = 0 ⇒ a ⊥ b . Az a ⊥ b jelölés kiejtése (kiolvasása): á merőleges bére. e) Vektorok vektoriális szorzata (az eredmény vektor): A vektoriális szorzás értelmezése: Az eredményvektor nagysága: | a × b | = | a | | b | sin α .
a paralelogramma magassága
7
a × b b
Az eredményvektor irányát ún. jobbkéz szabálylyal kapjuk meg: ha jobb kézzel az a vektort a b vektorba forgatjuk, akkor a jobb kéz hüvelykujja adja meg az eredményvektor irányát.
|b| sin α
α
a Az eredményvektor merőleges a szorzásban szereplő mindkét vektorra. A vektoriális szorzás kiszámítása:
ex a × b = ax
ey ay
ez az = ex (a y bz − by az ) − ey (ax bz − bx az ) + ez (ax by − bx a y ) .
bx
by
bz
Egységvektorok vektoriális szorzata: ez
ex
ey
ex × ex = 0 ,
ey × ey = 0 ,
ez × ez = 0 ,
ex × ey = ez ,
e y × ez = ex ,
ez × ex = ey ,
ey × ex = −ex , ex × ez = −ey , ez × e y = −ex . Szabály: - Ha két egységvektort az ábrán látható nyíllal megegyező sorrendben szorzunk össze vektoriálisan, akkor pozitív előjellel kapjuk a harmadik egységvektort. - Ha két egységvektort az ábrán látható nyíllal ellentétes sorrendben szorzunk öszsze vektoriálisan, akkor negatív előjellel kapjuk a harmadik egységvektort. Az eredmény általánosítása: a × b = 0 ⇒ a b . f) Vektorok kétszeres vektoriális szorzata (az eredmény vektor): (a × b ) × c , vagy a × (b × c ) . Kiszámítás kétféle úton lehetséges: - a két vektoriális szorzásnak a kijelölt sorrendben történő elvégzésével, - a kifejtési szabállyal: (a × b ) × c = b (a ⋅ c ) − a (b ⋅ c ) , ill. a × (b × c ) = b (a ⋅ c ) − c (a ⋅ b ) . g) Vektorok vegyes szorzata (az eredmény skalár mennyiség):
(
)
Értelmezés: (a b c ) = ( a × b ) ⋅ c = a ⋅ b × c .
ax Kiszámítás: (a b c ) = bx
ay by
az ax bz = a y
bx by
cx cy .
cx
cy
cz
bz
cz
(
) (
az
) (
) (
) (
)
Tulajdonság: (a b c ) = c a b = b c a = − c b a = − a c b = − b a c .
Következmény: Ha a ≠ 0, b ≠ 0és c ≠ 0, továbbá (a b c ) = 0 ⇒ A három vektor egy síkban van. 8
1.2. Gyakorló feladatok vektorműveletekre 1.2.1. feladat: Helyvektorok felírása, összegzése, abszolút értékének meghatározása Adott: egy hasáb, valamint a H pont helye: AB = 8 m , BE = 3 m ,
e z
H G
D
F
Feladat: a) A H pont rH helyvektorának meghatározása. b) A H-ból a B pontba mutató rHB helyvektor meghatározása.
C O
x
AD = 6 m , FH = 0,5 BF .
E
y
A B
Kidolgozás:
a) A H pont rH helyvektorának meghatározása: rH = rOF + rFH . rOF = rF = (8ey + 6ez ) m , e=
rBF 1 ( −3ex + 6ez ) m , rBF = (−3ex + 6ez ) m , = | rBF | 45 2 2 rBF = xBF + z BF = 32 + 62 = 9 + 36 = 45 m ,
rFH = 0,5 45 m , rFH =| r FH | e =
45 1 (−3ex + 6ez ) = (−15 , ex + 3ez ) m , 2 45
rH = (8e y + 6ez ) + (−15 , ex + 3ez ) = (−1,5ex + 8ey + 9ez ) m .
b) A H-ból a B pontba mutató rHB helyvektor meghatározása. 3 3 1 45 (−3ex + 6ez ) m , rHB = (4,5ex − 9ez ) m . rHB = − | r BF | e = − 2 2 45 1.2.2. feladat: Vektorok összege, különbsége, egymással bezárt szöge
9
Fy
F2
50
Adott: F1 = (40ex + 50e y ) N ,
−F2
α
F2 = (−20ex + 4ey ) N .
40 F0
30
F1 F∗
20 10 10
20
30
40
50
60
Feladat: a) A két erő F0 = F1 + F2 összegvektorának meghatározása. b) A két erő F* = F1 − F2 különbségvektorának meghatározása. Fx c) A két erővektor által bezárt α12 szög meghatározása.
Kidolgozás: a) A két erő F0 = F1 + F2 összegvektorának meghatározása: F0 = F1 + F2 = (40ex + 50e y ) + (−20ex + 4e y ) = (20ex + 54e y ) N .
b) A két erő F* = F1 − F2 különbségvektorának meghatározása: F* = F1 − F2 = (40ex + 50ey ) − (−20ex + 4ey ) = (60ex − 46ey ) N . c) A két erővektor által bezárt α12 szög meghatározása: F1 ⋅ F2 = F1 F2 cos α
⇒ cos α =
F1 ⋅ F2 F1 F2
.
F1 ⋅ F2 = 40(−20) + 50 ⋅ 4 = −800 + 200 = −600 N 2 , F1 = F12x + F12y = 402 + 502 = 64,03 N , F2 = F22x + F22y = 202 + 42 = 20,40 N , cos α =
−600 = −0,45934 , 64,03 ⋅ 20,40
α = arc cos(−0,45934) = 117,34° . 1.2.3. feladat: Vektor koordinátái és összetevői Adott: Feladat: a = (10ex + 5e y ) m . a) Az a vektor x és y irányú skaláris koordinátáinak meghatározása. b) Az a vektor x és y irányú összetevőinek meghatározása. Kidolgozás: a) A vektor koordinátatengely irányú koordinátáinak meghatározása (skaláris mennyiségek): A skaláris szorzás értelmezéséből: y ax = a ⋅ ex =| a || ex | cos α =| a | cos α , a y = a ⋅ e y =| a || ey | cos β =| a | cos β . ay A skaláris koordináták kiszámítása: ax = a ⋅ ex = (10ex + 5ey ) ⋅ ex = 10ex ⋅ ex + 5ey ⋅ ex = 10 m ,
a
β
α
ax
x
a y = a ⋅ e y = (10ex + 5e y ) ⋅ e y = 10ex ⋅ ey + 5ey ⋅ ey = 5 m.
b) A vektor koordinátatengely irányú összetevői (vektor mennyiségek):
10
ax = ax ex = (10ex ) m ,
a y = a y e y = (5ey ) m .
1.2.4. feladat: Vektor koordinátái és összetevői Adott: Feladat: b = (6ex + 6e y ) m , a) A b vektor a irányú b és a irányra merőleges b⊥ skaláris koordinátáinak meghatározása. a = (12ex + 4ey ) m . b) A b vektor a irányú b és a irányra merőleges b⊥ összetevőinek meghatározása. Kidolgozás: a) Adott irányú koordináták meghatározása: A b vektor a irányú koordinátája ( a irányra eső vetülete): y a ⋅b . a ⋅ b =| a | ⋅| b | cos α ⇒ b =| b | cos α = b⊥ |a| b a ⋅ b b x a ⋅ b = 12 ⋅ 6 + 4 ⋅ 6 = 96 m 2 ,
b =
96 = 7,59 m 12, 65
| a |= 122 + 42 = 160 = 4 10 ≈ 12, 65 m ,
A b vektor a irányra merőleges koordinátája (az a irányra merőleges vetülete): | a ×b | . | a × b |=| a | | b | sin α ⇒ b⊥ =| b | sin α = |a| b⊥ ex
ey
ez
a × b = 12 6
4 6
0 = ez (72 − 24) = (48 ez ) m 2 , 0
| a × b |= 48 m 2 ,
| a |= 12,65 m . b⊥ =
| a ×b | 48 = = 3,79 m . |a| 12, 65
b) Adott irányú összetevők meghatározása: A b vektor a irányú összetevője: a 1 (12ex + 4ey ) = (0, 9486 ex + 0, 3162e y ) , ea = = | a | 12, 65 b = b ea = 7, 59(0, 9486ex + 0, 3162e y ) = (7, 2ex + 2, 4ey ) m .
A b vektor a irányra merőleges összetevője: ⎛ a ×b ⎛ (a × b ) × a a ⎞ a ×b a ⎞ × × . ⎟ | b | sin α = ⎜ ⎟ | b | sin α = = b⊥ = ⎜ | a |2 a a | | | | ⎝| a ×b | ⎠ b ⎝ | a || b | sin α ⎠ ⊥ e⊥ (a × b ) × a = (48 ez ) × (12ex + 4ey ) = (−192ex + 576ey ) m3 ,
11
b⊥ =
−192ex + 576ey
= (−1, 2ex + 3,6ey ) m . 160 Ellenőrzés: b = b + b⊥ = (7, 2ex + 2, 4 ey ) + (−1, 2ex + 3, 6 e y ) = (6ex + 6ey ) m .
1.2.5. feladat: Vektorok skaláris szorzata Adott: F1 = (40ex + 18ey − 26ez ) kN , Kérdés: Mekkora legyen F3 y , ha azt akarjuk, F2 = (−2ex + 2e y + 3ez ) kN , hogy ( F1 + F3 ) merőleges legyen F2 -re? F3 = ( F3 y ey ) . Kidolgozás: Ha a ⊥ b , akkor a ⋅ b = 0 =| a || b | cos α = 0 . 90o Ezért teljesülnie kell az ( F1 + F3 ) ⋅ F2 = 0 összefüggésnek. ( F1 + F3 ) ⋅ F2 = ⎡⎣ 40ex + (18 + F3 y )ey − 26ez ⎤⎦ ⋅ (−2ex + 2ey + 3ez ) = 0 , −40 ⋅ 2 + (18 + F3 y )2 − 26 ⋅ 3 = 0 , −80 + 36 + 2 F3 y − 78 = 0 , 2 F3 y = 122
⇒
F3 y = 61kN .
1.2.6. feladat: Vektor koordinátái és összetevői Adott: y a = (3ex + e y ) N , b = (4ex + 2e y ) N .
b
a ⋅ a⊥ a
x
Feladat: a) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ skaláris koordinátáinak meghatározása.
b) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ összetevőinek meghatározása. Megoldás: a) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ skaláris koordinátái: a = 2, 235 N , a⊥ = 2, 235 N . b) Az a vektor b irányú a és a b irányra merőleges a⊥ összetevői: a ≈ (ex + 2ey ) N , a⊥ ≈ (2ex − e y ) N .
1.3. Mátrixalgebrai összefoglaló a) Mátrix értelmezése, jelölése: Mátrix: Skaláris mennyiségeknek, számoknak megadott szabály szerint táblázatba rendezett halmaza.
12
⎡ ⎢a Mátrix jelölése: ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ 11 ⎢a
⎣⎢ 21
a12 a22
a13 ⎤⎥ ⎥. a23 ⎥⎦⎥
A mátrixokat kétszer aláhúzott betűvel, a mátrixok elemeit (koordinátáit) alsó indexes betűvel jelöljük. Pl. A, a és a13 , a2 stb. Az a13 mátrixelem az A mátrix első sorában és harmadik oszlopában van. Mátrix mérete: Például a fenti (2x3)-as méretű ⎡⎣ A⎤⎦ mátrixnak két sora és három oszlopa van. Az a13 mátrix elem jelölés kiejtése (kiolvasása): á egy három.
⎡ a1 ⎤ T Oszlopmátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = ⎢⎢ a2 ⎥⎥ , sormátrix: ⎡⎣ a ⎤⎦ = [ a1 a2 a3 ] . ⎢⎣ a3 ⎥⎦ Az oszlopmátrixnak egy oszlopa, a sormátrixnak egy sora van. A sormátrix ugyanannak az oszlopmátrixnak a transzponáltja. A sormátrixot a mátrix betűjelének felső indexébe írt T betű jelöli. b) Mátrixműveletek: A műveleteket (2 × 2) -es, (2x1)-es és (1x2)-es mátrixokra mutatjuk be. - Mátrix transzponáltja (tükrözés a főátlóra): A mátrix főátlóját az azonos indexű elemek alkotják. ⎡ a ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢⎢ 11 ⎢a
⎣ 21
a12 ⎤⎥ ⎥ a22 ⎥⎦
(2 × 2)
⇒
⎡ a ⎡ AT ⎤ = ⎢⎢ 11 ⎣ ⎦ ⎢ a12 ⎣
a21 ⎤⎥ ⎥. a22 ⎥⎦
(2 × 2)
A transzponálási művelet jele: T (a mátrix felső indexében). A transzponálás oszlopmátrixból sormátrixot, sormátrixból pedig oszlopmátrixot hoz létre. T
Az A jelölés kiejtése á transzponált. - Mátrixok összeadása, kivonása: Csak azonos méretű mátrixok adhatók össze, vonhatók ki egymásból. A± B =C , a a
⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21
a12 ⎤⎥ ⎡⎢ b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ ( a11 ± b11 ) (a12 ±b12 ) ⎤⎥ ⎡⎢ c11 c12 ⎤⎥ ⎥±⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥. a22 ⎥⎦ ⎢⎣ b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ (a21 ±b21 ) (a22 ±b22 ) ⎥⎦ ⎢⎣ c21 c22 ⎥⎦
(2 × 2)
(2 × 2)
(2 × 2)
(2 × 2)
- Mátrix szorzás (sor-oszlop kombináció): Csak olyan mátrixok szorozhatók össze, amelyek teljesítik azt a feltételt, hogy az első szorzótényező oszlopainak száma megegyezik a második szorzótényező sorainak számával. AB=C,
13
⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21
a a
a12 ⎤⎥ ⎡⎢b11 b12 ⎤⎥ ⎡⎢ (a11 b11 + a12 b21 ) (a11 b12 + a12 b22 ) ⎤⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . a22 ⎥⎦ ⎢⎣ b21 b22 ⎥⎦ ⎢⎣ ( a21 b11 + a22 b21 ) (a21 b12 + a22 b22 ) ⎥⎦
(2 × 2) Ab =c , a a
⎡ ⎢ 11 ⎢ ⎢ ⎣ 21
(2 × 2)
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ a12 ⎤⎥ ⎡⎢ b1 ⎤⎥ ⎢ ( a11 b1 + a12 b2 ) ⎥ ⎢ c1 ⎥ ⎥ ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎢ (a b + a b ) ⎥ ⎢c ⎥ a22 ⎥⎦ ⎢⎣b2 ⎥⎦ 21 1 22 2 ⎦ ⎣ ⎣ 2⎦
(2 × 2) (2 × 1) T
(2 × 2)
(2 × 1)
(2 × 1)
T
a B=d , b b12 ⎤⎥ ⎡ (a1 b12 + a2 b22 ) ⎤⎥⎦ = ⎡⎢⎣ d1 d2 ⎤⎥⎦ . ⎥ = ⎢ ( a1 b11 + a2 b21 ) ⎣ ⎢b ⎥ b 21 22 ⎣ ⎦ (1 × 2) (1 × 2) (1 × 2) (2 × 2)
⎡ ⎢⎣ 1
a
⎡ ⎢ 11
a2 ⎤⎥⎦ ⎢
c) Különleges mátrixok: ⎡1 0 ⎤ - Egységmátrix: E = ⎢ ⎥ . Tulajdonsága: E A = A E = A . ⎣0 1 ⎦ Az egységmátrix a főátlójában 1-es koordinátákat, a főátlóján kívül 0 elemeket tartalmaz. Az egységmátrixszal történő szorzás nem változtatja meg a megszorzott mátrixot. T - Szimmetrikus mátrix: A = A A mátrix elemei megegyeznek a főátlóra vett tükörképükkel. ⎡1 2 ⎤ Például ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎥ szimmetrikus mátrix. ⎣ 2 9⎦
- Ferdeszimmetrikus mátrix:
T
A = −A.
A mátrix bármelyik eleme megegyezik a főátlóra vett tükörképének mínusz egyszeresével. Ebből az következik, hogy a főátlóban csak zérus elemek lehetnek. ⎡ 0 − 3⎤ Például ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎥ ferdeszimmetrikus mátrix. ⎣3 0 ⎦
1.4. Vektorok skaláris, kétszeres vektoriális és diadikus szorzata Egyes vektor szorzások mátrixok szorzataként is elvégezhetők. a) Vektorok skaláris szorzata: A skaláris szorzás értelmezése: a ⋅ b = a b cos α . ( α a vektorok között bezárt szög, α ≤ π .) A skaláris szorzás kiszámítása mátrixszorzással: ⎡bx ⎤ ⎢ ⎥ a ⋅ b = ⎡⎣ ax a y az ⎤⎦ ⎢by ⎥ = ax bx + a y by + az bz . ⎢b ⎥ ⎣ z⎦ Az első szorzó tényező koordinátáit sormátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba rendezzük és a szorzást a mátrixszorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. 14
A szorzás eredménye egy skaláris mennyiség. b) Vektorok diadikus szorzata: Legyen adott az a , b és c tetszőleges vektor. Két vektor diadikus szorzatának jelölése: a b , elnevezése: diád. Az a b jelölés kiejtése (kiolvasása): á diád bé. Két vektor diadikus szorzatát a szorzás tulajdonságainak megadásával értelmezzük: - a diadikus szorzás és a skaláris szorzás asszociatív (csoportosítható, azaz szorzások elvégzésének sorrendje felcserélhető): (a b ) ⋅ c = a (b ⋅ c ) , - a diád a skaláris szorzás szempontjából nem kommutatív (nem mindegy, hogy egy diádot jobbról, vagy balról szorzunk meg skalárisan egy vektorral, mert más eredményt kapunk): c ⋅ (a b ) ≠ (a b ) ⋅ c . Ha a szorzás a fenti összefüggéseket kielégíti, akkor a szorzás diadikus. Két vektor diadikus szorzatának kiszámítása jobbsodrású, derékszögű koordinátarendszerben: ⎡ ⎤ ⎢ x⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎡ ⎢ y ⎥ ⎣⎢ x ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ z⎦
a ⎡a b ⎤ = a ⎣ ⎦ a
b
by
⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢⎣
ax bx ⎤ bz ⎦⎥ = ay bx az bx
ax by ay by az by
ax bz ⎤⎥ ⎥ ay bz ⎥⎥ . ⎥ az bz ⎥⎥⎦
Az első szorzó tényező koordinátáit oszlopmátrixba, a második szorzó tényező koordinátáit sormátrixba rendezzük és a szorzást a mátrix szorzás szabályai szerint (sor-oszlop kombináció) végezzük el. A szorzás eredménye egy kilenc skaláris mennyiséget tartalmazó mátrix. Egységvektorok diadikus szorzata: ⎡0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡1 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ [ex ex ] = ⎢0⎥ [1 0 0] = ⎢0 0 0⎥ , ⎡⎣ey ey ⎤⎦ = ⎢1 ⎥ [0 1 0] = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ , ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
[ ez
⎡1 ⎤ ⎡0 1 0 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ez ] = ⎢0 ⎥ [ 0 0 1] = ⎢0 0 0 ⎥ , ⎡⎣ ex ey ⎤⎦ = ⎢0 ⎥ [ 0 1 0] = ⎢⎢0 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 1 ⎥⎦
[ ex
⎡0⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0 0 1 ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ez ] = ⎢ 0 ⎥ [ 0 0 1] = ⎢ 0 0 0 ⎥ , ⎡⎣ ey ez ⎤⎦ = ⎢1 ⎥ [ 0 0 1] = ⎢⎢0 0 1 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 0 0 ⎥⎦
⎡⎣ ey
⎡0⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0 0 0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ex ⎤⎦ = ⎢1 ⎥ [1 0 0] = ⎢1 0 0 ⎥ , [ ez ex ] = ⎢ 0 ⎥ [1 0 0] = ⎢⎢0 0 0 ⎥⎥ , ⎣⎢1 ⎦⎥ ⎣⎢ 1 0 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 0 ⎥⎦
15
⎡0⎤ ⎡0 0 0 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ ez ey ⎤⎦ = 0 [ 0 1 0] = ⎢0 0 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣1 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 1 0 ⎥⎦ A skalár számmal történő szorzás mindig diadikus, vagy más szóhasználattal általános szorzás.
1.5. Mátrix sajátértékei és sajátvektorai a) A sajátérték feladat kitűzése: Létezik-e olyan n oszlopmátrix, amellyel az A négyzetes mátrixot megszorozva, az n oszlopmátrix valahányszorosát kapjuk: An = λ n , ahol a λ skaláris mennyiség? Ha létezik ilyen n oszlopmátrix, akkor ezt az A négyzetes mátrix sajátvektorának, a λ skaláris mennyiséget pedig az A mátrix sajátértékének nevezzük. b) A sajátérték feladat megoldása: A sajátérték feladat megoldását egy (2x2)-es mátrixon mutatjuk be. Az előző egyenletet részletesen kiírva és bal oldalra rendezve: ⎡ nx ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ a11 a12 ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎢ ⎥=λ⎢ ⎥ , ⇒ ⎢ ⎢ ⎥−λ⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ , ⎢a ⎥ ⎥ ⎣ 21 a22 ⎦ ⎣ n y ⎦ ⎣ a21 a22 ⎦ ⎣ n y ⎦ ⎣ ny ⎦ ⎣ ny ⎦ ⎣0⎦ és a szorzásokat elvégezve, az nx , n y ismeretlenre homogén lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk: (a11 − λ ) nx + a12 n y = 0, a21 nx + (a11 − λ ) n y = 0. Az egyenletrendszer nem triviális (nullától különböző) megoldásának feltétele az, hogy a rendszer mátrixából képezett determinánsnak el kell tűnnie: ( a11 − λ )
a21
a12 (a11 − λ )
= 0.
A determinánst kifejtve kapjuk a karakterisztikus egyenletet:
λ 2 − ( a11 + a22 )λ + (a11a22 − a12 a21 ) = 0 . A karakterisztikus egyenlet megoldásai a mátrix sajátértékei:
λ1,2 =
(a11 + a22 ) ± (a11 + a22 ) 2 + 4a12 a21
. 2 A homogén lineáris algebrai egyenletrendszernek csak λ = λ1 és λ = λ 2 esetén van nemtriviális megoldása. A mátrix sajátértékeit növekvő sorrendben szokás sorszámozni.
16
Ha az egyes λi (i=1,2) sajátértékeket behelyettesítjük a homogén lineáris algebrai egyenletrendszerbe, akkor az egyenletrendszer megoldható az nix , niy ismeretlenre:
(a11 − λi ) nix + a12 niy = 0 ⎪⎫ ⎬ a21 nix + ( a11 − λi ) niy = 0 ⎪⎭
⇒
nix = … niy = …
,
ahol i=1,2.
Az λi (i=1,2) sajátértékek behelyettesítése esetén azonban az egyenletrendszer egyenletei egymástól nem lineárisan függetlenek, ezért az egyik egyenletet el kell hagyni és a másik egyenletből csak az nix / niy , vagy niy / nix (i=1,2) hányados határozható meg. T Az nix és niy értékét akkor kapjuk meg egyértelműen, ha az ni = ⎡⎣ nix niy ⎤⎦ sajátvektoroktól megköveteljük, hogy egységvektorok legyenek:
nix2 + niy2 = 1 ,
i=1,2.
1.6. Tenzorok előállítása a) Tenzor értelmezése és tulajdonságai: Tenzor: Homogén lineáris vektor-vektor függvény által megvalósított leképezés (hozzárendelés). w = f (v ) = T ⋅ v . v
w
hozzárendelés Ow
Ov
A T tenzor a tetszőleges v vektorhoz a w képvektort rendeli hozzá. A vektor-vektor függvény olyan függvénykapcsolat, amelynek v értelmezési tartománya és w értékkészlete is vektor mennyiség. A tenzor tulajdonságai: Homogén lineáris: Ha egy vektort két másik vektor lineáris kombinációjaként állítunk elő, akkor a vektor képvektora egyenlő a lineáris kombinációban szereplő vektorok képvektorainak lineáris kombinációjával: Ha v = λ1v1 + λ2 v2 és w1 = f (v1 ) , w2 = f (v2 ) , akkor w = f (v ) = f (λ1v1 + λ2 v2 ) = λ1 f (v1 ) + λ2 f (v2 ) = λ1w1 + λ2 w2 . Az összefüggésekben λ1 és λ2 tetszőleges skaláris együtthatók. Következmény: A zérus vektorhoz zérus vektort rendel hozzá: 0 = f (0) . A tenzor koordináta-rendszertől független fizikai (geometriai, mechanikai) mennyiség. b) Tenzor előállítása jobbsodratú, derékszögű descartesi koordináta-rendszerben: - Tenzor megadása: - a tenzor koordinátáival (mátixával) és - a koordináta-rendszerrel történik. - Tenzor koordinátáinak jelölése mátrixba rendezve:
17
⎡Txx Txy Txz ⎤ ⎡T11 T12 T13 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢Tyx Tyy Tyz ⎥ = ⎢T21 T22 T23 ⎥ . ⎢ ⎥ xyz ⎢T T T ⎥ ⎢T T T ⎣ 31 32 33 ⎥⎦ zy zz ⎦ ⎣ zx - Tenzor előállítása derékszögű descartesi KR-ben: 1. Tétel: - Térbeli esetben minden tenzor egyértelműen megadható három egymásra merőleges egységvektor és ezek képvektorai (három értékpár) ismeretében. - Síkbeli esetben minden tenzor egyértelműen megadható két egymásra merőleges egységvektor és ezek képvektorai (két értékpár) ismeretében. 2. Tétel: - Térbeli esetben minden tenzor előállítható három diád összegeként. - Síkbeli esetben minden tenzor előállítható két diád összegeként. Legyen ismert három értékpár: ex → a = f (ex ) ,
a = ax ex + a y ey + az ez ,
ey
→ b = f (e y ) ,
b = bx ex + by e y + bz ez ,
ez
→ c = f ( ez ) ,
c = c x ex + c y e y + c z ez .
A tenzor diadikus előállítása: T = ( a ex + b ey + c ez ) . ⎡ ax ⎢ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ a y xyz ⎢a ⎣ z
bx by bz
cx ⎤ ⎥ cy ⎥ . cz ⎥⎦
A tenzor mátrixát a diadikus előállításban kijelölt diadikus szorzások és az összeadások elvégzésével kapjuk. A tenzor mátrixának oszlopai az a , b , c képvektorok koordinátáit tartalmazzák. A mátrix első sorában a képvektorok x koordinátái, a második sorban a képvektorok y koordinátái, a harmadik sorban a képvektorok z koordinátái állnak. c) Tenzorok kétszeres skaláris szorzása Legyen :
⎡ a11 ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ a21 ⎢ ⎣⎢ a31
a12 a22 a32
a13 ⎤ a23 ⎥⎥ a33 ⎦⎥
−−−−−−−−− a1
a2
a3
és
⎡ b11 b12 ⎡⎣ B ⎤⎦ = ⎢b21 b22 ⎢ ⎣⎢b31 b32
b13 ⎤ b23 ⎥⎥ b33 ⎦⎥
−−−−−−−−− b1
b2
18
b3
.
) (
) = ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) + ( a e ) ⋅⋅ ( b e ) . (
A ⋅⋅ B = a1 ex + a2 e y + a3 ez ⋅⋅ b1 ex + b2 e y + b3 ez = 1
x
1
x
1
2
2
y
1
x
2
y
2
y
2
y
3
z
3
z
1
x
3
z
2
y
3
z
3
z
x
y
1
3
x
z
Diádok kétszeres skaláris szorzata :
( a b ) (c d ) = ( a ⋅ c ) (b ⋅ d ) o
• •
o
(
A ⋅⋅ B = a1 ⋅ b1
(
+ a2 ⋅ b1
(
+ a3 ⋅ b1
) (e ) (e ) (e
x
(
⋅ ex ) + a1 ⋅ b2 1
y
0 z
) (
⋅ ex + a2 ⋅ b2
(
⋅ ex ) + a3 ⋅ b2
) (e
) (
⋅ e y + a1 ⋅ b3
x
) (e ) (e
0 y
⋅ e y + a2 ⋅ b3 1
z
) (
) (e
) (
⋅ e y + a3 ⋅ b3
x
) (e
) (e
⋅ ez ) + 0 y
)
⋅ ez + 0
z
⋅ ez ) = a1 ⋅ b1 + a2 ⋅ b2 + a3 ⋅ b3 =
1 0 = a11 ⋅ b11 + a12 ⋅ b12 + a13 ⋅ b13 + a21 ⋅ b21 + a22 ⋅ b22 + a23 ⋅ b23 + a31 ⋅ b31 + a32 ⋅ b32 + a33 ⋅ b33 . 0
1.7. Gyakorló feladatok mátrixokra, tenzorokra 1.7.1. feladat: Mátrix műveletek Adott: ⎡ −12 4 ⎤ ⎡ 2 − 4⎤ ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ , ⎡⎣ B ⎤⎦ = ⎢ ⎥. ⎥ ⎣ −6 3⎦ ⎣7 3 ⎦ Feladat: T T a) Az A és B transzponált mátrixok meghatározása. b) Az A + B összegmátrix és az A − B különbségmátrix meghatározása. c) Az A B szorzatmátrix meghatározása. Kidolgozás: T
T
a) Az A és B transzponált mátrixok meghatározása: ⎡ 2 7⎤ ⎡ −12 − 6 ⎤ T T A =⎢ , B =⎢ . ⎥ 3 ⎥⎦ ⎣ −4 3 ⎦ ⎣ 4 b) Az A + B összegmátrix és az A − B különbségmátrix meghatározása: ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡ −10 0 ⎤ A+ B = ⎢ ⎥+⎢ ⎥=⎢ ⎥, ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣ 1 6 ⎦ ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡14 − 8⎤ A− B = ⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣13 0 ⎦
19
c) Az A B szorzatmátrix meghatározása. ⎡ 2 − 4 ⎤ ⎡ −12 4 ⎤ ⎡ 2( −12) + (−4)(−6) 2 ⋅ 4 + (−4)3⎤ AB = ⎢ = ⎥⎢ ⎥=⎢ 7 ⋅ 4 + 3 ⋅ 3 ⎥⎦ ⎣ 7 3 ⎦ ⎣ −6 3⎦ ⎣ 7( −12) + 3(−6) ⎡ − 48 − 4 ⎤ =⎢ ⎥. ⎣ −102 37 ⎦ 1.7.2. feladat: Skaláris, diadikus és mátrix szorzás gyakorlása Feladat: Adott: a = (4 ex + 6 e y − ez ) m, a) Az a ⋅ b és az a b szorzatok meghatározása. b = ( −3 ex + ey − ez ) m, b) Az (a b ) ⋅ c és a c ⋅ (a b ) szorzat meghatározása. c = ( −2 ey − 6 ez ) m. Kidolgozás: a) Az a ⋅ b és az a b szorzatok meghatározása: ⎡ −3⎤ a ⋅ b = [ 4 6 − 1] ⎢⎢ 1 ⎥⎥ = 4 (−3) + 6 ⋅ 1 + (−1) (−1) = −5 m 2 , ⎢⎣ −1⎥⎦ a b = ( 4 ex + 6 e y − ez )
( −3 e + e − e ) = = ⎡⎣( −12 e − 18e + 3e ) e + ( 4 e + 6e + ( −4 e − 6 e + e ) e ⎤⎦ m2. x
x
x
y
y
z
z
y
x
z
x
y
− ez ) e y +
z
A szögletes zárójelben lévő diádok első szorzó tényezőinek koordinátái a tenzor mátrixának oszlopaiban jelennek meg: ⎡4⎤ ⎡ −12 4 −4 ⎤ ⎢ ⎥ ⎡ a b ⎤ = 6 [ −3 1 −1] = ⎢ −18 6 −6 ⎥ m2. ⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ b) Az (a b ) ⋅ c és a c ⋅ (a b ) szorzat meghatározása: - Az értelmezés alapján: (a b ) ⋅ c = a (b ⋅ c ) = = ( 4 ex + 6ey − ez ) ⎡⎣( −3 ex + ey − ez ) ⋅ ( −2ey − 5 ez ) ⎤⎦ = = ( 4 ex + 6ey − ez ) [ −2 + 5] = (12 ex + 18 ey − 3 ez ) m3, - Mátrixszorzással: ⎡ −12 4 −4 ⎤ ⎡ 0 ⎤ ⎡ −8 + 20 ⎤ ⎡12 ⎤ ⎡ (a b ) ⎤ [ c ] = ⎢ −18 6 −6 ⎥ ⎢ −2 ⎥ = ⎢ −12 + 30 ⎥ = ⎢18 ⎥ m3. ⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ ⎢⎣ −5⎥⎦ ⎢⎣ 2 − 5 ⎥⎦ ⎢⎣ −3⎥⎦ A kétféleképp előállított eredmény természetesen megegyezik. - Az értelmezés alapján:
20
c ⋅ (a b ) = (c ⋅ a ) b = ⎡⎣( −2ey − 5 ez ) ⋅ ( 4 ex + 6 ey − ez ) ⎤⎦ ( −3 ex + ey − ez ) = = [ −12 + 5] ( −3 ex + e y − ez ) = (21ex − 7ey + 7ez ) . - Mátrixszorzással: ⎡ −12 4 −4 ⎤ [c ] ⎡⎣(a b ) ⎤⎦ = [0 − 2 − 5] ⎢⎢ −18 6 −6⎥⎥ = ⎢⎣ 3 −1 1 ⎥⎦ = [ (36 − 15) ( −12 + 5) (12 − 5) ] = [ 21 − 7 7 ] m3 . A kétféleképp előállított eredmény természetesen megegyezik. 1.7.3. feladat: Vektor adott irányra merőleges összetevőjének meghatározása
z
Adott: b = (20 ex + 40ey − 30ez ) m, ea = (0,8 ey − 0,6 ez ) ,
b O
ea
⋅ b⊥
b
x
y
Feladat: a) A b vektor ea egységvektorral párhuzamos b összetevőjének meghatározása. b) A b vektor ea egységvektorra merőleges b⊥ összetevőjének meghatározása kétszeres vektoriális szorzással. c) A b vektor ea egységvektorra merőleges b⊥ összetevőjének meghatározása a kifejtési szabállyal. Kidolgozás: a) A b párhuzamos összetevő meghatározása: ⎛ ⎡ 20 ⎤ ⎞ ⎜ ⎟ b = (ea ⋅ b ) ea = ⎜ [ 0 0,8 − 0,6] ⎢⎢ 40 ⎥⎥ ⎟ ea = (32 + 18) ea = 50 ea ⎜ ⎢⎣ −30 ⎥⎦ ⎟⎠ ⎝ b = 50 ea = 50(0,8 e y − 0,6 ez ) = (4e y − 30ez ) m.
b) A b⊥ merőleges összetevő meghatározása kétszeres vektoriális szorzással: b⊥ = (ea × b ) × ea . ex
ey
ez
(ea × b ) = 0 0,8 − 0,6 = ex (−24 + 24) − e y (12) + ez (−16) , 20 40
− 30
21
ex
ey
ez
(ea × b ) × ea = 0 − 12 − 16 = ex (7, 2 + 12,8) − ey (0) + ez (0) . 0
0,8 − 0,6
b⊥ = (ea × b ) × ea = (20 ex ) m. c) A b⊥ összetevő meghatározása a kifejtési szabállyal: b⊥ = (ea × b ) × ea = b (ea ⋅ ea ) − ea (b ⋅ ea ) = b − b . b⊥ = b − b = (20 ex + 40ey − 30ez ) − (40 ey − 30 ez ) = (20 ex ) m. 1.7.4. feladat: Tenzor előállítása
y
Adott: rP = (4 ex + 2 ey ) m.
A
O
rA
rP
P
x
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordináta-rendszer O kezdőpontjára tükrözött vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amely az rP vektor origóra vett tükörképe. Kidolgozás: a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ex → a = − ex , ey → b = − ey . A két értékpárból a tenzor:
T = (a ex + b e y ) .
⎡ −1 0 ⎤ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ ⎥. ⎣ 0 − 1⎦ b) Az origóra tükrözött rA képvektor meghatározása: ⎡ −1 0 ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ −1 0 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ −4 ⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ yP ⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ −2 ⎦ rA = (−4ex − 2 ey ) m .
22
1.7.5. feladat: Tenzor előállítása y
P
Adott: rP = (4ex + 3 e y ) m. rP
O rA
x
A
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraiból a helyvektoroknak a koordináta-rendszer x tengelyére tükrözött vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amely az rP vektor x tengelyre vett tükörképe. Kidolgozás: a) A tenzor előállítása: Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ex → a = ex , ey → b = − ey . T = (a ex + b e y )
A két értékpárból a tenzor:
⎡1 0 ⎤ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ ⎥. ⎣ 0 − 1⎦ b) Az x tengelyre tükrözött rA képvektor meghatározása: ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ 1 0 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 4 ⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ . ⎣ 0 − 1⎦ ⎣ yP ⎦ ⎣ 0 − 1⎦ ⎣3 ⎦ ⎣ −3⎦ rA = (4ex − 3 ey ) m . 1.7.6. feladat: Tenzor előállítása
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy
Adott:
ϕ = 30 , rP = (4ex + ey ) m. o
y
sík helyvektoraiból a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel elforgatott vektorait állítja elő. b) Meghatározni azt az rA vektort, amelyet az rP vektor ϕ szöggel történő elforgatásával kapunk.
A rA
ϕ
rP
P
x
Kidolgozás: a) A tenzor előállítása:
23
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ex → a = (cos ϕ ex + sin ϕ ey ) ,
y
ey → b = (− sin ϕ ex + cos ϕ e y ) .
ϕ
b
ey
A két értékpárból a tenzor: T = (a ex + b e y )
a
ϕ
x
ex A diádok kiszámítása: ⎡a ⎤ ⎡a [ a ex ] = ⎢ ax ⎥ [1 0] = ⎢ ax ⎣ y⎦ ⎣ y
0 ⎤ ⎡cos ϕ 0 ⎤ , ⎥= 0 ⎦ ⎢⎣sin ϕ 0 ⎥⎦
⎡b ⎤ ⎡ 0 bx ⎤ ⎡ 0 − sin ϕ ⎤ ⎡b e y ⎤ = ⎢ x ⎥ [ 0 1] = ⎢ ⎥=⎢ ⎥. ⎣ ⎦ b ⎣ y⎦ ⎣ 0 by ⎦ ⎣ 0 cos ϕ ⎦ ⎡cos ϕ − sin ϕ ⎤ ⎡0,866 − 0,5 ⎤ = . A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ cos ϕ ⎥⎦ ⎢⎣ 0,5 0,866 ⎥⎦ ⎣sin ϕ b) Az elforgatott rA vektor meghatározása: ⎡cos ϕ − sin ϕ ⎤ ⎡ xP ⎤ ⎡ 0,866 − 0,5 ⎤ ⎡ 4 ⎤ ⎡ 2,964⎤ rA = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣sin ϕ cos ϕ ⎦ ⎣ yP ⎦ ⎣ 0,5 0,866 ⎦ ⎣1 ⎦ ⎣ 2,866 ⎦
rA = (2,964 ex + 2,866 ey ) m .
1.7.7. feladat: Tenzor előállítása
y
Adott:
ϕ = 45 , rP = (5 ex + 2 ey ) m.
A
o
uP
rA
P
ϕ
rP
x
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely az xy sík helyvektoraihoz a helyvektorok z tengely körül ϕ szöggel történő elforgatásakor a helyvektorok végpontjainak elmozdulás vektorait rendeli hozzá. b) Meghatározni rP vektor végpontjának uP elmozdulás vektorát a ϕ szöggel történő elforgatásnál. Kidolgozás: a) A T tenzor előállítása:
24
y
Síkbeli esetben a tenzort két értékpárja határozza meg: ex → a = −(1 − cos ϕ ) ex + sin ϕ ey ,
b
ϕ
ey → b = − sin ϕ ex − (1 − cos ϕ ) ey .
ey a
ϕ
A két értékpárból a tenzor: T = (a ex + b e y ) .
x
ex
A tenzor mátrixa: ⎡(cos ϕ − 1) − sin ϕ ⎤ ⎡ −0, 293 − 0,707 ⎤ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢ = . (cos ϕ − 1) ⎥⎦ ⎢⎣ 0,707 − 0, 293⎥⎦ ⎣ sin ϕ b) Az uP elmozdulásvektor meghatározása: ⎡ −0, 293 − 0,707 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎡ −2,879⎤ uP = T ⋅ rP = ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎣ 0,707 − 0, 293⎦ ⎣ 2 ⎦ ⎣ 2,949 ⎦ uP = (−2,879 ex + 2,949 e y ) m . 1.7.8. feladat: Tenzor előállítása 1 1 Adott: n = (− ey + ez ) , rP = (5ex + 2 ey + 10 ez ) m. 2 2
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely
z P n
rP
⋅A
rA
x
a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az n normálisú S síkba eső vetületvektorát rendeli hozzá. b) Meghatározni rP vektornak az adott n normálisú S síkba eső rA vetületvektorát. y
S
A vetületvektort úgy kapjuk, hogy az rP vektor végpontját merőlegesen vetítjük az S síkra. Kidolgozás: a) A T tenzor előállítása: A tetszőleges v vektor S síkba eső w vetületvektora: w = n × (v × n ) = v ( n ⋅ n ) − n ( n ⋅ v ) = v − n ( n ⋅ v ) . =1 Térbeli esetben a tenzort három értékpárja határozza meg: ex → a = ex − n (n ⋅ ex ) = ex , =0
25
n 1 1 1 ⎞ ⎛1 = ey − ey + ez = ⎜ ey + ez ⎟ , 2 2 2 ⎠ 2 ⎝2
ey → b = ey − n ( n ⋅ ey ) = ey − =−
1 2
ez → c = ez − n (n ⋅ ez ) = ez +
1 1 1 ⎞ ⎛1 = ez + e y − ez = ⎜ ey + ez ⎟ . 2 2 2 ⎠ 2 ⎝2
n
1 2 A három értékpárból a tenzor: T = ( a ex + b ey + c ez ) . =
0⎤ ⎡1 0 ⎢ A tenzor mátrixa: ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢0 0,5 0,5⎥⎥ . ⎢⎣0 0,5 0,5⎥⎦ b) Az rP vektornak az adott n normálisú síkba eső rA vetületvektorának meghatározása: 0 ⎤ ⎡ 5 ⎤ ⎡5 ⎤ ⎡1 0 ⎢ rA = T ⋅ rP = ⎢ 0 0,5 0,5⎥⎥ ⎢⎢ 2 ⎥⎥ = ⎢⎢6 ⎥⎥ m. ⎢⎣ 0 0,5 0,5⎥⎦ ⎢⎣10 ⎥⎦ ⎢⎣6 ⎥⎦ rA = (5 ex + 6 e y + 6 ez ) m. 1.7.9. feladat: Tenzor előállítása Adott: rP = (3 ex + 4 ey + 6 ez ) m. Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely a tér
z
O x
rP
P
rA
⋅⋅ D
y
minden helyvektorához a helyvektoroknak az xy síkra vett tükörkép-vektorát rendeli hozzá. b) Meghatározni rP vektornak az xy síkra vett rA tükörkép-vektorát.
A A tükörkép-vektort a következőképpen kapjuk: Az rP vektor végpontját merőlegesen vetítjük az xy síkra. A D pont a vetítő egyenes döféspontja az xy síkon. Megoldás: a) A hozzárendelést megvalósító tenzor mátrixa: ⎡1 0 0 ⎤ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢0 1 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 − 1⎥⎦ b) Az rA tükörkép-vektor: rA = (3 ex + 4 ey − 6 ez ) m.
26
1.7.10. feladat: Tenzor előállítása Adott: rP = (4ex + 4 e y + 8 ez ) m.
z
rP
P y
O x
rA
⋅⋅ D≡A
Feladat: a) Annak a T tenzor mátrixának az előállítása, amely a tér minden helyvektorához a helyvektoroknak az xy síkba eső vetületvektorát rendeli hozzá.
b) Meghatározni rP vektornak az xy síkba eső rA vetületvektorát. A vetületvektort úgy kapjuk, hogy az rP vektor végpontját merőlegesen vetítjük az xy síkra. A D pont a vetítő egyenes döféspontja az xy síkon. A vetületvektor a D pontba mutató vektor. Megoldás: a) A hozzárendelést megvalósító tenzor mátrixa: ⎡1 0 0 ⎤ ⎡⎣T ⎤⎦ = ⎢0 1 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎢⎣0 0 0 ⎥⎦ b) Az rA vetületvektor: rA = (4ex + 4ey ) m.
27
2. RUGALMASSÁGTANI ALAPFOGALMAK Szilárdságtan: a terhelés előtt és után is tartós nyugalomban lévő alakváltozásra képes testek kinematikája, dinamikája és anyagszerkezeti viselkedése. Az értelmezésben előforduló kifejezések definicíója: Terhelés: az általunk vizsgált rendszerhez (testekhez) nem tartozó testekről származó ismert nagyságú hatás. Ez a hatás szilárd halmazállapotú testeknél általában felületi érintkezéssel valósul meg. Terhelés ≡ ismert külső erőrendszer (ER). A tartós nyugalom feltételei: - a testre ható erőrendszer egyensúlyi, - a test megtámasztása nem enged meg merevtest szerű elmozdulást. Alakváltozás: - a test pontjai terhelés hatására egymáshoz képest elmozdulnak és ezért - anyagi, geometriai alakzatai (hossz, szög, felület, térfogat) megváltoznak. Kinematika a szilárdságtanban: leírja a terhelés hatására a testben bekövetkező elmozdulásokat és alakváltozásokat. Dinamika a szilárdságtanban: megadja az alakváltozás és a belső erőrendszer közötti kapcsolatot. A valóságos testek helyett modelleket vizsgálunk. Test modell: Olyan idealizált tulajdonságokkal rendelkező test, amely a valóságos test vizsgálata szempontjából leglényegesebb tulajdonságait tükrözi. A valóságos test lényegesnek tartott tulajdonságait megtartjuk, a lényegtelennek ítélt tulajdonságokat pedig elhanyagoljuk. Például:
szilárd test
merev test
B A
α C
Merev test: Bármely két pontjának távolsága állandó- terhelés hatására nem változik meg. A test pontjai (részei) egymáshoz képest terhelés hatására sem mozdulnak el. Szilárd test: A szilárd test alakváltozásra képes test. A test pontjainak távolsága, egyeneseinek egymással bezárt szöge terhelés hatására megváltozik. A test felületeinek és térfogatainak alakja és nagysága is megváltozik. 28
A szilárdságtan szilárd testek terhelés hatására történő viselkedését vizsgálja. Szilárdságtan Rugalmasságtan Lineáris rugalmasságtan
Képlékenységtan
Nemlineáris rugalmasságtan
Rugalmas alakváltozás / rugalmas test: A terhelés hatására alakváltozott szilárd test a terhelés megszüntetése (levétele) után visszanyeri eredeti alakját. Lineárisan rugalmas alakváltozás: a terhelés és alakváltozás, a terhelés és a belső erőrendszer (ER) között lineáris kapcsolat van. Nemlineárisan rugalmas alakváltozás: a kapcsolat nem lineáris. Képlékeny alakváltozás / képlékeny test: Az alakváltozott test tehermentesítés után nem nyeri vissza eredeti alakját. A tantárgy a lineárisan rugalmas testek kis elmozdulásaival és kis alakváltozásaival foglalkozik. Kis elmozdulás: a test pontjainak elmozdulása nagyságrendekkel kisebb a test geometriai méreteinél. Kis alakváltozás: a test alakváltozását jellemző mennyiségek lényegesen kisebbek, mint 1. ε << 1 , γ << 1 . statikai Egyenértékűség szilárdságtani Statikai egyenértékűség: két erőrendszer statikailag egyenértékű, ha azonos nyomatéki vektorteret hoznak létre. Szilárdságtani egyenértékűség: két, ugyanazon testre ható erőrendszer szilárdságtanilag egyenértékű, ha azok – a test egy kis részétől eltekintve – a testnek ugyanazt az alakváltozási állapotát hozzák létre. Például:
F
F
29
Ez a két erőrendszer statikailag egyenértékű, szilárdságtanilag viszont nem. Az F erő a nyomaték vonatkozásában hatásvonala mentén eltolható ⇒ a két erőrendszer statikailag egyenértékű. A fenti szerkezet az F erő támadáspontjától függően egészen másképp alakváltozik ⇒ a két erőrendszer szilárdságtanilag nem egyenértékű. Saint – Venant elv: Szilárd test alakváltozásakor a test valamely ugyanazon kis felületén ható nyomatéki terük vonatkozásában egyenértékű erőrendszerek - a kis felület közvetlen környezetének kivételével – jó közelítéssel ugyanazt az alakváltozási állapotot állítják elő. Például:
hasáb
gömb G
G
A tartóban, a terhelés környezetén kívül jó közelítéssel ugyanaz az alakváltozási állapot jön létre. A fenti terhelés azonos módon modellhezhető. G
Elemi környezet / elemi tömeg: Minden test ∞ sok tömegpontból felépülő rendszernek is tekinthető. A tömegpontokhoz úgy jutunk el, hogy a testet ∞ sok kis részre bontjuk.
30
tömegpont
elemi kocka
elemi gömb
test
Tömegpontnak / elemi tömegnek / elemi környezetnek a szilárdságtanban egy olyan kis testrészt tekintünk, amelynek méretei a test méreteihez képest elhanyagolhatóan kicsik. Az elemi környezet szilárdságtani állapotait az elemi környezet egy pontjához (a középpontjához) kötött mennyiségekkel írjuk le. Elemi környezet szilárdságtani állapotai: - elmozdulási állapot, - alakváltozási állapot, - feszültségi állapot, - energia állapot. Test szilárdságtani állapotai: Az elemi környezetek szilárdságtani állapotainak összessége (halmaza). A test szilárdságtani állapotait mezőkkel (terekkel) írjuk le. Mező / tér: az adott mennyiségeket a hely függvényében ismerjük.
31
3. SZILÁRDSÁGTANI ÁLLAPOTOK 3.1. Elmozdulási állapot
z
V
P
V′
uP rP
ez
ex
ey
P′
rP′ y
x
u P - a test tetszőleges P pontjának elmozdulás vektora. rP ′ = rP + u P
⇒
Pont / elemi környezet:
uP = uP′ − uP . u p = u P ex + vP e y + wP ez .
Test : u ( x, y, z ) = u ( x, y , z ) ex + v( x, y , z ) e y + w( x, y , z ) ez . u ( r ) = u ( x, y , z ) ⎫ ⎪ v(r ) = v ( x, y , z ) ⎬ az elmozdulásmező skaláris koordinátái. w(r ) = w ( x, y, z )⎪⎭ 3.2. Fajlagos, relatív elmozdulási állapot
Elemi triéder: a P pontban felvett terhelés előtt egymásra merőleges ex , e y , ez egységvektor hármas. Feltételezzük, hogy az elemi triéder a P pont elemi környezetén belül helyezkedik el. A P pont elemi környezetének elmozdulása felbontható: - párhuzamos eltolásra és - fajlagos relatív elmozdulásra.
32
C uC
uz C ∗∗
C′
uP ez uP
ex x
B∗∗
P e y
ux
A∗∗
uP
B′
uP
uy
uA
A
P′
uB
B
A′
Párhuzamos eltolás : u P . A P pontra vonatkoztatott relatív elmozdulások: u x = u A − uP ⎫ ⎪ u y = uB − u P ⎬ az elemi triéder végpontjainak fajlagos relatív elmozdulás vektorai. u z = uC − uP ⎪⎭ Relatív, mert a P ponthoz viszonyított. Fajlagos, mert a P ponttól egységnyi távolságra lévő pontok elmozdulása. Az elemi triéder mozgása : párhuzamos eltolás relatív elmozdulás PA∗∗ B∗∗C ∗∗ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → P′A′B′C ′ . PABC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ Célkitűzés: megakarjuk határozni a P elemi környezetében lévő tetszőleges N pont relatív fajlagos elmozdulását. Az n - a P-ből az N pontba mutató helyvektor (egységvektor). n = 1 ⇒ az N pontok a P középpontú egységnyi sugarú gömbfelületen helyezkednek el. hozzárendelés (leképezés) n ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ un . Derivált tenzor: - D P = u x e x + u y e y + u z ez . ⎡u xx ⎢ - D P = ⎢u yx ⎢u zx ⎣
[ ]
u xy u yy u zy
u xz ⎤ ⎥ u yz ⎥ nem szimmetrikus tenzor. u zz ⎥⎦
A derivált tenzor egyértelműen jellemzi a P pont környezetének fajlagos, relatív elmozdulási állapotát. 33
A D derivált tenzor fizikai tartalma: megadja a P pont elemi környezetében az elmozdulás hely szerinti megváltozását. Az N pont fajlagos, relatív elmozdulásvektora: un = D P ⋅ n . 3.3. A fajlagos relatív elmozdulási állapot felbontása
A derivált tenzor felbontása: D P =
(
1 T D+D 2 AP
) + 12 ( D − D ) . T
ΨP
szimmetrikus rész
ferdeszimmetrikus rész
Tetszőleges N pont fajlagos, relatív elmozdulásának felbontása:
(
)
un = D P ⋅ n = AP + Ψ P ⋅ n = AP ⋅ n + Ψ P ⋅ n = α n + β n . Az N a P pont elemi környezetében levő pont: PN = n . Az N pont alakváltozási vektora : α n = AP ⋅ n , ahol AP a P pont alakváltozási tenzora. Az N pont merevtestszerű forgási vektora: β n = Ψ P ⋅ n , ahol Ψ P a P pont forgási tenzora. A fajlagos relatív elmozdulási állapot szemléltetése:
βz
C∗
αz
n =1,
C ∗∗
uz
un = α n + β n ,
N∗
ez
αn n
ex A
ux
αx
P
N
ey
uy A∗
A∗∗ β x
B∗∗
ux =α x + β x ,
βn
u y =α y + β y ,
un N
∗∗
uz =α z + β z .
B
αy βy
B∗
merevtestszerű forgás alakváltozás → PA∗ B∗C ∗ ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ PABC ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → PA∗∗ B∗∗C ∗∗ . 3.4. Alakváltozási állapot
34
Az alakváltozási állapot során megváltozik a P pontra illeszkedő n egységvektorok hossza és egymással bezárt szöge. Az elemi triéder ∗ ∗ ∗ → PA B C . PABC ⎯⎯ C
αz
(
2
A
(
π 2
− γ yz )
(1+ εy ) (
αx
Megváltozott szögek : ∗ ⎛π ⎞ PA =1 + ε x , ⎜ − γ xy ⎟ , 2 ⎝ ⎠ ∗ ⎛π ⎞ PB =1 + ε y , ⎜ − γ xz ⎟ , 2 ⎝ ⎠ ∗ ⎛π ⎞ PC =1 + ε z , ⎜ − γ yz ⎟ . 2 ⎝ ⎠ Az értelmezésből következik : γ xy = γ yx , γ yz = γ zy , γ xz = γ zx .
C∗
− γ xz )
1
Megváltozott hosszak :
(1+ εz )
1 π
alakváltozása:
π 2
− γ xy ) 1
A∗ ( 1 + ε x )
B
B∗
αy
Alakváltozási jellemzők: - fajlagos nyúlások : ε x , ε y , ε z . - fajlagos szögváltozások : γ xy , γ yz , γ xz . Előjel: ε > 0 megnyúlás , ε < 0 megrövidülés,
γ > 0 az eredeti 900 -os szög csökken , ha γ < 0 az eredeti 900 -os szög nő. Mértékegység: ε : mm mm = 1 , γ : rad rad = 1 . Kis alakváltozás: ε =10−3 ∼ 10−4 , γ =10−3 ∼ 10−4 . Alakváltozási tenzor :
− AP = α x ex + α y ey + α z ez . 1 1 ⎤ ⎡ γ xy γ xz ⎢ εx 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ − ⎣ AP ⎦ = γ yx εy γ yz . ⎢2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 γ zx 1 γ zy εz ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 −−−−−−−−−−−
αx
αy
αz
Az alakváltozási tenzor a derivált tenzor szimmetrikus része. Az alakváltozási vektorok :
1 2
1 2
α x = ε x ex + γ yx ey + γ zx ez ,
35
1 2
1 2
α y = γ xy ex + ε y ey + γ zy ez , 1 2
1 2
α z = γ xz ex + γ yz ey + ε z ez .
Az alakváltozási állapot szemléltetése:
εz 1 γ xz 2
1 γ yz 2
ez
1 γ zx 2
εx
1 γ zy 2
ey
ex
1 γ xy 2
1 γ yx 2
εy
Az alakváltozási jellemzők számítása:
ε n = n ⋅α n = n ⋅ A ⋅ n
[ mm / mm = 1] ,
1 γ mn = m ⋅α n = α m ⋅ n = m ⋅ A ⋅ n = n ⋅ A ⋅ m 2 A test alakváltozási állapota :
[ rad / rad = 1] .
A = A ( r ) = A ( x, y , z ) .
A test alakváltozási állapota alakváltozási tenzormezővel jellemezhető. 3.5. Feszültségi állapot, belső erőrendszer
A belső erőrendszert úgy tudjuk vizsgálni, ha a testet gondolatban részekre bontjuk és az így keletkezett testrészek egyensúlyát vizsgáljuk. Feltételezés: az egész testre egyensúlyi erőrendszer hat. Egyensúlyi erőrendszer = terhelések + támasztó erőrendszer. A testet a P pontra illeszkedő síkkal vágjuk ketté. A P ponton át végtelen sok sík vehető fel.
36
A
(V ) = (V1 ) + (V2 ) ( A ) = ( A1 ) + ( A2 ) P
( S1 ) = ( S2 ) V1
V
S1
−ρ
S2 V2
P
n
−n
dA
dA
P
ρ
A1
A2 A szétvágás után az egyes részek egyensúlya akkor biztosított, ha az ( S1 ) és ( S 2 ) felületen belső erőrendszer lép fel. Feszültségvektor: az ( S1 ) és ( S 2 ) metszetfelületen megoszló belső erőrendszer sűrűségvektora.
ρ = ρ ( r , n ) , ahol
r − a P pont helyvektora, n − az ( S1 ) sík normális egységvektora.
Pontbeli feszültség állapot ( r = állandó ) :
ρ = ρ ( n ) = ρn , ρ− n = − ρn . A feszültségvektor összetevői, koordinátái:
n - az elemi felület normálisa, l , m - az elemi felület síkjába eső egységvektorok.
n
dA
σn
Összetevők:
ρn
- Normál feszültségvektor:
τ mn P
σ n = ( n ⋅ ρn ) n .
m
σn
τn
τ ln
- Csúsztató feszültségvektor:
τ n = ρn −σ n n = ( n × ρn ) × n .
l
37
Koordináták: - Normál feszültség: σ n = n ⋅ ρ n = ρ n ⋅ n . - Csúsztató feszültségek: τ mn = m ⋅ ρ n = m ⋅ τ n , Mértékegység:
τ ln = l ⋅ ρ n = l ⋅ τ n .
N N MN = Pascal, = 2 = MPa . 2 2 m mm m
Feszültségi tenzor: A test P pontjában a ρ n feszültségvektor az n lineáris, homogén függvénye : ρ n = F ⋅ n . Előállítása: − F = ρ x ex + ρ y e y + ρ z ez .
⎡σ x τ xy τ xz ⎤ τ xy =τ yx ⎫ ⎢ ⎥ ⎪ − ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ , τ yz =τ zy ⎬ szimmetrikus tenzor. ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ τ xz =τ zx ⎪⎭ ⎣ ⎦ −−−−−−−−−
ρx
ρy
ρz
Az F feszültségi tenzor mátrixa 6 darab független skalár mennyiséggel adható meg. A feszültségvektorok koordinátái:
ρ x = F ⋅ ex = σ x ex +τ yx ey +τ zx ez , ρ y = F ⋅ e y =τ xy ex + σ y ey +τ zy ez , ρ z = F ⋅ ez =τ xz ex +τ yz e y + σ z ez . Előírt irányokhoz tartozó feszültségkoordináták számítása:
ρn = F ⋅ n , σ n = n ⋅ ρn = n ⋅ F ⋅ n ,
z
τ mn =τ nm = m ⋅ ρ n = ρ n ⋅ m = m ⋅ F ⋅ n = n ⋅ F ⋅ m.
σz τ xz
A P ponti feszültségi állapot szemléltetése:
τ yz
τ zy σy
τ zx
σx x
38
τ yx
τ xy
y
Feszültségi főtengelyek, főfeszültségek: Ha az e egységvektorra merőleges elemi felületen τ e = 0 és ⇒ ρ e = σ e e akkor, az e feszültségi főtengely (feszültségi főirány), σ e főfeszültség és az e -re merőleges elemi felület síkja főfeszültségi sík. Megjegyzések:
− σ e is lehet zérus ⇒ ρe = 0. − Minden P pontban létezik legalább három főirány, melyek kölcsönösen merőlegesek egymásra. e3
Feszültségi állapot a főtengelyek koordinátarendszerében: ⎡σ 1 0 0 ⎤ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ 0 σ 2 0 ⎥ . ⎢ ⎥ (1,2,3) ⎢ 0 0 σ 3 ⎥⎦ ⎣
σ3
σ1
σ2 e2
Megállapodás:
− σ e is lehet zérus
⇒ ρe = 0.
e1
3.5.1. Főtengely problémafőfeszültségek, feszültségi főirányok
A főtengely probléma matematikai szempontból sajátérték feladatnak tekinthető. A feladat célkitűzése:
ρe = σ e e , F ⋅ e = σe E⋅e ,
αe = ε e e , A⋅ e = ε e E ⋅ e ,
( F − σ E ) ⋅ e = 0.
( A − ε E ) ⋅ e = 0.
e
e
A főtengely probléma azonos módon írható fel a feszültségi és az alakváltozási állapot esetén. Kérdés: van-e olyan e irány, mely kielégíti a fenti egyenleteket ? Válasz: van, legalább három. Elnevezés: e − főirány/főtengely irány egységvektora, σ e − főfeszültség , ε e − főnyúlás . Az e egységvektor koordinátáira nézve homogén, lineáris algebrai egyenletrendszert kapunk. A nemtriviális megoldás feltétele (csak a feszültségi állapotra mutatjuk be a megoldást): det F − σ e E = 0 .
39
(σ x − σ e ) A determináns részletesen felírva:
τ yx
(σ
τ zx
τ xy y
−σe
τ xz
)
τ yz
= 0.
(σ z − σ e )
τ zy
A determinánst kifejtve ⇒ karakterisztikus egyenlet:
σ e3 − FI σ e2 + FII σ e − FIII = 0 . A karakterisztikus egyenlet megoldásai: σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 főfeszültségek. A karakterisztikus egyenlet együtthatói, a feszültségi tenzor skaláris invariánsai:
FI = σ x + σ y + σ z - első skalár invariáns, FII =
σ y τ yz σ x τ xz σ x τ xy + + - második skalár invariáns, τ zy σ z τ zx σ z τ yx σ y
σ x τ xy τ xz FIII = τ yx σ y τ yz - harmadik skalár invariáns. τ zx τ zy σ z Invariáns: olyan mennyiség, amely a koordináta transzformáció során nem változik. Főirányok meghatározása: A σ 1 , σ 2 , σ 3 főfeszültségeket visszahelyettesítjük a homogén, lineáris algebrai egyenletrendszerbe és megoldjuk az egyenletrendszert az irányvektor koordinátáira.
σ 1 → e1 ,
σ 2 → e2 ,
σ 3 → e3 .
A három egyenlet nem független egymástól ⇒ csak az ei irányvektor koordinátáinak aránya határozható meg. Az egyértelmű megoldáshoz szükséges a pótlólagos feltétel: eix2 + eiy2 + eiz2 = 1 , ( i =1, 2,3) . A feltétel geometriai tartalma, hogy az ei legyen egységvektor, e1 = e12x + e12y + e12z = 1 .
3.5.2. Deviátor és gömbi tenzorok
Feszültségi deviátor tenzor:
Fd = F − σk E.
Ad = A − ε k E .
Közepes feszültség:
σk =
σx +σ y +σz 3
=
Alakváltozási deviátor tenzor:
FI . 3
Közepes nyúlás:
εk =
40
εx + ε y + εz 3
=
AI . 3
Fd
+ σk E ,
deviátoros rész
gömbi rész
F=
Átrendezve :
A=
Ad
+
εk E
tiszta tiszta térfogattorzulás változás
A feszültségi és az alakváltozási tenzor is felbontható tiszta torzulási (deviátoros) és tiszta térfogatváltozási (gömbi) részre. A deviátor tenzorok tulajdonságai : Fd I = 0 ,
Ad I = 0.
A deviátor tenzorok első skalár invariánsa zérus. 3.5.3. Mohr-féle feszültségi kördiagram
A kördiagram a P pontbeli feszültségi állapotot szemlélteti a σ n , τ n síkon. Legyen: e1 , e2 , e3 feszültségi főirány e3
n = cos α e1 + cos β e2 + cos γ e3 .
γ e1
α
n
β e2
A szemléltetés alapja: ρ n → N
a σ n , τ n síkon.
Bizonyítható: - A γ = állandó normálisok ρ n feszültségvektoraihoz tartozó N pontok a σ n , τ n síkon félkörívet alkotnak. - Ez a megállapítás az α = állandó és β = állandó feltételek esetén is igaz. - A főfeszültségi síkokba eső normálisok ρ n feszültségvektoraihoz tartozó N pontok a
σ n , τ n síkon félkörívet alkotnak. Például: az ( e1 e2
Kördiagram
41
) sík normálisai: γ = 900.
τn
β =π
2
γ = állandó
γ =π
α = állandó
2
β =π
2
σ3
σ2
σn
σ1
A tetszőleges n irányhoz tartozó ρ n feszültségvektornak megfelelő N pontok a folytonos félkörívekkel határolt tartományon belül vannak. Kördiagram szerkesztése, ha egy főfeszültség (például a σ z ) ismert:
ez Az ez feszültségi főirány ⇒ az xy sík feszültségi fősík (nincs τ z csúsztató feszültség)
σz
⇓
ey
τ xy
σx
A kördiagramban az X,Y pontok egy félkörön (főkörön) helyezkednek el. Az X,Y pontokra fektetett félkör határozza meg az xy síkba eső főfeszültségi pontokat/ irányokat.
τ yx
ex
τn τ xy
Y
X
α τ xy τ yx
σ3
O1
σy
σz =σ2
O2
2α O3
σx
A szerkesztés gondolatmenete: a) Felvesszük az X , Y pontokat. b) Meghatározzuk a félkör O2 középpontját : O2 → 42
σ1
σx +σ y 2
σn
.
c) Megrajzoljuk a félkört → σ 1 ,σ 3 . d) A σ 1 ,σ 2 ,σ 3 főfeszültségek ismeretében megrajzoljuk a másik két félkört. Főfeszültségek meghatározása a diagramból:
σ1 =
σx +σ y 2
2
+
⎛σx −σ y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy , 2 ⎠ ⎝
−
⎛ σ x −σ y ⎞ 2 ⎜ ⎟ + τ xy . 2 ⎝ ⎠
σ2 = σz , σ3 =
σx +σ y 2
2
Főirányok meghatározása:
A kördiagramból: tg 2α =
e3
⋅
2 τ xy
σx −σ y
.
A τ csúsztató feszültségek mindig a σ növekedésének irányában mutatnak.
α y
⇓
α
Az α szög felmérésének iránya. e1
x
3.6. Energia állapot 3.6.1. Alakváltozási energia
a) Fajlagos alakváltozási energia (egységnyi térfogat alakváltozási energiája):
u (r ) =
1 1 F ⋅⋅ A = ρ x ex + ρ y e y + ρ z ez ⋅⋅ α x ex + α y e y + α z ez = 2 2
=
(
) (
1 1 ρ x ⋅ α x + ρ y ⋅ α y + ρ z ⋅ α z = σ xε x + σ yε y + σ z ε z + τ xyγ xy + τ yz γ yz + τ xzγ xz 2 2
(
)
(
u ≥ 0. A fajlagos alakváltozási energia pozitív skaláris mennyiség. Az alakváltozási energia felbontása: u=
)
uT + uV . tiszta tiszta torzulás térfogatváltozás
Fajlagos torzulási energia:
43
)
uT =
1 ⎡(σ x − σ y ) 2 + (σ y − σ z ) 2 + (σ z − σ x ) 2 + 6(τ xy 2 + τ yz 2 + τ xz 2 ) ⎤ . ⎦ 12 G ⎣
uT ≥ 0. A fajlagos torzulási energia pozitív skaláris mennyiség. Fajlagos térfogatváltozási energia: 1 1 1 − 2ν 2 uV = AI FI = FI . 6 12 G 1 + ν uV ≥ 0. A fajlagos térfogatváltozási energia pozitív skaláris mennyiség. Határeset: tökéletesen összenyomhatatlan anyag (nem képes térfogatváltozásra). Például: kaucsuk, gumi
uV = 0 ⇒ 1 − 2ν = 0 ⇒ ν = 0,5 . A többi anyagra: uV > 0 ⇒ ν < 0,5 . b) Test alakváltozási energiája: U=
∫
u dV , ahol V a test térfogata.
(V ) 3.6.2. Mechanikai energia tétel
Csak a mechanikai hatásokból származó energiákat vesszük figyelembe.
E2 − E1 =WK + WB E − kinetikai energia , 1 – terhelés előtti állapot , 2 - terhelés utáni állapot. WK − a külső erők munkája , WB − a belső erők munkája . Szilárdságtan/rugalmasságtan: test a terhelés előtt és után is tartós nyugalomban van.
E1 = E2 ≡ 0 WK = − WB =
⇒
WK + WB = 0 .
U + WD rugalmas disszipációs alakváltozási energia energia (nem visszanyerhető (visszanyerhető rész) rész)
Rugalmas alakváltozás: A külső munka teljes egészében visszanyerhető : WK = − WB = U . Fontos tulajdonság: az energia pozitív skaláris mennyiség.
44
4. MÉRETEZÉS, ELLENŐRZÉS STATIKUS TERHELÉS ESETÉN Méretezés, ellenőrzés célkitűzése: Annak elérése, hogy a szerkezet rendeltetésszerű használat esetén előírt ideig és előírt biztonsággal az adott terhelést elviselje anélkül, hogy benne károsodás lépne fel. Statikus terhelés : a terhelés időben nem változik. Méretezés, ellenőrzés statikus terhelésnél Pontbeli jellemző alapján (feszültségcsúcsra)
Szerkezeti jellemző alapján (teherbírásra, alakváltozásra)
4.1. Méretezés, ellenőrzés feszültségcsúcsra
Károsodás:
Anyag/szilárdsági jellemző:
- maradó (képlékeny) alakváltozás, - törés, szakadás.
RP 0,2 − folyáshatár , Rm − szakítószilárdság.
Ezek az anyagjellemzők szakító kisérlettel határozhatóak meg. a) Speciális eset: egytengelyű feszültségi állapot.
σ z ≤ σ meg =
σ jell n
, ahol n a biztonsági tényező,
σ jell a károsodáshoz tartozó szilárdsági jellemző.
Itt nincs probléma, mert csak egy főfeszültség koordináta nem nulla : σ z ≠ 0 . Az anyagjelemzők is az egytengelyű feszültségi állapotra állnak rendelkezésre, például: y
F
húzás – nyomás
F z
y
tiszta hajlítás
z
M hx
M hx
b) Általános eset: tetszőleges térbeli feszültségi állapot
45
⎡σ x τ xy τ xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢τ yx σ y τ yz ⎥ ⎢τ zx τ zy σ z ⎥ ⎣ ⎦
Probléma : nem tudjuk, hogy melyik feszültségi koordinátát hasonlítsuk össze a σ meg -el !
Redukált feszültség / egyenértékű feszültség / összehasonlító feszültség Definíció : Olyan feszültség, amely a pontbeli feszültdégi állapotot a károsodás szempontjából egyértelműen jellemzi. A redukált feszültség bevezetésével a tetszőleges tetszőleges térbeli feszültségi állapotot egytengelyű feszültségi állapotra vezetjük vissza. A redukált feszültség kiszámítására különböző elméletek vannak.
α ) Rideg anyagok: σ
Rideg anyag : nem képes alakváltozásra.
Rm
A rugalmas alakváltozás után hirtelen törik/szakad el. Például az öntött vas, kerámia, üveg, stb.
ε Coulomb elmélet: egy feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi állapothoz tartozó legnagyobb normál feszültség kisebb az anyag szakítószilárdságánál. Főfeszültségek jelölése: σ 1 ≥ σ 2 ≥ σ 3 . A pontban fellépő legnagyobb normálfeszültség: σ max = max ( σ 1 , σ 3 ) . Coulomb féle redukált feszültség: σ red ( Coulomb ) = σ max = max ( σ 1 , σ 3 ) . Méretezés, ellenőrzés:
σ red (Coulomb) ≤ σ m eg =
Rm , n
ahol n az előírt biztonsági tényező.
β ) Alakítható anyagok
σ
Alakítható anyag : képlékeny alakváltozásra képes.
Rm
A törés csak a rugalmas alakváltozás után következik be.
R p0 ,2
Például a fémek, acél, alumínium, stb.
ε
46
Mohr elmélet: egy pontbeli feszültségi állapot akkor nem okoz károsodást, ha a feszültségi állapothoz tartozó legnagyobb Mohr kör átmérője kisebb, mint a megengedett feszültség. Mohr-féle redukált feszültség : σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 . Méretezés, ellenőrzés:
σ red ( Mohr ) ≤ σ m eg =
σ jell n
,
ahol σ jell = R p 0,2 , vagy σ jell = Rm és az n az előírt biztonsági tényező. Huber-Mises-Hencky elmélet: Két feszültségi állapot a károsodás szempontjából akkor egyformán veszélyes, ha a torzulási alakváltozási energiájuk megegyezik: uT1 = uT2 A Huber-Mises-Hencky elmélet szerinti redukált feszültség arányos az uT torzulási energiával.
σ red ( HMH ) = 6 G uT = σ red ( HMH ) =
1⎡ σ x −σ y 2 ⎣⎢
(
1⎡ 2 2 2 σ 1 − σ 2 ) + (σ 2 − σ 3 ) + (σ 3 − σ 1 ) ⎤ , ( ⎦ 2⎣
) + (σ 2
y
−σ z
) + (σ 2
z
(
)
2 2 2 − σ x ) + 6 τ xy + τ yz + τ xz2 ⎤ . ⎦⎥
Méretezés, ellenőrzés:
σ red ( HMH ) ≤ σ m eg =
σ jell n
.
A Mohr és a HMH szerint redukált feszültség csak kis mértékben tér el egymástól. Általában : σ red ( HMH ) < σ red ( Mohr ) . c) Méretezés, ellenőrzés általános gondolatmenete rúdszerkezetek esetén: - A rúdszerkezet veszélyes keresztmetszetének megkeresése. ahol legnagyobbak az igénybevételek - A veszélyes keresztmetszen a veszélyes pontok megkeresése. ahol σ red legnagyobb - A veszélyes pontokban a méretezés, ellenőrzés elvégzése: σ red max ≤ σ meg .
47
4.2. Méretezés, ellenőrzés szerkezeti jellemzők alapján
a) Teherbírásra:
σ
Feltételezés: - az anyag jól alakítható,
R p0 ,2
- az anyag lineárisan rugalmas, ideálisan képlékeny.
ε R p0 ,2
- Húzás-nyomás esetén:
y
y
S
y
σz
x
σz R p0,2
N növelés ⎯⎯⎯⎯⎯→
tönkremenetel
N K = R p 0,2 A ( N K határerő )
N =σ z A Méretezés, ellenőrzés N ≤ N m eg =
NK , nK
nK − előírt biztonsági tényező.
- Egyenes hajlítás esetén:
y
y
y
R p0,2
A′
y
R p0,2
S
x
M hx
σz
σz
σz
A′′ R p0,2
R p0,2
48
M hx növelés ⎯⎯⎯⎯⎯⎯ → Hajlítónyomaték: M hx =
∫
( A)
tönkremenetel
y σ z dA .
A tönkremenetelhez tartozó határ hajlítónyomaték : MK =
∫
( A)
y σ z dA = R p 0,2
(
∫
y dA + − R p 0,2
( A′)
) ∫
( A′′) S x ⎛⎜ A′′ ⎞⎟
S x ⎛⎜ A′ ⎞⎟ ⎝
y dA .
⎝
⎠
⎠
M K = R p 0,2 ⎡⎣ S x ( A′ ) − S x ( A′′ ) ⎤⎦ .
Tiszta hajlítás
⇒
a feszültségeloszlásból nem származhat eredő erő ⇒ A′ = A′′ .
Például:
y
A′
y
σz x
S M hx
A′= A2 S x ( A′ ) ≠ S x ( A′′ )
A′′
Kétszeres szimmetrikus keresztmetszet: y A′
dA S
A′′
dA
Sx =
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
-y
,
A′ = A′′ =
( A)
y
⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎪⎭
∫ y dA
x
A , 2
S x ( A′′ ) = − S x ( A′ ) . ⎛ A⎞ M K = 2 R p 0,2 S x ⎜ ⎟ . ⎝2⎠
Méretezés, ellenőrzés: M hx ≤ M m eg =
MK , nK − előírt biztonsági tényező. nK
- Csavarás ( kör , körgyűrű ) esetén:
49
τϕz
y
τF
Határnyomaték: R
S
M cK = x
∫
( A)
R τ F dA =τ F
∫
R dA ,
( A) SP
M Oc
S P − poláris statikai nyomaték. M cK =τ F S P .
Méretezés, ellenőrzés: M c ≤ M c m eg =
M cK , nK
nK − előírt biztonsági tényező.
b) Alakváltozásra Például: húzás – nyomás y
λmax = N l
λmax
x
N l, AE
λmax ≤ λmeg . .
Alakváltozásra kell méretezni például: megmunkáló gépeket, hidakat, zsilipeket, nagyméretű csőelzárókat, stb.
50
5. RUGALMASSÁGTANI EGYENLETEK Rugalmas test állapotának jelemzői: − u = u ( x, y , z )
elmozdulási vektormező,
− A = A ( x, y , z )
alakváltozási tenzormező,
− F = F ( x, y , z )
feszültségi tenzormező,
− u = u ( x, y , z )
fajlagos alakváltozási energia mező.
Kérdés: milyen általános összefüggések állnak fent ezen állapotjellemzők között ? ⇓ Rugalmasságtani egyenletek.
A rugalmasságtani feladat megfogalmazása: Adott: - a test alakja és méretei, - a test anyagi viselkedését jellemző mennyiségek, - terhelés és megtámasztás. Keresett: u , F , A , u. Feladat: a rugalmasságtani egyenletek megoldása. 5.1. Egyensúlyi egyenletek – feszültségi állapot
dA
z
A
n
dF = F ⋅ dA
dV
A testből kiragadunk egy olyan (V ) térfogatot, mely teljes egészében a test belsejében van.
dA r x
V
O y
dF = q dV
A (V ) környezetének mechanikai hatásait erőkkel vesszük figyelembe: - térfogaton megoszló: dF = q dV ,
51
- felületen megoszló: dF = ρ dA = F ⋅ n dA . dA
A (V ) testrész egyensúlyban van. Az egyensúly feltétele: a) F = 0 b) M 0 = 0 a) Egyensúlyi egyenletek: F =0=
∫ q dV + ∫
(V )
F ⋅ n dA.
( A)
Gauss-Osztrogradszkij –féle integrál átalakítási tétel :
∫
F ⋅ n dA =
( A)
∫
F ⋅ ∇ dV .
(V )
Hamilton-féle differenciál operátor : - derékszögű descartesi koordináta-rendszerben (DDKR-ben) ∇=
∂ ∂ ∂ ex + e y + ez , ∂x ∂y ∂z
- henger koordináta-rendszerben (HKR-ben) ∇=
∂ 1 ∂ ∂ eR + eϕ + ez . R ∂ϕ ∂R ∂z
Alkalmazva a Gauss-Osztrogradszkij tételt: F = 0 =
∫ ( q + F ⋅ ∇ ) dV .
(V )
Az integrálnak bármely (V ) választás esetén el kell tünnie
⇒
az integrandusz zérus.
q + F ⋅ ∇ = 0 egyensúlyi egyenlet(ek).
(1 vektor egyenlet ≡ 3 darab skalár egyenlet) A feszültségi tenzor diadikus alakja: F = ρ x ex + ρ y e y + ρ z ez . A térfogaton megoszló terhelés sűrűségvektora: q = qx ex + q y e y + qz ez . A skalár egyensúlyi egyenletek előállítása a DDKR-ben:
(ρ
x
⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ex + ρ y e y + ρ z ez ⋅ ⎜ e x + e y + ez ⎟ + q = 0 , ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x
)
∂ρ x ∂ρ y ∂ρ z + + + q = 0. ∂x ∂y ∂z
52
∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + + qx = 0 ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + + qy = 0 ∂y ∂x ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + + qz = 0 ∂y ∂z ∂x
⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎬ az egyensúlyi egyenletek skaláris alakja. ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎭
b) A feszültségi tenzor szimmetriája: M0 =0=
∫ r × q dV + ∫ r ×F ⋅ n dA . ( A)
(V )
Átalakítás a Gauss-Osztrogradszkij féle integrál átalakítási tétellel: 0=
∫ ( r × q + r × F ⋅ ∇ ) dV
(V )
Az integrálnak bármely (V ) választása esetén el kell tünnie ⇒ az integrandusz zérus. A szorzat differenciálását elvégezve:
0= r ×
↓
(q + F ⋅ ∇)
↓ + r × F ⋅∇
= 0 egyensúlyi egyenlet ∂r ∂r ∂r ↓ ⋅ez = 0. r × F ⋅ ∇ = ∂x × F ⋅ex + ∂y × F ⋅e y+ ∂z × F ey ρy ex ρ x ez ρz
A feszültségi tenzor vektorinvariánsa: Fx = −
1 ( ρ x × ex + ρ y × e y + ρ z × ez ) . 2
Invariáns: koordináta-rendszertől független ( koordináta transzmormációval szemben változatlan, állandó). Például az Fx vektor x irányú koordinátája: 1 0 = − Fx ⋅ ex = ⎡⎣( ρ x × ex ) ⋅ ex + ρ y × e y ⋅ ex + ( ρ z × ez ) ⋅ ex ] 2 = 0 vegyes szorzat
(
)
0 = ρ y ⋅ ez + ρ z ⋅ e y 0 = −τ zy + τ yz ⇒ τ zy = τ yz .
53
Ugyanezzel a gondolatmenettel elő lehet állítani az Fx többi koordinátáját is: τ xz = τ zx , τ xy = τ yx . Az F feszültségi tenzor szimmetrikus. Tétel: Minden szimmetrikus tenzor vektorinvariánsa zérus. c) Az eredmények összefoglalása : F =0
⇒
F ⋅∇ +q =0
M0 =0 ⇒
F =F
− egyensúlyi egyenlet.
T
− a feszültségi tenzor szimmetrikus.
Egyensúlyi egyenletek: kapcsolat a térfogati terhelés és a belső erőrendszer feszültségi állapota között. 5.2. Kinematikai /geometriai/ kompatibilitási egyenletek 5.2.1. Az elmozdulásmező derivált tenzora
Q
uQ = u
∆u
dr
A test egy tetszőleges P pontjának elemi környezetét vizsgáljuk meg. A Q a P pont elemi környezetében helyezkedik el.
P
uP dr = dx ex + dy e y + dz ez ,
u = u ( x, y, z ) = u ( x, y, z ) ex + v ( x, y, z ) ey + w ( x, y, z ) ez , ∆u = uQ − uP = u − uP . Sorfejtés: magasabb rendű tagok
lineáris rész
u = uP +
∂u ∂x
dx + P
ux
∂u ∂y
dy + P
∂u ∂z
dz + ((..................................)) P
uz
uy
Lineáris közelítés esetén: ∆u ≈ du . Ha dy = dz = 0
⇒
∆u = u x dx ,
Ha dx = dz = 0
⇒
∆u = u y dy ,
Ha dx = dy = 0
⇒
∆u = u z dz .
Relatív elmozdulás vektorok: 54
ux =
∂u ∂u ∂v ∂w ez , = ex + e y + ∂x ∂x ∂x ∂x
uy =
∂u ∂u ∂v ∂w ez , = ex + e y + ∂y ∂y ∂y ∂y
uz =
∂u ∂u ∂v ∂w = ex + e y + ez . ∂z ∂z ∂z ∂z
Az elmozdulásmező hely szerinti megváltozása lineáris közelítés esetén: ∆u ≈ du =
∂u ∂x
∂u ∂y
dx + P
P
e y ⋅ dr
ex ⋅ dr ⎛u ⎜ x ⎝
dy +
∂u ∂z
dz P
ez ⋅ dr
ex ⎞⎟⋅dr + ⎛⎜ u y ey ⎞⎟⋅dr + ⎛⎜ uz ez ⎞⎟⋅dr ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
⎠
⎛ ∂u ⎞ ∂u ∂u du = u x ex + u y e y + u z ez ⋅ dr = ⎜ ex + ey + ez ⎟ ⋅ dr = D ⋅ dr ∂y ∂z ⎝ ∂x ⎠ du = D ⋅ dr
(
)
Az elmozdulásmező derivált tenzora:
(
)
D = u x ex + u y e y + u z ez , D = D = u ∇.
∂u ∂u ∂u ex + ey + ez . ∂x ∂y ∂z
Nem szimmetrikus tenzor !
A derivált tenzor mátrixa az xyz koordináta-rendszeben: ⎡ ∂u ∂u ∂u ⎤ ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ∂v ∂v ∂v ⎥ ⎡⎣ D ⎤⎦ = ⎢ ⎥ ⎢ ∂x ∂y ∂z ⎥ ⎢ ∂w ∂w ∂w ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ∂x ∂y ∂z ⎦ −−−−−−−−− ux u y uz
A derivált tenzor felbontása: D =
Az elmozdulásmező skaláris koordinátái: u = u ( x, y , z ) , v = v ( x, y , z ) , w = w ( x, y , z ) .
(
)
(
)
1 1 T T D+D + D−D 2 2 szimmetrikus ferdeszimmetrikus rész rész
5.2.2. Az alakváltozási tenzor
55
A=
(
)
1 1 T D + D = (u ∇ + ∇ u ). 2 2
Kis alakváltozások esetén ez a tenzoregyenlet a kinematikai/geometriai egyenlet. Ez az egyenlet az u elmozdulásmező és az A alakváltozási (tenzor) mező kapcsolatát adja meg. Az alakváltozási tenzor elemeinek jelölése: 1 1 ⎤ ⎡ γ xy γ xz ⎢ εx 2 2 ⎥ ⎢ ⎥ 1 1 ⎥ ⎢ ⎡⎣ A⎤⎦ = γ yx εy γ yz ⎢2 2 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 1 γ zx 1 γ zy εz ⎥ ⎢⎣ 2 ⎥⎦ 2 −−−−−−−−−−−
αx
αy
Szimmetrikus tenzor.
αz
A derivált tenzor felhasználásával az alakváltozási tenzor koordinátái: ⎡ ∂u ⎢ ∂x ⎢ ⎢ 1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ ⎜ + ⎟ ⎢ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ ⎢ ⎢ 1 ⎛ ∂u + ∂w ⎞ ⎟ ⎢ ⎜ ⎣ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠
1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ∂v ∂y 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎜ + ⎟ 2 ⎝ ∂z ∂y ⎠
1 ⎛ ∂w ∂u ⎞ ⎤ + ⎟⎥ ⎜ 2 ⎝ ∂x ∂z ⎠ ⎥ 1 ⎛ ∂w ∂v ⎞ ⎥ + ⎟⎥ ⎜ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠ ⎥ ⎥ ∂w ⎥ ⎥ ∂z ⎦
A kinematikai /geometriai egyenletek skaláris alakja:
εx =
∂u , ∂x
γ xy = γ yx =
∂u ∂v + , ∂y ∂x
εy =
∂v , ∂y
γ yz = γ zy =
∂v ∂w + , ∂z ∂y
εz =
∂w , ∂z
γ xz = γ zx =
∂u ∂w + . ∂z ∂x
5.2.3. A forgató tenzor Ψ=
(
)
1 1 T D − D = (u ∇ − ∇ u ) 2 2
56
⎡ 0 ⎢ ⎢ ⎢ 1 ⎛ ∂v ∂u ⎞ ⎡⎣ Ψ ⎤⎦ = ⎢ ⎜ − ⎟ ⎢ 2 ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎢ ⎢ 1 ⎛ ∂w − ∂u ⎞ ⎢ 2 ⎜⎝ ∂x ∂z ⎟⎠ ⎣
1 ⎛ ∂u ∂v ⎞ ⎜ − ⎟ 2 ⎝ ∂y ∂x ⎠ 0 1 ⎛ ∂w ∂v ⎞ − ⎟ ⎜ 2 ⎝ ∂y ∂z ⎠
1 ⎛ ∂u ∂w ⎞ ⎤ ⎜ − ⎟⎥ 2 ⎝ ∂z ∂x ⎠ ⎥ 1 ⎛ ∂v ∂w ⎞ ⎥ ⎜ − ⎟⎥ 2 ⎝ ∂z ∂y ⎠ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎦
A forgató tenzornak a szilárdságtanban / rugalmasságtanban nincs további szerepe.
A forgató tenzor az elemi környezet merevtestszerű szögelforfulását jellemzi. 5.3. Anyagegyenletek – lineárisan rugalmas anyag
Anyagegyenlet: összefüggés az alakváltozási és a feszültségi állapot között. 5.3.1. Általános Hooke-törvény izotróp anyagra
ν FI ⎞ 1 ⎛ E⎟ ⎜F − 2G ⎝ 1 +ν ⎠ , ν AI ⎞ ⎛ β ) F = 2G ⎜ A + E 1 − 2ν ⎟⎠ ⎝
α ) A=
ahol
G − csúsztató rugalmassági modulus ⎫ ⎬ anyagjellemzők. ν − Poisson tényező ⎭
A feszültségi/alakváltozási tenzor első skalár invariánsai: FI = σ x + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 ,
AI = ε x + ε y + ε z = ε1 + ε 2 + ε 3 .
Invariáns: a koordináta-transzformációval szemben változatlan, állandó. Az α ) alak skaláris egyenletei:
1 ⎡ ν ⎤ σx − σx +σ y +σz ⎥, 2G ⎢⎣ 1 +ν ⎦ 1 ⎡ ν ⎤ εy = σy − σx +σ y +σz ⎥, ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦
εx =
εz =
(
)
(
)
1 ⎡ ν ⎤ σz − σx +σ y +σz ⎥, ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦
(
)
1 1 γ yx = τ yx 2 2 1 1 γ yz = τ yz 2 2 1 1 γ xz = τ xz 2 2
A β ) alak skaláris egyenletei: ⎡ ⎣
σ x = 2G ⎢ε x +
ν 1 − 2ν
(ε
x
⎤ + εy + εz ⎥, ⎦
)
ν ⎡ ⎤ σ y = 2G ⎢ε y + εx + εy + εz ⎥, 1 − 2ν ⎣ ⎦
(
)
ν ⎡ ⎤ σ z = 2G ⎢ε z + εx + εy + εz ⎥, 1 − 2ν ⎣ ⎦
(
)
τ xy = G γ xy , τ yz = G γ yz , τ xz = G γ xz .
57
⇒
γ xy =
⇒
γ yz =
⇒
γ xz =
τ yx G
τ yz G
τ xz G
, , .
Más anyagállandók bevezetése: a) Egyszerű Hooke- törvény – egytengelyű feszültségi állapot (húzás-nyomás/hajlítás): ⎡ε x A = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0
⎡0 0 0 ⎤ F = ⎢⎢ 0 0 0 ⎥⎥ , ⎢⎣ 0 0 σ z ⎥⎦
0
εy 0
0⎤ 0 ⎥⎥ , ahol ε x = ε y = −ν ε z . ε z ⎥⎦
y
N
N
z húzás - nyomás
Egyszerű Hooke-törvény: σ z = E ε z . Általános Hooke- törvény: ⎡ ⎣
σ z = 2G ⎢ε z +
ν
(ε 1 − 2ν
x
⎤ + εy + εz ⎥= ⎦
)
ν ⎡ = 2G ⎢ε z + ( −νε z −νε z + ε z )⎤⎥ = 2G [ε z + νε z ] = 2G [1 + ν ]ε z . − 1 2 ν ⎣ ⎦ 2G =
E 1 +ν
⇒
E = 2G (1 + ν ) ,
ahol E a Young féle rugalmassági modulus.
b) Összefüggés az első skalár invariánsok között: AI = ε x + ε y + ε z =
AI =
1 ⎡ ν ⎤ FI ⎥ , σx +σ y +σz −3 ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦ FI
1 1 − 2ν 1 FI = FI . 2G 1 + ν 3K
K − térfogati rugalmassági modulus ( nem független anyagállandó). 3K = 2G
1 +ν E = . 1 − 2ν 1 − 2ν
c) Fajlagos térfogatváltozás:
(
)
dV (1 + ε x ) 1 + ε y (1 + ε z ) − 1 ⋅ 1 ⋅ 1 = ≈ ε x + ε y + ε z = AI 1 ⋅1 ⋅1 V
( ≈ → lineáris közelítéssel )
Lineárisan rugalmas, izotróp anyag anyagállandói: E ,ν , G , K − ezek közül kettő függetelen. Megjegyzés: AdI = 0, FdI = 0 mert a deviátor tenzorok a test tiszta torzulását jellemzik. Az izotróp anyagra vonatkozó Hooke- törvény felírása mátrix alakban: 58
εx =
1 ⎡ ν ⎤ σx − σx +σ y +σz ⎥, ⎢ 2G ⎣ 1 +ν ⎦
(
)
εx =
1 +ν E
εy =
1 +ν E
1 1 +ν = összefüggést 2G E ν ν ν ⎡ ⎤ 1 ⎢σ x − 1 + ν σ x + σ y + σ z ⎥ = E σ x − E σ y − E σ z , ⎣ ⎦ ν ν ν ⎡ ⎤ 1 ⎢σ y − 1 + ν σ x + σ y + σ z ⎥ = E σ y − E σ x − E σ z , ⎣ ⎦
εz =
1 +ν E
ν ν ν ⎡ ⎤ 1 ⎢σ z − 1 + ν σ x + σ y + σ z ⎥ = E σ z − E σ x − E σ y , ⎣ ⎦
Felhasználva a:
1 G
γ xy = τ xy ,
(
)
(
)
(
)
1 G
γ yz = τ yz ,
1 G
γ xz = τ xz .
Mátrixos alak:
εx εy
εz γ xy γ yz γ xz
⎡ 1 ⎢ E ⎢ ⎢− ν ⎢ E ⎢ ⎢− ν ⎢ E =⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣
−
ν
E 1 E
−
ν
E
0
− −
ν E
ν
0
E 1 E 1 G
0
0
1 G
0
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ ⎥ G⎦
σx σx
Két független anyagállandó van .
σy τ xy τ yz τ xz
Tömören: ε = C σ , C anyagállandók mátixa .
5.3.2. Általános Hooke-törvény ortopróp anyagra
Anizotróp anyag: az anyagi tulajdonságok (viselkedés) irányától függő. Ortotróp anyag: az anizotróp anyag speciális esete, az anyagi viselkedés egymásra merőleges irányokban vett anyagjellemzőkkel leírható. Azért foglalkozunk ezzel az esettel, mert a gyakorlatban elterjedt szálerősítésű műanyag kompozitok közül sok ezzel az anyagmodellel leírható. Kompzit anyag: többféle, eltérő tulajdonságú anyagból összetett anyag. Részei: - erősítés : üvegszál, szénszál, aramid szál, stb. - mátrix (ágyazó anyag) epoxi, poliészter, poliamid, stb.
59
Tapasztalat: a kompozit anyag sok esetben jobb mechanikai tulajdonságokkal rendelkezik, mint az alkotórészei. Fő előnyök: nagy szilárdság, kis tömegsűrűség (önsúly), korrózió állóság, stb. Példa: egy irányban futó, párhuzamos hosszú szálakkal erősített műanyag mátrixanyag
3
1
2 szálanyag
1, 2, 3 a kompozit anyagi főirányai (az anyag természetes / anyagi KR-e). Valóság: az anyag nem homogén ( a szálak és a mátrix anyaga eltérő tulajdonságú). Mechanikai modell: Egy olyan homogén, ortotróp anyag, amely nem alkalmas a szálakban, vagy a mátrixban fellépő mechanikai jellemzők (alakváltozások, feszültségek) meghatározására, hanem csak a komopzit anyag egy olyan kisebb tartományának átlagos jellemzői határozhatók meg vele, amelyben elegendően sok szál van. Áltános Hooke-törvény ortotróp anyagra:
ε1 ε2 ε3 γ 12 γ 23 γ 13
⎡ 1 ⎢ E ⎢ 1 ⎢ ν 12 ⎢− ⎢ E1 ⎢ ν 13 ⎢− E =⎢ 1 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣⎢
−
ν 21 E2
1 E2 −
ν 23 E2
0
−
ν 31
−
ν 32
E3 0
E
1 E3 1 G12
0
0
1 G23
0
0
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥ ⎥ 1 ⎥ ⎥ G13 ⎦⎥
σ1 σ2 σ3 τ12 τ 23
τ13
E1 , E2 , E3 − az 1,2,3 irányú húzáshoz tartozó rugalmassági modulus , 60
G12 , G23 , G31 − a csúsztató rugalmassági modulusok ,
ν 12 , ν 23 , ν 31 − a Poisson tényezők . Például: ν 12 − az 1 irányú húzáshoz tartozó 2 irányú kontrakció : ε 2 = − ν 12 ε1 .
ε = C σ . Az ortotróp Hooke-törvény mátrixos felírás esetén formailag ugyanolyan alakban írható fel, mint az izotróp Hooke-törvény. Az anyagtörvény izotróp és ortotróp esetre formailag azonos, különbség a C anyagállandó mátrixban van. Közös tulajdonság: C szimmetrikus mátrix (energetikai okokból következően) Szimmetria :
ν 21 ν 12 E2
=
E1
,
ν 32 ν 23 E3
=
E2
,
ν 31 ν 13 E3
=
E1
.
A lineárisan rugalmas ortotróp anyag viselkedése 9 független anyagállandóval írható le: E1 , E2 , E3
ν 12 ,ν 23 , ν 13 G12 , G23 , G13 .
5.4. Peremfeltételek
Dinamikai peremfeltétel: F ⋅ n = p0 az Ap − n.
n
z
Au
p0
Kinematikai peremfeltétel: u = u0 az Au − n. A p0 ismert felületi terhelés.
P
x
Ap
Az u0 ismert elmozdulás.
y
5.5. A rugalmasságtan egyenletrendszere
F ⋅ ∇ + q = 0 egyensúlyi egyenlet (3db) . A=
1 ( u ∇ + ∇ u ) kompatibilitási egyenlet (6 db) . 2
ε =C σ
anyagegyenlet ( 6db ) .
F ⋅ n A = p0 dinamikai ⎫ (3 db) p ⎪ ⎬ peremfeltételek (3 db) u A = u0 kinematikai ⎪ u ⎭ Ismeretlenek: u , A , F .
61
Bebizonyítható: a rugalmasságtan egyenletrendszerének adott peremfeltételek mellett egy , és csakis egy megoldás létezik ( egzisztencia és unicitás ). Egzakt megoldás: A keresett u , A , F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek minden egyenletét kielégítik. Közelítő megoldás: A keresett u , A , F mezők az egyenletrendszer és a peremfeltételek nem minden egyenletét elégítik ki. 5.6. A kompatibilitási egyenlet más alakjai
Az 5.2.2. szerinti geometriai egyenletből indulunk ki: A =
1 (u ∇ + ∇ u ). 2
Átalakítás: szorzás jobbról és balról vektoriálisan ∇ -val ⇒ Saint-Venant –féle kompatibilitási egyenlet. 5.6.1. Saint-Venant –féle kompatibilitási egyenlet
∇ × A ×∇ = 0
( tenzor egyenlet) .
Skalár egyenletek a DDKR-ben: ∂ 2γ xy ∂x ∂y ∂ 2γ yz ∂y ∂z
= =
2 ∂ 2ε x ∂ ε y , + ∂y 2 ∂x 2
∂ ⎛ ∂γ xy ∂γ xz ∂γ yz + − ⎜ ∂x ⎝ ∂z ∂y ∂x
∂ 2ε y
∂ ⎛ ∂γ yz ∂γ xy ∂γ zx + − ⎜ ∂y ⎝ ∂x ∂z ∂y
∂z 2
+
∂ 2ε z , ∂y 2
∂ 2γ xz ∂ 2ε z ∂ 2ε x = + 2 , ∂z ∂x ∂x 2 ∂z
⎞ ∂ 2ε x , ⎟=2 ⎠ ∂y∂z
⎞ ∂ εy , ⎟=2 ⎠ ∂z∂x ∂ ⎛ ∂γ zx ∂γ yz ∂γ xy ⎞ ∂ 2ε x + − . ⎜ ⎟=2 ∂z ⎝ ∂y ∂x ∂z ⎠ ∂x∂y 2
Átalakítás: a Saint-Venant egyenlet + izotróp Hooke-törvény + q = 0 . ⇒ Beltrami-Michell féle kompatibilitási egyenlet. 5.6.2. Beltrami-Michell -féle kompatibilitási egyenlet
(1 + ν ) ∆ F + ∇
∇FI = 0
(tenzor egyenlet) .
Laplace – féle differenciál operátor: ∆ =∇ ⋅ ∇ =
∂2 ∂2 ∂2 . + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
Skalár egyenletek:
62
(1 + ν ) ∆σ x +
∂ 2 FI =0 , ∂x 2
(1 + ν ) ∆τ xy +
∂ 2 FI = 0, ∂x∂y
(1 + ν ) ∆σ y +
∂ 2 FI =0 , ∂y 2
(1 + ν ) ∆τ yz +
∂ 2 FI = 0, ∂y∂z
(1 + ν ) ∆σ z +
∂ 2 FI =0 , ∂z 2
(1 + ν ) ∆τ xz +
∂ 2 FI = 0. ∂x∂z
6. RÚDFELADATOK 6.1. Síkgörbe rudak Grashof-féle elmélete
Síkgörbe rúd: a rúd középvonala ( S ponti szála ) síkgörbe. Jelölések, előjelek: eη s
P
eζ
t
n
ρ >0
ρ →0
ρ <0
A középvonal egy pontját az s ívhosszal azonosítjuk. A P pontban ( P ponthoz tartozó keresztmetszetben) helyi koordináta-rendszert veszünk fel: ex = eξ , eη , eζ .
ρ0 ⎫ ⎧alakváltozás előtt. ⎬ a középvonal görbületi sugara ⎨ ρ⎭ ⎩alakváltozás után.
Előjel: Ha az ívhossz irányában haladva a görbületi középpont jobbkézre esik, akkor ρ0 > 0 , ha balkézre esik ρ0 < 0 . A rúd terhelése : f = f t t + f n n vonalmenti (a középvonal mentén megoszló) terhelés. Egyensúlyi egyenletek síkgörbe rudakra: ⎫ dN Tη − + f t = 0, ⎪ ds ρ0 ⎪ ⎬ ⇒ Az N ( s ) rúderő és a Tη ( s ) nyíróerő nem független egymástól. dT N η + − f n = 0, ⎪ ⎪ ρ0 ds ⎭
63
dM hx + Tη = 0. ds
Az M hx hajlítónyomaték és a Tη nyíróerő között ugyanolyan összefüggés van, mint az egyenes rudaknál.
Igénybevételek: a terhelés ismeretében az igénybevételek az értelmezés szerint meghatározhatók. Megoldandó feladat: - az alakváltozási jellemző(k) meghatározása, - a rúd keresztmetszetein ébredő feszültség (eloszlás) meghatározása. 6.1.1. Az alakváltozási jellemzők előállítása Kiinduló feltélezések: - a rúd középvonala terhelés előtt ρ0 sugarú körív, - a rúd prizmatikus, továbbá egyes keresztmetszetei az η tengelyre szimmetrikusak, - a rúd igénybevétele tiszta hajlítás, - a rúdban egytengelyű feszültségi állapot lép fel. eη
s =ζ
η
Terhelés előtti állapot
eζ P0
alakváltozás Terhelés utáni állapot
ρ0
ρ0 = állandó
eη Φ0
s =ζ
η eζ
η
P M hx
M hx M hx
ρ
ξ ≡x
ρ = állandó
S
64
Φ
Alakváltozási feltételezések: - alakváltozás után a keresztmetszetek síkok maradnak és merőlegesek maradnak a deformálódott középvonalra, - az alakváltozás során a ρ0 sugarú középvonal ρ sugarú körívvé görbül az M hx nyomaték hatására. A középvonaltól η távolságra lévő koncentrikus körív hosszának fajlagos megváltozása:
εζ =
( ρ + η ) Φ − ( ρ0 + η ) Φ0 ( ρ0 + η ) Φ0
.
⎛ ( ρ +η ) Φ ⎞ A feszültségi állapot egytengelyű: σ ζ = E ε ζ = E ⎜ − 1⎟ . ⎜ ( ρ +η ) Φ ⎟ 0 ⎝ 0 ⎠ σ ζ = σ ζ (η ) hiperbola. Ha M hx > 0 , akkor ρ < ρ0 és Φ > Φ0 . A hiperbola aszimptótái: Ha η → − ρ0 , akkor
σζ → − ∞ ,
⎛Φ ⎞ − 1⎟ , ⎝ Φ0 ⎠ ⎛ ρ Φ ⎞ Ha η = 0 , akkor σζ = E ⎜ − 1⎟ =σ 0 . ⎝ ρ0 Φ0 ⎠ A feszültségeloszlás szemléltetése:
Ha η → ∞
σζ → σ ∞ = E ⎜
, akkor
η
η
e1 M hx
S
e2
σζ
ξ ≡x
σ max ρ0
σ0 σ∞
6.1.2. A feszültség és az igénybevétel kapcsolata (feszültségi eredők ≡ igénybevételek)
65
a) FS =
∫
( A)
∫
∗
∫
ρζ dA = eζ
σ ζ dA = 0.
( A)
σ ζ dA = 0
⇒ σ max általában a görbületi középpont felé eső szélső szálban van.
( A) b) M S =
∫
R × ρζ dA =
∫ (ξ eξ + η eη ) × σ ζ eζ dA = M
hx eξ .
( A) ( A) Skalár egyenletek:
∫
ez az egyenlet identikusan teljesül, ha az η a keresztmetszet szimmetriatengelye,
ξ σ ζ dA = 0
( A)
∗
∫ η σ ζ dA = M
hx
.
( A) A ∗ -al jelölt egyenletekből ρ és Φ kifejezhető az M hx -el: Grashoff formula: σ ζ = Jelölés: σ 0 =
M hx M hx ρ0 + η. ρ0 A I red ρ0 + η
M hx , ρ0 A
I red =
∫
( A)
ρ0
ρ0 + η
η 2 dA − a keresztmetszet ξ tengelyére számolt redukált másodrendű nyomaték ( általában I red > Iξ ).
Előjel: O
s
ρ0 < 0
ρ0 > 0 M hx > 0
M hx > 0
M hx > 0
O
66
s
M hx > 0
6.1.3. Redukált másodrendű nyomaték
Értelmezés: I red =
∫
( A)
ρ0
ρ0 + η
η 2 dA .
η a
A hasonló háromszögek alapján:
dη
e1
η
a
ρ0 a a∗ = ⇒ a∗ = a. ρ0 + η ρ0 ρ0 + η
∗
S
e2
ξ ≡x
I red =
∫
( A)
ρ0
ρ0 + η
η 2 a dη = dA
∫η
( A)
2
a∗ dη = Iξ∗ . dA∗
Egy módosított (szaggatott vonallal megrajzolt) keresztmetszet x = ξ tengelyre számított Iξ másodrendű nyomatékát kell megha-
ρ0
tározni.
O emax = max ( e1 e2 ) ,
ρ0 emax Ha a Ha a
− hányados a rúd görbültségére jellemző mennyiség.
ρ0 emax
ρ0
emax
hányados kicsi, akkor a rúd nagyon görbült. nagy, akkor a rúd enyhén görbült.
6.1.4. Az elmélet alkalmazhatósága
Ha
ρ0 emax
< 3 − 4 , akkor a Grashoff formulát és az I red − et használjuk.
Ha 3 − 4 < Ha
ρ0 emax
ρ0 emax
< 8 − 10 , akkor a Grashoff formulát és az I red ≈ Iξ -t használjuk.
> 8 − 10 , akkor a görbe rúd egyenes rúdként kezelhető: σ ζ =
6.1.5. A középvonal alakváltozási jellemzői
67
M hx η. Iξ
s
s
ρ0
ρ alakváltozás Φ0
Φ
O
O
A középvonal görbületének megváltozása :
1
ρ
−
1
ρ0
=
M hx . I red E
A szélső keresztmetszetek egymással bezárt szögének megváltozása:
ψ = Φ − Φ0 =
M hx M ρ0 Φ0 = hx l , ahol l a rúd középvonalának hossza. I red E I red E
6.1.6. Az eredmények általánosítása
A Grashoff-féle elmélet akkor is használható, ha - A síkgörbe rúd igénybevétele tetszőleges síkbeli igénybevétel : N , Tη , M hx . - A középvonal nem körív, de feltételezzük hogy a görbületi sugár csak kismértékben és lassan változik a rúd középvonala mentén. - A rúd nem prizmatikus, de feltételezzük hogy a keresztmetszet csak kismértékben és lassan változik a rúd középvonala mentén. Közelítő megoldás (szuperpozíció elve): Hajlítás: σ ζ′ =
M hx M hx ρ0 + η, A ρ0 I red ρ0 + η
⎫ ⎪ ⎪ ⎬ egyenes rudakra vonatkozó összefüggés . ⎪ Nyírás: τηζ = − Iξ a (η ) ⎪⎭ Erősen görbült rudaknál a húzás/nyomásból és a nyírásból származó feszültségek nem számíthatók az egyenes rudakra érvényes összefüggésekből. Húzás/nyomás: σ ζ″ =
N A Tη Sξ (η )
Alakváltozási energia: Rúdszerkezeteknél általában a hajlítási energia domináns: U ≈ U hajl .
U≈
1 2
∫
(l )
M hx ds . I red E
68
A szilárdságtan munkatételei (Betti, Castiglianó) ugyanúgy érvényesek, mint egyenes és törtvonalú tartószerkezeteknél. 6.2. Prizmatikus rudak szabad csavarása
Szabad csavarás: a rúd pontjainak elmozdulását semmi sem akadályozza. Gátolt csavarás: a rúd pontjai nem mozdulhatnak el szabadon a tengely irányában. A gátolt csavarásnak a vékonyszelvényű rudaknál van jelentősége. 6.2.1. Egzakt megoldás
A rúd keresztmetszetének alakja tetszőleges. y H
⋅
P
r
Mc
y P
Mc
R
z
R S
x
n
Mc
Al
A0 l
Feltételezések: - q = 0 , - a H palást terheletlen , - σ x = σ y = σ z =τ xy = 0 , -
∫
ρ z dA = 0 ,
( A)
∫
R × ρ z dA = M C ez .
( A)
Dinamikai peremfeltételek: - a ( H ) palást terheletlen → ρ n = 0 . - ( Al ) A rúd igénybevétele csavarás →
∫
ρ z dA = 0 ,
( A)
∫
R × ρ z dA = M c ez .
( A)
- ( A0 ) A rúd igénybevétele csavarás → ugyanaz, mint az ( Al ) -en. Feszültségi állapot: ⎡0 0 τ xz ⎤ ⎢ ⎥ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎢ 0 0 τ yz ⎥ , ⎢τ zx τ zy 0 ⎥ ⎣ ⎦
ahol
τ xz =τ xz ( x, y ) , τ yz =τ yz ( x, y ) .
Egyensúlyi egyenletek:
69
∂τ xz = 0, ∂z ∂τ yz = 0, 0 + 0 + ∂z ∂τ zx ∂τ zy + + 0 = 0. ∂x ∂y
⎫ ⎪⎪ ⎬ teljesülnek ! ⎪ ⎪⎭
0 + 0 +
A 3. egyensúlyi egyenlet teljesülését egy U ( x, y ) feszültségfüggvény bevezetésével érjük el. Prandtl-féle feszültségfüggvény: U ( x, y ) - az x, y helykoordinátának legalább kétszeresen differenciálható függvénye. A feszültségek származtatása: ∂U ∂U és τ zy = τ yz = − τ zx = τ xz = . ∂x ∂y Behelyettesítve a 3. egyensúlyi egyenletbe:
∂ 2U ∂ 2U − = 0 identikusan teljesül. ∂x∂y ∂x∂y
A feszültségvektor: ρ z =τ xz ex + τ yz ez =τ z .
ρz =
∂U ∂U ex − ey ∂y ∂x
⎛ ∂U ∂U ⎞ ex − e y ⎟ × ez = ( ∇ U ) × ez . =⎜ ∂y ⎠ ⎝ ∂x
( ∇U ) Az U ( x, y ) -nak még ki kell elégítenie: - a peremfeltételeket, - a Hooke törvényt , ⎫ ⎬ Beltrami-Michell kompatibilitási egyenletek . - a kompatibilitási egyenletet. ⎭ Peremfeltételek kielégítése: - a palást terheletlen : ρ n = F ⋅ n = 0
,
⎡0 ⎤ ⎡0 ⎤ 0 τ xz ⎤ ⎡ nx ⎤ ⎡ 0 ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ρ n = ⎢ 0 0 τ yz ⎥ ⎢ n y ⎥ = ⎢ 0 ⎥ = ⎢0 ⎥ . ⎢τ zx τ zy 0 ⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢τ zx nx + τ zy n y ⎥ ⎢⎣0 ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
t y
τz
P
τ zx nx + τ zy n y = 0 ,
τz ⋅
A paláston a τ z érintő irányú. x
S s
τz ⋅ n =0 .
n
( g0 )
Átalakítás:
70
τ z ⋅ n = ( ∇U ) × e z ⋅ n = ( ∇ U ) ⋅ ( ez × n ) = t
( g0 )
∂U ∇U ⋅ t = = 0. ∂s ⎛ iránymenti ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ derivált ⎠
U = állandó = 0 . ↑ önkényes (célszerű) választás
Az ( A0 ) és az ( Al ) rúdvégeken : - Az eredő erő: F =
∫
ρ z dA = 0 .
( Al )
∫
Bizonyítás:
ρ z dA =
∫ ( ∇U ) × e
z
dA .
( Al ) ( Al ) Átalakítás: a Gauss-féle integrál átalakítási tétellel
∫
t
( Al )
z
C ⊗ n ds .
⎧⋅⎫ ⎪ ⎪ A ⊗ szorzás a ⎨× ⎬ szorzások közül bármelyik lehet. ⎪ο ⎪ ⎩ ⎭
g0
∫ ( ∇U ) × e
∫
( g0 )
( A)
⋅ n
s
∇ ⊗ C dA =
∫
∫
U t ds = 0 , mert U =0 . ez × U n ds = g0 × ( g0 ) ( g0 ) t
dA =
Az F = 0 feltétel teljesül, ha keresztmetszet peremgörbéjén az U = állandó = 0 (előző perem feltétel). R × ρ z dA = M c ez . - A keresztmetszet S pontjára számított nyomaték: M S =
∫
( Al ) Átalakítás: M c ez =
∫
( Al )
= − ez
= − ez
R × ( ∇U × ez ) dA =
∫ ⎡⎣( ∇U ) ( R ⋅ e ) − e ( R ⋅ ∇U ) ] dA =
( Al )
z
=0
z
∫ ( R ⋅ ∇U ) dA = e ∫ ⎡⎣( ∇ ⋅ RU ) − (∇ ⋅ R )U ⎤⎦ dA = z
( Al )
( Al )
∫ ( ∇ ⋅ RU ) dA + e ∫ ( ∇ ⋅ R )UdA. z
( Al )
( Al )
⇓ Gauss
71
∫ ( n ⋅ RU ) ds = 0 , mert
U
( g0 ) Mc =
∫ ( ∇ ⋅ R )U dA = ∫
( Al )
g0
=0 .
2U dA
( Al )
⎛ ∂ ∂ ⎞ mert ∇ ⋅ R = ⎜ ex + e y ⎟ ⋅ x ex + y ey = 1 + 1 = 2. ∂y ⎠ ⎝ ∂x
(
Mc = 2
∫
)
U dA . A csavarónyomaték is kiszámítható az U feszültségfüggvényből.
( A) A Beltrami-Michell –féle kompatibilitási egyenletek kielégítése:
⎫ 1 ∂ 2 FI ∂ 2 FI ∂ 2 FI = 0, ⎪ 0 , = = 0, 1 + ν ∂x∂z ⎪ x z y z ∂ ∂ ∂ ∂ ⎬ 1 ∂ 2 FI ∆τ yz + = 0.⎪ mert FI = σ x + σ y + σ z = 0 . 1 + ν ∂y∂z ⎭⎪ Behelyettesítés: ⎫ ⎛ ∂ ⎞ ∂ ∆τ xz = ∆ ⎜ ⎟ = ( ∆U ) = 0 ⎪ ⎪ ⎝ ∂y ⎠ ∂y ⎬ ⇒ ∆U = állandó. ⎛ ∂ ⎞ ∂ ∆τ yz = ∆ ⎜ ⎟ = ( ∆U ) = 0 ⎪⎪ ⎝ ∂x ⎠ ∂x ⎭ ∆τ xz +
A Hooke törvény és a kinemetikai egyenletek felhasználásával: ∆U = − 2G ϑ − Poisson-féle differenciál egyenlet. ahol: G - csúsztató rugalmassági modulus, ϑ -fajlagos szögelfordulás. Az elmozdulásmező előállítása: ∂u ε x = =0 ⇒ u = u ( y, z ) , ∂x ∂v ε y = =0 ⇒ v = v ( x, z ) , ∂y ∂w ε z = =0 ⇒ w = w ( x, y ) . ∂z Ha u = − y f ( z ) ⎫⎪ ∂u ∂v + = − f + f =0. ⎬ ⇒ γ xy = v = x f ( z ) ⎪⎭ ∂y ∂x
γ xz =
τ ( x, y ) df ∂w ∂u ∂w + =− y + = γ xz ( x, y ) = xz , dz ∂x G ∂z ∂x
72
∂γ xz d2 f = 0 = − y 2 + 0 ⇒ f ( z ) = ϑ z , ahol ϑ = állandó (fajlagos szögelfordulás). ∂z dz ∂v ∂w ⇒ γ yz = + f ( z ) =ϑ z . ∂z ∂y az előzővel megegyező gondolatmenetből Az elmozdulásmező koordináták: u ( y, z ) = − ϑ y z ⎫ ⎪ v ( x, z ) = ϑ x z ⎬ kielégítik az összes kinematikai feltételt. w ( x, y ) = w ( x, y ) ⎪⎭ Az elmozdulásvektor: u ( x, y , z ) = ϑ z ez × R
+
w ( x , y ) ez
a km. ψ z =ϑ z a km. pontjai tengely szöggel elfordul irányban is elmozdulnak ψ z =ϑ z - a tetszőleges z helyen levő keresztmetszet szögelfordulása a z=0 keresztmetszethez képest. Az eredményeket összefoglalva: Prizmatikus rudak szabad csavarási feladata visszavezethető egy U(x,y) feszültségfüggvény meghatározására. U(x,y) – a Prandtl-féle feszültségfüggvény nem tetszőleges. 1) Ki kell elégítenie: ∆U = − 2G ϑ , U g =0, 0
a Poisson-féle differenciál egyenletet, a peremfeltételt.
2) Igénybevétel, feszültség származtatása: MC = 2
∫ U ( x, y ) dA,
τ z = ( ∇ U ) × ez .
( A)
Tisztán geometriai tartalmú feszültségfüggvény bevezetése: U ( x, y ) = G ϑ U 0 ( x, y ) .
U 0 ( x, y ) csak a keresztmetszet geometriájától függ. Az U 0 ( x, y ) -ra vonatkozó egyenletek: 1) ∆U 0 = − 2 , U 0 g = 0. 0
73
2) M c = 2G ϑ
∫U
0
( x, y ) dA = G ϑ I c ,
∫U
0
( x, y ) dA
( A) ahol I c = 2
a keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka.
( A)
τ z = G ϑ ( ∇U 0 ) × ez . A fajlagos szögelfordulás: ϑ =
Mc . G Ic
Mc z. G Ic A Prandtl-féle membrán analógia: A szögelfordulás: ψ z =
Az analógia a feszültségfüggvény és a megfeszített és felfújt membrán alakja között áll fenn. Az analógia alapja: - a differenciál egyenlet ⎫ ⎬ azonossága . - a peremfeltétel ⎭
y
N0 [ N/mm ]
A membránt a keresztmetszet alakjának megfelelő furatra feszítjük rá.
N0 − feszítő erő p − nyomás x
g0
p ⎡⎣ N/mm 2 ⎤⎦
N0
N0 x
ζ ( x, y )
74
A membrán alakjának differenciálegyenlete: ∆ζ = − Peremfeltétel: ζ
g0
p ( x, y ) N0
.
=0 .
Feszültségfüggvény többszörösen összefüggő tartomány esetén: U ( x, y )
U1
U g =0 , 0
U2
U g = U 1 = állandó, 1 x
U g =U 2 = állandó. 2
y g1
x
g2 g0
6.2.2. Közelítő megoldás
Vékonyszelvényű rudak szabad csavarására közelítő megoldást állítunk elő. a) Nyitott vékony szelvényű rudak - Vékonyfalú téglalap
y
Közelítő feszültségfüggvény: ⎛ v2 ⎞ U = G ϑ ⎜ − x2 ⎟. ⎝ 4 ⎠
Mc b
S
x
Poisson egyenlet: ∂U ∂U + = − 2G ϑ ∂x 2 ∂y 2
v
Peremfeltételek:
−2G ϑ + 0 = − 2G ϑ
x= ±
v 2
teljesül.
U = 0 teljesül, y = ±
Feszültségek: 75
b 2
U ≠ 0.
τ xz =
∂U ∂U = 0 , τ yz = − = 2G ϑ x ∂x ∂y
( lineáris eloszlás ) .
Csavarónyomaték:
∫
M c = 2 U dA ≅ 2G ϑ b M c = Gϑ Ic
v 2
⎛ v2 bv 3 2⎞ . ⎜ − x ⎟ dx = G ϑ 4 3 ⎝ ⎠ v Ic x=− 2
∫
A kereszetmetszet csavarási másodrendű nyomatéka: I c =
bv 3 . 3
Mc helyettesítés után: Ic M M = c 2 x ⇒ τ max = c ν . Ic Ic
Feszültségek ⇒ a G ϑ =
τ xz = 0 ,
τ yz
- Összetett nyitott vékonyfalú szelvény (a vékony téglalap eredményeinek általánosítása) b3 v3
τ sz ξ
y
3
Ic =
∑
i =1
MC
b2
τ sz =
x
S
v2
ξ
Mc 2ξ , Ic
M c = Gϑ Ic .
s
v1
τ sz
bi vi3 , 3
b1
- Görbe középvonalú nyitott vékonyfalú szelvény
76
s Ic =
1 3
∫
v 3 ds.
(b)
A többi összefüggés változatlan alakú.
v(s)
β ) Zárt vékonyszelvényű szelvényű rudak Közelítő feszültségfüggvény:
U ( x, y )
U (ξ ,η ) = − U1
U1 ξ +h. v
Feltételezük, hogy az U a szelvény
y
x vastagsága mentén lineárisan változik. ∂U U 1 FFeszültség: τ sz = − = = állandó . A ∂ξ v feszültségeloszlás a szelvény vastagsága ξ mentén állandó.
τ sz
s O
A lineáris U függvény " lépcsős " közelítése:
Mc S
Ak
x
v
∫
M C = 2 U dA ≅ 2 Ak U 1 ⇒ U 1 =
τ xy =
A keresztmetszet csavarási másodrendű nyomatéka:
77
Ic =
U1 M C = v 2 Ak v
4 Ak2 . 1 ds b
∫
Bredt formula.
MC 2 Ak
7. A RUGALMASSÁGTAN 2D FELADATAI A 2D ( két dimenziós ) feladatok közös jellemzői: - két skalár elmozdulásmező különbözik nullától, - minden mechanikai mennyiség két helykoordinától függ. A 2D feladatok típusai : -sík alakváltozási feladatok ( SA ) ,
⎫⎪ ⎬ síkfeladatok , -általánosított síkfeszültségi feladat ÁSF , ⎪⎭ - forgásszimmetrikus/tengelyszimmetrikus feladatok (FSZ).
(
)
7.1. Sík alakváltozás (SA)
Definíció: Sík alakváltozásról beszélünk, ha a vizsgált testnek van egy kitüntetett síkja, amelylyel párhuzamos valamennyi sík alakváltozása azonos és a síkok távolsága sem változik. y
u = u e x + v ey .
u P x
Az elmozdulásmező skaláris koordinátái: u = u ( x, y ) , v = v ( x, y ) , w =0 .
b
P
u x
z
Feltételek: - A kitüntetett síkra merőleges méret lényegesen nagyobb, mint a másik kettő. Például: vastagfalú cső, alagút, a folyó gátja, stb. - A terhelés párhuzamos a kitüntetett síkkal és a legnagyobb kiterjedés (a z tengely ) irányában nem változik. - A síkok távolságának változatlanságát külső kényszer biztosítja (ezt az ábrán sraffozott vonal jelöli). Alakváltozási állapot:
78
⎡ ⎢ εx ⎢ 1 ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎢ γ yx ⎢2 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣
1 γ xy 2
εy 0
⎤ 0⎥ ⎥ 0⎥ , ⎥ ⎥ 0⎥ ⎥⎦
∂u = ε x ( x, y ) , ∂x ∂v ε x = = ε y ( x, y ) , ∂y ∂v ∂u γ xy = + = γ xy ( x, y ) . ∂x ∂y
εx =
ahol
⇒
A = A ( x, y ) .
Feszültségi állapot ( az általános Hooke-törvényből): ⎡
σ x ( x, y ) = 2G ⎢ε x + ⎣
τ xy ( x, y ) = G γ xy =
εx + εy ⎤ ⎥ν , 1 − 2ν ⎦
E γ xy , 2 ( 1 + 2ν )
⎡
σ y ( x, y ) = 2G ⎢ε y + ⎣
εx + εy ⎤ ⎥ν , 1 − 2ν ⎦
ε z = 0 ⇒ σ z = ν (σ x + σ y ) ,
τ xz = τ yz = 0 . ⎡σ x τ xy ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( x, y ) ⎤⎦ ⎢τ yx σ y ⎢ ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ . σ z ⎥⎦
Egyensúlyi egyenletek: DDKR ∂σ x ∂τ xy + + qx = 0 , ∂x ∂y ∂τ yx ∂σ y + + qy = 0 , ∂x ∂y
HKR ∂σ R σ R − σ ϕ 1 ∂τ Rϕ + + + qR = 0 , ∂R R R ∂ϕ τ ϕ R 1 ∂σ ϕ ∂τ ϕ R +2 + + qϕ = 0 . ∂R R R ∂ϕ
A 3. egyenletből következően : qz ≡ 0 .
7.2. Általánosított sík feszültségi feladat (ÁSF)
Elnevezés: Általános sík feszültségi feladat ≡ tárcsa feladat ≡ a saját síkjában terhelt lemez feladata. Tárcsa: Olyan test, melynek egyik mérete lényegesen kisebb mint a másik kettő. Az értelmezhető középsík és a terhelés vastagság mentén vett eredője a középsíkba esik.
79
y
Feltételezések:
f1
- b << a test más méreteinél, - a z = 0 a középfelületi sík,
x
- a terhelésben nincsenek z irányú erők,
f2
- az xy síkkal párhuzamos b
erők eredője az xy síkba
középsík
f2
esik,
f1
- a z = ± b 2 felületek terhe-
x z A feszültségre vonatkozó feltételezések:
letlenek.
σx
x
τ zx
z
z
z
⇒ σ z z = ± b 2 =0 , - ha a b méret kicsi, akkor σ z ≈ 0 nemcsak a felületeken, hanem a többi helyen is fennáll. - a σ x , σ y , τ xy a z páros függvényei, - a z = ± b 2 felületek terheletlenek
- a τ zx , τ zy a z páratlan függvényei. Átlagos feszültségek:
σx =
1 b
σz =
1 b
∫σ
x
dz ,
∫σ
z
dz = 0 ,
(b) (b)
σy =
1 b
∫σ
(b)
τ xz =
1 b
y
dz ,
∫τ
(b)
xz
τ xy =
dz = 0 ,
1 b
∫τ
(b)
τ yz =
xy
1 b
dz ,
∫τ
(b)
⎡σ x τ xy Az átlagfeszültségi tenzor: ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( x, y ) ⎤⎦ = ⎢⎢τ yx σ y ⎢⎣ 0 0 Felületi feszültségek/élerők:
N x = b σ x , N y = b σ y , N xy = bτ xy .
80
yz
dz = 0 .
0⎤ 0 ⎥⎥ . 0 ⎥⎦
⎡ Nx A felületi feszültségi tenzor: ⎡⎣ N ⎤⎦ = ⎡⎣ N ( x, y ) ⎤⎦ ⎢⎢ N yx ⎢⎣ 0
N xy Ny 0
0⎤ 0 ⎥⎥ . 0 ⎥⎦ z
z
τ yx
x σx
σy y
τ xy
x
Nx
N xy
N yx
Általános Hooke-törvény:
σx =
E ε x +ν ε y , 1 −ν 2
(
σ z =0 ⇒
)
εz =−
ν 1 −ν
σy =
(ε
x
E ε y +ν ε x , 1 −ν 2
(
)
+ε y ,
)
τ xy = G γ xy =
E γ xy . 2 (1 +ν )
τ xz =τ yz = 0 .
Átlagos alakváltozások: εx =
1 b
∫
(b)
ε x dz ,
εy =
⎡ ⎢ εx ⎢ 1 ⎡⎣ A ⎤⎦ = ⎡⎣ A ( x, y ) ⎤⎦ ⎢ γ yx ⎢2 ⎢ ⎢ 0 ⎢⎣
εz =−
ν 1 −ν
(ε
x
1 b
∫
(b)
ε y dz , γxy =
1 b
∫
(b)
γxy dz , ε z = −
ν 1 −ν
⎤ 0⎥ ⎥ 0 ⎥ Átlagos alakváltozási tenzor . ⎥ ⎥ εz ⎥ ⎥⎦
1 γ xy 2
εy 0
)
+ε y .
Átlagos elmozdulások: u ( x, y ) =
1 b
∫
(b)
u dz , v ( x, y ) =
Egyensúlyi egyenletek:
1 b
∫
v dz , w = 0.
(b ) Geometriai egyenletek:
81
(ε
x
+ε y
)
Ny y
∂σ x ∂τ xy + + qx = 0 , ∂x ∂ϕ ∂τ yx ∂σ y + + qy = 0 . ∂x ∂y
∂u ∂v , εy = , ∂x ∂y ∂u ∂v . = + ∂y ∂x
εx = γ xy
7.3. Forgásszimmetrikus/tengelyszimmetrikus feladat (FSZ)
Definíció: a vizsgált test geometriája és terhelése is szimmetrikus. Következmény: a test pontjai a test meridián síkjában mozdulnak el. z
p ( R,z ) q
q
f
f
R , z ,ϕ henger koordinátarendszerben dolgozunk. Tengelyszimmetria ⇓ A mechanikai mennyiségek nem függnek a ϕ -től.
meridiánmetszet R
Elmozdulásmező: u = u eR + v ez + weϕ ,
u = u ( R, z ) , = v = ν ( R, z ) , w ≡ 0.
Minden pont a saját meridián síkjában mozdul el. Alakváltozási állapot: 1 ⎡ ⎤ εR γ Rz 0 ⎥ ⎢ ∂u ∂v u 2 ⎢ ⎥ ε R ( R, z ) = , ε z ( R, z ) = , ε ϕ ( R, z ) = , 1 R ∂R ∂z ⎢ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ εz 0⎥ ⇒ ⎣ A⎦ = ⎣ A ( R, z ) ⎦ = γ zR ⎢ ⎥ ∂u ∂v 2 Rzϕ Rzϕ γ Rz = + , γ ϕ z = γ Rϕ = 0 . ⎢ ⎥ 0 εϕ ⎥ ∂z ∂R ⎢ 0 ⎣⎢ ⎦⎥ Feszültségi állapot az általános Hooke-törvényből: ν ⎤ ⎡ AI , σ R ( R, z ) = 2G ⎢ε R + 1 − 2ν ⎥⎦ ⎣ ν ⎤ ⎡ ⎡σ R τ Rz 0 ⎤ AI , σ z ( R, z ) = 2G ⎢ε z + 1 − 2ν ⎥⎦ ⎢ ⎥ ⎣ ⇒ ⎣⎡ F ⎦⎤ = ⎣⎡ F ( R, z ) ⎦⎤ = ⎢τ zR σ z 0 ⎥ ν ⎡ ⎤ Rzϕ Rzϕ ⎢0 σ ϕ ( R, z ) = 2G ⎢ε ϕ + 0 σ ϕ ⎥⎦ ⎥ AI , ⎣ − ν 1 2 ⎣ ⎦ ahol AI = ε R + ε z + ε ϕ
82
τ Rz = G γ Rz , τ ϕ z = τ Rϕ = 0 . 7.4. Síkfeladatok (SA, ÁSF) feladat megoldása feszültségfüggvény bevezetésével
Hasonlóság az SA és az ÁSF feladatok között: - a két elmozdulásmező u ( x, y ) , v ( x, y ) / u ( R,ϕ ) , v ( R,ϕ ) , - a három független alakváltozási jellemző ε x ( x, y ) , ε y ( x, y ) , γ xy ( x, y ) , / ε R ( R,ϕ ) , ε ϕ ( R,ϕ ) , γ R ,ϕ ( R,ϕ ) , - a három független feszültségi jellemző σ x ( x, y ) , σ y ( x, y ) , τ xy ( x, y ) , / σ R ( R,ϕ ) , σ ϕ ( R,ϕ ) , τ R ,ϕ ( R,ϕ ) , - minden mennyiség csak az x, y R ,ϕ hányados függvénye, - a geometriai és egyensúlyi egyenletek alakja. Különbözőség az SA és az ÁSF feladatok között: - az SA-nál a pontbeli jellemzők, az ÁSF-nél a vastagság menti (átlagos) jellemzők, SA: σ z ≠ 0 ⎫ ⎬ nem független jellemzők , ÁSF: ε z ≠ 0 ⎭ - az anyagegyenletek alakja. A megoldás kiinduló feltételezései: qx = q y = 0 ( SA )
és
qx = q y = 0 ( ÁSF ) .
Jelölés: a továbbiakban a felülvonás jelölést elhagyjuk. Feszültségfüggvény bevezetése: U ( x, y ) ⎫⎪ ⎬ Airy - féle feszültségfüggvény U ( R,ϕ ) ⎪⎭ Úgy vesszük fel, hogy a belőle számított feszültségek kielégítsék az egyensúlyi egyenleteket. A feszültségek származtatása:
83
DDKR
σx =
HKR
∂ 2U , ∂y 2
σR =
1 ∂U 1 ∂ 2U , + 2 R ∂R R ∂ϕ 2
∂ 2U ∂ 2U σ , , = ϕ ∂x 2 ∂R 2 ∂ ⎛ 1 ∂U ⎞ ∂ 2U τ xy = − τ Rϕ = − ⎜ , ⎟. ∂R ⎝ R ∂ϕ ⎠ ∂x∂y Ezek az összefüggések az SA-ra és az ÁSF-re is érvényesek.
σy =
Feszültségek ⇒ Anyagegyenlet ⇒ Alakváltozások ⇒ Kompatibilitási egyenlet: ∆ ∆ U = 0 biharmonikus differenciál egyenlet . U ( x, y ) - biharmonikus függvény – ki kell elégítenie a biharmonikus differenciál egyenletet. A Laplace-féle differenciál operátor kétváltozós (síkbeli) esetben: ∆ =
A biharmonikus differenciál egyenlet alakja a DDKR-ben:
∂2 ∂2 + . ∂x 2 ∂y 2
∂ 4U ∂ 4U ∂ 4U + + =0 . 2 ∂x 4 ∂x 2 ∂y 2 ∂y 4
7.5. Forgásszimmetrikus síkbeli feladatok
Tengelyszimmetria : a mennyiségek nem függnek a ϕ -től. Elmozdulásmező: u = u ( R ) eR .
Feszültségfüggvény: U = U ( R ) . Példák forgásszimmetrikus síkfeladatokra: SA (vastagfalú cső) z
pB
ÁSF (furatos tárcsa ) b z
pK
R
fK
fK
f k − vonal mentén megoszló terhelés
pB − belső terhelés, pK − külső terhelés Alakváltozási jellemzők: ε R =
R
du u , εϕ = , γ Rϕ = 0 . dR R
84
Alakváltozási tenzor: SA ⎡ε R 0 ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎡⎣ A ( R ) ⎤⎦ = ⎢ 0 ε ϕ ⎢ ⎢⎣ 0 0
ÁSF 0⎤ ⎡ε R ⎥ 0 ⎥ , ⎡⎣ A⎤⎦ = ⎡⎣ A ( R ) ⎤⎦ = ⎢⎢ 0 ⎢⎣ 0 0 ⎥⎦
Hooke-törvény: SA 1 ⎡σ R − ν (σ R + σ ϕ ) ⎤ , εR = ⎦ 2G ⎣ 1 ⎡σ ϕ − ν (σ R + σ ϕ ) ⎤ , εϕ = ⎦ 2G ⎣
0
εϕ 0
0⎤ ν 0 ⎥⎥ , ahol ε z = − (ε R + εϕ ) . 1 −ν ε z ⎥⎦
ÁSF 1 ε R = (σ R −νσ ϕ ) , E 1 ε ϕ = (σ ϕ − νσ R ) , E
ν
(σ ϕ + σ R ) . E Biharmonikus differenciál egyenlet: ∆ ∆ U = 0 . Biharmonikus differenciál egyenlet tengelyszimmetrikus esetre: εz = −
1 d ⎧ d ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞ ⎤ ⎫ ⎨R ⎜R ⎟ ⎬ = 0. R dR ⎩ dR ⎢⎣ R dR ⎝ dR ⎠ ⎥⎦ ⎭ Ez egy homogén, közönséges negyedrendű Euler-féle differenciál egyenlet . Az Euler-féle differenciál egyenlet ismert formája : x 4 y '''' + x 3 y ''' + x 2 y '' + x y ' = 0 → megoldás : yk ( x ) = x n . A biharmonikus (Euler tipusú) differenciál egyenlet megoldása: A U ( R ) = R 2 + B lnR + C + DR 2 lnR 2 Mivel a DR 2 lnR -es tag nem ad egyértékű elmozdulásmezőt kör, körgyűrű tartományban a megoldás végső alakja: A U ( R ) = R 2 + B lnR + C . 2 Feszültségek: 1 dU B σ R ( R) = =A+ 2 , R dR R 2 d U B σϕ ( R ) = 2 = A − 2 , dR R ⎧⎪ν (σ R + σ ϕ ) SA ⎫⎪ σz = ⎨ ⎬ esetén. 0 ÁSF ⎭⎪ ⎩⎪ Az A, B állandók a dinamikai peremfeltételekből határozhatóak meg. 7.6. Vastagfalú csövek 7.6.1. Egyszerű vastagfalú cső
85
Megoldás: SA + húzás/nyomás szuperpozíciója. pK A cső vizsgált (sraffozott) szakaszán a véglapok zavaró hatása nem érvényesül.
RK RB
pB
A végektől elég távol levő szakaszt vizsgáljuk.
A csőben kialakuló feszültségi állapot: 0 ⎤ ⎡σ ′R 0 0⎤ ⎡σ R 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎡⎣ F ⎤⎦ = 0 σ ϕ 0 = 0 σ ϕ′ 0 ⎥⎥ + ⎢ ⎥ ⎢ 0 σ z ⎦⎥ ⎣⎢ 0 0 σ ′z ⎦⎥ ⎣⎢ 0 SA
⎡0 0 0 ⎤ ⎢0 0 0 ⎥ . ⎢ ⎥ ⎣⎢0 0 σ z′′ ⎦⎥ húzás-nyomás
⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎬ ahol σ z′ = ν (σ R′ + σ ϕ′ ) =ν 2 A , ⎪ σ z′′ = állandó. ⎪ ⎪ ⎭ A tengely irányú normál feszültség: B R2 B σ ϕ = σ ϕ′ = A − 2 R σ z = σ z′ + σ z′′
σ R = σ R′ = A +
F pB RB2π − pK RK2 π = . A RK2 π − RB2π A σ ′′z -nek akkorának kell lennie, hogy a σ z′ -hez hozzáadva a fenti értékek adódjanak ki.
Nyitott cső: σ z = 0
⇒
σ z′′ = − σ z′ ,
zárt cső: σ z =
Csődiagram: RB2 RB2 , ψ = , ψ B =1 , ψ K < ψ < 1 . K R2 RK2 Az állandók meghatározása a peremfeltételekből: Új változó bevezetése:
σ R = a − bψ ⎫ σ ϕ = a + bψ ⎬⎭
ψ=
σ R ( R = RB ) = σ R (ψ = 1) = − pB , σ R ( R = RK ) = σ R (ψ = ψ K ) = − pK .
Behelyettesítve:
86
a − b = − pB
⎫ ⎬ a − bψ K = − pK ⎭
b=
pB − p K = tgϑ , 1 −ψ K
a=
pBψ K − pK . 1 −ψ K
⇒
Diagram:
σ R σϕ σz
σ ϕ (ψ ) b
a
ψK pK
ϑ
σ z zárt
ϑ
σ z nyitott
1 pB
ψ b
σ R (ψ ) A csődiagram megrajzolásának gondolatmenete: - A peremfeltételek figyelembevételével a ψ = ψ K és a ψ =1 helyen felmérjük a σ R (ψ ) függvényértékeket: − pK , − pB .
- A két végpontot összekötő egyenes a σ R (ψ ) függvény.
- A σ R (ψ ) és a σ ϕ (ψ ) függvény a koordinátarendszer függőleges tengelyét az a helyen metszi, iránytangensük azonos nagyságú, de ellentétes előjelű. - A σ ϕ (ψ ) függvényt úgy kapjuk, hogy a σ R (ψ ) függvényt tükrözzük a σ = a vízsintes egyenesre. - A σ z (ψ ) állandó, amelynek értéke attól függ, hogy nyitott, vagy zárt csőről van szó. Nyitott cső: σ z = 0 . Zárt cső: σ z =
pB RB2 − pK RK2 pBψ K − pK = = a = állandó. 1 −ψ K RK2 − RB2
Méretezés, ellenőrzés ha pB > pK : A főfeszültségek: σ 1 = σ ϕ , σ 2 = σ z , σ 3 = σ R . A redukált feszültség Mohr szerint: σ red ( Mohr ) = σ 1 − σ 3 = σ ϕ − σ R ,
σ red max ( Mohr ) = (σ ϕ − σ R ) σ red max ( Mohr ) = 2b = 2
max
= (σ ϕ − σ R )
ψ =1
= 2b ,
pB − pK . 1 −ψ K
87
Méretezés, ellenőrzés: σ red max ≤ σ meg . Példa: egyszerű nyitott, vagy zárt vastagfalú cső méretezése pK Adott: pB , pK , RB . Keresett: RK .
RK
pB
RB
Méretezés: σ red max = 2 2
p B − pK
σ meg
ψK = RK ≥
p B − pK ≤ σ meg 1 −ψ K
≤ 1 −ψ K
RB2 p − pK ≤ 1− 2 B 2 1 −ψ K RK RB 1− 2
pB − pK 1 − σ meg
Megjegyzés: a nyomáskülönbség nem növelhető minden határon túl. p − pK = 0 , akkor RK → ∞ Ha 1 − 2 B
σ meg
⇓ pB − p K <
σ meg
. 2 Megoldás: csökkenteni kell a nyomáskülönbséget, például a pK növelésével. 7.6.2. Kettős falú csövek
Mindig túlfedéssel illesztettek: a belső cső külső felületén nyomásnövekedést hozunk létre. . Túlfedés: δ = ρ B − ρ K .
δ RB
ρB
ρK
RK
Megvalósítás: a külső csövet felmelegítve ráhúzzuk a belső csőre, majd lehűtjük.
p∗ - a lehűtés után fellépő nyomás, belső cső
külső cső
p∗ = p∗ (δ ) . A p∗ nagysága a δ túlfedéstől függ. 88
Feltételezés: δ
ρB ,ρK ⇒ ρB ≈ ρK .
p∗
δ p∗
Új változó:
ψ=
RB2 , R2
ψK =
RB2
ρ B2
=
RB2
ρ K2
,
ψK =
RB2 . RK2
7.6.2.1. A túlfedés következtében kialakuló állapot pK = 0
A csövön nincs külső/belső nyomási terhelés. p∗ - a túlfedés következtében fellépő nyomás.
ρB ≈ ρK
RB
pB = 0
RK
Csődiagram:
σ R σϕ
külső cső
belső cső
σϕ
σ red max K ak
ab
ψK σR
ψK
1
p∗
ψ
σR σ red max B
σϕ A csődiagram megrajzolásának gondolatmenete: - A peremfeltételek figyelembevételével felmérjük a σ R (ψ ) függvény értékeit: A ψ = ψ K helyen pK = 0 -át, ψ = ψ K helyen − p∗ -ot és ψ =1 helyen pB = 0 -át. - Az így kapott pontokat összekötve kapjuk meg külön-külön a belső, illetve a külső csőre a σ R (ψ ) egyeneseket. 89
- Ezek az egyenesek a függőleges tengelyt az ak , illetve az ab pontokban metszik.
- A σ ϕ (ψ ) függvényeket (egyeneseket) úgy kapjuk, hogy a σ R (ψ ) egyeneseket tükrözzük a
σ = ab , illetve a σ = ak vízszintes egyenesekre. Maximális redukált feszültségek: σ red max B σ red max K p∗ p∗ = = ψ . 1, 2 1 −ψ K 2 ψ K −ψ K K 7.6.2.2. Kettős falú vastag cső külső terheléssel pK
ρB ≈ ρK
RK RB
Feltételezés: pB > pK ≠ 0 . A szuperpozíció elvét alkalmazzuk.
pB
Csődiagram: belső cső
külső cső
σ R σϕ
σϕ σ red max K σϕ
ak ab
pK
ψK
ψK
1
ψ
p′
σϕ
pB
p∗
σ red max B
σR
p∗ − a túlfedésből származó nyomás, p′ − a túlfedés helyén fellépő tényleges nyomás. A diagram megrajzolása a 7.6.1. és a 7.6.2.1. pontban részletesen leírt gondolatmenettel történt. Maximális redukált feszültségek: σ red max B pB − p′ σ red max K p ′ − pK = = , ψ . 2 1 −ψ K 2 ψ K −ψ K K
90
Méretezés: ha például adottak az RB , ρ B ≈ ρ K , pB , pK paraméterek, akkor a fenti összefüggésekből meghatározhatóak a p′ és a ψ K értékek (azaz RK ). 7.6.2.3. A túlfedés meghatározása
p′
uK p′
ρK
Túlfedés: δ = ρ B − ρ K .
uB
ρ
ρB
ρ = ρ K + uK = ρ B + uB δ = ρ B − ρ K = uK − uB = ρ K ε ϕ K − ρ Bε ϕ B Közelítés: ρ K ≈ ρ B
δ = ρ B (εϕ K − εϕ B )
R = ρB = ρK
Hooke-törvény: ε ϕ =
δ = ρB
⎡ ⎤ 1 ⎢ σ ϕ − ν (σ R + σ ϕ ) ⎥ . ⎥ 2G ⎢ =− p′ ⎢⎣ ⎥⎦
1 ⎡σ ϕ K − σ ϕ B − ν (σ ϕ K − σ ϕ B ) ⎤ . ⎦ 2G ⎣ R = ρB
7.6.2.4. Optimális csőméretek
Adott: RB ,RK , pK ,σ meg B ,σ meg K . Kérdés: hogyan kell ρ K ≈ ρ B -t (vagyis ψ K -t ) megválasztani, hogy pB maximális legyen. A kettősfalú cső méretezésére szolgáló összefüggések: ⎫ pB − p′ σ red max B σ meg B σ meg B = ≤ ⎪ ⇒ pB = (1 −ψ K ) + p′. 1 −ψ K 2 2 ⎪ 2 ⎬ ψ −ψ K σ red max K σ meg K ⎪ p ′ − pK ⇒ p′ = K σ meg K + pK . ≤ ψK = 2ψ K ψ K −ψ K 2 2 ⎪⎭ pB =
σ meg B 2
(1 −ψ K ) +
ψ K −ψ K σ meg K + pK = pB (ψ K ) . 2ψ K
Keressük a pB szélsőértékét (maximumát):
σ meg B σ meg K ψ K dpB =0 = − + , dψ K 2 2 ψ K2 ψK =
σ meg K ψ . σ meg B K
91
dpB ψ = − σ meg K K3 < 0 . A szélsőérték maximum. 2 ψK dψ K
ψ K2 =
RB4
ρ B4
=
σ meg K RB2 σ meg B RK2
⇒
⎛ σ meg K ⎞ 1 ⎟ 2 RB RK . ⎟ σ ⎝ meg B ⎠
ρB ≈ ρK = ⎜ ⎜
Azonos anyag esetén az optimális közbülső sugár: ρ K ≈ ρ B = RB RK . 7.7. Gyorsan forgó tengelyek, csőtengelyek y pK = 0
q
Feltételezés: - ω = állandó, - súlyerő ≈ 0, - pB = pK = 0. A szilárdságtani állapotokat henger koordináta-rendszerben írjuk le.
eR
eϕ dV
pB = 0
ω
R
S
Forgás ⇒ a gyorsulásból származó, a térfogaton megoszló erőrendszer:
x
q = qR eR = ρ R ω 2 eR =
γ
g
R ω 2 eR .
ρ − tömegsűrűség ⎡⎣ kg/m3 ⎤⎦ γ − fajsúly ⎡⎣ N/m3 ⎤⎦
2 RB
2 RK
g − gravitációs gyorsulás ⎡⎣ m/s 2 ⎤⎦
A q = qR eR a tengely/csőtengely keresztmetszetének síkjába esik, ezért az alakváltozás során a keresztmetszetek síkok maradnak. Megoldás: SA+ tiszta húzás-nyomás ⇒ F = F ′ + F ′′ . a) Sík alakváltozás Ebben az esetben a biharmonikus egyenlet nem homogén, a jobboldalon megjelenik az ω . 1 − 2ν Biharmonikus differenciál egyenlet: ∆ ∆ U = − 2 ρ ω2. 1 −ν ⎧ d ⎡ 1 d ⎛ dU ⎞ ⎤ ⎫ 1 − 2ν γ 2 1 d Tengelyszimmetrikus esetben: ω = állandó. ⎨R ⎜R ⎟ ⎬=2 R dR ⎩ dR ⎢⎣ R dR ⎝ dR ⎠ ⎥⎦ ⎭ 1 −ν g Megoldás: U ( R ) = U h + U p .
U=
A 2 1 − 2ν γ 2 R 4 A 2 1 − 2ν γ 2 R 4 R + B ln R + C + DR 2 ln R + 2 ω = R + B ln R + C + 2 ω 2 1 −ν g 64 2 1 −ν g 64
(
Megjegyzés: a
( DR
2
)
)
ln R -es tagot elhagyjuk, mert nem ad egyértékű elmozdulásmezőt
kör és körgyűrű tartományban.
92
Új változó bevezetése: λ =
R2 . RK2
Az U = U ( R ) függvényből származtatott feszültségek:
⎫ − σ ω0λ ⎪ λ ⎪ b ⎪ σ ϕ′ = a + − µ1σ ω 0 λ ⎬ λ ⎪ ⎪ σ z′ =ν (σ R′ + σ ϕ′ ) ⎪ ⎭
σ R′ = a −
b
Konstansok: 3 − 2ν ρ σ ω0 = ( RK ω )2 , 1 −ν 8 1 + 2ν µ1 = <1. 3 − 2ν
b) Tiszta húzás Tiszta húzás esetén olyan nagyságúra kell felvenni, hogy a szuperpozíció zérus tengely irányú erőt eredményezzen. N = N ′ + N ′′ = 0. RK N=
∫ σ ′ 2 R π dR + N ′′ = 0 . z
σ z′ = ν (σ R′ + σ ϕ′ ) = ν 2a −ν σ ω 0 ( 1 + µ ) λ .
RB
(
)
N ′′ = − 2π aν R 2 K − R 2 B + ν σ ω 0 ( 1 − µ1 ) π RK2
(
)
N ′′ = − 2π aν R 2 K − R 2 B + ν σ ω 0 ( 1 − µ1 ) π
1
∫ λ dλ ,
λB
(
d λ = 2R
1 dR RK2
)
1 1 − λB2 RK2 . 2
N ′′ . A c) Szuperpozíció: forgó csőtengely/tengely b ⎫ σ R = σ R′ = a − − σ ω 0 λ , ⎪ Konstansok: λ ⎪ b 2ν ⎪ ′ σ ϕ = σ ϕ = a + − µ1σ ω 0 λ , µ2 = <1, µ 2 < µ1 . ⎬ λ 3 − 2ν ⎪ σ z = σ z′ + σ z′′ = µ2σ ω 0 ( 1 + λB − 2λ ) .⎪ ⎪ ⎭ Konstansok meghatározása a peremfeltételekből: b ⎫ R = RB ( λ = λB ) σ R = 0 = a − − σ ω 0 λ ⎪ ⎪ λ ⎬ ⇒ Az a és a b paraméterek ebből meghatározhatók. b R = RK ( λ = 1) σ R = 0 = a − − σ ω 0 ⎪ ⎪⎭ λ b⎫ hR = a − ⎪ λ ⎪ hiperbolák. Jelölés: ⎬ b⎪ hϕ = a + λ ⎪⎭
σ z′′ =
93
A hiperbolák aszimptotái: ha λ → 0 , akkor ha λ → ∞ , akkor
hR → − ∞ , hϕ → ∞ , hR → a , hϕ → a .
aszimptoták
Egy tetszőleges szelő egyenes a hiperbolán és az aszimptotán levő pontjainak távolsága azonos.
tetszőleges szelő egyenes 7.7.1. Gyorsan forgó csőtengely diagramjai
σR σz
hϕ
σϕ
b
b a
σϕ >0
hR
σ R >0
σ ω0 µ1 σ ω0 λB
1
σz
1 + λB 1
λB
A csődiagram megrajzolásának gondolatmenete: - Megrajzoljuk a σ ω0 λ egyenest. - Felvesszük a hR és hϕ hiperbola aszimptótáit: σ és a σ = a vízszintes egyeneseket. - A peremfeltételekből ( λ = 1 − nél σ R = 0 és λB − nél σ R = 0 ) meghatározzuk a hR hiperbola két pontját, majd felrajzoljuk a hR hiperbolát. - Berajzoljuk a hϕ hiperbolát és a µ1σ ω0 λ egyenest. Peremfeltételek: σ R
λB
=0 =a−
b
λB
− σ ω 0 λB ,
A második peremfeltételből: a = b + σ ω 0 . Behelyettesítve az első peremfeltételbe: b + σ ω 0 ( 1 + λB ) , 0 =b −
λB
0 =−
b
λB
( 1 − λB ) + σ ω 0 ( 1 + λB )
⇒ b = λBσ ω 0 .
94
σ R λ =1 = 0 = a − b − σ ω 0 .
Visszahelyettesítve a második peremfeltételbe: a = ( 1 + λB ) σ ω 0 . A forgó csőtengely tetszőleges P pontjának feszültségállapota:
⎡σ R ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ′ ′′ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( R ) ⎤⎦ = F + F = ⎢ 0 ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎢ ⎢⎣ 0 Maximális redukált feszültség:
⎤ ⎥ , ahol σ , σ , σ főfeszültségek. R z ϕ ⎥ σ z ⎥⎦
0
0 0
σϕ 0
σ red max ( Mohr ) = (σ 1 − σ 3 ) = σ ϕ ( λB ) = a +
b
λB
− µ1σ ω 0 λB .
A peremfeltételekből kiszámított a , b értéket behelyettesítve: 1 σ red max ( Mohr ) = ( 1 + λB )σ ω 0 + λBσ ω 0 ( − µ1σ ω 0 λB ) ,
σ red max ( Mohr ) = σ ω 0 ( 2 + λB − µ1λB ) .
λB
7.7.2. Gyorsan forgó tengely diagramja Tömör/furat nélküli tengely: RB = 0 ( λB = 0 ) .
Tapasztalat: R = 0
( λ = 0 ) -nál is véges nagyságúak a feszültségek ⇒
σR σz
a = σ ω0
σϕ σϕ
σR
µ1 σ ω0
µ2 σ ω0 µ2 σ ω0
σz Feszültségek:
b =0 .
λ =1
σ R = a − σ ω0λ , σ ϕ = a − µσ ω 0 λ , σ z = µ2σ ω 0 ( 1 − 2λ ) .
Peremfeltétel: R = RK ( λ = 1)
σ R = 0 = a − σ ω0 ⇒ a = σ ω0 .
Mohr szerint számított redukált feszültség:
σ red ( Mohr ) λ =0 = (σ R − σ z ) λ =0 = σ ω 0 ( 1 − µ2 ) , σ red ( Mohr ) λ =1 = (σ ϕ − σ z )
λ =1
= σ ω 0 ( 1 − µ1 + µ2 ) .
95
7.8. Kör és körgyűrű alakú tárcsák
Megoldás: általánosított sík feszültségi állapot.
Változó: ψ =
RB2 . R2
7.8.1. Furatos tárcsa
Feszültségek : σ R = a − bψ ⎫ σ ϕ = a + bψ ⎬⎭ σ z = 0 , τ Rϕ = 0.
pK
Peremfeltételek: σR (ψ = 1) =a −b=− pB , σR (ψ =ψK ) = a + bψK =− pK .
RK RB
pB
Az első egyenletből: a = b − pB , A második egyenletből: b − pB − bψ K = − pK ⇒ b =
b pB
pB − pK , 1 −ψ K
Visszahelyettesítve: p − pK − pB ( 1 − ψ K ) pBψ K − pK = . a = b − pB = B 1 −ψ K 1 −ψ K
pK
Furatos tárcsa diagramja:
σ R σϕ
σϕ
Redukált feszültség:
σ red max
ψK
1
pK
ψ pB
σR
96
σ red ( Mohr ) = σ ϕ − σ R , σ red max ( Mohr ) = 2
pK − pB . 1 −ψ K
7.8.2. Túlfedéssel illesztett kettős furatos tárcsa pK
Túlfedés: δ = ρ B − ρ K .
δ
Feltételezés: δ << ρ B , ρ K ⇒ ρ B ≈ ρ K .
ρB RB
ρK
pB
Változók: R2 R2 R2 ψ = B2 , ψ K = B2 = B2 , R ρB ρK
RK
ψK =
RB2 . RK2
Tárcsa diagram: Feltételezés: pB > pK .
külső tárcsa
σ R σϕ
Maximális redukált feszültségek: p − p′ σ red max B = B , 1 −ψ K p ′ − pK σ red max K = ψK. ψ K −ψ K
belső tárcsa
σϕ
σ R max K σϕ
ak
ψK
ψK pK
ab
1
pB
p∗
ρB E
(σ ϕ K − σ ϕ B )
ψ
p′
σR
δ=
σ R max B
σR
Túlfedés meghatározása: δ = ρ B (εϕ K − εϕ B )
R = ρB = ρK
Hooke-törvény: ⎞ 1⎛ εϕ = ⎜ σ ϕ −ν σ R ⎟ . ⎟ E⎜ =− p′ ⎠ ⎝
. R = ρB = ρK
A tárcsa diagramból: ⎫ p ′ − pK ψ K − p′ ⎪ ψ K −ψ K ⎪ ⎬ Ezek az R = ρ B = ρ K helyen vett értékek. pB − p ′ ⎪ σϕB = 2 ψ K − p′ ⎪ 1 −ψ K ⎭
σ ϕ K = σ red max − p′ = 2
97
7.9. Gyorsan forgó kör és körgyűrű alakú tárcsák 7.9.1. Gyorsan forgó furatos tárcsa
pK
Feltételezés: − ω = állandó , súlyerő ≈ 0 . A pB és a pK más, a tárcsához kapcsolódó alkatrész hatását modellezi. R2 Változó: λ = 2 . RK
RK RB
pB
ω
Feszültségek: ⎫ ⎪⎪ ( 3 + ν ) γ R ω 2 , µ = 1 + 3ν . ( ) ⎬ , σ ω0 = 3 b 3 +ν ν 8 K ⎪ σ ϕ = a + − µ3σ ω 0 λ ⎪ λ ⎭
σR =a −
pB
b
λ
− σ ω0λ
Peremfeltételek: pK
R = RB ( λ = λB ) , σ R = pB , R = RK ( λ = 1) , σ R = pK .
A forgó tárcsa diagramja:
σR
σϕ hϕ
b
b
σϕ
pK a
σR
hR
σ ω0
pB
µ3 σ ω0
1
λB
1
1 + λB
σ red max ( Mohr ) = σ ϕ ( λB ) = σ ω0 ( 2 + λB ) − µ3σ ω0 λB .
98
λB
7.9.2. Gyorsan forgó tömör tárcsa
Tömör tárcsa: R = RB = 0 ( λB = 0 ) .
Tapasztalat: R = 0 ( λ = 0 ) -nál is véges nagyságúak a feszültségek ⇒ b = 0 .
Feszültségek:
σ R = a − σ ω0λ ⎫ σ ϕ = a − µ3σ ω 0 λ ⎬⎭
Peremfeltétel: σ R ( λ = 1) = pK .
σR
σϕ
pK
a
σR
σϕ σ ω0
µ3σ ω0 λ =1
σ red max ( Mohr ) = σ ϕ ( λ = 0 ) = a = σ ω 0 + pK . 7.9.3. Gyorsan forgó egyenszilárdságú tömör tárcsa
Kérdés: Milyen b = b ( R ) tárcsavastagsággal érhető el a σ R = σ ϕ = σ 0 = állandó feltétel teljesülése ? A forgó tárcsa térfogati terhelése: qR = ρ ω 2 R . Egyensúlyi egyenlet ÁSF esetén henger koordináta-rendszerben: d ( σ R b ) (σ R − σ ϕ ) b + + b qR = 0. dR R σ R − σ ϕ = 0 → ezt akarjuk elérni! db + b qR = 0 , dR d b ρ ω2 + R b = 0 szétválasztható tipusú differenciál egyenlet. dR σ0
σ0
K
A differenciál egyenlet megoldása: b R db db = − K R dR ⇒ =− K R dR , ahol b0 a tárcsavastagság az R0 = 0 helyen. b b b R =0
∫
∫
0
K
− R2 b = − K R 2 ⇒ b = b ( R ) = b0 e 2 . b0 Ez az egyenszilárdságú gyorsan forgó tömör tárcsa meridián görbéjének egyenlete.
ln
99
A görbe inflexiós pontjának megkeresése: db = − b( K R) , dR d 2b d b = ( − K R ) − b K = b K 2 R 2 − b K = b K 2 R 2 − K = 0, 2 dR dR
(
)
K
− R2 ⎛ K ⎞ db = b0 e 2 2 ⎜ − ⎟ R = − b K R , ahol dR ⎝ 2⎠
d 2b = K KR 2 − 1 = 0, dR 2
(
)
A görbe inflexiós pontjában a második derivált nulla: d 2b = KR 2 − 1 = 0 , 2 dR σ0 1 Ri = = az inflexiós hely sugara. K ρ ω2 A megoldás R → ∞ esetre érvényes.
σ0
Gyakorlatilag RK -nál elvágjuk és itt működtetünk egy pK = σ 0 felületi terhelést. Gyakorlati példa: Gázturbina forgórésze, pK = σ 0 a lapátozás forgás következtében fellépő hatása.
RK Ri
b
100
8. VÉKONY FORGÁSHÉJAK MEMBRÁN ELMÉLETE 8.1. Alapfogalmak, egyenletek
Héj: olyan test, amelynek egyik mérete ( a vastagsága) lényegesen kisebb mint a másik kettő, értelmezhető a középfelület és ez nem sík. Középfelület: a vastagsági méret felezési pontjai által alkotott felület. Gyakorlati példa héjra: csővezetékek, tartályok, nyomástartó edények, stb. Közös jellemző: a tárolt, szállított közeg (folyadék, gáz) a héj felületére merőleges felületi terhelést hoz létre. Forgásszimmetrikus héj: - a héj középfelülete forgásfelület (egy meridiángörbe tengely körüli forgatásával állítható elő, - a héj terhelése is forgásszimmetrikus. Következmény: a mechanikai mennyiségek nem függnek a ϕ -től. Meridián metszet: a forgástengelyre illeszkedő síkkal előállított metszet. s P0 - a középfelület pontja, n es - a meridiángörbe érintő irányú egységvektora, ez n = ez - a meridiánfelület normális egységvektora, R Rs es , eϕ , ez - a meridiánfelülethez kötött koordinátaes P0 rendszer egységvektorai,
ϑ
ez es - merdiánsík, Rs - a meridiángörbe görbületi sugara, eϕ ez - normál sík,
Oϕ
Rϕ
Os
Rϕ - a normál metszet görbéjének görbületi sugara. Membrán állapot: a feszültségek a héj vastagsága mentén nem változnak ⇒ a mechanikai mennyiségek csak az s ívhossztól függnek.
σ s = állandó, ⎫ ⎪ σ ϕ = állandó, ⎬ a vastagság mentén τ sϕ = állandó.⎪⎭
⎡ σ s τ sϕ ⎡⎣ F ⎤⎦ = ⎡⎣ F ( s ) ⎤⎦ = ⎢τ ϕ s σ ϕ ⎢ sϕ z sϕ z ⎢⎣ 0 0
0⎤ 0 ⎥⎥ . 0 ⎥⎦
σ z =τ sz =τ ϕ z = 0. Vastagság mentén vett feszültségi eredők: ⎫ Ns = bσ s , ⎪ Ns = bσ ϕ , ⎬ N sϕ = Nϕ s = bτ sϕ = bτ ϕ s .⎪⎭
ez es Ns
Nϕ s
eϕ P0
Nϕ
N sϕ
101
Membrán állapot esetén zérustól különböző élerők.
Élerő: vonal mentén megoszló belső erő [ N mm ] . Igénybevétel: Rudak: a keresztmetszetre számított eredők. (Elnevezés: igénybevételek). Héjak: a héj vastagságára számított eredők. (Elnevezés: élerők, élnyomatékok). Egyensúlyi egyenlet (forgásszimmetrikus héj, membrán állapot): N s Nϕ + = pz , ebben az esetben csak egy skaláris egyensúlyi egyenlet marad. Rs Rϕ Forgásszimmetrikus héj membrán feszültségi állapota egyensúlyi egyenletekkel határozható meg. 8.2. Példák membrán állapot meghatározására
a) Körhengerhéj – hengeres tartály b R0
A henger héj középső szakaszán ( a végektől kb. R0 távolságra) membrán állapot alakul ki .
p
A héjat átmetszük: Ns
Forgástengely irányú egyensúlyi egyenlet: p
Ns
2 R0 π N s − R02 π p = 0 , Ns =
R0 p = állandó . 2
Egyensúlyi egyenlet: N s Nϕ + = pz ⇒ ( Rs → ∞ , Rϕ = R0 , pz = p ) . Rs Rϕ =0
Nϕ = p R0 = állandó. Feszültségek: N R σ s = s = 0 p = állandó, b 2b Nϕ R0 σϕ = = p = állandó, kazán formula. b b
102
b) Gömbhéj – gömbtartály s b
Függőleges tengely irányú vetületi egyenlet:
R0 Ns
π 2
2 R π N s sinϑ − R 2 π p = 0 ,
p
−ϑ
π ϑ
ϑ
2
Ns
−ϑ
2 N s sin ϑ − R p = 0 , 2 Ns
R − R p =0 , R0
Ns =
R0 p = állandó . 2
R
Egyensúlyi egyenlet: N s Nϕ + = pz ⇒ ( Rs = Rϕ = R0 , pz = p ) , Rs Rϕ R p N s Nϕ + = p , Nϕ = R0 p − N s = 0 = állandó . R0 R0 2 R p Gömbi (pont) szimmetria: N s = Nϕ = 0 = állandó . 2 R Feszültségek: σ s = σ ϕ = 0 p = állandó. 2b b) Tóruszhéj R
N s0 p
ez
es
P
Ns
R0
ϑ
p
p
l
l
ϑ
ϑ Görbületi sugarak:
l , Elmetszés: a P ponton átmrnő, a tórusz tengelyére mesinϑ rőleges síkra, egy R = l sugarú hengerrel. A P pont sugara: R = l + R0 sinϑ . Az R = l sugarú hengerfelületen: - N s0 önmagában is egyensúlyi erőrendszer, - p önmagában is egyensúlyi erőrendszer. Tengelyirányú egyensúlyi egyenlet: Rs = R0 , Rϕ = R0 +
103
(
)
2Rπ N s sinϑ − R 2 − l 2 π p = 0. Átalakítás: R = l + R0 sinϑ ,
(
)
2 ( l + R0 ) N s sin ϑ − l 2 + 2lR0 sin ϑ + R02 sin 2 ϑ − l 2 p = 0 , 2 ( l + R0 ) N s sinϑ − ( 2l + R0 sinϑ ) R0 sinϑ p = 0 . Ns =
R0 p 2l + R0 sin ϑ . 2 l + R0 sin ϑ N s Nϕ + = pz . Rs Rϕ
Egyensúlyi egyenlet:
l ⎞ ⎛ ⎜ R0 + ⎟ + ϑ R p 2l R sin l sinϑ ⎠ ⎛ ⎞ ⎝ 0 z 0 = ⎜ R0 + − = Nϕ = Rϕ pz − N s p ⎟ Rs ⎝ sinϑ ⎠ 2 l + R0 sin ϑ R0 Rϕ
⎛ 2l + 2R0 sin ϑ − 2l − R0 sin ϑ ⎞ l ⎞⎛ 1 2l + R0 sin ϑ ⎞ p ⎛ = ⎜ R0 + ( R0 sinϑ + l ) ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟p= ⎟⎜1 − sinϑ ⎠ ⎝ 2 l + R0 sinϑ ⎠ sinϑ 2 ( l + R0 sinϑ ) ⎝ ⎝ ⎠ p R0 = állandó. Nϕ = 2 c) Kúpos héj f
x
f A megtámasztás (felfüggesztés) olyan, hogy f = f es .
Geometria: α =
−ϑ . 2 x = s cos α = s sinϑ .
⋅
ϑ
H
α
π
x
x0
Görbületi sugarak:
s
s tang α = s tang α = x , tang ϑ cos α R = s cos ϑ = x tang α .
Rs → ∞ , Rϕ =
A folyadéknyomás: p = pz = γ ( x0 − x ) = ρ g ( x0 − x ) . O A feszültségállapot meghatározása: 1) 0 ≤ x ≤ x0 szakaszon x
Ns
p
R Ns
α G O
x0 x
R 2π π x = γ tang 2 α x 3 . 3 3 Tengelyirányú vetületi egyenlet: 2 R π N s sin ϑ − R 2π p − Gk = 0 , γ tang α Ns = 3 x0 x − 2x 2 . 6 cos α Nϕ N Egyensúlyi egyenlet: s + = pz . Rs Rϕ A folyadék súlya: Gk = γ
(
104
)
2) x0 ≤ x ≤ H szakaszon x Ns
Ns
π
3 Tengelyirányú vetületi egyenlet: 2 ( H tang α ) π N s sin ϑ − G = 0 ,
G
α
A teljes folyadék súlya: G = γ
x0
Ns =
γ tang α 2 1 x0 . 6 cos α x
tang 2 α x 3 .
Egyensúlyi egyenlet: Nϕ = Rϕ pz .
O
105
9. LEMEZFELADATOK 9.1.Alapfogalmak
Lemez: Olyan test, amelynek egyik mérete lényegesen kisebb, mint a másik kettő. Értelmezhető a középsík, továbbá a terhelés a középsíkra merőleges. p ( x, y )
A középfelület pontjainak elmozdulása: O
x
w0
u = w0 ez , w0 = w0 ( x, y ) ,
z
w0 = w0 ( R,ϕ ) .
O x
y 9.2. Kirchoff-féle lemezelmélet
Kirchoff-féle hipotézis: A középfelület normálisai az alakváltozott középfelület normálisai maradnak és a normálisokon lévő pontok távolsága nem változik.
χy
P0 - a középsíkon lévő pont
O
P0
P - egy tetszőleges pont
x
w0
A P0 pont elmozdulása: u0 = v0 = 0 , w0 = w0 ( x, y ) . z
A P pont elmozdulása: P0
χy χx x
y
∂w0 z, ∂x ∂w v = − χx z = − 0 z , ∂y
u =− χy z =−
w = w0 ( x, y ) .
z
Kirchoff-féle hipotézis következménye: γ xz = γ yz = 0 ,
ε z =0 . Alakváltozási állapot: ∂2w ∂2 w ∂v ∂χ ∂u ∂χ y εx = = z = − 20 z , ε y = = x z = − 20 z , ∂y ∂y ∂x ∂x ∂y ∂x
106
γ xy =
∂ 2 w0 ∂u ∂v + =− 2 z. ∂y ∂x ∂x∂y
∂ 2 w0 ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 κ κ , = − , = . y xy ∂x∂y ∂y 2 ∂x 2 A lemez alakváltozását a középsík görbületei határozzák meg. Görbületek a DDKR-ben: κ x = −
Görbületek a HKR-ben: κ R = −
⎛ 1 ∂w0 ∂ 2 w0 1 ∂ 2 w0 ⎞ κ , = − + , ⎜ ϕ 2 2 ⎟ ∂R 2 ⎝ R ∂R R ∂ϕ ⎠
⎛ 1 ∂w0 ⎞ ⎟. ⎝ R ∂ϕ ⎠
κ Rϕ = ⎜
Alakváltozási jellemzők: DDKR HKR ε x =κ x z , ε R =κ R z , ε y =κ y z , ε ϕ = κϕ z ,
γ xy = −2 κ xy z ,
γ Rϕ = − 2κ Rϕ z .
Kiegészítő feltételezés: σ z
σ x ,σ y ⇒ σ z ≈ 0 .
Általános Hooke törvény: 1 1 σ x −νσ y , ε y = κ y z = σ y −νσ y , E E 1 1 +ν γ xy = −2κ xy z = τ xy = 2 τ xy . G E Az egyenleteket átrendezve és bevezetve az E1 jelölést: E E E1 = , 2G = = ( 1 − ν ) E1 . 2 1 −ν (1 +ν ) A lemez alakváltozását a középsík görbületei jellemzik, ezért a továbbiakban a görbületeket tekintjük alakváltozási jellemzőnek. ⎛ ∂2 w ⎛ ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 ⎞ ∂ 2 w0 ⎞ σ x = E1 κ x + ν κ y z = − E1 ⎜ 20 + ν z , σ E ν κ κ z E = + = − + ⎟ ⎟z, y 1 x y 1 ⎜ν 2 ∂y 2 ⎠ ∂y 2 ⎠ ⎝ ∂2 x ⎝ ∂x ∂ w0 τ xy = −2Gκ xy z = − E1 ( 1 −ν ) z. ∂x∂y Egyensúlyi egyenletek, ha q = qz ez : ∂σ x ∂τ xy ∂τ xz + + = 0, ∂x ∂y ∂z ∂τ yx ∂σ y ∂τ yz + + = 0, ∂x ∂y ∂z ∂τ zx ∂τ zy ∂σ z + + = − qz . ∂x ∂y ∂z Az első két egyenletbe behelyettesítve a σ x ,σ y és τ xy − t és figyelembe véve a dinamikai
ε x =κ x z =
(
(
)
(
)
)
peremfeltételt: b z = ± , τ xz =τ yz = 0 2
(
(τ
zx
)
=τ zy = 0 .
107
)
⎞ 1 1 ∂ ⎛ ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 ⎞ ⎛ b 2 ∂ ⎛ ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 ⎞ ⎛ b 2 2⎞ + − = − − z2 ⎟ . z , τ E ⎜ 2 ⎜ 2 + ⎟ zy 1 2 ⎟⎜ 2 ⎟⎜ 2 ∂x ⎝ ∂x 2 ∂y ⎝ ∂x ∂y ⎠ ⎝ 4 ∂y ⎠ ⎝ 4 ⎠ ⎠ Feszültségeloszlás a vastagság mentén:
τ zx = − E1
1
1
b ey
P0
ex
τ xy e τ yx z
σy
σx
τ zx z
τ zy
z
z
z z
A feszültségek redukciója a középsíkba: Fx = ( τ zx dz ) ez = − Qx ez ⎫ ⎪ (b ) ⎪ ⎬ Eredő erők (élerők). Fy = ( τ zy dz ) ez = − Qy ez ⎪ ⎪⎭ (b ) Eredő nyomatékok (élnyomatékok): M x = z σ x dz ⎫ M yx = z τ yx dz ⎫ ⎪ ⎪ (b ) (b ) ⎪ ⎪ hajlító nyomatékok , ⎬ ⎬ csavaró nyomatékok. M y = z σ y dz ⎪ M xy = z τ xy dz ⎪ ⎪⎭ ⎪⎭ (b ) (b ) Szemléltetés:
∫
∫
∫
∫
∫
∫
ey y
P0 e x
ey
ez
Qy z
Qx
x y
Integrálokat kiszámítva:
108
M xy
My
P0
ex
M yx
ez z
Mx
x
⎛ ∂2 w ∂ 2 w0 ⎞ ⎫ z σ x dz = − E1 I1 ⎜ 20 + ν ⎟ ⎪ ∂y 2 ⎠ ⎪ ⎝ ∂x (b ) ⎪ ⎛ ∂ 2 w0 ∂ 2 w0 ⎞ ⎪ b3 M y = z σ y dz = − E1 I1 ⎜ν ahol I . + = ⎟ ⎬ 1 2 12 ∂y 2 ⎠ ⎪ ⎝ ∂x (b ) ⎪ ∂ 2 w0 ⎪ M xy = M yx = z τ yx dz = − E1 I1 ( 1 − ν ) ∂x∂y ⎪ (b) ⎭ Összefüggés a feszültségek és a nyomatékok között: M M Q ⎛ b2 ⎞ ⎞ M Q ⎛ b2 σ x = x z , σ y = y z , τ xy = xy z , τ xz = − x ⎜ − z 2 ⎟ , τ zy = − y ⎜ − z 2 ⎟ . I1 I1 I1 2I1 ⎝ 4 2I1 ⎝ 4 ⎠ ⎠ Egyensúlyi egyenletek: ∂Qx ∂Qy + = pz , ∂x ∂y Mx =
∫ ∫
∫
∂M yx ∂x
+
∂M y ∂y
+ Qy = 0 ,
∂M x ∂M xy + + Qx = 0 . ∂x ∂y Az M x ,M y ,M xy -t a 2. , 3. egyenletbe behelyettesítve. A 2. , 3. egyenletből Qx ,Qy -t behelyettesítve az 1. egyenletbe: ∆∆w0 =
pz ( x, y )
. Lemezegyenlet. I1 E1 Laplace-féle differenciál operátor: ∂2 ∂2 ∂2 1 ∂ 1 ∂2 ∆= 2 + 2 , ∆= 2 + + 2 . R ∂R R ∂ϕ 2 ∂x ∂y ∂R Lemezegyenlet a DDKR-ben: ∂ 4 w0 ∂ 4 w0 ∂ 4 w0 pz ( x, y ) . +2 2 2 + = I1 E1 ∂x 4 ∂x ∂y ∂y 4 Peremfeltételek: a) egyszerű alátámasztás (csuklós alátámasztás) x =0,
∂ 2 w0 = 0, ∂y 2 ∂ 2 w0 Mx = 0 ⇒ . ∂y 2
w0 = 0 ⇒ y
z
x
109
b) befalazás
x =0,
∂ 2 w0 = 0, ∂y 2 2 ∂ w0 Mx = 0 ⇒ . ∂y 2 w0 = 0 ⇒
y
z
x
c) szabad perem x =0, Mx =0, y
z
x
Qx =
∂M yx ∂y
.
9.3. Tengelyszimmetrikus terhelésű kör és körgyűrű alakú lemezek
A geometria a terhelésés a megtámasztás is tengelyszimmetrikus/forgásszimmetrikus. A tengelyszimmetria miatt minden mennyiség csak az R helykoordinátától függ. Például: w0 = w0 ( R ) , pz = pz ( R ) .
110
pz
pz
R
R z
A normálisok z tengellyel (forgástengellyel) bezárt szöge :
ϑ = − χR = −
ϑ
ϑ =ϑ ( R ) .
dw0 , dR
w0 ( R ) − a középsík pontjainak z irányú elmozdulása (lehajlás). w0
n
χR
z
a) Egyenletek forgásszimmetrikus esetben: - Kinematikai egyenletek dw d 2 w0 dϑ , ϑ = −χR = − 0 , κ R = =− dR dR dR 2
χϕ = 0,
, κϕ =
ϑ R
=−
1 dw0 , κ Rϕ = 0 . R dR
- Anyagegyenletek
ϑ⎞ ⎛ dϑ +ν ⎟ , M R = E1 I1 (κ R + ν κϕ ) = E1 I1 ⎜ R⎠ ⎝ dR ⎛ dϑ ϑ ⎞ + ⎟, M ϕ = E1 I 1 (ν κϕ + κ R ) = E1 I 1 ⎜ν ⎝ dR R ⎠ M R = Mϕ = 0 . d ⎛1 d ( R ϑ ) ⎞⎟ , Qϕ = 0. ⎜ dR ⎝ R dR ⎠ - Egyensúlyi egyenletek QR = − E1 I1
111
ahol I1 =
b3 E , E1 = . 12 1 −ν 2
d ( R QR ) dR
= R pz ,
dM R 1 + ( M R − M ϕ ) + QR = 0. dR R - Lemez egyenlet p ( R) ∆∆w0 ( R ) = z , I1 E1 ⎛ d2 pz ( R ) 1 d ⎞⎛ d 2 1 d ⎞ . ⎜ 2+ ⎟⎜ 2 + ⎟ w0 ( R ) = R dR ⎠⎝ dR R dR ⎠ I1 E1 ⎝ dR
b) Kör és körgyűrű alakú lemezfeladatok megoldása w0 ( R ) = w0h ( R ) + w0 p ( R ) .
Homogén megoldás: w0h ( R ) =
A 2 R + B ln R + C + D R 2 ln R . 2
Partikuláris megoldás pz ( R ) = p0 = állandó esetén: w0 p ( R ) = Probléma: ha a pz ( R ) nem folytonos függvény Például:
p0 R 4 . I1 E1 64
p0
R
R z
Példa: nem folytonos pz ( R ) terhelésre
p0 R0
R RK
z
pz = p0 , Terhelés: 0 < R < R0 Megoldás szuperpozícióval:
R0 < R < RK
112
pz = 0 .
p0 z
R z R = R0 − nál 4 illesztési feltételt kell figyelembe venni. Ez eléggé nehézkes eljárás. - Megoldás a terhelési függvények módszerével: A homogén megoldás ugyanúgy állítható elő, mint az előző esetben. Ez a módszer a partikuláris megoldás előállítását egyszerűsíti le szakadásos pz ( R ) terhelés esetén. A megoldás első lépése: az első skaláris egyensúlyi egyenlet integrálása: R d ( R QR ) = R pz / ........ dR , dR R
∫
B
R QR ( R ) − RB QRB =
R
∫
R pz ( R ) dR ,
R = RB R ⎞ 1⎛ ⎜ RB QRB + R pz ( R ) dR ⎟ . ⎟ R⎜ RB ⎝ ⎠ Példa: QR ( R ) meghatározására
QR ( R ) =
∫
f1
f1
p0
p0
R
R
RB R1 RA RK
z
Adott: p0 , f1 ,RB ,R1 ,RA RK .
Keresett: QR ( R ) . A támasztóerők meghatározása a z irányú vetületi egyensúlyi egyenletből:
(
)
p0 RK2 − RB2 π + f1 2R1π + f A 2RAπ ,
(
)
2 2 p0 RK − RB R fA = − − f1 1 2 RA R2
(↑) .
113
QR ( R ) meghatározása a z irányú vetületi egyensúlyi egyenletből:
a) RB < R < R1 p0
p0 QR
(
)
p0 R 2 − RB2 π − QR 2Rπ = 0, QR
RB
R
QR ( R ) =
R z
p0 p R2 R− 0 B . 2 2 R
b) R1 < R < RA f1
f1 p0
p0
QR
RB
QR
R
R1 R
z
(
)
p0 R 2 − RB2 π + f1 2R1π − QR 2Rπ = 0, QR ( R ) =
p0 p R2 R R − 0 B + f1 1 . 2 2 R R
c) RA < R < RK
f1
f1
p0
p0
R QR
QR
RB R1
fA
fA
RA
R
(
z
2
)π + f 2R π − f
π − QR 2Rπ = 0,
p0 R −
RB2
QR ( R ) =
p0 p R2 R R R − 0 B + f1 1 − f A A . 2 2 R R R
1
1
A 2RA
A megoldás további gondolatmenete: dw d ⎛1 d A nyíróerő és a ϑ = − 0 szögelfordulás kapcsolata: QR = − E1 I1 ( R ϑ ) ⎞⎟ . ⎜ dR dR ⎝ R dR ⎠ 114
Q ( R) d ⎛1 d ( R ϑ ) ⎞⎟ = − R . (∗) ⎜ dR ⎝ R dR E1 I1 ⎠ Elvégezve a baloldalon kijelölt deriválásokat: QR ( R ) d ⎛1 dϑ ⎞ , ⎜ ϑ+ ⎟=− dR ⎝ R dR ⎠ E1 I1
Átrendezve:
−
Q ( R) 1 1 dϑ d 2ϑ ϑ + + 2 =− R , 2 R dR dR E1 I 1 R
R2
R 2 QR ( R ) d 2ϑ dϑ + R − = − . Közönséges másodrendű Euler tipusú differenciál egyenlet. ϑ dR E1 I1 dR 2
A differenciál egyenlet megoldása: ϑ ( R ) = ϑh ( R ) + ϑ p ( R ) . Homogén megoldás: R 2ϑ ′′ + R ϑ ′ − ϑ = 0 ,
ϑh ( R ) = R n . Behelyettesítve: R 2 n ( n − 1) R n − 2 + R n R n −1 − R n = 0 , n ( n − 1) + n − 1 = 0 ,
( n − 1)( n + 1) = 0
⇒ n = ± 1,
1 . R Partikuláris megoldás a differenciál egyenlet ( ∗) -al jelölt alakjának integrálásával:
ϑh ( R ) = C1 R + C2
R
1 d 1 Rϑ p = − QR ( R ) dR , R dR E1 I 1 R
(
)
∫
B
Rϑ p = −
1 I 1 E1
R
R
RB
= RB
∫ R (ξ ∫
QR d ξ ) dR ,
u′ v 2 R u= v′ = QR . Parciális integrálás. 2 R ⎧ ⎫ R R ⎤ 1 ⎪⎡ R 2 R2 ⎪ Rϑ p = − QR d ξ ⎥ − QR d ξ ⎬ , ⎨⎢ I1 E1 ⎪ ⎢ 2 ξ = R 2 ⎥ ⎪ B ⎦ RB ξ = RB ⎩⎣ ⎭
∫
∫
R R ⎫⎪ 1 ⎧⎪ 1 ϑp = − QR d ξ − R 2 QR d ξ ⎬ . ⎨R 2I1 E1 ⎪ ξ = R R ξ =R B B ⎩ ⎭⎪
∫
∫
Általános megoldás : R R ⎫⎪ 1 1 ⎧⎪ 1 − − R Q dR R 2 QR dR ⎬ . ⎨ R R 2I1 E1 ⎪ R RR B ⎩ B ⎭⎪ Az általános Hooke-törvény felhasználásával a nyomatékok:
ϑ ( R ) = ϑh ( R ) + ϑ p ( R ) = C1 R + C2
∫
115
∫
C ⎫ 1 +ν ϑ⎞ ⎧ ⎛ dϑ M R ( R ) = I1 E1 ⎜ + ν ⎟ = I1 E1 ⎨( 1 + ν ) C1 − ( 1 − ν ) 22 ⎬ − R⎠ 2 R ⎭ ⎝ dR ⎩
R
∫
QR dR +
RB
K0 ⎛⎜ R ⎞⎟ ⎝
Új változót bevezetve: λ =
⎠
1 −ν 1 2 R2
R
∫ R Q dR . 2
R
RB
K2 ⎛⎜ R ⎞⎟ ⎝
⎠
2
R . RK2
⎫ − K R ( λ )⎪ ⎪ λ ⎬ Az A,B konstansok a peremfeltételekből határozhatóak meg. B M ϕ ( λ ) = A + − Kϕ ( λ ) ⎪ ⎪⎭ λ Terhelési függvények: K R ( λ ) = K0 ( λ ) + K 2 ( λ ) , M R (λ ) = A −
B
Kϕ ( λ ) = K0 ( λ ) − K 2 ( λ ) .
1 +ν K0 = 2 K2 =
R
∫
RB
1 +ν QR dR = 4
1 −ν 1 2 R2
λ
∫ λ
B
λ
dλ , λ
R
∫
RK QR
R 2 QR dR =
RB
1 −ν 1 RK QR λ d λ . 4 λλ
∫
B
A terhelési függvények közvetlenül a terhelésből határozhatók meg. A szögelfordulás meghatározása az általános Hooke-törvényből: 1 1 1 ϑ= M ϕ −ν M R ) = ( M ϕ −ν M R ) . 2 ( I1 E1 1 − ν I1 E A lehajlás a szögelfordulásból integrálásával állítható elő: R dw0 − = ϑ ⇒ w0 ( R ) = w0B − ϑ ( R ) dR . dR R
∫
B
c) Kör, körgyűrű alakú lemezek méretezése, ellenőrzése: - A ϑ ( R ) meghatározása z irányú vetületi egyenletből - Az M R ( R ) , M ϕ ( R ) előállítása a terhelési függvények módszerével
⎫ − K R ( λ )⎪ R2 ⎪ ⎬ λ= 2 . B RK M ϕ ( λ ) = A + − Kϕ ( λ ) ⎪ ⎪ λ ⎭ Az A, B állandók a peremfeltételekből határozhatók meg.
M R (λ ) = A −
B
λ
A leggyakrabban használt peremfeltételek:
α ) Egyszerű alátámasztás R
R = RK , MR = 0.
RK
z
116
β ) Befalazás/befogás R RK
ϑ = 0 ⇒ Mϕ =ν M R .
z
γ ) Terhelt perem µ
R = RK ,
µ R = RK , Rk
M R = −µ .
z - Veszélyes hely megkeresése → lemezdiagram.
⎫ − K R ( λ )⎪ ⎪ hR ( λ ) ⎪ ⎬ B M ϕ ( λ ) = A + − Kϕ ( λ ) ⎪ ⎪ λ ⎪ hϕ ( λ ) ⎭
M R (λ ) = A −
B
λ
K R ( λ ) = K0 ( λ ) + K 2 ( λ ) ,
Kϕ ( λ ) = K 0 ( λ ) − K 2 ( λ ) .
Példa: a lemezdiagram megrajzolása
µB
pz ( R )
pz ( R )
RB
µK R
RK
z
Peremfeltétel: λ = λB , M R = µ B ⇒ hR ( λ ) = µ B + K R ( λB ) ,
λ = 1 , M R = µ K ⇒ hR ( λ = 1) = µ K + K R ( λB = 1) .
117
hϕ ( λ )
MR
Mϕ
B A
hR ( λ )
µB
MR
Kϕ ( λ )
KR (λ )
λB
Mϕ
µK
1
1 + λB
1
λB
Ebben az esetben M R > 0 , M ϕ > 0. A lemezdiagramból meghatározható a lemez veszélyes sugara. Ebben az esetben a veszélyes sugár λB → RB . - Feszültségek számítása: M ⎞ M Q ⎛ b2 σR = R z, σϕ = ϕ z , τ zR = − R ⎜ − z 2 ⎟ , I1 I1 2I1 ⎝ 4 ⎠
σz = 0. - Lemezhajlításnál: σ R max , σ ϕ max >> τ Rz max .
Veszélyes hely a z = ±
- A redukált feszültség maximuma: b R = RB és z = ± helyen σ red max = (σ ϕ − σ z ) = σ ϕ ( λB ) . max 2 - Méretezés, ellenőrzés: σ red max << σ meg .
118
b felületek. 2
