1
Diszkrét matematika II., 3. el˝oadás
Komplex számok Dr. Takách Géza NyME FMK Informatikai Intézet
[email protected] http://inf.nyme.hu/˜takach/ 2007. február 22.
Komplex számok Szeretnénk kib˝ovíteni a valós számtestet, hogy negatív számokból is lehessen négyzetgyököt vonni, és közben a szokásos m˝uveleti tulajdonságok érvényben maradjanak. Definíció. Legyen C = (R × R; +, ·) a valós számpárok halmaza a következ˝oképpen értelmezett két m˝uvelettel: (a, b) + (c, d) (a, b) · (c, d) Komplex számok geometriai jelentése. pontok helyvektorainak.
= =
(a + c, b + d), (ac − bd, ad + bc).
A komplex számok valós számpárok, ezek megfelelnek a sík pontjainak, illetve a
Állítás. Vektorok összegének megfelel˝o komplex szám a vektoroknak megfelel˝o komplex számok összege.
Az összeadás tulajdonságai asszociativitás: z + (v + w) = (z + v) + w. Ellen˝orzés: z = (a, b), v = (c, d), w + (e, f ). Ekkor z + (v + w) = (a, b) + (c + e, d + f ) = (a + (c + e), b + (d + f )), másrészt (z + v) + w = (a + c, b + d) + (e, f ) = ((a + c) + e, (b + d) + f ). (Két számpár akkor és csak akkor egyezik meg, ha megegyeznek mindkét komponensükben.) (a + c) + e = a + (c + e), hiszen a valós számok szorzása asszociatív. Hasonlóan a második komponensben is. kommutativitás: z + v = v + z, ez is örökl˝odik a valós számoktól. A (0, 0) számpár nullelem, azaz ∀(a, b) : (a, b) + (0, 0) = (0, 0) + (a, b) = (a, b). Az (a, b) számpár ellentettje a (−a, −b) számpár, hiszen (a, b) + (−a, −b) = (0, 0).
A szorzás tulajdonságai asszociativitás: z(vw) = (zv)w. kommutativitás: zv = vz. Ellen˝orzés: (a, b) · (c, d) = (ac − bd, ad + bc), (c, d) · (a, b) = (ca − db, cb + da). Az (1, 0) számpár egységelem, azaz ∀(a, b) : (a, b)(1, 0) = (1, 0)(a, b) = (a, b).
2
minden nemnulla elemnek van inverze: −b a −b −b a a , = a − b , a + b = (a, b) · a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 2 a + b2 −ab + ba = , = (1, 0) a2 + b2 a2 + b2
További tulajdonságok A két m˝uveletet összekapcsoló tulajdonság a disztributivitás: z(v + w) = zv + zw. Ezzel beláttuk, hogy a C struktúra test. C-t a komplex számok testének szokás nevezni. További tulajdonságok: ∀(a, b) : (a, b)(0, 0) = (0, 0)(a, b) = (0, 0). (1, 0) ellentettje (−1, 0), továbbá ∀(a, b) : (−a, −b) = (−1, 0)(a, b) az (a, b) számpár ellentettje. Állítás. Vektorok ellentettjének a komplex szám ellentettje felel meg.
R beágyazása Azonosítsuk az (a, 0) alakú számpárokat a megfelel˝o a valós számokkal, hiszen ugyanúgy viselkednek: (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0) (a, 0)(b, 0) = (ab, 0). Tehát f : R → C, a 7→ (a, 0) kölcsönösen égyértelm˝u, m˝uvelettartó függvény. f (0) = (0, 0) a nullelem, f (1) = (1, 0) az egységelem. Vegyük észre, hogy (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1), és (0, 1)(0, 1) = (0 · 0 − 1 · 1, 0 · 1 + 1 · 0) = (−1, 0). Tehát a fenti azonosítás után a (0, 1) számpár négyzete −1!
Kanonikus alak (a, b) = (a, 0)(1, 0) + (b, 0)(0, 1) Definíció. Jelölje i a (0, 1) komplex számot. Ekkor az (a, b) komplex szám a + bi alakba írható. Ezt nevezzük a komplex számok kanonikus alakjának. Definíció. Ha z = a + bi = a · 1 + b · i, akkor a = Re z a z komplex szám valós része, b = Im z pedig a képzetes (immaginárius) része. Kanonikus alakkal ugyanúgy számolhatunk, mint a valós számokkal, kifejezésekkel, csak i2 helyére −1 írandó. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bidi = ac + bdi2 + (ad + bc)i = (ac − bd) + (ad + bc)i.
Kanonikus alak (folytatás) z = a + bi ellentettje (additív inverze) −z = −a − bi. z = a + bi reciproka (multiplikatív inverze) z −1 =
a − bi 1 = 2 . z a + b2
3
Osztás kanonikus alakban: 2 + 7i 2 + 7i 3 − 4i 34 + 13i 34 13 = · = = + i. 3 + 4i 3 + 4i 3 − 4i 25 25 25
Konjugálás Definíció. Az a + bi komplex szám konjugáltja az z = a − bi komplex szám. Megjegyzés. Komplex szám konjugálásának a vektorok x-tengelyre való tükrözése felel meg. Állítás. • z=z • z = z pontosan akkor teljesül, ha z ∈ R • z=v↔v=z • z+v =z+v • zv = z · v Bizonyítás. zv z·v
= (a + bi)(c + di) = ac − bd + (ad + bc)i = ac − bd − (ad + bc)i = a + bi · c + di = (a − bi)(c − di) = ac − bd + (−ad − bc)i
Konjugálás (folytatás) Következmény. • z−v =z−v • z/v = z/v • z n = (z)n • z+z ∈R • zz ∈ R • z − z tiszta képzetes szám Bizonyítás. Mivel z = (z − v) + v, ezért z = z − v + v. Hasonlóan z = (z/v) · v alapján z = z/v · v. A hatványozásra vonatkozó összefüggés adódik a szorzatra vonatkozóéból, a többi pedig egyszer˝u számolás (HF!!!).
Abszolút érték Definíció. Az a + bi komplex szám abszolút értéke |z| =
p √ a2 + b2 = zz.
Ez a valós számok abszolút értékének általánosítása, illetve megfelel a vektorok hosszának. Állítás. • |z + v| ≤ |z| + |v| • |z − v| ≥ ||z| − |v|| • |zv| = |z| · |v| • |z/v| = |z|/|v|
♦
4
Abszolút érték (folytatás) |z + v| |z + v|2 (z + v)(z + v)) zv + zv (zv + zv)2 (zv − zv)2 (zv − zv)2
Bizonyítás.
≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤
|z| + |v| (|z| + |v|)2 zz + vv + 2|z||v| 2|z||v| 4zzvv 0 0
Az utolsó összefüggés teljesül, mert egy tiszta képzetes szám négyzete negatív vagy nulla. A második összefüggéshez lássuk be, hogy |z −v| ≥ |z|−|v| és |z −v| ≥ |v|−|z|, mindkett˝o következik az els˝o összefüggésb˝ol.
Az utolsó két összefüggés egyszer˝u számolással adódik a |z| =
√
zz defincióból.
Komplex számok trigonometrikus alakja Szorzás, osztás, hatványozás nehézkes kanonikus alakban.
a = r cos ϕ b = r sin ϕ z = r(cos ϕ + i sin ϕ)
Ez utóbbi a z komplex szám trigonometrikus alakja: ϕ = argz, r = |z|. Ha z = r(cos ϕ + i sin ϕ) és v = s(cos ψ + i sin ψ), akkor z = v ⇔ r = s és ϕ = ψ + 2kπ.
Szorzás trigonometrikus alakban Ha z = r(cos ϕ + i sin ϕ) és v = s(cos ψ + i sin ψ), akkor zv
= r(cos ϕ + i sin ϕ)s(cos ψ + i sin ψ) = = rs(cos ϕ cos ψ − sin ϕ sin ψ + i(cos ϕ sin ψ − sin ϕ cos ψ)) = = rs(cos(ϕ + ψ) + i sin(ϕ + ψ))
Nyilván z = r(cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)). Láttuk, hogy 1 a − bi = 2 , a + bi a + b2 azaz
Innen nyilván
1 1 = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)). z r
z r = (cos(ϕ − ψ) + i sin(ϕ − ψ)). v s
♦
5
Hatványozás Tétel. (Moivre-képlet) A trigonometrikus alakban adott z = r(cos ϕ + i sin ϕ) komplex szám k-adik hatványa z k = rk (cos kϕ + i sin kϕ) tetsz˝oleges k egész szám esetén. Bizonyítás. A k > 0 esetben a szorzásra vonatkozó képletb˝ol indukcióval adódik az állítás. k = 0 esetben definíció szerint z 0 = 1, |1| = 1 = |z|0 és arg1 = 0 = 0ϕ. Ha k < 0, akkor legyen n = −k, így n > 0: z
k
= z =
−n
n n 1 1 = = (cos(−ϕ) + i sin(−ϕ)) = z r
1 (cos(−nϕ) + i sin(−nϕ)) = rk (cos(kϕ) + i sin(kϕ)). rn
Hatványozás (folytatás) Ha |z| = 1, azaz z = cos ϕ+i sin ϕ, akkor z k = cos kϕ+i sin kϕ, tehát z hatványai φ szög˝u elforgatással adódnak, mindegyikük rajta marad az egységkörön.
Gyökvonás komplex számból Definíció. A z komplex szám n-edik gyökei azon w komplex számok, amelyekre wn = z. Figyelem! Ebben az értelemben a 4 komplex számnak 2 és −2 is négyzetgyökei. (És egyel˝ore nem tudjuk, hogy van-e más négyzetgyöke.) Legyen z = r(cos ϕ + i sin ϕ) és w = s(cos β + i sin β). Ekkor a Moivre-képlet szerint sn = r Tehát
és √ n
ϕ = nβ + 2kπ (k ∈ Z).
ϕ + 2kπ . n √ Itt n r a hagyományos értelemben r egyetlen nemnegatív valós gyökét jelenti. s=
r
és
β=
Kaptuk tehát, hogy √ n
z=
√ n
z=
√ n
√ n
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ r cos + i sin n n
.
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ r cos + i sin . n n Mivel a sin ás a cos függvnyek 2π szerint periódikusak, ezért elegend˝o csak a k = 0, 1, . . . , n − 1 értékeket venni. p √ Geometriailag n z értékei egy n |z| sugarú körön helyezkednek el, egy szabályos n-szög csúcsai.
Ellen˝orz˝o kérdések
6
1. Alapm˝uveletek kanonikus alakban. 2. Konjugálás kanonikus és trigonometrikus alakban 3. Szorzás, osztás, hatványozás és gyökvonás trigonometrikus alakban. 4. Komplex számok egyenl˝osége algebrai és trigonometrikus alakban.
